Ekor dari Barisan

Ekor dari Barisan

Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan, maka cukup diperhatikan sifat ekor dari barisan tersebut, yaitu barisan bagian dari barisan tersebut yang dimulai dari suatu urutan tertentu.

Definisi 3.1.7 Misalkan barisan bilangan real dan m sebarang bilangan asli, ekor-m dari X didefinisikan sebagai barisan
Xm = (xm+n : n N ) = .

Sebagai contoh, jika , maka ekor-3 dari X adalah barisan .

Teorema 3.1.8 Misalkan X = (xn : n N) barisan bilangan real dan m N. Ekor-m Xm = (xm+n : n N ) dari barisan X konvergen jika dan hanya jika X konvergen. Dalam hal ini .
Bukti: Perhatikan bahwa untuk p N, suku ke-p dari adalah suku ke-() dari X. Serupa dengan itu, jika , maka suku ke-q dari X adalah suku ke-() dari .
. Misalkan X konvergen ke x. Ambil sebarang . Dari yang diketahui dapat dipilih K N dengan (mengapa?) sehingga untuk berlaku
.
Dengan mengambil , maka suku-suku dari untuk memenuhi . Hal ini membuktikan bahwa konvergen ke x.
. Sebaliknya, misalkan konvergen ke . Ambil sebarang . Menurut hipotesis, terdapat Km N sehingga untuk ,
.
Dengan memilih , maka suku-suku dari X untuk memenuhi . Ini menunjukkan bahwa X konvergen ke x.

Barisan X dikatakan pada akhirnya (ultimately) mempunyai sifat "tertentu", jika mempunyai suatu ekor dengan sifat ini. Sebagai contoh, barisan adalah pada akhirnya konstan. Sebaliknya, barisan yang tidak pada akhirnya konstan. Kekonvergenan barisan dapat dinyatakan dengan pengertian ini : Barisan X konvergen ke x jika dan hanya jika suku-suku dari X pada akhirnya di dalam dari x.

Latihan 3.1

Suku ke-n dari barisan diberikan oleh rumus-rumus berikut. Tulis lima suku pertama dari setiap barisan.
(a) (b)
(c) (d)