Facultad de Ingeniería civi Estadística aplicad
Trabajo Práctico
Solución de ejercicios
Llanos palacios, enzo.
2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA !cul"!d de In#enier$! ci%il Es"!d$s"ic! !&lic!d! 1.- Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas y tres verdes. Después de registrar el número X de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 11 veces. !os resultados que se o"tienen son los siguientes# x 0 1
2
%
' 1 %1 && 2&
$rue"e la %ip&tesis con un nivel de signi'icancia de (.() de que los datos registrados se pueden ajustar con una distri"uci&n %ipergeométrica % *x+ , , ), x / (, 1, , .
Datos: Variable aleatoria Repeticiones del experimento
X: números de canicas rojas. m = 112 veces.
Hipótesis nula Hipótesis alternativa
H0: X !"x# $# %# &' x = 0# 1# 2# %. H1: es (also.
)ivel de si*ni(icancia
+ = 0.0&.
Incógnita: Rec!a,o o )o Rec!a,o de la !ipótesis nula.
Soluci&n#
) − n − x x # ) n & ' ()*+ + n+ ,- ./ P)* . * i- . * . 0+ 1+ $+ 2333 Aplicando la distribución hipergeométrica a nuestros datos:
-"x = 0'=
& $ − & & % % − 0 0 % 0 = = (1)(1) = 1 ≅ 0.01$/ &/ &/ $ $ % %
e0 = "112'"0.01$/' = 2.
-"x = 1'=
& $ − & & % % − 1 1 2 1 = = ( &) ( %) = 1& ≅ 0.2/$/ &/ &/ $ $ % %
e1 = "112'"0.2/$/' = %0.
-"x = 2'=
& $ − & & % % − 2 2 1 2 = = (10)( %) = %0 ≅ 0.&%&1 &/ &/ $ $ % %
e2 = "112'"0.&%&1' = /0.
SOLUCIÓ !E E"E#CICIOS
Página $ de %
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA !cul"!d de In#enier$! ci%il Es"!d$s"ic! !&lic!d!
-"x = %'=
& $ − & & % % % − % = % 0 = (10)(1) = 10 ≅ 0.1$& &/ &/ $ $ % %
0 1
xi 0 1 2 %
$*x / xi 0.01$/ 0.2/$/ 0.&%&1 0.1$& 31
2otales
e% = "112'"0.1$&' = 20.
ei / mpi 2 %0 /0 20 11
oi 1 %1 && 2& 11
j 1
Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de cuatro a tres, lo que tiene como resultado υ ! grados de libertad.
Utilizando Teorema :
8na prueba de la bondad de ajuste entre las (recuencias observadas 4 esperadas se basa en la cantidad
χ
2
n
Con nuestros datos, el
( oi − ei ) 2
= ∑ i =1
e i
χ
2
9onde
χ
es un valor de una variable aleatoria cu4a distribución muestral se aproxima mu4 de cerca con la
distribución ji cuadrada con 7 = 1*rados de libertad. ;os smbolos observada 4 esperada# respectivamente# para la i<sima celda.
χ
2
n
( oi − ei ) 2
= ∑ i =1
e
=
( %2 − %2) 2
+
%2
i
( && − /0) 2 /0
+
( 2& − 20) 2 20
=
0
+
2&
+
/0
o i
2&
4
e
i representan
5on el uso de la tabla 3.&.# encontramos
χ
valor está dado entonces por:
= 1.//
20
χ α de la tabla 3.&.# 4 entonces χ > χ α constitu4e la 2
-ara un nivel de si*ni(icancia i*ual a +# encontramos el valor crtico re*ión critica.
las (recuencias
2
2
2 0.0&
= &.661 con 7 = 2 *rados de libertad.
4espuesta# χ
2
< χ , 1.667 !.""1, #o se rec$aza la $ipótesis nula. Concluimos %ue no $a& 2
Como su'iciente evidencia para sospec$ar %ue la distri(ución no es $ipergeom)trica. α
SOLUCIÓ !E E"E#CICIOS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA !cul"!d de In#enier$! ci%il Es"!d$s"ic! !&lic!d!
.- Se 5uando * 1, * + 6 * n . son varia"les de $oisson independientes. 5ada una con par7metro > 4 n es grande, la media maestral tiene aproximadamente una distri"uci&n normal con - / 0 / λ y 4 / 8 * / > 9 n. :sto implica que# z =
x − λ
√ λ / n
2iene aproximadamente una distri"uci&n normal est7ndar $ara pro"ar (# ;/ ;(, se puede reemplazar ; con ; en la ecuaci&n para 2 para o"tener un estad
semanas es de 1>(, ?sugiere esto que el número promedio de solicitudes semanales excede de .(@ Aaga la prue"a con B/(.(.
Soluci&n#
Queremos contrastar H 0: l=4 vs H0: l>4 utilizando la prueba −4 = estadística . √ 4 / x
z
n
Para la muestra dada, n = 36
'
160 36
'4(444) si
z =
! nivel de 0.0", rec#azamos H 0 z $ z 0.0" % ".0& 'desde () * '".0&+=0."0"+. ebido a (.33 no es $".0&.
4.444 −4
√ 4 / 36
=1.33 .
4espuesta#
Ho , no debe ser rechazada en este nivel.
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