Ejercicios segunda Prueba Temario segunda prueba: Variable aleatoria Discreta. Distribuciones de distribuciones de probabilidad discretas (Binomial, Hipergeométrica, Poisson).. Cálculo de probabilidades, esperanza, varianza Variable continua: función de densidad, Función de distribución acumulativa, cálculo de probabilidades, esperanza y varianza. Distribución normal 1.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad
ax si 0 x 2 cov 0 Hallar el coeficiente a
f x a) b) c)
Determine la función de distribución de probabilidad F x Calcular
3 1 x 2 2 P x 1 P
d) 2.
E x , V x
La función de densidad de una variable aleatoria esta dada por
f ( x)
1 x si 0 x 1 2 1 si 1 x 2 2 1 3 x si 2 x 3 2 2
a)
Determinar la función de distribución F(x) de la variable X
b)
Determinar
2 5 3 P X , P X 3 2 4
3.
Una empresa que fabrica piezas de automóviles, envía lotes de 20 a sus clientes. Suponer que cada pieza esta defectuosa o no lo está, y que la probabilidad de que cualquiera de ellas está defectuosa es de 0.05. a) ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas por lote? b) Si un cliente determinado del proveedor mencionado recibe 10 lotes. ¿Cuál es el número esperado de lotes que no tiene piezas defectuosas?
4.
Suponga que el interior de un automóvil contiene 3 metros cuadrados de paneles plásticos. El número de defectos superficiales de estos paneles tiene una distribución de Poisson con una media de 0,6 defectos por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en los interiores de un automóvil? b) En 5 automóvil, ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo uno de ellos tenga defectos superficiales?
5.
Los registros de carabineros muestran que hay un promedio de tres accidentes por semana en la bajada del Salar del Carmen en la Ciudad de Antofagasta; si suponemos que esos percances siguen una distribución de Poisson, determine la probabilidad de que durante cierta semana seleccionada al azar haya: a) Cuatro accidentes; b) Cuatro o cinco accidentes; c) A lo más tres accidentes
6.
Si el 20% de las conservas en tarro producidas por una máquina son defectuosas. El departamento de control de calidad escoge 4 conservas al azar a) ¿Cuál es la probabilidad de: I. Tres sean defectuosa II. Ninguna sea defectuosa III. A lo menos una sea defectuosa b) Si se envía un cargamento de 4000 conservas ¿Cuál es el numero esperado de conservas en mal estado en el cargamento?
7.
Don Juan trabajador de la Compañía Minera “Déjate algo” tiene la oportunidad de ascender de rol en su trabajo, la condición es que se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el trabajador está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 o más preguntas. ¿Cuál es la probabilidad que tiene don Juan de Aprobar el examen
8.
Desde el año 1960, la clausura de los bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5.7 clausuras por año, en promedio. Suponga que el número de cierres y en un determinado periodo de tiempo tiene una distribución de probabilidad de Poisson. a) Encuentre la probabilidad de que ningún banco sea clausurado durante un periodo de cuatro meses b) Encuentre la probabilidad de que por lo menos tres bancos sean clausurados durante un determinado año.
Profesor: Carlos Farías Farías
9.
Un lote de 75 lavadoras contiene 5 en las que la variabilidad en el grosor de la circunferencia de la lavadora es inaceptable. Una muestra de 10 lavadoras se selecciona al azar, sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las lavadoras inaceptables esté en la muestra? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una lavadora inaceptable esté en la muestra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una lavadora inaceptable esté en la muestra? ¿Cuál es el número medio de lavadoras inaceptables en la muestra?
10. Una empresa emplea a 800 hombres menores de 55 años. Supongamos que el 30% lleva un marcador en el cromosoma masculino que indica un mayor riesgo para la presión arterial alta. Si 10 hombres en la empresa se analizan para determinar el marcador en este cromosoma, a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente un hombre tenga el marcador?
b)
¿cuál es la probabilidad de que más de uno tenga el marcador?
11. (Aplicación en Ciencias de la Ingeniería) Tarjetas de circuitos impresos se colocan en prueba de funcionamiento, después de haber sido dotadas con chips semiconductores. Un lote contiene 140 tarjetas, y 20 son seleccionadas sin sustitución, para la prueba de funcionamiento. a) Si 20 tarjetas son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una tarjeta defectuosa b)
aparezca en la muestra? Si 5 tarjetas son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una tarjeta defectuosa
aparezca en la muestra? 12. El CI de los individuos que componen una determinada población tienen aproximadamente una distribución normal, con media de 100 y una desviación típica de 10. a) Hallar la proporción de individuos de CI mayores que 120 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar entre los de esa población tenga un CI entre 105 y 115? 13. El porcentaje X de un compuesto de combustible para cohetes por galón es una variable aleatoria continua con distribución normal de media 23% y varianza igual a 9. a) Si las especificaciones del departamento de control de calidad exigen que el porcentaje del compuesto esté entre 20 y 25% por galón. Determine la probabilidad de que u galón d combustible no cumpla las especificaciones? b) Si se llena 200 galones de este combustible ¿Cuál será el número estimado de galones que no cumplan las especificaciones? c) Determine un intervalo para el porcentaje de compuesto que contenga el 80% central de la distribución de este compuesto
Profesor: Carlos Farías Farías
1.
Sea X una variable aleatoria con función de densidad
ax si 0 x 2 cov 0
f x a)
2
0
af x dx 1 a
2
0
2 2 02 x 2 2 xdx 1 a 1 a 2 2 2 0
b)Determine la función de distribución de probabilidad F x
0
1 1 a 2
0
si x 0 F x 0dx 0
0
si 0 x 2 F x 0dx
1 x 1 t 2 x 1 x 2 02 x2 tdt 0 2 0 2 2 0 2 2 2 4
1 2 1 t 2 2 x2 2 tdt 0 dt 0 0 dx 1 2 2 0 2 2 0 2 4 0 si x0
0
si 2 x F x 0dx
0
2 x 4 1
Luego F x
si 0 x 2 2 x
si
c)
3 2 3 3 1 3 1 32 1 x 2 1 2 1 2 2 P x 1 xdx 1 xdx 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 Otra alternativa es usar la función de distribución
3 2 12 2
1 P x 2
3 F 3 F 1 2 2 2
P x 1 1 P x 1 1 F 1 1
4
4
2 1 2 1 2 2
2
1 2
12 3 4 4
d) 2 x 1 2 1 x 3 2 1 23 03 4 E x x dx x 2 dx , 0 2 2 0 2 3 0 2 3 3 3
V x E x
2
E x
2
2
0
x 4 x dx 2 3 2
2 1 24 0 4 2 4 16 2 2 2 4 4 0 3 9 9
Profesor: Carlos Farías Farías
2
1 2 4 x 3dx 2 0 3
2
1 x 4 2 4 2 4 0 3
2
2.
La función de densidad de una variable aleatoria esta dada por
f ( x)
a)
1 x si 0 x 1 2 1 si 1 x 2 2 1 3 x si 2 x 3 2 2
Determinar la función de distribución F(x) de la variable X
0
si x 0 F x 0dx 0
1 x 1 t 2 x 1 x 2 02 x2 si 0 x 1 F x 0dx tdt 0 2 0 2 2 0 2 2 2 4 0
x1 1 1 1 t x 1 x 1 x 1 xdx dt 0 0 1 2 2 4 2 1 4 2 2 2 4 0 21 x 1 1 1 3 1 1 1 3 x si 2 x 3 F x 0dx xdx dx t dt t 2 t 1 2 2 2 0 2 4 2 4 2 2 2 0
si 1 x 2 F x 0dx
3 1 2 3 1 3 5 1 2 3 3 1 2 3 x x 2 2 x x 2 x 2 x 4 4 2 2 4 2 4 1 44 2 423 4 4 2 0 21 3 1 1 1 3 si 3 x F x 0dx xdx dx x dt 0dx 0 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 4
F x b)
si x 0
0
x2 si 0 x 1 4 x 1 si 1 x 2 2 4 x2 3 5 x si 2 x 3 4 2 4 1 si 3 x
Determinar 2
2 2 1, 3 2 P X F 3 4 9 3 2
3.
3 5 5 1 4 9 7 3 5 3 P X F F 2 1 2 4 16 16 4 2 4 2 4 La variable aleatoria x w ”Cuenta el número de artículos defectuosos en el lote” El recorrido de la variable es RX= 0,1,2,……20 La probabilidad que un artículo sea defectuoso es p = 0.05 Cada artículo es independiente uno del otro n= 20. Luego en cada lote
a) E
20 x 20 x 0.05 0.95 x
x : B 20,0.05 f x x P X x
x np 20 0.05
Profesor: Carlos Farías Farías
1 en un lote de 20 artículos se espera que uno sea defectuoso
b)
10 y 10 y 0.95 0.05 y
y : B 10,0.95 f y y P Y y E x np 10 0.95 9.5
de 10 lote se espera que 9.5 sean no defectuoso
e 0,6 0, 6 4. x : P 0, 6 P x k k!
k
e 0,6 0, 6 P x 0 e 0,6 0.5488 es la probabilidad de que no haya defectos 0! 0
a)
superficiales en los interiores de un automóvil b)
Sea la variable aleatoria
Y w ”Nº de automóviles con a lo más un defecto”
RY w 0,1, 2,3, 4,5
Cada automóvil es independiente, la probabilidad de tener o no defecto es constante luego
Y : B 5, P x 0 Y : B 5, 0.5488 , 14 2 43 POISSON Luego
P y 1 P y 0 P y 1
5 0 5 5 1 4 0.5488 0.4512 0.5488 0.4512 0.1324 0 1
es la probabilidad de que
como máximo uno de ellos tenga defectos superficiales
5.
e 0,6 0, 6 x : P 3 P x k k!
k
e 0,6 0, 6 P x 4 0, 00296 Es la probabilidad que ocurran cuatro accidentes 4! 4 5 e 0,6 0, 6 e 0,6 0, 6 P x 4 P x 5 0, 00296 0, 00036 0,3316 4! 5! 4
a)
b)
Es
la probabilidad que ocurran cuatro o 5 accidentes c)
P x 3 P x 0 P x 1 P x 2 P x 3
A lo más tres accidentes
e 0,6 0, 6 e0,6 0, 6 e 0,6 0, 6 e0,6 0, 6 0,9966 0! 1! 2! 3! 0
6.
La variable aleatoria
1
2
3
x w ”Cuenta el número de tarros de conserva defectuosos en la muestra”
El recorrido de la variable es RX= 0,1, 2,3, 4 La probabilidad que un artículo sea defectuoso es p = 0.2 Cada tarro de conserva es independiente uno del otro. Luego
4 x 4 x x : B 4,0.2 f x x P X x 0.2 0.8 x a) ¿Cuál es la probabilidad de: I.
II.
4 3 1 P X 3 0.2 0.8 0, 0256 es la probabilidad que tres sean defectuosa 3 4 0 4 P X 0 0.2 0.8 0, 4096 es la probabilidad que ninguna sea defectuosa 0
III.
4 0 4 P X 1 1 P x 1 1 P x 0 1 0.2 0.8 1 0, 4096 0,5904 0 Es la probabilidad que a lo menos una sea defectuosa
b) Si se envía un cargamento de 4000 conservas
E x np 4000 0.2 800
esperado de conservas en mal estado en el cargamento
Profesor: Carlos Farías Farías
es el número
7.
La variable aleatoria
x w ”Cuenta el número de respuestas correctas en las 8 preguntas”
El recorrido de la variable es RX= 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 La probabilidad que una respuesta es correcta es p = 0.33 Cada respuesta es independiente una de la otra. Luego
8 x 8 x x : B 8,0.33 f x x P X x 0.33 0.67 , x 0,1, 2K 8 x P X 6 P x 6 P x 7 P x 8 8 1 8 6 2 8 7 8 0 0.33 0.67 0.33 0.67 0.33 0.67 0.0187 6 7 8 es la probabilidad que tiene don Juan de Aprobar el examen 8.
Desde el año 1960, la clausura de los bancos por problemas financieros Suponga que el número de cierres y en un determinado periodo de tiempo tiene una distribución de probabilidad de Poisson. a) Encuentre la probabilidad de que ningún banco sea clausurado durante un periodo de cuatro meses b) Encuentre la probabilidad de que por lo menos tres bancos sean clausurados durante un determinado año
x w ”Cuenta el número de clausuras de bancos en un año” Rx 0,1, 2K e 5.7 5.7 x x : P 5.7 P X x x! a) Meses Nº de cierres 12
5.7
4
λ 5.7 e 1.9 1.90 1.9 x : P 1.9 P x 0 3 0!
b) x : P 5.7 P X 3 1 P X 3 1 P x 0 P x 1 P x 2 9.
La población es finita N = 75, esta se divide en dos clases de lavadoras, llamaremos defectuosas aquellas cuya variabilidad en el grosor de la circunferencia es inaceptable , M =5 , y las no defectuosas N –M =70.
Profesor: Carlos Farías Farías
