1
OLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ORIENTE ÁREA DE CIENCIAS EXPERIMENTALES CURSO DE FÍSICA III EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos, en donde se muestra como se emplean las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente uniformemente acelerado y las ecuaciones del movimiento de un cuerpo en caída libre. 1. Los fabricantes de un cierto tipo de automóvil anuncian que se acelera en línea recta de 30 km/h a 100 km/h en 13 s. Calcular la aceleración (en m/s 2) y la di stancia que recorre el auto durante este tiempo, suponga constante la aceleración. Solución: Los datos que se proporcionan son: V o = 30 km/h = 8.33 m/s; V = 100 km/h = 27.77 m/s y t = 13 s. De la ecuación V = Vo + a t se despeja la aceleración a y se sustituye la información, lo que resulta: V - Vo
27.77 m/s m/s - 8.33 m/s
19.44 m/s
a = --------- = ------------------------------------------------------ = -------------t
13 s
a = 1.49 m/s 2.
13 s
Para obtener la distancia, se puede emplear cualquiera de las ecuaciones que contenga a X, aquí se empleará la ecuación X = Vo t + ½ a t 2, sustituyendo los datos directamente queda: 1 X = Vo t + --- a t 2 2 1 X = ( 8.33 m/s )( 13 s ) + --- ( 1.49 m/s 2)(13 s)2 2 X = 108.29 m + ( 0.745 m/s 2) ( 169 s2 )
X = 108.29 m + 125.90 m = 234.195 m.
Se debe destacar que se emplearon las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, puesto que se cumplen en el enunciado del ejercicio las condiciones de movimiento sobre la línea recta y la aceleración constante. 2. Un aeroplano despega de un campo cuya pista mide 360 m. Si parte del reposo, se mueve con aceleración constante y recorre la pista de despegue en 30 s. ¿Con qué velocidad en m/s levanta el vuelo? Solución: La información para este ejercicio es: V o = 0; a = cte y t = 30 s. De la ecuación X = V o t + 1/2 a t 2, se elimina el término V o t, puesto que Vo = 0, de lo que resulta X = 1/2 a t 2, despejando la aceleración y sustituyendo se obtiene: 2X
2 ( 360 m )
720 m
m
a = ----- = ---------------- = ---------- = 0.8 --t2
( 30 s ) 2
900 s2
s2
Conociendo la aceleración a, se puede calcular la velocidad V de la ecuación V = Vo + a t, así que sustituyendo resulta: V = Vo + a t = a t = ( 0.8 m/s 2 ) ( 30 s ) = 24 m/s. Es también posible obtener a V, empleando la ecuación V 2 = Vo2 + 2 a X, por lo que sustituyendo se tiene: V2 = Vo2+ 2 a X = 2 a X = 2 ( 0.8 m/s 2 ) ( 360 m ) ________ V¨ = √576 m2/s2, entonces, V = 24 m/s. Por lo tanto, se obtiene la misma velocidad.
2
3. Un tren arranca en una estación y se acelera a razón de 1.20 m/s constante, y se decelera a 2.40 m/s
2
2
durante 10 s. Marcha durante 30 s con velocidad
hasta detenerse en la estación inmediata del trayecto. Calcule la distancia total
recorrida. Solución: Es conveniente dividir el problema en tres partes, que se denominarán X 1, X2 y X3. Para X1, los datos que se tienen son: V o = 0; a = 1.20 m/s 2 y t = 10 s. Empleando la ecuación V = Vo + a t, se obtiene: V = Vo + a t = a t = (1.20 m/s 2 ) (10 s) = 12 m/s, esta es la velocidad del tren al cabo de 10 s, partiendo del reposo ( V o = 0 ). Con la ecuación X = Vo t + ½ a t 2, se puede determinar la posición del tren al cabo de 10 s, se tiene que V o = 0, así que: X1 = Vo t + 1/2 a t 2 = 1/2 a t 2 = 1/2 (1.20 m/s 2)(10 s)2 X1 = ( 0.60 m/s 2 ) ( 100 s2 ) = 60 m, está es la distancia que recorre el tren en la primera parte. Para X2, los datos son: t = 30 s y V = constante, entonces, a = 0 (es decir, el tren no tiene aceleración o su aceleración es nula), así que durante este intervalo de tiempo ( 30 s ), el tren se mueve con la misma velocidad V = V o = 12 m/s. Se puede emplear la ecuación X = Vo t + ½ a t 2, se conoce V o = 12 m/s; t = 30 s y a = 0, por lo que: X2 = Vo t + 1/2 a t 2 = Vo t = ( 12 m/s )( 30 s ) = 360 m X2 = 360m, es la distancia que recorre el tren está parte del recorrido. Para obtener X 3, se tiene que el tren sufre una deceleración (aceleración negativa), así que a = - 2.40 m/s 2; Vo = 12 m/s y V = 0 (puesto que es llevado al reposo), como aquí no se conoce el tiempo, se puede obtener a X directamente empleando la ecuación V2 = Vo2 + 2 a X, despejando a X resulta que: V2 – Vo2 ( 0 m/s ) 2 - ( 12 m/s ) 2 144 m2/s2 X3 = --------- = ---------------------------- = --------------2a 2 ( - 2.40 m/s 2 ) 4.80 m/s2
X 3 = 30m.
Finalmente, la distancia total recorrida X T es igual a la suma de X 1, X2 y X3, sustituyendo se obtiene que: XT = X1 + X2 + X3 = 60m + 360 m + 30 m = 450 m. 4. Un automóvil y un camión parten en el mismo instante, estando inicialmente el automóvil a cierta distancia por detrás del camión. Este último tiene una aceleración constante de 1.20 m/s 2, mientras que el automóvil acelera a 1.80 m/s 2. El automóvil alcanza al camión cuando éste ha recorrido 45 m a) ¿Cuánto tiempo tarda el auto en alcanzar al camión? b) ¿Cuál era la distancia inicial entre ambos vehículos? c) ¿Cuál es la velocidad de cada uno en el momento de alcanzarse? Solución: Aquí también, lo más conveniente es dividir el problema en dos partes, una para el camión y la otra para el auto. Para el camión la información es: V o = 0; a c = 1.20 m/s 2 Xc = 45 m. Empleando la ecuación X = Vo t + ½ a t 2, se puede obtener el tiempo, así que despejando a t de dicha ecuación resulta: 2X
2 ( 45 m )
90 m
t2 = ----- = -------------- = -------------- = 75 s 2 a
1.20 m/s 2
1.20 m/s 2
____ t = √75 s 2 = 8.66 s, esté es el tiempo que emplea el camión, partiendo del reposo en recorrer 45 m con la aceleración de 1.20 m/s 2. Sustituyendo el tiempo t y la aceleración a en la ecuación V = Vo + a t, resulta que: V = Vo + a t = a t = ( 1.20 m/s 2 )( 8.66 s ) = 10.39 m/s
3
Por otra parte, para el auto se tiene, que como parte del reposo V o = 0, en el mismo instante que el camión, resulta que lo alcanza, así pues el tiempo transcurrido es el mismo para ambos vehículos, es decir, t c = ta = 8.66 s; además la aceleración del auto es aa = 1.80 m/s 2, de esta manera empleando la ecuación V = Vo + a t se obtiene la velocidad V y empleando la ecuación X = Vo t + ½ a t 2 se obtiene la distancia X a que recorre el auto: Va = Vo + a t = a t = (1.80 m/s 2) (8.66 s) = 15 .58 m/s. Xa = Vot + 1/2 a t 2 = 1/2 a t 2 = 1/2(1.80 m/s 2)(8.66 s)2
Xa = 67.49 m.
Para determinar cual es la distancia X inicial entre ambos vehículos, se tiene que X a = Xc + X, entonces: X = Xa - Xc = 67.49 m - 45 m = 22.49 m. 5. Se deja caer un cuerpo a partir del reposo y se mueve libremente. Determinar la posición y la velocidad del cuerpo después de 1, 2 y 3 s de caída. Solución: Se tiene que V o = 0; g = 9.8 m/s 2 y los tiempos t 1 = 1 s t 2 = 2 s y t 3 = 3 s. Empleando las ecuaciones V = Vo + g t y Y = Vo t + ½ a t 2 es fácil determinar la velocidad y la posición. Para t1 = 1 s. V = Vo + g t = g t = ( - 9.8 m/s 2 ) ( 1 s ) = - 9.8 m/s Y = Vo t + 1/2 g t 2 = 1/2g t2 = 1/2(- 9.8 m/s 2 )( 1 s ) 2 Y = ( - 4.9 m/s 2 ) ( 1 s2 ) = - 4.9 m. Para t2 = 2 s. V = gt = ( - 9.8 m/s 2 ) ( 2 s ) = - 19.6 m/s Y = 1/2 g t 2 = 1/2 ( - 9.8 m/s 2 ) ( 2 s ) 2 Y = ( - 4.9 m/s 2 ) ( 4 s2 ) = - 19.6 m Para t3 = 3 s. V = g t = ( - 9.8 m/s 2 ) ( 3 s ) = - 29.4 m/s. Y = 1/2 g t 2 = 1/2 ( - 9.8 m/s 2 ) ( 3 s ) 2 Y = ( - 4.9 m/s 2 ) ( 9 s2 ) = - 44.1 m El signo negativo obtenido en la velocidad y en la posición significa que el movimiento del cuerpo es hacia abajo. Se puede observar que la velocidad aumenta al doble cuando el tiempo aumenta al doble y cuando el tiempo aumenta al triple, la velocidad también aumenta al triple, así que la velocidad de un cuerpo en caída libre es directamente proporcional a el tiempo, es decir, V ∝ t. En relación a la posición o el desplazamiento, se observa que no existe una proporción directa entre la posición y el tiempo. Con una análisis más cuidadoso se puede concluir q ue la posición es directamente proporcional a el tiempo al cuadrado, es decir, X ∝ t2. 6. Suponga que un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad V o = 30 m/s, en un lugar en donde la aceleración debida a la gravedad es g = -9.8 m/s2. Determinar el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. b) la altura que alcanza el cuerpo. c) la velocidad con que vuelve al punto de partida. Solución: En este caso se tiene que V o = 30 m/s; g = -9.8 m/s 2 y V = 0 en el punto más alto. Empleando la ecuación V = Vo + a t se puede obtener el tiempo, despejando a t de dicha ecuación resulta: V - Vo
0 - 30 m/s
- 30 m/s
t = ------- = --------------- = ------------- = 3.06 s, g
- 9.8 m/s 2
- 9.8 m/s 2
el tiempo que emplea el cuerpo en subir, es decir, t s = 3.06 s.
4
Para determinar la altura que alcanza el cuerpo se empleará la ecuación Y = Vo t + ½ g t 2, sustituyendo en está ecuación se tiene que: Y = Vo t + 1/2 a t 2 Y = ( 30 m/s ) ( 3.06 s) + 1/2 ( -9.8 m/s 2 ) ( 3.06 s ) 2 Y = 91.8 m + ( - 4.9 m/s 2 ) ( 9.36 s 2 ) Y = 91.8 m + 45.88 m = 45.91 m; está es la a ltura alcanzada por el cuerpo. Para determinar el tiempo que emplea el cuerpo en caer se puede emplear la ecuación Y = Vo t + ½ a t 2, se tiene que V o = 0; g = -9.8 m/s 2 y Y = - 45.91 m, así que despejando a t 2 se obtiene: 2Y
2 ( - 45.91 m )
- 91.83 m
2
t = ----- = -------------------- = -------------- = 9.37 s 2, - 9.8 m/s2
g
- 9.8 m/s 2 ______
calculando a t se obtiene t = √9.37 s2 = 3.06 s, este es el tiempo que emplea el cuerpo en caer. Por lo tanto, como se puede observar, el tiempo que emplea un cuerpo en subir es igual al que emplea en bajar o caer, se decir, t s = tc = 3.06 s. Esto es cierto en condiciones ideales. Finalmente, para determinar la velocidad con que regresa al punto de partida, se emplea la ecuación V = Vo + a t, en este caso se tiene que V o = 0; g = -9.8 m/s 2 y t = 3.06 s, así que: V = g t = ( - 9.8 m/s 2 )( 3.06 s ) = - 29.99 m/s V = - 29.99 m/s
- 30 m/s.
Como se puede observar, la velocidad con que regresa al punto de partida es igual a la velocidad con la que parte hacia arriba, el signo negativo indica que el cuerpo se mueve hacia abajo. 7. a) ¿Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arriba para que llegue a una altura de 20 m? b) ¿Cuánto tiempo estará en el aire? Solución: En este caso se tiene que cuando la pelota alcanza el punto más alto Y = 20 m y V = 0, además g = - 9.8 m/s 2, por lo que, lo más adecuado es el uso de la ecuación V 2 = Vo2 + 2 a X, despejando a V o se obtiene: Vo2= V2 - 2 g Y = - 2 g Y = - 2 ( - 9.8 m/s 2 ) ( 20 m ) _________ Vo2= 392 m2/s2, de esta manera, queda V o =√ 392 m2/s2, así que, V o = 19.79 m/s, siendo está la velocidad con que debe lanzarse la pelota. Se puede determinar el tiempo que estará el cuerpo en el aire de dos maneras diferentes, una de ellas es, calculando el tiempo ts que emplea la pelota en subir y el tiempo t b que emplea en bajar. Cuando la pelota sube se tiene que V o = 19.79 m/s; Y = 20 m y g = - 9.8 m/s 2, despejando el tiempo de la ecuación V = Vo + a t se obtiene que: V - Vo
0 - 19.79 m/s
ts = -------- = -------------------- = 2.02 s. g
- 9.8 m/s 2
Cuando la pelota baja se tiene que Vo = 0; Y = 20 m y g = - 9.8 m/s 2. Empleando la ecuación Y = Vo t + ½ a t 2 se puede determinar el tiempo de bajada, así que como V o = 0, entonces, Y = 1/2 g t 2, despejando al tiempo t resulta que: 2Y
2 ( - 20 m )
- 40 m
2
t = ---- = ----------------- = ---------- = 4.08 s 2 g
- 9.8 m/s¨
- 9.8 m/s 2
5
______ t = √ 4.02 s2 = 2.02 s, este el tiempo de bajada. Por lo tanto, el tiempo que permanece la pelota en el aire es t T = ts + tb = 4.04 s.
La otra forma de calcular el tiempo es emplear la ecuación Y = Vo t + ½ a t 2, se tiene que V o = 19.79 m/s; g = - 9.8 m/s 2 y Y = 0 (cuando parte la pelota hacia arriba se tiene que su desplazamiento es Y = 0 y cuando regresa al punto de partida su desplazamiento es otra vez Y = O), así que: 0 = Vo t + 1/2 a t 2, esta ecuación se puede escribir como 1/2 gt 2 = - Vot, eliminando a t, se obtiene 1/2 gt = - V o despejando el tiempo t se obtiene: - 2 Vo
- 2 ( 19.79 m/s ) - 39.58 m/s
t = ------- = ----------------------- = -------------- = 4.03 s. g
Por lo tanto, se obtiene prácticamente el mismo tiempo.
- 9.8 m/s 2
- 9.8 m/s¨
8. Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 44 m sobre la superficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1 segundo después de soltar la primera. Ambas piedras llegan al agua al mismo tiempo. ¿Cuál es la velocidad inicial de la segunda piedra? Solución: En este ejercicio es conveniente que se divida el problema en dos parte, una de ellas relacionada con de la primera piedra y la otra con la segunda piedra. Para la primera piedra se tiene que: V o = 0; g = - 9.8 m/s 2 y Y = - 44 m. Empleando la ecuación Y = V o t + 1/2 g t 2 se puede calcular el tiempo que tarda en caer la piedra, como V o = 0, entonces, Y = 1/2 g t 2, despejando al tiempo t y sustituyendo los datos se obtiene: 2Y
2 ( - 44 m )
- 88 m
2
t = ----- = ----------------- = ------------ = 8.97 s 2 g
- 9.8 m/s
2
- 9.8 m/s 2
______ t1 = √8.97 s2 = 2.99 s. La segunda piedra se lanza después de la primera, de tal manera que la alcanza, así que el tiempo que emplea es: t2 = t1 - 1 s = 2.99 s - 1 s = 1.99 s. En este caso se tiene que Y = - 44 m; g = - 9.8 m/s 2 y t = 1.99 s, para determinar la velocidad con que se lanza la segunda piedra, se emplea la ecuación Y = Vo t + ½ a t 2, así que despejando a V o resulta: Y - 1/2 g t 2 - 44 m - 1/2(- 9.8 m/s 2 )( 1.99 s ) 2 Vo = --------------- = -------------------------------------------t 1.99 s - 44 m + ( 4.9 m/s 2 )( 3.96 s 2 ) - 44 m + 19.40 m Vo = ---------------------------------------- = -----------------------1.99 s 1.99 s - 24.59 m Vo = --------------- = - 12.35 m/s. Por lo tanto, la velocidad con que se debe lanzar la segunda piedra es V o = - 12.35 m/s. 1.99 s
