USO DE TABLAS DE INTERÉS 2.1. Encuentre el valor numérico correcto de los factores siguientes, a partir de las tablas de interés. 1. 2. 3. 4. 5.
(F/P, 8%, 25) (P/A, 3%, 8) (P/G, 9%, 20) (P/A, 15%, 18) (A/P, 30%, 15)
6.8485 7.0197 61.7770 6.1280 0.30598 DETERMINACIÓN DE F, P, A
2.2. La U.S. Border Patrol analiza la compra de un helicóptero para la vigilancia aérea de la frontera de Nuevo México y Texas con la república Mexicana. Hace cuatro años se adquirió un helicóptero similar con un costo de $140 000. Con una tasa de interés de 7% anual, ¿cuál sería el valor equivalente actual de dicho monto?
F=P ( 1+i )n
F=P( F /P , i , n) P = 140 000
F=140 000 (1+7 )4
F=140 000(F /P , 7 , 4) 7%
F=183511,44
F=?
F=183511,44
2.3. Pressure Systems, Inc. Fabrica transductores de nivel líquido de gran exactitud. Investiga si debe actualizar cierto equipo ahora o hacerlo después. Si el costo hoy es de $20 000, ¿cuál será la cantidad equivalente dentro de tres años con una tasa de interés de 10% anual?
F=P ( 1+i )n
F=P( F /P , i , n)
F=20 000 (1+10 )3
F=20 000( F /P , 10 , 3)
P = 20 000 000 000
10%
F=26 620
F=?
F=26 620
2.4. Petroleum Products, Inc. Es una compañía de ductos que proporciona derivados Del petróleo a mayoristas Del norte de los Estados Unidos y Canadá. La empresa estudia la compra de medidores de flujo de inserción de turbina que permitan vigilar mejor la integridad de los ductos. Si estos medidores impidieran una interrupción grave (gracias a la detección temprana de pérdida de producto) valuada en $600 000 dentro de cuatro años, ¿cuánto podría actualmente desembolsar la compañía con una tasa de interés de 12% anual?
F=P ( 1+i )n P=F∗[
P=F ( P/ F , i , n)
1 ] ( 1+i )n
P=600 000 [
1 ] ( 1+ 12 )4
F =600 000
P=? P=600 000( P /F ,12 , 4) 12%
P=600 000( 0,6355)
P=600 000
[
1 1,5735
]
P=381 300
P=600 000∗( 0,6355)
P=381 315,54
2.5. Sensotech, Inc., fabricante de sistemas de microelectrónica, supone que puede reducir en un 10% que sus productos sean retirados del mercado si compra software nuevo para detectar las partes defectuosa. El costo de dicho software es de $225 000. a) b)
a)
¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía anualmente durante cuatro años para recuperar la inversión, si usa una tasa mínima aceptable de rendimiento de 15% anual? ¿Cuál fue el costo por año de los retiros del mercado antes de que se hubieran comprado el software si la compañía recupero su inversión exactamente en cuatro años debido a la reducción del 10%?
F=P ( 1+i )
n
F=P(F /P , i , n)
F=225 000 (1+15 )
4
F=225 000(F /P , 15 , 4 )
F=393 526,4
F=225 000(1,7490)
F=393 525 P = 225 000 000 000
15%
b)
P=F
[ ] 1 ( 1+i )
F=?
P=F (P/ F , i , n)
P=393 526,4
[
1 ( 1+10 ) 4
P=393 526,4
[
1 1,4641
]
]
P=393 526,4∗(0,680313) P=268 783,83
P=393 526,4(P /F ,10 , 4)
P=393 526,4( 0,6830) P=?
P=268 778,5312 10%
F =393 526, 4
2.6. La empresa Thomson Mechanical Products planea reservar $ 150 000 hoy para tal vez reemplazar sus grandes motores sincrónicos de pulido una vez que sea necesario. Si el reemplazo no fuera necesario durante siete años, ¿cuánto tendría la compañía en la inversión que reservó si logra una tasa de rendimiento de 18% anual?
F=P ( 1+i )n
F=P( F /P , i , n)
F=150 000 (1+18 )7
F=150 000(F /P , 18 , 7)
F=150 000(3,1855)
F=150 000(3,1855) P =1 500 000 000
F=477 821,08
F=477 825 18%
2.7. La empresa fabricante de carros Renault firmó un contrato de $75 millones con ABB de Zúrich, Suiza, para automatizar las líneas de montaje del chasis, los talleres de ensamblaje de la carrocería y los demás de control de línea. Si ABB recibirá el pago dentro de dos años (cuando los sistemas queden listos), ¿cuál es el valor actual del contrato con un interés de 18% anual?
F=P ( 1+i )n P=F [
75 000 000
P=F (P/ F , i , n)
1 ] ( 1+i )n
P=75 000 000( P /F ,18 ,2)
P=75 000 000[
1 ] ( 1+18 )2
P=75 000 000[
1 ] 1,3924
P=75 000P=? 000( 0,7182)
18%
P=53 865 000
P=75 000 000∗(0,7182)
P=53 863 832,23
2.8. Atlas Long-Haul Transportation analiza la instalación de registradores de temperatura Valutemp en todos sus camiones frigoríficos a fin de vigilar las temperaturas mientras estos circulan. Si los sistemas disminuirán las reclamaciones por seguros en $100 000 dentro de dos años, ¿cuánto debe estar dispuesta a pagar ahora la compañía si usa una tasa de interés de 12% anual?
F=P ( 1+i ) P=F [
n
1 ] ( 1+i )n
P=F ( P/ F , i , n) 100 000
P=100 000(P /F ,12 , 2)
P=?
12%
F=?
P=100 000[
1 ] ( 1+ 12 )2
P=100 000( 0,7972)¿
P=100 000[
1 ] 1,2542
P=79 720
P=100 000∗(0,7973)
P=79 723,100 2.9. GE Marine Systems planea suministrar a un armador japonés turbinas de gas aeroderivadoras para impulsar los destructores de tipo 11D, de la Fuerza Japonesa de Autodefensa. El comprador puede pagar ahora el importe total de $1 700 000 estipulado en el contrato, o una cantidad equivalente dentro de un año (cuando se necesitaran las turbinas). Con una tasa de interés de 18% anual, ¿cuál es la cantidad futura equivalente?
F=P ( 1+i )
n
F=P( F /P , i , n)
F=1700 000 ( 1+18 )1
F=1700 000(F / P ,18 ,1)
F=1700 000∗(1,18)
F=1700 000(1,1800)
F=2 006 000
F=2 006 000
P =1 700 000 000
18%
F=?
2.10. ¿Para Corning, Inc., cuál es hoy el valor de un costo futuro de $162 000 dentro de seis años con una tasa de interés de 12% anual?
F=P ( 1+i )n
F=P( F /P , i , n)
F=162000 ( 1+12 )6
F=162000 (F/ P , 12 ,6)
F=162000∗( 1,9738)
F=162000 (1,9738)
F=319759,275
P =162 000
12%
F=319755,6
F=?
2.11. ¿Cuánto podría gastar hoy en equipo nuevo Cryogenics, Inc., fabricante de sistemas de almacenamiento de energía basados en superconductores magnéticos, en lugar de dedicar $125 000 dentro de cinco años si la tasa de rendimiento de la compañía es de 14% anual?
F=P ( 1+i ) P=F [
n
1 ] ( 1+i )n
P=F ( P/ F , i , n)
125 000
P=125 000( P /F ,14 , 5) P=?
14%
P=125 000[
1 ] ( 1+ 14 )5
P=125 000[
1 ] 1,9254145824
P=125 000( 0,5194)
P=64 925
P=125 000∗(0,51936)
P=64 921,083 2.12. V-Tech Systems es un fabricante de compactadores verticales, y analiza sus requerimientos de flujo de efectivo para los próximos cinco años. La compañía espera reemplazar maquinas de oficina y equipo de computación en varios momentos durante los cinco años de planeación. Específicamente, la empresa espera gastar $900 000 dentro de dos años, $8 000 dentro de tres, y $5 000 dentro de cinco. ¿Cuál es el valor presente de los gastos planeado con una tasa de interés de 10% anual? Para 900 00 en 2 años
F=P ( 1+i )n P=F [
1 ] ( 1+i )n
P=900 000 [
1 ] ( 1+10 )2
P=900 000 [
1 ] 1,21
P=900 000∗( 0,826446)
P=F ( P/ F , i , n)
P=900 000 (P/F , 10 , 2)
P=900 000 (0,8264)
P=743 760
P=743 801,65 Para 8 000 en 3 años
P=F [
1 ] ( 1+i )n
P=8 000 [
1 ] ( 1+10 )3
P=F ( P/ F , i , n)
P=8 000 (P /F , 10 , 3)
P=8 000 [
1 ] 1,331
P=8 000∗(0,751314)
P=6 010,52
P=8 000 (0,7513)
90 000 8 000 5 000
P=6 010,4 P=?
10%
Para 5 000 en 5 años
P=F [
1 ] ( 1+i )n
P=F ( P/ F , i , n)
P=5 000 [
1 ] ( 1+ 10 )5
P=5 000( P /F ,10 ,5)
P=5 000 [
1 ] 1.61051
P=5 000( 0,6209)
¿ P=5 000∗¿
0,620921)
P=3 104, 5
P=3 104,61
P1+ P 2+ P 3=743 801 , 65+6 010,52+3 104,61 P1+ P 2+ P 3=752 916,78 2.13. Un sensor de proximidad fijo al extremo de un endoscopio podría reducir los riesgos durante la cirugía de ojos, porque alertaría a los médicos de la localización del tejido crítico de la retina. Si con el uso de esta tecnología cierto oftalmólogo espera evitar demandas por $1.25 y $0.5 millones dentro de dos y cinco años, respectivamente, ¿Cuánto podría desembolsar hoy si sus diversos costos por las demandas solo fueran el 10% del monto total de cada una de ellas? Use una tasa de interés de 8% anual. Para 1.25 millones en 2 años
P=F [
1 ] ( 1+i )n
P=F (P/ F , i , n)
P=125 000[
1 ] ( 1+ 8 )2
P=125 000( P /F ,8 , 2)
P=125 000[
1 ] 1,1664
P=125 000( 0.8573)
P=107 162,5
P=125 000∗(0,857338)
P=107 167,35 Para 5 000 en 5 años
1 ( 1+i )n P=F ¿
P=F ( P/ F , i , n)
]
P=50 000 [
1 ] ( 1+ 10 )5
P=50 000 [
1 ] 1,46932800768
P=50 000(P /F , 8 , 5)
125 000
50 000
P=50 000(0,6806) P=?
8%
P=34 030
P=50 000∗(0,6805)
P=34 029,1614 P1+ P 2=34 029,1614+107 167,35
P1+ P 2=141 196,5114 2.14. El costo actual del seguro por adeudos para cierta empresa de consultoría es de $65 000. Si se espera que el costo del seguro se incremente 4% cada año, ¿cuál será el costo dentro de cinco años?
F=P ( 1+i )
n
F=P( F /P , i , n)
F=65 000 (1+ 4 )
5
P =65 000
F=65 000(F /P , 4 , 5) 4%
F=65 000∗(1,2166529024)
F=65 000(1,2167)
F=79 080,44
F=70 085,5
F=?
2.15. American Gas Products produce un aparato llamado Can-Emitor que vacía el contenido de las latas viejas de aerosol en dos o tres segundos. Esto evita tener que eliminarlas como desechos peligrosos. Si cierta compañía de pinturas puede ahorrar $75 000 al año en sus costos de eliminación de desechos, ¿Cuánto podría gastar ahora en el Can-Emitor, si quiere recuperar su inversión en tres años, con una tasa de interés de 20% anual?
A=P
[
n
i ( 1+ i )
( 1+i )n−1
]
A=P( A / P ,i ,Pn)=75 000
20%
A=?
A=75 000 [
20 ( 1+ 20 )3 ] ( 1+20 )3 −1
A=75 000 [
0,3456 ] 0,728
A
¿ 75 000( A/ P , 20 , 3)
A
¿ 75 000(0,47473) A=35,60475
A=75 000∗( 0,474725) A=35 604,40
2.16. Atlantic Metals and Plastic usa aleaciones de níquel cromo para manufacturar conductores resistentes al calor. La compañía estudia un proceso nuevo de impresión templada para reducir sus costos. Si el proceso nuevo costaría hoy $1 800 000, ¿Cuánto debe ahorrarse cada año para recuperar la inversión en seis años, con una tasa de interés de 12% anual?
[
i ( 1+ i )n A=P ( 1+i )n−1
]
12 ( 1+12 )6 A=1 800 000[ ] ( 1+ 12 )6−1 A=1 800 000[
0,2368 ] 0,97382
A=1 800 000∗(0,24322571)
A=P( A / P ,i , n)
A
¿ 1800 000 ( A / P ,12 , 6)
A
P =1 800 00012% ¿ 1800 000 (0,24323)
A=437 814 A=?
A=437 806,29
2.17. El alga verde puede producir hidrogeno si se le priva de azufre por un período de dos días. Una compañía pequeña necesita comprar equipo que cuesta $3 400 000 para comercializar el proceso. Si la empresa espera tener una tasa de rendimiento de 20% anual y recuperar su inversión en ocho años, ¿cuál debe ser el valor neto del hidrogeno que produzca cada año?
F=A
[
(1+i )n−1 i
]
F=A (F / A ,i , n)
F=3 400 000[
(1+20 )8−1 ] 20
F=3 400 000(F / A ,20 , 8)
F=3 400 000[
3,29981696 ] 0,2
F=3 400 000(16,4991)
20%
A =3 400 000
F=56 096 940
F=3 400 000∗(16,4990848)
F=56 096 888,32 F=? 2.18. ¿Cuánto dinero podría pedir prestado RTT Enviroment Services para financiar un proyecto de rehabilitación de sitios, si espera ingresos de $280 000 anualmente durante un período de limpieza de cinco años? Se supone que los gastos asociados al proyecto sean de $90 000 por año. Use una tasa de interés de 10% anual.
P=90 000− A
[
i (1+i )
n
( 1+ i )n −1
P=90 000−280 000[
P=90 000−280 000[
]
10 ( 1+10 )5
(1+10 )5−1 0,161051 ] 0,61051
P=90 000−280 000∗(0,263797)
P=90 000−73 863,2946
P=90 00− A( P / A , i , n)
]
P=90 000−280 000( A /P , 10 , 5)
P=90 000−280 000(3,7908)
P=90 000−1 061 424 P=437 814
P=826 136,7054 P =1 800 00012%
A=? 2.19. Western Playland and Aquatics Park gasta $75 000 cada año en servicios de consultoría por la inspección de viajes. Una tecnología basada en elementos actuadores nuevos permite que los ingenieros simulen movimientos complejos en cualquier dirección controlados por computadora. ¿Cuánto podría permitirse gastar hoy el parque en la tecnología nueva si no fueran necesarios los servicios de consultoría anuales? Suponga que el parque usa una tasa de interés de 15% anual, y desea recuperar su inversión dentro de cinco años.
A=P
[
n
i ( 1+ i )
( 1+i )n−1
]
A=75 000 [
15 ( 1+ 15 )5 ] ( 1+15 )5 −1
A=75 000 [
0,3017035 ] 1,0113571875
A=P( A / P ,i , n)
A=75 000 ( A / P ,15 ,5)
A=75 000 (0,29832)
A=22374
A=75 000∗( 0,2983155)
P =75 000 15%
A=22373,6664 A=? 2.20. Por medio de un acuerdo con Internet Service Providers (ISPs) Association, la empresa SBC Comunications redujo el precio que ISPs cobra por vender su servicio de línea digital de alta velocidad (DLS), de $458 a $360 anual por línea consumidora. Un ISP particular, que tiene 20 000 clientes, planea trasladar 90% de los ahorros a su clientela. ¿Cuál es el calor total futuro de esos ahorros durante un horizonte de cinco años con una tasa de interés de 8% anual? 458 – 360 = 98 anual
[
i ( 1+i )n−1 F=A i
Ahorro = 98
]
F=A (F / A ,i , n)
F=1764 000[
( 1+0,08 )5 ] 0,0,8
F=1764 000( A/ P , 8 , 5) F=1764 000[18,36] F=1764 000(5,8666) F=32398 684,09
F=10 348682,4
n=5 i = 8%
P = 98 x 10% P = 98 – 9,8 P = 88,2 A = 88,2 (2000) A = 1764000
2.21. A fin de mejorar la detección de grietas en sus aviones, la fuerza aérea de los Estados Unidos combinó procedimientos de inspección ultrasónica con calentamiento por laser, para identificar agrietamientos debido al debilitamiento. La detección a tiempo de estos podrías reducir los costos de reparación hasta en $200 000 por año. ¿Cuál es valor presente de estos ahorros en un período de cinco años, con una tasa de interés de 10% anual?
F=P ( 1+i )
n
F=P( F /P , i , n) P =200 000
F=200 000 (1+10 )5 F=200 000∗(1,61051)
F=200 000(F /P , 10 , 5) F=200 000(1,6105)
10%
F=?
F=322102
F=322100
2.22. Una recién graduada de ingeniería aprobó el examen de FI y recibió un aumento(al comienzo del primer año) de $2 000. Con una tasa de interés de 8% anual, ¿Cuál es el valor presente de los $2 000 cada año, si espera ejercer su carrera profesional durante 35 años?
F=P ( 1+i )
n
F=P( F /P , i , n)
P =200 000
F=2 000 ( 1+8 )35
F=2 000( F /P , 8 , 35) 10%
F=2 000∗(14,7853)
F=2 000(14,7853)
F=29 570,69
F=29 570,69
F=?
2.23. Southwestern Moving and storage quieren tener dinero suficiente para comprar un tractor camión nuevo dentro de tres años. Si la unidad costará $250 000 cada año, ¿Cuánto debe reservar cada año si la cuenta rinde 9% al año?
1 ( 1+i )n P=F ¿
P=F ( P/ F , i , n)
]
P=250 000 [
1 ] ( 1+ 9 )3
P=250 000( P /F , 9 , 3)
P=250 000 [
1 ] 1,295029
P=250 000( 0,7722)
P=250 000∗( 0,772183)
P=193 045,87
250 000
P=193 050 P=?
9%
2.24. Visión Technologies, Inc. Es una compañía pequeña que usa tecnología de banda ancha para desarrollar dispositivos capaces de detectar objetos (inclusive personas) dentro de los edificios, tras las paredes o bajo el piso. La empresa espera gastar $100 000 al año en mano de obra y $125 000 anuales en suministros, antes de que pueda comercializarse un producto. Con una tasa de interés de 15% anual, ¿Cuál es la cantidad futura equivalente total de los gastos de la compañía al final de tres años?
1 ( 1+i )n P=F ¿
P=F ( P/ F , i , n)
]
P=225 000 [
1 ] ( 1+ 15 )3
P=225 000 [
1 ] 1,520875
P=225 000( P /F ,15 ,3)
P=?000(0,6575) 15% P=225
P=147 941,15
P=225 000∗( 0,6575) P=147 941,15
VALORES DE FACTORES 2.25. Determine el valor numérico de los siguientes factores utilizando a) b)
Interpolación la formula apropiada
(P/F, 18%,33) (A/G, 12%,54)
a)
Interpolación
a c = b d
a c= d b
a=32; 0,0050 b=34 ; 0,0036
a c= d b c=
33−32 ( 0,0050−0,0036) 34−32
1 c= ( 0,0014) 2 c=0,0007 x=0,0050−0,0007
x=0,0043 b)
Formula
250 000
1 ( 1+i )n P=F ¿
P=F ( P/ F , i , n)
]
P=0,0043 [
1 ] ( 1+18 )33
P=0,0043( P /F ,18 , 33)
P=0,0043 [
1 ] 235,5625
P=0,0043 000( 0,0043) P=1,82541
P=0,0043∗(0,004245) P=1,82541 c)
Interpolación
a c = b d
a c= d b
a=50 ; 8,1597
b=55 ; 8,2251 a c= d b c=
54−50 (8,2251−8,1597) 55−50
1 c= ( 0,0654) 2 c=0,0327
x=8,2251−0,0327 x=8,1624 2.26. Calcule el valor numérico de los siguientes factores utilizando a) interpolación y b) la formula apropiada 1. (F/A, 19%, 20) 2. (P/A, 26%, 15)
R/. 166.688 R/. 3.74
GRADIENTE ARITMÉTICO 2.27. Una secuencia de flujo de efectivo inicia en el año 1 en 3 000 y aumenta en 1 000 cada año hasta el año 10 a) Calcule el valor del gradiente G, b) Determine la cantidad de flujo de efectivo en el año 8 y c) Encuentre el valor de n para el gradiente. años 1 2
Flujo 3 000 4 000
a)
G=
12000−3000 10−2
G=
9 000 8
3 4 5 6 7 8 9
5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 11 000
10
12 000
G=1 125 b)
F 8=F 1+ ( n−1 ) G F 8=3 000+ ( 8−1 )∗1 125 F 8=3 000+ ( 7 )∗1125 F 8=3 000+ ( 7 875 ) F 8=10 875
c)
F 8=F 1+ ( n−1 ) G 10 875=3 000+ ( n−1 )∗1125 (n−1)=
10 875−3 000 1 125
n=
10 875−3 000 −1 1 125
n=
7 785 −1 1 125
n=7−1
n=6 2.28. Cisco Systems espera ventas que se describen en la secuencia de flujo de efectivo dada por (6 000 + 5k), en la que k esta expresada en años y el flujo de efectivo en millones. Determine a) el valor del gradiente G, b) el monto de flujo de efectivo en el año 6 y c) el valor de n para el gradiente si el flujo de efectivo termina en el año 12. años 0 1 2 3 4
Flujo 6 000 6 005 6 010 6 015 6 020
G=?
5 6 7 8 9
6 025 6 030 6 035 6 040 6 045
10
6 050
11
6 055
12
6060
a)
G=
6 045−6 000 10−1
G=
45 9
G=5 b)
F 6=F 1+ ( n−1 ) G F 6=6 005+ ( 6−1 )∗5 F 6=6 005+ ( 5 )∗5 F 6=6 005+ ( 25 ) F 6=6 030
c)
F 12=F 1+ ( n−1 ) G F 12=6 005+ ( 12−1 )∗5 F 12=6 005+ ( 11 )∗5 F 12=6 005+ ( 55 ) F 12=6 060
2.29. Para la secuencia de flujo de efectivo que comienza en el año 1, expresada por la relación 900 – 100k, donde k representa los años 1 a 5, a) b)
años 1 2 3 4 5
Determine el valor del gradiente G, Calcule el flujo de efectivo en el año 5.
Flujo 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400
G=?
a)
G=
1 400−1 000 5−1
G=
400 4
G=100 b)
F 6=F 1+ ( 5−1 ) G F 6=1 400+ ( 5−1 )∗100 F 6=1 400+ ( 4 )∗100 F 6=1 400+ ( 400 ) F 6=1800
2.30. Omega Instruments presupuesto $300 000 anuales a fin de pagar ciertas partes de cerámica durante los próximos cinco años. Si la compañía espera que el costo de las partes se incremente de manera uniforme de acuerdo con un gradiente aritmético de $10 000 por año, ¿Cuál se espera que sea su costo en el año 1 si la tasa de interés es de 10% anual?
F=P ( P /F ,i , n ) +(P/G, i , n) F=300 00 ( P /F ,10 ,5 )+10 000 ( P/G, 10 , 1)
F=300 000 ( 0,6209 )+ 10 000(0) F=186 270 2.31. Chevron-texaco espera que los ingresos provenientes de posos stripper (aquellos que producen menos de 10 barriles diarios), disminuyan de acuerdo con un gradiente aritmético de $500 000 por año. Estos ingresos son anuales se espera sean de $280 000(es decir al final del año 1), y la compañía espera que la vida útil de los pozos sea de 5 años. a) ¿Cuál es el valor anual uniforme equivalente a los años 1 a 5 del ingreso que generan los pozos, con una tasa de interés del 12% anual?
PG=
( 1+i )n−i∗n−1 i2∗( 1+ i )n
PG=
( 1+12 )4−12 ∗4−1 12 2∗(1+12 )4
PG=
( 1+0,12 )4−0,12∗4−1 2 4 (0,12) ∗( 1+0,12 )
PG=
( 1,12 ) 4−0,48−1 2 4 (0,12) ∗( 1,12 )
PG=
1,57351936−0,48−1 (0,0144)∗1,57351936
PG=
0,09351936 0,022658678784
PG=4,12730 2.32. El ingreso por concepto de reciclado de camión en Fort Bliss se ha estado elevando a una tasa constante de $1 000 en cada uno de los tres últimos años. Si el de este año(es decir al final del año 1) se esperaba sea de $4 000, y la tendencia de incremento continua hasta el año 5, a) ¿Cuál será el ingreso dentro de tres años(es decir al final del año 3)?, y b) ¿Cuál es el valor presente del ingreso durante el periodo de cinco años, con una tasa de interés de 10% anual?
G=$1000 n=3
0 CF3=4000+(3-1)1000 CF3=4000+2000=6000
1 4000
2 5000
3 6000
4
7000
5
8000
2.33. Amazon estudia la adquisición de un sistema de computo avanzado para cubicar las dimensiones de un libro (medir su altura, longitud y ancho de modo que se use el tamaño adecuado de caja para enviarlo). Esto ahorrara material, cartón y mano de obra. Si el primer año los ahorros serán de $150 000 y de $160 000 en el segundo, y las cantidades se aumentan anualmente en $10 000 durante ocho años, ¿cuál es el valor presente del sistema, con una tasa de interés de 15% anual?
PG=G (P/G,i,n)=10000(12,4807)=$124807
0
1 150
2 160
3 170
4
180
5
190
2.34. West Coast marine & RV estudia la sustitución de los controladores de cable colgante de sus grúas más poderosas por nuevos controladores portátiles de teclado. La compañía espera tener ahorros de $14 000 es sus costos del primer año, y esta cantidad se incrementara anualmente $1 500 durante cada uno de los cuatro años próximos. Con una tasa de interés de 12% por año, ¿Cuál es el valor anual equivalente de los ahorros?
PG=G (P/G,i,n)=14000(4,1273)=$57782,2 0
1 14’0
2 15’5
3 17’0
4
18’5
2.35. Ford Motor Company puede reducir en 80% el costo requerido por instalar instrumentos para recabar datos en los vehículos de prueba por medio de usar transductores de potencia de giroscopio desarrollados por MTS. a) b)
a)
Si se espera que el costo en este año(es decir al final del año 1) sea de $2 000, ¿Cuál fue el costo el año anterior a la instalación de los transductores? Si se espera que incrementen por año $250 durante los cuatro años siguientes(es decir hasta el año 5), ¿Cuál es valor anual equivalente de los costos (año 1 a 5) con una tasa de interés del 18% anual?
Po=F ( P/ F , i , n)
Po=2 000(P/ F ,18 ,2) Po=2 000(0,7182)
Po=1 436,4
A=? -------i=18%----------
5
b)
AG =G(A /G ,i , n)
AG =250( P/ F , 18 , 5) AG =250(1,6728)
AG =2 418,2 2.36. Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, determine el valor de G, que hará que el valor futuro en el año 4 sea igual a$6 000 a una tasa de interés de 15% anual. Año Flujo de Efectivo
F=$6000
n=4
0 0
$6000=G
$6000=G
i=15%
[
1 $ 200
[( )( [( ) (
2 200 + G
n 1 ( 1+i ) −1 −n i i
1 15
(
)]
)]
4 200 + 3G
G=906,09
( 1+15 )4−1 −4 15
$ 6000 0,7490 ( 6,666 ) −4 0,15
3 200 + 2G
)]
=G
2.37. Una compañía farmacéutica importante pronostica que en los años por venir podría verse involucrada en litigios relacionados con los efectos colaterales que perciben en uno sus medicamentos antidepresivos. A fin de preparar fondos especialmente destinados para esto, la empresa quiere tener dinero disponible dentro de seis años, que hoy tiene un valor presente de $50 000 000. La compañía espera reservar $600 000 000 el primer año e incrementar esta cifra de manera uniforme en cada uno de los cinco años siguientes. Si la empresa espera obtener 12% anual sobre el dinero que reserve, ¿Cuánto debe incrementar cada año la cantidad reservada a fin de alcanzar su objetivo?
P=$50 000000 i=12% P=G(P/G,i,n); $50’=G(6,3970) G=7’816163,828
0
1
2
6’
3
12’
4
18’
5
24’
30’
2.38. Un fabricante de refacciones automotrices que comienza sus operaciones espera gastar $100 000 el primer año por concepto de publicidad, con cantidades que disminuyen $1 000 000 cada año por concepto de publicidad, con cantidades que disminuyen $100 000 cada año. Se espera que el ingreso sea de $4 000 000 el primer año y que aumente $500 000 anualmente. Determine el valor anual equivalente a los años 1 a 5 del flujo neto de efectivo de la compañía con una tasa de interés de 16% por año.
AT=4000+500(A/G, 16%,5) AT=4500(1,7060)=7’677000 Disminución=1’000000-100000*4 0
1 4’
2 4’5
3 5’
4
5’5
5
6’
Disminución = 600000 AT=7’077000
GRADIENTE GEOMETRICO 2.39. Suponga que le pidieran que prepare una tabla de factores (como la que se encuentra al final del libro) para calcular el valor presente de una serie de gradiente geométrico. Determine los tres primeros valores (es decir, para n=1,2 y 3) para una tasa de interés de 10% anual, y una tasa de incremento de g de 4% anual. n
(P/A, g, i, n)=
1+ g ) 1+i i+ g
1−(
(P/A, 4%, 10%, 1)=
(P/A, 4%, 10%, 2)=
(P/A, 4%, 10%, 3)=
1+0.04 1 ) 1+0.1 0.1+ 0.04
=
0.05454 =0.389571 0.14
1+0.04 2 ) 1+0.1 0.1+ 0.04
=
0.106115 =0.757964 0.14
1+0.04 3 ) 1+0.1 0.1+ 0.04
=
0.154873 =1.106235 0.14
1−(
1−(
1−(
2.40. Una ingeniera química que planea su jubilación depositara 10% de su salario cada año en un fondo accionario de alta tecnología. Si este año su salario es de $60 000 (es decir, al final del año 1) y espera que se incremente 4% cada año. ¿Cuál será el valor presente del fondo después de 15 años si rinde 4% anual?
P= A
[ ] n ( 1+i )
P=6 000
g=i
[ ] 15 ( 1,04 )
P=6 000
[
15 ( 1+0,04 )
]
P=6 000∗( 14,423 )
P=86 538,46 2.41. Se sabe que el esfuerzo que se requiere para mantener un microscopio electrónico de barrido se incrementa en un porcentaje fijo cada año. Una compañía de mantenimiento de equipos de alta tecnología ofrece sus servicios por una cuota de $25 000 para el primer año (es decir, al final del año 1), con incrementos de 6% anual a partir de entonces. Si una empresa de biotecnología desea celebrar un contrato de tres años para aprovechar las ventajas de ciertas exenciones fiscales temporales, ¿Cuánto debe estar dispuesta a pagar si usa una tasa de interés de 15% anual?
Pg=A (P/A, 6%, 15%, 3) =25000
1+ g n ) 1+i = i+ g
1−(
1+ 6 3 0.21688 1−( ) 1+15 25000 = 25000( )=25819.04 0.21 15 +6 0
1
2
25000
26500
3
4
28090
5
29775.4
31561.9
2.42. Hunghes Cable Systems planea ofrecer a sus empleados un paquete de mejoras salariales cuya componente principal es la participación en las utilidades. Específicamente, la compañía reservaría 1% de las ventas totales para los bonos de fin de año de todos sus trabajadores. Se espera que las ventas sean de $5 000 000 el primer año y de $6 000 000 el segundo año, con incrementos de 20% durante cada uno de los cinco años siguientes. Con una tasa de interés de 10% por año, ¿Cuál es el valor anual equivalente en los años 1 a 5 del paquete de bonos?
Para 5 000 000
P= A
[
1−
1+ g 1+ i i−g
n
( )
P=5 000 000
P=5 000 000
[ [
]
g≠I
5
1,2 1,1 −0,1
( )
1−
P=5 000 000
]
1−(1,545050) −0,1
P=5 000 000∗(5,450504)
[
1+0,2 1+0,1 0,1−0,2
(
1−
P=5 000 000
]
P=5 000 000
[
[
5
)
]
1−( 1,0909 ) −0,1
−0,545050 −0,1
]
P=27 252 520
Para 6 000 000
P= A
[
1−
1+ g 1+ i i−g
n
( )
]
g≠I
[ ]
1,2 1− 1,1 P=6 000 000 −0,1
5
( )
5
]
1−( 1,0909 )5 P=6 000 000 −0,1
]
P=6 000 000
[
1+ 0,2 1+ 0,1 0,1−0,2
1−
[
(
)
5
]
P=6 000 000
[
1−(1,545050) −0,1
P=6 000 000∗(5,450504 )
]
P=6 000 000
[
−0,545050 −0,1
]
P=32 703 024
2.43. Determine cuánto dinero habría en una cuenta de ahorros que comenzó con un depósito de $2 000 en el año 1, y cantidades posteriores que se incrementaban 10% cada año. Use una tasa de interés de 15% anual y un periodo de siete años.
P= A
[
1−
P=2 000
P=2 000
[ [
1+ g 1+ i i−g
n
( )
]
1,1 1,15 0,05
7
( )
1−
[
1+0,1 1+0,15 0,15−0,1
(
1−
7
)
]
g≠i
P=2 000
]
1−( 0,956521 )7 P=20 000 0,05
[
1−(0,732594938) 0,05
]
P=2 000
[
]
0,267405 0,05
]
P=10 696,2024
P=2 000∗(5,3481)
2.44. Se encontró que el valor futuro es el año 10 de una serie gradiente geométrica de flujos de efectivo era de $80 000. Si la tasa de interés fue de 15% por año, y de 9% la tasa anual de incremento, ¿Cuál fue el monto del flujo de efectivo en el año 1?
P= A
[
1−
P=80 000
P=80 000
1+ g 1+ i i−g
n
( )
[ [
]
1,09 1,15 0,06
1−
g≠I
P=80 000
]
P=80 000
1
( )
1−(0,947826) 0,06
P=80 000∗(0,8695666)
]
[ [
1+ 0,09 1 1+ 0,15 0,15−0,09
]
1−( 0,947826 ) 0,05
1
1−
(
P=80 000
)
[
]
0,052174 0,06
]
P=69 565,33
2.45. Thomasville Furniture Industries ofrece varios tipos de telas de alto rendimiento capaces de resistir productos químicos tan dañinos como el cloro. Cierta compañía manufacturera del oeste medio de los Estados Unidos que usa
la tela en varios de sus productos reporto que el valor presente de sus compras de este material durante un periodo de cinco años había sido de $900 000. Si se sabe que los costos se incrementaron en forma geométrica 5% por año durante ese periodo, y que la empresa usa una tasa de interés de 15% anual para sus inversiones, ¿Cuál fue el costo de la tela en el año 2?
A=
A=
A=
A=
P
[
1+ g 1− 1+ i i−g
n
( )
A=
]
900 000
[
900 000
[
1,05 1− 1,15 1,1
[
900 000 1−(0,83364839) 1,1
2
( )
A=
]
900 000 0,148651
1+ 0,05 1− 1+ 0,15 0,15−0,05
(
2
)
]
900 000
[
A=
]
]
1−( 0,9130 )2 1,1
[
900 000 0,1635161 1,1
]
A=6 054 449,68
2.46. Encuentre el valor presente de una serie de inversiones que comenzaron con $1 000 en el año 1 con incrementos anuales de 10% durante 20 años suponga que la tasa de interés es de 10% anual.
P= A
[ ] n ( 1+i )
P=1 000
g=i
[ ] 20 (1,1 )
P=1 000
[
20 (1+ 0,1 )
]
P=1 000∗( 18,18,18 )
P=18 181,8181 2.47. Una empresa de consultoría del norte de California quiere comenzar ahorrar dinero para reemplazar sus servicios de red. Si invierte $3 000 al final del año 1 e incrementa la cantidad invertida 5% cada año, ¿Cuánto habrá en la cuenta dentro de cuatro años si percibe intereses a una tasa de 8% anual?
A=
P
[
1−
1+ g 1+ i i−g
n
( )
]
A=
3 000
[
1+ 0,05 4 1+ 0,08 0,08−0,05
1−
(
)
]
A=
A=
A=
3 000
[
1 , 05 1− 1,08 0,03
[
3 000 1−( 0,94521604 ) 0,03
2
( )
A=
]
3 000
[
A=
]
3 000 1,826132
1−( 0,972222 )2 0,03
[
]
3 000 0,05478396 0,03
]
A=1 642,8166
2.48. Una compañía que fabrica monitores de sulfuro de hidrogeno purgables planea realizar depósitos de dineros de manera que cada uno sea 5% mayor al anterior. ¿De cuánto debe ser el primer deposito que haga (al final del año 1) si estos se extienden hasta el año 10 y el cuarto de ellos es de $1 250? Emplee una tasa de interés de 10% anual.
A=
A=
A=
A=
P
[
1−
1+ g 1+ i i−g
n
( )
A=
]
1 250
[
1+ 0,05 1+ 0,1 0,1−0,05
1−
(
1250
[
1,05 1− 1,1 0,05
[
1 250 1−(0,62800939) 0,05
10
( )
1 250 7,4398121
A=
] ]
10
)
]
1250
[
1−( 0,954545 )10 0,05
A=
[
1 250 0,371990 0,05
]
]
A=168, 015 TASA DE INTERSES Y TASA DE RENDIMINENTO
2.49. Que tasa de interés compuesto anual es equivalente a 12% de interés simple anual, durante periodo de 15 años.
1 1 n P/F= ( (1+i) ) = ( (1+12 )15 ) =0.1826*100=18.26%
2.50. Una empresa de consultoría en ingeniería que cotiza en la bolsa paga un bono a cada ingeniero al final del año con base en la utilidad que se obtiene durante ese periodo. Si la inversión inicial de la compañía fue de $1 200 000, ¿Qué tasa de rendimiento ha obtenido sobre su inversión si el bono de cada ingeniero ha sido de $3 000 por cada uno de los 10 últimos años? Suponga que la empresa tiene seis ingenieros y que el fondo monetario representa 5% de la utilidad de la compañía. Δ Utilidades = 1 200 000 – 3 000 Δ Utilidades = 1 197 000/5% Δ Utilidades = 239 400 P=1 200 000 F= 239 400
TR=
Interes acumulado por unidad de tiempo x 100 cantidad original
TR=
239 400 x 100 1 200 00
TR=(0,1995)x 100 TR=19,95 2.51. Danson Iron Works, Inc. fabrica cojinetes esfericos angulares para bombas que operan en ambientes hostiles. Si la compañía invirtió $2 400 000 en un proceso que dejo utilidades de $760 000 anuales durante cinco años, ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la compañía sobre su inversión? P=2 400 000 F= 760 000
TR=
Interes acumulado por unidad de tiempo x 100 cantidad original
TR=
760 000 x 100 2 400 00
TR=(0,3166666) x 100 TR=31,67 2.52. Una inversión de $600 000 se incremento a $1 000 000 en un periodo de cinco años. ¿Cuál fue la tasa de rendimiento sobre la inversión?
F=P∗(1+i) F i= −1 P
i=
1000 000 −1 600 000
i=1,666−1
i=0,666∗100 i=67 2.53. Una compañía pequeña que se especializa en recubrimientos en polvo expandió su edificio y compro un nuevo horno que tiene el tamaño suficiente para tratar carrocerías de automóvil. El edificio y horno costaron $125 000, pero un negocio nuevo de rodillos calientes ha incrementado su ingreso anual en $520 000. Si los gastos de operación de gas, materiales, mano de obra, etc., tienen un importe de $470 000 por año, ¿Qué tasa de rendimiento se obtendrá sobre la inversión si en el cálculo solo se incluyen los flujos de efectivo que tienen lugar durante los cuatro años siguientes? Inv = 125 000 Ing = 520 000 Go = 470 000
n = 4 años
¿−125 000−470 000 (P / A ; i ; 4)+520 000( P / A ; i ; 4)
125 000=50 000( P / A ; i ; 4) (P/ A ; i; 4 )=
125 000 50 000
(P/ A ; i; 4 )=
125 000 50 000
i=22
(P/ A ; i; 4 )=2,5
2.54. El plan de negocios para una compañía que inicia, dedicada a la fabricación de detectores portátiles de gases múltiples tiene flujos anuales de efectivo equivalentes a $400 000 para los cinco primeros años. Si el flujo de efectivo en el 1 año fue de $320 000 y el incremento posterior fue de $50 000 por año, ¿Qué tasa de interés se uso en el cálculo? Inga = 400 000 Ing = 320 000 Go = 50 000 n = 5 años
¿ 420 000+50 000(P / A ; i ; 5)−320 000( P/ A ; i; 5)
−420 000=−27 0 000(P / A ; i ; 5) (P/ A ; i; 5)=
−420 000 −270 000
( P/ A ; i ; 5)=
420 000 270 000
(P/ A ; i; 5)=1,6
i=50
2.55. Una compañía nueva que fabrica arrancadores suaves de voltaje medio gasto $85 000 para construir un sitio web nuevo. El ingreso neto fue de $60 000 el primer año, con un incremento de $15 000 anuales. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la compañía en sus primeros cinco años? Inv = 85 000 Ing = 60 000 Go = 15 000 n = 5 años
¿−85 000−15 000( P / A ; i ;5)+60 000(P / A ; i ; 5) 85 000=45 000( P/ A ; i; 5)
(P/ A ; i; 5)=
85 000 45 000
( P/ A ; i ; 5)=2
i=40 NUMERO DE AÑOS 2.56. Una empresa productora de válvulas de control de plástico tiene un fondo de $500 000 para remplazo de equipo. Si la compañía gasta $75 000 por año en equipo nuevo, ¿Cuántos años tomara reducir el fondo a menos de $75 000 con una tasa de interés de 10% anual? Gastos = 75 000 Ing = 500 000 i=10%
¿−75 000+ 500000 ( P/ A ; i ; n)
75 000=500 000( P / A ; 10 ; n) (P/ A ; 10 ; n)=
75 000 500 000
(P/ A ; 10 ; n)=0,15
n=1año 2.57. La empresa A&E estudia la compra por medio de arrendamiento a largo plazo del edificio que ocupa actualmente, ya que el propietario del inmueble lo puso a la venta súbitamente. El edificio se ofrece a un precio de $170 000. Como el arrendamiento de este año ya se pago, el siguiente pago anual de $30 000 no se realizara sino hasta el término de este año. Debido a que la empresa A&E ha sido un buen inquilino, el propietario ofreció
venderle el edificio en $160 000. Si la compañía lo compra sin enganche, ¿Cuánto tiempo pasara antes de que recupere su inversión con una tasa de interés de 12% anual?
P= A
[ ] n ( 1+i )
[
160 000∗(1+12 ) 3 000
[
160 000∗(1,12) 3 000
[
179 200 3 000
n=
n=
n=
[
P∗(1+i) A
[
160 000∗(1+ 0,12) 3 000
n=
]
n=
]
[
n=
]
]
179 200 3 000
]
]
n=59 Años
2.58. Una ingeniera que invirtió muy bien planea jubilarse ahora porque tiene $2 000 000 en su cuenta de ahorros para su retiro. ¿En cuánto tiempo podrá retirar $100 000 anuales (el año 1 comienza a partir de ahora) si su cuenta gana intereses a una tasa de 4% anual. A = 2 000 000
F= 100 000
i=4%
F=A (F / A ;i ; n)
(F / A ; 4 , n)=
[
100 000 2 000 000
100 000=2 000 000(F / A ; 4 ; n)
]
(F / A ; 4 , n)=0,0
5
n=1año 2.59. Una compañía que manufactura sensores de viento ultrasónico invirtió $1 500 000 hace dos años para adquirir parte de la propiedad de una compañía innovadora fabricante de chips, ¿Cuánto tomara (a partir de la inversión inicial) para que su participación en dicha empresa genere un valor de $3 000 000 si esta crece a una tasa de 20% anual? P = 1 500 000
A = 3 000 000
i=20%
P= A( P / A ; i ; n)
(P/ A ; 20 , n)=
n=1a ñ o
[
1 500 000 3 000 000
1500 000=3 000 000( P/ A ; 20 ; n)
]
(P/ A ; 20 , n)=0,
5
2.60. Un ingeniero mecánico planea jubilarse cuando tenga $1 600 000 en su cuenta corretaje. Si comenzó con $100 000 en la cuenta, ¿Cuánto tiempo pasara (a partir del momento en que comenzó) antes de que pueda jubilarse si la cuenta tiene una tasa de rendimiento de 18% anual? F = 1 600 000
P = 100 000
i=18%
F=P( F /P ; i ; n)
(F /P ; 18 , n)=
[
1600 000=100 000(F /P ; 18 ; n)
1 600 000 100 000
]
(F /P ; 18 , n)=16
n=17 año 2.61. ¿Cuántos años tomara para que un deposito uniforme anual de tamaño A acumule 10 veces el monto de un solo deposito si la tasas de rendimiento es de 10% anual?
10A = A (F/A, 10%, n) (F/A, 10%, n) = 10.000 2.62. ¿Cuántos años se requieren para que una inversión de $10 000 en el año 1 con incrementos de 10% anual tenga un valor presente de $1 000 000 con una tasa de interés de 7% anual?
A= 10 000
P= 1 000 000
i=7%
g= 10%
P= A
[
1−
1+ g 1+ i i−g
n
( )
1 000000=10 000
( 0,943925 )n=
{[
] [
g≠I
1,01 1,07 −0,03
1 000000=10 000
n
( )
1−
]
]
[
1+0,1 1+0,07 0,07−0,1
(
1−
[
n
)
]
1−( 0,943925 )n 1 000000=10 000 −0,03
}
1 000000 ∗( 0,03 ) +1 10 000
( 0,943925 )n= { [ 100 ]∗( 0,03 ) } +1
( 0,943925 )n= {3 }+ 1
( 0,943925 )n=2
nlog (0,943925)=log ( 2)
n=
log2 log0,943925
]
n=
2 0,943925
n=2años
2.63. Se dijo a una persona que cierta secuencia de flujo de efectivo había comenzado con $3 000 en el año 1 con incrementos de $2 000 cada año. ¿Cuántos años son necesarios para que el valor anual equivalente de la secuencia sea de $1 200, con una tasa de interés de 10% anual? F = 1 600 000 P = 100 000 i=18%
F=P( F /P ; i ; n)
(F /P ; 18 , n)=
n=17 año
[
1 600 000 100 000
1600 000=100 000(F /P ; 18 ; n)
]
(F /P ; 18 , n)=16
