Nombre: Xavier Naula Yanza
Fecha: 21/09/2015
EJERCICIOS RESUELTOS DEL LIBRO DE FUNDAMENTOS DE ROBOTICA – BARRIENTOS CAPITULOS 3,4 Y 6 DOCENTE CARRERA SEDE
ING. TEDDY NEGRETE PEÑA INGENIERÍA ELÉCTRICA GUAYAQUIL
EJERCICIOS RESULTOS CAPITULO # 3 HERRAMIENTAS MATEMATICAS PARA LA LOCALIZACION ESPACIAL Matrices de transformación homogénea Ejercicio 3.1.- según la figura 3.11 el sistema O´UVW esta trasladado un vector p (6,-3,8) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (Rx, Ry, Rz) del vector R cuyas coordenadas con respecto al sistema O´UVW son R uvw (-2, 7, 3).
1
P = pxi + pyj + pzk
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 T (p) = [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001 𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001
𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1
𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1
1 0 0 6 −2 4 010−3 4 7 [ ] [ ]= [ ] 001 8 3 11 000 1 1 1
𝑟𝑥 + 𝑝𝑥 𝑟𝑦 + 𝑝𝑦 [ ] 𝑟𝑧 + 𝑝𝑧 1
Ejercicio 3.2 Calcular el vector r´xyz resultante de trasladar al vector r xyz (4,4, 11) según la transformación T(p) con p(6, -3, 8).
P = pxi + pyj + pzk
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 T (p) = [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001
2
𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1
𝑟𝑥 + 𝑝𝑥 𝑟𝑦 + 𝑝𝑦 [ ] 𝑟𝑧 + 𝑝𝑧 1
𝑟´𝑥 𝑟´𝑦 [ ]= 𝑟´𝑧 1
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001
𝑟´𝑥 𝑟´𝑦 [ ]= 𝑟´𝑧 1
100 6 4 10 010−3 4 1 [ ] [ ]= [ ] 0 0 1 8 11 19 000 1 1 1
Ejercicio 3.4 Un sistema OUVW ha sido girado 90° alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p (8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas r uvw (-3, 4, -11).
P = pxi + pyj + pzk
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 T (p) = [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001
1 0 0 0 cos α − 𝑠𝑒𝑛 α T (x, α) = [ 0 𝑠𝑒𝑛 α cos α 0 0 0
1 0 0 0 cos α − 𝑠𝑒𝑛 α T ((x, α), p) = [ 0 𝑠𝑒𝑛 α cos α 0 0 0
3
𝑝𝑥 𝑝𝑦 ] 𝑝𝑧 1
0 0 ] 0 1
𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1
1 0 [ 0 0
0 0 8 −3 5 0−1−4 4 7 ][ ]= [ ] 1 0 12 −11 16 0 0 1 1 1
Ejercicio 3.5 Un Sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8, -4, 12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90° alrededor del eje OXYZ y girado alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx, ry,rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3, 4, -11).
P = pxi + pyj + pzk
1 0 0 𝑝𝑥 0 1 0 𝑝𝑦 T (p) = [ ] 0 0 1 𝑝𝑧 0001
1 0 0 0 cos α − 𝑠𝑒𝑛 α T (x, α) = [ 0 𝑠𝑒𝑛 α cos α 0 0 0
0 0 ] 0 1
1 0 0 𝑝𝑥 0 cos α − 𝑠𝑒𝑛 α 𝑝𝑦𝑐𝑜𝑠 α − pzsenα T (p, (x, α)) = [ ] 0 𝑠𝑒𝑛 α cos α 𝑝𝑦𝑠𝑒𝑛α + pzcosα 0 0 0 1 𝑟𝑥 𝑟𝑦 [ ]= 𝑟𝑧 1 4
1 0 [ 0 0
0 0 8 −3 5 0 − 1 − 12 4 −1 ][ ]= [ ] 1 0 − 4 −11 0 0 0 1 1 1
Ejercicio 3.6 Se requiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema O´UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90° alrededor del eje OX; de una traslación de vector pxyz (5,5,10) y un giro de 90° sobre el eje OZ.
T=T(z, 𝜃)T(y, 𝜙)T(x, 𝛼)= 𝐶𝜃 − 𝑆𝜃 0 𝑆𝜃 𝐶𝜃 0 [ 0 0 1 0 0 0 𝐶𝜙𝐶𝜃 𝑆𝜃𝐶𝜙 =[ −𝑆𝜙 0
0 𝑆𝜙 0 𝐶𝜙 0 0 1 0 ][ 0 −𝑆𝜙 0 𝐶𝜙 1 0 0 0
0 1 0 0 ][ 0 0 1 0
− 𝑆𝜃𝐶𝛼 + 𝐶𝜃𝑆𝜙𝑆𝛼 𝐶𝜃𝐶𝛼 + 𝑆𝜃𝑆𝜙𝑆𝛼 𝐶𝜙𝑆𝛼 0
0 0 𝐶𝛼 − 𝑆𝛼 𝑆𝛼 𝐶𝛼 0 0
0 0 ]= 0 1
𝑆𝜃𝑆𝛼 + 𝐶𝜃𝑆𝜙𝐶𝛼 𝐶𝜃𝑆𝛼 + 𝑆𝜃𝑆𝜙𝐶𝛼 𝐶𝛼𝐶𝜙 0
0 0 ] 0 1
T=T(z, 90°)T(p)T(x,−90°)= 0−100 1 0 0 5 1 000 1 000 0 1 0 5 0 010 [ ][ ][ ]= 0 0 1 0 0 0 1 10 0 − 1 0 0 0 001 0 0 0 1 0 001
0 0 −1 −5 1 0 0 5 [ ] 0 − 1 0 10 0 0 0 1
Ejercicio 3.7 Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo de referencia: traslación de un vector pxyz(-3, 10,10); giro de -90° sobre el eje O´U del sistema trasladado y giro de 90° sobre el eje O´V del sistema girado. Se escogen las materias básicas correspondientes y se componen en orden inverso al ejemplo anterior.
T=T(z, 𝜃)T(y, 𝜙)T(x, 𝛼)=
5
𝐶𝜃 − 𝑆𝜃 0 𝑆𝜃 𝐶𝜃 0 [ 0 0 1 0 0 0
0 𝑆𝜙 0 𝐶𝜙 0 0 1 0 ][ 0 −𝑆𝜙 0 𝐶𝜙 1 0 0 0
𝐶𝜙𝐶𝜃 𝑆𝜃𝐶𝜙 =[ −𝑆𝜙 0
0 1 0 0 ][ 0 0 1 0
− 𝑆𝜃𝐶𝛼 + 𝐶𝜃𝑆𝜙𝑆𝛼 𝐶𝜃𝐶𝛼 + 𝑆𝜃𝑆𝜙𝑆𝛼 𝐶𝜙𝑆𝛼 0
0 0 𝐶𝛼 − 𝑆𝛼 𝑆𝛼 𝐶𝛼 0 0
0 0 ]= 0 1
𝑆𝜃𝑆𝛼 + 𝐶𝜃𝑆𝜙𝐶𝛼 𝐶𝜃𝑆𝛼 + 𝑆𝜃𝑆𝜙𝐶𝛼 𝐶𝛼𝐶𝜙 0
0 0 ] 0 1
T=T(z,−90°)T(p)T(x,90°)= 1 0 [ 0 0
0 1 0 0
0 −3 1 0 0 10 0 0 ][ 1 10 0 − 1 0 1 0 0 0 0 −1 0 = [ 0 −1 0 0
0 0 0 1 0 0 ][ 0 0 −1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0 ] 0 0 0 1
1 −3 0 10 ] 0 10 0 1
Ejemplo 3.8 Obtener el cuaternio que representa una rotación de 90° sobre el eje k (3, -2, 1). Q = Rot (k,
𝜃 )= (𝑐𝑜𝑠𝜃2 ), 𝑘 (𝑠𝑒𝑛𝜃2 )
Q = Rot (k,
90°) = (√22), 3 (√22), 2 (√22), (√22)
Ejemplo 3.9 Obtener el vector r´ resultante de aplicar la misma rotación del ejercicio 3.8 Rot (k,90°) donde k(3, -2, 1), sobre el vector r(5, 2, -6).
R´ = (√2 ), 3 (√2 ), 2 (√2 ), (√2 ) ◦ (0, 5, 2,-6) ◦ (√2 ), 3 (√2 ), 2 (√2 ), (√2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
6
CINEMATICA DEL ROBOT Ejemplo 4.1 Con el fin de ilustrar el método expuesto anteriormente, se va a desarrollar a continuación la resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico. En primer lugar, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot, con los que se construye. Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices A, sustituyen en la expresión general de la siguiente manera:
𝐶1 − 𝑆1 0 𝑆1 𝐶1 0 °A1 = [ 0 0 1 0 0 0 1 0 2A3 = [ 0 0
0 0 ] 𝐼1 1
0 0 0 1 0 0 ] 0 1 𝑑3 0 0 1
0 1 1A2 = [ 0 0
0 1 0 0 0 0 ] 1 1 𝑑2 0 0 1
𝐶4 − 𝑆4 0 𝑆4 𝐶4 0 3A4 = [ 0 0 1 0 0 0
0 0 ] 𝐼4 1
T = 0A1 1A2 2A3 3A4
−𝑆1𝐶4 𝐶1𝐶4 =[ 𝑆4 0 Articulación 1 2 3 4 5 6
7
𝑆1𝑆4 − 𝐶1𝑆4 𝐶4 0 𝜃 𝜃1 𝜃2 𝜃3 − 90 𝜃4 𝜃5 𝜃6
𝐶1 𝑆1 0 0
𝐶1(𝑑3 + 𝐼4) 𝑆1(𝑑3 + 𝐼4 ) ] 𝑑2 + 𝐼1 1
d
A
𝛼
0
0
-90
I1
0
90
0
-I2
90
I3
0
-90
0
0
90
I4
0
0
Ejemplo 4.2 Se va a desarrollar a continuación la resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB6400C. En primer lugar, y siguiendo el algoritmo de Denavit-Hatenberg, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hatenberg del robot, con los que se construye la tabla. Se calculan ahora las matrices A, sustituyendo en la expresión general de la siguiente manera:
𝐶1 0 − 𝑆1 0 𝑆1 0 𝐶1 0 °A1 = [ ] 0 −1 0 0 0 0 0 1
𝐶2 𝑆2 1A2 = [ 0 0
𝑆3 0 − 𝐶3 − 𝐼2𝑆3 −𝐶3 0 − 𝑆3 𝐼2𝐶3 2A3 = [ ] 0 1 0 0 0 0 0 1
𝐶5 𝑆5 3A4 = [ 0 0
8
0 0 1 0
𝑆5 − 𝐶5 0 0
0 0 ] 0 1
0 𝑆2 0 0 − 𝐶2 0 ] 1 1 𝐼1 0 0 1
𝐶4 0 − 𝑆4 0 𝑆4 0 𝐶4 0 3A4 = [ ] 0 − 1 0 𝐼3 0 0 0 1
𝐶6 − 𝑆6 0 0 𝑆6 𝐶6 0 0 3A4 = [ ] 0 0 1 𝐼4 0 0 0 1
T = 0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6 =
Nx= (C1C2S3+S1C3) C1C2C3+S1S3) S5C6
𝑛𝑥 𝑜𝑥 𝑎𝑥 𝑝𝑥 𝑛𝑦 𝑜𝑦 𝑎𝑦 𝑝𝑦 [ ] 𝑛𝑧 𝑜𝑧 𝑎2 𝑝𝑧 0 0 0 1
(C4C5C6-S4S6)
+C1S2
(S4C5C6+C4S6)
+
NY=(-S1C2S3+S1C3)(C4C5C6-S4S6)+S1S2(S4C5C6+C4S6)+(-S1C2C3C1S3)S5C6 NZ= (-S2S3)(C4C5C6-S4S6)+C2(S4C5C6+C4S6)+S2C3S5C6 OX=(C1C2S3+S1C3)(-C4C5C6-S4S6)+C1S2(-S4C5C6+C4S6)+(C1C2C3+S1S3)(-S5C6) OY=(-S1C2S3+S1C3)(-C4C5C6-S4S6)+S1S2(-S4C5C6+C4S6)+(-S1C2C3C1S3)(-S5C6) OZ= (-S2S3)(-C4C5C6-S4S6)+C2(-S4C5C6+C4S6)+S2C3(-S5C6)
9
(-
PX=(C1C2S3+S1C3)(I4C4S5)+C1S2(I4S4S5)+(C1C2C3+S1S3)(-I4C5+I3)+(I2C1C2S3-I2S1C3-I1S1) PY= (-S1C2S3-C1C3)(I4C4S5)+S1S2(I4S4S5)+(-C1C2C3-C1S3)(-I4C5+I3)+(I2S1C2S3-I2C1C3+I1C1) PX=(-S2S3)(I4C4C5)+C2(I4S4S5)+S2C3(-I4C5+I3)+I2S2S3 Ejercicio 4.3 Se va a obtener la matriz jacobiana del robot SCARA de la figura. El problema cinemático directo viene determinado por las ecuaciones. X= I3C12 + I2C1 Y= I3S12 + I2S1 Z= I1 – Q3
𝑞̇ 𝑋̇ 𝛿𝑓𝑥 . ̇𝑌 𝛿𝑞1 . 𝑍̇ =J . con J = ⋮ 𝛼̇ . 𝛿𝑓𝑦 𝛽̇ . [𝛿𝑞1 [ 𝛾̇ ] [𝑞𝑛̇]
⋯ ⋱ ⋯
𝑋̇ [𝑌̇ ]= 𝑍̇
3(𝐼3𝑆12 + 𝐼2𝑆1) − 𝐼3𝑆12 0 𝑞1̇ [ 𝐼3𝐶12 + 𝐼2𝐶1 𝐼3𝐶12 0 ] [𝑞2̇] 0 0 − 1 𝑞3̇
Q1=
𝜋 6
𝑟𝑎𝑑
𝜋 𝑞1̇ = 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2
Q2=
𝜋 4
𝛿𝑞𝑛
⋮
𝛿𝑓𝑦
𝛿𝑞𝑛]
Q3= 0,75m.
𝑟𝑎𝑑
𝜋 𝑞2̇ = 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2
𝜋̇
𝑞3̇ = 1𝑚/𝑠
̇ −1,465 − 0,965 0 2 𝑋̇ −3.81 [𝑌̇ ]= [ 1,124 0.258 0 ] 𝜋̇ = [ 2.17 ] 0 0 −1 2 −1 𝑍̇ [1̇]
10
𝛿𝑓𝑥
𝜋̇
̇ −1,36 − 0,5 0 2 𝑋̇ −2.92 [𝑌̇ ]= [−0.366 − 0.866 0] 𝜋̇ = [−1.935] 0 0 −1 2 −1 𝑍̇ [1̇] 𝑞̇ . . J . . . [𝑞𝑛̇]
= 𝐽−1
𝑋̇ . . . . . [𝑌̇ ]
𝛿𝑓1 𝛿𝑥
⋮
𝛿𝑓𝑛
[ 𝛿𝑥
⋯
𝛿𝑓1
⋱ ⋯
⋮
𝛿𝑦 𝛿𝑓𝑛 𝛿𝑦
]
Ejemplo 4.4 Para el robot SCARA del que se obtuvo la matriz Jacobiana en el ejemplo anterior se tiene que:
−(𝐼3𝑆12 + 𝐼2𝑆1) − 𝐼3𝑆12 0 J =[ 𝐼3𝐶12 + 𝐼2𝐶1 𝐼3𝐶12 0] 0 0 −1 Por el jacobiano será:
|J| = -[-I3C12(I3S12+I2S1)+I3S12(I3C12+I2C1)] I3C12(I3S12+I2S1)=I3S12(I3C12+I2C1) I3C1(I3S1+I2S1)= I3S1(I3C1+I2C1)
11
12
