Ejercicios Resueltos - Mecanica de Laminados-libre

Estructuras de Materiales Compuestos

Mecánica de

Lamin Lam inad ados os - Ej Ejer ercic cicio ioss

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

Ejercicio 1 •

Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado crossply [0/90]s sometido a un esfuerzo axil Nx=100KN/m.

Nx Nx

E1  160GP a E2  8GP a G12  4.5GP a  12

Espesor de lámina individual

t = 0.2mm

 0.3 Curso 2012

Facultad Faculta d de Ingeniería Ingeniería - UNLP

2


Ejercicio 1 Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson Poisson utilizand utilizando o la relación: relación: 21

  12

E2 E1

 0.015

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)  E1 1    12 21    12 E2 Q    1  1221  0  

 12 E2

1  1221 E2 1  1221 0



0 

 160.72 2.41 0     0   2.41 8. 8.04 0 GP a     0 0 4.5  G12    Curso 2012


3


Ejercicio 1 El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. En este caso solamente solamente hay láminas láminas 0° y 90°

160.72 2.41 0  Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GP a   1 4  0 0 4.5 Q   Q   T  90   2 3

1

1

Q   R T  90    R

0  8.04 2.41   2.41 160.72 0  GP a  0 0 4.5

Curso 2012


4


Ejercicio 1 Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D. n

 A    hk  hk 1  Q  k k 1

h h  B    2 k 1  n

2 k

2 k 1

  Q  k 

  N   A   M   B

0   B        D     

 hk3  hk 31   D     Q  k 3 k 1   n

Curso 2012

Facultad de Ingeniería - UNLP

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Ejercicio 1 Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

  N   A   M   0

0    0       D    

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados 0

 N   A  M    D   Curso 2012


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Ejercicio 1 Al no haber momentos aplicados, las curvaturas del plano medio resultan nulas  M x  0  Dxx      M  y   0   Dxy  M  0  D  xy     xs

Dxy

Dxs    x 

Dyy

Dys    y    xy Dss    

Dys



  x  0       y   0   0  xy   



Con la matriz A podemos determinar las deformaciones del plano medio.

 Nx   Axx     N y    Axy N   A  xy   xs

Axy Ayy Ays

Axs    x0 

 0  Ays    y   0  Ass   xy  Curso 2012


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Ejercicio 1 La matriz A se calcula a partir de la siguiente suma: 4

 A   tk Q  k  t1 Q 1  t2 Q  2  t3 Q 3  t4 Q 4 k 1

Como el espesor de todas las láminas es igual 4

 A   tk Q  k  t  Q 1  Q  2  Q 3  Q  4   2t  Q 1  Q 2  k 1

 160.72 2.41 0   0  8.04 2.41   GPa   2.41 160.72 0  GPa   A 2 * 0.0002 m 2.41 8.04 0         0   0 0 4.5 0 4.5   67.5 1.93 0   A  1.93 67.5 0  MPa .m  0 0 3.6 Curso 2012


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Ejercicio 1 Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial

  x0   Nx  100  67.5 1.93 0      1.93 67.5 0  MPa .m   0  0 0 KN / m        y   0  0   0    0 0 3.6        xy  Explícitamente

  x0   0.00148   0     y   0.000042  0    0   xy  

100000  67.5*106  x0  1.93*106  y0 0  1.93 *106  x0  67.5 *106  y0 0 0  3.6*106  xy

Curso 2012


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Ejercicio 1 Las deformaciones de todo el laminado están determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio

 x, y, z   x0  x, y  zkx  x, y 0  y  x, y, z    y  x, y   zky  x, y  0  xy  x, y, z    xy  x, y   zkxy  x, y  x

  x0   0.00148   0     y   0.000042  0    0   xy  

  x  0       y   0   0  xy   

Curso 2012


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Ejercicio 1 En ausencia de curvaturas, las deformaciones de todas las láminas son iguales

 x, y, z   0.00148  y  x, y, z   0.000042  xy  x, y, z   0  x

Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina k

k

   Q  k   Curso 2012


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Ejercicio 1 Podemos calcular las tensiones de cada lámina, pero las deformaciones de todas las láminas son iguales, y la matriz Q de las láminas 1 y 4 son iguales 160.72 2.41 0   0.00148  237  1 4 1  2.41 8.04 0  GPa 0.000042    3  MPa      Q         1              0 0 4.5 0    0 

Las matrices de rigidez de las láminas 2 y 3 son idénticas 0  8.04 2.41  0.00148  12  2 3 2  2.41 160.72 0  GPa 0.000042   3 MPa     Q          2           0  0 0 4.5 0    

Curso 2012


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Ejercicio 1 Podemos graficar las tensiones presentes en el laminado Z 237MPa

Nx

237MPa 12MPa

12MPa

12MPa

12MPa

Nx

X

237MPa

237MPa

Z 3MPa

3MPa

-3MPa

-3MPa

-3MPa

-3MPa

3MPa

Y

3MPa

Curso 2012


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Ejercicio 1 Las tensiones en los ejes materiales de cada lámina se calculan rotando las tensiones calculadas anteriormente

1 0 0  237  237  1 4 1        '   '  T (0)   0 1 0   3    3  MPa 0 0 1   0   0 

0 1 0 12  3 2 3 2        '   '  T (90)   1 0 0 3  12  MPa 0 0 1   0   0 

Curso 2012


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Ejercicio 1 Las tensiones principales de cada lámina se muestran en la siguiente figura 2

1 237MPa

1y4

12MPa

1

2 2y3 Y

3MPa

-3MPa

X

Curso 2012


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Ejercicio 2 •

Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado [0/+45/-45]s sometido a un momento Mx=50Nm/m.

Mx

Mx

E1  160GPa E2  8GPa G12  4.5GPa  12

Espesor de lámina individual

t = 0.2mm

 0.3 Curso 2012


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Ejercicio 2 Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación: 21

  12

E2 E1

 0.015

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)  E1 1    12 21    12 E2 Q    1  1221  0  

 12 E2

1  1221 E2 1  1221 0



0 

 160.72 2.41 0     0   2.41 8.04 0 GPa     0 0 4.5  G12    Curso 2012


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Ejercicio 2 El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. 160.72 2.41 0  Q   Q   Q    2.41 8.04 0  GPa   1 6  0 0 4.5

Q   Q   T  45 2 5

Q   Q   T  45 3 4

1

1

 47.9 38.9 38.2  38.9 47.9 38.2 GPa 38.2 38.2 41 

1

Q R T  45  R

1

Q R T  45  R

 47.9 38.9 38.2   38.9 47.9 38.2 GPa  38.2 38.2 41 

Curso 2012


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Ejercicio 2 Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D. n

 A    hk  hk 1  Q  k k 1

h h  B    2 k 1  n

2 k

2 k 1

  Q  k 

  N   A   M   B

0   B        D     

 hk3  hk 31   D     Q  k 3 k 1   n

Curso 2012


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Ejercicio 2 Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

  N   A   M   0

0    0       D    

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados 0

 N   A  M    D   Curso 2012


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Ejercicio 2 Las curvaturas del plano medio estarán dadas por la matriz D y los momento aplicados  M x  50  Dxx       M y    0    Dxy M   0   D  xy     xs

Dxy

Dxs    x 

Dyy

Dys    y    Dss   xy 

Dys





En ausencia de esfuerzos axiles o de corte, las deformaciones normales y distorsión del plano medio serán nulas  Nx  0  Axx       N y   0   Axy  N  0   A  xy     xs

Axy

Axs    x0 

Ayy

Ays    y0    xy0  Ass   

Ays





Curso 2012

  x0  0   0     y   0  0  0  xy   


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Ejercicio 2 La matriz D se calcula a partir de la siguiente suma: 4

hk3  hk 31

k 1

3

 D  

Q   k

h13  h03 3

 Q  1

h23  h13 3

Q   2

h33  h23 3

Q   3

h43  h33 3

Q   4

h53  h43 3

Q   5

h63  h53 3

Q 6

Las coordenadas hk serán Z

h0 t

K

Z

Z [m]

0

-3t

-0.0006

N/A

1

-2t

-0.0004

5.06e-11

2

-t

-0.0002

1.87e-11

3

0

0

2.67e-12

4

t

0.0002

2.67e-12

5

2t

0.0004

1.87e-11

6

3t

0.0006

5.06e-11

Curso 2012


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Ejercicio 2 Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial

  x  M x  50 18.3 1.9 1.2       1.9 2.9 1.2  Pa .m3    0 0 Nm / m        y    0  0     1.2 1.2 2.2        xy  Explícitamente 50  18.3 x  1.9 y  1.2 xy

  x   2.95     1   y   1.64    0.72  m   xy  

0  1.9 x  2.9 y  1.2 xy 0  1.2 x  1.2 y  2.2 xy

Curso 2012


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Ejercicio 2 Las deformaciones de todo el laminado estan determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio:

 x, y, z   x0  x, y  zkx  x, y 0  y  x, y, z    y  x, y   zky  x, y  0  xy  x, y, z    xy  x, y   zkxy  x, y  x

  x0  0  0     y   0  0  0  xy   

  x   2.95     1   y   1.64    0.72  m   xy   Curso 2012


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Ejercicio 2 Debemos calcular las deformaciones de las láminas:

 x, y, z  2.95 z  y  x, y, z   1.64 z  xy  x, y, z   0.72 z  x

Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina k

k

   Q  k   Curso 2012


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Ejercicio 2 Las tensiones dentro de cada lámina varían linealmente en el espesor. Para la lámina 1, podemos calcular las tensiones dentro de la lámina:

El dominio de la lámina está acotado por h 0 y h1, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:

Curso 2012


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Ejercicio 2 Para la lámina 2

 47.9 38.9 38.2   2.95 z   50 z  2 38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z 1   8.7 z  GPa           0.72 z m 20.5 z  m 38.2 38.2 41      El dominio de la lámina está acotado por h 1 y h2, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:

 0.0004  z  0.0002

Curso 2012


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 47.9 38.9 38.2   2.95 z   105 z  3  1   GPa       38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z   63.7 z  m  m     38.2 38.2 41  0.72 z  79.6 z El dominio de la lámina está acotado por h 2 y h3, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:

 0.0002  z  0

Curso 2012


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 47.9 38.9 38.2   2.95 z   105 z  4  1   GPa       38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z   63.7 z  m  m     38.2 38.2 41  0.72 z 79.6 z El dominio de la lámina está acotado por h 3 y h4, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0  z  0.0002

Curso 2012


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 47.9 38.9 38.2   2.95 z   50 z  5 38.9 47.9 38.2  GPa 1.64 z 1   8.7 z  GPa           0.72 z m 20.5 z m 38.2 38.2 41      El dominio de la lámina está acotado por h 4 y h5, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0.0002  z  0.0004

Curso 2012


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160.72 2.41 0   2.95 z   470.2 z  6  2.41 8.04 0  GPa 1.64 z  1  6.076 z GPa           m  m     0  0 4.5 0.72 z   3.24 z  El dominio de la lámina está acotado por h 5 y h6, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en: 0.0004  z  0.0006

Curso 2012


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Ejercicio 2 Deformación normal X

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

0 -0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

Curso 2012


32


Ejercicio 2 Deformación normal Y 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

-0.0015

0 -0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

Curso 2012


33


Ejercicio 2 Distorsión ingenieril XY 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

-0.0005

0 -0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

Curso 2012


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Ejercicio 2 Tensión normal X 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ Z

-0.4

0 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

[GPa]

Curso 2012


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Ejercicio 2 Tensión normal Y 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

-0.015

0 -0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

[GPa]

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Ejercicio 2 Tensión de Corte XY 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

0 -0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

[GPa]

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Ejercicio 2 Para analizar la resistencia del laminado tendremos que evaluar las tensiones de cada lámina en su propio sistema de ejes principales materiales (diferente para cada lámina).

 1     2     6

k

 m2 n 2 2mn   x        n2 m2 2mn   y   mn mn m2  n 2   xy    k  

k

Si bien se muestran en una misma gráfica en las próximas filminas, se debe recordar que las tensiones de las diferentes láminas corresponden a diferentes sistemas coordenados. Por ejemplo: la dirección 1 de la lámina 2 es +45 y la dirección 1 de la lámina 3 es -45 con respecto al eje x del laminado.

Curso 2012


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Ejercicio 2 Tensión normal 1 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ Z

-0.4

0 -0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

[GPa]

Curso 2012


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Ejercicio 2 Tensión normal 2 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

] m [ z

-0.025

0 -0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

-0.0002

-0.0004

-0.0006

-0.0008

[GPa]

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Ejercicios Resueltos - Mecanica de Laminados-libre

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