Ejercicios Programación Lineal
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL Modelos Lineales
Ing. Diana Ramírez, MSc.
PASOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: 1. Comprensión del Problema. 2. Definición de las variables. 3. Definición de la función objetivo. 4. Definición de las restricciones. 5. Definición de la no negatividad. Ejercicios: Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, ¿Cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia? Este problema nos pide formular un modelo de PL, con el propósito de hallar cuantos acres deben plantarse de cada cultivo, para maximizar la ganancia, teniendo en cuenta las horas disponibles para los cultivos y la cantidad de dinero destinada para las plantaciones. Definición de las Variables: Xi=Número de acres del cultivo del tipo i a plantar. i=A, B. Definición de la Función Objetivo: Zmax=150XA+200XB Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de cantidad de dinero máximo que posee el agricultor para los cultivos: 40XA+60XB≤7400
Ejercicios Programación Lineal Restricción de las horas de trabajo disponibles, para las plantaciones: 20XA+25XB≤3300 Restricción de Área Máxima Disponible entre los 2 cultivos: XA+XB≤150 Definición de la No Negatividad: XA, XB≥0 Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el próximo día para maximizar su ganancia. Cuenta con 38m 2 de madera y dispone de 7,5 hs/hombre. Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9,5m2 de madera y hora/hombre para confeccionar cada mesa. Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa es de $8,5. ¿Cuántas sillas y mesas deben producir? Para esta situación es necesario plantear un modelo de PL, para determinar cuantas sillas y mesas deben producirse, de acuerdo a los requerimientos (Madera, Horas hombre) de cada producto y la disponibilidad de estos, y así maximizar la ganancia por la venta de estos productos. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de producto i a fabricar. i=S, M. Definición de la Función Objetivo: Zmax= 4XS+8,5XM Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Disponibilidad de Madera: 4XS+9,5XM≤38 Restricción de Disponibilidad de Horas/Hombre: XS+XM≤7,5 Definición de la No Negatividad: XS, XM≥0 La <
> acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto y el centro de la ciudad. Antes, en el servicio de estos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio justifica la adición de otro vehiculo. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se necesita para la adquisición de la
Ejercicios Programación Lineal licencia, la Cía. Está en disposición para reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos: vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehiculo y ha recopilado los datos que se muestran en la tabla 7. El consejo de la administración de la Cía., ha autorizado $500.000.000 para la adquisición de vehículos. Las instalaciones de servicio y mantenimiento pueden manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar dichas instalaciones. Puesto que la nueva flota puede incluir buses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellos. Un autobús pequeño es equivalente 1 ½ vagonetas y cada autobús grande es equivalente a tres vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Cía., determinar el numero optimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirí con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas. Tabla 7
El propósito de este problema, es plantear un modelo de PL para encontrar el número óptimo de vagonetas, a. pequeños y grandes con el fin de maximizar las utilidades por cada vehículo, teniendo en cuenta la cantidad de dinero autorizada para la adquisición de estos vehículos y la capacidad de las instalaciones actuales. Definición de las Variables: Xi= Cantidad de vehículo i a comprar. i= V, AP, AG. Definición de la Función Objetivo: Zmax=2000000XV+2800000XAP+6500000XAG Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de capacidad de las instalaciones. XV+1,5XAP+3XAG≤30 Restricción de cantidad máxima de dinero destinada a la compra de vehículos. 6500000XV+10000000XAP+29000000XAG≤500000000 Definición de la No Negatividad: XV, XAP, XAG ≥0
Ejercicios Programación Lineal Mi alimentación diaria requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro <> (pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso). En la <> se encuentran de este tipo, de los cuales voy a comprar lo siguiente: bizcocho de chocolate y nueces, frozomalt, coca cola y pie de queso con piña. Cada bizcocho cuesta $600, cada vaso de frozomalt $1200, una botella de coca cola de 350ml $300, y cada porción de pie de queso con piña $800. Cada día debo ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 de azúcar y 8 de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la tabla 18. Formule un modelo lineal que se pueda utilizar para satisfacer mis requerimientos alimenticios diarios a un costo mínimo.
De acuerdo a esta situación, se debe hacer un modelo de PL, para cumplir con las necesidades alimenticias diarias (calorías, chocolate, azúcar y grasa) de una forma óptima, a un costo mínimo. Definición de las Variables: Xi= Cantidad de alimento i a incluir en la dieta. i= B, F, C, P. Definición de la Función Objetivo: Zmin=600XB+1200XF+300XC+800XP Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de requerimiento mínimo de calorías: 400XB+200XF+150XC+500XP≥500 Restricción de requerimiento mínimo de chocolate: 3XB+2XF+0XC+0XP≥6 Restricción de requerimiento mínimo de azúcar: 2XB+2XF+4XC+4XP≥10
Restricción de requerimiento mínimo de grasa:
Ejercicios Programación Lineal 2XB+4XF+XC+5XP≥8 Definición de la No Negatividad: XB, XF, XC, XP≥0 Una fábrica produce camisas y pantalones. Para la elaboración de una camisa requiere 3 min de corte y 6 min de acabado. Para la producción de un pantalón se requieren 4 min de corte y 8 min de acabado. Se debe producir cuanto mucho 100 camisas y no más de 150 pantalones. Se dispone de 5000 min para cada operación, adema la producción de pantalones no debe exceder la cantidad de camisas. Si las utilidades son de $1000(Camisas) y $1500(pantalones) Determine la cantidad de cada prenda para maximizar la utilidad. De acuerdo a este problema, se debe formular un modelo de Programación Lineal, para determinar cuanto se debe producir de cada prenda para maximizar las utilidades, considerando las capacidades de cada operación (Acabado, Corte) y las condiciones de producción para cada producto. Definición de las Variables: Xi= Cantidad de producto i a fabricar. i= C, P. Definición de la Función Objetivo: Zmax=1000XC+1500XP Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de capacidad de operación de corte: 3XC+4XP≤5000 Restricción de capacidad de operación de acabado: 6XC+8XP≤5000 Restricción de condición máxima de producción por camisas: XC≤100 Restricción de condición máxima de producción por pantalones: XP≤150 Restricción de condición de producción de camisas contra producción de pantalones: XP≤ XC Definición de la No Negatividad: XP, XC ≥0
Ejercicios Programación Lineal El <> posee 800 hectáreas de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escénico al noreste de la ciudad. En el pasado se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe para alcantarillado, se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un grave problema de contaminación del agua. Para controlar la degradación de la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones que se proyecte construir en el futuro: a. Solo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total. b. Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimo de 2,3 y 4 hectáreas, para una casa de una, dos y tres familias. c. Se deben establecer áreas de recreo de una hectárea cada una, a razón de un área por cada 200 familias. d. Con miras a preservar el ecosistema del lago, no se pueden extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín. El presidente de <> estudia la posibilidad de urbanizar las 800 hectáreas, que posee esta corporación en el lago. La nueva urbanización incluirá casas para una, dos y tres familias. Estima que el 15% del terreno se utilizara en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. Así mismo, calcula que sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales serán los siguientes:
El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo, la comunidad considera que se deberá conectar a un costo mínimo de $100.000 para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero mas allá de su capacidad actual esta limitado a 200.000 galones por día durante un periodo de consumo máximo, pico. Los datos que se presentan resumen el costo de conexión del servicio de agua y del consumo de esta, suponiendo una familia de tamaño medio.
Ejercicios Programación Lineal El propósito, del modelo de PL es encontrar el número de unidades habitacionales y de recreo óptimas, y así de este modo que se satisfagan las condiciones planteadas (hectáreas ocupadas, áreas de recreo, porcentaje de unidades habitacionales, y capacidad del servicio de acueducto), con el fin de maximizar las utilidades de este proyecto Definición de las Variables: Xi=Cantidades de Unidades i a construir. i=S(sencillas), D(dos familias), T(tres familias), Recreo. Definición de la Función Objetivo: Zmax=10000XS+15000XD+20000XT-1000XS-1200XD-1400XT-800XR Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de hectáreas de los lotes de cada unidad: 2XS+3XD+4XT+XR≤680 Restricción de porcentaje de unidades habitacionales simple con respecto al total de unidades construidas: XS≥0.5(XS+XD+XT) Restricción de construcción de unidades de recreo de acuerdo al número de familias por unidades construidas: XR=(XS+2XD+3XT)/200 Restricción del costo de conexión mínimo factible para el servicio de agua: 1000XS+1200XD+1400XT+800XR≥100000 Restricción del consumo en galones máximo del servicio de agua por cada unidad, diariamente: 400XS+600XD+840XT+450XR≤200000 Definición de la No Negatividad: XS, XD, XT, XR≥0 Lechera moderna tiene una capacidad de recepción de 50.000 lts de leche diarios. La administración exige que al menos 30.000 lts sean embotellados diariamente y el resto sea empleado para producir leche especial o mantequillas. La contribución de cada litro de leche a la utilidad, según el uso que se le de, es la siguiente: Embotellada $100, Especial $150 y $160 la unidad de mantequillaEl equipo de fabricación de mantequilla puede manejar hasta 6000lts, diarios de leche; el equipo de envase puede manejar hasta 40.000 lts diarios y de leche especial hasta 20.000 lt por día. La empresa desea conocer que cantidad de leche en lts., es convertida en mantequilla o en leche especial y cuanto se debe embotellar (Leche corriente) para maximizar la ganancia.
Ejercicios Programación Lineal Para esta situación, se planteara un modelo de PL para determinar que cantidad de leche debe ser embotellada (corriente), especial o convertida en mantequilla diariamente, para maximizar la ganancia, teniendo en cuenta la capacidad de recepción diaria, y las capacidades de conversión de cada tipo de producto. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de litros producto de leche tipo i a producir. i=C (corriente), E (especial), M. Definición de la Función Objetivo: Zmax=100XC+150XE+160XM Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de capacidad máxima de recepción diaria de leche: XC+XE+XM≤50000 Restricción de capacidad máxima de embotellamiento de leche corriente: XC ≤40000 Restricción de capacidad máxima de embotellamiento de leche especial: XE ≤20000 Restricción de capacidad máxima fabricación de mantequilla: XM ≤6000 Restricción de producción mínima de leche corriente: XC ≥30000 Definición de la No Negatividad: XC, XE, XM≥0 El hospital Optsalud ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto las 24 horas) con la consiguiente necesidad de nuevo personal de enfermería. La gerencia del hospital ha estimado las necesidades mínimas de personal por tramos horarios para poder cubrir las urgencias que se presenten. Se definieron 6 tramos de 4 horas. La necesidad mínima de personal en cada tramo se indica en el cuadro 1.1. Por otro lado, el departamento de recursos humanos ha informado a gerencia de que los contratos laborales han de ser de ocho horas seguridad, según el convenio firmado con los sindicatos, independientemente de los horarios de entrada y salida del personal. El problema es encontrar el número mínimo de personal necesario para cubrir la demanda.
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De acuerdo a este problema, debe formularse un modelo de PL para cumplir con la demanda del hospital en cada uno de los 6 tramos, considerando que cada empleado no puede trabajar más de 8 horas, y así de este modo formar los grupos de empleados óptimos para el modelo. Definición de las Variables: Xi= Número de empleados en grupo i a asignar. i=1, 2, 3, 4, 5, 6. Definición de la Función Objetivo: Zmin=X1+X2+X3+X4+X5+X6 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de empleados mínimos en el tramo 1: X6+X1 ≥9 Restricción de empleados mínimos en el tramo 2: X1+X2 ≥5 Restricción de empleados mínimos en el tramo 3: X2+X3 ≥3 Restricción de empleados mínimos en el tramo 4: X3+X4 ≥7 Restricción de empleados mínimos en el tramo 5: X4+X5 ≥5 Restricción de empleados mínimos en el tramo 6: X5+X6 ≥6 Definición de la No Negatividad: X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥0 Para la formulación de una dieta para pollos, el lote diario requerido de la mezcla son 100Lb de alimento y la dieta debe contener. 1. Al menos 0.8% pero no mas de 1.2% de calcio 2. Al menos 22% de proteínas. 3. A lo mas 5% de fibras crudas
Ejercicios Programación Lineal Suponga, además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya y caliza (Carbonato de calcio). El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación en la tabla 9. El objetivo es minimizar el costo total del lote dado de la mezcla, de manera que satisfaga las restricciones físicas y nutritivas. Plantee este problema como un modelo de programación lineal. Tabla 9.
De acuerdo a esta situación, se debe hacer un modelo de PL con el propósito de encontrar la forma óptima de mezcla de los ingredientes (P. Caliza, Maíz, A. Soya) para satisfacer los requerimientos de la dieta (Calcio, Proteínas, Fibra), teniendo en cuenta el tamaño del lote (100Lb), para minimizar los costos de la dieta. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de libras de alimento i a incluir en la dieta de los pollos. i=C, M, S. Definición de la Función Objetivo: Zmin=0.0164XC+0.463XM+0.125XS Definición de las Variables: S.A. Restricción de requerimiento mínimo de calcio: 0.38XC+0.01XM+0.002XS≥ 0.008(100) Restricción de requerimiento máximo de calcio: 0.38XC+0.01XM+0.002XS≤ 0.012(100) Restricción de requerimiento mínimo de proteínas: 0XC+0.09XM+0.5XS≥ 0.22(100) Restricción de requerimiento máximo de fibra: 0 XC+0.02XM+0.08XS≤ 0.05(100) Restricción de requerimiento del lote de alimento: XC+XM+XS= 100 Definición de la No Negatividad: XC, XM, XS≥ 0
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Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido dos modelos de madera que se limitara a producir estos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizas su ingreso en la venta? Para este caso se formulara un modelo de programación lineal que permita hallar el número óptimo de fabricación de cada modelo de biombo con el fin de maximizar los ingresos, considerando las disponibilidades de horas hombre y de madera. Definición de Variables: Xi= Cantidad de biombos del modelo i a fabricar. i=1, 2. Definición de la Función Objetivo: Zmax=120X1+80X2 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de disponibilidad de madera: 2X1+1X2≤6 Restricción de disponibilidad de horas-hombre: 7X1+8X2≤28 Definición de la No Negatividad: X1, X2≥ 0 Una persona tiene $10.000.000 para invertir en 3 negocios, el primero le ofrece $400 por cada $5000, el de $1200 por cada $10000 y el tercero $500 por cada $5000. La cantidad invertida en el negocio 2 debe ser a lo más el 25%, la cantidad invertida en el negocio 3 debe ser al menos el 30%. Además lo que se invierte en el negocio 2 no debe exceder, el doble de lo invertido en el negocio 3. Determine la cantidad de dinero a invertir en cada negocio para maximizar las utilidades. El propósito de este problema es determinar la cantidad óptima de dinero a invertir en cada negocio, para maximizar las utilidades considerando las condiciones de inversión planteadas.
Ejercicios Programación Lineal Definición de las Variables: Xi= Cantidad de dinero a invertir en el negocio i. i=1, 2, 3. Definición de la Función Objetivo: Zmax= (400/5000)X1+(1200/10000)X2+(500/5000)X3 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de cantidad máxima de dinero a invertir. X1+X2+X3≤10000000 Restricción de inversión máxima del negocio 2. X2≤ 0.25(X1+X2+X3) Restricción de inversión mínima del negocio 3. X3≥ 0.3(X1+X2+X3) Restricción de inversión del negocio 2 con respecto a la cantidad invertida en el negocio 3. X2≤ 2X3 Definición de la No Negatividad: X1, X2, X3≥0 En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: vienesa y real. Cada torta vienesa necesita un cuarto de relleno para cada kg de bizcocho y produce un beneficio de 250 pts, mientras que una torta real necesita medio kg de relleno para cada kg de bizcocho y produce 400pts de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 kg de bizcocho y 50kg de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesa y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Para el problema anterior, es necesario formular un modelo de PL que maximice el beneficio de la venta de tortas, considerando los requerimientos de estos productos y las capacidades de la pastelería. Definición de las Variables: Xi= Numero de tortas tipo i a hacer. i=V, R. Definición de la Función Objetivo: Zmax=250XV+400XR
Ejercicios Programación Lineal Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de disponibilidad de bizcocho: XV+XR≤150 Restricción de disponibilidad de relleno: (1/4)XV+(1/2)XR≤50 Restricciones de capacidad de la pastelería: XV ≤125 XR≤125 Definición de la No Negatividad: XV, XR≥0 Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo mas que puede hacer son 200 productos del tipo 1, o 100 del tipo 2, por día. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo 1, o 160 del tipo 2. También el tratamiento térmico puede procesar no más de 90 artículos del tipo 2 por día; el producto 1 no necesita de este proceso. El producto 1 tiene una contribución a la utilidad de $4 cada uno; el 2, de $6. Encuentre la combinación óptima de productos 1 y 2 y la utilidad correspondiente. En esta situación es necesario encontrar, la combinación optima de los productos 1 y 2, para maximizar la utilidad, teniendo en cuenta las capacidades de los talleres de producción. Definición de las Variables: Xi= Cantidad de producto i a fabricar. i=1, 2. Definición de la Función Objetivo: Zmax=4X1+6X2 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de capacidad de producción del taller, por día: (X1/200)+(X2/100)≤1 Restricción de capacidad de producción del taller de pintura, por día: (X1/120)+(X2/160)≤1 Restricción de capacidad de producción del tratamiento térmico del producto 2: X2≤90
Ejercicios Programación Lineal Definición de la No Negatividad: X1, X2≥0 <>, una de las mayores productoras de acero en Colombia, se ha preocupado por el problema de la contaminación del aire exhalado por su altos hornos, debido a que además de arruinar la apariencia de la ciudad, pone en peligro la salud de sus habitantes. Los tres principales tipos de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburo (sus tasas de emisión se listan en la tabla 17) cuyas fuentes principales de contaminación son los altos hornos para fabricar arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero. Tabla 17
Para solucionar el problema, los ingenieros de la compañía determinaron que los métodos de abatimiento más efectivos son: 1. Aumentar la altura de las chimeneas. 2. Usar filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimeneas. 3. Incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto a la cantidad de emisión que pueden eliminar, como se muestra en la tabla 17, en millones de libras por año, y la capacidad de eliminación de cada uno es independiente de la de los demás; sin embargo, se ha determinado que la reducción requerida de la tasa de emisión anual de contaminantes es:
Por otra parte, los costos se han estimado de la siguiente manera: Costo anual para el uso máximo factible:
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De acuerdo a esta situación, se debe encontrar una asignación optima para la reducción de la contaminantes, generados por los altos hornos y los hornos de hogar abierto, considerando las tasas de reducción mínimas esperados y también que cada método solo puede ser usado una vez en cada tipo de horno, pero con la posibilidad de usar dos métodos distintos en cada horno, y así de este modo que minimicen los costos de aplicación de estos métodos. Definición de las Variables: Xij= Método i usado en el tipo de horno j. i=C, F, M. j=A, H. Definición de la Función Objetivo: Zmin=8XCA+7XFA+11XMA+10XCH+6XFH+9XMH Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de reducción mínima de partículas contaminantes: 12XCA+25XFA+17XMA+9XCH+20XFH+13XMH≥60 Restricción de reducción mínima de oxido de azufre: 35XCA+18XFA+56XMA+42XCH+31XFH+49XMH≥150 Restricción de reducción mínima de hidrocarburos: 37XCA+18XFA+29XMA+53XCH+24XFH+20XMH≥125 Restricción de Variable Binaria, esta restricción se usa ya que es un modelo de asignación, es decir que cuando la variable toma el valor de 1 es porque se usara ese método i en el tipo de horno j y en caso que tome el valor de 0 es porque ese método i no se usará en el tipo de horno j. Xij=0 o Xij=1 La no negatividad no es necesario que se declare ya que las variables solo pueden tomar el valor de 1 o 0, y ambos son valores positivos. Una compañía posee dos minas. La mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de media calidad y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de las tres calidades.
Ejercicios Programación Lineal La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 150 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de operación es 2000 euros en cada mina. Formule este problema como un modelo de programación lineal, minimizando costos. Para este problema, se debe formular un modelo de programación lineal que permita saber cuantos días debe trabajar cada mina para cumplir con las demandas de la compañía de las distintos tipos de hierro a un costo mínimo. Definición de las Variables: Xi= Número de días que debe trabajar la mina i. i=A, B. Definición de la Función Objetivo: Zmin=2000XA+2000XB Definición de las Variables: S.A. Restricción de producción mínima de hierro de alta calidad. XA+2XB≥80 Restricción de producción mínima de hierro de alta calidad. 3XA+2XB≥150 Restricción de producción mínima de hierro de alta calidad. 5XA+2XB≥200 Definición de la No Negatividad: XA, XB≥0 Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución la inversión para obtener el máximo interés anual? De acuerdo a esta situación, se debe formular un modelo de programación lineal, para determinar cual es la cantidad de dinero a invertir en las inversiones A y B, considerando el dinero disponible para invertir, y las condiciones de inversión planteadas. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de dinero a invertir en inversión i. i=A, B.
Ejercicios Programación Lineal Definición de la Función Objetivo: Zmax=0.10XA+0.08XB Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de cantidad máxima de euros a invertir total: XA+XB≤210000 Restricción de cantidad máxima de dinero a invertir en inversión A: XA≤130000 Restricción de cantidad mínima de dinero a invertir en la inversión B: XB≥60000 Restricción de cantidad de dinero a invertir en A, con respecto a la cantidad a invertir en B: XA≤2XB Definición de la No Negatividad: XA, XB≥0 Un herrero con 80 Kg de acero y 120 Kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a $20.000 y $15.000 bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la del paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. De aluminio, y para la de montaña 2 Kg de ambos metales.
Paseo Montaña
Acero 1Kg 2Kg
Aluminio 3Kg 2Kg
Para este problema se debe hacer un modelo de PL que maximice el beneficio de las ventas de bicicletas de paseo y montaña, teniendo en cuenta los requerimientos de acero y ilumino como las disponibilidades de estos materiales. Definición de las Variables: Xi=Numero de Bicicletas tipo i a fabricar. i=P, M. Definición de la Función Objetivo: Zmax=20000XP+15000XM Definición de las Restricciones: S.A.
Ejercicios Programación Lineal Restricción de Disponibilidad de Acero: XP+2XM≤80 Restricción de Disponibilidad de Aluminio: 3XP+2XM≤120 Definición de la No Negatividad: XP, XM≥0 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 euros. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? De acuerdo a esta dieta, se formulara un modelo de PL que permita hallar el numero optimo de compuestos X y Y, para minimizar los costos y cumplir con los requerimientos de las sustancias A y B. Definición de las Variables: X=Cantidad de componente X a comprar para usar en dieta. Y=Cantidad de componente Y a comprar para usar en dieta. Definición de la Función Objetivo: Zmin=10X+30Y Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de composición mínima de sustancia A: X+5Y≥15 Restricción de composición mínima de sustancia A: 5X+Y≥15 Definición de la No Negatividad: X, Y≥0 En el zoológico municipal se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa, según un estudio de mercado los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y precios:
Ejercicios Programación Lineal contenido/tipo A B C Grasa 16% 18% 25% Proteínas 22% 20% 16% Precio por Kg $70 $90 $100 El propósito de esta situación, es plantear un modelo de PL que permita minimizar los costos de la compra de los distintos tipos de carne con el fin de cumplir con las especificaciones del compuesto de carne. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de Carne (en kg) tipo i a comprar. i=A, B, C. Definición de la Función Objetivo: Zmin=70XA+90XB+100XC Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de igualdad de composición de grasas y proteínas: 0.16XA+0.18XB+0.25XC=0.22XA+0.2XB+0.16XC Definición de la No Negatividad: XA, XB, XC≥0 Un taller tiene tres tipos de máquinas A, B, y C, puede fabricar dos productos 1 y 2. Todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra las horas requeridas en cada máquina por unidad de producto, las horas totales disponibles para cada máquina por semana, la ganancia por unidad vencida de cada producto. Tipo de Producto máquina 1 A 2 B 1 C 4 Ganancia por unidad 1
Producto 2 2 2 2
Horas disponibles/semana 16 12 28
1,5
¿Que cantidad de producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia? Para esta situación se hará un modelo de PL, para maximizar las utilidades de las ventas de los productos 1 y 2, considerando las disponibilidades de cada una de las maquinas de producción.
Ejercicios Programación Lineal Definición de las Variables: Xi=Cantidad de Producto i a fabricar. i=1,2. Definición de la Función Objetivo: Zmax=X1+1.5X2 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Disponibilidad de la maquina A: 2X1+2X2≤16 Restricción de Disponibilidad de la maquina B: X1+2X2≤12 Restricción de Disponibilidad de la maquina C: 4X1+2X2≤28 Definición de la No Negatividad: X1, X2≥0 Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(Turistas), P(Primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuantas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. Se debe formular un modelo de PL, para encontrar el número óptimo de plazas a ofertar de los dos tipos, para maximizar las ganancias, sujetándose a las consideraciones sobre el número de plazas de cada tipo. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de plazas tipo i a ofertar. i=T, P. Definición de la Función Objetivo: Zmax=30XT+40XP Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de número de plazas tipo turistas máximo a ofertar. XT ≤4500
Ejercicios Programación Lineal Restricción de número de plazas tipo primera a ofertar dependiendo del numero de plazas tipo turistas a ofertar. XP ≤(1/3)XT Definición de la No Negatividad: XP, XT≥0 El granjero López tienen 480 hectáreas en las que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calculaba que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados en la gráfica, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es esta utilidad máxima?
Producto Maiz Trigo
Utilidad 40 30
Horas de trabajo 2 1
Para este problema, se hará un modelo de PL para optimizar el número de hectáreas a sembrar de Maíz y Trigo para maximizar la utilidad, teniendo en cuenta el tiempo disponible y el área máxima de hectáreas. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de Hectáreas de producto i a sembrar. i=M, T. Definición de la Función Objetivo: Zmax=40XM+30XT Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Área Máxima a cultivar: XM+XT≤480 Restricción de Disponibilidad de horas: 2XM+XT≤800 Definición de la No Negatividad: XM, XT≥0 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 6 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
Ejercicios Programación Lineal De acuerdo al problema planteado, se necesita formular un modelo de Programación Lineal, para minimizar los costos del alquiler de los autocares para transportar a los estudiantes a la excursión. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de autocares tipo i a alquilar. i=G, P. Definición de la Función Objetivo: Zmin=80XG+6XP Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Alumnos a transportar: 50XG+40XP=400 Restricción de Numero Máximo de Autocares grandes a alquilar: XG≤10 Restricción de Numero Máximo de Autocares pequeños a alquilar: XP≤8 Restricción de Numero Máximo de Conductores: XG+XP≤9 Definición de la No Negatividad: XG, XP≥0 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750m de tejido de algodón y 1000 de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1m de algodón y 2m de poliéster. La chaquetas requieren de 1.5m de algodón y de 1m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 euros y el de la chaqueta en 40 euros. ¿Qué numero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? De acuerdo a este problema se debe formular un modelo de PL que maximice las ventas de pantalones y chaquetas, considerando los requerimientos de estos productos y las disponibilidades de poliéster y algodón. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de producto tipo i a fabricar. i=P, C. Definición de la Función Objetivo: Zmax=50XP+40XC
Ejercicios Programación Lineal Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Disponibilidad de Poliéster: 2XP+XC≤1000 Restricción de Disponibilidad de Algodón: XP+1.5XC≤750 Definición de la No Negatividad: XP, XC≥0 Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El costo de producción de un yogur de limón es de 30 pesetas y 20 pesetas uno de fresa. El propósito de este problema es plantear un modelo de PL, para encontrar el número óptimo de yogures de limón y freso, para minimizar los costos, considerando las disponibilidades del producto de fermentación y la cantidad mínima de yogures a fabricar. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de Yogur tipo i a fabricar. i= L, F. Definición de la Función Objetivo: Zmin=30XL+20XF Definición de las Variables: S.A. Restricción de Producción mínima de yogures a fabricar en total: XL+XF≥30000 Restricción de disponibilidad de producto de fermentación: 0.5XL+0.5XF≤9 Definición de la No Negatividad: XL, XF≥0
Ejercicios Programación Lineal Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distinta procedencia, cada uno de los cuales tiene distintas características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos y sus características más importantes: Origen Kuwait Arabia Noruega Venezuela
%Azufre 0,45 0,4 0,38 0,41
Densidad 0,91 0,95 0,89 0,92
Precio 35000 31000 39000 34000
Se exige a la mezcla que tenga características concretas, que se traducen en un porcentaje de 0.4% de contenido de azufre y una densidad igual a 0.91. Se desea que el precio de la mezcla sea el mínimo. Se formulará un modelo de programación lineal, para minimizar los costos de la mezcla de los distintos crudos para cumplir con las características de la mezcla. Definición de Variables: Xi= Cantidad de crudo proveniente de i a usar en la mezcla. i=K, A, N, V. Definición de la Función Objetivo: Zmin=35000XK+31000XA+39000XN+34000XV Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de porcentaje de azufre: 0.0045XK+0.004XA+0.0038XN+0.0041XV=0.004(XK+XA+XN+XV) Restricción de densidad de la mezcla: 0.91XK+0.95XA+0.89XN+0.92XV=0.91 (XK+XA+XN+XV) Definición de la No Negatividad: XK, XA, XN, XV≥0 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Para este problema se planteara un modelo de PL que maximice el beneficio por electricistas y mecánicos, satisfaciendo los requerimientos de proporciones de estos dos tipos de trabajadores.
Ejercicios Programación Lineal Definición de las Variables: Xi=Número de trabajadores tipo i a elegir. i=M, E. Definición de la Función Objetivo: Zmax=250XE+200XM Definición de las Restricciones: S.A. Restricciones de número de mecánicos dependiendo del número de electricistas: XM≥XE XM≤2XE Restricciones de número máximo de mecánicos: XM≤20 Restricciones de número máximo de electricistas: XE≤30 Definición de la No Negatividad: XM, XE ≥0 Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir que dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se da en la siguiente tabla: Alimento Pan (1reb) Mantequilla de maní (1cuch) Mermelada (1 cuch) Galleta (1pz) Leche (1 taza) Jugo (1 taza)
Caloría grasa 10 75 0 20 70 0
Calorías totales 70 100 50 60 150 100
Vitamina C(mg) 0
Proteína (g) 3
Costo (euro) 5
0 3 0 2 120
4 0 1 8 1
4 7 8 15 35
Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de calorías totales deben venir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía mas, por razones practicas, cada niño necesita justo dos rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de liquido (leche y/o jugo de naranja).
Ejercicios Programación Lineal Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimientos establecidos. Para esta situación se debe formular un modelo de Programación Lineal, para cumplir con los requerimientos nutricionales de los niños, minimizando los costos de los de los alimentos que la guardería pretende darles en el almuerzo. Definición de las Variables: Xi= Cantidad de alimento i a usar en el almuerzo. i= P, MA, ME, G, L, J. Definición de la Función Objetivo: Zmin=5XP+4XMA+7XME+8XG+15XL+35XJ Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de calorías totales mínimas: 70XP+100XMA+50XME+60XG+150XL+100XJ≥400 Restricción de calorías totales máximas: 70XP+100XMA+50XME+60XG+150XL+100XJ≤600 Restricción de calorías grasas: 10XP+75XMA+0XME+20XG+70XL+0XJ≤0.3(70XP+100XMA+50XME+60XG+150XL+100XJ) Restricción de gramos de vitaminas mínimas: 0XP+0XMA+3XME+0XG+2XL+120XJ≥60 Restricción de gramos mínimos de proteínas: 3XP+4XMA+0XME+XG+8XL+XJ≥12 Restricción de unidades de pan: XP=2 Restricción de proporción de mantequilla de maní con respecto a la mermelada: XMA≥2XME Restricciones de tasa mínima de líquidos: XL≥1 XJ≥1 Definición de la No Negatividad: XP, XMA, XME, XG, XL, XJ≥0 Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja,
Ejercicios Programación Lineal 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente, ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?
Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E
Jugo de Naranja 40 5 100 0 0
Jugo de Toronja 40 10 0 100 0
Jugo de Arándano 0 20 0 0 0
Existencia (gal) 200 400 100 50 800
Costo ($/gal) 1,5 0,75 2 1,75 0,25
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida. De acuerdo a esta situación, se debe formular un modelo de PL para determinar que cantidad de cada tipo de bebidas deberá usar en la mezcla, para cumplir con los requerimientos de los jugos, y teniendo en cuenta las existencias de estas bebidas, con el fin de minimizar costos. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de Galones de bebida i a usar en la mezclas. i=A, B, C, D, E. Definición de la Función Objetivo: Zmin=1.5XA+0.75XB+2XC+1.75XD+0.25XE Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de composición de Jugo de Naranja: 0.4XA+0.05XB+XC+0XD+0XE≥0.2(XA+XB+XC+XD+XE) Restricción de composición de Jugo de Toronja: 0.4XA+0.1XB+0XC+XD+0XE≥0.1(XA+XB+XC+XD+XE) Restricción de composición de Jugo de Arándano: 0XA+0.2XB+0XC+0XD+0XE≥0.05(XA+XB+XC+XD+XE) Restricción de galones mínimo de un ponche: XA+XB+XC+XD+XE≥500 Definición de la No Negatividad: XA, XB, XC, XD, XE≥0
Ejercicios Programación Lineal Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con tres elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, cinco libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B, y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los tres elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son: MINA 1 10 90 45
Elemento Básico A B C
MINA 1 2 3 4
2 3 150 25
3 8 75 20
4 2 175 37
Costos en U$/Ton de mineral 800 400 600 500
La GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. Para este problema, se debe formular un modelo de PL, para determinar que cantidad de mineral debe extraerse de cada mina, con el propósito de fabricar el producto de la GMC, cumpliendo con los requerimientos de los elementos básicos, y de esto modo que se minimicen los costos. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de mineral a extraer de la mina i. i=1, 2, 3, 4. Definición de la Función Objetivo: Zmin=800X1+400X2+600X3+500X4 Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de libras mínimas de elemento A: 10X1+3X2+8X3+2X4≥5
Ejercicios Programación Lineal Restricción de libras mínimas de elemento B: 90X1+150X2+75X3+175X4≥100 Restricción de libras mínimas de elemento C: 45X1+25X2+20X3+37X4≥30 Definición de la No Negatividad: X1,, X2, X3, X4≥0 Se dispone de 600g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40g y las pequeñas 30g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 euros y la pequeña de 1 euro. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? Para este problema, se planteara un modelo de PL que maximice el beneficio de la venta de las pastillas grandes y pequeñas, considerando las condiciones de producción y la disponibilidad de los recursos. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de pastillas i a elaborar. i=G, P. Definición de la Función Objetivo: Zmax=2XG+XP Definición de las Restricciones: S.A. Restricciones de la disponibilidad del fármaco: 40XG+30XP≤600 Restricciones de Producción mínima de pastillas grandes: XG≥3 Restricción de producción de pastillas pequeñas con respecto a la producción de pastillas grandes: XP≥2XG Definición de la No Negatividad: XP, XG ≥0 Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con los cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en
Ejercicios Programación Lineal cajas de 24 altas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta solo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de la compañía se limita a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares respectivamente. De acuerdo a esta situación, se debe formular un modelo de PL, para optimizar la producción de jugo de tomate enlatado y pasta de tomate, considerando los recursos, y las participaciones del mercado de cada producto, con el propósito de maximizar utilidades. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de producto de tomate tipo i a fabricar. i=J, P. Definición de la Función Objetivo: Zmax=18XJ+9XP-7(XJ+(1/3)XP) Definición de las Restricciones: S.A. Restricción de Disponibilidad de Tomates: XJ+(1/3)XP≤60000 Restricción Participación del mercado de jugo de tomate: XJ≤2000 Restricción Participación del mercado de pasta de tomate: XJ≤6000 Definición de la No Negatividad: XJ, XP≥0 Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo uno emplea diez unidades de cierto componente eléctrico y el motor tipo dos solo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares respectivamente. Para este problema se necesita formular un modelo de PL, para maximizar las utilidades por las ventas de los motores y hay que tener en cuenta los requerimientos de cada uno del componente eléctrico y las capacidades de cada línea de producción. Definición de las Variables: Xi=Numero de unidades a producir de motor eléctrico i.
Ejercicios Programación Lineal i=1,2. Definición de la Función Objetivo: Zmax=60X1+40X2 Definición de las Restricciones: S.A: Restricciones de capacidad máxima de las líneas de producción: X1≤600 X2≤750 Restricción de disponibilidad del componente eléctrico: 10X1+8X2≤8000 Definición de la No Negatividad: X1, X2≥0 Problema de la dieta, consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de estos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:
Niacina Tiamina Vitamina C Costo
Leche (lt) 3,2 1,12 32 2
Legumbre (porción) 4,9 1,3 0 0,2
Naranjas (unidad) 0,8 0,19 93 0,25
Requerimientos nutricionales 13 15 45
Para esta situación se formulara un modelo de PL, que permita encontrar la combinación óptima de estos tipos de alimentos, con el fin de cumplir con los requerimientos nutricionales y minimizar los costos de compra de cada alimento. Definición de las Variables: Xi=Alimento i a usar en la dieta. i=L, LG, N. Definición de la Función Objetivo: Zmin=2XL+0.2XLG+0.25XN Definición de las Restricciones: S.A.
Ejercicios Programación Lineal Requerimiento de Niacina: 3.2XL+4.9XLG+0.8XN=13 Requerimientos de Tiamina: 1.12XL+1.3XLG+0.19XN=15 Requerimientos de Vitamina C: 32XL+0XLG+93XN=45 Definición de la No Negatividad: XL, XLG, XN ≥0 Alfredo tiene $2200 para invertir durante los siguientes cinco años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% total en depósitos a plazo fijo de dos años. Además, al principio del segundo año, la Compañía West World Limited ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año, formule un programa lineal que muestre como maximizar su ganancia total a final del quinto año. De acuerdo a esta situación es necesario, formular un modelo de PL que permita obtener la combinación optima de cantidades de dinero a invertir en cada tipo de inversión al principio de cada año, con el propósito de maximizar las utilidades. Definición de las Variables: Xij=Cantidad de dinero a invertir en inversión i al principio del año j. i=BU, BD, CWW. j=1,2,3,4. Definición de la Función Objetivo: Esta es la utilidad al cabo de los 5 años, en este caso no se tiene en cuenta para las inversiones del banco a dos años de plazo y de la Compañía West World Limited para su inversión en el cuarto año y tercer año respectivamente, ya que su rentabilidad de verá reflejada después de los 5 años, por lo cual se supone que en el cuarto año solo se invierte en depositas de bancos a plazos fijos de un año. Zmax=0.08XBU1+0.08XBU2+0.08XBU3+0.08XBU4+0.17XBD1+0.17XBD2 0.17XBD3+0.27XCWW2+0.27XCWW3 Definición de las Restricciones: S.A Restricción de Inversión en el primer Año: 0.08XBU1+0.17XBD1 ≤ 2200
Ejercicios Programación Lineal Restricción de Inversión en el segundo Año: 0.08XBU2+0.17XBD2+0.27XCWW2 ≤ 2200+0.08XBU1-0.17XBD1 Restricción de Inversión del Tercer Año: 0.08XBU3+0.17XBD3+0.27XCWW3≤2200+0.08XBU1+0.17XBD1+0.08XBU2-0.17XBD20.27XCWW2 Restricción de Inversión en el Cuarto Año: 0.08XBU4 ≤ 2200+0.08XBU1+0.17XBD1+0.08XBU2+0.17XBD2+0.27XCWW2+0.08XBU30.17XBD3-0.27XCWW3 Definición de las Restricciones: XBU1,XBU2,XBU3,XBU4,XBD1,XBD2,XBD3,XCWW2,XCWW3 ≥0
Un fabricante de acero produce cuatro tamaños de vigas I: pequeña, mediana, larga y extralarga. Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican las longitudes (en pies= de las vigas I que pueden producir las máquinas por hora: MAQUINA VIGA A B C Pequeña 300 600 800 Mediana 250 400 700 Larga 200 350 600 Extra larga 100 200 300 Suponga que cada máquina se puede usar hasta 50 horas por semana, y que los costos de operación por hora de estas máquinas son $30.00, $50.00 y $80.00, respectivamente, Además, suponga que semanalmente se requieren 10000, 8000, 6000 y 6000 pies de los distintos tamaños de las vigas. Para este problema se debe formular un modelo de PL que disminuya los costos de operación de las maquinas de fabricación de las vigas, con el objetivo de cumplir con la demanda, considerando las disponibilidades de hora de cada maquina. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de vigas tipo i a producir semanalmente. i=P, M, L, EL. Definición de la Función Objetivo: Zmin=(30/300+50/600+80/800)XP+(30/250+50/400+80/700)XM+(30/200+50/350+ 80/600) XL+(30/100+50/200+80/300) XEL Definición de las Restricciones
Ejercicios Programación Lineal S.A. Restricción de Disponibilidad de Tiempo de la maquina A: (XP/300)+ (XM/250)+(XL/200)+ (XEL/100) ≤50 Restricción de Disponibilidad de Tiempo de la maquina B: (XP/600)+ (XM/400)+(XL/350)+ (XEL/200) ≤50 Restricción de Disponibilidad de Tiempo de la maquina C: (XP/800)+ (XM/700)+(XL/600)+ (XEL/300) ≤50 Definición de la No Negatividad: XP, XM, XL, XEL ≥0 Una planta química fabrica dos productos A, B mediante dos procesos I y II. La tabla da los tiempos de producción de A y B en cada proceso. Y los beneficios (en miles) por unidad vendida: Proceso A B I 2 3 II 3 4 Beneficio 4 10 Se dispone de 16 horas de operación del proceso I y de 24 horas para el proceso II. Para esta situación, se formulara un modelo de programación lineal, que permita maximizar el beneficio de la producción de los productos A y B, teniendo en cuenta los tiempos de producción en los procesos I y II. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de producto tipo i a fabricar. i=A, B. Definición de la Función Objetivo: Zmax=4XA+100XB Definición de las Restricciones S.A. Restricción de Disponibilidad de Tiempo en el proceso I: 2X1+3X2 ≤16 Restricción de Disponibilidad de Tiempo en el proceso II: 3X1+4X2≤24 Definición de la No Negatividad:
Ejercicios Programación Lineal XA, XB ≥0 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá dos cuadernos, una carpeta y dos bolígrafos; en el segundo, pondrán tres cuadernos, una carpeta y un bolígrafo. Los precios de cada paquete serán de 6.5 y 7 euros respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? De acuerdo a este problema se debe formular un modelo de PL, que permita obtener el número de paquetes que se debe hacer de cada tipo, con el fin de maximizar el beneficio, considerando las disponibilidades de materiales escolares. Definición de las Variables: Xi=Cantidad de bloques tipo i a producir. i=1, 2. Definición de la Función Objetivo: Zmax=6.5X1+8X2 Definición de las Restricciones S.A. Restricciones de Disponibilidad de cuadernos: 2X1+3X2 ≤600 Restricciones de Disponibilidad de carpetas: X1+X2≤500 Restricciones de bolígrafos: 2X1+X2≤400 Definición de la No Negatividad: X1, X2 ≥0
