EJERCICIOS (Pág. 30) VARIABLES Y ESCALAS 1. Cierta variable asigna a las unidades estadísticas E1 y E2 de una población los valores 5 y 20 respectivamente en una escala dada ¿Qué puede decir acerca de E1 y E2 si la escala usada es : a) Nominal, b) ordinal, c) de razón SOLUCIÓN: a) E1 ≠ E2,
b) E1< E2,
c) 20/5 = 4, La medida de E2 es igual a 4 veces ala de E1
a) Se puede decir que E1 es distinto que E2 (sólo se puede establecer una diferencia). b) 5 < 20, además de una diferencia se puede establecer un orden c) Aquí podemos establecer una razón, con los valores que toma la variable: 20/5 = 4, además de una diferencia y de un orden. 2. Cierta variable asigna los valores 1, 4 y 9 a las unidades E 1, E2, E3 Respectivamente en una escala de intervalos. Si en la misma escala se asigna 1 a E1 y -8 a E2 ¿Qué valor se le asigna a E3? SOLUCIÓN:
E3 = ? -8 Por relación de escala de intervalos:
1
4
9
E3= -23 3. Al medir cierta característica en una población a las unidades estadísticas E 1, E2 y E3 se les asigna los valores 2, 5 y 17 respectivamente usando una escala A. En cambio, usando una escala B, se asignan los valores 5 y 29 a E1 Y E2 y E3 respectivamente. a) ¿Podría afirmarse que A y B son la misma escala de razón? b) ¿Qué podría afirmar sobre el valor de E1 usando la escala B, si se sabe que ambas escalas son nominales?, son ordinales?, son la misma de intervalo? SOLUCIÓN: a. Escala A: E1= 2
E2= 5
E3= 17
Escala B: E1= ?
E2= 5
E3= 29
son diferentes razones geométricas, por lo tanto, son diferentes escalas de razón o cociente.
1
b.
Sobre el valor de E1 usando la escala B, si se sabe que son escalas nominales, se puede afirmar: E1 5, E1 29 (solo que son diferentes) Sobre el valor de E1 usando la escala B, si se sabe que son escalas ordinales, se puede afirmar: E1 5, E1 29 (además de que son diferentes, se puede establecer un orden de menor a mayor) Sobre el valor de E1 usando la escala B, si se sabe que son las mismas de intervalo, se puede afirmar: E1 5 (además de que son diferentes, se puede establecer un orden de menor a mayor) Pero también se puede establecer la siguiente proporción geométrica de los intervalos entre las escalas A y B:
(se comprueba que
es menor que 5 y 29)
4.
Sean X1 = -1, X2 = 0, X3 = 1, mediciones de una variable X a tres elementos de una población en una determinada escala. Suponga que son válidas las transformaciones: i) Y = 2X 5, ii) Y = X² + 3 a) Si la escala es nominal, ¿están las mediciones transformadas también en escala nominal? b) Si la escala es ordinal, ¿están las mediciones transformadas también en escala ordinal? c) Si la escala es de intervalos, ¿están las mediciones trasformadas en la misma escala de intervalos? SOLUCIÓN: i) Y = 2X 5 ii) Y = X² + 3 X1 = -1 Y1 = 2 (-1) – 5 = -7 X1 = -1 Y1 = (-1)2 + 3 = 4 X2 = 0 Y2 = 2 (0) – 5 = -5 X2 = 0 Y2 = (0)2 + 3 = 3 X3 = 1 Y3 = 2 (1) – 5 = -3 X3 = 1 Y3 = (1)2 + 3 = 4 a) Si la escala es nominal: Las mediciones transformadas: Las mediciones transformadas: Y1 = -7, Y2 = -5, Y3 =- 3, también están en escala Y1 = 4, Y2 = 3, Y3 = 4, no están en escala nominal, nominal, ya que se puede indicar que son ya que se no puede indicar que son diferentes diferentes entre sí, es decir: entre sí, ya que: Y1 Y1 Y3 Y1 Y3 = 4 b) Si la escala es ordinal Las mediciones transformadas: Las mediciones transformadas: Y1 = -7, Y2 = -5, Y3 =- 3, también están en escala Y1 = 4, Y2 = 3, Y3 = 4, no están en escala ordinal, ordinal, ya que se puede indicar que son ya que se no puede indicar que son diferentes diferentes entre sí y además establecer un orden entre sí ni establecer un orden entre ellas ya que: entre ellas, es decir: Y1 Y3 = 4 Y1 Y1 Y3 c) Si la escala es de intervalos Las mediciones transformadas: Las mediciones transformadas: Y1 = -7, Y2 = -5, Y3 =- 3, también están en escala Y1 = 4, Y2 = 3, Y3 = 4, no están en escala de de intervalo, ya que se puede indicar que son intervalo, ya que no se puede indicar que son diferentes entre sí, establecer un orden entre ellas diferentes entre sí, ni establecer un orden entre y comparar intervalos, es decir: ellas, ni comparar intervalos, es decir: 4 – 4 c(4 – 3), c 0 -3 – (-7) =2-5 – (-7), es obvio que: 1 – (-1) = 2(1 – 0)
2
5. Sean X1 = O e y1= 32 dos valores asignados al mismo elemento para medir la temperatura, y, x2 = 100 e y2 = 212 dos valores asignados a la temperatura de otro elemento. Si los valores X (Grados centígrados o Celsius ) e Y (grados Fahrenheit ) están en escala de intervalos, hallar la relación entre X e Y Y = aX – b SOLUCIÓN: (0;32) y (100;212) son dos puntos que deben satisfacer la ecuación Y = aX – b Es decir: 32 = a(0) – b …(1) 212 = a(100) – b …(2) b = 32, a = 9/5 la relación entre X e Y es Y = (9/5)X –32 6. Al medir cierta característica en una población, las escalas A Y B asignan valores elemento. Si la relación entre los valores es:
xe y a
un mismo
+4 ¿Son ambas escalas A y B,
a) de intervalos?,
B) de razón?
SOLUCIÓN: a) Sean: X1 = -1, X2 = 0 , X3 = 1 (Puede elegirse cualquier terna que pertenezca a los números reales) Y1 = Y2 = Y3 = Se cumple, con valores de x: 1 – (-1) = 2(1 – 0) También con valores de y:
Se observa que en la escala A un intervalo 1 - (-1) = 2 es el doble del otro (1 – 0 = 1) Se observa que en la escala B un intervalo (
) es el doble del otro
Como en ambas escalas A y B se puede establecer una comparación de intervalos, para XR, para YR. Según la trasformación dada, se concluye que ambas escalas son de intervalos. b) Igualmente a lo anterior, se supone que la escala A es de razón, si se escogen tres números reales para la escala A: X1 = 1 Con esta terna se pueden establecer las siguientes relaciones: X2 = 2 2/1 = 2, 8/1 = 8, 8/2 = 4 A es escala de razón. X3 = 8 De acuerdo al transformación dada Y1 = Y2 =
+ 4, se tiene:
= =
Si la escala A es de razón, la escala B no podrá ser de razón, porque no mantiene las razones de los valores
Y1=
=
de la de la escala de A.
3
7. Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que están medidas las siguientes características SOLUCIÓN: RESPUESTA POR SU NATURALEZA
POR SU ESCALA DE MEDICIÓN
CUALITATIVA CUALITATIVA CUALITATIVA CUANTITATIVA DISCRETA CUALITATIVA CUALITATIVA CUALITATIVA CUANTITATIVA CONTINUA DISCRETIZADA CUALITATIVA CUANTITATIVA CONTINUA CUALITATIVA
NOMINAL NOMINAL ORDINAL DE RAZÓN NOMINAL NOMINAL INTERVALO DE RAZÓN NOMINAL DE RAZÓN NOMINAL
VARABLE ESTADÍSTICA Profesión Nacionalidad Grado de instrucción Número de hijos Numero de teléfonos Dirección Año de nacimiento Edad Estado civil Ingreso mensual familiar promedio Número de DNI
8. Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo (B), medio (M), alto(A), 20 familias dieron las siguiente respuestas: M, B, B, M, A, B, B, M, M, B, M, B, B, A, M, B, M, A, M. B. Construir la distribución de frecuencias y trazar su gráfica. SOLUCIÓN: TABLA DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE ESTADÍSTICA CUALITATIVA “NIVEL SOCIOECONÓMICO” NIVEL fi hi Fi Hi pi SOCIOECONÓMICO A 4 0.20 4 0.20 20% M 8 0.40 12 0.12 40% B 8 0.40 20 1.00 40% GRÁFICO CIRCULAR DEL VARIBLE ESTADÍSTICA "NIVEL SOCIECONÓMICO"
0% 29%
71%
4
GRÁFICO DE BARRAS DE LA VARIABLE CUALITATIVA O CATEGÓRICA "NIVEL SOCIOECONÓMICO" 16 14 FAMILIAS
12 10 8 6 4 2 0
NIVEL SOCIOECONÓMICO
9. Se revisaron 20 lotes de 48 artículos cada uno y se encontró el siguiente número de artículos defectuosos por lote: 3, 2, 5, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 2, 3 Construir la distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Graficar. ¿Qué porcentaje de lotes tienen dos o más pero menos de cuatro artículos defectuosos? SOLUCIÓN: a) TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS RELATIVAS SIMPLES Y ACUMULADAS DE LA VARIBLE ALEATORIA CUANTITATIVA DISCRETA “Nº DE ARTÍCULOS DEFECTUOSOS POR LOTE”
X: Nº de artículos defectuosos por lote X 0 1 2 3 4 5 TOTAL
fi 2 3 4 6 4 1 20
Fi 2 5 9 15 19 20 -
5
hi 0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.05 1.00
Hi 0.1 0.25 0.45 0.75 0.95 1.00 -
Frecuencias relativas simples
GRÁFICO DE LA VARIABLE ALEATORIA CUANTITATIVA DISCRETA "Nº de artículos defectuosos por lote" 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0
1
2
3
4
5
6
Nº de artículos defectuosos por lote
b) Se observa en la tabla de frecuencias relativas que el 20 % de lotes tienen 2 artículos defectuosos y el 30 % de los lotes tienen 3 artículos defectuosos, es lo mismo que decir que el porcentaje de lotes que tienen dos o más pero menos de cuatro artículos defectuosos es el 20 % más el 30 %, lo que sumado da 50 % Rpta. 10. Determinar los intervalo de la distribución de frecuencias en cada uno de los siguientes casos: a) Datos enteros, Xmin = 10, Xmax = 50 y k = 8 intervalos b) Datos con dos decimales, Xmin = 2.55, Xmax = 3.86 y k = 7 intervalos c) Catos con tres decimales, Xmin = 0.282, Xmax = 0.655 y k = 6 intervalos SOLUCIÓN: a) Amplitud = 50 – 10 = 40 TIC = Tamaño de intervalo de clase
b) Amplitud = 3.86 – 2.55 = 1.31 TIC = Tamaño de intervalo de clase
c) Amplitud = 0.655 – 0.282 = 0.373 TIC = Tamaño de intervalo de clase
6
11. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron: 31 17 27 20 28 10 34 25 4 24 15 39 18 30 41 26 12 46 18 23 36 19 29 37 33 27 27 24 26 31 25 28 33 28 22 23 31 29 35 21 a) Construir una distribución de frecuencias de 7 intervalos de clase. b) Determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares. SOLUCIÓN: a) n = numero de datos = 40 Xmin = 4 Si no dieran el número de intervalos se puede calcular con la fórmula de Sturges: Xmax = 46 k = 1 + 3.3logn = 1 + log(40) = 6.29 7 K=7 TIC = TABLA DE FRECUENCIA DE LA VARIABLE ALEATORIA CUANTITATIVA CONTINUA “INVERSIÓN ANUAL (EN MILES DE DÓLARES)” Xi fi hi Fi Hi pi > 7 1 1 0.025 2.5% 4, 10 > 0.025 13 3 0.075 4 0.100 10, 16> 7.5% 0.150 10 0.250 16, 22> 19 6 15% 0.300 22 0.550 22, 28> 25 12 30% 0.275 33 0.825 28, 34> 31 11 27.5% 0.125 38 0.950 12.5% 34, 40> 37 5 0.050 40 1.000 40, 46> 43 2 5% TOTAL 40 1.000 100%
b) 10
14
16 X%
7.5%
20
22 miles de dólares
y% 15%
El 7.5% de las pequeñas empresas tiene entre 16 – 10 = 6 mil dólares Si 7.5% - 6 mil dólares X% - (16 – 14) = 2 mil dólares El 15% de las pequeñas empresas tienen entre 22 – 16 = 6 mil dólares Si 15% - 6 mil dólares y% - (20 – 16) = 4 mil dólares
2.5% + 10% = 12.5% Rpta. 7
8
