POTENCIAL ELECTRICO ELECTRICO
Concepto: Se define en función de la energía y de la carga eléctrica expresado como el cociente resultante de dividir la energía potencial eléctrica U p o el trabajo t rabajo eléctrico entre la carga eléctrica de prueba positiva. Matemáticamente Matemáticamente se expresa mediante la siguiente ecuación: ecuación:
V =
U p qo
=
W qo
Unidad: n el S! es:
(
U p ( Joule ) =V J = volts qo ( Coulomb ) C
)
l potencial eléctrico es una cantidad escalar. 1eV= 1,6x10-19C.V= 1,6x10-19 J Potencial Eléctrico de una carga puntual Se anali"a partiendo del potencial eléctrico y de la energía:
V =
U p qo
… … … … . ( 1)
Se sabe #ue:
U p=
K q q o … … … … .. ( 2 ) r
$eempla"ando ecuación %&' en %('
K q qo V =
V =
r qo
K q r
Potencial debido a un sistema de cargas cargas puntuales : n
V =V 1 +V 2 + … + V n=
∑ = i
1
k qi ri
Potencial debido a distribuciones continas de carga carga
1
∫ k rdq
V =
)eterminación del campo eléctrico a partir del potencial. l campo eléctrico apunta en la máxima disminución del potencial.
El=
−dV dl
!radiente: Un vector #ue se*ala en la dirección de la máxima variación de una función escalar y cuyo módulo es igual a la derivada de dic+a función respecto a la distancia en la dirección indicada, se llama gradiente de la función. l campo eléctrico es el negativo del potencial -.
E x =
−dV ( x ) dx
Er =
dV ( r ) dr
2
Relación general entre E y V
(
∂ ^ ∂ ∂ ^ i+ j+ k V ∂x ∂ y ∂z
(
∂ V ^ ∂V ∂V ^ i+ j + k ∂x ∂y ∂z
E=−∇ V =− ⃗
E=−∇ V =− ⃗
)
^
)
^
b
∫
V b−V a=− E .d⃗ l ⃗
a
Se sabe #ue: cos
E . d l E dl
=
E . d l = E dl cos b
∫
V b−V a=− E dl cos a
nergía otencial de dos cargas puntuales
U = qo V =
k qo q r
/unciones potenciales (.
n el eje de un anillo uniformemente cargado
V = &.
k!
√ x + a 2
2
" ( V = 0 en| x|= # )
n el eje de un disco uniformemente cargado
(√
V =2 $k% | x| 0.
2
)
& 1+ 2 −1 " ( V =0 en| x|=# ) x
róximo a un plano infinito de carga
V =V o −2 $k% | x| , ( V =V o en x = 0) V = 1.
k! " r ' & ( V =0 en r =# ) r
ara una corte"a esférica de carga
V =
2.
k! " r ( & ( V =0 en r =# ) &
ara una línea infinita de carga
V =−2 k) ln
& re* &
"
%-34 en r3 $ ref '
EJERCICIOS N°3: Diferencia de potencial (.
&.
0.
1. 2.
Un campo eléctrico uniforme de valor &5678 está en la dirección x. Se deja en libertad una carga puntual 9 3 0 8 #ue está inicialmente en reposo en el origen. %a';8uál es la diferencia de potencial - %1m' - - %4'< %b' ;8uál es la variación de energía potencial de l a carga desde x34 +asta x3 1 m< %c' ;8uál es la energía cinética de la carga cuando está en x3 1m< %d' 8alcular el potencial -%x' si se toma -%x' como cero para x34 %e' 15- para x34 y %f' cero para x3 ( m. Un ca*ón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de televisión. =os electrones parten del reposo y se acelera dentro de una diferencia de potencial de 04 444 -. ;8uál es la energía de los electrones al c+ocar contra la pantalla, expresada %a' en electrón> voltios y %b' en julios< %c' ;8uál es la velocidad de los electrones al c+ocar con la pantalla del tubo de televisión< n un relámpago típico la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de (,4 x (4?- y la cantidad de carga transferencia es de unos 04 8. %a' ;8uánta energía se libera< %b' Si toda la energía liberada pudiera emplearse para acelerar un automóvil de (&44 5g desde el reposo, ;cuál sería su velocidad final<%c' Si pudiera emplearse para fundir +ielo, ;cuánto +ielo fundiría a 448. 8onsidere un protón con una energía cinética de @4.&x (4>(? A. ;9ué diferencia de potencial se necesita para detener al protón< Un deuterón se acelera desde el reposo +asta una rapide" de 0.& x(4B m7s entre dos puntos #ue se encuentran a una diferencia de potencial. ;9ué valor de velocidad ad#uiriría una partícula alfa si se acelera desde el reposo entre los mismos puntos<
# B.
n una cierta región, el campo eléctrico está dado por
$
=
2444iC
−
044 "C
678. ncuentre la
%
diferencia de potencial -D > -E si 3 %4, 4, 4' y 3 %4, 4, 2' m. )os grandes placas conductoras paralelas están separadas @ cm y tienen cargas de igual magnitud y signos opuestos en sus superficies internas. Un protón #ue se encuentra en un punto e#uidistante de las placas siente una fuer"a de (.B x (4>(1 6. ;8uál es la diferencia de potencial entre las placas< @. Una carga puntual 9 3 4,1 G8 está locali"ada en %&H 0H 0' m en coordenadas cartesianas. Ialle la diferencia de potencial V $% , donde el punto E es %&H &H 0' m y D es %>&H 0H 0'. Rpta: 2.! V ?. Una carga lineal uniforme con &l 3& G87m yace en el plano " 3 4 paralelo al eje x en y3 0 m. Ialle la diferencia de potencial V $% para los puntos E %&H 4H 1' m y D %4H 4H 4' m. Rpta: "#$.% V F.
Potencial (4. l potencial en el punto ( es -( 3 > B? -, y el potencial en & es - & 3 J &44-. ;8uánto trabajo se reali"a por una fuer"a externa para mover una carga # 3 > &?F K8 desde & a (< ##. )os cargas #( 3 0 K8 y #& 3 2 K8 se colocan sobre el eje x, # ( en x 3 >( m y # & en x 3 0m. 8alcule el potencial eléctrico en el punto %> (, 1'm #2. 8onsidere una carga puntual &. E una distancia r de la carga, la magnitud de la intensidad del campo eléctrico es 3 002 678 y el potencial eléctrico es - 3 &0F -. )etermine el valor de & y de r . ´ 13. )os cargas puntuales # y # están separadas por una distancia a. n un punto a la distancia a70 de # y a lo largo de una línea #ue une las dos cargas, el potencial es cero. )etermine la relación #7#´
(1. Una pe#ue*a esfera de 0,&4 g de masa cuelga de un +ilo entre dos placas paralelas verticales separadas 2, 44 cm. =a carga en la esfera es ' = (,)0 x 10 -6 C. ;9ué diferencia de potencial entre las placas +ará #ue el +ilo forme un ángulo de 4 04,4 con la vertical< 300
q 5,00 cm
'eter(inación del ca(po eléctrico a partir del potencial
15. El potencial en una región entre x = 0 y x = 6.00 m es V = a !x, "on"e a = 10.0 V y ! = # $.00 V%m. &etermine a' el potencial en x = 0, 3.00m y 6.00 m y !' la magnitu" y "irección "el campo el(ctrico en x = 0, 3.00m y 6.00 m. 16. El potencial el(ctrico en cierta región "el espacio est) "a"o por V ) $! * 2 + ,! y2 - ! 2 *olts. Encuentre+ a. la intensi"a" "el campo el(ctrico !. las componentes "el campo el(ctrico en el punto 1, 3, 2' "on"e to"as las "istancias est)n en metros. 1$. -o!re cierta región "el espacio, el potencial el(ctrico est) "etermina"o por V= 5 x 2 – 2 x 2 y + 4 y z 2 + 3 xz. &etermine las expresiones para las componentes x, y, y "el campo el(ctrico en esta región. /u)l es la magnitu" "e la intensi"a" "el campo el(ctrico en el punto , con coor"ena"as # 3, 2, # 5' metros (@. Un campo eléctrico viene dado por # x3&,4 x* 5678. determinar la diferencia de potencial existente entre los puntos del eje x situados en x3(m y x3 & m. (?. l potencial eléctrico sobre una región particular está dado por V)/*y2"%0 . )etermine el ángulo entre la dirección del campo , y la dirección del eje positivo de las x en el punto , cuyas coordenadas %en metros' son %(H 4H ('. &4. Un campo eléctrico uniforme de magnitud 0&2 -7m está dirigido en dirección negativa de las y. =as coordenadas del punto E %>4,&H >4,0' m, y las del punto D son %4,1H 4,2'm. 8alcule el potencial -D L -E utili"ando la trayectoria E8D
Potencial V para di1triucione1 contin3a1 de carga
&(. =a barra delgada uniformemente cargada #ue se observa en la y figura tiene una longitud = y una densidad de carga . )eterminar la expresión para el potencial eléctrico en un P punto P , a una distancia a lo largo del eje y positivo.
b
x a
L
&&. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 124 - en su superficie. E una distancia radial de &4 cm de esta superficie, el potencial es (24 -. ;8uál es el radio de la esfera y cuál es la carga de está< &0. Un alambre con una densidad de carga uniforme se dobla como se muestra en la figura. )etermine el potencial eléctrico en el punto +.
0
R 2R
2R
&1. Un disco de radio tiene una densidad de carga superficial no uniforme =Cr , donde 8 es una constante y r se mide a partir del centro del disco. )etermine %por integración directa' el potencial en . R
x
