MODULO 07 Ejemplo. Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable aleatoria Y = X 2 . La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si x∈{1,2,3,4,5,6}. La función de probabilidad de Y = X2 es entonces f(y) = 1/6 si y∈{1,4,9,16,25,36}, así E(Y) = 1/ 6*1 + 1/6*4 + 1/6*9 + 1/6*16 + 1/6*25 + 1/6*36 = 12*P(X=1) + 22*P(X= 2) + 3 2*P(X= 3) + 4 2*P(X= 4) + 5 2*P(X= 5) + 6 2*P(X= 6) = ∑ X2*P(X=x) Ejemplo. Supongamos ahora que X es una v.a. que tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si x ∈{2,-1,0,1,2,3}y Y = X 2 . La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si y ∈{1, 4} y f(y) = 1/6 si y ∈{0, 9}. Entonces E(Y) = 2/ 6*1 + 2/6*4 + 1/6*0 + 1/6*9. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: E(Y) = 2/ 6*1 + 2/6∗4 + 1/6*0 + 1/6*9 = 1*P(Y=1) + 4*P(Y=4) + 0*P(Y=0) + 9*P(Y=1) = 12*P(X=1 ó X=-1) + 2 2*P(X=2 ó X=-2) + 0 2*P(X=0) + 32*P(X=3) = ∑ X2*P(X=x) Ejemplo, Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se ganan 300 pts, si está comprendida entre entre 7 y 9 se ganan 100 100 pts. y para cualquier cualquier otro resultado resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de 50 pts?
Solución. El espacio muestral para el problema es Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36 puntos muestrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36. Se define la v.a. X: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4, ....,12. La tabla con la fdp inducida es x Sucesos f(x) 2 {(1,1)} 1/36 3 {(1,2), (2,1)} 2/36 4 {(1,3), (2,2), (3,1)} 3/36 5 {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 4/36 6 {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 5/36 7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 6/36 8 {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} 5/36 9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36 10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36 11 {(5,6), (6,5)} 2/36 12 {(6,6)} 1/36 La tabla de la función premio es x h(x) 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 100 8 100 9 100 10 300 11 300 12 300 Por lo tanto el valor esperado del premio es
en consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea 50 ptas.
LA VARIANZA Ejemplo. Consideramos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad, c f(x)
= 4
x
x
0
≥ 1
otro
caso
Obtener el valor de la constante c para que sea una función de probabilidad, los valores de las funciones de probabilidad y distribución para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x≤3). Solución: Para ello consideramos, ∞
∑
c
= 4
x 1
x
1 1 1 c = c + + + = , 4 4 4 3 1
2
3
ya que tenemos la suma de una progresión geométrica de razón menor que la unidad:
Calculemos sucesivos valores de f(x) y F(x), x 2 3
4
5
…
f(x)
3/4
3/16
3/64
3/256
…
F(x)
0.75
0.94
0.987
0.999
….
Y como se observa que: si x crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su máximo valor 1 P(X=3)=f(3)=0.047 P(X≤3)=0.987
Ejemplo para la variable aleatoria continua, función de densidad cx 3
f(x)
=
0
0
x ≤
otro
1
caso
Hallar: El valor de la constante c para que sea una función de densidad, la función de distribución, el valor medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7 Solución. Consideremos, 1
∫ 0
cx 3 dx = c
x4 4
1
= 0
c 4
La cual debe ser de valor 1, e ntonces c/4=1, esto es, c=4 F( x ) =
x
∫
f ( x )dx =
−∞
x
∫ 4x −∞
3
dx = 4
x4 4
x
=x 4 0
luego, la función de d istinción acumulada es F(x)=x4 para 0
∞
∫
x ⋅ f ( x )dx =
−∞
1
∫ 0
x ⋅ 4x 3 dx = 4
x5 5
1
=0.8 0
P(0.2≤x≤0.7)=F(0.7)-F(0.2)=0.72-0.22=0.24 Ejemplo, Calcule la varianza de la variable aleatoria x, que representa el número de puntos obtenidos con un dado. µ=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 µ`2=E(X2)=12*1/6+22*1/6+32*1/6+42*1/6+52*1/6+62*1/6
Sabemos que σ2=µ`2-µ2=((91/6)-(7/2)2=35/12
MOMENTOS Ejemplo, Ciertas mediciones codificadas del diámetro del avance de la cuerda de un ajuste tienen la densidad de probabilidad
4 2 0< x< 1 f (x) = π (1 + x ) 0 otro Determine el valor esperado y la varianza
µ′2 = E (X
2
)=
4
1
x2
π ∫ 1 + x 0
2
1
4
0
π(1 + x )
= ∫ x ⋅
Aplicando la definición, E ( X )
dx
=
4
π
2
dx =
ln 4
π
= 0.4413
− 1 = 0.2732
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Ejemplo, Si la densidad de probabilidad de la variable aleatoria x está dada por
630x 4 (1 − x) 4 0 < x < 1 f (x) = otro 0 Determine la probabilidad de que x tome un valor contenido en dos desviaciones estándar de la media y compárela con el límite inferior proporcionado por el teorema de Chebyshev Integrando directamente, obtenemos que µ=1/2 y σ2=1/44 o sea σ=0.15 Por tanto, la probabilidad de que x tome un valor contenido en dos desviaciones de la media es la probabilidad de que tome un valor entre 0.20 y 0.80,
P( 0.20 < x < 0.80) =
0.80
∫
0.20
630 x 4 (1 + x ) 4 dx = 0.96
Comparando: la probabilidad de 0.96 es mucho mas especifico que la probabilidad es cuando menos 0.75, enunciado por el teorema de Shebyshev TEOREMA DE FOURIER – FUNCION GENERATRIZ Ejemplo, Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad está dada por,
e− x x > 0 f(x) = 0 otro
Utilícela para hallar µ`r
M x ( t ) = E(e tx ) =
∞
∫ 0
∞
∫ e
e tx ⋅ e −x dx =
−x (1−t )
0
dx =
1 1− t
Expandiendo en la serie de McLaurin,
M x (t)
=
1+ t + t
Por consiguiente,
2
+
+ t
µ ′r =
r !
r
+
= 1 + 1!⋅
t 1!
+
2!⋅
t2 2!
+
+ r !⋅
t r r !
+
∀ r
ESPERANZA CONDICIONAL Ejemplo, Si la densidad conjunta de dos variables aleatorias x y y está dada por
2
f (x) = (x − 2y) para valores 0 < x < 1 y 0 < y < 1 3 Determine la media y la varianza condicionales de x dada y=1/2
Ejemplo: X es la Suma Obtenida en el Lanzamiento de Dos Dados
En promedio la suma obtenida en N tiradas es de “7”. Si pagaramos en pesos la suma obtenida en cada lanzamiento, deberíamos cobrar más de 7 pesos para obtener utilidad en el juego. En la variable X, distancia del centro al punto de impacto del tirador, el valor esperado es:
Varianza Poblacional *. Demostrar
ó *. Pasra el juego dominó, Calcular el valor esperado para la variable diferencia en el ejemplo del dominó. *. Si usted juega chance, calcule su valor real de acuerdo con los premios que espera obtener y compárelo con lo que realmente paga. *. Tome un billete de lotería y calcule su precio equitativo. *. Un contrabandista se enfrenta al siguiente dilema: Introducir o no, mercancía por valor de 5'000.000 obteniendo una utilidad de 1'000.000. El riesgo de ser detectado y castigado con el decomiso de la mercancía es del 17%. ¿Que le aconseja usted.?
