MECANICA DE SOLIDOS II
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MECANICA DE SOLIDOS II
VIGAS 1) Determinar las ecuaciones y diagramas del esfuerzo cortante y del momento
flector de la viga bi apoyada de la figura, sometida a una carga uniforme q y una carga puntual P, tal y como se indica: q
P
A
B
l /2
l /4
l /4
Solución:
btenci!n de las reacciones: =
−
−q
=
,
=
+q
∑ Mb =0 Ra× I −q 1 / 2 × 3 I / 4− P 1 / 4 = 0, Ra= P / 4 + 3 qI / 8
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MECANICA DE SOLIDOS II
Determinaci!n de las fuerzas de secci!n
q M A
Q
RA
x
∑F
=0 R A − q ⋅ x − Q = 0 Q = R A − q ⋅ x; → Re cta y
∑M = 0 Rb*x-q.x.x/2-M=0 M=Ra
q M A
Q l /2 x
R A
4
MECANICA DE SOLIDOS II
∑F
y
=0
Rb-q*1/2-Q=0 Q = R A
−
q⋅l 2
; → Constante
∑M = 0 M = R A
l ⋅ x − q ⋅ ⋅ x − 2
l → Recta 4
q
P M
A
Q
l /2
R A
∑F
y
l /4
x
=0
Rb-q*/2-P-Q=0 Q-Ra-Q/2-P-P/4!"*q*1/#-q*/2-P=-"*P/4-q*/#=-Rb$ constante
∑M = 0 RA*%-q*1/2&x-1/4'-P&x-"/4'$ Recta.
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MECANICA DE SOLIDOS II
⋅
Diagrama de esfuerzos cortantes
Diagrama de momentos flectores:
Deformada de la viga:
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MECANICA DE SOLIDOS II
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S"#$%AS A#&AD'#AS 2).
%allar las fuerzas que act(an en la estructura que se muestra en la siguiente )igura*
SOLUCION Primero: (alla)os las eacc+ones en el ,nto y
•
)ato+a e e3as
∑ Fy =0
∑ MD =0
R D+R E= 60+120+240
R E*3=60*0.5+120*1.5+60*2.5
R D+R E= 240
R E= 120kg
R D= 120kg
R D= 120kg
= act5
( )
9 = act5
( )
= act5
( )
0.75 1
= "6.#78
1.5 0.5
= 71.:78
0.75 0.5
= :6."18
Segundo : Po el )
•
>?@
∑ FH =0 FDF *cos 9 = FDA *cos FDF *cos 71.:7 = FDA *cos "6.#7 F DA∗cos36.87 FDF =
BBBBBBBBBBB.1
cos71.57
∑ FV =0 FDA *sen = 120 ! FDA *sen 9 BBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 1 en 2 F DA∗cos36.87 FDA *sen "6.#7 = 120 !
cos71.57
*sen71.:7
F DA∗cos36.87 FDA *sen "6.#7-
cos71.57
*sen71.:7 = 120
FDA = - 66.667 kg FDF = - 168.699 kg
•
NUD F
∑ FH =0 FF! = 168.699*cos 9 ! FFA cos FF! = 168.699*cos 71.:7 - FFA cos :6."1 BBBBBBBBBBB.1
∑ FV =0 FFA *sen = 16#.6 *sen 9 - 60 FFA *sen :6."1 =16#.6 *sen 71.:7 - 60 FFA = 120. 241 kg BBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 2 en 1 FF! = 16#.6 *cos 71.:7 ! FFA cos :6."1 FF! = 16#.6 *cos 71.:7 ! 120. 241 *cos :6."1 FF! =120.031 kg
•
NUD A
∑ FH =0 FA" - FA! cos = 120.241* cos ! 66.667 cos FA" - FA! cos :6."1 = 120.241* cos :6."1 ! 66.667 cos "6.#7 FA" - FA! cos :6."1 = 120.0.31BBBBBBBBBBB.1
∑ FV =0 FA! *sen = 120.241* sen D 66.667 *sen FA! *sen :6."1 = 120.241* sen :6."1 D 66.667 sen"6.#7 FA! = 72.167 kgBBBBBBBBBBB.2
Ree),la3ano 2 en 1 FA" # 72.167 * cos :6."1 = 120.0.31 FA" = 140.062 kg
$%s s&g'&en(es )'e%s ,e %s %% son &g'%es 'e os n',os %n(e&oes o se % %%,'% s&(&c%.
$+'&AS 3)
+a columna uniforme A- consta de una secci!n de . ft de tubo estructural cuya secci!n se muestra* a/ 'sando la f!rmula de "uler y un factor de seguridad de 0, 1alle la carga c2ntrica admisible para la columna y el correspondiente esfuerzo normal* b/ si la carga permisible, 1allada en la parte a, se aplica a 3*45 in del e6e geom2trico de la columna, determine la defle7i!n 1orizontal del tope de la columna y el esfuerzo normal m87imo en la columna* $onsidere " 9 07;3<= psi*
SOLUCIÓN
+ongitud efectiva* $omo la columna tiene un e7tremo fi6o y uno libre , su longitud efectiva es: +e 9 0>.ft/ 9;= ft 9 ;0 in* $arga cr?tica* 'sando la f!rmula de "uler, se escribe* cr = π
e
¿ cr =
.
ps
a/ $arga admisible y esfuerzo* Para un factor de seguridad 0, se tiene* perm= cr perm=
.
perm=
.
.
ps
b/ $arga e7c2ntrica* bs2rvese que la columna A- y su carga son id2nticas a la mitad superior de la columna* +a defle7i!n 1orizontal ser8:
[ ( ) ] [ (√ ) ]
0.75 ∈¿ sec
Ym =e sec
π
2 √ 2
−1
π
P −1 =¿ 2 Pcr
0.75 ∈¿ ¿ Ym =¿
"l m87imo esfuerzo normal se obtiene en la ecuaci!n: m =
P A
[
1+
ec r
2
2
sec
1.50 ∈¿ sec
( √ )] π
P
2
Pcr
(√ ) π
π
2 √ 2 0.75 ∈¿ 2 ∈ ¿ ¿ 1+ ¿ 31.1 kips m = ¿ 2 3.54 ¿ 2
[
]
m =8.79 ksi 1+ 0.667∗ 2.252 =22 ksi
P@#I$S DIAG#A&AS D" )'"#BAS "C"#A " I"#AS " +S P#I$S
;* )igura 5: convenciones de las fuerzas internas EJEMPLOS:
;* Dibu6ar los diagramas de fuerzas internas del p!rtico mostrado*
"n este e6emplo se muestra el proceso general para analizar un p!rtico plano, obtener las reacciones, dibu6ar los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y dibu6ar los diagramas de momento, cortante y fuerza a7ial* Se usar8 el elemento gr8fico de la fibra a tensi!n y la convenci!n de dibu6ar el diagrama de momentos del lado de la fibra a tensi!n* "l primer paso en el an8lisis de una estructura es la determinaci!n de las reacciones* Aunque esta estructura tiene cuatro reacciones >inc!gnitas/ y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio est8tico, se puede suponer con razonable l!gica que las reacciones 1orizontales en los apoyos son iguales, es decir que: Ax = Dx = 10/2 = 5 kN
"sta 1ip!tesis, que se podr8 comprobar m8s adelante cuando se presente el m2todo de las fuerzas para el an8lisis de estructuras 1iperest8ticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas*
Para las dem8s reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A, en la estructura: ∑MA = 0 10x4 - 10xDy = 0 Dy = 4 kN
$on los valores de las reacciones encontrados, se dibu6an los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento para ello se 1acen cortes en los miembros*
)igura: diagramas de cuerpo libre con inc!gnitas, seg(n convenci!n general de signos* "n las pro7imidades de los nudos y se colocan las inc!gnitas internas de &, V, , siguiendo las convenciones adoptadas, teniendo en cuenta que la fibra >E/ quede siempre aba6o, tanto para columnas como para vigas* Se muestran en la figura 4 los diagramas de cuerpo libre con los valores de las fuerzas internas en los e7tremos de cada elemento, obtenidos mediante las ecuaciones de equilibrio de la "st8tica, aplicadas en cada miembro*
)igura : diagramas de cuerpo libre de los miembros del p!rtico* $on los valores obtenidos de las fuerzas internas en los e7tremos de los miembros del p!rtico se pueden dibu6ar los diagramas de cortante, momento y el nuevo diagrama de fuerza a7ial >que no e7ist?a en las
vigas/ las ordenadas en las vigas se miden verticalmente y en las columnas 1orizontalmente para evitar confusiones se recomienda el uso de colores diferentes para las vigas y las columnas*
)igura: diagramas de fuerzas internas del p!rtico*
0* Determinar el armado longitudinal de las columnas cuadradas de F3cm 7 F3cm, del p!rtico de la figura, si fc 9 0;3 Hgcm0 y )y 9 J033 Hgcm0*
Para el an8lisis estructural se puede tomar como una buena
apro7imaci!n del efecto de la figuraci!n en el 1ormig!n armado de columnas y vigas, al producto " * I definido mediante las siguientes e7presiones:
+as reacciones de apoyo y los diagramas de momentos flectores para cada uno de los tres estados de carga son:
