EJERCICIOS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS

UNIVERSIDAD PERUANA UNION FACULTADAD DE ING. ARQUETECTURA E.P. ING.CIVIL

Resistencia de materiales I

UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA- ARQUITECTURA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: Resistencia de materiales I TRABAJO:

Presentación de ejercicios DOCENTE: Ing. Ales M. Presentado por: Pacheco Guzmán Gustavo

CICLO: V GRUPO: “A” FECHA: 30/06/2014



RESOLUCION DE EJERCICIOS EJERCICIO N° 1 Si la viga está sometida a un momento flexionante de M=10KN-m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga

𝜎𝑚𝑎𝑥 =

𝑀. 𝑐 𝐼

M=10KN

SOLUCION:

1

̅ (𝒎𝒎𝟐 ) AREA (𝒎𝒎𝟐 ) 𝒀 (30mm)(400mm)=12000mm2 200mm2

̅ (𝒎𝒎𝟑 ) A𝒀 2400000 mm3

2

(140mm)(30mm)=4200mm2

273000 mm3

3

(30mm)(400mm)=12000mm2 200mm2

2400000 mm3

4

(140mm)(30mm)=4200mm2

1407000 mm3

FIGURAS

65mm2 |

335mm2

Σ𝐴 = 32400 mm2 Σ𝐴𝑌 = 6480000mm3 ΣAY ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑌 = Σ𝐴

Y=

6480000mm3 32400 mm2

=200mm

𝐼𝑇 = Σ(𝐼 + 𝐴𝑑2 )

30. 4003 140. 303 2 IT = [2 ( + (12000)(0) ) + 2 ∗ ( + (4200)(135)2 )] 12 12 𝑰𝑻 = 𝟒𝟕𝟑. 𝟕𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒


𝜎𝑚𝑎𝑥 =


𝑀.𝑐 𝐼

𝜎1 = −

(10 × 103 )(200) = −𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝑴𝑷𝒂 473.720 × 10−9

(10 × 103 )(120) 𝜎2 = = 𝟐. 𝟓𝟑𝟑𝑴𝑷𝒂 473.720 × 10−9 𝜎3 = −

(10 × 103 )(200) = 𝟒. 𝟐𝟐𝟐𝑴𝑷𝒂 473.720 × 10−9

(10 × 103 )(180) 𝜎4 = − = 𝟑. 𝟖𝑴𝑷𝒂 473.720 × 10−9

EJERCICIO N°2 Si la viga está sometida a un momento flexionante de M=50KN-m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga

SOLUCION: FIGURAS AREA (𝒎𝒎𝟐 ) 1 (200mm)(20mm)=4000mm2

̅ (𝒎𝒎𝟐 ) 𝒀 290mm2

̅ (𝒎𝒎𝟑 ) A𝒀 1160000mm3

2

(20mm)(260mm)=5200mm2

150mm2

780000 mm3

3

(200mm)(20mm)=4000mm2

10mm2

40000mm3

Σ𝐴 = 13200 mm2



Σ𝐴𝑌 = 1980000mm3 Y=

1980000mm3 13200 mm2

=150mm

𝐼𝑇 = Σ(𝐼 + 𝐴𝑑2 ) El esfuerzo 200. 203 20. 2603 2 IT = [2 ( + (4000)(140) ) + ( + (5200)(0)2 )] 12 12 𝑰𝑻 = 𝟏𝟖𝟔. 𝟑𝟔 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒

𝜎𝑚𝑎𝑥 =

𝑀. 𝑐 𝐼 𝜎1 = −

(50 × 103 )(0.15) = −𝟒𝟎. 𝟐𝟒𝟓𝑴𝑷𝒂 186360 × 10−9 m4 𝜎2 =

𝜎3 =

(50 × 103 )(0) =0 186360 × 10−9 m4

(50 × 103 )(0.15) = 𝟒𝟎. 𝟐𝟒𝟓𝑴𝑷𝒂 186360 × 10−9 m4

EJERCICIO N°3 Si sabe que el par mostrado en la figura actúa en un plano vertical, determine en a) el punto A, b) el punto B



SOLUCION Fig 1 2

3

𝒚=

Área 4.8(2.4) 19.52 𝜋(0.75)2 4 0.441 𝜋(0.75)2 4 0.441

𝒚 1.2

𝑨𝒀 13.824

1.2

0.53

1.2

0.53

𝚺𝐀𝐘 𝑨

𝑦 = 1.199 Determinando momento de Inercia. (I) Σ𝐼 = Σ(𝐼 + 𝐴𝐷2 ) 4.8(1.2)3 𝜋(0.75)4 𝜋(0.75)4 2 ΣI = ( + 11.52(0) ) − ( )−( ) 12 4 4 ΣI = 0.194 El esfuerzo 𝜎=

𝑀𝐶 𝐼 𝜎𝑎 =

25 ∗ 103 (1.2 ∗ 10−6 ) 0.119 ∗ 10−6 𝝈𝒂 = 𝟏𝟓𝟒. 𝟔𝟑𝟗

𝜎𝑏 =

25 ∗ 103 (0.45 ∗ 10−6 ) 0.194 ∗ 10−6

25 ∗ 103 (0.45 ∗ 10−6 ) 𝜎𝑏 = 0.194 ∗ 10−6 𝝈𝒃 = 𝟓𝟕. 𝟗𝟖𝟗



EJERCICIO N°4 El eje se sostiene mediante un cojinete de empuje liso en A y una chumaceda lisa en D. Si el eje tiene la sección transversal mostrada en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en el eje.

MOMENTO Σ𝑀 = 0 Σ𝑀 = −3(1.5) + 3(0.75) + 𝑀 = 0 𝐌 = −𝟐. 𝟐𝟓 Determinando momento de Inercia. (I) 𝜋(40)4 𝜋254 𝐼= − 4 4 𝐼 = 1.703 ∗ 10−6 El esfuerzo 2.25 ∗ 10−6 (40 ∗ 10−6 ) 𝜎= 1.703 ∗ 10−6 𝝈 = 𝟓𝟐. 𝟖𝟒 𝑲𝑵



EJERCICIO N°5 L a viga mostrada en la figura está hecha de un nylón para el cual el esfuerzo permisible es de 24 MPa en la tensión y de 30MPa en comprensión. Determine el máximo par M que puede aplicarse a la viga.

SOLUCION: Figura 1

Area 40(15) 600 20(15) 300 𝚺𝒂𝒓𝒆𝒂 = 𝟗𝟎𝟎

2

𝑌=

Y 22.5

AY 13500

7.5

2250 Σ𝐴𝑌=15750

ΣAY Σarea 𝑌=

15750 900

𝒀 = 𝟏𝟕. 𝟓

Determinando momento de Inercia. (I) Σ𝐼 = Σ(𝐼 + 𝐴𝐷2 ) 40(15)3 20(15)3 2 Σ𝐼 = ( + 600(5) ) + ( + 300(10)2 ) 12 12



𝚺𝑰 = 𝟔𝟏𝟖𝟕𝟓 Conversión de esfuerzo a momento 𝜎=

𝑀𝐶 𝐼

𝜎∗𝐼 =𝑀∗𝐶 𝑀=

𝜎𝐼 𝐶

𝑀=

𝜎𝐼 𝐶 40𝑀𝑃𝑎(61.875)𝑚𝑚4 𝑀𝑡 = 12.5 𝑀𝑡 =

40 ∗ 106 (61.875 ∗ 10−6 ) 12.5 ∗ 10−6 𝑀𝑡 = 198𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑐 =

𝜎𝐼 𝐶 40 ∗ 106 (61.875 ∗ 10−6 ) 𝑀𝑐 = 17.5 ∗ 10−6 𝑴𝒄 = 𝟏𝟒𝟏. 𝟒𝟑𝑴𝑷𝒂

EJERCICIO N° 6 Dos fuerzas verticales se aplican a una viga con la sección transversal que se muestra en las figuras determine los esfuerzos máximos de tención y de comprensión en la porción BC de la viga

Calculo de reacciones en el A y D.



[∑𝑀𝑎 = 0] −20𝑖𝑛(25𝐾𝑁) − 80𝑖𝑛(25𝐾𝑁) + 100𝑖𝑛(𝑅𝑑) = 0 𝑅𝑑 = 𝟐𝟓 25𝐾𝑁 + 25𝐾𝑁 =50𝐾𝑁 𝑭 − 𝑹𝒅 = 𝑹𝒂 50𝐾𝑁 − 25𝐾𝑁 = 𝑅𝑎 𝑅𝑎 = 25𝐾𝑁 Hallando el momento. 25kn 25in

25kn

50 in −50𝑖𝑛(25𝑘𝑛) + 25𝑖𝑛(25𝑘𝑛) + 𝑀 = 0 𝑴 = 𝟓𝟎𝟎

𝑌̅

𝐴𝑌̅

N 1 2

A 4 6

0,5 4

2 24

3

8

7,5

60

∑A=18 I1= I2= I3=

∑AY= 86

𝑏∗ℎ3 12 𝑏∗ℎ3 12 𝑏∗ℎ3 12

+ 𝐻𝑑2 = + 𝐻𝑑2 = + 𝐻𝑑2 =

4∗13 12 1∗63 12 8∗13 12

+ 4(4.278)2 = 73.588 + 6(0.778)2 = 73.588 + 8(2.722)2 = 73.588

I = 153.11 A =8-4.778 = 3.22 C = 4.778 = 4.778 Gmax=

𝑀𝑒 𝐼

Gmax= −

500∗4.778 155.11

= 13.336 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛


Gmax= +

500∗4.778 155.11


= 10.386𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

EJERCICIO 7 La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si Wo=0.5kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

0.5 N 0.25

1/3 12 pies

[∑MA = 0] -12 pie (0.5 kip/pie)+24 pie (RD) = 0 RD = 0.5 kip/pie 12

= -0.25 (12) +0.5 ( 3 )+m = -1+ m =6 M=1


N + 2 3

𝑌̅ =

16,5 5.30 0.15

2.4

𝐴𝑌̅ 25.08 15.9 0.36

∑= 41.34

41.34 = 5.3 7.8

I 1,3 = 2⌈

I2 =

𝑌̅

A 2.4

∑ = 7.8


8∗0.303 12

0.30∗1063 12

+ 2.4 (5.15)2 ⌉ = 36,127.308

+ 3(0)6 = 2.5

I1+ I2+ I3= 36152.308 2.5∗5.3

Gmax=3615.308= 1,466

EJERCICIO N° 8 Dos pares iguales y opuestas de magnitud M=25KN*m se aplica a una viga con sección de canal AB. Puesto que los pares provocan que la viga se flexione a un plano horizontal, determine el esfuerzo a9 en el punto c,b) en el punto D,c) en el punto E.

N 1 2 3

A, mm2 3600 4320 3600

𝑥. ̅ mm 60 18 60

𝑎𝑥. ̅̅̅̅mm3 216*103 77.76*103 216*103


5009.76 * 103

∑ = 11520

X=

5009.76 ∗ 103 11520


= 44.25 mm

Yc = 44.25 mm – 0.04425m Yd = 120 -44.25 = 75.75mm = 0.7575 m Ye = 120 – 45.25 = -8.25mm = 0.00825m D1 = 60 - 45.25 = 15.75 mm D2 = 45.25 – 18 = 26.26 D3 = D1 1

1

I1,3 = 2 𝑏1 ℎ3 + 𝐴1 𝑑1 3 = 1

2

1

I2 = 2 𝑏1 ℎ3 + 𝐴1 𝑑1 2 =

(30) (120)3 + (3600) (15.75)3 = 5.2180 ∗ 103 mm4

(120) (36)3 + (4320) (2625)3 = 3.4433 ∗ 103 mm4

2

I = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 6.51883 ∗ 106𝑚𝑚4 = 13.8694 ∗ 10−6 mm4 M= 15*103 N-m a) Punto C: GC =

𝑀𝑦𝑐 𝐼

=

(25∗103 ) (−0.04425 13.8694∗10−6

= 79.8 ∗ 106 𝑃𝑎 = 79.8 MPa

b) Punto D: GD = =

𝑀𝑦𝑐 𝐼

=

(25∗103 ) (0.7575) 13.8694∗10−6

= −136.5 ∗ 106 𝑃𝑎 = -136.5 MPa

c) Punto E: GE =

𝑀𝑦𝑐 𝐼

=

(25∗103 ) (−0.00825) 13.8694∗10−6

=14.87 ∗ 106 𝑃𝑎 = 14.87 MPa

EJERCICIOS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS

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