Ejercicios de Markov

Ejercicios de Markov Ejercicio N°1

Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

Si en la actualidad la participación de mercado es de !"# $!" % &'"# respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más? . En primer lugar definimos la variable aleatoria

(ue representa la marca (ue

ad(uiere un cliente cual(uiera en el mes n. )icha variable aleatoria puede adoptar los valores *#$#& en el mes n+'#*#$#&#.. ,dicionalmente ,dicionalmen te conocemos cu-l es la distribución inicial % la matriz de probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación:

uego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de $ meses /$ etapas0 podemos utilizar la fórmula

:

Se conclu%e (ue las cuotas de mercado /participaciones de mercado0 en dos meses a cambiado de un !" a un '.!1"2 de un $!" a un &&.1*" % de un &'" a un $!.!'"# para las marcas *#$ % & respectivamente. Ejercicio N°2

¿Cuál es la probabilidad que un paciente en estado crítico un día Jueves esté estable el día Sábado?. Sea X!n" la variable aleatoria que indica el estado que se encuentra un paciente cualquiera en el #ospital en el día n. $os valores posibles para dic#a variable son C% S & E% representando los estados crítico% serio & estable% respectiva'ente. (n )ra*o que representa dic#o proceso estocástico dada la tabla anterior es+

a probabilidad de (ue un paciente est3 en estado cr4tico el d4a 5ueves % (ue el d4a S-bado est3 estable# esta dado por:

# es decir# la probabilidad de pasar

del estado cr4tico al estado estable al cabo de $ etapas /d4as0.

6otar (ue de forma e(uivalente se pueden utilizar las ecuaciones matriciales

:

Se comprueba (ue la probabilidad de pasar del estado cr4tico al estado estable al cabo de $ etapas es de un *7". ¿Cuál es la probabilidad que un paciente que está en estado estable el Lunes experimente alguna complicación y no esté estable nuevamente el Miércoles?. En este caso cambia la distribución inicial respecto al escenario anterior /ahora el paciente est- en estado estable0# no obstante# tambi3n resulta de nuestro inter3s analizar (u3 sucede al cabo de $ etapas.

Con color verde se marca la probabilidad de (ue comenzando en un estado estable al cabo de $ d4as un paciente se encuentre en estado cr4tico o serio. a suma de dichas probabilidades es un 88" (ue da respuesta a la interrogante anterior. Ejercicio N°3

Una tienda (ue mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer una demanda /aleatoria0. a demanda diaria )# tiene la siguiente distribución de probabilidades:

Consideremos una pol4tica de inventarios denominada (q,Q), (ue indica (ue si el nivel de inventarios al final de cada d4a es menor a q=2 se ordenan Q=1 unidades adicionales /las cuales se asumen disponibles al inicio

del d4a siguiente0# en caso contrario no se hace ninguna orden. a demanda no satisfecha es venta perdida % ha% $ unidades al final en n=0 /distribución inicial0. Sea Xn el nivel de inventario al final del d4a n/esto corresponde a la definición de la variable aleatoria0# interesa modelar el problema mediante una Cadena de Markov. Un primer desaf4o consiste en determinar los posibles estados (ue puede adoptar la variable aleatoria en una etapa n cual(uiera. 6otar (ue es posible finalizar un d4a sin unidades en inventario# dado (ue si bien esta situación genera una reposición de * unidad# 3sta se asume disponible al inicio del d4a siguiente. ,dicionalmente tambi3n es posible terminar un d4a con * o $ unidades en inventario /en estos casos no se genera reposición0. Sin embargo# no es posible terminar un d4a con & unidades en inventario /recordar (ue en n+' se dispone de $ unidades en inventario % dada la pol4tica de reposición# 3sta se genera cuando se dispone de menos de $ unidades en inventario0. En resumen# los estados posibles para la variable aleatoria son Xn℮{0,1,2}. , continuación estimamos las probabilidades de transición en una etapa las cuales se resumen en la siguiente matriz de probabilidades de transición /matriz 90:

9or ejemplo# si en un d4a n en particular se finaliza con ' unidades en inventarios se genera un pedido (ue al inicio del d4a siguiente permitirdisponer de * unidad2 para (ue dicho d4a /n*0 se termine con ' unidades en inventario se re(uiere (ue la demanda sea ma%or o igual a * unidad /este es el caso de 9''0. ,dicionalmente se pueden estimar las probabii!a!es estacionarias# es decir# (ue en el largo plazo /independiente de la distribución inicial0 se disponga al final de un d4a de '# * o $ unidades en inventario. 9ara ello se debe casi"icar os esta!os de la cadena donde en particular se corrobora (ue 3sta

es irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.

En consecuencia la probabilidad de (ue en el largo plazo se disponga de ' unidades al final de un d4a es de un #0$ /*;$0# tener una unidad es un 3%,#$ /&;<0 % $ unidades un 12,#$ /*;<0. ,lternativamente podemos hacer uso de las ecuaciones matriciales para (ue partiendo de la distribución inicial /dato0 se estime la probabilidad de encontrarse en cual(uiera de los estados al cabo de *# $# =# n etapas /con n (ue tiende a infinito0. )icho resultado corrobora los resultados anteriores:

Se propone al lector comprobar (ue independiente de la selección de la distribución inicial las probabilidades de largo plazo son las e>puestas. Ejercicio N°&

El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000

individuos, 100 compraron el producto el primer mes. !uántos lo comprarán al mes  pró"imo# $ dentro de dos meses# olución& 'ara resolver este tipo de problemas, lo primero es (acer un esquema. A la vista del esquema podemos pasar a construir la matri) de probabilidades de transición&

!álculo& con esa información construimos la matri) 2"2. ' *0+ representa la situación inicial.

Ejercicio N°#

Ejercicio N°'

Ejercicio N°%

(

−1

2

1

1

)( )( 0

1

1

1

−1

2

)( )( )( )( )( )( )( ) 1

1

1

1

1

1

1

1

0

2/3

0

0

3

1

0

1

1/ 3

0

1

1/3

Ejercicio N°

Ejercicio N°

Ejercicio N°10