Cadenas de Markov - Ejercicios

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EJERCICIOS DE CADENAS DE MARKOV

1) En barranquil nquilla existe xisten 3 me medios dios de tra transporte nsporte que son tra transmetro, tro, busetas y taxis taxis si si una persona

util utiliza tra transmetro tro la la pr probabil bilidad de que la próxi próxim ma vez lo lo vuelva a hacer es de 60% de que util utilice buse buseta es del 25%y de que que util utilice taxi es del 15%; si esta personautil utiliza buseta la la probabi probabilidad de quelo vuelvaahacer es del 70%dequeutil utilicetra transmetro tro es del 20%y taxi de10%; si lapersonauti utiliza taxi la proba probabil bilidad de que lo vuel vuelva a hacer es del 55% de que util utilice buseta es del 25% y de que util utilice transm transmetro tro es del 20%. el estado ini inici cial al para tra transmetro tro buseta y taxi respectiva ctivamente nte es (20 (20% 50% 30%) a) hallar la matriz de transición. b) ¿cuáles serán los los porcentaj porcentajes decadauno de los los servici vicios os detra transporte nsporteen 4 periodos? 2) El asce scensor deun edi edififici cio o con bajo y dospis pisos rea realizavia viajes de deuno aotro otro pis piso.

El piso piso en el quefinali nalizael via viajen-é n-ésim simo del ascensor sig sigueuna ca cadenadeMarkov. Se sabe que la mitad de los viaj viaje es que que parten del bajo se dir dirigen a cada uno de los los otros otros dos pisos, pisos, mientra ntras quesi un via viajecomienza en el pri primer piso, piso, sólo sólo el el 25%de la las veces final finaliizaen el el segundo. Por últi últim mo, si un tra trayecto comi comienzaen el segundo piso, piso, sie siempre prefinaliza nalizaen el bajo. Sepide pide: a) Calcul Calcula ar lamatri triz deproba probabil bilidadesdetra transici nsición ón delacadena b) Di Dibujar el el grafo asocia ociado c) ¿Cuál es la la probabi probabillidad de que que, a la largo pla plazo, el ascensor seencuentre ntreen cadauno de los los tre tres pisos pisos. 3) Un agente comercia cial realiza su tra trabajo en tre tres ciuda ciudades A, A, B y C. C. Pa Para evitar vitar desplazamientos

innece nnecesarios está todo el día día en la la misma ci ciudad y al allí pernocta, despla plazándose zándose a otra otra ciuda ciudad al al día día sig siguie uiente, si no tie tiene sufici suficie ente tra trabajo. De Después de de estar tra trabajando un día día en C, C, lla a proba probabil bilidad de tener que seguir guir tra trabajando en ell ella al dí día siguie guiente nte es 0,4, la la de tener que vi viajar ajar a B es 0,4 y la la de tener que ir a A es 0,2. Si el via viajante duerme un día día en B, con proba probabil bilidad de un 20% 20% tendrá que seguir uir tra trabajando en la la misma ciuda ciudad al día díasig siguie uiente, en en el 60%delos casos vi viajará aC, mientra ntras queirá aA con proba probabil bilidad 0,2. Por últi últim mo si el agente comercia cial tra trabaja todo un día día en A, A, permanece necerá en esa esa BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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mismaciuda ciudad, al día díasig siguie uiente, con una proba probabil bilidad 0,1, 0,1, ir iráaB con una proba probabil bilidad de0,3 y aC con unaproba probabil bilidad de0,6. 0,6. a) Si hoy el el viaj viaja ante nteestáen C, C, ¿cuál es la laproba probabil bilidad dequetambié bién te tengaquetrab trabaja ajar en C al cabo de cuatro tro día días? b) ¿Cuále ¿Cuáles son los los porce porcenta ntajes de día días en los los que el agente nte comercia cial está en cada una de las tre tres ciudades? 4) La cervecería más im importante portante del mundo (Gui (Guines ness) ha ha contra contratado a un analista de investig stigación ción de

operacione ciones s para analiza nalizarr su posici posición ón en el el mercado. Están pre preocupados en espe especia cial por su mayor compe competidor tidor (Heineken). n). El El analista pie piensa que queel cambio bio de marca se sepuedemodela odelar como una cadena de Markov incl incluye uyendo tr tres estados, los los estados G y H repre presenta ntan a los cli cliente ntes que beben cerveza produci producida da por las mencionada ncionadas cerveceríasy el estado I repre presenta ntatoda todas la las demásmarcas. Los Los dato datos s se toman cadames yel anal nalistahaconstrui construido do la lasig siguie uiente matri triz detra transici nsición ón delos datos histór históriicos. G G 0,7 H 0,2 I 0,1

H I 0,2 0,1 0,75 0,05 0,1 0,8

¿Cuále ¿Cuálessonlos losporce porcentaj ntaje esdemercadoenel el estadoestab estableparala lasdoscerveceríasgrandes? grandes? 5) En una comunida unidad hay hay 3 supe supermercados (S1, S2, S3) existe xistela movil ovilidad de un cli cliente deuno a otro. otro.

El 1 deseptie ptiembre bre, ¼ delos cli cliente ntes vaal S1, 1/3 1/3 al S2y 5/12 5/12 al S3deun total total de 10.000personas. Ca Cada mes esl S1 retie etiene el 90% de sus cli cliente ntes y pie pierde el 10%que se va al S2. Se averiguó eriguó que el S2 solo solo retie tiene el 5%y pie pierdeel 85%que vaa S1 y el resto seva aS3, el S3 retie retiene solo solo el 40%, pie pierde el 50%que va al S1 y el 10%va al S2. a) Establec Establece er la matri triz detra transici nsición ón b) ¿Cuál es la la pr proporci oporción ón de cl clientes pa para los supermercados el 1 denovie noviembre? c) Hallar el vector deprobabi probabillidad estable ble. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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6) Cadafamilia estadounide dounidensesecla clasif sifica según donde dondevive vivecomo urba urbana, rur rura al o suburbana. Dura Durante

un año especif cifico, 15% de la las familias urba urbanas se mudaron a una ubica ubicación ción suburba suburbana, y 5 % se mudaron a un área rural rural;; ta tambié bién, 6 %delasfamilias subur suburba banas setra trasla sladaron aun áre áreaurba urbana y 4% sepasaron a unaubica ubicación ción rur rura al; por ulti ultim mo, 4%delas familias rura rurales se sefueron a un ár área ur urbana y 6% secambia biaron aun luga lugar suburba suburbano. a) Si una familia ahora hora vive vive en un lug luga ar urba urbano, ¿Cuál es la proba probabil bilidad de que viva viva en un área urba urbana dosaños apartir tir deahora hora? ¿Un ¿Un áreasuburba urbana? ¿Un ¿Un área área rura rural? b) Suponga Suponga que en el pre presente nte, 40% de las familias vive viven en un área urba urbana, 35% 35% vive viven en un áre área subur suburba bana y 25% 25% vive viven en un área rura ural. Dos años a partir tir de ahora hora, ¿Qué p ¿Qué porce orcenta ntajes de familias estadounide stadounidenses vi vivir virán en un áreaurba urbana? 7) Woody´s Chri hristmas Tr Tree Farm cuenta cuenta con dos tipos tipos de árbole árboles: arbole arboles pequeños (de (de5 pie pieso

menos) nos) y gra grandes (m (más de5 pie pies). s). Cada año, 16%de los los arbol arboles pequeños ños muere, 19% se venden a 30 dóla dólarescadauno uno y 10%cre crece hasta superar los 5pies pies. Cadaaño 5%de los arboles arbolesgrandes muere y 45%sevende a45 dólar dólares escada uno. uno. a) ¿Quéporce porcenta ntajedel tot tota al de delos árbole árbolessevenderá finalm nalmente ntea30 dóla dólares? b) ¿Quéporce porcenta ntajedeárbole bolessevenderán a45? c) ¿Quéporce porcenta ntajedeárbole bolesdeárbole bolesgrandessevenderán? d) 8) una persona ala hora del almuerzo puedeconsumir consumir poll pollo, carneo pesca pescado, si esta persona consume consume

hoy poll pollo la la proba probabil bilidad de que mañana lo lo vuelva vuelva ahacer es del del 35%de queconsumacarne carnees del 45% y pescado 20%: si consumió consumió carne carne la la probabil probabilidad que lo vuelva vuelva a hacer es del 60% de que consuma poll pollo de 25% 25%y pescado del 15% si esta persona consumió pescado la la proba probabil bilidad deque lo vuelva vuelva a hacer esesdel 25%queconsumapoll polloesdel 35%ycarne carnedel 40%. a) hallar lamatri triz detra transición nsición b) hal hallar el estado stado esta estable ble BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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9) En una carrera de automóvi utomóviles se se haceuna prueba pa para definir nir las posi posicione ciones dela arrancada, si un

pil piloto sale sale de pri primero la la proba probabil bilidad que llegue pri primero es de 40%, que llllegue segundo 30% y que llegue terce tercero 30%, la posibi posibillidad que que saliendo de segundo llllegue de segundo es 35%, que llllegue de pri primero es es 30% 30% y que llegue tercer tercero es de 35%; si el pil piloto parte parte tercero la la probabi probabillidad que llegue tercero tercero esde 40%, que que lllleguesegundo es 45%y que llllegue pri primero 15%. a) calcula calcular la lamatri triz detra transici nsición ón b) calcula cular el vector o esta estado establ table Los consumi consumidore dores decafé en el área de Ponte ontevedra dra usan tr tres marcasA, B, C. En En Marzo Marzo de 199 1995 se 10) Los hizo hizo una unaencuesta ncuesta en lo lo queentr ntrevistó vistó a la las 8450 personasquecompran caf caféy los los re resultados sultados fueron: fueron: Compra en el sigui siguie ente ntemes Compra Marca MarcaA actual A 1690 507 B 3380 676 C 3380 845 Totales

2028

totales

MarcaB

MarcaC

845 2028 845

338 676 1690

1690

3718

2704

8450

3380 3380

a) Si las compra pras sehacen mensualm nsualmente nte, ¿cuál seráladistr distriibución bución del mercado decaféen Pont Ponte evedra dra en el mes dejunio? unio? b) A lalarga, ¿cómo sedistri distribui buirrán los los cl clientes ntes decafé? c) En juni junio, o, cual es la lapropor proporci ción ón decli clientesleales asusmarcas decafé?

11) En una una fila de cinco cinco asi asientos, ntos, una persona está senta ntada en el asiento nto de en medio. dio. Estos Estos

movim ovimientos ntos están decidi cididos dos cadavez por lo quesaleen una monedatir tiradaal air aire. La Las reglas son:

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i) Si no está en ni ninguna silla de los extre xtremos, se mueve hacia hacia la la derecha si si sale cara y hacia hacia la izquie zquierda si sale cruz. cruz. Supón que la la moneda está "trucada "trucada" y que sale cara con 0.6 0.6 de probabilidad. ii) ii) Si está en una una silla delos extre xtremos, se quedará allí, sea cual sea lo lo que salga en la la moneda. A

B

C

D

E

Vector deprobabil bilidad ini inici cia al: (0 (0, 0, 1, 1, 0, 0) 0) Calcul Calcula ar lasprobabi probabillidadesdelassig siguie uientes ntesse secuencia ncias(de (desde sdeel inici nicio) o):: S1= C, D, C, B, B, A, A, A, A } S2= C, B, C, D, E, E, E  S3= D, C, B, B, A, A, A, A, A  Si Xi repre presenta la la sil silla en la la que está en el tie tiempo ii-ésim simo, calcul calcula ar la proba probabil bilidad de la sig siguie uiente secuencia nciademovim ovimientos: ntos: P{X3=B, X6=B, X7=C | X1=D} P{X5=A, X6=A, X8=A | X3=A} Repr Representar la lamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón querigedicho dicho jue juego. 12)En el ejemplo plodel del juegodela lassil sillasvamosacambia biar lasre reglas.

a) Los movim ovimientos son son indi indica cados por por un dado. dado. i) Si no está en los los extre xtremos: Si sale 1ó 2  alaizqui zquierda. Si sale 3ó 4  aladerecha. Si sale 5ó 6  no semueve. ii) ii) Si estáenlos losextr extre emos: Si saleimpar  vuelveaC. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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Si salepar  no nosemueve. b) Suponer oner queel vector inici nicia al vie vienedado por el lanzamiento de unamoneda oneda("no truca trucada"): Si salecara silla silla inicia iniciall B. Si salecruz  si silla llainicial nicial C. C. c) Si Xi repre presenta la lasil sillaen la laqueestáen el tie tiempo ii-ésim simo, calcul calcula ar laproba probabil bilidad delasigui siguie ente secuencia nciademovim ovimientos: ntos: P{X3=A, X6=B, X7=C | X0=B} P{X4=A, X6=A, X9=A | X3=A} Repr Representar la lamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón querigedicho dicho jue juego. Calcul Calcula ar lasprobabi probabillidadesdelassig siguie uientes ntesse secuencia ncias(de (desde sdeel inici nicio) o):: S1= C, D, E, C, D, A, C  S2= D, B, D, E, E, A  S3= C, B, A, A, A, C, D  S4= B, C, D, E, C, B  13) semarcan 6 puntos puntos en una una cir circunfe cunferencia ncia aintervalos ntervalos re regula ulares. Un Un proce proceso muevelos puntos de

la sig siguie uiente form forma: de un punto dado dado se mueve a otro otro vecino cino con proba probabil bilidad 1/4 1/4 y al punto dia diametra tralmente opuesto con con proba probabil bilidad 1/2. Determ Determiinar la lamatri triz deproba probabil bilidadesdetra transici nsición. ón. 14)conside considerar el sig siguie uiente experimento:

a) selecciona ccionar unacifr cifra aal azar (0..9) y anotarla. b) repetir tir: selecciona ccionarr otra otracifr cifra aal azar y multi ultipl pliicarlapor la laúlti últim maanotada notada. Anota Anotarr úni únicamente las unida unidades. Determinar el espacio cio de estados y la lamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón para la la secuencia ncia decif cifras anotada. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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15) partie tiendo del ejercici cicio o anter anterior, or, pero suponie suponiendo que el espacio cio de estados es es ahor ahora a {s1,s2,s3,s4} ,s2,s3,s4}

con s1={0}, s2={5}, s3={2,4,6,8} 2,4,6,8}y ys4={1,3,7,9} 1,3,7,9}. Calcul alcular ar laprobabi probabillidaddelas lassucesiones: siones: a) s3s2s1s1 b) s3s4s5 c) s4s3s3s2s1s1 16) En un parque automovi utomovilístico stico hay tres coches que de averiarse, tie tienen que se ser reparados por el

mismo mecánico. nico. Este Este es capaz de reparar al día día uno o dos dos coches con la la misma probab probabiilidad, y en cualqui cualquie er caso, un coche al menos, sie siempre precuando hayacochespor reparar. parar. Cada Cadadía día, los los coches tie tienen una probab probabilidad deaveriarse de0.25, que permanececonstante constante de un día día para otro otro en caso de que al final de la jor jornada nadael vehícul hículo o no sehaya haya averiado. Los Los ve vehícul hículos os averiados son tra trasla sladados al tall taller al final de la jornada ornada, y en en ese momento nto se recogen, si los hay, hay, los los coches que el mecánico nico hubie hubiera reparadodura durantedicha dichajor jornada. Demedia dia, ¿encuántosdía díasnohayningún ningúncocheparaser reparado? 17) Supongamos que queen un país país hay tre tres tipos tipos de deUnive niversida sidades: la la liliter teraria, cie científi ntífica cay la lapoli politécnica cnica.

Lainfl nfluencia nciafamiliar en la laelección cción delaUnive niversida sidad se secifr cifra aen queel hij hijo deun gradua graduado liliter terario en el 80 por cie ciento de los casos sigue una ca carrera afín a la la de su padre dre o si no ingres ingresa en la la Unive niversida sidad cie científ ntífica. El El hij hijo de un graduado en cie ciencia ncias sigue el 50 por 100 de de las ve veces en dicho dicho tipo tipo de Unive niversida sidad y en caso caso contr contra ario muestra ig igual preferenci preferencia apor una carreraliter terariao unapoli politécni técnica ca. El El hij hijo deun lilicencia nciado poli politécnico técnico sig sigueen el 60 por por cie ciento nto delos casoslasenda de del padre dre, el 30 por 100 pasaalaramacie científ ntíficay el 10por 100 ala literari literaria a. Responde:   

¿Cuál eslaproba probabil bilidad dequeel nie nieto deun "poli "politécni técnico" co" seaespe specia cialistaen liliteratura teratura? ¿Cuál es la laprobabi probabillidad dequeun bizni biznie eto deun poli politécnico cnico se seacie científi ntífico? co? ¿Cuál seráalalargaladistri distribución bución delatipol tipolog ogíadelapobl población ción deunive universita sitarrios?

18) Un Un profes profesor or examina asusestudia studiantesutil utilizando tre tres tipos tipos deexámenes. nes. El resultado sultado obteni obtenido do por

cadacla clasesecla clasif sifica como bueno o malo. Seap la laproba probabil bilidad dequelacla claseobtenga obtengalacla clasif sificación ción i i debueno en enel examen i , y supongam supongamos que p , p . Si la cla clasehace bie bien el examen, 0.6 y p 1 1 = 0.3 2 2 = 0.6 3 = 0.9 el sigui siguie ente examen puede ser de cualquie quier tipo tipo con la misma probabi probabillidad. Si la clase hace hace mal el BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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examen, entonc ntonce es el sigui siguie ente nteexamen será siempre predetipo tipo 1 . ¿Qué ¿Quépropor proporci ción ón de exámenesson detipo tipo i =1, 2, 3 ?. 19) 3 de cada4 camiones en la carretera tera son seguidos guidos por un coche. Uno Uno de cada 5 coches es seguido guido

por un camión. ¿Quéfracción cción devehícul hículos os son cam camiones ones en la lacarretera? 20) Escri Escribir bir una matri triz de tra transici nsición ón para una cadena de Markov que tengaun espa espacio cio de esta estados S

=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los estados 1 , 4 y y 7 for form man una cla clase que tie tiene pe periodici odicida dad 2 , los , donde los estados 2 , 3 y y 5 for form man una cla clase aperiódica ódica, el estado 9 e es absorbe bsorbente nte y el resto de los estados son transitorios. 21) Un ra ratón semueveentr ntredos habi habitaciones tacionesA y B con con tota total segurida guridad. Si sesaledeA esatra trapado por

un gato, mientr ntras quesi saledeB ca caeen una tra trampa. Ini Inici cial alm mente nteestá en el cuart cuarto o A. Suponie uponiendo que semueve cada minuto nuto de la la for forma sigui siguie ente nte: de A aB con con prob proba abil bilidad 3/4 : de deB aA con prob proba abil bilidad ; nunca nunca sequeda en una una habitaci bitación ón más deun minut minuto. o. Estab Establecer la cadena deMarkov que modela odela 7/8 el sistem sistemay hallar la las proba probabil bilidades dequeel ratón seacomido comido por el gato o atra atrapado en la latram trampatra tras ochominutos. Gato

A

B

Trampa

22) Cada mañana una persona sale de su casa casa y va a corr correr. Puede salir de su casa por la puerta

delanter ntera o por por lapuerta trase traseracon ig igual probabi probabillidad. Al Al salir decasa, eligeun par par dezapatil tillas o bie bien salea corr correr descalzo si no hay zapatil patillas en la la puerta puerta que eligepara salir de casa. A su re regreso, greso, escoge para entra ntrar la puerta trase trasera o la la delantera con ig igual ual proba probabil bilidad, donde dejará sus zapa zapatil tillas (si las llevaba). Si poseeun tota total dek pares paresdezapa zapatil tillas, ¿Qué proporci proporción ón de ve veces corre correrá descalzo?. zo?. 23) Una Una partícul tícula a semuevepor los vértice tices de un polí polígono de n vé vértice tices, nume numerados del 0 a al n-1 . En

cada paso si si la partícul tícula a está en el vértice tice i se se mueve al vértice tice adyacente nte en sent sentiido hora horario con probabilidad p , y en sentido ntido contr contra ario conprobabi probabillidad 1-p . i i i i BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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i. Estudia Estudiar si la cadena de Markov es ir irreducible ducible, aperiódica ódica, re recurre currente, nte, en función función de los valore ores den . Deduce si existe o no la distribución límite. ii. ii. Para n=3 ha hallar ladis distri tribuci bución ón lílímite, si exis xiste, parap , p y p . 0 0=0.5 1 1=0.3 2 2=0.8 24) En una serie de lanzamientos ntos indepe independie ndiente ntes de una moneda, sabemos que la probabil probabilidad de

obtene obtenerr `cara' en un la lanzamiento cualquie quiera es igua igual a (k+ (k+1)/( 1)/(k+2), dónde k es es ig igual ual al número de `car `caras' obteni obtenida das en los los dos la lanzamientos ntos previ previos. a) especif cificar lamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón quemodeladicho dicho proceso estocástico stico b) dado que los dos pri primeros la lanzamientos han han sido sido `car `cara', calcula cular la proba probabil bilidad de que el cuarto sea`cruz' c) en el límite, ¿cuá ¿cuáll es la probabi probabillidad deobtene obtenerr `ca `cara'? Discuti Discutirr acerca del sentido ntido quetie tiene tra tratar sobrelaprobabi probabillidad en el límite 25) Una persona poseer paraguas par para ir ir decasa ala ofici oficina na y dela ofici oficina na acasa. Si cuando salede casa

a la la mañanao de la la ofici oficina na ala tarde y está llllovie oviendo, cogeun paraguas si es quehay alguno en donde donde se encuentra ntra. Si por el contra contrario no llllueve, el suje sujeto no cogeráningún ningún pa paraguas. La Laproba probabil bilidad dequeun día díalluevaa la lamañana es indepe independie ndiente ntedel pasado y es es p; la laproba probabil bilidad dequeun día díalluevaa la latarde tarde esindepe independie ndiente ntedel pasadoyesp. a) definir nir una Cadena de de Markov (supone (suponer que Xn es el núm número de paraguas que la persona poseeen casaal final del día dían-é n-ésim simo) y dar lamatri triz detra transici nsición ón de estados stados quelepermita calcula cular la pr proporci oporción ón del tie tiempo que la pe persona se moja oja (el suje sujeto se moja oja cua cuando está está llovie oviendo y no poseeningún ningún par paragua guas en el siti sitio o en en el queseencuentra ntra). b) demostra ostrar quelas probabi probabillidades lílímite vie vienen nen dadas por: Пi =q/r =q/r+q

si i=0

Пi

c) en el límite, ¿quépropor proporci ción ón de ve veces se semoja oja la persona? BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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26)Suponem uponemos quelapre predicci dicción ón de lluvi lluvia apara un día díadependedel tie tiempo en los los tre tres día días anterior nteriore es:

a) lluvia - lluvia - lluvia: lluvia con prob. 0.8 b) sol - sol -sol: sol con prob. 0.7 c) cualquie quier otra otracombina binaci ción: ón: lllluvia uviacon pr prob. 0.4 0.4 Determinar el el espacio cio deestados stados ylamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición. ón. Si el prim primer y segundo día día han sido sido ll lluvios uviosos os y el terce tercerro soleado, di cómo haría harías el cálculo culo de la probabi probabillidad desol para el séptim ptimo día día. ¿Y para el noveno día día? 27) Supongamos una una Cadena de Mark Markov ov de estados 0,1,2, 0,1,2,3,4. 3,4. Supogamos que P0,4=1 y que cuando cuando la la

cadena está en el estado ii-ésim simo (i (i>0), el sigui siguie ente nte estado es, equi equipr probab obabllemente nte, alguno alguno de entr ntre los siguie uientes: 0,1,..., 0,1,...,ii-1. Encontrar Encontrar ladistri distribu buci ción ón lí límite de delaCade Cadena. 28) dos switches witches tie tienen nen la las posi posici cione ones s de ON y OFF. OFF. En el día día n-é n-ésim simo, cada switch actúa actúa

independie ndientemente y estar stará en ON ON con proba probabil bilidad [1+número deswitches en ON el día día(n-1 n-1)-ésim simo] / 4 En el lí límite, ¿quépropor proporci ción ón dedía días están stán am ambosen ON? ON? ¿Y ambosen OFF? OFF? 29) Un marino dispone dispone de 4 veleros que que alquil quila dia diariamente a los turi turistas stas para toda la jornada ornada. Uno Uno

cualqui cualquie eradelos veleros se seaveríacon proba probabil bilidad0.25, indepe independie ndiente ntemente ntedelasuerte delos demás. El marino sólo sólo puede puede ha hacer reparacione ciones por las noches noches y re repara exactamente un vel velero por noche. noche. Por razones zones de seguri uridad, no no alqui alquilla ningún ningún velero a no ser que al menos tenga dos disponi disponibl ble es. La La demanda siempre prees suf suficie ciente paraalquil quilar todos los los veleros quehaya hayadisponi disponibl ble es. En el límite, ¿en qué proporci proporción ón de día días tendrá ndrá todos los veleros di disponi sponibl ble es30). Suponga Supongamos que una red red de comunica unicacione ciones transm transmite díg dígitos bi binar narios 0o 1. 1. Al recorre correr lared, exi existe steunaprobabi probabillidad q de dequeel díg dígito bina binarrio se se reciba ciba de form forma incorre ncorrecta en el sig siguie uiente paso. Si X0 denota un díg dígito bina binarrio que que entr ntra en el sistem sistema, X1 el díg dígito re recibi cibido do despué spués de delaprim primera tra transici nsición, ón, X2el díg dígito re recibi cibido do despué spués dela segundatra transici nsición,. ón,..... Xn , entonces ntoncesesunacadenadeMa Markov. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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Hallar la lamatri triz deprobabi probabillidades detra transici nsición ón y ladistri distribuc buciión deprobabi probabillidad del estado estaciona cionario. Considerar la sig siguie uiente pol políítica tica (k,Q) k,Q) de gestión stión de inventarios. ntarios. Sean D1,D2,... ,... las demandas de un 31) Conside producto producto en los los períodos 1,2,.... 1,2,....,, respectiva ctivamente. Si la demanda durante un periodo exce excedeel número de ítems disponi disponibl ble es, la la demanda insa insatisfecha tisfecha es re retenida tenida, de manera que se satisface tisface cuando llllega el sig siguie uiente pedido dido de reposi posición ción del del inventario. ntario. De Denotem notemos por Zn (n= (n=0,1,2,...) ,2,...) la cantida ntidad de inventar ntario disponi disponibl ble e menos el número de unida unidades re retenida tenidas antes antes de efectuar un pedido dido de re reposici posición ón de inventario al final del periodo n (Z0=0). Si Zn es cero o positi positivo, vo, no se reti retie enen nen órde órdenes. Si Zn es neg negativo, tivo, entonces entonces -Z -Zn re repre presenta nta el número de unidad unidades de demanda re retra trasada y no queda inventa ntario disponible. Si al principio del periodo n, Zn=1. (L (La canti ntidad pedida pedida es el menor múlti últipl plo o entero de 2, 2, que lleva el nive nivel de inventario ntario hasta hasta al menos una unida unidad). d). Sean Dn variable bles aleatori torias inde independie ndientes e idénti nticamente distr distriibuida buidas que toman cada uno de los los valore ores 0,1,2,3,4 con probabi probabillidad 1/5. 1/5. Denotemos por Xn el valor del stock disponi disponibl ble e después de efectuar fectuar el pedido pedido al final del periodo n (X0=2). Resul Resulta taent entonces onces:: Xn=Xn-1- Dn+2m, Xn=Xn-1- Dn,

Si Xn-1-Dn<1 (n=1,2,3,....) Si Xn-1-Dn >=1

y Xn Xn esuna cadena deMarkov con solo solo dos estados: 1,2. a) Encontrar la Matriz de Transiciones b) Encontr Encontra ar lasprobabi probabillidadesdel estadoesta estaciona cionario c) Suponer Suponer queel coste deefectuar un pedido pedido de reposici reposición ón es (3+3m).

i. ii. ii.

El costedemante ntenim nimiento nto del stock esZn, si Zn>=0, ycero en caso contr contrario. El costederuptura upturadel stock es-4Zn, si Zn<0. Encont Encontrrar el costemedio dio esperado por uni unidad de tiempo.

d) Com Comproba probar que, que, en gener neral, paraunapolí política tica(k,Q) k,Q) losestados stadosposibl posible esson k,k+ k,k+1,k+2,.... 2,........,k ,k+ +Q-1. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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32). El Servici vicio o Hi Hidrológ drológiico de la Comuni Comunida dad Autónom Autónoma de X pla planea construir construir un em embalse para

regular la cue cuenca deuno de sus sus rí ríos con el el obje objetivo tivo desatisface tisfacer los requerimientos de aguapara regadío. dío. La capacidad pacidad máxim áxima del embalse balse pre previsto visto será seráde 4.000.000 m3, o, de manera abre breviada viada 4 unidade unidades de agua (1 (1 unidad unidad deagua =1.000.000 =1.000.000m3). Antesdeproce proceder alaconstrucci construcción ón el Servici vicio o dese desearía tener alguna ide idea sobre obrelaefectivi ctivida dad del mismo a la largo plazo. plazo. Pa Para ello seha llllevado a cabo un estudio estudio sobre sobrelos volúm volúmenessemanale nales deagua aportados portados por el río, encontrá encontrándose con que pueden apr aproxi oxim marse por medio dio de la sig siguie uiente distr distriibución bución de probabi probabillidad disc discrreta: Aportaci portación ón se semanal en uni unidadesdeagua 2 3 4 5 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Probabil bilidad 0.3 0.4 0.2 0.1 El Servici vicio o está conside considerando la la posibi posibillidad de contra contratos de regadío dío que requeriran el el consumo de 2 unida unidades de agua por semana, pero pero adici adicional onalm mente nte, para ma mante ntener los estándare tándares de calidad del agua paraotros otrosusos, deberádejar salir al menos1unida unidaddeaguapor semana.Por Por lota tanto el obje objetivo tivosemanal serádejar salir 3 unida unidades deagua. Si el estado del embalse(nive nivel del embalse) máslaaportaci portación ón de agua del rio es menor que esta canti ntidad se tendrá tendrá que dejar salir menos agua, afectando la la carencia ncia a los regadios. dios. Si el embalse está lleno, cual cualquie quier exce exceso será vertido tido por por los los alivia viaderos. El nive nivel mínim nimo admitido tido del del embalse(estado stado mí mínim nimo) no podrá podráser infe nferior auna unida unidad deagua. ua. a) Repr Repre esentar el dia diagrama de de tra transici nsiciones ones, encontra encontrar la matri triz de probabi probabillidades de

tra transici nsición, ón, y comproba probar quesetra trata deun proce proceso markovia koviano. b) ¿Cuál ¿Cuál seráel núme número medio dio de semanas transcur transcurrrido desdeque el embalseseencue ncuentr ntraen

el estadocon 2unida unidadesdeaguahastaqueestétota totalmente ntelllleno? c) Supuesto el embalse balseen el estado míni mínim mo con 1 unidad unidad deagua, ¿Cuant ¿Cuantas as semanas tardará, tardará, en prom promedio, dio, en volve volver a estar en la la misma situación? tuación? BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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http://inoperacionesii.blogspot.com/ d) Suponie Suponiendo que la la pri primera semana partim timos de una situ situa ación ción en la la que se embalsaban 3

uni unidades de agua ¿Cuál es la probabi probabillidad de que dos semanas después se encue ncuentr ntre al mínimo?. 33). Una tie tienda de venta nta de orde ordenadore nadores personale sonales tie tiene un modelo parti particular cular cuyo stock puede puede repone ponersesemanalmente. Repres Representemos por D1, D2,... ,.......,, la demanda de este modelo odelo dura durante ntela pri primera semana, la la segunda, gunda, etc.. etc.. Suponem Suponemos que que las las demandas ndas Di son variable bles aleatori torias inde independie ndientes e identica nticamente distr distriibuida buidas, s, quetie tienen nen una di distri stribución bución de Poi Poison deparámetro tro =2. Suponga Supongamos que X0 re repre presenta nta el número de unida unidades del modelo en el momento ini inici cia al, X1 el núme número deunida unidades di disponibl sponible es al final de lapri primera semana, X2 el número de unidade unidades disponi disponibl ble es al final de la segunda semana, y así sucesiva sivamente nte. Suponga SupongamosqueX0=3. El sábado por la noche la tie tienda efectúa un un pedido pedido al almacén centr centra al que le es se servido vido el lunes por la mañana a pri primera hora hora. La La tie tienda util utiliza la sig siguie uiente polí política tica de gestión stión de stocks: si si el número de unida unidades disponi disponibl ble es al final de la se semana es menor de 2 unida unidades, la la tie tienda efectúa un pedi pedido do de reposici posición ón de 3 unida unidades. En En caso caso contr contrario no efectúa ningún ningún pedido. dido. Se supone que que las ventas se se pie pierden cuando cuando la lademanda es supe superior al inventario ntario disponi disponibl ble e. Los Los posible bles estados del proce proceso son los los ente nteros Xt querepre presenta ntan el número de unida unidades disponi disponibl ble es al final decadasemana. Sepide pide: a) Encontr Encontra ar una expresi xpresión que permita evaluar iterativa terativamente la las variable bles aleatori torias Xt. b) Com Comproba probar quelas Xt, t=0,1,2,.... 0,1,2,....,, constituye constituyen unacadenade Markov. c) Calcula Calcular la lamatri triz deprobabi probabillidadesdetra transici nsición. ón. d) Pa Partie tiendo de un estado con tr tres unida unidades disponi disponibl ble es, ¿Cuá ¿Cuál es el tie tiempo me medio dio hasta hasta queel

stockescero? e) Suponie Suponiendo que cada unida unidad en stock comporta porta un coste semanal de 300 pts., ¿Cuál ¿Cuál sería sería el coste medio dio semanal esperado alargo plazo? plazo? Unamáquina quinatie tienedos pie piezas coloca colocadas dasen paralelo demaner neraqueparafunciona uncionarr uti utilizasolo una de ellas, quedando la otra otra derepuesto para re reemplaza plazar a la la quetra trabaja cuando esta seestrope stropea, si está en 34).


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condici condiciones ones de trab trabajar. La Las pie piezas tra trabajan de manera que se estropea stropean durante durante un periodo periodo de tie tiempo dado con unaproba probabil bilidad q. Supongamos quela pie pieza queestá tra trabajando, en caso dequeseestrope stropee, lo hace al final de un periodo, demanera quela pi piezaderepuesto em empie piezaa trabajar, si está en condici condicione ones s de hacerlo, al pri principi ncipio o del del periodo sig siguie uiente. Ha Hay un íni ínico co me mecánico nico par para repa reparar las pie piezas zas estrope stropeadas, que tarda dos dos periodos en reparar una pie pieza estropea stropeada. El proce proceso puede de describi scribirrsemedia diante un vector Xt de dos componentes U y V, V, donde donde U repre presenta nta el número depie piezas zas hábil biles, tra trabajando o en condici condiciones onesdetra trabajar, al fi final del periodo periodo t-é t-ésim simo, y V toma toma el valor 1 si el mecánico nico requie requier única únicamente un periodo adici dicional onal para comple pletar una repa reparacion, cion, si ya estáprocedi procedie endoaella, y0encaso casocontr contrario. Por lotanto, el espacio ciodeestados stadosconstadecuatro troestados: tados: (2,0), (1,0), (0,1), y (1,1) (Por ejemplo, plo, el estado stado (1,1) (1,1) im impli plica que una componente opera y la la otra otra nece necesita sita un periodo adici dicional onal paraacabar de deser reparada). Denote notemos los los cuatro tro estados por 0,1,2 y 3 respectiva ctivamente nte (Es decir decir Xt = 0 qui quiere de decir cir Xt = (2,0), por ej ejemplo). plo). a) Com Comproba probar que X t , t=0,1,2,.... 0,1,2,........,, esunacadenadeMarkov. Describi cribirr el dia diagramadetra transici nsicione onesy hallar lamatri triz deprobabi probabillidades de transición. b) Hallar la distribución de probabilidad del estado estacionario. 35)-

Sea

la

sig siguie uiente

matri triz

de

proba probabil bilidades


de

tra transici nsición: ón:

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Con su vector deprobabi probabillidades ini inici cia ales en t =0 =0: (.8, (.8, .1, .1). .1). Encontrar: a. El vector deproba probabil bilidades en el momento t =2 =2 b. La proba probabil bilidad de que en los los momentos ntos t =0, = 0, 1, 2, 3, la cadena asuma los estados 1, 3, 3, 2, respectivamente. c. El vector límite estacionario, si existe. 

Dibujar Dibujar el gráfico fico deestados. dos.

36)

y ade además: P[X( P[X(0 0) =1] =1 Supongam Supongamos que: Y(t Y(t) =1, si x(t) =1 Y(t Y(t) =2, si x(t) 1

probabi probabillidadesdetra transici nsición. ón.

37). Tenem nemos N urnas urnasinici nicia almente vacía cías. Al Al azar zar y sucesiva sivamente vamos depositando positando bola bolas. Sea x( x(n) BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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el núme número Demostra ostrar quela sucesión sión x(n) x(n),, n =1, =1, 2 es unacadena de Markov. Ha Hallar la matri triz de proba probabil bilidades detra transi nsición. ción. M20. Nue Nuevamente nte, en la las N urnas urnas vacías cías vamos sorte sorteando al azar lotes dem bolas bolas, uno uno tr tras otro. otro. La Las bola bolas decada lote lotesesorte sortean una tra tras otra otracon inde independencia ncia yequipr quiproba obabil bilidad.

probabi probabillidadesdetra transici nsición. ón.

ció el resultado sultado "seis". Lue Luego sehacegir girar para quesalgaalguna 38) Después delanzar un dado apareció de las cuatro tro caras vecinas cinas, al azar. De esta manera se se hacen gir giros suce sucesivos sivos.. Hallar el límite de la probabi probabillidad dequevuelvaasalir el seis, si el número degiros tie tiendeainfini nfinito. to.

39). En En cie cierta ciuda ciudad los los habitante bitantes s pueden tener alguna delas profe profesione siones s A, A, B, C. En cada caso los los

hij hijos tie tienden a seguir uir la profes profesiión del del padre drecon proba probabil bilidades 3/5, 2/3 2/3 y ¼respectiva ctivamente. Qui Quie enes nes no sigu sigue en la la tra tradici dición ón del del padre dre eligen equi equipr proba obable blemente alguna de las otra otras dos. dos.

Hallar: a) Ladistr distriibución bución porce porcentual delas profe profesione siones en la la próxim próximagener neración, ción, si actualmente es de20% para para A, A, 30%para paraB y 50%para paraC. b) Ladistr distriibución bución lílímitedelas gener neracione ciones scuando tra transcurre nscurren muchas uchasgener neracione ciones. s. c) Unacie ciertadistr distriibución bución porce porcentual delasprof profe esione siones squeno cambie biedeunagener neración ción aotra otra.

40). En la urna urna 1 tenemos 9 bola bolas bla blancas y 1 bol bola a negra. En En la la urna urna 2 tenem tenemos 9 bola bolas negras y una

blanca blanca. Extr Extraemos una bola bola al azar de la urna urna 1. Si es negra, la la regresamos a la urna. urna. Si es blanca, la la cambia biamos por otr otra bola ola dela urna urna 2que seextra xtraeal azar. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com http://inoperacionesii.blogspot.com// | EJERCICIOS PROPUESTOS

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a) Demostra ostrar quex(t) x(t) es unacadena deMarkov. b) Dibujar Dibujar el gráfico fico deestados. dos. c) Hallar la distribución límite.

41). La Lamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón y el vector deproba probabil bilidades ini inici cia ales deunacadena de de

Markov, son: M(0) =(1 =(1/2, 1/2 1/2, 0, 0, 0, 0, 0) 0) Hallar: a) Los Los estadostra transie nsiente ntes b) Laesperanza matemática áticadel tie tiempo tra transcurr nscurrido para abandona ndonar los estados transientes.

42) Dadalamatri triz deproba probabil bilidades detra transici nsición ón de unacadena deMarkov:


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Hallar


yladis distri tribuci bución ón límitey estaci taciona onariadelasprobabili bilidades.


Cadenas de Markov - Ejercicios

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