UN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FIIS UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
%.
a)
&all &allar ar el do'( do'(n( n(o o de las las s(gu s(gu(e (en) n)es es *unc *unc(o (one nes: s:
1 2 cos t t , f (t ) t 1, 0, 1
b)
c) f (t )
, t 0
1 t 1 t 2 1 t 2 , , 4 t 2 t 2 t
f (t ) t ,
t 2 cos t 2 , 1 , t 0 t
,
t t
d)
f (t ) 2 sen t 2 1, t cos t , t 2t 2
e)
f (t ) 3t , t 2 1,
f)
f (t ) t ,
1 t 5
t 3 3 , t 2 2t 3
3 t 2 1
,
h)
f (t ) Ln 5 t t ,
i)
f (t ) senh sen h 2 x 5 , e
j)
g (t ) sen t 2 1, cos t , t 2
8 , arcSen 3 x
g) f (t ) Ln 4 t t 2 , e 2 x 7 , arcSen 2 x 2
k) l)
2
h (t )
e2x
2
x 2 9
k (t )
t ,
t 2 4 , t , t t 2 4 ,
t 2 4
,
1 1 cosh x
h k (t )
m)
n) f (t ) t 2 , Ln t 2 , 4 t
1 e t , , Ln1 t o) g (t ) 2 t 2 9 t
+.
razar azar la la grá, grá,(c (ca a del del ran rango go de las las s(gu s(gu(e (en) n)es es *un *unc( c(on ones es::
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d cos t , sent , d 0 1 cos t
t
a)
f (t )
b)
f (t ) 1 t 3 , t 2
c)
f (t ) 4 cos t , 5 sent
d) f (t ) e t , e 2t (e t 1)
e)
f (t ) 2 cos t , 3 sent , 5 , t 0 , 2
f)
f (t ) 2 cos t , 3 sent ,
g)
f (t ) t , t , t
h)
f (t ) cos t , sent , t ; t 0
i)
f (t ) cos t , sent , e t
j)
f (t ) 2 3 tan t , 1 4 sec t , 0
k)
l)
f (t )
m)
, t 0 , 2
4
2
f (t ) t 2, t 2 1, 0
2 sent , cos t , sent
f (t ) sent 1, 2 sent , 2 cos 2 t 1
n)
f (t ) t ,
o)
f (t ) 2t , 2t ,
t 4 , 2
t 4 2
1 8t 2
p) f (t ) cosh t , senht , t 2 t q) f (t ) 1 cos t , sent , 2 sen , t 2 , 2 2
t 2 t 3 f (t ) t , , 4 9
r)
1 t 2 2t f (t ) , 2 2 1 t 1 t 3t 3t 2 , f (t ) 3 3 1 1 t t
s) t)
-.
Sea x (t ), y (t ) / t la )raec)or(a de una /ar)ícula donde x 0 y son las der(1adas o o de las *unc(ones escalares x 0 y . S(: x x 0 y 2 y x 0 x(0) 1 y (0) 2 . o
o
o
a) De)er'(nar la )raec)or(a sab(endo 2ue x x Dt e t x(t ) 0 b) $os2ue3ar el grá,(co.
4.
De)er' De)er'(na (narr al al 'enos 'enos una re/r re/rese esen)a n)ac(5 c(5n n /ar /ara'é a'é)r( )r(ca ca /ar /ara a las las s(gu s(gu(en (en)e )ess cur1 cur1as as dada dadas: s:
x 2 y 2 z 2 x y a) x y 1
z 2 2 x b6 9 y 2 16 xy
x 2 4 y c6 x 3 24 z
b) x 2 y 2 9 0 z 0 2 2 c) x y 6 x 4 y 12 0 0 z 0 2 d) y 3 x 0 z 0 2 2 e) x 1 4 y 2 4 0 z 0 MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
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con el
7.
De)er e)er'( '(n nar el el /u /un)o de de (n) (n)er erssecc( ecc(5n 5n de la la re rec)a c)a: /lano 89.
.
&allar &allar una una *unc( *unc(5n 5n 1ec) 1ec)or( or(al al 2ue 2ue re/r re/rese esen)e n)e a la cur1a cur1a de (n) (n)ers ersecc ecc(5n (5n de las las s(gu s(gu(en (en)es )es su/er,(c(es:
f (t ) 9 3t , 10 4t , 7 2t
xy a) x 2 y 2 16 z b) z 16 x 2 9 y 2 y x 2
a ; b
;.
De,(na una *unc(5n 1ec)or(al del (n)er1alo e<)re'os P 0 P 1 de n .
=.
De,(na un una *u *unc(5n de del (n (n)er1alo 2 ; 2 en 3 cua ('agen sea el )r(angulo de 1ér)(ces: 3;2;1 0 2;0;1 1;2;1 .
>.
&allar &allar una *unc( *unc(5n 5n 1ec) 1ec)or( or(al al de de 1ar( 1ar(abl able e real real cuo cuo do'(n do'(n(o (o sea sea el el (n)e (n)er1 r1alo alo ?@%B ?@%B cuo cuo rango sea la grá,(ca del arco de la /arábola con 1ér)(ce -476 2ue /ase /or los /un)os @@@60 =@6.
%@.
Un s5l(do )(ene la s(gu(en)e *or'a: en su /ar)e (n*er(or es un cono )runcado cuos rad(os de base son res/ec)(1a'en)e c'0 c'0 con una al)ura de c'. Es)e sos)(ene un c(l(ndro rec)o de rad(o c'. S( el s5l(do debe ser cor)ado )rans1ersal'en)e de 'odo 2ue es)a secc(5 secc(5n n se 'an)(e 'an)(ene ne /arale /aralela la a la base base (n*er( (n*er(or or de de)er'(nar una *unc(5n 1ec)or(al 2ue e
%%. %%.
&allar &allar una *unc( *unc(5n 5n 1ec)o 1ec)or(a r(al0 l0 cuo cuo rango rango sea la cur1a cur1a en 2 )razada /or un /un)o P 2ue se 'ue1e de )al *or'a 2ue su d(s)anc(a al or(gen es (gual a la /end(en)e t de la rec)a 2ue 1a del or(gen a P. Sean: f (t ) t 2 1; 0 ; t 3 g (t ) sent ; cos t ; 0 . &allar:
%+.
a) f ( a b) 0
b6
%-.
Sean: f (t ) a)
%4.
sobre sobre el seg'e seg'en)o n)o de rec)a rec)a de
f g 0
g (t 3) 0
2t
1
;
4 t 2
c6
g (t ) Ln t 1 ;
b6 f g 0 c6 f x g 0 d6
f ( sent ) x g (t 2 1)
t 2 2t 8
. &allar:
4 f 2 g 0 sus do'(n(os de de,(n(c(5n.
&allar f ' ( 0) f '' (1 / 2) 0 s(:
a) f (t ) arcsent ; Ln(1 5t ) ; t 2 . 1 2 f ; arctg t . b) (t ) Ln 1 t ; 1 t 2
%7.
Un '5 '51(l 1(l se 'ue 'ue1e con con ra/( ra/(d dez co cons)a s)an)e n)e e (gu (gual a V 0 0 s(gu(endo una )raec)or(a c(rcular c(rcular de rad(o rad(o R . Un coe)e con ra/(dez )a'b(én cons)an)e V lo /ers(gue0 /ar)(endo del cen)ro de la c(rcun*erenc(a 'an)en(éndose s(e'/re en la rec)a 2ue une el cen)ro el blanco. En 2ué (ns)an)e da en el blanco el coe)e
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%. Una escalera de %@' de long()ud se a/oa sobre una /ared 1er)(cal. Un (nsec)o se encuen)ra (n'51(l en el /eldaGo P 2ue es)á a 4' del e<)re'o su/er(or de la escalera0 s( el /(e de la escalera se desl(za ale3ándose de la /ared sobre una su/er,(c(e or(zon)al de 'odo 2ue el e<)re'o su/er(or se desl(za ac(a aba3o en con)ac)o con la /ared. &allar una *unc(5n 1ec)or(al cuo rango descr(ba el lugar geo'é)r(co generado /or P. %;. Dos '51(les M % M + se encuen)ran en dos c(rcun*erenc(as concén)r(cas de rad(os R r RHr6 res/ec)(1a'en)e. &allar una *unc(5n 1ec)or(al de 1ar(able real cuo rango descr(ba el lugar geo'é)r(co de los /un)os 'ed(os del seg'en)o M 1 M 2 . $os2ue3ar el grá,(co del lugar geo'é)r(co. %=.
!a
1eloc(dad
de
una
/ar)ícula
en
el
(ns)an)e
t
v (t ) e t ( sent cos t , cos t sent , t 1)
a) &allar la /os(c(5n de la /ar)ícula des/ués de un )(e'/o t 0 s( /ar)e del /un)o @%@6. b) Cuán)o )arda en )ocar al /lano x y 0 /or /r('era 1ez
%>.
Calcular s( e<(s)en los s(gu(en)es lí'()es: 1 t 1 t , , 2 t 1 t 2
a) lim t 0
e t e Lnt sen t 1 , , t 1 1 t t 1
b) lim t 1
1 cos( sent ) cos t cos( sent ) 1 , , 2 t 0 t 2 t sen t
c) lim
5 t 1 Tg t Sen t 1 , d) lim 2 t 2 , 5 t 1 t 1 Tg t 1
Lnt 1, t 2 1 2, e) lim t 2
3 4 t 2t
2
t 1 sen t t 1 cos t 2 arcsen2t 2 8 5 , , , t f) lim t 0 3t 2 3t t 7 3t
13 2 3 ... n 3 lim a ; b 0 g) n n n 0 donde: a n 2n 4 n 1
bn
n2
n 1
h) t 1
2
n2
2 n2
2
n2
6 n6
2
lim f (t ) g (t ) (t ) 0 donde: f (t )
i) lim t 0
n2
12 n 12
2
t 2 1,
...
n2
t 2 1, t ,
g (t ) t 2 ,
h (t ) 1, 2 g (t ), 0
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2
g (t ) 4t , 4t ,
1 1 f ( g (t )) h (t ) 0 donde: . f (( g (t )) h (t ) g (t ) g (t )
f (t ) cos t , sent , 2 sent ,
n n 1 n n n 1
2 t 1 4
es:
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1 t 2 1 t 2 2 , 0, 2 , t 1 0 donde: f (t ) 1 t j) 1 t , t 1 0, 0, 0 3t 21 3t 2 2 1/ 2 , 0, 2 3 , t 1 g (t ) 1 t 1 t , t 1 0, 0, 2 6
f (t ) . g (t ) f g (t ) lim 3 . t 1 f t ( )
e e tght Lnt sent . cos t , t sent t , Lnsent k) lim t 0 t
t
+@. Dada la *unc(5n 1ec)or(al
t arctgt t 3
2 f de,(n(da 'ed(an)e: f (t ) 3t , t 1,
3 2 t 3 , t 2t 3
De'os)rar 2ue: lim f (t ) 3, 2, 2, 4 t 1
+%. Por 'ed(o de la de,(n(c(5n de lí'()e o )eore'as /er)(nen)es0 de'os)rar:
t , t 3 1, 2 a) lim t 1 3
t 2 3t 6 2 4, 3, 2 , t 8 , t 5 b) t lim 3 1 t 1 cos t 1 2 sent sen t 1, , Lne 1, 0, 0 c) lim t t
sen t 1, d) lim t 3
%% 1 " " , ## t 2 1 0, 1, 3 sen(t 3) $$ 2 ! ! t 3
++. Dadas las *unc(ones 1ec)or(ales
f 0
g
)ales 2ue lim f (t ) a 0 lim g (t ) b 0 la *unc(5n t t 0
t t 0
f (t ) f (t ) lim & ( t ) & lim & g a b lim a (& 0 ) 0 . De'os)rar 2ue: escalar & 0 )al 2ue t t 0 0 t t t t
0
0
+-.
Anal(zar la con)(nu(dad sobre sus do'(n(os /ara las s(gu(en)es *unc(ones. Cuáles re/resen)an cur1as a) Func(ones de,(n(das en los e3erc(c(os % +. t 1 2 f , 3t 1 b) (t ) sen t , , si : t 0, t 1 .Con sen ( t 1 )
f (1) 0, 1, 0 ,
f ( 1) 2, 1, 3
3 +4. Sea ( ' una cur1a descr()a /or el rango de la *unc(5n 1ec)or(al
f .
De'os)rar 2ue e<(s)e
una *unc(5n 1ec)or(al g cuo /ará'e)ro es la long()ud de arco s cuo rango descr(be MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
(
.
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+7.
una *unc(5n d(*erenc(able: F ( x) g ( x) A
Sea F : 3
1 g ( x)
x
) g (t ) F (t )dt '
0
0
* x 0 donde g : es crec(en)e d(*erenc(able * x A un 1ec)or un()ar(o cons)an)e. &allar la long()ud de arco de cur1a desde x 0 as)a x 1 .
+.
+;.
Una abe3a 1uela a lo largo de una )raec)or(a es/(ral r (t ) 100 .e t . cos t ; sent ;1 . A 2ué lugar llegará 2ué d(s)anc(a recorrerá duran)e )oda su 1(da
5/6 1 / 2 5/8 1 Ln 3t 1 t 3 4 2 ; sec t ; ; Calcular: ) tg t . 1 tg t 1/ 2 t t . Ln t
1/ 2
dt
3 1 dt ; t . Lnt ; 2 )4 t 2 4 t t t 6 5
+=. +>.
Calcular la In)egral:
Un oso or'(guero obser1a 2ue una or'(ga se 'ue1e a lo largo de una cur1a /lana ( descr()a /or el rango de la *unc(5n 1ec)or(al f . El oso or'(guero desea allar la cur1a)ura k de (
s(n ob)ener una ecuac(5n /ara
(
S( se sabe 2ue el 1ec)or /os(c(5n f ( s ) *or'a
T ( s ) .
s : /ará'e)ro long()ud de arco de cur1a6.
un ángulo cons)an)e con la )angen)e Audar al oso or'(guero. -@.
a6 El rango de las s(gu(en)es *unc(ones re/resen)a a una cur1a Anal(zar s( son rec)(,(cables o sua1es. (6 g (t ) (t ; 4 t 1; Lnt ) ((6 r 1 sen+ 0 ( r ; + ) coordenadas /olares b6 Para t 0 0 Sea:
3 ( x (t ) / x (t )
)
t 0
2 cos u 2 du ;
)
t 0
. ,
2 sen u 2 du ; 2 3 t -
Descr(b(r ( )en(endo co'o /ará'e)ro la long()ud de arco allar la ecuac(5n del /lano 2ue con)(ene al cen)ro de la cur1a)ura el 1ec)or )angen)e a ( en un /un)o genér(co. -%.
Dado 2ue el rango de f (t ) 1 sent ;1 sent ; 2 cos t es la )raec)or(a de una /ar)ícula de)er'(nar: a) El )(e'/o 2ue de'ora en (r del /un)o P 1 1;1; 2 0 as)a el /un)o P 2 2 ;0 ; 0 0 la d(s)anc(a 2ue recorre en es)e la/so de )(e'/o. b) &allar una *unc(5n 1ec)or(al en )ér'(nos de long()ud de arco s 2ue descr(be ( .
-+.
__
Una /ar)ícula con 1ec)or /os(c(5n x (t ) /ar)e del or(gen en t 0 0 en t 7 es)á en el /un)o 3; 4;4 con 1ec)or 1eloc(dad
1 __
3;0;0 . &allar )
el 1ec)or acelerac(5n.
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__
__
x (t ) a cos dt donde a ( x ) es 0
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--.
Sea
la cur1a descr()a /or
(
x x (t ) f (t ) 0 , *t . f ' (t ) f (t ) .
De'os)rar 2ue
f (t ) '
f (t )
-4.
es una cons)an)e.
Un (nsec)o se 'ue1e en el es/ac(o de )al 'anera 2ue su 1eloc(dad su /os(c(5n es)án
relac(onados 'ed(an)e V (t ) k f (t ) s(endo k una cons)an)e /os()(1a
f (t ) 0 , *t D f
a) De)er'(nar f (t ) en )ér'(nos de k f (0) . b) E
-7.
!a )raec)or(a
de una /ar)ícula es el rango de la *unc(5n 1ec)or(al f (t ) 3 sent ; 3 sent ; 2 2 cos t . De)er'(nar: (
a) El )(e'/o 2ue )arda en (r del /un)o 3 ; 3 ; 2 2 as)a 4 ; 2 ; 2 la d(s)anc(a 2ue recorre en es)e la/so de )(e'/o. b) &allar una *unc(5n 1ec)or(al cuo /ará'e)ro es la long()ud de arco de cur1a s cuo rango descr(ba ( .
-.
&allar la
f (t )
-;.
)
Sea donde
(
long()ud de arco de la cur1a
t 0
x cos x dx ;
0
xsenx dx ; t 0
cuando t
la ecuac(5n
f (t )
1
descr()a /or
% f " f ' f ' ' 0 . # $ !
)
x (t ) p f (t ) f '(t ) dt
&allar la )ors(5n de
(
0
p 0
en un /un)o
x x (t ) 0
) ?@%B )al 2ue
x (0) 1; 2 ; 2 , x ' ' (t ) 2 T (t ) / (t ) (t ) . Calcular la long()ud de arco de la cur1a (
->.
4%.
.
Una /ar)ícula co'(enza a 'o1erse desde el /un)o 15 ; 22 ;10 se 'ue1e con 1eloc(dad cons)an)e e (gual a 1;1;1 . Cuán)o )arda la /ar)ícula en alcanzar al /lano x 10 y 4 z 15
4@.
de:
x (t ) .
Sea la cur1a ( ' 3 descr()a /or el rango de la *unc(5n
-=.
el rango
3
la cur1a descr()a /or el rango de la *unc(5n:
f sa)(s*ace
genér(co
)
t
(
$os2ue3ar el rango de la *unc(5n f (t )
1 cos 2t
2 sent ; 4 sent .
Una /ar)ícula se 'ue1e sobre la su/er,(c(e x 2 y 2 z /ar)(endo del or(gen sobre una es/(ral con ra/(dez de ele1ac(5n de ='s0 con ra/(dez de /roecc(5n de la cur1a sobre el /lano J8 de 36t 2 4 . &allar: a) !a *unc(5n 1ec)or(al cuo rango descr(ba el 'o1('(en)o de la /ar)ícula. b) !a d(s)anc(a recorr(da al cabo del /r('er '(nu)o. 2 c) El )r(edro '51(l en el /un)o de coordenadas 0 ; 1; t .
S( g es una *unc(5n escalar con der(1ada con)(nua sobre ?abB ecuac(5n /olar r g (+ ) . MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II 4+.
(
la grá,(ca de la
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a) &allar una *unc(5n 1ec)or(al cuo rango descr(ba ( . b) De'os)rar 2ue la long()ud de arco de cur1a es
4-.
a
g 2 g '
De'os)rar 2ue la /end(en)e de la rec)a )angen)e en
y a 1 cos+
44.
)
b
+
2
+ 1 0 a la c(clo(de x a + sen+ 0
es ctg + 1 . 2
De)er'(nar las ecuac(ones /ara'é)r(cas de la cur1a y f ( x) donde x 0 y son las coordenadas rec)angulares en el /lano J8. S( se sabe 2ue el rad(o de cur1a)ura es (gual a la un(dad 'enos la long()ud de arco.
47.
Encon)rar
f (0) f (0) '
''
0 f t es la /ara'e)r(zac(5n de
(
.
z 2 x2 y2 0 P!ano x: 1 en el /r('er oc)an)e. ( : 2 x 2 y 1 1 Sea ( ' 3 descr()a /or el rango de
4.
s long()ud de arco sea
x g ( s ) 0
( 1 : y x 3
k 2
k 2
" 0 donde k , 3
2 son la cur1a)ura0 el rad(o de cur1a)ura la )ors(5n de
res/ec)(1a'en)e. De'os)rar 2ue las )angen)es a ( 1 ' 3 son /aralelas a las b(nor'ales de ( en los /un)os corres/ond(en)es. (
1 4;. Dadas las *unc(ones: f (t ) 1; t ; 0 f (0) 0 ;1;1 t la con)(nu(dad de f , g , f g en los /un)os t 0 0 ; 1 .
4=.
Es)ud(ar la con)(nu(dad de la *unc(5n:
4>.
Sea
f t 1
t ;
(n)erce/)a con el /lano 7@.
t ; t 2 1
. Anal(zar
g (t ) t ; t ; t 2 1
t 2 1 , t 1;2 , 2 t 2 t 1 Ln 2t t f (t ) 1 , t 2 1; 2 Ln2
. &allar f t f t f t
'
''
'''
en el /un)o en donde
x y z 4 .
% " 2 &allar la long()ud de arco de: f (t ) 2 sen t ; sen2t ; 2 Ln cos t , t # , $6 3!
MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
f t
se
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7%.
Una 'osca /ar)e del /un)o P 0 3 ;1; 0 con 1eloc(dad (n(c(al nula ra/(dez de 2 t 's. S( la 'osca se des/laza a lo largo de la cur1a de (n)ersecc(5n de las su/er,(c(es 2 2 2 S 1 : x 3 y S 2 : x y z 4 .
a) &allar el )(e'/o 2ue )arda en des/lazarse de P 0 a P 1 3 ; 1; 0 b) Cuál es el 1ec)or 1eloc(dad en el /un)o 0 ; 0 ; 2 c) &allar una *unc(5n 1ec)or(al con /ará'e)ro long()ud de arco cuo rango descr(ba la )raec)or(a.
7+.
&allar la ecuac(5n del /lano osculador /ara la cur1a descr()a /or el rango de 1 f (t ) Ln (t 1 t 2 ) ; ; Ln (1 t ) en un /un)o donde el 1ec)or )angen)e )(ene la 1 t d(recc(5n de la rec)a x 1 y 2 z 1 .
7-.
&allar las *unc(ones: "or'al Pr(nc(/al0 $(nor'al0 Plano "or'al /ara la cur1a 4 4 4 descr()a /or el rango de x (t ) (1 t ) i t 2 # (1 t 2 ) k en t 1 .
74.
De)er'(nar
77.
Sea
T , , "
( ' 3
el /lano osculador en la
cur1a
f ( 0) /ara: f (t ) t cos t ; tsent ; t
descr()a
/or
el
1 1 1 1 cos s. Ln 1 ; sen s.Ln 1 ;1 donde s 3 3 3 long()ud de arco. De)er'(nar el )r(edro '51(l en el /un)o 1;0 ;1 .
de:
es el /ará'e)ro
2 sent ; 2 2 cos t ;1 cos t ; t 0; 2 Dada la *unc(5n 1ec)or(al de 1ar(able real f (t ) 2 sent ; 2 2 cos t ;3 cos t ; t 2 ; 4
7.
.
rango
g ( s )
(
a) Anal(zar s( la cur1a es con)(nua rec)(,(cable o sua1e6 sobre el (n)er1alo ?@ 4 B.
b) &allar el )r(edro '51(l en el /un)o 2 ; 2 2 ; 3
7;.
Sea ( la cur1a descr()a /or el rango de del /lano osculador en el /un)o 2 ; 3 ; 4 .
7=.
Sea
la cur1a descr()a /or el rango de
. 2
f (t ) 3t t 3 ; 3t 2 ; 3t t 3
(
2
3
. &allar la ecuac(5n
2 f (t ) cos 3t ; sen3t ; 2t
) H@
a) Para'e)r(zar ( en )ér'(nos de la long()ud de arco s . b) $os2ue3ar la grá,(ca del rango de f gra,(car el )r(edro '51(l en el /un)o donde la long()ud de arco es % un(dades.
MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FIIS
7>.
Sea
f (t )
/ara )K@. @.
la
descr()a /or el rango de la *unc(5n 1ec)or(al t 1 t % 1" ; 0 ;1 Do$ f #0 ; 2 . &allar el 1ec)or )angen)e un()ar(o 1 t 1 t 2 $ ! 1 t 2 (
Sea
cur1a
una cur1a regular descr()a /or
(
2
f ' (t )
2
f ' ' (t )
k (t )
f ' (t ) f ' ' (t )
f f (t ) .
De'os)rar 2ue la cur1a)ura es:
2
3
f ' (t )
%.
Sea ( la cur1a descr()a /or f (t ) a cos t ; asent ; a cos t , t 0 ; 2 , a 0. &allar los /un)os donde la cur1a ob)(ene su 'á<('o rad(o de cur1a)ura. En esos /un)os allar la ecuac(5n del círculo osculador.
+.
!os 1ec)ores /os(c(5n de dos /ar)ículas 2ue se 'ue1en son res/ec)(1a'en)e:
f (t ) 3 t 3 ;1 t ; 3 , g (t ) 2 3t ;1 t ; 3
a) &allar una su/er,(c(e 2ue con)enga a las nor'ales /r(nc(/ales de la cur1a ( descr()a /or x f (t ) . b) Col(s(onan las /ar)ículas c) &allar las co'/onen)es de la acelerac(5n de a'bas )raec)or(as en /un)os res/ec)(1os donde las rec)as nor'ales son /aralelas.
-.
una ra/(dez de v 2 $ s alrededor del e3e L : P 4 ; 5 ; 5 & 1; 3 ; 15 . S( en el (ns)an)e t 0 se encuen)ra en el /un)o A 8 ;12 ; 2 la /r('era co'/onen)e de v es vT 0 . Calcular: Una
/ar)ícula
ro)a
con
a) Una *unc(5n 1ec)or(al cuo rango descr(ba la )raec)or(a del '51(l. b) El /un)o 'ás al)o 'ás ba3o res/ec)o del /lano J8 de la )raec)or(a. c) !a 1eloc(dad la acelerac(5n /ara t 3 s . d) El )r(edro '51(l /ara t 3 s . e) !a ecuac(5n de los /lanos: "or'al0 rec)(,(can)e osculador en un /un)o genér(co.
4.
&allar la ecuac(5n del /lano osculador a la cur1a ( descr()a /or el rango de:
a6 g ( s )
cos s sen s ; sen s cos s ; 2
b6 f (t ) 2e t cos t ; sent ; t /ara t 7.
1
4
2 s 0 en el /un)o donde la long()ud de arco es
2
.
.
El 'o1('(en)o de una /ar)ícula P de 'asa $ es deb(do a la acc(5n de una *uerza cen)ral 2ue es)á s(e'/re d(r(g(da al or(gen de coordenadas cua 'agn()ud es /ro/orc(onal a la d(s)anc(a de la /ar)ícula al or(gen. S( x (+ ) 0 ; x ' (+ ) 0 . &allar las ecuac(ones /ara'é)r(cas del 'o1('(en)o. Una /ar)ícula se 'ue1e a lo largo de la cur1a ( ' 3 de 'odo 2ue
.
x (1) e1;1;1
. De)er'(nar su )raec)or(a.
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v 4 x (t )
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;.
Sea
una cur1a cua ecuac(5n rec)angular es
(
y g ( x)
s(endo
g
una *unc(5n
g ' '
d(*erenc(able sobre el (n)er1alo a ; b . De'os)rar 2ue su cur1a)ura k es:
k
3
2 2 1 g '
3 4 cos s ;1 sens ; cos s 0 5 5 el /ará'e)ro long()ud de arco. &allar la cur1a)ura )ors(5n de ( en cual2u(er
=.
Sea
(
s(endo s /un)o.
la cur1a descr()a /or el rango de la *unc(5n g ( s)
>.
&allar la )ors(5n de la cur1a f (t ) 1 t ; e t 1 ; t 2 1 ; t 0 en el /un)o de (n)ersecc(5n 3 g ; e 4t ;1 2t ; t 0 . con la cur1a (t ) 1 t
;@.
&allar la )ors(5n la ecuac(5n del /lano osculador /ara las s(gu(en)es cur1as en los /un)os (nd(cados:
a)
f (t ) cos t ;1 sen t ; 2 3 cos t 2
2
en x 0 0 ; 2 ; 2 .
; 2; b) g (t ) cos t ; 2 sent ; t en x0 . 2 4
!as ecuac(ones /ara'é)r(cas de una cur1a ( ' 3 son:
;%.
x(t ) t sent
y (t ) 1 cos t
t 2
z (t ) 4 sen
Calcular la cur1a)ura0 )ors(5n la ecuac(5n /ara la c(rcun*erenc(a oscula)r(z en el /un)o donde el /lano nor'al a la cur1a es /aralela al /lano z 1 . 2t 1 t 2 ; ; t 2 la cur1a descr()a /or el rango de f (t ) . t 1 t 1
;+.
Sea
(
a) &allar la *unc(5n )ors(5n /ara ( . b) #er(,(car 2ue ( es)á con)en(da en el /lano
;-.
!a cur1a
(
es)á de,(n(da 'ed(an)e las ecuac(ones:
&allar la cur1a)ura )ors(5n de x y z
;4.
1 2
: x 3 y 3 z 5
(
y
)
z 0
sent
e
dt
0 1 2 x 2 z 0 .
en el /un)o en el 2ue la cur1a (n)erce/)a al /lano:
.
&allar la cur1a)ura0 )ors(5n la ecuac(5n del /lano osculador de las s(gu(en)es cur1as en los /un)os (nd(cados: a6
4 x 9 y 24 x 18 y 9 0 0 en 2
2
6 ;1
1 1 b6 f (t ) e t ; e t ; e t 0 en ; ; 2 2 2 c6 x 2 y 2 z 2 5 0 y z 1 0 en 2 ; 2 ;1 1 d6 r 2 2 r cos + sen+ 1 0 0 en 5 ; arctan 2 2 2 e6 x y 4 x 2 y 2 0 0 en 3 ; 1 MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
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*6 f (t ) t 1; e 3t ; Ln(t 2 2t 1 Ln 4) 0 en 4 ;1; 2 Ln 2 3 4 g6 g ( s) cos s ;1 sen s ; cos s 0 en el /un)o donde la rec)a nor'al el e3e J 5 5
*or'an un ángulo / )al 2ue cos /
6
f (t ) 1 t ;1; t Ln 2
2 . 5
1 t
en el /un)o en 2ue (n)erce/)a con los /lanos 1 t 2
P 1 : x z 1 ; P 2 : x z 1
(6
de,(n(da 'ed(an)e las ecuac(ones
(
2 z y 1 ; 4 z 3x 3 0 2
3
en el /un)o en el 2ue
(
4
3 (n)erce/)a a la su/er,(c(e S : x y z ; z 0
3
t 2 ; Ln 1 t 0 en el /un)o donde el 1ec)or )angen)e )(ene la 36 f (t ) Ln t 1 t ; 1 t d(recc(5n de la rec)a: x 1 y 2 z 1 . L6 r 2 a 2 cos 2+ , r ;+ coordenadas /olares0 en el /un)o a ;+ + ; 4
;7.
&allar una *unc(5n 1ec)or(al cuo rango descr(ba la c(rcun*erenc(a oscula)r(z en cada uno de los s(gu(en)es casos: a) Para las cur1as del /roble'a 4-. 2 3 b) y x en 1;1 c) x 2 y 2 2a 2 en a ; a 1
1
1
d) r a 1 cos+ /ara + e)
f (t ) 2t ;1 t ; 3 2t 2
2
3
en el /un)o donde la )ors(5n es 'ín('a.
f) r 2 2a 2 cos + en un /un)o de (n)ersecc(5n con la cur1a r
;.
a
.
Cuáles de las s(gu(en)es cur1as son sua1es o rec)(,(cables a) Cur1as del /roble'a 7-. b) Cur1as del /roble'a 74.
% $
3 3 c) f (t ) 4 cos t ; sen t , t #
d) xy 1 , x 0 ; 4 .
4
;
7 " 4 !
;;.
&allar la ecuac(5n del /lano 2ue con)(ene a la c(rcun*erenc(a oscula)r(z a la cur1a ( descr()a /or el rengo de f (t ) 2t 2 ;1 t ; 3 t 2 2ue /asa /or el /un)o en el cual el rad(o de cur1a)ura es 'ín('o.
;=.
Sea k la cur1a)ura de y xLnx 0 donde y ' 0 sea ( 1 una cur1a descr()a /or x f ( s ) s 0 long()ud de arco6 2ue )(ene )ors(5n cons)an)e k . &allar la cur1a)ura de la
cur1a ( 1 descr()a /or g ( s ) a f ( s ) " ( s ) en cual2u(er /un)o.
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;>.
%.
Una /ar)ícula se 'ue1e sobre una cur1a ( de 'anera 2ue los 1ec)ores 1eloc(dad acelerac(5n s(e'/re )(enen '5dulo cons)an)e. &allar la cur1a)ura de ( en )ér'(nos de en cual2u(er /un)o.
v
a
Co'/le)a cuadrados en las s(gu(en)es ecuac(ones de)er'(na: el )(/o de cuádr(ca 2ue es0 sus ele'en)os no)ables su re/resen)ac(5n grá,(ca: a6 -<+ N -+ N < N 7 N % K @. b6 -<+ -+ N < N 7 N % K @. c6 -+ N < N 7 N % K @. d6 <+ N -+ N z+ N +< N 7 +z N % K @. e6 -<+ N + z+ N < N + N +z N % K @. *6 <+ N + N < N 4 N -z % K @. g6 <+ N + N < N 4 z + % K @. 6 <+ N + N < N 4 % K @.
+.
De)er'(nar la ecuac(5n de las cuádr(cas s(gu(en)es:
%.
De)er'(nar s( z es *unc(5n de las 1ar(ables < e . a6 <+N+Nz+K4 b6 cos<6zK4 c6 <++zK%@ d6 <+z+K%@ e6 e<zK4 *6 <++Kz+
+.
&allar el do'(n(o de las s(gu(en)es *unc(ones gra,(carlo: a)
b6 c6
f x, y
4 x
2
y 2 x 2 y 2 9
f x, y
x y 3 x x y
z
y
x
1
1
d6 z x y x y MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
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e6
f x, y
x 2 4
4 y2
1
*6 f x, y R x 2 y 2 g6 f x, y 1 x 2 1 y 2 6 f x, y Ln x 1 y 1 (6 f x , y Ln y 2 4 x 8
36 f x, y L6 z
4 x y 2
Ln 1 x 2 y 2
x 2 2 x y 2 x 2 2 x y 2
R 2 2 x 2 y 2 R 2 z xy Ln l6 2 x y '6 z Ln xLn y x y 2 x n6 f x, y x 2 y 2 25 o6
x y
f x, y arc sen
/6 f x, y x 1 y . Ln x 4 y 2 26 f x, y arc cos 4 x 2 9 y 2 35 r6 f x, y xseny s6 f x, y xy x 2 y 2 4 )6 f x, y arc sen x arc sen y
x
@-. S(: *<06K y 0 encon)rar: a6 *-0+6 c6 *-@076 e6 *<0+6
b6 *Q%046 d6 *706 *6 *70)6
@4. *<06K4<+4+0 allar: a6 *@0@6 b6 *@0%6 c6 *+0-6 d6 *%06 e6 *<0@6 *6 *)0%6 @7. *<06K
y
0 allar: b6 g706 d6 g@0%6 *6 *e0e6
@;. *<06K
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a6 *+0
6
b6 *-0@6
4 c6 *-@0 2 6 y
@=. *<06K ) ( 2t 3) dt 0 allar: x
a6 *+0Q+6 c6 *Q-0+6
b6 *-0@6
y
@>. g<06K
)
(
t 3 t
x
a6 g+0-6 c6 g%0+6
) dt 0 allar:
b6 gQ-0Q%6
%@. Descr(b(r la reg(5n R del /lano car)es(ano < 2ue corres/onde al do'(n(o de la *unc(5n dada0 állese el rango de la *unc(5n: a6 *<06K b6 *<06K c6 *<06K d6 zK
4 x 2 y 2
4 x 2 4 y 2 x 2 y 2 1
x y
xy
e6 zK x y
xy
*6 *<06K!n
1
4 xy
6 g<06K x
g6 g<06K xy (6 *<06K e
y
x
y
36 z f x , y Ln x 2 y L6 z f x , y x y 2
2
xy
%%. D(bu3ar la grá,(ca de la su/er,(c(e es/ec(,(cada /or la *unc(5n dada. a6 zK4Q<++ c6 zK+ e6 *<06K+<- %+. S(: g x arcsenx
b6 *<06K x 2 y 2 d6 g<06K+<+N% *6 *<06KeQ<
f x; y
x 2 4 y 2 16
De)er'(nar la regla de corres/ondenc(a de g % f 0 D g f . ra,(car en 2 %
4 D g f . %
%-. Descr(b(r las cur1as de n(1el de cada *unc(5n. D(bu3ar las cur1as de n(1el /ara los 1alores de /ro/ues)os. a6 *<06K 25 x 2 y 2 0 cK@0 %0 +0 -0 407 b6 *<06K<+N+ 0 cK@0 +0 40 0 = c6 *<06K<0 cK%0 Q%0 -0 Qd6 *<06KQ+<-0 cK@0 +0 40 0 =0 %@ x
1
3
e6 *<06K x 2 y 2 0 cK 0 1 0 0 2 2 2 x y
*6 *<06K x y 0 cK@0 1 0 2 0 3 g6 z f x , y sen y x 0 cK@0 %
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6 f x , y , z
x 2 y 2 4 z 2 x
0 cK@0 %
%4. &állense las /r('eras der(1adas /arc(ales con res/ec)o a < con res/ec)o a . a6 zK-<-+ c6 zK<-!n%N<Q-76
b6 zKcos<746 d6 zKe<.sen4+6
e6 *<06K<+Q-+N;
*6 *<06K y
g6 g<06K x 2 e 2 y
6 zK xe
x
x y
(6 zK Ln x y L6 zK Ln
36 zK
x 2 y 2
x
2
x
y
4 y
2 y xy
2
x
l6 zK x 2 y 2
%7. &állense las /r('eras der(1adas /arc(ales con res/ec)o a
a6 *<06K ) 2t 1 dt x
x
b6 *<06K ) t 1 dt ) 2t 1 dt 2
y
%. E1alense * < * en el /un)o (nd(cado. xy
a6 *<06K x y 0 +0Q+6 4 xy
b6 *<06K x 2 y 2 0 %0@6 %;. &állense las der(1adas /arc(ales /r('eras con res/ec)o a <0 0 z. a6 VK
x 2 y 2 z 2
xy
b6 VK x y z c6 F<00z6K Ln
x 2 y 2 z 2
1
d6 <00z6K 1 x 2 y 2 z 2 e6 &<00z6Ksen
a6 *<06K4<+Q=<4N;7Qb6 *<06Ke
x2 y2 x
2
y
2
e6 zK<++<N-+
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*6 zK 2e xy
2
g6 zKsen
xy
(6 zK<-N-<+
6 zK x y 36 zK
9 x 2 y 2
%>. Encon)rar * <0 * < * < a6 *<00z6K<z b6 *<00z6K<+-<N4zNzc6 *<06K4<+Q=<4N;7Q-<4Q+ x
d6 *<00z6K y z +@. De'os)rar 2ue las s(gu(en)es *unc(ones sa)(s*acen: * <
c6 *<06K arxtg d6 zK7< e6 zK
e 2
1
y
e y senx
*6 zKe
y 6 x
++. #er(,(car 2ue la *unc(5n dada sa)(s*ace la
2 5 2 z 2 5 z c 5t 2 5 x 2
a6 zKsen<c)6 b6 zKsenVc)6sen V<6 +-. #er(,(car 2ue la *unc(5n dada sa)(s*ace la t a6 zK e cos
x c
t b6 zK e sen
2 5 z 2 5 z c 5t 5 x 2
x c
+4. D(bu3ar la cur1a 2ue se *or'a /or la (n)ersecc(5n de la su/er,(c(e dada el /lano. &állese la /end(en)e de la cur1a en el /un)o dado. a6 zK 49 x 2 y 2 0 <+Q+0 K-0 %0-0@6 d6 zK><++0
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sub(endo a raz5n de @.%7 XCaGo la llu1(a es)á decrec(endo a raz5n de @.% c'aGo. a'b(én es)('an 2ue0 a los n(1eles ac)uales de /roducc(5n0 YWY K + YWYR K =. a6 Zué s(gn(,(can los s(gnos de es)as der(1adas /arc(ales b6 Es)('e la raz5n de ca'b(o ac)ual de la /roducc(5n de )r(go0 dWd). +. Calcule la 1ar(ac(5n /orcen)ual a/ro<('ada del 1olu'en de un c(l(ndro0 s( el rad(o au'en)a en %[ la al)ura en un +[. #olu'en del C(l(ndro: #K R+& R: rad(o0 &: al)ura6. +;. Un lado del )r(ángulo '(de +.4 ' au'en)a con la 1eloc(dad de %@ c's. El segundo lado '(de %.7 ' d(s'(nue con la 1eloc(dad de 7 c's. El ángulo *or'ado /or es)os dos lados '(de @X au'en)a a una 1eloc(dad de +X /or segundo. C5'o 1ar(a el área del )r(ángulo con 2ué 1eloc(dad +=. !a long()ud de la base b de un )ra/ec(o crece a raz5n de + c's la long()ud de la base $ decrece a raz5n de % c's. S( la al)ura D crece a raz5n de - c's0 con 2ue 1eloc(dad 1ar(a el área A cuando bK-@ c'0 $K7@ c'0 DK%@ c'F
+>. El alcance de un /roec)(l d(s/arado con un ángulo + con la or(zon)al con 1eloc(dad 2 5 R 5 R vo sen 2+ 1o es: R . E1aluar: cuando 1oK+@@ /seg + K7X. 5 v + 5 o 32
+. !a )e'/era)ura en un /un)o cual2u(era de una /laca de acero 1(ene dada /or: K7@@ @0<+%07 + M(d(éndose < e en /(es. &állese0 en el /un)o +0-6 la raz5n de ca'b(o de la )e'/era)ura con res/ec)o a la d(s)anc(a0 al 'o1ernos sobre la /laca en las d(recc(ones de los e3es < e 0 res/ec)(1a'en)e. +;. !a le de gases (deales nos d(ce 2ue P#KL0 s(endo P la /res(5n0 # el 1olu'en0 la 5V 5 P )e'/era)ura L una cons)an)e de /ro/orc(onal(dad. &allar: . 5 P 5T
+=. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 calclese la d(*erenc(al )o)al: + -
a6 zK-<
1 c6 zK x 2 y 2 e6 zK
*6 zK
b6 zK
(6 VK
x y z 2 y
y
d6 zK e
2 2 1 x 2 y 2 e e x y 2
g6 VK+z-sen<
x 2
x
sen y
6 VKe
+>. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 e1aluar: *%+6 *%0@7+0%60 calcular )o)al dz /ara a/ro<('ar 6z. MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
6z
usar la d(*erenc(al
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a6 *<06K><++ b6 *<0 6K c6 *<06 K
x y 2
2
x
e6 *<06K-<4
*6 *<0 6K y
-@. Encon)rar 6* d*0 sab(endo 2ue *<6K< +0
x 2 y
cuando <06 1aría de Q%+6 a -%6
--. Encon)rar el (ncre'en)o a/ro<('ado real de gu16K+u1Q1 - cuando u16 1aría de @%6 a 4Q+6 -4. &allar el 1alor de la d(*erenc(al )o)al de la *unc(5n
z x y x 2 y 2
/ara
x 3 ; y 4 ; 6 x 0,1 ; 6y 0,2
-7. &allar el 1alor a/ro<('ado de:
a6
arctg 0,02 0,98
b6
4,996 1,003 1 1,995 2
2
4
2
c6 Ln 3 1,03 4 0,98 1 d6 1,04 2, 02 0,97
e6
15,05 4 0,98
*6 2,131,97 g6 Ln 3,02 2 8,01 6 Ln 4,14 9,07 3 (6 arctg 0,2 0,97 36 3,1 4,8 2 2,1 2 3 L6 1,002 2,003 3,004
l6
1,03 2 3
0,98.4 1,05 3
'6 1,02 3 1,97 3 n6 sen 29 tg 46 o6 0,971, 05 -. Con )raba3adores cal(,(cados e )raba3adores no cal(,(cados0 un *abr(can)e /uede /roduc(r: Z<06K%@<+ un(dades /or día. En la ac)ual(dad a en el )raba3o +@ )raba3adores cal(,(cados 4@ no cal(,(cados. a6 Cuán)as un(dades se /roducen cada día b6 En cuán)o ca'b(ará real a/ro<('ada'en)e el n(1el de /roducc(5n d(ar(o s( se ad(c(ona un )raba3ador cal(,(cado a la *uerza laboral ac)ual. c6 En cuán)o ca'b(ará real a/ro<('ada'en)e el n(1el de /roducc(5n d(ar(o s( se ad(c(ona un )raba3ador no cal(,(cado a la *uerza laboral ac)ual MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
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d6 En cuán)o ca'b(ará real a/ro<('ada'en)e el n(1el d(ar(o de /roducc(5n s( se ad(c(ona un )raba3ador cal(,(cado uno no cal(,(cado a la *uerza laboral ac)ual -;. En c(er)a *ábr(ca la /roducc(5n es: Z\0!6K%+@\ +-!%- un(dades0 donde \ es la (n1ers(5n de ca/()al en un(dades de ]%@@@ ! es el )a'aGo de la *uerza laboral 'ed(da en oras )raba3ador. a6 Calcular la /roducc(5n s( la (n1ers(5n de ca/()al es ]%+7@@@ el )a'aGo de la *uerza laboral es %--%oras)raba3ador. b6 En cuán)o ca'b(ará la /roducc(5n s( )an)o el n(1el de (n1ers(5n de ca/()al co'o el )a'aGo de la *uerza laboral se reducen a la '()ad -=.!a u)(l(dad d(ar(a 2ue un )endero ob)(ene /or la 1en)a de dos 'arcas de 3ugo de naran3a es: P<06K<-@6;@7. En c(er)a *ábr(ca la /roducc(5n d(ar(a es)á dada /or: P\0!6K@\ %+!%- un(dades0 donde \ re/resen)a la (n1ers(5n de ca/()al 'ed(da en '(les de d5lares ! el )a'aGo de la *uerza laboral 'ed(da en oraso'bredía. Ac)ual'en)e la (n1ers(5n de ca/()al es de ]>@@@@@ se e'/lea %@@@ oraso'bredía. Calcular la 1ar(ac(5n a/ro<('ada de la /roducc(5n cuando el ca/()al sea de ]>@7@@@ la 'ano de obra sea de %@@- oraso'bredía. 4@. !a *unc(5n de /roducc(5n de una e'/resa es P!0\6K=@! -4\%40 e n d o n d e ! \ re/resen)an el n'ero de un(dades de 'ano de obra ca/()al u)(l(zadas P el n'ero de un(dades elaboradas. Cada un(dad de 'ano de obra )(ene un cos)o de ]@ cada un(dad de ca/()al ]+@@0 se sabe 2ue la e'/resa )(ene un /resu/ues)o de ]4@@@@ des)(nados a *ac)ores de /roducc(5n. Ac)ual'en)e el n'ero de un(dades de 'ano de obra u)(l(zada es de +70 '(en)ras 2ue de ca/()al es de =%. Se /(de: a6 El n'ero de un(dades elaboradas ac)ual'en)e. b6 Cuán)o del /resu/ues)o aun le 2ueda c6 En cuan)o debe 1ar(ar a/ro<('ada'en)e la /roducc(5n s( se e'/lea +7; un(dades de 'ano de obra. d6 En cuan)o debe 1ar(ar a/ro<('ada'en)e la /roducc(5n s( se e'/lea =+ un(dades de ca/()al. e6 En cuan)o debe 1ar(ar a/ro<('ada'en)e la /roducc(5n s( se e'/lea = un(dades de ca/()al +@ un(dades de 'ano de obra. *6 En cuan)o debe 1ar(ar a/ro<('ada'en)e el cos)o )o)al s( se e'/lea = un(dades de ca/()al +@ un(dades de 'ano de obra. 4%. Una e'/resa es)('a 2ue el n'ero de un(dades 2ue 1ende cada aGo es una *unc(5n de los gas)os de /ubl(c(dad /or rad(o )ele1(s(5n. !a *unc(5n 2ue e
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/ubl(c(dad /or rad(o < e se e
4. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 allar
d' dt
usando la regla de la cadena a/ro/(ada'en)e:
a6 VK<+N +
y x
e6 VK<+N+Nz+0
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5' 5' usando la regla de la cadena 5 s 5t a/ro/(ada'en)e0 e1aluar cada der(1ada /arc(al /ara los 1alores (nd(cados de .
4;. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 allar
a6 VK<+N+
4
d6 VKsen+
2
4=. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 derí1ese ('/líc()a'en)e /ara ob)ener las der(1adas /arc(ales /r('eras de z. a6 <+N+Nz+K+7 b6 . En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 der(1ar ('/líc()a'en)e /ara ob)ener las der(1adas /arc(ales /r('eras de V. a6 <zN
xy x y 2 2
x
y
d6 *<06K+<--<+
2
z x y . Ln x y
7+. S(:
. Calcular: ( y. 55 x z x 55 y5 z x 55 y z . 2
7%. Sea la *unc(5n z sen x y
.
2
2
2
5 2 z 5 2 z 5 2 z 2 Calcular: . 5 x5 y 5 y 2 5 x 2 5 z
5 z
7-. S( F x y z ; x 2 y 2 0 s( z f x; y . Probar 2ue x 5 y y 5 x x y . 74. Sean u ; v dos *unc(ones de x e y 5u
5u
v 2 cos u 3 x 2 y de,(n(das ('/líc()a'en)e /or: . 2 3 u senv 5 y x
5v 5v
&allar: 5 x , 5 y , 5 x , 5 y s(n des/e3ar *unc(ones.
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77. !a al)ura de una ca3a rec)angular crece a raz5n de % /lgs0 su long()ud crece a raz5n de /lgs su anco decrece a raz5n de + /lgs. &allar la ra/(dez de 1ar(ac(5n del 1olu'en en el (ns)an)e ) 0 donde la al)ura '(de % /(e0 la long()ud + /(es el anco - /(es. Desde ese (ns)an)e0 )ranscurr(dos %+ s0 Cuál será la 1ar(ac(5n del 1olu'en 7. Anal(zar la con)(nu(dad d(*erenc(ab(l(dad de F ( x; y ) en (0;0) . S(:
) x( ; y) 2 y f . x x( ; y) f y x( ; y) ; x y 2 F x( ; y) 1 ; x y 2 1 e x y 2 2 2 2 y ; x y f x( y; ) x y 2 y 2 ; x y2 2
x y
) x ( x; y) e
2
( y xy y ); 2
2
2 3 x y ) y ( x; y) ( x 2 y 2 xy 2 y )e ,
)(0;0) 0
7. Encon)rar la ecuac(5n del /lano )angen)e a la S : e xy . senz e xz . seny e yz .senx 0 en el /un)o P 0 0 ; ; 2 .
su/er,(c(e:
7;. Mues)re 2ue las su/er,(c(es: x 2 y Lnz 4 0 5 z xy x 2 8 x 0 0 son )angen)es0 es)o es0 )(enen un /lano co'n )angen)e en el /un)o 2 ; 3 ;1 7=. &allar la ecuac(5n del /lano )angen)e a la *unc(5n
e ; 2 ; f e;2
f x; y yLnx
en el /un)o
7>. De)er'(nar la ecuac(5n del /lano )angen)e a la su/er,(c(e S 1 : z x 2 xy 2ue sea /er/end(cular a los /lanos P 1 : x y z 3 P 2 : 2 x y z 4 . @. Dadas las
2 su/er,(c(es: S 1 : z a b x 2 y 2 ; a , b 0 S 2 : x 2 y 2 z 1 1 . S( S 1 es
)angen)e a S 2 0 de'os)rar 2ue: a b 1
1 . 4b
@. &allar el ángulo 2ue se *or'a en)re las su/er,(c(es: S 1 : S 2 : 2 x y z 50 0 0 en el /un)o 8 ; 25 ; 9 .
x 2 16
y 2 25
z 2 9
20 0
%. Dada la *unc(5n: f x; y Ln 2 x y y x 2 . De)er'(nar: a6 El do'(n(o de f gra,(carlo. b6 !a ecuac(5n del /lano )angen)e una ecuac(5n de la rec)a nor'al al grá,(co de la *unc(5n en el /un)o 1; 5 ; f 1;5 . MG. RUBÉN DARÍO MENDOZA ARENAS CÁLCULO II
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+. El /lano )angen)e a la su/er,(c(e S :
L : x 0 ; 0 ; 8 r 0 ; 1 ; 2 , r es
x 2 16
y 2 4
z 2 4
1
2ue con)(ene a la rec)a
6 x 4 y 2 z 16 .
-. &allar la ecuac(5n del /lano )angen)e a la su/er,(c(e S : x 2 y 2 2 z 2 100 2ue es /aralelo al /lano nor'al a la cur1a de (n)ersecc(5n de las su/er,(c(es S 1 : z x 2 2 y 2 ; S 2 : z 2 x 2 3 y 2 1 en el /un)o 2 ;1 ; 6 . -. De'os)rar 2ue los /lanos )angen)es a la su/er,(c(e xyz a 2 coordenados un )e)raedro de 1olu'en cons)an)e.
a 0 *or'an con los e3es
4. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 bs2uense /ara cada *unc(5n los e<)re'os rela)(1os los /un)os s(llas: a6 *<06K+<+ N+<N+N+
o6 *<06K- -<+-+-<+N% /6 zK%7N><+N<26 *<6K<-N-N-<+Q%=
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a6 Zué /rec(o debería ,(3ar el )endero a cada 'arca /ara 'a<('(zar las u)(l(dades ob)en(das de la 1en)a del 3ugo b6 Cuál es la u)(l(dad 'á<('a Co'/robar el resul)ado. =. Un al'acén de ca'(se)as 1ende dos 'arcas co'/e)(doras0 A $. El /ro/(e)ar(o del al'acén /uede ob)ener a'bos )(/os a un cos)o de ]+ /or cada ca'(se)a calcula 2ue s( la 'arca A se 1ende a < d5lares cada una la 'arca $ se 1ende a d5lares cada una0 los consu'(dores co'/rarán a/ro<. 4@7@. Un *abr(can)e /lanea 1ender un nue1o /roduc)o al /rec(o de ]%7@ /or un(dad es)('a 2ue s( se gas)an < '(les de d5lares en desarrollo e '(les de d5lares en /ro'oc(5n0 los consu'(dores co'/rarán a/ro<('ada'en)e: 320 y y2
160 x x4
un(dades del /roduc)o.
S( los cos)os de *abr(cac(5n de es)e /roduc)o son ]7@ /or un(dad0 cuán)o debería gas)ar el *abr(can)e en desarrollo cuán)o en /ro'oc(5n /ara generar la 'aor u)(l(dad /os(ble en la 1en)a de es)e /roduc)o : UKICCan)(dad )o)al gas)ada en desarrollo /ro'oc(5n6
e
K ;@. Un *abr(can)e con derecos e
y 10
x 6
'(les de
'(les de d5lares cada una en el
e<)ran3ero. El cos)o de *abr(cac(5n de una 'á2u(na es @0 en '(les de d5lares6. a6 Cuán)as 'á2u(nas debería su'(n(s)rar el *abr(can)e al 'ercado nac(onal /ara generar la 'aor u)(l(dad /os(ble en es)e 'ercado
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;+. U)(l(zando 'ul)(/l(cadores de !agrange: a6 M(n('(zar *<06K<+N+0 cond(c(5n:
b6 <K%
c6
;7. Un consu'(dor )(ene la s(gu(en)e *unc(5n u)(l(dad: U<06K<N
x 2
y 3
1
e6 zK+@<-+0 s(: . Sea: *<06K
1 3
ln x
2 3
ln y
su3e)o a la res)r(cc(5n:
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a6 Encon)rar el 'á<('o rela)(1o de la *unc(5n * s(: LK. b6 De)er'(nar el ca'b(o en el 'á<('o rela)(1o de * s(: LK;. c6 De)er'(nar el ca'b(o en el 'á<('o rela)(1o de *0 s( L se (ncre'en)a +[ con res/ec)o a la /regun)a a6. =@. Un consu'(dor )(ene la s(gu(en)e *unc(5n u)(l(dad: U<06K<NN+
S( se gas)an < '(les de d5lares en 'ano de obra e '(les de d5lares en e2u(/o0 la /roducc(5n de c(er)a *ábr(ca será Z<0 6K@<%- +- un(dades. S( a d(s/on(bles ]%+@0@@@. a6 C5'o debe d(s)r(bu(rse el d(nero0 en)re 'ano de obra e2u(/o0 /ara generar la 'aor /roducc(5n /os(ble b6 Calcular el ca'b(o en la /roducc(5n 'á<('a de la *ábr(ca del /roble'a0 s( el d(nero d(s/on(ble /ara 'ano de obra e2u(/o se (ncre'en)a en ]%0@@@
=+. Un *abr(can)e /lanea 1ender un nue1o /roduc)o al /rec(o de ]-7@ /or un(dad es)('a 2ue s( se gas)a < '(les de d5lares en desarrollo e '(les de d5lares en /ro'oc(5n0 los consu'(dores co'/raran a/ro<('ada'en)e
250 y y2
100 x x5
un(dades del /roduc)o. S( los
cos)os de *abr(cac(5n de es)e /roduc)o son ]%7@ /or un(dad. a6 Cuán)o debería gas)ar el *abr(can)e en desarrollo cuan)o en /ro'oc(5n /ara generar la 'aor u)(l(dad /os(ble0 s( d(s/one de *ondos (l('()ados b6 Su/onga 2ue el *abr(can)e )(ene solo ]%%@@@ /ara gas)ar en el desarrollo la /ro'oc(5n del nue1o /roduc)o0 c5'o deberá d(s)r(bu(rse es)e d(nero /ara generar la 'aor u)(l(dad /os(ble c6 Su/onga 2ue el *abr(can)e del /roble'a dec(de gas)ar ]%+@@@ en lugar de ]%%@@@0 en el desarrollo la /ro'oc(5n del nue1o /roduc)o. E'/lee el 'ul)(/l(cador de !agrange & /ara es)('ar de 2ue 'anera a*ec)ará es)e ca'b(o la 'á<('a u)(l(dad /os(ble. =-. Una e'/resa /uede elaborar su /roduc)o en dos de sus /lan)as. El cos)o de /roduc(r 2 % un(dades en su /r('era /lan)a 2 + un(dades en la segunda /lan)a es)á dado /or la *unc(5n cos)o )o)al: C2%0 2 +6K2%+N+2++N72%2+N;@@. S( la e'/resa )(ene un /ed(do de =@@ un(dades cuán)as un(dades debe /roduc(r en cada /lan)a /ara '(n('(zar el cos)o )o)al =4. !a *unc(5n de /roducc(5n de una e'/resa es: P!0\6K=@!-4\%40 en donde ! \ re/resen)an el n'ero de un(dades de 'ano de obra ca/()al u)(l(zadas P el n'ero de un(dades elaboradas. Cada un(dad de 'ano de obra )(ene un cos)o de ]@ cada un(dad de ca/()al ]+@@0 se sabe 2ue la e'/resa )(ene un /resu/ues)o de ]4@@@@ des)(nados a *ac)ores de /roducc(5n. &allar los 1alores de ! \ 2ue se deben e'/lear /ara 'a<('(zar la /roducc(5n.
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=7. Dada la *unc(5n de u)(l(dad U<06K
@%. E1aluar las (n)egrales ()eradas: 1 x
a6
) ) xy 0x
2
dydx
3
b6
2
9 y 2
) ) ydxdy 0
1 x 2
c6 ) ) x
2
0
y dydx
d6
1 x 2 2 2y
e6
)
)e
x
y2
1 x
dxdy
*6
12
) ) x 3 dydx x y
)
)e
0
0
b6
dydx d6
dydx
2
ydxdy
2 ) ) x x y
1
2
dxdy
) ) dxdy
6 7
*6
) ) dydx 4 3
x
) ) xy 1 2
ln 2 1
dydx
6
0 0
(6
0 0
1 2
g6
) ) x 3 1
0 5
1 1
0
2 0
Ln 3 Ln 2
e6
0
4 1
00
c6
x2
)
x e ) cos ydydx
0 0
1 0
a6
))e
2 seny
)
2
y x ) xye dydx
0 0
2 1
1 1
2 1
0 0
) ) ( y 1)dydx 36 ) ) dydx
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2 1
) ) xydydx
L6
l6
2 1 x
y
) ) 1 4
x 2
xy
dydx
0 0
1
'6
) ) xye
x
x 2
2 x 3
dydx
n6
) )
1
0
sen
y dydx x
y
) ) x cos x dydx
o6
/6
0 2 1x
a -x
0
0
2
) ) x y dydx
2 x 2 y dydx
) ) y
26
2
a
00
@+. En los e3erc(c(os s(gu(en)es0 e1aluar las (n)egrales dobles en la reg(5n rec)angular R. a6
)) 6 xydA 0 R es la reg(5n l('()ada /or K@0
b6
)) x cos xydA 0 R es la reg(5n co'/rend(da en)re
c6
)) xy
d6
)) x1 y
R
R
2
R
dA 0 R es la reg(5n co'/rend(da en)re K %0 K+0
1
2
dA 0 R es la reg(5n del /r('er cuadran)e co'/rend(da en)re K< +0 K4
R
)) 3 x 2 y dA 0 R es la reg(5n l('()ada /or la c(rcun*erenc(a <+N+ K %
*6
)) 1 x 2 dA 0
R
1
R es la reg(5n )r(angular de 1ér)(ces @0@60 %0%6 @0%6
R
g6
)) 4 xy
6
)) x
(6
)) x
36
)) cos x y dA
R
3
dA 0 RK_<06: Q%8<8%0 Q+88+`
1 x 2 dA
R
1 x 2 dA
0 RK_<06: @8<8%0 +88-`
R x, y : 0 8 x 8 1, 0 8 y 8 1
R
R
RK_<0 6: Q48<840 @884` L6
)) xydA 0 R es la reg(5n l('()ada /or K@0
l6
)) x y dA 0 R es la reg(5n co'/rend(da en)re las cur1as y x
R
R
'6
)) x R
2
dA 0 R es la reg(5n l('()ada /or y 16 0 K<0
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2
y
x
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n6
)) ydA 0 R es la reg(5n del /r('er cuadran)e co'/rend(da en)re la c(rcun*erenc(a R
<+N+K+7 la rec)a
)) xydA 0 R es la reg(5n co'/rend(da en)re y
/6
)) x
26
)) f x; y dxdy 0 R es la reg(5n encerrada /or:
x
R
2
R
0 K<0 K@
dA 0 R es la reg(5n del /r('er cuadran)e co'/rend(da en)re <K%0 K<0 K+<.
y x 2
R
2
; y x
4
f x; y
x 1 y
3
@-. Usar la (n)egral doble /ara encon)rar el 1olu'en de cada s5l(do:
a6 El )e)raedro del /r('er oc)an)e l('()ado /or los /lanos coordenados el /lano zK7+< . b6 El s5l(do l('()ado arr(ba /or el /lano zK< +N+0 aba3o /or el /lano 9K@ la)eral'en)e /or los /lanos
(6 El 1olu'en del /r('er oc)an)e l('()ado /or los /lanos coordenados0 el /lano K4 el /lano
x z 1. 3 5
@4. !a (n)egral ()erada re/resen)a el 1olu'en de un s5l(do. &acer un d(bu3o a/ro<('ado del s5l(do. 52
a6
34
) ) 4dxdy
b6
01
) ) x 2
c6
2
2 2
) ) ydxdy 23
2
2
y dxdy
2 2
d6
) ) ( x y 2)dxdy 0 0
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