Ejercicios de Calculo II

CÁLCULO II

Producto Académico N° 01

Producto Académico N° 01 Carrera: Ing. de Sistemas e Informática INSTRUCCIONES 

Toda repuesta debe ser justificada en términos de los conceptos vistos en las video clases y en el material auto instructivo. El procedimiento en forma ordenada, con letra legi ble y res puesta pues ta s e tomará tomará en en cuenta para para la calific ación.

PROBLEMA 1.

(3 puntos)

Calcular la integral:

//   =   /    =     / 

 =   / × ⁄  

∫    =  ∫  

 Aplicar: la integral la constante Cambio de Variable: Variable: Reemplazar

⁄ = ==  −⁄  ==  ⁄ 

  

 =  ×   ⁄    =        =       =   |||    =  [(⁄)⁄]  

 sacar de

Operar y extraer  las  las constantes en la integral

⁄ =  ±  ± ==  ±±       = =|||    = =⁄

Reemplazar : Aplicar:

Integrar usando:

Reemplazar:

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Producto Académico N° 01

=  (⁄)  ⁄ ⁄⁄ =   ⁄   ⁄ =  ⁄⁄ =  ⁄   ⁄ =  Operar

Resultado

o

PROBLEMA 2.

(4 puntos)

Calcular la integral:

/  =    ⁄   =  /⁄    /   ⁄   =   /   ⁄   =   /  ⁄ /    × =  /     =   /     =  /     =    

/  = √  −   

Simplificar la expresión.

2|Página

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Cambio de Variable: Reemplazar:

   ×  =    ×  = =       =     ==   = =    = =  =       =     ± =  ±  =       ±= ± =          =            =   −   =   − −  |     =|   − +  =||        =  ≠   =||  =||     = =| |        = =| |       =| |    /     = √  −   =| |    Cambio de Variable: Reemplazar

Expandir binomio cuadrado con: Aplicar:

Reducir las fracciones y aplicar:

Reescribir e Integrar aplicando:

Reescribir

Reemplazar: Reemplazar: Simplificar

Resultado

PROBLEMA 3.

(3 puntos)

3|Página

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Producto Académico N° 01

Calcular la integral:

=√  4 

=   ( ) ⁄  =   (⁄   ⁄)  = (⁄   ⁄)   = (⁄  ⁄)  = ⁄  ⁄   ⁄ ⁄       = ⁄  ⁄  ⁄ ⁄   =     ⁄ ⁄   =    

Reescribir:

 = 

Simplificar

=   =    =

Cambio de Variable:

Aplicar:

 ±= ± +     =  

Integrar usando:

≠

Operar

= ⁄  ⁄     =√     =     Reemplazar:

Resultado

PROBLEMA 4.

(5 puntos)

Calcular la integral:

=     √ = √  = √  

2  1  =  √  √ 1 2

(√ )=

Reescribir: Preparar para integración por partes. Integración por Partes:

 =   4|Página

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= = √      =  =  =

= √    =   √   =   √    =   √  =    =       × √   =   =    =     =    =  √ √  =      =  √ √ Cambio de Variable para :

Simplificar y Reemplazar.

Reemplazar usando:

Simplificar e Integrar.

Resultado

o

PROBLEMA 5.

(5 puntos)

Calcular la integral:

=csc   1   Aplicar Integración por Partes:

=      =   

Hallar

 =   =    =   ´    =  ||√    usando:

5|Página

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     =                 √   √      =     √  =   √           √  √  = √ √    = √ √   = (√ √ ) √  √   √  =  √   =  = √   = = = =    √     √   =      √  =  √  √      =   =               =              =           =   √  = √    √    

Producto Académico N° 01

Simplificar

Hallar u usando:

=

Reemplazar usando:

Simplificar

 =  

 = √  ⟹= = √   √  =      =      

Resolver la integral por Cambio de Variable:

Usar:

Reemplazar u:

Resultado

6|Página

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Producto Académico N° 01

=    =     √    √  

7|Página