PROYECTO DE CALCULO NOMBRES 19 de abril de 2016
II PARTE
CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA
Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso 0.8 y la del descenso -1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y = L1 (x) y y = L2 (x) mediante parte de una parábola y = f (x) = ax2 + bx + c, donde x y f (x) se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los segmentos lineales L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. Para simpli car las ecuaciones decide situar el origen P. Ver la siguiente gura.
1. Resuelva los siguiente items. a ) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b
y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. b ) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para f (x). c ) Dibuje L1 , f y L2 para veri car que las transiciones son uniformes. d ) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q.
2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza de nida como función [consistente en L1 (x) para x < 0, f (x) para 0 ≤ x ≤ 100 y L2 (x) para x > 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática q(x) = ax2 + bx + c unicamente en el intervalo 10 ≤ x ≤ 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: a ) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incognitas que aseguren que las funciones y sus
dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.
g(x) = kx3 + lx2 + mx + n, 0 ≤ x ≤ 10 h(x) = px3 + qx2 + rx + s, 90 ≤ x ≤ 100
1
b ) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de cómputo algebráico para en-
contrar las fórumlas para q(x), g(x) y h(x). c ) Dibuje L1 , g, q, h y L2 y compárelos con las grá cas del problema 1 inciso (c).
DESARROLLO. 1. Resuelva los siguiente items. a ) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b
y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. Sabiendo: P(0,0) y Q(100,y2 ). L1 ⇒ m = 0,8 L2 ⇒ m = −1,6
Se puede escribir las siguientes ecuaciones: f (x) = ax2 + bx + c f (x)0 = 2ax + b
Reemplazando los puntos y pendientes anteriores obtenemos el siguiente sistema lineal
a(0)2 + b(0) + c = 0 2a(0) + b = 0,8 2 a(100) + b(100) + c − y2 = 0 2a(100) + b = −1,6
b ) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para f (x).
Resolviendo el sistema lineal obtenemos del inciso (a) obtenemos: a = −0,012 b = 0,8 c=0 y2 = −40
c ) Dibuje L1 , f y L2 para veri car que las transiciones son uniformes.
Sabiendo las siguientes ecuaciones:
y = 0,8x y = −0,012x2 + 0,8x y = −1,6 + 120
El grá co es el siguiente:
2
x<0 0 ≤ x ≤ 100 x > 100
d ) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. Sabiendo que los puntos P (0, 0) y Q(100, −40), podemos determinar. y2 − y1 ⇒ −40 − 0 = −40
Podemos determinar que la diferencia de elevación es de -40. 2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza de nida como función [consistente en L1 (x) para x < 0, f (x) para 0 ≤ x ≤ 100 y L2 (x) para x > 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática q(x) = ax2 + bx + c unicamente en el intervalo 10 ≤ x ≤ 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: a ) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incognitas que aseguren que las funciones y sus
dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.
BIBLIOGRAFÍA.
*Li
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