Ejercicio Pre Tens Ado - Viga Puente 2009-2010

Hormigón pretensado: Introducción y Práctica

Curso 2.009 – 2.010

EJERCICIO nº 1 Calcular la viga necesaria para la realización de un puente para soportar cargas de tráfico, compuesto por unas vigas prefabricadas pretensadas junto con una prelosas de hormigón armado in situ de un espesor total de 30 cm. que recoge la capa asfáltica de la calzada con un espesor de 7 cm., con una luz de cálculo de 20,00 m. 14,00 mt.

2,00 mt.

2,00 mt.

2,00 mt.

2,00 mt.

2,00 mt.

2,00 mt.

Figura 1: Sección del puente en estudio La geometria de la pieza prefabricada es la de una sección en doble T asimétrica con las siguientes dimensiones. C H G

B

F

hT

E D A Figura 2: Definición de la sección en estudio. A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.

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E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.

h T = 170 cm.

1


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Las acciones a considerar para obtener los esfuerzos sobre la viga pretensada son las consideradas en la Instrucción IAP 98. Para la mayoración de acciones sconsideraremos un control de ejecución INTENSO. Los materiales a utilizar en la fabricación de la pieza pretensada son Hormigón ............ Acero activo......... Acero pasivo........

HP-50 Y 1860 C S7 B-500 S.

Calcular: 1.-

La envolvente de esfuerzos más desfavorable tanto para el cálculo del momento último que debe soportar la pieza como para la el cortante más desfavorable a los que se encuentra solicitada la pieza prefabricada pretensada.

2.-

Las características mecánicas de las secciones bruta, neta y homogeneizada.

3.-

Las pérdidas instantáneas y las pérdidas diferidas.

4.-

Las tensiones en transferencia para la fibra superior y fibra inferior, en la sección central y en la sección correspondiente a la longitud de transferencia.

5.-

El momento último de la pieza.

6.-

El momento de descompresión

7.-

El momento de aparición de fisuras.

8.-

La armadura necesaria para soportar el esfuerzo cortante.

9.-

La deformación máxima de la viga.

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HOJA DE RESULTADOS Materiales: Hormigón.............................. Acero Armaduras Activas..... Sección cordón...................... Acero Armadura Pasiva........

HPY 1860 C S7 º cm2 B-500 S. º

Eci = Kp/cm2 Esp = Kp/cm2 Fpk = Kp/cm2 Fpd = Kp/cm2 ε0,7 = Dimensiones de la pieza:

Esa = nsp = σ0i = εlim = fct,k =

A= E =

C= G=

cm.; cm.;

B= F=

cm.; cm.;

hT

Kp/cm2

nsa =

Kp/cm2

σ0p = 0,7·Fpd =

Kp/cm2 cm.; cm.;

D= H=

cm.; cm.;

hT =

Kp/cm2 Kp/cm2

cm.;

Distribución de armadura activa y pasiva: Posición Nº cables Posición Nº cables Armadura activa Posición Nº barras Posición Nº barras Armadura pasiva

Nº de cables = Resultante de la fuerza de pretensado (desde la cara inferior de la pieza), Perdidas Instantáneas =

%

Perdidas Diferidas =

%

yp = Perdidas Totales =

cm. %

Propiedades de la sección A (cm2)

Sección

I (cm4)

ygi (cm.)

ygs (cm.)

wgi (cm3)

wgs (cm3)

σci (kg/cm2)

yfn (cm.)

e (cm.)

Bruta Neta Homogeneizada

Peso de la pieza =

kg/ml.

Resultados: Fase

Momento (Kp·m)

σcs (kg/cm2)

Transferencia Descompresión Aparición fisuras Ultimo

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1 MATERIALES Y CONTROL DE EJECUCIÓN:

Los materiales que se han tenido en cuenta, de acuerdo al citado proyecto han sido: - Hormigón............................. HP-50/P/12/IIa - Acero corrugado.................. B-500 S cuya resistencia característica y límite elástico son 500 kg/cm2 (50 N/mm2) y kg/cm2 (500 N/mm2) respectivamente.

5.100

Los coeficientes de minoración de estos materiales serán: - Hormigón............................. 1,50 - Acero corrugado.................. 1,15 El nivel de control del citado proyecto está previsto que sea INTENSO, con lo que, según el artº 95 de la Norma EHE, el coeficiente de seguridad aplicado es 1,35 para las cargas permanentes de valor constante y 1,50 para las sobrecargas. El recubrimiento exigido para las armaduras es 30 mm. de acuerdo a la clase de exposición exigida IIa (artº 37.2.4 EHE): rnom = r min + Δ r ; 30 mm = 25 + 5 La viga objeto de este estudio técnico se ha calculado para presentar una fisuración menor de 0,2 mm. (ambiente de exposición IIa). 2 NORMATIVA, ACCIONES y DATOS GEOMÉTRICOS: Para calcular la Viga que componen el puente del ejemplo a realizar, se han seguido las siguientes Normas: - Instrucción relativa a las acciones a considerar en el Proyecto de Puentes de Carretera (I.A.P. 98). - Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa ó armado (EHE) - Norma Básica de la Edificación, Acciones en la Edificación (NBE-AE-88) y de acuerdo a ellas y a las indicaciones del proyecto citado, se han tenido en cuenta las siguientes acciones gravitatorias: - Peso propio del hormigón armado ......................... 2.500 k/m3 Luis Forcano Obón

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- Peso propio del acero corrugado............................

7.850 kg/m3

- Sobrecarga de tráfico: El tren de cargas considerado es el recogido en la instrucción I.A.P. 98 en su articulo 3.2.3.1.1 y que definimos a continuación. Las componentes verticales del tren de cargas corresponden a las tres acciones siguientes actuando conjuntamente: • Una sobrecarga uniforme de cuatrocientos kilopondios por metro cuadrado, extendida en toda la plataforma del tablero o en parte de ella, según sea más desfavorable para el elemento en estudio. • Uno o dos vehículos de sesenta mil kilopondios, cuyo eje longitudinal se considerará paralelo al de la calzada y formado cada uno por seis cargas de cien mil kilopondios. La separación entre cargas en sentido longitudinal será de un metro y cincuenta cm. y en sentido transversal de dos mt. la superficie de apoyo sobre la que actuará cada carga será de veinte cm., paralelamente al eje del vehiculo, por sesenta cm. de ancho. (figura 1). 1,50 mt

1,50 mt

2,00 mt

2,00 mt.

0,20 mt

Figura 80: Distribución huellas tren de cargas. En puentes de anchura de plataforma del tablero menor o igual que doce metros, se considerara la actuación de un solo vehiculo pesado en dicho tablero. • Una sobrecarga uniforme de cuatrocientos kilopondios por metro cuadrado extendida en toda la superficie, o en parte de ella según sea más desfavorable para el elemento en estudio, de aceras, pistas para ciclistas o ciclomotores, zonas reservadas a paso de animales y medianas que estén físicamente separadas de la plataforma del tablero.

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En el ejemplo que estamos desarrolando tenemos acciones perfectamente definidas:

• Peso propio de la estructura. • Sobrecarga de vehículo (junto con la sobrecarga mínima de 400 kg/m2.) (P.P.) ….el peso propio estructura ……………

Acción permanente

(S.C.)…...la sobrecarga de trafico….…………. … Acción variable A cada una de ellas se le aplicará el coeficiente de mayoración de acciones correspondiente para combinarlas en la situación más desfavorable para cada una de sus secciones; como nivel de control de ejecución tenido en cuenta en esta estructura tomamos control intenso, de acuerdo con el artº 3.4.1 de la I.A.P. para la comprobación de los Estados Límite Últimos serán: EFECTO DESFAVORABLE

EFECTO FAVORABLE

• Peso propio de la estructura…………………………

γ G = 1,35 …….

γ G = 1,00

• Sobrecarga ………………………………………….

γ Q = 1,50 …….

γ Q = 0,00

• Peso propio de la estructura…………………………

γ G = 1,00 …….

γ G = 1,00

• Sobrecarga …………………………………………..

γ Q = 1,00 …….

γ G = 0,00

y para la comprobación de los Estados Límite de Servicio:

Todas las acciones anteriormente citadas se combinan con todas las combinaciones posibles de acuerdo al artº nº 13 de la Norma EHE, cada una afectada por su correspondiente coeficiente de mayoración, y con la envolvente de todas ellas se han calculado los esfuerzos cortante y flector en cada sección de la viga, con los cuales, mediante los métodos indicados por la Norma EHE, se ha dimensionado la viga, teniendo en cuenta los coeficientes de mayoración de acciones ya citados de acuerdo a la combinación desfavorable, y de minoración de resistencias del hormigón y del acero corrugado de acuerdo al nivel de control exigido para este proyecto.

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4.3. CALCULO DE LOS ESFUERZOS EN LA VIGA El modelo estructural utilizado para el análisis de los esfuerzos de la viga se corresponde con una viga biapoyada, con una longitud total de 24 mt. La sección de la viga es la recogida en la siguiente figura, que de acuerdo con un peso especifico Kg del hormigón de 2.500 3 , contribuyendo con un peso propio de 1.303 Kg/ml. m C H G

B

F

E D A Figura 81: Definición de la sección en estudio. Particularizando en la sección de estudio donde las diferentes magnitudes toman los siguientes valores: A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.

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E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.

7


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En primer lugar calculamos los esfuerzos a los que se encuentra solicitada la pieza en estudio, para ello comenzamos con obtener la carga lineal y cargas puntuales que repercuten sobre las vigas de acuerdo al esquema del puente de la figura 1. De acuerdo a la instrucción IAP_98 y considerando las acciones que en ella se reflejan necesitamos realizar la línea de influencia con las cargas móviles provenientes del tren de cargas definida en dicha normativa. X P = 20 t.

2,00

2,00

2,00

P = 20 t.

2,00

2,00

2,00

2,00

Figura 82: Esquemas de acciones losa de hormigón in situ

Obteniendo una reacción máxima sin mayorar de valor Rmax = 25.830 Kp. Como el intereje entre las piezas es de 2,00 mt. y el espesor de la capa de compresión es de 20 Kg cm. repercuten sobre la viga con una carga lineal de valor máximo de 1.133 , consideramos ml Kg también la repercusión de la sobrecarga de 400 2 , que repercute con una carga lineal de valor m Kg , por ultimo incluimos la acción de carga permanente de la capa de asfalto que máximo 907 ml Kg con un peso especifico de 2.300 3 y un espesor total de 7 cm. obtenemos una carga lineal de m Kg 365 . ml

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8


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Hipótesis 1 P = 0 + 25.830 Kp. q = 2.801 + 907 Kp. 11,50 10,00 8,50 P

P

P q

20,00

Figura 83: Esquemas de acciones hipótesis 1 Con esta primera hipótesis obtenemos el momento más desfavorable para el dimensionamiento de la pieza. Md = 140.050·1,35 + 394.055·1,50 = 780.156 Kp·m Vrd = 28.010·1,35 + 47.815·1,50 = 109.536 Kp·m Hipótesis 2 P = 0 + 25.830 Kp. q = 2.801 + 907 Kp. 3,00 1,50

P

P

P q

20,00

Figura 84: Esquemas de acciones hipótesis 2

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Con esta segunda hipótesis obtenemos el cortante más desfavorable para el dimensionamiento de la pieza. Md = 140.050·1,35 + 122.012·1,50 = 372.092 Kp·m Vrd = 28.010·1,35 + 54.918·1,50 = 120.191 Kp·m

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4.4. DESARRROLLO CALCULO VIGA PRETENSADA En primer lugar obtenemos las propiedades para las diferentes secciones (bruta, neta y homogeneizada) necesarias para el cálculo de las diferentes propiedades seccionales. Al tratarse de una geometría particular, para el análisis de las propiedades de la sección realizamos una descomposición de la sección de la pieza en figuras geométricas compuestas por rectángulos y triángulos a partir de los cuales con la aplicación Tª de Steiner obtenemos la Inercia baricentrica de la sección. C H G

B

F

E D A Figura 85: Definición de la sección en estudio. Para obtener la inercia de la sección con respecto a su centro de gravedad utilizamos el Tª de Steiner y la definición de momento estático de un área con respecto a un eje definido. Tª de Steiner Ia-a = IG + Ω·dAG2 Donde: IA = Es el momento de inercia de la sección con respecto a un eje a-a definido. IG = Es el momento de inercia de la sección con respecto a su centro de gravedad. Ω = Es el área de la sección en estudio. dAG = Es la distancia existente entre el eje a-a y el centro de gravedad de la sección. Momento Estático de un área (sección) con respecto a un eje a-a M estático Luis Forcano Obón

a-a =

Ωi · dig_a-a 11


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Donde: Ωi = Es el área correspondiente a los diferentes elementos en los que hemos dividido la sección conjunto. dig_a-a = Es la distancia desde el centro de gravedad del elemento i de división de la sección conjunta al eje de análisis a-a. En nuestro caso el eje a-a lo tomamos en la cara inferior de la sección por la comodidad de obtener diferentes datos necesarios con respecto a dicha fibra inferior de la sección.

G

a

a Figura 86: Definición de los ejes en estudio de la sección.

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Con el recordatorio anterior y dividiendo la sección en elementos geométricos como son triángulos y rectángulos y aplicando el Tª de Steiner y la definición de momento estático obtenemos el centro de gravedad de la sección y su correspondiente momento de Inercia con respecto a dicho punto. 5 4

4

3

2

2 1

Figura 87: División de la sección en elementos conocidos. En primer lugar obtenemos los valores de la sección, momento inercia baricentrico y el momento estático de los i-elementos en los que hemos dividido la sección, así como la posición del centro de gravedad de los i-elementos con respecto a la fibra inferior de la sección, es decir, del eje a-a, por ultimo calculamos el producto de la sección por la distancia al cuadrado del eje a-a al c.d.g. de los diferentes elementos. Particularizando en la sección de estudio donde las diferentes magnitudes toman los siguientes valores: A = 60 cm. B = 13 cm. C = 100 cm. D = 34 cm.

E = 8 cm. F = 110 cm. G = 8 cm. H = 10 cm.

Obteniendo los siguientes resultados que recogemos en la tabla que a continuación presentamos: Sección bruta Zona

Dig

Ω

M estático

Ioi

Ω· Dig2

1 2 3 4 5 Total

17 36,6667 85 157,3333 165

2.040 188 1.638 348 1.000 5.214

34.680 6.893 139.230 54.752 165.000 400.555

196.520 668 2.167.074 1.237 8.333 2.373.833

589.560 252.756 11.834.550 8.614.315 27.225.000 48.516.180

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Obtenidos los diferentes datos recogidos en la tabla anterior obtenemos a continuación la posición del centro de gravedad de la sección con respecto a la fibra inferior y superior de la misma.

ygi =

Momento estatico de la sec ción total Area de la sec ción total

ygs = Altura total de la pieza - yg A continuación aplicando la expresión del Tª de Steiner obtenemos la inercia principal de la sección con respecto a su centro de gravedad. En primer lugar calculamos la inercia total como suma de la expresión del Tª de Steiner para los i-elementos que componen la sección. Ia-a = Itotal = 2.373.833 cm4 + 48.516.180 cm4 = 50.890.013 cm4 Aplicando de nuevo el Tº de Steiner obtenemos la Inercia con respecto al c.d.g. de la sección. IT = IG + Ω·ygi2 → IG = IT + Ω·ygi2 → IG = 20.118.135 cm4 A continuación definimos el número de cables y su posición Posición 4 8 12 18 26 166

Nº de cables 10 8 8 8 6 4

La resultante de la compresión se sitúa a 26,45 cm. de la cara inferior. Para el análisis de esta pieza prefabricada utilizaremos hormigón HP-50, con de resistencia característica a compresión de 50 N/mm2 y como acero utilizaremos acero Y 1860 S7 de diámetro 0,5” con una sección equivalente de 1,00 cm2 y acero B-500 S para la armadura pasiva. A continuación definimos el número barras, su diámetro y su posición Posición 166

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Nº de cables 6

Diámetro 20

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Definimos a continuación los coeficientes de equivalencia, de acuerdo a los módulos de Young de los diferentes elementos que intervienen. Determinamos el modulo de deformación (MODULO DE YOUNG) para el hormigón: Eci = Ec = 10.000· 3 (50 + 8) = 38.708

N Kp = 387.087 2 mm cm 2

• Relación hormigón-armadura activa:

np =

Ep Ec

=

1.900.000 = 4,91 387.087

• Relación hormigón-armadura pasiva:

ns =

E s 2.100.000 = 5,42 = Ec 387.087

La fuerza de tesado Po ha de proporcionar sobre las armaduras activas una tensión σpo no mayor, en cualquier punto, que el menor de los dos valores siguientes. 0,75 fp máx. ó 0,90 fpk

siendo:

fp máx. = Carga unitaria máxima característica. fpk = Limite elástico característico.

dicho limite elástico característico esta comprendido entre el 0,88 y el 0,95 de la carga unitaria máxima fp máx. fpk = 0,88 · 18.600

Kp Kp = 16.368 2 cm cm 2

Para el acero Y 1860 S7 cuyo límite elástico característico es de 18.600 máxima de tesado σpo tiene un valor de:

Kp , la tensión cm 2

Kp Kp = 13.950 2 cm cm 2 Kp Kp 0,90·16.368 = 14.731 2 cm cm 2

0,75·18.600

Tomaremos pues como valor inicial de tesado una fuerza Po = 13.950 Kp.

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Con los valores de la sección bruta y la posición, el número de cables y su sección obtenemos a continuación las propiedades de las sección neta y homogeneizada.

Sección neta. Armadura activa As =

∑ n· A

Es =

∑ d ·A

Is =

∑d

si

i

2 i

= 6·3,141 = 18.846 cm2

si

= 166·6·3,141 = 3.128 cm3

· Asi = 1662·6·3,141 = 519.320 cm4

Armadura activa Ap =

∑ n· A

Ep =

∑ d ·A i

pi

pi

= 44·1,00 = 44,00 cm2 = 10·1,00·4 + 8 ·1,00·8 + 8 ·1,00·12 + 8 ·1,00·18 + 6·1,00·26

+4

3

·1,00·166 = 1.164 cm . Ip =

∑d

2 i

· A pi = 10·1,00·42 + 8 ·1,00·82 + 8 ·1,00·122 + 8 ·1,00·182 + 6·1,00·262

+ 4 ·1,00·1662 = 118.696 cm4.

Aneta = Abruta – As – Ap + As·ns = 5.214 – (44·1,00) – (6·3,141) + (6·3,141·5,42) Aneta = 5.253 cm2. Eneta = Ebruta – Es – Ep + Es·ns= 400.155 – 3.128 – 1.164 + (3.128·5,42) = 413.238 cm3. Iinferior, neta = Iinferior, bruta – Is – Ip + Is·ns = 50.890.013 –519.320 – 118.696 + 519.320·5,42 Iinferior, neta = 53.069.810 cm4. yo,inferior =

E neta = 78,66 cm. Aneta

yo,superior = 91,34 cm. Io,neta = Iinferior, neta - Aneta·yo,inferior2 = 20.564.195 cm4. winferior =

20.564.195 = 261.429 cm3. 78,66

wsuperior =

20.564.195 = 225.141 cm3. 91,34

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Sección homogeneizada. Ahomogeneizada = Abruta – As – Ap + As·ns + Ap·np = 5.214 – (44·1,00) – (6·3,141) + (48·1,131·4,91) + (6·3,141·5,42) = 5.470 cm4 Ehomogeneizada = Ebruta – Es – Ep + Es·ns + Ep·np = 400.155 – 3.128 – 1.164 + 3.128·5,42

+

1.164·4,91 = 418.951 cm3 Iinferior, homogeneizada = Iinferior, bruta – Is – Ip + Is·ns + Is·ns = 50.890.013 –519.320 – 118.696 + 519.320·5,42 + 118.696·4,91 = 53.652.423 cm4

E hom ogeneizada

yo,inferior =

Ahom ogeneizada

= 76,60 cm.

yo,superior = 93,40 cm. Io,neta = Iinferior, bruta - Aneta·yo,inferior2 = 21.561.049 cm4. winferior =

21.561.049 = 281.478 cm3. 76,60

wsuperior =

21.561.049 = 230.845 cm3. 93,40

Sección

A (cm2)

Io (cm4)

y i (cm)

y s (cm)

Wi (cm3)

Ws (cm3)

Bruta

5.214 5.253 5.470

20.118.135 20.564.195 21.561.049

76,82 78,66 76,60

93,17 91,34 93,40

261.876 261.429 281.478

215.913 225.141 230.845

Neta Homogeneizada

Obtenidas

las

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propiedades

de

la

sección

iniciamos

el

cálculo

seccional.

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A continuación calculamos las perdidas tanto instantáneas como diferidas para la posterior obtención de los diferentes momentos de la sección.

Perdidas instantáneas: Las perdidas instantáneas se van a producir por tres factores: 1) Perdidas por rozamiento ΔP1. 2) Perdidas por penetración de cuñas ΔP2. 3) Perdidas por acortamiento elástico del hormigón ΔP3.

• Perdidas instantáneas por rozamiento: α = variación angular→ En nuestra pieza α = 0 → ΔP1 = 0 • Perdidas instantáneas por penetración de cuñas en las bancadas: Dicha penetración de la cuña se estima en un entorno de δc ≈ 3-12 mm y obtenemos su valor con la siguiente expresión.

ΔP2 =

δc lt

·Ep

δc = acortamiento de la cuña. lt = longitud del tendón. Ep = modulo longitudinal de deformación del acero activo. Ap = Sección de la armadura activa.

ΔP2 =

Kp Kp 7 = 133 ·1,90·106 2 1.000 ⋅ 100 cm cm 2

Equivale a un 0,8667 % de la tensión inicial.

• Perdidas instantáneas por acortamiento elástico del hormigón (sección central): ΔP3 = σcg ·

Ep Ec

Ep = modulo longitudinal de deformación del acero activo. Ec = modulo instantáneo de deformación longitudinal del hormigón. σcg = tensión de compresión a nivel del centro de gravedad de las armaduras activas. Ec = 10.000·

3

fcm, j

fcm,j = resistencia media a compresión del hormigón ≈ fck + 8 fcm,j = 58

N mm 2

N mm 2

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18


Ec = 10.000·

3

58 = 38.708

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N Kp = 387.087 2 mm cm 2

Al valor obtenido para el modulo de deformación longitudinal del hormigón le aplicamos un factor en función del tiempo que se estima en 3 días, plazo en el que se realiza la transferencia al hormigón del tesado inicial de las armaduras. Ec · α = 10.000· Ep = 1,90·106

3

58 · 0,74 = 28.643

N Kp = 286.439 2 2 mm cm

Kp cm 2

Posición correspondiente al c.d.g. de las armaduras activas con respecto a la fibra inferior de valor 26,45 cm. Posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la fibra inferior de la sección de valor 78,66 cm. Excentricidad con respecto al c.d.g. de la sección neta = 78,66 – 26,452 = 52,21 cm. Peso propio de la sección = 1.304

Kg 1.304·20 2 → Mpp = = 65.175 Kp·m ml 8

A continuación determinamos la σcg: σcg =

M pp P ⋅e PK + K neta ⋅ y neta − · y hom o I neta I hom o Ω neta

Kp Kp Kp – (0,86%·13.950) = 13.829 2 2 cm cm cm 2 Kp Pk = 13.829 · 44 · 1,00 cm2 = 608.476 Kp. cm 2 Ineta = 20.564.195 cm4 Ihomo = 21.561.049 cm4 Ωneta = 5.253 cm2

Pk = 13.950

σcg =

608.476 608.476·52,21 6.517.500 + ⋅ 52,21 − ·50,14 21.561.049 5.253 20.564.195

σcg = 115,83 + 80,65 – 15,15 = 179,93

ΔP3 = σcg ·

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Ep Ec

= 179,93

Kg cm 2

Kg 1,90·10 6 Kg · = 1.193 2 cm 286.439 cm2

19


Curso 2.009 – 2.010

Equivale a un 8,55 % de la tensión inicial. Luego como resultado final de las pérdidas instantáneas tenemos un: 0,866 + 8,55 = 9,42 %

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20


Curso 2.009 – 2.010

Perdidas Diferidas: Las perdidas diferidas se van a producir por tres factores: 1) Perdidas por retracción ΔP4. 2) Perdidas por fluencia ΔP5. 3) Perdidas por relajamiento del acero ΔP6. De acuerdo al artículo 20.2.2.2 de la instrucción E.H.E., las pérdidas diferidas en el pretensado se obtienen mediante la siguiente expresión, teniendo en cuenta la interacción de las tres pérdidas citadas anteriormente: ∆Pdif =

n ⋅ ϕ (t , t 0 ) ⋅ σ cp + E p ⋅ ε cs (t , t 0 ) + 0,8 ⋅ Δσ pr A 1+ n ⋅ P Ac

2 ⎛ A ⋅y ⎜1 + c p ⎜ Ic ⎝

⎞ ⎟(1 + X ⋅ ϕ (t , t )) 0 ⎟ ⎠

⋅ Ap

yp = Distancia del centro de gravedad de las armaduras activas al centro de gravedad de la sección. yp = ehomogenizada = 50,14 cm.

np =

Ep Ec

=

1.900.000 = 4,91 387.087

φ(t,t0) = Coeficiente de fluencia.

ϕ(t,t0)= ϕ0·βc·(t-t0) Donde:

ϕ0 = Coeficiente básico de fluencia, dado por la siguiente expresión ϕ0 = ϕHR·β(fcm)·β(t0) A continuación determinamos el espesor ficticio e =

2⋅ A

μ

Donde: A = sección del elemento. μ = perímetro del elemento. e=

2 ⋅ 5.214 = 16,21 cm. = 162,10 mm. 642

ϕHR =1+

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A = 5.214 cm2 μ = 643 cm.

100 − HR 100 − 70 =1+ = 1,5557 (1 / 3) 9,9 ⋅ e 9,9 ⋅ 162,10 (1 / 3) 21


16,8

β(fcm)=

f ck + 8

β(t0) (3 días) =

=

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16,8 50 + 8

=2,205

1 = 0,74 0,1 + t 00, 2

ϕ0 = ϕHR·β(fcm)·β(t0) =1,5557·2,205·0,74 = 2,55 ⎡ (t − t 0 ) ⎤ βc·(t-t0)= ⎢ ⎥ ⎣ β H + (t − t 0 ) ⎦

0,3

βH = 1,5·e·[1+(0,012·HR)18]+ 250 nunca mayor que 1500 βH = 1,5·162,10·[1+(0,012·70)18]+ 250 = 493,202 10.000 ⎡ ⎤ βc·(t-t0)= ⎢ ⎥ ⎣ 493,202 + 10.000 ⎦

0,3

= 0,9856

ϕ(t,t0) = ϕ0·βc·(t-t0) =2,55 · 0,9856 =2,498 εcs = Deformación de retracción. εcs (t –ts) = εcso·βs(t-ts) εcso = εs·βHR

εs(fcm)=(570 – 5·fck)·10-6 ⎡

⎛

EHE artº 39.7 f

⎞⎤

εs(fcm)= ⎢160 + 10 β SC ⋅ ⎜ 9 − cm ⎟⎥ ⋅ 10 −6 10 ⎠⎦ ⎝ ⎣

Calavera

Donde: fcm = resistencia media del hormigón en

N en condiciones normalizadas a los mm 2

28 días, se acepta el valor fcm = fck + 8 .

βSC = Coeficiente dependiente del tipo de cemento con valor 5 para cementos de endurecimiento normal ó rápido. fcm = 58

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N mm 2 22


Curso 2.009 – 2.010

εs(fcm)=(570 – 5·fck)·10-6 = 32·10-5 ⎡

⎛ ⎝

εs(fcm)= ⎢160 + 10 ⋅ 5 ⋅ ⎜ 9 − ⎣

58 ⎞⎤ -5 −6 ⎟⎥ ⋅ 10 = 32·10 10 ⎠⎦

⎛ ⎛ HR ⎞ 3 ⎞ ⎛ ⎛ 70 ⎞ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ =-1,01835 βHR =-1,55· 1 − ⎜ =-1,55· ⎜1 − ⎜ ⎜ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ εcso = εs·βHR =32·10-5·-1,01835 =-0,000325872

βs(t-ts) =

t − ts =0,95324982 0,035·e 2 + (t − t s )

εcs(t –ts) =-0,000325872·0,95324982 =-0,00031064

Posición correspondiente al c.d.g. de las armaduras activas con respecto a la fibra inferior de valor 26,45 cm. Posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la fibra inferior de la sección de valor 78,66 cm. Excentricidad con respecto al c.d.g. de la sección neta = 78,66 – 26,45 = 52,21 cm. Peso propio de la sección = 1.304

Kg 1.304·20 2 = 65.175 Kp·m → Mpp = ml 8

A continuación determinamos la σcg: σcg =

M pp P ⋅e PK + K neta ⋅ y neta − · y hom o Ω neta I neta I hom o

Kp Kp Kp – (9,42%·13.950) = 12.635 2 2 2 cm cm cm Kp 2 Pk = 12.635 · 44 · 1,00 cm = 555.984 Kp. cm 2 Ineta = 20.564.195 cm4 Ihomo = 21.561.049 cm4 Ωneta = 5.253 cm2

Pk = 13.950

555.984 555.984·52,21 6.517.500 + ⋅ 52,21 − ·50,14 5.253 20.564.195 21.561.049 Kg σcg = 105,83 + 73,69 – 15,15 = 162,97 2 cm σcg =

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∆σ = ρ1

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Pki Ap

De acuerdo a los datos obtenidos en los ensayos, se determinan los siguientes valores para la relajación a las 120 y 1.000 horas respectivamente, obteniendo los siguientes valores:

Tiempo (horas) 1 3 6 9 15 30 60 120 240 480 1440 2880 5760 7200 15000 60000

Relajación (%) 0,19 0,31 0,43 0,56 0,69 0,77 0,86 0,95 1,04 1,10 1,18 1,26 1,34 1,43 1,52

ρ120 = 0,86 ρ1.000 = 1,0 725

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Con dichos datos, obtenemos los coeficientes K1 y K2, conocidos los cuales podemos obtener el valor de la relajación para cualquier intervalo de tiempo, el estudio lo realizamos para 1.000.000 de horas, equivalente a 114 años, de acuerdo al articulo 38.9 de la EHE. log ρ = K1 + K2 · log t log 0,86 = K1 + K2 · log120 → -0,065 = K1 + K2 · 2,079 log 1,0725 = K1 + K2 · log.1000 → 0,030 = K1 + K2 · 3 K1 = -0,279 K2 = 0,103 log ρ = -0,279 + 0,103 · log 1.000.000 log ρ = 0,339 → ρ1 = 2,20 % Luego el valor de la relajación a 1.000.000 de horas es ρ1=0,0 220.

∆σ = ρ1

Kp N 55.5984 Pki = 0,0220 = 27,82 = 278,24 2 44 cm mm 2 Ap

Ac = Área en la sección de hormigón.

Ac =5.253 cm2. Ic = Inercia en la sección de hormigón. Ic = 20.564.195 cm4. Χ = Coeficiente de envejecimiento. Χ = 0,80.

∆Pdif =

4,91 ⋅ 2,498 ⋅ 162,97 + 1.900.000 ⋅ 31,064 ⋅ 10 −5 + 0,8 ⋅ 278,24 ⋅ 44,44 44 ⎛ 5.253 ⋅ 50,37 2 ⎞ ⎜1 + ⎟(1 + 0,8 ⋅ 2,498) 1 + 4,91 ⋅ 5.253 ⎜⎝ 20.564.195 ⎟⎠

∆Pdif = 102.759 Kp.

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perdidas diferidas: kp 102.759 =2.335 2 44 cm Luego como resultado final de las perdidas diferidas tenemos un 16,74 % Y unas perdidas totales de valor: 9,42 + 16,74 = 26,16 %

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Estado de Transferencia

En esta primera fase consideramos la transferencia de la fuerza de tesado a la pieza de hormigón y como sección característica para el análisis tomamos la sección neta, por considerar el tesado como la acción sobre la sección. La posición de la resultante del tesado provoca una excentricidad negativa con respecto al c.d.g de la pieza situado a 26,45 cm. conocida la posición del centro de gravedad de la sección neta con respecto a la cara inferior de la sección la cual toma un valor de 78,66 cm. el valor de la excentricidad neta es directo de 52,21 cm. Con estos esfuerzos obtenemos el siguiente diagrama de tensiones, para el cual debemos garantizar que en la fibra superior no aparezcan tensiones positivas ó de tracción que superen la N 2 y en la cara inferior que no superemos el limite admisible a admisible 0,30· 3 f ck = 4,07 mm 2 N . compresión de valor 0,6·fck = 30 mm 2 σcs

σci Para obtener los valores de dichas tensiones el único esfuerzo existente es la compresión y el momento que se produce por la excentricidad existente con respecto al c.d.g. de la pieza, así como la acción del peso propio de la pieza que actúa en ele instante en que la pieza adquiere una pequeña contraflecha.

Kp a los cuales descontaremos las pérdidas instantáneas cm 2 producidas, valoradas en un 9,42 % luego la carga por cable será:

La fuerza máxima de tesado es 13.950

13.950

Kp Kp Kp – (13.950 2 ·9,42 %) = 12.636 2 cm cm cm 2

Kp ·1,00 cm2 = 12.636 Kp. 2 cm Pk = 12.636·44 = 555.984 Kp.

P = 12.636

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En la transferencia analizamos 2 secciones una correspondiente a la zona de los extremos donde actúa la acción del pretensazo, de acuerdo a la longitud de transferencia y otra a la zona central donde actúa la acción del peso propio una vez que se ha realizado el destesado.

Longitud de transferencia. La expresión utilizada para obtener la longitud de transferencia es la recogida en el apartado 67.4 de la EHE. lbpt =

α 1 ·α 2 ·α 3 ·φ ·σ pi 4· f bpd (t )

Donde: α1 = Coeficiente con valor 1,00 cuando el pretensazo se introduce gradualmente o 1,25 cuando se introduce rápidamente. α2 = Coeficiente con valor 0,50 para comprobación en Estado Limite de Servicio ó 1,00 para comprobación en Estado Limite Último. ∅ = Diámetro del alambre o diámetro nominal del cordón.

α3 = Coeficiente con valor 0,50 para cordones y 0,70 para alambres graficados σpi = Tensión del alambre o cordón en el momento de introducir el tesado. fbpd(t) = Tensión de calculo de adherencia en el momento de la introducción del pretensazo; en la siguiente tabla recogemos los valores de la tensión de calculo de la adherencia a los 28 días, para edades diferentes deberá estimarse el valor de la tensión de calculo de adherencia de acuerdo con la velocidad de crecimiento de la resistencia a tracción del hormigón. fck (N/mm2) Tipo de Armadura Cordones Alambres grafilados

25 1,4 1,6

30 1,6 1,8

35 1,8 2,0

40 1,9 2,2

45 2,1 2,4

50 2,2 2,6

La curva de variación de la velocidad de la resistencia a tracción toma los siguientes valores. Edad del Hormigón, en días Hormigones de endurecimiento normal

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3 0,40

7 0,70

28 1,00

90 1,05

360 1,10

28


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N , con armadura mm 2 de pretensazo formada por cordones de 0,6 pulgadas y estimada la trasferencia a los 3 días obtenemos una tensión de calculo de adherencia con el siguiente valor. En combinación con ambas tablas para un hormigón con resistencia de 50

fbpd(3) = 2,2·0,40 = 0,88

lbpt =

α 1 ·α 2 ·α 3 ·φ ·σ pi 4· f bpd (t )

=

N mm 2

1·1·0,5·1,30·13.950 = 255 cm. 4·8,8

kg ml Longitud de la viga en estudio = 20 mt.

Peso propio de la pieza = 1.304

R = Reacción en un extremo por la acción del peso propio = 13.040 Kp. q·l 2 = 65.200 Kp·m = 6.520.000 Kp·cm Momento isostatico = 8 Q pp · x 2 = 29.012 Kp·m = 2.901.200 Kp·cm Momento (x = 2,55 mt.) = R· x − 2

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Curso 2.009 – 2.010

Sección de los extremos. σ=

Pk ⋅ γ f Ωn

±

Pk ·e·γ f wn

±

M cp wh

Para la fibra superior σcs: Pk = 555.984 Kp. eneta = 52,21 cm. σcs =

Pk ·0,95 Pk ·e·1,05 M cp 555.984·0,95 555.984·52,21·1,05 2.901.200 − = + − + Ωn wn wh 5.253 225.141 230.845

σcs = 100,54 – 135,37 + 12,56 =-22,27

100,54 (c)

Kp < fct,m cm 2

135,37 (t)

12,56 (c)

22,27 (t)

(c) = compresión. (t) = tracción.

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Curso 2.009 – 2.010

Para la fibra inferior σci: σcs =

Pk ·1,05 Pk ·e·1,05 M cp 555.984·1,05 555.984·52,21·1,05 2.901.200 + = + − Ωn wn wh 5.253 261.429 281.478

σcs = 111,13 + 116,58 – 10,30 = 217,41

111,13 (c)

Kp < 0,60·fck cm 2

116,58 (c)

10,30 (t)

217,41 (c)


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Curso 2.009 – 2.010

Sección central. σ=

Pk ⋅ γ f Ωn

±

Pk ·e·γ f wn

±

M cp wh

Para la fibra superior σcs: Pk = 555.984 Kp. eneta = 52,21 cm. σcs =

Pk ·0,95 Pk ·e·1,05 M cp 555.984·0,95 555.984·52,21·1,05 6.520.000 = + − + − Ωn wn wh 5.253 225.141 230.845

σcs = 100,54 – 135,37 + 28,24 = -6,59

100,54 (c)

Kp < fct,m cm 2

135,37 (t)

28,24 (c)

6,59 (t)


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Para la fibra inferior σci: σcs =

Pk ·1,05 Pk ·e·1,05 M cp 555.984·1,05 555.984·52,21·1,05 6.520.000 + = + − Ωn wn wh 5.253 261.429 281.478

σcs = 111,13 + 116,58 – 23,16 = 204,54

111,13 (c)

Kp < 0,60·fck cm 2

116,58 (c)

23,16 (t)

204,54 (c)


Verificando las siguientes condiciones: 1) No se alcanza la tracción máxima admisible: fct,m = - 0,30· 3 f ck2 = - 40,71

Kp cm 2

2) No se alcanza la compresión máxima admisible: fct,m = 0,60· fck = 300

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Kp cm 2

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Curso 2.009 – 2.010

Por lo tanto en la situación de transferencia las tensiones en el hormigón a nivel de las diferentes armaduras activas en su sección central es. σfs = 6,59 Kp/cm2

σp6

σc6

Pai1 = 4 cm.

σp5 σc5

Pai2 = 144 cm.

σp4 σc4 σp3 σc3

Pai3 = 152 cm.

σp2 σc2 σp1 σc1

Pai4 = 158 cm. Pai5 = 162 cm. Pai6 = 166 cm.

σfi = 204,54 Kp/cm2

Conocemos las tensiones en la fibra superior e inferior de la sección, con semejanza de triángulos y conocidas las posiciones de las diferentes armaduras podemos obtener las tensiones en el hormigón para las distintas posiciones de los cables y de la armadura. 166 − 5,30 Kp ·6,59 = 199,58 5,30 cm 2 162 − 5,30 Kp σc2 = ·6,59 = 194,60 5,30 cm 2 158 − 5,30 Kp σc3 = ·6,59 = 189,63 5,30 cm 2 152 − 5,30 Kp σc4 = ·6,59 = 182,18 5,30 cm 2 144 − 5,30 Kp σc5 = ·6,59 = 172,25 5,30 cm 2 5,30 − 4 Kp σc6 = ·6,59 = -1,62 5,30 cm 2 σc1 =

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Curso 2.009 – 2.010

Obtenidas las tensiones en el hormigón para cada una de las posiciones, calculamos multiplicando por el coeficiente de homogeneización correspondiente las tensiones en las armaduras. σp1 = 199,58 · 4,91 = 979,60

Kp cm 2

σp2 = 194,60 · 4,91 = 955,21

Kp cm 2

σp3 = 189,63 · 4,91 = 930,83

Kp cm 2

σp4 = 182,18 · 4,91 = 894,25

Kp cm 2

σp5 = 172,25 · 4,91 = 845,48

Kp cm 2

σp6 = -1,62 · 4,91 = -7,97

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Kp cm 2

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Curso 2.009 – 2.010

Para alcanzar el estado de neutralización deberemos aplicar a las armaduras activas las tensiones σpi, neutralización, que toman los siguientes valores σp1, neu = 11.279

Kp cm 2

σp2, neu = 11.255

Kp cm 2

σp3, neu = 11.231

Kp cm 2

σp4, neu = 11.194

Kp cm 2

σp5, neu = 11.145

Kp cm 2

σp6, neu = 10.292

Kp cm 2

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Curso 2.009 – 2.010

Estado de Agotamiento

Para la condición de agotamiento buscamos la posición de la fibra neutra por iteración que garantice el equilibrio de fuerzas y con ello la obtención del momento ultimo de agotamiento de la sección; trabajamos con el diagrama simplificado del rectángulo. 0,0035 0,85·fcd

x

0,8·x

Realizamos a continuación el proceso iterativo hasta obtener el valor de x que garantice el equilibrio. El equilibrio lo obtenemos para una x = 54,78 cm.

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La tensión final en cada una de las armaduras en la etapa de agotamiento es la siguiente a partir de las cuales obtenemos las fuerzas y lanzamos el equilibrio de momentos del que calcularemos el momento último. σp1, total = 14.233

Kp (t) cm 2

σp2, total = 14.233

Kp (t) cm 2

σp3, total = 14.233

Kp (t) cm 2

σp4, total = 14.233

Kp (t) cm 2

σp5, total = 14.233

Kp (t) cm 2

σp6, total = 4.152

Kp (t) cm 2

σs1, total = 6.785 > fyd,c → σs1, total = 4.200

Kp (c) cm 2

Obtenidas las tensiones para cada una de las armaduras obtenemos las fuerzas multiplicando por la sección y el numero de redondos existentes en cada posición. Fp1 = 14.233

Kp ·10·1,00 cm2 = 142.330 Kp (t) 2 cm

Fp2 = 14.233

Kp ·8·1,00 cm2 = 113.864 Kp (t) 2 cm

Fp3 = 14.233

Kp ·8·1,00 cm2 = 113.864 Kp (t) 2 cm

Fp4 = 14.233

Kp ·8·1,00 cm2 = 113.864 Kp (t) cm 2

Fp5 = 14.233

Kp ·6·1,00 cm2 = 85.398 Kp (t) 2 cm

Kp ·4·1,00 cm2 = 16.611 Kp (t) 2 cm Kp Fs1 = 4.200 ·6·3,141 cm2 = 79.168 Kp (c) 2 cm

Fp6 = 4.152

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Curso 2.009 – 2.010

A continuación calculamos la fuerza con la que aporta el hormigón desde la fibra en que se encuentra comprimida y de acuerdo al diagrama del rectángulo. Para ello realizamos la obtención de la sección de hormigón cortada por la posición 0,8 x, a continuación reflejamos los diferentes intervalos que nos podemos encontrar en la interacción a la hora de encontrar el equilibrio entre tracciones y compresiones.

c h g

b

f

e d a A partir de la geometría en estudio y en función de la posición que ocupe el valor de 0,8·x en el agotamiento tenemos varios casos a la hora de analizar la contribución a la compresión de la sección de hormigón dispuesta en dicha zona.(Ver anexo 1) 1) 0,8x < h

Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·0,8x dc =

1 ·0,8 x = 0,4x 2

2) h < 0,8x < h +g

Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·h + (c - 2α)·(0,8x – h) + α ·(0,8 x − h)

h⎞ 0,8 x − h ⎞ ⎛ ⎛h ⎞ ⎛ ⎜ c·h· ⎟ + (c − 2α )·(0,8 x − h)·⎜ + 0,4 x ⎟ + α ·(0,8 x − h )·⎜ h + ⎟ 2⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ dc = (c·h·) + (c − 2α )·(0,8 x − h) + α ·(0,8 x − h ) Luis Forcano Obón

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3)

Curso 2.009 – 2.010

h +g < 0,8x < h +g + f

Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·h + b·g +

c−b · g + b·(0,8x – h - g) 2

h⎞ g⎞ 1 g⎞ 0,8 x − h − g ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎟ ⎜ c·h· ⎟ + (b· g )·⎜ h + ⎟ + ·(c − b )·g ⎜ h + ⎟ + b·(0,8 x − h − g )·⎜ h + g + 2⎠ 2⎠ 2 3⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ dc = ⎝ 1 (c·h·) + ( g ·b) + ·(c − b )·g + b·(0,8 x − h − g ) 2 En función del valor de la fibra neutra y con el del valor de 0,8x obtenemos la resultante de compresiones del núcleo de hormigón y la posición de su resultante con respecto a la fibra superior de su sección. Como para el cálculo del momento último tomaremos momentos con respecto a la fibra inferior obtenemos a continuación el brazo desde esta fibra a la resultante de compresiones del hormigón. Con ello obtenemos los valores para la fuerza de compresión aportada por el núcleo de hormigón y su posición con respecto a la fibra activa más inferior. dc = 166 – 10,88 = 155,11 cm. Fc = 0,85·

500 ·1.729,95 = 490.153 Kp (c) 1,5

Obtenemos el equilibrio de fuerzas: Σ Tracciones = Σ Compresiones 585.713 Kp = 585.713 Kp

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Curso 2.009 – 2.010

Con los valores de los esfuerzos y tomando momentos con respecto a la fibra más traccionada obtenemos el valor del momento ultimo. Mp2 = 113.864·4 = 455.546 Kp·cm Mp3 = 113.864·8 = 910.912 Kp·cm Mp4 = 113.864·14 = 1.594.096 Kp·cm Mp5 = 85.398·22 = 1.878.756 Kp·cm Mp6 = 16.611·162 = 2.690.982 Kp·cm Ms1 = 79.168·162 = 12.825.216 Kp·cm

Mc = 506.544·154,11 = 88.307.535 Kp·cm Y el momento ultimo toma el valor: Mu = Mc + Ms1-Mp1- Mp2 - Mp3 - Mp4 - Mp5 - Mp6 = 0 Mu = 83.397.488 Kp·cm = 833.974 Kp·m

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Curso 2.009 – 2.010

COMPROBACIONES DE SERVICIO Descompresión

En esta fase consideramos la acción de un momento externo, tal que llegamos al limite de descompresión donde en la fibra inferior obtenemos como valor de la tensión el valor nulo, de esta manera obtenemos el valor de dicho momento, verificando que en esta ocasión la tensión de compresión en la fibra superior no supere la admisible. Para este cálculo tendremos en cuenta todas las perdidas producidas ya para un tiempo infinito evaluadas en el 22,76%. σcs

La fuerza máxima de tesado en 13.950 Kp a los cuales descontaremos las perdidas instantáneas producidas, valoradas en un 26,16 % luego la carga por cable será: 13.950 Kp –13.950 · 26,16% = 10.300 Kp. σ=

Pk ⋅ γ f Ωn

±

Pk ·e·γ f wn

Para la fibra inferior σci toma el valor de 0

±

M wh

Kp : cm 2

Pk = 44·10.300 Kp = 453.209 Kp. eneta = 52,21 cm. 453.209 ⋅ 0,95 453.209·52,21·0,95 M + − 5.253 261.429 281.478 Kp M = 281.478 cm3·(81,96 + 85,98) 2 cm Kp M = 281.478 cm3·167,94 cm 2

0=

M = 47.269.964 Kp·cm = 472.699 Kp·m Luis Forcano Obón

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Curso 2.009 – 2.010

Para la fibra superior σcs: σcs =

Pk ⋅ γ f Ωn

±

Pk ·e·γ f wn

±

M 453.209 ⋅ 1,05 453.209·52,21·0,95 47.269.964 − + = 5.253 225.141 230.845 wh

σcs = +90,59 - 99,84 –+204,76 σcs = 195,52

90,59 (c)

Kp cm 2

Kp Kp < 300 2 cm cm 2 99,84 (t)

204,76 (c)

195,52 (c)

Mdes = 47.269.964 Kp·cm = 472.699 Kp·m

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Curso 2.009 – 2.010

Aparición de fisuras

En esta tercera fase consideramos la acción de un momento externo, con el cual llegamos al límite de la resistencia a tracción del hormigón, momento a partir del cual empezarían a aparecer fisuras. Al igual que en el caso anterior se evalúan con la totalidad de las perdidas. σcs

σci Obtenemos a continuación la resistencia a tracción del hormigón. fct,m = 0,39· 3 f ck2 = 5,29

N Kp = 52,90 2 2 mm cm

52,90 = 35,29 1,5 Pk ⋅ γ f Pk ·e·γ f M σ= ± ± wh wh Ωh fctd,m =

Para la fibra inferior σci toma el valor de 35,29: Pk = 44·10.300 Kp = 453.209 Kp. eneta = 52,21 cm. 30,65 =

453.209 ⋅ 0,95 453.209·52,215·0,95 M + − 5.253 261.429 281.478

M = 281.478 cm3·(81,96 + 85,98 + 35,29) M = 281.478 cm3·203,23

Kp cm 2

Kp cm 2

M = 57.204.773 Kp·cm = 572.047 Kp·m

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Curso 2.009 – 2.010

81,96 (c)

23,23 (t)

85,98 (c)

30,65 (t)

Para la fibra superior σcs: σcs =

Pk ⋅ γ f Ωh

±

Pk ·e·γ f wh

±

M 453.209 ⋅ 1,05 453.209·52,21·0,95 57.204.773 − + = 5.253 225.141 230.845 wh

σcs = (90,59 - 99,84 + 247,80) σcs = 238,54 90,59 (c)

Kp cm 2

Kp Kp < 300 2 cm cm 2

99,84 (t)

247,80 (c)

238,54 (c)

Mapf = 57.204.773 Kp·cm = 572.047 Kp·m

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ANEXO 1

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• Obtención del Momento último (Sección simple) c h g

b

f

e d a

A partir de la geometría en estudio y en función de la posición que ocupe el valor de 0,8·x en el agotamiento tenemos varios casos a la hora de analizar la contribución a la compresión de la sección de hormigón dispuesta en dicha zona. 1) 0,8x < h

c 0,8x

Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·0,8x A continuación calculamos el centro de gravedad de dicha sección con respecto a la fibra superior. dc =

1 ·0,8 x = 0,4x 2

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Curso 2.009 – 2.010

2) h < 0,8x < h +g

c h

0,8x

δ Para esta geometría en primer lugar debemos obtener la expresión para la magnitud δ a partir de la geometría inicial de la sección; para ello en primer lugar nos quedamos con los triángulos y obtenemos la magnitud ε también a partir de la geometría inicial de la sección. c -b

ε

α

α

Nos quedamos con un solo triangulo y a partir de la tangente o relación de triángulos semejantes obtenemos una expresión para el valor de la magnitud α. (c-b)/2 (0,8x-h) α

g

(c − b ) 2 g

=

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α (0,8 x − h)

→ α=

(c − b )·(0,8 x − h) 2g

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Curso 2.009 – 2.010

Obtenido el valor de α y tomando la sección conjunta de la pieza obtenemos la expresión para la magnitud δ de acuerdo a la geometría de la sección. c

α

c-2α

α

δ = c - 2α Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·h + (c - 2α)·(0,8x – h) + α ·(0,8 x − h) 0,8 x − h ⎞ h⎞ ⎛ ⎛h ⎞ ⎛ ⎜ c·h· ⎟ + (c − 2α )·(0,8 x − h)·⎜ + 0,4 x ⎟ + α ·(0,8 x − h )·⎜ h + ⎟ 2⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ dc = (c·h·) + (c − 2α )·(0,8 x − h) + α ·(0,8 x − h )

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3)

Curso 2.009 – 2.010

h +g < 0,8x < h +g + f

c h g

0,8x

b

Nc = 0,85·fcd·Ac Ac = c·h + b·g +

c−b · g + b·(0,8x – h - g) 2

h⎞ g⎞ 1 g⎞ 0,8 x − h − g ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎟ ⎜ c·h· ⎟ + (b· g )·⎜ h + ⎟ + ·(c − b )·g ⎜ h + ⎟ + b·(0,8 x − h − g )·⎜ h + g + 2⎠ 2⎠ 2 3⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ dc = 1 (c·h·) + ( g ·b) + ·(c − b )·g + b·(0,8 x − h − g ) 2

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Curso 2.009 – 2.010

5.- BIBLIOGRAFÍA

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Curso 2.009 – 2.010

5.1 BIBLIOGRAFÍA

.- Instrucción de hormigón estructural EHE 98; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Guia de apliación de la Instrucción de hormigón estructural, edificación; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de carretera IAP 98; Ministerio de Fomento, Secretaria general tecnica. .- Model CODEL 90. .- Eurocódigo 2, Proyecto de Estructuras de hormigón; Asociación Española de Normalización y Certificación. .- Norma UNE 36068:94. .- Norma UNE 7474-1:92. .- Norma UNE 36094:97. .- Hormigón armado, armado aligerado y pretensazo, auxiliar para el diseño; Mattheib, editorial reverte. .- Fundamentos para el analisis de estructuras de hormigón armado y pretensazo; D. Juan Murcia Vela, Consejo superior de investigaciones cientificas de Madrid. .- Hormigón pretensado, monografias sobre construcción y arquitectura; Ediciones Ceac. .- Hormigón pretensado, Diseño y cálculo de forjados pretensazos de piso y cubierta; Francisco Fiol Femenia.

D.

.- Diseño y calculo de estructuras pretensazas; D. Johannes Johannson; Boixareu editores. .- Edificación con prefabricados de hormigón, para usos industriales, comerciales, aparcamientos y servicios; IECA instituto español del cemento y sus aplicaciones. .- Hormigón armado y pretensado. Ejercicios, adaptado a la EHE; Ediciones UPC. .- Manual de hormigón armado; D. Roman Ferreras; Editorial colegio de ingenieros de caminos, canales y puertos de Madrid. .- Estructuras de hormigón armado; D. V.N. Baykov; Editorial Mir.

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Ejercicio Pre Tens Ado - Viga Puente 2009-2010

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