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DISEÑO DE VIGAS SIMPLES Y COMPUESTAS. ACTUALIZADO SEGÚN EL CODIGO ACI 318-2002. 2a Edición.
José Antonio Bellido de Luna del Rosario
2005
1
DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS. El punto más importante en el diseño de estos elementos es la obtención de la magnitud de las fuerzas artificialmente creadas, por ello a continuación se explicará un método de diseño para obtener dichas fuerzas artificiales.
1.- CABLE MEDIO Ó CABLE RESULTANTE. En casi todos los casos de pretensado y postensados se usan varios cables de alto límite elástico, pero se daberá suponer para el cálculo de la fuerza artificial que se coloca un cable único o cable teórico denominado cable medio ó resultante. La fuerza artificial (P) y la excentricidad ( e) del cable medio equivale a la suma de las acciones de todos los cables que se deben colocar en la viga. En la figura 3.1 se observa la disposición de los cables con respecto al cable medio.
G
e1 e
e2
e3
P
Figura 1.- Sección transversal de una viga pretensada, observando los tres pares de cables.
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DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS. El punto más importante en el diseño de estos elementos es la obtención de la magnitud de las fuerzas artificialmente creadas, por ello a continuación se explicará un método de diseño para obtener dichas fuerzas artificiales.
1.- CABLE MEDIO Ó CABLE RESULTANTE. En casi todos los casos de pretensado y postensados se usan varios cables de alto límite elástico, pero se daberá suponer para el cálculo de la fuerza artificial que se coloca un cable único o cable teórico denominado cable medio ó resultante. La fuerza artificial (P) y la excentricidad ( e) del cable medio equivale a la suma de las acciones de todos los cables que se deben colocar en la viga. En la figura 3.1 se observa la disposición de los cables con respecto al cable medio.
G
e1 e
e2
e3
P
Figura 1.- Sección transversal de una viga pretensada, observando los tres pares de cables.
2
La fuerza en el cable medio será igual a: Pe = 2 ( P 1e1, + P2e2 + P3e3 ) de donde: e=
+ p 2 e 2 + p3 e3 p1 + p 2 + p 3
p1e1
Las expresiones de “P” y de “ e” pueden generalizarse para cualquier número de cables simétricamente dispuesto. Si los esfuerzos en todos los cables son iguales, se tiene que:
P = 2m Po ; e =
e1
+ e 2 + e3 + ........ + e m m
Siendo:
m : Número de pares de cables simétricamente dispuestos Po : Fuerza en cada cable considerada igual para todos los cables.
2.- CONVENCIÓN DE SIGNOS. En la figura 2 se muestra la convención de signos con la cual se rige la presente memoria:
M >0
G
N>0 e> 0
C
a
h>0
Cable Medio
P>0
b
c
Figura 2.- Convención de signos en una sección transversal.
3
La fuerza de pretensado se denominará P, y siempre será positiva. La excentricidad e , corresponde al cable medio, y se considera positiva cuando el punto A está por debajo del centróide. Las tensiones normales σ se consideran positivas cuando son de tracción. El momento flector positivo ( M) origina tensiones positivas en las fibras situadas en la parte inferior del centroide . La altura (h), se considera positiva cuando está por debajo 16
del centro de gravedad de la viga o eje baricéntrico .
3.- TENSIONES DE UNA VIGA PRETENSADA. Las tensiones en el hormigón se pueden determinar por las ecuaciones derivadas de la resistencia de materiales, siempre y cuando el elemento permanezca sin agrietarse, y las tensiones del acero y el hormigón estén dentro de los rangos elásticos, la tensión normal
σb, está dada por: σb = σbr + σbc
(1)
Donde:
σbr : Tensión debida a 1a acción del pretensado en cualquier fibra. σbc : Tensión debida a la acción de las cargas externas en cualquier fibra. La tensión debida a la acción del pretensado puede ser evaluada por: σ br
=−
P A
−
Pe I
⋅h
(2)
Donde: P = Fuerza de pretensado. Pe = Momento flector de pretensado inducido por la excentricidad e. A = Área de la sección transversal. h = Altura del centroide de la viga. I = Momento de inercia de la sección transversal. 1
Campillay, Andrés. Santibáñez, Eduardo. “Método de diseño de vigas de entrepiso continuas y parcialmente pretensadas”. Universidad Central de Chile. Santiago, 1999.
4
En un elemento pretensado, la fuerza P no actúa sola. Ya que el cable de pretensado está por debajo del centro de gravedad del elemento, por lo cual la viga se curvará hacia arriba en el instante de la transmisión de la fuerza artificial, esta curvatura hace que el elemento quede apoyado en sus extremos, por lo que comienza a actuar el peso propio de la viga. Este efecto puede ser evaluado por la siguiente expresión:
σbc =
Mc Mc = h W I
(3)
Las ecuaciones anteriores son siempre las mismas, pero los términos que en ella se sustituyen son los que llevan implícitos los signos. Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la (1), podremos calcular la tensión normal en cualquier fibra del elemento, por lo cual se tiene:
σb =
Mc ⎛ 1 e ⎞ −P⎜ + ⎟ ⎝ A W ⎠ W
(4)
La ecuación anterior fue obtenida de las expresiones de la teoría a flexión de vigas elásticas de la resistencia de materiales, en la cual se debe cumplir la hipótesis de Navier-Bernoulli, En la figura 3 se muestra una sección infinitesimal de una viga deformada:
Figura 3.- Sección infinitesimal de una viga deformada.
5
De la cual se deduce la siguiente fórmula: dθ ⎞ − 2h tg⎛ ⎜ ⎟ ∆l ⎝ 2 ⎠ = ε = l Rdθ
(5)
Si se consideran pequeñas deformaciones ( tgθ ≈ θ ), la deformación unitaria está dada por: ε b = ε b0 -
h R
(6)
Siendo: ε b
: La elongación de las fibras paralelas al eje baricéntrico de ordenada h.
R : Radio de curvatura del eje de la viga después de deformado por la acción de las cargas. El material del elemento es elástico lineal, siendo válida la ley de Hooke:
σb = Eb ε b
(7)
Por lo que existe proporcionalidad directa entre tensiones y deformaciones, siendo E b el módulo de elasticidad del hormigón. Esta expresión se aplica al hormigón siempre que el valor absoluto de la tensión sea menor que 0,45 f`’c de la resistencia a compresión (Condición normada por Código ACI 318-99), Esta condición se cumple siempre que se limite el valor de σb a un determinado rango.
6
4.- RANGO DE LAS TENSIONES ADMISIBLES. Se denominan σba y σ'ba a las tensiones admisibles del hormigón en tracción y comprensión, respectivamente. La tensión de trabajo σb del hormigón debe encontrarse en el rango de tensiones admisibles, que esta limitado por: -σ'ba ≤ σb ≤ σba
(8)
La expresión anterior puede subdividirse en:
σb ≥ -σ'ba
(8.1)
σb ≤ σba
(8.2)
Para una viga de hormigón pretensado, las tensiones máximas se producen en las fibras mas alejadas al eje neutro. Si estas tensiones satisfacen las condiciones (8.1) y (8.2), se puede decir que las condiciones son satisfechas en toda la sección de una viga. Llamando σbs y σbi a las tensiones en los puntos con ordenadas hs y hi respectivamente, las condiciones (8) se satisfacen para todo h, si se cumple:
σbs ≥ -σ'ba
(9.1)
σbs ≤ σba
(9.2)
σbi ≤ σba
(9.3)
σbi ≥ -σ'ba
(9.4)
Estas cuatro condiciones se deben cumplir para que la tensión σb en cualquier punto de la sección se encuentre dentro del rango de tensiones admisibles. Y así lograr que las propiedades de una viga se mantengan inalterables bajo cualquier carga.
7
5 CONDICIONES FUNDAMENTALES. Se llamará Mc1 (σbc1) y Mc2 (σbc2) a los momentos flectores producidos por las condiciones extremas de carga y se adoptará que siempre Mc1 será mayor que Mc2, esta desigualdad puede tener tres casos posibles, es la que se nuestra a continuación:
MC1 > 0 ; MC2 > 0
MC1 > 0 ; MC2 < 0
0
MC1
MC2
MC2
0
MC1
MC2
MC1
0
MC1< 0 ; MC2< 0
MC
MC
MC
Figura 4.- Situaciones posibles para Mc1 y Mc2.
El diagrama de tensiones que a continuación se muestra de una viga pretensada cualquiera es producido por los momentos flectores Mc1 y M c2. Las tensiones totales son la suma de las tensiones σbc1, σbc2 y σbr producidas por las cargas exteriores y la fuerza de pretensado respectivamente.
8
σ bc1
σ br
hs<0
b0
+
= σ b 0
hi>0
a
b
c
σ bc 2
σ br
hs<0
b0
+
= σ b 0
hi>0
d
e
f
Figura 5.- Diagrama de tensiones de una viga pretensada cualquiera.
En el figura 5.a muestra el diagrama de tensiones debido a Mc 1, en la figura 5.b se muestra el diagrama de tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.c se muestra el diagrama de tensiones de Mc1 con las tensiones del pretensado. En el figura 5.d muestra el diagrama de tensiones debido a Mc2, en la figura 5.e se muestra el diagrama de tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.f se muestra el diagrama de tensiones de Mc2 con las tensiones del pretensado. Como se cumplen las condiciones (9), queda garantizado cuando actúa Mc1, como cuando lo hace Mc2, si se satisfacen las cuatro condiciones siguientes:
9
σbc1s + σbrs ≥ -σ'ba
(10.1)
σbc2s + σbrs ≤ σba
(10.2)
σbc1i + σbri ≤ σba
(10.3)
σbc2i + σbri ≥ -σ'ba
(10.4)
Donde: b: Tensiones en el hormigón c: Cargas exteriores r: Pretensado 1: Correspondiente a Mc1 2: Correspondiente a Mc2 s: Parte superior, con coordenadas hs < 0 i: Parte inferior, con coordenadas hi > 0 Si se cumplen las condiciones anteriores, se asegura que el diagrama de tensiones totales está dentro del rango de tensiones admisibles. Para obtener las cuatro condiciones fundamentales, hay que reemplazar la ecuación (4) en la ecuación (10):
Mc1 ⎛ 1 e ⎞ hs − P⎜ + hs⎟ ≥ - σ'ba ⎝ A I ⎠ I
(1,s)
(11.1)
Mc2 ⎛ 1 e ⎞ hs − P⎜ + hs⎟ ≤ σba ⎝ A I ⎠ I
(2,s)
(11.2)
Mc1 ⎛ 1 e ⎞ hi − P⎜ + hi⎟ ≤ σba ⎝ A I ⎠ I
(1,i)
(11.3)
10
Mc2 ⎛ 1 e ⎞ hi − P⎜ + hi⎟ ≥ - σ'ba ⎝ A I ⎠ I
(2,i)
(11.4)
6.- CONDICIONES NECESARIAS. Las condiciones fundamentales están dadas por la combinación de la condición (2,s) con la (1,s) y la (1,i) con la (2,i) de las expresiones anteriores, para así obtener las siguientes condiciones: Mc1 − Mc2 hs ≥ - (σba+σ'ba) I
(12.1)
Mc2 − Mc1 hi ≥ - (σba+σ'ba) I
(12.2)
Para que cumplan las condiciones fundamentales, primero deben cumplirse las condiciones necesarias. De las condiciones necesarias se deduce que las características geométricas de la sección dependen del rango de tensiones admisibles ( σba + σ'ba), de la diferencia de los momentos flectores (M c1 y M c2) y no de los valores individuales de ellos en sí. Cuando existe una mayor restricción en el rango de tensiones admisibles se requieren vigas con una altura mayor. La tensión σb0 al nivel del centroide de la viga está dada por:
σb0
= σ ba −
Mc2 − Mc1 ⎛ hihs ⎞ ⎜⎝ ⎟ I hi − hs ⎠
(13)
11
La fuerza de pretensado se puede evaluar como: P = σb0A
(14)
Sustituyendo la ecuación (13) en (14), para mantener la convención de signos, se ha incluido un signo negativo, la fuerza de pretensado es:
⎛ Mc2 − Mc1 ⎛ hi ⋅ hs ⎞ ⎞ P = -σb0A = − ⎜⎜ σ ba − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ A I h h − i s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(15)
La fuerza de pretensado depende de la diferencia de momentos flectores (Mc1 y Mc2), y de la tensión admisible (σba), ya que las características geométricas dependen también de la diferencia de Mc1 y Mc2. Despejando la excentricidad e, en cualquiera de las condiciones fundamentales, y admitiendo que esta condición se cumple en el límite; es decir, con el signo "igual" en lugar de "menor o igual". Se tiene que:
e=
I ⎡ 1 ⎛ Mc1 ⎞ 1⎤ ⎜⎝ hi - σ ba ⎠⎟ − ⎥ ⎢ hi ⎣ P I A⎦
(16)
En esta ecuación muestra que, la excentricidad e depende solo de M c1, y no de la diferencia de los momentos M c1 y Mc2.
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7.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS CONDICIONES FUNDAMENTALES. Las condiciones fundamentales quedan representadas en un plano cartesiano de abscisa "x" y ordenada "y", tal como indica la figura 6
y = Pe ) s , 2 ( ) s , 1 (
( 2 , i )
( 1 , i )
x=P
Figura 6.- Se muestra gráficamente las ecuaciones de las condiciones fundamentales.
En la figura anterior la zona achurada confirma las soluciones de las inecuaciones de las condiciones fundamentales. Se puede concluir que el cumplimiento de las condiciones fundamentales determina la existencia del paralelogramo representado en la figura 6 ; y de allí, los valores de P y Pe con los cuales se cumplen las condiciones fundamentales. Si se despeja la excentricidad e de cualquiera de las condiciones fundamentales, se observa que queda en función sólo de P, por lo que las rectas correspondientes a la excentricidad constante pasan por el origen de coordenadas, y el valor de la excentricidad es la tangente del ángulo que dichas rectas forman con el eje P
(16)
.
13
En toda sección transversal de una viga existe un valor máximo para la excentricidad (elim), que corresponde a la posición más alejada del centroide en que es posible ubicar el cable medio. Este valor es calculado mediante la siguiente fórmula: elim= hi - d'
(17)
Donde: hi : Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior. d' : Distancia desde la fibra extrema al centroide de los cables. En la siguiente figura se representa la excentricidad límite que corta el paralelogramo, de éste solo es utilizable la zona que se encuentra debajo de la recta de e lim.
) s , 2 (
D
y = Pe
C
) s , 1 (
B
( 2 , i )
A
( 1 , i )
elim
x =P Figura 7.- Representación gráfica de la excentricidad limite.
14
8.- NÚCLEO CENTRAL. Para que la acción del pretensado solo genere tensiones de compresión en la sección transversal, la fuerza de pretensado se deberá aplicar en una pequeña sección de la viga cerca del centroide (núcleo central). El radio de giro superior e inferior de los límites del núcleo central son las pendientes de las rectas (1,s), (2,s) y (1,i), (2,i), tal como se muestra en la figura 8. Estas pendientes quedan definidos por:
Ki = −
I hsA
Ks = −
I hiA
G
Ks< 0 Ki > 0
hs < 0 Núcleo Central
hi > 0
Figura 8.- Representación gráfica del núcleo central de una viga .
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9.- VERIFICACION DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UNA VIGA ISOSTATICA. Dependiendo de la función que debe cumplir la viga y de los factores económicos y estéticos, se elige una sección transversal y se calculan sus características geométricas como área (A), inercia (I), distancia a fibras superiores e inferiores (h s y hi). Con el peso propio de la viga y las cargas permanentes y temporales actuando, se trazan los diagramas de momentos, siendo conocidos como M c1 y Mc2 para la sección en elegida. Con las características geométricas y fijando las tensiones admisibles ( σba, σ'ba), se plantean las condiciones necesarias. Ahora si ambas satisfacen con demasiada holgura, la sección se debe reducirse hasta que una de ellas lo haga en forma ajustada. Las coordenadas de los vértices representan las rectas en el plano P v/s P e, en la cual origina el paralelogramo alargado, debido a que se cumplen ajustadamente las condiciones necesarias, luego se calcula el e lím, trazando su recta:
) s , 2 (
y = Pe
) s , 1 (
( 2 , i ) ( 1 , i )
elim
Pmin
x =P
Figura 9.- Gráfico de las ecuaciones fundamentales de una viga isostática.
16
Si elim corta la recta (1,i) del paralelogramo, el menor valor de la fuerza de pretensado que adopta es P min, el cual corresponde a la proyección hacia la abscisa x del punto de intersección de ambas rectas señaladas. Nuestra nueva ecuación de P será: Mc1 hi − σ ba I P = 1 hielim + A I
(18)
Puede suceder que la recta elim, pase por encima del paralelogramo, en este caso Pmin y la excentricidad , de la intersección de las rectas (2,s) y (1,i).
y = Pe
) s , 2 (
C
e < elim
) s , 1 (
( 2 , i )
elim
e
( 1 , i )
Pmin
x =P
Figura 10.- Representación gráfica de la excentricidad límite fuera del paralelogramo.
Los valores de la intersección son las coordenadas del vértice C, dadas por:
Pmin =
A hi ⋅ hs ⋅ ⋅ (Mc2 − Mc1) − A ⋅ σ ba I hi − hs
(19)
17
e=
hi ⋅ Mc1 − hs ⋅ Mc2 ⎡ hs ⋅ hi ⋅ (Mc2 − Mc1) ⎤ A⋅⎢ − σ ba ⋅ (hi − hs )⎥ I ⎣ ⎦
(20)
Puede producirse también que la recta de excentricidad límite e lim, pasa por debajo del paralelogramo, como se muestra en la figura siguiente, la solución para este caso es aumentar la altura de la viga para lograr la ocurrencia de alguno de los dos casos anteriores.
y = Pe
) s , 2 ( ) s , 1 (
( 2 , i ) ( 1 , i )
elim
x=P
Figura 11.- Representación gráfica de la excentricidad límite cuando está por debajo del paralelogramo.
10.- TRAZADO DE CABLES 10.1.- Cálculo del cable medio o huso limite. Ya sabiendo calcular la geometría del elemento, y a determinar la fuerza de pretensado mínima (todo calculado en el punto más desfavorable), donde se producen las máximas solicitaciones.
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En la figura siguiente se muestra un esquema de una viga sometida a los estados límites (a) y los diagramas envolventes (b)
a)
EJE BARICENTRICO
N
M
emin A
N SEGMENTO DE PASO
emax
M
B
b)
+
Mc1
Mc2
Figura 12.- Trazado del huso límite con su envolvente.
La sección más comprometida es la zona central. Es en esta zona el cual se determinan la fuerza de pretensado y la excentricidad. Para una sección cualquiera, como la sección M-M, la representación de las condiciones fundamentales ( figura 13) . Con el valor de P previamente establecido, se determinan los puntos A y B trazando una paralela al eje Pe, y con ellos las excentricidades emax y emin . La excentricidad en la sección M-M puede elegirse entre los valores emax y emin . El segmento comprendido entre estos valores se denomina segmento de paso, ya que basta que el cable medio lo atraviese para que se cumplan las cuatro condiciones fundamentales en la sección.
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y = Pe ) s 2, (
Ae 21 ) s 1, (
( 2 , i )
Be 11 ( 1 , i )
elim
emax
emin
P
x=P
Figura 13.- Representación gráfica de la sección M-M.
Fijando la fuerza de pretensado P, las características de la sección transversal y las tensiones admisibles, la determinación analítica del segmento de paso para una sección (1)
con momento Mc1 y Mc2 se realiza calculando primeramente :
e1,s
=
e2, s
=
e1,i
=
e2,i
=
Mc1 P Mc2 P Mc1 P Mc2 P
-
I Ahs I Ahs I Ahi I Ahi
+ σ ' ba - σ ba - σ ba + σ ' ba
I Phs I Phs I Phi I Phi
(21.1) (21.2) (21.3) (21.4)
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El valor de emax será el menor de e2, s y e2,i , mientras que el valor de emin será el mayor de e1,s y e1,i , tomando las excentricidades con su signo y dándole a los términos mayor y menor su significado algebraico. En forma análoga se determinarán las demás zonas dentro de la cual es necesario ubicar el cable medio. Existen varios criterios respecto de la posición que debe tener el cable medio dentro de dicha zona. Uno de ellos consiste en elegir la curva de emax ; y con ello, el trazado de menor curvatura a fin de reducir las pérdidas en la fuerza de pretensado que, como veremos, se incrementan con la curvatura del cable. Con este criterio, la condición (2,i ) se cumple en el límite. Otro criterio es ubicar el cable medio con excentricidades que sean el promedio de emax y emin. De esta manera se consigue que las condiciones fundamentales se cumplan con cierta holgura bajo todos los estados posibles de carga en todas las secciones transversal, salvo la central N-N.
10.2.- Procedimiento para el trazado de cables en vigas isostáticas. La variedad en la construcción de los cables y la posibilidad de realizar el pretensado por medio de un número múltiple de cables, permiten distribuir las armaduras en una pieza de forma que respondan, de una manera económica, a las solicitaciones que tendrá que soportar. En una viga simplemente apoyada, por ejemplo, los cables están concentrados hacia la cara inferior en el centro de la viga, zona de momento flector máximo. Progresivamente se van levantando hacia los apoyos, en parte para resistir el esfuerzo cortante por la componente vertical de la fuerza ejercida por el cable en la parte inclinada y por otro lado para variar la excentricidad resultante y mantener de este modo, las tensiones del elemento dentro de los límites permisibles
(1)
.
Por otra parte ocurre que los elementos pretensados tienen dimensiones menores que los elementos de hormigón armado, mientras que las vainas y conductos por los que pasan los cables, tienen diámetros muy superiores a los de las armaduras ordinarias.
21
Los anclajes, que normalmente se ubican en los extremos de los elementos, también tienen dimensiones considerablemente grandes y deberán además permitir un acomodo (1)
correcto del gato que realizará el tensado .
El trazado y posicionamiento de los cables a lo largo de la viga es todo un arte para el cual cada persona tiene su “modo propio” de hacer y únicamente la práctica y un estudio detallado del tema permitirá realizar un trazado óptimo, que cumpla con los requerimientos técnicos adecuados y además sea económico y viable
(1)
.
A continuación se darán a conocer los recubrimientos y espaciamientos mínimos permisibles por el CEB FIP, que no contradicen los de la AASTHO y ACI. 1. Espaciamiento vertical permisible:
• Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mínimo debe ser igual o mayor que el diámetro del cable.
• Para cables que su trayectoria es con un cierto ángulo, su espaciamiento mínimo debe ser igual o mayor que el diámetro vertical del cable. 2. Espaciamiento Horizontal permisible:
• Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mínimo debe ser igual o mayor que el diámetro del cable. • Para cables que su trayectoria es con un cierto ángulo, su espaciamiento mínimo debe ser igual o mayor que el diámetro horizontal del cable. 3. Recubrimiento vertical:
• Debe ser mayor o igual a 4 cm. 22
• Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al diámetro de la barra.
• Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el diámetro vertical de la barra. 4. Recubrimiento horizontal:
• Debe ser mayor o igual a 4 cm. • Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al diámetro de la barra.
• Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el diámetro horizontal de la barra. Estos recubrimientos mínimos deberán respetarse a todo lo largo de la trayectoria del cable, deberá tenerse sumo cuidado cuando existen cambios de trayectoria vertical y horizontal y muy especialmente en los puntos donde las vainas pasan del ala inferior al alma de la viga. Una vez concluido el trazado preliminar de los cables, deberá comprobarse que en todas las secciones se cumplen las tensiones admisibles por las normas(25), para todos los estados de carga involucrados en el diseño. Para ello se deben seguir los siguientes pasos.
• Determinar el centroide de los cables en cada uno de los puntos cuyas coordenadas fueron calculadas en el paso anterior.
• Calcular la excentricidad, en cada uno de los puntos, con respecto al centroide del elemento. Lo que se denomina como, “Excentricidad del cable resultante”.
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• Calcular mediante las ecuaciones (21) las excentricidades máximas y mínimas que debe tener el cable resultante para que cumpla con las tensiones admisibles en todas las secciones y para todos los estados de carga, con lo que se obtendrá un gráfico del huso límite para cada estado de carga.
• Se comprueba que la excentricidad del cable resultante se encuentra en el interior del huso límite.
• De no cumplirse lo anterior pueden tomarse diversas medidas, como pueden ser: Variar la trayectoria del cable; Tensar en varias etapas; Bloquear cables en el caso del pretensado; Reforzar con acero ordinario algunas zonas no muy comprometidas y para estados de carga de muy corta duración; Cambiar la geometría de la viga, y; Diseñar la viga con Pretensado Parcial. Como puede verse las medidas enunciadas anteriormente pueden ser muy simples o muy complejas en dependencia de cada caso particular de diseño, algunas de las cuales sobrepasan el nivel de decisión del calculista, por lo que deberán ser analizadas con muchísimo cuidado.
11.- DISEÑO DE VIGAS COMPUESTAS SIMPLEMENTE APOYADAS. Los elementos compuestos son secciones estructurales que se constituye por dos o más materiales de distinta resistencia o calidad. También a aquellos elementos del mismo material pero con diferentes tipos de resistencias o etapas de construcción. En elementos pretensados, se obtiene una viga compuesta al unir una viga prefabricada pretensada con otro elemento ya sea prefabricado o elaborado in situ con o sin pretensado. En la siguiente figura se muestra una viga compuesta, constituida por una viga de entre piso
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pretensada con losetas prefabricada (pretensadas o no pretensadas), y además con hormigón in situ. Pudiendo ser las tres de distintas calidades y resistencias.
HORMIGON EN SITIO
LTT-1
LTT-1 VEP
Figura 14.- Sección compuesta, constituida por una viga de entrepiso, una loseta prefabricada y hormigón en sitio.
Foto 1.- Construcción estacionamiento, construido con Vigas de entrepiso y losetas prefabricadas.
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Los elementos pretensadas fabricados en planta son dimensionados y calculados de tal forma que soportan su peso propio y el peso del hormigón fresco que completa la sección. Una vez endurecido el hormigón vertido, entra en acción la sección total, el cual debe soportar todas las cargas que aún no han entrado en acción, como las cargas permanentes de la sección compuesta, sobrecargas, etc. Debe existir una buena adherencia entre el elemento prefabricado y el vertido en sitio, para que la sección se comporte como una viga compuesta. En la superficie de contacto de ambos elementos se desarrolla un esfuerzo de corte horizontal que produce la tendencia al deslizamiento a lo largo del plano que separa las dos partes. Para controlar este deslizamiento se debe colocar una armadura de amarre vertical, siendo esta necesaria solo en secciones compuesta, por su baja fricción que se produce entre ambas partes de la sección.
11.1.- Estados de Carga. ESTADO 1.- Pretensión inicial inmediatamente después de la transferencia (P i), se producen tensiones de compresión máximas en las fibras inferiores, además sólo se han producido pérdidas de tensión instantáneas con lo que la fuerza de pretensado aplicada al elemento es máxima.
hs
hi
G e>0
Figura 15.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 1.
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ESTADO 2.- Aquí el peso propio comienza a actuar más el pretensado inicial de una viga (Pi + MIC2), también la fuerza de pretensado es máxima ya que sólo han ocurrido las pérdidas instantáneas. Pero las tensiones de compresión en las fibras inferiores son menores debido a las tensiones de tracción que genera el peso propio de la viga. En este estado se empiezan a producir las pérdidas dependientes del tiempo, el cual la fuerza de pretensado inicial pasará a ser la fuerza de pretensado efectiva (gradualmente).
hs
G +
hi
=
e>0
Pretensado
Peso propio
Figura 16.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 2.
ESTADO 3.- En este estado actúa el peso propio más el pretensado efectivo de una viga (Pe + MIC2), aquí las tensiones obtenidas serán iguales a las finales de la etapa anterior, el diagrama de tensiones es similar a la figura 3.16.
ESTADO 4.- En este estado actúa el pretensado efectivo más todas las cargas muertas, de la sección no compuesta (Pe + MIC1), estas solicitaciones generan tracción en las fibras inferiores que contrarrestan la compresión existente en los estados anteriores. La flexión en este estado se produce alrededor del centro de gravedad de la viga prefabricada GI.
27
hs
G +
+
=
e>0
hi
Pretensado
Peso propio
Carga muerta
Figura 17.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 4.
ESTADO 5.- En este estado actúa el pretensado efectivo más las cargas muertas tanto de la sección no compuesta como de la compuesta más las cargas vivas de servicio (Pe + MIC1 + ∆M).
GII
hs
+ hi
GI
=
e>0
Pretensado mas peso propio y carga muerta losa
Cargas vivas de servicio
Figura 18.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 5.
ESTADO 6.- En este estado actúa la sobrecarga máxima, el cual hace que la estructura supere el estado límite de descompresión y por ello es posible que se produzca un cierto nivel de fisuración en el elemento.
28
GII
hs
+ hi
GI
=
e>0
Pretensado mas peso propio y carga muerta losa
Sobrecarga máxima
Figura 19.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 6.
11.2.- Cálculo y Diseño. El método que a continuación se explicará es una prolongación del método del cálculo a flexión de estructuras isostáticas.
11.2.1.- Propiedades geométricas. Para el cálculo y diseño de vigas compuestas se deben diferenciar dos etapas, la primera etapa es aquella en que la viga prefabricada pretensada es el único elemento resistente que resiste las cargas externas, a esta etapa la llamaremos ETAPA I. La segunda etapa se considera la sección compuesta (Viga prefabricada pretensada, Losas prefabricadas, hormigón in situ, etc.), como un solo elemento, a esta etapa la llamaremos ETAPA II. En la siguiente figura se muestran la notación a usar tanto para la etapa I (a), como para la etapa II (b).
29
II
hs
I
hs GI
GI
e>0
I
hi
e>0
II
hi
a
* hs
GII
b
Figura 20.- Propiedades de las secciones: a) Prefabricadas, y b) compuesta.
En donde: AI = Area de la sección prefabricada. AII = Area de la sección compuesta. e
= Excentricidad.
GI = Centro de gravedad de la sección prefabricada. GII = Centro de gravedad de la sección compuesta. hiI = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la sección prefabricada. hsI = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema superior de la sección prefabricada. hiII = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la sección compuesta. hsII = Distancia desde el centro de gravedad de la sección compuesta a la fibra extrema superior de la sección compuesta. hs∗ = Distancia desde el centro de gravedad de la sección compuesta a la fibra extrema superior de la sección prefabricada.
30
El menor momento flector (MIc2), el cual corresponderá al peso propio de la viga prefabricada. El momento flector debido al peso propio de la sección compuesta (MIc1). El momento producido por las cargas permanentes de la sección compuesta y las sobrecargas de uso, se denominará como ∆M. El diagrama de tensiones de la etapa I se muestra en la siguiente figura:
hs
+
=
+
=
e>0
hi
Sección transversal
a
b
f1
c
f2
Figura 21.- Diagrama de tensiones para distintos estados de cargas de una viga pretensada.
En la figura se puede observar la sección transversal, el diagrama por peso propio (a), a la que corresponde al pretensado (b), también la resultante del pretensado más el peso propio (f1), a la carga muerta debido a la losa (c), y a la segunda resultante debido al pretensado más el peso propio (f2). Estos diagramas deben encontrarse dentro del rango de tensiones admisibles de compresión (σ'Iba), y de tracción (σIba) de la etapa I. Por lo tanto, deben cumplirse para las propiedades adoptadas en la etapa I las condiciones fundamentales, es decir:
31
M I c1 I ⎛ 1 e I ⎞ I h P − s s⎟ ≥ - σ'ba ⎜⎝ I + I h ⎠ I I A I
(1,s)I
(22.1)
M I c2 I ⎛ 1 e I ⎞ I h P − s s⎟ ≤ σba ⎜⎝ I + I h ⎠ I I A I
(2,s)I
(22.2)
M I c1 I ⎛ 1 e I ⎞ h P − i ⎜⎝ I + I h ⎠i⎟ ≤ σbaI I I A I
(1,i)I
(22.3)
M I c2 I ⎛ 1 e I ⎞ h P − i ⎜⎝ I + I h ⎠i⎟ ≥ - σ'baI I I A I
(2,i)I
(22.4)
En la siguiente figura se muestra la sección de una viga compuesta (etapa II). En ella, la viga pretensada prefabricada y la losa de hormigón vertido en sitio que ya ha fraguado y adquirido la resistencia deseada.
hIIS
h*S
+
=
e>0
hIIi
Sección transversal
a
b
f1
Figura .22.- Diagrama de tensiones de una viga compuesta.
En la figura anterior se muestra la sección transversal compuesta, la acción del pretensado mas el peso propio y la carga muerta de la losa (a). En la parte “c” se representan las sobrecargas. Y su resultante (f1) se observa el pretensado mas el peso propio de la viga compuesta y las sobrecargas.
32
El diagrama de tensiones de la etapa I debe estar comprendido dentro del rango de tensiones admisibles limitados por σ'IIba y σIIba, Por lo cual deben cumplirse las condiciones fundamentales referidas a las propiedades de la sección de la etapa II. Las condiciones fundamentales para la etapa II, quedan determinadas por: M I c1 I ⎛ 1 e I ⎞ ∆M * II h P − s s⎟ + ⎜⎝ I + I h ⎠ I II hs ≥ -σ'ba I A I I
(1,s)II
(23.1)
M I c1 I ⎛ 1 e I ⎞ h P − s ⎜ I + I h s⎟ ≤ σbaII I ⎝ A I ⎠ I
(2,s)II
(23.2)
M I c1 I ⎛ 1 e ⎞ ∆M h i − P⎜ I + I h I i ⎟ + II hi II ≤ σbaII I I ⎝ A I ⎠ I
(1,i)II
(23.3)
M I c1 I ⎛ 1 e I ⎞ h P − i ⎜⎝ I + I h ⎠i⎟ ≥ -σ'baII I I A I
(2,i)II
(23.4)
Generalmente las tensiones en el borde superior de la viga están más cerca del rango de tensiones admisibles que las tensiones en el borde superior de la losa. Ahora si las tensiones en el borde superior de la losa fueran mayores (en valor absoluto), que las del borde superior de la viga prefabricada, se deberá plantear nuevas condiciones a fin de garantizar que las tensiones en el borde superior de la losa también estén comprendidas dentro del rango de tensiones admisibles. Las tensiones admisibles en la etapa II son más restrictivas que en la etapa I, ya que ésta corresponde a una situación transitoria durante su construcción, donde puede admitirse un mayor riesgo, que en la etapa II que es la del estado definitivo de la estructura terminada.
33
11.2.2.- Condiciones necesarias Las condiciones fundamentales para las etapas I y II, en las inecuaciones (22) y (23) se reemplazan los signos "mayor o igual" o "menor o igual" por el signo “igual”, en el cual se convierten en ecuaciones que se pueden representar en un plano P v/s Pe, como se muestra a continuación:
y = Pe ( 2 , i )
) s , 2 (
) s , 1 (
( 1 , i ) ( 2 , i )
) s , 2 (
) s , 1 (
( 1 , i )
x=P
Figura 23.- Representación en el plano de las condiciones fundamentales tanto de la etapa I, como de la etapa II.
En la figura anterior existe una zona achurada, la cual representa una zona en común, esto quiere decir, que en esta zona se satisfacen las ocho condiciones fundamentales simultáneamente. Si una o más condiciones fundamentales no la satisface, entonces hay que modificar las dimensiones de la sección transversal.
34
Combinando las condiciones fundamentales de ambas etapas, se obtienen las seis siguientes condiciones necesarias: (1,s)I - (2,s)I Mc1 − Mc2 I h s ≥ -(σ ' ba I + σ ba I ) I I
(24.1)
Mc2 − Mc1 I h i ≥ -(σ ' ba I + σ ba I ) I I
(24.2)
∆M * II II II h s ≥ -(σ ' ba + σ ba ) I
(24.3)
∆M II h i ≤ (σ ' ba II + σ ba II ) II I
(24.4)
∆M Mc1 − Mc2 I h s ≥ -(σ ' ba II + σ ba I ) - II h *s I I I
(24.5)
∆M Mc2 − Mc1 I h i ≥ -(σ ' ba I + σ ba II ) + II h II i I I I
(24.6)
(2,i)I - (1,i)I
(1,s)II - (2,s)II
(2,i)II - (1,i)II
(2,s)I - (1,i)II
(2,i)I - (1,i)II
Si se cumplen las dos primeras condiciones, significa que existe el paralelogramo de la etapa I, las condiciones tres y cuatro, garantizan el paralelogramo de la etapa II, y las últimas dos condiciones, es el de la zona común a dichos paralelogramos. Una vez comprobada las seis condiciones necesarias, se calcula la excentricidad límite, que esta dada por: elim= hiI - d'
(25)
35
Donde: d' = Recubrimiento adoptado, medido desde la fibra extrema inferior al centroide de los cables. Siendo: d’ = 0,05 m para pretensado. d’ = 0,1 m para postensado. hiI = Distancia desde el centro de gravedad hasta la fibra extrema inferior. Luego de obtenida la sección transversal que satisfaga en la forma más ajustada posible las seis condiciones necesarias, se realiza la representación gráfica de las ocho ecuaciones fundamentales, trazando además la recta de la excentricidad obtenida:
y = Pe ( 2 , i )
) s , 2 (
H
) s , 1 (
F F ( 1 , i )
B
G
( 2 , i )
C ) s , 2 (
E
) s , 1 (
A
Pmin
( 1 , i )
x =P
Figura 24.- Representación gráfica de los paralelogramos y su intersección con la recta elím.
Cuando la recta elim corte el paralelogramo nos arrojará un determinado P, el cual lo llamaremos Pmín (según el criterio de las vigas isostáticas comunes). En la figura anterior se muestra el caso ideal, cuando la recta e lim corta al paralelogramo de intersección. En este caso, el valor de Pmin queda determinado por:
36
hi I ∆Mhi II Mc1 I + II − σ ba II I I Pmin = 1 hi I + elim I AI I
(26)
En la siguiente figura se muestra cundo la recta e lím pasa por encima del paralelogramo:
y = Pe
H F F
e < elim
B
G C
E
elim
A
e
Pmin
x=P
Figura 25.- Representación gráfica del caso en que la recta elím está por encima del paralelogramo.
Si ocurre lo indicado en la figura anterior, P mín será la proyección del punto de intersección de las rectas (1,i) II y (2,s)I hacia el eje x. Lo cual el valor de P min será:
⎛ hi II hs I hi I ⎞ ⎞⎟ I ⎛ I II ⎜ hs ⎜⎜ (σ ba − σ ba ) + ∆M II − Mc2 I + Mc1 I ⎟⎟ I I I ⎠ ⎟ I ⎜ hs I Pmin = ⎜ Mc2 I − σ ba I − ⎝ ⎟A I I i − hs I h ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(27)
y el valor de la excentricidad para este caso queda definido por la siguiente ecuación:
37
⎛ hi II hs I hi I ⎞ I I ⎜⎜ (σ ba − σ ba ) + ∆M II − Mc2 I + Mc1 I ⎟⎟ I I I I ⎠ hi − hs I ⎝ (28) e= II I I ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ i s i h h h ⎜ hs I ⎜⎜ (σ ba I − σ ba II ) + ∆M II − Mc2 I + Mc1 I ⎟⎟ ⎟ I I I I ⎠ ⎟ I ⎜ hs ⎝ I ba − σ c2 − M ⎜ ⎟A I I I i − hs I h ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ I
II
Ahora existe una tercera posibilidad, la cual es que la recta e lím pase por debajo del paralelogramo de intersección, como se muestra en la siguiente figura:
y = Pe
H F F B
G C
E
A elim
x =P
Figura 26.- Representación gráfica donde la recta e lím pasa por debajo del paralelogramo.
Para este caso, hay que modificar la sección transversal de la viga compuesta, de modo que existan valores de P y Pe, con e ≤ elim, que satisfaga las ocho condiciones fundamentales, y se produzca con esto alguno de los dos casos anteriormente descritos.
38
11.2.3.- Sección Transformada. En los elementos prefabricados están compuestos de hormigón de mejor calidad que los elementos de hormigón in situ, lo que es afectado en las tensiones por la diferencia de rigidez de ambos hormigones. También la existencia de materiales de distintos módulos de elasticidad, como lo es el hormigón con el acero de alto límite elástico. Para soslayar esta diferencia en los cálculos se puede usar el concepto de la sección transformada, que consiste en transformar la sección transversal constituida por materiales de diferente calidad y rigidez, en una sección equivalente compuesta de un solo material con calidad y rigidez homogénea. Cuando se transforma dos o más materiales de distintas calidades o rigideces en una sola, esta nueva sección debe cumplir la hipótesis de conservación de las secciones planas (Navier - Bernoulli), de modo que las deformaciones del hormigón en una fibra cualquiera situada a una distancia "y" del centro de gravedad de la sección compuesta, deben satisfacer la condición de idéntica deformación dada por:
ε x
= ε cy =
σ b, real =
σ b, eq
Ex
=
σ b, real
Ey
Ey σ b, eq = ησ b, eq Ex
Donde: η =
E c1 E c 2
Para estructuras compuestas de diferentes resistencias, el cual oscila entre 1,2 y 1,7.
η =
E s E C
Para estructuras compuestas de diferentes módulos de elasticidad, el cual oscila entre 7 y 15.
39
siendo: η
= Relación modular de los hormigones.
σ b,real = Tensión en el hormigón en la sección real. σ b,eq
= Tensión en el hormigón en la sección equivalente.
Después de esta sustitución, pueden hallarse las propiedades de la sección como si la viga estuviera hecha de un solo tipo de hormigón. En la siguiente figura se muestra una viga con diferentes tipos de calidades de hormigones (a), y la misma viga en sección transformada (b). b
2
beq dy
dy
y
y
3 1
a
1.- Hormigón prefabricado 2.- Hormigón elaborado en sitio 3.- Hormigón equivalente
b
Figura 27.- Sección transformada, a) Sección real; b) Sección Transformada.
12.- DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE LA VIGA COMPUESTA
∆M. El momento ∆ M es producido por las cargas permanentes y las sobrecargas de uso en la viga compuesta, por lo cual es necesario observar el comportamiento que éste produce en los paralelogramos de ambas etapas, ya que según sea la magnitud que este momento, se verá si el diseño se hace por pretensado total o pretensado parcial. El análisis de esta magnitud nos puede llevar a las siguientes alternativas: 40
1. Si el valor de ∆ M permite el cumplimiento de las condiciones necesarias (24), por ende existe el paralelogramo de intersección, en lo cual obtendremos el valor de Pmin y la excentricidad será menor a la e lim, las cuales deben cumplir con las tensiones admisibles impuestas en el diseño, en este caso se diseñará por pretensado total. 2. Si el valor de ∆ M es mayor que el máximo permitido para que se cumplan con las condiciones necesarias (24), en este caso no existe el paralelogramo de intersección, y por esta razón tampoco existirá una fuerza de pretensado P necesaria para absorber todas las tensiones producidas por la sobrecarga actuante en la viga compuesta, para esto tenemos dos soluciones: - Se puede aumentar la sección transversal de la viga, y con esto lograr que exista un paralelogramo de intersección, con lo cual llegamos al diseño del punto 1, es decir, un diseño por pretensado total. - También se puede encontrar un valor de ∆ Mnecesario que será menor al ∆ M, con lo cual permite el cumplimiento de las seis condiciones necesarias (24), y con ello la obtención de la fuerza de pretensado. La diferencia que existe entre ∆ M y el ∆ Mnecesario se denominará ∆ Mx, el cual es absorbido por el acero ordinario. Para este tipo de solución se necesitará un diseño por pretensado parcial. Cuando se determinan las condiciones de apoyo de una viga, la cantidad de tramos y solicitación de carga definidas para el diseño; se elige aquella en que se produce la combinación de la situación de carga más desfavorable, y se superponen en ella la acción de las cargas permanentes de la viga compuesta. Si el valor de ∆M es mayor que el máximo permitido para el cumplimiento de las condiciones necesarias (24), no sé esta produciendo la intersección entre los 41
paralelogramos sé la etapa I y etapa II, por lo que deberá determinar un valor ∆Mnecesario menor que ∆M, el cual permita el cumplimiento de las seis condiciones necesarias, con lo cual se interceptarán los paralelogramos.
12.1.- Determinación del Momento Mnecesario. Considerando las condiciones fundamentales (24) en sus límites, es decir, con signos "igual", además se debe respetar el sentido de las desigualdades, se obtiene el valor máximo necesario para lograr que los paralelogramos se intercepten, viene dado por el menor valor de las siguientes ecuaciones: II Mc2 − Mc1 I ⎛ I II ⎞ I ∆Mnecesario = ⎜ hi + σ ' ba + σ ba ⎟ II ⎝ I I ⎠ hi
(29,1)
II Mc2 − Mc1 I ⎛ I II ⎞ I ∆Mnecesario = ⎜ hs − (σ ' ba + σ ba ) ⎟ x ⎝ I I ⎠ hs
(29,2)
12.2.- Grado de Pretensado (GP). El grado de pretensado es un índice que caracteriza la magnitud del pretensado parcial, y se calcula una vez obtenido el valor de ∆Mnecesario, el cual viene dado por el cuociente entre el momento de descompresión del elemento y el momento total actuante debido a las cargas permanentes y a la sobrecarga accidental, es decir:
GP
=
Momento de Descompresión Momento Total
42
Donde:
Momento de Descompresión: Es el momento que anula la compresión en la fibra
-
extrema inferior, es decir, es el momento que provoca la descompresión de la viga. M des
= M C 1 + ∆ M red
Momento Total: es el momento producido por todas las cargas actuantes, tanto en
-
la sección compuesta como en la viga prefabricada (M Cp + MSC).
M Total
= M C 1 + ∆ M inicial
El grado de pretensado representa el porcentaje del total de la carga que toma el acero de alto límite elástico, por ejemplo, si un elemento tiene un grado de pretensado de 0,6 significa que el 60% del total de las solicitaciones esta siendo tomado con acero de alto límite elástico, y el restante 40% lo está tomando el acero ordinario. Si las condiciones necesarias se cumplen, el Grado de Pretensado resultante será igual a uno, lo que significa que la geometría de la viga proyectada permite su diseño en pretensado total, pero si se desea hacer una reducción, se puede hacer, teniendo presente que existe un rango para el Grado de Pretensado, el cual se explicará a continuación:
a. Grado de Pretensado Máximo (GPMáx):
GP Máx
=
M Des, Máx M Total
(30)
Con: M Des, Máx
= Mc1 + ∆ M necesario
43
El ∆ M necesario va a hacer el máximo ∆ M que se le puede dar a la viga, para que se cumplan las tensiones admisibles.
b. Grado de Pretensado Mínimo (GPMín): El Grado de Pretensado Mínimo va a hacer el mínimo valor para que el ∆ M reducido no sea negativo, por lo tanto: GP
=
Mc1 + ∆ M reducido Mc1 + ∆ M inicial
Despejando ∆ M reducido , se tiene que:
∆ M reducido = GP ⋅ ( Mc1 + ∆ M inicial ) − Mc1 (31) En la ecuación anterior se obtiene analíticamente el ∆ M reducido para cualquier Grado de Pretensado que uno se de. Para obtener el Grado de Pretensado Mínimo, se debe reemplazar el ∆ M reducido por su menor valor, que es cero. 0 = GP Mín ⋅ ( Mc1 + ∆ M inicial ) − Mc1 Despejando GPmín, se tiene:
GPmín
=
Mc1 Mc1 + ∆ M inicial
(32)
Es importante señalar que el valor del grado de pretensado obtenido de acuerdo con la ecuación (30), será el máximo posible a asumir en el diseño del elemento parcialmente pretensado, y de la ecuación (32), será el mínimo posible a asumir en el diseño, por lo 44
tanto se debe elegir el Grado de Pretensado que esté dentro del rango anterior y además hay que considerar el criterio de la experiencia del Ingeniero Calculista.
12.3.- Diseño del Refuerzo de armadura no Pretensada. El diseño del refuerzo de armadura no pretensada es aquel que requiere asumir las tracciones producidas por la magnitud de la diferencia de momentos ( ∆M - ∆Mnecesario =
∆Mx), será determinado por la teoría de resistencia de materiales por medio del método de las tensiones admisibles. Para obtener el estado de tensiones se procede generalmente a dos etapas, la primera se corta la pieza en varias secciones, calculándose las solicitaciones que actúan en cada sección (cálculo de esfuerzo). La segunda se obtiene, a partir de los esfuerzos, las tensiones en todas las fibras de hormigón y en las armaduras de la sección (cálculo de secciones). En el diseño por tensiones admisibles del acero ordinario, se supone una relación lineal tensión-deformación, asegurándose que bajo cargas de servicio tanto el acero como el hormigón no excederán las tensiones de trabajo. Las tensiones permitidas se determinan en proporción a la resistencia última y/o a la resistencia de fluencia de ambos materiales. Los valores recomendados se señalan a continuación: Tensiones admisibles para el hormigón según el Código ACI 318-63 MATERIAL Y FORMA DE
CAMPO DE APLICACION
TENSION ADMISIBLE
TRABAJO Hormigón a compresión Hormigón a tracción Armaduras en tracción
Vigas y elementos sometidos a flexión....... σc,adm= 0.45 f'c Hormigón en masa, muros y zapatas.......... σct,adm= 0.424 f ' c Barras corrugadas con límite elástico σs,adm= 0.60 fy 2 fy ≥ 4200 kg/cm cuyo diámetro no supere σs,adm ≤ 2520 a 35 mm.
Tabla 1.- Tensiones admisibles según el Código ACI 318-63
45
Ecuación de equilibrio de una sección cualquiera.
d'
A' σ '
A'
Nc
σy
y
by
εc ε'
x
Compresiones
d Aσ
A
a
ε
Tracciones
c
b
Figura 28.- Sección transversal cualquiera.
En una sección cualquiera con un eje de simetría y una armadura de tracción (A) y de compresión (A'), como se muestra en la figura 24, que se encuentra sometida a un momento flector M = ∆ M x (solicitación de servicio), las ecuaciones de equilibrio entre las tensiones y las solicitaciones pueden establecerse como se indica: En un elemento de sección de área
by ⋅ dy , la tensión del hormigón será σ y y la
resultante lineal será σ y. by ⋅ dy . Integrando para toda la zona del hormigón comprimido y añadiendo la contribución de las armaduras, se obtienen las ecuaciones que expresan el equilibrio de esfuerzos normales y momentos
(16)
:
x
∫ b
y ⋅ σ y ⋅
dy + A'⋅σ s'+ A ⋅ σ s = 0
(33)
y ⋅ σ y ⋅
y ⋅ dy + A'⋅σ s'⋅(x − d' ) + A ⋅ σ s ⋅ (d − x) = ∆Mx
(34)
0
x
∫ b 0
46
Sabiendo que la ley de deformaciones y la de tensiones es recta, resulta: σ y y
=
σ 2 n ⋅ ( x − d ')
=
σ 1 n ⋅ (d − x )
=
σ c x
(35)
Luego la tensión en el hormigón en la fibra extrema es el siguiente:
σ C =
M ⋅ x
(36)
I e1
Comprobación de la sección cualquiera.
Para tener la certeza de que la sección y en este caso la armadura ordinaria no supera las tensiones admisibles impuestas en el diseño debe cumplirse que:
σ s' = n ⋅ σ c
x − d' x
σ s
= n ⋅ σ c
d-x x
(37)
Dimensionamiento de una sección cualquiera.
el gran problema es cuantificar la armadura necesaria, conociendo la sección, el momento flector (de Servicio) y las tensiones admisibles. En una sección sin armadura de compresión, se llamará Momento crítico (M critico) el que sea capaz de resistir la pieza en el supuesto de que tanto el hormigón como la armadura en tracción alcancen sus respectivas tensiones admisibles. Al ser conocida la distribución de tensiones puede calcularse fácilmente dicho momento crítico. Una vez conocida pueden ocurrir dos situaciones:
47
a) Si el momento dado M = ∆ M x es menor que el momento crítico, es decir, Mcritico > ∆Mx, significa que la sección no necesita armadura de compresión, y la de tracción se calcula para que trabaje a su máxima tensión admisible. En este caso el hormigón no alcanzará su máxima tensión admisible, siendo las incógnitas del problema x, A, y σc. b) Si el momento dado M = ∆ M x es mayor que el momento crítico, es decir, Mcritico > ∆Mx, se trabajará con la distribución de tensiones correspondiente al momento crítico, colocando la armadura de compresión que sea necesaria para tomar el valor de la diferencia entre M critico - ∆Mx.
Ecuaciones de equilibrio de una sección rectangular.
Las secciones rectangulares son las más comunes en el cálculo de las vigas compuestas, es aquel, en que la armadura ordinaria debe calcularse cuando la sección de la viga elegida funciona como rectangular, a continuación se resumen las ecuaciones necesarias para el diseño del mencionado refuerzo debido a la solicitación de servicio ∆Mx.
d'
A'
A'
σy
y
by
σ'
Nc
εc ε'
x
Compresiones
d
A
A
a
b
σ
ε
Tracciones
c
Figura 29.-Viga rectangular
48
La ecuación de equilibrio entre tensiones, para el caso de una viga es el siguiente:
σ s
= n ⋅ σ c
d-x , x
(38)
De donde se puede obtener x. Conocido x, se hace sumatoria de fuerzas, de donde:
σ c
x b = Aσ s 2
(39)
Haciendo sumatoria de momento en torno al acero de tracción se tiene que:
M crítico
x x ⎞ = σ c b⎛ ⎜d - ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠
(40)
El valor de Mcritico calculado, se compara con el valor de ∆Mx, sí: a) Si el momento ∆ M x es menor que el momento crítico, es decir, ∆Mx < M critico, se tiene que A' = 0 y el área de acero de tracción A se reducen a un valor que sea necesario para que trabaje a su máxima tensión admisible y resista sólo el momento ∆Mx. b) Si el momento ∆ M x es mayor que el momento crítico, es decir, ∆Mx > M critico, el área de acero de tracción A, será la calculada por la ecuación (46), y la diferencia de ∆Mx - Mcritico, será asumida por acero de compresión A' por medio de la ecuación: A' =
∆Mx − Mcritico dσ s'
(41)
49
13.- PERDIDAS EN ELEMENTOS DE HORMIGON PRETENSADO. Las pérdidas de los elementos pretensados empiezan a actuar desde que el gato empieza a ejercer su tensión. Existen dos tipos de perdidas; a) Pérdidas instantáneas (iniciales), y; b) Pérdidas diferidas (dependientes del tiempo).
13.1.- Pérdidas Instantáneas. Se definen las pérdidas instantáneas como aquellas pérdidas que ocurren durante el proceso de tensado e inmediatamente después del anclaje de las armaduras, es decir, en el momento de transferir la fuerza al hormigón. Las pérdidas instantáneas las podemos clasificar en:
13.1.1.- Pérdidas por Penetración de Cuñas (deformación del anclaje), sin Considerar Rozamiento. Al anclar un cable sometido a una tensión impuesta en su extremo por un gato, esta tensión se transfiere al anclaje y lo deforma, su magnitud depende del tipo de gato que se emplee. En los gatos monotorones tienen una menor pérdida que los gatos multitorones, debido a que poseen un dispositivo de anclaje de las cuñas a la viga. La pérdida queda entonces definida por:
∆σ =
∆ Ea L
(42)
Donde:
∆σ: Pérdida de tensión por penetración de las cuñas en el anclaje (Kg/cm 2). ∆ : Penetración de la cuña (cm.). Ea : Módulo de elasticidad del acero de alto límite elástico (Kg/cm 2).
50
13.1.2.- Pérdidas de tensión debidas al estiramiento no simultáneo de los cables y por Acortamiento Elástico del Hormigón. La fuerza de pretensado se ejerce por varios cables que no son tensados simultáneamente, de suerte que cada uno de ellos se acorta debido a la deformación instantánea del hormigón producida por la fuerza impuesta a los cables tensados (postensado), y por deformación de los anclajes en los cabezales (pretensado). La pérdida por estiramiento no simultáneo de los cables y la que se produce por acortamiento elástico del hormigón se relacionan, con lo cual pueden ser evaluadas por la siguiente fórmula:
ES = K es
Ea f cir Eci
(43)
Donde: ES: Pérdida de tensión en los cables debido al estiramiento no simultáneo y por el acortamiento elástico del hormigón (Kg/cm 2). K es : Constante
que depende del tipo de tensado
=> para pretensado = 1,0 => para postensado = 0,5
Ea : Módulo de elasticidad del acero pretensado (Kg/cm 2). Eci : Módulo de elasticidad del hormigón en el momento del tensado. Se recomienda usar el siguiente valor: Eci = 15100 ⋅ f ' ci (Kg/cm2) f’ci
(25)
= Resistencia cilíndrica característica del hormigón en el momento del tensado (Kg/cm2).
51
f cir
: Tensión en el centro de gravedad de los cables inmediatamente después de que ocurran las pérdidas instantáneas por rozamiento, y por penetración de las cuñas en el anclaje. Se recomienda usar la siguiente expresión:
⎛ Pi + Pi ⎞ − M' c2 ⎟ ⎝ A Ig ⎠ Ig
f cir = K cir ⋅ ⎜
(44)
Donde: Pi : Fuerza de pretensado inicial, después de que han ocurrido las pérdidas instantáneas (ton). e : Excentricidad de los cables (m). A : Area de la sección de hormigón en el momento del tensado (m 2). Ig : Inercia de la sección de hormigón en el momento del tensado (m 4). MIc2 : Momento flector correspondiente al peso propio de la viga en el momento del tensado (ton-m). El valor de K es es el doble en el pretensado que en el postensado, lo que explica que en el pretensado hay dos momentos en los que se produce esta pérdida, al momento de anclar los cables al cabezal de anclaje y al realizar la transmisión de fuerza de los cabes al hormigón cuando este ya fraguó. Se observa que el valor de f cir se toma en el centroide de los cables, con lo cual, se deberá primero determinar la tensión en las fibras extremas (mediante las fórmulas de Navier), y después trasladarla al centroide de los cables. Un método muy sencillo para proceder es el siguiente: 1.- Se parte de la fuerza inicial determinada según el procedimiento de diseño. 2.- Se determinan las pérdidas por rozamiento y por penetración del anclaje.
52
3.- Se calcula f cir por medio de la siguiente formula:
⎛ Pi Pi ⋅ e 2 ⎞ Mg ⋅ e f cir = K cir ⋅ ⎜ + ⎜ A Ig ⎟⎟ − Ig ⎝ ⎠
(45)
Donde: Pretensado => Kcir = 0,9 Postensado => K cir = 0,85 4.- Con el valor de f cir se determina ES, mediante la fórmula (42). En elementos postensados los valores de A y de I g se determina considerando los conductos vacíos, sin inyectar.
13.1.3.- Pérdidas de tensión por rozamiento en el gato. La fuerza teórica que ejerce el gato es: F = M ⋅ A
(46)
donde: M = es la presión del líquido leída en el manómetro. A = es el área del pistón del gato. La expresión anterior debería de tener un factor de corrección, por efecto de que también existe un rozamiento entre las empaquetaduras del pistón y el cilindro, resistencias viscosas, etc. Este tipo de pérdidas es despreciable para el calculista, por que, debe existir una correcta calibración del manómetro de lectura.
53
13.1.4.- Pérdidas de tensión por rozamiento entre los cables y el anclaje a la salida del anclaje. Este tipo de pérdidas depende del tipo o sistema de anclaje empleado y su valor deberá obtenerse por experiencias adecuadas o recomendaciones del fabricante.
13.1.5.- Pérdidas de tensión por rozamiento entre las armaduras de pretensado (cables, alambres, barras, etc.) y las vainas o conductos. La determinación de este tipo de pérdidas es el único que se encuentra normado, y los valores son coincidentes de una norma a otra. Según ACI, AASHTO y la Norma Chilena de Hormigón (NCh 430), el efecto de las pérdidas por fricción en los cables postensados debe calcularse por medio de la siguiente fórmula:
Ps
= P X ⋅ e ( Kl
X
+ µα )
(47)
Donde: PS
: Fuerza del cable aplicada a la salida del gato.
P X
: Fuerza del cable en cualquier punto x.
e
: Número de Euler.
µ
: coeficiente de rozamiento entre el cable y la vaina en curvas.
K
: coeficiente de rozamientos parásitos entre el cable y la vaina en rectas
α
: Variación angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato, hasta el punto donde se calcula la pérdida.
l x
: longitud del cable desde el extremo del gato hasta donde se calcula la pérdida.
El coeficiente µ depende del estado, naturaleza y rigidez de la vaina; del cable o alambre y de su estado (oxidado o no). Depende, además, del cuidado en la colocación
54
de la vaina y ejecución posterior (vertido y vibrado del hormigón) y de sí el conducto se encuentra lubricado o no. Cuando ( K l X + µ ⋅α ) no es mayor que 0,3, se permite calcular el efecto de la pérdida por medio de la siguiente fórmula: PS
= P X (1 + K l X + µ ⋅α )
(48)
Los coeficientes incluidos en la tabla 3.2 dan un rango de valores que normalmente puede esperarse, debido a la gran cantidad de ductos, cables y materiales disponibles para el recubrimiento de estos. Cuando se usan conductos rígidos el coeficiente de curvatura accidental K puede considerarse igual a cero, al igual para los cables grandes dentro de conductos semirígidos. Los valores de los coeficientes que se deben usar para los cables y conductos del tipo especial debe obtenerse de los fabricantes. Coeficiente de
Coeficiente de
curvatura
Curvatura
accidental, K
µ
Cables de alambre
0.0033 – 0.0049
0.15 – 0.25
Barras de altas resistencia
0.0003 – 0.0020
0.08 – 0.30
Torones de 7 alambres
0.0016 – 0.0060
0.15 – 0.25
Cable no adherido
Cables de alambre
0.0033 – 0.0066
0.05 – 0.15
Cubierto con mastic
Torones de 7 alambres
0.0033 – 0.0066
0.05 – 0.15
Cables no adheridos
Cables de alambres
0.0010 – 0.0066
0.05 - 0.15
Torones de 7 alambres
0.0010 – 0.0066
0.05 – 0.15
pre-engrasados
Tabla 2.- Coeficientes de fricción para cables postensados.
55
13.1.6.- Pérdidas de tensión debidas a la deformación del anclaje y eventual resbalamiento de las armaduras. La deformación del anclaje se produce por la transmisión de la fuerza desde el cable. También se pueden producir eventuales deslizamientos de los cables, con lo que conlleva a una disminución de la tensión, esta magnitud depende del sistema de tensado y del tipo de gato a usar. En los gatos multitorones el deslizamiento es mayor. Si no se consideran las resistencias por rozamiento, la pérdida de tensión será la siguiente:
∆σ =
∆ L
⋅ E a
(49)
Donde:
∆σ = Pérdida de tensión por penetración de las cuñas en el anclaje (Kg/cm2). ∆= Ea =
Penetración de la cuña (cm). Módulo de elasticidad del acero (Kg/cm2).
La disminución de tensiones es afectada en todo el cable. En el cual la tensión disminuye en el anclaje por efecto de dicha deformación, y aumenta a medida que el cable se interna en el elemento, la variación de la tensión en el interior del elemento no está afectada por la deformación del anclaje, este fenómeno ocurre por la presencia de la fuerza de fricción entre el cable y la vaina. Para calcular si la pérdida afecta en todo el largo del elemento , se calculará, la longitud en que afecta la penetración de la cuña, la expresión es la que sigue: L⊗
=
c'⋅ E s
β
(50)
Donde: L⊗ = Longitud de la viga afectada por el deslizamiento de la cuña. Es =
Módulo de elasticidad de los cables de acero (1,97 x 10 6 Kg/cm2).
β =
Pérdida de tensión debido al rozamiento por unidad de longitud.
c’ =
Asentamiento de la cuña. 3mm para monotorón. 8mm multitorón.
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Si el cálculo de L⊗ es menor que el centro de la viga, la penetración de la cuña no afecta, en caso contrario el valor de la pérdida se calculará como sigue:
⎛ ⎝
AN = 2 ⋅ β ⋅ ⎜ L⊗
L − ⎞⎟ 2 ⎠
(51)
Donde: AN = Pérdida de tensión por asentamiento de la cuña.
13.2.- Pérdidas dependientes del tiempo. 13.2.1.- Pérdidas de tensión por retracción hormigón. Después de fraguado el hormigón, este experimenta variaciones en sus dimensiones (dilataciones o contracciones), estas deformaciones se llaman entumecimiento y retracción. Esta última es la que más interesa, ya que produce el acortamiento del hormigón y por lo tanto reduce las tensiones en las armaduras. La retracción es un fenómeno relativamente rápido en un comienzo, para elementos usuales, se produce un 25, 50 y 75% de deformación final por retracción a los 7, 30 y 180 días, respectivamente. Estos valores son importantes para conocer que parte de la retracción queda por producirse después del tensado, que en definitiva es la que influye en el acortamiento de las armaduras. En los elementos pretensados deberá considerarse la totalidad de la retracción. La pérdida por compresión en el hormigón debido a la retracción puede evaluarse como: SH = K (1195 − 10.55 ⋅ RH ) SH
(52)
57
Donde: SH : Pérdida de tensión en los cables por retracción del hormigón (Kg/cm 2). RH : Humedad relativa media anual (%). K sh :
Coeficiente de pérdida por retracción => pretensado =1. => postensado = 0,8
13.2.2.- Pérdidas de tensión por fluencia lenta del hormigón. Existen diferentes fórmulas empíricas para obtener el valor de la fluencia del hormigón, se asumirá la que se señala a continuación: CRc = K cr
Ea ( f cir − f cds) Ec
Donde: CRc : Pérdidas de tensión debida a la fluencia lenta del hormigón. K cr :
Coeficiente de pérdida por fluencia lenta.
f cds :
Tensión en el hormigón al nivel del centro de gravedad de los cables debido a todas las cargas muertas que actúan con posterioridad al tensado de los cables.
13.2.3.- Pérdidas de tensión por relajación de los cables de acero. La relajación es la pérdida de tensión que experimenta un cable después de transcurrido un cierto periodo de tiempo desde que fue tensado, bajo condiciones de longitud y temperatura constante. El fabricante del cable deberá brindar el valor promedio de relajación así como la temperatura y la carga a la que fue obtenido el valor entregado, no obstante en el proceso de cálculo aún no se posee el dato que este brindará y se podrá determinar la pérdida por relajamiento del acero según las siguientes fórmulas empíricas:
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Para elementos pretensados: 1.- Cables de relajación normal CRs = 1046 β 2 - 0.4 ES - 0.2(SH + CRc) 2.- Cables de baja relajación CRs = 352 β 2 - 0.1 ES - 0.05(SH+ CRc) Para elementos postensados: 1.- Cables de relajación normal CRs = 1046 β 2 - 0,3 FR – 0,4 ES – 0,2 (SH + CRc) 2.- Cables de baja relajación CRs = 352 β 2 - 0,07 FR – 0,1 ES – 0.05 (SH + CRC) Donde: ES, SH, CRc=
Pérdidas de tensión por acortamiento elástico, retracción y fluencia del hormigón respectivamente.
FR =
Pérdida de tensión por fricción.
β 2 =
Factor de sobre tensión del acero, se recomienda usar la siguiente expresión:
β 2 =
σ S
0,7 ⋅ f PU
σS =
Tensión de los cables a la salida del gato.
fpu =
Resistencia última de los cables de pretensado. 59
La figura 30 muestra un esquema general de las pérdidas a las que esta sometido un elemento pretensado, ya sea en el hormigón como en el acero.
sfñflkasdfkjdsf Pérdidas instantáneas
Dependientes del tiempo
Acortamiento elástico del hormigón
Retracción y Fluencia del hormigón
PERDIDAS TOTALES
Pérdidas instantáneas
Dependientes del tiempo
Pérdida debido al Anclaje
Relajación del acero de alto límite elástico
Figura 30: Esquema de las pérdidas de pretensado
60
DISEÑO VIGA POSTENSADA ISOSTÁTICA 1.0 BASES DE DISEÑO:
´vjsdñlkjñsdlfkjs
Longitud de Cálculo de la Viga (m): Peso Específico del hormigón (t/m3) Resistencia del hormigón a los 28 dias
Lc := 27 γc := 2.5 f´c := 300
2.0 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA VIGA:
Espesor del alma (m): T := 0.1 Altura de la Viga (m): H := 1. Espesor Trapecio Inferior (m) E2I := 0.0 Espesor Trapecio Superior (m): E1S := 0. Espesor Ala Inferior (m) E1I := 0.2 Altura Ala Superior (m): E2S := 0.1 Ancho de Ala Inferior o Patín (m) BI := 0.4 Ancho de Ala Superior (m): BS := .70 Area de la Sección Transversal de la Viga (m2) Av := AT1 Av = 0.302
Determinación del Área y Posición del Centro de Gravedad ⋅ Y1 := E1I0.5
⋅ A 1 := E1IBI A 2 := ( BI + T) ⋅ 0.5⋅ E2
Y2 := E2I − E2I⋅
A 3 := T⋅ ( H − E1S − E2S − E2I − E1I)
Y3 :=
A 4 := ( BS + T) ⋅ 0.5⋅ E1S
H − E1S − E2S − E1I − E2I + E2I + E1I 2
Y4 := H − E1S − E2S + E1S⋅
5
∑
BS⋅ 2 + T 3⋅ (BS + T)
Y5 := H − E2S⋅ 0.5
A 5 := BS⋅ E2S AT1 :=
BI⋅ 2 + T + E1 3⋅ (BI + T)
5
Ai
SUM1 :=
i =1
Area de la Sección Transversal de la Viga (m2)
∑
A i⋅ Yi
i =1
Av := AT1
Av = 0.302
61
SUM1 YGS1:= H − YGI AT1 Posición del centro de Gravedad de la Viga (m) YGI1:=
hi := YGI
hi = 0.551
hs := −( YGS1)
hs = −0.449
i := 1.. 5 YG1i := ( YGI1− Yi)
2
3
E1I I1 := BI⋅ 12
(
)
2 2 3 BI + 4⋅ BI⋅ T + T
I2 := E2I ⋅
36⋅ ( BI + T)
( H − E1S − E2S − E1I − E2I) I3 := T⋅ 12
3
(
)
2 2 3 T + 4⋅ BS⋅ T + BS
I4 := E1S ⋅
36⋅ ( BS + T)
3
E2S I5 := BS⋅ 12
5
IG1 :=
∑
Ii + A i⋅ ( YG1i)
i =1
Inercia de la Viga (m4) WI1 :=
IG1 YGI1
WS1 :=
Iv := IG1
Iv = 0.036
IG1 YGS1
Módulos de Sección: (m3) Wi := WI1
Wi = 0.065
Ws := ( −WS) 1
Ws = −0.079
CARGAS SOBRE LA VIGA Peso Propio (t/ml):
Qpp := Av ⋅ γc
Sobrecarga permanente (t/ml):
Qpp = 0.755
Qcp := 0.25
Sobrecarga viva (t/ml):
Qs := 1.
MOMENTOS ACTUANTES Mpp :=
Qpp 2 ⋅ Lc 8
Mcp :=
Qcp 2 ⋅ Lc 8
Ms :=
Qs 2 ⋅ Lc 8
Momentos máximo actuante (ton-m). Mc1 := Mpp + Mcp + Ms
Mc1 = 201.386
Momento mínimo Actuante (ton-m) Mc2 := Mpp + Mcp
Mc2 = 92.036
62
3.0 TENSIONES ADMISIBLES: Tensiones una vez hecha la transmisión de preesfuerzo, después de que se produzcan las perdidas en el tiempo:
σ´ba := 0.45⋅ f´c
σ´ba = 135
(Kg/cm2)
σ´ba1 := 0.6⋅f´c
σ´ba1 = 180
(Kg/cm2)
Cuando solo actúan las cargas permanentes más el 25 % de la sobrecarga de uso. Cuando actúan las cargas permanentes más la sobrecarga de uso
(Kg/cm2)
σba := 1.6⋅ f´c
4.0 VERIFICACION DE LAS CONDICIONES NECESARIAS: −( σba + σ´ba) = −162.713
CN1 :=
( Mc1 − Mc2) ⋅ hs Iv⋅ 10
CN2 :=
CN1 = −137.684
( Mc2 − Mc1) ⋅ hi Iv⋅ 10
CN2 = −169.297
No verifica
Si se sube la resistencia del hormigón a 350 kg/cm2 Resistencia del hormigón a los 28 días
σ´ba := 0.45⋅ f´c
f´c := 350
σ´ba = 157.5
−( σba + σ´ba ) = −185.213 CN1 :=
( Mc1 − Mc2) ⋅ hs Iv⋅ 10
CN1 = −137.684
CN2 :=
( Mc2 − Mc1) ⋅ hi Iv⋅ 10
CN2 = −169.297
σba := 1.6⋅ f´c
63
