PEDRO BOARD Pedro Board desea adquirir una tabla de surf para practicar su deporte favorito en las playas de California. Lamentablemente, no podrá hacerlo antes de ocho meses debido a que está comenzando su año académico en la universidad. Sin embargo, para adquirir dicha tabla, Pedro se comprometió comprometió a pagar el 50 por ciento del valor de la producción de su fábrica de velas de Fun Boards proyectada para 1999. Dados los escasos conocimientos de Pedro en la materia, le ha pedido a usted que le ayude a proyectar las ventas de velas de Fun Boards, para lo cual se dispone de la siguiente información: Cuadro estadístico venta de velas
Año Venta
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
14
21
18
23
28
30
25
32
Por otra parte, para obtener el precio de venta de las velas, Pedro ha estimado las siguientes funciones de demanda y de costo:
Qd = 100 – 50 P CT = 300 + 196 Q Enfrentando un costo alternativo anual de 12 por ciento. Sin embargo, para asesorar a Pedro es necesario realizar la regresión de estimación de las ventas en base a la ecuación de una parábola:
a.-
Derive y determine las ecuaciones de regresión.
b.-
¿Cuál es la producción en unidades para 2002 y junio del 2003?
c.-
¿Cuánto le costará la tabla de surf hoy a Pedro?
d.-
¿Cuánto le costará la tabla de surf dentro de ocho meses más?
PE DRO BOARD EJERCICIO Nº 16: PEDRO BOARD 1/2 Pedro Board desea adquirir una tabla de surf para practicar su deporte favorito en las playas de California. Lamentablemente, no podrá hacerlo antes de ocho meses debido a que está comenzando su año académico en la universidad. Sin embargo, para adquirir dicha tabla, Pedro se comprometió a pagar el 50 por ciento del valor de la producción de su fábrica de velas de Fun Boards proyectada para el 2009. Dados los escasos conocimientos de Pedro en la materia, le ha pedido a usted que le ayude a proyectar las ventas de Fun Boards, para lo cual se dispone de la siguiente información: EJERCICIO Nº 16: PEDRO BOARD 2/2 Por otra parte, para obtener el precio de venta de las velas, Pedro ha estimado las siguientes funciones de demanda y de costo: Qd = 100 – 50 P CT = 300 + 196 Q enfrentando un costo alternativo anual de 12 por ciento. Sin embargo, para asesorar a Pedro es necesario realizar la regresión de estimación de las ventas en base a la ecuación de una parábola: Preguntas: 1. Derive y determine las ecuaciones de la regresión. 2. ¿Cuál es la producción en unidades para el año 2012 y Junio del 2013?. 3. ¿Cuánto le costaría la tabla de surf hoy a Pedro?. 4. ¿Cuánto le costará la tabla de surf dentro de ocho meses más?. Solución: Función : y = a + bx + cx2 1. Derivación de ecuaciones: f(a,b,c) = Σ(y – a – bx – cx2)2 -- Mínimos cuadrados 1/7 De 1, 2 y 3 se obtienen las siguientes ecuaciones: Solución: 2/7 Pasando algunos términos de las ecuaciones anteriores al segundo miembro, quedan de la siguiente forma: El sistema de ecuaciones queda reducido a las tres ecuaciones siguientes: Reemplazar los datos del Modelo de la Demanda. Luego obtener los valores a, b y c Solución: 3/7 Se construye el cuadro con los datos del Modelo de demandas, de acuerdo al sistema de ecuaciones presentadas anteriormente: Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones quedarán como incógnitas a, b y c: Solución: 4/7 Reemplazando estos valores obtenidos de a, b y c, la ecuación de progresión quedaría expresada de la siguiente forma. Y = 24.82 + 2.23 X – 0.18 X2 2. Producción proyectada: Año 2010 X = 4.5 Año 2012 X = 6.5 Producción para los años 2012 y 2013: Y2012 = 24.82 + 2.23(6.5) – 0.18(6.5)2 = 24.82 + 14.50 – 7.61 = 31.71 = 32 unidades Año 2011 X = 5.5 Año 2013 X = 7.5 Y2013 = 24.82 + 2.23(7.5) – 0.18(7.5)2 = 24.82 + 16.73 – 10.13 = 31.42 unidades Hasta Junio (1/2 año) = 31.42 unidades / año x 0.5 años = 15.71 unidades YJunio 2013 = 16 unidades Solución: 3. Valor de la tabla de surf: 5/7 Para estimar el costo de la tabla de surf se debe calcular el precio óptimo de venta de acuerdo con su función de demanda y costos: Qd = 100 – 50 P CT = 300 + 196 Q Precio que maximiza utilidades (U): U = IT - CT U = P*Q – CT U = P(100 – 50 P) – [300 + 196(100 – 50 P)] U = -50 P2 + 9,900 P – 19,900 Maximizando: P = $ 99 Solución: 3. Valor de la tabla de surf... 6/7 Luego de haber hallado el precio que maximice las utilidades tenemos: $ 99 * 32 unidades = $ 3,168, que corresponde al valor de la producción del 2009. Si Pedro se comprometía a pagar el 50 por ciento del valor de la producción del 2009, el valor de la tabla correspondería a $ 1,584: $ 3,168 / 2 = $ 1,584 Valor de la tabla de surf = $ 1,584 Solución: 4. Valor futuro de la tabla de surf: 7/7 Si la tasa anual es 12 por ciento, se debe proceder a calcular la tasa mensual y aplicar la fórmula básica de las matemáticas financieras:
rm = (1 + 0.12)1/2 – 1 = 0.95% Por consiguiente el Valor Futuro (VF) de la tabla de surf será: VF = $ 1,584 (1.0095)8 = $ 1,708 VF = $ 1,708 Solución: 4/8 Reemplazando estos valores obtenidos de a y b, la ecuación de progresión quedaría expresada de la siguiente forma. Y = 377 + 17.18 X Existe otra forma más rápida para determinar los valores de a y b para el caso de la ecuación de una recta: } Solución: 2. Producción para 2012 y 2013: Año 2009 X = 5.5 Año 2011 X = 7.5 Año 2010 X = 6.5 Año 2012 X = 8.5 5/8 Año 2013 X = 9.5 Producción para los años 2012 y 2013: Y2012 = 377 + 17.18(8.5) = 377 + 146 = 523 unidades Y2013 = 377 + 17.18(9.5) = 377 + 163 = 540 unidades Mensual = 540 unidades / 12 meses = 45 unidades / mes Hasta Abril (4 m eses) = 45 unidades / mes x 4 meses = 180 unidades YAbril 2013 = 180 unidades Solución: 3. Venta monetaria para los periodos anteriores: Función de Demanda (Q): Qd = 2,000 P + 60 I + 0.02 Pb + 0.04 Pu Qd = - 2,000 P + 60(3,000) + 0.02(1’500,000) + 0.04(625,000) Qd = - 2,000 P + 235,000 6/8 Función de Costos: CT = CF + CV CT = 2’000,000 + 30 Q + 200 H CT = 2’000,000 + 30 Q + 200(600) CT = 2’120,000 + 30 Q
Solución: 3. Venta monetaria para los periodos anteriores... Precio que maximiza utilidades (U): U = IT - CT U = P*Q – CT 7/8 U = P(-2,000 P + 235,000) – [2’120,000 + 30( -2,000 P + 235,000)] U = -2,000 P2 + 235,000 P – (2’120,000 – 60,000 P + 7’050,000) U = -2,000 P2 + 235,000 P – 2’120,000 + 60,000 P - 7’050,000 U = -2,000 P2 + 295,000 P – 9’170,000 Maximizando: P = $ 73.75 Solución: 3. Venta monetaria para los periodos anteriores... Valor de la producción: 8/8 PE DRO BOARD EJERCICIO Nº 16: PEDRO BOARD 1/2 Pedro Board desea adquirir una tabla de surf para practicar su deporte favorito en las playas de California. Lamentablemente, no podrá hacerlo antes de ocho meses debido a que está comenzando su año académico en la universidad. Sin embargo, para adquirir dicha tabla, Pedro se comprometió a pagar el 50 por ciento del valor de la producción de su fábrica de velas de Fun Boards proyectada para el 2009. Dados los escasos conocimientos de Pedro en la materia, le ha pedido a usted que le ayude a proyectar las ventas de Fun Boards, para lo cual se dispone de la siguiente información: EJERCICIO Nº 16: PEDRO BOARD 2/2 Por otra parte, para obtener el precio de venta de las velas, Pedro ha estimado las siguientes funciones de demanda y de costo: Qd = 100 – 50 P CT = 300 + 196 Q enfrentando un costo alternativo anual de 12 por ciento. Sin embargo, para asesorar a Pedro es necesario realizar la regresión de estimación de las ventas en base a la ecuación de una parábola: Preguntas: 1. Derive y determine las ecuaciones de la regresión. 2. ¿Cuál es la producción en unidades para el año 2012 y Junio del 2013?. 3. ¿Cuánto le costaría la tabla de surf hoy a Pedro?. 4. ¿Cuánto le costará la tabla de surf dentro de ocho meses más?. Solución: Función : y = a + bx + cx2 1. Derivación de ecuaciones: f(a,b,c) = Σ(y – a – bx – cx2)2 -- Mínimos cuadrados 1/7 De 1, 2 y 3 se obtienen las siguientes ecuaciones: Solución: 2/7 Pasando algunos términos de las ecuaciones anteriores al segundo miembro, quedan de la siguiente forma: El sistema de ecuaciones queda reducido a las tres ecuaciones siguientes: Reemplazar los datos del Modelo de la Demanda. Luego obtener los valores a, b y c Solución: 3/7 Se construye el cuadro con los datos del Modelo de demandas, de acuerdo al sistema de ecuaciones presentadas anteriormente: Reemplazando los valores obtenidos en el sistema de ecuaciones quedarán como incógnitas a, b y c:
Solución: 4/7 Reemplazando estos valores obtenidos de a, b y c, la ecuación de progresión quedaría expresada de la siguiente forma. Y = 24.82 + 2.23 X – 0.18 X2 2. Producción proyectada: Año 2010 X = 4.5 Año 2012 X = 6.5 Producción para los años 2012 y 2013: Y2012 = 24.82 + 2.23(6.5) – 0.18(6.5)2 = 24.82 + 14.50 – 7.61 = 31.71 = 32 unidades Año 2011 X = 5.5 Año 2013 X = 7.5 Y2013 = 24.82 + 2.23(7.5) – 0.18(7.5)2 = 24.82 + 16.73 – 10.13 = 31.42 unidades Hasta Junio (1/2 año) = 31.42 unidades / año x 0.5 años = 15.71 unidades YJunio 2013 = 16 unidades Solución: 3. Valor de la tabla de surf: 5/7 Para estimar el costo de la tabla de surf se debe calcular el precio óptimo de venta de acuerdo con su función de demanda y costos: Qd = 100 – 50 P CT = 300 + 196 Q Precio que maximiza utilidades (U): U = IT - CT U = P*Q – CT U = P(100 – 50 P) – [300 + 196(100 – 50 P)] U = -50 P2 + 9,900 P – 19,900 Maximizando: P = $ 99 Solución: 3. Valor de la tabla de surf... 6/7 Luego de haber hallado el precio que maximice las utilidades tenemos: $ 99 * 32 unidades = $ 3,168, que corresponde al valor de la producción del 2009. Si Pedro se comprometía a pagar el 50 por ciento del valor de la producción del 2009, el valor de la tabla correspondería a $ 1,584: $ 3,168 / 2 = $ 1,584 Valor de la tabla de surf = $ 1,584 Solución: 4. Valor futuro de la tabla de surf: 7/7 Si la tasa anual es 12 por ciento, se debe proceder a calcular la tasa mensual y aplicar la fórmula básica de las matemáticas financieras: rm = (1 + 0.12)1/2 – 1 = 0.95% Por consiguiente el Valor Futuro (VF) de la tabla de surf será: VF = $ 1,584 (1.0095)8 = $ 1,708 VF = $ 1,708
