Copias del Profesor Hernan Dario Rendon (Q.E.P.D)
EJEMPLO 1 Variabilidad desconocida, método de la desviación, un límite de especificación- forma 2
Dete Determ rmin ine e un plan plan de mues muestr treo eo por por vari variab able les, s, para para un lími límite te supe superi rior or de espec especifi ifica cació ción n de 28, dado que un lote lote de 200 200 artícu artículos los es enviado enviado para para inspección. Se va a usar el nivel de inspección IV, inspección normal y AQL = 1%. Se quiere saber el comportamiento con respecto al criterio de aceptación. •
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 200
•
•
La letra clave es H
En la tabla B-3, se obtiene: letra clave
tamaño de la muestra
AQL = 1 %
H
n = 20
M = 2.95
De la tabla anterior se determina que el tamaño de la muestra es n =20. por tanto para hallar X y S, se tienen las formulas 20
20
∑ ( X − X )
∑ X i X =
•
20
= 23
i
S =
i =1
= 1 .4
20 − 1
Luego de tener los resultados de X y S, que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación
Ls = 28
•
i =1
2
X = 23
S = 1.4
Q s
=
Ls
− X
S
= 3.57
En la tabla B – 5, después de tener Qs y el tamaño de la muestra n se puede hallar la fracción defectuosa del lote Ps (en porcentaje).
n = 20
Qs = 3.57
Ps = 0.0
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•
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Ps y M, donde M = 2.95 Y Ps =0, de la siguiente manera.
Si Ps
≤ M
se acepta el lote 0.0 ≤ 2.95 entonces acepta el lote
se
EJEMPLO 2 Variabilidad desconocida, método de la desviación, dos límites de especificación- forma 2
Determine un plan de muestreo por variables. Con la información siguiente: tamaño de lote N = 600, usando un nivel de inspección IV, inspección normal y AQL = 2.5 %, para un límite superior de especificación Ls = 30 y un límite inferior de especificación Li = 17. •
•
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 600
En la tabla B-3, se obtiene: letra tamaño de la clave muestra J
•
La letra clave es J
n = 30
M = 5.86
De la tabla anterior se de determina que el tamaño de la muestra es n =30. por tanto para hallar X y S, se tienen las formulas, la X esta predeterminada. 30
30
∑ ( X
∑ X i X =
•
AQL = 2.5 %
i =1
30
i
= 21
S =
− X
i =1
30 − 1
)
2
= 3.1
Luego de tener los resultados de X y S, que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación, y el índice de calidad inferior Qi para el límite inferior de especificación.
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Li = 17
Ls = 30
•
X
= 21
Qi
=
X − Li S
=1.2903
Qs
=
Ls − X S
= 2.9032
S = 3.1
En la tabla B – 5, después de tener Qs y Qi, y el tamaño de la muestra n se puede hallar la fracción defectuosa del lote Ps y el Pi (en porcentaje).
Qi = 1.2903
Pi = 9.720
Qs = 2.9032
Ps = 0.087
n = 30
•
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Ps, Pi y M por ser de la forma 2 y AQL iguales, donde M = 5.86 Y Ps y Pi de la anterior tabla, de la siguiente manera.
Si Ps + Pi ≤ M se acepta el lote 9 .720 + 0 .087 ≤ 5 .86 9.720 +0.087 ≤ 5.86 9.807 ≤5.86
como no se cumple entonces se rechaza el lote
EJEMPLO 3 Variabilidad desconocida, método de la desviación, dos límites de especificación- forma 2 y diferentes AQL
Determine un plan de muestreo por variables, dada la siguiente información: tamaño de lote 500, usando un nivel de inspección IV, inspección normal y AQL diferentes AQLi = 1.5% y AQLs = 1.0%, para un límite superior de especificación Ls = 30 y un límite inferior de especificación Li = 17. •
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 500
La letra clave es I
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•
En la tabla B-3, se obtiene: letra tamaño de la clave muestra I
•
AQLs = 1.0 %
AQLi = 1.5%
Ms = 2.86
Mi = 3.97
n = 25
De la tabla anterior se determina que el tamaño de la muestra es n =25. por tanto para hallar X y S, se tienen las formulas, la X esta predeterminada. 25
25
∑ ( X
∑ X i X =
•
i =1
25
i
= 22
S =
i =1
)
2
= 2.5
25 − 1
Luego de tener los resultados de X y S, que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación, y el índice de calidad inferior Qi para el límite inferior de especificación.
Li = 17
Ls = 30
•
− X
X
= 22
Qi
=
X − Li S
= 2 .0
Qs
=
Ls − X S
= 3 .2
S = 2.5
En la tabla B – 5, después de tener Qs y Qi, y el tamaño de la muestra n se puede hallar la fracción defectuosa del lote Ps y el Pi (en porcentaje).
Qi = 2.0
Pi = 1.91
Qs = 3.2
Ps = 0.014
n = 25
•
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Ps, Pi y M por ser de la forma 2 y AQL diferentes, donde M = 5.86 Y Ps y Pi de la anterior tabla, de la siguiente manera.
Teniendo en cuenta tres criterios, para aceptar el lote debe cumplir con los tres criterios. Aceptar el lote si: •
Si Ps + Pi ≤ max( Ms, Mi ) el máx. (2.86, 3.97)
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0.014 + 1.91 ≤ 3.97 1.924 ≤ 3.97 si se cumple •
Si Ps ≤ Ms
0.014 ≤ 2.86 •
se cumple
Si Pi ≤ Mi
1.91 ≤3.97
se cumple
Por tanto como se cumplen los tres criterios se acepta el lote
EJEMPLO 4 Variabilidad desconocida, método de la desviación, un límite de especificación- forma 1
Determine un plan de muestreo por variables, con un límite superior de especificación Ls = 28, dada la siguiente información: tamaño del lote 200, usando un nivel de inspección IV, inspección normal y AQL = 1.0% •
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 200
•
•
La letra clave es H
En la tabla B-1, se obtiene: letra clave
tamaño de la muestra
AQL = 1.0 %
H
n = 20
K = 1.82
De la tabla anterior se determina que el tamaño de la muestra es n =20. por tanto para hallar X y S, se tienen las formulas, la X esta predeterminada. 20
20
∑ ( X
∑ X
i
X =
•
i =1
20
i
= 21
S =
− X
i =1
20 − 1
)
2
=2
Luego de tener los resultados de X y S, que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación
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Ls = 28
•
X
Q s
S = 2.0
= 21
=
L s
− X
S
= 3 .5
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Qs y k, donde k = 1.82 Y Qs =3.5, de la siguiente manera.
Si Qs
≥ k
se acepta el lote 3.5 ≥ 1.82 entonces se acepta el lote
EJEMPLO 5 Variabilidad desconocida, método del recorrido, un límite de especificaciónforma 2
Determine un plan de muestreo por variables, método del recorrido, con un límite superior de especificación Ls = 28, dada la siguiente información: tamaño del lote 600, usando un nivel de inspección IV, inspección normal y AQL = 1.0% •
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 600
•
•
La letra clave es J
En la tabla C-3, se obtiene: letra clave
tamaño de la muestra
AQL = 1.0 %
Factor C
J
n = 35
M = 2.82
2.349
De la tabla anterior se determina que el tamaño de la muestra es n =35. por tanto para hallar X y R , se tienen las formulas, la X y R están predeterminadas. r
35
∑ R
∑ X i X =
i =1
35
i
= 22
R =
i =1
r
= 4. 5
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•
Luego de tener los resultados de X y R , que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación
Ls = 28
•
X
= 22
C = 2.349
=
Ls
− X
R
= 3.13
C
En la tabla C – 5, después de tener Qs y el tamaño de la muestra n se puede hallar la fracción defectuosa del lote Ps (en porcentaje).
n = 35 •
Q s
R = 4.5
Qs = 3.13
Ps = 0.024
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Qs y M, donde M = 2.82 Y Qs =3.13, de la siguiente manera.
Si Ps
M se acepta el lote 0.024 ≤ 2.82 entonces se ≤
acepta el lote
EJEMPLO 6 Variabilidad desconocida, método del recorrido, dos límites de Especificación - forma 2
Determine un plan de muestreo por variables. Con la información siguiente: tamaño de lote N = 600, usando un nivel de inspección IV, inspección normal y AQL = 1.5 %, para un límite superior de especificación Ls = 27 y un límite inferior de especificación Li = 18. •
•
De la tabla A-2 se obtiene: Con un tamaño de lote N = 600
En la tabla C-3, se obtiene: letra tamaño de la clave muestra J
n = 35
La letra clave es J
AQL = 1.5 %
Factor C
M = 3.90
2.349
Copias del Profesor Hernan Dario Rendon (Q.E.P.D)
•
De la tabla anterior se determina que el tamaño de la muestra es n =35. por tanto para hallar X y R , se tienen las formulas, la X y R están predeterminadas. r
35
∑ R
∑ X i X =
•
i =1
35
i
R =
= 22
i =1
= 4. 8
r
Luego de tener los resultados de X y R , que se observan en la tabla anterior, se calcula el índice de calidad superior Qs para el limite superior de especificación, y el índice de calidad inferior Qi para el límite inferior de especificación.
•
Qs
Ls = 27 X
= 22
C = 2.349
=
Ls
− X
R
R = 4.8
= 2 .45
C
Li = 18 Qi
•
=
X − Li R
= 1.96
C
En la tabla C – 5, después de tener Qs y Qi, y el tamaño de la muestra n se puede hallar la fracción defectuosa del lote Ps y el Pi (en porcentaje).
Qi = 1.96
Pi = 2.16
Qs = 2.45
Ps = 0.473
n = 35
•
Luego el criterio de aceptación se realiza teniendo en cuenta Ps, Pi y M por ser de la forma 2 y AQL iguales, donde M = 3.90 Y Ps y Pi de la anterior tabla, de la siguiente manera.
Si Ps + Pi ≤ M se acepta el lote 0.473 + 2.16 ≤ 3.90 2.633 ≤ 3.90 como se cumple entonces se
acepta el lote
EJEMPLO 7
Copias del Profesor Hernan Dario Rendon (Q.E.P.D)
Variabilidad Desconocida. Método del recorrido. Forma 1. Un límite de especificación. • •
• • •
•
Con el tamaño de lote hallar la letra clave en la tabla A-2 Hallar el tamaño muestral n y el valor k en la tabla C-1 o C-2, entrando con la letra clave y el AQL Fijar el limite de especificación, según el caso LS o LI Tomar una muestra de tamaño n y calcular y . Calcular: para LS: ( LS - ) / Para LI: ( - LI) / Criterio: para LS aceptar si ( LS - ) / ≥ k Para LI Aceptar si ( - LI) / ≥ k
Ejemplo: Determine un plan de muestreo por variables. Variabilidad desconocida, método del recorrido, forma K y un límite de especificación, dada la siguiente información: Tamaño del lote 600, nivel de inspección normal, AQL = 1% para ambos limites. • • • • • • •
Letra clave J En la tabla C-1, con AQL = 1% y letra J se hallan: n = 35, k = 0.791 Si LS = 27 Se extrae una muestra de n = 35 y se calculan y . Si = 23 y = 4.8 Se calcula ( LS - ) / = (27 – 23) / 4.8 = 0.833 Se acepta el lote puesto que ( LS - ) / ≥ k EJEMPLO 8 Variabilidad Conocida, Método de la desviación. Forma 2. Un límite de especificación.
• •
• • •
•
Con el tamaño de lote hallar la letra clave en la tabla A-2 Hallar el tamaño muestral n, el valor M y v en la tabla D-3, entrando con la letra clave y el AQL Fijar el limite de especificación, según el caso LS o LI Tomar una muestra de tamaño n y calcular Calcular: para LS: Qs = ( LS - ) v / σ` Para LI: ( - LI) v / σ` Hallar para LS =Ps% (tabla normal P(Z ≥ Qs))
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•
Para LI = Pi% (tabla normal P (Z ≤ - Qi)) Criterio para LS : Aceptar si Ps% ≤ M Para LI : Aceptar si Pi% ≤ M
Ejemplo: Determine un plan de muestreo por variables. Variabilidad conocida, método de la desviación, forma M y limite superior de especificación, dada la siguiente información: Tamaño de lote 900, nivel de inspección normal, AQL = 0.4%. σ`= 3.8, LS = 37. • •
• • • •
Letra clave K En la tabla D-3, con AQL = 0.4% y letra k se hallan: n = 10, M = 1.14 y v = 1.054 Se extrae una muestra de n = 10 y se calcula = 31.2 Se calcula Qs = ( 37 – 31.2)*1.054 / 3.8 = 1.61 Ps% = P(Z ≥ Qs) = 1 - P(Z ≤ 1.61) = 5.37% Se rechaza el lote puesto que Ps% no es menor o igual que M EJEMPLO 9
Variabilidad Conocida. Método de la desviación. Forma 2. Dos limites de especificación e igual AQL. • •
• • •
•
•
Con el tamaño de lote hallar la letra clave en la tabla A-2 Hallar el tamaño muestral n y los valores M y v en la tabla D-3, entrando con la letra clave y el AQL Fijar los limites de especificación, LS y LI Tomar una muestra de tamaño n y calcular Calcular: para LS: Qs = ( LS - ) v / σ` Para LI: ( - LI) v / σ` Hallar para LS =Ps% (tabla normal P(Z ≥ Qs)) Para LI = Pi% (tabla normal P (Z ≤ -Qi)) Criterio Aceptar el lote si Ps% + Pi% ≤ M
Ejemplo: Determine un plan de muestreo por variables. Variabilidad conocida, método de la desviación, forma M y dos limites de especificación, dada la siguiente información: Tamaño de lote 200, nivel de inspección normal, AQL = 1.5%. σ`= 3.8, LS = 36 y LI = 25. •
Letra clave K
Copias del Profesor Hernan Dario Rendon (Q.E.P.D)
•
• •
• • •
En la tabla D-3, con la letra H y AQL = 1.5 %, se hallan: n = 8, M = 3.68 y v = 1.069 Se extrae una muestra de n = 8 y se calcula = 31.3 Se calcula Qs = ( 36 – 31.3)*1.069 / 3.8 = 1.32 Y Qi = (31.3 – 25)*1.069 / 3.8 = 1.77 Ps% = P(Z ≥ Qs) = 1 - P(Z ≤ 1.32) = 9.34% Pi% = P(Z ≤ -Qi) = P(Z ≤ -1.77) = 3.84% Se rechaza el lote puesto que Ps% + Pi% no es menor o igual que M EJEMPLO 10
Variabilidad Conocida. Método de la desviación. Forma 2. Dos limites de especificación y diferentes AQL • •
• • •
•
•
Con el tamaño de lote hallar la letra clave en la tabla A-2 Con la letra clave y los AQls y AQLi, hallar n (en este caso se toma el mayor de los n) en la tabla D-3 Fijar los limites de especificación, LS y LI Tomar una muestra de tamaño n y calcular Calcular: para LS: Qs = ( LS - ) v / σ` Para LI: Qi = ( - LI) v / σ` Hallar para LS =Ps% (tabla normal P(Z ≥ Qs)) Para LI = Pi% (tabla normal P (Z ≤ -Qi)) Criterio Aceptar el lote si Ps% ≤ Ms, Pi% ≤ Mi y Ps% + Pi% ≤ máximo (Ms,Mi)
Ejemplo: Determine un plan de muestreo por variables. Variabilidad conocida, método de la desviación, forma M y dos limites de especificación, dada la siguiente información: Tamaño de lote 1500, nivel de inspección normal, AQLs = 1.5%. AQLi = 2.5% σ`= 3.8, LS = 38 y LI = 22. • •
• •
• • •
Letra clave M En la tabla D-3, con la letra M y AQLi = 2.5 % y AQLs = 1.5% se hallan: n = 19 y n = 22, por lo tanto se toma n = 22. Ms = 3.28, Mi = 4.98 y v = 1.024 Se extrae una muestra de n = 22 y se calcula = 29.9 Se calcula Qs = ( 38 – 29.9)*1.024 / 3.8 = 2.18 Y Qi = (29.9 – 22)*1.024 / 3.8 = 2.12 Ps% = P(Z ≥ Qs) = 1 - P(Z ≤ 2.18) = 1.46% Pi% = P(Z ≤ -Qi) = P(Z ≤ -2.12) = 1.70% Se acepta el lote puesto que cumple con las tres condiciones
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EJEMPLO 11 Variabilidad Conocida. Método de la desviación. Forma K. Un límite de especificación. • •
• • •
•
Con el tamaño de lote hallar la letra clave en la tabla A-2 Hallar el tamaño muestral n y el valor k en la tabla D-1 o D-2, entrando con la letra clave y el AQL Fijar el limite de especificación, LS o LI Tomar una muestra de tamaño n y calcular Calcular: para LS: ( LS - ) / σ` Para LI: ( - LI) / σ` Criterio: para LS aceptar si ( LS - ) / σ` ≥ k Para LI Aceptar si ( - LI) / σ` ≥ k
Ejemplo: Determine un plan de muestreo por variables. Variabilidad conocida, método de la desviación, forma k y limite superior de especificación, dada la siguiente información: Tamaño de lote 120000, nivel de inspección normal, AQL = 2.5% σ`= 3.8, LS = 39 Letra clave P En la tabla D-1, con AQL = 2.5 % y letra clave P se hallan: n = 61 y K = 1.69 Se extrae una muestra de n = 61 y se calcula = 30.8 Se calculan: ( LS - ) / σ` = (39-30.8) / 3.8 = 2.15 Criterio: se acepta el lote puesto que ( LS - ) / σ` ≥ k • • • • •
