Ejemplo eventos independientes y dependientes
Eventos Independientes Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S, Se dice que A y B son independientes si:
P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A. Lo anterior es equivalente a lo siguiente : A y B son eventos independientes si P(A ∩ ) = ()()
Ejemplo En una caja hay 10 baterías de las cuales 4 están en buen estado. Se repite dos veces el siguiente ensayo: extraer una batería al azar revisar su estado y devolverla a la caja.(muestreo con reemplazo) a) Encontrar la probabilidad de que en ambos intentos obtenga una batería en buen estado.
se
Sean los eventos:
A: La primera batería que se toma de la caja está en buen estado B: La segunda batería que se toma de la caja esta en buen estado.
Ejemplo La primera batería se toma de la caja y se devuelve , entonces el evento B no es afectado por el evento A, por lo tanto son independientes .
P(A∩B)= P(A)P(B)= 0,4*0,4=0,16 b)Calcular la probabilidad que en los dos intentos se obtenga al menos una batería en buen estado
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0,4+0,4-0,16=0,64
Regla multiplicativa de la Probabilidad Si en un experimento pueden ocurrir los eventos Ay B entonces : P(A∩B)=P(B)P(A/B), siempre que P(A)>0 Como los eventos A∩B y B∩A son equivalentes De la definición anterior también se puede deducir : P(A∩B)=P(B∩A)=P(A)P(B/A) Es decir no importa que evento se considera como A ni como B La regla multiplicativa puede extenderse a mas de dos eventos Sean A,B,C Eventos cualesquiera de S, entonces : P(A∩B∩ C) P(A)P(B/A)P(C/A ∩B) =
Regla multiplicativa de la Probabilidad Si en un experimento 2 ,… , entonces ;
puede
ocurrir
los eventos
1 ,
P( 1 ∩ 2 ∩ ⋯ ∩ )=P( 1 )P( 2 / 1 )P( 3 / 1 ∩ 2 )⋯P( / 1 ∩ 2 ∩ ⋯ ∩ −1 )
Si los eventos 1 , 2 ,… , son independientes entonces: P( 1 ∩ 2 ∩ ⋯ ∩ )=P( 1 )(2 )…( )
Ejemplo: En una caja hay 10 baterías de las cuales 4 están en buen estado. Se extraen al azar dos baterías sin devolverlas a la caja.(muestreo sin reemplazo) Calcule la probabilidad que; a) Ambas baterías estén en buen estado b) Solamente una batería este en buen estado c) Al menos una batería este en buen estado d) Ninguna batería este en buen estado
Ejemplo Sean los eventos: A: La primera batería que se toma de la caja esta en buen estado B: La segunda batería que se toma de la caja esta en buen estado Al tomar la primera batería de la caja y no devolverla , el evento B es afectado por el evento A, por lo tanto no son eventos independientes
Ejemplo a) La probabilidad de que ambas baterías estén en buen estado P(A∩B) como A y B no son independientes entonces : 4
3
P(A ∩ B)=P(A)P(B/A)=( )( ) =
2
=0,1333 10 9 15 b) La probabilidad que una batería este en buen estado o la otra en mal estado: P(A ∩ Bc)+P(AC ∩B)=P(A)P(Bc /A)+P(Ac)P(B/Ac) 4
6
10
9
=( )
+(
6
4
8
9
15
)( ) =
10
=0,533
Los eventos que solo la primera batería este en buen estado o solamente la segunda batería este en buen estado son excluyentes, por tanto solo es la suma en este caso.
Ejemplo c)La probabilidad de que al menos una este en buen estado: P(AUB)= P(A)+P(B)- P(A ∩B) = 0,4+0,4-0,13333=0,6666 d) La Probabilidad de que ninguna este en buen estado P((AUC)c )=1-P(AUB)=1-0,6666=0,3333
