EJEMPLO DE MÉTODO SIMPLEX Problema:
Electra produce dos clases de motores eléctricos, cada uno en una línea de producción aparte. Las capacidades diarias de las dos líneas son 600 y 750 motores respectivamente. El motor tipo 1 usa 10 unidades de cierto tipo de componente electrónico, y el motor tipo 2 usa 8 unidades del mismo componente. El proveedor de dicho componente puede suministrar 8000 piezas por día. Las utilidades son 60 Bs por cada motor de tipo 1 y 40 Bs por cada motor de tipo 2. Determine la producción diaria óptima. Solución:
Variables:
X1: motores tipo 1
X2: motores tipo 2
Restricciones: Línea A: X1 ≤ 600 Línea B: X2 ≤ 750 Componente electrónico: 10X 1 + 8X2 ≤ 8000 No negatividad: X 1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Función objetivo:
Maximizar Z = 60X 1 + 40X2
Método de solución: Simplex Z - 60X1 - 40X2 = 0 X1 + S1 = 600 X2 + S2 = 750 10X1 + 8X2 + S3 = 8000 Matriz inicial: V. Básica Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución Z 1 -60 -40 0 0 0 0 S1 0 1 0 1 0 0 600 S2 0 0 1 0 1 0 750 S3 0 10 8 0 0 1 8000 Variables básicas: S 1, S2, S3 (Inicialmente se toman las de holgura) Variables no básicas: X 1, X2 Selección de la variable de entrada aplicando la condición de optimalidad. V. Básica Z S1 S2 S3
Z 1 0 0 0
X1 X2 -60 -40 1 0 0 1 10 8
S1 0 1 0 0
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 0 600 750 8000
Columna pivote Variable de entrada: X1 Selección de la variable de salida aplicando la condición de factibilidad.
Entra X1 1 0 10
V. Básica S1 S2 S3 Variable de salida:
Z 1 0 0 0
X1 X2 -60 -40 1 0 0 1 10 8
Renglón pivote
ó =
S1 0 1 0 0
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 0 600 750 8000
ó
=
ó
=
0 +
ଵ
+0
ଶ
+
ଵ
+0
ଶ
+0
ଷ
+ 600
ó
=0 +
ଵ
+0
ଶ
+
ଵ
1 +0
ଶ
+0
ଷ
+ 600
− ሾሺ
ó
= − 60 = − 60
ሻ ሺ
− 40 ଶ + 0 ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 0 − ሾሺ−60ሻ ሺ0 + ଵ + 0 ଶ + ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 600ሻሿ ଵ − 40 ଶ + 0 ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 0 + ሺ0 + 60 ଵ + 0 ଶ + 60 ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 36000ሻ ó = + 0 ଵ − 40 ଶ + 60 ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 36000
ଶ
ଷ
ሻሿ
ó
ଵ
= 0 + 0 ଵ + ଶ + 0 ଵ + ଶ + 0 ଷ + 750 − ሾሺ0ሻ ሺ0 + ଵ + 0 ଶ + ó ଶ = 0 + 0 ଵ + ଶ + 0 ଵ + ଶ + 0 ଷ + 750 + ሺ0 + 0 ଵ + 0 ଶ + 0 ó ଶ = 0 + 0 ଵ + ଶ + 0 ଵ + ଶ + 0 ଷ + 750
ó
ó
600/1 = 600 750/0 8000/10 = 800
Elemento pivote ó
ó
600 750 8000
S1
V. Básica Z S1 S2 S3
ó ó
Razón
Solución
+0 ଵ +0
ଵ
+0 ଶ +0
ଶ
+ 600ሻሿ ଷ + 0ሻ
ଷ
= 0 + 1 0 ଵ + 8 ଶ + 0 ଵ + 0 ଶ + ଷ + 8000 − ሾሺ10ሻ ሺ0 + ଵ + 0 ଶ + ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 600ሻሿ ଷ = 0 + 10 ଵ + 8 ଶ + 0 ଵ + 0 ଶ + ଷ + 8000 − 0 − 10 ଵ − 0 ଶ − 10 ଵ − 0 ଶ − 0 ଷ − 6000 ó ଷ = 0 + 0 ଵ + 8 ଶ − 10 ଵ + 0 ଶ + ଷ + 2000
Matriz luego de la primera iteración: V. Básica Z X1 S2 S3
Z 1 0 0 0
X1 0 1 0 0
X2 S1 -40 60 0 1 1 0 8 -10
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 36000 600 750 2000
Variables básicas: X 1, S2, S3 Variables no básicas: S 1, X2 Selección de la variable de entrada aplicando la condición de optimalidad. V. Básica Z X1 S2 S3
Z 1 0 0 0
X1 0 1 0 0
X2 S1 -40 60 0 1 1 0 8 -10
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
Solución 36000 600 750 2000
Columna pivote Variable de entrada:
X2
Selección de la variable de salida aplicando la condición de factibilidad. Entra V. Básica Solución Razón X2 X1 0 600 600/0 S2 1 750 750/1 = 750 S3 8 2000 2000/8 = 250 Variable de salida: S3
V. Básica Z X1 S2 S3
Z 1 0 0 0
X1 0 1 0 0
X2 S1 -40 60 0 1 1 0 8 -10
Renglón pivote
ó ó = ó
ó
ó
ó
ଵ
ଶ
ó
=
+0
+0
ଵ
− 40
ଵ
ଵ
+8
+
ଶ
ଶ
− 10
− 1,25
ଵ
+0
8 +0
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
+ 60
ଵ
+0
ଶ + 60 ó
+
ଷ
+ 2000
+ 0,125
− ሾሺ
ଵ − 40
=0 + ଵ+0 ó ଵ =0 +
0 +0
=0 +0
ó
=
Solución 36000 600 750 2000
ó
=
=
S3 0 0 0 1
Elemento pivote
ó ó
S2 0 0 1 0
+ 250
ଷ
ሻ ሺ ଶ
+0
ଷ
+ 36000 − ሾሺ−40ሻ ሺ0 + 0
ଵ
+
ଶ
− 1,25
ଵ
ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 36000 + ሺ0 + 0 ଵ + 40 ଶ − 50 = + 0 ଵ + 0 ଶ + 10 ଵ + 0 ଶ + 5 ଷ + 46000
+ ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 600 − ሾሺ0ሻ ሺ0 + 0 ଵ + ଶ − 1,25 ଵ + 0 ଶ + ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 600 + ሺ0 + 0 ଵ + 0 ଶ + 0 ó ଵ = 0 + ଵ + 0 ଶ + ଵ + 0 ଶ + 0 ଷ + 600
ଶ
ሻሿ
ó +0
+ 0,125
ଶ
ଵ+0
+0 ଵ+0
ଵ
ଶ +5
ଷ
+ 250ሻሿ
ଷ + 10000ሻ
+ 0,125 ଷ + 250ሻሿ ଶ + 0 ଷ + 0ሻ
ଶ
= 0 + 0 ଵ + ଶ + 0 ଵ + ଶ + 0 ଷ + 750 − ሾሺ1ሻ ሺ0 + 0 ଵ + ଶ − 1,25 ଵ + 0 ଶ + 0,125 ଷ + 250ሻሿ ଶ = 0 + 0 ଵ + ଶ + 0 ଵ + ଶ + 0 ଷ + 750 + 0 + 0 ଵ − ଶ +, 1,25 ଵ + 0 ଶ − 0,125 ଷ − 250 ó ଶ = 0 + 0 ଵ + 0 ଶ + 1,25 ଵ + ଶ − 0,125 ଷ + 500
Matriz luego de la segunda iteración: V. Básica Z X1 S2 X2
Z 1 0 0 0
X1 0 1 0 0
X2 S1 S2 S3 Solución 0 10 0 5 46000 0 1 0 0 600 0 1,25 1 -0,125 500 1 -1,25 0 0,125 250
Cuando en el renglón Z los coeficientes son positivos, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Variable Valor óptimo Z 46000 X1 600 X2 250
