Ejemplo de aplicación del método de Mason

Ejempl de aplicación del método de Mason La finalidad de represe tar un sistema de control en DFS o B no sólo es proveer una representación gráfica de las relaciones entr e variables y subsistemas procedentes de un conjunto de ecuaciones; tambi én debe hacer posible obtener una fun ión de transferencia equivalente (en fo ma de función racional formada por un único numerador y un único denomina dor, ya sea en forma de bloque o de rama) a la que por su importancia se le ll mará función de transferencia de laz o cerrado y que está representada por (s ). Para obtener la función e transferencia de lazo cerrado T (s ) de un sistema, se empleará el método de ason y posteriormente la simplificación de bloques por medio del álgebra corre pondiente El método de Mason es un procedimiento mediante el c al es posible determinar funciones de transferencia de lazo cerrado T (s ) de istemas SISO, pero también puede aplicarse a sistemas MIMO para obtener las correspondientes funci nes de transferencia de lazo cerr ado T ij ij (s ). ). El procedimiento de Mason se define con la ecuación

donde: P i i = ganancia de la trayectoria i considerada ∆= determinante ∆ = cofactor asociado a la trayectoria i T (s ) = función de transfe rencia de lazo cerrado Para lograr utilizar la ecuación de Mason a un determinado DF , o bien, a un DB (sin ser convertido a DFS), a continuación se definen los siguientes términos, que se aplic rán simultáneamente al DFS mostrado en la figura siguiente:

Trayectoria Una trayectoria es cual uier recorrido unidireccional que va de sde la entrada hasta la salida; al recor erla, no es posible pasar por un mism nodo más de una vez (esto es para vitar recorridos cerrados que se definir n luego como ciclos). El número y el orden asignados a cada trayectoria son a rbitrarios. Para 1

el ejemplo considerad , las figuras dadas muestran las tr s trayectorias existentes en el DFS de la figura del ejemplo.

Ganancia de trayectori a P i Es el producto de las funciones de transferencia individuales qu e forman cada trayectoria. Para el caso considerado se tienen tres ganancias d trayectoria: La ganancia P 1 de la tra ectoria 1 es:

La ganancia P 2 de la tra ectoria 2 corresponde a:

2

Para la tercera trayectoria, su ganancia P 3 es:

Ciclo Un ciclo es todo recorri o unidireccional cerrado que empieza termina en el mismo nodo, de manera tal que al recorrerse no es posible pasa r por un mismo nodo más de una vez. El número dado a cada ciclo es arbit ario. La figura muestra los ciclos del D S correspondiente. Ciclos del DFS consider do.

Ganancia de ciclo Li Es el producto de las f nciones de transferencia individuales ue componen cada ciclo; para el caso onsiderado, la ganancia L1 del primer ciclo es:

3

Con respecto a la ganancia L2 del segundo ciclo:

Para la ganancia L3 del tercer ciclo:

La ganancia L4 del cuarto ciclo corresponde a:

Determinante  Para evaluar el determinante ∆ del DFS respectivo es necesario el siguiente concepto: dos ciclos se tocan entre sí cuando éstos tienen en común un mismo nodo; en caso contrario, se dice que los ciclos no se tocan entre sí. De acuerdo con lo anterior, el determinante ∆ de un DFS se define como: ∆=

1 − (suma de las ganancias de todos los ciclos) +(suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de dos ciclos que no se toquen entre sí) − (suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de tres ciclos que no se toquen entre sí) + ⋯ El determinante Δ del DFS bajo estudio es:

y si se sustituyen valores:

Ciclos que no tocan a la trayectoria P 1.

4



Veamos cuáles son los ofactores de cada una de las tres trayectorias. De las figuras anteriores, el cofactor Δ para la primera trayectoria es:

5

El cofactor ∆ para la trayectoria 2, según la figura es:

Para la trayectoria 3, su cofactor

∆

es:

Una vez que se han cuantificado todos y cada uno de los elementos que conforman la ecuación Mason, se procede a evaluar T (s ):

6

Ejemplo de aplicación del método de Mason

Recommend Documents