BENJAMIN AGUILAR SALGADO AL 12522757 UNIDAD 3 EV IDENCIA IDENCIA DE APRENDIZAJE. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS SOBRE PRUEBAS DE HIPÓTESIS E INTERV ALOS DE CONFIANZA PARA PARA DOS POBLACIONES
Ejercicios
1) Ronald E. Walpole. Sección 9.8. Ejercicio 7. Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga: Medic edicam amen entto 1 n
1
=
14
1
2 s1
µ2 − µ1
n
2
=
16
=
19
___
__ _ x
Medic edicam amen ento to 2
17
=
1.5
=
x
2
2 s2
1.8
=
Encuentra un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en el tiempo promedio de recuperación para los dos medicamentos, supón poblaciones normales con varianzas iuales
1
!ro"a"ilidad del #99 $ntervalo de confianza: 1 ##1 & #99'1##&99% (ivel de significancia & α & 1## #99 & ##1 zα*&*+ -edicamento 1 & .1 -edicamento * & .* * * * * s1 & s & 1+ s* & s & 1 & 1/ 1 *& 19 n1 & 10 pacientes n* & 1 pacientes 2
1
) t 3₂,n1+n2 - 2 Sp √1/n1 + 1/n2
*
≤ μ1 - μ2 ≤
1
-
) + t
2
α/₂,n1+n2 - 2
Sp √1 /n1 + 1/n2
4p₂ & 2n1 1) s1 ₂ 5 2n* 1) s*₂ n1 5 n * 6 *
2
(√ 1. 6 6)
n1+n2 – 2 Tabla T 28 3.64 Sp₂$
Sp $
( n1 -1) S1 ₂ (14-1)1.!
( n2 -1) S2 ₂ (16-1)1.8
1". ( 2)
1-
(1#-
1.2"
2#
( n1 -1) S1 ₂ + ( n2 -1) S2 ₂ / n1 + n2 – 2 (1".!+2#)/28
28
1.66
√1/n1 + 1/n2 (1/14)+(1/16)
- t α/₂,n1+n2-2(Sp) -(3.6461.2")
-
n1 + n2 – 2
- t α/₂,n1+n2-2(Sp) √%1&/n1 +
-
'.1
-
+ t α/₂,n1+n2p 2
√1/n1 +
2) (1#-
1/n2
+ t α/₂,n1+n2-2(Sp) √%1&/n1 + %2&/n
-
4.#
'.1
1.#
(
1-
(
1-
2)
%2&/n2
- t α/₂,n1+n2-2(Sp) √%1&/n1 + %2&/n2
(
1-
2)
+t
α/₂,n1+n2-2(Sp)
+ %2&/n2
-
-'.28 ≤ μ1 - μ2 ≤ -3.#2
*) Ronald E. Walpole. Sección 9.8. Ejercicio 1!. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compa7ías cinematogr8ficas "ompa#$a ( ((
%iempo &minutos'
1# 9/
90 *
11# 1*
/ 9*
9# 1/+
11
√%1&/n1
alcula un intervalo de confianza de 9#% para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las películas que producen las dos compa7ías Supón )ue las di*erencias del tiempo de duración se distribu+en de *orma apro,imadamente normal con varianzas distintas
ompa7ía $ $$ 1' (1:+ +) "# 1$
!ro"a"ilidad del #9# $ntervalo de confianza: 1 ##1 & #9#'1##&9#% (ivel de significancia & α & 1## #9# & #1# ;iempo 2minutos) 1# 90 11# / 9/ * 1* 9* 1 * 0 "4
n1&+82
11 12
8# "2
"8 1#
88
9# 1/+ +
11
2#4.8 11'.#
11 /
2$
(1:/ /) (1'3-
S1 ₂
S2 ₂
n*&/ ("4-
2"!1!.2
32688.6
("#-
(82-
188.'8
824.!1
(11'-
2#1!".'
(123-
1!'."4
(8#-
("8'-
3!268.8 4"#3'#.'
("2-
3!'.22
(1#!-
4132.6!
(88-
!1!."4
124386. (1:+ +1)
s1&+
(1:/ /1)
s*&/
(118-
!3.'8
886."18
v
&
2s1< n1 5 s*< n*)< 21 n1 1) 2s1<)< n 1 5 21 n * 1) 2s*<)< n * (1 / n1 -
(S1&)& /
1)
n1
-
=rados de Li"ertad
(1 / n1 - 1) (S1&)& / n1
-24#!!3'!#'
3'"44132
(1& / n1 + 2& / n2)& ((124386.8/!)+(886."184/#))
(S2&)& / n2 2 886."2 /#
(1 / n2 1)
-
2
1
*)
1
*)
164.'" 1
-"6321.32"43 $ (-24#!!3'!#') + (-"6321.32"43) -24#!6268"1.46 * $ 62!2'2#4#.64 / (24#!6268"1.46) -'.2!
164.'"
1
*)
5 t 3₂ > s1<n1 5 s*<n*
√ 1&/n1 +
tα/₂ √ 1&/n1 +
t α/₂
2&/n2
2&/n2
1.8"
1!8.1
2"8.2
*)
(2#4.8'-
62!2'2#4#.64
1.886
1.6!, '.2
(2#4.8'-
2
1123#4.884
t 3₂ > s1<n1 5 s*<n* ? .1 .* ? 2
tα/₂ 2
(1 / n2 - 1) (S2&)& / n2
2
2
1
*)
tα/₂ √1&/n1 + 2&/n2 (164.'"-2"8.23) -
2
*)
5 tα/₂ √1&/n1 +
√ 1&/n1 +
tα/₂ √ 1&/n1 +
t α/₂
2&/n2
2&/n2
2&/n2
1.8"
1!8.1
2"8.2
462.3
1
) -avid R. nderson. Sección 1!. Ejercicio / onde (ast ;raveler realiza una encuesta anual en la que los lectores califican su crucero favorito Los navíos se califican en una escala de 1## puntos, donde los valores m8s altos indican un mejor servicio @na muestra de / cruceros que transportan menos de +## pasajeros resultó una calificación promedio de + A una muestra de 00 navíos que transportan +## o m8s pasajeros reci"ió una calificación promedio de 10# 4uponga que la desviación est8ndar po"lacional es de 0++ para los cruceros que transportan a menos de +## pasajeros A 9/ para los que transportan a +## o m8s paseantes
rucero 1 6 +## & . 1 Cesviación est8ndar & σ1 & 0++ eda $ 1& + calificación n1 & / navíos
rucero * 5 +## & .* Cesviación est8ndar & σ* & 9/ eda $ *& 10 calificación n* & 00 navíos
Du8l es la estimación puntual de la diferencia entre la calificación media po"lacional de los navíos que transportan menos de +## pasajeros A la calificación media po"lacional de los que transportan +## o m8s personas
•
2
1
*)
(8!.3681.4)
164.' "
Du8l es la pro"a"ilidad de que la diferencia entre la calificación media po"lacional de los navíos que transportan menos de +## pasajeros A la calificación media po"lacional de los que transportan +## o m8s personas sea menor de 1#
•
2
1
) z3 ₂ > B1<n1 5 B*<n* ? .1 .* ? 2
*
1
*
) 5 z3 ₂ > B1<n1 5 B*<n*
rucero 1 6 +## & . 1 2
1 *) 28!.36 6 81.4)
α/₂
B1<n1 5 B*<n* 20++</ 5 9/<00)
3."
1.6!
'."
- α/₂ √%1&/n1 +
(1-2) - α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n2
%2&/n2
1.!
2.3
rucero * 5 +## & .* 2
1 *) 28!.36 6 81.4)
3."
- α/₂ √%1&/n1 +
α/₂
B1<n1 5 B*<n* 20++</ 5 9/<00)
(1-2) - α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n2
%2&/n2
1.6!
'."
1.!
!.!
* ? .1 .* ? ++0 0) -avid R. nderson. Sección 1!. Ejercicio 10 FedEG A @nited !arcel 4ervice 2@!4) son las dos empresas de paquetería líderes en el mundo en cuanto a volumen e ingresos 4egHn el consejo $nternacional de Ieropuertos, las terminales aJreas internacionales de -empKis 2FedEG) A de Louisville 2@!4) son dos de los 1# maAores aeropuertos de carga del mundo Las muestras aleatorias siguientes descri"en las toneladas de carga por día que pasan por estas terminales Los datos se registran en miles de toneladas e0p (ed) ".1 1!.1 8.8 1' #.! 1'.! 8.3 ".1 1 2 3 4 ! 6 # 8
4.# •
!
u*lle (5S) 4.2 3.3 !.! 2.2
#
6 !.8 12.1 ".3 " 1' 11 1
4.1 2.6 3.4
alcula la media muestral A la desviación est8ndar muestra para cada uno de los aeropuertos
1$ 1$
2$ 2$
1 ₂ $ 2 ₂ $
".11712/12$ 1!.1 8.8".3' 1' 4.# ! 4.2 3.3 4.2' 171'/1'$
#.! 8.3 n1 $ 1'.! 12 !.! 2.2 # n2 $ 1'
".1 4.1
6 2.6
!.8 3.4
12.1
".3
'.'4 33.6 '.2! '.4" 3.24 1.44 1 '.'4 1'.8 12.2 #.84 3.1!!44'.2! '.64 ' '.81 1.6" 4 #.84 '.'1 2.!6 '.64
1 ₂ $ 1712/12-1 4."3 %1 $ 2.22 2 ₂ $ 171'/1'-1 '.84 %2 $ '."2
•
Du8l es la estimación puntual de la diferencia entre las dos medias po"lacionales $nterpreta este valor en tJrminos del aeropuerto de maAor volumen A compara la diferencia de volHmenes entre las dos terminales
2
1
*)
(".3'4.2')
!.1 '
Du8l es la pro"a"ilidad de que la diferencia de medias entre las dos empresas sea entre *+ A
•
!ro"a"ilidad del #9+ $ntervalo de confianza: 1 ##+ & #9+'1##&9+% (ivel de significancia & α & 1## #9+ & ##+ z *&19 α
e0p (ed) 2
1
*)
α/₂
(".3'!.1
1."
B1<n1 5 B*<n* 21#1<1## 5 9*<1##) '.4
- α/₂ √%1&/n1 +
(1-2) - α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n 2
%2&/n2
1.3
3.#2
u*lle (5S) 2
1
*)
(".3'!.1
B1<n1 5 B*<n* 21#1<1## 5 9*<1##)
- α/₂ √%1&/n1 +
α/₂
(1-2) + α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n2
%2&/n2
1."
'.4
1.3
6.48
/* ? .1 .* ? 0
+) -avid R. nderson. Sección 1!.1 Ejercicio /. Curante el *## los precios de la gasolina alcanzaron record de precios altos en 1 estados de Estados @nidos 2The Wall Street Journal, / de marzo de *##) Cos de los estados afectados fueron alifornia A Florida La Imerican Iutomo"ile Issociation encontró como precio medio muestral por galón *#0 en alifornia A 1/* por galón en Florida @sa 0# como tama7o de la muestra de alifornia A + como tama7o de la muestra de Florida 4upón que estudios anteriores indican que la desviación est8ndar po"lacional en alifornia es #1# A en Florida ## !ro"a"ilidad del #9+ $ntervalo de confianza: 1 ##+ & #9+'1##&9+% (ivel de significancia & α & 1## #9+ & ##+ zα*&19
alifornia & .1 Cesviación est8ndar & σ1 & #1# 1& *#0 por galón n1 & 0#
Florida & .* Cesviación est8ndar & σ* & ## *& 1/* por galón n* & +
Du8l es la estimación puntual de la diferencia entre los precios medios po"lacionales por galón en alifornia A Florida
•
2
1
*)
(2.'41.#2)
'.3 2
Du8l es la estimación por intervalo de 9+% de confianza para la diferencia entre los precios medios po"lacionales por galón en alifornia A en Florida
•
2
1
*)
(2.'4-
'.3 2
1
α/₂
1."6 *)
(2.'4-
'.3
α/₂
1."6
B1<n1 5 B*<n* 2#1#1<0# 5 ##,*<+ '.'
- α/₂ √%1&/n1 +
(1-2) - α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n2
%2&/n2
'.'
'.28
B1<n1 5 B*<n* 2#1#1<0# 5 ##,*<+ '.'
- α/₂ √%1&/n1 +
(1-2) + α/₂ √ %1&/n1 +
%2&/n2
%2&/n2
'.'
'.3
#* ? .1 .* ? # ) -avid R. nderson. Sección 1!.1 Ejercicio 7. Curante la temporada *##, la Liga -aAor de MJis"ol tomó medidas para acelerar el juego en los partidos con o"jeto de mantener el interJs de los aficionados 2 CNN Headline News, # de septiem"re de *##) Los resultados siguientes se o"tuvieron de una muestra de # partidos jugados en el verano de *##* A de una muestra de +# partidos jugados en el verano de *## La media muestral da la duración media de los juegos que formaron parte de la muestra %emporada 2!!2
%emporada 2!!0
n
1
x 1
= 60 = 2 horas,
n
2
52minutos
x 2
=
50
= 2 horas,
46minutos
!ro"a"ilidad del #9+ $ntervalo de confianza: 1 ##+ & #9+'1##&9+% (ivel de significancia & α & 1## #9+ & ##+ zα*&19 %emporada 2!!2 & .1 %emporada 2!!0 & .* Cesviación est8ndar & σ1 & 1* Cesviación est8ndar & σ* & 1* s1 & 21**) & 100 s* & 21**) & 100 1& * Koras +* minutos *& * Koras 0 minutos n1 & # n* & +# •
La Kipótesis de investigación era que las medias tomadas en la temporada de *## reducirían la duración media po"lacional de los juegos de "Jis"ol Formula las Kipótesis nula A alternativa !ar8metro Nipótesis nula : Nipótesis alternativa :
•
1 A * H #: O 1 * H 1: ? 1 *
Du8l es la estimación puntual de la reducción de la media de duración de los juegos en *## 2
1
*)
(2.!22.46)
'.' 6 •
Catos de estudios anteriores indican que, para am"os a7os, la desviación est8ndar po"lacional fue de 1* minutos
5 2nPealiza n15n*de *Kipótesis usando el nivel de significancia de ##+ Du8l es tu conclusión 2n 11)s1₂ *1)s*₂ la prue"a
2n11)s1₂ 5 2n*1)s*₂ 22#1)'2100)) 5 22+#1)'2100)) 1+++*
n15n* 6 * 2n11)s1₂ 5 2n*1)s*₂ n15n* 6 * 2#5+#)* 21+++* 1#,) 1#, 100
2√100) 1*
!ar8metro Nipótesis nula : Nipótesis alternativa : (ivel de significancia
1 A * H #: O 1 * H 1: ? 1 *
& ##+ !ro"a"ilidad del #9+ 9+% de confianza t 3₂,n15n* α
Estadística Estandarización t 0
t 0= 22.!2 6 2.46)
$ 1 #90 1* √(1/6')+(1/!') 2.2"#82!'!"
2 1 *) 1 24p) / √1/n1 5 1 n*
=
Qalor crítico Cecisión onclusión
& #01
tα & 19 4e recKaza N1 puesto que t 0 < t α La duración de los juegos es maAor o igual
Ca una estimación por intervalo de 9+% de confianza de la duración media de los partidos en el *##
•
2
1
*)
(2.!2-
'.' 2
1
.
23.! *)
(2.!2-
'.'
t 3₂,n15n**24p)
t 3₂,n15n**24p) .
23.!
√1/n1 5 1n* (1/6')+(1/!')
'.' √1/n1 5 1n* (1/6')+(1/!')
'.'
-tα/₂,n15n**(Sp)√ 1&/n1 + 2&/n2 √%1&/n1 + %2&/n 2
2
1
*)
2&/n2
4.! -tα/₂,n15n**(Sp)√ 1&/n1 + 2&/n2 √%1&/n1 + %2&/n2
4.!
-tα/₂,n15n**(Sp)√ 1&/n1 +
2
1
*)
-tα/₂,n15n**(Sp)√ 1&/n1 + 2&/n2
4.!
-4.4 4 ≤ μ1 - μ2 ≤ 4.!6 •
Du8l es la reducción porcentual en la duración media de los partidos de "Jis"ol en la temporada *## DEstar8n satisfecKos los directivos con los resultados del an8lisis estadístico Inaliza: en los a7os venideros Dseguir8 siendo un pro"lema la duración de los juegos de "Jis"ol La duración de los juegos es maAor o igual
/) Ronald E. Walpole. Sección 1!.12 Ejercicio 12. En un invierno con epidemia de gripe, una compa7ía farmacJutica "ien conocida estudió *### "e"Js para determinar si la nueva medicina de la compa7ía era efectiva despuJs de dos días Entre 1*# "e"Js que tenían gripe A se les administró la medicina, *9 se curaron dentro de dos días Entre *#
"e"Js que tenían gripe pero que no reci"ieron la medicina, + se curaron dentro de dos días DNaA alguna indicación significativa que apoAe la afirmación de la compa7ía de la efectividad de la medicina !ro"a"ilidad del #9+ $ntervalo de confianza: 1 ##+ & #9+'1##&9+% (ivel de significancia & α & 1## #9+ & ##+ zα*&19 Me"Js que reci"ieron medicina & .1 Me"Js que no reci"ieron medicina & .* Me"Js que sanaron & *9 Me"Js que sanaron & + Me"Js que no sanaron & 91 Me"Js que no sanaron & **0 p1 & *91*# & *01/% p* & +*# & *#% q1 & 911*# & /+% q* & **0*#& #% 1& *& n1 & 1*# n* & *# n1 5 n* & 1*# 5 *# & 0## "e"Js en total *9 5 + & + "e"Js que sanaron & + 0## & #*1*+ (p1-p2) (24.1#-
' $
( 1/n1 + 1/n2) (1/12'
'.'4
'.'
!ar8metro Nipótesis nula : Nipótesis alternativa : (ivel de significancia Estadística Estandarización z 0 =
1 - 2 √ (1- )( 1/n1 + 1/n2)
Qalor crítico Cecisión onclusión
2'.212!)
√ 21 )21n 1 5 1n*) 2√22##1'#//+)
'.212!
'.'44633"28
21 ) (1 –
'.#8#! 1 A *
(p1- p2) / √ (1- ) (1/n1 + 1/n2) ('.'4 /
H #: p1 6 p* & # H 1: p1 6 p* O # α & ##+ !ro"a"ilidad del #9+ 9+% de confianza z# & #9 z# & 2*01/ *#) & 2*01/ *#) & #9
√2'.212!)(1–'.212!)
>2##1'#//+) zα * & 19 (o se recKaza N#, Aa que z#& #9 (o KaA indicación significativa que apoAe la afirmación de la compa7ía de la efectividad de la medicina
'."
) Ronald E. Walpole. Sección 9.11 Ejercicio . @na genetista se interesa en la proporción de Kom"res africanos que tienen cierto trastorno sanguíneo menor En una muestra aleatoria de 1## Kom"res africanos, se encuentra que *0 lo padecen • alcula un intervalo de confianza de 99% para la proporción de Kom"res africanos que tienen este desorden sanguíneo !ro"a"ilidad del #99 $ntervalo de confianza: 1 ##1 & #99'1##&99% (ivel de significancia & α & 1## #99 & ##1 zα*&*+ n $ 1''
& *0 1## & #*0 !# & 1## 6 #*0 & #/ R# & p p# > p# 21 p#) n - α/2 √(
'.24
α/2 2.!8
( -p')/n '.''1824
'.24
α/2 2.!8
( -p')/n '.''1824
√(
- p')/n ≤ p ≤ - p')/n
- p')/n
√'.''1824
'.'42#'831 √(
- p')/n
√'.''1824
'.'42#'831
+ α/2 √
- α/2 √(
- p')/n
α/2 √( p')/n '.11'18#448
('.24 – '.11'18#448)
α/2 √( ')/n '.11'18#448
('.24 + '.11'18#448)
'.1 + α/2 √
- p')/n
'.3
#1 ? p ? #+ •
e$
DSuJ se puede asegurar con 99% de confianza acerca de la posi"le magnitud de nuestro error si estimamos que la proporción de Kom"res africanos con este trastorno sanguíneo es #*0 α/2 2.!8
( -p')/n '.''1824
√(
- p')/n
√'.''1824
'.'42#'831
α/2 √(
- p')/n
2.!8 '.'42#'8313
'.1
