EDADES Alumna: Sandra Quiquia Anyosa
Aun que el tiempo es universal ningún hombre puede decir que es. Nadie puede explicar donde empezó ni donde va. Hay ciertas características del tiempo que se puede explicar. explicar. Se puede medir la aparente velocidad de su paso. Además, va en una sola dirección y el tiempo va incesantemente en esas sola dirección : adelante, siempre adelante.
El pasado se ha ido, es historia y jamás pude repetirse. Todo esfuerzo por hacer volver el pasado es tan irrealizable como tratar de hacer que una cascada salte cuesta arriba o que una flecha vuelva de regreso al arco que la disparo
El futuro es diferente. Siempre corre hacia nosotros. Nuestro relojes de la actualidad son indicadores de tiempo. Sirven como reglas para medir el tiempo. Otros gigantescos indicadores de tiempo son: la tierra al girar sobre el eje, la luna al dar vueltas alrededor de la tierra y el sol.
:
La división del día en 24 horas se remota a EGIPTO. La división moderna de la hora en 60 minutos se origino de las matemáticas babilonias, un sistema sexagesimal (basada en el numero 60)
L a semana procedía de la tradición judeocristiana que disponía descansar del trabajo cada siete días. No está basada en fenómenos naturales . Los romanos dieron nombre a los días de la semana en honor al sol , la luna y varios plantas.
Un año es bisiesto dura 366 días días,, en vez de los 365 de un año común. Ese día adicional se añade al final del mes más corto, fechándose como 29 de febrero. febrero.
NOTA: NOT A: El tema de edades esta relacionado con plateo de ecuaciones . Es evidente que lo mas importante del tema es saber interpretar las expresiones
Presente: En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:
•Tengo… •Tienes…. •Tenemos… •Hoy la edad… •Etc.
Pasado: En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:
•Hace.. •Teníamos… •Tuvimos… •Tenía, tuve.. •Tenías tuviste…
.Etc. Futuro: En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:
•Dentro de… tendremos,
tuviésemos •Tendré… •Tendrás.. •La suma de nuestras edades
Para este tipo de situaciones se sugiere utilizar un cuadro, con el propósito pro pósito de razonar ordenadamente. !Veamos !V eamos ahora una observación muy importante en el pasado, presente y futuro! futu ro! 3 AÑOS 3 AÑOS
YO TÚ ÉL
PASADO 22 27 14
PRESENTE 25 30 17
FUTURO 32 37 24
Se cumple: cumple: La diferencia de edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante: EJEMPLO: 273022 25=52 22 25 + Se deduce 5 = 5 Se deduce 27 20=52
Si la persona que cumplió años: AÑO DE NACIMIENTO
AÑO ACTUAL
Si la persona aún no cumple años: AÑO DE NACIMIENTO NACIMIEN TO
EDAD ACTUAL
EDAD ACTUAL
AÑO ACTUAL
Si la persona que cumplió años: -3 -3 hace 3 años hoy dentro de 3 años tenía: 13 tengo: 16 tendré: 19
1
En esta situaciones se recomienda la utilización de cuadros para facilitar la ubicación de datos en sus respectivos tiempos.
YO TÚ EL
Pasado
Presente
Futuro
1 4 6
5 8 10
12 15 17
Luego de cuadro anterior obtenemos las siguientes conclusiones: 1. 1 + 8 =4 + 5 ó 5 + 15 =8 + 12 La suma en aspas de los valores simétrico resulta lo mismo mismo
Observación:
Se aplicará el método del aspa, en caso de que al llenar el cuadro de edades con las condiciones del problema, nos faltase otra condición final para plantear la ecuación necesaria.
: 1.- En 1979, un padre decía a su hijo: "mi edad es el quíntuplo de tu edad, pero en el 2000 no será mas que el duplo". En que año nació el hijo y qué edad tendría el padre en 2007? RESOLUCIÓN:
Padre Hijo
Pasado(1979) X-21 y-21
Datos: x-21=5(y-21)……………………(I) x=2y…………………………..(II ..(II)) De (II) en (I)
2y-21=5y-21(5)
y=28
Presente(2000) x Y
Futuro(2007) X+7 Y+7
- En (II): x=2(28)=56 Rpt.-El Rpt.El madre actualmente tiene 56 años, entonces dentro de 7 años tendrá 63 años
La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9. Al cabo de cuantos años la edad del padre triplica la del hijo. 2.-
Resolución:
Edad Padre=41; edad Hijo=9 entro de «X» años sus edades serán: Edad Padre: 41+x Edad Hijo:9+x Luego: 41+x=3(9+x) Resolviendo: x=7 debe trascurrir 7 años
Hace 10 años, la edad de Carlos Era cuatro veces mayor que la de pablo y, hoy día es solamente el doble. ¿Qué edad de pablo? 3.-
Resolución:
Se »x» la edad de pablo y la edad de Carlos «2x» y sus edades hace 10 años eran: Edad de Pablo: x-10 Edad de Carlos: 2x-10 Luego: 2x-10=4(x-10) Resolviendo: x=15 Ósea que Pablo tiene 15 años.
4.-Dentro
de cuantos años las edades de 2, personas estarán en la relación de 6 a 5, si sus edades actuales son 40 y 30 años respectivamente? A)35
B)10
C)15
D)24
E)20
Resolución:
De los datos:
personas A B
20 años
presente 40 30 Diferencia 10 años
Deben pasar 20años
futuro 6(10)=60 5(10)=50 =
diferencia 10 años
5.- A Pepín se le pregunta por su edad, responde: « Si restas a la edad que tendré dentro de 10 años, la edad que tuve hace 10 años, obtendrás mi edad « ¿Cuantos años tiene Pepín? A)5 AÑOS B)10 C)20 D)40 E)6 Resolución:
Hace 10años
Edad
Dentro de 10años
X - 10
x
X+10
Segun enunciado: (x+10)-(x-10)=x x+10-x+10=x 20=x
Si al cuádruplo de la edad que tendré dentro de 8 años le retamos el doble de la edad que tenia hace 5 años resultaría 19 años mas el triple de mi edad ¿Qué edad tengo? A)18 B)31 C)23 D)41 E)16 Resolución:: Resolución 6.-
Hace 5 años
Yo tengo
X-5
x
Según enunciado: 4(x+8)-2(x-5)=19+3x 2x+42=19+3x 23=x
Dentro de 8 años X+8
7.-Yo
«
nací en el 19ab y en 1980 tu ve «a+b» años ¿en que año tendré » años?
A)2052
B)2038
C)1999
D)2000
E)2006
Resolución:
Considerar: AÑO DE NACIMIENTO NACIMIEN TO 19ab + a + b = 1980 10a + b + a + b = 80
EDAD ACTUAL
AÑO ACTUAL
1900 + ab + a+ b= 1980
11a + 2b =80 …………………(tanteando)
a=6 y b=7 Nací en 1967 y cumpliré: 8 5 = 20 52
6 7 = 85 ñ, ñ, 196 1967 7
Si al año en que tuve 20 años, le restamos al año en que cumplí 8 año, obtendrás la tercera parte de mi edad ¿ cuantos años tengo? A)24 B)28 C)20 D)8 E)36 8.-
Resolución: Año de Nacimiento N
Año en que tuve 20 N+20
Según enunciado. (N+20)-(N+8)= 36 = mi edad
Año en que cumplí 8 N+8
9.- E año en que nació Charly representa el cuadrado de su edad que tendrá en el 2070 ¿Cuántos años tuvo en el 2030? A)10 B)5 C)25 D)45 E)16 Resolución: AÑO DE NACIMIENTO
EDAD ACTUAL
AÑO ACTUAL
CUADRADO
=
E(E+1)=45(46) Comparando: E= 45 Nació en el año 45 = 2025 Luego en el 2030 tuvo: 2030-2025=5 años
2070
10.- Sabiendo que tengo 44 años ¿Hace cuantos años tenia 4 años, mas que 4 veces la edad que tenia cuando cumplí 4 años menos de la cuarta parte de mi dad actual?
A)6 B)8 E)4 Resolución:
C)12
D)18
Suponiendo que fue hace «x» años, luego en ese momento ya tenía 44 – x = 4 + 4 − 4 44 – x = 32 x=8
11.- Si
Rosy hubiera nacido 3 años antes, tendría el triple de la edad que tuviese nacido 3 años después ¿ Dentro de cuantos años tendrá 3 veces mas delo que tuvo hace 3 años? A)3 B)33 C)6 D)16 E)7 Resolución:
Edad actual; x Si hubiera nacido 3 años antes, su edad seria 3 años mas, es decir . X + 3 Pero si hubiese nacido 3 años después, ahora tuviese 3 años menos. O sea x – 3 Según el enunciado: x + 3 = 3(x – 3) x + 3 = 3x – 9 12 = 2x 6 =x
12.- Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2 ¿cuantos años tengo? A) 5 B)15 C)45 D)20 E)30
Resolución: Yo tú
Hace 5 años
Hoy
3k 2k
3k+5 2k+5
+ SEGÚN ENUNCIADO:+ =
K=5 LUEGO, YO TENGO 3K+ 5 =3(5) + 5 =20
Dentro de 5 años 3k+10=5 2k+10=4
13.- Lucy tiene 30años, su edad es el quíntuplo de loa edad que tenia Any, cunado Lucy tenia la tercera parte de la edad actual de Any ¿Cuál es la edad actual de Any? A)27
B)9
C)18
D)6
E)30
Resolución: Tenia
Tiene
Lucy
x
30
Any
6
3x
Método del aspa: x + 3x = 6 + 30 x=9 Any tiene: 3(9) = 27 años
14.- Yo
tengo el doble de la edad que tenia cuando yo tenia la edad que tu tienes, pero cunado tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54 años. ¿Cuál es mi edad? A)27
B)24
C)39
D)23
E)36
Resolución:
Tenias, Tenia Yo Tú I) y + y = x + 2x 2y = 3x II) 2x + 2x = y + 54 – 2x 6x = y + 54 4y = y + 54 y = 18 y X= 12 Luego tengo: 2(12) = 24 años
y X
Tengo, Tienes 2x y
Tengas 54 – 2x 2x
15.-Un padre 15.-Un padre tiene 30 años y su hija 3 .¿ Dentro de cuantos años la edad de padre será el cuádruplo de la edad de su hija? A)15 B)3 C)5 D)6 E)10 Resolución: Hoy
Dentro de «n» años
Padre
30
30
Hija
3
3+n
según enunciado: 30 + n = 4(3 + n) 30 + n = 12 + 4n 6=n
16.-Si mi edad es igual ala raíz cuadrada del año de mi 16.-Si nacimiento ¿Cuántos años cumpliré en el 2002? A)52 B)64 C)66 D)71 E)80 Resolución:
Datos: x =
19
= 19ab
mi edad 1900< < 200 43,….< < 44, … .
De donde: x=44 Entonces nací en el año 44 = 1936 , luego en el 202 cumpliré: 2002 – 1936 = 66 años
17.- Cuando tu tengas la edad que yo tengo tendrás lo que el tenia cunado tenias la quinta parte de lo que tienes y yo, tenia la quinta parte de lo que el tiene, que es, 9 años mas de los que yo tendré cuando tengas lo que ya te dije y el tenga lo que tu y yo tenemos .Luego tu tienes: A)12 B)17 C)21 D)27 E)15 Resolución:
YO TU EL
Tenia enia,, Tenia eniass
Tengo engo,, tienes , tiene
y x Y +4x
Y + 4x 5x 5y
Tendrá, tengas, tenga 2y + 3x Y + 4x Y + 9x
Lo sombreado se obtiene, aplicando el método del aspa, luego considerando el aspa presente se obtiene: X + 5y = y + 4x + 5y 4y = 8x y = 2x Lo que el tiene, que es 9 años mas de los que yo tendré 5y = 2y + 3x + 9
18.-Dentro de lagunas años mi edad será el cubo de
la edad que tenia hace alguno años. ¿Cual será la raíz cubica de mi edad, si hace 19 años mi edad era la raíz cuadrada de dicho cubo? A)2
B)3
C)4
D)A Ó B
C) N.A.
Resolución: Ese cubo puede ser: 3 = 27 ó 4 = 64; pero ese cubo también tiene raíz cuadrada, con lo nos quedamos con 64 Luego mi edad «x» hace 19 años era: x – 19 = 64 x = 27 27 = 3 Piden:
19.-L a suma de las edades de Luis, Carlos y Mario es 18años; si 19.-L se toma la edad de Mario tantas veces como la edad de Luis tiene y viceversa, y luego de sumarlo se agrega la edad de Luis tantas veces como años el tiene, se obtendrá 69. Determinar la edad del que es mayor que el menor y es menor que el mayor. mayor. A)3 B)5 C)8 D)10 E)12 Resolución:
Edades
Luis x
Carlos y
1° dato: x + y + z = 18 …………………(I) 2° dato: xz + zx + x (x) = 69 x(2z + x) = 69 x(2z + x) = 3 (23) x= 3 2z + 3 =23 z= 10 Reemplazando en (I), se obtiene : y = 5
Mario z
20.- Tito es viudo, tiene seis hijos, donde hay trillizos trill izos (los
otros hijos tienen edades diferentes) el menor de todos tiene seis años , la suma de las edades de todos los miembros de esta familia es 90años. ¿Cual es la edad máxima que podría tener el padre? A)44
B)48
C)46
D)52
E)64
Resolución:
Para quela edad del padre sea la máxima, los hijos deben tener la edad mínima cantidad de años, debido a que la suma de todos +es 90, entonces se tendrá: 6 + 7+7+7 + Trillizos
un hijo menor Emax = 46
padre 8+9 + Emax hijos mayores
= 90
21.- Una persona naci da en siglo si glo xx tiene en 1998 tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento. hallar su edad en el 2000. A)30 B)32 C)34 D)26 E)20 Resolución: Año de nacimiento Edad Actual = Año Actual 19cd = 1 + 9 + A + B = 1998 11A + 2B + 88 + A = 8 Y B = 0 En 1998 tendrá 18 años Luego en el 2000 cumplirá 20 años
22.-la edad de Mario es la mitad de la edad de miguel, pero hace 20 años la edad de miguel era el triple de la edad de Mario ¿Qué edad tiene Mario?
Mario miguel
Hace 20 años X – 20 2x - 20
Según enunciado: 2x – 20 = 3(x – 20) = x=40
hoy X 2x
23.- cuando tengas mi edad yo tendré lo que tu tendrás cuando yo tenga 35 años. Si cuando naciste yo tenia 10 años ¿Qué edad tengo? A)25 C)15 C)10 D)35 E)30
Yo tu
cuando 10 0
Por la suma de aspas 25 25 = x 35 15 = x
tengo x
tengas 25 x
Tendras T endras 35 25
Se deduce (por formas de edades)
24.-Nuestras edades suman 47 años; sin embargo; cuando tenias 15 años yo tenia la edad que tendrás dentro de 2 años ¿Qué edad tienes? A)30 B)20 C)10 D)15 E)18 RESOLUCION: Yo tu
Pasdo X+2 15
SUMA DE ASP AS PAS: X 2 X = 47 – X 15 3X=60 X=20
Hoy 47 + x X
futuro X+2
25.-Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la mía .¿cuantos años tengo? a)6 b)9 c)4 d)12 e)15 Resolución:
Yo hermano
Hace 3 años 3x x
hoy 3x + 3 X+3
Según el enunciado: 3(x 39) = 2(3x 3) X=1 Tengo: 3(1) 3= 6 años
PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.-Un padre tiene x años y su hijo y años, ¿Dentro de cuantos años la 1.-Un edad del padre será 2 veces la edad del hijo? A)2X A) 2X + Y B) B)2X 2X – Y C) X – 2Y D) X + 2Y E) X + Y 2.- Tu tienes 30años actualmente, yo tengo el triple de la edad que tu tenias cuando yo tenia la quinta parte de lo que tu tienes.¿ Que edad tengo? A)27 A) 27 B)13 B) 13 C) 28 D) 32 E) 25 3.-Cuando 3.Cuando yo nací tu tenias la edad que yo tengo ahora. Cuando yo tenga el triple de la edad que tu tienes, nuestras edades sumaran 130 años. Cuantos años tienes tu ? A)20 A) 20 B)77 B) C) 13 D) 24 E) 19 4.- Mi hijo es tres veces mas joven que yo. Pero hacen cinco años era cuatro veces más joven. Cuantos años tiene? A)14 A) 14 B)15 B) 15 C) 12 D) 16 E) 10 5.-Frida 5.Frida tuvo su primer hijo a los 20años, su segundo hijo a los 25 años y 7 años después a su tercer hijo .Si en 1996 la suma de las edades de los cuatro es 83 años ¿en que año nació Frida? A)1978 A) 1978 B) B)1966 1966 C) 1950 D) 1956 E) 1954
6.-Una persona en el mes de junio, resta a los meses que ha vivido los años 6.-Una que tiene y obtiene 4455.¿En que mes nació dicha persona? A)Diciembre A) Diciembre B) B)enero enero C) febrero D) marzo E) abril 7.-Pedro 7.Pedro lleva en el sindicato el doble de años que Joaquín . Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuantos años lleva cada uno en el sindicato? A)88 y 9 A) B)88 y 4 C) 4 y 10 D) 7 y 6 E) 9 y 18 B) 8.-Si 8.Si en 1974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1984 la mitad.¿ que edad tendrá cada una de ellas en 1994? A)26 A) 26 y 30 B) B)20 20 y 60 C) 22 y 35 D) 24 y 40 E) 25 y 40 9.-En 9.En una lapida podía leerse esta inscripción: Aquí yace J. Isola, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento ¿A que edad murió? A)1950 A) 1950 B) B)1949 1949 C) 1953 D) 1952 E) 1956 10.-La 10.La edad de Juan bes mayor que la de su hermano Antonio en 5 años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos y entre los tres suman en total 70años.¿Que edad tiene cada uno de ellos? A)36;14;15 A) 36;14;15 B) B)32;18;13 32;18;13 C) 40;15;5 D) 35;20;15 E) 20;15;8 11.-Las 11.Las sumas respectivas de las cifras que forman los años de nacimiento de juan y pedro son iguales. Sabiendo que sus edades empiezan por la misma cifra, ¿Cuál es su diferencia de edad? A)77 A) B)66 B) C) 4 D) 9 E) 5
12.- Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años ¿Quién es mayor , El niño o la niña? A)El A) El niño por 2 años B)la B) la niña por 3 años C) el niño por 4 años D) la niña por 2 años E) son mellizos 13.-¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? A)1980 A) 1980 B) B)1981 1981 C) 1898 D) 1079 E) 1914 14.-En 1984, la edad de July coincidía con la mitad de la cantidad que expresan las 2 ultimas cifras dela año de su nacimiento. Calcular su edad en septiembre de este año (1997) si naci bajo el signo Sagitario en este siglo. A)51 B)37 C)65 D)40 E)41 15.-La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto; hace tres años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 15 años? A)16 B)21 B) 21 C)19 D)23 E)42 E) 42 16.- Mi hermano nació cuando yo tenia 6 años. Si ahora tengo 13 años ¿Qué edad tiene mi hermano? A)6 B)3 C)64 D)8 E) 9 17.-Maria tenia 8 años menos que Karla ¿Cuántos tendrá María dentro de 3 años si entre las 2 tiene 64 años? A)39 A) 39 B)31 B) 31 C)32 D)40 E)52
18.-Dentro de 3años las edades de tres hermanos sumaran 33 años. ¿cuanto sumaban hace 3 años? A)27 B)15 C)14 D)21 E)24 19.-¿Qué hacías el 4 de julio de 1829? Eso si se que tenia tantos años como los que suman las cuatro cifras del año de nacimiento . Que edad tenia A)15 B)13 C)18 D)14 E)12 20.-La edad de Juan es el doble de la de maría. Si hace 15 años era el triple de la edad de María en ese entonces ¿Qué edad tiene María? A)30 B)35 C)40 D)45 E)60
1.- c 2.-a
3.-a
4.-b
5.-d
11.-d 12.-e 13.-b 14.-d 15.-b
6.-c
7.-b
8.-e
9.-c
16.-d 17.-d 18.-b 19.-c
10.-d 20.-a
BIBLIOGRAFIA: Rubiños , Luis Rubiños. «EDADES». 7000 PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS Razonamiento Matemático EDICION: E DICION: mayo 2009; NUM. DE PAGINAS: PAGINAS: 361 a 381
