5 de Diciembre del 2015 Transferencia de Calor Ecuación Unidimensional Combinada de la Conducción de Calor Las ecuaciones unidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres pueden expresar en una forma compacta
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(
)
∂ n ∂ T ∂ T r k + ´e = ρ∗C p ∂r ∂ t r ∂r 1
n
Donde n!0 para una pared plana, n!1 para un cilindro y n!2 para una esfera La variable r se la puede cambiar por x "sta ecuación se puede simplificar para los casos de régimen estacionario o sin generación de calor
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Ecuación General de Conducción de Calor "n la ecua ecuació ción n anter anterio iorr ecua ecuació ción n unidi unidime mensi nsiona onall de calor calor se supu supuso so que que la conducción en otras direcciones era despreciable La mayor#a de los problemas de transferencia de calor se los va a tratar como si fueran unidimensionales, pero $ay casos y a veces se necesita considerar la transferencia de calor también en otras direcciones %uando es en otras direcciones la conducción de calor es multidimensional multidimensional que se rige para los sistemas en coordenadas rectangulares, cil#ndricas y esféricas
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•
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Coordenadas Rectangulares
(
)(
)(
Razón de conducción Razón de generación Razón de la conducción − = del del calo calorr en x + ∆ x , + decalor enel delcalorenx,y,z y +∆ y y z + ∆ z interior interior del elemento elemento
(
)
∆E
( Q x +Q y + Q z )− ( Q x+ ∆ x −Q y +∆ y −Q z +∆ z ) + ´G= ∆ t
Razón de cambio del contenido contenido de energiadel energiadel elemento
)
∆ E =m∗C p∗∆t →→∆ E = ρ∗C p ( T x +∆ x − T x ) →∆ E =
´ x Q ∆ x ∆ y ∆ z 1
∆ y ∆ z lim ∆ x→0
+
(
´ y Q
´ z Q
+
∆ x ∆ y ∆ z ∆ x ∆ y ∆ z
(
−
Q x +∆ x + Q y +∆ y + Q z+ ∆ z ∆ x ∆ y ∆ z
)
+
ρ∗ ∗∆ x∗ ∆ y∗∆ z ( T x +∆ x − T x ) ∆ t
´g ∆ x ∆ y ∆ z ρ∗C p ( T x +∆ x −T x ) = ∗(−1 ) ∆ x ∆ y ∆ z
∆ t
´ x ´ y ´ z Q x +∆ x −Q Q y +∆ y −Q Q z+∆ z −Q ( T x + ∆ x −T x ) 1 1 + + − ´g= ρ∗C p ∆x ∆ x ∆ z ∆ y ∆ x ∆ y ∆ z ∆ t
(
)
Q x + ∆x − ´ Q x ∂ T = ∆x ∂x
(
)
lim ∆ y →0
(
Q y +∆ y − ´ Q y ∆ y
)
(
)
lim
∂ T = ∂y
∆z → 0
Q z+∆ z − ´ Q z ∆ z
=
∂ T ∂z
)
∂ ∂ T ∂ ∂ T ∂ T 1 1 −k ! yz + −k ! xz + (−k ! xy ) ∆ y ∆ z ∂ x ∂ t ∆ x ∆ z ∂ y ∂t ∆ x ∆ y ∂t 1
∂ T ∂ T ∂ T ´g 1 ∂ T + 2 + 2 + = 2 ∂ x ∂ y ∂ z k " ∂ t 2
&e conoce como "cuación de 'ourier()iot
2
2
1*
+égimen estacionario se conoce como la ecuación de Poisson
∂ T ∂ T ∂ T ´g + 2 + 2 + =0 2 ∂x ∂ y ∂ z k
2*
+égimen transitorio sin generación de calo se conoce como la ecuación de Difusión
∂ T ∂ T ∂ T 1 ∂ T + 2 + 2 = 2 " ∂t ∂x ∂ y ∂z
-*
+égimen estacionario sin generación de calor se conoce como la ecuación de Laplace
∂ T ∂ T ∂ T + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂ y ∂z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
".ercicios 21/ "n un reactor nuclear se genera calor uniformemente en las barras cil#ndricas de uranio de 5 cm de dimetro a raón de 210 34m-&i la longitud de las barras es de 1 m, determine la raón de la generación de calor en cada una de esas barras
#=5 cm
´g=2 $ 10
8
% m
3
& =1 m
´ = g´ ∗ =2 $ 10 G
8
% m
3
2
∗' ( 0.05 m ) / 4 (1 m )
213 %onsidere una placa de acero inoxidable con espesor de - cm en el cual se genera de manera uniforme a raón de 510 / 4m- &uponiendo que la placa est perdiendo calor por ambos lados, determine el flu.o de calor en la superficie de ella durante el régimen estacionario
´g=5 $ 10
−2
∆ x =3 cm= 3 $ 10 m 6
´ (= Q
´G ´g∗) = = !
5 $ 10
2 !
% m
3
6
% m
3
∗3 $ 10− m
2 !
2
=75
% 2 m
2. 21 "scriba la ecuación unidimensional de conducción del calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y generación de calor, en su forma ms simple, e indique que presenta cada una de las variables
∂ T ´g 1 ∂ T → Regimen Tran(itorio + = 2 ∂ x k " ∂ t 2
22- 6artiendo de un balance de energ#a sobre un elemento rectangular de volumen, deduca unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio para una pared plana, con conductividad térmica constante y sin generación de calor 2
∂ T 1 ∂ T = 2 " ∂t ∂x 223 %onsidere un medio en el cual se da ecuación de conducción de calor en su forma ms simple como
(
) ( )
∂ ∂ T ∂ ∂ T ´g kr k + + =0 r ∂r ∂r ∂z ∂z k
1
a* b* c* d*
7La transferencia de calor es estacionaria o transitoria8 Estacionaria 7La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional8 Bidimensional 79ay generación de calor en el medio8 Si hay generación de calor 7La conductividad térmica del medio es constante o variable8 Variable
22: %onsidere un medio en el cual se da la ecuación de conducción de calor en su forma ms simple como
( )
d dT ´g rk + =0 r dr dr k
1
a* b* c* d*
7La transferencia de calor es estacionaria o transitoria8 Estacionaria 7La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional8 Unidimensional 79ay generación de calor en el medio8 Si hay generación de calor 7La conductividad térmica del medio es constante o variable8 Variable
2-0 %onsidere un medio en el cual se da ecuación de conducción de calor en su forma ms simple como
( )
∂ 2 ∂T 1 ∂T r = 2 ∂ r ∂ r " ∂ t r 1
a* b* c* d*
7La transferencia de calor es estacionaria o transitoria8 Transitoria 7La transferencia de calor es unidimensional, bidimensional o tridimensional8 Unidimensional 79ay generación de calor en el medio8 No hay generación de calor 7La conductividad térmica del medio es constante o variable8 onstante
211 Desde el punto de vista de la transferencia de calor, 7%ul es la diferencia entre los materiales isotrópicos y los anisotrópicos8 •
•
Las propiedades de los materiales isotrópicos son las mismas en cualquier dirección en un punto dado Las propiedades de los materiales anisotrópicos van a ser diferentes en todas las direcciones en cualquier punto
212 7;ué es generación de calor en un sólido8 De e.emplos "n un medio a través de cual se transfiere calor puede tenerse la conversión de energ#a mecnica, eléctrica, nuclear o qu#mica en calor o energ#a térmica ".emplo 1* la absorción de la radiación solar por el agua se puede considerar como generación de calor
´ = g´ ∗) G 2- 7"n que difiere la transferencia transitoria de calor de la estacionaria8 7"n que difiere la transferencia unidimensional de calor de la bidimensional8 • • •
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"stacionario implica que no $ay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio
al mismo tiempo, la variación de temperatura y, como consecuencia, la transferencia de calor en otras direcciones es despreciables o cero
25 %onsidere una papa que se est $orneando 7Describir#a la transferencia de calor $acia la papa como unidimensional, bidimensional o tridimensional8 7La transferencia de calor seria estacionaria o transitoria8
∂T = 0 ∂ t
•
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"s unidimensional se da en una sola direccion
