Ecuación de onda La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas ondas,, como las ondas sonoras sonoras,, las ondas de luz y las ondas en el agua agua.. Es importante en varios campos como la acústica acústica,, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean por Jean le Rond d'Alembert, d'Alembert, Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange.. Lagrange
Un pulso que viaja a través de una cuerda con sus extremos fijos es modelado por la ecuación de onda.
Las ondas esféricas provienen de una fuente puntual. Contenido
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1 Introducción 2 Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión o
o
2.1 Obtención de la ecuación de onda
2.1.1 De la ley de Hooke
2.1.2 De la ecuación de transporte escalar genérica
2.2 Solución del problema de valor inicial
3 La ecuación de onda escalar en un espacio de tres dimensiones o
3.1 Ondas esféricas
o
3.2 Solución de un problema de valor inicial general
4 Ecuación de onda escalar en un espacio de dos dimensiones 5 Problemas con fronteras o
5.1 En el espacio de una sola dimensión
o
5.2 En un espacio de varias dimensiones
6 La ecuación de onda no homogénea en una dimensión 7 Otros sistemas de coordenadas 8 Véase también 9 Referencias 10 Enlaces externos
[editar ]Introducción La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace r eferencia a un escalar u que satisface:
Donde
es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de
propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce comodispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:
Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:
También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el
escalar u contendrá unNúmero Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada). esta mal esta teaoria La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:
Donde:
λ y μ son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades
elásticas del medio.
ρ es la densidad,
es la función de entrada (fuerza motriz),
y
es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial. Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.
[editar ]Ecuación
de onda escalar en un espacio de una sola dimensión [editar ]Obtención [editar ]De
de la ecuación de onda
la ley de Hooke
La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imagina una serie de pequeños pesos de masa m , interconectados por resortes sin masa de longitud h . Los resortes tienen una rigidez de k :
Aquí u (x) mide de la distancia en equilibrio de la masa situada en x . Las fuerzas ejercidas sobre la masa m en el lugar x + h son:
La ecuación de movimiento para el peso en el lugar x+h , se obtiene al equiparar estas dos fuerzas:
donde la dependencia con el tiempo de u (x ) se hace explícita. Si la serie de pesos consiste en N pesos espaciados uniformemente a lo largo de L = N h de la masa total M =N m , y la rigidez total de la serie K = k /N podemos escribir la ecuación anterior como:
Tomando el límite
(y
suponiendo que es suave) se consigue:
2
(KL )/M es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.
