5. Valderrama (Ind. Eng. Chem. Res., 2003, 42, 1603-1618) ha resumido un nmero de e!ua!iones de es"ado !#i!as. $se %ingenier&a in'ersa ara mos"rar !u*l es el o"en!ial e+e!"i'o e+e!"i' o iml&! iml&!i"o i"o en la e!ua!i e!ua!in n de es"ado de "r/e "r/e Vera. ues"re su resul"ado en una gr*+i!a indi!ando el 'alor del un"o de m&nimo o"en!ial. Ecuación de estado de Peng-Robinson (P-R)
RT aα − ~2 P= ~ ~ V −b V + 2 b V − b2 (1) nde
a=
0.457235 R
2
2
T C
=0.457235 R × Z ( x , y )= 0.024362 × ( C frac)− 2
0.2172
1
PC
× ( MW )
1.505
(2)
b=
0.077796 R T C
PC
− = 0.077796 R × Z ( x x , y )= 0.000284 × ( C frac ) 2
0.5482
× ( MW )
1.177
(3)
α =[ 1 + κ ( w ) × ( 1− Tr 0.5 ) ]
2
κ ( w )=0.37464 + 1.54226 × w −0.26992 × w
(4) 2
()
onde es el +a!"or a!5n"ri!o de a!5n"ri!o de la ese!ie, R es la !ons"an"e uni'ersal de los gases gases 7V9(R:) es +a!"or de !omresi#ilidad. !omresi#ilidad. ;a e!ua!in de eng-Ro#inson +ue desarrollado en 1<=6 en la $ni'ersidad de >l#er"a , >l#er"a , a +in de !umlir los siguien"es o#/e"i'os •
•
•
•
;os ar*me"ro ar*me"ross de#en de#en ser e?resa e?resa#le #le en "5rmino "5rminoss de las roiedades las roiedades !r&"i!as el +a!"or a!5n"ri!o . a!5n"ri!o . El modelo de#e roor!ionar una re!isin ra@ona#le !er!a del un"o !r&"i!o, en ar"i!ular ara los !*l!ulos del +a!"or de !omresi#ilidad la densidad del l&Auido. ;as reglas de me@!la no de#e emlear m*s de un solo ar*me"ro de in"era!!in #inaria, Aue de#e ser indeendien"e de la resin de la "emera"ura la !omosi!in. ;a e!ua!in de#e ser ali!a#le a "odos los !*l!ulos de "odas las roiedades de los +luidos en los ro!esos de gas na"ural.
ara la maor ar"e de las e?osi!iones de la e!ua!in de eng-Ro#inson rendimien"o similar a la e!ua!in de oa'e, aunAue es generalmen"e suerior en la redi!!in de las densidades de l&Auidos de mu!hos ma"eriales, ese!ialmen"e los no olares. ;as +un!iones de salida se dan de la e!ua!in de eng-Ro#inson en un ar"&!ulo
searado.( eng, . B., and Ro#inson, . . (1<=6). D> eF :Fo-Cons"an" EAua"ion o+ "a"eD. Indus"rial and Engineering Chemis"r Gundamen"als 1
Ecuación de estado de Peng-Robinson-Stryjek-Vera-modificación 1 (PRSV1)
$na modi+i!a!in a la e?resin de a"ra!!in en la e!ua!in de eng-Ro#inson de es"ado u#li!ado or "r/e Vera en 1<86 (RV) me/or signi+i!a"i'amen"e la e?a!"i"ud del modelo median"e la in"rodu!!in de un ar*me"ro de !omonen"e uro a/us"a#le modi+i!ando el a/us"e olinmi!o de la +a!"or a!5n"ri!o. ;a modi+i!a!in ara la e!ua!in se desarrolla a !on"inua!in
RT aα − ~2 P= ~ ~ V −b V + 2 b V − b2 (6) nde
a=
0.457235 R
2
2
T C
PC
(=)
b=
0.077796 R T C
(8)
PC
α =[ 1 + κ ( w ) × ( 1− Tr 0.5 ) ]
2
(<)
κ ( w )=κ o ( w )−0.0089 × ( 1 + Tr
0.5
) ( 0.7−T r )
(10)
κ o ( w )= 0.378893 + 1.4897153 × w −0.17131848 ×w + 0.0196554 w 2
onde
κ ( w )
3
(11)
es un ar*me"ro de !omonen"e uro a/us"a#le. "r/e Vera
u#li!aron ar*me"ros de !omonen"es uros ara mu!hos !omues"os de in"er5s indus"rial en su ar"&!ulo de re'is"a original. > "emera"uras redu!idas or en!ima de 0,=, re!omiendan ara es"a#le!er
κ ( w )= 0
simlemen"e u"ili@ar
κ ( w )= κ o ( w )
. ("r/e, R. and Vera, . J. (1<86). DRV >n imro'ed eng-Ro#inson eAua"ion o+ s"a"e +or ure !omounds and mi?"uresD. :he Canadian ournal o+ Chemi!al Engineering 64 323H333).
Ecuación de estado de Peng-Robinson-Stryjek-Vera-modificación ! (PRSV!)
$na modi+i!a!in os"erior u#li!ado en 1<86 (RV2) me/ora an m*s la e?a!"i"ud del modelo median"e la in"rodu!!in de dos ar*me"ros adi!ionales !omonen"e uro a la modi+i!a!in an"erior de a"ra!!in la@o. ;a modi+i!a!in es
RT aα − ~2 P= ~ ~ V −b V + 2 b V − b2 (12) nde
a=
0.457235 R
2
2
T C
=0.457235 R × Z ( x , y )= 0.024362 × ( C frac)− 2
0.2172
1
PC
× ( MW )
1.505
(13)
b=
0.077796 R T C
PC
= 0.077796 R × Z ( x , y )=0.000284 × ( C frac )−
0.5482
2
× ( MW )
1.177
(14)
α =[ 1 + κ ( w ) × ( 1− Tr 0.5 ) ]
2
κ ( w )=κ o ( w )−0.0089 × ( 1 + Tr
(1) 0.5
) ( 0.7−T r )
(16)
κ o ( w )= 0.378893 + 1.4897153 × w −0.17131848 ×w + 0.0196554 w 2
3
(1=)
RV2 es ar"i!ularmen"e 'en"a/oso ara V;E !*l!ulos. ien"ras RV1 s& o+re!e una 'en"a/a so#re el modelo de eng-Ro#inson ara des!ri#ir el !omor"amien"o "ermodin*mi!o, "oda'&a no es lo su+i!ien"emen"e re!isa, en general, ara los !*l!ulos de eAuili#rio de +ase. ("r/e, R. and Vera, . J. (1<86). DRV2 > !u#i! eAua"ion o+ s"a"e +or a!!ura"e 'aor-liAuid eAuili#ria !al!ula"ionsD. :he Canadian ournal o+ Chemi!al Engineering 64 820H826). ;as an"eriores e?resiones +un!ionan ara mol5!ulas es+5ri!as. El o"en!ial e+e!"i'o iml&!i"o en la e!ua!in de es"ado de "r/e Vera, se uede !al!ular de la siguien"e manera
P=
a c α ( T R , w ) RT − v − b v ( v + b ) + b ( v −b )
´e d U ac α ( T R , w ) = dv v ( v + b )+ b ( v −b ) ´e U
v
a c α ( T R , w )
∫ d U ´ =∫ v ( v +b )+ b ( v −b ) dv e
0
∞
´e U
v
a c α ( T R , w )
v
ac α ( T R , w )
∫ d U ´ =∫ v ( v +b )+ b ( v −b ) dv =∫ v + 2 bv −b e
2
∞
0
2
∞
ac α ( T R , w )
v
v
[
∫ [ v +b (√ 2−1) ] [ v −b ( √ 2 +1 )] dv = a α (T , w )∫ [ v +b ( A√ 2 −1) ] + [ v −b (B√ 2+ 1)] c
R
∞
∞
Cal!ulando los !oe+i!ien"es > ara la in"egral "enemos 1= A
[ v −b ( √ 2 + 1 )]+ B [ v + b ( √ 2−1 ) ]
Es"a igualdad se !umle ara !ualAuier 'alor de
ara
v , en"on!es "enemos
v =b (√ 2 + 1 )
[ ] + B [ b (√ 2 +1)+ b ( √ 2 −1 ) ]
1= A 0
1= B
[ √ 8 b ]
B =1 / √ 8 b
ara
v =−b ( √ 2−1 )
1= A
[−b ( √ 2−1 )− b (√ 2 +1) ]+ B [ 0 ]
1=− A
[ √ 8 b ]
A =−1 / √ 8 b v
¿ ac α ( T R , w )∫ ∞
[
]
−1 1 + dv √ 8 b [ v + b (√ 2−1 )] √ 8 b [ v −b (√ 2+ 1) ]
]
dv
¿ ac α ( T R , w )
{
v
v
−1 1 −∫ +∫ ∞ √ 8 b [ v + b ( √ 2−1 ) ] ∞ √ 8 b [ v −b ( √ 2 + 1 ) ]
W = v + b ( √ 2 −1)
dW =dv
m = v −b ( √ 2 + 1 )
d m=dv
¿ ac α ( T R , w )
¿ ac α ( T R , w )
{
− 1
w
∫ √ 8 b ∞
{ √
− 1 8b
dw + 1 w √ 8 b
∫ dm m ∞
1
w
|
ln ( w ) ∞ +
m
m
|
ln ( m ) ∞
√ 8 b
v −¿
‖
‖¿ b ( 2+ 1 ) )
√
v +¿
(‖¿ b ( √ 2−1 )‖)| ¿
¿ ∞v ¿ } ¿ 1 v ln ( ¿|∞−
√ 8 b
ln ¿
¿ 1
¿
√ 8 b ¿ ac α ( T R , w ) ¿
¿ ac α ( T R , w ) ln
[‖
‖]|
v
v −b ( √ 2 + 1 ) v + b ( √ 2−1 )
}
∞
}
}
dv
