UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
Escuela Académico Profesional De Ingeniería Civil
TEMA:
INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
ASIGNATURA:
ECONOMIA Y GESTION EMPRESARIAL
DOCENTE:
Econ. Waldyr Córdova Galvez.
ALUMNO: Bringas Rumay, Ronal Israel.
GRUPO:
"A"
Cajamarca, Julio del 2015.
CAPITULO: 3
OFERTA Y DEMANDA DE MERCADO
1. La ley de la demanda afirma que existe una relación inversa entre el
precio y la cantidad demandada, bajo el supuesto de ceteris paribus.
2. La ley de la oferta afirma que existe una relación directa entre el
precio y la cantidad ofrecida, bajo el supuesto de ceteris paribus.
Preguntas y problemas para estudio
1. Algunas personas pagan un precio más alto por bienes de marcas
reconocidas. Por ejemplo, algunas personas compran autos rolls royce y
relojes rolex para impresionar a otros. ¿pagar precios más altos por
ciertos artículos solo por ser presuntuoso viola la ley de la demanda?
Si la gente compra un bien o servicio porque asocia mayor calidad con
precio más alto, esto viola el supuesto de ceteris paribus. Un aumento en
la cantidad demandada solo resulta de la disminución del precio. La
calidad y otros determinantes de la demanda distintos de los precios,
como los gustos y preferencias y el precio de los bienes relacionados, se
mantienen constantes en el modelo.
2. Trace graficas que ilustren la diferencia entre una disminución de la
cantidad demandada y una disminución de la demanda de tarjetas de
beisbol de Mickey Mantle. de una razón por la que podría cambiar cada
gráfica
3. Suponga que los precios del petróleo aumentan considerablemente
durante varios años como consecuencia de una guerra en el golfo
pérsico. Explique lo que sucede con la demanda de los siguientes
bienes y la razón:
1. Autos: la demanda de autos disminuye; la gasolina y los autos son
bienes complementarios.
2. Calefacción de casas: la demanda de aislamiento de las casas aumenta;
la gasolina y el aislamiento de las casas son bienes sustitutos.
3. Carbón. La demanda de carbón aumenta; la gasolina y el carbón son
sustitutos.
4. Llantas: la demanda de llantas disminuye; la gasolina y las llantas
son bienes complementarios,
4. dibuje gráficas para ilustrar la diferencia entre una disminución en
la cantidad ofrecida de y una disminución en la oferta de
condominios. De una razón que pueda explicar el cambio en cada
gráfica.
Disminución
5. Utilice el análisis de la oferta y la demanda para explicar por qué la
cantidad de programas de procesamiento de palabras intercambiados
aumenta de un año para otro.
Una razón por la cual la curva de demanda de procesadoras de palabras se
desplazó a la derecha es que la gente desea nuevas características que
produzcan resultados de mayor calidad. La curva de oferta puede
desplazarse a la derecha cuando la nueva tecnología hace posible la
oferta de más software a diferentes precios.
6. Pronostique como cambiara la oferta o la demanda en las siguientes
situaciones:
1. Varias compañías nuevas entran a la industria de las computadoras para
el hogar.
Tanto la oferta como la demanda aumentarían.
2. De pronto, los consumidores deciden que los autos grandes ya pasaron
de moda.
La demanda de autos grandes disminuirá por los gustos y preferencias de los
consumidores.
3. El departamento de salud de estados unidos publica un reporte que
afirma que los jitomates previenen los resfriados.
La demanda de los jitomates aumentara.
4. Una helada amenaza con destruir las cosechas de café y los
consumidores esperan que el precio aumente considerablemente.
La oferta de café disminuye, pero al mismo tiempo se dara un aumento de la
demanda, pues los consumidores querrán comprar antes de que el precio se
eleve.
5. El precio del te disminuye, ¿cuál es el efecto sobre el mercado del
café?
La demanda de café disminuye.
6. Los grupos de cabildeo de la industria tabacalera convencen al
congreso de eliminar el impuesto que pagan los vendedores por cada
paquete de cigarros vendido.
7. Se inventa un robot que cosechara duraznos.
Mayor oferta y mejor recolección.
8. Nintendo prevé un desplome del precio de sus juegos de video.
La demanda aumentara.
7. Explique e ilustre gráficamente el efecto de las siguientes
situaciones:
1. la población aumenta rápidamente:
La demanda se desplaza a la derecha
2. Los precios de los recursos utilizados en la producción del bien X
aumentan.
La oferta se desplaza a la izquierda
3. El gobierno paga un subsidio de un dólar por cada unidad de un bies
producido. La oferta se desplaza a la derecha
4. El ingreso de los consumidores
5. del bien normal X aumentan.
La oferta se desplaza a la derecha
6. El ingreso de los consumidores del bien inferior Y disminuye.
La demanda se desplaza a la derecha
7. Los agricultores están decidiendo que cultivar y se entera de que el
precio del maíz ha caído con relación al del algodón.
La oferta de maíz se desplaza a la izquierda
8. Explique por qué el precio de mercado no es el mismo que el precio de
equilibrio.
El precio de mercado donde tanto los compradores como vendedores buscan
beneficiarse. En el precio de equilibrio la demanda y la oferta son
iguales.
9. Si un nuevo adelanto tecnológico reduce a la mitad el costo de
fabricar reproductores de discos compactos (CD), qué pasara con:
1. La oferta de reproductores de CD.:
La oferta de reproductores de CD se desplaza a la derecha.
2. La demanda de reproductores de CD.
La demanda de reproductores de CD no se ve afectada
3. El precio y la cantidad de equilibrio de los reproductores de CD.
El precio de equilibrio cae y la cantidad de equilibrio aumenta
4. la demanda de CD.
La demanda de CD se incrementa por la caída del precio de los reproductores
de discos (un bien complementario9).
10. EL servicio postal de estados unidos enfrenta un aumento de la
competencia de empresas que ofrecen servicio de envío de paquetes y
cartas de un día para otro. A esto se agrega la competencia de las
computadoras y los fax. ¿Cuál será el efecto de esa competencia sobre
la demanda de mercado del correo enviado por la oficina postal?
La demanda disminuye, porque los consumidores tienen más opciones para
elegir de acuerdo a lo que más les convenga.
11. Existe una escasez de boletos para algunos juegos de baloncesto y de
futbol americano, mientras que para otros juegos hay excedente de
boletos. ¿por qué hay escasez y excedente para diferentes juegos?
El número de asientos (cantidad ofrecida) permanece constante, pero la
curva de demanda se desplaza porque los gustos y preferencias cambian de
acuerdo con la importancia de cada juego. Aunque la demanda cambia, el
precio es una cantidad fija, y para manejar la escasez los colegios y
universidades utilizan la cantidad de contribuciones, el número de años
como contribuyente o algún otro medio de racionamiento.
12. Explique la afirmación "la gente responde a los incentivos y los
desincentivos" en relación con la curva de oferta y demanda del bien
X.
Un incentivo es lo que conduce a una persona a actuar rápidamente;
mientras que un desincentivo no conduce a una persona a nada.
Un incentivo seria las publicidades, que conllevan a las personas a
aumentar su demanda de un bien.
CAPITULO: 5
ELASTICIDAD - PRECIO DE LA DEMANDA
La elasticidad – precio de la demanda mide la respuesta de la cantidad
demandada a un cambio en el precio. Específicamente es la razón del
cambio porcentual de la cantidad demandada en relación con el cambio
porcentual en el precio.
1. La demanda elástica ocurre cuando existe un cambio de más del 1% en la
cantidad demandada como respuesta a un cambio de 1% en el precio. La
demanda es elástica cuando el coeficiente de elasticidad es mayor que
1, y el ingreso total varía de forma inversa a la dirección del cambio
del precio.
2. La demanda inelástica ocurre cuando existe un cambio de menos de 1%
como respuesta a cambio de 1% en el precio. La demanda es inelástica
cuando el coeficiente de elasticidad es menor que 1, y el ingreso
total varia directamente con la dirección del cambio de precio.
3. la demanda de elasticidad unitaria ocurre cuando existe un cambio del
1% en la cantidad demandada como respuesta a un cambio del 1% en el
precio. La demanda tiene elasticidad unitaria cuando el coeficiente de
elasticidad es igual a 1, y el ingreso total permanece constante a
medida que el precio cambia.
4. La demanda perfectamente elástica ocurre cuando la cantidad demandada
disminuye a cero como respuesta al más ligero cambio del precio. Este
es un caso extremo en el cual la curva de demanda es horizontal y el
coeficiente de elasticidad es infinito.
5. La demanda perfectamente inelástica ocurre cuando en respuesta a
cambios en el precio, no cambia la cantidad demandada. Este es un caso
extremo en el cual la curva de demanda es vertical y el coeficiente de
elasticidad es igual a cero.
Preguntas y problemas para estudio
1. Si el precio de un bien o servicio aumenta y el ingreso total recibido
por el vendedor disminuye, ¿la demanda de ese bien está en el segmento
elástico o inelástico de la curva de demanda? Explique.
La demanda es elástica porque el cambio porcentual en la cantidad fue mayor
que el cambio porcentual en el precio.
2. Suponga que la elasticidad- precio de la demanda de los productos
agrícolas es inelástica. Si el gobierno federal quiere incrementar los
ingresos de los agricultores ¿qué tipos de programas debe aplicar?
1. Uno de los principales programas seria los subsidios
2. Que implante programas para capacitar a los agricultores y tengan
mayor conocimiento de los mercados y saber cómo invertir de la mejor
manera.
3. Suponga que una estimación de la elasticidad – precio de la demanda de
los autos usados es tres ¿Qué significa eso? ¿Cuál será el efecto
sobre la cantidad demandada de autos usados si el precio aumenta a
10%?
Si el precio de los autos usados aumenta 1 %, la cantidad demandada
disminuye 3 %. Si el precio se eleva 6 %, la cantidad demandada disminuye
30 %.
4. Observe la siguiente tabla de demanda
"precio "Cantidad demandada "Coeficiente de "
" " "elasticidad "
"25 "20 " "
"20 "40 "4 "
"15 "60 "2 "
"10 "80 "1 "
"5 "100 "0.5 "
Cuál es la elasticidad precio de la demanda entre:
1. ¿P = 25 y P = 20?
2. ¿P = 20 y P = 15?
3. ¿P = 15 Y P = 10?
4. ¿P = 10 Y P=5?
5. suponga que una universidad eleva sus cuotas de 3000 a 3500 dólares.
como resultado, la inscripción de estudiantes disminuye de 5000 a
4500. Calcule la elasticidad precio de la demanda ¿la demanda es
elástica, de elasticidad unitaria o inelástica?
Ed =0.68
La elasticidad precio de la demanda por la universidad es inelástica
6. los siguientes cambios de precio harán que el ingreso aumente,
disminuya o que permanezca constante?
1. El precio disminuye y la demanda es elástica.
2. El precio aumenta y la demanda es elástica.
3. El precio disminuye y la demanda tiene elasticidad unitaria.
4. El precio disminuye y la demanda es inelástica.
5. El precio aumenta y la demanda es inelástica.
7. Suponga que el cine aumenta 10% el precio de las palomitas de maíz,
pero los clientes no compran menos palomitas ¿Qué le dice eso acerca
de la elasticidad precio de la demanda? ¿Qué ocurrirá con el ingreso
total como resultado del aumento del precio?
La demanda de palomitas de maíz es perfectamente inelástica, y el ingreso
total aumentara.
8. A charles le gusta mucho el mello yello (una marca de refresco de coca
cola company) y gasta 10 dólares por semana en ese producto sin
importar el precio ¿cuál es su elasticidad precio de la demanda de
mello yello?
La elasticidad precio de la demanda es perfectamente elástica.
9. ¿Cuál de los siguientes pares de bienes tiene la elasticidad precio de
la demanda más alta?
1. Naranjas o naranjas sunkist
1. Naranjas sunkist
2. Autos o sal
2. Autos
3. Viaje al extranjero a corto plazo o viaje al extranjero a largo plazo
3. Viaje al extranjero a largo plazo
10. El conejito de Energizer que "sigue y sigue" ha sido una exitosa
campaña de publicidad de baterías, explique la relación entre esa
frase y la elasticidad precio de la demanda y el ingreso total de la
empresa.
La publicidad permitió aumentar la demandada y por ende los ingresos
también aumentan. Y si la publicidad sigue teniendo éxito, los ingresos
seguirán aumentando más y más
CAPITULO 6-7
RESUMEN
Interés simple:
En una operación a interés simple, el capital que genera los intereses
permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transacción. La
capitalización, que es la adición del interés ganado al capital original,
se produce únicamente al término de la operación.
Interés compuesto:
El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la
que después de la primera, su monto constituye el capital inicial de la
siguiente.
Listado de Fórmulas
(1) Monto
(2) Monto
(3) Tasa de interés
(4) Tiempo
(5) Monto con variaciones de tasas
(6) Capital inicial
(7) Monto
(8) Monto
(9) Capital
(10) Tasa
(11) Tiempo
(12) Interés
(13) Capital
(14) Tasa
(15) Tiempo
(16) Interés devengado en el periodo k
EJERCICIOS RESUELTOS
INTERES SIMPLE
1. Hallar el interés simple de S/. 4,000 colocados durante 6 días al 36%
anual.
Solución:
Debido a que la tasa es anual podemos expresar el periodo de tiempo en
años (6/360)
I =? I = 4,000 x 0,36 x 6/360
P = 4,000 I = 24
i = 0, 36
n = 6/360
2. ¿Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril
se invirtió S/. 5,000 a una tasa anual del 24%.
Solución:
Debido a que la tasa es anual podemos expresar el periodo de tiempo en
años (34/360)
I =? Número de días I = 5,000 x 0,24 x 33/360
P = 5,000 I = 110
i = 0, 24 Abril = 16
n = 95/30 Mayo = 17
33
3. ¿Cuál es el interés simple de S/. 3,000 en 8 meses al 48 % anual?
Solución:
Debido a que la tasa es anual podemos expresarla en meses (48/12) debido
a que el periodo está en meses.
I =? I = 3,000 x 8 x 0.04
P = 3,000 I = 960
i = 0, 04
n = 8
4. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 10,000 en un año, 2 meses y 26
días al 24 % anual de interés simple?
Solución:
Debido a que la tasa es anual podemos expresar el periodo de tiempo en
años (446/360)
I =? I = 10,000 x 0.24 x 446/360
P = 10,000 I = 2973.3333
i = 0, 24
n = 446/360
5. Calcular el interés simple de S/. 2,000 al 2,5% mensual desde el 12 de
marzo al 15 de junio del mismo año.
Solución:
Debido a que la tasa es mensual podemos expresar el periodo de tiempo en
meses (95/30)
I =? Número de días I = 2,000 x 0,025 x 95/30
P = 2,000 Marzo = 19 I = 158.33
i = 0,025 Abril = 30
n = 95/30 Mayo = 31
Junio = 15
95
6. ¿Qué capital colocado al 24% anual ha producido S/. 300 de interés
simple al término de 18 semanas?
Solución:
En 18 semanas existen 126 días (18 x 7 = 126), los mismos que expresados
en función de la tasa anual originan: n = 126/360. Reemplazando los datos
del problema tenemos la ecuación 300 = P x 0,24 x 126/360, que tiene la
siguiente solución:
P = ? P = 300 .
i = 0,24 0,24 x 126/360
I = 300
n = 126/360 P = 3 571,43
7. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple S/. 800 en
7 trimestres al 26% anual?
Solución:
En 7 trimestres existen (7/4) años, los mismos que expresados en función
de la tasa anual originan: n = 7/4. Reemplazando los datos del problema
tenemos la ecuación 800 = P x 0,26 x 7/4, que tiene la siguiente
solución:
P =? P = 800 .
i = 0,26 0,26 x 7/4
I = 800
n = 7/4 P = 1 758,24
8. Si deseo ganar un interés simple de S/. 3000 en el periodo comprendido
entre el 4 de abril y 31 de mayo, ¿qué capital debo colocar en un
banco que paga una tasa mensual del 2%?
Solución:
Número de días
P = ? Abril = 26 P = 3000 .
i = 0,02 Mayo = 31 0,02 x 57/30
I = 3000 57
n = 57/30 P = 78 947,37
9. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un
capital de S/. 8000 colocado a dos años y 6 meses haya ganado S/.
6000? , Solución:
P =? P = 6000 .
i = 0,02 800 x 30
I = 6000
n = 30 P = 2.5
10. Un capital de S/. 2000 ha producido un interés de S/. 60 durante 36
días, calcule la tasa anual de interés simple.
Solución:
Dado que se pide una tasa anual debemos trabajar con n anual (n =
36/360). Con la información disponible planteamos: 60 = 2000 x i x 36/360
y despejamos i.
i = ? i = 60 .
P = 2000 2000 x 36/360
I = 60
n = 36/360 i = 0,3
11. ¿Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 15000 al
28% anual, si el interés simple producido es de S/. 300?
Solución:
Con la información del problema podemos plantear la siguiente ecuación de
interés simple: 300 = 15000 x 0,28 x n. Despejando n obtendremos un
período de tiempo anual pues la tasa utilizada como dato es anual.
n = ? n = 300 .
P = 15000 15000 x 0,28
i = 0,28
I = 300 n = 0,07142857147 años
El periodo anual puede ser convertido a días multiplicándolo por 360.
n = 0,07142857147 x 360 = 25,71 días
12. ¿Qué interés simple habrá ganado una inversión de S/. 2000 colocada
del 3 al marzo al 28 de junio del mismo año a una tasa mensual del 3%,
la misma que varió el 16 de abril al 2,8% y posteriormente al 2,6% el
16 de junio? ¿Cuál es la tasa acumulada?
Solución:
Las variaciones de las tasas se explican en el siguiente diagrama:
n = 117 días
n1 = 44 n2 = 61 n3 = 12
3/3 i1 = 0,03 16/4 i2 = 0,028 16/6
i3 = 0,026 28/6
El interés simple ganado por el capital inicial de S/. 2000 durante los
plazos de vigencia de las tasas es:
" "Interés periódico "Subtotal " "
" "I1 = 2000 x 0,03 x "88,00 " "
" "44/30 " " "
" "I2 = 2000 x 0,028 x "113,87 " "
" "61/30 " " "
" "I3 = 2000 x 0,026 x "20,80 " "
" "12/30 " " "
" "Total "222,67 " "
Como el capital inicial P ha permanecido invariable durante todo el plazo
de la operación, el cálculo del interés, cuando existen variaciones de
tasas, se puede generalizar:
I = Pi1n1 + Pi2n2 + Pi3n3 + Pi4n4 + ….. + Pimnm
Aplicando la fórmula anterior, la solución directa se realiza con la
siguiente ecuación.
I = 2000 ((0,03 x 44/30) + (0,028 x 61/30) + (0,026 x 12/30)(
I = 2000 (0,111333333(
I = 222,67
13. Una deuda de S/. 2000 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8
de julio, y pactada originalmente a una tasa anual de interés simple
del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes
fechas: día 12 de junio 2,5% mensual, día 24 de junio 9%, trimestral,
día 3 de julio 21% semestral. ¿Qué interés se pagará al vencimiento?
Solución:
Las variaciones de las tasas se explican en el siguiente diagrama:
8/6 n1 = 4/360 12/6 n2 = 12/30 24/6 n3 = 9/90
3/7 n4 = 5/180 8/7
i1 = 0,24 año i2 = 0,025 mes i3 = 0,09 trim
i4 = 0,21 sem
I = 2000 (0,24 x 4/360 + 0,025 x 12/30 + 0,09 x 9/90 + 0,21 x 5/180)
I = 2000 (0,0275)
I = 55
14. Una cuenta de ahorros abierta el 4 de abril con un depósito inicial de
S/. 500 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: día 8, depósito de
S/. 100; día 17, retiro de S/. 400; día 23, depósito de S/. 500; día
23, retiro de S/. 200 ¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril
percibiendo una tasa anual del 24%?
Solución:
Las variaciones que ha experimentado el capital inicial por cargos y
abonos realizados después del depósito inicial se explican en siguiente
diagrama:
500 600 200
500
4/4 n1 = 4 8/4 n2 = 9 17/4 n3 =
6 23/4 n4 = 7 30/4
El interés simple ganado por los diversos capitales desde el 4 de abril
hasta el 30 de abril es el siguiente.
" "Interés periódico "Subtotal " "
" "I1 = 500 x 0,24 x "1,33 " "
" "4/360 " " "
" "I2 = 600 x 0,24 x "3,60 " "
" "9/360 " " "
" "I3 = 200 x 0,24 x "0,80 " "
" "6/360 " " "
" "I4 = 500 x 0,24 x "2,33 " "
" "7/360 " " "
" "Interés acumulado "8,06 " "
15. El 2 de junio se abre una cuenta de ahorros con S/. 2000 y se efectúan
depósitos de S/. 500 y S/. 300 los días 8 y 16, y un retiro de S/. 200
el día 26 de junio. La tasa anual pactada fue 28%, la cual bajó al 26%
a partir del 16 de junio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál
es el saldo disponible al 1 de julio?
i1= 0,28
i2 = 0,26
2000 2500 2800
2600
2/6 n1 = 6/360 8/6 n2 = 8/36 16/6 n3 = 10/360
26/6 n4 = 5/360 1/7
" "Interés periódico "Subtotal " "
" "I1 = 2000 x 0,28 x "9,33 " "
" "6/360 " " "
" "I2 = 2500 x 0,28 x "15,56 " "
" "8/360 " " "
" "I3 = 2800 x 0,26 x "20,22 " "
" "10/360 " " "
" "I4 = 2600 x 0,26 x "9,39 " "
" "5/360 " " "
" "Interés acumulado "54,50 " "
El saldo disponible el día 1 de julio es igual al saldo acumulado de S/.
2600 más los intereses totales que se generaron hasta esa fecha, que
hacen un monto de S/. 2654,50.
16. ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 5000 del 6
de abril al 26 de junio del mismo año a una tasa mensual del 2%?
Solución:
Del 6 de abril al 26 de junio han transcurrido 81 días, los mismos que se
expresan en términos mensuales (81/30) pues la tasa proporcionada como
dato es mensual.
S = ? Número de días S = 5000 x (1 + 0,02 x 81/30)
P = 5000 Abril = 24 S = 5270
i = 0,02 Mayo = 31
n = 81/30 Junio = 26
81
17. El 25 de junio, el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5000.
Calcule su monto al 30 de setiembre aplicando una tasa mensual de
interés simple del 3%, considerando que la entidad financiera abona
los intereses en la cuenta cada fin de mes.
Solución:
S = ? Junio S1 = 5000 (1 + 0,03 x 5/30) =
5025
P = 5000 Julio S2 = 5025 (1 + 0,03 x 31/30) =
5180,775
n = 97/30 Agosto S3 = 5180,775 (1 + 0,003 x 31/30) =
5341,379
i = 0,03 Setiembre S4 = 5341,379 (1 + 0,03 x 30/30) =
5501,62
18. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro de S/. 5000 colocado
el 9 de agosto y cancelado el 1 de setiembre. Las tasas anuales han
sido: 30% a partir del 1 de agosto; 28% a partir del 16 de agosto y
26% a partir del 1 de setiembre.
S = ?
9/8 i1 = 0,3 16/8 i2 = 0,28 1/9
P = 5000 n1 = 7/360 n2 = 16/360
S = ? S = 5000 (1 + (0,3 x 7/360 + 0,28 x 16/360)(
P = 5000 S = 5091,39
i1 = 0,30 n1 = 7/360
i2 = 0,28 n2 = 16/360
19. Un paquete accionario es adquirido el 23 de mayo en S/. 24000 y
vendido el 18 de junio, recibiéndose en esta fecha un importe neto de
S/. 26800. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación.
Solución:
El problema consiste en determinar la rentabilidad mensual de una
inversión de S/. 24000 que se convirtió en S/. 26800 en el plazo de 26
días.
Cálculo de los días
i = ? Mayo = 8 i = (26800/24000) - 1 .
P = 24000 Junio = 18 26/30
S = 26800 26
n = 26/30 i = 0,134615385
La rentabilidad generada en los 26 días se puede calcular por proporción
(0,134615385/30)26 = 0,1166665.
20. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 120 es vendido con
"tarjeta de crédito" para pagar S/. 127,20 dentro de 45 días ¿Qué tasa
mensual de interés simple se cargó al crédito?
Solución:
i = ? i = (127,20/120) - 1 .
P = 120 45/30
S = 127,20
n = 45/30 i = 0,04
21. Un departamento ubicado en la Av. Sucre de Pueblo Libre, para lo cual
se plantean las siguientes alternativas:
a) $17 500 al contado.
b) $10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $7700.
c) $8 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $6000 a 30 días y
otra de $3680 a 60 días.
d) $6 000 al contado y el saldo con tres letras de $4000 con vencimientos
a 30, 60 y 90 días cada una respectivamente.
Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y
por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple del 24%,
¿Cuál es la oferta más conveniente? Explique.
Solución:
Alternativa b)
10 000 + 7700 = 17403,85
1 + 0,24 x 60/360
Alternativa c)
8000 + 6000 + 3680 =
17420,81
1 + 0,24 x 30/360 1 + 0,24 x 60/360
Alternativa d)
6000 + 4000 + 4000 +
4000 = 17541,31
1 + 0,24 x 30/360 1 + 0,24 x 60/360 1 +
0,24 x 90/360
Comparación de alternativas en el presente.
"Alternativa"a "b "c "d "
"Contado "17 500 "17 404 "17 421 "17 541 "
La alternativa de menor costo es la b). En efecto, si se dispone de $17
500, el cliente puede pagar la cuota inicial de $10 000 y el saldo de $7
500 depositarlo en el banco durante 60 días percibiendo una tasa anual
del 24%, plazo en el cual dicho importe se habrá capitalizado a $7
800, monto con el cual puede pagar la letra de $7 700 y quedarle un
remanente de $100.
22. Se ha colocado un capital a una tasa de interés simple del 4%
trimestral, habiéndose convertido a los 4 meses en S/. 2500 ¿Cuál fue
el importe de ese capital?
Solución:
Para calcular el valor presente de S/. 2500 con una tasa trimestral del
4%, debemos convertir el periodo de 4 meses en trimestres (n = 4/3
trimestres) y despejar P de la fórmula del monto.
Solución:
P = ? P = 2500 .
i = 0,04 1 + 0,04 x 4/3
n = 4/3
S = 2500 P = 2373,42
23. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/. 2000. Si la tasa
aplicada ha sido del 4% cuatrimestral, habiendo estado colocado el
capital inicial durante 6 meses ¿Cuál ha sido el interés simple y el
capital que lo ha producido?
Solución:
Tenemos que P + I = S = 2000. Dado que adicionalmente conocemos i y n,
podemos calcular el valor de P.
Solución:
P = ? P = 2000 .
I = ? 1 + 0,04 x 6/4
S = 2000
i = 0,04 P = 1886,79
n = 6/4
Restando el capital inicial del monto podemos obtener el interés.
I = 2000 – 1886,79 = 113,21
INTERES COMPUESTO
1. Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20000
colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable
diariamente.
Solución:
Dado que la frecuencia de capitalización es diaria, la tasa nominal anual
debe ser convertida a ese periodo (0,36/360 = 0,0000833) para poderla
capitalizar durante los 180 días del semestre.
S = ? S = 20 000 (1 + 0,36/360)180
P = 20000 S = 23 942,19
n = 6 x 30
i = 0,36/360
2. ¿Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 38 días, si
después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/.
20000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3,5%?
Solución:
El monto es un valor futuro S, mientras que el importe disponible después
de haber deducido el importe del descuento es un valor presente P =
20000. Conociendo n = 38/30 e i = 3,5% mensual, el monto requerido lo
encontramos con la siguiente ecuación.
S = ? S = 20 000 (1 + 0,035)38/30
n = 38/30 S = 20 890,77
P = 20000
i = 0,035
3. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1000
percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con capitalización diaria.
El 2 de mayo retira S/. 400, el 15 de mayo retira S/. 200 y el 3 de
junio depósito S/. 100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito
inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló la cuenta?
Depósitos 1000
18 d. S1 13 d. S2 19 d.
S3 21 d. S4
14/04 02.05 15.05
03.06 24.06
Retiros 400 200
"Cálculo "D/(R) "Monto "
"S = 1000,00 (1 + 0,04/30)18 = "- 400 "624,27 "
"1024,27 " " "
"S = 624,27 (1 + 0,04/30)13 = "- 200 "435.18 "
"635.18 " " "
"S = 435,18 (1 + 0,04/30)19 = "+ 100 "546,34 "
"446.34 " " "
"S = 546,34 (1 + 0,04/30)21 = " "561,84 "
"561,84 " " "
4. .El 6 de junio, la empresa Agroexport S.A compró en el Banco Platino
un Certificado de Depósito a Plazo (CDP) a 90 días por un importe de
S/. 20 000, ganando una tasa nominal anual del 24% con capitalización
diaria; si el 1 de julio la tasa bajó al 18% nominal anual (con la
misma capitalización), ¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al
vencimiento del plazo del CDP?
Solución:
S = ?
i1 = 0,24/360 i2 = 0,18/360
06.06 n1 = 25 01.07 n2 = 65 04.09
S = ? S = 20 000 ((1 + 0,24/360)25 (1 + 0,18/360)65(
P = 20 000 S = 21 007.62
5. Una deuda de S/. 1000 con opción a renovarse automáticamente cada 30
días, debe cancelarse el 20 de setiembre. ¿Qué monto debe pagarse el
19 de diciembre si el contrato de crédito establece que por la primera
renovación se carga una tasa efectiva mensual del 5%; por la segunda,
una tasa efectiva mensual del 6%; y por la tercera, una tasa efectiva
mensual del 7%?
Solución:
i1 = 0,05 i2 = 0,06 i3 = 0,07
S = ?
20.09 n1 = 1 20.10 n2 = 1 19.11
n3 = 1 19.12
P = 1000
S = ? S = 1 000 (1,05 x 1,06 x 1,07)
P = 1000 S = 1 190,91
6. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro 120 días en
una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24% con
capitalización diaria?
Solución:
P = ? P = 20 000 .
S = 20000 (1 + 0,24/360)120
n = 120
i = 0,24/360 P = 18 462,82
7. Cuánto podré disponer hoy si me han descontado un paquete de 4 letras
cuyos importes son S/. 2000, 6500, 8000 y 7500, las cuales vencen dentro
de 15, 30, 45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal que
cobra la entidad financiera es del 1%.
2000 6500
8000 7500
0 1 2
3 4
P = ?
P = 2 000/1,01 + 6 500/1,012 + 8 000/1,013 + 7 500/1,014
P = 23 324,20
8. La empresa Indutrust en la adquisición de un grupo electrógeno está
evaluando las siguientes propuestas:
a) $ 8000 al contado.
b) Al crédito con una inicial de $2000 y 6 cuotas de $ 1200 c/u, con
vencimiento cada 30 días.
Considerando que Indutrust tiene una tasa de rentabilidad en dólares del
6% mensual, ¿qué opción le conviene?, ¿por qué?
Solución:
P = 2 000 + 1 200/1,06 + 1 200/1,062 + 1 200/1,063 + 1 200/1,064 + 1
200/1,065 + 1 200/1,066
P = 7 900,79
9. Haciendo uso de una línea de descuento, el Banco Interamericano
descontó a una empresa 2 letras cuyos valores nominales fueron de S/.
10 000 y S/. 20 000, siendo sus vencimientos dentro de 25 y 35 días
respectivamente. ¿Cuál es el valor presente de ambas letras
considerando una tasa efectiva trimestral del 9%?
Solución:
10000
20000
P = ? 25
n = 35 días
P = 10 000 + 20 000 = 29 104,30
1,0925/90 1,0935/90
10. El 24 de setiembre se efectuó un depósito en un banco percibiendo una
tasa efectiva mensual del 4%, la cual varió el 16 de octubre al 4,2% y
al 4,5% el 11 de noviembre. El día de hoy, 25 de noviembre, el saldo
de la cuenta es de S/. 6500. ¿Qué importe se depositó originalmente?
¿Cuál fue la tasa acumulada?
Solución:
22 d 26 d
14 d 6 500
24/09 16/10
11/11 25/11
P = ? i1 = 0,04 i2 = 0,042 i3
= 0,045
P = ? P = 6 500
.
S = 6 500 1,0422/30 x 1,04226/30 x
1,04514/30
i1 = 0,04 n1 = 22/30
i2 = 0,042 n2 = 26/30 P = 6 500 =
5 970,57
i3 = 0,045 n3 = 14/30 1,088672888
la tasa acumulada en el periodo de 62 días se obtiene del denominador de
la ecuación que calcula P, el cual responde a la expresión:
I + i = 1 + 0,088672888 En consecuencia; i = 8,87%
11. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectados por la
empresa Agroexport S.A. se muestran en el cuadro adjunto. Calcule el valor
presente de dichos flujos.
" "0 "Mes 1 "Mes 2 "Mes 3 "Mes 4 "
"Flujo de "2 000 "2 000 "2 200 "2 400 "2 500 "
"caja " "2,00% "1,80% "1,60% "1,65% "
"Inflación " " " " " "
Solución:
2000 2000 2200
2400 2500
0 0,02 1 0,018 2
0,016 3 0,0165 n = 4 meses
P = 2 000 + 2 000 + 2 200 + 2 400
+ 2 500 .
1,02 1,02 x 1,018 1,02 x 1,018 x 1,016
1,02 x 1,018 x 1,016 x 1,0165
P = 10 685,71
12. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado
en S/. 2000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2 315,25.
Solución:
La tasa de rentabilidad pedida es la tasa efectiva de interés. Con los
datos proporcionados S, P y n, podemos plantear la siguiente ecuación: 2
315,25 = 2 000(1 + i)3, la misma que se resuelve del siguiente modo.
?
2 000
90/30
2 315,25
13. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual de un capital de S/.
5000 que en el lapso de 88 días produjo un interés efectivo de S/. 500.
Solución:
Para calcular la tasa de rentabilidad efectiva anual (tasa efectiva), con
los datos proporcionados, podemos plantear la siguiente ecuación: 5 500 =
5 000(1 + i)360/88, la misma que se resuelve del siguiente modo:
i = ?
P = 5 000
n = 360/88
S = 5 500
14. Una persona deposita S/. 2000 en el Banco Norsur percibiendo una tasa
efectiva mensual del 4%. En la misma fecha deposita S/. 5000 en el Banco
Surnor percibiendo una tasa nominal anual del 48% con capitalización
trimestral. Calcule la tasa efectiva mensual promedio que ganó por ambos
depósitos durante 8 meses.
Solución:
Obtenemos el importe de P sumando los capitales iniciales P1 = 2000 y P2
= 5000
P = 2000 + 5000 = 7000
Obtenemos el monto S generado por los capitales P1 y P2 en el plazo de 8
meses.
S = 2 000(1,048) + 5000(1,128/3) = 9 501,36
Para calcular la tasa efectiva mensual planteamos la ecuación del monto y
despejamos i:
9 501,36 = 7 000(1 + i)8
15. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de S/. 10 000 que vence
dentro de 48 días, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%.
Además tiene otra deuda de S/. 15 000, por la cual paga una tasa
efectiva mensual del 4%, la que vence dentro de 63 días. Jacobs
propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagaré con valor
nominal de S/. 27 033, el mismo que vencerá dentro de 90 días. ¿Qué
tasa efectiva mensual está cargando el banco a Jacobs?
S = 27 033 y n = 90 días. El importe de P lo encontramos descontando los
montos S1 = 10000 y
S2 = 15000 con las tasas efectivas mensuales del 3% y 4% respectivamente.
Con estos valores podemos plantear la siguiente ecuación: 27 033 = 23
352,13(1 + i)3 y despejar i.
16. Después de colocar un capital de S/. 1000 a una tasa de interés
efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/. 1 500 ¿A qué
tiempo se colocó el capital?
Solución:
El problema consiste en calcular n sabiendo que S = 1500, P = 1000 e i =
0,04. Con la información disponible podemos plantear la siguiente
ecuación:
1500 = 1 000(1 + 0,04)n y despejar n.
Como la tasa es efectiva mensual n está expresa en meses. El resultado en
días se obtiene:
10,33803507 x 30 = 310 días.
17. En cuántos días podré: a) triplicar y b) cuadriplicar un capital a la
tasa efectiva anual del 50%?
Solución:
Un capital de P = 1 para triplicarse deberá haberse convertido en un
monto S = 3. Con una tasa efectiva anual puede plantearse la siguiente
ecuación: 3 = 1(1 + 0,5)n/360. Despejando n obtendremos periodos de
tiempo diarios.
Para cuadruplicar el capital
18. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la relación entre un capital
de S/. 8 000, colocado a una tasa del 4% efectivo mensual, y su monto
sea de 4/10?
Solución:
La relación entre un capital P = 8000 y su respectivo monto S se puede
representar: 8000/S, relación que por los datos del problema tiene que
igualarse a 4/10. De la igualdad propuesta se despeja S y se forma la
ecuación del monto: 20000 = 8 000(1 + 0,04)n, de la cual despejamos n
para encontrar los períodos de tiempo capitalizados.
n = ?
P = 8 000
S = 20 000
i = 0,04
19. ¿Cuánto de interés se pagará por un préstamos de S/. 6000 que devenga
una tasa efectiva trimestral del 2%? El crédito se ha utilizado
durante 17 días.
Solución:
El plazo de la operación debe expresarse en periodos trimestrales (n =
17/90) porque la tasa efectiva proporcionada como dato es trimestral.
I = ? I = 6 000 (1,0217/90 – 1)
P = 6 000
i = 0,02 I = 22,49
n = 17/90
20. Calcular el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros
de S/. 5000 colocado a una tasa nominal anual del 24% con
capitalización trimestral.
Solución:
El plazo de la operación debe expresarse en periodos bimestrales (n =
60/90) porque la tasa efectiva proporcionada como dato es trimestral.
I = ? I = 5 000 ((1 + 1,24/4)2/3 – 1(
P = 5 000
i = 0,24/4 I = 198,05
n = 2/3
21. Una inversión efectuada en la Bolsa de Valores produjo un interés de
S/. 1300 durante 77 días; en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue
del 5,4% ¿Cuál fue el importe original de la inversión?
Solución:
Con los datos planteamos la ecuación del interés compuesto:
1300 = P((1 + 0,054) – 1( y despejar P.
P = ? P = 1300 .
I = 1 300 1,054 - 1
n = 77/77
i = 0,054 P = 24 074,07
22. La rentabilidad en 23 días de un paquete accionario adquirido en Bolsa
fue de S/. 500; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa
de rentabilidad del 3,9% ¿Cuál fue su precio de adquisición?
Solución:
El interés (rentabilidad) ganado en 23 días fue de S/. 500, mientras que
en el plazo de 30 días las acciones acumularon una tasa efectiva del
3,9%. Con estos datos podemos plantear la siguiente ecuación del interés
compuesto: 500 = P((1 + 0,039)23/30 - 1( y despejar P.
P = ? P = 500 .
I = 500 1,03923/30 - 1
n = 23/30
i = 0,039 P = 16 797,64
23. El 18 de enero la compañía Mari´s compró en Bolsa un paquete
accionario en S/. 90 000, el cual vendió el 26 de febrero obteniendo
una rentabilidad neta de S/. 6500. Calcule la tasa de rentabilidad
efectiva mensual que obtuvo Mari´s en esa operación.
Solución:
El problema nos pide calcular una tasa efectiva mensual conociendo I =
6500, generado por P = 90 000, en el plazo de 39 días. Estos datos
nos permiten plantear la siguiente ecuación:
6500 = 90 000((1 + i)39/30 - 1(, de la cual despejamos i.
?
90 000
39/30
6 500
24. ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de S/. 10000
produzca un interés de S/. 1,000 a una tasa nominal anual del 24% con
capitalización mensual?
Solución:
?
10 000
1 000
0,24/12
25. Un depósito de S/. 20 000 estuvo colocado durante 90 días ganando una
tasa nominal anual del 36% con capitalización diaria ¿Qué interés se
ganó el día 46 y el día 87?
Solución:
El interés ganado en el día 46 es la diferencia del interés acumulado
hasta el día 46 menos el interés acumulado hasta el día 45
I46 = 20 000(1,00146 – 1) = 941,00
I45 = 20 000(1,00145 – 1) = 920,08
Interés del día 46 = 20,92
El interés devengado en cualquier período k puede calcularse con Ik =
Pi(1 + i)n-1
Interés del día 46 = I46 = 20 000 x 0,001 (1,00146-1) = 20,92
Interés del día 87 = I87 = 20 000 x 0,001 (1,00187-1) = 21,80
26. La compañía Ferrosal ha recibido un financiamiento bancario de S/. 10
000 para cancelarlo conjuntamente con los intereses acumulados dentro
de 6 meses, generados por una tasa nominal anual del 24% capitalizable
mensualmente. En la fecha del desembolso, el préstamo fue
contabilizado de la siguiente manera:
Cargo Abono
Caja 10 000,00 Préstamo de terceros 11 261,62
Interés por devengar 1 261,62
Calcule los importes de intereses que se devengarán mensualmente.
Solución:
Los intereses que se devengarán en cada mes son:
I = ? I1 = 10 000 x 0,02(1,021-1( = 200,00
P = 10 000 I2 = 10 000 x 0,02(1,022-1( = 204,00
i = 0,24/12 I3 = 10 000 x 0,02(1,023-1( = 208,08
n = 6 I4 = 10 000 x 0,02(1,024-1( = 212,24
I5 = 10 000 x 0,02(1,025-1( = 216,48
I6 = 10 000 x 0,02(1,026-1( = 220,82
Interés acumulado = 1 261,62
27. La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. ha conseguido la
refinanciación de sus deudas vencidas y por vencer (según diagrama
adjunto), pagando una tasa efectiva del 5% mensual. Calcule el importe
a cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obligaciones.
200 800 400 X 200 250 200
0 1 2 3 4 5 6
Solución:
El importe a cancelar en el momento 3 (fecha focal) que sustituye al
total de obligaciones es la sumatoria de los flujos ubicados en los
momentos 0, 1 y 2 capitalizados hacia la fecha focal: y de los flujos 4,
5 y 6 descontados hacia la fecha focal.
X = 200(1,053) + 800(1,052) + 400(1,05) + 200(1,05-1) + 250(1,05-2) +
200(1,05-3)
X = 2 123,53
28. Sustituir dos deudas de S/. 20 000 y S/. 30 000 con vencimiento dentro
de 2 y 4 meses respectivamente por un único pago con vencimiento a 3
meses, asumiendo una tasa anual de 60% con capitalización mensual.
Solución:
El importe a cancelar en el momento 3 que sustituya a las deudas ubicadas
en los momentos 2 y 4 es la sumatoria del flujo ubicado en el momento 2
capitalizado durante un período, y del flujo ubicado en el momento 4
descontado durante un periodo.
20 000 X = ? 30 000
0 1 2 i = 0,05 3
4
X = 20 000 (1,05) + 30 000 (1,05-1)
X = 49 571,43
29. El 18 de abril, el Gerente Financiero de la Empresa Sur S.A. estaba
revisando los compromisos de pagos de la cuenta Caja-Bancos para el
mes de mayo, y encontró la siguiente información de vencimientos
pendientes con el Banco Indulin: día 20 S/. 2 500(pagaré); día 21 S/.
1 800 (letras); día 24 S/. 6 300 (préstamo) y día 28, S/. 3 500
(importaciones). Según información obtenida del flujo de caja, durante
el mes de mayo, el saldo proyectado será negativo, por lo que solicita
al banco el diferimiento de los pagos que vencen en mayo, para el 16
de junio, aceptando pagar una tasa efectiva mensual del 5% ¿Cuál es el
importe que deberá cancelar Sur S.A. en esa fecha?
Solución:
El diagrama de flujo de caja del problema es el siguiente:
2500 1800 6300 3500 X =
?
18/4 20/5 21/5 24/5 28/5 16/6
19 días
23 días
26 días
27 días
El problema se resuelve capitalizando los flujos hasta el día 16 de junio
con la tasa efectiva mensual del 5%.
X = 2500(1,0527/30) + 1800(1,0526/30) + 6300(1,0523/30) + 3500(1,0519/30)
X = 14 639,93
30. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo
precio al contado es $ 10000, bajo las siguientes condiciones: cuota
inicial equivalente al 25% del precio de contado y seis cuotas
uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es
del 5% sobre el saldo deudor.
Solución:
La cuota inicial es el 25% de $10 000 = 2 500; y el saldo a financiar es
P = $7 500; con este importe podemos plantear una ecuación de valor
equivalente igualándola con los flujos de caja futuros X, descontados con
la tasa efectiva mensual del 5% tantos períodos como sean necesarios.
Planteada la igualdad se obtiene la respuesta despejando de ella la
incógnita X.
7500 = X(1,05-1) + X(1,05-2) + X(1,05-3) + X(1,05-4) + X(1,05-5) + X(1,05-
6)
7500 = 5,075692067X
X = 1477.63
31. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las
siguientes propuestas:
a) Al contado por S/. 10 000.
b) Al crédito con una cuota inicial de S/. 4 000 y seis cuotas mensuales
de S/. 1 100
¿Qué opción aceptaría usted si el costo del dinero es del 4% efectivo
mensual y no tiene restricciones de capital?
Solución:
Formando una ecuación de valor equivalente en el momento 0 para evaluar
la propuesta b) , podemos comparar a valor presente ambas
propuestas.
Dado que la evaluación es de costos, el criterio de decisión será el
menor de los costos, en el presente caso; la propuesta b).
32. En la fecha una empresa se dispone a pagar una deuda de S/. 5000
vencida hace tres meses y otra deuda de S/. 2000 que vencerá dentro de
dos meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva anual del 36%
y las deudas vigentes generan una tasa nominal anual del 24% con
capitalización trimestral. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa?
Solución:
El importe a cancelar en el momento 0 es la sumatoria de los flujos
ubicados en los momentos -3 y 2; el primero capitalizado 3 periodos y
el segundo descontado dos periodos.
5 000
2 000
i = 36% anual i = 6% trim
-3 -2 -1 0 1 n = 2
meses
P = ?
P = 5 000(1,363/12) + 2 000(1,06-2/3)
P = 7 323,31
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