Parra Econometria Aplicada i

FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ (Doctor en Economía. Universidad Nacional de Educación a Distancia)

ECONOMETRÍA APLICADA I

Econometria Aplicada I by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional License.

ÍNDICE Parte I PRESENTACIÓN ........................................................................................................................................ 4 1. LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA .................................................................... 6 1.1. LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA ............................................................................... 6 1.2. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS...................................................................................... 12 1.3. LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA ................................................................................ 14 2. EL MODELO LINEAL GENERAL .................................................................................................. 18 2.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 18 2.2. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. ...................................................................................................................................... 18 2.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE .......................................................................................... 25 2.4. PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO CUADRADO. .................... 30 2.5. COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN PARCIAL ............................. 31 2.5.1. Coeficiente de determinación ............................................................................................. 31 2.5.2. Coeficiente de correlación parcial ...................................................................................... 35 2.6. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES ................................................................ 35 Intervalos De Confianza ..................................................................................................... 36 2.6.1. 2.6.2. Contrastes de Hipótesis ...................................................................................................... 39 2.7. TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA)............................................................. 43 2.8. PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN ................................................................ 44 2.9. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL ........................ 46 2.10. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R ........................... 54 2.11. PROBLEMAS .................................................................................................................... 59 3. EXTENSIONES AL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL ............................................................ 62 3.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 62 3.2. HETEROSCEDASTICIDAD ..................................................................................................... 65 3.2.1. Test de Bartlett ................................................................................................................... 65 3.2.2. Contraste de Goldfeld-Quant .............................................................................................. 66 3.2.3. Contraste de White ............................................................................................................. 69 3.3 AUTOCORRELACIÓN ................................................................................................................... 71 3.3.1. Contraste de Durbin-Watson .................................................................................................... 71 3.3.1. Contraste de Breush-Godfrey ................................................................................................... 75 3.4. DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD ................................................. 76 3.5. ERRORES DE ESPECIFICACIÓN ........................................................................................... 79 3.5.1. Omisión de una variable relevante...................................................................................... 80 3.5.2. Inclusión de una variable innecesaria ................................................................................. 81 3.5.3. Especificación funcional incorrecta .................................................................................... 82 3.5.4. Contraste de errores de especificación................................................................................ 83 3.6. MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS....................................................................... 84 3.7. PROBLEMAS ............................................................................................................................ 91 4. MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES ...................................................................... 95 4.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 95 4.2. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA......................................................................................... 96 4.2.1. Errores de medida en la variable endógena ........................................................................ 96 4.2.2. Errores de medida en la variable exógena .......................................................................... 97 4.3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES ............................. 100 4.4. APLICACIÓN PRÁCTICA ..................................................................................................... 102 4.5. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 104 5. MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS ........................................................................ 107 5.1. MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS COMO REGRESORES. ................................................................................................................................... 107 5.1.1. Modelos ANOVA ............................................................................................................. 108 Modelos ANCOVA .......................................................................................................... 113 5.1.2.

5.2. EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD ........................................................................................................................... 122 5.3. APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A LA REGRESIÓN POR TRAMOS. ............................................................................................................................................ 129 5.4. EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL .......................................................................... 130 5.5. EL MODELO LOGIT .............................................................................................................. 132 5.6. EL MODELO PROBIT ............................................................................................................ 137 5.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 142 6. MODELOS CON DATOS DE PANEL ........................................................................................... 145 6.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 145 6.2. ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS DE PANEL ....................... 146 6.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS DE PANEL .................. 149 6.4. MODELO DE EFECTOS FIJOS ............................................................................................. 151 6.5. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS............................................................................... 154 6.6. ELECCIÓN DE MODELO DE EFECTOS O EFECTOS ALEATORIOS .............................. 156 6.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 163 7. MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS ......................................................................... 165 7.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 165 7.2. FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA ............................................................................. 167 7.3. DETECCIÓN DE LA SIMULTANEIDAD. PRUEBA DE HAUSMAN ................................ 172 7.4. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA ....................................................................................... 177 7.4.1. Condiciones de Orden y Rango en la Identificación ........................................................ 179 7.5. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 183 8. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS ............... 185 8.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 185 8.2. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI) ................................................................... 185 8.2.1. Estimación de curvas de oferta y demanda por MCI ........................................................ 188 8.2.2. Estimación de Haavelmo de la propensión marginal al consumo por MCI ...................... 191 8.3. VARIABLES INSTRUMENTALES (VI) ............................................................................... 194 8.3.1. Estimación una función keynesiana de consumo por VI .................................................. 198 8.4. MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MC2E) ......................................................... 201 8.4.1. Estimación de un modelo de gastos e ingresos por MC2E ............................................... 204 8.5. MODELOS RECURSIVOS ..................................................................................................... 210 8.5.1. Estimación de un Modelo Recursivo de Determinación de Precios y Salarios................. 213 8.6. EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO EXACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MC2E ........................................................................................... 216 8.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 223 9. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES ............................................................................ 226 9.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 226 9.2. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. ........................................................................................................... 227 9.3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES ............................................................................ 229 9.3.1. Algoritmo de Newton-Raphson ........................................................................................ 231 9.4. EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD............................................................. 234 9.5. APROXIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR ............................................................................ 236 9.6. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 240 10. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS............................................................. 242 10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 242 10.2. FUNCIÓN NUCLEO ....................................................................................................... 244 10.3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS LOCALES .................... 249 10.4. REGRESIÓN POR SPLINES .......................................................................................... 259 10.5. APROXIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER ............................................................ 268 10.6. PROBLEMAS .................................................................................................................. 274 ANEXO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL .......................................................................... 277 ANEXO II. TABLAS ESTADÍSTICAS .................................................................................................. 293 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 302

PRESENTACIÓN En el año 2004 el Departamento de Economía Aplicada y Estadística de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) encargó a los entonces profesores de la asignatura econometría I de Administración y Dirección de Empresas y Económicas, elaborar un texto de econometría que sirviera de bibliografía básica para la misma, dicho texto que se publicó en Ediciones Académicas bajo el título de econometría, fue revisado y actualizado en 2007 y editado de nuevo por Ediciones Académicas pero con un nuevo título: Econometría Aplicada. En lo que sé, el manual sigue utilizándose como bibliografía en la UNED, ya que en septiembre del 2006 deje de ser profesor de dicha asignatura. No obstante, durante el tiempo de docencia en la UNED también participe en otros cursos de posgrado para los cuales también elaboré diferente material docente: Curso de Contabilidad Nacional y Tablas Input-Output y Curso de Eficiencia y Productividad, dentro del Programa de Doctorado del Departamento de Economía Aplicada y Estadística, y Máster en Economía Aplicada y Programa Modular Economía Aplicada. La parte que redacté de manual de Econometría y Econometría Aplicada se había basado a su vez en los apuntes de otro curso de estadística y econometría para empleados públicos que impartí junto a Mauricio Beltrán Pascual dentro de los programas de formación de funcionarios de la Junta de Castilla y León. El curso se denominaba: Estadística Aplicada a la Administración Pública, y los materiales del curso acabaron editándose por la Junta de Castilla y León, sin ISBN, en una serie de Metodologías Estadísticas, bajo el título: Apuntes de Análisis Estadístico Aplicados a la Administración Pública. La serie tuvo corta vida, ta solo dos números, y con el tiempo el curso pasó a denominarse Aplicaciones Estadísticas en las Hojas de Cálculo, y Curso de Estadística Descriptiva y Análisis de Datos con la Hoja de Calculo Excel, cuando se incluyó en el año 2007 en los programas de formación del Centro de Estudios de la Administración Regional del Gobierno de Cantabria. En el 2011 se programó el último de aquellos cursos, ya que en el 2012 pase a impartir la asignatura de Econometría dentro de la licenciatura y grado de Administración y Dirección de Empresas de la Universidad de Cantabria y andaba escaso de tiempo. Dado que había reunido un amplio material de recursos docentes tanto de la asignatura de econometría I UNED, los cursos de postgrado en los que participe, como en los cursos impartidos para

las

administraciones

públicas,

en

2007

abrí

un

blog

en

wordpress:

Http://econometria.wordpress.com/ en el que reuní una parte de aquellos documentos, que posteriormente fui ampliando bien con el material de otros cursos que me fueron encargados (Curso de Contabilidad Trimestral) y análisis estadísticos propios basados en Series de Fourier. Del blog, los recurso más descargados fueros un curso de econometría básica, y otro de

econometría avanzado, que ha sido sucesivamente actualizado con los análisis estadísticos basados en series de Fourier. Dado que ha sido ya suficiente el tiempo que ha pasado desde la aparición del primer manual de econometría editado por ediciones académicas, me propuse actualizar este con los contenidos que se difunden a través del blog, ampliando los capítulos ya publicados, redactando nuevos capítulos sobre econometría no parámetrica, cointegración, regresión en dinámica de la frecuencia y el uso de filtros desestacionalizadores, e incorporando junto a los ejemplos desarrollados en Excel otros desarrollados en R, software que está ganando mucho terreno en la docencia de la econometría. Entre dichos materiales se incluye la base teórica de librería en R “descomponer” que elaboré para extraer tendencias y estacionalidades en series de tiempo en base al periodograma de la serie temporal. Dado que uno de los contenidos de los cursos de formación para las Administraciones Públicas era la elaboración de números índices de precios y cantidades, se ha incluido otro capitulo con estos contenidos, a pesar de que los números indices no es materia de las enseñanzas de econometría. Al haber aumentado de forma notable el indice de capítulos, se ha dividido este en dos partes, en la primera se incluyen los capítulos más generales sobre la técnica econométrica y en una segunda parte los más específicos relativos a las series temporales. Desde que cree el blog de econometría aplicada, he comprobado que la mayor parte de las descargas proceden de América Latina, supongo que estos materiales están facilitando de alguna u otra manera que los jóvenes latinoamericanos puedan disponer de materiales de econometría en Castellano para completar sus estudios. Este es en definitiva el objetivo último de este manual facilitar el estudio y la aplicación de la econometría a la comunidad de hispana de la manera más abierta posible.

1.

LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA

1.1.

LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA

La Econometría es una disciplina independiente de la Estadística mediante la que se trata de contrastar la validez empírica de la teoría económica mediante modelos matemáticos y estadísticos. Para lograr este objetivo se utiliza como instrumento básico el modelo econométrico, el cual trata de ser una representación simplificada del mundo real mediante la que es posible reproducir el comportamiento y las interrelaciones que se dan entre diversas variables económicas.

El término 'econometría' fue utilizado por primera vez por Pawel Ciompa en 1910, siendo rescatado por Frisch en su artículo de 1936 titulado “Note on term ‘Econometrics’”; este autor, socio fundador de la Econometric Society, le asigna el significado que atribuimos en la actualidad a este término. Dicho significado queda recogido en el primer artículo de los estatutos de la mencionada sociedad, y en el mismo se menciona la necesidad del progreso de la teoría económica mediante la utilización del análisis estadístico y matemático.

En un sentido más formal, se han propuesto a lo largo de la historia diferentes definiciones que apuntan en la misma dirección e integran los mismos elementos (matemáticas, estadística y datos económicos). Samuelson, Koopmans y Stone (1954) definen la Econometría como “el análisis cuantitativo de fenómenos económicos actuales, basado en el desarrollo congruente de teoría y observaciones, y relacionado por métodos apropiados de inferencia”; Intriligator (1978) señala que es “la rama de la economía relacionada con la estimación empírica de las relaciones económicas”. Chow (1983) la define como el “arte y ciencia de usar métodos para la medida de relaciones económicas”. Stewart y Wallis (1984) consideran que la Econometría es aquella ciencia que “se ocupa de la medición de las relaciones entre las variables económicas y de la confrontación de la teoría con la evidencia empírica”. Finalmente, Greene (1993) señala que “es el campo de la Economía que se refiere a ésta como aplicación de la Estadística Matemática y los instrumentos de la Estadística Inferencial a la medición empírica de las relaciones postuladas por la Teoría Económica”.

Si bien el término ‘econometría’ fue reconocido en 1936, se considera a Henry Moore (1914, 1917) el primer autor en efectuar una estimación de relaciones económicas de demanda a partir de estadísticas económicas. Las regresiones lineales de Moore crearon escuela y entre sus seguidores cabe destacar a Henry Schultz, Holbrook Working y Paul Douglas, entre otros. Working (1927) planteó la estimación de mercados en equilibrio, descubrió en sus trabajos los problemas asociados a los errores en las variables y planteó inicialmente la importancia de las expectativas. Schultz (1938) publicó un libro íntegramente dedicado a la teoría y análisis de la demanda en Estados Unidos, demostrando una preocupación permanente por la unión entre teoría y medida.

La otra área de estudio con interés para los pioneros del análisis estadístico económico, la constituían los ciclos económicos. Si bien en los trabajos iniciales de Sir William Petty se dejaba constancia de los ciclos, no será hasta el siglo XIX cuando renacerá la curiosidad por su estudio. Así, el físico francés Clement Juglar (1819-1905) es el primero en utilizar las series históricas para el estudio del ciclo en los negocios, descubriendo un ciclo para la inversión de 7 a 11 años de duración. A este trabajo le siguen los de Kitchin, Kuznets y Kondratieff, identificando un ciclo de los inventarios de 3 a 5 años, un ciclo de la construcción de 15 a 25 años y un ciclo de actividades a largo de 45 a 60 años.

En general estos estudios de los ciclos y los emprendidos posteriormente por Mitchell (1927) y Burns y Mitchell (1947) en el National Bureau of Economic Research, fueron de tipo morfológico y descriptivo, por lo que las relaciones entre variables constituían un segundo plano de interés. No servirán, por tanto, de ayuda para el empuje del análisis econométrico ya que sus objetivos y metodología son diferentes.

Por el contrario, los trabajos de Wright (1915, 1928), Working (1927), Tinbergen (1930) y Frisch (1933) sobre análisis de la demanda, planteando el problema de la identificación en las relaciones estructurales entre variables económicas, sientan las bases para el desarrollo econométrico que culminaría en la creación de la Econometric Society en 1930, de la mano de Fisher, Frisch y Roos. Dicha sociedad, junto con los trabajos de la Cowles Commission, sentaran las bases de la Econometría actual.

La importancia asignada a la creación de la Econometric Society se debe a la obtención de una agrupación de economistas con preocupaciones de tipo cuantitativo, creando un instrumento de expresión de los mismos mediante la revista Econométrica. En ese momento la Econometría deja de ser una actividad dispersa, facilitándose el intercambio de información entre investigadores, convirtiéndose así en un movimiento organizado con un medio para el intercambio de ideas y

resultados.

Una vez creada la Econometric Society era importante disponer de una institución donde localizar y centralizar las investigaciones sobre la nueva disciplina; éste será el papel a desempeñar por la Cowles Commission. La Cowles Commission for Research in Economics, era una institución sin fines lucrativos fundada por Alfred Cowles III, presidente de una sociedad de inversores. Su objetivo era la aplicación de las matemáticas a la economía con el fin de obtener buenas predicciones de las cotizaciones en Bolsa.

Sin embargo, no tardarán en aparecer las primeras críticas a los métodos utilizados por los primeros económetras, Así, podemos encontrar la del propio Keynes juzgando a la econometría como próxima a la alquimia y sin resultados fiables al considerar el contexto económico difícilmente modelizable por relaciones matemáticas, o la de Milton Friedman dudando del método de Tinbergen para seleccionar una teoría económica entre varias estimadas empíricamente. Asimismo, un alumno de Frisch, Trygve Haavelmo (1943,1944) demuestra la inconsistencia de la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y la simultaneidad en los sistemas macroeconómicos, poniendo de manifiesto la necesidad de cuestionar los procedimientos basados en MCO. Haavelmo propone la introducción del modelo probabilístico para sustentar la base de la metodología econométrica, modelo que será adoptado inicialmente por la Cowles Commission para realizar estimación e inferencia.

En 1950 la Cowles Commission publicó la obra "Statistical Inference in Dynamic Economic Models", obra elaborada por un equipo de prestigiosos investigadores del que formaron parte Marschak, Tjalling, Koopmans, Hurwicz, Rubin, Klein y Anderson, que recogía todos los trabajos y avances realizados en años anteriores y establece las normas básicas de la investigación econométrica.

Todo el conocimiento acumulado en los años treinta y cuarenta conduce un espectacular desarrollo de la Econometría durante los años cincuenta; de entre los avances que se producen en la época cabe destacar los siguientes: −

A mediados de los años cincuenta aparece el método de estimación por Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E), desarrollado por Theil (1954, 1958) y Bassmann (1957), el cual debido a su sencillez y facilidad de cálculo gozará de una gran aceptación como

método de estimación de modelos de ecuaciones simultáneas frente a los métodos de Máxima Verosimilitud con Información Completa (MVIC), propuesto por Koopmans (1950), y con Información Limitada (MVIL), propuesto por Anderson y Rubin (1949); posteriormente, a finales de esta década, aparecerá el método de las Variables Instrumentales (VI) propuesto por Sargan (1958). −

Klein y Goldberger (1955) desarrollan y perfeccionan su trabajo anterior, dando lugar a uno de los modelos más populares entre los económetras: el modelo Klein-Goldberger, el cual incorpora novedades a las especificaciones de los modelos macroeconómicos precedentes, determinando el consumo no solamente a través de la renta, sino también a través de los efectos riqueza e impuestos, e incorporando por primera vez funciones de producción.

−

Otro acontecimiento de importancia capital en el desarrollo de la econometría y los grandes modelos estructurales se produce en 1958, cuando los editores de Econometrica promueven un Congreso bajo el título de “Estimación de ecuaciones simultáneas: ¿Alguna sentencia?” y con el que se pretendía establecer un debate sobre el método propuesto por la Cowles Commission. Como era de esperar, en dicho Congreso hubo diferentes posiciones, destacando las de Liu (1960), Hildreth (1960), Christ (1960) y Klein (1960).

Sin embargo, el esplendor de que gozó la Econometría en los años cincuenta pronto se vería eclipsado por la crisis que se produjo a comienzos de los años setenta a causa de la elevación de los precios energéticos, hecho que no pudo ser previsto por ningún modelo econométrico. Ello afectó directamente al pensamiento económico general y al desarrollo posterior de la Econometría.

Una de las primeras críticas que se lanzó en contra de los modelos econométricos era que se habían dejado de lado los planteamientos microeconómicos, por lo que los modelos econométricos que sólo utilizaban agregados macroeconómicos no podían representar de forma consistente la conducta racional y optimizadora de los agentes económicos. Esta crítica propició la incorporación de datos y relaciones microeconómicas, dando lugar a la rama conocida como Microeconometría. Entre los principales desarrollos alcanzados en esta área cabe destacar los siguientes: −

Por un lado, los Modelos con Variable Dependiente Cualitativa, en los que se considera que la variable dependiente admite un conjunto acotado de valores discretos,

generalmente 0 ó 1, mediante los que es posible representar cualidades de los individuos. Entre los trabajos pioneros en este campo están los de McFadden (1974, 1976) y Amemiya (1978), en los que se considera una aproximación logística en la estimación de estos modelos (modelo Logit), mientras que en Albright, Lerman y Manski (1977) se estudia la aproximación mediante una distribución Normal (modelo Probit). −

Por otro lado, los Modelos de Datos de Panel en los que se incluye información de una muestra de agentes económicos (individuos, empresas, bancos, ciudades, países, etc.) durante un determinado período de tiempo, combinando así la dimensión temporal y la dimensión estructural de los datos. Entre los trabajos más notables de esta línea, cabe mencionar a Kuh (1959), Balestra y Nerlove (1966), Rosenberg (1973) y Swamy y Mentha (1977).

Mención aparte merece el espectacular desarrollo que se produce en esta década del análisis econométrico de series temporales, tanto de tipo multivariante como, especialmente, univariante.

Los modelos univariantes de series temporales giran, de forma mayoritaria, en torno a la metodología desarrollada por Box y Jenkins (1970). Dichos autores proponen la construcción de modelos sobre una variable temporal, tratándola como un mecanismo autónomo, cuya gran ventaja es la mejora de las predicciones a corto plazo. La metodología Box-Jenkins supone la ruptura con la econometría clásica y con el pensamiento económico en general al no existir una relación con la teoría económica, por lo que no pueden ser considerados como una alternativa a los modelos estructurales multiecuacionales.

Sin embargo, la principal crítica realizada durante los años setenta de los métodos econométricos se centra en la identificación y estimación de modelos multiecuacionales. Partiendo del trabajo de Muth (1961), Lucas (1972, 1973), Sargent (1973) y Sargent y Wallace (1975), abanderados de la escuela de las expectativas racionales, plantean la duda sobre la permanencia a lo largo del tiempo de los parámetros estructurales incluidos en los modelos macroeconómicos, ante cambios en la política económica del gobierno. Es decir, no existe nada que nos garantice que la estructura de las reglas de decisión de los agentes económicos quedará inalterada al modificar las reglas de política económica; y dado que esta estructura es la que representa el modelo, no hay razón para pensar que los parámetros del mismo sean fijos. Por tanto, si no separamos los parámetros de las decisiones políticas de los de las relaciones económicas, los modelos que estimemos no podrán ser utilizados en la toma de decisiones.

La solución adoptada para resolver este problema ha sido la inclusión del proceso de formación de las expectativas racionales en los modelos econométricos, asegurando la coexistencia entre expectativas y simulaciones mediante la imposición de restricciones paramétricas entre ecuaciones.

Finalmente, otra crítica importante a la econometría clásica es la planteada por Sims (1980, 1982) a comienzos de los años ochenta. La idea central de Sims es que no es necesaria la existencia de una teoría económica a priori para establecer las restricciones que hagan posible la identificación de modelos estructurales, ya que no es necesario para la previsión y simulación. Sims propone una nueva clase de modelos como alternativa a los modelos de ecuaciones simultáneas, los Vectores Autorregresivos (VAR), en los que no es necesario clasificar las variables en endógenas y exógenas.

Sin embargo, el desconocimiento que los modelos VAR conllevan sobre las relaciones de tipo estructural (variables endógenas, exógenas, forma estructural) no permite realizar una aproximación a los efectos producidos por cambios en la política económica, con lo que su campo de aplicación se limita a la simple previsión.

A finales de la década pasada. Granger y Newbold (1974) advirtieron sobre el peligro que supone especificar relaciones espúreas, es decir, relaciones no de causalidad sino de casualidad. Sus estudios aumentaron el interés por la modelización dinámica y las propiedades a largo plazo de los modelos econométricos. Su contribución ha dado lugar a los conceptos de cointegración (Granger, 1981), el test de raiz unitaria (Dickey y Fuller, 1979) y los modelos de corrección de error (Sargent, 1984).

En los últimos años, en paralelo al avance de las nuevas tecnologías de la información y al desarrollo de las grandes bases de datos, asistimos a un nuevo cambio conceptual de la teoría econométrica, poniendose en cuestión los supuestos sobre la normalidad de la distribución de probabilidad de las variables sujetas al análisis. Otros problemas que enfrentan los investigadores hoy día son la existencia de datos imperfectos con poca correspondencia con las variables definidas en los modelos económicos y el poco entendimiento del verdadero significado de algunas pruebas de hipótesis. En consecuencia, se estan produciendo desarrollos teóricos que permiten un mayor acercamiento a los procesos económicos tal y como se presentan y que no exigen el supuesto de normalidad de las variables bajo estudio (o del término de error). Entre los avances teóricos más recientes que merecen ser mencionados se encuentran el desarrollo de la econometría no paramétrica y la econometría de series de tiempo no lineales.

1.2.

LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS

El método científico en las Ciencias Sociales se basa tanto en la deducción como en el conocimiento empírico. La deducción es el proceso de razonamiento lógico que conduce a unas conclusiones partiendo de unas premisas o informaciones iniciales. El conocimiento empírico objetiva el conocimiento a través de la experiencia, de los hechos y de la Historia. El punto de partida del investigador es la realidad, los hechos económicos tal y como se producen en la sociedad. La lectura de esos datos y el conocimiento general de la realidad sugerirán al investigador alguna hipótesis explicativa de las razones por las que los datos ofrecen una determinada magnitud o evolución. Esas hipótesis son las que permiten organizar los datos y dan lugar a la formulación de leyes, teorías y modelos. Las leyes expresan las regularidades encontradas en las series de datos. Las teorías son una forma de organizar las hipotéticas leyes y facilitan la comprensión del funcionamiento de la economía. Finalmente, los modelos son construcciones intelectuales basadas en las teorías que permiten realizar estimaciones de los efectos que pueden derivarse de cambios en los datos reales. Los modelos constituyen por tanto un puente entre la teoría pura y el mundo real, pudiendo contrastarse si una determinada teoría es una buena representación de los hechos que trata de explicar o no. En el caso de la ciencia económica, los modelos están basados generalmente en supuestos simplificadores de la realidad y están formados generalmente por ecuaciones matemáticas que relacionan distintas variables. Dichas variables pueden dividirse en variables exógenas, que son aquellas cuyos valores deben ser tomados de la realidad; y variables endógenas, que son aquellas cuyo valor es deducido al operar con las ecuaciones del modelo. Ambos tipos de variables se relacionan mediante un conjunto de parámetros, los cuales deben ser estimados. Los modelos permiten realizar predicciones económicas susceptibles de ser contrastadas con la realidad. Dichas predicciones son probabilísticas y no deterministas; es decir, que con los modelos económicos no es posible predecir con precisión cuál será, por ejemplo, el consumo exacto que realizará un determinado individuo, pero sí se puede prever el comportamiento de grandes agregados de consumidores estableciendo unos márgenes de error entre los que estará comprendido, o lo que es lo mismo, estimando la probabilidad de que esa predicción se cumpla. Según el objeto de análisis, podemos distinguir diversos tipos de modelos económicos: −

Modelos Macroeconómicos, cuando los modelos representan la economía en su totalidad; se trata de modelos en los que generalmente existe poco detalle sectorial con los que se

pretende cuantificar los resultados de las políticas macroeconómicas, como puede ser un aumento del gasto público o de la imposición directa. La mayoría de los economistas que realizan predicciones utilizan tales modelos. −

Modelos Microeconómicos, los cuales analizan la situación de una cierta industria, mercado o institución.

Asimismo, atendiendo al tipo de relaciones que se establecen entre las variables del modelo podemos distinguir entre: −

Modelos Deterministas, en los que las relaciones exactas entre las variables del modelo son exactas. Se trata generalmente de modelos en los que se parte de una o varias variables, denominadas inputs, a partir de las cuales se intenta conocer el comportamiento de otras variables, denominadas output, mediante diversas transformaciones matemáticas. Un ejemplo de este tipo de modelos son las tablas input-output de Leontief.

−

Modelos Estocásticos, en los que las relaciones entre las variables no son exactas, ya que existe un componente de carácter aleatorio, denominado término de error o perturbación aleatoria, que forma parte de las ecuaciones del modelo. Dicho componente aleatorio recoge todos aquellos aspectos que no quedan especificados en la relación causal establecida en el modelo tales como determinadas circunstancias acontecidas de carácter impredecible (shocks) que influyen en la relación estudiada y los errores en la medición, documentación y computación de las variables observables que aproximan las variables teóricas del modelo. En la literatura económica, la mayor parte de los modelos econométricos son de este tipo estocástico.

Según el tipo de datos de las variables utilizadas en el modelo, podemos distinguir entre: −

Modelos de Series Temporales, en los que se utilizan datos recogidos a lo largo de un determinado periodo de tiempo: días, semanas, meses, trimestres o años. Ejemplos de este tipo de variables son las cotizaciones diarias de las acciones, el Índice de Precios al Consumo, la Encuesta de Población Activa, los datos anuales y trimestrales del Producto Interior Bruto, etc.

−

Modelos de Series de Corte Transversal, en los que se utilizan datos referidos a diferentes individuos en un mismo momento del tiempo. Ejemplos de datos transversales serían los productos consumidos por diferentes familias en un determinado año, las ventas que

realizan diversas empresas que forman una determinada industria en un determinado trimestre, el paro registrado en los municipios españoles en un determinado semestre, etc. −

Modelos de Datos de Panel, en los que se combinan datos de diversos individuos recogidos a lo largo del tiempo.

Considerando la existencia o no de retardos de las variables incluidas en el modelo podemos diferenciar entre:

−

Modelos Estáticos, cuando las relaciones entre las variables del modelo tienen lugar en el mismo instante del tiempo tanto para la variable endógena como para todas las variables explicativas del modelo.

−

Modelos Dinámicos, cuando las relaciones entre las variables del modelo están referidas a diferentes momentos en el tiempo, de forma que un modelo dinámico se construye con variables retardadas.

Finalmente, según el número de variables endógenas que deseemos explicar podemos distinguir entre: −

Modelos Uniecuacionales, que constan de una única variable endógena.

−

Modelos Multiecuacionales, que poseen varias variables endógenas, algunas de las cuales pueden ser a su vez variables explicativas en otras ecuaciones.

1.3.

LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA

En términos generales, la metodología econométrica tradicional considera los siguientes pasos en lo referente a la elaboración de modelos: 1. Planteamiento de la teoría o hipótesis: generalmente se utiliza una construcción teórica de la Macroeconomía y/o Microeconomía, como por ejemplo la función keynesiana de consumo, la curva de Phillips, la teoría de la demanda del consumidor, etc. 2. Especificación: el siguiente paso es establecer la relación formal entre las variables a que da lugar la teoría. Dicha relación se establece en forma matemática funcional, mediante una ecuación o un sistema de ecuaciones. Las variables que reciben los efectos son las variables endógenas, las cuales figuraran a la izquierda de las igualdades, mientras que las que producen los efectos, son las denominadas variables exógenas, las cuales aparecen

en el lado derecho de las ecuaciones. Los efectos de cada variable exógena se cuantifican a través de una serie de parámetros que debemos estimar. Asimismo, en cada ecuación del modelo existirá un término de error o perturbación que recoge los efectos aleatorios y que tendrá unas propiedades probabilísticas definidas. Una vez establecida la relación funcional matemática, deberemos seleccionar datos de los que dispongamos nos servirán para representar los valores de las variables teóricas. Por ejemplo, si incluimos en el modelo como variable teórica la renta tendremos que elegir los datos que utilizaremos para representar dicha variable de entre las encuestas de que dispongamos: la renta familiar disponible, la renta interior, la renta nacional, etc. En algunas ocasiones, puede ocurrir que no exista una variable estadística que responda a los requisitos que exijamos, por lo que deberemos considerar la existencia de un posible error de observación. En definitiva, para la especificación de un modelo completo habrá que especificar claramente lo siguiente: −

variables endógenas teóricas (y sus respectivos valores observados)

−

variables exógenas teóricas (y sus respectivos valores observados)

−

perturbaciones aleatorias (no observables)

−

errores de observación en las variables endógenas

−

errores de observación en las variables exógenas.

3. Selección de datos: una vez hemos especificado el modelo procederemos a la obtención de un número de suficiente de datos que tengan las siguientes características: −

Suficientes: como mínimo para poder realizar la estimación, el número de observaciones debe ser igual al número de parámetros que queremos estimar; de lo contrario, la estimación obtenida no resultará fiable.

−

Homogéneos: los datos deben estar expresados de una forma homogénea; esto quiere decir que todos deben estar expresados en las mismas magnitudes o valores y tienen que haber sido obtenidos por procedimientos estadísticos semejantes. Asimismo, si fuera necesario, todas las variables deberán estar corregidas de la misma manera de determinados efectos que se dan en las variables económicas como la tendencia o la estacionalidad.

−

Actuales: la falta de actualidad en los datos es un problema grave, en particular si el modelo que construimos tiene como finalidad predecir los valores futuros o realizar simulaciones de política económica.

4. Estimación: se trata del procedimiento utilizado para obtener el valor de los parámetros del modelo. Habitualmente la técnica utilizada es el análisis de regresión que incluye diferentes técnicas: Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), Mínimos Cuadrados Indirectos (MCI), Variables Instrumentales (VI), Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E), Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG), etc. Las técnicas econométricas requieren realizar cálculos a veces muy complejos, por ello es de gran utilidad el auxiliarnos de herramientas como hojas de cálculo (Excel, Lotus 123, etc.) y programas estadísticos y econométricos (EViews, SPSS, SAS, etc.) 5. Validación: una vez que se han estimado los parámetros del modelo, habrá que verificar que los valores obtenidos concuerdan con los postulados de la teoría que se ha utilizado para la construcción del modelo. La validación del modelo se realiza mediante la técnica estadística de inferencia o contraste de hipótesis, que consiste en analizar mediante pruebas estadísticas la bondad del ajuste y la significatividad estadística de los valores estimados, de tal forma que si el modelo no ha dado los resultados esperados deberá perfeccionarse mediante: −

Un cambio en la forma matemática funcional del modelo.

−

Incluyendo en el modelo alguna variable explicativa que haya sido omitida.

−

Reemplazando las observaciones utilizadas para representar las variables endógenas y explicativas por otras que posean un menor error de observación.

6. Utilización: una vez validado, el modelo econométrico puede ser utilizado para diversas tareas tales como: −

Análisis estructural: cuantificar las relaciones que entre las variables endógenas y exógenas.

−

Predicción: dados unos valores de las variables explicativas, podemos obtener mediante el modelo estimado el valor futuro que tomará la variable endógena.

−

Simulación o evaluación de políticas: efectos que tienen sobre la variable endógena (variable objetivo) las diferentes estrategias que se planteen sobre las variables explicativas (variables de control).

2.

EL MODELO LINEAL GENERAL

2.1.

INTRODUCCIÓN

La regresión lineal es la técnica básica del análisis econométrico. Mediante dicha técnica tratamos de determinar relaciones de dependencia de tipo lineal entre una variable dependiente o endógena, respecto de una o varias variables explicativas o exógenas. Gujarati (1975), define el análisis de regresión como el estudio de la dependencia de la variable dependiente, sobre una o más variables explicativas, con el objeto de estimar o predecir el valor promedio poblacional de la primera en términos de los valores conocidos o fijos (en medias muestrales repetidas) de las últimas.

En este capitulo abordaremos el estudio del caso de una única ecuación de tipo lineal con una variable dependiente y una independiente, y la generalización del modelo al caso de múltiples variables exógenas. Las extensiones del modelo lineal general se analizaran en capítulos siguientes.

2.2.

REGRESIÓN

LINEAL SIMPLE.

EL MÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. Partimos de la existencia de una relación lineal entre una variable endógena (Y) y k variables exógenas (Xi):

Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + ... + β k X ki + ei Nuestro objetivo consiste en estimar los parámetros βi de la ecuación anterior a partir de los datos muestrales de los que disponemos. Para ello utilizaremos el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), pero antes de ver en que consiste este método debemos plantear ciertas hipótesis sobre el comportamiento de las variables que integran el modelo.

La variable et la denominamos término de perturbación o error, y en ella recogemos todos aquellos factores que pueden influir a la hora de explicar el comportamiento de la variable Y y que, sin embargo, no están reflejados en las variables explicativas, Xi. Estos factores deberían ser poco importantes, ya que no debería existir ninguna variable explicativa relevante omitida en el modelo de regresión. En caso contrario estaríamos incurriendo en lo que se conoce como un error de especificación del modelo. El término de perturbación también recogería los posibles errores de medida de la variable dependiente, Y.

De lo anterior se desprende que, a la hora de estimar los parámetros del modelo, resultará de vital importancia que dicho término de error no ejerza ninguna influencia determinante en la explicación del comportamiento de la variable dependiente. Por ello, si el modelo esta bien especificado, cuando se aplica el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, cabe realizar las siguientes hipótesis de comportamiento sobre el término de error:

1. La esperanza matemática de et es cero, tal que E(ei) = 0. Es decir, el comportamiento del término de error no presenta un sesgo sistemático en ninguna dirección determinada. Por ejemplo, si estamos realizando un experimento en el cual tenemos que medir la longitud de un determinado objeto, a veces al medir dicha longitud cometeremos un error de medida por exceso y otras por defecto, pero en media los errores estarán compensados. 2. La covarianza entre ei y ej es nula para i ≠ j tal que E(ei·ej) = 0. Ello quiere decir que el error cometido en un momento determinado, i, no debe estar correlacionado con el error cometido en otro momento del tiempo, j, o dicho de otro modo, los errores no ejercen influencia unos sobre otros. En caso de existir este tipo de influencia o correlación, nos encontraríamos ante el problema de la autocorrelación en los residuos, el cual impide realizar una estimación por Mínimos Cuadrados válida.

3. La matriz de varianzas y covarianzas del término de error debe ser escalar tal que Var(ei) = σ2I, i=1,…,n, donde I es la matriz unidad. Dado que siempre que medimos una variable, se produce un cierto error, resulta deseable que los errores que cometamos en momentos diferentes del tiempo sean similares en cuantía. Esta condición es lo que se conoce como supuesto de homocedasticidad que, en caso de no verificarse, impediría un uso correcto de la estimación lineal por Mínimos Cuadrados.

Estas hipótesis implican que los errores siguen una distribución Normal de media cero y varianza constante por lo que, dado su carácter aleatorio, hace que los errores sean por naturaleza impredecibles.

Asimismo, las variables incluidas en el modelo deben verificar que:

1. El comportamiento de la variable independiente Y se ajusta al modelo lineal durante todo el periodo muestral, es decir, no se produce un cambio importante en la estructura de comportamiento de Y a lo largo de la muestra considerada.

2. Las variables explicativas, Xi, son no estocásticas, es decir, son consideradas fijas en muestreos repetidos.

3. El número de variables explicativas, k, siempre debe ser menor que el tamaño muestral, n. Es decir, siempre debemos disponer de más observaciones que parámetros haya en el modelo (coeficientes β).

Partiendo de la relación lineal más sencilla:

Yi = β 0 + β 1 X 1i + ei Si suponemos que se verifican los supuestos anteriores, la estimación mínimo cuadrática de los parámetros β0 y β1, dará como resultado gráfico una recta que se ajuste lo máximo posible a la nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi), tal y como se puede apreciar en el Figura 2.1.

Fig. 2.1. Nube de puntos o gráfico de dispersión con variables relacionadas linealmente

El término de error, ei, puede ser entendido, a la vista del gráfico anterior, como la distancia que existe entre el valor observado, Yi, y el correspondiente valor estimado, que sería la imagen de Xi en el eje de ordenadas. El objetivo de la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios es, precisamente, minimizar el sumatorio de todas esas distancias al cuadrado; es decir1:

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ei2 = ∑ (Yi −Yî ) 2 = ∑ (Yi − βˆ0 − βˆ1 X i ) 2

Min

Derivando esta expresión respecto a los coeficientes βˆ 0 y βˆ1 e igualando a cero obtenemos el sistema de ecuaciones normales:

n

n

i =1

i =1

∑ Yi = nβˆ0 + βˆ1 ∑ X i ⇒ Y = βô + βˆ1 X n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ Yi X i = βˆ0 ∑ X i + βˆ1 ∑ X i2

1

Los parámetros y variables que llevan encima un símbolo de acento circunflejo (^) indican que son estimadas por lo que no se corresponden con el valor real del parámetro sino con el calculado por nosotros.

donde n representa el tamaño muestral y X e Y representan las medias de dichas variables. Resolviendo dicho sistema de ecuaciones obtenemos la solución para los parámetros a y b:

∑ (X n

βˆ1 =

i =1

i

− X )(Yi − Y )

∑ (X n

i =1

−X)

2

i

βô = Y − βˆ1 X

Ejemplo 2.1. Supongamos que el director de una empresa piensa que la demanda de un producto que él comercializa depende únicamente del precio de venta al público. Para estudiar la demanda de este producto pretende estimar el siguiente modelo:

Yt = β 0 + β 1 X t + et

donde Yt es la cantidad vendida anualmente del bien Y en el año t, y Xt es el precio medio al cual se vendió el bien Y durante el año t. Se dispone de los siguientes datos muestrales:

Año

Yt

Xt

1988

10

19

1989

12

18

1990

13

16

1991

14

15

1992

15

15

1993

17

14

1994

20

14

1995

21

13

1996

22

12

1997

20

13

A partir de estos datos iniciales podemos calcular la siguiente tabla:

Yt

Xt

(Yt − Y )

(X t − X )

(Yt − Y )·( X t − X )

(X t − X )2

(Yt − Y ) 2

10

19

-6.4

4.1

-26.24

16.81

40.96

12

18

-4.4

3.1

-13.64

9.61

19.36

13

16

-3.4

1.1

-3.74

1.21

11.56

14

15

-2.4

0.1

-0.24

0.01

5.76

15

15

-1.4

0.1

-0.14

0.01

1.96

17

14

0.6

-0.9

-0.54

0.81

0.36

20

14

3.6

-0.9

-3.24

0.81

12.96

21

13

4.6

-1.9

-8.74

3.61

21.16

22

12

5.6

-2.9

-16.24

8.41

31.36

20

13

3.6

-1.9

-6.84

3.61

12.96

Total

164

149

0

0

-79.6

44.9

158.4

Media

16.4

14.9

Aplicando las formulas vistas anteriormente: n

βˆ1 =

∑(X t =1

t

− X )(Yt − Y )

n

∑(X i =1

t

− X )2

=

−79.6 = −1.7728 44.9

βˆ0 = Y − βˆ1 X = 16.4 − (−1.7728·14.9) = 42.82

de donde la ecuación de la recta estimada será: Yt = 42.82 − 1.7728 X t + et

Finalmente, sustituyendo en la expresión anterior los valores de Xt podemos obtener los valores de Yˆt y el valor de los términos de error et:

Yˆt

et = Yt − Yˆt

9.13140312

0.86859688

10.9042316

1.09576837

14.4498886

-1.44988864

16.2227171

-2.22271715

16.2227171

-1.22271715

17.9955457

-0.99554566

17.9955457

2.00445434

19.7683742

1.23162584

21.5412027

0.45879733

19.7683742

0.23162584

2.3.

REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Pasamos a continuación a generalizar el modelo anterior al caso de un modelo con varias variables exógenas, de tal forma que se trata de determinar la relación que existe entre la variable endógena Y y variables exógenas: X1, X2.…, Xk. Dicho modelo se puede formular matricialmente de la siguiente manera:

Y = X ·β + e = β 1 X 1i + β 2 X 2i + ... + β k X ki + ei , i=1,2,…, n

donde:  Y1    Y  Y =  2  es el vector de observaciones de la variable endógena ...    Yn   X11 X12  X 22 X X =  21 ... ...   X n1 X n2

... X1k   ... X 2k  = [X1 X2 ... Xk ] es la matriz de observaciones de las variables ... ...   ... X nk 

exógenas  β1    β  β =  2  es el vector de coeficientes que pretendemos estimar ...    βK   e1    e  e =  2  es el vector de términos de error ...    en  Si en la expresión anterior se considerara que existe término independiente, β0, la matriz X quedaría como:

 1 X 11  1 X 21 X =  ... ...   1 X n1

X 1k   ... X 2 k  = 1 X1 ... ...    ... X nk  ...

X 3 ...

X k 

Y el modelo quedaría así:

Yi = β o + β 1 X 1i + β 2 X 2i + ... + β k X ki + ei , i=1,2,…, n Suponiendo que se verifican las hipótesis que veíamos antes, el problema a resolver nuevamente es la minimización de la suma de los cuadrados de los términos de error tal que:

Min ∑ e = ∑ (Y − Yˆ ) = ∑ (Y − βˆX ) n

i =1

n

2 i

2

i

i =1

i

n

2

i =1

Desarrollando dicho cuadrado y derivando respecto a cada βi obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones normales expresado en notación matricial:

X ' X ·βˆ = X ' Y en donde basta con despejar β premultiplicando ambos miembros por la inversa de la matriz ( X ' X ) para obtener la estimación de los parámetros del modelo tal que:

βˆ = ( X ' X ) −1 X ' Y donde:

 n 2  ∑ X 1i  t =1  n X 2i X 1i X ' X = ∑ t =1   n .....  X X  ∑ ki 1i  t =1

n

∑ X 1i X 2i t =1 n

∑X t =1

2 2i

..... n

∑X t =1

ki

X 2i

 X 1i X ki  ∑ t =1  n  ... ∑ X 2i X ki  t =1  ... .....  n ... X ki2  ∑ t =1  n

...

 n   ∑ X 1i Yi   t =1   n  X 2i Yi  X `Y =  ∑  t =1   n ....   X Y   ∑ ki i   t =1 

Si en el modelo existiera término independiente, β0, las matrices anteriores serían:

  n   n X 1i X' X = ∑ t =1   n.....  X  ∑ ki  t =1

n

∑ X 1i t =1

n

∑X t =1

2 1i

..... n

∑X t =1

ki

X 1i

  n  X   ∑ Yi  ∑ ki t =1   t =1  n   n  ... ∑ X 1i X ki  X `Y =  ∑ X 1i Yi  t =1   t =1  ... .....   n ....  n  X Y ... X ki2  ∑  ∑ ki i  t =1    t =1 n

...

El resultado de multiplicar dichas matrices conduce a la obtención de la estimación de los parámetros βi del modelo:

  n   n − 1 X 1i βˆ = ( X ' X ) X ' Y =  ∑  t =1  n.....  X  ∑ ki  t =1

n

∑X t =1

1i

...

n

∑X

2 1i

...

.....

...

t =1 n

∑X t =1

ki

 X ki  ∑ t =1  n  X 1i X ki  ∑ t =1  .....  n X ki2  ∑ t =1  n

X 1i

...

−1

 n   ∑ Yi   i =1   βô  n    ˆ   ∑ X 1iYi  =  β1   i =1   ...   n ....   ˆ   X Y   βk   ∑ ki i   i =1 

Cada uno de los coeficientes estimados, βî , son una estimación insesgada del verdadero parámetro del modelo y representa la variación que experimenta la variable dependiente Y cuando una variable independiente Xi varía en una unidad y todas las demás permanecen constantes (supuesto ceteris paribus). Dichos coeficientes poseen propiedades estadísticas muy interesantes ya que. si se verifican los supuestos antes comentados, son insesgados, eficientes y óptimos.

Ejemplo 2.2. Un investigador estudia el empleo en el sector turístico en España. Para ello dispone de información relativa al empleo en los hoteles (Y), número de turistas medido en miles (X1), y la estancia media de los turistas (X2) medida en días. Los datos disponibles son de corte transversal y pertenecen a cada una de las 17 Comunidades Autónomas.

Provincias

Empleo (miles) 28.4 3.6 2.4 25.9 27.2 2.0 6.2 2.8 23.5 13.4 2.2 6.3 10.7 2.0 1.1 3.2 0.7

Andalucía Aragón Asturias Baleares Canarias Cantabria Castilla y León Castilla-La Mancha Cataluña Comunidad Valenciana Extremadura Galicia Madrid Murcia Navarra País Vasco Rioja (La)

Número de viajeros (miles) 11902.5 1848.0 1088.2 6716.0 4875.7 933.8 3647.6 1805.1 10771.7 5579.7 1000.7 3040.5 5748.9 882.5 557.7 1540.6 446.2

Estancia media 3.1 2.1 2.3 7.2 7.8 2.4 1.7 1.7 3.4 3.9 1.7 2.1 2.1 3.0 2.0 1.9 1.8

El modelo teórico a estimar con la información disponible es el siguiente: Yi = β0+β1 X1i + β2 X2i + ei Para proceder a estimar es modelo lo más conveniente es calcular la matriz de productos cruzados:

Y

X1

Y X1 X2

3193

17

en donde

∑Y i =1

17

∑X i =1

i

2

= 3193 ,

1i X 2 i = 227645 y

17

∑Y X i =1

17

∑X i =1

2 2i

i

1i

= 203

X2

1101921 426702792

= 1101921 ,

709 227645 203 17

∑Y X i =1

i

2i

= 709 ,

17

∑X i =1

2 1i

= 426702792 ,

Teniendo presente que:

N = 17 17

∑Y i =1

i

= 161.8

17

∑X i =1

1i

= 62385.5

2i

= 50.3

17

∑X i =1

del que se conocen los siguientes resultados:

62386 50   17  ( X ' X ) =  62386 426702792 227645   50 227645 203  

 162  ( X ' Y ) = 1101921  709   

Vamos a estimar el modelo propuesto por Mínimos Cuadrados Ordinarios. Para ello, basta con multiplicar las matrices tal que:

βˆ = ( X ' X )

−1

−0.00001 −0.048   162   −5.702   0.231  X ' Y = −0.00001 0.00000001 −0.000005   1101921 =  0.006        −0.048   709   2.679  − 0.000005 0.022     

Por lo que el modelo queda como sigue:

ˆ Y i = -5.702+0.006 X1i + 2.679 X2i donde βˆ1 = 0.006 indica el efecto de las variaciones unitarias del número medio de turistas sobre el empleo del sector, y βˆ 2 = 2.679 mide la variación que se produciría en empleo si la estancia media aumentara en una unidad.

2.4.

PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO CUADRADO.

−1 ˆ El estimador β = ( X ' X ) X ' Y puede escribirse como:

βˆ = ( X ' X ) −1 X ' ( Xβ + e) = β + ( X ' X ) −1 X ' e Si se cumplen las hipótesis de comportamiento sobre el término error, la distribución de

ˆ probabilidad del estimador MCO β será uno distribución normal multivariante con vector de medias β y matriz de varianzas y covarianzas

σ 2 ( X ' X ) −1

.

La esperanza matemática del estimador MCO se demuestra a partir de:

[

]

E ( βˆ ) = E β + ( X ' X ) −1 X ' e = β + ( X ' X ) −1 X ' E (e) = β . De la definición de matriz de varianzas y covarianzas, se tiene que:

(

)(

)

' var(βˆ ) = E  βˆ − E ( βˆ ) βˆ − E ( βˆ )   

Teniendo presente que

(βˆ − E(βˆ )) = β + ( X ' X )

−1

X ' e − β = ( X ' X ) −1 X ' e

Entonces

[

]

var(βˆ ) = E ( X ' X ) −1 X ' ee' X ( X ' X ) −1 = ( X ' X ) −1 X ' E (ee')X ( X ' X ) −1 = σ 2 ( X ' X ) −1 El estimador

βˆ j

del parámetro

verdadero valor del parámetro

βj

es insesgado porque su esperanza matemática coincide con el

E ( βˆ j ) = β j

Se dice que un estimador insesgado varianza muestral de

βˆ j

βj

~

es mas eficiente que otro estimador insesgado

βj

, si la

~

es menor que la varianza muestral de

demuestra que el estimador MCO insesgados de

βˆ j

.

βˆ j

βj

. El teorema de Gauss-Markov

es el más eficiente de la clase de estimadores lineales e

.

Según el Teorema de Gauss-Markov, cualquier estimador lineal de puede expresarse como:

β = [( X ' X ) −1 X '+ D ]Y = [( X ' X ) −1 X '+ D ]( Xβ + e ) = β + DX + ( X ' X ) −1 X ' e + De

donde D es una matriz (k×n) arbitraria, que establece la diferencia entre el estimador MCO y el estimador alternativo.

La esperanza de dicho estimador es:

( )

~ E β = β + DX ~

Si β es insesgado, entonces DX = 0 . En otras palabras el estimador alternativo sólo será insesgado si la matriz de distancia es ortogonal a las variables explicativas.

A continuación obtenemos la matriz de covarianzas de este estimador

[(

)(

~ ~ ~ ~ ~ var(β ) = E β − E ( β ) β − E ( β )

)] '

Teniendo presente que :

(β~ − E (β~)) = β + DX + ( X ' X )

−1

[

]

X ' e + De − β = ( X ' X ) −1 X '+ D e

entonces,

(

)

(

[

)

~ var(β ) = ( X ' X ) −1 X '+ D E (ee') D'+ X ( X ' X ) −1 = σ 2 ( X ' X ) −1 + D' D

] ~

ˆ y como D' D es una matriz semidefinida positiva, se demuestra que la var(β ) > var(β ) con ~

independencia de la normalidad o no de las distribución β .

2.5.

COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN PARCIAL

2.5.1. Coeficiente de determinación Una vez estimada la ecuación de regresión lineal tiene interés determinar la exactitud del ajuste realizado. Para ello hay que analizar la variación que experimenta esta variable dependiente y, dentro de esta variación, se estudia qué parte está siendo explicada por el modelo de regresión y qué parte es debida a los errores o residuos.

La forma de realizar dicho análisis es a partir de la siguiente expresión:

SCT = SCE + SCR

donde:

−

SCT: es la Suma de Cuadrados Totales y representa una medida de la variación de la variable dependiente.

−

SCE es la Suma de Cuadrados Explicados por el modelo de regresión.

−

SCR es la Suma de Cuadrados de los Errores

Cuando el modelo tiene término independiente, cada una de estas sumas viene dada por:

n

SCT = Y 'Y − nY 2 = ∑ Yi 2 − nY 2 i =1

n

SCE = βˆ ' X ' Y βˆ − nY 2 = ∑ Yî 2 − nY 2 i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

SCR = ∑ ei2 = Y ' Y − βˆ ' X ' Y = ∑ Yi 2 − ∑ Yî 2 =SCT − SCE

A partir de las expresiones anteriores es posible obtener una medida estadística acerca de la bondad de ajuste del modelo mediante lo que se conoce como coeficiente de determinación (R2). que se define como:

R2 = 1 −

SCR 2 , 0 ≤ R ≤1 SCT

y en el caso particular de modelo con término independiente. como:

R2 =

SCE 2 , 0 ≤ R ≤1 SCT

Mediante este coeficiente es posible seleccionar el mejor modelo de entre varios que tengan el mismo número de variables exógenas. ya que la capacidad explicativa de un modelo es mayor

cuanto más elevado sea el valor que tome este coeficiente. Sin embargo. hay que tener cierto cuidado a la hora de trabajar con modelos que presenten un R2 muy cercano a 1 pues, aunque podría parecer que estamos ante el modelo “perfecto”, en realidad podría encubrir ciertos problemas de índole estadística como la multicolinealidad que veremos en el capítulo 3.

Por otra parte. el valor del coeficiente de determinación aumenta con el número de variables exógenas del modelo por lo que. si los modelos que se comparan tienen distinto número de variables exógenas, no puede establecerse comparación entre sus R2. En este caso debe emplearse el coeficiente de determinación corregido R 2 , el cual depura el incremento que experimenta el coeficiente de determinación cuando el número de variables exógenas es mayor.

La expresión analítica de la versión corregida es:

R2 =1−

(

SCR n − k n −1 =1− 1 − R2 SCT n − 1 n−k

)

cuyo valor también oscila entre 0 y 1

Ejemplo 2.3. En el modelo del empleo en el sector hotelero los errores ei se calculan a partir de:

ei=Yi – 5.702+0.002 X1i + 2.679 X2i

El error correspondiente a cada región es: ei Andalucía Aragón Asturias Baleares Canarias Cantabria Castilla y León Castilla-La Mancha Cataluña Comunidad Valenciana Extremadura Galicia Madrid Murcia Navarra País Vasco Rioja (La)

2.193 -0.003 -0.146 -1.108 2.195 -0.508 0.044 0.424 -1.325 -2.406 1.315 0.290 -0.687 -2.034 0.432 0.703 0.622

Las expresiones SCT, SCE y SCR son:

17

SCT = Y ' Y − nY 2 = ∑ Yi 2 − 17Y 2 = 1,654 i =1

17

SCE = βˆ ' X ' Y βˆ − nY 2 = ∑ Yî 2 − 17Y 2 = 1, 627 i =1

n

SCR = ∑ ei2 = Y ' Y − βˆ ' X ' Y = SCT − SCE = 1, 654 − 1, 627 = 27 i =1

Con ellas calculamos el coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación corregido:

R2 =

R 2 = 1−

1,627 = 0.984 1,654

27 17 − 3 = 0.982 1,654 17 − 1

El coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación ajustado está cercano a uno lo que constituye una prueba de que el ajuste realizado es aceptable. El modelo estaría explicando el 98% de la variación del grado de ocupación que se da en las Comunidades Autónomas.

2.5.2. Coeficiente de correlación parcial El coeficiente de correlación parcial entre dos variables del modelo, Xi y Xj (ó Xi e Y) describe la relación lineal existente entre dos variables sin tener en cuenta los efectos o influencias de una o más variables adicionales, con el objeto de identificar la existencia de posibles variables interpuestas, o de detectar correlaciones neutralizadas por el efecto de estas variables.

Así, supongamos el caso de un modelo lineal que incluye dos variables independientes (X1 y X2) y una variable dependiente (Y). Si deseamos obtener el coeficiente de correlación parcial entre Y y X1, tomando como dados los efectos de X2 debemos seguir los siguientes pasos:

1. Realizamos una regresión de Y sobre X2 y obtenemos los residuos, que denominaremos ei.

2. Del mismo modo, para suprimir el efecto de la variable X2 sobre X1, realizamos una regresión de X1 sobre X2 y obtenemos los residuos de esta regresión, que denominaremos ui. 3. Calculamos las varianzas residuales, Se2 y Su2, y la covarianza entre ambos, Seu.

4. El coeficiente de correlación parcial entre Y y X1 es:

r12,3 =

Seu Se ·Su

De forma análoga, podemos obtener mediante sucesivas regresiones los distintos coeficientes de correlación parcial entre el resto de variables.

2.6.

INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES

Hasta el momento hemos visto como la estimación por MCO permite obtener estimaciones puntuales de los parámetros del modelo. La inferencia acerca de los mismos permite completar dicha estimación puntual, mediante la estimación por intervalos y los contrastes de hipótesis. Los primeros posibilitan la obtención de un intervalo dentro del cual, con un determinado nivel de confianza, oscilará el verdadero valor de un parámetro, mientras que los segundos nos permitirán extraer consecuencias del modelo, averiguando si existe o no, evidencia acerca de una serie de conjeturas que pueden plantearse sobre sus parámetros. La inferencia estadística consiste en la estimación de los parámetros poblacionales a partir de la información extraída de una muestra de dicha población. El número de estimaciones que podemos realizar de una población, a través de la extracción de diferentes muestras de un mismo tamaño, es generalmente muy grande porque cada una de las muestras posibles que se pueden sacar de la población arrojaría una estimación.

Por esta razón, a la estimación que obtenemos en una investigación por muestreo la acompañamos con un intervalo de valores posibles. La amplitud de dicho intervalo dependerá del grado de confianza que establezcamos.

El grado o nivel de confianza nos expresa el número de veces que la media verdadera de la población está incluida en cien intervalos de cien muestras extraídas de una población dada. El nivel de confianza más utilizado es el 95%, lo que quiere decir que 95 de cada 100 intervalos construidos contendrán el verdadero valor de la media.

El intervalo de confianza para la media de una población normalmente distribuida se construye en base a la probabilidad de que dicha media esté comprendida entre dos valores. X a y X b equidistantes a ella:

P[ X a ≤ µ X ≤ X b ] = 1 − α siendo 1- α el nivel o grado de confianza asociado a dicho intervalo. En términos generales, los intervalos de confianza para los estadísticos muestrales se expresan como:

Estimador ± (Factor de Fiabilidad)*(Error Típico del Estimador)

2.6.1. Intervalos De Confianza Presentamos a continuación cómo se construyen los intervalos de confianza para los distintos términos que hayamos estimado en el modelo: a) Intervalo de confianza para el parámetro β i Para construir los intervalos de confianza de las estimaciones β i , se parte de que la estimación MCO proporciona el valor medio de los posibles valores que pudiera tener dicho parámetro, y que la distribución de dichos valores sigue una distribución derivada de la Normal que se conoce como t de Student. Dicha distribución es simétrica presentando mayor dispersión que la curva Normal estándar para un tamaño muestral n pequeño. A medida que n aumenta (n > 100) es prácticamente igual que la distribución Normal. El cálculo del intervalo de confianza para β i se realiza mediante la siguiente expresión:

ICβi : ( β i ± S βˆ tn − k ) i

donde S βî es la desviación típica estimada para el coeficiente βî , que se obtiene de la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores expresada como:

Σ ββˆ ˆ

 σ β21  σβ β = 2 1  ... σ β β  K1

σβ β

1 2

σ β2

2

...

σβ

K β2

... σ β1β K   ... σ β22 β K   ... ...  ... σ β2K 

cuyos estimadores serán:

S βˆβˆ

 S β2ˆ  1 S ˆ ˆ =  β 2 β1  ... S  βˆK βˆ1

S βˆ βˆ

1 2

S β2ˆ

2

... S βˆ

K β2

ˆ

... S βˆ βˆ  1 K  ... S β2ˆ βˆ  2 K  ... ...  ... S β2ˆ  K 

2 2 obtenidos a partir de la expresión S βˆβˆ = S e ( X ' X ) . donde Se es la estimación de la varianza del −1

término de error.

Destacar por último que tn-k es el valor teórico de la distribución t de Student que aparece tabulada en el Anexo II, tabla II.2.

Ejemplo 2.4 Utilizando los resultados de la estimación del modelo del empleo en hoteles, tenemos que la varianza de los errores al cuadrado es:

S e2 =

SCR 27 = = 1.84 . n − k 14

Entonces, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores será: − 0.00001 − 0.048   0.435 − 0.00001 − 0.091   0.231     −1 S βˆβˆ = S e2 ( X ' X ) = 1.84 − 0.00001 0.00000001 0.000005  =  − 0.00001 0.00000001 − 0.00001  − 0.048 0.000005 0.022   − 0.091 − 0.00001 0.042  

Teniendo presente que el estadístico t-Student tiene un valor en las tablas de t17-3=2.145 para α=0.025 para cada cola (el 95% de probabilidad) podemos afirmar que el valor de los parámetros de la ecuación estarán entre:

IC β o : (−5.702 ± 0.435 ⋅ 2.145) = (−5.702 ± 5.936) IC β1 : (0.002 ± 0.00000001 ⋅ 2.145) = (0.002 ± 0.0002) IC β o : (2.679 ± 0.042 ⋅ 2,145) = (2.679 ± 0.440) Los intervalos de confianza calculados nos dicen que lo más probable es que, por ejemplo, el parámetro βo este entre los valores –4.287 y –7.117.

b) Intervalo de confianza para la varianza del término de error La expresión del intervalo de confianza para la varianza del término de error es:     S 2 (n − k ) S 2 (n − k )   SCR SCR ≡ IC :  e 2 ; e 2 ; σ 2  χα χ α   χ α2 χ 2 α   e  1− 1− 2  2 2   2

    

donde α representa el nivel de significación del contraste y generalmente se utiliza un 5% de significación, que corresponde a un intervalo de confianza del 95 %.

En este caso se asume que la Suma de Cuadrados de los Errores se distribuyen según una 2 distribución también derivada de la Normal que se conoce como χ de Pearson. La distribución

χ2 de Pearson es asimétrica. Su propiedad fundamental es que si sumamos dos χ2 independientes de grados de libertad n1 y n2 , se obtiene una nueva variable χ2 con grados de libertad igual a la suma de n1 y n2 . Los grados de libertad que hay que considerar en el cálculo de los intervalos de confianza del término error son de n-k. 2 En el Anexo II, tabla II.3. también figuran los valores teóricos de la distribución χ de Pearson.

Ejemplo 2.5.

Utilizando los datos del modelo del grado de ocupación hotelera. calculamos el intervalo de confianza para el error con un nivel de significación de α=0.05 y 14 grados de libertad, calculamos el intervalo para el término de error:

 SCR SCR   27 27  = ≡ 2 ; 2 ;  = (1,04;4,78) σ 2  χ 0.025 χ 0.975   26,119 5,628  e

IC

Es decir, se puede afirma con un 95% de probabilidad que el verdadero valor de la varianza estará entre 1,04 y 4,78.

2.6.2. Contrastes de Hipótesis Una buena parte de las investigaciones estadísticas están orientadas al desarrollo de procesos encaminados a la contrastación de hipótesis que previamente se han establecido. Una hipótesis es una afirmación que está sujeta a verificación o comprobación. Hay que tener presente que una hipótesis no es un hecho establecido o firme, las hipótesis están basadas en la experiencia, en la observación, en la experimentación o en la intuición del sujeto que las formula.

Cuando las hipótesis se plantean de tal modo que se pueden comprobar por medio de métodos estadísticos reciben el nombre de hipótesis estadísticas. Estas hipótesis son afirmaciones que se efectúan sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones. Las hipótesis estadísticas son de dos tipos: hipótesis nula e hipótesis alternativa. La hipótesis nula, o que no se verifique dicha afirmación, simbolizada por H0, es la hipótesis que se debe comprobar.

Para contrastar una hipótesis nula examinamos los datos de la muestra tomados de la población y determinamos si son o no compatibles con dicha hipótesis. Si son compatibles entonces H0 se acepta, en caso contrario se rechaza. Si se acepta la hipótesis nula afirmamos que los datos de esa muestra en concreto no dan suficiente evidencia para que concluyamos que la hipótesis nula sea falsa; si se rechaza decimos que los datos particulares de la muestra ponen de manifiesto que la hipótesis nula es falsa, entonces la hipótesis alternativa. H1, es verdadera.

El criterio que permite decidir si rechazamos o no la hipótesis nula es siempre el mismo. Definimos un estadístico de prueba, y unos límites que dividen el espacio muestral en una región en donde se rechaza la hipótesis establecida, y otra región en la que no se rechaza, llamada región de aceptación.

A la región donde se rechaza la hipótesis nula se le llama región crítica. Esta región es un subconjunto del espacio muestral, y si el valor del estadístico de prueba pertenece a él se rechaza la hipótesis nula.

El límite entre la región crítica y la región de aceptación viene determinado por la información previa relativa a la distribución del estadístico de prueba.

Señalar que un estadístico de prueba es una fórmula que nos dice como confrontar la hipótesis nula con la información de la muestra y es, por tanto, una variable aleatoria cuyo valor cambia de muestra a muestra.

Otra de las consideraciones a realizar en la contrastación de hipótesis es fijar la probabilidad del error de rechazar la prueba siendo cierta, a este error se le denomina nivel de significación. Por ejemplo, si se utiliza un nivel de significación de 0.05, equivale a decir que si para realizar un contraste tomáramos infinitas muestras de la población, rechazaríamos la hipótesis nula de forma incorrecta un 5 % de las veces.

En la formalización del procedimiento de contrastación podemos distinguir siete pasos principales: 1.- Planteamiento de las hipótesis. 2.- Selección del nivel de significación. 3.- Descripción de la población y tamaño de la muestra. 4.- Selección del estadístico de prueba y su distribución. 5.- Especificación de las regiones de aceptación y de rechazo. 6.- Recolección de datos y cálculo del estadístico. 7.- Decisión estadística.

Los contrastes de hipótesis que normalmente se realizan en la estimación MCO son los siguientes:

a) Contraste individual sobre un parámetro

Formulación de la hipótesis:

H 0 : β j = β *j H 1 : β j ≠ β *j

Estadístico experimental:

t exp =

βˆ j − β *j S βˆ

j

Estadístico teórico:

ttco = tn −k (α / 2)

Regla de decisión:

Si

texp > ttco se rechaza la hipótesis H0

b) Contraste de significación individual H0 : βj =0


H1 : β j ≠ 0

t exp =


βˆ j S βˆ

j


t tco = t n− k (α / 2)

Regla de decisión:

Si

texp > ttco se rechaza la hipótesis H0

c) Contraste de significación global

H 0 : β 1 = β 2 = ... = β k = 0


R2 k − 1 k −1 = = SCR 1 − R2 n−k n−k SCE


Fexp

(

Ftco = F (k − 1, n − k , α )


Regla de decisión:

)

Si

Fexp > Ftco

se rechaza la hipótesis H0

Ejemplo 2.6. Utilizando los resultados del modelo del grado de ocupación hotelera vamos a plantear la hipótesis de que el parámetro β2 sea cero, y en consecuencia que el efecto de la estancia media de cada turista sobre el grado de ocupación hotelera no sea significativo.

1º.-

Planteamiento de la hipótesis Se contrasta la hipótesis de que H0 :β2 =0, frente a la alternativa de que dicho valor sea diferente de cero H 1 : β 2 ≠ 0 .

2º.-

Nivel de significación o error de tipo I. Sea α=0.05.

3º.-

Descripción de la población y tamaño de la muestra. La población son las Comunidades Autónomas españolas, lo que significa que n=17.

4º.-

El estadístico pertinente. El estadístico a calcular es:

t exp = 5º.-

βˆ j S βˆ

j

Regiones de aceptación y de rechazo. El valor crítico es 2.145, que es el valor correspondiente de la distribución t de Student con 17-3=14 grados de libertad que deja el 2.5 % de la distribución en cada cola. De modo que la región de rechazo de la hipótesis nula es la de todos los valores absolutos de t superiores a 2.145.

6º.-

Recolección de datos y cálculo del estadístico.

t exp =

7º.-

2.679 = 13.057 0.205

Decisión estadística.

Dado que 13.057 es mayor que 2.145 rechazamos la hipótesis nula y, por tanto, concluimos que con un 95% de probabilidad se acepta la hipótesis alternativa H 1 : β 2 ≠ 0

2.7.

TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA)

La hipótesis de no significación global H 0 : β 1 = β 2 = ... = β k = 0 se rechaza al nivel de significación α construyendo el estadístico experimental:

Fexp =

SCE

k −1

SCR

n−k

y la regla de decisión que rechaza la hipótesis

H 0 ocurre cuando Fexp > F (k − 1, n − k .α ).

El contraste en la práctica se realiza elaborando una tabla ANOVA, que requiere: 1. estimar el modelo de regresión con todas las variables de interés

Yi = β o + β 1 X 1i + β 2 X 2i + ... + β k X ki + ei , i=1,2,…, n que nos proporciona la suma de cuadrados de los residuos eˆ' eˆ = SCR ; 2. estimar elmodelo de regresión bajo H 0 : β 1 = β 2 = ... = β k = 0

Yi = β o + u ri , i = 1, . . . ,n, uˆr ' uˆr = ∑i =1 (Yi − Y ) =SCT n

que nos proporciona la suma de cuadrados de los residuos,

;

El contraste de significación global se resume en el cuadro siguiente, en donde la variación total de la variable dependiente (SCT) se descompone en la explicada por la regresión (SCE) y en la no explicada (SCR). Los grados de libertad de estas tres sumas de cuadrados son n − 1 , k − 1 y

n − k , respectivamente. A partir de esta información muestral, podemos calcular el numerador y denominador del estadístico F.

Fuente

de Suma de cuadrados

variación Regresión

Residual

SCE=

n i =1

SCR= ∑

Total SCT=

Ejemplo 2.7.

∑

∑

n i =1

n i =1

(Yî − Y ) 2

Grados

de Cuadrado

libertad

medio

k-1

SCE

(Yi − Yî ) 2

n-k

(Yi − Y ) 2

n-1

SCR

k −1

n−k

Estadístico F

SCE

k −1

SCR

n−k

Utilizando los resultados del modelo de grados de ocupación hotelera vamos a realizar el contraste de significación global construyendo la tabla ANOVA:

Fuente

de Suma

de Grados

de Cuadrado medio

variación

cuadrados

libertad

Regresión

1,627

2

813.5

Residual

27

14

1.93

Total

1,654

16

Dado que

Fexp > Ftco = F (2,14,α = 0,05) = 3,74

Estadístico F

421.81

, la regla de decisión se rechaza la hipótesis

H0 .

2.8.

PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN

Una vez estimado y validado el modelo, una de sus aplicaciones más importantes consiste en poder realizar predicciones acerca del valor que tomaría la variable endógena en el futuro o para una unidad extramuestral. Esta predicción se puede realizar tanto para un valor individual como para un valor medio, o esperado, de la variable endógena, siendo posible efectuar una predicción puntual o por intervalos. Su cálculo se realiza mediante las expresiones que figuran a continuación:

α) Predicción individual: se trata de hallar el valor estimado para la variable Y un periodo hacia delante. En este caso basta con sustituir el valor de las variables exógenas en el modelo en el siguiente periodo y calcular el nuevo valor de Y.

β) Intervalo de predicción. Para hallar un intervalo de predicción debe utilizarse la siguiente expresión:

IC : Yˆt +1 − t n −k S e 1 + X t'+1 ( X ' X ) X t +1  −1

ˆ + t S 1 + X ' ( X ' X )−1 X  ; Y t +1 n−k e t +1 t +1  

χ) Intervalos de predicción para un valor medio o esperado, este caso será:

ˆ Y j

, La expresión a utilizar en

IC E (Y j ) : Yˆ j − t n −k S e X 'j ( X ' X ) X j  −1

ˆ + t S X ' ( X ' X )−1 X  ;Y j n−k e j j  

Ejemplo 2.8 Utilizando los datos del modelo de estimación del empleo en hoteles, vamos a realizar una predicción del grado de empleo que tendría Cataluña, si mediante una adecuada promoción se elevara el número de días de estancia por turista de 3.4 días a 5 días de media por turista.

La predicción individual de Cataluña sería:

ˆ Y j

= -5.702+0.002⋅10771.7+ 2.679 ⋅5 = 29.1

' Para calcular el intervalo de la predicción tenemos que calcular la expresión X j ( X ' X ) X j −1

X (X ' X ) ' j

−1

− 0.00001 − 0.048  1   0.231    X j = (1 10.722 5) − 0.00001 0.00000001 0.00000510.722 = 0.319  − 0.048 0.000005 0.022  5  

Si deseamos un intervalo de confianza para la predicción del 95%, tenemos que utilizar un valor t17-3=2.145

ICE (Y ) :  29.1 − 2.145 ⋅ 1.37 0.319; 29.1 + 2.145 ⋅ 1.37 0.319  = ( 27.4; 30.8) j

2.9.

ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL

A continuación. vamos a estimar los parámetros de un determinado modelo por Mínimos Cuadrados Ordinarios utilizando Microsoft Excel, programa que simplifica notablemente los cálculos a realizar cuando disponemos de muchas observaciones y/o variables exógenas.

Supongamos que la cantidad demandada de manzanas viene determinada en función de su precio y queremos cuantificar dicha relación. Partimos de la siguiente tabla de datos:

Cantidad (Kg.) 2.456 2.325 2.250 2.200 2.100 2.082 2.045 2.024

Precio (u.m. / Kg.) 82 92 94 99 106 108 112 115

Si realizamos un diagrama de dispersión mediante la opción Gráfico dentro del menú Insertar de Excel obtendremos la Figura 2.2, en el que puede comprobarse la relación que aparentemente existe entre cantidades demandadas de manzanas y su precio.

Curva de Demanda 130 125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 2.000

2.100

2.200

2.300

2.400

2.500

Fig. 2.2. Relación entre la demanda de manzanas y su precio

Pasamos a continuación a estimar la recta de regresión por Mínimos Cuadrados Ordinarios. Para ello, el lector debe verificar que tiene instalada la opción Herramientas para el Análisis dentro la opción Complementos del menú Herramientas, tal y como puede observarse en la siguiente figura 2.3:

Fig. 2.3.

En caso de no tener dicha opción instalada en nuestro ordenador, deberemos marcar las casillas que se ven en la figura 2.3, insertando seguidamente el CD-Rom de Microsoft Office para proceder a su instalación. Una vez instaladas estas opciones, dispondremos de una nueva opción en el menú Herramientas llamada Análisis de Datos. Si pinchamos en ella, nos aparecerá una ventana similar a la de la figura 2.4, en la que seleccionaremos la opción Regresión:

Fig. 2.4.

Al seleccionar dicha opción nos aparecerá un cuadro de diálogo como el siguiente:

Fig. 2.5

En este cuadro de diálogo podemos seleccionar el rango de nuestra hoja de cálculo que contiene los datos referidos a la variable endógena (Rango Y de entrada) y a las variables exógenas (Rango X). Asimismo, se incluyen otras opciones sumamente útiles tales como eliminar el término independiente del modelo (Constante igual a cero), determinar el nivel de confianza al cual se realizarán los tests de significación de los parámetros, la posibilidad de obtener una tabla con los términos de error del modelo (Residuos) y su gráfico (Grafico de Residuales), etc.

Una vez introducidos los rangos de las variables y seleccionado las opciones que deseemos (no debemos olvidar indicar en qué Hoja, Rango o Libro deseamos aparezcan los resultados), pulsamos en Aceptar y nos aparecerá una ventana similar a ésta (Fig. 2.6.):

Fig. 2.6.

La estimación de los parámetros del modelo aparecen en la columna Coeficientes, junto con su Desviación Típica o Error Típico y el estadístico t de significatividad individual (obsérvese que al término independiente del modelo, Excel lo denomina Intercepción). A la vista de los resultados, el modelo estimado tiene la siguiente forma:

Cantidad = 3,534.27 – 13.36· Precio (48.1) (-18.46)

donde entre paréntesis se muestra el estadístico t experimental asociado a cada parámetro. siendo ambas claramente superiores a 2.365 (valor en tablas de una t de Student con n – k = 7 grados de libertad al 95% de confianza.

Para el análisis de la bondad de ajuste del modelo, Excel ofrece los siguientes resultados:

a) Por un lado, si marcamos la casilla Curva de Regresión Ajustada obtenemos un gráfico con los valores originales y estimados de la variable endógena. lo que nos permitirá realizar un primer acercamiento visual al grado de ajuste de la recta (véase figura 2.7)

Curva de regresión ajustada

2500,0 Cantidad

2400,0

Pronóstico Cantidad

Cantidad

2300,0 2200,0 2100,0 2000,0 1900,0 80

85

90

95

100

105

110

115

120

Precio

Fig. 2.7. Recta de regresión entre la demanda de manzanas y su precio

b) Por otro lado, Excel muestra en la parte superior de los resultados el valor del coeficiente de determinación que, en nuestro caso, es del 98% lo que nos indica un grado de ajuste muy bueno.

Para evaluar la significatividad estadística de los parámetros estimados, además de los estadísticos t asociados a cada parámetro estimado y los respectivos intervalos de confianza para cada uno de ellos. Excel nos muestra también el estadístico F que aparece en la tabla Análisis de Varianza, mediante el que se realiza un contraste de significación global de los parámetros estimados. En los resultados obtenidos. el estadístico F tomo un valor 340.8 asociado a un p-value de 0.0000016, valor que es claramente inferior a 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula, lo que nos permite afirmar que todos los parámetros del modelo son globalmente significativos, es decir, todos son significativamente distintos de cero. En este punto, cabe señalar que si estimamos un modelo con varias variables exógenas y nos encontramos con que alguno de los parámetros del modelo es estadísticamente igual a cero, deberíamos eliminar dicha variable del modelo al no haberse encontrado una relación de causalidad con la variable endógena.

Respecto al análisis de los errores o residuos del modelo, Excel ofrece el Cuadro de Valores Ajustados (Pronóstico Cantidad), los Residuos del modelo y los Residuos Estándares (es decir, tipificados). Según la teoría que hemos estudiado hasta ahora, los residuos estándares deben seguir una distribución Normal de media 0 y desviación estándar 1; por tanto, aquellos residuos cuyo valor absoluto supere 1.96 se corresponderán con valores atípicos, también denominados outliers en la literatura estadística. En nuestro ejemplo, afortunadamente, no se observa ningún outlier como puede apreciarse en la siguiente tabla de Análisis de Residuos:

Análisis de los residuos Observación 1 2 3 4 5 6 7 8

Pronóstico Cantidad 2439,03 2305,46 2278,75 2211,96 2118,47 2091,75 2038,33 1998,26

Residuos 16,97 19,54 -28,75 -11,96 -18,47 -9,75 6,67 25,74

Residuos estándares 0,79 0,91 -1,33 -0,56 -0,86 -0,45 0,31 1,20

El gráfico de los residuos (figura 2.8) también constituye una herramienta de análisis importante, ya que nos permite evaluar la aleatoriedad de los mismos. En el ejemplo, se observa una ligera falta de aleatoriedad, derivada de que los cuatro últimos residuos presentan una marcada racha creciente.

Gráfico de los residuales

40 30

Residuos

20 10 0 -10 -20 -30 -40 80

85

90

95

100

105

110

115

120

Precio

Fig. 2.8. Gráfico de residuos del modelo de demanda de manzanas frente al precio

Si se prefiere estimar una ecuación por MCO utilizando funciones en Excel, hay que tener presente que la notación utilizada por este paquete para la regresión lineal es la siguiente:

y = mx + b

O, si existen varios rangos de valores de X:

y = m1x1 + m2x2 + ... + b

donde mi son los coeficientes que corresponden a cada variable y b es una constante.

La función que permite realizar estimaciones por MCO tiene la siguiente sintaxis:

=ESTIMACION.LINEAL(conocido_y,conocido_x,constante,estadística)

La función admite los siguientes argumentos:

Conocido_y

Valores de la variable independiente.

Conocido_x

Valores de la variable dependiente.

Constante

Si se va a estimar un modelo con constante b se omite o se pone VERDADERO; si se desea estimar un modelo sin constante (b=0) se debe escribir 0 ó FALSO.

Estadística

Si se omite o se pone FALSO, EXCEL no muestra las estadísticas de regresión; si se pone VERDADERO, Excel muestra las estadísticas de la regresión.

Una vez se completa el asistente de funciones, obtendremos los resultados de la regresión en forma de matriz de valores; para mostrar todos los valores de la regresión, debe seleccionarse el rango de salida y presionar simultáneamente Ctrl + Shift + Enter.

El siguiente esquema muestra el orden en que se devuelven los parámetros y las estadísticas de regresión adicionales:

El significado de cada celda se presenta en el siguiente cuadro: Estadística

Descripción

se(m1),se(m2),...,se(mn)

Desviación típica para los coeficientes m1,m2,...,mn.

se(b)

Desviación típica para la constante b (se(b) = #N/A cuando constante es FALSO).

R2

Coeficiente de determinación.

se(y)

Desviación típica de la estimación de y

F

Estadístico F de la regresión

dF

Grados de libertad del estadístico F

ss(reg)

La suma de regresión de los cuadrados.

ss(res)

La suma residual de los cuadrados.

Asimismo, conviene recordar que Excel también incluye otras funciones relacionadas con la estimación por MCO:

=TENDENCIA(conocido_y;conocido_x;nueva_matriz_x;constante) =PRONOSTICO(x;conocido_y;conocido_x) =ESTIMACION.LOGARITMICA(conocido_y;conocido_x;constante; estadística) =COEFICIENTE.R2(conocido_y;conocido_x)

2.10. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R R es un entorno especialmente diseñado para el tratamiento de datos, cálculo y desarrollo gráfico. Permite trabajar con facilidad con vectores y matrices y ofrece diversas herramientas para el análisis de datos. R es una implementación open-sourcedel lenguaje S (Bell Labs -principios de los 90), que también es la base del sistema S-Plus (entorno comercial). R y S-Plus aún comparten una gran mayoría de código e instrucciones, si bien R es software libre, gratuito en donde los usuarios disponen de libertad para ejecutar, copiar, distribuir, estudiar, cambiar y mejorar el software. De hecho R dispone de una comunidad de desarrolladores/usuarios detrás que se dedican constantemente a la mejora y a la ampliación de las funcionalidades y capacidades del programa. En la web http://www.r-project.org/ se encuentra disponible toda la información acerca de R. La instalación de R se realiza a través de la CRAN (ComprehensiveR Archive Network): http://cran.r-project.org Actualmente R se distribuye para los siguientes Sistemas Operativos: •Windows: entorno gráfico. •Linux (Debian/Mandrake/SuSe/RedHat/VineLinux) •MacOSX •Código fuente: ampliación a sistemas Unix

Las funciones de R se agrupan en paquetes (packages, libraries), los que contienen las funciones más habituales se incluyen por defecto en la distribución de R, y el resto se encuentran disponibles en la Comprehensive R Archive Network (CRAN) . Las entidades que R crea y manipula se llaman objetos. Dichos objetos pueden ser :•Escalares: números, caracteres, lógicos (booleanos), factores •Vectores/matrices/listas de escalares •Funciones •Objetos ad-hoc Dichos objetos se guardan en un workspace. Durante una sesión de R todos los objetos estarán en memoria, y se pueden guardar en disco para próximas sesiones. R trabaja sobre estructuras de datos. La estructura más simple es un vector numérico, que consiste en un conjunto ordenado de números. Un vector de reales se crea mediante la función c y se guarda con el nombre “Cantidad”.

> Cantidad <- c(2.456,2.325,2.250,2.200,2.100,2.082,2.045,2.024) Se crea ahora el vector de nombre “Precio”. > Precio <- c(82,92,94,99,106,108,112,115) Para obtener los estadísticos básicos del vector (Cantidad): media, desviación estandar, varianza y mediana, se utilizan las siguientes funciones R: > mean(Cantidad) > sd(Cantidad) > var(Cantidad) > median(Cantidad) Si se quiere tener un resumen sumario de estadístico de una variable: > summary(Cantidad)

En R los valores "desconocidos" o "no disponibles" (missings) se simbolizan con el valor especial NA (NotAvailable). Cualquier operación que incluya un NA en general devolverá NA como resultado.La función is.na nos permite saber si un elemento es missingo no. Otros tipos de objectosen R.

•Arrays y matrices (matrix): generación multidimensional de los vectores. Todos los elementos de la matriz han de ser del mismo tipo. •Factores (factor): útiles para el uso de datos categóricos. •Listas (list): generalización de los vectores donde los elementos pueden ser de diferentes tipos (incluso vectores o nuevas listas). •Data frames: matrices donde las diferentes columnas pueden tener valores de diferentes tipos. •Funciones (function): conjunto de código de R ejecutable y parametrizable. Una tabla debe estar en un objecto tipo matriz. Ejemplo: Tabla<-matrix(c(652,1537,598,242,36,46,38,21,218,327,106,67),nrow=3,byrow=T) La función read.table permite leer datos desde ficheros en formato ASCII. Devuelve como resultado un data.frame, por tanto, se supone que cada línea contiene los datos para un individuo. El fichero EXCEL personas.xls tiene el siguiente aspecto:

Guardamos el fichero EXCEL como un fichero ASCII delimitado por tabulaciones > manzanas <- read.table(file="manzanas.txt",header=T) Tecleamos > manzanas

La función de R que nos permite estimar un modelo de regresión lineal es la función lm. La forma de invocar a la función para estimar un modelo de regresión lineal simple es lm(y~x). Para consultar la ayuda de la función para ver todas las posibilidades que ofrece:

En nuestro ejemplo, obtenemos: > lm(Cantidad~Precio) Call: lm(formula = Cantidad ~ Precio) Coefficients: (Intercept) Precio 3.53427 -0.01336

En lugar de invocar simplemente la función podemos guardar su resultado en una variable y veremos así que obtenemos más información. > reg = lm(Cantidad~Precio) Si queremos obtener el vector de residuos bastará solicitar: > reg$residuals Para realizar el análisis del modelo estimado utilizaremos la función summary. Así: > summary(reg)

2.11. PROBLEMAS 2.1. Partiendo de las siguientes observaciones de dos variables:

Y 60 62 61 55 53 60 63 53 52 48 49 53 X 23 23 25 25 26 26 29 30 30 32 33 31 α) Estime por MCO la función de regresión Y=β0+β1X β) ¿Satisfacen los términos de error la condición E(u)=0? χ) Contrastar la hipótesis de β1=0 con un nivel de confianza del 95%.

2.2. Los datos de una muestra aleatoria de 22 familias dan la siguiente estimación de la función de consumo:

Cˆ t = 120 + 0,90Yt

(0,05) donde Ct es el consumo e Yt es la renta en Euros, siendo S βˆ1 = 0,05

a) Contrastar la hipótesis de que la propensión marginal a consumir es igual a 0.83. Utilizar un nivel de confianza del 95%. b) Calcular un intervalo de confianza al 90% para el coeficiente de regresión β1.

2.3. Utilizando los siguientes datos:

W Z

2 8

4 28

6 60

5 52

4 32

1 7

7 75

α) Estimar los parámetros a y b de la siguiente relación Z = aW b β) Realizar una predicción si W=3 χ) Establecer un intervalo de confianza para dicha predicción con un nivel de significación del 5%.


Y

62 52 68 72 78 58 58 74

X1

51 44 52 57 62 48 53 61

X2

7

6

8

8 12

7

9 11

α) Obtener una estimación MCO para Y = α + βX 1 + γX 2 β) Calcular los coeficientes R2 y R2 ajustado. χ) Con un nivel de confianza del 95% contrastar que el coeficiente β es significativamente distinto de cero. δ) Con un nivel de confianza del 90% contrastar que el coeficiente β es significativamente distinto de γ.

2.5 Suponga el siguiente modelo de regresión:

Yt = β1 X 1t + β 2 X 2t 5 0 5  y ( X ' Y ) =   . Se pide: 0 1  2

Siendo T = 5 , σˆ 2 = 0.25 , ( X ' X ) = 

a) Obtener una estimación MCO para Yt = β1 X 1t + β 2 X 2t

) b) Un intervalo de prediccioón para el nivel de confianza del 95%, para Yt +1 , sabiendo que X 1t = 1 y X 2 t = 10 .

SOLUCIONES 2.1 a) Y = 86.29 + 1.1X b) Si u = 0.27 y σ u = 1.01 c) H0 : β =0; grados de libertad 12-2; t tco = 2.228 ; t exp = 9.71 ; se rechaza. 2.2 a) Se acepta la hipótesis nula b) ICβ1 = (0.612,1.286) 2.3 a) Z = 5.086W 1.339 b) Z = 22.14 c) IC E ( Z j ) = (7.556,64.901) 2.4 a) Y = −20.75 + 1.86 X 1 − 1.57 X 2 b) R 2 = 0.893 , R 2 = 0.850 c) Se rechaza la hipótesis nula. d) Se rechaza la hipótesis nula. 2.5 a) Yt = X 1t + 2 X 2t b) ICE (Yt+1 ) = (4.99,37.01)

3.

EXTENSIONES LINEAL

3.1.

AL

MODELO

DE

REGRESIÓN

INTRODUCCIÓN

Como veíamos en el capitulo anterior, el modelo de regresión lineal requiere que se cumplan las siguientes hipótesis sobre los términos de error:

Media cero : E(ei) = 0

i=1,…,n

Varianza constante : Var(ei) = σ2I

i=1,…,n

Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0

El incumplimiento de alguna de dichas hipótesis, implica la no aleatoriedad de los residuos y, por tanto, la existencia de alguna estructura o relación de dependencia en los residuos que puede ser estimada, debiendo ser considerada en la especificación inicial del modelo. Los principales problemas asociados al incumplimiento de las hipótesis de normalidad de los residuos son, por un lado, la heteroscedasticidad, cuando la varianza de los mismos no es constante, y la autocorrelación o existencia de relación de dependencia o correlación entre los diferentes residuos, lo que violaría el supuesto de términos de error incorrelacionados.

Si se construye una gráfica de los resultados de una estimación mínimo cuadrática (en ordenadas) frente al valor absoluto de los residuos (en abscisas), cuando éstos últimos presentan una distribución aleatoria, es decir una distribución Normal de media cero y varianza constante, N (0,

σ2), el resultado obtenido (véase Fig. 3.1.) muestra que el tamaño del error es independiente del tamaño de la variable estimada, ya que errores con valor elevado se corresponden con valores bajos y altos de la variable dependiente estimada; sin embargo, una distribución de residuos con problemas de heteroscedasticidad da lugar a una figura como la que puede observarse en la figura 3.2., en donde se manifiesta una clara relación de dependencia entre la variable estimada y el tamaño del error. En este caso los errores de mayor tamaño se corresponden con los valores más altos de la variable estimada.

Fig. 3.1. Residuos Homocedásticos

Fig. 3.2. Residuos Heteroscedásticos

La representación gráfica de los errores en forma de serie temporal, es decir, poniendo en el eje de ordenadas los errores y en abscisas el periodo temporal en que están datados, permite apreciar la ausencia o presencia de correlación ya que a los residuos no correlacionados (figura 3.3.) les corresponde una representación gráfica en la que no se aprecia pauta temporal alguna, sucediéndose de forma impredecible o aleatoria, mientras que en los residuos con problemas de autocorrelación la pauta temporal es evidente, evidenciándose que cada residuo podría ser

previsto en función de la sucesión de los errores correspondientes a periodos temporales pasados (figura 3.4.)

Fig. 3.3. Residuos sin Autocorrelación

Fig. 3.4. Residuos con Autocorrelación Estos problemas asociados a los errores pueden detectarse con tests estadísticos diseñados para ello. A continuación se describen dichos tests y la forma en que debe procederse para estimar modelos en donde la estimación mínimo-cuadrática presenta problemas de este tipo asociados a los residuos.

3.2.

HETEROSCEDASTICIDAD

Decimos que el término de error de una estimación mínimo-cuadrática presenta heteroscedasticidad cuando la varianza del mismo es diferente para las distintas observaciones que integran la muestra, lo que implica que la variabilidad de los errores mínimo-cuadráticos obtenidos están relacionados de alguna manera con los datos utilizados en el modelo, ya sea por estar relacionados con la escala temporal de los datos recogidos o por presentar alguna relación de dependencia con alguna de las variables exógenas utilizadas. Las consecuencias para la estimación mínimo-cuadrática son que los estimadores de los coeficientes seguirán siendo insesgados y lineales pero ya no serán de mínima varianza o eficientes. Estos problemas se resuelven utilizando una técnica de estimación lineal que recibe el nombre de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG), método que se estudia más adelante.

La detección de la heteroscedasticidad se realiza a través de diversos contrastes paramétricos, entre los que cabe destacar el contraste de Bartlett (Mood, 1950), el constraste de GoldfeldQuandt (1965) y el contraste de White (1980), los cuales describimos a continuación.

3.2.1. Test de Bartlett El test de Bartlett se basa en de que la suposición de que las n observaciones de los datos de la variable a estimar por el modelo pueden agruparse en G grupos (g=1, 2, ..., G), cada uno de los cuales se caracteriza por tener un distinto tipo de observaciones asociadas a la variable explicativa, de tal manera que n1 sería el número de observaciones correspondientes al primer grupo, n2 el número de observaciones asociadas al segundo grupo y, en general, nG es el número de observaciones asociadas al grupo g-ésimo. A cada grupo le corresponde un valor medio de la variable dependiente y una varianza para este valor medio.

El test contrasta si dicha varianza es igual o no entre los distintos grupos que se han construido para la variable dependiente, admitiéndose la hipótesis de existencia de heteroscedasticidad si la varianza es significativamente diferente entre los grupos formados.

Los pasos a seguir en la práctica para realizar el test de Bartlett son los siguientes:

2 1. Se estima la varianza ( s g ) de cada grupo de observaciones, g=1, 2, ..., G mediante la

siguiente expresión:

ng

∑( y s g2 =

i

− y g )2

g =1

ng

2. Se calcula el estadístico S:

 G ng 2  G n log s  − n log s g2  g =1 n g  g =1 g   S=  1  G 1 1  − 1+ 3(G − 1)  g =1 ng n 

∑

∑

∑

Bajo el supuesto de homocedasticidad, S se distribuye como una chi-cuadrado (χ2) con G–1 grados de libertad. Por lo tanto, se rechazará la hipótesis de igual varianza en todos los grupos si S es mayor que el valor crítico de la distribución chi-cuadrado al nivel de significación estadística fijado.

3.2.2. Contraste de Goldfeld-Quant El contraste de Goldfeld-Quant se utiliza para contrastar la homocedasticidad cuando la forma de la heteroscedasticidad no es conocida, aunque se intuye que la varianza guarda una relación monótona –creciente o decreciente– respecto a alguna variable exógena (que denominaremos variable z). La operativa de este test es la siguiente:

1. Ordenar todas las observaciones de las variables del modelo, de menor a mayor, en función de la variable z.

2. Eliminar c observaciones centrales de la ordenación anterior, de tal forma que queden dos submuestras de (n-c)/2 observaciones cada una. Al seleccionar c, debe hacerse de tal forma que (n-c)/2 sea sustancialmente mayor que el número de parámetros del modelo.

3. Estimar dos veces el modelo original mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios, utilizando en cada estimación cada una de las submuestras.

4. Denominando SR1 y SR2 a las sumas de los cuadrados de los residuos de ambas submuestras (de manera que el subíndice 1 corresponda a la submuestra con la menor suma) se define el estadístico F:

F=

SCR1 SCR2

La idea que subyace bajo este contraste es la siguiente: si existe heteroscedasticidad entonces, con la ordenación de la muestra, la varianza del término de error será mayor hacia el final de la muestra que al principio de la misma. Como el cuadrado de los residuos está asociado con la varianza de los mismos, entonces SR2 debería ser sensiblemente mayor que SR1. Por ello, se rechazara la hipótesis nula de homocedasticidad siempre que el valor del estadístico F excede el valor en tablas de la distribución F(n-c-2k)/2, (n-c-2k)/2, aceptándose la existencia de heteroscedasticidad en caso contrario.

Ejemplo 3.1. Utilizando datos provinciales hemos estimado el modelo explicativo del empleo en el sector de hoteles descrito en el capitulo 2; los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.96940463 Coeficiente de determinación R2 0.93974534 R2 ajustado 0.93728597 Error típico 1.19099172 Observaciones 52

Término constante Número de viajeros (miles) Estancia media

Coeficientes Error típico Estadístico t -2.94444031 0.33100533 -8.89544675 0.00216699 0.00013832 15.6668389 1.31881995 0.13180001 10.0062201

El investigador sospecha que los errores obtenidos tengan alguna relación con la variable exógena que recoge el número de viajeros de cada provincia. Por ello, decide realizar un contraste de Goldfeld-Quant, ordena los datos de la tabla en función del número de viajeros; después elimina las 10 observaciones centrales, y deja dos submuestras con 21 provincias cada una.

A continuación estima el modelo para cada una de ellas; obteniendo los siguientes resultados:

a) Primera submuestra


Coeficientes -0.80368434 0.00231232 0.37488653

b) Segunda submuestra


Coeficientes -4.55233015 0.00234497 1.54803859

La Suma de Residuos al Cuadrado obtenido en la primera muestra es de 0,176 y en la segunda muestra es de 45.217. Construimos por tanto el estadístico F:

F=

SCR1 0,176 = = 0.004 SCR2 45.217

A continuación obtenemos de las tablas de la distribución F el valor teórico para una distribución con 18 grados de libertad en el numerado y denominador, el valor obtenido es 2.2. Como valor del estadístico está por debajo del valor teórico no se rechaza la hipótesis de homocedasticidad al nivel de significación del 5% (probabilidad del 95%).

3.2.3. Contraste de White El contraste de White se desarrolló también para evitar la necesidad de considerar una forma específica para la heteroscedasticidad. El contraste se basa en que, bajo la hipótesis nula de homocedasticidad, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCO de β es:

σ 2 = ( X ' X )−1 Por el contrario, si existe heteroscedasticidad, la matriz de varianzas y covarianzas viene dada por:

( X ' X ) −1 X ' ΩX ( X ' X ) −1 , Ω = diag (σ 12 , σ 22 ,..., σ n2 ) Por tanto, si tomamos la diferencia entre ambas queda:

( X ' X ) −1 X ' ΩX ( X ' X ) −1 − σ 2 ( X ' X ) −1 Por ello, basta con contrastar la hipótesis nula de que todas estas diferencias son iguales a cero, lo que equivale a contrastar que no hay heteroscedasticidad.

Los pasos a seguir para realizar el contraste de White son los siguientes:

1. Estimar el modelo original y obtener la serie de residuos estimados 2. Realizar una regresión del cuadrado de la serie de residuos obtenidos en el paso anterior sobre una constante, las variables exógenas del modelo original, sus cuadrados y los productos cruzados de segundo orden (los productos resultantes de multiplicar cada variable exógena por cada una de las restantes). Es decir, se trata de estimar por MCO la relación: eˆt2 =α +ϕ1X1 +...+ϕk Xk +η1X12 +...+ηk Xk2 +ϖ1X1X2 +...+ϖk X1Xk +ν2X2X3 +...+νk X2Xk +...+ ρk Xk−1Xk +εt

3. Al aumentar el tamaño muestral, el producto nR2 (donde n es el número de observaciones y R2 es el coeficiente de determinación de la última regresión) sigue una distribución Chicuadrado con p – 1 grados de libertad, donde p es el número de variables exógenas utilizadas en la segunda regresión. Se aceptará la hipótesis de

existencia de

heteroscedasticidad cuando el valor del estadístico supere el valor crítico de la distribución Chi-cuadrado (c) al nivel de significación estadística fijado ( nR 2 > c ).

Ejemplo 3.2. Para realizar en R el constraste de heterocedasticidad de White en el modelo estimado en el ejemplo 2.2, primero hay que instalar en Packaged “tseries”: > install.packages("tseries")

y después ejecutar el siguiente programa R: > library(tseries) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T,dec=",") > datos Años Empleo Viajeros Estancia_m 1 Andalucía 28.4 11.902,50 3.1 2 Aragón 3.6 1.848,00 2.1 3 Asturias 2.4 1.088,20 2.3 4 Balears 25.9 6.716,00 7.2 5 Canarias 27.2 4.875,70 7.8 6 Cantabria 2.0 933,8 2.4 7 Castilla_León 6.2 3.647,60 1.7 8 Castilla_Mancha 2.8 1.805,10 1.7 9 Cataluña 23.5 10.771,70 3.4 10 C_Valenciana 13.4 5.579,70 3.9 11 Extremadura 2.2 1.000,70 1.7 12 Galicia 6.3 3.040,50 2.1 13 Madrid 10.7 5.748,90 2.1 14 Murcia 2.0 882,5 3.0 15 Navarra 1.1 557,7 2.0 16 País_Vasco 3.2 1.540,60 1.9 17 Rioja 0.7 446,2 1.8 > x <- matrix(c(datos$Viajeros,datos$Estancia_m),ncol=2) > y <- matrix(datos$Empleo,ncol=1) > white.test(x,y) White Neural Network Test data: x and y X-squared = 11.2629, df = 2, p-value = 0.003583 2 En este ejemplo el valor del estadístico nR = 11,2629 , dado que el valor de la distribución

Chi-cuadrado teórica para el nivel de significación α = 0,05 da un valor crítico c = 5,99 habría que aceptar la hipótesis de existencia de heterocedasticidad. El p-value es la probabilidad asociada al estadístico calculado, al ser de 0,003583 y por tanto menor que 0,05, situaría al estadístico en la zona de rechazo de la hipótesis H 0 , la que de los valores del estadistico superiores al valor crítico.

3.3 AUTOCORRELACIÓN Decimos que existe autocorrelación cuando el término de error de un modelo econométrico está correlacionado consigo mismo a través del tiempo tal que E (ei , e j ) ≠ 0 . Ello no significa que la correlación entre los errores se dé en todos los periodos sino que puede darse tan sólo entre

algunos de ellos. En presencia de autocorrelación, los estimadores MCO siguen siendo insesgados pero no poseen mínima varianza, debiéndose utilizar en su lugar el método de estimación de los Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).

La existencia de autocorrelación en los residuos es fácilmente identificable obteniendo las funciones2 de autocorrelación (acf) y autocorrelación parcial (acp) de los errores mínimocuadráticos obtenidos en la estimación. Si dichas funciones corresponden a un ruido blanco, se constatará la ausencia de correlación entre los residuos. Sin embargo, el mero examen visual de las funciones anteriores puede resultar confuso y poco objetivo, por lo que en la práctica econométrica se utilizan diversos contrastes para la autocorrelación, siendo el más utilizado el de Durbin-Watson (1950), que pasamos a ver seguidamente.

3.3.1. Contraste de Durbin-Watson Si se sospecha que el término de error del modelo econométrico tiene una estructura como la siguiente:

eˆt = ρ ·eˆt −1 + u t entonces el contraste de Durbin-Watson permite contrastar la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación. Dicho contraste se basa en el cálculo del estadístico d, utilizando para ello los errores mínimo-cuadráticos resultantes de la estimación:

n

d=

∑ (eˆ t =2

t

− eˆt −1 ) 2

n

∑ eˆ t =1

2 t

El valor del estadístico d oscila entre 0 y 4, siendo los valores cercanos a 2 los índicativos de ausencia de autocorrelación de primer orden. La interpretación exacta del test resulta compleja, ya que los valores críticos apropiados para contrastar la hipótesis nula de no autocorrelación requieren del conocimiento de la distribución de probabilidad bajo el supuesto de cumplimiento de dicha hipótesis nula, y dicha distribución depende a su vez de los valores de las variables explicativas, por lo que habría que calcularla en cada aplicación. Para facilitar la interpretación del test Durbin y Watson derivaron dos distribuciones: dU y dD, que no dependen de las variables

2

Estas funciones se analizarán en detalle en el capítulo 3 de la II parte

explicativas y entre las cuales se encuentra la verdadera distribución de d, de forma que a partir de un determinado nivel de significación, se adopta la siguiente regla de decisión: 1. Si d ≤ dD rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la hipótesis alternativa de autocorrelación positiva. 2. Si d ≥ 4 – dD rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la hipótesis alternativa de autocorrelación negativa. 3. Si dU ≤ d ≤ 4- dU aceptamos la hipótesis nula de no autocorrelación. En el Anexo II, tabla II.5., presentamos la tabla con la distribución desarrollada por Durbin y Watson para los valores de dU y dD. El estadístico d de Durbin-Watson es aproximadamente igual a 2(1 − ρˆ 1 ) en donde ρˆ 1 es el coeficiente de autocorrelación simple muestral del retardo 1. n

d=

∑ (eî − eˆt −1 ) 2 t =2

n

∑ eˆ t =1

2 t

n

= 2−2

∑ eˆ eˆ t =1 n

t t −1

∑ eˆ t =1

= 2(1 − ρˆ )1

2 t

Ejemplo 3.3. En el siguiente ejercicio planteamos una regresión lineal entre el consumo de energía eléctrica en España y el PIB a precios de mercado valorado en moneda constante (millones de euros).

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Consumo de Energía Eléctrica (miles de TEP) 9427 9876 10410 10974 11372 11488 11569 11999 12462 12827 13331 14290 15364 16309 17282 17756 Fuente: INE y OCDE

PIB (millones de euros) 355312 373412 391443 406252 416582 420462 416126 426041 437787 448457 466513 486785 507346 528714 543746 554852

Con los datos de la tabla anterior la estimación MCO entre el consumo de energía eléctrica y el PIB sería la siguiente:

Yt=-6234.4+0.043Xt+εt Siendo Yt el consumo de energía eléctrica y Xt el PIB en moneda constante.

Los resultados de la estimación se presentan a continuación:


Término constante PIB-$

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad -6234.453 451.562 -13.806 0.000 0.043

0.001

42.780

0.000

Como vemos las estadísticas de la regresión realizada son buenas, se obtiene un R2 muy elevado, y los parámetros son estadísticamente significativos, ya que el valor teórico de la t-Student es 2.51 al 95% de probabilidad.

No obstante, la representación gráfica de los errores apunta a la posibilidad de un problema de autocorrelación entre los residuos:

Grafico de los residuos 600,0 500,0 400,0 300,0 200,0 100,0 0,0 -100,01986 -200,0 -300,0 -400,0

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

Para verificarlo calculamos el estadístico t de Durbin-Watson:

Y* 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Total

et2

et 8933 9705 10475 11107 11548 11714 11529 11952 12453 12909 13680 14545 15423 16335 16977 17451

494.2 170.5 -65.2 -133.3 -176.3 -225.9 40.2 46.9 8.5 -81.9 -348.7 -255.1 -58.8 -25.9 305.4 305.3 0.0

(et-et-1)2

et-et-1 244192.5 29076.7 4247.8 17777.0 31078.1 51038.2 1614.1 2202.6 72.7 6715.2 121596.8 65057.3 3452.3 670.7 93286.1 93234.4 765312.5

-323.6 -235.7 -68.2 -43.0 -49.6 266.1 6.8 -38.4 -90.5 -266.8 93.6 196.3 32.9 331.3 -0.1 -188.8

104742.4 55551.6 4645.2 1845.5 2462.8 70804.9 45.6 1474.9 8185.4 71161.5 8769.2 38536.6 1079.7 109776.4 0.0 479081.7

n

d=

∑ (eˆ − eˆ i=2

i −1

i

n

∑ eˆ i =1

2 i

)2 =

479, 081.7 = 0.62599 765,312.5

Los valores teóricos del estadístico para n=16 observaciones y k=1 variables explicativas, son dD=0.98 y dU=1.24. Dado 0.62599 < 0.98 no podemos rechazar la hipótesis de la existencia de autocorrelación positiva.

En R, el test de Durbin-Watson se encuentra en el Package (lmtest), y su sintaxis es: > dwtest(formula) Relaizar el ejercicio anterior requiere del siguiente programa R: > install.package(“bgtest”) > library(bgtest) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T)

> datos Años CEnEl PIB 1 1987 9427 355312 2 1988 9876 373412 3 1989 10410 391443 4 1990 10974 406252 5 1991 11372 416582 6 1992 11488 420462 7 1993 11569 416126 8 1994 11999 426041 9 1995 12462 437787 10 1996 12827 448457 11 1997 13331 466513 12 1998 14290 486785 13 1999 15364 507346 14 2000 16309 528714 15 2001 17282 543746 16 2002 17756 554852 > dwtest(datos$PIB ~ datos$CEnEl) Durbin-Watson test data: datos$PIB ~ datos$CEnEl DW = 0.628, p-value = 0.0001192 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

3.3.1. Contraste de Breush-Godfrey El test de correlación serial de Breusch–Godfrey es un test de autocorrelación en los errores y residuos estadísticos en un modelo de regresión. Hace uso de los errores generados en el modelo de regresión y un test de hipótesis derivado de éste. La hipótesis nula es que no exista correlación serial de cualquier orden de ρ .

El test es más general que el de Durbin–Watson, que solo es válido para regresores no-estocásticos y para testear la posibilidad de un modelo autoregresivo de primer orden para los errrores de regresión. El test Breusch–Godfrey no tiene estas restricciones, y es estadísticamente más poderoso que el estadístico d . Los pasos para realizar el contraste son los siguientes: 1. Estimar el modelo original y obtener la serie de residuos estimados 2. Estimar la ecuación de regresión auxiliar:

eˆt =α +ϕ1X1 +...+ϕk Xk +δ1eˆt−1 +...+δpeˆt−p +εt 2 3. Al aumentar el tamaño muestral, el producto (n − p )R (donde n es el número de

observaciones, p , el número de retardos del error utilizados en la regresión auxiliar y R2 es el coeficiente de determinación de dicha regresión) sigue una distribución Chi-cuadrado con p grados de libertad, donde p es el número de variables exógenas utilizadas en la segunda regresión. Se aceptará la hipótesis de existencia

de autocorrelación cuando el valor del estadístico supere el valor crítico de la distribución Chi-cuadrado (c) al nivel de significación estadística fijado(

(n − p )R 2

> c ).

Ejemplo 3.4.

El test de Breusch–Godfrey tambien se realiza con la librería R (lmtest), y se programa para

p = 3 del siguiente modo: > install.package(“bgtest”) > library(gbtest) > bgtest(datos$PIB ~ datos$CEnEl,order=3) Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 3 data: datos$PIB ~ datos$CEnEl LM test = 5.3733, df = 3, p-value = 0.1464 2 En este ejemplo el valor del estadístico (n − p )R = 5,37 , dado que el valor de la

distribución Chi-cuadrado teórica para el nivel de significación α = 0,05 da un valor crítico

c = 7,81 habría que rechazar la hipótesis de existencia de autocorrelación. El p-value es la probabilidad asociada al estadístico calculado, al ser de 0,1454 y por tanto mayor que 0,05, situaría al estadístico en la zona de aceptación de la H 0 , la que constituyen los valores del estadistico inferiores al valor crítico.

3.3.

DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD

El fenómeno de la multicolinealidad aparece cuando las variables exógenas de un modelo econométrico están correlacionadas entre sí, lo que tiene consecuencias negativas para la estimación por MCO, ya que la existencia de una relación lineal entre las variables exógena, implica que la matriz ( X ' X ) va a tener determinante cero, es decir será una matriz singular y por −1 tanto no será invertible. Dado que βˆ = ( X ' X ) X ' Y , no será posible calcular la estimación

mínimo cuadrática de los parámetros del modelo ni, lógicamente, la varianza de los mismos. Esto es lo que se conoce por el nombre de multicolinealidad exacta.

Consideremos por ejemplo la relación lineal:

Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + u i

Supongamos que las variables independientes presentan relación lineal exacta:

X 2i = cX 1i La matriz (X’X) quedaría:

∑X ∑X ∑X X

 n ( X ' X ) =  ∑ X 1 ∑ X 2 

1 2 1

1

∑X ∑X X ∑X

  1 2 2  2  2

2

sustituyendo X 2i por cX 1i tenemos:

∑X ∑X c∑ X

 n ( X ' X ) =  ∑ X 1 c ∑ X 1 

1 2 1 2 1

c∑ X 1   c ∑ X 12  c 2 ∑ X 12 

Como el valor de un determinante no se altera si se resta de una fila o columna un múltiplo constante de cualquier otra fila o columna. Si multiplicamos la segunda fila de (X’X) por c y restamos el resultado de la tercera fila tenemos:

 n  A = ∑ X 1  0 

∑X ∑X

1 2 1

0

c∑ X 1   c ∑ X 12  0 

puesto que X ' X = A = 0 , la matriz (X’X) es singular y por tanto no invertible.

Sin embargo, en la práctica no nos encontraremos con un caso tan extremo como el que acabamos de exponer, sino que generalmente nos encontraremos ante lo que se conoce como multicolinealidad aproximada, siendo una de las columnas de la matriz

(X ' X ) ,

aproximadamente, una combinación lineal del resto por lo que será una matriz aproximadamente singular. Al no ser el determinante de ( X ' X ) igual a cero, existirá inversa y podrán estimarse los parámetros pero con las siguientes consecuencias:

1. Por un lado, pequeñas variaciones muestrales producidas al incorporar o sustraer un número reducido de observaciones muestrales podrían generar importantes cambios en los parámetros estimados. 2 2. Por otro lado, la matriz de covarianzas del estimador MCO, S βˆβˆ = S e ( X ' X ) , al ser −1

−1 un múltiplo de ( X ' X ) , será muy grande por ser el determinante de ( X ' X ) muy

pequeño por lo que la estimación realizada será muy poco precisa al ser la desviación típica de cada parámetro muy elevada.

Las soluciones propuestas para resolver el problema de la multicolinealidad son variadas, si bien en general resultan poco satisfactorias: 1. Una posibilidad, sugerida por Johnston (1984), consiste en excluir aquella variable exógena que puede estar muy correlacionada con el resto y posteriormente estimar el coeficiente asociado a dicha variable mediante otro procedimiento para incluirlo en el modelo. 2. Otra posibilidad es la que se conoce como regresión cresta, introduciendo una constante

c en la matriz ( X ' X ) de tal forma que el estimador de MCO quedaría como

βˆ = ( X ' X + cI k ) −1 X ' Y , evitando así la singularidad de la matriz. Evidentemente, los coeficientes estimados estarán sesgados pero la matriz de covarianzas de los mismos será, seguramente, menor que la que obtendríamos sin introducir la constante por lo que probablemente la menor varianza compense en parte el sesgo introducido. Otra cuestión no menos trivial es la selección del valor de c, para lo que no existe un método definido; una posibilidad, sugerida por Hoerl y Kennard (1970) es comenzar con un valor muy pequeño de c e ir aumentándolo hasta que observemos que las estimaciones comienzan a estabilizarse. 3. También se ha sugerido la posibilidad de reformular el modelo, convirtiéndolo en un modelo de varias ecuaciones (estimación por tramos). 4. Finalmente, cuando la multicolinealidad se debe a la presencia como variables explicativas de varios retardos de una misma variable, puede especificarse una relación entre sus coeficientes para eliminar alguno de los retardos del modelo.

3.4.

ERRORES DE ESPECIFICACIÓN

Los errores de especificación hacen referencia a un conjunto de errores asociados a la especificación de un modelo econométrico. En concreto cabe referirse a: −

Omisión de variables relevantes

−

Inclusión de variables innecesarias

−

Adopción de formas funcionales equivocadas

En Economía la teoría no suele concretar la forma funcional de las relaciones que estudia. Así, por ejemplo, cuando se analiza la demanda se señala que la cantidad demandada es inversamente proporcional al precio; cuando se estudia el consumo agregado se apunta que la propensión marginal a consumir (relación entre renta y/o consumo) es mayor que cero y menor que uno. Por otro lado es frecuente utilizar la condición “ceteris paribus” para aislar la información de otras variables relevantes que influyen y/o modifican la relación estudiada. Por esta razón, la existencia de errores de especificación en la relación estimada es un factor a considerar y a resolver en el proceso de la estimación econométrica.

Con independencia de la naturaleza de los errores de especificación, dado que el proceso de estimación MCO deben de cumplirse determinadas hipótesis básicas, que los estimadores MCO deben de ser insesgados, eficientes y consistentes, y que el estimador de la varianza del término de error ha de ser insesgado, debemos preguntarnos: ¿qué ocurriría con estas propiedades ante errores de especificación?. Para responder a esta cuestión, partimos del modelo de regresión lineal cuya especificación general es:

Yi = βo+ β1 X1i +…+ ßk Xki + ei Con las propiedades habituales:


i=1,…,n


i=1,…,n

Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0 No existencia de relación lineal exacta entre dos o más variables independientes

3.4.1. Omisión de una variable relevante Para analizar las consecuencias de la omisión de una variable relevante, vamos a partir del siguiente modelo verdadero: Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ei

(3.1)

Sin embargo, por algún motivo, se ha procedido estimar el siguiente modelo: Yi = α0 + α1 X1i + vi

(3.2)

Dado que la variable excluida X2i está relacionada con la variable dependiente Yi, entonces se deduce que:

vi= ß2 X2i + ei. Estimando la pendiente α2 por MCO en el modelo (3.2), se obtiene:

αˆ 1 =

∑ (X ∑ (X

− X 1 )y i

1i

− X1 )

2

1i

siendo y i = Yi − Y , de forma que al sustituir yi por su expresión en el modelo verdadero (3.1) quedaría:

αˆ 1

∑ (X =

1i

− X 1 )(β 1 x1i + β 2 x 2i + e i )

∑ (X

− X1 )

2

1i

∑ (X =

− X 1 ) β 1 + ∑ ( X 1i − X 1 )( X 2i − X 2 )β 2 + ∑ (X 1i − X 1 )ei 2

1i

∑ (X

− X1 )

2

1i

Al tomar esperanzas condicionales con respecto a los valores de las variables independientes y dado que E(e| x1, x2, …, xk) = 0, se obtiene que:

E (αˆ 1 ) = β 1 + β 2

∑ (X − X )(X − X ) ∑ (X − X ) 1i

1

2i

2

2

1i

1

lo que implica que E (αˆ 1 ) no será igual a β1, por lo que estará sesgado siendo su sesgo:

β2

∑ (X − X )(X − X ) ∑ (X − X ) 1i

1

2i

2

2

1i

1

Expresión cuyo signo viene determinado por el signo del coeficiente β2 y por el sentido de la correlación entre las variables X1 y X2.

Con respecto a la varianza, dado que de la estimación MCO resulta que:

( )

Var βˆ1 =

∑ (X

σ e2

(

− X 1 ) 1 − r12, 2 2

1i

)

donde r21,2 es el R2 resultante de regresar X1 sobre X2.

Y además:

Var (αˆ 1 ) =

σ v2

∑ (X

− X1)

2

1i

entonces Var (αˆ 1 ) será diferente de Var ( βˆ1 ) , y por lo general será mas pequeña ya que 0
∑ (X − X )(X − X ) sería cero), las varianzas serían ya de por ∑ (X − X ) 1i

se anularía porque el termino

1

2i

2

2

1i

1

sí diferentes debido en la estimación de la ecuación (3.1) y en la de la ecuación (3.2).

3.4.2. Inclusión de una variable innecesaria Supóngase ahora que el modelo verdadero es: Yi = β0 + β1 X1i + ei

(3.3)

Yi = αo + α1 X1i + α2 X2i + vi

(3.4)

Pero se especifica el siguiente modelo:

Los estimadores MCO de (3.4) son ahora sesgados y consistentes, ya que E (αˆ 0 ) = β 0 ,

E (αˆ 1 ) = β 1 y E (αˆ 2 ) = 0 ; a este respecto hay que tener presente que al ser X2 una variable innecesaria el parámetro estimado no será significativamente distinto de cero.

Pero como desde el punto de vista de las varianzas ahora resulta que:

( )

Var βˆ1 = Var (αˆ 1 ) =

σ e2

∑ (X

∑ (X

− X1 )

2

1i

σ v2

(

− X 1 ) 1 − r12, 2 2

1i

)

Puesto que 0< r21,2<1, se cumpliría que Var(αˆ 1 ) ≥ Var( βˆ1 ) , es decir, la varianza de la estimación MCO de α1 sería mayor que la estimación MCO de β1.

3.4.3. Especificación funcional incorrecta Si especificamos la forma funcional de una relación (ya sea lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc.) y la verdadera relación presenta una forma diferente a la especificada tiene, en algunos casos, las mismas consecuencias que la omisión de variables relevantes, es decir, proporciona estimadores sesgados e inconsistentes. En general, una especificación funcional incorrecta lleva a obtener perturbaciones heteroscedásticas y/o autocorrelacionadas, o alejadas de los parámetros de la distribución del término de error del modelo correctamente especificado.

3.4.4. Contraste de errores de especificación Para constatar la presencia de errores de especificación en los modelos se utiliza la prueba general de errores de especificación de Ramsey. Dicha prueba, en su versión más sencilla, se realiza mediante los siguientes pasos:

1. A partir del modelo especificado, obtenemos Yi estimada, es decir Yî .

2. Se efectúa una nueva regresión incluyendo Yî en alguna forma, con uno o varios regresores adicionales, por ejemplo:

Yi = β 0 + β 1 X i + β 2Yî 2 + β 3Yî 3 + ei

(3.5)

2 3. Considerando el R2 obtenido en el modelo inicialmente especificado, RA , y el R2 2 obtenido en la segunda regresión, RB , se construye el siguiente estadístico:

(R

2 B

F=

− RA2 )

l (1 − RB2 ) (n − k )

El cual se distribuye según una F de Snedecor con l, n–k grados de libertad, siendo l el número de regresores nuevos incluidos en el segundo modelo y n – k el número de observaciones menos el numero de parámetros del segundo modelo.

4. Si el valor F calculado es significativo al nivel deseado, Fexp > Ftco se puede aceptar la hipótesis de que el modelo está mal especificado.

Ejemplo 3.5. Utilizando los datos del modelo del grado de ocupación hotelera estimado en el capitulo anterior, vamos a plantear la hipótesis de la existencia de algún error de especificación en el modelo.

Utilizando los datos del modelo, efectuamos la regresión siguiente:

Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2 i + β 3Yî 2 + β 4Yî 3 + ei Para el que obtenemos el siguiente resultado:


Dado que el modelo estimado obtenía un R2 ajustado de 0,794; construimos el estadístico de prueba:

(R

− RA2 )

( 0.812 − 0.794 )

l = − 1 ( RB2 )

2 (1 − 0.812) 12

2 B

F=

(n − k )

= 0.57

Con un nivel de significación de α=0.05, obtenemos el valor teórico correspondiente a una distribución F con 2 grados de libertad en el numerador y 12 en el denominador, que es de 3.49. Dado que Fexp < Ftco no se rechaza la hipótesis de que el modelo esté mal especificado.

3.5.

MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS.

En el modelo lineal general estableciamos como hipótesis de trabajo para el termino de error tener una media cero, una varianza constante y no estar autocorrelacionado; es decir:


i=1,…,n


i=1,…,n

Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0

Ahora vamos a mantener la hipótesis de media nula, es decir,

E(ei) = 0 , i=1,…,n

Pero se va a admitir la posibilidad de que las varizanzas y covarianzas del termino de error estén multiplicads por un factor escalar tal que:

E(ei ,ej) = σ2Ω , i=1,…,n Donde σ2 es desconocida y Ω es una matriz conocida de orden n simétrica y definida positiva. Recordemos que los errores son heteroscedásticos cuando su varianza varía a lo largo del tiempo. Entonces, suponiendo que no existe autocorrelación en los residuos, la matriz de varianza y covarianzas de los errores tendría la forma:

 λ1  0 2 2 E ( ei , e j ) = σ Ω = σ  ...  0 

0

λ2 ... 0

0   σ 12   0  0 = ... ...   ...   ... λ n   0 ... ...

0

σ

2 2

... 0

0   0   ... ...  ... σ n2  ... ...

Si en lugar de heteroscedasticidad, existiera alguna forma de autocorrelación en el término de error tal que E (ei , e j ) ≠ 0 , la matriz de varianzas-covarianzas de los errores autocorrelacionados tendrá la siguiente forma:

 1  ρ 2 2 E (ei , e j ) = σ Ω = σ  1 ...  ρ  n −1

ρ1 1 ...

ρ n−2

... ρ n−1   ... ρ n − 2  ... ...   ... 1 

En resumen, la existencia de heteroscedasticidad y autocorrelación violan las hipótesis de trabajo sobre el término de error que requiere MCO; en ese caso, los estimadores obtenidos por este procedimiento no serán los más eficientes, es decir, no serán los que garanticen la mínima varianza entre todos los estimadores lineales. El método de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) permite obtener estimadores eficientes cuando MCO proporciona estimaciones cuyo termino de error no tiene la forma de ruido blanco, es decir, no tiene media cero, varianza constante y no está autocorrelacionado. Supóngase que las varianzas heteroscedásticas σ i son ahora conocidas. El uso de Mínimos 2

Cuadrados Generalizados equivale a redefinir las variables utilizadas en el modelo original de regresión tal que todas ellas quedan divididas por σ i :

Yi * =

Yi

, X *ji =

σi

X ji

σi

, j = 2,..., k , ei* =

ei

σi

El término de error transformado tiene ahora una varianza homocedástica:

Var( e

* i )

= E( e

* 2 i ) =

e E  i σi

2

1 1   = 2 E(ei)2 = 2 ( σ i2 ) = 1 σi σi 

Posteriormente se realiza la regresión mínimo cuadrática con el modelo transformado:

Y * i = β 0 + β1 X *1i + β 2 X *2i +... + β k X *ki +e *i El estimador βMCG será:

βˆ MCG = (X * ' X * ) X * ' Y * = (X ' P −1 ' P −1 X ) X ' P −1 ' P −1Y −1

−1

Siendo:

P −1

   =    

1

σ1

0

0

...

1

σ 2 ...

...

...

...

0

0

...

0   0  ...   1  σn 

Si llamamos entonces Ω −1 = P −1 ' P −1 , el estimador βMCG quedaría como:

βˆ MCG = (X ' Ω −1 X ) X ' Ω −1Y −1

Por tanto, el método de MCG consiste en aplicar MCO sobre las variables transformadas, las cuales sí satisfacen las hipótesis teóricas establecidas para MCO.

Así, por ejemplo, si detectamos la presencia de autocorrelación, y se cree que las perturbaciones se generan de la manera siguiente:

et = ρ et −1 + ε t

Donde ρ se conoce como coeficiente de autocorrelación, siendo − 1 < ρ < 1 y ε t satisface los supuestos MCO clásicos (esto es, media cero, varianza constante y ausencia de autocorrelación)

El estimador MCG se obtendría realizando la siguiente transformación:

(Yt − ρYt −1 ) = β 0 (1 − ρ ) + β1 ( X t − ρX t −1 ) + ε t

= Yt* = β o* + β1* X t* + ε t

MCG De forma que el estimador βˆ1 viene dado por la siguiente expresión:

N

βˆ

MCG 1

=

∑ (x t =2

t

− ρxt −1 )( yt − ρy t −1 ) N

∑ (x t =2

(

)

(

t

− ρxt −1 )

2

+C

)

siendo xt = X t − X e yt = Yt − Y , y C un factor de corrección que suele despreciarse en la práctica.

La varianza del estimador obtenido mediante MCG será:

Var ( βˆ1MCG ) =

σ2 N

∑( x t =2

t

− ρ xt −1 )

2

+D

donde D es otro factor de corrección que también es despreciable. Dado que ρ es un parámetro desconocido, es habitual obtener un estimador de ρˆ a partir del estadístico d de Durbin-Watson:

ρˆ = 1 −

d 2

O por el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt, que consiste en realizar una segunda regresión con los errores de la regresión MCO de las variables originales; es decir:

eˆt = ρˆ eˆt −1 + vt y a partir de la estimación ρˆ de esta segunda regresión se realizan sucesivas regresiones a partir del modelo transformado siguiente:

(Yt − ρˆYt −1 ) = β 0 (1 − ρˆ ) + β1 ( X t − ρˆX t −1 ) + et* = Yt* = β o* + β1* X t* + et* eˆt* = Yt − βˆ0* − βˆ1* X t

eˆt* = ρˆˆ eˆt*´−1 + wt hasta alcanzar un determinado grado de convergencia, en el sentido de que las diferencias entre las sucesivas estimaciones de ρˆ tengan un valor inferior a un número previamente elegido. En la práctica, para obtener los estimadores MCG una vez determinado el parámetro ρˆ deberíamos seguir los siguientes pasos: 1. Transformar las observaciones originales utilizando el parámetro ρˆ 2. Aplicar MCO a los datos transformados.

Ejemplo 3.6. Utilizando los datos y resultados obtenidos en el ejemplo 3.2, vamos a calcular un estimador para

ρ a partir de:

ρˆ = 1 −

d 0.62599 = 1− = 0.687 2 2

Para obtener los estimadores MCG, primero transformamos las variables originales:

Yt* = Yt − ρˆYt −1 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

3399.63 3625.16 3822.30 3832.83 3675.41 3676.71 4051.07 4218.66 4265.57 4518.82 5131.57 5546.73 5753.89 6077.68 5883.22

(1 − ρˆ ) 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435 0.312997435

X t* = X t − ρˆ X t −1 129311.74 134908.00 137329.65 137485.83 134269.10 127267.53 140161.37 145095.74 147696.21 158421.89 166289.37 172923.46 180166.00 180518.13 181297.10

En segundo lugar aplicamos MCO a los datos transformados3, lo que da lugar a la siguiente solución:

Yt* = −8,003.87(1 − ρˆ ) + 0.046 X t* que equivale a estimar:

Yˆt = −8,003.87 + 0.046 X t

Para obtener una estimación de ρˆ por el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt, iniciamos el procedimiento a partir de la función eˆt = ρˆ eˆt −1 + vt estimada por MCO:

et = 0.531et −1 + vt A continuación transformamos las variables originales:

3

Notese que en vez del vector de n valores 1 que se asocia al término constante en el MCO

ordinario, se estima ahora utilizando un vector con n valores (1 − ρˆ ) .

(1 − ρˆ )

Yt* = Yt − ρˆYt −1 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

4867.671917 5163.129506 5443.428732 5541.789713 5446.342319 5465.714436 5852.681172 6087.232984 6206.252725 6516.337402 7207.574873 7772.082285 8146.493088 8617.438347 8574.507911

X t* = X t − ρˆ X t −1

0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142 0.468725142

184643.6678 193058.5929 198288.1759 200750.5265 199142.4573 192745.1108 204963.7186 211442.1284 215871.7739 228259.0712 238938.3724 248729.3684 259173.8261 262853.5449 265973.4213

Aplicamos MCO a los datos transformados, lo que da lugar a la siguiente ecuación:

Yt* = −7,518.97(1 − ρˆ ) + 0.045 X t* Obtenemos los errores de predicción a partir de:

eˆt* = Yt − 7,518.97 + 0.045 X t eˆt*

ˆ Yˆt 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

8583.804131 9404.058542 10221.18602 10892.29914 11360.43329 11536.26683 11339.76832 11789.09552 12321.39985 12804.94209 13623.20251 14541.88745 15473.66927 16442.02266 17123.24168 17626.54254

843.1958686 471.9414578 188.8139837 81.7008583 11.56671113 -48.26683108 229.2316841 209.9044751 140.6001486 22.05790756 -292.2025146 -251.8874547 -109.6692747 -133.0226587 158.7583191 129.4574635

Por tanto, en segunda iteración obtenemos el siguiente valor ρˆˆ a partir de la regresión:

eˆt* = 0.52446eˆt*−1 + wt Y a partir de este nuevo valor ρˆˆ repetiremos el proceso hasta obtener parámetros que difieran en un pequeño valor, como ocurre entre los parámetros obtenidos en la iteración 9 y 10:

ρ

Iteración

Diferencias

1

0.5244578

2 3 4

0.52217007 0.52141952

-0.00228772 -0.00075055

0.52117513

-0.00024439

Con el parámetro correspondiente a la cuarta iteración se obtiene la siguiente estimación MCG:

Yˆt = −7495.29 + 0.045 X t

3.6.

PROBLEMAS

3.1. Utilizando los siguientes datos: Y 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 3 4 5 8 2 4

X 25 28 30 33 35 35 39 28 29 31 33 26 29 28 34 23 28

a) Estime por MCO la relación Y=β0+β1X b) Obtenga los residuos y representarlos gráficamente. Comentar los resultados.

c) Calcule el estadístico d de Durbin-Watson e interprete el resultado 3.2. Utilizando los siguientes datos de corte transversal de 20 individuos: i

Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 11.1 3.2 7.9 25.5 3.8 11.1 9.9 13.3 1.5 6.4 8.9 8.1 13.5 4.7 7.5 4.7 8 7.5 9

X 4.3 4.6 2.4 2.4 26.4 4.2 5.5 4.7 2.2 4 4 8.4 3.3 4.7 5.2 3.6 3.6 4 3.9 2.1

a) Efectúe la regresión MCO de Y sobre X y realice un gráfico de los residuos de la regresión. b) En base al gráfico de los residuos si concluye que hay heteroscedasticidad en la varianza del error, realice un contraste estadístico para verificarlo.

3.3. Con los siguientes datos de X e Y Y 217 136 67 66 93 36 173 139 61 58 55 212 92 138 37 152 243

X 6.5 4.6 2.4 2.4 3.4 1.1 5.5 4.7 2.2 2.1 2 6.4 3.3 4.7 1.2 5 7

Se ha obtenido la siguiente estimación: Y=8.25+3.68 X

R2=0.9846.

Comprobar si el modelo está bien especificado.

3.4. Comente los resultados con el siguiente programa R4 realizado con datos del PIB en indices de volumen y horas trabajadas de la Contabilidad Regional de España en Cantabria : > library(lmtest) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T,dec=",") > datos Año PIB HORAS 1 2000 81.36789 358353.0 2 2001 84.70348 376717.6 3 2002 87.13748 389675.5 4 2003 88.44620 393953.2 5 2004 90.48026 402303.7 6 2005 93.35919 415740.0 7 2006 96.36604 418940.8 8 2007 99.17407 428054.0 9 2008 100.00000 426718.0 10 2009 96.05368 401495.1 11 2010 95.64394 379246.9 12 2011 94.83684 371818.5 13 2012 93.99655 354724.5 dwtest(datos$PIB ~ datos$HORAS) Durbin-Watson test data: datos$PIB ~ datos$HORAS DW = 0.0942, p-value = 6.069e-10 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

3.5 Utilizando los datos del ejercicio 1 realice una estimación de ρˆ siguiendo el procedimiento de Cochrane-Orcutt.

Soluciones 3.1 a) Y = −7.79 + 0.42 X b) A realizar por el lector c) d =

7.795 = 0.797 , con d U = 1.40 y d L = 0.90 . Se rechaza la hipótesis nula de 9.777

no autocorrelación.

4

3.2 a) Y = +4.61 + 0.757 X

b)

Fexp =

71.43 = 1.28 ; F4, 4 = 6.39 ; no se rechaza la hipótesis nula de 55.71

homocedasticidad5.

2 2 3.3 R B = 0.9998 y R A = 0.9846 ; Fexp

(0.9998 − 0.9846) 1 = = 1064 ; F1,14 = 4.60 . (1 − 0.9998) 14

acepta la hipótesis de que el modelo está mal especificado6. 3.4 A realizar por el lector

ˆ

; ρˆˆ = 0.61176 ; ρˆˆ = 0.61416 ; ρˆˆˆ = 0.61432 3.5 ρˆ = 0.57721

ˆ

5

Resultados del contraste de Goldfeld-Quant eliminando las cuatro observaciones centrales.

6

Para calcular

RB2 se utiliza la regresión Yi = β 0 + β 1 X i + β 2Yî 2 + ei

Se

4.

MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES

4.1.

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 2 hemos mantenido dos supuestos de forma implícita: por un lado, que los modelos habían sido correctamente especificados; y por otro, que no se cometían errores en la medición de las variables que componen los modelos. Sin embargo, en la práctica puede que alguno de los supuestos anteriores no se satisfaga plenamente.

El incumplimiento del primero de ellos conlleva lo que se conoce en Econometría como errores de especificación, los cuales ya han sido examinados en el capítulo anterior. Sin embargo, no son éstos los errores objeto de análisis en este capítulo sino los segundos, aquellos derivados de la no coincidencia de los datos disponibles con los valores teóricos de las variables incluidas. Ello puede deberse básicamente a dos motivos: por un lado, puede darse la circunstancia de que no podamos obtener datos para la variable teórica deseada (denominada variable latente), por lo que deberemos usar una variable que esté muy correlacionada con la anterior (variable proxy) de la que sí se disponga de datos. Por otro lado, también puede darse el caso en el que el investigador se encuentre con problemas de la muestra tales como errores en el tratamiento de los datos, respuestas no válidas, etc.

En estos casos, los estimadores obtenidos en las regresiones se verán afectados, introduciendo sesgos en la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios. El sesgo de los estimadores será menor cuanto más se aproxime la variable que realmente aparece en el modelo, y cuanto más independiente sea el error de medida de las restantes variables del modelo. Asimismo, también se verán afectadas las propiedades de consistencia y eficiencia de los estimadores, siendo más negativas las consecuencias de los errores de medida cuanto menor sea el tamaño muestral.

Entre ambos tipos de errores (especificación y medida) existe cierta relación. De hecho, un error de medida puede ser considerado un error de especificación en cierta medida, ya que puede que se esté dejando información relevante fuera del modelo, o que se esté incluyendo información irrelevante en el mismo.

Si bien en el presente capítulo se muestran algunos métodos para atenuar las consecuencias de estos errores, resulta fundamental que, desde el principio, el investigador conozca la fuente y el origen de los datos, así como sus características básicas (error de muestreo, nivel de confianza, tipo de muestreo, tamaños muestrales, universo de referencia, influencia de la no respuesta, etc.)

4.2.

TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA

A continuación pasamos a analizar los efectos que tienen los errores de medida sobre las distintas variables del modelo; primero, consideraremos los efectos sobre las variables endógenas y después, sobre las variables exógenas.

4.2.1. Errores de medida en la variable endógena Supongamos que deseamos estudiar el comportamiento de una determinada variable endógena teórica o latente, que denominaremos Yt, a lo largo del tiempo en función de una sola variable, Xt, la cual es observada sin error. El modelo especificado será por tanto:

Yt = β0 + β1Xt + εt

(4.1.)

2 Donde εt es una variable aleatoria independiente con distribución N(0, σ ε ).

Supongamos que la variable Yt presenta algún error de medida, de tal forma que en realidad observamos:

Yt* = Yt + ut Donde ut, al igual que εt, es una variable i.i.d. con función de distribución N(0, σ u ), siendo además 2

independiente de εt y de Xt.

Reemplazando el valor teórico de Yt por su valor observado en (4.1) tenemos que:

Yt = Yt* – ut = β0 + β1Xt + εt + ut

Y agrupando los dos términos de error en uno, vt = εt+ut, se obtiene que:

Yt* = β0 + β1Xt + vt

(4.2.)

Donde el término de error vt continúa siendo i.i.d. si bien ahora su varianza pasa a ser: 2 2 Var(vt) = Var(εt)+ Var(ut) = σ ε + σ u

Al ser Cov(εt ut) = 0, por ser ambas variables ruidos blancos.

El modelo obtenido en (4.2) puede ser estimado por MCO sin ninguna dificultad y los estimadores que se calculen serán insesgados; sin embargo, la varianza estimada para los coeficientes del modelo sí se verá afectada ya que: 2 2 2 Var(β) = σ v (X’X)-1 = ( σ ε + σ u )(X’X)-1

Cuyo valor es mayor que el de la varianza de los estimadores del modelo (4.1) si Yt no estuviera medida con error.

4.2.2. Errores de medida en la variable exógena Si bien la existencia de errores de medida en la variable endógena no tiene consecuencias excesivamente graves para la estimación mínimo-cuadrática, no podemos decir lo mismo cuando existen errores de medida en las variables exógenas. En efecto, supongamos que en el mismo modelo planteado en (4.1) es ahora la variable exógena, Xt, la que presenta el error de medida tal que:

Xt* = Xt + ut

(4.3.)

2 Donde de nuevo suponemos que ut es una variable iid con función de distribución N(0, σ u ),

siendo además independiente de εt y de Xt y de Yt.

Así, el modelo resultante de sustituir (4.3) en (4.1) es:

Yt = β0 + β1(Xt* – ut )+ εt = β0 + β1Xt* + (εt – β1 ut )

Y, de nuevo, llamando vt = εt – β1 ut queda que:

Yt = β0 + β1Xt* + vt

(4.4.)

Donde ahora el término de error compuesto vt está correlacionado con la variable explicativa Xt tal que:

Cov(Xt*, vt) = Cov (Xt + ut, εt – β1 ut) = Cov (Xt, εt) – β1Cov(Xt, ut)+Cov(ut, εt) – β1 Cov(ut, ut) = 0 – β1·0 + 0 – β1 σ u = – β1 σ u 2

2

Siendo Cov(Xt, εt) nulo por los supuestos habituales del modelo de regresión lineal, mientras que el resto de términos son nulos debido a los supuestos que hemos establecido a lo largo del desarrollo sobre el error de medida.

La correlación existente entre Xt y vt va a provocar que los estimadores MCO en este caso sean sesgados. En efecto, si expresamos el modelo (4.4) en desviaciones respecto a la media, dividimos numerador y denominador por el tamaño muestral, T, y calculamos el límite en probabilidad de la expresión del estimador MCO para β1 tenemos que:

1 1 [xt + (ut − u)][β1xt + (εt − ε )] plim xt* yt plim T T plimβˆ1 = = 1 1 [xt + (ut − u)]2 plim xt*2 plim T T 1 plim β1 xt2 + β1 xt (ut − u) + xt (εt − ε ) + (ut − u )(εt − ε )  1  βσ2 T = = 2 1 x 2 = β1· 2 2 1 σx +σu 1+σu /σx  plim xt2 + 2 xt (ut − u) + (ut − u )2 T

∑

∑

∑

( ∑

∑

∑ (∑

∑

∑

)

∑

∑

)

El resultado obtenido muestra que, en presencia de errores de medida, el estimador MCO de β1 será sesgado e inconsistente. La magnitud del sesgo será mayor cuanto mayor sea la varianza del error de medida σ u , lo que implica que un error de medida en Xt que fuese constante no produciría 2

sesgo alguno en la estimación de β1.

El resultado obtenido puede generalizarse a modelos con k variables explicativas, todas ellas medidas con error. Así, sea la matriz X* de dimensión T × k ; dicha matriz puede descomponerse como la suma de la matriz de variables latentes, X, y la matriz de errores de medida, u, tal que:

*  X 11* X 21  * *  X 12 X 22  M M  X* X* 2T  1T

L X k*1   X 11 X 21   L X k*1   X 12 X 22 = M O M   M  *   L X kT   X 1T X 2T

L X k 1   u11 u 21   L X k 2   u12 u 22 + O M   M M   L X kT   u1T u 2T

L u k1   L uk 2  O M   L u kT 

El investigador desea estimar el modelo:

Y = Xβ + ε

Sin embargo, los datos de que dispone para las variables explicativas presentan errores de medida por lo que en la práctica el modelo que estimará será:

Y = (X*–u)β + ε = X*β + (ε–βu)= X*β + v

(4.5.)

Suponiendo que u cumple las propiedades enunciadas anteriormente para los errores de medida, la estimación MCO de los parámetros del modelo anterior vendrá dada por:

βˆ MCO = ( X *' X *) −1 X *' Y Descomponiendo el producto y tomando límites de probabilidad en la expresión anterior tenemos que:

( X '*X *) [( X + u)' ( X + u))] = p lim [( X ' X + u' u + X ' u + u' X )] = p lim T T T (X ' X ) (u' u) ( X ' u) (u' X ) = p lim + p lim + p lim + p lim = Σ XX + Σ uu T T T T p lim

( X *' Y ) [( X + u )' ( Xβ + ε )] = p lim [( X ' Xβ + X ' ε + u ' Xβ + u ' ε )] = p lim T T T ( X ' Xβ ) (X 'ε ) ( u ' Xβ ) (u ' ε ) ( X ' Xβ ) = p lim + p lim + p lim + p lim = p lim = Σ XX β T T T T T p lim

Por tanto, si calculamos el límite en probabilidad de βˆMCO queda que:

p lim βˆ MCO = (Σ XX + Σ uu ) −1 ·Σ XX β = β − (Σ XX + Σ uu ) −1 Σ uu β

Resultado que muestra que incluso aunque sólo una de las variables explicativas tuviera un error de medida, los estimadores MCO obtenidos serían sesgados e inconsistentes.

4.3.

ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES

En la práctica, ante un problema como el planteado poco se puede hacer. Ya hemos visto las implicaciones que ello tiene para la estimación, siendo éstas más importantes cuando se presentan en las variables explicativas. Aunque en ocasiones lo que se hace es obviar dichos errores por considerar que no son significativos, el investigador deberá tener en mente que puede utilizar dos métodos que permiten atenuar las consecuencias de la existencia de errores de medida en las variables. Dichos métodos son la estimación mediante variables instrumentales y la estimación por variables aproximadas.

a) Estimación por Variables Instrumentales

Si bien este método de estimación se verá con más detalle en el capítulo 8, pasamos a comentar en este apartado la aplicación práctica de este método de estimación al problema de los errores de medida. La filosofía de este procedimiento en este caso consiste en sustituir las variables medidas con error por otras, denominadas instrumentos, que no presenten este problema y que no hayan sido incluidas en el modelo. Para ello, cada una de las variables seleccionadas deben verificar que:

α)

Esté incorrelacionada, al menos asintóticamente, con el término de error tal que, si Z es la matriz de variables instrumentales para el modelo, deberá verificarse que:

p lim β)

Z'v Z ' (ε − β u ) Z 'ε Z'u = p lim = p lim − β · p lim =0 T T T T

Esté correlacionada con la variable explicativa para la que actúa como instrumento tal que:

p lim

Z' X = Σ ZX ≠ 0 T

Si estas propiedades se cumplen, el estimador de Variables Instrumentales del modelo (4.5) vendrá dado por la expresión: βˆVI = ( Z ' X ) −1 Z ' Y

El cual ahora sí es insesgado ya que:

 Z' X    T 

βˆVI = p lim

−1

 Z 'Y   Z' X  p lim  = p lim   T   T 

−1

 Z ' ( Xβ + v )  p lim  T  

−1

 Z' X    Z ' Xβ   Z ' v )  −1 −1 = p lim   p lim  + p lim  = β (Σ ZX ) Σ ZX + (Σ ZX ) ·0 = β  T    T   T 

Siendo la matriz de varianzas y covarianzas del estimador βˆVI : Var ( βˆVI ) = σ v2 ( Z ' X ) −1 ( Z ' Z )( X ' Z ) −1

b) Estimación por Variables Aproximadas

En algunas ocasiones lo que sucederá no es que existan errores de medida en la variable considerada sino que sencillamente no existe ninguna variable observable que se corresponda exactamente con la variable incluida en el modelo. Tal es el caso del nivel educativo o la inteligencia de un individuo, variables que pueden ser aproximadas por los años de escolarización o los resultados de un test de inteligencia respectivamente. Sin embargo, estas variables aproximadas deben tratarse como variables con errores de medida, ya que no podemos aproximarnos a la verdadera variable realizando mediciones más precisas de la variable proxy.

4.4.

APLICACIÓN PRÁCTICA

Veamos cómo afectan los errores de medida a los valores de las estimaciones. Supongamos que un investigador desea estimar un modelo simple que relaciona renta y consumo. Para lo cual realiza una encuesta a 10 familias, y obtiene los datos que figuran en la tabla siguiente:

Observación Gasto observado (C)

Ingreso observado (I)

1

67.60

80.09

2

75.44

91.57

3

109.70

112.14

4

129.42

145.60

5

104.24

168.56

6

125.83

171.47

7

153.99

203.54

8

152.92

222.85

9

176.33

232.98

10

174.52

261.18

Sin embargo, supongamos que en realidad el gasto efectivo en consumo, y el ingresos efectivos de dichas familias han sido los siguientes:

Observación Gasto efectivo en consumo (C*)

Ingreso efectivo (I*)

1

75.47

80

2

74.98

100

3

102.82

120

4

125.77

140

5

106.50

160

6

131.43

180

7

149.37

200

8

143.86

220

9

177.52

240

10

182.28

260

En consecuencia, el modelo de consumo para las cifras reales sería:

Ci* = β 0 + β1 I i* + ui donde E (ui ) = 0, E (ui ) = σ u . 2

2

La función de Consumo estimada con datos reales sería : Variable dependiente: C* Número de observaciones: 10

Variable

β0 β1

Coeficiente 25.00

Desv. Típica 10.48

Estadístico t 2.386

p-value 0.044

0.60

0.06

10.276

0.000

R2 R2 corregido Desv. Típica regresión Estadístico Durbin-Watson

0.929 0.921 10.606 2.816

Media variable dependiente Desv. típica variable dependiente Estadístico F p-value Estadístico F

127.000 37.683 105.599 0.0000

Para comprobar como variaría la estimación, vamos a suponer que las variables observadas contienen errores de medida tal que Ci = Ci* + εi, Ii = Ii* + vi, con εi y vi, errores de medición que satisfacen que:

E (ε i ) = 0, E (ε i2 ) = σ ε2

E (vi ) = 0, E (vi2 ) = σ v2

E (ε i vi ) = E (viε i ) = 0

E ( I i*ε i ) = E ( I i*vi ) = E ( I i*ui ) = 0

Supongamos que el investigador dispone de los datos de ingresos efectivos, I*, pero sólo cuenta con el gasto en consumo observado, C. Con dicha información estimamos ahora la función de * consumo Ci = β 0 + β1 I i + ui .

Variable dependiente: C Número de observaciones: 10

Variable

β0 β1

Coeficiente 25.00

Desv. Típica 12.22


p-value 0.075

0.60

0.07

8.811

0.000


0.907 0.895 12.369 2.287


127.000 38.158 77.647 0.000

Como puede apreciarse, los estimadores continúan siendo insesgados y consistentes, coincidiendo prácticamente los coeficientes de ambas estimaciones. Sin embargo, los errores de medición en la variable endógena provocan el aumento de las desviaciones típicas de los parámetros.

Supongamos que disponemos de la serie de gasto en consumo efectivo, C*, pero tan sólo disponemos de los ingresos observados, I. Con dicha información estimamos ahora la función de * consumo Ci = β 0 + β1 I i + ui .

Variable dependiente: C* Número de observaciones: 10

Variable

β0 β1

Coeficiente 28.46

Desv. Típica 11.28


p-value 0.036

0.58

0.06

9.246

0.000


0.914 0.904 11.692 2.842


127.000 37.683 85.481 0.000

En este caso, observamos que los estimadores obtenidos están claramente sesgados, sobre todo en el caso del término constante.

4.5. 4.1.

PROBLEMAS

Considere el siguiente modelo:

yt = βxt + εt

En el que las variables están expresadas en desviaciones respecto a la media.

La variable xt presenta errores de medida tal que:

xt* = xt + ut

La variable xt en realidad es una variable aleatoria que evoluciona en el tiempo de acuerdo a un proceso autorregresivo de orden 1 tal que: xt* = φxt-1* + εt Demuestre que, al contrario de los resultados obtenidos a lo largo del capítulo, es posible estimar consistentemente β mediante la expresión:

T

β=

∑x

* t −1 y t

∑x

* * t −1 x t

i=2 T

i =2

4.2.

Un investigador especifica el siguiente modelo: Yt =α+ βXt + εt donde yt es el consumo que realizan las familias y Xt es la renta permanente. Dado que no es posible observar directamente la variable Xt, el investigador decide utilizar como variable proxy de Xt la media de la renta familiar de los últimos cinco años y que denotaremos por Xt*.

La relación entre las dos variables puede expresarse como:

Xt* = Xt + wt

Donde wt es un ruido blanco gaussiano.

Calcule el sesgo asintótico del estimador MCO del modelo cuando se tienen en consideración los errores de medida comentados. ¿Es posible saber si el valor del estimador MCO sobrestimará o subestimará el valor de β?

SOLUCIONES 4.1. A realizar por el lector.

1 4.2. El sesgo del estimador es verdadero valor de β.

1 + σ w2 / σ x2

. El estimador siempre subestima el

5.

MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS

5.1.

MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS CUALITATIVAS COMO REGRESORES.

Y

En un modelo econométrico, las variables representan a los conceptos u operaciones económicas que queremos analizar. Normalmente utilizamos variables cuantitativas, es decir, aquellas cuyos valores vienen expresados de forma numérica; sin embargo, también existe la posibilidad de incluir en el modelo econométrico información cualitativa, siempre que esta pueda expresarse de esa forma.

Las variables cualitativas expresan cualidades o atributos de los agentes o individuos (sexo, religión, nacionalidad, nivel de estudios, etc.) y también recogen acontecimientos extraordinarios como guerras, terremotos, climatologías adversas, huelgas, cambios políticos etc.

No cabe duda de que una forma de recoger factores de este tipo sería la utilización de variables proxy o aproximadas a las variables utilizadas. Por ejemplo, si quiero utilizar una variable que mida el nivel cultural de un país (variable cualitativa) puedo utilizar como variable proxy el número de bibliotecas existentes en un país, o representa una climatología adversa a partir de las temperaturas medias o precipitaciones. Sin embargo, no siempre es posible encontrar este tipo de variables y, en cualquier caso, debemos de ser conscientes de la posible existencia de errores en la definición de la variable.

Puesto que las variables cualitativas normalmente recogen aspectos de la presencia o no de determinado atributo (ser hombre o mujer, tener estudios universitarios o no tenerlos, etc.…) se utilizan variables construidas artificialmente, llamadas también ficticias o dummy, que generalmente toman dos valores, 1 ó 0, según se dé o no cierta cualidad o atributo. Habitualmente a la variable ficticia se le asigna el valor 1 en presencia de la cualidad y 0 en caso contrario. Las variables que toman valores 1 y 0, también reciben el nombre de variables dicotómicas o binarias.

Las variables dicotómicas pueden combinarse para caracterizar variables definidas por su pertenencia o no a un grupo. Si incluyo una variable cualitativa que me define la pertenencia o

no de un país a un grupo, por ejemplo renta alta, media y baja, introduciré tres variables cualitativas en el modelo asociadas al la pertenencia o no a cada grupo; la primera caracterizaría a los individuos con renta alta, la segunda a los individuos con renta media, y la tercera a los individuos con renta baja.

Los modelos que utilizan variables cualitativas como regresores se diferencian en dos grupos, los modelos de Análisis de la Varianza o modelos ANOVA, que únicamente incluyen variables cualitativas como regresores; y los modelos de Análisis de la Covarianza o modelos ANCOVA que incluyen tanto variables cualitativas como cuantitativas. Los modelos ANOVA son muy utilizados en Sociología, Psicología, Educación, etc.; en Economía son más comunes los modelos ANCOVA.

5.1.1. Modelos ANOVA Un problema estadístico clásico es la comparación de medias de dos distribuciones normales. Supongamos que las observaciones de la variable

Yi , provienen de dos distribuciones normales

2 con medias µ1 y µ 2 y varianza común σ . El tamaño de la primera distribución se circunscribe a

las n1 primeras observaciones, y el de la segunda las n − n1 restantes observaciones. Queremos

H o : µ1 = µ 2 frente a la alternativa H o : µ1 ≠ µ 2 al nivel de

constrastar la hipótesis significación de α .

Este contraste de igualdad de medias cabe formularlo en el marco del modelo lineal general. Así, bajo

H o tenemos el siguiente modelo de regresión múltiple utilizando variables Dummy:

Yi = µ1 D1i + µ 2 D 2 i + ei Siendo :

 1 si i ∈ {1,..., n1 } D1i =  0 si i ∈ {n1 + 1,..., n}

 0 si i ∈ {1,..., n1 } D2i =  1 si i ∈ {n1 + 1,..., n}

El estimador mínimo cuadrático del modelo planteado sería:

 n  ∑ D1i2 ˆ µ  1   i =1   = n  µˆ 1   ∑ D1 D 2 i i   i =1

 D1i D 2 i  ∑ i =1  n  2 D2 i  ∑ i =1  n

−1

 n   ∑ D1i Yi   i =1   n   ∑ D 2 i Yi   i =1 

n

n

∑ D1i2 = n1 Teniendo

presente

n

n1

i =1

i =1

que

n

∑ D 2 i Yi =

∑ D1i Yi = ∑ Yi  µˆ 1   n1   =   µˆ 1   0

i =1

y

i =1

n

∑ D2 i2 = n − n1 = n2 ,

i =1

∑ D1 D2 i =1

,

i

i

=0 ,

n

∑Y

i = n1 +1

i

, el estimador mínimo cuadrático quedaría:

 n1  −1  Yi  0 ∑  =  Y1  i =1  n  Y  n2    ∑ Yi   2   i =n1 +1 

Para contrastar la hipótesis

H o : µ1 − µ 2 = 0 frente a la alternativa H o : µ1 − µ 2 ≠ 0 ,

t =

µˆ 1 − µˆ 2 S µˆ1 − µˆ 2

construiríamos el estadístico experimental

=

Y1 − Y 2

σˆ 2 n1

+

σˆ 2 n2

, en donde

n

σˆ 2 =

∑e i =1

2 i

n−2 .

La hipótesis

t exp > t tco

H o : µ1 − µ 2 = 0 ser rechaza con el estadístico teórico t tco = t n −2 (α / 2) si

.

El análisis anterior se extiende a la comparación de medias con tres o más distribuciones normales. Suponemos ahora que las n observaciones proceden de tres distribuciones normales 2 µ con medias µ1 , µ 2 y 3 y varianza común σ , correspondientes a tres muestras que contienen

µ = n − n1 − n2 ultimas observaciones. las n1 primeras observaciones, n2 siguientes y 3 El modelo lineal utilizando variables Dummy quedaría:

Yi = µ1d 1i + µ 2 d 2i + d 3i + ei Donde las variables binarias se definen:

1 si i ∈ en el grupo J DJ i =   0 si i ∉ en el grupo J El estimador mínimo cuadrático del vector de parámetros es:

 µˆ 1   n1     µˆ 2  =  0  µˆ   0  3 

0 n2 0

 n1   ∑ Yi  −1   Y  i =1 0 n 2    1  0   ∑ Yi  =  Y2   i = n +1  n3   n1   Y3   ∑ Yi   i = n2 +1 

Para contrastar la hipótesis

H o : µ1 = µ 2 = µ 3 , se utiliza el contraste de significación global,

Fexp para el que construimos es estadístico experimental teórico

R2 2 = (1 − R 2 ) n − 3 , siendo el estadístico

Ftco = F (2, n − 3) , la hipótesis se rechazaría con la regla de decisión Fexp > Ftco .

Ejemplo 5.1.

Desde R obteneos el conjunto de datos (data.frame) mtcars, que es una base de datos relativa a diferentes tipos de automóviles. > data(mtcars) El contenido de la base de datos puede analizarse con la function str > str(mtcars) 'data.frame': $ mpg : num $ cyl : num $ disp: num $ hp : num $ drat: num $ wt : num $ qsec: num $ vs : num $ am : num $ gear: num $ carb: num

32 obs. of 11 variables: 21 21 22.8 21.4 18.7 18.1 14.3 24.4 22.8 19.2 ... 6 6 4 6 8 6 8 4 4 6 ... 160 160 108 258 360 ... 110 110 93 110 175 105 245 62 95 123 ... 3.9 3.9 3.85 3.08 3.15 2.76 3.21 3.69 3.92 3.92 ... 2.62 2.88 2.32 3.21 3.44 ... 16.5 17 18.6 19.4 17 ... 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ... 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ... 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 ... 4 4 1 1 2 1 4 2 2 4 ...

Teniendo presente que mpg es el consumo en Miles/ (US) gallon, y que am es una variable cualitativa que relativa al tipo de transmisión (marchas) , que toma valor 0 en caso de transmisión es automática y 1 cuando lo es manual, construimos la tabla anova con la función “aov”: > mod1 <- aov(mtcars$mpg ~ mtcars$am) > summary(mod1) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.2 405.2 16.86 0.000285 *** Residuals 30 720.9 24.0 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

El estadístico F al ser mayor que el valor teórico permite rechazar la hipótesis

H o por lo que cabe

admitir que transmisión autómatica ó manual tiene relación con el consumo de gasolina de este

conjunto de automóviles. De hecho el codigo “***” nos muestra que la variable es significativa a un α muy bajo. La variable gear, hace referencia al numero de marchas delanteras, variable que toma valores: 3,4 y 5. > mtcars$gear [1] 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 3 4 5 5 5 [30] 5 5 4

Otra posibilidad de obtener la tabla anova es definir el modelo lineal y utilizar la función “anova”. > reg <- lm(mtcars$mpg ~ mtcars$gear) > anova(reg) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$gear 1 259.75 259.749 8.9951 0.005401 ** Residuals 30 866.30 28.877 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Al igual que en laso anterior la variable tambien tiene relación con el consumo de gasolina, sería significativa a un α = 0.001 . Realizamos ahora un modelo anova con el descrito en la teoría con la función siguiente: > model.tables (mod1, type = "mean") Tables of means Grand mean 20.09062 mtcars$am mtcars$am 0 1 17.147 24.392 Warning message: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$am

Incorporamos ahora la variable que nos informa del número de marchas y estudiamos sus efectos sobre la explicativa: mod2 <- aov(mtcars$mpg ~ mtcars$am+mtcars$gear) > anova(mod2) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.15 405.15 16.2994 0.0003615 *** mtcars$gear 1 0.05 0.05 0.0019 0.9651278 Residuals 29 720.85 24.86 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> model.tables (mod2) Tables of effects mtcars$am mtcars$am 0 1 -2.943 4.302 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 5 -0.01854 0.00059 0.05419 Warning messages: 1: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$am 2: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$gear

Obtenemos ahora que los vehiculos con marchas automáticas reducen el consumo medio en 2,943 millas/(US) gallon, los de marchas manuales, lo aumentan en 4,302; los de 3 marchas lo reducen en -0.01854, etc… Incluimos ahora las dos variables y sus iteracciones: > mod3 <- aov(mtcars$mpg ~ tcars$am+mtcars$gear+mtcars$am*mtcars$gear) > anova(mod3) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.15 405.15 19.9021 0.0001208 *** mtcars$gear 1 0.05 0.05 0.0024 0.9614808 mtcars$am:mtcars$gear 1 150.85 150.85 7.4099 0.0110327 * Residuals 28 570.00 20.36 --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > model.tables (mod3) Tables of effects mtcars$am mtcars$am 0 1 -2.943 4.302 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 -0.01854 0.00059

5 0.05419

mtcars$am:mtcars$gear mtcars$gear mtcars$am 3 4 5 0 -1.022 3.833 1 1.917 -3.066

Las iteraciones entre tipo de marchas y numero de marchas son significativas estadísticamente, y la función nos informa que un coche automático con 3 marchas reduce en 1.002 adicional el consumo de carburante en relación con el consumo medio del automático, un coche con marchas

manuales y 5 marchas reduce en 3.006 Milles/(US) gallon el consumo de gasolina sobre el consumo medio de un conche con transmisión manual. > model.tables (mod3,type="mean") Tables of means Grand mean 20.09062 mtcars$am mtcars$am 0 1 17.147 24.392 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 5 20.072 20.091 20.145 mtcars$am:mtcars$gear mtcars$gear mtcars$am 3 4 5 0 16.107 21.050 1 26.275 21.380

5.1.2. Modelos ANCOVA

Para ilustrar la utilización de un modelo ANCOVA vamos a suponer que estamos modelizando la relación que existe entre el dinero que ahorra un grupo “n” de individuos, Yi, y la renta que declara cada uno de ellos, Xi:

Yi=β0+β1Xi+et , siendo i=1…..n De este grupo de individuos conocemos algunas otras características que pueden ser transcendentes a la hora de nuestro análisis, por ejemplo si están o no están casados. Utilizando dicha información creamos las siguientes variables dummy:  1, si i está casado 1, si i no está casado D1i =  D 2i = (1 − D1i ) =  0, si i no está casado  0, si i está casado

Si por ejemplo la muestra de individuos que tenemos es de n=10, de los cuales cuatro de ellos están casados, las variables dummy tendrían la siguiente estructura:

1 0  0    1  0  D1 = 0 0    0    1  1 

0  1 1   0  1  D 2 = 1 1    1    0  0

De cara a estudiar los efectos del estado civil sobre el ahorro podemos estar interesados en saber si los casados parten de un nivel de ahorro diferente de los solteros, o bien si las diferencias entre solteros y casados derivan en que unos y otros tienen una diferente propensión marginal a ahorrar. En el primer caso se trata de conocer si β0 es diferente entre los dos grupos de individuos, y en el segundo, si lo es β1. El planteamiento del problema para observar las diferencias de cada grupo respecto a β0 se puede realizar a través de las siguientes especificaciones del modelo ANCOVA: Yi=β0+α1D1i+β1Xi+ei

(5.1)

Yi=β0+α2D2i+β1Xi+ei

(5.2)

Yi=α1D1i+α2D2i +β 1Xi+ei

(5.3)

En este caso:

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.1), el término independiente de los casados vendrá dado por la suma (β0+α1), y para los solteros por β0. Si queremos analizar la igualdad en el nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α1=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.2), el término independiente de los solteros vendrá dado por la suma (β0+α2), y para los casados por β0. Si queremos analizar la igualdad en el nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α2=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.3) el término independiente de los casados vendrá dado por el coeficiente α1, y para los solteros por α2. Si queremos analizar la igualdad en el nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α1=α2

Las tres especificaciones son equivalentes, y hay que tener presente que en la especificación del modelo (5.3) se prescinde del término constante ya que de no hacerlo así tendríamos un problema de multicolinealidad exacta entre el término constante y las dos variables dummy.

Si planteamos el modelo (5.3) de la siguiente forma: Yi = β0+α1D1i+α2D2i +β 1Xi+ei La matriz X quedaría:

1 1  1  1 1 X = 1 1  1 1  1

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0

X1  X 2  X3   X4  X5   X6  X7   X8  X9   X 10 

En la que se aprecia que la suma de las columnas 2 y 3 da como resultado la primera columna, lo que provoca que la matriz (X’X) sea no singular.

Para el análisis del comportamiento de cada grupo respecto a la pendiente, aquí propensión marginal a ahorrar, podemos plantear las siguientes especificaciones del modelo ANCOVA:

En este caso:

Yi=β0+β1Xi+δ1(D1i Xi)+ei

(5.4)

Yi=β0+β1Xi+δ2(D2i Xi)+ei

(5.5)

Yi=β0+δ1(D1i Xi)+ +δ2(D2i Xi)+ei

(5.6)

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.4), la propensión marginal de los individuos casados vendrá dado por la suma (β1+δ1), y la de los solteros por β1. Si queremos analizar la igualdad en la propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: δ1=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.5), la propensión marginal de los individuos solteros vendrá dado por la suma (β1+δ2), y la de los casados por β1. Si queremos analizar la igualdad en la propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: δ2=0.

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.6), la propensión marginal de los individuos casados vendrá dado por δ1, y la de los solteros por δ2. Si queremos analizar la igualdad en la propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0:

δ1=δ2 Si queremos incluir en modelo otra característica de los individuos como sería por ejemplo la profesión y distinguimos entre tres profesiones: agricultores, asalariados y empresarios, habría que crear tres nueva variables dummy:

 1, si i es agricultor E1i =  0, si i no es agricultor  1, si i es asalariado E 2i =  0, si i no es asalariado  1, si i es empresario E 3i =  0, si i no es empresario

Si bien a la hora de especificar el modelo hay que evitar los problemas de multicolinealidad entre todas las variables dummy incluidas y el término constante. Una forma de evitar los problemas es no incluir alguna de las categorías en forma de variable dummy, y dejar que la constante recoja el efecto de la categoría no incluida. Una especificación posible de un modelo ANCOVA sería entonces:

Yi = β0+α1D1i+η1E1i+η2E2i +β1Xi+ei Las variables cualitativas también pueden corresponder a hechos que concurren en un periodo de tiempo y tener la forma de serie temporal. Este tipo de variables se utilizan para observar los

efectos que sobre el modelo provocan sucesos extraordinarios como son las huelgas, una climatología adversa, cambios políticos e incluso cambios en la metodología estadística de elaboración de los datos.

Supongamos que tenemos el siguiente modelo: Yt=β0+β1Xt+et

siendo t=1,….,T1, T1+1…T

En el periodo T1 sabemos de la existencia de un suceso extraordinario que afecta a la evolución de la variable dependiente durante un periodo determinado de tiempo, y queremos lógicamente saber el efecto que causa dicho suceso extraordinario sobre la ecuación a estimar.

Para ello definimos las siguientes variables dummy:

1 si t ≤ T1 0 si t ≤ T1 D1t =  D 2t = (1 − D1t ) =  0 si t > T1 1 si t > T1

La estructura de ambas variables sería la siguiente:

1   0 .  . .  .     1   0 D1 =   D 2 =   0 1 .  .      .  .  0 1

D1 tienen tantos unos como observaciones hay hasta T1 y

D2 tiene tantos unos como

observaciones hay entre T1 y T.

El análisis del efecto del suceso extraordinario sobre la regresión puede realizarse de forma separada para cada periodo de 1 a T1 y T1 a T, o conjuntamente para todo el periodo, bien sobre el termino constante β0 o sobre la pendiente β1.

Para el análisis de los efectos sobre el término constante tendremos que plantear los siguientes modelos de regresión: Yt=β0+α1D1t+β1Xt+et

(5.7)

Yt=β0+α2D2t+β1Xt+et

(5.8)

Yt=α1D1t+α2D2t +β 1Xt+et

(5.9)

En este caso:

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.7) el análisis de la invariabilidad de β0 exige contrastar la hipótesis nula H0: α1=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.8) el análisis de la invariabilidad de β0 exige contrastar la hipótesis nula H0: α2=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.9) el análisis de la invariabilidad de β0 exige contrastar la hipótesis nula H0: α1=α2

Si queremos analizar el efecto del acontecimiento extraordinario sobre la pendiente del modelo, plantearemos las siguientes ecuaciones de regresión: Yt=β0+β1Xt+δ1(D1t Xt)+et

(5.10)

Yt=β0+β1Xt+δ2(D2t Xt)+et

(5.11)

Yt=β0+δ1(D1t Xt)+ +δ2(D2t Xt)+et

(5.12)

En cuyo caso:

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.10), el análisis de la invariabilidad de β1 exige contrastar la hipótesis nula H0: δ1=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.11), el análisis de la invariabilidad de β1 exige contrastar la hipótesis nula H0: δ2=0

−

Si se utiliza la especificación del modelo (5.12), el análisis de la invariabilidad de β1 exige contrastar la hipótesis nula H0: δ1=δ2

Para tomar una decisión acerca de que modelo ANCOVA seleccionar entre las varias especificaciones que utilizan variables cualitativas, hay utilizar el contraste de errores de especificación descrito en el apartado 3.5.4.

Ejemplo 5.2. En el siguiente ejemplo planteamos una regresión lineal entre el crecimiento del consumo de energía eléctrica en España y el crecimiento real del PIB, para verificar si los años en donde las temperaturas medias fueron mayores han tenido alguna incidencia en la evolución del consumo de energía eléctrica. Para ello nos auxiliamos de variables cualitativas que califican los años como calurosos o no. En concreto calificamos los ejercicios de 1998, 1993, 1996, 1997 y 2002 como los más calurosos del periodo estudiado.

Los datos utilizados son los siguientes:

Crecimiento Consumo Energía

Crecimiento PIB

1988

4.76%

4.83%

1989

5.41%

3.78%

1990

5.42%

2.54%

1991

3.63%

0.93%

1992

1.02%

-1.03%

1993

0.71%

2.38%

1994

3.72%

2.76%

1995

3.86%

2.44%

1996

2.93%

4.03%

1997

3.93%

4.35%

1998

7.19%

4.22%

1999

7.52%

4.21%

2000

6.15%

2.84%

2001

5.97%

2.04%

2002

2.74%

2.43%

Fuente: INE.

Con los datos de la tabla, la estimación MCO entre el crecimiento del consumo de energía eléctrica, Yt , y el crecimiento del PIB en moneda constante, X t , sería la siguiente:

Yt=0.023+0.715Xt+et

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R2 R2 ajustado Error típico Observaciones

Coeficientes Término constante PIB

0.538912111 0.290426264 0.235843669 0.017592802 15

Error típico

0.02291824 0.71496488

0.00993316 0.30995158

Estadístico t 2.3072447 2.30669861

Probabilidad 0.03814247 0.03818117

Como se puede apreciar en el cuadro anterior, los estadísticos de la regresión realizada no son buenos: se obtiene un R2 muy bajo, aunque los parámetros son estadísticamente significativos con un nivel de significación del 2.5%, ya que el valor teórico del estadístico t15-2 es 2.16.

La variable dummy que construimos para evaluar el efecto de un mayor calentamiento atmosférico sería la siguiente:

1 si t = 1988,1993,1996,1997,2002 0 si t = 1988,1993,1996,1997,2002 D1t =  D 2t = (1 − D1t ) =  0 si t ≠ 1988,1993,1996,1997,2002 1 si t ≠ 1988,1993,1996,1997,2002 Las ecuaciones que vamos a estimar son las (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6) y (5.7), y los resultados que hemos obtenido figuran en la siguiente tabla; entre paréntesis se incluye el estadístico t asociado a cada parámetro:

Ecuación Yt=β 0+β1Xt+εt

β0

β1

0.0229

0.7150

(2.3072)

(2.3067)

Yt=β 0+α1D1t+β1Xt+εt

0.0229 (4.3285)

1.0884 (6.1322)

Yt=β 0+α2D2t+β1Xt+εt

-0.0091 (-1.1851)

1.0884 (6.1322)

Yt=α1D1t+α2D2t +β1Xt+εt

0.1775 (6.1322)

Yt=β 0+β1Xt+δ1(D1t Xt)+εt

0.0192 (3.0700)

1.1942 (5.4383)

Yt=β 0+β1Xt+δ2(D2t Xt)+εt

0.0192 (3.0700)

0.3661 (1.7624)

Yt=β 0+δ1(D1tXt)+δ2(D2t Xt)+εt

0.0192 (3.0700)

α1

α2

δ1

δ2

F 5.3209

R2 0.2358

26.1668

0.7824

0.0320 (5.8008)

26.1668

0.7824

0.0229 (4.3285)

17.4445

0.6991

0.0056

0.7020

0.8281 (4.6197)

17.4938

0.7020

1.1942 (5.4383)

17.4938

0.7020

-0.0320 (-5.8008)

-0.0091 (-1.1851)

-0.8281 (-4.6197)

0.3661 (1.7624)

Podemos apreciar que tanto el crecimiento del PIB, como las variables cualitativas resultaron significativas al 95% en los modelos (5.7), (5.8), (5.10) y (5.11), por lo que se debe rechazar la hipótesis de invariabilidad de β1, es decir, se rechaza que el aumento de la temperatura media afecta a la relación entre tasas de crecimiento del consumo de electricidad y del PIB. En el modelo (5.10), no es significativamente distinto de cero el parámetro α1 (texp=1.181
PIB D1 D2

Coeficientes 1.08840409 -0.00906395 0.0229447

Error típico 0.17749128 0.00764828 0.00530081

Estadístico t 6.13215522 -1.18509733 4.32852867

Probabilidad 5.0818E-05 0.25891813 0.00098125

Inferior 95% 0.70168381 -0.02572812 0.01139523

Superior 95% 1.47512436 0.00760021 0.03449416

Los modelos (5.10), (5.11) también ofrecen parámetros estadísticamente significativos, pero con un R2 inferior, lo que apunta a que la variable cualitativa es mejor incluirla en la forma de la variable dummy que recoge el modelo (5.8) y (5.9). No obstante, se puede rechazar la hipótesis de la invariabilidad de β1 tanto contrastando la hipótesis nula H0: α1=0 en (5.11) ó H0: α2=0 en (5.12), como H0: α1=α2 en (5.13). En definitiva, a la hora de modelizar la relación entre el crecimiento de consumo de la electricidad y el PIB en España, habría que elegir la modelización 5.2 o su alternativa 5.4. por ser las que mejor ajuste proporcionan; esto implica que hay que asumir un consumo autónomo diferente en los años climatológicamente buenos y otro en los malos. Asimismo, al ser la relación consumo de energía/PIB superior a la unidad, consideraríamos la existencia de una elasticidad del consumo de energía sobre el PIB cercana a la unidad, en el sentido de que aumentos porcentuales del PIB originan aumentos porcentuales del consumo de energía en una proporción similar. De hecho se puede construir un intervalo de confianza del 95% para dicha elasticidad comprendida entre los valores 1.47 y 0.70.

5.2.

EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD

En Economía se suele trabajar con datos anuales pero en muchos casos, y derivado del carácter predictivo del modelo y de los objetivos que persigue su elaboración, se hace necesario trabajar con series de datos diarias, mensuales o trimestrales; este tipo de series tienen oscilaciones que se deben al carácter estacional de las mismas (consumos bajos en los meses de verano, consumos turísticos altos en este periodo, disminución de las ventas en domingos y lunes, etc.)

La estacionalidad en las series de tiempo es un patrón de comportamiento regular de una serie a lo largo de cada año que puede obedecer a factores tales como costumbres, días festivos decretados, vacaciones de verano, Navidad y otros hechos similares que ocasionan incrementos o disminuciones en las magnitudes de ciertas variables, como por ejemplo la producción, las ventas, etc.

Las variables dummy cualitativas pueden utilizarse también para recoger el efecto de la estacionalidad en el modelo econométrico que estimamos. La variable dummy cualitativa para ajuste estacional es una variable artificial que asumen valores discretos, generalmente de 0 y 1, que se asigna a cada periodo de generación o referencia de las series del modelo. Si se trabaja con datos trimestrales, hay que utilizar, en principio, una variable dummy para cada trimestre; su representación sería:  1, si t es el primer trimestre Q1t =  0, si t no es el primer trimestre  1, si t es el segundo trimestre Q 2t =  0, si t no es el segundo trimestre  1, si t es el tercer trimestre Q3t =  0, si t no es el tercer trimestre  1, si t es el cuarto trimestre Q 4t =  0, si t no es el cuarto trimestre

La inclusión de los coeficientes de estas variables y de la constante en un modelo de regresión simple produciría una matriz bianual X de la siguiente forma:

1 0  0  0 X = 1  0 0  0 . 

0 0 0 1 x1  1 0 0 1 x 2  0 1 0 1 x3   0 0 1 1 x4  0 0 0 1 x5   1 0 0 1 x6  0 1 0 1 x7   0 0 1 1 x8  . . . 1 . 

Que lleva asociada una matriz (X’X) singular (no invertible) por la existencia una combinación lineal entre las dummy trimestrales y el parámetro constante, lo que impide estimar los coeficientes del modelo de regresión.

Para evitar este inconveniente se utilizan únicamente tres de las cuatro variables dummy y la constante. Así, si se excluye la variable Q4 en la matriz X; el efecto estadístico de la variable omitida estaría implícitamente recogido con la columna de la constante. En definitiva, la matriz de variables exógenas estaría determinada por las tres dummy: Q1, Q2, Q3 y la constante, y las variables exógenas cuantitativas con lo cual la matriz (X’X) quedaría:

1 0  0  0 X = 1  0 0  0 . 

0 0 1 x1  1 0 1 x 2  0 1 1 x3   0 0 1 x4  0 0 1 x5   1 0 1 x6  0 1 1 x7   0 0 1 x8  . . 1 . 

La forma funcional del modelo sería entonces: Yt = β0+α1Q1t+α2Q2t +α3Q3t +β 1Xt+et

(5.13)

Otra forma muy utilizada para tratar la estacionalidad con variables cualitativas, consiste en expresar las variables artificiales estacionales como desviaciones con respecto a la que corresponde al cuarto trimestre. Estas nuevas variables, que podrían denominarse S1, S2 y S3, corresponderían a las siguientes diferencias vectoriales:

S1 = Q1 – Q4 S2 = Q2 – Q4 S3 = Q3 – Q4

Una vez efectuadas las operaciones anteriores e incorporado el vector de la constante, la nueva matriz X queda definida de la siguiente manera:

0 0 1 1 0 1 0 1  0 0 1 1  − 1 − 1 − 1 1 X =1 0 0 1  0 1 0 1 0 0 1 1  − 1 − 1 − 1 1  . . . 1 

x1  x 2  x3   x4  x5   x6  x7   x8  . 

Como se observa en la matriz anterior, los vectores de las variables dummy estacionales han sido definidos de forma tal que su suma sea cero en cada año, por lo que este sistema permite que el efecto estacional se anule en el año y que se obvie el problema de singularidad de la matriz.

En la estimación realizada con las tres variables dummy trimestrales S1, S2 y S3, los coeficientes de las tres variables dummy identifican las diferencias con respecto al cuarto trimestre. Yt = β0+α1S1t+α2S2t +α3S3t +β1Xt+et

(5.14)

Es importante mencionar que en el caso de variables con periodicidad mensual, se utilizarían únicamente once variables estacionales, en forma equivalente a lo explicado en esta sección para las series de periodicidad trimestral. Sin embargo, hay que tener presente a la hora de incluir variables dummy estacionales mensuales, la perdida de grados de libertad que conlleva el tener

que estimar tantos coeficientes, por lo que se requiere gran cantidad de observaciones para que los test estadísticos ofrezcan resultados válidos. También hay que tener en cuenta que el uso de las variables estacionales presenta problemas cuando la estacionalidad de la serie Yt es móvil, es decir, cuando varía de año en año. En este caso, es difícil que modelos de este tipo capturen de una forma adecuada la estacionalidad de la variable dependiente.

Ejemplo 5.2. Se disponen de datos trimestrales correspondientes a los ejercicios 1996-2003, relativos al consumo de electricidad en GWh en España (Yt) y al PIB a precios de mercado en millones de euros constantes de 1995. Año 1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Q 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Demanda de Electricidad (GWh) PIB (millones de euros) 40919 109275 37275 111875 38070 111211 39981 116096 40246 113396 39070 115566 40464 115744 42602 121807 43263 118399 41535 120735 43273 121472 45010 126179 46551 122424 43735 126471 45908 126474 48160 131977 49922 129443 46861 133021 48208 130743 50020 135507 52029 134079 49314 135900 50887 134475 53405 139292 53928 136892 51523 138746 51950 137060 53762 142154 57156 140080 53231 141861 56516 140207 56990 146163 Fuente: Ministerio de Economía

En la figura 5.1 se aprecia el carácter estacional de la demanda de energía eléctrica:

Figura. 5.1. Consumo Trimestral de Electricidad

Los trimestres de mayor consumo son los terceros y cuartos (otoño e invierno) y los de menor, el segundo y tercero (primavera y verano).

Para estimar la relación entre demanda de electricidad y PIB en España vamos a plantear tanto la especificación del modelo (5.13) y la del modelo (5.14).

La ecuación estimada con la especificación (5.13) es:

Yt = -24,705.2+3,087.2Q1t-996.1Q2t +1,066.2Q3t +0.55Xt+et

con los siguientes resultados: Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.99084217 Coeficiente de determinación R2 0.98176821 R2 ajustado 0.97906721 Error típico 854.455831 Observaciones 32

Término constante PIB Q1 Q2 Q3

Coeficientes -24705.2227 0.55474441 3087.18799 -996.097068 1066.19716

Error típico 1999.20037 0.01492667 439.461556 432.19015 434.284718

Estadístico t -12.3575521 37.1646554 7.024933 -2.30476578 2.45506488

Para considerar la hipótesis H0: βi=0, hay que tener presente que el valor teórico de la t-Student correspondiente a una distribución con (32-5) grados de libertad es 1.69 para α=0.05/2 (95% de confianza). Se comprueba, por tanto, que todos los coeficientes son significativamente distintos de cero.

La ecuación estimada con la especificación (5.14) es:

Yt = -23,915.9+2,297.9S1t – 1,785.4S2t +276.9 S3t +0.55Xt+et

con los siguientes resultados:


Término constante PIB S1 S2 S3

Coeficientes -23915.9007 0.55474441 2297.86597 -1785.41909 276.875139

Error típico 1920.63147 0.01492667 264.879299 261.649371 262.136744

Estadístico t -12.4521029 37.1646554 8.67514365 -6.82370869 1.05622407

En este modelo hay que considerar la posibilidad de que la variable dummy S3 tenga un coeficiente significativamente igual a cero, en cuyo caso cabría plantear el modelo con la siguiente especificación: Yt = β0+α1S1t+α2S2t +β1Xt+et

5.3.

APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A LA REGRESIÓN POR TRAMOS.

La regresión por tramos se utiliza para estimar funciones en donde la representación gráfica de las variables observadas manifiesta un cambio de pendiente. La representación gráfica de la figura 5.2 es de dicho tipo. Se aprecia que la relación entre las variables sigue una determinada forma lineal hasta un determinado valor de Xi (X*=15), y a partir de dicho valor la relación lineal cambia de forma.

Figura. 5.2. En la regresión lineal por tramos se tiene por tanto dos partes o segmentos a los que corresponde una determinada forma lineal de la función a estimar, y un valor umbral (X*) que es para el que la representación manifiesta el cambio de pendiente.

La forma de estimar este tipo de relaciones es utilizar una variable dummy cualitativa que toma los siguientes valores:

D=1 si Xi>X* D=0 si Xi
Y plantear la siguiente regresión: Yi = β0 + β1Xi + β2(Xi-Xi*)Di + εi

La pendiente del primer tramo o segmento de la relación sería β1, y β1 + β2 sería la pendiente del segundo tramo o segmento. La significación estadística del coeficiente β2 (H0: β2=0 ) serviría como contraste de la existencia de tramos en la relación lineal estudiada.

5.4.

EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL

El modelo de probabilidad lineal se caracteriza por tener la variable endógena Y dicotómica o binaria, es decir toma el valor Y=1 si un determinado suceso ocurre y el valor Y=0 en caso contrario. Estos modelos están muy extendidos en el análisis estadístico pero encuentran una difícil aplicación en Economía debido a las dificultades de interpretación económica de los resultados que ofrecen este tipo de investigaciones. A este respecto, hay que considerar que estos modelos lo que realmente investigan es la probabilidad de que se dé una opción (valores Y=1) o no se dé (Y=0).

A pesar del carácter dicotómico de la variable endógena, el modelo de probabilidad lineal se especifica de la forma habitual, teniendo presente que las variables exógenas no son dicotómicas sino continuas: Yi=β0+β1Xi+ei siendo i=1,……N

(5.15)

De acuerdo con la expresión (5.15), el hecho de que la variable endógena tome valores discretos (1 ó 0), el término de perturbación ei, puede tomar también dos valores únicamente: −

Si Yi=0 ⇒ ei = -β0- β1Xi con probabilidad p.

−

Si Yi=1 ⇒ ei = 1-β0- β1Xi con probabilidad (1-p).

Dado que la esperanza del término de error ha de ser nula E(ei)=0, entonces se demuestra que p= 1-β0-β1Xi y (1-p) = β0+β1Xi, lo que permite evaluar la probabilidad de que la variable endógena tome el valor correspondiente: −

Prob (Yi=0) = Prob (ei = -β0 - β1Xi ) = p = 1-β0- β1Xi.

−

Prob (Yi=1) = Prob (ei = 1-β0 - β1Xi ) = (1-p) = β0+ β1Xi .

A su vez la varianza del término de perturbación, se calcularía a partir de p:

Var (ei ) = (1 − β 0 − β 1 X i )( β 0 + β 1 X i ) = p ⋅ (1 − p) Una problemática inherente a los estimadores MCO de estos modelos, son los siguientes: −

La perturbación aleatoria (ei) no sigue una distribución Normal. Es sencillo observar este hecho ya que el carácter binario (1 ó 0) de la variable endógena afecta a la distribución de la perturbación, teniendo ésta una distribución Binomial7. Este problema se atenúa cuando se utilizan tamaños de muestra (N) grandes en donde la distribución Binomial es susceptible de aproximarse a una Normal.

−

La perturbación aleatoria no tiene una varianza constante (es heteroscedástica), lo cual supone una falta de eficiencia. Para solucionarlo habría que realizar transformaciones que nos diesen una perturbación homocedástica; esta transformación consiste en multiplicar todas las variables por una cierta cantidad que elimine el problema de la heteroscedasticidad. Dicha cantidad es:

)

)

1

) ) ( β 0 + β 1 X i )(1 − β 0 − β 1 X i ) siendo βˆ o y βˆ1 los estimaciones MCO del modelo. −

No obstante, el mayor problema que plantean estos modelos es que las predicciones realizadas sobre la variable endógena no siempre se encuentran en el intervalo [0,1], ya que pueden ser mayores que cero y menores que uno. Este problema tiene dos soluciones, una es tomar como valor cero todas las estimaciones de la variable endógena con valores negativos, y uno cuando estas resulten mayores que uno; la segunda, solución es utilizar funciones de distribución que estén acotadas entre cero y uno como son la Logística y la Normal; de éstas se derivan los modelos Logit y Probit que pasamos a ver a continuación.

7

La distribución binomial se basa en una prueba conocida como experimento de Bernouilli o problema de las pruebas repetidas, que consiste en averiguar la probabilidad de que en “n” extracciones o pruebas se hayan conseguido X valores de 1 y/o (n-X) valores de 0.

5.5.

EL MODELO LOGIT

El problema que presentan los modelos probabilísticos lineales en cuanto a la existencia de predicciones establecidas fuera rango (negativas o mayores que uno), es debido a que utilizan una función de probabilidad que depende linealmente de las variables explicativas (X), que se resolverían acotando dicha distribución de probabilidad. El modelo Logit en concreto utiliza, para ello, la función de distribución logística:

Figura 5.3. Curva Logística

Debido a que la función de distribución logística no tiene forma lineal, el modelo Logit se estima de forma diferente, así en vez de minimizar las sumas de las diferencias al cuadrado entre los valores observados y los estimados por el modelo, el carácter no lineal de los modelos Logit requiere la utilización del método de Máxima Verosimilitud para ser estimado, maximizando la verosimilitud de que un suceso tenga lugar, aunque se podría estimar por MCO mediante una transformación logarítmica de los datos (Gujarati, 1997).

La probabilidad de que Yi=0 (p) se define ahora mediante la siguiente expresión:

p=

1 (1 + e − z )

donde Z = β0 + β1X1 + β2X2 +… + βkXk, siendo β i son los coeficientes a estimar y Xi es el vector de variables independientes

La probabilidad de que Yi=1 (1-p) sería:

(1 − p) =

1 (1 + e z )

En consecuencia, la razón entre ambas será igual a:

p (1 + e z ) = = ez (1 − p ) (1 + e − z )

Tomando el logaritmo natural de la expresión anterior se obtiene

 pi  z Li = ln   = ln(e ) = β 0 + β 1 X i  (1 − p i ) 

(5.16)

Donde Li es el denominado Logit. Los coeficientes β indican el cambio en el Logit causado por el cambio en una unidad en el valor

p



de Xi, mientras que los eβ definen el cambio en la razón de probabilidades  (1 − p )  causado   por el cambio en una unidad en el valor de Xi. Si β es positivo, eβ será mayor que 1, es decir,

p  p  β  (1 − p ) se incrementará; si β es negativo, e será menor que 1, es decir,  (1 − p ) disminuirá. Adicionalmente, puede demostrarse que el cambio en la probabilidad (p) causado por

p



el cambio en una unidad en el valor de Xi es β  (1 − p )  , es decir, depende no sólo del   coeficienteβ, sino también del nivel de probabilidad a partir del cual se mide el cambio. A la hora de estimar un modelo Logit, hay que tener presente que para estimar el modelo además de los valores Xi, se necesitan los valores del Logit (Li). Por otro lado, hay que tener presente que la estimación de los coeficientes de modelo (5.16) se realiza utilizando el método de Máxima Verosimilitud, es decir, eligiendo como estimadores de los coeficientes β a aquellos que

maximizan la función de verosimilitud, construida sobre la base de p =

1 (1 + e − z ) . Pero si

tenemos la posibilidad de agrupar los datos individuales, entonces podría estimarse el modelo por MCO.

Ejemplo 5.3. Supongamos, que estamos investigando la posibilidad de la relación que se da a nivel individual entre disponer vivienda propia (p=1) o no poseer vivienda propia (p=0). Si disponemos de la información agrupada que aparece en la siguiente tabla sobre la población que investigamos:

Ingreso (miles de $) Numero de familias 6 40 8 50 10 60 13 80 15 100 20 70 25 65 30 50 35 40 40 25 Fuente: Gujarati (1997)

Número de familias con vivienda propia 8 12 18 28 45 36 39 33 30 20

Si se conoce la probabilidad de tener o no tener casa a partir de:

pˆ i =

ni Ni

donde ni es el número de sujetos que para cada nivel i de la variable X (en el ejemplo, cada nivel de ingreso) que cumplen la condición (tener vivienda), y Ni es el número total de sujetos en cada categoría.



pˆ i   y resolver la estimación del Logit (5.16) por MCO. Una vez  (1 − pˆ i ) 

Se puede estimar ln 

estimados los parámetros βî , tendremos una estimación del logaritmo de la razón de probabilidades; es decir:

 pˆ i  Lî = ln  = ln(e z ) = βˆ 0 + βˆ1 X i   (1 − pˆ i ) 

Y aplicando antilogaritmos, tenemos que:

ez =

pˆ i (1 − pˆ i )

lo que permite dar una solución a la posibilidad de determinar la probabilidad de disponer de vivienda para un individuo dado su nivel de ingresos.

Sin embargo, dado que en la estimación MCO del modelo Logit se pueden presentar problemas de heteroscedasticidad, Gujarati (1997) propone realizar los siguientes pasos para resolver el Logit:

1. Para cada nivel de ingreso (Xi), se calcula la probabilidad pi de disponer casa.

2. Para cada Xi se obtiene el Logit mediante:

 pˆ i  Lˆ i = ln    (1 − pˆ i ) 

3. Realizar la siguiente transformación:

wi Li = Bo wi + B1 wi X i + ε i wi

que se escribe como:

L* i = Bo wi + B1 X * i + vi

(5.17)

donde las ponderaciones wi = N i pˆ i (1 − pˆ i )

4. Estimar (5.17) mediante MCO.

5. Establecer intervalos de confianza y/o pruebas de hipótesis en el marco usual de MCO, teniendo presente que las conclusiones serán válidas únicamente si se dispone de una muestra grande de datos.

Utilizando las cifras de la tabla anterior, realizamos las siguientes transformaciones:

Ni

ni

40 50 60 80 100 70 65 50 40 25

8 12 18 28 45 36 39 33 30 20

pˆ i =

ni Ni

pˆ i (1 − pˆ i )

 pˆ i  ln    (1 − pˆ i ) 

wi

wi

L*

X*

0.25 0.32 0.43 0.54 0.82 1.06 1.50 1.94 3.00 4.00

-1.39 -1.15 -0.85 -0.62 -0.20 0.06 0.41 0.66 1.10 1.39

6.40 9.12 12.60 18.20 24.75 17.49 15.60 11.22 7.50 4.00

2.53 3.02 3.55 4.27 4.97 4.18 3.95 3.35 2.74 2.00

-3.51 -3.48 -3.01 -2.64 -1.00 0.24 1.60 2.22 3.01 2.77

15.18 24.16 35.50 55.46 74.62 83.63 98.74 100.49 95.85 80.00

0.20 0.24 0.30 0.35 0.45 0.51 0.60 0.66 0.75 0.80

Los resultados de la estimación son:

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R2 R2 ajustado Error típico Observaciones

X

0.98166006 0.96365647 0.83411353 0.54044729 10

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

* i

0.07866857

0.0054475

14.4412221

wi

-1.59323779

0.11149444

-14.2898405

Con ello se puede calcular la probabilidad de poseer una casa dado una determinada cifra de ingreso. Supóngase que dicha cifra de ingreso es de veinte mil dólares (X=20); entonces: L*i / (X=20)= –1.59+0.078⋅ 20=-0.0199



pˆ i pˆ i  = 0.9803 , de donde se obtiene , lo que implica que  (1 − pˆ i )  (1 − pˆ i ) 

Por tanto, − 0.019 = ln 

que pi=0.495, es decir que la probabilidad de que un individuo con ingreso de veinte mil dólares es del 49.5%. En R se ejecutaría el siguiente programa:

> datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T) > datos Ingreso Familias Viv_propia 1 6 40 8 2 8 50 12 3 10 60 18 4 13 80 28 5 15 100 45 6 20 70 36 7 25 65 39 8 30 50 33 9 35 40 30 10 40 25 20 > prob <- datos$Viv_propia/datos$Familias > logit <- glm(prob ~ datos$Ingreso, family = "binomial") Warning message: In eval(expr, envir, enclos) : non-integer #successes in a binomial glm! > summary(logit) Call: glm(formula = prob ~ datos$Ingreso, family = "binomial") Deviance Residuals: Min 1Q -0.090397 -0.047938

Median -0.007619

3Q 0.025761

Max 0.125358

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -1.63921 1.47043 -1.115 0.265 datos$Ingreso 0.07901 0.06592 1.199 0.231 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 1.720664 Residual deviance: 0.036394 AIC: 11.995

on 9 on 8

degrees of freedom degrees of freedom

Number of Fisher Scoring iterations: 4

Para obtener los valores estimados: > fitted.prob <- plogis(predict(logit, type = "link")) > fitted.prob 1 2 3 4 5 6 0.2377336 0.2675433 0.2996216 0.3515880 0.3883997 0.4852574 7 8 9 10 0.5832354 0.6750522 0.7551336 0.8207208

5.6.

EL MODELO PROBIT

Mientras que el modelo Logit utiliza la función de distribución logística para acotar la distribución de probabilidad en el modelo de probabilidad lineal, el modelo Probit utiliza la función de distribución Normal.

Figura 5.4. Función de densidad (izq.) y de distribución (dcha.) de una Normal (0,1) Las funciones de distribución normal y logística son muy semejantes: la diferencia principal es que la función de distribución normal se acerca más rápidamente a los ejes que la logística (figura 5.5).

Figura. 5.5.

Para entender la filosofía del modelo Probit, vamos a suponer que existe una variable desconocida s que cumple lo siguiente: Si Ii=β0+β1Xi ≥ s entonces Yi=1 Si Ii=β0+β1Xi
(5.18)

Dado el supuesto de normalidad en un suceso, la probabilidad de que este sea menor o igual al valor (s), se calcula a partir de la función de distribución acumulada de una distribución Normal estandarizada, esto es, con esperanza cero y desviación típica uno.

1

pi = pr (Y = 1) = pr ( β 0 + β 1 X i ≤ s ) =

2π

∫

β o + β1 X i

−∞

e

− t dt 2

(5.19)

Lo anterior equivale a que la relación entre la endógena y las explicativas venga dada por la siguiente expresión:

yi = Ψ( β 0 + β1 X i ) + u i =

1 2π

∫

β o + β1 X i

−∞

e

− t dt + u i 2

(5.20)

Donde: −

Ψ(β0+β1Xi) es la función de distribución normal

−

ui es el término de perturbación que se distribuye como una normal N(0,σ2).

Dado que (5.20) es una relación no lineal en los parámetros no puede estimarse por MCO. No obstante, hay una forma sencilla de asignar valores a las probabilidades que aparecen en la expresión (5.19). Esta forma consiste en obtener información acerca de Ii y de los parámetros β a partir de la inversa de (5.19): Ii=F-1(Ii)=F-1(pi)= β0+β1Xi donde F-1 es la inversa de la función de distribución Normal.

Utilizando los datos agrupados del ejemplo anterior, los valores Ii son obtenidos utilizando las tablas de la función de distribución Normal estándar que aparecen en el Anexo II, tabla II.1. Por ejemplo, tomando los datos del Ejemplo 5.3. tendríamos que:

pˆ i =

ni Ni

0.20 0.24 0.30 0.35 0.45 0.51 0.60 0.66 0.75 0.80

Ii

-0.84 -0.71 -0.52 -0.39 -0.13 0.04 0.25 0.41 0.67 0.84

Donde Ii es negativa siempre que pi<0.5; en la práctica se agrega el número 5 a Ii y a su resultado se le denomina Probit. Es decir, Probit=5+Ii Ahora, para estimar los parámetros β se regresa: Ii= β0+β1Xi + ui El término de la perturbación es no obstante heteroscedástico. Gujarati (1999) sugiere que se realice la transformación comentada en el caso del modelo Logit, para que el modelo transformado sea homocedástico.

Ejemplo 5.3 (cont.) Los resultados de la regresión anterior, realizados sin considerar la transformación que propone Gujarati y utilizando como regresor los Ii que acabamos de calcular, son los siguientes:


Término constante Xi

Coeficientes Error típico -1.01557838 0.05805496 0.0484664

0.00251134

Según dichos resultados, una familia con un ingreso medio de 20000$, obtendría el siguiente valor probit:

Ii / (X=20)= –1.018+0.048*20= –-0.0556

Por tanto, la probabilidad que corresponde a dicho valor en la función de distribución Normal sería de un 47.78% de disponer de vivienda propia.

La estimación en R del modelo probit, se programa: > probit <- glm(prob ~ datos$Ingreso, family = binomial(link="probit")) Warning message: In eval(expr, envir, enclos) : non-integer #successes in a binomial glm! > summary(probit) Call: glm(formula = prob ~ datos$Ingreso, family = binomial(link = "probit")) Deviance Residuals: Min 1Q -0.087368 -0.051317

Median -0.006763

3Q 0.030342

Max 0.124273

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -1.00836 0.87615 -1.151 0.250 datos$Ingreso 0.04842 0.03876 1.249 0.212 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 1.7207 Residual deviance: 0.0366 AIC: 12.02

on 9 on 8


Number of Fisher Scoring iterations:

5.7.

PROBLEMAS

5.1. Disponemos de una base de datos con los siguientes datos de un grupo de personas: Sexo, Estado Civil, Años de Experiencia Laboral, Salario por hora, Edad, Sector en el que trabaja (agricultura, industria, construcción y servicios) y Categoría Profesional (directivo, comercial, administrativo, técnico, oficial, auxiliar). Elabore un modelo uniecuacional explicativo del salario que obtiene cada persona. 5.2. . Disponemos de un conjunto de datos sobre las ventas de diferentes empresas (Yi ) , sus gastos de publicidad ( X i ) y un indicativo de su tamaño (Ti ) , que consiste en una variable binaria que toma valor 1 para las pequeñas y medianas empresas y 0 para las grandes. a) Se quiere contrastar si el efecto de la publicidad sobre las pequeñas y medianas empresas es igual al de las grandes. Establezca una esfecificación del modelo y el contraste de hipótesis que considere más adecuado. b) Utilizando dicha especificación, como se determinaría el efecto de la publicidad sobre las ventas de las pequeñas empresas y como se determinaría el efecto sobre las grandes.


Y X 26 1 41 1.5 63 2 78 2.5 100 3 184 6 208 8 242 10 273 11 291 14

a) Realice la representación gráfica de los datos. b) ¿Considera que el modelo se ajusta a un modelo de regresión por tramos? c) En caso afirmativo, estime el modelo. 5.4. Utilizando datos de una encuesta realizada entre en 1974/1975 en donde se pregunta sobre estar de acuerdo ó en desacuerdo con la afirmación de que las mujeres tienen que

dedicarse al cuidado del hogar y dejar el país en manos de los hombres, se ha realizado una regresión logistica entre el porcentaje de personas que se muestran de acuerdo con dicha información, el numero de años que han estudiado y su sexo. El conjunto de datos se obtiene en: > install.packages("HSAUR") > data("womensrole", package="HSAUR")

Se ha realizado el siguiente programa R: > fm1 <- cbind(agree,disagree) ~ sex+education > glm_1 <- glm(fm1, data=womensrole, family = binomial()) > summary(glm_1) Call: glm(formula = fm1, family = binomial(), data = womensrole) Deviance Residuals: Min 1Q Median -2.72544 -0.86302 -0.06525

3Q 0.84340

Max 3.13315

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 2.50937 0.18389 13.646 <2e-16 *** sexFemale -0.01145 0.08415 -0.136 0.892 education -0.27062 0.01541 -17.560 <2e-16 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 451.722 Residual deviance: 64.007 AIC: 208.07

on 40 on 38


Number of Fisher Scoring iterations: 4

a) Comente los resultados obtenidos. b) Realice una regresión probit con estos datos 5.5. Considere el siguiente modelo probit estimado:

Pr( yi Si , Wi ) = Ψ ( −1.1 + 0.2 Si + 0.09Wi ) donde yi es una variable que toma valor 1 si el individuo i dispone de vehículo propio , Si es una variable que toma valor 1 si el individuo i es varon y 0 si es muje, y Wi es el salario mensual del individuo i en miles de euros.

a) Considere un hombre y una mujer que cobran 1500 euros al mes, calcular que probabilidad tienen de disponer de vehículo propio. b)

Que diferencia de probabilidad tienen de disponer de vehículo propio un

hombre que cobra 1500 euros al mes y una mujer que cobra 2500.

SOLUCIONES 5.1. A realizar por el lector 5.2 a) Se estima el siguiente modelo Yi = β 0 + β1 X i + δ1 ( X iTi ) + ei , y se contrasta la hipótesis nula H 0 : δ1 = 0 b) El efecto de la publicidad sobre las ventas de las PYMES vendría dado por ( β1 + δ1 ) y la de las grandes por ( β1 ) 5.3 a) A realizar por el lector. b) Se estima el siguiente modelo de variables cualitativas para la regresión por tramos

Y = 103.96 + 13.91X + 17,71( X − X * ) D donde X * = 6 ;

R 2 = 0.995 5.4. A realizar por el lector 5.5. a) Hombre Ψ (−0.765) = 0.222 , mujer Ψ (−0.965) = 0.167 b) Ψ (−0.765) − Ψ (−0.875) = 0.03

6.

MODELOS CON DATOS DE PANEL

6.1.

INTRODUCCIÓN

Un modelo de datos de panel es, según la definición más extendida, un modelo que utiliza muestras recogidas a individuos a lo largo de instantes de tiempo. Los modelos de datos de panel incluyen así información de una muestra de agentes económicos (individuos, empresas, bancos, ciudades, países, etc.) durante un período determinado de tiempo, combinando, por tanto, la dimensión temporal y estructural de los datos.

Los modelos de datos de panel se aplican a conjuntos o bases de datos de series de tiempo agregadas para los mismos individuos; éstos conjuntos de datos suelen tener un número relativamente grande de individuos y pocas observaciones en el tiempo, o por el contrario podemos tener datos para un número grande de periodos pero para un número pequeño de individuos. Un ejemplo de este tipo de bases de datos es el panel de hogares de la Unión Europea (70.000 hogares en la UE), las encuestas de opiniones empresariales del Ministerio de Industria (3.000 empresas), los índices Nielsen (5.000 hogares en España) para medir la audiencia televisiva, etc. Estos conjuntos de datos que son conocidos como datos de panel o datos longitudinales hay que diferenciarlos de las encuestas transversales que son repetidas en el tiempo pero no a los mismos individuos (por ejemplo, la Encuesta de Población Activa)8.

El principal objetivo que se persigue al agrupar y estudiar los datos en panel es capturar la heterogeneidad no observable entre los agentes económicos como entre periodos temporales. Dado que esta heterogeneidad no se puede detectar exclusivamente con estudios de series temporales, ni tampoco con estudios de corte transversal, hay que realizar un análisis más dinámico incorporando a los estudios de corte transversal la dimensión temporal de los datos. Esta modalidad de analizar la información es muy usual en estudios de naturaleza empresarial, ya que los efectos individuales específicos de cada empresa y los efectos temporales del medio son determinantes cuando se trabaja con este tipo de información. 8

En los paneles de datos a veces también hay que sustituir individuos por falta de respuesta, pero no es el caso de las encuestas transversales en donde la muestra se renueva de forma sistemática, de manera que a un periodo de tiempo determinado, por ejemplo un año, los hogares de la muestra sean diferentes a los del periodo anterior. La falta de respuesta en los datos de panel como en otro tipo de encuesta a la hora de los análisis estadísticos deben de depurarse, bien eliminando todos los datos del individuo con falta de respuesta o eliminando únicamente los individuos con falta de respuesta en cada variable analizada.

Los efectos individuales específicos se definen como aquellos que afectan de manera desigual a cada uno de los agentes de estudio contenidos en la muestra (individuos, empresas, bancos). Estos efectos son invariables en el tiempo y se supone que afectan de manera directa a las decisiones que toman dichas unidades. Usualmente, se identifica este tipo de efectos con cuestiones de capacidad empresarial, eficiencia operativa, el “saber-hacer” (Know-how), acceso a la tecnología, etc.

Por su parte, los efectos temporales son aquellos que afectan por igual a todas las unidades individuales del estudio y que, además, varían en el tiempo. Este tipo de efectos suele asociarse, por ejemplo, a shocks macroeconómicos que afectan por igual a todas las empresas o unidades de estudio (una subida de los tipos de interés, un incremento de los precios de la energía, un aumento de la inflación, etc.), o a cambios en la regulación de mercados (ampliación de la Unión Europea, reducción de tarifas arancelarias, aumento de la imposición indirecta, etc.).

6.2.

ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS DE PANEL

La especificación general de un modelo de regresión con datos de panel es la siguiente:

K

Yit = α it + ∑ X itj β j + eit j =1

donde i = 1,......N se refiere al individuo o a la unidad de estudio (corte transversal), t = 1,...T a la dimensión en el tiempo, Yit sería la variable a explicar correspondiente a cada unidad de estudio,

α es un escalar con N×T parámetros que recoge los efectos específicos del i-ésimo individuo en cada momento del tiempo, β es un vector de K parámetros que se asocian a las j=1,….K variables j explicativas X it .

A partir del modelo general, y con base en ciertos supuestos y restricciones acerca del valor de algunos de los parámetros, se derivan las diferentes variantes de modelos de datos de panel que resumimos a continuación en la siguiente tabla.

MODELOS ALTERNATIVOS PARA COMBINAR DATOS DE SERIES DE TIEMPO Y DE CORTE TRANSVERSAL TIPO DE MODELO EXPRESIÓN CARACTERÍSTICAS K Modelo Lineal

Yit = α it + ∑ X itj β i j + eit j =1

Modelo Estático de Datos de Panel.

K


Modelo Estático de Datos de Panel de una Vía (one-way) (A)

α it = α i

K


Modelo Estático de Efectos Fijos con variable dummy (los coeficientes constantes se estiman a partir de variables cualitativas) (B) Modelo Estático de Datos de Panel de Doble Vía (two-ways) (C) Modelo de Regresiones Aparentemente No Relacionadas (SUR)9 Modelo Dinámico de Datos de Panel

Yit = iα i + ∑ X itj β j + eit

i es un vector de variables cualitativas y αi es un vector de coeficientes constantes.

K

α it = α + µ i + λt

K

j =1

Yit = α it + ∑ X itj β j + eit j =1 K

Yit = α it + ∑ X itj β i j + eit

α it = α i

j =1

K

Yit = α it + ϑYi ,t −1 + ∑ X itj β j + eit

α it = α + µ i + λt

j =1

En un modelo de datos de panel, las variables explicativas pueden ser de tres tipos: −

Una variable por cada individuo, sin que exista referencia temporal en dicha variable: las variables son las mismas para cada unidad de corte transversal y se refieren a atributos del individuo o agente, por ejemplo, el tipo de empresa, su tamaño, la forma gerencial; el sexo de un trabajador, el nivel de formación, la profesión y otras características sociales de los individuos.

−

Una variable por periodo, pero sin que existan diferencias en el valor que toma la variable en cada individuo: las variables toman distintos valores en cada periodo temporal pero no varían entre los individuos. Como ejemplo de este tipo de variables cabe citar a la tasa de inflación, los tipos de interés, etc.

−

Una variable que cambia en el tiempo y por individuo: se trata de variables que cambian entre individuos en un momento del tiempo, y que además cambian a lo largo del tiempo. Como ejemplo de estas variables se pueden mencionar los ingresos

9

Siglas de Seemingly Unrelated Regression

totales, el nivel de beneficios, el stock de capital o el nivel de endeudamiento, entre otras. Los modelos de datos de panel se interpretan a través de sus componentes de error. Considerando la notación matricial abreviada de un modelo general de datos de panel:

Yit = X it' β + u it

(6.1)

El término de error uit incluido en la ecuación (6.1), puede descomponerse de la siguiente manera:

u it = µ i + λt + eit

(6.2)

donde µi representa los efectos no observables que difieren entre las unidades de estudio pero no en el tiempo (capacidad empresarial, eficiencia de cada unidad, etc.…); λt identifica los efectos no cuantificables que varían en el tiempo pero no entre las unidades de estudio; y eit se refiere al término de error puramente aleatorio. La mayoría de los análisis realizados con datos de panel utilizan el modelo de componente de error conocido como one way para el cual λt =0 (modelo A). Las diferentes variantes para el modelo one way de componentes de errores surgen de los distintos supuestos que se hacen acerca del término µi, pudiéndose presentar tres posibilidades: −

El caso más sencillo es el que considera µ i = 0 ; es decir, la no existencia de heterogeneidad no observable entre los individuos o empresas.

−

La segunda posibilidad consiste en suponer a µ i un efecto fijo y distinto para cada individuo o empresa. En este caso, la heterogeneidad no observable se incorpora a la constante del modelo ( α i ).

−

Finalmente, la tercera alternativa es tratar a µ i como una variable aleatoria no observable que varía entre individuos/empresas pero no en el tiempo.

Bajo la primera especificación, los µit satisfacen todos los supuestos del modelo lineal general y, por tanto, se emplea como método de estimación MCO, obteniendo estimadores lineales e insesgados y con la ventaja de ganar grados de libertad.

Ahora bien, en los casos en que se rechaza el supuesto de homogeneidad en un sistema de datos de panel, es decir, que existe heterogeneidad no observable ya sea a través del tiempo, entre unidades de estudio (individuos) o en ambos sentidos, debe buscarse una especificación que la capture de forma apropiada con el fin de evitar que los estimadores de los parámetros de las variables explicativas estén sesgados.

6.3.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS DE PANEL

Los modelos de datos de panel presentan una serie de ventajas y desventajas en comparación con los modelos de series temporales y de corte transversal. Las más relevantes son las siguientes:

Ventajas −

La técnica permite al investigador económico disponer de un mayor número de observaciones, incrementando los grados de libertad, reduciendo la multicolinealidad entre las variables explicativas y, en última instancia, mejorando la eficiencia de las estimaciones econométricas.

−

Tal y como se mencionó anteriormente, la técnica permite capturar la heterogeneidad no observable ya sea entre unidades individuales de estudio como en el tiempo. Con base en lo anterior, la técnica de datos de panel permite aplicar una serie de contrastes para confirmar o rechazar dicha heterogeneidad y determinar cómo capturarla.

−

Los datos de panel suponen, e incorporan al análisis, el hecho de que los individuos o agentes económicos (consumidores, empresas, regiones, países, etc.…) son heterogéneos. Los análisis de series de tiempo y de corte transversal no incorporan esta heterogeneidad corriendo así el riesgo de obtener resultados sesgados.

−

Permiten estudiar mejor la dinámica de los procesos de ajuste, ya que a través de ellos se pueden analizar los cambios en el tiempo de las distribuciones transversales.

−

Permiten elaborar y probar modelos relativamente complejos de comportamiento en comparación con los análisis de series temporales y de corte transversal. Un ejemplo claro de este tipo de modelos es aquel que trata de medir niveles de eficiencia técnica por parte de unidades económicas individuales.

−

Finalmente, puesto que las unidades transversales de un panel de datos normalmente se refieren a individuos, familias o empresas, se evitan los sesgos que aparecen cuando se trabaja con variables agregadas.

Desventajas −

En términos generales, las desventajas asociadas a la técnica de datos de panel se relacionan con los procesos para la obtención y el procesamiento de la información estadística sobre las unidades individuales de estudio; es decir cuando ésta se obtiene por medio de encuestas, entrevistas o utilizando algún otro medio de inferencia estadística de los datos. Ejemplos de este tipo de limitaciones son los problemas de selección no aleatoria de la muestra, de recogida de datos con inadecuadas tasas de cobertura de la población, porcentajes de no respuesta, preguntas confusas, distorsión deliberada de las respuestas, etc.

−

Asimismo, una escasa dimensión temporal puede invalidar alguno de los elementos teóricos de los modelos de datos de panel.

−

Por ultimo, algunas investigaciones han demostrado que la utilización de modelos de efectos fijos produce resultados significativamente diferentes al los modelos con efectos aleatorios cuando se estima una ecuación usando una muestra de muchas unidades de corte transversal con pocos periodos de tiempo (700 individuos con 5 periodos, por ejemplo).

6.4.

MODELO DE EFECTOS FIJOS

Como ya se mencionó, los modelos de datos de panel permiten contemplar la existencia de efectos individuales específicos a cada unidad, invariables en el tiempo, que determinan la manera en que cada unidad de corte transversal toma sus decisiones.

Estos modelos asumen que los efectos de las variables omitidas, ya sean específicas a cada individuo y/o que cambian en el tiempo, no son importantes en forma individual, pero sí en conjunto.

Por otro lado, dado que el efecto de las variables omitidas se supone constante en el tiempo para cada individuo, o que no varía en todos los individuos en un determinado momento en el tiempo, o una combinación de ambos, se pueden capturar en el término constante de un modelo de regresión como un promedio que toma en cuenta explícitamente la heterogeneidad entre individuos y/o en el tiempo contenida en los datos.

Según la forma de incorporar la heterogeneidad no observada, se pueden diferencian los modelos de efectos fijos y modelos de efectos aleatorios. Los modelos de efectos fijos se conocen también como modelos mínimos cuadráticos con variables ficticias.

Los modelos de datos de panel de efectos fijos tienen la siguiente expresión general: K

Yit = α i + ∑ X itj β j + eit j =1

donde Yit es la variable dependiente, α it , es un escalar que recoge los efectos específicos del i– j

ésimo individuo y se supone constante en el tiempo, y X it , es el vector de las k variables j explicativas y β , de los K parámetros que recogen los efectos de las variables explicativas; eit

es el termino de error que se suponen aleatorios distribuidos con media cero y varianza constante de valor σ e2 . El panel de datos corresponde a i = 1,2..., N unidades o individuos de corte transversal, observados para los períodos t = 1,2..., T. Por tanto, lo que se pretende resolver es un sistema de regresiones específicas con N ecuaciones de corte transversal: Yi = α i + X it1 β 1 + X it2 β 2 + ... + X itj β j + eit y T observaciones.

Su notación matricial abreviada es:

Yit = α i + X it ' β + eit Agrupando las observaciones temporales, para cada unidad transversal se llega al siguiente modelo:

Yit = iα + X it ' β + eit que en el supuesto de una única variable explicativa tendría la siguiente expresión:

 X 11   e11   Y11  X  e  Y   21   21   21   .   .   .   X N1   eN 1  YN 1        i 0 ... 0  α 1    .   .   .      α 0 i ... 0 2  . =    . β +  .        . . ... .   .  +  .  .     .     e   Y  0 0 ... i  α N   X   1T   1T   1T   X 2T   e2T  Y2T   .   .   .        eNT   X NT  YNT 

Con este modelo se considera que las variables explicativas afectan por igual a las unidades de corte transversal y que éstas se diferencian por características propias de cada una de ellas, medidas por medio de la intercepción en el origen. Es por ello que las N intercepciones se asocian con variables dummy con coeficientes específicos para cada unidad, los cuales se deben estimar. La estimación de α i y β se realiza por MCO, si bien hay que tener presente que este modelo presenta una pérdida importante de grados de libertad. Un test útil en este tipo de modelos es realizar la prueba F, para comprobar si α i = α para cualquier i. Por otro lado, cabe señalar que cuando se quiera incluir un término constante hay que introducir únicamente N-1 variables ficticias.

Otra manera de plantear este modelo es especificándolo en desviaciones respecto a la media, es decir, restando a cada variable la media en el periodo para cada unidad i-esima. El estimador a utilizar en este caso tiene la siguiente expresión:

N T βˆ = ∑∑ ( X it − X i )(X it − X i )  i =1 t =1

−1

 N T ' ∑∑ (X it − X i )(Yit − Yi )   i =1 t =1

 ' 

(6.3)

donde Yi , X i son las medias muestrales del individuo i-ésimo. El estimador de la varianza de β es:

( )

N T  2  ˆ ˆ Var β = σ e  ∑∑ ( X it − X i )( X it − X i ) '   i =1 t =1 

2 2 donde σˆ e es la varianza residual, calculada como σˆ u =

−1

e'e , donde e’e es la suma de NT − N − K

los residuos del modelo al cuadrado.

En general, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) es apropiado cuando los residuos son incorrelados en el tiempo y homocedásticos en los cortes transversales. Los efectos fijos se estiman en un segundo paso a través de la siguiente ecuación:

∑ (Y T

αˆ i = Yi − X βˆ = ' i

t =1

i

− X it' βˆ

)

(6.4)

T

El modelo anterior puede extenderse al modelo de efectos fijos de doble vía, en el que aparecen también los efectos no observables temporales, tal que:

Yit = α i + δ t + X it ' β + eit

Expresión que equivale a introducir dos conjuntos de variables ficticias, unas individuales y otras temporales; en este caso el estimador MCO tendría las mismas propiedades del modelo anterior. El estimador a utilizar tendría la siguiente expresión:

 βˆ = ∑∑(X it − X i − X t + X )(X it − X i − X t + X )  i=1 t =1 N

T

−1

 N T ' ∑∑(X it − X i − X t + X )(Yit − Yi − Yt + Y )   i=1 t =1

 ' 

donde Yi , X i , son las medias muestrales del individuo i-ésimo, Yt , X t las medias muestrales del periodo t, y Y , X las medias muestrales de las variables para todos los N individuos y T periodos.

Los efectos fijos se estiman en un segundo paso a través de las siguientes relaciones:

αˆ i = (Yi − Y ) − ( X i− X ) βˆ '

δˆt = (Yt − Y ) − ( X t− X ) βˆ '

6.5.

MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS

A diferencia del modelo de efectos fijos, el modelo de efectos aleatorios considera que los efectos individuales no son independientes entre sí, sino que están distribuidos aleatoriamente alrededor de un valor dado. Una práctica común en el análisis de regresión es asumir que el gran número de factores que afectan al valor de la variable dependiente pero que no han sido incluidas explícitamente como variables independientes del modelo, puede resumirse apropiadamente en la perturbación aleatoria.

Así, en este modelo se considera que tanto el impacto de las variables explicativas como las características propias de cada unidad son diferentes.

El modelo de efectos aleatorios o modelo de componentes de la varianza asume que el término

α it es la suma de una constante común α , una variable aleatoria específica de corte transversal e invariante en el tiempo µ i asociada a cada individuo e incorrelada con el residuo eit , y otro asociado al tiempo λt, también incorrelacionado con el residuo eit .

En lugar de tratar µi como una constante fija, esta especificación asume que µ i ≈ N (0, σ µ2 ) independiente e igualmente distribuida, e incorrelada con eit y X it . A su vez el modelo también requiere que λt está incorrelado en el tiempo tal que E (λt , λ s ) = 0 , y además está incorrelada con µi , eit y X it . Si suponemos que λt = 0 , la especificación del modelo entonces se convierte en:

j

Yit = ∑ X itj β j + ε it , i =1

ε it = µi + eit

La estimación de este modelo exige de la utilización de Mínimos Cuadrados Generalizados pues los residuos del modelo están correlacionados entre sí al estar µ i incluido tanto en ε it como en

ε is , para t ≠ s. El estimador apropiado de este modelo expresado en desviaciones a la media es, por tanto: −1

βˆ

MCG

N N 1 N  1 N  =  ∑ X i' QX i + ψ ∑ ( X it − X i )' ( X it − X i )  ∑ X i' QYi ∑ ( X it − X i )(X it − Yi )' i =1 i =1  T i =1   T i =1 

donde:

ψ =

σ ε2

σ ε2 + Tσ µ2

Q = IT −

1 e ⋅ e' T

Generalmente las varianzas σ µ (varianza entre grupos) y σ ε no son conocidas y, por tanto, habrá 2

2

que estimar un valor para ψ . Para estimar dicho valor un camino sería utilizar las estimaciones de las varianzas de los residuos obtenidas en la solución MCO del modelo.

6.6.

ELECCIÓN DE ALEATORIOS

MODELO

DE

EFECTOS

O

EFECTOS

La decisión acerca de la estructura apropiada para el análisis, es decir, efectos fijos vs efectos aleatorios, dependerá de los objetivos que se persigan.

Así, Hausman (1978) aconseja utiliza el modelo de efectos fijos para realizar inferencias sobre la muestra utilizada, mientras que el de efectos aleatorios resulta más útil para realizar inferencias sobre la población.

Adicionalmente, si el interés del estudio particular está puesto en los coeficientes de las pendientes de los parámetros, y no tanto en las diferencias individuales, se deberá elegir un método que relegue estas diferencias y trate la heterogeneidad no observable como aleatoria.

El contexto de los datos, es decir, cómo fueron obtenidos y el entorno de donde provienen, determinan también la elección del modelo. Con el modelo de efectos fijos la heterogeneidad no observable se incorpora en la ordenada al origen del modelo y con el de efectos aleatorios, como ya se mencionó, se incorpora en el término de error, modificándose la varianza del modelo. Asimismo, emplear un modelo de efectos fijos o aleatorios genera diferencias en las estimaciones de los parámetros en los casos en que se cuenta con T pequeño y N grande. En estos casos debe hacerse el uso más eficiente de la información para estimar esa parte de la relación de comportamiento contenida en las variables que difieren sustancialmente de un individuo a otro.

En principio, el enfoque de efectos fijos es más atractivo, ya que no requiere realizar supuestos paramétricos sobre la distribución condicional de la heterogeneidad inobservable. Sin embargo, su desventaja es que solo puede utilizarse en ciertas distribuciones y requiere hacer supuestos muy restrictivos sobre la distribución del término de error como lo son las hipótesis que exige el método MCO.

A este respecto hay que tener presente que el modelo de efectos fijos asume la existencia de diferencias entre unidades que se capturan en forma de movimientos de la curva de regresión. (Fig. 6.1).

Figura 6.1.

El modelo de efectos fijos, si se estima utilizando variables dummy no identifica directamente la causa de la variación en el tiempo y los individuos, e implica un alto coste informativo en términos de grados de libertad. En cuyo caso deben realizarse algunas consideraciones con respecto a la estructura de los datos, dado que si N es grande y T pequeño, podría darse el caso en que el número de parámetros en el modelo de efectos fijos sea muy grande en relación con el número de datos disponibles, lo que daría lugar a parámetros poco significativos y una estimación ineficiente. Para elegir entre los estimadores del modelo fijo y aleatorio puede utilizarse el test de Hausman, que compara directamente ambos estimadores. El contraste se basa en el hecho de que bajo la

(βˆ ) es asintóticamente más eficiente que el estimador MCO del modelo de efectos fijos (βˆ ); sin [

]

hipótesis de que E α i X it = 0 el estimador del modelo de efectos aleatorios

EA

EF

[

]

embargo, si E α i X it ≠ 0 , el estimador MCO mantendrá la consistencia, mientras que el estimador MCG será sesgado e inconsistente.

El estadístico propuesto por Hausman es: −1 m = qˆ ' [Var (qˆ )] qˆ

donde qˆ = βˆ EA − βˆ EF , y la matriz diagonal Var (qˆ ) = Var ( βˆ EA ) − Var ( βˆ EF ) . Bajo la hipótesis

{[

] }

2 nula H 0 = E α i X it = 0 el estadístico m se distribuye como una variable χ k .

Ejemplo 6.1.

A continuación vamos a realizar un ejemplo de estimación de un modelo de datos de panel, con las series temporales de créditos y depósitos de las cajas de ahorro de Castilla y León por provincias, el objetivo de la investigación es comprobar qué parte de los depósitos se queda en Castilla y León en forma de créditos y verificar si hay diferencias en los comportamientos provinciales. Los datos utilizados corresponden al periodo 1998-2003 y tienen periodicidad trimestral.

En primer lugar, utilizamos un modelo de datos de panel fijo de la forma siguiente:

Yit = iα + X it ' β + u it donde Yit son los créditos que prestan las cajas de ahorro en las nueve provincias de la región (N=9), y X it los depósitos de las cajas de ahorro en cada una de las nueve provincias de la región. El número de observaciones temporales es T = 22.

Los datos de los créditos totales concedidos por las Cajas de Ahorro en las nueve provincias de Castillla y León (millones de €) son:

Año 1998 1998 1998 1998 1999 1999 1999 1999 2000 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2002 2002 2002 2002 2003 2003

Periodo I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II

Ávila 587 607 623 642 643 710 694 694 685 731 753 783 787 850 835 894 902 976 1039 1076 1139 1193

Burgos 1739 1846 1872 1992 1991 2147 2171 2360 2380 2524 2665 2840 2882 3066 3166 3360 3463 3719 3826 4020 4140 4417

León 1844 1956 1953 2037 2146 2301 2271 2350 2514 2682 2765 3043 3018 3095 2994 3081 3056 3153 3161 3262 3472 3688

Palencia 488 516 531 545 571 620 644 652 670 719 737 771 764 789 812 837 849 908 933 945 984 1022

Salamanca 1058 1130 1151 1189 1097 1254 1182 1247 1285 1468 1471 1493 1534 1628 1609 1664 1707 1821 1835 1913 1968 2069

Segovia 534 562 588 610 627 656 660 682 668 688 692 708 704 739 743 776 794 842 854 899 942 979

Soria 207 212 212 218 225 232 235 242 252 259 260 280 287 301 310 332 336 348 357 387 400 421

Valladolid 1459 1552 1593 1685 1718 1818 1895 1981 2061 2208 2308 2443 2523 2658 2685 2869 2969 3195 3241 3331 3434 3575

Los datos de los depósitos del sector privado en las Cajas de Ahorro en las nueve provincias de Castillla y León (millones de €) son:

Zamora 392 411 423 439 436 476 481 496 507 561 559 582 581 605 612 636 644 676 676 690 702 734

Año 1998 1998 1998 1998 1999 1999 1999 1999 2000 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2002 2002 2002 2002 2003 2003

Periodo I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II

Ávila 1175 1170 1218 1232 1238 1272 1295 1329 1349 1388 1431 1465 1488 1541 1587 1773 1768 1806 1822 1906 1949 2001

Burgos 3686 3675 3731 3862 3918 3959 4082 4217 4322 4392 4497 4692 4817 5271 5322 5496 5528 5637 5658 5898 5913 6316

León 3220 3275 3279 3438 3374 3527 3426 3459 3469 3470 3854 3965 3957 4133 4251 4476 4910 5095 5088 4920 5239 5488

Palencia 817 802 793 826 822 838 861 894 933 961 995 1059 1075 1121 1145 1187 1173 1210 1208 1242 1230 1247

Salamanca 1600 1596 1614 1619 1594 1627 1680 1735 1822 1921 1984 2029 2081 3794 4137 4334 4722 4970 5020 5131 5118 5126

Segovia 1052 1060 1091 1104 1112 1143 1173 1183 1195 1227 1250 1293 1385 1462 1489 1522 1597 1548 1577 1722 1653 1676

Soria 593 594 596 595 581 582 594 652 642 655 677 701 724 746 763 797 794 817 832 849 842 846

Valladolid 1626 1609 1635 1697 1751 1814 2024 1986 2048 2126 2229 2323 2378 2467 2518 2650 2631 2776 2787 2929 2915 2974

Zamora 866 850 838 871 858 870 888 942 948 968 989 1048 1056 1099 1121 1177 1150 1175 1170 1210 1189 1220

A efectos de estimar el modelo MCO utilizando variables dummy habría que presentar los datos conforme a la siguiente tabla: Año

Trimestre

Créditos (Y) Ávila

Burgos

León

Palencia

Salamanca

Dummies (iα) Segovia

Soria

Valladolid

Zamora

Depósitos (X)

1998

1

587

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1175

1998

1

1739

0

1

0

0

0

0

0

0

0

3686

1998

1

1844

0

0

1

0

0

0

0

0

0

3220

1998

1

488

0

0

0

1

0

0

0

0

0

817

1998

1

1058

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1600

1998

1

534

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1052

1998

1

207

0

0

0

0

0

0

1

0

0

593

1998

1

1459

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1626

1998

1

392

0

0

0

0

0

0

0

0

1

866

1998

2

607

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1170

1998

2

1846

0

1

0

0

0

0

0

0

0

3675

1998

2

1956

0

0

1

0

0

0

0

0

0

3275

1998

2

516

0

0

0

1

0

0

0

0

0

802

1998

2

1130

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1596

1998

2

562

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1060

1998

2

212

0

0

0

0

0

0

1

0

0

594

1998

2

1552

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1609

1998

2

411

0

0

0

0

0

0

0

0

1

850

Aplicando MCO al modelo descrito se obtienen los siguientes resultados:

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.96577233 Coeficiente de determinación R2 0.9327162 R2 ajustado 0.92417602 Error típico 274.756973 Observaciones 198 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad 10 188 198

Regresión Residuos Total

AV BU LE PA SA SG SO VA ZA Β

Coeficientes 82.5909183 543.61444 760.615561 248.928645 58.0469567 77.3436176 -52.4921486 1323.60383 66.2517949 0.48266722

Suma de cuadrados 196740739 14192382.1 210933121 Error típico 74.062306 154.683995 135.247529 66.1017603 106.602347 71.092936 62.268669 89.8271126 66.1422793 0.03002785

Media cuadrados 19674073.9 75491.3944

F 260.613465

Valor crítico de F 4.338E-104

Estadístico t 1.11515456 3.51435479 5.62387768 3.76583988 0.54451856 1.08792268 -0.84299455 14.7350148 1.00165576 16.0739855

Se puede apreciar que tanto el estadístico F, como la distribución asociada a los estimadores de los coeficientes α i descarta la hipótesis de igualdad de dichos coeficientes (el valor teórico del estadístico F en las tablas es 1.88), lo que hace significativa con un nivel de confianza del 95% la existencia de heterogeneidad en el comportamiento de cada provincia.

Si utilizamos el modelo (6.2) y el procedimiento descrito para obtener el estimador (6.3) y los coeficientes (6.4), obtendríamos los siguientes resultados en la estimación MCO.

βˆ MCO

N T  ∑∑ (X it − X i )(Yit − Yi )  = 404107385.5 = 0.48266722 = Ni =1 Tt =1   832723809.18 ∑∑ (X it − X i )( X it − X i )  i =1 t =1 

El coeficiente αi correspondiente a Ávila se obtiene como:

∑ (Y T

αˆ i =

t =1

i

− βˆX it T

) ∑ (811.05 − 0.4827 X 22

=

t =1

22

it

)

= 82.59

Análogamente, el resto de términos constantes es:

Burgos León Palencia Salamanca Segovia Soria Valladolid Zamora

543.61444 760.615561 248.928645 58.0469567 77.3436176 -52.4921486 1323.60383 66.2517949

Ejemplo 6.2. La librería “plm” ofrece recursos en R para estimar modelos data panel. > install.packages("plm")

En esta librería tenemos un conjunto de datos panel relativos a 10 empresas para las que disponemos de los siguientes cifras: año, invesión bruta, valor de la empresa y capital. El conjunto de datos es para el periodo de 1935 a 1954. > data("Grunfeld", package="plm") > str(Grunfeld) 'data.frame': 200 obs. of 5 variables: $ firm : int 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... $ year : int 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 ... $ inv : num 318 392 411 258 331 ... $ value : num 3078 4662 5387 2792 4313 ... $ capital: num 2.8 52.6 156.9 209.2 203.4 ...

En el conjunto de datos los campos identificativos de las empresas y años deben de ser índices. Para estimar un modelo de data panel de efectos fijos que relacione la inversión realizada por la empresa con su valor contable y su capital, se requiere la siguiente sentencia R: > grun.fe <- plm(inv~value+capital,data=Grunfeld,model="within")

> summary(grun.fe) Oneway (individual) effect Within Model Call: plm(formula = inv ~ value + capital, data = Grunfeld, model = "within") Balanced Panel: n=10, T=20, N=200 Residuals : Min. 1st Qu. -184.000 -17.600

Median 0.563

3rd Qu. 19.200

Max. 251.000

Coefficients : Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) value 0.110124 0.011857 9.2879 < 2.2e-16 *** capital 0.310065 0.017355 17.8666 < 2.2e-16 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Total Sum of Squares: 2244400 Residual Sum of Squares: 523480 R-Squared : 0.76676 Adj. R-Squared : 0.72075 F-statistic: 309.014 on 2 and 188 DF, p-value: < 2.22e-16

Para estimar un modelo con efectos aleatorios: > grun.re <- plm(inv~value+capital,data=Grunfeld,model="random") > summary(grun.re) Oneway (individual) effect Random Effect Model (Swamy-Arora's transformation) Call: plm(formula = inv ~ value + capital, data = Grunfeld, model = "random") Balanced Panel: n=10, T=20, N=200 Effects: var std.dev share idiosyncratic 2784.46 52.77 0.282 individual 7089.80 84.20 0.718 theta: 0.8612 Residuals : Min. 1st Qu. -178.00 -19.70

Median 3rd Qu. 4.69 19.50

Max. 253.00

Coefficients : Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) (Intercept) -57.834415 28.898935 -2.0013 0.04674 * value 0.109781 0.010493 10.4627 < 2e-16 *** capital 0.308113 0.017180 17.9339 < 2e-16 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Total Sum of Squares: 2381400 Residual Sum of Squares: 548900 R-Squared : 0.7695 Adj. R-Squared : 0.75796 F-statistic: 328.837 on 2 and 197 DF, p-value: < 2.22e-16

Los efectos fijos se extraen con la function “fixef”. > summary(fixef(grun.fe, type = 'dmean')) Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) 1 -11.5528 49.7080 -0.2324 0.816217 2 160.6498 24.9383 6.4419 1.180e-10 *** 3 -176.8279 24.4316 -7.2377 4.565e-13 *** 4 30.9346 14.0778 2.1974 0.027991 * 5 -55.8729 14.1654 -3.9443 8.003e-05 *** 6 35.5826 12.6687 2.8087 0.004974 ** 7 -7.8095 12.8430 -0.6081 0.543136 8 1.1983 13.9931 0.0856 0.931758 9 -28.4783 12.8919 -2.2090 0.027174 * 10 52.1761 11.8269 4.4116 1.026e-05 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

6.7.

PROBLEMAS

6.1. Considere el siguiente panel de datos de inversión (Y) y beneficios (X) para 3 empresas y 10 periodos:

Empresa 1

Empresa 2

Empresa 3

t

Y

X

Y

X

Y

X

1

18.32

17.85

25.30

27.93

13.85

13.65

2

31.30

30.69

22.47

22.97

24.60

21.55

3

7.62

10.48

14.31

14.16

8.87

6.47

4

19.94

18.79

23.01

23.73

29.19

29.91

5

20.80

20.41

12.63

16.31

8.99

10.01

6

17.20

17.59

24.84

26.15

10.73

13.34

7

19.93

21.64

18.76

21.13

31.68

27.70

8

34.82

31.45

15.00

16.61

16.49

13.36

9

25.32

24.64

24.51

24.55

23.49

20.44

10

9.77

10.43

23.32

22.06

25.84

22.87

a) Calcule la matriz de productos cruzados a partir de los datos anteriores y estime por MCO los coeficientes del modelo:

Yit = α + β X it + uit b) Con los datos anteriores, estime el modelo de efectos fijos y contraste la hipótesis de que el término constante es el mismo para las tres empresas. ¿Qué interpretación económica puede realizarse de dicho término constante?

c) Calcule un modelo de efectos fijos de doble vía.

6.2. Considere el siguiente el siguiente modelo de data panel estimado con efectos fijos y aleatorios:

Yt = α i + β 1X 1it + β 2 X 2it + µ it Yt = α + β 1 X1it + β 2 X 2it + µ it + ε i Cuya estimación ha dado los siguientes resultados Coeficientes

Desviación típica

Efectos fijos

Efectos aleatorios

Efectos fijos

Efectos aleatorios

β1

0.3461617

0.3457104

0.0266645

0.026541

β2

0.1079481

0.1076555

0.0175089

0.0168169

Decida si es conveniente o no utilizar efectos aleatorios SOLUCIONES 6.1 a) Yt = -1.042 + 1,0589X t b) Yt = -1.979D1 - 3.348D2 - 0.389D3 + 1.1022X t ; H0 :α2 =α3; se rechaza la hipótesis nula.

c)

Yt = -0.078D1 - 1.457D2 + 1.534D3 − 0.771T 1 + 0.352T 2 + 0.828T 3 − 0.695T 4 − 1.084T 5 − 1.467T 6 − 0.560T 7 + 1.439T 8 + 0.735T 9 + 1.223T 10 + 1.11106X t

6.2. Resultado de la prueba de Haussman, no se rechaza Ho, es conveniente utilizar efectos aleatorios.

7.

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

7.1.

INTRODUCCIÓN

Hasta el momento en todos los modelos que hemos visto, se ha supuesto que las variables explicativas eran exógenas, de tal forma que su comportamiento podía explicarse de forma completamente independiente del resto de las variables que componen el modelo. Esta característica deja de tener sentido cuando se pretende recoger, mediante un modelo econométrico, la existencia de un conjunto de variables endógenas que se determinan mutuamente.

En ese caso, es preciso especificar un modelo de ecuaciones simultáneas, el cual se define como un modelo compuesto por varias ecuaciones y en el que existe simultaneidad entre las variables que lo componen. La simultaneidad en este tipo de modelos se produce porque, a la vez que una variable dependiente Y está determinada por una variable explicativa X en una de las ecuaciones del modelo, en otra ecuación la variable X queda determinada por la anterior endógena, Y. Es decir, se da una relación en dos sentidos entre variables dependientes y explicativas, lo que hace dudosa la diferenciación entre variables dependientes e independientes.

En particular, diremos que existe endogeneidad entre dos variables cuando hay una relación bidireccional entre ellas, y calificaremos a una variable como exógena o predeterminada cuando su valor no venga determinado por alguna de las ecuaciones del modelo.

La distinción entre variables endógenas y exógenas en un modelo de estas características es sutil y resulta, a veces, controvertida. Por tanto corresponde al investigador, en función de argumentos teóricos establecidos a priori, la difícil tarea de especificar qué variables son endógenas y cuáles son predeterminadas. No obstante, éste puede ratificar sus conjeturas a través de pruebas empíricas (prueba de Hausman) diseñadas para determinar si una variable debe ser considerada endógena o no.

En definitiva, los modelos de ecuaciones simultáneas relacionan en cada ecuación a una variable dependiente endógena, con variables exógenas que actúan como endógenas en otras ecuaciones además de con otras variables exógenas o independientes.

La representación analítica de un modelo genérico con n ecuaciones simultáneas y m variables exógenas es la siguiente:

α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t α21Y1t+α22Y2t +…+α2nYnt + β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t

(7.1)

....................................................................................................................................................

αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt En la expresión 7.1. puede observarse que la presencia de la simultaneidad se debe a dos características: por un lado, que todas las variables endógenas (Yit) y exógenas (Xit) pueden aparecer en todas las ecuaciones del modelo; y por otro, que las perturbaciones aleatorias uit están correlacionadas contemporáneamente entre sí, lo que implica que un cambio en una cualquiera de ellas afectará a todas las variables endógenas del modelo.

De esta forma, en los modelos de ecuaciones simultáneas la relación de causalidad entre las variables deja de ser unidireccional, al contrario de lo que sucedía en los modelos uniecuacionales, ya que una variable exógena puede influir en cualquier endógena, bien sea directamente por estar especificada en la ecuación, o a través de otra endógena relacionada con la anterior, que también figure especificada en la ecuación en cuestión.

7.2.

FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA

Como veremos en detalle más adelante, el principal problema que plantea la presencia de simultaneidad en el modelo es la estimación de los parámetros. No obstante, para poder abordarla debemos definir previamente los conceptos de forma estructural y forma reducida de un modelo de ecuaciones simultáneas.

Para ello, si expresamos en términos matriciales la expresión (7.1) tenemos que:

α 11 α 12 α  21 α 22  . .  α n1 α n 2

... α 1n  Y1t   β 11 ... α 2 n  Y2t   β 21 + ... .   .   .    ... α nn  Ynt   β n1

β 12 ... β 1m   X 1t   u1t  β 22 ... β 2 m   X 2t  u 2t  = .

β n2

... .  .    ... β nm   X mt 

 .    u nt 

(7.2)

O simplificando la expresión anterior:

ΓY + BX = U

Donde:

α11 α12 α α 22 Γ =  21 .  .  α n1 α n 2

... α1n  ... α 2 n   ... .   ... α nn 

Y1t  Y  Y =  2t   .    Ynt 

 β11 β B =  21  .   β n1

β12 ... β1m  β 22 ... β 2 m  .

βn2

 .   ... β nm 

...

 X 1t  X  X =  2t   .     X mt 

 u1t  u  U =  2t   .     unt 

Esta forma de expresar el modelo es lo que se conoce como forma estructural, y en ella se relacionan las variables de la forma que establece la teoría económica.

Si despejamos la parte endógena del modelo obtenemos que:

ΓY = − BX + U

Suponiendo que la matriz Γ tiene inversa, operamos tal que:

ΓΓ −1Y = − BΓ −1 X + Γ−1U Y = −Γ −1BX + Γ −1U −1

−1 Llamando Π = −Γ B y V = −Γ U tenemos que:

Y = ΠX + V Que desarrollado queda como:

Y1t  π 11 π 12 Y  π π 22  2 t  =  21 .  .   .    Ynt  π n1 π n 2

... π 1m   X 1t   v1t  ... π 2 m   X 2 t   v2 t   +  ... .   .   .      ... π nm   X mt   vnt 

La expresión resultante se conoce como forma reducida del modelo, y con ella se relaciona cada una de las variables endógenas con todas las variables predeterminadas. Obsérvese que en la forma reducida no existe simultaneidad en las variables por lo que su estimación por MCO no presenta problema alguno.

Como veremos más adelante, en función del interés del investigador la utilización de una forma u otra será más conveniente. Así, si nuestro objetivo es obtener predicciones en el modelo, podremos realizarlas directamente con la forma reducida sin necesidad de estimar los parámetros de la forma estructural; por el contrario, si necesitamos contrastar alguna hipótesis sobre los coeficientes del modelo a fin de confirmar la validez de una teoría económica, lo apropiado será utilizar la forma estructural del modelo.

Ejemplo 7.1. El análisis clásico de la oferta y la demanda establece que las cantidades demandadas de un bien (Qdt) depende del precio del bien (Pt), el precio de otros bienes sustitutivos o complementarios (Prt) y la renta de los consumidores (Rt), así como por diversos factores psicológicos y/o sociológicos que inciden en el comportamiento del consumidor: gustos, publicidad, etc. y que se recogen en el término de error de la ecuación de demanda (u1t). A su vez, la teoría económica establece que las cantidades ofertadas de un bien (Qot) depende del precio del bien (Pt), el precio de otros bienes sustitutivos o complementarios (Prt), y de los precios de los factores de producción (Ft), entre los que se incluyen los precios de las materias primas, los salarios y los intereses que cobran los bancos por el dinero que prestan. Asimismo, otros factores que afectan al proceso de producción quedan recogidos por el término de error de la ecuación de oferta (u2t).

Ambas ecuaciones determinan un modelo de ecuaciones simultaneas, cuya solución permite obtener la cantidad consumida y el precio del bien en equilibrio. La expresión convencional de dicho modelo es la siguiente: Ecuación de Demanda: Qdt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0 Ecuación de Oferta:

Qot=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0

Igualdad:

Qdt= Qot

Lo que, sustituyendo la igualdad, equivale a: Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0

(7.3)

Qt=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0

(7.4)

Sus características son las siguientes: −

Posee dos variables endógenas: la cantidad consumida del bien (Qt) y el precio (Pt)

−

Asimismo, tiene tres variables exógenas o explicativas: el precio de los factores de producción (Ft), el precio de otros bienes complementarios o sustitutivos (Prt) y el nivel de renta de los consumidores (Rt)

−

La ecuación de demanda, tiene dos variables endógenas (Qt, Pt) y dos exógenas (Prt, Rt).

−

La ecuación de oferta, tiene dos variables endógenas (Qt, Pt) y dos exógenas (Ft, Prt)

Para obtener el modelo reducido, debemos construir la expresión (7.2) tal que:

1 −α11  Qt   − β11    +  1 −α 21   Pt   − β 21

− β12 0

 Pr  0   t   u1t  R = − β 23   t  u2 t   Ft 

(7.5)

O matricialmente:

ΓY + BX = U

El determinante de Γ es entonces:

Γ = (1 × −α 21 ) − ( −α11 × 1) = α11 − α 21 Y su matriz inversa:

α11  −α 21  α11 − α 21 α11 − α 21   Γ =  1  −1α − α α11 − α 21   11 21 −1

A partir de la matriz Γ −1 , podemos obtener la relación existente entre los coeficientes de la forma estructural (αij, βij) y los de la forma reducida (πij) tal que:

α11  −α 21  0  − α α α11 − α 21   − β11 − β12  −1 11 21 Π = −Γ B = −   − β 0 − β 23  1  21  −1 α − α  α11 − α 21   11 22 α11β 23 −α 21β12 α11β 21 − α 21β11  π π π α − α α − α α11 − α 21    11 11 21 11 21 12 13   π = β 23 − β12  21 π 22 π 23   β 21 − β11  α11 − α 21 α11 − α 21 α11 − α 21   Otra forma alternativa de obtener el modelo en forma reducida sería igualar la ecuación de demanda (7.3) con la ecuación de oferta (7.4):

α11Pt + β11 Prt + β12 Rt = α 21Pt + β 21 Prt + β 23 Ft Despejando Pt obtenemos:

Pt =

β 21 − β11 β12 β 23 Prt − Rt + F α11 − α 21 α11 − α 21 α11 − α 21 t

(7.6)

Ahora, si sustituimos (7.6) en (7.3) nos queda que:

 β − β11  β12 β 23 Qt = α11  21 Prt − Rt + F  + β11 Prt + β12 Rt α11 − α 21 α11 − α 21   α11 − α 21 Y operando, tenemos que :

Qt =

α11β 21 − α 21β11 α β α β Prt − 21 12 Rt + 11 23 Ft α11 − α 21 α11 − α 21 α11 − α 21

(7.7)

Ahora simplemente basta con relacionar los coeficientes asociados a las variables en las ecuaciones (7.6) y (7.7) con los coeficientes de la forma reducida tal que:

α11β 21 − α 21β11 α11 − α 21 −α 21β12 π 12 = α11 − α 21 α β π 13 = 11 23 α11 − α 21 π 11 =

β 21 − β11 α11 − α 21 − β12 π 22 = α11 − α 21 β 23 π 23 = α11 − α 21 π 21 =

7.3.

DETECCIÓN HAUSMAN

DE

LA

SIMULTANEIDAD.

PRUEBA

DE

La consecuencia más inmediata de la presencia de simultaneidad en los modelos multiecuacionales es que los estimadores que se obtienen al aplicar MCO a cada una de las ecuaciones individuales no son consistentes, por lo que debemos recurrir a métodos de estimación alternativos que permitan abordar el problema de la simultaneidad y que produzcan estimadores consistentes y eficientes. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, si dichos métodos se aplican cuando no existe simultaneidad, los estimadores obtenidos son consistentes pero no eficientes, siendo preferibles en estos casos los obtenidos por el método MCO (Gujarati, 1997). Por tanto, parece razonable que, antes de descartar las estimaciones realizadas a través de MCO en favor de otros métodos alternativos, se verifique la presencia de simultaneidad.

El método para verificar la presencia de simultaneidad o endogeneidad más utilizado es la prueba de especificación de Hausman (1974). Esta prueba intenta, esencialmente, averiguar si un regresor está correlacionado con el término de error. Si lo está, existirá simultaneidad, en cuyo caso deben utilizarse métodos de estimación alternativos a MCO; si no lo está, se puede utilizar este método con la seguridad de que proporcionará estimadores eficientes y consistentes.

Veamos cómo se utilizaría en la práctica la prueba de Hausman: supongamos que tenemos un modelo de tres ecuaciones con dos variables endógenas, Y1 e Y2 y que hay tres variables exógenas, X1, X2 e X3. Supóngase además que la primera ecuación del modelo es:

Y1i = α 1Y2i + β 1 X 1i + u1i La prueba de simultaneidad de Hausman comprende los siguientes pasos: •

Se obtienen las ecuaciones de la forma reducida y se estima la ecuación de aquella variable supuestamente endógena por MCO. Por ejemplo, si en la ecuación anterior sospecháramos que Y2i presenta simultaneidad, realizaríamos la siguiente regresión:

Yˆ2i = π 0 + π 1 X 1i + π 2 X 2 i + π 3 X 3i , Y2i = Yˆ2 i + v 2i

•

A continuación, se estima por MCO la ecuación original del modelo en la que aparece la variable analizada como exógena pero sustituyéndola por su valor estimado en la regresión anterior. En nuestro ejemplo, reemplazamos Y2i por Yˆ2 i + v2i como variable explicativa en la ecuación original del modelo, tal que:

Y1i = β 1 X 1i + α 1Yˆ2 i + α 1v 2 i + u1i

(7.8)

Bajo la hipótesis nula de no simultaneidad, el coeficiente asociado a v2i deberá ser estadísticamente igual a cero.

Por otro lado, Pindyck y Rubinfeld (1980) sugieren una forma alternativa de realizar el contraste de simultaneidad, incluyendo como regresor en el segundo paso de la prueba de Hausman los residuos obtenidos en la estimación de la forma reducida, v2i tal que:

Y1i = α1Y2 i + β1 X 1i + λ v2i + u1i Nuevamente se contrasta la hipótesis nula λ=0; en caso de que se rechace la hipótesis nula, Y2i no debe tratarse como una variable exógena.

Finalmente, también es posible contrastar la endogeneidad de varias variables tal y como propone Gujarati (1997): supongamos por ejemplo que tenemos un modelo de tres ecuaciones con tres variables endógenas, Y1, Y2 e Y3 y tres exógenas, X1, X2 e X3, en el que la primera ecuación es:

Y1i = α 2Y2i + α 3Y3i + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u1i Vamos a verificar si Y2 e Y3 pueden ser utilizadas como exógenas; para ello, primero se estiman las ecuaciones de ambas variables en forma reducida, obteniéndose los valores proyectados Yˆ2 i e Yˆ3i .

Seguidamente estimamos por MCO la siguiente ecuación:

Y1i = α 2Y2 i + α 3Y3i + β 1 X 1i + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + λ 2Yˆ2 i + λ3Yˆ3i + u1i y se utiliza una prueba F para contrastar la hipótesis λ2=λ3=0. Si esta hipótesis es rechazada, entonces Y2 e Y3 pueden ser consideradas como endógenas, en caso contrario deberán ser tratadas como exógenas.

Ejemplo 7.2.

Utilizando el modelo multiecuacional de oferta y demanda del Ejemplo 7.1 vamos a comprobar que la variable Pt puede tratarse como endógena en la ecuación (7.3), aplicando la prueba de Hausman. Para ello utilizaremos los siguientes datos:

Año

Tm sacrificadas de carne de porcino (miles)

Precio carne de porcino

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1182.31 1224.50 1336.37 1342.03 1428.66 1387.75 1398.64 1489.27 1722.33 1703.49 1788.85 1885.56 1912.92 2069.40 2193.37 2258.65 2361.85 2448.77

1.09 1.10 1.18 1.19 1.11 1.20 1.21 1.07 0.97 1.09 0.98 1.03 1.17 0.94 0.91 0.96 1.04 1.16

Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino 1.09 1.07 1.00 0.99 1.18 1.04 0.90 1.03 1.12 0.93 0.99 0.93 0.89 1.14 1.09 0.85 0.93 0.82

La expresión para la ecuación (7.3) recordemos que es:

Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino

Renta per capita

0.91 0.93 0.81 0.90 1.02 0.90 0.86 1.02 1.09 0.91 0.99 0.95 0.89 1.08 1.01 0.88 0.85 0.80

0.77 0.77 0.78 0.79 0.80 0.82 0.84 0.88 0.93 0.97 1.00 1.03 1.03 1.02 1.04 1.06 1.09 1.12

Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t El primer paso consiste en realizar la regresión por MCO del precio de la carne de porcino (Pt) sobre las tres variables exógenas del modelo: Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino (Prt), Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino (Ft) y Renta "per capita" (Rt), para lo que estimamos la relación: Pt=π21Prt+π22Rt+π23Ft +e1t

Los resultados obtenidos son los siguientes: Término constante Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino Renta per capita

Coeficientes 2.33947783

Error típico Estadístico t 0.24298863 9.62793124

-0.34549619

0.28538168 -1.21064604

-0.43015941

0.30002065 -1.43376601

-0.55315522

0.16144429 -3.42629156

El valor obtenido para Pˆt sería el siguiente: t

Pˆt

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

1.20910458 1.19432981 1.28461538 1.20231821 1.10554471 1.18859183 1.20641733 1.06103444 0.98035916 1.09799849 1.01801611 1.03870013 1.08101615 0.94140969 0.97946935 1.06484696 1.08198668 1.09829545

El siguiente paso es plantear la ecuación (7.3) pero añadiendo la nueva variable estimada:

Qt=α12Pt+β11Prt+β12Rt +λ Pˆt + u1t

Los resultados obtenidos en el segundo paso son los siguientes:

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Término constante

-9037.89318

2676.96924

-3.37616624


-240.316755

429.828674

-0.55909894

Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino

2350.58492

794.500316

2.95857014

Renta per capita

5440.9149

789.283782

6.89348372

Pˆt

3356.23732

1182.18626

2.83900891

Considerando que el valor de la t de Student en las tablas es de 2.67 para un nivel de confianza del 95%, se descarta la posibilidad de que el coeficiente asociado a Pˆt pueda ser considerado igual a cero.

Por otro lado, si generamos el residuo vt tenemos que:

t 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

vt -0.05564667 -0.04316201 -0.03408611 0.01838146 0.05894503 0.06080601 0.01847311 0.01379649 0.00132339 0.00100086 -0.03753504 -0.00858133 0.09163034 0.02208662 -0.04457266 -0.11952179 -0.01082423 0.06748654

Aplicando el método de Pyndick y Rubinfeld ahora debemos estimar la siguiente ecuación:

Qt=α12Pt+β11Prt+β12Rt +λ vt + u1t

Obteniéndose los siguientes resultados:

Término constante

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

-9037.89318

2676.96924

-3.37616624


3115.92057

1101.27729

2.82936968

Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino

2350.58492

794.500316

2.95857014

5440.9149

789.283782

6.89348372

-3356.23732

1182.18626

-2.83900891

Renta per capita vt

Nuevamente el parámetro λ es estadísticamente distinto de cero, por lo que podemos afirmar que el precio de la carne de porcino pueda ser considerado como endógeno en la ecuación de demanda.

7.4.

IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA

En la expresión Π = −Γ −1 B podemos observar que los parámetros de la forma reducida son una combinación lineal de los parámetros de la forma estructural del modelo ( ΓY + BX = U ); asimismo, dado que no existe simultaneidad en la forma reducida, podemos estimar sus parámetros sin problema por MCO. Sin embargo, ¿cómo podemos para saber si es posible recuperar todos y cada uno de los parámetros de la forma estructural (elementos de las matrices

B y Γ A) a partir de las estimaciones de los parámetros de la forma reducida (elementos de la matriz Π )? Para responder a esta pregunta antes de proceder a la estimación del modelo, debemos realizar la identificación del sistema de ecuaciones simultáneas; una vez realizada podemos encontrarnos en alguna de las siguientes situaciones: −

Una ecuación estará no identificada cuando no tengamos suficiente información para estimar los parámetros de la forma estructural de la ecuación.

−

Por su parte, una ecuación estará sobreidentificada cuando haya más de una combinación posible de valores estimados para los parámetros de la forma estructural.

−

Finalmente, diremos que una ecuación está exactamente identificada cuando sea posible obtener una única estimación de los parámetros estructurales.

−

En caso de que todas las ecuaciones de un modelo multiecuacional en su forma estructural sean exactamente identificadas, diremos que el sistema está exactamente identificado,

pudiéndose recuperar de forma unívoca los elementos de las matrices B y A a partir de las estimaciones de la matriz Π .

Ejemplo 7.3. Consideremos el modelo clásico de oferta y demanda del Ejemplo 7.1, en el que se ha omitido la variable Prt de la ecuación (7.4): Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0

(7.9)

Qt=α21Pt+β23Ft + u2t, α21>0

(7.10)

Se trata de un modelo con las siguientes características: −

La ecuación de demanda (7.9) tiene dos variables endógenas (Pt y Qt) y dos exógenas (Prt y Rt)

−

La ecuación de oferta (7.10) tiene dos variables endógenas (Pt y Qt) y una exógena (Ft).

La forma reducida del modelo es: Qt=π11Ft+π12Prt+π13Rt Pt=π21Ft+π22Prt+π23Rt

Relacionando los parámetros de la forma estructural con los de la forma reducida se obtiene un sistema de 6 ecuaciones y 5 incógnitas, que se corresponden a los coeficientes a estimar en el modelo de oferta y demanda, tal que:

α11  −α 21  − β11 − β12 − − α α α α  11 21 11 21   Π = −Γ −1 B = −   0 0 1  −1α − α  − α α  11 21 11 21 

π 11 π 12 π  21 π 22

 −α 21β11 π 13   α11 − α 21 =  π 23   − β11 α11 − α 21 

−α 21β12 − β12

α11 − α 21

α11 − α 21

0  − β 23 

α11β 23 β 23



α11 − α 21 

α11 − α 21

  

A partir de los parámetros de la forma reducida podemos obtener los valores de los coeficientes asociados al modelo; por ejemplo, si dividimos π13 por π23 obtenemos el valor de α11 que:

α11 =

π 13 π 23

Pero para algunos parámetros se pueden obtener dos soluciones:

π 11 π 21 π α 21 = 12 π 22 α 21 =

De lo que se deduce que la ecuación (7.10) del modelo está sobreidentificada.

7.4.1. Condiciones de Orden y Rango en la Identificación Para comprobar si las ecuaciones de un sistema de ecuaciones están identificadas se utilizan dos sencillas condiciones. Por un lado, tenemos la condición de orden, según la cual para que una ecuación esté identificada debe verificarse que el número de variables exógenas excluidas en la ecuación j debe ser, al menos, tan alto como el número de variables endógenas incluidas en dicha ecuación.

En términos matemáticos deberá cumplirse que: K–k≥m–1 Donde:

K = número de variables exógenas en el modelo. k = número de variables exógenas en una ecuación dada. m = número de variables endógenas en una ecuación dada.

En particular, tomando en consideración el signo de la desigualdad tenemos que

(7.11)

•

Si K – k < m – 1, diremos que la ecuación está subidentificada por lo que no será posible estimar el sistema al no haber información suficiente para ello (en términos algebraicos, diríamos que es un sistema incompatible).

•

Si K – k = m – 1, la ecuación está exactamente identificada lo que implica que tenemos información suficiente para poder estimar el modelo y recuperar los parámetros de la forma estructural (en términos algebraicos, se trataría de un sistema compatible determinado).

•

Si K – k > m – 1, la ecuación está sobreidentificada existiendo varias soluciones posibles para los parámetros de la forma estructural a causa de un exceso de información, si bien en este caso la estimación de los parámetros de la forma estructural es viable utilizando el método de Mínimos Cuadrados en 2 Etapas que veremos en el siguiente capítulo (en términos algebraicos, tendríamos un sistema compatible indeterminado).

La condición de orden de identificación puede simplificarse sumando (M–m) a ambos lados de la desigualdad (7.11), siendo M el número de ecuaciones del modelo, tal que: (K – k) + (M – m) ≥ (m – 1) + (M – m) Operando queda: (K – k) + (M – m) ≥ M – 1 Con ello, para aplicar la condición de orden ahora sólo tenemos que contar el número de variables endógenas y exógenas excluidas en la ecuación analizada y comparar dicho número con el total de variables endógenas del sistema menos uno.

De esta forma, si el número de variables endógenas y exógenas excluidas supera al número de ecuaciones menos uno, la ecuación analizada estará sobreidentificada; si es igual estará exactamente identificada; y si es menor estará subidentificada.

Sin embargo, la condición de orden es una condición necesaria pero no suficiente para la identificación, por lo que es necesario plantear otra condición que sí es necesaria y suficiente. Se trata de la condición de rango, que pasamos a ver a continuación.

La condición de rango señala que en un modelo que contiene M variables endógenas en M ecuaciones, una ecuación estará identificada si y sólo si puede construirse al menos un determinante diferente de cero, de orden ( M − 1) × ( M − 1) a partir de los coeficientes de las variables endógenas y predeterminadas excluidas de la ecuación que se analiza, pero incluidas en el resto de ecuaciones del modelo.

En resumen, para llevar a cabo la identificación de un sistema de ecuaciones simultáneas deben seguirse los siguientes pasos:

1. Aplicar la condición de orden para saber si una ecuación está subidentificada, exactamente identificada o sobreidentificada. 2. Aplicar la condición de rango; en caso de verificarse confirmaremos el resultado obtenido con la condición de orden.

Ejemplo 7.4. Volviendo al modelo de ecuaciones simultáneas de oferta y demanda del Ejemplo 7.3, tenemos que:

−

Variables predeterminadas del modelo K=3.

−

Variables predeterminadas en la ecuación de demanda k=2.

−

Variables predeterminadas en la ecuación de oferta k=1.

−

Número de ecuaciones en el modelo M=2.

−

Variables endógenas en la ecuación de demanda m=2.

−

Variables endógenas en la ecuación de oferta m=2.

Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0

(7.9)

Qt=α21Pt+β23Ft + u2t, α21>0

(7.10)

La condición de orden de identificación del modelo quedaría establecida como sigue: 1. La ecuación de demanda, tal y como se ha formulado, contiene dos variables endógenas y dos exógenas, y excluye una variable (Ft), que sería igual al número de endógenas incluidas en la ecuación menos una, estando por tanto la ecuación de demanda exactamente identificada.

K–k=m–1 ⇒ 3-2=2-1 ⇒ 1=1 2. Por su parte, la ecuación de oferta, posee dos variables endógenas y una exógena, excluyendo por tanto 2 variables (Prt y Rt), lo que supera al número de endógenas incluidas en la ecuación menos una, por lo que la ecuación de oferta está sobreidentificada, tal que: K–k=m–1 ⇒ 3-1>2-1⇒ 2>1

Procedemos a confirmar los resultados obtenidos con la condición de orden aplicando la condición de rango. Dicha condición establece que una ecuación está identificada, si y sólo si puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero, de orden ( M − 1) × ( M − 1) a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de esa ecuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo; en nuestro caso, dicho determinante debe ser de orden (2 − 1) × (2 − 1) = 1.

Para analizar la condición de rango lo más práctico es formar la siguiente tabla con los coeficientes asociados a las variables endógenas y predeterminadas:

Ecuación de demanda Ecuación de oferta

Qt 1 1

Pt α11 α21

Prt β11 0

Rt β12 0

Ft 0 β 23

A continuación debemos comprobar si existe algún determinante no nulo asociado a las matrices que se pueden formar con los coeficientes asociados a las variables excluidas.

En la ecuación de demanda se verifica la condición de rango ya que existe un determinante no nulo10 de orden 1 × 1 , β 23 tal y como puede apreciarse en la siguiente tabla:


Qt 1 1

Pt α11 α21

Prt β11 0

10

A priori, se supone que ningún parámetro es igual a cero.

Rt β12 0

Ft 0 β 23

En la ecuación de oferta también se cumple la condición de rango ya que existen dos determinantes no nulos de orden 1 × 1 : β11 y β 12 :


Qt 1 1

Pt α11 α21

Prt β11 0

Rt β12 0

Ft 0 β 23

En conclusión, la ecuación de demanda está exactamente identificada y que la ecuación de oferta está sobreidentificada, resultado este que ya se intuía en el Ejemplo 7.3.

7.5.

PROBLEMAS

7.1. Considere el siguiente modelo de oferta y demanda de dinero en desviaciones respecto a la media:

M tD = β1Yt + β 2 Rt + β 3 Pt + u1t M tO = α1Yt + u2 t M tD = M tO Discuta la identificabilidad de las ecuaciones del modelo.

7.2. Estudie la identificabilidad del siguiente modelo de ecuaciones simultáneas:

y1t + α13 y3t + β11 x1t + β13 x3t = u1t

α 21 y1t + y2t + β 21 x1t + β 22 x2t = u2t α 32 y2t + y3t + β 32 x2 t + β 33 x3t = u3t

7.3. Dado el siguiente modelo estructural:

y1t = α12 y2 t + β11 x1t + u1t y2 t = α 21 y1t + β 22 x2 t + u2 t Se ha estimado la forma reducida, obteniendo los siguientes valores:

y1t = 5 x1t + 8 x2 t y2 t = 6 x1t − 2 x2 t A partir de las estimaciones obtenidas, recupere los valores de los parámetros estructurales.

7.4. En el modelo de gasto público de Pindyck y Rubinfeld:

EXP = β 1 + β 2 AID + β 3 INC + β 4 POP + u i AID = δ 1 + δ 2 EXP + δ 3 PS + vi donde EXP es el gasto público de cada región, AID las ayudas que recibe del gobierno central, INC los ingresos tributarios de las regiones, POP la población y PS la población en edad escolar.

En principio INC, POP y PS se consideran exógenas. Debido a la posibilidad de que existiera simultaneidad entre EXP y AID, se efectúa una regresión de AID sobre INC, POP y PS, siendo

wˆ i los términos de error calculados en dicha regresión, obteniéndose los siguientes resultados (entre paréntesis se presenta la desviación típica de cada parámetro estimado):

EXP = −89.41 + 4.50 AID + 0.00013INC − 0.518 POP − 1.39 wˆ i ( −1.44)

(0.89)

(0.50)

( −0.02)

( −0.93)

Para una muestra de tamaño N=25 y al 95% de confianza, ¿sería válida la estimación de la primera ecuación por MCO? ¿Y para un nivel de confianza del 90%? SOLUCIONES

7.1. La ecuación de demanda está subidentificada y la ecuación de oferta está sobreidentificada. 7.2. Las tres ecuaciones están exactamente identificadas.

6 5

7.3. α12 = 4; α 21 = − ; β11 = −29; β 22 = −

14 5

7.4. La estimación es válida al 95% de confianza pero no al 90%, ya que en ese caso el

ˆ i sería significativo. coeficiente asociado a w

8.

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

8.1.

INTRODUCCIÓN

Como acabamos de ver en el capítulo anterior, la estimación de la forma estructural de modelos de ecuaciones simultáneas utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios presenta importantes problemas ya que los estimadores son inconsistentes. Por ello, en este capítulo vamos a ver diferentes métodos de estimación mediante los que sí es posible obtener estimaciones consistentes de los parámetros del modelo.

8.2.

MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI)

Este método resulta válido únicamente para la estimación de modelos de ecuaciones exactamente identificados y permite estimar los coeficientes de la forma estructural a partir de las estimaciones MCO de los parámetros de la forma reducida del modelo.

Sea el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas: α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t α21Y1t+α22Y2t +…+α2nYnt + β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t. . .

αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt.

O bien, expresándolo en términos matriciales:

ΓY + BX = U Lo que equivale a:

YΓ '+ XB ' = U

La estimación por MCI se puede esquematizar en tres pasos: 1. Se obtienen las ecuaciones de la forma reducida en forma matricial:

Y = − XB' (Γ' ) −1 + U (Γ' ) −1 = − XΠ '+V

2. Las ecuaciones en forma reducida se estiman individualmente por MCO, obteniéndose el

ˆ: estimador MCO del vector de parámetros de la forma reducida, Π ˆ ' = ( X ' X )−1 X ' Y Π 3. A partir de las estimaciones obtenidas de los coeficientes de las ecuaciones en forma reducida se obtienen los parámetros estructurales, mediante la siguiente relación:

ˆ ' = − B' (Γ' ) −1 Π

(8.1)

V = U (Γ' ) −1 Si todas las ecuaciones de la forma estructural del modelo están exactamente identificadas, aplicando este método se obtiene una única solución a la hora de recuperar los parámetros estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida del modelo; por el contrario, si alguna de las ecuaciones del modelo estuviera sobreidentificada obtendríamos más de una solución para uno o más parámetros.

Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema de ecuaciones exactamente identificado:

α11Y1t+α12Y2t +β11X1t+ β13X3t=u1t α21Y1t+α22Y2t +β22X2t+ β23X3t=u2t En primer término debemos obtener la forma reducida del modelo: Y1t= π11X1t+ π12X2t+ π13X3t +v1t Y2t= π21X1t+ π22X2t+ π23X3t +v2t

Utilizando la matriz de productos cruzados se obtendrían las estimaciones MCO de la forma reducida: 2 πˆ11 πˆ 21   ∑ X 1  πˆ ˆ   12 π 22  = ∑ X 2 X 1 πˆ13 πˆ 23   ∑ X 3 X 1

∑X X ∑X ∑X X 1

2

2 2

3

2

∑X X ∑X X ∑X

  2 3 2  3 

1

−1

3

 ∑ Y1 X 1  ∑ Y1 X 2  ∑ Y1 X 3 

∑Y X ∑Y X ∑Y X 2

2

2

  2  3

1

Para recuperar los parámetros αij y β ij partimos de la expresión (8.1) que puede rescribirse como

ˆ = −B . ΓΠ α 11 α 12  πˆ11 πˆ12 α   21 α 22  πˆ 21 πˆ 22

πˆ13  β = −  11  πˆ 23   0

0

β 22

β 13  β 23 

obteniendo así seis ecuaciones a partir de las que se pueden calcular los parámetros αi y β j :

α 11πˆ11 + α 12πˆ 21 = − β 11   α 11πˆ12 + α 12πˆ 22 = 0  α 11πˆ13 + α 12πˆ 23 = − β 13   α 21πˆ 11 + α 22πˆ 21 = 0  α 21πˆ 12 + α 22πˆ 22 = − β 22   α 21πˆ 13 + α 22πˆ 23 = − β 23  En todo caso, debe subrayarse que es necesario que todas las ecuaciones del modelo estén exactamente identificadas para poder aplicar Mínimos Cuadrados Indirectos de forma legítima. Asimismo debe considerarse que los estimadores obtenidos por MCI son, en general, sesgados a pesar de que los estimadores de la forma reducida sean insesgados, debido a que los estimadores MCI son funciones no lineales de las estimaciones de la forma reducida del modelo. Sin embargo, los estimadores MCI sí son consistentes al ser una función continua del estimador MCO de la forma reducida.

8.2.1. Estimación de curvas de oferta y demanda por MCI Partimos de un modelo de ecuaciones simultáneas compuesto por una ecuación de oferta y otra de demanda, cuya solución permite obtener la cantidad consumida y el precio del bien en equilibrio. La expresión funcional de dicho modelo es la siguiente:

Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0

(8.2)

Qt=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0

(8.3)

Tal y como ya se vio en el capítulo anterior, sus características son las siguientes: −

Posee dos variables endógenas o a explicar: la cantidad consumida del bien (Qt= Qot= Qdt) y su precio (Pt)

−

Presenta tres variables exógenas o explicativas: el precio de los factores de producción (Ft), el precio de otros bienes complementarios o sustitutivos (Prt) y el nivel de renta y riqueza del país o área económica (Rt)

−

La ecuación de demanda tiene dos variables endógenas y dos exógenas (Prt y Rt).

−

La ecuación de oferta tiene dos variables endógenas (Qt y Pt) y dos exógenas (Ft y Pt)

La ecuación de demanda excluye una variable (Ft), y dado que el número de variables excluidas es igual al número de relaciones menos uno (2–1), está exactamente identificada según la condición de orden. La ecuación de oferta también está exactamente identificada ya que también excluye una sola variable (Rt). Asimismo, ambas cumplen la condición de rango al tener por lo menos un determinante diferente de cero, de orden (2–1) x (2–1), formado a partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de la ecuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.

En consecuencia este modelo de ecuaciones simultáneas es un sistema exactamente identificado y las dos ecuaciones pueden estimarse por MCI.

La de forma reducida del modelo será: Qt=π11Prt+π12Rt+π13Ft

(8.4)

Pt=π21Prt+π22Rt+π23Ft

(8.5)

Para estimar dicho modelo en forma reducida se utilizan los datos del Ejemplo 7.2. En la siguiente tabla se presenta la matriz de productos cruzados que corresponde a dichos datos:

Tm sacrificadas de carne de porcino (miles) (Qt) Precio carne de porcino (Pt) Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino (Prt)

Tm sacrificadas de carne de porcino (miles) (Qt)

Precio carne de porcino (Pt)

56677706

33214

Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino (Prt) 30800

Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino (Ft)

Renta "per capita" (Rt)

29030

29781

19.34 18.16

18.02 16.90

17.94 16.62

15.80

15.62

21.07

Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino (Ft) Renta "per capita" (Rt)

15.83

Dichos productos cruzados se han obtenido de la siguiente forma:

18

∑Qt2 = 56677706, t =1

18

∑P t =1

t

2

18

18

∑Qt Pt = 33214, t =1

= 21.07

18

∑ P Pr t =1

18

t

∑ Prt2 = 18.16, t =1

18

t

∑Qt Ft = 29030,

t =1

= 19.34

18

18

t

t

18

∑ Prt Ft = 16.90, t =1

18

∑ Ft Rt =15.62, t =1

t =1

∑ PF = 18.02 ∑ PR t =1

∑ Ft 2 = 15.80, t =1

18

∑Qt Prt = 30800,

t =1

18

∑ Pr R t

t =1 18

∑R t =1

2 t

t

t

t

= 16.62

= 15.83

18

∑Q R = 29781 t =1

t t

= 17.94

La estimación MCO de las ecuaciones de la forma reducida del modelo es: −1

πˆ11 πˆ21  18.16 16.90 16.62   30800 19.34  πˆ πˆ22  = 16.90 15.80 15.62  29030 18.02  =  12      πˆ13 πˆ 23  16.62 15.62 15.83  29781 17.95  15.70 −20.29 3.54   30800 19.34   −33.96 1.56   −20.29 28.81 −7.12   29030 18.02  =  −618.42 −1.06      −7.12 3.38   29781 17.95  2998.18 0.83   3.54

Para recuperar los parámetros de la forma estructural a partir de las estimaciones MCO de la forma reducida, hay que resolver el siguiente sistema:

α11β 21 − α 21β11 α11 − α 21 π 11 π 12 π 13   = π   21 π 22 π 23   β 21 − β11 α11 − α 21 

−α 21β12 − β12

α11 − α 21

α11β 23 β 23

α11 − α 21

α11  −α 21  α α α α − −    − β11 − β12 11 21 11 21 ˆ ' = −Γ B = − Π  −1  −β 0 1  21  α −α α11 − α 21  11 22  −1



α11 − α 21 

α11 − α 21

  

0  − β 23 

Es decir:

α11β 21 − α 21β11 α11 − α 21  −33.96 −618.42 2998.18  =  1.56  −1.06 0.83   β 21 − β11  α11 − α 21  Los parámetros α 11 y α 21 se obtienen de forma inmediata:

siendo

α11 − α 21 = 3028.85 .

α11 =

2998.18 = 3612.27 0.83

α 21 =

−618.42 = 583.42 −1.06

−α 21β12 − β12

α11 − α 21

α11 − α 21

α11β 23 β 23



α11 − α 21 

α11 − α 21

  

La recuperación de los parámetros β 12 y β 23 resulta inmediata a partir de los resultados anteriores:

β12 = −( −1.06 ⋅ 3028.85) = 3210.58 β 23 = 0.83 ⋅ 3028.85 = 2513.95 Por su parte, la estimación de β 11 y β 21 se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

 −33.96 ⋅ 3028.85 = −583.42 β11 + 3612.27 β 21  1.56 ⋅ 3028.85 = − β11 + β 21 cuya solución es β11 = −5669.09 y β 21 = −944.09

8.2.2. Estimación de Haavelmo de la propensión marginal al

consumo por MCI

Veamos cómo se calcularía la propensión marginal al consumo en el contexto del modelo macroeconómico keynesiano. Dicho modelo, en su versión más sencilla viene dado por el siguiente sistema de ecuaciones:

Ct = β10+α11Yt+ut Yt = Ct + It

donde Ct es el consumo, It es la inversión e Yt la renta nacional.

Expresando el modelo en términos matriciales queda que:

 1 −α11  Ct   − β10 +  −1 1   Yt   0 

0   1   ut  = −1  I t   0 

Siendo su forma reducida: Ct=π10+π11It Yt=π20+π21It

Teniendo en cuenta que:

 1 1 − α  1 −α11  11  −1 1  =  1    1 − α 11  −1

α11  1 − α11 

 1  1 − α11 

Entonces:

π 10 π  20

 1 1 − α π 11  11 = −  π 21   1 1 − α 11 

α11  1 − α11   − β10  1   0 1 − α11 

0 −1

Lo que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

β 10 1 − α 11 β π 20 = 10 1 − α 11 α π 11 = 11 1 − α 11

π 10 =

π 21 =

1 1 − α 11

Por lo que la propensión marginal al consumo puede calcularse a partir de la siguiente relación:

αˆ 11 =

πˆ11 πˆ 21

Utilizando este modelo, vamos a estimar la propensión marginal al consumo en España. Para ello utilizaremos las series de la Contabilidad Nacional Trimestral Española relativas a Consumo Nacional, Formación Bruta de Capital y Demanda Interna para el periodo 1970-1998, cuya matriz de productos cruzados en miles de millones de euros se presenta en la siguiente tabla: Demanda Interna

Consumo Nacional

8480

6546 5055

Demanda Interna (Yt) Consumo Nacional(Ct) Formación Bruta de Capital (It)

Formación Bruta de Capital 1934 1490 444

Asimismo, las sumas totales en miles de millones de euros de cada variable son:

∑Y = 967 ∑ C = 747 ∑ I = 221 t

t

t

La estimación MCO del modelo en forma reducida es:

πˆ 11 πˆ 21   n πˆ =  12 πˆ 22  ∑ X

−1

∑ X   ∑ Y ∑ Y  ∑ X  ∑ Y X ∑ Y X  1

2

2

1

2

−1

πˆ11 πˆ21  116 221  967 747  0.7262 0.8930 πˆ =   =   12 πˆ22   221 444 1934 1490 3.9944 2.9114  Que daría lugar a la siguiente estimación de la propensión marginal a consumir:

αˆ11 =

2.9114 = 0.7289 3.9944

8.3.

VARIABLES INSTRUMENTALES (VI)

Como ya sabemos, la utilización de MCO para estimar modelos de ecuaciones simultaneas proporciona estimadores sesgados e inconsistentes, ya que en este tipo de ecuaciones existe correlación entre los regresores o variables exógenas y las perturbaciones.

Así, por ejemplo, partiendo de la primera ecuación del modelo general de ecuaciones simultaneas: α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t t=1,…,T

Y dividiendo todos los términos de la ecuación por α11, obtenemos: Y1t+γ12Y2t +…γ1nYnt + δ11X1t+ δ12X2t+…+δ1mXmt =v1t t=1,…,T

(8.6)

Donde :

γ 1i = α 1i α

i=2,..,n , 11

δ 1i = β1i α

i=1,..,m , y 11

v1t =

u1t

α 11

t=1,…,T

Podemos poner la ecuación (8.6) en forma matricial:

 Y11   Y21 Y   Y  12   22  . = .     .   . Y1T  Y2T

.. Yn1

X 11

X 21

..

.. Yn 2 .. .

X 12 .

X 22 .

.. ..

.

.

..

X 1T

X 2T

..

..

.

.. YnT

 γ 12  X m1   .   v11    X m 2   γ 1n   v12      .   δ11  +  .     .   δ12   .    X mT   .   v1T  δ   1m 

O también:

[ y1 ] = [Y1

El estimador MCO de (8.7) será:

γ  X ]  + [v1 ] δ 

(8.7)

γˆ   Y1  δˆ  =   [Y1    X 

−1

 Y  X ]  1 [ y1 ]  X   

Operando, tenemos que:

γˆ   Y1 δˆ  =      X

 [Y1 

 Y  =   1  [Y1  X  

−1

 Y  X ]  1  [Y1  X     X ]  

γ   Y  =   +   1  [Y1 δ    X 

−1

 Y1  Y   X  [ 1  

 γ  X ]   + [vi ] δ    γ   Y  X ]    +   1  [Y1    δ    X 

−1

 Y v  X ]  1 1     Xv1 

−1

 Y v  X ]  1 1     Xv1 

Dado que Y1 y v1 están correlacionados, al tomar esperanzas resulta que:

 Y  γˆ  γ   E  ˆ  =   + E   1 [Y1  δ  δ    X 

−1  Y1v1   γ  X ]  ≠  Xv   δ    1    

En definitiva, la correlación que existe entre las matrices Y1 y v1 es la que provoca que la estimación MCO de la ecuación (8.6) proporcione estimadores que no satisfagan las propiedades de consistencia e insesgadez.

Dado que los problemas de estimación vienen dados por la correlación existente entre las matrices Y1 y v1, para eliminar dichos problemas es necesario disponer de otra matriz, Z*, denominada matriz de variables instrumentales, que deberá incluir como mínimo tantas variables como columnas tenga la matriz Y1 y cumplir dos condiciones: −

Las variables que contiene esta nueva matriz deben estar correlacionadas con las variables incluidas en Y1.

−

La correlación entre las variables que aparecen en Z* y v1 ha de ser nula.

Tal y como vimos en el capítulo 4, en los modelos uniecuacionales las variables instrumentales son variables ajenas al modelo, altamente correlacionadas con la variable que sustituyen como explicativa e independientes a su vez de la perturbación aleatoria. En el caso de los modelos de ecuaciones simultaneas, cabe la posibilidad de seleccionar variables instrumentales de entre las variables exógenas y predeterminadas que no han sido incluidas en la ecuación que se estima. Asimismo, hay que tener presente que el número de variables instrumentales no debe ser menor que el número de variables endógenas que aparecen como explicativas.

Veamos a continuación cómo estimar una ecuación por variables instrumentales. Sea una matriz de variables instrumentales Z* de la forma:

 Y21*  *  Y22 * Z = .   . Y2*T

.. Yn*1

X 11

X 21

..

* n2

X 12

X 22

..

. .

. .

.. ..

X 1T

X 2T

..

.. Y .. ..

. .

.. YnT*

X m1   X m2  .   .  X mT 

* donde los instrumentos Y1 están correlacionados con Y1 pero no con el término de error v1.

Expresando la matriz de variables instrumentales en términos matriciales:

[

Z * = Y1*

X

]

y premultiplicando la expresión (8.7) por Z*’ se obtiene:

Y1*  Y1*  = y [ ]   1   [Y1 X  X 

γ  Y *  X ]·  +  1  [ v1 ] δ   X 

De donde se obtiene el Estimador de Variables Instrumentales (VI):

γˆ   Y1*  δˆ  =   [Y1    X 

−1

 Y1*  X ]  [ y1 ]  X   

Si denominamos Z = [Y1

X ] , tenemos entonces que:

γˆ  −1 B =   = ( Z * ' Z )  Z * ' y1  ˆ δ  La matriz Z* de instrumentos deberá cumplir las siguientes propiedades asintóticas:

•

 Z *'Z   = ∑ Z *' Z es una matriz no singular que indica la existencia de p lim  T  correlación entre las endógenas y sus instrumentos.

•

 Z *'Z *   = ∑ Z *' Z ** es una matriz simétrica definida positiva p lim  T 

•

 Z * ' v1   = 0 que expresa la ausencia de correlación entre los p lim  T  instrumentos y el término de perturbación.

Si se verifican estas condiciones, entonces el estimador VI es consistente (aunque no es insesgado), siendo su matriz de varianzas y covarianzas:

cov( B ) = σˆ v21 ( Z * ' Z )

2 Siendo σˆ v1 =

( y1 − ZB ) '( y1 − ZB ) T −k

−1

(Z

*

−1 ' Z * )  ( Z * ' Z )   

'

No obstante hay que tener presente la indeterminación que la estimación VI provoca en modelos simultáneos con ecuaciones sobreidentificadas. Por ejemplo, consideremos el siguiente modelo en el que la primera ecuación está sobreidentificada:

Y1t+α21Y2t+β11X1t=u1t α12Y1t+Y2t+β22X2t + β23X3t =u1t

Para estimar la primera ecuación por VI podemos utilizar como instrumento de Y2t las variables exógenas X2t ó X3t , de tal forma que Z* puede ser:

 X 21 X * Z a =  22  M   X 2T

X 11  X 12   M   X 1T 

 X 31 X * Z b =  32  M   X 3T

X 11  X 12   M   X 1T 

* * Por lo que las estimaciones VI obtenidas utilizando la matriz Z a y Z b serán diferentes.

8.3.1. Estimación una función keynesiana de consumo por VI Se parte de nuevo del modelo macroeconómico Keynesiano de la renta de equilibrio:

Ct = α+βYt Yt = Ct + It

donde Ct es el consumo, It es la inversión e Yt la renta nacional.

Se utiliza It como instrumento en la estimación de Ct, de forma que las matrices de variables endógenas, exógenas e instrumentos serán:

 C1  C  y1 =  2   .    CT  1 1 Z = .  1

Y1  Y2   .   YT 

1 1 Z* =  .  1

I1  I2   .  IT 

Con las que calculamos:

  T * Z 'Z =  T  ∑ It  t =1

  t =1  T  I tYt  ∑ t =1  T

∑Y

t

 T   ∑ Ct  t =1  Z * ' y1 =  T    ∑ I t Ct   t =1    T Z* ' Z* =  T  ∑ It  t =1

  t =1  T 2 It  ∑ t =1  T

∑I

t

Con los datos de las series de la Contabilidad Nacional Trimestral Española utilizados en el ejemplo anterior, la estimación de los coeficientes por VI es: −1

116 967   747   0.3636  B=   =   221 1934  1490 0.7289  De forma que la estimación VI de la función de consumo resulta ser: Ct = 0.3636 + 0.7289Yt

Si la suma residual del modelo es 3.17, tenemos que la varianza del error de estimación es:

σ v2 = 1

( y1 − ZB ) '·( y1 − ZB ) 3.17 = = 0.028 T −k 116 − 2

Con lo que la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es: −1

−1 ' 116 967  116 221 116 967  σˆ ( Z ' Z ) ( Z ' Z )  ( Z * ' Z )  = 0.028         221 1934   221 444   221 1934   0.1856 −0.0929  = 0.028    −0.0058 0.0030  2 v1

*

−1

*

*

−1

=

Para contrastar si la propensión marginal al consumo es significativamente distinta de cero, necesitamos su desviación típica tal que:

DesvTip( βˆ ) = 0.028 × 0.0030 = 0.0092 Dado que la desviación típica es σ β = 0.0092, el estadístico t es:

t=

βˆ 0.7289 = = 79.23 σ β 0.0092

Valor sensiblemente superior a 1.645, valor tabulado para una distribución t de Student con 114 grados de libertad al 95% de confianza. Resultado que confirma que el parámetro βˆ es significativamente distinto de cero, por ser mayor que el valor de teórico de una t de Student (ttco=1.980) con 112 grados de libertad con un nivel de confianza del 95%. A su vez la varianza del parámetro α es:

Var (αˆ ) = 0.028 ⋅ 0.1798 = 0.00503 Al ser la desviación típica σ α = 0.07 ; el estadístico t es, por tanto:

t=

αˆ 0.26 = = 3.61 σ α 0.07

por lo que αˆ resulta también estadísticamente significativo.

8.4.

MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MC2E)

El método denominado Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E), al igual que los métodos de Mínimos Cuadrados Indirectos y Variables Instrumentales, intenta dar una solución al problema de la inconsistencia de los estimadores MCO en los sistemas de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, este método presenta la ventaja adicional de que puede utilizarse tanto en ecuaciones exactamente identificadas como sobreidentificadas.

En particular, en el caso de las ecuaciones sobreidentificadas, la aplicación del método MC2E ofrece un único valor para cada parámetro, que puede considerarse una combinación lineal de los diversos estimadores que se obtendrían aplicando MCI. Por su parte, si se utiliza MC2E en ecuaciones exactamente identificadas se obtiene la misma estimación que con los métodos MCI y VI.

El método MC2E, como su propio nombre indica, consta de dos etapas: −

En una primera etapa, para eliminar la correlación existente entre la(s) variable(s) endógena(s) y el término de error, se realiza la regresión de la(s) variable(s) endógena(s) sobre todas las variables predeterminadas del modelo.

−

Posteriormente, en una segunda etapa las regresiones efectuadas en la primera etapa se utilizan para sustituir las variables endógenas de la ecuación inicial por los valores estimados en la primera etapa. Seguidamente se estima la relación original con los nuevos valores.

Por ejemplo, si partimos de un modelo de ecuaciones simultáneas con dos variables endógenas Y1, Y2, y cuatro variables exógenas X1 , X2, X3, X4, la estimación por MC2E de la siguiente ecuación del modelo:

Y2t = α 21Y1t + β 20 + β 23 X 3t + β 24 X 4t + u 2t Requiere en la primera etapa estimar:

Y1t=π10+π11X1t+π12X2t+π13X3t+π13X3t+v1t

De tal forma que:

Y1t = Yˆ1t + v1t En la segunda etapa se reemplaza Y1t por los valores estimados en la etapa anterior Yˆ1t , quedando ahora la ecuación original como:

Y2t = α 21 (Yˆ1t + v1t ) + β 20 + β 23 X 3t + β 24 X 4t + u 2t Y2t = α 21Yˆ1t + β 20 + β 23 X 3t + β 24 X 4 t + α 21v1t + u 2t Y2t = α 21Yˆ1t + β 20 + β 23 X 3t + β 24 X 4 t + u 2*t La estimación de esta ecuación nos asegura la consistencia de las estimaciones MCO, al no estar correlacionada Yˆ1t con Y2t y a la vez sí estar muy correlacionada con X3 y X4 .

El método MC2E puede también resolverse de forma matricial: supongamos que la relación iésima del modelo es: yi =Yjαj + Xjβj+uj

donde yi es el vector de la variable endógena, Yj es la matriz de las variables endógenas predeterminadas y Xj es la matriz de las variables exógenas de la ecuación. Entonces los estimadores MC2E del modelo se obtienen resolviendo:

α$ j  $  β

siendo:

Y$j = X ( X ' X ) −1 X ' Yj Yˆj'Yˆj = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' Y j Yˆj' y j = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' yi Yˆj ' X j = Y j ' X j

  Y$ ' j Y$j =  $ j   X ' j Yj

−1 Y$ ' j X j   Y$ ' j yi     X ' j X j   X ' j yi 

(8.8)

Donde X es la matriz de todas las variables exógenas del modelo.

Así, por ejemplo en la estimación MC2E del modelo: y1=α11y2+β11x1+u1 y2=α11y1+β22x2+β23x3+u2

Hay que estimar la primera relación del modelo, teniendo presente que yi=y1 , Yj=y2 y Xj=x1

Y' j X =

[∑ y x ∑ y x ∑ y x ] 2 1

 ∑ x12  X ' X =  ∑ x 2 x1 ∑ x x 3 1 

2

2

3

∑xx ∑xx ∑x ∑xx ∑xx ∑x 1 2 2 2

3 2

  2 3 2  3  1 3

∑x = ∑x y

X'j X j = X ' j yi

2

2 1

1 1

Para estimar la segunda ecuación del modelo hay que tener presente que yi=y2 , Yj=y1 y

X j = [x 2

x3 ]

Y ' j X =  ∑ y1 x1  ∑ x22 X 'j X j =   ∑ x2 x3

∑ y x ∑ y x  ∑ x x  ∑x  1 2

1 3

2 3 2 3

 ∑ x2 y 2  X ' j yi =    ∑ x3 y2 

Los errores asociados a los coeficientes se calculan a través de la formulación asintótica de la matriz de covarianzas para muestras finitas, es decir:

αˆ j  Y j '( X ' X ) −1 X ' Y j 2 Var   = σˆ j  ˆ X j 'Y j   β j 

Yj ' X j   X j ' X j

−1

(8.9)

siendo:

( y − αˆ Y =

σˆ 2j

i

j

ˆ j − βjX j

) ( y − αˆ Y '

i

j

j

− βˆ j X j

T −k

)

es decir, la suma residual del modelo dividida por los grados de libertad de la ecuación que se estima (número de observaciones menos número de parámetros que se estiman).

8.4.1. Estimación de un modelo de gastos e ingresos por MC2E Supongamos que una empresa pretende conocer la evolución de sus ingresos (ING), teniendo en cuenta los gastos de explotación (GAS), el capital invertido (SK), el número de trabajadores (L) y un índice de actividad económica (ACT). Para ello, plantea el siguiente modelo de ecuaciones simultáneas expresado en desviaciones con respecto a la media:

INGt = a1GASt + a2SKt +a3Lt + ut GASt = b1INGt + b2ACTt

+ vt

Para estimar el modelo la empresa dispone de la siguiente matriz de sumas de productos cruzados de las variables del modelo:

ING GAS SK L ACT

ING

GAS

SK

L

ACT

11.25

-5.63

-11.25

22.50

-5.63

-5.63

90.00

-5.63

22.50

-4.50

-11.25

-5.63

11.25

5.00

7.00

22.50

22.50

5.00

22.50

2.00

-5.63

-4.50

7.00

2.00

11.25

Aplicando las condiciones de orden y rango tenemos que:

Condición de Orden 1ª ecuación

Variables excluidas = 1 = 2–1

Ecuación Exactamente Identificada

2ª ecuación

Variables excluidas = 2 > 2–1

Ecuación Sobreidentificada

Condición de Rango

1ª Ecuación 2ª Ecuación

ING 1

GAS

SK

L

a1

a2

a3

ACT 0

b1

1

0

0

b2

1ª ecuación

Rang[b2] = 1 = 2–1

Ec. Identificada

2ª ecuación

Rang[a2] = Rang[a3] = 1 = 2–1

Ec. Identificada

La presencia de una ecuación sobreidentificada provoca que los métodos MCI y VI no sean válidos para estimar el modelo completo por lo que debemos recurrir al método de Mínimos Cuadrados en 2 Etapas, obteniendo estimaciones consistentes y únicas para cada parámetro.

1ª Ecuación En la primera etapa debemos eliminar la correlación existente entre la variable GASt y el término de error regresando dicha variable sobre todas las variables predeterminadas del modelo. Es decir, debemos estimar por MCO la relación:

GASt = π 1SK t + π 2 Lt + π 3 ACTt + et Cuya estimación resulta ser:

 πˆ1   11.25 5.00 7.00   πˆ  = ( X ' X ) −1 X ' Y =  5.00 22.50 2.00   2    πˆ   7.00 2.00 11.25   3  

−1

 −5.63   −2.17  · 22.50  =  1.33       −4.50   1.74 

Por lo que la relación estimada es:

GASt = −2.17 SK t + 1.33Lt + 1.74 ACTt + et En la segunda etapa de la estimación por MC2E debemos trasladar el resultado de la estimación en la primera etapa de GASt, sustituyéndola en la ecuación que deseamos estimar por el valor original de dicha variable; es decir:

INGt = a1 GAS t + a2 SK t + a3 Lt + ut

La estimación MCO de dicha ecuación es:

2  GAS t ∑ a  1   a  = ( X ' X ) −1 X ' Y =  SK GAS ∑ t t  2  a   ∑ Lt GAS t  3 

−1

∑ GAS SK ∑ GAS L   ∑ GAS ING    ∑ SK ∑ SK L   ∑ SK ING    ∑ L SK ∑ L   ∑ L ING  t

t

t

2 t

t

t

t

t

t

t

2 t

t

t

t

t

t

Antes de proceder a operar con las matrices anteriores, debemos obtener los productos cruzados relacionados con la variable GAS t tal que:

∑ GAS

2 t

= ∑ ( −2.17 SK t + 1.33Lt + 1.74 ACTt )

2

= ( −2.17)2 ∑ SK t2 + (1.33)2 ∑ L2t + (1.74)2 ∑ ACTt 2 −2·2.17·1.33∑ SK t Lt − 2·2.17·1.74∑ SK t ACTt + 2·1.33·1.74 ∑ Lt ACTt = 33.67  ∑ SK t2    ∑ GAS t SKt = ∑ SKt GAS t = ( −2.17 1.33 1.74)· ∑ Lt SKt   ∑ ACTt SK t     11.25  = ( −2.17 1.33 1.74)· 5.00  = −5.63  7.00     ∑ SK t Lt    ∑ GAS t Lt = ∑ Lt GAS t = (−2.17 1.33 1.74)· ∑ L2t   ∑ ACTt Lt     5.00  = ( −2.17 1.33 1.74)· 22.50  = 22.5  2.00     ∑ SK t INGt    ∑ GAS t INGt = ( −2.17 1.33 1.74)· ∑ Lt INGt   ∑ ACTt INGt     −11.25  = ( −2.17 1.33 1.74)· 22.50  = 39.69  −5.63   

Sustituyendo los valores tenemos que:

 a1   33.67 −5.63 22.5   a  =  −5.63 11.25 5   2   a   22.5 5 22.50   3 

−1

 39.69   6.09   −11.25  =  4.78       22.50   −6.15     

Alternativamente podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así, denominando yi=INGt, Yj=GASt y Xj=[SKt Lt] tenemos que:

Y ' j X =  ∑ GASt SK t  ∑ SKt2 X 'j X j =   ∑ SK t Lt

∑ GAS L ∑ GAS ACT  ∑ SK L  ∑L  t

t

t

t

t t 2 t

 ∑ SK t INGt  X ' j yi =    ∑ Lt INGt  Por tanto:

Yˆj'Yˆj = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' Y j '

 ∑ SK t GASt   ∑ SK t2    =  ∑ Lt GASt  · ∑ SK t Lt     ∑ ACTt GASt   ∑ SK t ACTt

−1

∑ SK L ∑ SK ACT   ∑ SK GAS  ∑L ∑ L ACT  · ∑ L GAS  = 33.67 ∑ L ACT ∑ ACT   ∑ ACT GAS  t t 2 t

t

t

t

t

t

t

t

t

2

t

t

t

t

t

 ∑ SK t GASt   −5.63  Yˆj' X j = Y j ' X =  =  L GAS ∑ t t    22.50   ∑ SK t2 X 'j X j =   ∑ SK L t t 

∑ SK L  = 11.25 ∑ L   5.00 t t 2 t

5.00  22.50 

Yˆj' y j = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' y j '

 ∑ SK tGASt   ∑ SK t2    =  ∑ LtGASt  · ∑ SK t Lt     ∑ ACTtGASt   ∑ SK t ACTt  ∑ SK t INGt   −11.25  X 'j y j =  =   ∑ Lt INGt   22.50 

−1

∑ SK L ∑ SK ACT   ∑ SK ING  ∑L ∑ L ACT  · ∑ L ING  = 39.69 ∑ L ACT ∑ ACT   ∑ ACT ING  t t 2 t

t

t

t

t

t

t

t

t

2

t

t

t

t

t

Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:

 a1  ˆ ˆ  a  =  Y ' j Yj   2   X ' Yˆ a   j j  3

−1

−1  33.67 −5.63 22.50   39.69   6.09  Yˆ ' j X j   Yˆ ' j yi           =  −5.63 11.25 5.00   −11.25  =  4.78    X ' y X 'j X j   j i         22.50 5.00 22.50   22.50   −6.15 

2ª Ecuación En la primera etapa debemos eliminar la correlación existente entre INGt y el término de error regresando dicha variable sobre todas las variables predeterminadas del modelo. Es decir, debemos estimar por MCO la relación:

INGt = π 1SK t + π 2 Lt + π 3 ACTt + et Cuya estimación resulta ser:

 πˆ1   11.25 5.00 7.00   πˆ  = ( X ' X ) −1 X ' Y =  5.00 22.50 2.00   2    πˆ   7.00 2.00 11.25   3  

−1

 −11.25   −1.87  · 22.50  =  1.38       −5.63   0.42 

Por lo que la relación estimada es:

INGt = −1.87 SK t + 1.38 Lt + 0.42 ACTt + et En la segunda etapa de la estimación por MC2E debemos trasladar el resultado de la estimación en la primera etapa de INGt, sustituyéndola en la ecuación que deseamos estimar por el valor original de dicha variable; es decir:

GASt = b1 ING t + b2 ACTt + vt La estimación MCO de dicha ecuación es:

2  ING t  b1  ∑ −1    = ( X ' X ) X 'Y =   b2   ∑ ACTt ING t

∑ ING t ACTt  ∑ ACTt 2 

−1

 ∑ ING tGASt     ∑ ACTtGASt 

Antes de proceder a operar con las matrices anteriores, debemos obtener los productos cruzados relacionados con la variable ING t tal que:

∑ ING = ∑ ( −1.87SK + 1.38L + 0.42 ACT ) = ( −1.87) ∑ SK + (1.38) ∑ L + (0.42) ∑ ACT −2·1.87·1.38∑ SK L − 2·1.87·0.42 ∑ SK ACT + 2·1.38·0.42∑ L ACT  ∑ SK ACT    ∑ ING ACT = ∑ ACT ING = ( −1.87 1.38 0.42)· ∑ L ACT   ∑ ACT    2 t

2

t

2

2 t

t

2

t

t

2 t

2

2

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

= 49.76

t

t

t

2

t

 7.00  = ( −1.87 1.38 0.42)· 2.00  = −5.63  11.25     ∑ SK t GASt    ∑ ING t GASt = ( −1.87 1.38 0.42)· ∑ LtGASt   ∑ ACTt GASt     −5.63  = ( −1.87 1.38 0.42)· 22.50  = 39.69  −4.50   

Sustituyendo los valores tenemos que: −1

 b1   49.76 −5.63   39.69   0.7975   b  =  −5.63 11.25   −4.50  =  −0.0001       2  También podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así, denominando yi=GASt, Yj=INGt y Xj=[ACTt] tenemos que:

Y ' j X =  ∑ INGt SK t

∑ ING L ∑ ING ACT 

X ' j X j =  ∑ ACTt  2

X ' j yi =  ∑ ACTt GASt 

t

t

t

t

Por tanto:

Yˆj'Yˆj = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' Y j '

 ∑ SK t INGt   ∑ SK t2    =  ∑ Lt INGt  · ∑ SK t Lt  ∑ ACT ING   ∑ SK ACT t t  t t 

−1

∑ SK L ∑ SK ACT   ∑ SK ING  ∑L ∑ L ACT  · ∑ L ING  = 49.76 ∑ L ACT ∑ ACT   ∑ ACT ING  t t 2 t

t

t

t

t

t

t

t

t

2

t

t

t

t

t

Yˆj' X j = Y j ' X = ( ∑ ACTt INGt ) = ( −5.63)

X 'j X j = ∑ ACTt 2 = 11.25

Yˆj' y j = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' y j '

 ∑ SK t INGt   ∑ SK t2    =  ∑ Lt INGt  · ∑ SK t Lt  ∑ ACT ING   ∑ SK ACT t t  t t 

−1

∑ SK L ∑ SK ACT   ∑ SK GAS  ∑L ∑ L ACT  · ∑ L GAS  = 39.69 ∑ L ACT ∑ ACT   ∑ ACT GAS  t t 2 t

t

t

t

t

t

t

t

t

2

t

t

t

t

t

X 'j y j = ∑ ACTtGASt = −4.50 Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:

 b1   Yˆ ' j Yˆj  b  =   2   X ' j Yˆj

8.5.

Yˆ ' j X j   X ' j X j 

−1

−1  Yˆ ' j yi   49.76 −5.63   39.69   0.7975  = =  X ' y   −5.63 11.25   −4.50   −0.0001  j i

MODELOS RECURSIVOS

En el epígrafe 8.2. se ha mostrado como los estimadores MCO producen estimadores sesgados e inconsistentes en los modelos de ecuaciones simultaneas, debido a la relación entre la perturbación aleatoria y las variables explicativas endógenas. En este apartado vamos a analizar un caso especial de los modelos de ecuaciones simultáneas en el que MCO sí proporciona estimadores insesgados y eficientes: se trata de los modelos recursivos.

Estos modelos deben satisfacer una serie de restricciones:

−

La matriz de coeficientes de las variables endógenas del sistema, Γ, debe ser triangular.

Así, en el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas: α11Y1t

+β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t

α21Y1t+α22Y2t

+ β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t.

α31Y1t+α32Y2t+α33Y2t

+ β31X1t+ β32X2t+…+β3mXmt =u2t.

. .

αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt.

Se observa que la triangularidad existe, ya que la matriz Γ tiene la siguiente forma:

0 α 11 α  21 α 22 Γ = α 31 α 32  .  . α n1 α n 2

−

0 0

α 33 .

α n3

0  0  ... 0   ... 0  ... α nn  ... ...

Las perturbaciones o términos de error de cada una de las ecuaciones del sistema no están correlacionadas con las variables endógenas que aparecen como explicativas en dicha ecuación; tampoco lo están con las perturbaciones de otras ecuaciones ni en el mismo periodo de tiempo (correlación contemporánea) ni en periodos de tiempo distintos. Esta propiedad implica que la matriz de covarianzas de las perturbaciones aleatorias debe ser diagonal, tal que:

σ 1 0 0 σ 2  ∑=0 0  . .  0 0

0 0

σ3 . 0

0 0  ... 0   ... 0  ... σ n  ... ...

Para identificar un modelo recursivo hay que realizar una ordenación previa de las ecuaciones, de manera que la primera ecuación tenga sólo una variable endógena; la segunda ecuación deberá

tener dos variables endógenas, siendo una de ellas la endógena de la ecuación anterior; la tercera ecuación tendrá sólo tres variables endógenas, pero dos de ellas deberán ser las de las ecuaciones anteriores, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.

La estimación de los modelos recursivos no plantea especiales problemas, ya que la segunda condición de recursividad garantiza que las variables explicativas de cada ecuación estarán incorrelacionadas con el término de error de esa misma ecuación, lo que permite estimar el modelo aplicando MCO a cada ecuación.

La reordenación de ecuaciones determina que la primera ecuación tenga una variable endógena (y ninguna variable endógena actuando como predeterminada), el conjunto de variables exógenas y la perturbación aleatoria. Como las variables exógenas no están correlacionadas con el término de error se puede aplicar MCO, obteniéndose estimadores insesgados y consistentes.

En la segunda ecuación y posteriores las variables endógenas de las ecuaciones previas tienen la consideración de variables predeterminadas, por lo que se da una completa independencia entre los regresores y las perturbaciones, permitiendo la adecuada estimación de cada ecuación por MCO sin problemas de inconsistencia e insesgadez.

La naturaleza de los modelos recursivos determina que en éstos no exista el problema de tener que identificar cada una de sus ecuaciones, es decir, una vez identificado el modelo como recursivo se procede a estimar ecuación por ecuación sin tener que realizar la identificación individual de las ecuaciones del modelo.

8.5.1. Estimación de un Modelo Recursivo de Determinación de

Precios y Salarios Sea el siguiente modelo de determinación de precios y salarios: Pt=b10+b11Wt-1+b12Lt+u1t Wt= b20+b11Ut+b12Pt+u2t

Donde Pt es el incremento anual de precios, Wt la tasa de cambio de los salarios por ocupado, Lt la tasa de variación de la productividad laboral y Ut la tasa de desempleo.

El modelo es recursivo, ya que la matriz

1 Γ= b12

0 es triangular. Asumiendo que 1 

Cov(u1t,u2t)=0, puede estimarse el modelo aplicando MCO ecuación por ecuación. Para ello, se utilizan los siguientes datos relativos a la economía española para el periodo 1981-2002:

% Var. Anual Productividad (Lt)

Tasa de Paro (Ut)

Periodo

% Var. Deflactor PIB (Pt)

14.14%

% Var. Salarios Medios por Ocupado (Wt) 18.21%

% Var. Anual Productividad (Lt)

7.09%

% Var. Salarios Medios por Ocupado (Wt) 11.46%

1.64%

13.38%

199103

13.49%

15.25%

1.67%

13.64%

199104

2.93%

16.33%

5.05%

7.86%

3.51%

16.93%

198103

13.49%

12.56%

1.91%

14.11%

199201

4.47%

10.89%

1.05%

17.40%

198104

13.20%

10.62%

1.87%

198201

13.02%

12.87%

3.48%

14.99%

199202

4.35%

10.32%

2.25%

17.71%

15.51%

199203

4.38%

4.92%

2.39%

18.27%

198202

12.14%

16.35%

2.41%

15.33%

199204

4.90%

4.15%

1.54%

20.03%

198203

11.72%

198204

10.88%

13.99%

1.77%

15.93%

199301

3.98%

3.93%

4.27%

21.69%

12.68%

2.26%

16.61%

199302

4.03%

4.34%

3.88%

22.17%

198301 198302

10.98%

15.09%

4.49%

17.28%

199303

3.90%

2.71%

2.22%

22.87%

11.47%

12.05%

5.10%

16.88%

199304

3.64%

3.74%

0.71%

23.83%

198303

10.81%

9.78%

5.36%

17.18%

199401

5.01%

2.90%

0.76%

24.55%

198304

10.27%

6.55%

5.54%

17.97%

199402

5.31%

4.32%

0.03%

24.22%

198401

9.03%

8.32%

3.57%

19.6%

199403

4.82%

3.46%

-0.33%

23.80%

198402

8.20%

9.15%

3.56%

19.67%

199404

4.63%

4.00%

1.02%

23.90%

198403

8.73%

10.05%

2.58%

19.97%

199601

3.77%

3.88%

1.44%

23.49%

198404

8.44%

8.70%

1.76%

21.08%

199602

3.46%

4.73%

2.45%

22.70%

198501

10.87%

11.42%

0.89%

21.50%

199603

3.52%

5.23%

1.40%

22.65%

198502

10.80%

10.49%

1.33%

21.53%

199604

3.35%

4.18%

-0.19%

22.76%

198503

10.92%

8.14%

-0.56%

21.30%

199701

2.98%

2.28%

-1.00%

22.92%

198504

10.92%

8.18%

-2.20%

21.48%

199702

1.88%

1.80%

-0.72%

22.26%

198601

6.22%

8.27%

-0.31%

21.65%

199703

2.19%

2.11%

-0.03%

21.82%

198602

6.05%

6.77%

-1.81%

21.02%

199704

2.24%

3.03%

1.55%

21.73%

198603

5.95%

7.10%

1.34%

20.59%

199801

1.78%

4.09%

0.55%

21.46%

198604

5.52%

6.37%

2.69%

20.64%

199802

2.84%

3.04%

0.06%

20.88%

198701

6.10%

8.61%

1.28%

21.01%

199803

2.72%

2.22%

0.60%

20.46%

198702

6.00%

9.64%

1.14%

20.2%

199804

2.24%

1.74%

-1.05%

20.22%

198703

5.90%

6.45%

1.21%

19.93%

199901

2.62%

2.18%

-0.96%

19.51%

198704

5.81%

5.88%

-0.51%

19.75%

199902

2.53%

2.75%

-0.26%

18.83%

198801

6.92%

6.92%

-0.09%

19.99%

199903

2.90%

2.49%

-0.25%

18.41%

198802

6.74%

6.56%

-0.52%

19.61%

199904

2.88%

3.40%

0.50%

18.09%

198803

7.14%

7.63%

-1.68%

19.04%

200001

3.15%

4.30%

2.15%

16.89%

198804

6.80%

8.08%

-0.68%

18.31%

200002

3.30%

3.89%

0.53%

15.49%

198901

7.15%

10.16%

-1.79%

18.26%

200003

3.61%

3.25%

-1.07%

15.29%

198902

7.40%

11.00%

-1.81%

17.26%

200004

3.85%

3.54%

-1.21%

15.32%

198903

7.33%

10.47%

-2.20%

16.56%

200101

3.89%

3.28%

-0.35%

14.89%

198904

7.35%

9.15%

1.54%

16.88%

200102

4.62%

4.00%

-0.41%

13.83%

199001

6.92%

9.73%

0.15%

16.76%

200103

4.08%

4.68%

0.18%

13.57%

199002

6.54%

10.13%

0.05%

16.25%

200104

4.06%

4.33%

0.25%

13.44%

199003

7.04%

10.23%

1.84%

15.85%

200201

3.96%

3.96%

-0.11%

10.87%

199004

7.29%

10.42%

-0.51%

16.09%

200202

4.21%

3.82%

-0.17%

10.35%

199101

7.56%

13.34%

3.89%

16.11%

200203

4.63%

3.81%

-0.09%

10.25%

199102

7.34%

13.53%

2.54%

15.88%

200204

4.74%

4.23%

0.46%

10.50%

Periodo

% Var. Deflactor PIB (Pt)

198101 198102

Fuente: Elaboración propia a partir de datos del INE.

Tasa de Paro (Ut)

La estimación de la ecuación de precios por MCO es: Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.84337111 Coeficiente de determinación R2 0.71127483 R2 ajustado 0.7040567 Error típico 0.01762477 Observaciones 83

Constante Crecimiento de los salarios medios por ocupado del trimestre anterior Crecimiento anual de la productividad

Coeficientes Error típico Estadístico t 0.01272847 0.00410008 3.104446 0.68870367 0.0541869 12.7097812 0.18542501

0.11484988

1.61449891

En consecuencia, la función de precios de la economía española es la siguiente: Pt=0.0127+0.6887Wt-1+0.1854Lt+u1t

Por su parte, la estimación de la ecuación de salarios ofrece los siguientes resultados: Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R2 R2 ajustado Error típico Observaciones

Término constante Crecimiento del deflactor PIB Tasa de desempleo

0.86580246 0.74961391 0.74335425 0.02010504 83

Coeficientes Error típico 0.03663072 0.01505487 1.00434242 0.07172996 -0.0015008 0.00069398

Estadístico t 2.43314844 14.0017142 -2.16258469

La función de salarios de la economía española quedaría como sigue: Wt= 0.0366–0.0015Ut+1.004Pt+u2t

En la que se puede apreciar como el aumento de la tasa de paro desacelera el crecimiento de los salarios en España.

8.6.

EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO EXACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MC2E

A continuación se presenta un ejemplo en el que se aplican todos los métodos de estimación presentados a lo largo del capítulo. Para ello, retomamos el ya conocido modelo de oferta y demanda clásico, en el que se ha omitido la variable Ft por no ser significativa, tal que: Qt=a1Pt+a2Rt+u1t Pt=b1Qt+b2Prt+u2t

La matriz de sumas de productos cruzados de las variables del modelo es la siguiente:

Q

P

R

Pr

Q

3.5

3

1

1

P

3

11.5

1

3

R

1

1

1

0

Pr

1

3

0

1

A fin de saber qué método de estimación es el más apropiado, procedemos a la identificación del modelo aplicando las condiciones de orden y rango:

Condición de Orden 1ª ecuación



2ª ecuación



Condición de Rango Q 1ª Ecuación 2ª Ecuación

1

b1

P a1 1

R a2 0

Pr 0 b2

1ª ecuación

Rang[b2] = 1 = 2–1

Ec. Identificada

2ª ecuación

Rang[a2] = 1 = 2–1

Ec. Identificada

Al estar ambas ecuaciones exactamente identificados podemos aplicar indistintamente los tres métodos descritos en el capítulo (MCI, VI, MC2E), ya que las estimaciones obtenidas por cualquiera de ellos serán iguales.

Mínimos Cuadrados Indirectos La forma reducida del modelo es:

Qt= π11Rt + π12Prt+e1t Pt= π21Rt + π22Prt +e2t

La estimación de los parámetros de la forma reducida es: −1

∑ R Pr   ∑ R Q ∑ R P  =  1 ∑ Pr   ∑ Pr Q ∑ Pr P   1

2  π 11 π 21   ∑ Rt ˆ Π' =   =   π 12 π 22   ∑ Rt Prt

t

t

t

2 t

t

t

t t

t

t

t

1 3 

A partir de los parámetros de la forma reducida, podemos recuperar los parámetros estructurales mediante la siguiente expresión:

ˆ = −B ΓΠ Por tanto:

 1  −b  1

− a1   1 1   a2 = 1   1 3   0

0 b2 

A partir de las matrices anteriores podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones:

1 − a1 = a2 1 − 3a1 = 0 1 − b1 = 0 3 − b1 = b2 Despejando los parámetros del sistema de ecuaciones anterior obtenemos que:

a1 = 0.33, a2 = 0.67 , b1 = 1, b2 = 2

Por lo que el modelo estimado es:

Qt = 0.33Pt + 0.67Rt+u1t Qt = Pt + 2Prt+u2t

Variables Instrumentales

1ª Ecuación Vamos a utilizar la variable Prt como instrumento de Pt para la estimación de la primera ecuación, por lo que las matrices de variables endógenas, exógenas e instrumentos serán, respectivamente:

 Q1  Q  y1 =  2   M    QT 

 P1 R1  P R  Z =  2 2 M M     PT RT 

 Pr1  Pr Z* =  2  M   PrT

R1  R2   M   RT 

A partir de dichas matrices podemos calcular:

 ∑ Prt Pt Z* ' Z =   ∑ Pt Rt

∑ Pr R  ∑R  t

t

2 t

 ∑ Prt Qt  Z * ' y1 =    ∑ RtQt 

Siendo la estimación de la primera ecuación: −1

−1  a1   3 0   1  0.33  * *  a  = ( Z ' Z )  Z ' y1  =  1 1   1 =  0.67         2

2ª Ecuación En este caso, se utiliza Rt como instrumento de Qt, siendo las matrices de variables endógenas, exógenas e instrumentos respectivamente:

 P1  P  y1 =  2  M    PT 

 Q1 Pr1   Q Pr  Z =  2 2  M M    QT PrT 

 R1 Pr1   R Pr  Z* =  2 2  M M     RT PrT 

Con las que podemos obtener:

 ∑ RtQt Z* ' Z =   ∑ Prt Qt

∑ R Pr  ∑ Pr  t

t

2 t

 ∑ Rt Pt  Z * ' y1 =    ∑ Prt Pt 

La estimación de la segunda ecuación resulta ser: −1

−1  b1  1 0   1   1  * *   = Z ' Z Z ' y = ( ) 1 b    1 1   3 =  2         2

Mínimos Cuadrados en 2 Etapas

1ª Ecuación Dado que ya hemos estimado la forma reducida del modelo al aplicar Mínimos Cuadrados Indirectos, aprovecharemos el resultado obtenido en ese apartado ya que en la primera etapa es necesario estimar:

Pt= π21Rt + π22Prt +e2t

La estimación dió el siguiente resultado:

Pt = Rt + 3Prt +e2t

En la segunda etapa debemos calcular:

 ∑ Pˆt 2  a1  −1  a  = ( X ' X ) X ' Y =  ˆ  2 t t  ∑ PR

ˆ ∑ PR ∑R t

t

2 t

   

−1

 ∑ Qt Pˆt   ∑ Qt Rt

  

Previamente debemos obtener los productos cruzados asociados a Pˆt :

∑ Pˆ t

2

= ( Rt + 3Prt )2 = 12 ∑ Rt2 +32 ∑ Prt2 + 2·1·3∑ Rt Prt = 10

 ∑ Rt2 ˆ ∑ Pt Rt = (1 3)  R Pr ∑ t t

∑ Q Pˆ t t

  = 1 

 ∑ RtQt  = (1 3)  =4  ∑ Prt Q 

La estimación de la primera ecuación resulta ser:

−1

 a1   10 1  4   0.33   =   =   a2   1 1  1   0.67  También podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así, denominando yi=Qt, Yj=Pt y Xj=[Rt] tenemos que:

Y ' j X =  ∑ Rt Pt

∑ Pr P  t

t

X ' j X j =  ∑ Rt2  X ' j yi =  ∑ RtQt  Por tanto:

Yˆj'Yˆj = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' Y j '

 ∑ Rt Pt   ∑ Rt2 =  · Pr P ∑ t t    ∑ Rt Prt

−1

∑ R Pr  · ∑ R P  = 10 ∑ Pr   ∑ Pr P  t

t t

t

2 t

t

t

Yˆj' X j = Y j ' X j = ( ∑ PR t t) =1

X 'j X j = ∑ Rt2 = 1

Yˆj' y j = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' y j '

2  ∑ PR t t   ∑ Rt =  ·  ∑ Prt Pt   ∑ Rt Prt

−1

∑ R Pr  · ∑ Q R  = 4 ∑ Pr   ∑ Pr Q  t

t

2 t

t

t

t

t

X 'j y j = ∑ RtQt = 1 Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:

 a1   Yˆ ' j Yˆj  a  =   2   X ' j Yˆj

Yˆ ' j X j   X ' j X j 

−1

−1

 Yˆ ' j yi   10 1  4   0.33  = =  X ' y   1 1  1   0.67   j i

2ª Ecuación Nuevamente utilizamos los resultados obtenidos al estimar la forma reducida al aplicar MCI, dado que ahora hay que estimar la siguiente relación:

Qt= π11Rt + π12Prt +e1t

Recordemos que el resultado que se obtuvo fue:

Qt = Rt + Prt +e1t

En la segunda etapa debemos calcular:

 ∑ Qˆ t2  b1  −1   = ( X ' X ) X ' Y =  ˆ  b2   ∑ Qt Prt

∑ Qˆ Pr ∑ Pr t

t

2 t

   

−1

 ∑ Qˆ t Pt   ∑ Prt Pt

  

Previamente debemos obtener los productos cruzados asociados a Pˆt :

∑ Qˆ

2 t

= ( Rt + Prt ) 2 = 12 ∑ Rt2 +12 ∑ Prt2 + 2·1·1∑ Rt Prt = 2

 ∑ Rt Prt ˆ Q Pr = (1 1)  ∑ t t 2  ∑ Prt

∑ Qˆ P t t

  = 1 

 ∑ Rt Pt  = (1 1)  =4 Pr P ∑ t t  

La estimación de la segunda ecuación es: −1

 b1   2 1  4   1   b  =  1 1  3  =  2        2 

Alternativamente podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así, denominando yi=Pt, Yj=Qt y Xj=[Prt] tenemos que:

Y ' j X =  ∑ RtQt

∑ Pr Q  t

t

X ' j X j =  ∑ Pr  2 t

X ' j yi =  ∑ Prt Pt  Por tanto:

Yˆj'Yˆj = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' Y j '

 ∑ RtQt   ∑ Rt2 =  · Pr Q ∑ t t    ∑ Rt Prt

−1

∑ R Pr  · ∑ R Q  = 2 ∑ Pr   ∑ Pr Q  t

t

t

2 t

t

t

t

Yˆj' X j = Y j ' X j = ( ∑ Qt Prt ) = 1

X 'j X j = ∑ Prt2 = 1

Yˆj' y j = Y j ' X ( X ' X ) −1 X ' y j '

 ∑ RtQt   ∑ Rt2 =  · Q Pr ∑ t t    ∑ Rt Prt

−1

∑ R Pr  · ∑ R P  = 4 ∑ Pr   ∑ Pr P  t

t

2 t

t t t

t

X 'j y j = ∑ Prt Pt = 3 Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:

 b1   Yˆ ' j Yˆj  =  b2   X ' j Yˆj

Yˆ ' j X j   X ' j X j 

−1

−1  Yˆ ' j yi   2 1  4   1  = =  X ' y   1 1  3   2  j i  

Como puede comprobarse, las estimaciones obtenidas por los tres métodos coinciden al estar las ecuaciones del modelo exactamente identificadas.

8.7.

PROBLEMAS

8.1. Dado el siguiente modelo expresado en desviaciones con respecto a la media: Y1t = b12Y2 t + a11 X 1t + a12 X 2 t + ut Y2 t = b21Y1t + a23 X 3t + vt

Siendo Yi, variables endógenas, y Xi variables exógenas, estime los parámetros de la forma reducida del modelo y, a partir de ellos, obtenga las expresiones para los parámetros de la forma estructural. Para ello, utilice las siguientes matrices producto:

 10 0 0  (X ' X ) =  0 20 0  ;  0 0 10   

 5 10  (X ' Y ) =  40 20   20 30   

8.2. Partimos del siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

Y1t = β11Y2t + α10 + α11I t + α12Gt + u1t Y2t = β 21Y1t + α 20 + u2t

Donde Y1t es la renta nacional (PIB), Y2t es la oferta monetaria, It el gasto en inversión y Gt el gasto del gobierno. Estime consistentemente la segunda ecuación del modelo a partir de los siguientes datos:

Y1

Y2

I

G

Y1 38.05 29.73 7.07

5.31

Y2

23.29 5.55

4.15

1.33

9.90

I G

0.74 Y1 = 0,64; Y2 = 0,5; I = 1,19; G = 0,90; N = 9

8.3. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: y1t = α11 y2t + β11z1t + u1t y2t = α 21 y1t + β 22 z2t + β 23 z3t + u2t

Las variables y1 e y2 son endógenas y z1, z2 y z3 son exógenas. Todas las variables están en desviaciones respecto a la media y la suma de sus productos cruzados aparece en la siguiente matriz: y1

y2

z1 z2

z3

y1 50 y2 15 10 z1

1

0

4

z2

3

0

0

5

z3

5

2

0

0

2

En base a esta información estime por Mínimos Cuadrados en dos Etapas la primera ecuación y estime por Mínimos Cuadrados Indirectos la segunda ecuación. 8.4. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: Y1t = a11 X 1t + a12 X 2t + ut Y2t = b21Y1t + a22 X 2t + vt

Siendo Yit variables endógenas y Xit variables exógenas, ambas expresadas en desviaciones respecto a sus medias. Para ello utilice la siguiente matriz de sumas de productos cruzados:

Y1

Y2

X1

x2

Y1 103 47

152

152

Y2

70

68

300

100

X1 X2

22

200

SOLUCIONES 8.1. b12 = 2 / 3; a11 = −1 / 6 ; a12 = 4 / 3; b21 presenta dos soluciones, al igual que a23 8.2. Y2t = 0.8627Y1t − 0.0521 + u2t

8.3. y1t = 2.5 y2t + 0.25z1t + u1t ; y2t = z3t + u2t 8.4. Y1t = 0.304 X 1t + 0.608 X 2t + ut ; Y2t = 0.3738Y1t + 0.056 X 2t + vt

9.

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES

9.1.

INTRODUCCIÓN

La teoría económica propone modelos de relación entre variables económicas, pero generalmente deja indeterminada la forma funcional de dichas relaciones, por lo que en ocasiones dichas relaciones pueden ser de tipo no lineal. La cuantificación de dichas relaciones exige un tratamiento distinto al del caso lineal, utilizando técnicas de estimación que generalmente implican un mayor coste computacional pero que a cambio ofrecen un mejor ajuste.

Por ello, en el presente capítulo se abordan algunas soluciones de cálculo para cuantificar este tipo de relaciones, las cuales generalmente exigen la utilización de algoritmos de optimización numérica en los que, a partir de una expresión general que representa una función de pérdida o de ganancia, de forma iterativa se evalúa una función objetivo, que variará dependiendo del procedimiento de estimación elegido, para las distintas combinaciones de los valores numéricos de los parámetros. El resultado de la estimación final será aquel conjunto de valores paramétricos que hagan mínima o máxima (según se defina) dicha función objetivo.

Las relacionales no lineales que trataremos no hacen referencia a las variables explicativas sino a los parámetros incluidos en las relaciones del modelo, ya que las primeras pueden eliminarse mediante la transformación de datos apropiada. Por ejemplo, si la ecuación que tuviéramos que estimar fuera: y t = β 0 + β 1e x1t + β 2 ln( x 2t )· x 3t + ε t

Bastaría con realizar los siguientes cambios de variable para poder estimar la ecuación mediante métodos lineales:

z1t = e x1t z 2t = ln( x 2t )· x 3t

De tal forma que ahora deberíamos estimar:

y t = β 0 + β1 z1t + β 2 z 2 t + ε t

Ecuación que es completamente lineal tanto en las variables como en los parámetros. Sin embargo, si el modelo fuera de la forma: y t = β 0 + β1 x1t β 2 + β 2 e β3 x2 t + ε t

No sería posible hacer un cambio de variable similar al que hemos propuesto anteriormente, por lo que habrá que estimarlo mediante procedimientos de tipo no lineal.

9.2.

ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS.

Los modelos a estimar no tienen porque ser funciones lineales, pero dado que el método MCO se aplica exclusivamente a modelos de dependencia lineal, este método podrá utilizarse en todos aquellos modelos que pueden transformarse en funciones lineales.

Son ejemplos de funciones no lineales que pueden transformarse a lineales, las siguientes:

a) Función Polinómica La función polinómica:

Yt = β 0 + β 1 X t + β 2 X t2 + ... + β k X tk se transforma en lineal:

Yt = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + ... + β k X kt Haciendo:

X 1t = X t X 2 t = X t2 M X kt = X tk b) Función Potencial b La función potencial Yt = aX t se transforma en lineal tomando logaritmos tal que:

log Yt = log a + b log X t y se estima:

Y t* = β 0 + β 1 X *t Haciendo:

Yt * = log Yt X t* = log X t En consecuencia:

a = e β0 y b = β1 c) Función Exponencial Xt La función exponencial Yt = ab se transforma en lineal tomando logaritmos tal que:

log Yt = log a + X t log b y se estima:

Y t* = β 0 + β 1 X t Haciendo:

Yt* = log Yt En consecuencia a = e

β0

d) Función Logarítmica

y b=e

β1

* La función logarítmica Yt = a + b log X t puede estimarse haciendo X t = log X t , aplicando

MCO después a la expresión:

Y t = β 0 + β 1 X *t En consecuencia a = β 0 y b = β 1

9.3.

MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES

El primer método que pasamos a abordar para estimar relaciones de tipo no lineal es el de Mínimos Cuadrados No Lineales, que no es más que una generalización del procedimiento del método de Mínimos Cuadrados Ordinarios que venimos utilizando a lo largo del libro. En efecto, la idea de partida del método mínimo-cuadrático no exige en ningún momento la linealidad del modelo, si bien la resolución analítica del mismo se complica bastante cuando el modelo no es lineal.

Consideremos la siguiente expresión de un modelo no lineal:

Yt = f ( X t , β ) +ε i

(11.1.)

Donde f es una función cuya primera derivada es no lineal en β.

El método de Mínimos Cuadrados No Lineales, al igual que su homólogo lineal, trata de minimizar el sumatorio de los errores del modelo al cuadrado, es decir:

T

T

t =1

t =1

Min SR( β ) = ∑ ε t2 = ∑ [Yt − f ( X t ; β )] β

2

(11.2.)

Derivando la expresión anterior, obtenemos las condiciones de primer y segundo orden, necesarias y suficientes para la obtención del mínimo:

Condición de 1º orden T ∂f ( X t ; β ) ∂SR( β ) = −2∑ [Yt − f ( X t ; β )]· =0 ∂β ∂β t =1

Condición de 2º orden

 T ∂f ( X t ; β ) ∂f ( X t ; β ) T ∂2 f (Xt ;β )  ∂ 2 SR ( β )   = 2 ∑ · − ∑ (Yt − f ( X t ; β ))· ∂β∂β ' ∂ ∂ ' ∂ β ∂ β ' β β t = 1 t = 1  

Matriz que debe ser definida positiva.

Ejemplo 9.1. Sea el modelo: Yt = β 0 + β 1 e β 2 xt + ε t

Minimizamos la expresión del sumatorio de los residuos del modelo al cuadrado tal que:

Min SR( β ) = β

T

∑

ε t2 =

t =1

∑ [Y T

t =1

Derivando la expresión anterior, tenemos que:

T ∂SR ( β ) = −2 ∑ (Yt − β 0 − β1e β2 xt )  = 0 ∂β 0 t =1

T ∂SR ( β ) = −2 ∑ (Yt − β 0 − β1e β2 xt )e β2 xt  = 0 ∂β1 t =1

T ∂SR ( β ) = −2 ∑ (Yt − β 0 − β1e β2 xt ) β1 xt e β2 xt  = 0 ∂β 2 t =1

t

− ( β 0 + β 1 e β 2 xt )

]

2

Las ecuaciones obtenidas no poseen una solución analítica directa por lo que es necesario un método iterativo para obtener los valores de los parámetros βi. Uno de los métodos utilizados para resolver este tipo de problemas es el algoritmo de Newton-Raphson que pasamos a examinar a continuación.

9.3.1. Algoritmo de Newton-Raphson Supongamos que disponemos de una estimación βî del mínimo βˆ de la función f ( X t ; β ) , cuyas derivadas son continuas. Si consideramos un entorno del punto βî , el valor numérico de f en un punto de dicho entorno puede aproximarse mediante un desarrollo en serie de Taylor de orden 2 tal que:

[

]

[

]

' 1 f ( X t ; β ) ≅ M ( β ) = f ( βî ) + ∇f ( βî ) ( β − βî ) + ( β − βî )' ∇ 2 f ( βî ) ( β − βî ) 2

2 Donde ∇f ( βî ) y ∇ f ( βî ) son, respectivamente, el gradiente (vector k x 1) y la matriz hessiana

(matriz simétrica de orden k x k) de la función f ( β ) evaluados en el punto β = βî . Podemos mejorar la estimación actual, βî , reemplazándola por aquel vector que minimice la expresión cuadrática anterior tal que:

[

]

[

]

∂M = ∇f ( βî ) + ∇ 2 f ( βî ) ( β * − βî ) = 0 ∂β

De donde obtenemos que: −1

βî +1 = β * = βî − ∇ 2 f ( βî ) ∇f ( βî )

(11.3.)

La expresión (11.3) permite aproximarse al valor desconocido del vector de parámetros β a partir de un vector inicial de estimaciones βî suficientemente próximo a él.

* Debe observarse que el punto β que escogemos como nueva estimación minimiza realmente el 2 valor de f en el entorno de βî si la matriz hessiana ∇ f ( βî ) es definida positiva, lo que estará

garantizado si f es convexa en el punto βî (es decir, si dicho punto estaba ya lo suficientemente próximo a un mínimo local de f).

El procedimiento iterativo mediante el que se sustituyen las sucesivas estimaciones obtenidas a través de la expresión (11.2) como punto de partida en la siguiente etapa del procedimiento hasta que se satisfagan los criterios de convergencia que el investigador determine (por ejemplo, que la diferencia entre las estimaciones de los parámetros obtenidos en cada etapa sea inferior a una determinada cantidad) es lo que se conoce como algoritmo de Newton-Raphson.

La utilización de este algoritmo exige que se verifiquen dos supuestos: por un lado, deben existir las derivadas que en él aparecen; asimismo, el hessiano de la función debe ser invertible.

El algoritmo de Newton-Raphson permite obtener numéricamente el estimador mínimocuadrático de un modelo en el que Y es una función no lineal de β. En tal caso, la función objetivo será la que vimos en (11.1), es decir:

T

f ( β ) = SR( β ) = ∑ [Yt − f ( X t ; β )]

2

t =1

Se trata de hallar aquel vector de coeficientes βˆ que minimiza la suma residual al cuadrado, SR ( β ) . Para ello tomaremos las expresiones del gradiente y de la matriz hessiana que veíamos

anteriormente: T ∂f ( X t ; β ) ∂SR( β ) = −2∑ [Yt − f ( X t ; β )]· =0 ∂β ∂β t =1

 T ∂f ( X t ; β ) ∂f ( X t ; β ) T ∂2 f (Xt ;β )  ∂ 2 SR ( β )  = 2 ∑ · − ∑ (Yt − f ( X t ; β ))· ∂β∂β ' ∂β ∂β ' ∂β∂β '  t =1  t =1

Y las sustituiremos en la expresión (11.3) que define las etapas del algoritmo tal que: −1 2  T ∂f ( X ; β ) ∂f ( X ; β ) T T   β ∂ f ( X ; ) ∂f ( X t ; β )   t t t  ·∑[Yt − f ( X t ; β )]· βî +1 = βî +  ∑ · − ∑ (Y − f ( X ; β ))·  ∂β ∂β ' ∂β∂β '  t =1 ∂β  t =1  t =1 

Una vez se haya logrado la convergencia del algoritmo, se toma como matriz de varianzas y 2 covarianzas del estimador obtenido, el producto de la estimación de σ ε y la inversa de la matriz

hessiana:

[

σ ε2 ∇ 2 f ( βî )

]

−1

Por lo que la distribución asintótica del vector de estimadores será:

[

N  βî , σ ε2 ∇ 2 f ( βî ) 

]

−1 

 

Ejemplo 9.2. Veamos cómo se aplicaría algoritmo de Newton-Raphson al modelo que veíamos en el ejemplo 11.1 tomado en desviaciones respecto a la media. En primer lugar, para poder trabajar con la expresión (11.3) necesitamos calcular el gradiente y la matriz hessiana de la función objetivo tal que:

f ( β ) = SR( β ) =

∑ [y T

t

− β 1e β 2 xt

t =1

∇f ( β ) = −2

∑ [ (e β T

t =1

2 xt

)(

]

2

, β 1e β 2 xt y t − β 1e β 2 xt

)]

T  e 2 β 2 xt x t e β 2 xt (2 β1e β 2 xt − y t )  ∇ 2 f ( β ) = 2  β x β x β x 2 β x    t =1  x t e 2 t ( 2 β1e 2 t − y t ) β1 x t e 2 t (2 β1e 2 t − y t ) 

∑

Por lo que la expresión para obtener las sucesivas iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson es:

−1

ˆ ˆ ˆ T ˆ  βˆ1   βˆ   T  e 2 β 2 xt x t e β 2 xt ( 2 βˆ1e β 2 xt − y t )    e β 2 xt   = 1 +  ·    βˆ    βˆ x βˆ x βˆ x 2 βˆ x  βˆ x    2  i +1  βˆ2  i  t =1  x t e 2 t ( 2 βˆ1e 2 t − y t ) βˆ1 x t e 2 t ( 2 βˆ1e 2 t − y t )   t =1  βˆ1e 2 t

∑

9.4.

∑

(

  y t − βˆ1e βˆ2 xt  

EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD

Si el lector tiene algunos conocimientos de Estadística Teórica seguramente sabrá que la estimación por Máxima Verosimilitud precisa del establecimiento de un supuesto acerca de la distribución del término de error, a partir de la cual construiremos una función de verosimilitud que deberemos maximizar.

En general, supondremos que el término de error del modelo, εt, sigue una distribución Normal 2 con media 0 y varianza, σ ε ; en ese caso, la función de verosimilitud muestral será:

L( β , σ ε ) = 2

T

∏ t =1

1 2πσ ε2

−

e

[Yt − f ( X ; β ) ]2

1 2σ ε

2

 1 =  2  2πσ ε

T

T

[Yt − f ( X ; β ) ]  2 − 2σ ε2 ∑ t =1  e  1

2

2 El logaritmo de la función evaluado en (βˆ , σˆ ε ) es:

[

]

T T 1 T T T 1 2 ln L( βˆ , σˆ ε2 ) = − ln2π - lnσˆ ε2 − Yt − f ( X ; βˆ ) = − ln2π - lnσˆ ε2 − SR( βˆ ) 2 ∑ 2 2 2σˆ ε t =1 2 2 2σˆ ε2 2 Como puede apreciarse, tal y como cabía esperar el parámetro σˆ ε no depende de ninguno de los

parámetros del vector βˆ ; por tanto, para maximizar la función de verosimilitud bastará con seleccionar aquel vector βˆ que minimice la suma residual SR( βˆ ) . Las condiciones de maximización de la función de verosimilitud serán por tanto:

[

]

∂ ln L( βî , σˆ ε2 ) ∂f t ( βî ) 1 ∂SR ( βî ) 1 T ˆ β =− · = Y − f ( X ; ) =0 ∑ t t i 2σˆ ε2 ∂βî σˆ ε2 t =1 ∂βî ∂βî

[

]

2 ∂ ln L( βˆ , σˆ ε2 ) T 1 T = − + Y − f ( X t ; βˆ ) = 0 2 2 4 ∑ t ∂σˆ ε 2σˆ ε 2σˆ ε t =1

∀i = 1,2,..., k

) 

Las soluciones del sistema de ecuaciones anterior proporcionan las estimaciones de Máxima 2 Verosimilitud del vector β y el parámetro σ ε bajo la hipótesis de Normalidad en el término de

error.

Como puede apreciarse, los resultados obtenidos coinciden el estimador de Mínimos Cuadrados No Lineales; asimismo, de la segunda condición de optimalidad se deduce que la estimación de

σ ε2 es: T

σˆ ε2 =

[

∑ Yt − f ( X t ; βˆ )

t =1

]

2

T

=

SR( βˆ ) T

Expresión, como vemos, análoga a la obtenida para el caso lineal.

Finalmente, la expresión de la matriz de covarianzas del estimador de Máxima Verosimilitud puede aproximarse, para muestras grandes, mediante la inversa de la matriz de información. Dicha matriz viene dada por11:  1   2 2 I (β ,σ ε ) =  σ ε   

 ∂f   ∂β

  

0k

'

 ∂f   ∂β

  

 0k    T   2σ ε4 

Si invertimos dicha matriz y sustituimos los valores de los parámetros desconocidos por sus correspondientes valores estimados tenemos que: −1   '  2  ∂f   ∂f   σˆ ε  ˆ   ˆ  Var ( βˆ , σˆ ε2 ) =   ∂β   ∂β    0k 

 ∂f Siempre que   ∂β

11

'

  ∂f     ∂β

  0k   4  2σˆ ε  T 

  no sea una matriz singular. 

El desarrollo de la demostración que conduce a esta expresión queda fuera de las pretensiones de este texto.

9.5.

APROXIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR

Consideremos el siguiente modelo de regresión no lineal siguiente:

Yt = f ( X t , β ) +ε i

Haciendo lineal la función

f (Xt , β)

ˆ , alrededor de una estimación inicial, β mediante un

desarrollo en serie de Taylor de primer orden tenemos que:

'

 ∂f ( X t ; βˆ )   ( β − βˆ ) + ε t Yt ≅ f ( X t ; βˆ ) +    ˆ ∂ β   Si simplificamos la notación obtenemos:

 ∂f ( X t ; βˆ )   z ( βˆ ) =    ˆ ∂ β  

'

Y por tanto:

Y ≅ f ( X t ; βˆ ) + z ( βˆ ) ' ( β − βˆ ) + ε t Operando queda que:

Yt − f ( X t ; βˆ ) + z ( βˆ ) βˆ = z ( βˆ ) β + ε t Obteniéndose el siguiente modelo lineal: * Yt ≅ β ⋅ z ( βˆ ) + ε t

Donde

(11.4.)

Yt* = Yt − f ( X t ; βˆ ) + z ( βˆ ) βˆ

ˆ ˆ Y* como z ( β ) son observables, y el modelo (11.4) posee Para un valor determinado de β tanto como estimador mínimo cuadrático a:

[

~

β = z ( βˆ )' z ( βˆ )

]

−1

* z ( βˆ ) Yt

El desarrollo práctico sería el siguiente: debemos plantear una aproximación numérica inicial de * βˆ ; a continuación generar las observaciones numéricas para las variables Y , z ( βˆ ) y proceder a

( ~)

ˆ estimar el modelo (11.4) por MCO obteniendo nuevas estimaciones numéricas para β β . Con ellas, calculamos de nuevo las variables

Y * z ( βˆ ) , e iteramos el procedimiento hasta alcanzar

determinada convergencia.

Si desarrollamos la expresión de los estimadores obtenidos mediante MCO tenemos que:

~

[

]

−1

β = z ( βˆ ) ' z ( βˆ ) z ( βˆ ) Yt * =

[

= z ( βˆ ) ' z ( βˆ )

[

]

−1

(

z ( βˆ ) Yt − f ( X t ; βˆ ) + z ( βˆ ) βˆ

]

−1 = βˆ + z ( βˆ ) ' z ( βˆ ) z ( βˆ ) εˆt

) (11.5.)

La expresión (11.5) proporciona de forma directa los estimadores MCO del modelo linealizado mediante el desarrollo de Taylor, sin más que sustituir los valores indicados y teniendo en cuenta que

εˆt es el residuo obtenido al sustituir en el modelo original la estimación inicial, βˆ .

2 La estimación del parámetro σˆ ε puede obtenerse de manera análoga al caso lineal tal que:

σˆ ε2 =

ε~' ε~ T −k

~ ~ Siendo ε = Y − f ( X , β )

[

]

ˆ ' ˆ Finalmente, si existe la inversa de z ( β ) z ( β ) podemos derivar la distribución de probabilidad ~ del estimador β que será:

[

]

−1 N  β , σ ε2 z ( βˆ ) ' z ( βˆ )   

Ejemplo 9.3 Si consideramos, ahora, la función:

y t = βx1t + β 2 x 2t + u t = f ( xt ,θ ) + u t Con θ = ( β ) , cuyo gradiente es:

∂f ( xt , θ ) ' = ( x1t + 2 β x 2 t ) ∂θ Entonces:

(

)

y t* = y t − f ( xt , θˆ) + z (θˆ)θˆ = y t − βˆx1t − βˆ 2 x 2t + x1t + 2 βˆx 2t βˆ = y t − βˆx1t − βˆ 2 x 2t + βˆx1t + 2 βˆ 2 x 2t = y t + βˆ 2 x 2t

,

z1 (θˆ) = x1t + 2 βˆx 2 t Por lo que el modelo lineal a estimar resultará ser:

y t* = β z1 (θˆ) + ε t

(11.6)

Vamos a aplicar dicho modelo a estimar una ecuación para los siguientes datos de la economía española:

PIB(millones de euros moneda constante)

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

342.598 368.987 381.747 406.011 447.205 473.855 503.921 539.493 579.942 630.263 680.678 729.206 782.531 840.106 905.455

Ocupados estudios básicos (miles)

10.284 9.967 9.333 9.112 9.155 9.124 9.300 9.553 9.964 10.293 10.556 10.734 11.103 11.329 11.743

Ocupados estudios superiores (miles)

2.773 2.856 2.960 3.096 3.357 3.747 4.046 4.351 4.725 5.213 5.590 5.896 6.193 6.641 7.231

ˆ Partimos de un valor de β = 1 , y calculamos las variables transformadas:

y t* = y t + βˆ 2 x 2t

z1 (θˆ) = x1t + 2 βˆx 2 t

345.371 371.842 384.707 409.107 450.562 477.602 507.967 543.844 584.667 635.476 686.268 735.102 788.724 846.747 912.686

15.830 15.678 15.254 15.303 15.869 16.619 17.391 18.255 19.415 20.719 21.736 22.527 23.489 24.612 26.204

Utilizando MCO estimamos (1.5):

y t* = 30,67 z1 (θˆ) + ε t Transformamos de nuevo las variables utilizando ahora βˆˆ = 30,67 , y estimamos de nuevo por MCO el modelo (1.5):

y t* = y t + βˆ 2 x 2t

z1 (θˆ) = x1t + 2 βˆx 2 t

2.950.626 3.054.324 3.165.652 3.317.346 3.604.106 3.997.557 4.308.575 4.631.308 5.023.700 5.532.198 5.937.493 6.274.091 6.606.664 7.085.694

180.377 185.102 190.897 198.986 215.045 238.937 257.435 276.417 299.782 329.993 353.400 372.366 390.947 418.660

Obtenemos

y t* = 16,81z1 (θˆ) + ε t Seguimos iterando hasta y alcanzamos la convergencia al cabo de la quinta iteración:

β

Iteración 1 2 3 4 5

Diferencia

30,67 16,81 11,42 10,26 10,20

-13,86 -5,38 -1,16 -0,06

La ecuación estimada sería por tanto:

yt = 10,20 x1t + 10,20 2 x 2t + u t

9.6.

PROBLEMAS

11.1. Suponiendo que el término de error del modelo no lineal:

yt = β 0 + β1e β2 xt + ut 2 Sigue una distribución Normal (0, σ ε ), obtener la expresión analítica del algoritmo

Newton-Raphson. 11.2. Obtenga la expresión linealizada del modelo anterior aplicando el desarrollo en serie de Taylor.

11.3 Obtenga la matriz de covarianzas de la estimación de máxima verosimilitud del modelo Yt = β 0 + β 1 e β 2 xt + ε t es

SOLUCIONES 10.1. T

(

)

∇f ( β ) = −2∑∑ 1, e β2 xt , β1 xt e β 2 xt ⋅ uˆt t =1

 1  ∇ 2 f ( β ) = 2∑  e β 2 xt t =1  β1e β2 xt  T

( )

e β2 xt

β1 xt e β x − xt e β x uˆt + β1 xt e 2 β x − xt2 β1e β x uˆt + β12 xt2 e2 β x 2 t

e 2 β 2 xt − xt e β2 xt uˆt + β1 xt e 2 β2 xt

2 t

2 t

) βî = β i −1 − ∇ 2 f βî −1  ∇f ( βî −1 ) 

−1

10.2. ˆ yt* = yt + βˆ2 βˆ1e β2 xt

z1t = e β 2 xt ˆ

ˆ z2 t = βˆ1e β 2 xt

yt* = β 0 + β1 z1t + β 2 z2t + ut 10.3. Inversa de la matriz de información siguiente:

 1  β2 xt e 1  2  I ( β , σ e ) = 2 β1 xt e β2 xt σe   0  

e β2 xt

β1 xt e2 β x

β1 x1t e β x β1 xt e 2 β x β12 xt2 e 2 β x

0

0

e

2 t

2 β 2 xt

2 t

2 t

2 t

0   0  0   T  2σ e2 

2 t

2 t

    

10. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS

10.1. INTRODUCCIÓN Se dice que se ajusta el modelo paramétrico cuando se estiman sus parámetros a partir de un conjunto de observaciones que siguen dicho modelo, de manera que pueden hacerse predicciones de nuevos valores de Y conocido el valor de X, y tener información precisa acerca de la incertidumbre asociada a la estimación y a la predicción. Sin embargo, si el modelo paramétrico no es el adecuado al analisis de datos que estamos realizando, pueden llevar a conclusiones que queden muy alejadas de la realidad, dado que el modelo paramétrico conlleva un grado de exactitud en las afirmaciones que de el se derivan y que son adecuadas siempre y cuando se cumplan los supuestos básicos sobre los que se apoya su construcción teórica. De hecho, los modelos paramétricos presentan una estructura teórica tan rígida que no pueden adaptarse a muchos conjuntos de datos de los que hoy día se disponen para el análisis económico.

La econometría no paramétrica aparece como consecuencia de intentos por solucionar problemas que existen en la econometría paramétrica como, por ejemplo, la consistencia entre los datos y los principios de maximización, homocedasticidad, o la necesidad de asumir una determinada relación, por lo general de forma lineal entre las variables de interés. Esta preocupación llevó a una serie de investigadores a utilizar formas funcionales flexibles para aproximarsea relaciones desconocidas entre las variables.El plantear formas funcionales flexibles requiere el conocimiento del valor esperado de la variable Y, condicional en las otras, X. Esto conlleva la necesidad de estimar la función de densidad de Y condicional en X. La econometría no paramétrica no parte de supuestos sobre la distribución de probabilidad de las variables bajo estudio, sino que trata de estimar dicha distribución para encontrar la media condicional y los momentos de orden superior (por ejemplo, la varianza) de la variable de interés. Una de las desventajas de este método es, sin embargo, la necesidad de contar con muestras muy grandes si es que se desea estimar la función de relación entre ambas variables de manera precisa. Además el tamaño de la muestra debe aumentar considerablemente conforme aumenta el número de variables involucradas en la relación. Los modelos de regresión paramétricos suponen que los datos observados provienen de variables aleatorias cuya distribución es conocida, salvo por la presencia de algunos parámetros cuyo valor se desconoce.

(

y = β 0 + β 1 x + ε , con ε ≈ N 0, σ 2

)

Este es un modelo estadístico con tres parámetros desconocidos:

β 0 ; β1 y σ 2 .

Una formulación general de un modelo de regresión paramétrico es la siguiente:

y = m( xi ;θ ) + ε i i = 1,..., n θ ∈ Θ ⊆ ℜ p , , Donde

m( xi ;θ ) es una función conocida de x y de θ , que es desconocido, ε 1 ...ε n es una variable

aleatoria idénticamente distribuida con simple sería un caso particular con

E (ε i ) = 0 V (ε i ) = σ 2 y

. El modelo de regresión lineal

θ = (β o , β 1 ) y m ( x i ; β o , β 1 ) = β o + β 1 x .

Se supone que se observan n pares de datos

(xi , yi ) que provienen del siguiente modelo de

regresión no paramétrico:

y i = m( x i ) + ε i Donde

ε 1 ...ε n es una variable aleatoria idénticamente distribuida con E (ε i ) = 0 y V (ε i ) = σ 2 ,

y los valores de la variable explicativa

x1 ...x n son conocidos, por lo que se dice que el modelo

tiene diseño fijo, y dado que la varianza de los errores es constante el modelo es Homocedástico12.

Considerando

( X , Y ) una

variable aleatoria bivariante con densidad conjunta f ( x, y ) , cabe

definir la función de regresión como m( x) = E (Y / X = x) , es decir el valor esperado de Y cuando X toma el valor conocido x . Entonces E (Y / X ) = m( X ) , y definiendo ε = Y − m( X ) , se tiene que:

Y = m( X ) + ε , E (ε / X ) = 0 , V (ε / X ) = σ 2 Sean

( X i , Yi ) , i=1…n, una muestra aleatoria simple de ( X , Y ) . Estos datos siguen el modelo de

regresión no paramétrico:

Yi = m( X i ) + ε i , i=1…n.

Si se supone que la varianza es función de la variable explicativa x : modelo sería Heterocedástico. 12

V (ε i ) = σ 2 ( xi ) , el

Una vez establecido el modelo, el paso siguiente consiste en estimarlo (o ajustarlo) a partir de las

ˆ n observaciones disponibles. Es decir hay que construir un estimador m( x) de la función de 2 regresión y un estimador σˆ de la varianza del error. Los procedimientos de estimación de m(x)

se conocen como métodos de suavizado. El abanico de técnicas disponibles para estimar no paramétricamente la función de regresión es amplísimo e incluye, entre otras, las siguientes: •

Ajuste local de modelos paramétricos. Se basa en hacer varios (o incluso infinitos, desde un punto de vista teórico) ajustes paramétricos teniendo en cuenta únicamente los datos cercanos al punto donde se desea estimar la función.

•

ˆ Suavizado mediante splines. Se plantea el problema de buscar la función m( x) que minimiza la suma de los cuadrados de los errores (

ei = yi − mˆ ( xi ) ) más un término que

ˆ penaliza la falta de suavidad de las funciones m( x) ) candidatas (en términos de la integral del cuadrado de su derivada segunda). •

Métodos basados en series ortogonales de funciones. Se elige una base ortonormal del espacio vectorial de funciones y se estiman los coeficientes del desarrollo en esa base de la función de regresión. Los ajustes por series de Fourier y mediante wavelets son los dos enfoques más utilizados.

•

Técnicas de aprendizaje supervisado. Las redes neuronales, los k vecinos más cercanos y los árboles de regresión se usan habitualmente para estimar m(x) .

10.2. FUNCIÓN NUCLEO Los histogramas son siempre, por naturaleza, funciones discontinuas; sin embargo, en muchos casos es razonable suponer que la función e densidad de la variable que se está estimando es continua. En este sentido, los histogramas son estimadores insatisfactorios. Los histogramas tampoco son adecuados para estimar las modas, a lo sumo, pueden proporcionar “intervalos modales", y al ser funciones constantes a trozos, su primera derivada es cero en casi todo punto, lo que les hace completamente inadecuados para estimar la derivada de la función de densidad.

Los estimadores de tipo núcleo (o kernel) fueron diseñados para superar estas dificultades. La idea original es bastante antigua y se remonta a los trabajos de Rosenblatt y Parzen en los años

50 y primeros 60. Los estimadores kernel son, sin duda, los más utilizados y mejor estudiados en la teoría no paramétrica.

Dada una m.a.s.

X 1 ... X n

con densidad f , estimamos dicha densidad en un punto t por medio

del estimador

1 n t − Xi  fˆ (t ) =  ∑ K nh i =1  h  donde h es una sucesión de parámetros de suavizado, llamados ventanas o amplitudes de banda (windows, bandwidths) que deben tender a cero ”lentamente" ( h → 0 , nh → ∞ ) para poder

ˆ X asegurar que f tiende a la verdadera densidad f de las variables i y K es una función que cumple •

∫ K = 1 . Por ejemplo: Núcleo gaussiano

1 2π •

e

−

u2 2

Núcleo Epanechnikov13

(

)

3 1 − u 2 I u <1 4 donde I u <1 es la función que vale 1 si u < 1 y 0 si u ≥ 1

•

Núcleo Triangular

(1 − u )I

•

u <1

Núcleo Uniforme

1 I 2 u <1 13

Otra expresión alternativa de la función núcleo de Epanechnikov es:

3 1 2 1 − u  I 4 5  u< donde I u <

5

1 5

es la función que vale

5

si u < 5 y 0 si u ≥ 5

•

Núcleo Biweight

(

)

15 1 − u 2 I u <1 16

•

Núcleo Triweight

(

)

35 1 − u 2 I u <1 32 Para elegir la ventana h puede seguirse la siguiente regla14 −1  3 1 h = δ K  π 10 s n n 5 8

Donde •

• •

n es el tamaño de la muestra

1 n 2 s n =  ∑ (X i − X )   n i =1 

1

2

δ K depende del núcleo K, y se calcula como:

2   ∫ K (t )dt δK =   ∫ u 2 K (t )dt 

(

)

2

    

1

5

Por ejemplo: 1 10

•

 1  δK =    4π  Si K es el núcleo gaussiano, entonces

•

Si K es el núcleo Epanechnikov, entonces δ K = (15)

1

5

Ejemplo 10.1 Nuestra muestra

X 1 ...X 10 es:

2,1 2,6 1,9 4,5 0,7 4,6 5,4 2,9 5,4 0,2

Su desviación típica es s n = 1,779 , utilizando una función núcleo de Gaussiana, la ventana h será:

 1  h=   4π 

1 10

3 ×  π 8

1 10

× 1,779 × 10

−1

5

= 0.366

Hacemos una grilla para t que va desde -2 a 8 con puntos semi-espaciados: 14

Por lo general, los programs informáticos eligen el ancho de ventana siguiendo criterios de optimización (error cuadrático medio.

t -2 -1,166666667 -0,333333333 0,5 1,333333333 2,166666667 3 3,833333333 4,666666667 5,5 6,333333333 7,166666667 8

tj − Xi K  t h Para cada j calculamos  t

-2,0000 -1,1667 -0,3333 0,5000 1,3333 2,1667 3,0000 3,8333 4,6667 5,5000 6,3333 7,1667 8,0000

 t j − X1   K   h 

tj − X2 K   h

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0447 0,3924 0,0195 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,1982 0,2198 0,0014 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Para cada

tj

  

  :

 tj − X3   K   h 

tj − X4  K    h 

t j − X5   K   h 

tj − X6 K   h

0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,1206 0,3061 0,0044 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0762 0,3597 0,0096 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0075 0,3437 0,0896 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0447 0,3924 0,0195 0,0000 0,0000 0,0000

se obtiene la estimación de

1 n t − Xi fˆ (t ) = ∑ K nh i =1  h

 : 

f:

   

t j − X7   K   h 

 t j − X8 K   h

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0538 0,3844 0,0156 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0538 0,3844 0,0156 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

   

 t j − X9   K    h 

 t j − X 10   K    h 

∑ K 

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0538 0,3844 0,0156 0,0000 0,0000

0,0000 0,0004 0,1383 0,2853 0,0033 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0004 0,1458 0,6293 0,2593 0,9507 0,6282 0,1379 0,8598 0,7979 0,0311 0,0000 0,0000

n

i =1

 t j − Xi  h

  

t

f(t)

-2 -1,166666667 -0,333333333 0,5 1,333333333 2,166666667 3 3,833333333 4,666666667 5,5 6,333333333 7,166666667 8

0 0 0,052488651 0,166657681 0,09328713 0,257268921 0,161036178 0,039861562 0,214170733 0,182116814 0 0 0

En la figura 10.1 se representa la función de desnidad estimada y la que se obtiene con un h = 1 : 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -2

-1,2 -0,3 0,5 1,33 2,17

3

h=0.36

3,83 4,67 5,5 6,33 7,17

8

h=1

Figura 10.1.

Ejemplo 10.2 En R la estimación de una función de densidad kernel se realiza con la función “density”, con los datos del ejemplo 10.1 hay que realizar el siguiente programa: > x <- c(2.1,2.6,1.9,4.5,0.7,4.6,5.4,2.9,5.4,0.2)

> density(x,kernel="epanechnikov") Call: density.default(x = x, kernel = "epanechnikov") Data: x (10 obs.); x Min. :-2.99424 1st Qu.:-0.09712 Median : 2.80000 Mean : 2.80000 3rd Qu.: 5.69712 Max. : 8.59424

Bandwidth 'bw' = 1.065 y Min. :0.00000 1st Qu.:0.02366 Median :0.09427 Mean :0.08621 3rd Qu.:0.15245 Max. :0.16948

> plot(density(x,kernel="epanechnikov"))

Figura 10.2

10.3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS LOCALES La alternativa no paramétrica a los modelos de regresión, supone que

Y = m( X ) + e donde m es una función que no se supone “confinada" dentro de una familia paramétrica. Se trata

( X n , Yn ) . de estimar m a partir de una muestra ( X 1 ,Y1 ) …; Los estimadores núcleo establecen que el peso de

( X i , Yi )

en la estimación de m es

1 t − Xi  K  h  h  Wi (t , X i ) = fˆ (t ) donde K(t) es una función de densidad simétrica (por ejemplo, la normal estándar) y

fˆ (t ) es un estimador kernel de la densidad como el definido en el apartado anterior. Wi (t , X i )

es, para cada i, una función de ponderación que da “mayor importancia" a los valores

X i de la variable auxiliar que están cercanos a t.

Una expresión alternativa para

Wi (t , X i )

t − Xi  K  h   Wi (t , X i ) = n t − Xi  K  ∑  h  j =1

A partir de los pesos

Wi

puede resolverse el problema de mínimos cuadrados ponderados

siguiente: n

min ∑ Wi (Yi − (a + b(t − X i ))) a ,b

2

i =1

los parámetros así obtenidos dependen de t, porque los pesos

Wi

también dependen de t, la recta

de regresión localmente ajustada alrededor de t sería :

l t ( X ) = a (t ) + b(t )(t − X ) Y la estimación de la función en el punto en donde X = t

mˆ (t ) = lt (t ) = a (t ) Las funciones núcleo usadas en la estimación no paramétrica de la regresión son las mismas que en la densidad.

Si se generaliza al ajuste local de regresiones polinómicas de mayor grado, es decir si pretendemos estimar una forma lineal del tipo:

β 0 + β 1 X + β 2 X 2 + ... + β q X q

con la salvedad de que en vez del valor

(t − X i ) .

X i en la regresión lineal múltiple se utiliza el valor

W El estimador de polinomios locales de grado q asignado los pesos i obtenidos

mediante la función núcleo se resuelve el siguiente problema de regresión polinómica ponderada: n

( (

min ∑ Wi Yi − β 0 + β1 (t − X i ) + ... + β q (t − X i )

β 0 ..β q

i =1

βˆ j = βˆ j (t )

Los parámetros

q

))

2

dependen del punto t en donde se realiza la estimación, y el polinomio

ajustado localmente alrededor de t sería: q

j Pq ,t (t − X ) = ∑ βˆ j (t − X ) j =0

Siendo m(t ) el valor de dicho polinomio estimado en el punto en donde X = t :

mˆ q (t ) = Pq ,t (0 ) = βô (t )

.

En el caso particular del ajuste de un polinomio de grado cero, se obtiene el estimador de Nadaraya −Watson, o estimador núcleo de la regresión:

t − Xi  Yi n h  i =1 mˆ K (t ) = n = ∑ W (t , X i )Yi t − Xi  i =1 K  ∑  h  i =1 n

∑ K 

Ejemplo 10.3 Disponemos del siguiente conjunto de datos relativos a 163 personas con su edad y su índice de masa corporal (relación entre peso y altura):

Indice de masa corporal

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

20

40

60

80

100

Edad

Figura 10.3.

Se va a obtener el estimador núcleo de la regresión:

t − Xi  Yi h  i =1 mˆ K (t ) = n t − Xi  K  ∑  h  i =1 n

∑ K 

Donde

X i es la edad de cada individuo e Yi su masa corporal, va ha utilizarse una función núcleo

de Epanechnikov, cuyo ancho de ventana sería: 1 1 −1 −1 3 1 3 1 h = (15) 5 ×  π 10 × s n × n 5 = (15) 5 ×  π 10 × 16,14 × 162 5 = 4,22 8 8

t − Xi K h Para cada edad ( t ) calculamos 

  :  t j − Xi  h

 t − X1  K   h 

t − X2  K   h 

t − X3  K   h 

t − X4  K   h 

 t − X5  K   h 

t − Xi  K   h 

 t − X 159  K   h 

 t − X 160  K   h 

 t − X 161  K   h 

 t − X 162  K   h 

∑ K 

16

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

1,228967175

17

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0753208

0,0000000

0,0000000

0,0000000

2,298278625

18

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,3704930

0,0000000

0,0000000

0,0000000

3,689804416

19

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,5813302

0,0000000

0,0000000

0,0000000

4,490985932

0,0000000

0,0753208

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,7078326

0,0000000

0,0000000

0,0000000

4,777144002

t

n

i =1

  

20 21

0,0000000

0,3704930

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,7500000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

4,768129934

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

85

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

3,19280911

86

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

2,48497655

87

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

1,73497655

88

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

1,027144

89

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,44581379

90

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,07532083

t − Xi K h Para cada edad ( t ) calculamos  t

 t − X1  K Y1  h 

 t − X2  K Y2  h 

t − X3  K Y3  h 

 t − X4  K Y4  h 

 Yi  :

 t − X5  K Y5  h 

 t − Xi  K Yi  h 

 t − X159  K Y159  h 

 t − X160  K Y160  h 

t − X161 K Y161  h 

 t − X162  K Y162  h 

n

t − Xi  Yi h 

∑ K  i =1

16

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

24,1149969

17

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

2,05894306

0,0000000

0,0000000

0,0000000

47,590736

18

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

10,1276624

0,0000000

0,0000000

0,0000000

78,5234969

19

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

15,8910333

0,0000000

0,0000000

0,0000000

96,7487803

0,0000000

1,32020961

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

19,3490559

0,0000000

0,0000000

0,0000000

103,586796

21

0,0000000

6,49393249

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

20,5017301

0,0000000

0,0000000

0,0000000

103,037148

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

85

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

90,1696692

86

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

69,1207607

87

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

48,0097761

88

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

29,5521528

89

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

14,3394414

90

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

..

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

2,60213476

20

ˆ En la figura siguiente se representa el estimador m( x) obtenido:

Indice de masa corporal

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

20

40

60 Edad

Figura 10.4.

80

100

Ejemplo 10.4 Utiliando la base de datos “cars” de R, que contine las variables “dist” (distancia de parada) y “speed”(velocidad), vamos a realizar la representación gráfica de la regresión kernel realizada con el estimador de Nadaraya–Watson. > data(cars) > plot(cars$speed, cars$dist) > lines(ksmooth(cars$speed, cars$dist, "normal", bandwidth = 2), col = 2) > lines(ksmooth(cars$speed, cars$dist, "normal", bandwidth = 5), col = 3)

Figura 10.4

Definida la matriz

1  . Xt =  . 1 

(t − X 1 )

...

. .

... ...

(t − X n )

   q ... (t − X n ) 

Y definidos los vectores pesos

Wt

(t − X 1 )q 

′ ′ ′ Y = (Y1 ...Yn ) ε = (ε 1 ...ε n ) β = (β 0 ...β q ) ,

,

. Se calcula la matriz de

0 W1 ( X 1 , t )  0. W2 ( X 2 , t )  Wt =  . .   0 0 

    ... 0  ... Wn ( X n , t ) ... ...

0 0

Habría que estimar por mínimos cuadrados generalizados el modelo Y = Xβ + ε , cuya solución es:

βˆ (t ) = (X t'Wt X t ) X t'Wt Y −1

Pueden tomar los pesos:

t − Xi  K  h   Wi (t , X i ) = n t − Xi  K  ∑  h  j =1 o

 t − Xi  Wi (t , X i ) = K    h 

Ejemplo 10.5 Utilizando los datos de edades e índices de masas corporales, se ha realizado un ejercicio para obtener un estimador de polinomio local a una función núcleo de núcleo de Epanechnikov, si se desea obtener el estimador para una edad de 65 años (t=65); la matriz X 65 quedaría:

Los pesos

Constante

(65 − X i )

(65 − X i ) 2

1

-1

1

1

41

1681

1

19

361

1

20

400

1

11

121

1

-17

289

.

.

.

1

5

25

1

13

169

1

33

1089

1

34

1156

1

3

9

1

38

1444

Wi (65, X i )

serían:

Wi (65, X i ) 0,70783255 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0

La matriz

' X 65 W65 X 65 quedaría

' X 65 W65 X 65

 2,669 − 0,347 11,896  = − 0,347 11,896 .6,044   11,896 − 6,044 117,855

βˆ (65) = (X 65' W65 X 65 ) X 65' W65Y : Y el estimador −1

22,196 βˆ (65) =  0,255   0,321  Es estimador del indice de masa corporal

para la edad de 65 años sería:

mˆ 2 (65) = βˆ o (65) = 22,196 El estimador del parámetro de suavizado h tiene una importancia crucial en el aspecto y propiedades del estimador de función de regresión. Valores pequeños de h dan mayor flexibilidad al estimador y le permiten acercarse a todos los datos observados, pero originan altos errores de predicción (sobre-estimación), valores mas altos de h ofrecerán un menor grado de ajustes a los datos pero predicican mejor, pero si h es demasiado elevado tendremos una falta de ajuste a los datos (sub-estimación).

Si la cantidad de datos de que disponemos lo permite, lo habitual es obtener dos muestras una para la estimación del modelo (muestra de entrenamiento) y otra muestra para predecir (muestra de test). En este caso una medida de calidad del parametro h de suavizado es el error cuadrático medio de la población de la muestra de test:

ECMPtest (h) = Donde

(X

i ,t

1 nt

∑ (Y nt

i =1

i ,t

− mˆ ( X i ,t ))

2

, Yi ,t ) i = 1...nt ˆ ( X ) es el estimador no paramétrico construido , , es la muestra test y m

con la muestra de entrenamiento. El valor h que minimice dicho error sería el parámetro de suavización elegido.

Si no de puede disponer de una muestra de test, la alternativa consiste en sacar de la muestra consecutivamente cada una de las observaciones

X i , y estimar el modelo con los restantes datos

y predecir el dato ausente con el estimador obtenido, para después calcular el error de predicción. Se construye entonces la siguiente medida del error de predicción (validación cruzada) para cada h:

ECMPCV (h) = Donde

1 n (Yi − mˆ i ( X i ))2 ∑ n i =1

mˆ i ( X ) es el estimador obtenido al excluir la observación i-esima.

El valor h que minimice dicho error de validación cruzada sería el parámetro de suavización elegido. Teniendo presente que el valor que predecimos Yî no deja de ser una combinación lineal de los valores observados:

( ) X W Y = SY Siendo S = X (X W X ) X W , matriz que se denomina de suavizado cuyo elemento (i, j ) se −1

Yˆ = Xβˆ = X t X t'Wt X t ' t

t

nombra

sij

' t

−1

t

t

t

' t

t

.

Dado que:

1 n  Y − Yî ECMPCV (h) = ∑  i n i =1  1 − sii

   

2

no es necesario ajustar las n regresiones no paramétricas, sino que vasta con evaluar todos los datos y anotar los valores de la diagonal principal de la matriz S .

Una modificación de la función anterior (Validación cruzada generalizada) permite obtener un estimador de la varianza de los errores del modelo:

1 n  Y − Yî  ECMPGCV (h) = ∑  i n i =1  1 − v  n  n

v = Traza(S ) = ∑ sii i =1

Donde Entonces:

ECMPGCV (h) =

nσˆ ε2 n−v

y

σˆ ε2 =

(

1 n ∑ Yi − Yî n − v i =1

)

2

2

10.4. REGRESIÓN POR SPLINES Para poder estimar la función f de la forma más sencilla posible, deberíamos poder representar

f de forma que Yi = f ( xi ) + ei , ei = 1,2...., n se convierta en un modelo lineal. Y esto se puede hacer eligiendo una base de funciones de dimensión q que genere un subespacio de funciones que incluya a f como elemento y que pueda expresarse como: q

f ( x) = ∑ β j s j (x ) j =1

Siendo

βj

s (x) un parámetro desconocido, asociado al elemento j , j de dicha base de

funciones. De manera que: q

Yi = ∑ β j s j ( x ) + ei , ei = 1,2...., n

(10.1.)

j =1

Se convierte en un modelo lineal de dimensión q . La regresión con funciones base polinómicas es la propuesta más sencilla para este tipo de estimaciones.

Supongamos que f es un polinomio de grado 4 de forma que el espacio de polinomios de grado 4 contiene a f . Una base de este subespacio es:

s1 ( x) = 1  s 2 ( x) = x  2 s3 ( x) = x  3 s 4 ( x) = x s5 ( x) = x 4  Con lo que el modelo (10.1) se convierte en:

Yi = β1 + β 2 xi + β 3 xi2 + β 4 xi3 + β 5 xi4 + ei Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios, que se utiliza como bases de funciones para aproximar curvas con formas complicadas.

Las bases de spilines más populares: •

Bases de polinomios truncados.

•

Bases de splines cúbicos.

•

Bases de B-splines.

•

Bases de thin plate splines.

Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad. Supongamos que se ha fijado un entero q ≥ 0 , de manera que disponemos de q+1 puntos, a los que denominaremos nodos, tales que

t 0 < t1 < t 2 < .... < t q

, en los que troceamos nuestro

t , t ,...., t q conjunto de. Decimos entonces que una función spline de grado q con nodos en 1 2 es una función S que satisface las condiciones: (i) en cada intervalo

[t

j −1

,t j )

, S es un polinomio de grado menor o igual a q .

(ii) S tiene una derivada de orden (q-1) continua en

[t , t ]. o

q

Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. La expresión matemática de un spline de grado 0 es la siguiente:

 S o ( x) = co x ∈ [t 0 , t1 )   S ( x)S j ( x) = c j x ∈ t j , t j +1 ) ..   S q −1 ( x) = c q −1 x ∈ t q −1 , t q )

[

[

En la figura 10.3 se muestran las gráficas correspondientes a los splines de grado cero.

Figura 10.3.

Los splines de grado 0, se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Equivale a realizar una regresión por tramos.

Yi = β o c 0 xi + β1c1 xi + .... + β q −1c q −1 xi + ei siendo

 1 x ∈ t j , t j +1 ) cj =   0 resto

[

Un spline de grado 1 o lineal se puede definir por:

 S o ( x) = a o x + bo x ∈ [t 0 , t1 )   S ( x)S j ( x) = a j x + b j x ∈ t j , t j +1 ) ..   S q −1 ( x) = a q −1 x + bq −1 x ∈ t q −1 , t q )

[

[

La representación gráfica de un spline lineal aparece en la figura 10.4:

Figura 10.4.

Las funciones de spilines más comúnmente utilizadas son las de grado 3 ó cúbicas. Son polinomios de grado tres a trozos, que son continuos en los nodos al igual que su primera y segunda derivada, proporcionando proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y a través de cálculo que no es excesivamente complejo.

[t o , t1 ], [t1 , t 2 ],..., [t q −1 , t q ], S está

Sobre cada intervalo

definido por un polinomio cúbico

diferente. Si el polinomio cúbico que representa a b en el intervalo

[t , t ], por tanto: j

j +1

 3 3 S o ( x) = a o x + bo x + co x + d o x ∈ [t 0 , t1 )   3 2 S ( x)S j ( x) = a j x + b j x + c j x + d j x ∈ t j , t j +1 ) ..   3 3 S q −1 ( x) = a q −1 x + bq −1 x + c q −1 x + d q −1 x ∈ t q −1 , t q )

[

[

Los polinomios

S j −1

Sj

y

interpolan el mismo valor en el punto

tj

, es decir, se cumple:

S j −1 ( xi ) = y i = S j ( xi ) por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico. Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline.

x* Una de las bases de splines cúbicos más utilizadas basadas en q − 2 nodos interiores, j ,

j = 1,..., q − 2 , es: S o ( x ) = 1  S ( x ) S1 ( x ) = x  * S j + 2 ( x) = R ( x, x j ) Siendo

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 4 2  R ( x, z ) = 1  z − 1 − 1  x − 1 − 1 − 1  x−z − 1 − 1 x−z − 1 +7 4  2 12  2 12 24  2 2 2 240

Con esta base de splines definimos f a través de un modelo lineal con matriz de regresores X con n filas y q columnas cuya i_esima fila es:

[

(

) (

)

(

X i = 1, xi , R xi , x1* , R xi , x 2* ,..., R xi , x k*− 2

)]

Los elementos de una base de splines cúbicos son polinomios de grado 3. Un Spline cúbico se representa en la figura 10.5

Figura 10.5.

Ejemplo 10.5 Se va a aproximar la función representada con la siguiente tabla de datos:

Y

X

2

0,1

4

0,2

5

0,4

3

0,5

2

0,7

6

0,9

Una Base de splines cúbicos basada en 2 nodos interiores,

x1* = 1

Con lo que el modelo lineal será

(

Yi = β 1 + β 2 xi + β 3 R xi , 1

3

) + β R ( x , 2 / 3) + e 4

i

i

La expresión general de la matriz de los regresores X será:

3y

x1* = 2

3,

1  1  1 X = 1 1  1 

( ( ( ( ( (

0.1 R 0.1, 1 3 0.2 R 0.2, 1 3 0.4 R 0.4, 1 3 0.5 R 0.5, 1 3 1 0.7 R 0.7, 3 1 0.9 R 0.9, 3

) ) ) ) ) )

( ( ( ( ( (

R 0.1, 2 3 R 0.2, 2 3 R 0.4, 2 3 R 0.5, 2 3 2 R 0 .7 , 3 2 R 0.9, 3

) ) ) ) ) )

Que da como resultado:

1 1  1 X = 1 1  1

0.1 - 0,001009311 - 0,00218832 0.2 0,000739918 - 0,00128477 0.4 0,002246091 0,000813992  0.5 0,001742541 0,001742541 0.7 - 0,000256224 0,001947479  0.9 - 0,002188323 - 0,00100931

De forma que los coeficientes MCO obtendidos:

Intercepción x

( 3) R (x , 2 ) 3 R xi , 1

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Probabilidad

Inferior 95%

Superior 95%

-1,28441535

0,463139089

-2,7732821

0,1091437

-3,27714201

0,70831132

9,92100052

0,890608598

11,13957416

0,00796254

6,08902101

13,75298

1541,86453

168,4360681

9,154004551

0,01172431

817,142626

2266,58644

-1745,47096

171,1229452

-10,2000989

0,00947511

-2481,75357

-1009,18835

i

Dan como resultado la siguiente estimación:

7 6 5 4

y-estimada

3

y

2 1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figura 10.6.

Un tema importante es la elección del grado de suavización del spline. Una de las posibilidades es a través del contraste de hipótesis, valorar la posibilidad de utilizar uno o más nodos. Pero lo aconsejado es mantener fija la base de splines y controlar el grado de suavización añadiendo una penalización a la función objetivo de mínimos cuadrados:

λβ ' Sβ Donde S es una matriz de orden q × q con coeficientes conocidos que dependen de la base elegida y un parámetro de suavizado λ . La solución del modelo de regresión lineal penalizado en donde la matriz de regresores está ahora definida por la base de splines y la penalización sería:

βˆ penal = ( X ' X − λS )−1 X ' y El modelo de regresión lineal con spilines penalizados es equivalente al siguiente modelo de regresión lineal:

Y ' = X 'β + e ' En donde Y = (Y ,0,0...0)' es un vector de dimensión (n + q) × 1 , es decir el vector Y seguido

de tantos ceros como nodos se han utilizado en la base de splines.

 X  X '=    B λ  tiene ahora orden (n + q) × q , siendo B una matriz que La matriz de regresores cumple S = B ' B y que se obtiene a través de la descomposición de Cholesky y λ el parámetro de suavizado y e un vector de (n + q) × 1 errores aleatorios.

Ejemplo 10.6 En el modelo anterior, el modelo de regresión lineal equivalente al penalizado se construiría con:

 2  4   5     3  2 Y'=   6  0    0  0    0

1  1  1 1  1 X '=  1  0 0  0  0

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

R 0.1, 1 3 1 R 0.2, 3 1 R 0.4, 3 R 0.5, 1 3 R 0.7, 1 3 R 0.9, 1 3 0 0 λ R 13 , 13 λ R 2 3 , 13

0.1 0.2 0.4 0.5 0.7 0.9 0 0 0

( (

0

( ( ( ( ( (

)  ) )  )  )  ) 

R 0.1, 2 3 2 R 0.2, 3 2 R 0.4, 3 R 0.5, 2 3 R 0.7, 2 3 R 0.9, 2 3 0 0 λ R 13 , 2 3 λR 23 , 23

) )

( (

     

) )

La matriz de penalización es por tanto

0 0 S =  0  0

0 0

( (

0 0

 0    = 0  0    0

0 0

0 R 1 ,1 3 3 0 R2 ,1 3 3

) R ( 13 , 2 3 ) ) R(2 3 , 2 3 )

  0 0 0  0 0,00216049 0,000102881  0 0,000102881 0,00216049  0

0

0

El parámetro de suavización, λ , es a priori desconocido y hay que determinarlo, si es muy alto suaviza los datos en exceso, un criterio utilizado para elegir el parámetro λ es del valor que minimiza el estadístico general de validación cruzada:

vg =

(

)(

n y − X ( X ' X − λS ) X ' y ' y − X ( X ' X − λS ) X ' y −1

(

−1

)

traza I − X ( X ' X − λS ) X ' −1

)

La regresión por splines puede realizarse con múltiples variables explicativas, si tenemos ahora dos explicativas,

xi y z i , y queremos estimar el siguiente modelo aditivo:

y i = f 1 ( x i ) + f 2 ( z i ) + ei Representaríamos cada una de estas dos funciones a través de una base de splines penalizados, que tomando la base cúbica quedaría: q−2

(

f 1 ( x) = δ 1 + δ 2 xi + ∑ R xi , x *j j =1

)

y q−2

(

f 2 ( z ) = γ 1 + γ 2 z i + ∑ R z i , z *j j =1

)

Ejemplo 10.7 Partiendo de la base de datos “cars” utilizada en el ejemplo 10.4, la función R “smooth.spline” realiza la regresión por splines utilizando una base de splinee cúbicos penalizados: > plot(speed, dist, main = "data(cars)

&

smoothing splines")

> cars.spl1 <- smooth.spline(speed, dist) > cars.spl1 Call: smooth.spline(x = speed, y = dist) Smoothing Parameter spar= 0.7801305 lambda= 0.1112206 (11 iterations) Equivalent Degrees of Freedom (Df): 2.635278 Penalized Criterion: 4187.776 GCV: 244.1044

En la función “smooth.spline” el parámetro de suavizado es un valor generalmente entre 0 y 1, en tanto que el coeficiente que denomina λ se obtiene en el criterio de aceptación (logaritmo de verosimilitud penalizado). En el ejercicio el programa elige un spar = 0,7801305 . Si se desea un función menos suavizada habrá que elegir un parámetro de suavizado más bajo, en linea roja se representa en el gráfico la regresión por splines que se obtendría con un parámetro de suavizado de valor 0,10. > cars.spl2 <- smooth.spline(speed, dist,spar=0.10) > lines(cars.spl1, col = "blue") > lines(cars.spl2, col = "red")

10.5. APROXIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER

La forma de Fourier permite aproximar arbitrariamente cerca tanto a la función como a sus derivadas sobre todo el dominio de definición de las mismas. La idea que subyace en este tipo de aproximaciones (que podrían denominarse semi-no-paramétricas) es ampliar el orden de la base de expansión, cuando el tamaño de la muestra aumenta, hasta conseguir la convergencia asintótica de la función aproximante a la verdadera función generadora de los datos y a sus derivadas (Gallant, A.R.;1981,1984).

Un polinomio de Fourier viene dado por la expresión:

a k + ∑ (u j cos( jwo t ) + v j sin ( jwo t )) 2 j =1 Donde k es el número de ciclos teóricos o armónicos que consideramos, siendo el máximo n/2.

w0 =

2π es la frecuencia fundamental (también denominada frecuencia angular fundamental). n

t toma los valores enteros comprendidos entre 1 y n (es decir, t = 1, 2, 3, ...n).

Los coeficientes de los armónicos vienen dados por las expresiones:

a 2 n 2 n 2 n = ∑ y i , u j = ∑ ( y i cos(w0 t i j )), v j = ∑ y i sin (wo t i j ) 2 n i =1 n i =1 n i =1 La aproximación a una función no periódica g (x) por una serie de expansión de Fourier se realiza en Gallart (1981) añadiendo es esta un término lineal y cuadrático. De esta forma que la aproximación univariada se escribe como:

g ( x / θ ) = a + bx +

1 2 J cx + ∑ u j cos( jx ) − v j s sin ( jx ) 2 j =1

(10.2.)

El vector de parámetros es θ = (a, b, c, u1v1 ,..., u J , v J ) de longitud K = 3 + 2 J . Suponiendo que los datos siguieran el modelo yi = g ( xi ) + ei para i=1,2,…,n estimariamos θ por mínimos cuadrados, minimizando 2 s n (θ ) = (1 )∑ [ y i − g K ( xi / θ )] n n

i =1

Dado que la variable exógena xi no esta expresada en forma periódica, debe de transformase o normalizarse en un intervalo de longitud menor que 2π , [0,2π ] . Considerando θ la solución al problema de minimización anterior, podríamos obtener diferentes 0

soluciones minimocuadráticas para g (x) , considerando diferentes valores de n y K y elegir aquel 2 2 de ellos que mejor aproxime, g (x) , (d / dx) g ( x) , y (d / dx ) g ( x) .

La expresión de la primera y segunda derivada de la función (10.2) son las siguientes:

D x g ( x / θ ) = b + cx + ∑ (− u j sin ( jx ) − v j cos( jx )) j J

j =1

D x2 g ( x / θ ) = c + ∑ (− u j cos( jx ) + v j sen( jx )) j 2 J

j =1

La aproximación multivariada se describe:

g ( x / θ ) = u o + b' x + Donde C = −

[

A

u α kα k ∑ α =1

0

)]

A   1 x' Cx + ∑ u 0α + 2∑ u jα cos jkα' x − v jα sin jkα' x  2 α =1  

' a

(

)

(

. La regla de formación de la secuencia {kα } está dada en Gallant

(1981) y en Gallant (1982) para diferentes sistemas.

Ejemplo 10.7 Vamos a estimar una forma de flexibilidad global para el PIB trimestral de España, en índices de volumen ajustados a estacinalidad y calendario, y utilizando como regresor los puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo, todas las series están obtenidas de la Contabilidad Nacional Trimestral de España del INE. Base 2000. Datos corregidos de estacionalidad y calendario.

Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo

Producto interior bruto

1995TI

12974

81,35

1995TII

13027

81,62

1995TIII

13043

81,85

1995TIV

13036

82,28

1996TI

13021

82,75

1996TII

13123

83,44

1996TIII

13310

84,14

1996TIV

13358

84,68

1997TI

13458

85,57

1997TII

13630

86,36

1997TIII

13756

87,35

1997TIV

13828

88,69

1998TI

13974

89,5

1998TII

14186

90,35

1998TIII

14391

91,43

1998TIV

14481

92,24

1999TI

14655

93,14

1999TII

14869

94,56

1999TIII

15026

95,99

1999TIV

15132

97,08

2000TI

15360

98,56

2000TII

15592

99,65

2000TIII

15867

100,36

2000TIV

15859

101,44

2001TI

15972

102,51

2001TII

16106

103,17

2001TIII

16290

104,12

2001TIV

16333

104,79

2002TI

16354

105,25

2002TII

16530

106,14

2002TIII

16702

106,79

2002TIV

16608

107,62

2003TI

16763

108,61

2003TII

16871

109,33

2003TIII

17108

110,02

2003TIV

17053

111,03

2004TI

17230

111,81

2004TII

17291

112,71

2004TIII

17574

114,01

2004TIV

17524

114,8

2005TI

17646

115,85

2005TII

17874

116,93

2005TIII

18225

117,93

2005TIV

18136

119,02

2006TI

18280

120,14

2006TII

18493

121,41

2006TIII

18702

122,48

2006TIV

18692

123,83

2007TI

18887

125,04

2007TII

19080

126,21

2007TIII

19253

127,13

2007TIV

19148

128,14

Fuente: Contabilidad Nacional de España. INE

La aproximación utilizada es la descrita en (10.2) con la variable dependiente transformada en un intervalo menor a 2π utilizando la siguiente función de transformación x =

2π ⋅ X . En la max( X ) 2

ecuación se utilizan 7 parámetros, la constante, el asociado x , el asociado a x 2 y los parámetros asociados a los dos primeros armónicos. El resultado de la estimación mínimo cuadrática de (10.2) aparecen en la tabla adjunta:

x

x2

COS (x)

SENO(x)

COS(2x)

SENO(2x)

2

g (x / θ )

4,2340

17,9271

-0,4603

-0,8878

-0,5762

0,8173

81,645

4,2513

18,0739

-0,4449

-0,8956

-0,6042

0,7969

82,087

4,2566

18,1183

-0,4402

-0,8979

-0,6124

0,7905

82,220

4,2543

18,0989

-0,4423

-0,8969

-0,6088

0,7933

82,162

4,2494

18,0572

-0,4466

-0,8947

-0,6010

0,7992

82,038

4,2827

18,3413

-0,4166

-0,9091

-0,6529

0,7575

82,875

4,3437

18,8677

-0,3604

-0,9328

-0,7402

0,6724

84,356

4,3594

19,0040

-0,3457

-0,9383

-0,7609

0,6488

84,725

4,3920

19,2896

-0,3149

-0,9491

-0,8016

0,5978

85,480

4,4481

19,7858

-0,2612

-0,9653

-0,8636

0,5043

86,735

4,4892

20,1534

-0,2213

-0,9752

-0,9021

0,4316

87,622

4,5127

20,3649

-0,1983

-0,9801

-0,9213

0,3888

88,118

4,5604

20,7972

-0,1514

-0,9885

-0,9541

0,2993

89,101

4,6296

21,4330

-0,0827

-0,9966

-0,9863

0,1649

90,486

4,6965

22,0569

-0,0159

-0,9999

-0,9995

0,0318

91,790

4,7259

22,3337

0,0135

-0,9999

-0,9996

-0,0269

92,357

4,7826

22,8736

0,0702

-0,9975

-0,9901

-0,1400

93,446

4,8525

23,5465

0,1396

-0,9902

-0,9610

-0,2765

94,789

4,9037

24,0464

0,1902

-0,9818

-0,9277

-0,3734

95,785

4,9383

24,3868

0,2240

-0,9746

-0,8996

-0,4366

96,466

5,0127

25,1273

0,2958

-0,9552

-0,8250

-0,5652

97,958

5,0884

25,8921

0,3672

-0,9301

-0,7303

-0,6832

99,525

5,1782

26,8134

0,4491

-0,8935

-0,5966

-0,8026

101,453

5,1756

26,7864

0,4468

-0,8946

-0,6008

-0,7994

101,396

5,2124

27,1695

0,4795

-0,8776

-0,5402

-0,8415

102,210

5,2562

27,6273

0,5174

-0,8558

-0,4647

-0,8855

103,191

5,3162

28,2621

0,5678

-0,8232

-0,3552

-0,9348

104,566

5,3302

28,4115

0,5793

-0,8151

-0,3288

-0,9444

104,891

5,3371

28,4847

0,5849

-0,8111

-0,3159

-0,9488

105,050

5,3945

29,1010

0,6305

-0,7762

-0,2050

-0,9788

106,397

5,4507

29,7098

0,6730

-0,7396

-0,0941

-0,9956

107,730

5,4200

29,3763

0,6500

-0,7599

-0,1550

-0,9879

107,000

5,4706

29,9272

0,6876

-0,7261

-0,0544

-0,9985

108,206

5,5058

30,3141

0,7128

-0,7014

0,0161

-0,9999

109,050

5,5832

31,1718

0,7648

-0,6442

0,1699

-0,9855

110,909

5,5652

30,9717

0,7531

-0,6579

0,1345

-0,9909

110,477

5,6230

31,6179

0,7899

-0,6133

0,2478

-0,9688

111,864

5,6429

31,8422

0,8019

-0,5974

0,2861

-0,9582

112,341

5,7352

32,8931

0,8536

-0,5209

0,4573

-0,8893

114,538

5,7189

32,7061

0,8450

-0,5348

0,4280

-0,9038

114,152

5,7587

33,1631

0,8656

-0,5007

0,4985

-0,8669

115,093

5,8332

34,0256

0,9004

-0,4350

0,6216

-0,7834

116,835

5,9477

35,3751

0,9443

-0,3292

0,7832

-0,6217

119,491

5,9187

35,0305

0,9343

-0,3565

0,7458

-0,6662

118,819

5,9656

35,5890

0,9500

-0,3122

0,8050

-0,5932

119,908

6,0352

36,4232

0,9694

-0,2455

0,8795

-0,4760

121,533

6,1034

37,2511

0,9839

-0,1789

0,9360

-0,3519

123,171

6,1001

37,2113

0,9833

-0,1821

0,9337

-0,3580

123,091

6,1637

37,9917

0,9929

-0,1192

0,9716

-0,2366

124,686

6,2267

38,7721

0,9984

-0,0564

0,9936

-0,1127

126,372

6,2832

39,4784

1,0000

0,0000

1,0000

0,0000

128,013

6,2489

39,0490

0,9994

-0,0343

0,9977

-0,0685

127,000

La representación gráfica de los resultados obtenidos está en la figura 10.7.

135

125

115 Aproximación FFF

105

PIB (IV)

95

85

19 95 19 TI 96 19 TI 97 19 TI 98 19 TI 99 20 TI 00 20 TI 01 20 TI 02 20 TI 03 20 TI 04 20 TI 05 20 TI 06 20 TI 07 TI

75

Figura 10.7.

A continuación figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la expansión de Fourier:

Coeficientes SENO (2X) COS (2X) SENO (x) COS(x)

x2

COEFICIENTE 25,7726 30,5090 -452,1873 153,4978 163,5181

VARIANZA 48,4461 27,1992 644,8903 389,0007 267,6648

-1623,8053 3691,2378

2811,5767 6689,6026

2

x Constante

10.6. PROBLEMAS 10.1

Estimar un funcion de densidad kernel con los siguientes datos utilizando una función de

distancia de Epanechnikov y una grilla de 12 datos con valores entre 300 y 700. 349 368 388 414 444 484 518 550 586 635 686

10.2

Realice una regresión polinómica de segundo grado entre el Consumo (Y) y la Renta (X).

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Consumo Renta 349 368 388 414 444 484 518 550 586 635 686

388 408 433 465 498 538 574 614 656 699 748

10.3

Ajuste un spiline cúbico a la relación entre ventas (Y) y publicidad (X), con base de 2

* * nodos interiores, x1 = 1 3 y x 2 = 2 3 .

2000 2001 2002 2003 2004 2005

10.4

VENTAS 500 1000 2000 3500 3800 4000

PUBLIC. 25 10 5 10 25 40

Realice el ejercicio anterior en R, señale el parámetro de suavización elegido por la

función y represente los resultados obtenidos. 10.5

Utilizando los datos del ejercicio 10.2 Ajustar una función de Fourier a la relación entre

Consumo (Y) y la Renta (X) con K=5.

SOLUCIONES 10.1. t

f(t)

300

0,00000

333,3333333

0,00195

366,6666667

0,00383

400

0,00365

433,3333333

0,00269

466,6666667

0,00234

500

0,00249

533,3333333

0,00253

566,6666667

0,00244

600

0,00197

633,3333333

0,00145

666,6666667

0,00080

700

0,00000

10.2

) Yt = 68,47 + 0,62 X t + 68,48 X t2 10.3

Yˆt = 1642,80 + 74,13 X t + 4,19 X 1*t − 4.33 X 2*t 10.4

spar = 1,485

10.5

Yˆt = 579,02 − 175,51x t + 30,86 xt2 − 7.73 cos eno( x t ) − 66,23seno( xt )

ANEXO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL MATRICES

Definición Una matriz de orden n×m contiene n·m elementos dispuestos en n filas y en m columnas; su notación matemática habitual es:

 x11 x  21  .   x n1

x12 x 22 . xn2

... x1m  ... x 2 m  ... .   ... x nm 

Tipos de Matrices Una matriz de orden 1×m tiene una sola fila y m columnas y recibe la denominación de vector fila:

[ x11

x12 ... x1m ]

Una matriz de orden n×1 tiene n filas y una sola columna y recibe el nombre de vector columna:

 x11  x   21   M     x n1  Una matriz que posee con igual número de filas que de columnas, es decir, de orden n×n, se denomina matriz cuadrada.

 x11 x  21  .   xn 1

x12 x22 . xn 2

... x1n  ... x2 n   ... .   ... xnn 

Llamamos matriz unidad o identidad a la matriz cuadrada de orden n×n con n unos situados en la diagonal principal, siendo ceros los elementos restantes; es decir:

1 0 ... 0 0 1 ... 0  In =   . . ... .    0 0 ... 1  Una matriz diagonal es aquella que únicamente tiene al menos un elemento no nulo en la diagonal principal, es decir:

a11 0 A=  .  0

0 a 22 . 0

0  0  ... .   ... a nn  ... ...

Una matriz derivada de otra a la que se le han eliminado parte de sus filas y columnas, se denomina submatriz.

Ejemplo

2 1 0  3 − 2   B = seria una submatriz de la matriz A=  1 3 − 2 , de orden 3×3.  2 1  − 1 2 1 

Operaciones con matrices

Suma Si dos matrices A y B son del mismo orden, y tienen como elementos genéricos aij y bij, definimos la matriz C, suma de A y B, como la matriz cuyo elemento genérico sería cij=aij+bij. Así, por ejemplo, si disponemos de dos matrices, A y B, de orden 2×2:

a12  a A =  11   a21 a22 

b  b B =  11 12  b21 b22 

La suma de ambas matrices sería:

a12   b11 b12   a11 + b11 a12 + b12  a C =  11 + =   a21 a22  b21 b22   a21 + b21 a22 + b22  Multiplicación

a) Multiplicación por un escalar La matriz A multiplicada por un número escalar λ cualquiera, da como resultado otra matriz cuyo elemento genérico es λ·aij. Así, por ejemplo, si consideramos una matriz de orden 2×2, el resultado de multiplicarla por un escalar λ sería:

 a11 a 21

λ

a12   λa11 = a 22  λa 21

λa12  λa 22 

b) Multiplicación de matrices Si una matriz A es de orden m×n y la B es de orden n×p (o si la matriz A es de orden n×m y la B es de orden p×n), definimos la matriz C, producto de A y B, como la matriz de orden m×p (ó n×n) cuyo elemento genérico es:

n

cij = ∑ aik bkj k =1

Por ejemplo, si deseáramos multiplicar una matriz de orden 3×2 por una matriz de orden 2×3 tendríamos que el resultado es una matriz 3×3 tal que:

 a11 a12  b b a a22 · 11 12 21   b21 b22  a31 a32 

a11b12 + a12b22 a b + a b b13   11 11 12 21 = a b +a b a b + a22b22 b23   21 11 22 21 21 12  a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22

a11b13 + a12b23  a21b13 + a22b23   a31b13 + a32b23 

Del mismo modo, si quisiéramos multiplicar una matriz de orden 2×3 por una matriz de orden 3×2 tendríamos que el resultado es una matriz 2×2 de la forma:

 b11 b12 b  21 b22

a12  a b13   11 b11a12 + b12 a22 + b13a32  b a + b a + b a · a21 a22  =  11 11 12 21 13 31   b21a11 + b22 a21 + b23a31 b21a12 + b22 a22 + b23a32  b23    a31 a32 

En conclusión, para que dos matrices se puedan multiplicar tiene que existir coincidencia entre el número de columnas de la primera matriz y el número de filas de la segunda matriz o viceversa.

Ejemplo

2 × ( −1) + 1 × 2 + 0 × 1   5 0  2 1 0   2 −1  2 × 2 + 1 × 1 + 0 × 3  1 3 −2 · 1 2  = 1 × 2 + 3 × 1 + ( −2) × 3 1 × ( −1) + 3 × 2 + ( −2) × 1 =  −1 3         −1 2 1   3 1   ( −1) × 2 + 2 × 1 + 1 × 3 ( −1) × ( −1) + 2 × 2 + 1 × 1  3 6 c) Producto Kronecker Otra forma de multiplicación matricial es el producto directo o Kronecker. Si A es una matriz de orden m×n y B es de orden p×q, el producto Kronecker A ⊗ B se define como:

 a11 B a12 B a B a B 22 A ⊗ B =  21  . .  a m1 B a m 2 B

... a1n B  ... a 2 n B  ... .   ... a mn B 

La matriz resultante A ⊗ B es una matriz de orden mp×nq.

Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A de rango n×m es una matriz A’ de orden m×n obtenida mediante el intercambio de filas y columnas de A, de tal forma que el elemento genérico aij pasa a ser aji en la matriz traspuesta. Por ejemplo, si consideramos una matriz de orden 3×2:

 a11 A = a21 a31

a12  a22  a32 

Su traspuesta será:

a A' =  11 a12

a 21 a 22

a 31  a 32 

Las matrices traspuestas verifican las siguientes propiedades:

1) (A’)’=A 2) (A+B)’=A’+B’ 3) (AB)’=A’B’ 4) Si una matriz verifica AA’=A’A=I se dice que A es una matriz ortogonal 5) Si una matriz de orden n×n verifica que A=A’, esto es, que los elementos situados por encima de la diagonal principal son simétricos a los elementos situados por debajo de la diagonal principal, se dice que es una matriz simétrica.

Ejemplo La matriz A es simétrica tal que:

 3 −1 1  A = A′ =  −1 5 −1    1 −1 3 

DETERMINANTES Una matriz cuadrada A de orden n×n se puede hacer corresponder con un escalar A , denominado determinante, a partir de la suma de los productos cruzados de sus elementos.

Así, el determinante de una matriz A de orden 2×2 puede obtenerse como:

A=

a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22

Del mismo modo, el determinante de una matriz de orden 3×3 se obtiene operando de la siguiente forma:

a11 A = a 21

a12 a 22

a13 a 23 = a11 a 22 a33 − a12 a 21 a33 + a12 a 23 a31 − a13 a 22 a31 + a13 a 21 a32 − a11 a 23 a32

a 31

a32

a 33

En el cálculo de un determinante hay que tener presente que: −

Cada término contiene uno y solo un elemento de cada fila y cada columna.

−

El número de elementos de cada término es el mismo que el número de filas (o columnas) del determinante. El determinante de una matriz de orden 2×2 tiene dos elementos en cada término, mientras que un determinante de una matriz de orden 3×3 tiene tres elementos en cada término; y en general, un determinante n×n tiene n elementos en cada término.

−

Los términos alternan en signo.

−

El desarrollo de un determinante 2×2 tiene dos términos, mientras que el determinante de una matriz de orden 3×3, seis términos. Y en general, un determinante de orden n×n tiene n! términos.

Propiedades de los determinantes −

Una matriz cuyo determinante tiene valor cero se denomina matriz singular.

−

Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, el determinante también será cero.

−

El determinante de una matriz con dos filas (o columnas) iguales es cero.

−

El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales tal que A = A ' .

−

El intercambio de dos filas o de dos columnas cualesquiera de una matriz cambian el signo de su determinante.

RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz se define como el número máximo de columnas de A que son linealmente independientes. En el caso de una matriz no singular, (tal que A ≠ 0 ), el rango de A viene dado por el número de filas (o columnas) de A. En el caso de una matriz singular, A = 0 , el rango será el orden de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante no sea igual a cero.

Ejemplo Sea la matriz A:

2 1 0  A = 0 1 − 2 1 0 1  La matriz A es singular ya que:

2 1 0 A = 0 1 − 2 = 2 × 1 × 1 − 1 × 0 × 1 + 1 × (−2) × 1 − 0 × 1 × 1 + 0 × 0 × 0 − 2 × (−2) × 0 = 0 1 0

1

1 − 2  es una submatriz de la matriz A, y el determinante de dicha submatriz no es 0 1 

Dado que 

cero: 1×1-(-2)×0, entonces el rango de A es 2.

Menor y cofactor del elemento aij de una matriz Se denomina menor Aij

del elemento aij de una matriz al determinante de la submatriz

resultante de eliminar la fila y la columna correspondiente a dicho elemento. Así, en una matriz de orden 3×3:

 a11 A =  a 21  a 31 El menor de a11 será A11 = será A13 =

a 21

a 22

a 31

a32

a 22

a 23

a 32

a33

a12 a 22 a 32

a13  a 23  a 33 

, el menor de a12 será A12 =

a 21

a 23

a 31

a 33

y el menor de a13

Por su parte, el cofactor de un elemento aij se define como:

cij = (−1) ij Aij En el ejemplo anterior, en la matriz A el cofactor c11 = A11 , el cofactor c12 = − A12 y el cofactor

c13 = A13 .

En consecuencia el determinante de una matriz A cuadrada de orden 3, se puede escribir como:

A = a11c11 + a12 c12 + a13 c13 = a11 A11 − a12 A12 + a13 A13

Y en general el determinante de una matriz cuadrada de orden n, puede ser desarrollado a partir de los elementos de cualquier fila, mediante la siguiente expresión:

A = ai1ci1 + ai 2 ci 2 + ... + ain cin

Ejemplo

2 1 0  A =  1 3 − 2 − 1 2 1  El determinante de A puede ser escrito como:

A =2

3 −2 1 −2 1 3 −1 +0 = 15 2 1 −1 1 −1 2

La matriz de cofactores de una matriz A de orden n×n se obtiene reemplazando cada elemento de dicha matriz por su cofactor.

La transpuesta de la matriz de cofactores recibe el nombre de matriz adjunta de A.

MATRICES INVERSAS La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden n, A-1, es aquella que verifica que A·A-1=I. La inversa de una matriz se calcula a partir de la siguiente expresión:

 c11  A   . 1 (adjA) =  .  A  .  c1n  A 

c 21 A . . . c2 n A

... ... ... ... ...

c n1  A  .  .   .  c nn  A 

En consecuencia para hallar la inversa de una matriz hay que realizar los siguientes pasos: 1. Calcular el determinante de dicha matriz. 2. Obtener los cofactores, y con ellos la matriz de cofactores. 3. Transponer la matriz de cofactores para obtener la matriz adjunta. 4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta por el determinante de A.

Ejemplo

2 1 0  A =  1 3 − 2 − 1 2 1 

El determinante es A = 15 La matriz de cofactores es:  3   2  1 −  2  1   3

−2 1 0 1 0 −2

−

1

−2

−1

1

2 0 −1 1 −

2

0

1 −2

3   −1 2  7 1 5 2 1  −  = − 1 2 − 5  −1 2   − 2 4 5    2 1   1 3  1

Y la matriz adjunta de A es:

7 − 1 − 2  adjA = 1 2 4  5 − 5 5  Por tanto, la inversa de A es:

7 15 1 A −1 =  15 5 15

−1 15 2 15 5 − 15

− 2 15   0,46ˆ − 0,06ˆ − 0,13ˆ  4    =  0,406ˆ 0,13ˆ 0,26ˆ  15   5  − 0,33ˆ − 0,33ˆ − 0,33ˆ 15 

Propiedad Dado el producto de dos matrices A·B=C, donde A es una matriz cuadrada no singular, se verifica que B=A-1·C.

DIAGONALIZACIÓN, VALORES SINGULARES E INVERSA GENERALIZADA Sea A una matriz cuadrada de orden n×n:

 a11 a A =  21  .   an1

a12 a 22 . an 2

... a1n  ... a 2 n   ... .   ... ann 

Se dice que el vector:

 v1  v  V =  2 .   v n  es un vector propio de A de valor propio λ si verifica que:

AV = λV Los valores propios λ se obtienen resolviendo la ecuación característica, ecuación polinómica de grado n, que se obtiene igualando a cero el determinante de la matriz A − λI , es decir, resolviendo:

A − λI = 0

La solución de la ecuación característica origina un polinomio con respecto a λ, cuya solución implica la existencia de n raíces ó n posibles valores para λ.

Así, por ejemplo, si A es una matriz de orden 2×2, entonces su ecuación característica se obtiene como:

A − λI =

a11 − λ a 21

a12 = (a11 − λ )(a 22 − λ ) − a12 a 21 = 0 a 22 − λ

(a11 − λ )(a 22 − λ ) − a12 a 21 = λ2 − λ (a11 + a 22 ) + a11 a 22 − a12 a 21 = 0

Si λ es una raíz, entonces el vector propio de valor propio λ puede obtenerse resolviendo a su vez el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(a11 − λ )v1 + a12 v 2 + ... + a1n v n = 0 a11v1 + (a12 − λ )v 2 + ... + a1n v n = 0 ..................................................... a11v1 + a12 v 2 + ... + (a1n − λ )v n = 0 O en expresado matricialmente:

( A − λI )V = 0 Como puede apreciarse, una matriz A tiene tantos vectores propios como raíces o valores propios tenga.

Propiedades −

El producto de los valores propios de una matriz es igual a su determinante.

−

Si C es la matriz-columna de todos los vectores propios de A y Dλ es la matriz diagonal con todos los vectores propios entonces se demuestra que:

AC = CDλ −

Si la matriz A es simétrica entonces sus valores propios son siempre números reales; si además son positivos se dice que es una matriz simétrica definida positiva.

Si una matriz simétrica es definida positiva de rango n y se puede descomponer en la forma:

A = PP' donde P es una matriz de rango n y de orden n×n no necesariamente simétrica.

−

Toda matriz simétrica puede expresarse como el producto:

A = CDλ C ' Donde C es una matriz ortogonal, con los vectores propios normalizados. −

Asimismo, si una matriz A es definida positiva, entonces existe una matriz Λ , tal que:

  Λ=   

λ1

0

0

λ2

. .

. 0

. 0

. .

0   0  .   λ n 

verificándose entonces que P = C Λ .

Ejemplo Sea la matriz A:

 3 −1 1  A = − 1 5 − 1  1 − 1 3  La ecuación característica a través de la que calculamos los valores propios de A es:

A − λI = λ3 − 11λ2 + 36λ − 36 = 0 Las raíces de la ecuación característica son λ1 = 6, λ 2 = 3, λ3 = 2 ; al ser los valores propios números reales positivos, la matriz A es definida positiva. El vector propio correspondiente al valor propio λ1 = 6 , se obtiene resolviendo el siguiente sistema lineal:

(3 − 6)v1 − v 2 + v3 = 0 − v1 + (5 − 6)v 2 − v3 = 0 v1 − v 2 + (3 − 6)v3 = 0

La solución de dicho sistema es v1 = 1, v 2 = −2, v3 = 1 De igual forma, podemos calcular los vectores propios asociados a λ 2 = 3 y λ3 = 2.

La matriz ortogonal con los vectores propios de A normalizados será entonces:

 1  6  C =  −2 6   1  6

 2   1 0  3   1 1 − 3 2  1

1

3

Y entonces se verifica que:

A = CDλ C '  1  6  3 −1 1   −1 5 −1 =  −2    6  1 −1 3    1  6

 1 −2  3 2 6 0 0  6 6    1 1 0 · 0 3 0 · 1   3 3 3  0 0 2    1 1 − 1  0  3 2  2

1

1

y además:

P = CΛ  1  6  P =  −2 6   1  6

 3 2  6  1 0  0 3  0 1 − 1    3 2 1

1

0 3 0

0   0   2 

 6   1  3  − 1  2  1

ANEXO II. TABLAS ESTADÍSTICAS

TABLA II.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL (0, 1) 0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1

0.5000 0.5398

0.5040 0.5438

0.5080 0.5478

0.5120 0.5517

0.5160 0.5557

0.5199 0.5596

0.5239 0.5636

0.5279 0.5675

0.5319 0.5714

0.5359 0.5753

0.2

0.5793

0.5832

0.5871

0.5910

0.5948

0.5987

0.6026

0.6064

0.6103

0.6141

0.3

0.6179

0.6217

0.6255

0.6293

0.6331

0.6368

0.6406

0.6443

0.6480

0.6517

0.4

0.6554

0.6591

0.6628

0.6664

0.6700

0.6736

0.6772

0.6808

0.6844

0.6879

0.5

0.6915

0.6950

0.6985

0.7019

0.7054

0.7088

0.7123

0.7157

0.7190

0.7224

0.6

0.7257

0.7291

0.7324

0.7357

0.7389

0.7422

0.7454

0.7486

0.7517

0.7549

0.7

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7764

0.7794

0.7823

0.7852

0.8

0.7881

0.7910

0.7939

0.7967

0.7995

0.8023

0.8051

0.8078

0.8106

0.8133

0.9

0.8159

0.8186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

0.8340

0.8365

0.8389

1.0

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8508

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

1.1

0.8643

0.8665

0.8686

0.8708

0.8729

0.8749

0.8770

0.8790

0.8810

0.8830

1.2

0.8849

0.8869

0.8888

0.8907

0.8925

0.8944

0.8962

0.8980

0.8997

0.9015

1.3

0.9032

0.9049

0.9066

0.9082

0.9099

0.9115

0.9131

0.9147

0.9162

0.9177

1.4

0.9192

0.9207

0.9222

0.9236

0.9251

0.9265

0.9279

0.9292

0.9306

0.9319

1.5

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

0.9394

0.9406

0.9418

0.9429

0.9441

1.6

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9495

0.9505

0.9515

0.9525

0.9535

0.9545

1.7

0.9554

0.9564

0.9573

0.9582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

0.9625

0.9633

1.8

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9686

0.9693

0.9699

0.9706

1.9

0.9713

0.9719

0.9726

0.9732

0.9738

0.9744

0.9750

0.9756

0.9761

0.9767

2.0

0.9772

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

2.2

0.9861

0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9890

2.3

0.9893

0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

0.9913

0.9916

2.4

0.9918

0.9920

0.9922

0.9925

0.9927

0.9929

0.9931

0.9932

0.9934

0.9936

2.5

0.9938

0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

0.9951

0.9952

2.6

0.9953

0.9955

0.9956

0.9957

0.9959

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9964

2.7

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

2.8

0.9974

0.9975

0.9976

0.9977

0.9977

0.9978

0.9979

0.9979

0.9980

0.9981

2.9

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9985

0.9985

0.9986

0.9986

0.0

0.5000

0.5040

0.5080

0.5120

0.5160

0.5199

0.5239

0.5279

0.5319

0.5359

3.1

0.9990

0.9991

0.9991

0.9991

0.9992

0.9992

0.9992

0.9992

0.9993

0.9993

3.2

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9994

0.9995

0.9995

0.9995

3.3

0.9995

0.9995

0.9995

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9996

0.9997

3.4

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9998

3.5

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

0.9998

3.6

0.9998

0.9998

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.7

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.8

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

3.9

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

TABLA II.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT K

0.995

0.99

0.975

0.95

0.9

0.8

0.75

0.7

0.6

0.55

1

63.656

31.821

12.706

6.314

3.078

1.376

1.000

0.727

0.325

0.158

2

9.925

6.965

4.303

2.920

1.886

1.061

0.816

0.617

0.289

0.142

3

5.841

4.541

3.182

2.353

1.638

0.978

0.765

0.584

0.277

0.137

4

4.604

3.747

2.776

2.132

1.533

0.941

0.741

0.569

0.271

0.134

5

4.032

3.365

2.571

2.015

1.476

0.920

0.727

0.559

0.267

0.132

6

3.707

3.143

2.447

1.943

1.440

0.906

0.718

0.553

0.265

0.131

7

3.499

2.998

2.365

1.895

1.415

0.896

0.711

0.549

0.263

0.130

8

3.355

2.896

2.306

1.860

1.397

0.889

0.706

0.546

0.262

0.130

9

3.250

2.821

2.262

1.833

1.383

0.883

0.703

0.543

0.261

0.129

10

3.169

2.764

2.228

1.812

1.372

0.879

0.700

0.542

0.260

0.129

11

3.106

2.718

2.201

1.796

1.363

0.876

0.697

0.540

0.260

0.129

12

3.055

2.681

2.179

1.782

1.356

0.873

0.695

0.539

0.259

0.128

13

3.012

2.650

2.160

1.771

1.350

0.870

0.694

0.538

0.259

0.128

14

2.977

2.624

2.145

1.761

1.345

0.868

0.692

0.537

0.258

0.128

15

2.947

0.000

2.131

1.753

1.341

0.866

0.691

0.536

0.258

0.128

16

2.921

2.583

2.120

1.746

1.337

0.865

0.690

0.535

0.258

0.128

17

2.898

2.567

2.110

1.740

1.333

0.863

0.689

0.534

0.257

0.128

18

2.878

2.552

2.101

1.734

1.330

0.862

0.688

0.534

0.257

0.127

19

2.861

2.539

2.093

1.729

1.328

0.861

0.688

0.533

0.257

0.127

20

2.845

2.528

2.086

1.725

1.325

0.860

0.687

0.533

0.257

0.127

21

2.831

2.518

2.080

1.721

1.323

0.859

0.686

0.532

0.257

0.127

22

2.819

2.508

2.074

1.717

1.321

0.858

0.686

0.532

0.256

0.127

23

2.807

2.500

2.069

1.714

1.319

0.858

0.685

0.532

0.256

0.127

24

2.797

2.492

2.064

1.711

1.318

0.857

0.685

0.531

0.256

0.127

25

2.787

2.485

2.060

1.708

1.316

0.856

0.684

0.531

0.256

0.127

26

2.779

2.479

2.056

1.706

1.315

0.856

0.684

0.531

0.256

0.127

27

2.771

2.473

2.052

1.703

1.314

0.855

0.684

0.531

0.256

0.127

28

2.763

2.467

2.048

1.701

1.313

0.855

0.683

0.530

0.256

0.127

29

2.756

2.462

2.045

1.699

1.311

0.854

0.683

0.530

0.256

0.127

30

2.750

2.457

2.042

1.697

1.310

0.854

0.683

0.530

0.256

0.127

40

2.704

2.423

2.021

1.684

1.303

0.851

0.681

0.529

0.255

0.126

60

2.660

2.390

2.000

1.671

1.296

0.848

0.679

0.527

0.254

0.126

2.576

2.326

1.960

1.645

1.282

0.842

0.674

0.524

0.253

0.126

∞

2 TABLA II.3. DISTRIBUCIÓN χ k

K

0.995

0.99

0.975

0.95

0.9

0.75

0.5

0.25

0.1

0.05

0.025

0.01

1

7.8794

6.6349

5.0239

3.8415

2.7055

1.3233

0.4549

0.1015

0.0158

0.0039

0.0010

0.0002

2

10.5965

9.2104

7.3778

5.9915

4.6052

2.7726

1.3863

0.5754

0.2107

0.1026

0.0506

0.0201

3

12.8381

11.3449

9.3484

7.8147

6.2514

4.1083

2.3660

1.2125

0.5844

0.3518

0.2158

0.1148

4

14.8602

13.2767

11.1433

9.4877

7.7794

5.3853

3.3567

1.9226

1.0636

0.7107

0.4844

0.2971

5

16.7496

15.0863

12.8325

11.0705

9.2363

6.6257

4.3515

2.6746

1.6103

1.1455

0.8312

0.5543

6

18.5475

16.8119

14.4494

12.5916

10.6446

7.8408

5.3481

3.4546

2.2041

1.6354

1.2373

0.8721

7

20.2777

18.4753

16.0128

14.0671

12.0170

9.0371

6.3458

4.2549

2.8331

2.1673

1.6899

1.2390

8

21.9549

20.0902

17.5345

15.5073

13.3616

10.2189

7.3441

5.0706

3.4895

2.7326

2.1797

1.6465

9

23.5893

21.6660

19.0228

16.9190

14.6837

11.3887

8.3428

5.8988

4.1682

3.3251

2.7004

2.0879

10

25.1881

23.2093

20.4832

18.3070

15.9872

12.5489

9.3418

6.7372

4.8652

3.9403

3.2470

2.5582

11

26.7569

24.7250

21.9200

19.6752

17.2750

13.7007

10.3410

7.5841

5.5778

4.5748

3.8157

3.0535

12

28.2997

26.2170

23.3367

21.0261

18.5493

14.8454

11.3403

8.4384

6.3038

5.2260

4.4038

3.5706

13

29.8193

27.6882

24.7356

22.3620

19.8119

15.9839

12.3398

9.2991

7.0415

5.8919

5.0087

4.1069

14

31.3194

29.1412

26.1189

23.6848

21.0641

17.1169

13.3393

10.1653

7.7895

6.5706

5.6287

4.6604

15

32.8015

30.5780

27.4884

24.9958

22.3071

18.2451

14.3389

11.0365

8.5468

7.2609

6.2621

5.2294

16

34.2671

31.9999

28.8453

26.2962

23.5418

19.3689

15.3385

11.9122

9.3122

7.9616

6.9077

5.8122

17

35.7184

33.4087

30.1910

27.5871

24.7690

20.4887

16.3382

12.7919

10.0852

8.6718

7.5642

6.4077

18

37.1564

34.8052

31.5264

28.8693

25.9894

21.6049

17.3379

13.6753

10.8649

9.3904

8.2307

7.0149

19

38.5821

36.1908

32.8523

30.1435

27.2036

22.7178

18.3376

14.5620

11.6509

10.1170

8.9065

7.6327

20

39.9969

37.5663

34.1696

31.4104

28.4120

23.8277

19.3374

15.4518

12.4426

10.8508

9.5908

8.2604

21

41.4009

38.9322

35.4789

32.6706

29.6151

24.9348

20.3372

16.3444

13.2396

11.5913

10.2829

8.8972

22

42.7957

40.2894

36.7807

33.9245

30.8133

26.0393

21.3370

17.2396

14.0415

12.3380

10.9823

9.5425

23

44.1814

41.6383

38.0756

35.1725

32.0069

27.1413

22.3369

18.1373

14.8480

13.0905

11.6885

10.1957

24

45.5584

42.9798

39.3641

36.4150

33.1962

28.2412

23.3367

19.0373

15.6587

13.8484

12.4011

10.8563

25

46.9280

44.3140

40.6465

37.6525

34.3816

29.3388

24.3366

19.9393

16.4734

14.6114

13.1197

11.5240

26

48.2898

45.6416

41.9231

38.8851

35.5632

30.4346

25.3365

20.8434

17.2919

15.3792

13.8439

12.1982

27

49.6450

46.9628

43.1945

40.1133

36.7412

31.5284

26.3363

21.7494

18.1139

16.1514

14.5734

12.8785

28

50.9936

48.2782

44.4608

41.3372

37.9159

32.6205

27.3362

22.6572

18.9392

16.9279

15.3079

13.5647

29

52.3355

49.5878

45.7223

42.5569

39.0875

33.7109

28.3361

23.5666

19.7677

17.7084

16.0471

14.2564

30

53.6719

50.8922

46.9792

43.7730

40.2560

34.7997

29.3360

24.4776

20.5992

18.4927

16.7908

14.9535

40

66.7660

63.6908

59.3417

55.7585

51.8050

45.6160

39.3353

33.6603

29.0505

26.5093

24.4331

22.1642

50

79.4898

76.1538

71.4202

67.5048

63.1671

56.3336

49.3349

42.9421

37.6886

34.7642

32.3574

29.7067

60

91.9518

88.3794

83.2977

79.0820

74.3970

66.9815

59.3347

52.2938

46.4589

43.1880

40.4817

37.4848

70

104.2148

100.4251

95.0231

90.5313

85.5270

77.5766

69.3345

61.6983

55.3289

51.7393

48.7575

45.4417

80

116.3209

112.3288

106.6285

101.8795

96.5782

88.1303

79.3343

71.1445

64.2778

60.3915

57.1532

53.5400

90

128.2987

124.1162

118.1359

113.1452

107.5650

98.6499

89.3342

80.6247

73.2911

69.1260

65.6466

61.7540

100

140.1697

135.8069

129.5613

124.3421

118.4980

109.1412

99.3341

90.1332

82.3581

77.9294

74.2219

70.0650

TABLA II.4. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR Percentiles de 95 (n1 = Grados de libertad del numerador; n2 = Grados de libertad del denominador)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

25

30

40

50

120

∞

1

161.4

199.5

215.7

224.6

230.2

234.0

236.8

238.9

240.5

241.9

245.9

248.0

249.3

250.1

251.1

251.8

253.3

254.3

2

18.51

19.00

19.16

19.25

19.30

19.33

19.35

19.37

19.38

19.40

19.43

19.45

19.46

19.46

19.47

19.48

19.49

19.50

3

10.13

9.55

9.28

9.12

9.01

8.94

8.89

8.85

8.81

8.79

8.70

8.66

8.63

8.62

8.59

8.58

8.55

8.53

4

7.71

6.94

6.59

6.39

6.26

6.16

6.09

6.04

6.00

5.96

5.86

5.80

5.77

5.75

5.72

5.70

5.66

5.63

5

6.61

5.79

5.41

5.19

5.05

4.95

4.88

4.82

4.77

4.74

4.62

4.56

4.52

4.50

4.46

4.44

4.40

4.37

6

5.99

5.14

4.76

4.53

4.39

4.28

4.21

4.15

4.10

4.06

3.94

3.87

3.83

3.81

3.77

3.75

3.70

3.67

7

5.59

4.74

4.35

4.12

3.97

3.87

3.79

3.73

3.68

3.64

3.51

3.44

3.40

3.38

3.34

3.32

3.27

3.23

8

5.32

4.46

4.07

3.84

3.69

3.58

3.50

3.44

3.39

3.35

3.22

3.15

3.11

3.08

3.04

3.02

2.97

2.93

9

5.12

4.26

3.86

3.63

3.48

3.37

3.29

3.23

3.18

3.14

3.01

2.94

2.89

2.86

2.83

2.80

2.75

2.71

10

4.96

4.10

3.71

3.48

3.33

3.22

3.14

3.07

3.02

2.98

2.85

2.77

2.73

2.70

2.66

2.64

2.58

2.54

11

4.84

3.98

3.59

3.36

3.20

3.09

3.01

2.95

2.90

2.85

2.72

2.65

2.60

2.57

2.53

2.51

2.45

2.40

12

4.75

3.89

3.49

3.26

3.11

3.00

2.91

2.85

2.80

2.75

2.62

2.54

2.50

2.47

2.43

2.40

2.34

2.30

13

4.67

3.81

3.41

3.18

3.03

2.92

2.83

2.77

2.71

2.67

2.53

2.46

2.41

2.38

2.34

2.31

2.25

2.21

14

4.60

3.74

3.34

3.11

2.96

2.85

2.76

2.70

2.65

2.60

2.46

2.39

2.34

2.31

2.27

2.24

2.18

2.13

15

4.54

3.68

3.29

3.06

2.90

2.79

2.71

2.64

2.59

2.54

2.40

2.33

2.28

2.25

2.20

2.18

2.11

2.07

16

4.49

3.63

3.24

3.01

2.85

2.74

2.66

2.59

2.54

2.49

2.35

2.28

2.23

2.19

2.15

2.12

2.06

2.01

17

4.45

3.59

3.20

2.96

2.81

2.70

2.61

2.55

2.49

2.45

2.31

2.23

2.18

2.15

2.10

2.08

2.01

1.96

18

4.41

3.55

3.16

2.93

2.77

2.66

2.58

2.51

2.46

2.41

2.27

2.19

2.14

2.11

2.06

2.04

1.97

1.92

19

4.38

3.52

3.13

2.90

2.74

2.63

2.54

2.48

2.42

2.38

2.23

2.16

2.11

2.07

2.03

2.00

1.93

1.88

n1

n2

20

4.35

3.49

3.10

2.87

2.71

2.60

2.51

2.45

2.39

2.35

2.20

2.12

2.07

2.04

1.99

1.97

1.90

1.84

21

4.32

3.47

3.07

2.84

2.68

2.57

2.49

2.42

2.37

2.32

2.18

2.10

2.05

2.01

1.96

1.94

1.87

1.81

22

4.30

3.44

3.05

2.82

2.66

2.55

2.46

2.40

2.34

2.30

2.15

2.07

2.02

1.98

1.94

1.91

1.84

1.78

23

4.28

3.42

3.03

2.80

2.64

2.53

2.44

2.37

2.32

2.27

2.13

2.05

2.00

1.96

1.91

1.88

1.81

1.76

24

4.26

3.40

3.01

2.78

2.62

2.51

2.42

2.36

2.30

2.25

2.11

2.03

1.97

1.94

1.89

1.86

1.79

1.73

25

4.24

3.39

2.99

2.76

2.60

2.49

2.40

2.34

2.28

2.24

2.09

2.01

1.96

1.92

1.87

1.84

1.77

1.71

26

4.23

3.37

2.98

2.74

2.59

2.47

2.39

2.32

2.27

2.22

2.07

1.99

1.94

1.90

1.85

1.82

1.75

1.69

27

4.21

3.35

2.96

2.73

2.57

2.46

2.37

2.31

2.25

2.20

2.06

1.97

1.92

1.88

1.84

1.81

1.73

1.67

28

4.20

3.34

2.95

2.71

2.56

2.45

2.36

2.29

2.24

2.19

2.04

1.96

1.91

1.87

1.82

1.79

1.71

1.65

29

4.18

3.33

2.93

2.70

2.55

2.43

2.35

2.28

2.22

2.18

2.03

1.94

1.89

1.85

1.81

1.77

1.70

1.64

30

4.17

3.32

2.92

2.69

2.53

2.42

2.33

2.27

2.21

2.16

2.01

1.93

1.88

1.84

1.79

1.76

1.68

1.62

40

4.08

3.23

2.84

2.61

2.45

2.34

2.25

2.18

2.12

2.08

1.92

1.84

1.78

1.74

1.69

1.66

1.58

1.51

60

4.00

3.15

2.76

2.53

2.37

2.25

2.17

2.10

2.04

1.99

1.84

1.75

1.69

1.65

1.59

1.56

1.47

1.39

120

3.92

3.07

2.68

2.45

2.29

2.18

2.09

2.02

1.96

1.91

1.75

1.66

1.60

1.55

1.50

1.46

1.35

1.25

∞

3.84

3.00

2.60

2.37

2.21

2.10

2.01

1.94

1.88

1.83

1.67

1.57

1.51

1.46

1.39

1.35

1.22

1.01

Percentiles de 99 (n1 = Grados de libertad del numerador; n2 = Grados de libertad del denominador)

∞

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

25

30

40

50

120

1

4052.18

4999.34

5403.53

5624.26

5763.96

5858.95

5928.33

5980.95

6022.40

6055.93

2

98.50

99.00

99.16

99.25

99.30

99.33

99.36

99.38

99.39

99.40

34.12

30.82

29.46

28.71

28.24

27.91

27.67

27.49

27.34

27.23

4

21.20

18.00

16.69

15.98

15.52

15.21

14.98

14.80

14.66

14.55

5

16.26

13.27

12.06

11.39

10.97

10.67

10.46

10.29

10.16

10.05

6208 .66 99.4 5 26.6 9 14.0 2 9.55

6239 .86 99.4 6 26.5 8 13.9 1 9.45

6260 .35 99.4 7 26.5 0 13.8 4 9.38

6286 .43 99.4 8 26.4 1 13.7 5 9.29

6302 .26 99.4 8 26.3 5 13.6 9 9.24

6339 .51 99.4 9 26.2 2 13.5 6 9.11

6365. 59 99.50

3

6156 .97 99.4 3 26.8 7 14.2 0 9.72

6

13.75

10.92

9.78

9.15

8.75

8.47

8.26

8.10

7.98

7.87

7.56

7.40

7.30

7.23

7.14

7.09

6.97

6.88

7

12.25

9.55

8.45

7.85

7.46

7.19

6.99

6.84

6.72

6.62

6.31

6.16

6.06

5.99

5.91

5.86

5.74

5.65

8

11.26

8.65

7.59

7.01

6.63

6.37

6.18

6.03

5.91

5.81

5.52

5.36

5.26

5.20

5.12

5.07

4.95

4.86

9

10.56

8.02

6.99

6.42

6.06

5.80

5.61

5.47

5.35

5.26

4.96

4.81

4.71

4.65

4.57

4.52

4.40

4.31

10

10.04

7.56

6.55

5.99

5.64

5.39

5.20

5.06

4.94

4.85

4.56

4.41

4.31

4.25

4.17

4.12

4.00

3.91

11

9.65

7.21

6.22

5.67

5.32

5.07

4.89

4.74

4.63

4.54

4.25

4.10

4.01

3.94

3.86

3.81

3.69

3.60

12

9.33

6.93

5.95

5.41

5.06

4.82

4.64

4.50

4.39

4.30

4.01

3.86

3.76

3.70

3.62

3.57

3.45

3.36

13

9.07

6.70

5.74

5.21

4.86

4.62

4.44

4.30

4.19

4.10

3.82

3.66

3.57

3.51

3.43

3.38

3.25

3.17

14

8.86

6.51

5.56

5.04

4.69

4.46

4.28

4.14

4.03

3.94

3.66

3.51

3.41

3.35

3.27

3.22

3.09

3.00

15

8.68

6.36

5.42

4.89

4.56

4.32

4.14

4.00

3.89

3.80

3.52

3.37

3.28

3.21

3.13

3.08

2.96

2.87

16

8.53

6.23

5.29

4.77

4.44

4.20

4.03

3.89

3.78

3.69

3.41

3.26

3.16

3.10

3.02

2.97

2.84

2.75

17

8.40

6.11

5.19

4.67

4.34

4.10

3.93

3.79

3.68

3.59

3.31

3.16

3.07

3.00

2.92

2.87

2.75

2.65

18

8.29

6.01

5.09

4.58

4.25

4.01

3.84

3.71

3.60

3.51

3.23

3.08

2.98

2.92

2.84

2.78

2.66

2.57

19

8.18

5.93

5.01

4.50

4.17

3.94

3.77

3.63

3.52

3.43

3.15

3.00

2.91

2.84

2.76

2.71

2.58

2.49

20

8.10

5.85

4.94

4.43

4.10

3.87

3.70

3.56

3.46

3.37

3.09

2.94

2.84

2.78

2.69

2.64

2.52

2.42

n1

n2 26.13 13.46 9.02

21

8.02

5.78

4.87

4.37

4.04

3.81

3.64

3.51

3.40

3.31

3.03

2.88

2.79

2.72

2.64

2.58

2.46

2.36

22

7.95

5.72

4.82

4.31

3.99

3.76

3.59

3.45

3.35

3.26

2.98

2.83

2.73

2.67

2.58

2.53

2.40

2.31

23

7.88

5.66

4.76

4.26

3.94

3.71

3.54

3.41

3.30

3.21

2.93

2.78

2.69

2.62

2.54

2.48

2.35

2.26

24

7.82

5.61

4.72

4.22

3.90

3.67

3.50

3.36

3.26

3.17

2.89

2.74

2.64

2.58

2.49

2.44

2.31

2.21

25

7.77

5.57

4.68

4.18

3.85

3.63

3.46

3.32

3.22

3.13

2.85

2.70

2.60

2.54

2.45

2.40

2.27

2.17

26

7.72

5.53

4.64

4.14

3.82

3.59

3.42

3.29

3.18

3.09

2.81

2.66

2.57

2.50

2.42

2.36

2.23

2.13

27

7.68

5.49

4.60

4.11

3.78

3.56

3.39

3.26

3.15

3.06

2.78

2.63

2.54

2.47

2.38

2.33

2.20

2.10

28

7.64

5.45

4.57

4.07

3.75

3.53

3.36

3.23

3.12

3.03

2.75

2.60

2.51

2.44

2.35

2.30

2.17

2.06

29

7.60

5.42

4.54

4.04

3.73

3.50

3.33

3.20

3.09

3.00

2.73

2.57

2.48

2.41

2.33

2.27

2.14

2.03

30

7.56

5.39

4.51

4.02

3.70

3.47

3.30

3.17

3.07

2.98

2.70

2.55

2.45

2.39

2.30

2.25

2.11

2.01

40

7.31

5.18

4.31

3.83

3.51

3.29

3.12

2.99

2.89

2.80

2.52

2.37

2.27

2.20

2.11

2.06

1.92

1.80

60

7.08

4.98

4.13

3.65

3.34

3.12

2.95

2.82

2.72

2.63

2.35

2.20

2.10

2.03

1.94

1.88

1.73

1.60

120

6.85

4.79

3.95

3.48

3.17

2.96

2.79

2.66

2.56

2.47

2.19

2.03

1.93

1.86

1.76

1.70

1.53

1.38

∞

6.63

4.61

3.78

3.32

3.02

2.80

2.64

2.51

2.41

2.32

2.04

1.88

1.77

1.70

1.59

1.52

1.32

1.00

TABLA II.5. DISTRIBUCIÓN DEL ESTADÍSTICO DEL CONTRASTE DE DURBINWATSON

Se tabulan los valores de dL y dU para un nivel de significación α=0.05

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Parra Econometria Aplicada i

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