Ec Constitutivas-Ley de Newton

Ec. Constitutivas y Ley de viscosidad de Newton

Forma general de una ec. constitutiva para un fluido viscoso τ

=

f (D)

• La función puede ser extremadamente complicada y de hecho existe una disciplina (Reología) dedicada al estudio de las ecuaciones constitutivas para fluidos. • No existe una única relación para diferentes fluidos, pero si existen tipos de fluidos que se pueden representar bien por una misma relación constitutiva. En general, esto depende mucho del tipo de flujo y los parámetros de trabajo. • Por más complicada que sea f , siempre es posible linealizar la relación mediante series de Taylor y con esta relación lineal, aproximar el comportamiento de algunos fluidos, al menos en cierto rango de parámetros.

Fluidos Newtonianos τ  y 

vx (y) x 

Fluidos Newtonianos τ  y 

vx (y)

τ  ∝

x 

τ  = T y x = T xy

˙

∂

/∂

∂vx ∂y

Fluidos Newtonianos τ  y 

vx (y) x 

∂vx τ  = µ ∂y

τ  ∝

∂vx ∂y

Fluidos Newtonianos τ  y 

vx (y)

τ  ∝

∂vx ∂y

x 

∂vx τ  = µ ∂y Coeficiente de viscosidad dinámica o viscosidad

µ: viscosidad dinamica ν  = µ/ρ: viscosidad cinematica

Fluidos Newtonianos Formalmente, un fluido Newtoniano  es aquel que reúne las siguientes características: 1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el instante de tiempo actual. 2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes de la orientación con la que se las examine.

Fluidos Newtonianos Formalmente, un fluido Newtoniano  es aquel que reúne las siguientes características: 1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el instante de tiempo actual. 2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes de la orientación con la que se las examine. La expresión más general que cumple las premisas anteriores es τ 

= (κ − 2/3µ)tr(D)I + 2µD = (κ − 2/3µ)(∇ · v)I + µ[∇v + (∇v)T ]

Fluidos Newtonianos Formalmente, un fluido Newtoniano  es aquel que reúne las siguientes características: 1. las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen linealmente de las componentes del Tensor Tasa de Deformación en el instante de tiempo actual. 2. el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes de la orientación con la que se las examine. La expresión más general que cumple las premisas anteriores es τ 

= (κ − 2/3µ)tr(D)I + 2µD = (κ − 2/3µ)(∇ · v)I + µ[∇v + (∇v)T ] µ: viscosidad dinamica : viscosidad dilatacional

Tensor de Tensiones para fluidos Newtonianos 

Forma general T = [− p + (κ − 2/3µ)tr(D)]I + 2µD

= [− p + (κ − 2/3µ)(∇ · v)]I + µ[∇v + (∇v)T ] 

Para fluidos incompresibles (∇ · v = 0) T = − pI + 2µD

= − pI + µ[∇v + (∇v)T ]

Ecuación de Navier-Stokes 

Cuando el fluido es Newtoniano e incompresible y  µ  es constante Dv ρ = ρg + ∇ · (− pI + 2µD) Dt

ρ

 ∂ 

v

∂t

+ v · ∇v

ρ

 ∂ 



v

∂t



= ρg − ∇ p + µ∇ ·

  p + µ   p + µ 

∇v

+ ∇v

T 

   )

= ρg − ∇

∇ · (∇v) + ∇ · ∇v

= ρg − ∇

∇

+ v · ∇v

2

v + ∇ (∇ · v

= ρg − ∇ p + µ∇2 v

T 

Ecuación de Euler 

Para el caso de un fluido (o flujo) invíscido ( µ =0, también denominado fluido ideal), la ecuación de Navier-Stokes se reduce a Dv ρ = − ∇ p + ρg Dt

denominada Ecuación de Euler

Fluidos no-Newtonianos τ  Fluido de Bingham Newtoniano Dilatante

τ 0

Pseudoplástico

γ  ˙