Objetivos de aprendizaje
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El tema de este capítulo son los sistemas de varios grados de libertad. El modelado de sistemas continuos se presenta como sistemas de varios grados de libertad y se derivan las ecuaciones de un sistema general de n grados de libertad por medio de la segunda ley del movimiento de Newton. Debido a que la solución de las ecuaciones de movimiento en forma escalar implica manejos algebraicos complicados, utilizamos la representación matricial para sistemas de varios grados de libertad. Al expresar el sistema acoplado de n ecuaciones en forma matricial, se identifican las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez. También se presenta la derivación de ecuaciones ecuaci ones por medio de coeficientes de influencia. La rigidez, la flexibilidad y los coeficientes de influencia inercial se presentan a partir de los primeros principios. Se inicia el estudio de las expresiones para las energías potencial y cinética y su uso al derivar las ecuaciones de movimiento ba sado en ecuaciones de Lagrange. Asimismo, se presentan los conceptos generalizados de coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas. Después de expresar las ec uaciones de vibración libre en forma matricial, se deriva el problema de valor eigen en forma matricial. Se describe la solución del problema eigen por medio de la solución de la ecuación característica (polinomial) para determinar las frecuencias naturales y formas de modo (o modos normales) del sistema. Se introducen los conceptos de ortogonalidad de modos normales, matriz modal y ortonormalización de las matrices de masa y rigidez. También se presentan el teorema de expansión y los sistemas no restringidos o semidefinidos. Se considera la vibración libre de sistemas no amortiguados por medio de vectores nodales y la vibración forzada de sistemas no amortiguados por medio de análisis modal junto con ejemplos ilustrativos. Se analizan las ecuaciones de movimiento para la vibración forzada de sistemas viscosamente amortiguados mediante la introducción de la función de disipación de Rayleigh. Se desacoplan las ecuaciones de movimiento para sistemas proporcionalmente amortiguados y se describe la solución de cada una de las ecuaciones desacopladas aplicando la integral de Duhamel. Punto importante es la autoexcitación y el análisis de estabilidad de sistemas de varios grados de libertad siguiendo el criterio de Routh-Hurwitz. Por último, se presentan las soluciones obtenidas utilizando MATLAB para la vibración libre y forzada de sistemas de varios grados de libertad.
Objetivos de aprendizaje Al terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente: ●
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Formular las ecuaciones de movimiento de sistemas de varios grados de libertad mediante la segunda ley de Newton, coeficientes de influencia o ecuaciones de Lagrange. Expresar la ecuación de movimiento en forma matricial. Encontrar las frecuencias naturales de vibración y los vectores modales con la solución del problema de valor eigen. Determinar la respuesta de vibración libre y forzada de sistemas no amortiguados mediante el análisis modal. Utilizar amortiguamiento proporcional para hallar la respuesta de sistemas amortiguados. Analizar las características de estabilidad de sistemas de varios grados de libertad con el criterio de Routh-Hurwitz. Resolver problemas de vibración libre y forzada utilizando MATLAB.
Como se mencionó en el capítulo 1, la mayoría de los sistemas de ingeniería son continuos y tie-
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Capítulo 6
6.1
Sistemas de varios grados de libertad
Introducción nen una infinidad de grados de libertad. El análisis de vibración de sistemas continuos requiere la solución de ecuaciones diferenciales parciales, la cual es bastante difícil. Para muchas ecuaciones diferenciales parciales, de hecho, no existen soluciones analíticas. Por otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Por consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo los sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad. Todos los conceptos presentados en el capítulo anterior se pueden extender directamente al caso de sistemas de varios grados de libertad. Por ejemplo, hay una ecuación de movimiento por cada grado de libertad; si se utilizan coordenadas generalizadas, hay una coordenada generalizada por cada grado de libertad. Las ecuaciones de movimiento se obtienen por la segunda ley del movimiento de Newton o aplicando los coeficientes de influencia definidos en la sección 6.4. Sin embargo, con frecuencia es más conveniente derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad por medio de ecuaciones de Lagrange. Hay n frecuencias naturales, cada una asociada con su propia forma de modo, para un sistema de n grados de libertad. El método de determinar las frecuencias naturales con la ecuación característica obtenida igualando el determinante a cero también se aplica a estos sistemas. Sin embargo, a medida que crece la cantidad de grados de libertad, la solución de la ecuación característica se hace más compleja. Las formas de modo presentan una propiedad conocida como ortogonalidad , la cual puede utilizarse para solucionar problemas de vibración forzada no amortiguada con un procedimiento conocido como análisis modal. La solución de problemas de vibración forzada asociados con sistemas viscosamente amortiguados también se determina de manera conveniente con un concepto llamado amortiguamiento proporcional. Se pueden usar diferentes métodos para representar un sistema continuo como un sistema de varios
6.2
Modelado de sistemas continuos como sistemas de varios grados de libertad grados de libertad. Un método sencillo implica reemplazar la masa distribuida o inercia del sistema por un número finito de masas concentradas o cuerpos rígidos. Se supone que las masas concentradas están conectadas por miembros amortiguadores elásticos sin masa. Se utilizan coordenadas lineales (o angulares) para describir el movimiento de las masas concentradas (o cuerpos rígidos). Tales modelos se conocen como sistemas de parámetro concentrado o de masa concentrada o de masa discreta. El mínimo de coordenadas necesario para describir el movimiento de las masas concentradas y cuerpos rígidos define la cantidad de grados de libertad del sistema. Naturalmente, cuanto mayor sea la cantidad de masas concentradas utilizadas en el modelo, mayor será la precisión del análisis resultante. Algunos problemas indican automáticamente el tipo de modelo de parámetro concentrado que se va a utilizar. Por ejemplo, el edificio de tres pisos que se muestra en la figura 6.1(a) sugiere al instante el uso de un modelo de tres masas concentradas, como se indica en la figura 6.1(b). En este modelo, se supone que la inercia del sistema está concentrada como tres masas puntuales situadas en los pisos, y las elasticidades de las columnas son reemplazadas por los resortes. Asimismo, la máquina de perforación radial que se muestra en la figura 6.2(a) se puede modelar con cuatro masas concentradas y cuatro elementos elásticos (vigas elásticas), como se muestra en la figura 6.2(b).
6.3
Uso de la segunda ley de Newton para derivar ecuaciones de movimiento
511
m3 k3 m2 k2 m1
k1
(a)
(b)
Figura 6.1 Edificio de tres pisos.
m2
Cabezal
m1
Brazo Base
Columna
m3
m4
Viga elástica
(a)
(b)
Figura 6.2 Máquina de perforación radial. (Fotografía cortesía de South Bend Lathe Corp.).
Otro método popular de representar un sistema continuo como un sistema de varios grados de libertad implica reemplazar la geometría del sistema por una gran cantidad de eleme ntos pequeños. Suponiendo una solución simple dentro de cada elemento, se utilizan los principios de compatibilidad y equilibrio para determinar una solución aproximada para el sistema original. (Este método, conocido como método del elemento finito, puede revisarlo con detalle en el capítulo 12, en el sitio web de este libro).
6.3
Uso de la segunda ley de Newton para derivar ecuaciones de movimiento Se puede adoptar el siguiente procedimiento para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad aplicando la segunda ley del movimiento de Newton: 1.
Establezca coordenadas adecuadas para describir las posiciones de las varias masas puntuales y cuerpos rígidos en el sistema. Suponga direcciones positivas adecuadas para los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las masas y cuerpos rígidos.
