7. Dlvlslbilidad ModcstoSienaVázquez,AndrésGa¡cía,M." T. GonzálezAstudillo, Mario GonzálezAcosta
18. Circulando por el círculo Francisco Padilla Dfaz, Arnulfo Santos Herniíndez,Fidela Velázquez, Manuel Femández Reyes
19. Superfrcie y volumen M." Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero,Francisco Gil Cuadra
20. Proporcionalidad directa M."LuisaFiolMora,JoséM."Fortuny Aymemi 21. Nudos y nexos. Redes en la escuela Moisés Coriat Benarroch, JuanaSancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar Gonzalo Martín
22. Por los caminos de la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
8. Problemas aritméticos escolares Luis PuigEspinosa,FernandoCerdánPérez
23. Iniciación al álgebra
9. Estimación en cálculo y medida IsidoroSegoviaAlex, Encarnación CastroMafínez, EnriqueCastroMartínez, Luis Rico Romero
Z. Enseñanza dela suma y de la resta
Manuel Martln Socas Robayna, Matías Camacho Machín, M." Mercedes PalareaMedina, Josefa Hernández Domínguez
Carlos Maza Gómez
10. Aritmética y calculadora FredericUdinai Abelló
25. Enseñanza dela multiplicacién y de la división
Ll.. Materiales para construir la geometría CarmenBurguésFlamerich,ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." Fofuny Aymemi
26. Funciones y gráficas
12. Invitación a la didáctica de Ia geometría ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." FortunyAymemi,CarmenBurguésFlamerich
27, Azar y probabilidad
13. Simetríadinámica
28. Encuestasy precios
Rafael PérezGómez, Claudí Alsina Catalá, Ceferino Ruiz Garrido
Carlos Maza Gómez
Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateGiménez
Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bemabéu, M." JesúsCañiza¡esCastellano
AndrésNortesCheca
29. Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero
30. ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso José A. Cajaraville Pegito
31.. Ordenar y clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez
32. Juegos y pasatiempos en Ia enseñanza de ra matemática eremental JosefaFernández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela
33. Ideas y actividades para enseñar álgebra
NUM"EROS.f}EC ¿PORQUE? ¿PARA'Q
Crupo Azarquiel
34. Recursos en el aula de matemáficas Francisco HemánSiguero, ElisaCarrilloeuintela
Consejeeditor:
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I uis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis puig Espinosa
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I del Departamento:deiMatd¿itied Logrons dp la.Uniye¡sidad 4q Zarugoza "dc
EDITORIAL
SINTESIS
A mi madrc, que no ha csc'ritt¡nin¡¡rinlihnt ni plantado arboles pero tiene diez hijos
Compra Canie techadeadqursrción AñoMesdeProcesamiento Fecha AñoMes Proveedor-
Donación
por ?;ocesado 'Eiblioteca
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Primera reimpresión:diciembre 1997 Diseño de cubierta:Juan JoséYázouez Reservadostodos los derechos.Está prohibido, bajo las sancionespenalesy el resarcimientocivil previstosen las leyes, reproduci¡ registrar o transmitir esta publicación,íntegrao parcialmente,por cualquiersistema de recuperacióny por cualquiermedio, seamecánico, electrónico,magnético,electroóptico,por fotocopiao por cualquier otro, sin la autorizaciónprevia por escrito de Editorial Síntesis,S. A. @ Julia Centeno Pérez
o EDIToRTAL sÍNTEsrs,s. A. Vallehermoso,34. 28015Madrid Teléfono {'91\ 593 20 98 http://www.sintesis.com Depósito le gal: M-43.829-1,997 ISBN: 84-7738-028-7 Impreso en España - Printed in Spain
I)eseo en estas líneas expresar mi agradecimientoa los amigo.t que mc han u.tutdadoy animado durante la redacciónde estelibro. ,4 Luis Rico, miembro del Comité Editorial, porque me propu.to lu idau dc harerlo,me apoyó con susconsejosy su confianzay ha aportadoalgunasmotlilicadoncs para mejorarlo. A Efraim Centenoque estuvocerca de mí desdelos comienzos,colaboró en la preparaciónde fichas bibliográficas y ha aportado algunas ideas para facilitar la letlura del texto. A BegoñaMelendo, y TeresaRodríguez. Sus observacionesme han sido muy ütila,r. A Francisco Javier Centeno que ha hecho con gran precisión y cuidado los dihttio,t. A Guy Brousseaude quien he aprendido mucho de lo que cuento en estelibro. tiul orientaciones fueron decisivaspara la redacciónJinal quepresento.Mi agradeciml.,nlo es grandepor haber aceptadohacer la presentaciónde estetexto. Muy particularmentea JoséManuel Calzada que ha consagradomuchashoras u lu lecturay mejora de laforma de presentarlo.Quiero expresarleaquí mi reconociHlento por su generosay competentecolaboración. l"inalmenle a todos los que cerca de mí han sufrido los efectosde estetrabajo y se alegranconmigo de susresuhados.
Indice
PRIMERA PARTE: ¿PORQUE LOS NUMEROS DECIMALES? Prólogo lntroducción l. La realidadsocialde los númerosdecimales 1.l. Usosy contextosmás signihcativosen los que aparecen 1.2. ¿Quésignihcanesosnúmeroscon coma?¿Paraqué sirven?.... los mismos conceptossin utilizar números 1.3. ¿Puedenexpresarse con coma? los númerosdecimales? 1.4. ¿Sonindispensables 1.5. Reflexionesy ejercicios
13 17 19 19 2l
2. Los decimalesen la EnseñanzaObligatoria 2.1. La educaciónmatemática:preparaciónpara la vida en la socied a d. . . 2.2. Los decimales y orientaciones en los cuestionarios oficiales..... 2.3. Los númerosdecimalesfiguran en todos los programasde Enseñ a nz aP r im ar ia. .... 2.4. Relaciónde los númerosdecimalescon otrasáreasdel currículo 2.5. Pistasde reflexión
27
22 22 25
27 29 32 34 35
SEGUNDA PARTE:¿QUESON LOS NUMEROS DECIMALES? 3. Antecedentes históricosde los númerosdecimales:desdela antigüedad hastael sigloxIx 3 .1 . In t r oduc c ión. . 3.2. Sistemababilónicode numeraciónde posición 3.3. El sistemaposicionalde los sabioschinos . 3.4. Sistemamaya de numeraciónde posición 3.5. El origendel sistemaposicionalindio .. 3.6. El sistemade numeraciónárabe:propagacióndel sistemade numeraciónindio .. 3.7. Consolidacióndel sistemade numeracióndecimal:los números decimalesde Stevin
39 39 40 4l 43
44
45 47 9
3.8. Establecimiento der SistemaMétrico Decimal:su interéspedagóg r c o. . . 3 .9 . Ref lex iones y ejerc i c i o s ...... 4. El número decimal: objeto de saber 4.1. Introducción 4.2. El número decimal:obieto de saber 4.3. Los númerosreales:Dedekind,Cantor v Hilbert 4 .4 . Pi s t as der ef lex ió n ....... . i.
El númerodecimal: conocimientopara enseñar 5.1. Insuficienciade los númerosnaturalespara resolveralgunosproblemas 5.2. Construcciónde los racionalesy de los decimales 5.3. Fraccionesdecimales:susventajas 5.4. Escrituradecimalde un número racional 5.5. Escriturasequivalentes: su importanciaen la enseñanza 5.6. Otrasescriturasdecimales 5.7. Relaciónde orden en el conjunto de los númerosdecimales.. . . 5.8. Adición y sustracción en el conjuntode númerosdecimales"-.. 5 .9 . Mu lt iplic ac ión de n ú me ro sd e c i m a l e s .......:.. 5 .1 0 .División de númerosdecimales 5 .1 1 .Ejercicios
50 52 53 53 54 55 58
1
l0
Materiales y ocasionesde la vida corrienteen las que puedenencontrarse los decimales 7 .1 . In tr oduc c ión. . 7.2. Las regletasde Cuisenaire 7.3. Bloquesaritméticosmultibasede Dienes 7.4. Ábacos 7.5. Minicomputadorde Papy 7.6. Introducciónde los decimalescon la calculadorade bolsillo . . . . 7.7. Otros materialesy situacionesde la vida corriente 7.8. Algunasreflexionessobrela utilizaciónde materiales 7.9. Pistasde reflexión
I lJ
ll3 l13 il5 ilf{ l19 l .1 l
t32
59 59 6l
66 69 70 72 73 74 t5 76 78
TERCERA PARTE: EL PROBLEMA DE LA ORGANIZACION DE LA ENSEÑANZA DE LOS NUMEROS DECIMALES Introducción 6. Primerasleccionespara introducirlos decimales 6.1. Como extensiónnaturaldel sistemade numeracióndecimal ... 6.2. A partir de la medida ó.3. Presentación a partir de funcionesnuméricas 6 .4 . Conc lus ión. . . . . . . 6.5. Pistasde reflexióny ejercicios
..... 8. Relacióncon el saber:las situaciones 8.1. Introducci ón.. y situacionesmatemáticas. . . " 8.2. Situacionespedagógicas didácticasde Brousseau las situaciones 8.3. La teoríade para seleccionary construir situacioncsdc 8.4. Algunassugerencias aprendizaje 8.5. Situacionesdidácticasque permitenanalizarlas condicioncstlcl " funcionamientodel conocimientosobrelos decimales-mcdida 8.6. C oncl usi ón... 8.7. Pistasde reflexión,actividadesy talleres
8l 83 83 ó) 90 93 93
9. Dificultades,errores' conflictos y obstáculos 9.1. Introducci ón.. 9.2. Erroresmás frecuentesrelacionadoscon el conceptode número decimal,con su escrituray con susoperaciones. . . . 9.3. Agrupar los errorespara identificarnivelesde comprensión' ' ' ' 9.4. ¿Sonútilesciertoserroresen los procesosde aprendizaje?' ' " ' ' 9.5. ¿Sonlos erroresúnicamenteíndicesde un aprendizajeincompleAlgunasreflexionesdidácticassobrelas cauio o de un fracaso?: sasde los errores 9.6. Dificultad, conflicto,obstáculo,error . en los nú9.7. Identificaciónde algunosobstáculosepistemológicos merosdeci mal es. . . . 9.8. Pistasde reflexión
135 135
progresión 10. Articulaciónde los aprendizajes: 10.1.Introducci ón. de los decimales 10.2.Objetivosde la enseñanza 10.3. Bosquejodel procesode articulaciónque proponey desarrolla Brousseau de los decimales' 10.4.Otra forma de articularlas enseñanzas 1 0s.. Conclusión y pistasde reflexrón r0 . 6Ejercicios .
151 l5l
136 138 140
t42 t44 t47 148
lti
r53 r57 l6l 162
CUARTA PARTE: SITUACIONES PARA ENSEÑAR DIFERENTES ASPECTOSDE LOS NUMEROS DECIMALES
95 95 95 97 99 105 109 110 lll l2
lnlrrducción significadoy lecturade decimales . . . I l, Situacionessobrerepresentación, I l.l. Juegosde estimaciónde medidas I 1.2. Adáptaciónde la situación) 11.3. Pasarde la escriturafraccionariade los racionalesdecimalesa su escrituradecimal.Juegossobrela rectanumérica ..... j uegossob r ela r ect anum ér ica. . . - . 11.4.D i versos de medida I 1.5.Instrumentos I 1.6. Utilizar la calculadorade bolsillo
165 167 168 168 168 172 175 175 ll
t.1. Sobreel uso del ceroy su signifrcación en la escritura.........
r. 8 Areas . de regionesde papel cuadriculado
1.9.Pas arde f r ac c ion eas d e c i m a l eys v i c e v e rs a .......... j . 1 .1 0 .Escriturasdecimalesequivalentes l .l L Sobreel orden en los decimales t.1 2 . Sobrela densidadde los decimales . . . r . l J . Algunaspreguntas abiertas¡....... 1 .1 4 .Adición, sustracción,multiplicación y división de números decimales* i l t 5 Sustracción de númerosdecimales I L l ó . Situacionesque permiten dar significadoal producto de dos decimales . |.1 1 , EI número decimal como factor de proporcionalidad,Proporcionalidad,porcentajes, escalas I l" ltl, Situaciones que permitendar signiñcadoa la divisiónde números decimales I l. I 9. Pistasde reflexión,ejerciciosy talleres BIBLIOGRAFiA
178 180 183 185 187 189 194
Prólogo
195
r9 8 199 201 205 206
209
¿Oshabéisfrjado algunavez en una rueda de bicicleta?Es un prodigio de ligereza, de robustezy, aparer'temente,de sencillez.¿Habéisapreciadoadecuadamente de itodala ingeniosidadde su construcción?Pesosconsiderablespuedensuspenderse los radiosque, en forma de tela de araña,endurecenla llanta y la mantienenen el ' planoque cortaa los dosconosque forman;los radiospenetrantangencialmente en el cubo para impedir la rotaciónde ésterespectode la llanta; pero como para ello debencruzarsese les insertaalternativamentea derechae izquierda del collarín del cubo,debiendotener ésteexactamenteel espesoradecuado;y ¿cómolograrque las roscasde los radiosno se aflojen nunca solas?... Nunca acabaríamosde enumerartodas las invencionesmecánicasde las quc csta maravilla es el resultado.Pero ¿quiéntiene necesidadde maravillarscdc su bicicleta?Bastacon que ruede. Los númerosdecimalesse parecenbastantea estosobjetosfamiliaresprctlados de matemáticas,de cienciay de tecnología,pero cuyo uso no exigeprácticamente ningúnconocimiento.Su invenciónempezóen el albade la historia-con el ojo de Horusy las medidasdecimaleschinas- y no se ha terminadoprácticamentehasta Dedekind v la matematizaciónde los reales. Se trata de una estructura muy ingeniosa, apta para resolver problemas muy contradictorios,a las puertas,alavez, complejosy a vecesinclusoaparentemente del álgebray del análisis.Por estoplanteanun problemaoriginal a la enseñanza. Por una parte, se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y Bprendermuy pronto una cierta manerade usarlos:fueron inventadospara eso. Pero, por otra parte, estaprimera comprensión se convierte en obstáculopara un para fundamentales, usomásrefinadoy parauna buenacomprensiónde cuestiones Glestudiode las matemáticas.Hace falta mucho tiempo para olvidar susprimeros reflejosy aprenderlo contrariode aquelloque nos ha permitido resolvernumerosos 'problemasprácticos.¿Cómo organizar, por tanto, la enseñanzaa lo largo de una ridad obligatoriaque,.hoy día -felizmente-, va más allá de la mera inicia-
t2 IJ
En estelibro, Julia Centenoseñalalas aportacionesmás recientesde los diversos tipos de investigación en esta materia y muestra los caminos que se abren ante profesoresy educadores.Esta obra seapoya en un importante trabajo de documentación, de orígenesmuy diferentes,cuya sÍntesis,a causade la variedad de puntos de vista, presentabadificultadesque me parecehan sido aquÍ felizmentesuperadas. Habiendo tenido accesoa fuentestodavía no publicadasy a investigacionespoco conocidas,la autora presentamuchas ideas nuevas e interesantespara todos los públicos,sin rechazartampoco los enfoquesmás clásicos.Ofrece ademásotras proposiciones, personales. resultadode reflexionese investigacionds No era tarea fiicil, habida cuenta de los torbellinos y reformasque no dejan de agitar la pedagogía,la psicologÍacognoscitivay la didáctica de las matemáticas.El resultadomuestraun muy loableesfuerzoalavez de eclecticismoy de precisión que merecerá,sin duda, la estimade los lectores. Debodecir,por último, que,en cuantotrabajode síntesis,resultade granactualidad ya que el problemaque hemosplanteadoal principio no se resolveráhasta que el conjunto de los interesados:profesoresde distintos niveles,matemáticos, organizadores de programasy evidentementetambién el público, no se hagaconscicntedc la naturalezacultural -y no solamentetécnica,administrativay científica- dc las solucionesa proponer. 4: Guy Brousseau
t4
PRIMERA PARTE:
¿PORQUE LOS NUMEROS DECIMALES?
Introducción
Los números decimalesse han convertido en los últimos años en protagonistas de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazancompletamente a las fracciones- debido a la disponibilidad crecientedel uso de calculadoras y de ordenadoresque hacen las operacionescon ellos. En opinión de BnowN ( 198l): <Según esto, una primera respuestaingenua a la pregunta con la que iniciamos esta primera parte rría: <> Con el fin de acercarnosa una respuestam¿issatisfactoriapresentamosen el capÍtulo primero algunassituacionesfamiliares en las que la información cuantificadase transmite por medio de unos símbolosnuméricos escritoscon una coma, Ilamadoshabitualmentedecimales. Nos interrogamos a continuación sobre la signiñcación de estasescrituras y rerca de su utilidad. En un principio, la palabra<> encontramos en los cuestionariosoficiales de los últimos mg'rta años para la enseñanzaobligatoria, y nos interrogaremos acercade la idea de rmr€ro decimal que se transmite en ellos.
T7
1. La realidad social
de los númerosdecimales I.1. USOSY CONTExTOS vrÁS SIGNIFICATTvOS EN LOS QUE APARECEN Para NewroN, la base de toda teoría es la práctica social. Observemos cuál es la práctica social de los números decimales. Basta abrir un periódico por la página de economía o la de deportes para que encontremos expresiones como las siguientes: o (El Pah, 19 de agostode 1987). o <> (EI País, 18de agostode 1987). o (20 de octubrede 1987).
2,t _2p.
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r <}¡cidir las pagasde Europa: Salario medio anual en millones de pesetas>> (Actualidad n1¡ro,I -7 de junio de I 987): l;: :,w^;
l9
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rnspnc¡so¡¡unopr
(Salarioocdio anúalsn millom ds pesetasde los altos diGlores üBp€osl _ Persoml Pais General tinanciero
o Bonosdel Estado:> . Deportes: <> La marcamundial de los 100m es 9,84segundos... . Los dueñosde las ruedas: en 1986. Repartodel mercadode motocicletasen España,en unidadesy porcentajes,
(Repartodel mGrcadodG mtm¡cletas en España,en unidadm
En un análisisde sangreleemosinformacionesdel tipo: <ácidoúrico 2,99mg ¡rorcada100mI...> Oímospor la radioque un radioaficionado comunicaque cstáemitiendoa una longitudde onda de 7,000000hertzios. Cuandovamosa ponergasolinaen el cochemiramosel contadorr¡ucrlurt'rrlos l i tros(10,10.I, 10,2...),elquem ar caelpr eciodelagasolinapor lit rtovcl ¡ t r t ir r t lr t 'r r ltrspesetas. En los tresexistensubdivisiones entrelas unidadcscntcr¿rs. Arrnt¡ut'st' lcclondean laspesetas, dadoque en la prácticano existenloscóntinros. Iosr.tr¡nrerrr con coma siguenapareciendopara expresarlos litros que se han comprado. Son numerososlos contextosen los que aparecenestosnúmerosescritoscon runacoma -o con un punto en los paísesanglosajones-. Los encontramosen la ('ompray en los talleres;arquitectose ingenieroslos utilizan continuamente.Todo ciudadanolos necesitaen mayor o menor gradoya seaparasu trabajoo ya seapara el signihcadode muchasinformacionesque le vie¡xrderinterpretarcorrectamente ncn a travésde la prensa.la radio o la televisión.
1.2. ¿QUE SIGNIFICAN ESOS NUMEROS CON COMA? ¿PARA QUE SIRVEN? Forma parte del conocimientode toda personamedianamenteinstruida saber (lueesosnúmerosson signosde un lenguajeque permiteexpresar-una vez fijada l¿runidad- medidasde cantidades menoresque ella.
t0
2l
Semiden longitudes,superficies,volúmenes,tiempo, fenÓmenossociales,políticos y económicos.Y en todos los casosla coma separalas unidadesenterasde las unidadesfraccionarias.Llamamos medida de una cantidad al número de vecesque la unidad está contenida en la cantidad que medimos. Pero aunque la expresiÓn (número de vecey>sólo tendría sentido si la medida es un número entero, en la mayoría de las ocasionesel resultadode una medida no es un número entero. Por ejemplo, cuando escribimos2,07 m sabemosque significa2 vecesel metro y algo más que es menor que otro metro.
1.3. ¿PUEDENEXPREFARSE LOS MISMOS CONCEPIOS SIN UTILIZAR NUMEROS CON COMA? En cadauno de los ejemplostomadosde los periódicos¿serÍaposiblecomunicar la misma información sin utilizar números con coma?¿Quéventajastendría suprimirla? ¿Quéinconvenientes? En la frase <;o <630 veces l0000ptas.>; o <6 300 veces 1000ptas.>;o (6 300 000 ptas.>, conservandoen todas las expresionesla misma informaciÓn. Igualmente2,9 0/oes lo mismo que29 por mil y 2,07m esequivalentea 207'tm. En las situacionesque aparecencon mayor frecuenciaen la vida corriente comprobamos que puedeevitarsela coma con un cambio adecuadode la unidad. Sin embargo,el cambio de unidad necesariopara dar ciertasmedidas,utilizando númerosenteros,complica las escrituras.Hoy nos es más fácil escribir 6,3 millones que cualquierade las otras escriturasposiblessin coma, sobretodo cuando setrata de comparar los números (los salariosen este caso),o cuando es necesariohacer operacionescon ellos. La escritura con coma nos permite utilizar números de un intervalo familiar y evitar númerosgrandes.Para comparar, por ejemplo, el consumo de petróleo de los principalespaÍsesconsumidoresse ha tomado como unidad un millón de toneladas,y ello permite codificar el consumo con los números733,8; 450l'220,7;... Pero, a la postre, las situacionesen las que podemos codificar la informaciÓn prescindiendode la coma no nos permiten comprender la naturalezaesencialdel númerOdecimal,pgrque con frecuenciaestosnúmerosseinterpretan COmoenteros.
r.4. ¿soN INDISPENSABLESLOS NÚMEROSDECIMALES? Señalemosen primer lugar que debemosdistinguir bien cuándo hablamosde un número y cuándo nos referimos a una de sus diversasformas de representarlo. Hablamosde un número cuandonos ocupamosde su función, de los problemasque permite resolvero de las propiedadesque le distinguende otras clasesde números. o Si buscamos,por ejemplo, el número que multiplicado por 4 nos dé 1, sabemos que esel racional l/4 y quepuedeescribirse25l100 o 0,25.Estamospor tanto es un número decimal en'presenciade un número decimal.Y decimos que <1114 porque puede escribirseen forma de fracción decimab>o de su correspondiente escrituracon coma. 22
o Pero supongamosque nos proponemosencontrar un número que multiplicado por 3 nos dé 1, lo que es equivalente a dividir I entre 3. El resultado es el número racional l/3, que no es un número decimal porque no existe ninguna fraccióndecimal que seaequivalentea l/3. Diremos que 1/3 no sepuede represcntar en forma de decimal con un número finito de cifras. Pero veremosen cl capítulo 4 que los decimales0,3, 0,33, 0,333,0,3333,0,33333,...nos permitcnohtcncr una aproximación tan grande como queramosal racional l/3. a Consideremos ahorael problemasiguiente:Se deseaembaldosaruna piscina circular que tiene 10m de diámetro y 2 m de profundidad.Necesitamosconoccr cuántosmetros cuadradosde baldosasharán falta. Para resolveresteproblema hay que hallar la superficietotal de un cilindro: Superficielateral:2¡Rh : 2n x 5 x2 : 20n; Superficiede la base:nR2 : 25n Superficietotal: 4 5 nm2. Si queremosdar un número que expresela medida en metros cuadradosde la superficiedebemoshallar el producto de 45 por n (45 x n). Sabemosque el número ¡ es la relación de la longitud de un círculo a su diámetro, y desdeel tiempo de los griegoses conocido que la circunferenciano puede medirse exactamentetomando por unidad el diámetro. Esto se expresadiciendo que la longitud de una circunferenciay la de su diámetro son longitudesinconmesurables.Nos encontramos,pues, con que no existe ningún número ni entero ni fraccionario que sea una medida cxactade la longitud del círculo. La única forma de calcular con 7res darle valores aproximadospor excesoo por defecto y los decimalespermiten aproximarsea n tanto como se quiera.
n,
Figura 1.5
. otra situación que hace aparecerel número {2 puede obtenersepor medio del plegadode papel, de la manera siguiente:
Tomemos un folio din 44. Las medidasde susdimensionesson respectivamente <.Cortándolo por la mitad -según indica la figura- obtenemosun rectángulo de dimensiones <(a>)y <>. Reiterando la operación obtenemos y <>. El rectángulosiguientetendrá de dimensiones<> y un rectángulo<> <> v así sucesivamente.
