Universidad Del Istmo

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DEL ISTMO

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Estadística II

VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL

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' El Concepto y definición de variable aleatoria 4 !   ' Tipos de Variables

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VARIABLES ALEATORIAS Y

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD El Concepto y definición

Tipos

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10


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11


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12


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'& &! En este módulo se sugieren dos lecturas. La primera es la Distribución Binomial que es la distribución por excelencia de variable discreta y la segunda es la distribución Normal, la cual es la distribución por excelencia de variables continúas.

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13


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14


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X − µ

σ

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Z = 0

σ = 1

15


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16


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0.4625 + 0.4357 = 0.8962 =

$# *&

P( Z > 1.67 )

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0.50 − 0.4525 = 0.0475

17


  µ A %:> G G G G G

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G

36 − 36 =0 7.5 42 − 36 Z = = 0.8 7.5 Z =

G





P (30 < X ≤ 41) = P (− 0.8 ≤ Z ≤ 0.67 )

0.2881 + 0.2486 = 0.5367 =

Z =

30 − 36 = 0.8 7.5 

41 − 36 Z = = 0.67 7.5





18


G P( X > 39 ) = P (Z > 0.4 ) = 0.50 − 0.1554 =

0.3446

Z =

39 − 36 = 0.4 7.5 

!

G P

( X

=

0 . 2981

Z

=

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(32

32 ) = P ( Z

36 ) 7 .5 −

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−

<

−

0 . 53 )

=

0 . 50

−

0 . 2019

0 . 53



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19


G P( X > 31) = P(Z > −0.67 )

0.5 + 0.2486 = 0.7486 



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

Z =

0.50 − 0.4938 = 0.0062 +

(125 − 100) = 2.5 10 



20


 P(105 ≤ X ≤ 115) = P(0.5 ≤ Z ≤ 1.5)

0.4332 − 01915 = 0.2437 =

105 − 100 = 0.5 10 115 − 100 Z = = 1.5 10 Z =







 P(80 < X ≤ 95) = P ((− 20 ≤ Z ≤ =

0.5)

−

0.4772 − 0.1915 = 0.2857

80 − 100 = −2.0 10 95 − 100 = −0.5 10

Z =







21


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22


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TEORÍA DE MUESTREO

TEORÍA DE ESTIMACIÓN

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23


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24


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X − µ

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X − µ x

σ x

  0&. ) 5&5&') ,)! Z =

P − µ p

σ p

  0&. ) 2&'  ,)> ,)! Z =

( X 1 − X 2 ) − µ ( X 1

− X 2

)

σ ( X 1 − X 2 )

  0&. ) 2&'  5&5&') ,) Z =

(P1 − P 2 ) − µ P1

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σ P1 − P2

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1

Wayne Daniel “Estadística con Aplicaciones, Pág. 107 ejercicio 4.2

25


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( X − µ x ) σ x

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0

µ x = µ = 10 4 σ = σ 2

σ x =

σ

=

9 =3

=

3 16

n

=

3 = 0.75 4

P( z ≥ 1.33) P( x ≥ 11) = 0.50 − 0.4082 = 0.0918 Z =

11 − 10 1 = = 1.33 0.75 0.75





26


$ 3 1 # $   #   $     " #$ 1  :    #$      &  # $   #   $   " F$4  7G $   7 4 " 23 1   ! 4 $  $  $4 & 7=   $$  P(15.50 ≤ x ≤ 16.25) = P (− 2 ≤ Z ≤ 1)

0.4772 + 0.3413 = 0.8185 =

15.50 − 16 = −2 σ x 0.25 16.25 − 16 Z 2 = =1 0.25 µ x = µ = 16 σ 2 = = 0.25 σ x = n 65 Z =

x − µ x

=



2





Idem, Pag220 Ejercicio 4.3

27


$ 3 2  &  "7Y      : ##:!  #$    # 2   $   7    : Z:     &   $  $  77 4 7%7\

23 1   ! p

=

0.60; n = 150

P(0.50 ≤ P ≤ 0.70)

µ p = P = 0.60

σ p

=

pq n

=

(0.6)(0.4) 150

=

0.04

P(0.50 ≤ P ≤ 0.70) = P (− 2.5 ≤ Z ≤

Z 1

=

2.5) = 2(.4938) = 0.9876

0.70 − 0.60 = 2.5 0.04

 

3





IDEM, pag 126, ejercicio 4.10

28


$ 3 2 !    $  I$ @   # 1   >   #          $  $$: & 9       1 #  &         $$   # $ 4  µ 1

=

σ 12

=

50; µ 2

=

40; σ 22

40

=

60

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P(5 ≤ x 1 − x 2

µ x1 − x2

= µ x µ x 1

σ 12

=

σ 1

=

≤

15) = µ 2

=

50 − 40 = 10

σ 22

=

60

40

σ 2

=

σ X 1 − X 2

=

σ x21

2 + σ x

σ 12

σ 22

= µ 1 −

2

40

=

n1

2

+

n2

40 60 + 10 12 4+5 9

= = = =

60

3

29


(

P 5 ≤ x1 − x2

≤

15) = P(− 1.67 ≤ Z ≤ 1.67 ) =

Z 1

=

Z 2

=

( X 1 − X 2 ) 5 − 10 σ x1 − x2

=

3

0.4525 + 0.4525 = 0.9050

1.67

=−

15 − 10 = 1.67 3







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30


$3 µ x = µ 1 $     $   F$ $G  #   :$ F$ G 0 H   $  #  

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µ s 2

=

$3

$

µ s 2

≠ σ

n −1 n

2

σ 2

2 =    2    $ #  :$ σ 

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),&) 5& &0)3   $   :$       I$        :$

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31


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'

55Y



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7

5"Y

77

5Y

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5Y

"5

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'

'7Y

77

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7"%

7Y

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x ± Z cσ x

=

   !? 3 µ ∈ ( X − Z cσ x , X + Z cσ x )

32


&0  '2? 5& 5&5&')

2   2     >H   $=  =    $  !?  $ =   

P ± Z cσ p

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− S 2

- 2 4 2   $ $>   $>

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S = 5; σ x

=

S n

=

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33


X ± Z cσ x

160 ± 2.58(1) 160 ± 2.58 µ ∈ (157,163)

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75 = 0.33 225

34


σ p

=

pq

=

n

(0.33)(0.67 ) 225

LC = 0.33 ± 1.96 =

(0.33)(0.67 ) 225

LC = 0.33 ± 0.06 LC = (0.27,0.39) P ∈ (0.27,0.39)

8&2''(  E5()) ).& ) 5&,&) 5.') F'& 5'G

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G $ =    $>   $  # !$     #   G $ =      $ 9$ & $=   # $>

35


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36


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37


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ejemplo 1 Pág. 200 del libro de Daniel Wayne.

38


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Z =

X − µ x

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µ x

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σ x

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162.5

=

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=

18 = 3.6 5

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39


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Z =

X − µ x

µ x

=

σ x

=

σ x

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65 15 20

=

3.35

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40


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41


Z =

P − µ p

µ p

=

σ p

=

σ p p

=

=

0.17 − 0.25 = −2.03 0.0395

0.25

(0.25)(0.75) 120

=

0.0395

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!

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42


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ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN LINEAL

43


#$# '&) &) #$## '& ! H DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL  ))  &&)( ) ? 5& E'& 5&()') ,  ' ,D5) 2'&) 4 2'  2=   0&. 4 ) 4& 5&)'&# & )) ) ) &) = <&)# & &?)  ,5  ) '&) )&,) )(  ')   5)&  4 ) 5 )& &) ')) ',  '&'> &7,'> <5'> & &)# ))  &)(   

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 A FLIG+ C F. LKG+ . A FLKI C LK LIG+FLK² M FLKG²G Recta de Regresión Lineal

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.

.

.

Recta de regresión lineal

Germán Beitía M. Sc

44


0  $  # $3

Ejemplo: La American Cable TV quiere pronosticar la demanda de televisión por cable para años futuros. Esta opción de cablevisión proyecta películas recientes y otros eventos especiales y su aceptación ha ido creciendo en la comunidad de Carlton. Enseguida se muestran los datos sobre el número de suscriptores desde que se introdujo. Con el método análisis de tendencia pronostíquese el número de suscriptores para 2008 y 2009.

Año

# de suscriptores

2002

310

2003

390

2004

420

2005

430

2006

450

2007

460

Germán Beitía M. Sc.

Solución Año

Periodo X

(Y) # de

XY

X2

suscriptores

2002

1

310

310

1

2003

2

390

780

4

2004

3

420

1260

9

2005

4

430

1720

16

2006

5

450

2250

25

2007

6

460

2760

36

X=21

Y=2460

XY=9080

X2=

91

Germán Beitía M.

Sc

45


Solución    

b b b b

= (NXY - X Y)/(NX2 – (X)2) = (6(9080) – 21(2460))/(6(91) – (21)2) = (54480 - 51660)/(546 – 441) = 26.86



a = (Y)/N - (b X)/N a = 2460/6 - (26.86)(21)/6 a = 410 - 94 = 316



Recta de mejor ajuste:

 

Y = 316 + 26.86 X Germán Beitía M. Sc

Solución 

Recta de mejor ajuste:

Y = 316 + 26.86 X



Pronóstico2008= 316 + 26.86 (7) = 504 suscriptores



Pronóstico2009= 316 + 26.86 (8) = 531 suscriptores


46


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Ejemplo: La American Cable TV quiere pronosticar la demanda de televisión por cable para años futuros. Esta opción de cablevisión proyecta películas recientes y otros eventos especiales y su aceptación ha ido creciendo en la comunidad de Carlton. Enseguida se muestran los datos sobre el número de suscriptores desde que se introdujo. Calcule el coeficiente de correlación.

Año

# de suscriptores

2002

310

2003

390

2004

420

2005

430

2006

450

2007

460

Germán Beitía M. Sc.

Solución Año

XY

X2

Y2

310

310

1

96100

2002

Periodo X 1

2003

2

390

780

4

152100

2004

3

420

1260

9

176400

2005

4

430

1720

16

184900

2006

5

450

2250

25

202500

2007

6

460

2760

36

211600

X=21

(Y) # de suscriptores

Y=2460

XY=9080

 X2 =

91

Y 2 =

1023600


48


Solución r = (NXY -  X  Y) / (NX2 – (X)2) (NY2 – (Y)2) r = (6(9080) – 21(2460)) /  (6(91) – (21)2) (6(1023600) – (2460)2) r = (54480 - 51660) /  (546 – 441) (6141600 – 6051600) r = 2820 / (105) (90000) r = 2820 / 9450000

r = 2820 / 3074.085 r = 0.9173



El coeficiente de correlación produce una correlación intensa positiva. Germán Beitía M. Sc

#1# 0'(3    !$ = 6$ 

&   #  >  >   $ #:# &./ .&0! #:##

&./ 0!

     4     $    (     O  #:##

&./ &5!

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Universidad Del Istmo

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