UNIDAD DIDÁCTICA 3: Acoplamiento magnético en circuitos electrónicos TEMA 6: Análisis de circuitos acoplados magnéticamente
TEMA 6 6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto. •Autoinducción Hasta ahora hemos estudiado circuitos sin considerar el acoplo magnético. En ese caso calculamos la tensión generada en los bornes de cada bobina según la fórmula:
vL (t ) L
di(t ) dt
La constante de proporcionalidad L se llama coeficiente de autoinducción de la bobina. En el sistema internacional la unidad de autoinducción se llama henrio (H). En una bobina de N espiras, la tensión inducida viene dada también por la ley de Faraday:
d vL (t ) N dt
en donde Ndф es el flujo que abraza al circuito o flujo de acoplamiento, que recibe el nombre de flujo concatenado. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Autoinducción (continuación) Igualando las dos expresiones anteriores podemos obtener:
L
di(t ) dt
N
d dt
L N
d di
De donde:
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua Supongamos que tenemos la bobina 1 , por la que circula una corriente i, que varía con el tiempo, estableciéndose un flujo magnético ф11 . Cerca de la bobina 1, tenemos la 2:
Una parte del flujo atraviesa también a la bobina 2 y lo expresaremos como ф12. La tensión inducida en la bobina 2 viene dada por la ley de Faraday:
vL2
d 12 N2 dt
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua (continuación) Como ф12 está relacionado con la corriente i, vL2 es proporcional a la variación de i con el tiempo, es decir:
vL 2
M
di1 dt
donde la constante de proporcionalidad M se denomina coeficiente de inductancia mutua entre las dos bobinas y su unidad, en el sistema internacional, es el henrio (H). El flujo del acoplamiento depende de la separación y orientación de los ejes de las bobinas y de la permeabilidad magnética del medio donde se encuentran dichas bobinas. Se define el coeficiente de acoplamiento magnético K:
Por ser ф12 ≤ ф11 y ф21 ≤ ф22, el valor máximo de K es la unidad. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua (continuación) El coeficiente de acoplamiento K es una medida del grado en el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra (0 ≤ K ≤ 1). Si las bobinas no están acopladas, entonces K=0. Si las bobinas están perfectamente acopladas, entonces K=1.
El coeficiente M se puede expresar en función de las autoinducciones L1 y L2 y del coeficiente de acoplamiento magnético K como:
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente Dado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, supuesto que se asignan las corrientes y voltajes como se observa en la figura:
v1
L1
di1 dt
v2
L2
di2 dt
M
di2 dt
M
di1 dt
El voltaje inducido en la bobina 1, v1 está formado por el generado por la inductancia L1 y el producido por la inductancia mutua M. Igualmente, el voltaje inducido en la bobina 2 (v2) está formado por el generado por la inductancia L2 y el producido por la inductancia mutua M.
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación) El signo de las tensiones debidas a la inductancia mutua dependerá de si los flujos magnéticos producidos por ambas bobinas se suman o se restan. Si los flujos se suman el signo será positivo:
v1 L1
di1 di M 2 dt dt
v2
di2 dt
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L2
M
di1 dt
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación) Si los flujos se restan el signo será negativo:
v1 L1
di1 di M 2 dt dt
v2
di2 dt
L2
M
di1 dt
El sentido de los flujos magnéticos se obtiene utilizando la regla de la mano derecha.
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación) La regla de la mano derecha dice lo siguiente: “Si agarramos una bobina con los dedos de la mano derecha siguiendo la dirección de la corriente, el pulgar de la mano derecha nos indica el sentido del campo magnético en el interior de la bobina.”
Para simplificar este tipo de análisis que obliga a conocer la dirección de los arrollamientos se emplea el criterio del punto. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Criterio del punto Dada más de una bobina, se coloca un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán. Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden esquematizarse de la siguiente manera:
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Criterio del punto (continuación) Regla general: si ambas corrientes de las bobinas entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido. En otro caso, los signos serán opuestos.
Ejemplo de aplicación: M
i1
i2
_ v1 +
+ L1
L2
v2 _
v1
di1 di2 L1 M dt dt
v2
L2
di2 dt
M
di1 dt
o en régimen permanente sinusoidal (fasores): V1 = –jwL1I1 + jwMI2 V2 = –jwL2I2 + jwMI1
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos empleando el criterio del punto El método de análisis por mallas es el más apropiado cuando tenemos circuitos con acoplamiento magnético. Debemos seguir los siguientes pasos: 1) Escójanse arbitrariamente los sentidos de corriente en cada malla 2) La autoinducción produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la corriente 3) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos 4) Aplíquese la Ley de Kirchoff de tensiones a cada malla
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Análisis de circuitos empleando el criterio del punto (continuación) Ejemplo:
Trabajando con fasores en el dominio de la frecuencia y empleando las corrientes I1 e I2 que marca el problema como corrientes de malla, las ecuaciones de malla quedarían: –Vg + R1I1 + jwL1I1 – jwMI2 = 0 R2I2 + jwL2I2 – jwMI1 = 0 Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Cálculo de equivalente Thevenin (Norton) en circuitos con bobinas acopladas En aquellos problemas donde sea necesario calcular el equivalente Thevenin o Norton de un circuito con varias bobinas acopladas magnéticamente (por ejemplo, cálculos de máxima transferencia de potencia o simplificación de circuitos) es imprescindible recordar que: 1) La impedancia Thevenin o Norton no puede calcularse como una simple reducción a la impedancia equivalente, ya que se perdería el efecto de la inductancia mutua M. 2) Tampoco puede emplearse el método de la fuente de test. 3) La impedancia Thevenin o Norton debe calcularse mediante el cociente entre la Tensión de Thevenin y la corriente de Norton del circuito:
ZN
ZTH
VTH IN
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6.2 Transformador ideal •Introducción Un transformador consta de un núcleo sobre el que se enrollan dos o más devanados que reciben el nombre de primario y secundario. Los transformadores tienen varios usos destacando entre otros el de variador de tensión, adaptador de impedancias y separador (aislador de cargas y corrientes). Un transformador de N1 espiras en el primario y N2 espiras en el secundario, se considera ideal si verifica las siguientes condiciones: K=1 L1 = L2 = ∞ R1 = R2 = 0 (pérdidas insignificantes en los devanados). 1: a
El símbolo que emplearemos para representar un transformador ideal será:
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6.2 Transformador ideal •Relaciones fundamentales en un transformador ideal Se conoce como razón de transformación de un transformador ideal al cociente:
a
N2 N1
En un transformador ideal se puede demostrar que:
V2 V1
N2 N1
a
Siempre y cuando los voltajes V1 y V2 sean ambos positivos o negativos en las terminales con punto, caso contrario a=N2/N1 = - V2/V1 Si a > 1, el transformador es elevador Si a < 1, el transformador es reductor
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6.2 Transformador ideal •Relaciones fundamentales en un transformador ideal (continuación) En un transformador ideal también se cumple que:
I1 I2
N2 N1
a
siempre y cuando ambas corrientes I1 e I2 entren o salgan de las terminales con punto, caso contrario N2/N1 = I1/I2.
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6.2 Transformador ideal •Transformador ideal como adaptador de impedancias Consideremos el circuito de la figura siguiente en el que se utiliza un transformador ideal para conectar magnéticamente una fuente o circuito 1 a una carga ZL.
V2
I 2 ZL
V1 V2 a I1 aI2
circuito Transformador ideal
Podemos calcular la impedancia del circuito conectado a la fuente mediante:
Z1
V1 I1
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6.2 Transformador ideal •Transformador ideal como adaptador de impedancias (continuación) Por tanto, obtenemos:
Z1
V2 a aI2
1 a2
V2 I2
1 Z 2 L a
Zeq
Zeq
1 Z 2 L a
Por tanto, el circuito 1 ve una impedancia igual a la de la carga ZL escalada por el factor 1/a2. Se dice que Z1 = Zeq es la impedancia reflejada en el primario del transformador. En conclusión, los siguientes circuitos son equivalentes:
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