UNIDAD DIDÁCTICA 3: Acoplamiento magnético en circuitos electrónicos TEMA 6: Análisis de circuitos acoplados magnéticamente
TEMA 6 6.1 Inductancia mutua. Criterio rio del punto. • Autoinducción
Hast Hastaa ahor ahoraa hemo hemoss estu estudi diad ado o circ circui uito toss sin sin cons consid ider erar ar el acop acoplo lo magn magnét étic ico. o. En ese caso calculamos la tensión generada en los bornes de cada bobina según la fórmula:
v L (t ) L
di(t ) dt
La cons consta tant ntee de prop propor orci cion onal alid idad ad L se llam lama coe coeficie icien nte de aut autoind inducc ucción de la bob bobina. ina. En el sis sistema ema int interna ernaci cion onal al la unid unidad ad de auto autoin indu ducc cció ión n se llam llamaa henr henrio io (H). (H). En una bobina de N espiras, la tensión inducida viene dada también por la ley de Faraday:
d v L (t ) N dt
en dond dondee Nd ф es el flujo que abraza al circuito o flujo de acoplamiento, que recibe el nomb nombrre de fluj flujo o conc concat aten enad ado. o. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Autoinducción (continuación)
Igualando las dos expresiones anteriores podemos obtener:
L
di(t ) d N dt dt
De donde:
d L N di
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua
Supongamos que tenemos la bobina 1 , por la que circula una corriente i , que varía con el tiempo, estableciéndose un flujo magnético ф 11 . Cerca de la bobina 1, tenemos la 2:
Una parte del flujo atraviesa también a la bobina 2 y lo expresaremos como ф 12. La
tensión inducida en la bobina 2 viene dada por la ley de Faraday:
v L2
d 12 N 2 dt
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua (continuación)
Como ф12 está relacionado con la corriente i , v L2 es proporcional a la variación de i con el
tiempo, es decir:
v L 2
di1 M dt
donde la constante de proporcionalidad M se denomina coeficiente de inductancia mutua entre las dos bobinas y su unidad, en el sistema internacional, es el henrio (H). El flujo del acoplamiento depende de la separación y orientación de los ejes de las bobinas y de la permeabilidad magnética del medio donde se encuentran dichas bobinas. Se define el coeficiente de acoplamiento magnético K :
Por ser ф 12 ≤ ф11 y ф21 ≤ ф22 , el valor máximo de K es la unidad. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Inductancia mutua (continuación)
El coeficiente de acoplamiento K es una medida del grado en el que el flujo producido por una bobina enlaza a la otra (0 ≤ K ≤ 1). Si las bobinas no están acopladas, entonces
K=0. Si las bobinas están perfectamente acopladas, entonces K=1. El coeficiente M se puede expresar en función de las autoinducciones L1 y L2 y del coeficiente de acoplamiento magnético K como:
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente Dado un circuito con un par de bobinas acopladas magnéticamente, supuesto que se asignan las corrientes y voltajes como se observa en la figura:
v1 L1
v2 L2
di1 di M 2 dt dt
di2 di M 1 dt dt
El voltaje inducido en la bobina 1, v 1 está formado por el generado por la inductancia L1 y el producido por la inductancia mutua M. Igualmente, el voltaje inducido en la bobina 2 (v 2) está formado por el generado por la inductancia L2 y el producido por la inductancia mutua M.
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación)
El signo de las tensiones debidas a la inductancia mutua dependerá de si los flujos magnéticos producidos por ambas bobinas se suman o se restan. Si los flujos se suman el signo será positivo:
v1
di1 di2 L1 M dt dt
v2 L2
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di2 di M 1 dt dt
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación)
Si los flujos se restan el signo será negativo:
v1 L1
di1 di M 2 dt dt
v2 L2
di2 di M 1 dt dt
El sentido de los flujos magnéticos se obtiene utilizando la regla de la mano derecha.
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos con bobinas acopladas magnéticamente (continuación)
La regla de la mano derecha dice lo siguiente: “Si agarramos una bobina con los dedos de la mano derecha siguiendo la dirección de la
corriente, el pulgar de la mano derecha nos indica el sentido del campo magnético en el interior de la bobina.”
Para simplificar este tipo de análisis que obliga a conocer la dirección de los arrollamientos se emplea el criterio del punto. Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Criterio
del punto Dada más de una bobina, se coloca un punto en algún terminal de cada una, de manera tal que si entran corrientes en ambas terminales con puntos (o salen), los flujos producidos por ambas corrientes se sumarán. Siguiendo esta convención, las bobinas acopladas presentadas previamente pueden esquematizarse de la siguiente manera:
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Criterio
del punto (continuación) Regla general: si ambas corrientes de las bobinas entran (o salen) de los puntos, el signo del voltaje mutuo será el mismo que el del voltaje autoinducido. En otro caso, los signos serán opuestos.
Ejemplo de aplicación: M
i1
i2
_ v1
+
+ L1
L2
v2
_
v1
L1
di1 di M 2 dt dt
v2
L2
di2 di M 1 dt dt
o en régimen permanente sinusoidal (fasores): V1 = – j wL1I1 + j wMI2 V2 = – j wL2I2 + j wMI1
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos empleando el criterio del punto
El método de análisis por mallas es el más apropiado cuando tenemos circuitos con acoplamiento magnético. Debemos seguir los siguientes pasos: 1) Escójanse arbitrariamente los sentidos de corriente en cada malla 2) La autoinducción produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la corriente 3) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos 4) Aplíquese la Ley de Kirchoff de tensiones a cada malla
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto • Análisis
de circuitos empleando el criterio del punto (continuación)
Ejemplo:
Trabajando con fasores en el dominio de la frecuencia y empleando las corrientes I 1 e I2 que marca el problema como corrientes de malla, las ecuaciones de malla quedarían: –Vg + R1I1 + j wL1I1 – j wMI2 = 0 R2I2 + j wL2I2 – j wMI1 = 0 Fundamentos de Análisis de Circuitos
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6.1 Inductancia mutua. Criterio del punto •Cálculo
de equivalente Thevenin (Norton) en circuitos con bobinas acopladas
En aquellos problemas donde sea necesario calcular el equivalente Thevenin o Norton de un circuito con varias bobinas acopladas magnéticamente (por ejemplo, cálculos de máxima transferencia de potencia o simplificación de circuitos) es imprescindible recordar que: 1) La impedancia Thevenin o Norton no puede calcularse como una simple reducción a la impedancia equivalente, ya que se perdería el efecto de la inductancia mutua M. 2) Tampoco puede emplearse el método de la fuente de test. 3) La impedancia Thevenin o Norton debe calcularse mediante el cociente entre la Tensión de Thevenin y la corriente de Norton del circuito:
Z N Z TH
V TH I N
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6.2 Transformador ideal •Introducción
Un transformador consta de un núcleo sobre el que se enrollan dos o más devanados que reciben el nombre de primario y secundario. Los transformadores tienen varios usos destacando entre otros el de variador de tensión, adaptador de impedancias y separador (aislador de cargas y corrientes). Un transformador de N1 espiras en el primario y N2 espiras en el secundario, se considera ideal si verifica las siguientes condiciones: K=1 L1 = L2 = ∞
R1 = R2 = 0 (pérdidas insignificantes en los devanados). 1: a
El símbolo que emplearemos para representar un transformador ideal será:
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6.2 Transformador ideal •Relaciones
fundamentales en un transformador ideal
Se conoce como razón de transformación de un transformador ideal al cociente:
N 2 a N 1 En un transformador ideal se puede demostrar que:
V 2 V 1
N 2 N 1
a
Siempre y cuando los voltajes V1 y V2 sean ambos positivos o negativos en las terminales con punto, caso contrario a=N2/N1 = - V2/V1 Si a > 1, el transformador es elevador Si a < 1, el transformador es reductor
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6.2 Transformador ideal •Relaciones
fundamentales en un transformador ideal (continuación)
En un transformador ideal también se cumple que:
I 1 I 2
N 2 N 1
a
siempre y cuando ambas corrientes I1 e I2 entren o salgan de las terminales con punto, caso contrario N2/N1 = I1/I2.
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6.2 Transformador ideal •Transformador
ideal como adaptador de impedancias
Consideremos el circuito de la figura siguiente en el que se utiliza un transformador ideal para conectar magnéticamente una fuente o circuito 1 a una carga Z L.
V 2
I 2 Z L
V 1 V 2 a I 1
aI 2
circuit Transformador ideal
Podemos calcular la impedancia del circuito conectado a la fuente mediante: Z 1
V 1 I 1
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6.2 Transformador ideal •Transformador
ideal como adaptador de impedancias (continuación)
Por tanto, obtenemos:
Z 1
V 2 a aI 2
1 a2
V 2 I 2
1 Z 2 L a
Z eq
Z eq
1 Z 2 L a
Por tanto, el circuito 1 ve una impedancia igual a la de la carga Z L escalada por el factor 1/a2. Se dice que Z 1 = Zeq es la impedancia reflejada en el primario del transformador. En conclusión, los siguientes circuitos son equivalentes:
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