Universidad Politécnica Estatal del Carchi Facultad de Comercio Internacional, Integración, Administración y Economía Empresarial Escuela de Comercio Exterior y Negociación Comercial Internacional
Nombre: Edwin Morales Paralelo: 7º “B”
FECHA: 09/05/2016
TEMA: EJERCICIO !"AN#EA$O EN E" A%"A &IR#%A" OBJETIVO: REA"I'AR "O EJERCICIO (%E E !"AN#EARON EN E" A%"A &IR#%A" EJERCICIO 2. %na )*+rica produce dos tipos de camisas A y , las l as camisas tipo A re-uiere .,/ minutos para cortarlas y / minutos para con)eccionarlas, las de tipo re-uieren 0 minutos para cortarlas y 0 minutos para con)eccionarlas1 e necesita 2 3ora y 04 minutos para corte y . 3oras para con)eccionarlas1 El +ene)icio es de .,/4 dólares por cada camisa tipo A y 5 dólares por cada camisa tipo 1 6Cu*ntas camisas de cada clase de+e producirse para o+tener la m*xima ganancia7
DESARROLLO: 1. DAT DATOS: CAMISA TIPO A ( X 1 )
CAMISA TIPO B X 2
2 ,5 5 2,5
4 4 !
CORTE CONFECCIN BENEFICIO
2. VARIA VARIABLES BLES DE DECISI DECISIN N CA8IA $E #I!O A 9
X 1
CA8IA $E #I!O 9
X 2
!. IDENTI IDENTIFICA FICAR R DE LA FUNCI FUNCIN N OBJETI OBJETIVO VO FO ( MAX MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2
4. ESTA ESTABLECER BLECER LAS LAS RESTRIC RESTRICCIO CIONES NES 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100
REQUERIMIENTO ≤ 100 ≤ 120
5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120
X 1 + X 2 ≥ 0
5. "R#F R#FICO 2,5 X 1 + 4 X 2=100
C1: X 1
X 2
0
25
40
0
5 X 1 + 4 X 2=120
C2: X 1
X 2
0
!0
24
0
!%N#O !#I8O
$. PUNT PUNTOS OS CR% CR%TI TICO COS S P(A)& (0'25)
P(B)& ('20) P(C)& (24'0) P(D)& (0'0)
P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=100
;<2=
5 X 1 + 4 X 2=120 2,5 X 1=20
X 1=8 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−100 5 X 1 + 4 X 2 =120 ¿ 2,5 ( 8 )+ 4 X 2=100 4 X 2=100 −20 4 X 2=80
X 2= 20
P(B)& ('20)
*. IDENTI IDENTIFICA FICAR R LA SOLU SOLUCI CIN N PTIMA PTIMA FO ( MAX MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 25 ) =75 FO ( MAX MAX ) B =2,50 ( 8 ) + 3 ( 20 )= 80 PUNTO PTIMO FO ( MAX MAX ) C =2,50 ( 24 ) + 3 ( 0 )= 60 FO ( MAX MAX ) D =2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0
AN#LISIS: "a empresa de+e producir > camisas de tipo A y .4 camisas de tipo para alcan?ar una m*xima ganancia de >4 dólares1 AN#LISIS DE SENSIBILIDAD
. e dispone en el *rea de corte de 24 minutos extras para lo cual la restricción C2 -ueda de la siguiente manera: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 110 u@eta a: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 110 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120
X 1 + X 2 ≥ 0
"+-/ 2,5 X 1 + 4 X 2=110
C1: X 1
X 2
0
2*,5
44
0
5 X 1 + 4 X 2=120
C2: X 1
X 2
0
!0
24
0
. PUNTOS CR%TICOS P(A)& (0'2*,5)
P(B)& (4'25) P(C)& (24'0) P(D)& (0'0)
P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=110
;<2=
5 X 1 + 4 X 2=120 2,5 X 1=10
X 1= 4 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−110 5 X 1 + 4 X 2=120 ¿ 2,5 ( 4 )+ 4 X 2= 110 4 X 2=110−10 4 X 2=100
X 2= 25
P(B)& (4'25) 10.IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 27,5 ) =82,5 FO ( MAX ) B =2,50 ( 4 )+ 3 (25 )=85 PUNTO PTIMO
FO ( MAX ) C =2,50 ( 24 ) + 3 ( 0 )= 60 FO ( MAX ) D =2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0
PRECIO SOMBRA EN LA RESTRICCIN: P (B) P (B)
2,5 X 1 + 4 X 2=110
4 34
20 25 5
REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX )=2,50 ( 4 )+ 3 ( 5) FO ( MAX )=−10 + 15 FO ( MAX )=5 PRECIO SOBRA
AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C2 por cada 24 minutos adicionales al *rea de corte se su+e / dólares de utilidad1 11. e dispone en el *rea de con)ección de 24 minutos extras para lo cual la restricción C. -ueda de la siguiente manera: 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 130 u@eta a: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 130
X 1 + X 2 ≥ 0
"+6-/ C1: X 1
2,5 X 1 + 4 X 2=100
X 2
0
25
40
0
5 X 1 + 4 X 2=130
C2: X 1
X 2
0
!2,5
2$
0
12.PUNTOS CR%TICOS P(A)& (0'25)
P(B)& (12'1*,5) P(C)& (2$'0) P(D)& (0'0)
P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=100 5 X 1 + 4 X 2=130
;<2=
2,5 X 1=30
X 1=12 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−100 5 X 1 + 4 X 2 =130 ¿ 2,5 ( 12 )+ 4 X 2=100 4 X 2=100 −30 4 X 2=70
X 2=17,5
P(B)& (12'1*,5) 1!.IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 25 ) =75 FO ( MAX ) B =2,50 ( 12 )+ 3 ( 17,5 )=82,50 PUNTO PTIMO FO ( MAX ) C =2,50 ( 26 ) + 3 ( 0 )=65 FO ( MAX ) D=2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0
PRECIO SOMBRA EN LA RESTRICCIN: P (B) P (B)
5 X 1 + 4 X 2=130
12 4
REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX )=2,50 ( 4 )+ 3 (−2,5 )
20 1*,5 3 2,5
FO ( MAX )=210 −7,5 FO ( MAX )=2,5 PRECIO SOBRA
AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C. por cada 24 minutos adicionales al *rea de con)ección se su+e .,/ dólares de utilidad1 C#LCULO DE VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1 2,5 X 1 + 4 X 2=100
C1: X 1
X 2
0
25
40
0
5 X 1 + 4 X 2=120
C2: X 1
X 2
0
!0
24
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C1:
2,5 X 1 + 4 X 2= 100
Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=
− A −2,5 = 4 B
VALOR M#7IMO PERMITIDO P (0'!0) y − y 1= m( x − x1 ) y −30 =(
y −30 =
−2,5 4
−2,5 4
)( x −0 )
x
4 y − 120=−2,5 x 2,5 x + 4 y =120
2,5 x + 4 y =120
O+96;
5 X 1 + 4 X 2= 100
.4 e puede incrementar .4 minutos en el *rea de con)ección1
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (24'0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(
−2,5 4
)( x −24 )
y =
−2,5 4
x +
60 4
2,5 x + 4 y = 60 2,5 x + 4 y = 60
O+96;
2,5 X 1 + 4 X 2=100
B04 e puede disminuir 04 minutos en el *rea de corte1
C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2 2,5 X 1 + 4 X 2=100
C1: X 1
X 2
0
25
40
0
5 X 1 + 4 X 2=120
C2: X 1
X 2
0
!0
24
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C2:
5 X 1 + 4 X 2=120
Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=
− A −5 = 4 B
VALOR M#7IMO PERMITIDO P (40'0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(
−5 4
)( x − 40 )
4 ( y − 0)=(−5 )( x −40 ) 4 y =−5 x + 200 5 x + 4 y =200 5 x + 4 y = 200
O+96;
5 X 1 + 4 X 2=120
>4 e puede incrementar >4 minutos en el *rea de con)ección1
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0'25) y − y 1= m( x − x1 ) y −25 =(
y −25 =
−5 4
−5 4
)( x −0 )
x
4 y −100=−5 x
5 x + 4 y =100 5 x + 4 y = 100
O+96;
5 X 1 + 4 X 2=120
B.4 e puede disminuir .4 minutos en el *rea de corte1
CUADRO RESUMEN VARIABLES
PRECIO SOMBRA 5 2,5
C1 C2
VALOR
PERMITO
100 120
20 0
3PERMITID O 40 20
CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2
u@eta A: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120
X 1 + X 2 ≥ 0
"R#FICO 2,5 X 1 + 4 X 2=100
C1: X 1
X 2
0
25
40
0
C2: X 1
5 X 1 + 4 X 2=120
X 2
0
!0
24
0
Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k Y =mx + z
PENDIENTES m 1=
m 2=
−5 4
=−1,25 <¿
−2,5 4
=−0,625 >¿
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
C 1 ≤m C 2 2
−5 4 15 4
≤−
C 1 3
≥C 1 ≥
≤−
2,5 4
(−3)
7,5 4
3,75 ≥C 1 ≥ 1,88 1,88 ≤C 1 ≤ 3,75
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
−5 4
−5 4
C 1 ≤m C 2 2
≤−
2,5
≤−
2,5
C 2
≤−
2,5 4
C 2
−5 C 2 ≤ −10 C 2 ≥ 2
−2,5 2,5 ≤− C 2 4 −10 ≤ −2,5 C 2 −2,5 C 2 ≤ −10 C 2 ≥ 4 2 ≤ C 2 ≤ 4
CUADRO RES
VALOR ACTUAL 2,5
PERMITO 1,25
3PERMITIDO 0,$2
C2
!
1
1
EJERCICIO ! 51< %na empresa )a+rica dos productos A y 1 El +ene)icio para A es de ./ dólares por tonelada y para .4 dólares1 "a planta consta de tres departamentos de producción: Cortado, 8e?clado y Enlata@e1 El e-uipo en cada departamento puede emplearse 0 3oras diarias1 El proceso de producción es el siguiente1 El producto A emplea 3ora de la capacidad de cortado y enlata@e y 4,/ 3ora de me?clado por tonelada1 El producto re-uiere 4,/ 3ora por tonelada de la capacidad de me?clado y 2D5 3ora de la capacidad de enlata@e1 6(u com+inación de producto de+er* ela+orar la empresa para maximi?ar su +ene)icio7 COR#E A #O#A"
2/ .04
8E'C"A 54 54 .04
EN"A#AJE ENEFICI 2/ .4 .04
O ./ .4
21< e de+e proponer la )unción o+@etio a maximi?ar z (max) = 25 x + 20 y
.1< se de+e proponer las restricciones c1:15 x ≤ 240 c 2 : 30 x + 30 y ≤ 240 c3 :15 x + 20 y ≤ 240 c4 : x ∧ y ≥ 0
51< se propone la gr*)ica de la )unción
El area mas som+rada, o el triangulo AC, es donde todas las restricciones se cumplen, por lo cual de+emos calcular los puntos A, y C y luego incluirlas en la matri? a maximi?ar para er cual punto es el -ue maximi?a nuestra )unción1 01< !%N#O CRG#ICO A = (0,8) B = (8,0) C =
(0,0)
z (max) = 25 x + 20 y
Rempla?amos en nuestra )unción o+@etio: z (max) = 25x + 20 y z (max) A
=
25*0 + 20*8 = 160
z (max) B
=
25*8 + 20*0 = 200 Está se maximiza
z (max)C
=
25* 0 + 20 *0 = 0
Respuesta: para -ue la utilidad se maximice, se de+e producir > productos de A y ninguno de
S= >=?= @+@=+ =; /+== = 10 +6 = =; +=6 >= /+=
$e acuerdo al gra)ico este incremento no a)ecta el *rea de optimi?ación, por lo cual la misma se e representada en el tri*ngulo A C con coordenadas: A9 ;4,>= 9 ;>,4= C9 ;4,4= Rempla?a en la )unción o+@etio z (max) A
=
25 * (0) + 20 * (8) = 160
z (max) B
=
25 *8 + 20 * 0 = 200
z (max)C
=
25* 0 + 20 *0 = 0
El punto -ue maximi?a es el punto 1
P+=/ ?+6 B
B'
=
(8,0)
=
(8, 0)
===
(0,0)
Z
=
25(0) + 20(0) = 0
Esto -uiere decir -ue, por el aumento de 24 3oras en el *rea de corte, nuestra utilidad no se e a)ectada, no se incrementa1
S= @+@= /+== >= 10 +6 = =; >=@6+6= >= =;66=. c1:15 x
=
240
c 2 : 30 x + 30 y
=
240
c3 :15 x + 20 y
=
250
c4 : x + y
C1 7 2 2 Hra)ico C 2
=
0
7 4
78 8 4 > > 4 24
2 ,
8 2. ,/ 4
C 2
Igualmente, con este incremento el *rea no se e a)ectada1 !untos críticos: A9 ;4,>= 9 ;>,4=
C9 ;4,4= z (max) A
=
25 * 0 + 20 *8 = 160
z (max) B
=
25 *8 + 20 * 0 = 200
z (max) C
=
25 * 0 + 20 *0 = 0
Este punto se maximi?a
P+=/ ?+6 B
B'
=
(8,0)
=
(8, 0)
===
(0,0)
Z
=
25(0) + 20(0) = 0
i se incrementa en 24 3oras la la+or de enlata@e, la utilidad no incrementa1
S= @+@= /+== >= 10 +6 = =; >=@6+6= >= =G/;6. c1:15 x ≤ 240 c 2 : 30 x + 30 y
≤
250
c3 :15 x + 20 y
≤
240
c4 : x + y
≥
0
C1 7 78 8 2 44 >, 55 2 >,4 4 55 Hra)ico C 2 C En este caso 2 lo cual críticos: !untos críticos: A9 ;4>,55= 9 ;>,554=
7 4 2
8 2. 4
el *rea de maximi?ación 3a incrementado, por de+emos calcular nueamente los puntos
C9 ;4,4= z (max) A
=
25 * 0 + 20 * 8, 33 = 166, 66
z (max) B
=
25 * 8, 33 + 20 * 0
z (max) C
=
25 * 0 + 20 *0
=
=
208, 2 35
0
!%N#O O!#I8O
P+=/ ?+6 B
=
B'
=
===
Z
=
(8,0) (8, 33; 0) (0,33) 25(0, 333) + 20(0) = 8, 325
i se incrementa 24 3oras de tra+a@o en el *rea de me?cla, la utilidad se incrementa en >,5./ %$1
I/+== H @=+>
C1 C2 C!
P+=/ ?+6
E/6/
@=+>
4 >,5./ 4
.04 .04 .04
.04
K
@=+>
2.4 .04 >4
M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE CORTE
Anali?ando el gr*)ico tenemos -ue el incremento permitido es in)inito, mientras -ue la disminución est* dada en el punto 1
9 ;>,4= &amos a calcular la ecuación de la recta en ese punto1 15 x ≤ 120
M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE MECLADO MA7IMIAR
MINIMIAR
30 x + 30 y
≤
240
En este, se lograr* maximi?ar en el punto $ y minimi?ar en el punto C1 8aximi?ar D (16, 0)
m2
=
− 30
30
(y − y1 )
=
( y − 0)
=
m(x − x1 ) −30
( x − 16)
30 −30 x + 480 y − 0 = 30 30 x + 30 y = 480 Minimizar E = (0,0) m2
=
y − 0
−30
30 −30
( x − 0) 30 30 x + 30 y = 0 =
M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE ENLATAJE
15 x + 20 y ≤ 240 En este caso, la maximi?ación seria in)inita pero la minimi?ación se da en el punto F1 B = (0,8)
m3
=
−15
20 (y− y1 ) = m(x − x1) y− 0 = y− 0 =
−15
(x − 8)
20 −15 x + 120
20 15 x + 20 y = 120
CORTE MECLAD O ENLATAJE
P+=/ ?+6 4 >,5./
E/6/
@=+>
K
.04 .04
.04
2.4 .04
4
.04
2.4
@=+>
ANK"II $e acuerdo a la ta+la, podemos decir -ue en cuanto a corte lo mínimo permitido es de 2.4 3oras de tra+a@o, en cuanto a me?clado podemos incrementar 3asta .04 3oras y disminuir 3asta .04, en cuanto a enlata@e, podemos incrementar in)initamente y disminuir 3asta 2.4 3oras1
M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO EN LA FUNCIN OBJETIVO ECUACIN
VALOR
BENEFICIO ./ A (/1) BENEFICIO .4 B (/2)
@=+>
K
in)inito
/
/
in)inito
@=+>
m1 ≤
c1 c2
≤ m2
FOR8%"A −15
≤
20 (−20)
c1
≤
20 −15
≤
−30
30 c1
20 20 15 ≥ c1 ≥ 20 −15
20 −15
20
≤
≤
25 c2
≤
25 c2
−15c2 ≤
500
c2 ≤ −33,33
25 c2
≤
−30
30
750 ≤ −30c2 −25 ≤ c2
−30
30
≤
−30
30
EJERCICIO 4 01< %na compaLía produce dos tipos de pantalones A y , cada pantalón tipo A re-uiere del do+le de mano de o+ra -ue el de tipo 1 e de+en producir por lo menos menos ./4 pantal pantalon ones es com+i com+inad nados1 os1 El mercad mercado o limita limita la enta enta diaria diaria de pantalones tipo A, a un m*ximo de M/ y los de clase a un total de 2./ pantalones1 "os +ene)icios por pantalón son dólares para el tipo A y 0 dólares para para el tipo tipo 1 $ete $eterm rmin inar ar el nme nmero ro de pant pantal alon ones es de cada cada clas clase e -ue -ue maximice la ganancia1
producción &enta diaria &enta diaria %tilidad 1!
!antalón A 2 . 2
!antalón . 2 2 0
Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2
sujetoo a : 2! sujet
2 x 1 + x 2 ≥ 250
x 1 ≤ 75 x 2=125 "! #ra$ca:
re-uerimiento ./4 M/ 2./ maximi?ación
C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5
x2 25 0 0
C 2 x1 =75 x 1 %5 %5
x2 0 10
C 3 x 2=125 x 1 0 %5
x2 12 5 12 5
&! P'nt P'nto o ()t ()ti* i*o o! A + %5 , 125 +%5, 100-
C 1 2 x 1 + x 2=250 C 2 x1 =75
Ree*)la.ando en C1
x 2=100
5! Ree*)la. ee*)la.o o en la 'nci 'ncin n oeti oetivo! vo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2
Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 125 ) =950 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 100 )= 850
2 ( 75 )+ x2 =250
A la compaLía le coniene producir M/ unidades de pantalones tipo A y 2./ unidades de pantalones pantalones tipo para la maximi?ación maximi?ación de sus utilidades a P/4 Q1 1 An*lis An*lisis is de sensi+ sensi+ili ilidad dad11 !ara el an*lisis se tra+a@ara con 241 121
C2
6!1!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2
suje sujeto to a :
6!1!2!
2 x 1 + x 2 ≥ 260
x 1 ≤ 75 x 2=125 6!1! 6!1!"! "! #ra$ #ra$ca ca::
C 1 2 x 1 + x 2=260 x 1 0 1" 0
x2 26 0 0
C 2 x1 =75 x 1 %5 %5
x2 0 10
C 3 x 2=125 x 1 0 %5
x2 12 5 12 5
6!1!&! P'nto ()ti*o! A + %5 , 125 +%5, 110-
C 1 2 x 1 + x 2=260
Ree*)la.ando en C1
C 2 x1 =75
2 ( 75 )+ x2 =260
x 2=110
6!1!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2
Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 125 ) =950 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 110 )=890 Al a'*entar 3 dis*in'ir en la 'ncin C1 no e4isten ca*ios 3a 'e esta restriccin no es oliatoria!
1.1
C.
6!2!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2
sujeto a :
6!2!2!
2 x 1 + x 2 ≥ 250
x 1 ≤ 85 x 2=125 6!2!"! #ra$ca:
C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5
x2 25 0 0
C 2 x1 =85 x 1
x2
75 75
0 10
C 3 x 2=125 x 1 0 %5
x2 12 5 12 5
6!2!&! P'nto ()ti*o! A + 75 , 125 +75, 70-
C 1 2 x 1 + x 2=250
Ree*)la.ando en C1
C 2 x1 =85
2 ( 85 )+ x 2=250
x 2=80
6!2!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2
Z ( maxA )= 6 ( 85 ) + 4 (125 )=1010 Z ( maxB )=6 ( 85 )+ 4 ( 80 )=830 Al a'*entar 3 dis*in'ir la venta diaria de )antalones A en 10 'nidades la 'tilidad incre*entar8a o decrecer8a en 160!
151
C5
6!"!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2 6!"!2!
sujeto a : 2 x 1 + x 2 ≥ 250
x 1 ≤ 75
x 2=135 6!"!"! #ra$ca:
C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5
x2 25 0 0
C 2 x1 =85 x 1 75 75
x2 0 10
C 3 x 2=135 x 1 0 %5
x2 1" 5 1" 5
6!"!&! P'nto ()ti*o! A +%5, 1"5 +%5, 100-
C 1 2 x 1 + x 2=250 C 2 x1 =75
Ree*)la.ando en C1
2 ( 75 )+ x2 =250
x 2=100
6!"!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2
Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 135 ) =990 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 100 )= 850 Al a'*entar 3 dis*in'ir la venta diaria de )antalones en 10 'nidades la 'tilidad incre*entar8a o decrecer8a en &0!
*. P+=/ S?+6 @ @=>==. C2 C. C5
P DE SOMBRA 4 4 04
VALOR ./4 M/ 2./
!unto pendiente en la restricción C 1 : 2 x 1 + x 2=250 Y −Y 1 =m( X − X 1) m=
− A −2 = B 1 &K2
y< y2 9m ;x x2= ;M/2./= S<2./9 <. ;x M/= S<2./ 9 <.T 2/4 .TS 9 .M/ y< y2 9m ;x x2= S<49 <. ;x 4= .TS 9 4
C 2 : x1 =75 Y −Y 1 =m( X − X 1) m= y< y2 9m ;x x2= ;2./4= S<49 4 ;x 2./=
− A −0 = B 1 &0
∆ PERMITIDO ./ in)inito in)inito
∆ PERMITIDO in)inito 2.,/ in)inito
S<4 9 4 S94 y< y2 9m ;x x2= ;.,/ 2./=
C 3 : x 2=125 Y −Y 1 =m( X − X 1) m=
− A −1 = 0 &- B
y< y2 9m ;x x2= ;4./4= S<./49 in)inito ;x 4= S<./4 9 in)inito S 9 in)inito y< y2 9m ;x x2= ;2.4 2./= S<2./9 in)inito ;x 2.4= S<2./ 9 in)inito S 9 in)inito
EJERCICIO 5 /1< $os pantalones tienen el siguiente proceso1 Uay un taller -ue lo m*s -ue puede 3acer es .44 productos del tipo A o 244 del tipo por día1 El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 2.4 productos del tipo A o 24 del tipo 1 #am+in el tratamiento tcnico puede procesar un total de P4 artículos del tipo A por día1 El producto A tiene una utilidad de 0 dólares y el producto de dólares1 $etermine la producción óptima -ue maximice los +ene)icios A;;ER 1 PR?@UC? A 200 1 PR?@UC? 100 2
A;;ER P<=URA 120 160
RAA>
U<;<@A@ & 6
Z ( MAX )= 4 X 1 +6 X 2
C 1:100 X 1+ 200 X 2 ≤ 20000 C 2:160 X 1+ 120 X 2 ≤ 19600 C 3 : X 1 ≤ 90 C1: X Y 1 0 X 0 0
0 0 2 12
C2: Y
16 0 0
0 0 0
AB +090B +2090CB +%662@B +1200EB +00-
PARA 2 @E
PARA C
C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 3 : X 1= 90 C 2:160 X 1+ 120 X 2 ≤ 19600 100 X 1 + 200 ( 90 ) =20000
X 1=
X 1=
100
(
19600−12 0 X 2 160 20000 − 18000 100 19600 −12 0 X 2 160
)+
200 X 2 = 20000
X 1=20 19600−12000 X 2 + 32000 X 2 =160 ( 20000 ) 20000 X 2=3200000 −196000
X 2= 62
X 1=
X 1=
19600−120 ( 62 ) 160
19600−7440 160
X 1=
19600 − 120 ( 62) 160
X 1=76
Z ( MAX )= 4 X 1 +6 X 2 Z ( maxA )= 4 ( 0 )+ 6 ( 90 )=0 + 540=540 Z ( maxB )= 4 ( 20 ) + 6 ( 90 ) =80 + 540 =620 Z ( maxC )= 4 ( 76 )+ 6 (62 )=304 +372 =676 Z ( maxD )=4 ( 120 ) + 6 ( 0 )= 480 + 0 =480 Z ( maxE )= 4 ( 0 ) + 6 ( 0 )=0 De dee )rod'cir %6 )rod'ctos de A 3 62 )rod'ctos de )arta otener la *4i*a 'tilidad de 6%6!
Precio so*ra AU>E=? E= C1
C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600 C 3 : X 1= 90
C1: X Y 1 0 X 1 0
0 0 2 12 2 0 0
C2: Y
16 0 0
AB +090B +6590CB +6&%7@B +1200EB +00PARA 1 @E
C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 3 : X 1= 90 200 X 2=20000 −100 ( 90 )
X 2=
22000 −90000 200
X 2= 65
1 2 PARA CG
C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600
100 X 1=22000 −200 X 2
X 1=
22000 − 200 X 2 100
1 E= C2 160
(
22000 −200 X 2 100
)+
120 X 2=19600
3520000 − 32000 X 2 + 12000 X 2 =19600 ( 100 ) 20000 X 2=196000 − 3520000
X 2=78 X 1=
22000 − 200 ( 78 ) 100
X 1= 64
Precio Do*ra de CG C+%6,62CG+6&,%7+*a4-B &+I12-J6+16-B &7J96 Precio so*ra B &7 DISMINUYO C
C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=13000 C 3 : X 1= 90 X Y 0 1 C1:
0 0 2 0 0 0
C2:
X 0
11
Y
15 7 "" 0
8, 75
AB +090B +2090CB +%765@B +1200EB +001 2 PARA CG
C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19000 100 X 2=20000 −100 X 1
X 1=
20000 − 100 X 1 200
2 E= C2
160 X 1 + 120
(
20000 −100 X 1 200
)=
19000
32000 X 1 + 2400000 − 12000 X 1= 19000 ( 200 ) 20000 X 1=3800000 −2400000
X 2=78 X 1=
1400000 2000
X 1=70 Precio Do*ra de C2 C+%6,62CG+%0,65I6,J" +*a4-B &+I6-J6+"-B I2&J17 Precio so*ra B I6 ;A U<;<@A@ HA @<=U<@? E= 6 AU>E=? @<=UC<(= PER><<@? JI @E C1 C1: X Y 1 0 X 0 0
0 0 2 12 0 0 0
C2: Y
16 0 0
X 2= 90
C":
1 PER><<@?
Y −Y 1 =m ( X − X 1 ) m=
−100 200
y =90 C 2:160 X 1+ 120 ( 90 )=19600 X 1=
19600 −10800 160
X 1=55 y −90 =
−100 200
( x −55 )
200 Y + 18000=−100 X + 5500 200 Y + 100 X =23500 23500−200 Y =3500
I
PER><<@A
y −0 =
−100 200
( x −120 )
200 Y + 100 X =12000 20000−1200 =8000
J K C2
C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600 C 3 : X 1= 90
#RLFERA J PER><<@?
Y −Y 1 =m ( X − X 1 ) m=
−160 120
y −O =
−160 120
( X −200 )
120 Y + 160 X =32000 32000−19600 =12400
>E=?D PER><<@?
y −90 =
−160 120
( X −20 )
120 Y + 10800=−160 X + 3200 160 X −120 Y =1400 19600 −14000 =5600
>L<>? <=CRE>E=? =M=<>? E= ;A FU=C<(= ?NE<E ACUA; & 6
PR?@UC? A PR?@UC?
Z ( MAX )= 4 X 1 + 6 X 2=676 m=
m=
−100 200
−160 120
−100 200
≤−
C 1 6
≤−
160 120
−¿ ¿ ¿ 600 200
≥C 1 ≥
960 120
3 ≥C 1 ≥ 8
+",7&I"B1 7I&B&
−100 200
−1
≤−
100 200
≥
4
C 2 4
C 2
≤−
≥
160 120
160 120
>A PER><<@? & 2
><= PER><<@? 1 "
100 800
C 2
≥
1
C 2
≥
( )≥ 100 800
480
1
1
C 2 ≥
C 2 ≥
160
100 800
800 100
C 2 ≥ 8 +",7-
C 2
( )≥ 160 480
1
C 2 ≥
C 2 ≥
160 480
480 160
C 2 ≥ 3 +",76I"B" 7I6B2
1
EJERCICIO N $ e producen dos artículos A y los mismos -ue son procesados por tres m*-uinas 82, 8. y 851 "a m*-uina 82 procesa 4,/ unidades de A y 4,/ de 8. procesa 2 de A, y 4,/ de 85 procesa 4,/ de a y tres de 1 e dispone al menos de / 3oras semanales para 82, P/ para 8. y 244 para 851 El costo de A es de tres dólares y cinco dólares el de 1 6Cu*ntas unidades de A y se de+e producir para -ue el costo sea mínimo7
82 8. 85 CO#E
2 A 4,/ 2 4,/ >Q
. 41/ 41/ 5
RE( / P/ 244 Q
IDENTIFICAR DE LA FUNCIN OBJETIVO
()& !71572 SUJETA A: ESTABLECER LAS RESTRICCIONES 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100
X 1 + X 2 ≥ 0
C1: 0,5710,572& $5
! 0 1"0
Y 1"0 0
HRAFICAR:
PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +60 , %0CB +116 , 1&@B +200,0-
C2: 0,5710,572& 5
! 0 95
Y 190 0
C!: 0,5710,572& 100
! 0 200
Y """" 0
P I=+=// E C1
C2
0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
;<22=
X 1 + 0,5 X 2 =95
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 X 1+ 0,5 X 2=95 0,5 X 1=30 X 1=60 0,5 ( 60 )+ 0,5 X 2 = 65 4 X 2=−30 + 65 0,5 X 2=35
X 2=70
C1 , C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
;<2=
0,5 X 1 + 3 X 2=100
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 0,5 X 1+ 3 X 2= 100 2 , 5 X 2 =35 X 2=14 0,5 x1 + 0,5 ( 14 )=65 0,5 X 1=+ 7 =65
0,5 X 1=58
X 1=116
IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;2P4= 9 P/4 M;min= : 5;4= T / ;M4= 9 /54 M;min= C: 5;22= T / ;20= 9 02>
P O@
M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44
AN#LISIS DE SENSIBILIDAD e dispone en 8A(%INA 82 de / UORA extras para lo cual la restricción C2 -ueda de la siguiente manera: 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 70
*() : !71 572 SUJETA A 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 70 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100
X 1 + X 2 ≥ 0
C1
0,5 X 1 + 0,5 X 2=70
! 0 1&0
Y 1&0 0
C2: ! 0 95
1 X 1+ 0,5 X 2=95
Y 190 0
C!: ! 0 200
0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100
Y """" 0
Hra)icar
PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +90 , 50CB +127 , 12C1 @B, +200,0C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2=70
;<2=
1 X 1+ 0,5 X 2=95
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−70 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 0 , 5 X 1=25 X 1=50 0,5 ( 50 )+ 0,5 x 2=70
0,5 X 2=−250 + 70 0,5 X 2= 45
X 2= 90
C1 C! 0,5 X 1 + 0,5 X 2=70
;<2=
0,5 X 1 + 3 X 2=100
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−70 0,5 X 1+ 3 X 2=100 2 , 5 X 2 =30 X 2=12 0,5 x1 + 0,5 ( 12)= 70 0,5 X 1=+ 6 =70 0,5 X 1=64
X 1=128
IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;4= 9 P/4 M;min= : 5;P4= T / ;/4= 9 /.4 M;min= C: 5;2.>= T / ;2.= 9 000 !unto Optimo M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44
PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;2.> , 2. =
2.
.
REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO M;min= C: 5;2.= T / ;<.= 9 .
PRECIO SOBRA
AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C2 por cada / UORA adicionales en 82 se su+e . dólares de utilidad1
e dispone en 8A(%INA 8. de / UORA extras para lo cual la restricción C. -ueda de la siguiente manera:
C2 /+==6 = ∆ " *() : !71 572 SUJETA A
0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 100 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100
C1
0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
! 0 1"0 HRAFICAR
Y 1"0 0
C 2=1 X 1 + 0,5 X 2=100 ! 0 100
Y 200 0
C 3:0,5 X 1 + 3 X 2=100 ! 0 200
Y """" 0
PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,2000B +%0 , 60CB +116 , 1&@B +200,0-
C1 , C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
;<2=
1 X 1+ 0,5 X 2=100
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 0 , 5 X 1=35 X 1=70 0,5 ( 70 )+ 0,5 x 2= 65 0,5 X 2=−35 + 65 0,5 X 2=30
X 2= 60
C1 C!
0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
;<2=
0,5 X 1 + 3 X 2=100
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 0,5 X 1+ 3 X 2= 100 2 , 5 X 2 =35 X 2=14
0,5 x1 + 0,5 ( 14 )=65 0,5 X 1=+ 7 =65 0,5 X 1=58
X 1=116
IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;.44= 9 2444 M;min= : 5;M4= T / ;4= 9 /24 M;min= C: 5;22= T / ;20= 9 02> !unto Optimo M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44
PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;22 , 24 =
4
4
REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO *() CIII: !(0) 5 (0) & 0 PRECIO SOBRA
AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C. por cada / UORA adicionales en 8. se su+e 4 dólares de utilidad1
e dispone en 8A(%INA 85 de / UORA extras para lo cual la restricción C5 -ueda de la siguiente manera:
C! /+==6 = ∆ " *() : !71 572 SUJETA A 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 105
C1
0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
HRAFICAR ! 0 1"0
Y 1"0 0
C 2=1 X 1 + 0,5 X 2=95 ! 0 95
Y 190 0
C 3:0,5 X 1 + 3 X 2=105 ! 0 210
Y "5 0
PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +60 , %0CB +11& , 16@B +210,0-
C1 , C! 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
;<2=
1 X 1+ 0,5 X 2=105
−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 2 , 5 X 2= 40 X 2=16 0,5 x1 + 0,5 ( 16 )=65 0,5 X 1=−8 + 65
0,5 X 1=57
X 1=114
IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;2P4= 9 P/4 M;min= : 5;4= T / ;M4= 9 /54 M;min= C: 5;220= T / ;2= 9 0.. !unto Optimo M;min= $: 5;.24= T / ;4= 9 54
PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;220 , 2 =
v .
.
REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO *() CIII: !(K2) 5 (2) & 4 PRECIO SOBRA
AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C5 por cada / UORA adicionales en 85 se su+e 0 dólares de utilidad1
C1 VALOR M#7IMO PERMITIDO (200'0)
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 1:0,5 X 1+ 0,5 X 2=65 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m= y< y2 9m ; x x2= y<49 <2 ;x .44=
− A −−0,5 = 0,5 B
&1
S<4 9 <T .44 Ty 9 .44
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (5,45 ' 1,0) y − y 1= m( x − x1 )
−1 ( x −85,45 ) y −19,09 =¿ y −19,09 =− x + 85,45
− y −104,58 =− x x + y =104,58
x + y =104,58 O+96;
0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65
!,5
C2 , /! 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65 1 X 1+ 0,5 X 2= 105
;5=
;<4,/=
+ 3 X 1 + 0,5 X 2 =95 −9,25 X 1 + 1,5 X 2 =50 2 , 75 X 1=235 X 1=85,45 0,5 ( 85,45 )+ 3 X 2= 100 42,72 =+ 3 X 2+ 100
3 X 2=57
,.>
X 2=19,09
C2 VALOR M#7IMO PERMITIDO (11$ ' 14)
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 2 : 1 X 1+ 0,5 X 2=95 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=
− A −−1 = 0,5 B
S < y2 9m ; x x2= S <20 9 <. ;x 22= S <20 9 <.T .5. .Ty 9 .0
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0 ' 0) y − y 1= m( x − x1 )
−1 ( x −0 ) y −0 =¿ y −0 =− x + 0
− y −0 =−2 x + 0 2 x + y =0
2 x + y =0
O+96; 1 X 1 +0,5 X 2 =95
& K2
C! VALOR M#7IMO PERMITIDO ($0 ' *0)
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 1:0,5 X 1+ 3 X 2=100 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=
− A −−0,5 = & K1$ B 3
−1 S < M4 9
6
; x 4=
y<0.4 9 4
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0 '0) y − y 1= m( x − x1 )
( x −0 ) −1 / 6 ¿ y −0 =¿
$ y −1 =− x + 0 x + 6 y =0 C%A$RO $E RE%8EN
C2 C. C5
P DE SOMBRA
VALOR
∆ PERMITIDO
∆ PERMITIDO
. 4 0
/ P/ 244
25/ 2/2 5>4
/ P/ 244
E=+// N 0* M1< %n )a+ricante de gasolina para aiación ende dos clases de com+usti+le A y 1 El com+usti+le A tiene 2.,/V de gasolina grado 2 y . y ./V de gasolina grado 51 El com+usti+le tiene ./V de gasolina grado . y 51 $isponi+le para la producción 3ay ./ galones D 3ora de gasolina grado 2 y 244 D 3ora de gasolina . y 51 "os costos son de 2/centaos por galón de gasolina grado 2, el galón de gasolina grado . cuesta 54 centaos y 0/ centaos por galón de gasolina grado 51 El com+usti+le A puede enderse a 4,M2dólares por galón, mientras -ue el com+usti+le alcan?a 4,M/ centaos por galón1 6(u cantidad de+e )a+ricarse de cada com+usti+le para o+tener el mayor +ene)icio7
D6
"6;6 9+6> 1 "6;6 9+6> 2 "6;6 9+6> ! C U;>6>
C??;= A 4,2./ 4,2./ 4,./ 4,2/ 4,M2
C??;= B < 4,./ 4,./ 4,54 4,M/
R==+= ./ 244 244 4,0/
IDENTIFICAR LAS VARIABLES DE DECISIN Com+usti+le A ≥ X 1 Com+usti+le B ≥ X 2
IDENTIFICAR LA FUNCIN OBJETIVO 8aximi?ar las ganancias anancia= !" −Costo Costo =Costo Materia !rima + Costo Mano #eo$ra Costocom$usti$%e A =1,875 + 3,75 + 11,25=16,88 =0,17 Costo com$usti$%e B =7,5 + 11,25=18,75 =0,19 anancia#e A =0,71−0,17 =0,54
Hanancia de B =0,75 −0,19= 0,56 F & O≥ Z ( max )=0,54 X 1 + 0,56 X 2
IDENTIFICAR LAS RESTRICCIONES u@eta a: C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 X 1 ˄ X 2 ≥ 0
"R#FICO:
C 1 0,125 X 1=25
C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100
X 1=250 / 0,125
X 1 X 2
X 1=200
4 >44
4
4
044 4
A :( 0 ' 400) B : ( 200 ' 200) C : ( 200 ' 0 ) D : ( 0 ' 0 )
<
Interpretación ecuación C 1 y C 3
0,125 X 1=25
X 1 X 2
044
CALCULAR LOS PUNTOS CR%TICOS
!unto :
C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100
044
X 1=25 /0,125 X 1=200
<
0,25 X 1+ 0,25 X 2=100 0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2=100 0,25 X 2 =100 −50
X 2=50 / 0,25 X 2=200
SOLUCIN PTIMA Z ( Max )=0,54 x 1 + 0,56 x 2
•
•
•
•
Z ( Max ) A =0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 400 )=224 !unto()timo Z ( Max ) B =0,54 ( 200)+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( Max ) C = 0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 0 )=108 Z ( Max ) D =0,54 (0 )+ 0,56 ( 0 )= 0
INTERPRETACIN DE LA SOLUCIN !ara cual-uier empresa lo m*s recomenda+le es )a+ricar solo el com+usti+le tipo A en una cantidad de 044 gl, pues así indica el m*ximo de utilidades para la empresa1 "legando a o+tener una utilidad de Q ..01
AN#LISIS DE SENSIBILIDAD CALCULO DE LOS PRECIOS SOMBRA upongamos -ue 3ay disponi+les 24 galones extras de gasolina grado 5 de modo -ue la ecuación -ue de la siguiente manera F & O=¿ Z ( max )=0,54 x 1+ 0,56 x 2
RESTRICCIONES u@eta a:
0,25 x 1 + 0,25 x 2 ≤ 110
C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 110 X 1 ˄ X 2 ≥ 0 0,125 X 1 =25
29 ./D4,2./
X 1=200
C 2 0,125 x 1 + 0,25 x 2 =100 2 4 >44
PUNTOS CR%TICOS A : ( 0 ' 400) B : ( 80 ' 360 ) C : ( 200 ' 200 )
. 044 4
C 3 0,25 x 1 +0,25 x 2 =110 2 4 004
. 004 4
D : ( 200 ' 0 ) E : ( 0 ' 0 )
!%N#O : Interpretación de la ecuación C 2 y C 3 (−1) 0,125 X 1+ 0,25 X 2 =100
<
0,25 X 1+ 0,25 X 2 =110 0,125 X 1=10
X 1=10 / 0,125 X 1=80
<
0,25 X 1+ 0,25 X 2=110 0,25 ( 80 )+ 0,25 X 2=110 0,25 X 2 =110−20
X 2=90 / 0,25 X 2=360
Interpretación ecuación C 1 y C 3
!unto C: <
0,125 X 1=25
X 1=25 /0,125 X 1=200
<
0,25 X 1+ 0,25 X 2=100 0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2=100 0,25 X 2 =100 −50
X 2=50 / 0,25 X 2=200
SOLUCIN PTIMA Z ( max)= 0,54 x 1 + 0,56 x 2
•
•
•
•
•
Z ( max) A =0,54 ( 0)+ 0,56 ( 400 )= 224 Z ( max ) B =0,54 ( 80 )+ 0,56 ( 360 )=244,8 !unto()timo !unto ()timo Z ( max) C =0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( max) D = 0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 0 )=108 Z ( max) E =0,54 ( 0)+ 0,56 ( 0 )=0
PUNTO SOMBRA C : ( 0 ' 400 ) C 1 : ( 80 ' 360 )
>4 B<04 Z ( max)= 0,54 ( 80 )+ 0,56 (−40 ) Z ( max ) =43,2 − 22,4 Z ( max)= 20,8
!recio som+ra asociado a la restricción C5
upongamos -ue 3ay disponi+les 24 galones extras de gasolina grado . de modo -ue la ecuación -ue de la siguiente manera F & O=¿ Z ( max )=0,54 x 1+ 0,56 x 2
RESTRICCIONES u@eta a: C 1 0,125 X 1 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1 1+ 0,25 X 2 ≤ 110 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1
1 ˄ X 2 2 ≥ 0 X 1
0,125 x 1 + 0,25 x 2 ≤ 110
C 1 0,125 X 1 =25
C 2 0,125 x 1 + 0,25 x 2 =110
29 29 ./D4 ./D4,2 ,2./ ./
2
1=200 X 1
4 >>4
. 004 4
PUNTOS CR%TICOS A :( 0 ' 400) B : ( 200 ' 200) C : ( 200 ' 0 ) D : ( 0 ' 0 )
!%N#O : Interpretación de la ecuación C 1 y C 3 <
0,125 X 1 1=25 25
<
X 1 1=
<
X 1=200
<
0,125
0,25 x 1 + 0,25 x 2 =100
C 3 0,25 x 1 +0,25 x 2 =100 2 4 044
. 044 4
0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2 2=100 0,25 X 2=100 −50 2= 50 / 0,25 X 2
X 2 2= 200
SOLUCIN PTIMA Z ( max)= 0,54 x 1 + 0,56 x 2
•
•
•
•
Z ( max ) A = 0,54 ( 0 ) + 0,56 ( 400 )=224 !unto()timo !unto ()timo Z ( max ) B =0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( max) C =0,54 ( 200 )+ 0,56 (0 )=108 Z ( max) D = 0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 0 )=0
C : ( 0 ' 400 ) C 1 : ( 0 ' 400)
B4 4 Z ( max)= 0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 0 ) Z ( max)= 0 + 0 Z ( max)= 0
!recio som+ra asociado a la restricción C.
T6?;6 +== VARIABLES C2 C. C5
PRECIO SOMBRA 4 4 .4,>
VALOR ./ 244 244
CALCULO DE MA7IMOS 8 MINIMOS PERMITIDDOS
RESTRICCIN C2 4,2./x2 T 4,./x. W 244
!unto pendiente y − y o =* ( x − x o )
!endiente *=
*=
− A B −0,125 0,25
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (200' 0) y −0 =
−0,125 0,25
( x −200 )
0,25 y =−0,125 ( x − 200 )
0,25 y =−0,125 x + 25
0,125 x + 0,25 y =25
VALOR M#7IMO PERMITIDO !ara esta restricción no se permite un alor mayor
CALCULO M#7IMOS 8 MINIMOS RESTRICCIN C! 4,./x2 T 4,./x. W 244
!unto pendiente y − y o =* ( x − x o )
!endiente *=
*=
− A B −0,25 0,25
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (200' 0) y −0 =
−0,25 0,25
( x −200 )
0,25 y =−0,25 ( x −200 )
0,25 y =−0,25 x + 50
0,125 x + 0,25 y =50
VALOR M#7IMO PERMITIDO P (200' !00) <
0,125 x 1=25
X 1=25 /0,125 X 1=200
<
0,125 x 1 + 0,25 x 2 =100 0,125 ( 200 )+ 0,25 x 2 =100 0,25 x 2=100 − 25
X 2=75 / 0,25 X 2=300
!unto pendiente y − y o =* ( x − x o )
!endiente *=− A / B *=−0,25 / 0,25 y − y 1= m( x − x1 ) y −200 =(−0,25 /0,25 )( x −300 )
0,25 y −200 =−0,25 ( x −300 )
0,25 y −200 =−0,25 x + 75
0,125 x + 0,25 y =75 + 200
0,125 x + 0,25 y =275
TABLA RESUMEN: VARIABLES
PRECIO SOMBRA 4 4 .4,>
C2 C. C5
VALOR
PERMITO
./ 244 244
< < 2M/
3PERMITID O < M/ /4
CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. Z ( max ) =0,54 X 1 + 0,56 X 2=224
2
.
4
044
020,>2
4
u@eta a: C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100
C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 X 1 ˄ X 2 ≥ 0
"R#FICO: C 1 0,125 X 1=25
C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100
X 1=250 / 0,125 X 1=200
X 1 X 2 4 >44
Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k
C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100 X 1 X 2
044
4
044
4
044 4
Y =mx + z
PENDIENTES m 1=
m 2=
−0.125
C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100
0.25
−0.25
C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100
0.25
FUNCIN OBJETIVO
Z ( max ) =0,54 X 1 +0,56 X 2
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
C 1 ≤m C 2 2
−0.125 0,25 0.07 0.25
≤−
≥ C 1 ≥
C 1 0,56
≤−
0,25 0.25
(−0,56 )
0.14 0,25
0,28 ≥C 1 ≥ 0,56 0,28 ≤C 1 ≤ 0,56
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
C 1 ≤m C 2 2
−0.125 0,25
≤−
0.54
C 2
≤−
0,25 0.25
−0,25 0,125 0.135 0.125
≤−
C 2 0,54
≥C 2 ≥
≤−
0,25 0.25
(−0,54 )
0,135 0,25
1,08 ≥C 2 ≥ 0,54 0,54 ≤ C 2 ≤ 1,08
CUADRO RES
VALOR ACTUAL 41/0 41/
PERMITO
3PERMITIDO
4,4. 4,4.
4,. 4,/.
EJERCICIO .K %n estacionamiento puede atender cuando m*s a 244 e3ículos entre automóiles y camiones1 %n automóil ocupa die? metros cuadrados, mientras -ue un camión necesita un *rea de .4 metros cuadrados, y se sa+e -ue el *rea total del estacionamiento es de 2.44 metros cuadrados1 "a tari)a -ue se co+ra mensualmente es de .4 dólares por auto y 5/ dólares por camión1 6Cu*ntos e3ículos de cada tipo le proporcionar*n al esta+lecimiento una ganancia
m*xima7
C6@6/.
244 e3ículos
E6?;=/=: A;:
10 m
C6:
20 m
#+=6
2
#ari)a Automóil
Q.4,44
#ari)a Camión
5/,44
2
2 2.44 m
E6/6= "==+6+ V6+6?;=: : NX de Automóiles S: NX de Camiones
R=+//=: xTyY244 24xT.4yY2.44
2= x + y =100
.=
y =100 − x
10 x + 20 y =1200
10 x =1200 −20 y
x + y =100
2= x 4 2.4 x 4 244
S 244 4
F/ @6 H9 .4xT5/y
S 4 4
10 x + 20 y =1200
.=
!unto 10 x + 20 y = 1200
<24x<24y9<2444 10 y = 200
y =20 en c 2 x =80
S;/:
P: A: ;44= : ;>4 .4= C: ;244 4=
(M6H)& 20 H !5 .4 ;4=T5/ ;4=9.244 .4 ;>4=T5/ ;.4=9.544 .4 ;244=T5/ ;4=9.444
"a
empresa para o+tener una ganancia m*xima de+er* almacenar >4 autos y .4 camiones1
2.K CAMBIOS EN LAS RESTRICCIONES PARA EL C#LCULO DEL PRECIO SOMBRA.
x + y =100
2=
H 4 2.2
41/ 4
10 x + 20 y =1210
H 8 4 244 244 4 HRKFICA
!unto 10 x + 20 y = 1210
<24x<24y9<2444 10 y = 210
y =21 en c 2 x =79
.=
P:
(M6H)& 20 H !5
A: ;44,/=
.4 ;4=T5/ ;4,/=9.22M,/
: ;MP .2=
.4 ;>4=T5/ ;.2=9.52/
C: ;244 4=
.4 ;244=T5/ ;4=9.444
!%N#O !#I8O 21 ;>4 .4= .1 ;MP .2= B22 !unto9 ;<2 2= reempla?a en la )unción o+@etio H9 .4xT5/y
Z ( M+X )=20 X + 35 Y Z ( M+X )=20 (−1 )+ 35 ( 1 ) Z ( M+X )=−20 +35 Z ( M+X )=15
S;/ & En +ase a estos resultados, es importante mencionar -ue por cada 2
10 m
-ue se incremente en el *rea del estacionamiento es posi+le generar
Q2/ de aumento en la ganancia m*xima1
!.K CAMBIOS EN LAS RESTRICCIONES PARA EL C#LCULO DEL PRECIO SOMBRA. x + y =110
2=
H 4 2.4
4 4
10 x + 20 y =1200
H 4 224 224 4 "R#FICA
!unto 10 x + 20 y = 1200
<24x<24y9<2244 10 y = 100
.=
y =10 en c 2 x =100 P:
(M6H)& 20 H !5
A: ;4 4=
.4;4=T5/ ;4=92.44
: ;244 24=
.4 ;244=T5/ ;24=9.5/4
C: ;224 4=
.4 ;224=T5/ ;4=9..44
PUNTO PTIMO 21 ;>4 .4= .1 ;244 24= .4B24 !unto9 ;.4 <24= reempla?a en la )unción o+@etio ';8A=9 .4xT5/y
Z ( M+X )=20 X + 35 Y Z ( M+X )=20 ( 20)+ 35 (−10 ) Z ( M+X )= 400−350 Z ( M+X )=50
S;/ & En +ase a estos resultados, es importante mencionar -ue por cada 2
10 m
-ue se incremente en el *rea total del estacionamiento es posi+le
generar Q/4 de aumento en la ganancia m*xima1
C#LCULO DE VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1 C1: x T y ¿ 100 7
8 0
100
100
0
10 x + 20 y =1200
C2: X 1
X 2
0
$0
120
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C1: x + y =100 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=
− A −1 = 1 B
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0'$0) y − y 1= m( x − x1 ) y −60 =(−1 )( x −0 ) y −60 =− x x + y =60
x + y =100
O+96;
x + y =60
B04 Es posi+le disminuir 04 m. en el *rea de estacionamiento1
VALOR M#7IMO PERMITIDO P (120 ' 0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(−1 )( x −120 ) y =− x + 120 X + Y =120 x + y =100
O+96;
x + y =120
.4 e puede aumentar 3asta .4 m. en el *rea de estacionamiento1
C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2
10 x + 20 y =1200
C2: X 1
X 2
0
$0
120
0
C1: x T y ¿ 100 7
8 0
100
100
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C2: Y −Y 1 =m ( X − X 1)
10 x + 20 y =1200
m=
− A −10 = B 20
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (100'0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(
y =
y =
−10
−10 20
20
x +
)( x −100 )
1000 20
−10 x + 1000 20
20 y =−10 x + 1000 10 x + 20 y =1000
10 X + 20 Y =1200
O+96;
10 x + 20 y =1000
B.44 e puede incrementar .44 m. en el *rea de estacionamiento1
VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0'100) y − y 1= m( x − x1 ) y −100 =(
y −100 =
−10 20
−10 20
)( x −0 )
x
20 y −2000 =−10 x 10 x + 20 y =2000
10 X + 20 Y =1200
O+96;
10 x + 20 y =2000
>44 e puede aumentar >44 m. en el *rea de estacionamiento1
CUADRO RESUMEN VARIABLES C1
PRECIO SOMBRA 50 15
VALOR
PERMITO
100 1200
120 00
3PERMITID O $0 200
C2 CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO.
"==+6+ V6+6?;=: R=+//=: : NX de Automóiles C1: xTyY244 S: NX de Camiones C2: 24xT.4yY2.44 2= x + y =100
.=
y =100 − x
10 x + 20 y =1200
10 x =1200 −20 y
x + y =100
2= x 4 2.4 4 244
S 244 4
F/ O?= ';8ax=9 .4xT5/y
S 4 4
10 x + 20 y =1200
.=
Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k Y =mx + z
PENDIENTES m 1=−1 m 2=
−10 20
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
C 1 ≤m C 2 2
−1 ≤−
C 1 35
≤−
10 20
−1 ≤−
C 1 35
−35 ≤ −C 1 35 ≥C 1
−C 1 35
≤−
10 20
−20 C 1 ≤−350 ;<2= 20 C 1 ≥ 350
C 1 ≥ 17.5 35 ≤C 1 ≤ 17.5
C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−
C 1 ≤m C 2 2
−1 ≤−
20
−1 ≤−
20
C 2
≤−
10 20
C 2
−C 2 ≤ −20 ;<2= C 2 ≥ 20
−20 10 ≤− C 2 20 −400 ≤−10 C 2 ;<2= 400 ≥ 10 C 2
40 ≥ C 2 40 ≤ C 2 ≤ 20
CUADRO RES
VALOR ACTUAL 20 !5
PERMITIDO !5 40
3PERMITIDO 1*.5 20
EJERCICIO 9.- U !t"i#i$ista ases$"a a ! i%i&i%!$ '!e s!"e !a %ei#ie#ia %e ie""$ y &itamia B, y *e i%i#a '!e %e+e ie"i" a* me$s 2400 m %e ie""$, 2100 m %e &itamia B-1 (tiamia) y 1500 m %e &itamia B-2 ("i+$*a&ia) %!"ate #ie"t$ .e"/$%$ %e tiem.$ Existe %$s ./*%$"as %e &itamias %is.$i+*es, *a ma"#a y *a ma"#a B a%a ./*%$"a %e *a ma"#a #$tiee 40 m %e ie""$, 10 m %e &itamia B-1, 5 m %e &itamia B-2 y #!esta 6 #eta&$s a%a ./*%$"a %e *a ma"#a B #$tiee 10 m %e ie""$, 15 m %e &itamia B-1 y %e &itamia B-2, y #!esta 8 #eta&$s !á*es #$m+ia#i$es %e ./*%$"as %e+e #$m."a" e* .a#iete .a"a #!+"i" s!s "e'!e"imiet$s %e ie""$ y &itamia a* me$" #$st$
DESARROLLO: 1. DATOS: Marca A X 1 IERRO %ITAMINA B-1 %ITAMINA B-$ 'osto (or (í)*ora.
Marca B X 2
! m" 1# m" & m"
1# m" 1& m" 1& m"
+
,
IDENTII'AR DE LA UN'IN OB/ETI%O FO ( Min )=6 X 1+ 8 X 2 !et$ a 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1
REQUERIMIENTOS Mínimos Restricciones. $!## m" $1## m" 1# m"
10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3
X 1 + X 2 ≥ 0
IDENTII'AR LAS RESTRI''IONES !eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3
X 1 + X 2 ≥ 0
0RI'O 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400
'1:
X 1
X 2
#
$!#
+#
# 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100
'$: X 1
X 2
#
1!#
$1#
#
'2:
5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500
X 1
X 2
#
1##
2##
#
3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6
35B67 52#81$#6 35'67 51$#8+#6 35D67 52##8#6
3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2
40 X 1 + 10 X 2 =2400 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1−10 X 2=2400
− 40 X 1+ 60 X 2=−8400 −50 X 2=−6000 X 2=120,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (120 )
X 1=30,,
3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100
'$: '2 7
5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )
10 X 1 + 15 X 2 =2100
−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−900 X 2=60,, X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 60 )
X 1=120,,
IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2
FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 30 )+ 8 ( 120 )=1140 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 120 ) + 8 ( 60 )=1200 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0
ANLISIS: e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 30 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ y 120 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; %á%$*e ! #$st$ m/im$ %e 11,40
ANLISIS DE SENSIBILIDAD Amento *e 1## m" en ca*a reerimiento: ;5'16 Min 5<6: 6
6 X 1 + 8 X 2
!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2500 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3
X 1 + X 2 ≥ 0
0RI'O = 1 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2500
'1:
X 1
X 2
#
$
+$>&
#
10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100
'$: X 1
X 2
#
1!#
$1#
#
5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500
'2:
X 1
X 2
#
1##
2##
#
3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $
35B67 522811,6 35'67 51$#8+#6 35D67 52##8#6
3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2
40 X 1 + 10 X 2 =2500 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1−10 X 2=2500
− 40 X 1+ 60 X 2=−8400 −50 X 2=−5900 X 2=118,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (118)
X 1=33,,
3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100
'$: '2 7
5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )
10 X 1 + 15 X 2 =2100
−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−900 X 2=60,,
X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 60 )
X 1=120,,
IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA
FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2 FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 250 ) =2000 FO ( MI ) B= 6 ( 33 )+ 8 ( 118)=1142 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 120 ) + 8 ( 60 )=1200 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0
ANLISIS: s/ %e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 33 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ y 118 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; #$ ! #$st$ m/im$ %e 11,42
3RE'IO SOMBRA EN LA RESTRI''IN: 3 5B6 3 5B??6
; 5'$6 Min 5<6: 6
6 X 1 + 8 X 2
!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3
X 1 + X 2 ≥ 0
0RI'O = $ '1:
40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400
X 1
X 2
2# 22 @2
40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400
1$# 11, $
#
$!#
+#
# 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100
'$: X 1
X 2
#
1!
$$#
#
5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500
'2:
X 1
X 2
#
1##
2##
#
3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6
35B67 5$,81$,6 35'67 51!#8&2>26 35D67 52##8#6
3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2 40 X 1 + 10 X 2 =2400
10 X 1 + 15 X 2=2200 (− 4 ) 40 X 1 + 10 X 2= 2400
− 40 X 1−60 X 2=−8800 −50 X 2=−6400 X 2=128,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 128 ) =2200 10 X 1=2200 −15 (118)
X 1=28,,
3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2200
'$: '2 7
5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )
10 X 1 + 15 X 2 =2200
−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−800 X 2=53,3, X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 53,3 )
X 1=140,,
IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2
FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 28 ) + 8 ( 128 )=1192 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 140 ) + 8 ( 53,3 ) =1266,4 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0
ANLISIS: s/ %e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 28 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ y 128 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; #$ ! #$st$ m/im$ %e 11,92
; 5'26 Min 5<6: 6
6 X 1 + 8 X 2
!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1600 C 3
X 1 + X 2 ≥ 0
0RI'O = 2 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400
'1:
X 1
X 2
#
$!#
+#
#
10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100
'$: X 1
X 2
#
1!#
$1#
#
5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500
'2:
X 1
X 2
#
1#
2$#
#
3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6
35B67 52#81$#6 35'67 51##82>26 35D67 52$#8#6
3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2 40 X 1 + 10 X 2 =2400 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1 + 10 X 2= 2400
− 40 X 1−60 X 2=−8400 −50 X 2=−6000 X 2=120,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (120 )
X 1=30,,
3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100
'$: '2 7
5 X 1 + 15 X 2=1600 (−2 )
10 X 1 + 15 X 2 =2100
−10 X 1−30 X 2=−3200 −15 X 2=−1100 X 2=73,3,
X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1600 5 X 1=1600 −15 ( 73,3 )
X 1=100,,
IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2 FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 30 )+ 8 ( 120 )=1140 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 100 ) + 8 ( 73,3 ) =1186,4 FO ( MI ) D =6 ( 320 ) +8 ( 0 )=1920
ANLISIS: s/ %e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 30 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ y 120 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; #$ ! #$st$ m/im$ %e 11,40
'UADRO RESUMEN 3RE'IO SOMBRA 2! + #
%ARIABLES '1 '$ '2
%ALOR
@3ERMITO
$!## $1## 1#
1,+# 1# 111#
3B 52#: 1$#6 1.- 522>11,6 @ 2 $ < 7 6(3)8(2) 34 2- (28,128) @ $ , < 7 6(2)8(8) 76 3- (30,120) 0
0
< 7 6(0)8(0) 0
3ENDIENTES 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400
'1:
X 1
X 2
#
$!#
+#
#
3ERMITID O $$+# 1+1>,1 1$9#
10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100
'$: X 1
X 2
#
1!#
$1#
#
5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500
'2:
X 1
X 2
#
1##
2##
#
'1. x 2−¿ x y 2−¿ y ¿ −- y =¿ m❑= -x 1
1
m❑=
0−240 60−0
=−4
'$. m❑=
0−140 210−0
'2. m❑=
0 −110 300−0
=
−2 3
m❑=o , 33
3ARALELAS: 1
@ 5120, 60 ) 5#> 1!#6 y − y 1= m ( x − x 1 ) y −60 =−4 ( x −120 ) y =−4 x + 480 +60 y +4 x =540 @ y −140 =−4 ( x −0 ) y =−4 x + 140 y +4 x =140
2
@ 5300,0) 52,>198 ,>$6 y −0 =
−2 3
( x −300 )
3 y −0 =−2 x + 600 3 y + 2 x =720
y −87,27 =
−2 3
@
( x −38,19 )
3 y −261,81 =−2 x + 76,38
3 y + 2 x =338,19
3
@ 530,120) 5$1#> #6 y −1 20=
−1 3
( x −30 )
3 y −360 =( x −30 ) 3 y + x =−390 3 y + 2 x =720
y −0 =
−1 3
@
( x − 210 )
3 y =− x + 210 3 y + x =210
%ariaC)e X 1 X 2
C 1 m1 ≤ ≤m C 2 2 m 1=−4 m 1=
−2
1.−¿
X ¿
3
Límite Acta)
@ 3ermiti*o
3ermiti*o
6
32
16<3
8
6<4
9
C 1 2 −4 ≤ ≤− 8
3
−32 ≤ C 1 ≤ −
(
16 3
' 32
16 3
)
X 2 &−¿
−4 ≤
−4 ≤ 6
C 2
6
C 2
2 3
6
C 2
≤−
−6 (9;
≤−
4
2 3
¿
EJERCICIO 10
241 %n la+oratorio )armacutico desea preparar un tónico de tal manera -ue cada )rasco contenga al menos 5. unidades de itamina A, 24 de itamina y 04 de itamina C1 !ara suministrar estas itaminas, el la+oratorio emplea el aditio 2, a un costo de . dólares por on?a, el cual contiene 2/ unidades de itamina A, . de y 0 de C un aditio . a un costo de 0 dólares por cada on?a, -ue contiene 0 unidades de itamina A, . de y 20 de C1 C6
G6 >= /6>6 6> = >=?= /;+ = =; -+6/ @6+6 G6+ =; / 1. D6 A B C U;>6>
D@?;>6> 5. 24 04
71 2/ . 0 Q.
72 0 . 20 Q0
2. F/ O?= Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
!. E6?;=/=+ R=+//= 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0
x
4. "+-/ C 1=15 x 1+ 4 x 2=32
71
72 4 .125
> 4
C 2=2 x 1+ 2 x 2=10
71
72 4 /
/ 4
C 3 =4 x 1 + 14 x 2=40
71
72 4 24
.1>/ 4
C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 ( −2 )
2 x 1 + 2 x2 =10
4 x 1 + 14 x 2= 40
−4 x 1−4 x2 =−20 (−2 )
2 x 1 + 2 (2 )=10
2 x 1 + 4 =10
4 x 1 + 14 x 2= 40 10 x2= 20
x 2=
20 10
=2 en 1
2 x 1= 10 −4 6
x 1= =3 2
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 4 )=18 Z ( MI )=2 ( 3 ) + 4 ( 2 ) =14 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 34 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0
x
"+-/6 C 1=15 x 1+ 4 x 2=34
71
72 4 .1.
>1/ 4
C1C2 15 x1 + 4 x 2=34
2 x 1 + 2 x2 =10
2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)
2 ( 1.27 )+ 2 x 2=10
15 x1 + 4 x 2=34
2.54 + 2 x 2=10
−4 x 1−4 x2 =−20 (−2 )
2 x 2= 10 −2.54
11 x1 = 14
x 2=
x 1=1.27 en 2
x 2=3.73
7.46 2
C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)
2 x 1 + 2 (2 )=10
4 x 1 + 14 x 2= 40
2 x 1 + 4 =10
−4 x 1−4 x2 =−20
2 x 1= 10 −4
4 x 1 + 14 x 2= 40
x 1=
6 2
10 x2=
20 10
x 1=3
x 2=2 en 1
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1.27 ) + 4 (3.73 )=17.46 Z ( MI )=2 ( 3 ) + 4 ( 2 ) =14 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20
An*lisis de sensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 3 ' 2 )
( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 0 ) Z ( MI )=0 . !recio som$ra
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 12 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0
x
"+-/6 C 2=2 x 1+ 2 x 2=12 71
72 4
4
C2C! 2 x 1 + 2 x2 =12 (−2 )
2 x 1 + 2 (1.6 )=12
4 x 1 + 14 x 2= 40
2 x 1 + 3.2=12
−4 x 1−4 x2 =−24
2 x 1= 12 −3.2
4 x 1 + 14 x 2= 40
x 1=
10 x2=
16 10
x 2=1.6 en 1
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
8.8 2
x 1=4.4
Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 5 ) =22 Z ( MI )=2 ( 4.4 )+ 4 ( 1.6 ) =15.2 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20
An*lisis de ensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 4.4 ' 1.6 ) - 1.06 0− 0.06 Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 1.06 ) + 4 (−0.06 ) Z ( MI )=2.12−0.24 Z ( MI )=1.88 . !recio 1om$ra
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 42 2 x ¿0
x
"+-/6 C 3 =24 + 14 x 2= 42
71
72 4 241/
5 4
C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)
2 x 1 + 2 (2.2 )=10
4 x 1 + 14 x 2= 42
2 x 1 + 4.4 = 10
−4 x 1−4 x2 =−20
2 x 1= 10 −4.4
4 x 1 + 14 x 2= 42
x 1=
10 x2=
22 10
5.6 2
x 1=2.8
x 2=2.2 en 1
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 4 )=18 Z ( MI )=2 ( 2.8 ) + 4 ( 2.2 ) =14.4 . !unto /)timo
Z ( MI )=2 ( 10.5 )+ 4 ( 0 )=21
An*lisis de ensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 2.8 ' 2.2 ) 0−0.54 - 0.54 Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 (−0.54 ) + 4 ( 0.54 ) Z ( MI )=−1.08 + 2.16 Z ( MI )=1.08 . !recio 1om$ra
C;/; >= 6;+= H W @=+> C 1=15 x 1+ 4 x 2=32
71
72 4 .125
> 4
C 2=2 x 1+ 2 x 2=10
71
72 4 /
/ 4
C 3 =4 x 1 +14 x 2=40
71
72 4 24
.1>/ 4
P @=>== C1 M6H C1
M C1
A = (10,0 ) m=
B =( 0 ' 2.85)
−15
m=
4
y − y 1= m ( x − x 1 ) y −0 =
−15 4
( x −10 )
15 x + 4 y = 150
P @=>== C2 y − y 1= m ( x − x 1 ) 2 x 1 + 2 x2 =10
m=
− A −2 = =−1 2 B
−15 4
y −2.85 =
−15 4
( x −0 )
15 x + 4 y =11.4
m=
y 2− y 1 0−5 = =−1 x 2− x 1 5 −0
C1C! 15 x1 + 4 x 2=32 (−7 ) 4 x 1 + 14 x 2= 40 ( 2 )
−97 X 1=−144 x 1=
−144 =1.4845 −97
x 2=2.4329
- C 2 = y −0 =
−2 2
( x −10 )
2 y −0 =−2 x + 20 2 x + 2 y =20
0C 2= y − 2.4329 =
−2 2
( x −1.4845 )
2 y −4.8658 =−2 x + 2.969 2 x + 2 y =7.8348
P @=>== C! 4 x 1 + 14 x 2= 40
m=
− A −4 = B 14
m=
y 2− y 1 0−2.85 = x 2− x 1 10 −0
C1C2 15 x1 + 4 x 2=32 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)
−11 X 1=12 x 1=
12 11
=1.090
x 2=3.9090
- C 3 = y −3.9090 =
−4 14
( x −1.090 )
14 y −54.726 =−4 x + 4.3636 4 x + 14 y =59.0896
0C 3= y −0=
−4 14
( x −5 )
14 y =− 4 x + 20 4 x + 14 y =20
!recio om+ra C2 C. C5
4 21>> 214>
&alor 5. 24 04
!ermitido < 2P,4>P
0!ermiti#o
.,2/. .4
C;/; 6;+ H W @=+> = ;6 -/ ?= Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2
u@eta 3a:
15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0
x
C 1=15 x 1+ 4 x 2=32
71
72 4 .125
> 4
C 2=2 x 1+ 2 x 2=10
71
72 4 /
/ 4
C 3 =4 x 1 +14 x 2=40
71
72 4 24
.1>/ 4
Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 y =mx +k y =mx + z m 1 ≤−
−2 2 2 2
c1 ≤m c2 2
≤−
≤−
c1 4
c1 4
8 ≤2 c 1
≤
≤−
4 14
(−1 )
4 14 14 c 1 ≤ 16
8 2
≤ C 1
c1≤
4≤c 1
m 1 ≤− 1≤ −
1≤ −
16 14
c 1 ≤ 1.1428 c1 ≤m c2 2
2
c2
≤−
−2 4 ≤− 14 c2
4 14
2
−28 ≤ −4 c 2 (−1 )
c2
c 2=
C 2 ≤ 2
28 4
=7
EJERCICIO 11 11!I Una rica elaora dos clases de cerve.a P8lsener 3 Cl' )ara lo c'al dis)one de inredientes )ara llenar )or lo *enos "0 otellas co*inadas! o*a 'na hora llenar 20 otellas de cerve.a P8lsener 3 dos horas llenar 25 otellas de cerve.a Cl' se dis)one a lo *'cho de 2 horas! ;a de*anda de la cerve.a P8lsener se esti*a en el *ercado en 'n total de 22 otellas 3 a lo *'cho 10 otellas de cerve.a Cl'! Cada otella de cerve.a P8lsener dea 'na 'tilidad de 10 centavos 3 15 centavos cada otella de cerve.a Cl'! QC'ntas otellas de cada cerve.a se deen llenar )ara alcan.ar la *4i*a anancia Da#os:
En&ase 'oras Prod$((i)n Demanda U#ilidad
Pilsener
Cl$b
005 20/hora 22 010
007 25/2horas 10 015
*+ ,-.I-B/ES DE DECISI0N
Dis%onibilid ad "0 2
Cerve.a P8lsener Cerve.a Cl'
!
Y
+ 1UNCI0N OB2E3I,O
Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y 4+ .ES3.ICCIONES
C 1 . X + Y ≥ 30 C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 22 5,INCU/-N3E6 C 4 .Y ≤ 10 5,INCU/-N3E6 X Y ≥ 0
+ 8.91ICO
P!?
C 1 . X + Y ≥ 30
C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2
C 3 . X ≤ 22
C 4 .Y ≤ 10 ! 4
Y 4 !
Y "
PUN3OS:
{
A = X + Y =30 Y =10
A ( 20,10 ) B ( 22,10 )
X =20
{
C = X + Y =30 X =22 Y =8
"+ Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y
DE @EE= ;;E=AR ?E;;AD:
A = 0,10 ( 20 )+ 0,15 (10 )=3,5 B =0,10 ( 22 ) + 0,15 ( 10 )=3,7
P<;DE=ER 22
M9!IM-
8-N-CI-
C =0,10 ( 22 )+ 0,15 ( 8 )=3,4
-N-/ISIS DE SENSI,I/ID-D ,-.I-CIONES: C4 S
Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y C 1 . X + Y ≥ 30
C;U 10
C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 20 C 4 .Y ≤ 10 PUN3OS:
A ( 20,10 ) Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y A = 0,10 ( 20 )+ 0,15 (10 )=3,5
M-!IM- 8-N-CI-
P.ECIO SOMB.-: C4 B 5;*6 - 5;*6 <= >
Z ( max ) =0,10 (−2 ) + 0,15 ( 0 )=−0,20
,-.I-CIONES: C S
Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y C 1 . X + Y ≥ 30 C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 20 C 4 .Y ≤ 8
PUN3OS:
A ( 22,8 ) Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y A = 0,10 ( 22 ) + 0,15 ( 8 )=3,4
M9!IM- 8-N-CI-
P.ECIO SOMB.-: C B 5;*6 - 5;?6 >= <
Z ( max ) =0,10 ( 0 ) + 0,15 (−2 )=−0,3
PUN3O PENDIEN3E
Y −Y 1 = m ( X − X 1 ) C 3 . X =22 m =in#e2ini#a
EJERCICIO 12 12.K %n iero desea aLadir *r+oles )rutales y ar+ustos orientales a sus cultios existentes1 "os *r+oles proporcionan 20 dólares por unidad1 Cada *r+ol re-uiere de . metros cuadrados para ex3i+ición, mientras -ue cada ar+usto necesita de tres metros cuadrados, adem*s, el tiempo necesario para preparar un *r+ol para ex3i+ición es de dos minutos, mientras -ue el -ue se re-uiere para cada ar+usto es de un minuto1 "as restricciones de espacio y tiempo son las siguientes: Uay a lo m*s 2. metros cuadrados para ex3i+ición disponi+le1 e dispone a lo muc3o de > minutos de tiempo de preparación1 i el iero puede ender todos los *r+oles y ar+ustos en ex3i+ición1 6Cu*ntos *r+oles y cuantos ar+ustos de+er* ex3i+ir diariamente para maximi?ar su ganancia7 ;uponga -ue es posi+le preparar una ex3i+ición solamente una e? al día= 8etros #iempo %tilidad ';8ax=9 20 x2T20 x. u@eto a: . x2 T 5 x. W 2. . x2 T
x. W >
Kr+ol )rutal ;x2= . . 20
Ar+usto;x.= 5 2 20
Re-uerimiento 2. >
S;/ "+-/6 C2: . x2 T 5 x. 9 2. x2 4
x. 0 4
C.: . x2 T x2 4 0
x. 9 >
x. > 4
P: A: ;40= : ;5.= C: ;04=
(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0=9/ 20 ;5=T20 ;.=9M4 20 ;0=T20 ;4=9/
PRECIO SOMBRE EN C1
. x2 T 5 x. W 25 ;T2= . x2 T
x. W >
C2: . x2 T 5 x. 9 25 x2 4 1/
x. 0155 4
C.: . x2 T x2 4 0
x. 9 >
x. > 4
P: A: ;40155= : ;.1M/.1/=
(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0155=9 41. 20 ;.1M/=T20 ;.1/=9 M51/
C: ;04=
: ;5.= Z: ;.1M/ .1/= B41./41/ ';8ax=9 20 x2T20 x. 20;<41./= T 20;41/= 9 !.5
PRECIO SOMBRE EN C2 . x2 T 5 x. W 2.
20 ;0=T20 ;4=9 /
. x2 T
x. W P
C2: . x2 T 5 x. 9 2. x2 4
x. 0 4
C.: . x2 T x2 4 01/
x. 9 P
x. P 4
P: A: ;40= : ;51M/21/=
(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0=9 / 20 ;51M/=T20 ;21/=9 M51/
C: ;01/4=
20 ;01/=T20 ;4=9 5
: ;5.= Z: ;51M/ 21/= 41M/B41/ ';8ax=9 20 x2T20 x. 20;41M/= T 20;<41/= 9 !.5
C#LCULO DE VALORES VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1
C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12
X 1
X 2 0
4
$
0
C 2 : 2 X 1+ X 2=8 X 1
X 2 0
4
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C1:
C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12
S
m=
− A −2 = 3 B
VALOR VALOR M#7IMO PERMITIDO (0,)
Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) Y −8 =
−2 3
x −0 ) ( x
3 Y − 24 =−2 x 2 x + 3 Y = 24 2 x + 3 Y = 24
ORI"INAL 2 X 1+ 3 X 2=12
Incremento: 2.
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C2:
C 2 : 2 X 1+ X 2=8 Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) m=
− A =−2 B
VALOR VALOR MINIMO PERMITIDO (4,0)
Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) Y −0 =
−2 3
x −4 ) ( x
3 Y =−2 X + 8 2 x + 3 Y = 8
2 x + 3 Y = 8
ORI"INAL 2 X 1+ 3 X 2=12
$isminución: 0
C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2
C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12 X 1
X 2 0
4
$
0
C 2 : 2 X 1+ X 2=8 X 1
X 2 0
4
0
"R#FICA
PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C2:
C 2 : 2 X 1+ X 2=8 m=
− A =−2 B
VALOR M#7IMO PERMITIDO ($,0)
Y −Y 1 =m ( x − x 1 ) Y −0 =−2 ( x − 6 )
3 Y =−2 x + 12 2 x + 3 Y =12
ORI"INAL 2 X 1+ X 2=8
2 x + Y =12
Incremento: 0
VALOR M#7IMO PERMITIDO (0,4)
Y −Y 1 =m ( x − x 1 ) Y − 4 =−2 ( x −0 )
Y − 4 =−2 x 2 x + y =4 2 x + Y =4
ORI"INAL 2 X 1+ X 2=8
$isminución: 0 CUADRO RESUMEN
VARIABLES C1 C2
PRECIO SOMBRA ,, ,,
VALOR 12
PERMITO 12 4
3PERMITIDO 4 4
CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. FO;8A=9202T20. u@eta A: 2 X 1+ 3 X 2 ≤ 12 2 X 1+ X 2 ≤ 8 2 X ¿ 0
X
' ;8A=9202T5.9>4 S9mxT[ S9mxT? PENDIENTES
m 1 =−2 m 2=
−2 3
C#LCULO DE INTERVALOS
C 1 =≤ m 2 m1 ≤ C 2
−2 ≤
C 1 14
=≤ −
2 3
28 ≥C 1 =≥ 9,33
;<20=
−2 ≤
14
C 2
≤−
2 3
2 C 2 ≥ 14
C 2 ≥ 7 14
C 2
≥
2 3
42 ≥ 2 C 2 21 ≥ C 2
CUADRO RESUMEN VARIABLES C1
VALOR ACTUAL 14
PERMITO 14
3PERMITIDO K4,$*
C2
14
*
*
C 3:0,5 X 1 + 3 ! 0 210
C1 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 6
Y "5 0
! 0 1"0
C 2=1 X 1 + 0,5 X 2= ! 0 95
Y 190 0
AB +0 ,190B +60 , %0CB +11& , 16@B +210,0-
Y 1"0 0
AB +0 ,2000B +%0 , 60CB +116 , 1&@B +200,0-