Diego Sebastián Daubrowsky Geometría Proyectiva Profesorado de Matemática IES N° 5 “José E. Tello”
GEOMETRIA PROYECTIVA TRABAJO PRACTICO N° 3 – B 3.4 - Cuaternas Armónicas.
Define “relación armónica” o “cuaterna armónica” de cuatro puntos de una recta. Se dice que cuatro puntos alineados A, B, C y D forman una cuaterna armonica, cuando su razón doble vale -1, o sea, (ABCD)= -1.
Define “polígono completo de n vértices”. Ceppi
Define “cuadrángulo plano completo (CPC)“ o “cuadrivértice completo”. Nombra sus elementos: Vértices, lados, pares de lados opuestos y puntos diagonales. Un “cuadrivértice” es un conjunto de cuatro puntos, como los M, N, P y Q, de los cuales no haya tres sobre la misma recta. Las seis rectas que unen estos puntos entre sí, dos a dos, se llaman lados del cuadrivértice (MP, MN, MQ, NP, NQ, y PQ). Los puntos que cortan dos lados, y que no son vértices, se llaman puntos diagonales (el A, el B, y el H). Los vértices son los puntos M, N, P y Q.
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En un cuadrángulo plano completo. ¿Qué entiendes por pares de lados opuestos y por puntos diagonales?
Verifica que (ABCD)=(BACD)=(ABDC), si (ABCD)= -1, y expresa una conclusión. Por la propiedad de invarianza el estudio de las relaciones armónicas en los haces de planos o de rectas puede deducirse siempre una puntual con una oportuna selección. Los grupos que se indican a continuación tienen la misma relación armónica. (ABCD)=(BACD)=(ABDC), si (ABCD)= -1. (ABCD) = (BACD) AC AD BC AC : = : BC BD AC A AC BD BC BD . = . BC AD AC AD 1=1
Enuncia, representa y demuestra el teorema relativo a las cuaternas armónicas y el CPC. Teorema 2. “Sobre las rectas que unen dos puntos diagonales de un cuadrivértice completo, estos puntos y los de intersección con dos lados forman una cuaterna armónica”.
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En la figura anterior son armónicas las cuaternas A,B,C,D ; H,B,F,E Y H,A,K,L. Debemos demostraremos, que lo es ABCD, aplicando el teorema de la proyección de A,B,C,D sobre M sobre la recta PD, se tiene que (ABCD)=(PQHD). Y proyectando desde N sobre la recta primitiva, (PQHD) = (BACD). Por lo tanto será (ABCD)= (BACD). Si llamamos x a esta razón doble, como:
( ABCD )=
1 1 = =( B A DC ) ( ABDC ) (BACD)
Entonces 1 x= 2 x → x =1 Pero esto no puede ser si x=1, si los cuatro puntos son distintos, y el resultado este nos obligaría a que A coincida con B o bien C coincida con D, lo cual no es posible. Luego si x= -1. Lo que prueba el teorema
Dados tres puntos A, B y C, sobre una recta, encuentra la posición del punto D, con un procedimiento basado en el CPC, de tal forma que formen una cuaterna armónica de (ABCD) = -1.
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En (ABCD) = -1. ¿Qué nombre recibe el par A,B y el par C,D? ¿Qué relación los une? En una cuaterna armónica, en cada uno de los pares AB y CD de la cuaterna pueden permutarse elementos entre sí. Además siendo negativa la razón doble, de que los pares deben separarse (es decir, si C es interior al segmento AB, D debe ser exterior al segmento y recíprocamente). Por esto se dice que son pares que se separan armónicamente. También se dice que cada punto de un par es el conjugado armónico del otro, respecto al par restante.
¿Qué significa y como se deduce que el par A,B y el par C,D se separan? Enuncia y demuestra el teorema referido al conjugado armónico del punto impropio. (Teorema 3). “El conjugado armonico del punto impropio respecto del par A,B, es el punto medio del segmento AB”
Dados los puntos A,B,C sobre una recta, tal que C, sea el punto medio del segmento AB, verificar gráficamente que es el cuarto armónico es el punto D impropio (D ∞).
Enuncia el teorema fundamental de Staudt.
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“Si una correspondencia biunívoca entre los puntos de dos rectas r y r´ del plano proyectivo conservan cuaternas armónicas, conservan también los valores de las razones dobles de cuaternas cualesquiera” 3.6 - Puntuales proyectivas y perspectivas.
Enuncia la definición de proyectividad entre dos puntuales (definición 9). Se llama proyectividad entre dos puntuales a toda correspondencia biunívoca entre sus puntos, que conserve las cuaternas armónicas.
¿En una proyectividad entre dos puntuales se conservan las razones dobles de cuaternas cualesquiera? ¿Por qué? En una proyectividad entre dos puntuales si conservan las razones dobles de cuaternas cualesquiera. Esto es por el teorema de Staudt. Así como también por la definición del libro de Ceppi que indica que la relación doble no varía ante las operaciones de proyecciones y secciones
Enuncia el teorema de la proyectividad (Teorema 5). “Una proyectividad entre dos puntuales queda determinada por tres pares de puntos homólogos”
Construye empleando el “eje de colineación” las siguientes proyectividades entre puntuales (Ceppi), en todos los casos dar un punto X, y obtener su correspondiente X ´. a)
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b)
c)
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d)
e)
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f)