EJERCICIOS PASO 6: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 3
INTEGRANTES CARLOS ANTONIO MARIN LOZANO COD. 1113625808 CLAUDIA LORENA PEREA SANCLEMENTE COD. 1113621836 JUAN JOSE CEBALLOS NAVIA COD. 1112102687 HECTOR FABIO RAMOS COD. 1113637320
GRUPO 100410_362
TUTOR LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO
CURSO CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD CENTRO SUR - PALMIRA AÑO 2017
INTRODUCCIÓN
En el siguiente trabajo se desarrollará una serie de ejercicios planteados para esta actividad del paso 6, con el fin de demostrar lo aprendido respecto a las derivadas implícitas, aplicando también los conceptos de la derivación, l as derivadas de orden superior y encontrar la pendiente de la recta tangente en geogebra.
EJERCICIOS PASO 6
Solución Ejercicios Paso 6 Estudiante 1 (Carlos Antonio Marín Lozano) Fase I 1. Aplicamos la regla del cociente
∗ ∗ ∗ ∗ Resolviendo tenemos que:
∗ − 4
Aplicamos la regla de la potencia
Por lo tanto,
Para
4 ∗ ∗
Aplicamos la regla de derivación
Reemplazando
Luego de obtener este resultado debemos simplificar, por lo tanto:
4 ∗ ∗ 4 4 Factorizamos Resolvemos
Reemplazamos
Intentamos simplificar lo que más podamos quedándonos:
4
2. Para este ejercicio vamos a tomar a como y(x)
8 ± ′ ± ′
Debemos aplicar la regla de la suma/diferencia la cual dice:
Resolviendo tenemos que:
∗ − 3 ∗ ∗ ∗′ 1 1 ∗
Aplicamos la regla de la potencia:
Para
Aplicamos la regla del producto
Tomamos
Derivada de
Para
Sacamos x como si fuera una constante y tenemos
Por lo tanto, el resultado de esta parte es:
Para
∗ ∗ ∗ − 2 2 2 8
Aplicamos la regla de la cadena la cual nos dice que:
Para
y para
Resolvemos la primera derivada
Aplicamos la regla de la potencia
Dándonos como resultando
Sustituimos
Para
Derivada de una constante es:
0
Por lo tanto,
8 0 3 2 0
Reescribiendo los resultados tenemos que
Para solución del problema debemos de tomar
como
Reescribimos nuevamente
3 ′ 2′ 0 3 3 2 3 0 3 3 2 3 0 3 2 3 2 3 2 ′22 3 2 3 ′ 2 Restamos
en ambos lados para hallar la solución
Simplificamos
Luego factorizamos
Dividimos por
en ambos lados para despegar
Simplificamos
Modificamos nuevamente y escribimos
Por lo tanto, el resultado de la derivada implícita es
3 2
3. Derivada de orden superior
′
10 8 7; 10 8 7 ± ′ ± ′ 10 8 7 10 ∗ − 10 10 8 8 1 8 ∗1 8 7 0 40 8 0 Realizamos la primera derivada
Aplicamos la regla de suma/diferencia:
Realizamos las derivaciones Para
Aplicamos la regla de la potencia
Para
Sacamos la constante y derivamos x
Para
Aplicamos la regla de la constante
Reescribiendo en la primera derivada
Simplificamos
40 8 40 8 ± ′ ± ′ 40 8 40 ∗ − 40 120 8 0 8 0 120 0 120 120
Realizamos la segunda derivada
Aplicamos la regla de suma/diferencia:
Resolviendo Para
Aplicamos la regla de la potencia
Para
Aplicamos la regla de la constante:
Reescribimos
Simplificamos
Realizamos la tercera derivada
Aplicamos la regla de la potencia
∗ − 120 240 240 240 240 1 240 ∗1 10 8 7; 240 Realizamos la cuarta derivada
Sacamos la constante para derivar x
El resultado de la derivada de orden superior
Fase II
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Fase III: Ensayo
Teniendo en cuenta que lo que se viene realizando a través de este curso en las diferentes unidades lo hemos podido representar o visualizar en nuestra vida cotidiana, este último tema respecto a las derivadas no es la excepción puesto que, en muchas situaciones de nuestra vida social, laboral o profesional podemos aplicarlas, un ejemplo de esto puede darse a nivel de la economía donde puede servir para calcular una inversión compleja, en l a parte contable sirven para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de lo s valores de interés, en la ingeniería industrial sirve para reducir costos al fabricar un producto, las derivadas nos pueden servir para saber el ritmo de cambio de volumen de un globo respecto al área de su superficie. Las derivadas también hacen parte del campo de la física y de la química ayudando a solucionar o a intentar lograr encontrar un camino que ayude a resolver problemas cotidianos, pero también podemos encontrarlas en los deportes que se pueden utilizar en el ciclismo como para saber con qué velocidad pasa un ciclista por un punto determinado de la carrera, en el tenis que permite saber con qué velocidad se tira la bola, o en el futbol para determinar con que velocidad se patea el balón. Podemos llegar a una conclusión respecto a las derivadas la cual nos lleva a entender que también las encontramos en nuestro diario vivir, también en la mayoría de las profesiones en especial las que contengan investigaciones, cálculos o resultados.
Solución Ejercicios Paso 6 Estudiante 2 (Juan José Ceballos Navia) Fase I
1. Aplicando los conceptos de la derivación, calcular la siguiente derivada:
ln
Teniendo en cuenta lo siguiente (derivada de un cociente):
′ ∗ ∗′ ln ′ 1 ∗ l n ∗1 ′ ′ 1 ln 2 3 19 ∗ ′ ∗ ∗ ′ 3 2[′ ∗ ∗ ′] 3[′∗ ∗ ′] 0 3 22 ′ 3 2′ 0 3 4 2′ 3 6′ 0
Y Además lo siguiente:
Se tiene la expresión a continuación:
2. Derivadas implícitas, calcular
Teniendo en cuenta la propiedad de la derivada de un producto:
Se tiene lo siguiente:
6 2 4 3 3 ′6 2 4 3 3 4 3 3 ′ 6 2 cos ;ℎ sen x sen x cos cos x
3. Calcular la siguientes derivadas de orden superior
Fase II
4. En Geogebra, graficar la función, encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos.
5. En Geogebra, graficar la función, encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos.
tan
Fase III: Ensayo
Para empezar, las derivadas se utilizan muchos campos de la vida cotidiana y del estudio de las ciencias; por ejemplo en la medicina se puede emplear para estudiar la velocidad o la aceleración con que crece una bacteria en el organismo. Asimismo, en la estadística en lo que respecta a los cambios, sea aumento o disminución de los diferentes datos, los cuales pueden ser la tasa de natalidad o la tasa de mortalidad, el crecimiento poblacional, entre otros. Además, en la economía se puede apreciar el uso de las derivadas al calcular la elasticidad de la demanda, es decir, la variación de la demanda como consecuencia de una variación en el precio de cierto producto y esto mide la intensidad de la respuesta tras dicho cambio en el coste del producto; además de poder calcular indicadores económicos como el producto marginal, que corresponde a la razón de cambio al incrementar una unidad de producto y de esta forma tener un panorama de las variables microeconómicas y macroeconómicas de una sociedad.
Los contextos mencionados en el párrafo anterior son solo una pequeña parte de los campos donde se aplican estas temáticas, pues es evidente que en muchas acciones del diario vivir se pueden aplicar, muchas veces de forma imperceptible; además, pienso que esta tema del cálculo diferencial se aplican en circunstancias que son muy comunes en la vida diaria, por ejemplo facilita conocer la variación de la
temperatura del ambiente respecto al tiempo al encender el aire acondicionado, e incluso se ha usado en la prehistoria al construir ciertas edificaciones, usando el criterio de la primera derivada para determinar el “mínimos” de material a usar y así reducir costos.
En conclusión los límites y continuidad se encu entran inmersas en muchas acciones de las personas, permitiendo la realización de tareas que son comunes y que abarca el cálculo de variaciones respectos a variables dependientes para determinar el comportamiento a través del tiempo de muchos factores que se usan para tomar ciertas decisiones en la vida cotidiana.
Estudiante 4 (Claudia Lorena Perea Sanclemente) Fase 1 1. Aplicando los conceptos de la derivación calcular las siguientes derivadas.
. +
4 + 4 + + 1 + +.3 41 + +.3 + .
+
Solución
+
2.Derivadas Implícitas: Calcular
/
/ Despejo
Solución
3.Calcular las siguientes derivadas de orden superior.
TIPO 5 forma simple
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE “a” ELEVADO A LA VARIABLE x es igual a la misma constante “a” elevada a x por el logaritmo neperiano de dicha
2 2 2 2 2 2 ∗ 2
constante
FASE 2
En Geogebra, graficar la siguiente función encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos 1. f(x)=x^2
2.
( )= ^
Fase III Usamos muchos procedimientos matemáticos en nuestro diario vivir los procedimientos mas usados son los básicos ellos nos simplifican la vida, como sumar, multiplicar. Restar y dividir. Pero cuando necesita resolver situaciones mas complejas debemos recurrir a otras formulas matemáticas como son las Derivadas En una fabrica de vidrios es importante usar las formulas de las derivadas asi podemos sacar el rendimiento según los cortes de un rectángulo de vidrio. Es importante conocer las formulas y como aplicarla según para obtener la respuesta correcta las incógnitas de la vida cotidiana Por ejemplo : Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de lacantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x 2+0.8x-5donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte lacantidad x.Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 quetzales:a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidadb) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidadposible.c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.Solucióna) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de lafunción. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativadecreceProcedimiento:-Se deriva la función:R’(x)=-0,004x+0,8-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:R’(x)=0 ,-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de losvalores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay variosmétodos, uno muy mecánico:f f ´ + 200 En el ámbito profesional de un geólogo y astrónomo vemos que requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 10 0 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a. Logb a = N si bN = a Notación logarítmica
Estudiante 5(Hector Fabio Ramos )
Ejercicio uno
− √ ⋅√ − 2 2 2 [] 2 2 2 2
(− ) 2 2 2 2 2
Ejercicio 2
′ . ′ ′ ′ ′ = x - 2y
= x - 2y
′ +=−
Ejercicio 3
:
−
= Primera derivada =
Fase dos
Fase III (Ensayo)
La derivación es crucial en cuanto al cálculo se refiere, ¿para qué nos sirve el cálculo y las derivadas en primer lugar? Bien, tomemos en cuenta esto, el cálculo y todo lo que conllevase considera un paso más adelante de la matemática elemental, va más allá, por así decir; resumiéndola matemática elemental es constante, estática, fija, mientras que el cálculo es dinámico se enfoca en momentos, movimientos, aproximaciones, etc. En distintas disciplinas como electrónica, electricidad, termodinámica, mecánica, economía, biología, resulta de importancia fundamen tal, no solo saber que no resulta muy importante saber que determina en cada una de la magnitud o cantidad varia respecto de otra si no conocer cuan rápido se produce es variación en cinemática la derivada de la función queda el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo transcurrido es la velocidad instantánea de dicho objeto de móvil. la derivada de la función que nos da la velocidad del móvil en función de tiempo es la aceleración instantánea de dicho objeto móvil. en los casos de las funciones de valores reales dejan única variable, la derivada representa un cierto punto el valor de la pendiente de la recta tangente al graficar la función en dicho punto para introducir lo que era la derivada se recurre generalmente a dos problemas: uno físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico.
.
CONCLUSIONES Para la solución de los ejercicios planteados en esta unidad debemos de tener muy en cuenta las reglas de la derivación, que nos facilitará de una gran manera la consecución de este. Se pudo comprender la definición las funciones y la recta tangente a varios puntos de dichas funciones gracias al Software Geogebra. Asimismo, se pudo establecer el uso de las derivadas en la vida cotidiana y profesional de cada integrante del grupo como se evidencio en los ensayos construidos en el presente trabajo colaborativo.
BIBLIOGRAFÍA
Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 3 – Análisis de las derivadas y sus aplicaciones. Pág. 88-231. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11570 García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 - La derivada y funciones de clase ck. Pág. 102 -134. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2048/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Galván, D., Cienfuegos, D., & Romero, J. (2011). Cálculo Diferencial. Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Unidad III La derivada. México, Distrito Federal, México: C engage Learning Editores S.A. de C.V. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/6999 Cabrera, J. (2015). OVI - Derivadas en Geo gebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621 ISSUU Nayibis. Aplicacion de las derivadas en la vida cotidiana. Julio 24 de 2014. Recuperado de: https://issuu.com/nayigio/docs/aplicacion_de_las_derivadas_nayi