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TORSIÓN
Terminal del Internacional de Newark, Nueva Jersey. (Cortesía de las Fotografía 39 autoridades del Aeropuerto puerto de Nueva York - Nueva Jersey.) (Véase p, 209.)
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7.1 INTRODUCCIÓN La torsión ocurre en construcciones monolíticas de concreto principalmente donde la carga actúa a una distancia del eje longitudinal del miembro estructural. Algunos ejemplos de elementos estructurales sujetos a momentos torsionantes son: una viga de extremo en un tablero de piso, una viga de borde cargada en un extremo, vigas perimetrales que circundan una abertura de piso o una escalera helicoidal. Algunas veces estos momentos causan esfuerzos cortantes excesivos. Originan el desarrollo de importantes grietas más allá de los límites permisibles de servicio, a menos que se proporcione refuerzo especial por torsión. Las fotografías 40 y 41 muestran la extensión del agrietamiento cuando una viga falla por torsión. En ellas se puede observar el plano curvilíneo de torsión causado por los momentos torsionantes impuestos. En vigas reales de borde de un sistema estructural, el grado de daño debido a la torsión no es por lo general tan crítico, como se observa en las fotografías 42 y 43. Esto se debe a la redistribución de los esfuerzos en la estructura. Sin embargo, siempre se deberá evitar la pérdida de la integridad debido al peligro de la torsión realizando un diseño adecuado del refuerzo necesario por torsión. Una introducción al tema de distribución de los esfuerzos torsionantes debe comenzar con el comportamiento elástico básico de las secciones simples, tales como
Fotografía 40 falla
en
Viga de yeso reforzado a la
torsión
pura.
(Pruebas
en
la
Universidad de Rutgers: Law, Nawy. y cols.)
(a)
(b) Fotografía 41 Viga de mortero simple en torsión pura; (a) vista superior; (b) vista inferior. (Pruebas en la Universidad de Rutgers: Law, Nawy, y cols.)
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Fotografía 42 Vigas de concreto reforzado en torsión-disposición de prueba. (Cortesía de Thomas T. C. Hsu.)
Fotografía 43 Acercamiento de las grietas por torsión de las vigas de La fotografía anterior. (Cortesía de Thomas T. C. Hsu.)
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Las circulares o las rectangulares. La mayoría de las vigas de concreto sujetas a torsión son componentes de rectángulos. Por lo general, son secciones con patín, ya sea T o L. Aunque las secciones circulares son raras en las construcciones normales de concreto, una breve discusión de torsión en secciones circulares sirve como introducción al comportamiento ante la torsión de otros tipos de secciones. El esfuerzo cortante es igual a la deformación por cortante multiplicada por el módulo de cortante en el nivel, elástico en las secciones circulares.
Como se vio en
el caso de flexión, el esfuerzo es proporcional a su distancia del eje neutro (al centro
de la sección circular) y es máximo en las fibras externas. Si A elemento, J = πr / 2 , su momento polar de inercia y
debido a un momento torsionante elástico T e.
r es el radio del
el esfuerzo cortante elástico
Cuando la deformación ocurre en la flecha circular, se supone que el eje del cilindro circular permanece recto. Cualquier radio en una sección transversal también permanece recto (sin alabeo) y gira a través del mismo ángulo respecto al eje. Conforme el elemento circular comienza a comportarse plásticamente, el esfuerzo en el anillo plástico exterior se hace constante, mientras que en el núcleo interior permanece elástico, como se muestra en la figura 7.1, Conforme la sección transversal
completa viene a ser plástica, b = 0 y el esfuerzo cortante.
donde
es el esfuerzo cortante no lineal debido a un momento torsionante último T p,
y el subíndice f representa la falla.
Fotografía 43
Distribución de esfuerzos de torsión a través de una
sección circular.
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Figura 7.2
Distribución del esfuerzo de
torsión pura en una sección rectangular. En las secciones rectangulares, el problema de la torsión es más complicado. Las secciones transversales originalmente planas experimentan alabeo debido al momento torsionante aplicado. Este momento produce esfuerzos cortantes axiales así como circunferenciales con valores cero en las esquinas de la sección y en el centroide del rectángulo y valores máximos en la periferia a la mitad de los lados, como se observa en la figura 7.2. El esfuerzo cortante máximo de torsión ocurre en los puntos centrales A y B de la dimensión mayor de la sección transversal. Estas complicaciones, además del hecho de que las secciones de concreto reforzado no son ni homogéneas ni isotrópicas, hacen difícil desarrollar fórmulas matemáticas exactas basadas en modelos físicos tales como las ecuaciones (a) y (b) para secciones circulares. Por más de 60 años, el análisis de torsión de miembros de concreto se ha basado en (1) la teoría clásica de la elasticidad desarrollada a través de fórmulas matemáticas en conjunto con la analogía de la membrana (de St.-Venant), o bien, (2) en la teoría de la plasticidad representada por la analogía del montón de arena (de Nadai). Ambas teorías se aplicaron principalmente al estado de torsión pura. Sin embargo, se encontró en forma experimental, que la teoría plástica no es del todo satisfactoria para la correcta determinación del estado de esfuerzos en el concreto sujeto a torsión pura. No obstante, en la aproximación plástica es donde el comportamiento del concreto se encontró mejor representado. Por eso, casi todos los desarrollos en torsión para concreto simple y reforzado han tomado esta dirección.
7.2 TORSION FURA EN ELEMENTOS DE CONCRETO SIMPLE 7.2.1 Torsión en materiales elásticos En 1853 St.-Venant presentó su solución al problema de torsión elástica con alabeo debida a la torsión pura desarrollada en las secciones no circulares.
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En 1905 Prandtl
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demostró el significado físico de las fórmulas matemáticas mediante su modelo de la analogía de membrana. El modelo establece relaciones particulares entre la superficie deformada de la membrana cargada y la distribución de los esfuerzos de torsión en un barra sujeta a momentos torsionantes. La figura 7.3 muestra el comportamiento de la analogía de membrana para secciones rectangulares así como en L. Se puede probar que para deformaciones pequeñas, la ecuación diferencial de la superficie deformada de la membrana tiene la misma forma que la ecuación que determina la distribución de esfuerzos en la sección transversal de la barra sujeta a momentos torsionantes. De igual manera, se puede demostrar que (1) la tangente a una línea de contorno en cualquier punto de una membrana deformada da la dirección del esfuerzo cortante en la sección transversal correspondiente de la membrana
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 7.3 Analogía de la membrana en torsión pura elástica: (a) membrana bajo presión; (b) contornos en una viga real o en una membrana; (c) sección L; (d) sección rectangular.
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real sujeta a torsión; (2) la pendiente máxima de la membrana en cualquier punto es proporcional a la magnitud del esfuerzo cortante en el punto correspondiente en el miembro real y (3), el momento torsionante al cual el miembro real se sujeta es proporcional a dos veces el volumen debajo de la membrana deformada. De las figuras 7.2 y 7.3b se puede observar que el esfuerzo cortante de torsión es inversamente proporcional a la distancia entre las líneas de contorno. Cuanto más cerca esté la línea, mayor será el esfuerzo, llevándonos a la conclusión establecida anteriormente de que el esfuerzo cortante máximo de torsión ocurre en la mitad del lado más largo del rectángulo. De acuerdo con la analogía de membrana, este esfuerzo máximo deberá ser proporcional a la pendiente más inclinada de las tangentes en los puntos A y B. Si = desplazamiento máximo de la membrana con respecto a la tangente en el punto A, entonces por principios básicos de mecánica, y por la teoría de St.-Venant, 2
δ = b Gθ donde G es el módulo de cortante y θ el ángulo de torsión. Pero
*
cional a la pendiente de la tangente; entonces
(7.1a) es propor-
(7.1b) donde las k son constantes. El momento torsionante correspondiente T e es proporcional a dos veces el volumen debajo de la membrana, o bien
o bien
(7.1c)
De las ecuaciones 7.1b y 7.1c,
3
(7.1d)
El denominador kb h en la ecuación 7.1d representa el momento polar de inercia J de la sección. Comparando la ecuación 7.1d con la ecuación (a) para la sección circular, se puede ver la similitud de las dos expresiones excepto porque el factor k en la ecuación para la sección rectangular toma en cuenta las deformaciones por cortante
debido al alabeo. La ecuación 7.1d se puede simplificar aún más dándonos
(7.2)
Se puede escribir también de manera que nos dé el esfuerzo en planos dentro de la sección, tal como un rectángulo concéntrico interior de dimensiones x y y, donde x es el lado más corto, de manera que
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(7.3)
Es importante señalar que cuando se utiliza la analogía de la membrana, el esfuerzo cortante de torsión cambia de un punto a otro a lo largo del mismo eje como AB en la figura 7.3, debido al cambio de pendiente de la membrana análoga, originando largos cálculos para el esfuerzo cortante de torsión.
7.2.2 Torsión en materiales plásticos Como se mencionó anteriormente, la analogía plástica del montón de arena proporciona una mejor representación del comportamiento de los elementos frágiles tales como las vigas de concreto sujetas a torsión pura. El momento torsionante es también proporcional a dos veces el volumen debajo del montón y el esfuerzo cortante
Figura 7.4 Analogía del montón de arena en torsión pura plástica; (a) montón de arena en una sección L; (b) montón de arena en una sección rectangular; (c) planta de la sección rectangular; (d) esfuerzo cortante por torsión.
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máximo de torsión es proporcional a la pendiente del montón de arena. La figura 7.4 es una representación bidimensional y tridimensional del montón de arena. El momento torsionante T p en la figura 7 .4d es proporcional a dos veces el volumen del montón rectangular que se muestra en las partes (b) y (c). Por otro lado, se debe reconocer que en la analogía del montón de arena, la pendiente de los lados del montón de arena como una medida del esfuerzo cortante de torsión es constante, mientras que en la analogía de la membrana es continuamente variable. Esta característica del montón de arena simplifica las soluciones en forma considerable.
7.2.3 Analogía del montón de arena aplicada a vigas L La mayoría de los elementos de concreto sujetos a torsión son las secciones con un volado de patín, más comúnmente vigas L abarcando las vigas de los muros externos de un piso estructural.
Figura 7.5 Analogía del montón de arena en una sección con patín: (a) montón de arena en una sección transversal en forma de L; (b) pirámide compuesta del alma (V 1); (c) segmento de la membrana del alma (V 2); (d) membrana transformada del patín de la viga (V3).
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Se ha escogido la viga L de la figura 7.5 para la aplicación de la aproximación plástica del montón de arena a fin de evaluar su capacidad de momento torsionante y los esfuerzos cortantes a los cuales está sujeta. El montón de arena se divide en tres volúmenes: V 1 = pirámide representando una sección transversal cuadrada V 2 = parte de la membrana del alma que representa una sección transversal
rectangular =
V 3 = representando el patín de la viga, trasladando la parte PDI a NQM = (b — bw) /2
El momento torsionante es proporcional a dos veces el volumen de los montones de arena; de donde
(7.4)
Por otra parte, el esfuerzo cortante de torsión es proporcional a la pendiente de los
⁄ ( ⁄) ⁄ ( ⁄ )⁄ ⁄
montones de arena; por lo tanto,
(7.5a)
(7.5b)
Sustituyendo
, y
de las ecuaciones 7.5a y 7.5b en la ecuación 7.4 tenemos
(7.6)
Si dividimos entre
tanto el numerador como el denominador de la ecuación 7.6
y reordenamos términos, se tiene
Si suponemos que
es el denominador en la ecuación 7.7a y
(7.7a)
, la
ecuación 7.7a viene a ser
(7.7b)
donde
es el momento polar de inercia equivalente y una función de la forma de la
sección transversal de la viga.
Cabe hacer notar que la ecuación 7.7b es similar
en formato a la ecuación 7.1d según la analogía de la membrana excepto por los
.
diferentes valores de los denominadores J y La ecuación 7.7a se puede aplicar fácilmente a las secciones rectangulares haciendo .
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Figura 7.6
Componentes de rectángulos para el cálculo de Tc
Por otra parte, se debe reconocer que el concreto no es un material perfectamente plástico; por lo que la resistencia real a la torsión de la sección de concreto simple tiene un valor que está entre los valores de la analogía de la membrana y la analogía del montón de arena.
La ecuación 7.7b se puede volver a escribir haciendo T p = T c como la resistencia nominal a la torsión del concreto simple y nología del ACI, de manera que
utilizando la termi-
(7.8a)
(7.8b)
donde x es la dimensión más pequeña de la sección rectangular.
Trabajos realizados por Hsu y confirmados por otros han establecido que
se
puede tomar como 1/3. Este valor se obtuvo de investigaciones en la teoría de la flexión asimétrica del concreto simple. Por otra parte, se ha establecido que
se
considere como un valor límite de la resistencia a la torsión pura de un miembro sin refuerzo por torsión. Utilizando un factor de reducción de 2.5 para la primera carga de agrietamiento por torsión 7.8, resulta
y utilizando
in en la ecuación
(7.9a) donde x es el lado más corto de la sección rectangular. El elevado factor de reducción de 2.5 se utiliza para tomar en cuenta cualquier efecto de momentos flexionantes que se pudiera presentar. Si la sección transversal es una sección T o L, el área se puede dividir en componentes de rectángulos como se muestra en la figura 7.6, de manera que
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(7.9a)
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7.3 TORSIÒN EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO La torsión raramente ocurre en las estructuras de concreto sin que esté acompañada por flexión y cortante. Lo anterior dará un antecedente suficiente sobre la contribución del concreto simple en la sección para resistir parte de los esfuerzos combinados que resultan de las fuerzas de torsión, axiales, cortantes o de flexión. La capacidad del concreto simple para resistir torsión cuando se presenta en combinación con otras cargas puede, en muchos casos, ser menor que cuando resiste únicamente los mismos momentos torsionantes externos factorizados. Así que se deberá proporcionar refuerzo por torsión para resistir el exceso de ésta. La inclusión del refuerzo longitudinal y transversal para resistir parte de los momentos torsionantes introduce un nuevo elemento en el conjunto de fuerzas y momentos en la sección. Si T n = resistencia nominal total a la torsión requerida de la sección incluyendo el
refuerzo
T c = resistencia nominal a la torsión del concreto simple T s = resistencia a la torsión del refuerzo de donde
T n = T c + T s
(7.10a)
o bien
T s = T n T c
(7.10b)
A fin de estudiar la contribución de las varillas longitudinales y transversales para poder evaluar T s , se deberá analizar el sistema de fuerzas que actúa en las secciones transversales alabeadas del elemento estructural en el estado límite de falla. En la actualidad se aceptan básicamente dos aproximaciones: 1. La teoría de la flexión asimétrica, la cual se basa en la aproximación de la distribución plana de deformaciones de las secciones transversales sujetas a flexión y torsión. 2. La teoría de la analogía de la armadura y su extensión como teoría en el campo de compresión. Esta teoría aplica a los estribos de torsión una analogía de la armadura modificada comparable a la utilizada para el diseño de los estribos de cortante.
7.3.1 Teoría de la flexión asimétrica Esta teoría considera en detalle el comportamiento de la deformación interna de las series de superficies transversales alabeadas a lo largo de la viga. Propuesta inicialmente por Lessig, tuvo contribuciones posteriores de Collins, Hsu, Zia, Gesund, Mattock y Elfgren entre otros investigadores en este campo, T. C. C. Hsu hizo la mayor contribución experimental en el desarrollo de la teoría de la flexión asimétrica. En su reciente libro (referencia 7.12), Hsu detalla el desarrollo de la teoría de la torsión aplicada a las estructuras de concreto y cómo la teoría de la flexión asimétrica formó las bases de la norma actual del ACI referente a torsión. La complejidad del
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Figura 7.7
Flexión asimétrica debida a la torsión: (a) flexión antes de la
torsión; (b) flexión y torsión.
problema de torsión permite en este libro de texto únicamente una discusión breve de acuerdo a lo siguiente.
La superficie de falla cíe la sección transversal de una viga normal sujeta a un momento flexionante
permanece plana después de la flexión, como se muestra en
la figura 7.7a. Si además se aplica un momento torsionante
de tal forma que se
exceda la capacidad de la sección, se comenzarán a desarrollar grietas en las tres caras de la sección transversal de la viga y esfuerzos de compresión en algunas partes de la cuarta cara a lo largo de la viga. Conforme la carga de torsión alcanza el estado límite
de falla, resulta una superficie de falla oblicua debido a la combinación del momento torsionante
y el momento flexionante
El eje neutro de la superficie oblicua y el
área sombreada en la figura 7.7b que representa la zona de compresión, ya no será recta sino que tendrá un ángulo
respecto a las secciones transversales planas
originales. Antes del agrietamiento, ni las varillas longitudinales ni los estribos cerrados tienen una contribución apreciable a la rigidez torsional de la sección. En la etapa de carga posterior al agrietamiento, se reduce la rigidez de la sección, pero su resistencia a la torsión
aumenta en forma considerable, dependiendo de la cantidad y
distribución, tanto de las varillas longitudinales como de los estribos transversales cerrados. Se debe señalar que, si no se usan varillas longitudinales de torsión y
estribos transversales, no se logrará resistencia adicional a la torsión en la viga, además de la capacidad del concreto simple.
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Figura 7.8 Fuerzas en los planos bajo flexión asimétrica: (a) todas las
fuerzas actúan en el plano oblicuo a la falla; (b) vector de fuerzas en la zona de compresión.
La teoría de la flexión asimétrica idealiza la zona de compresión considerándola de una profundidad uniforme. Supone que las grietas en las tres caras restantes de la sección transversal se extienden de manera uniforme, con los estribos en esas caras soportando las fuerzas de tensión en las grietas y las varillas longitudinales resistiendo el cortante a través de la acción de dovela con el concreto. La figura 7.8a muestra las fuerzas que actúan en el plano oblicuo flexionado. El polígono de la figura 7.8b da la resistencia al cortante F c del concreto, la fuerza T t de las varillas longitudinales activas en la zona de compresión y la fuerza normal C c del bloque de compresión. El momento torsionante T c de la fuerza cortante resistente F c generada por el área sombreada del bloque de compresión en la figura 7.8a es de este modo su brazo respecto a las fuerzas
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en la figura 7.8a
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√
O bien
(7.11a)
donde x es el lado más corto de la viga. Como resultado de una gran número de pruebas (referencias 7.9 y 7.12) para evaluar F c en términos de los esfuerzos internos en el concreto,
, y las constantes torsionales geométricas de la sección,
conducen a la expresión
√
,
(7.11)
Las fuerzas de dovela F x y F y. se suponen proporcionales a las áreas de la sección transversal de estas varillas. Si se establece una relación entre la proporción de la resistencia a la torsión proporcionada por las fuerzas de dovela F x y F v y la resistencia a la torsión de las fuerzas del zuncho F v, los momentos torsionantes serán las sumatorias
* * * *
Las dimensiones x1 y y1 son, respectivamente, las dimensiones corta y larga centro a centro de los estribos cerrados rectangulares y las dimensiones x0 y y0 son las
dimensiones correspondientes centro a centro de las varillas longitudinales en las esquinas de los estribos. La expresión resultante para la resistencia a la torsión,
⁄ √ *
proporcionada por los zunchos y el acero longitudinal en la sección rectangular es
(7.12)
donde
la torsión es
,
, de manera que el momento resistente nominal total a
, o bien
(7.13)
7.3.2 Teoría de la analogía de la armadura en el espacio
Esta teoría se desarrolló en un principio por Ramsch y fue difundida posteriormente por Lampert y Collins, con trabajos adicionales por Hsu, Thurliman, Elfgren y otros. Collins y Mitchell introdujeron un mayor refinamiento (referencia 7.11) como una teoría en el campo de compresión. La analogía de la armadura en el espacio es una extensión del modelo utilizado en el diseño de los estribos que resisten cortantes, en la cual las grietas de tensión diagonal, una vez presentadas, son resistidas por los estribos. Debido a la forma no plana de las secciones transversales por efecto del momento torsionante, se utiliza una armadura en el espacio compuesta de los estribos como miembros en tensión diagonal y las franjas de concreto idealizadas a 45° entre las grietas como los miembros en compresión, como se muestra en la figura 7.9. En esta teoría se supone que la viga de concreto se comporta en torsión en forma similar a un cajón de pared delgada con un flujo de cortante constante en la sección
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Figura 7.9 Fuerzas en la superficie de concreto de una sección hueca en cajón según la analogía de la armadura.
sección transversal de la pared, produciendo un momento torsionante constante. El uso de secciones de pared hueca en lugar de secciones sólidas probaron dar esencialmente el mismo momento torsionante último, con la condición de que las paredes no sean demasiado delgadas. Dicha conclusión se apoya en pruebas que muestran que la resistencia a la torsión de las secciones sólidas está compuesta de la resistencia de los estribos cerrados, consistiendo de las varillas longitudinales y de los estribos transversales y de los puntales de concreto inclinados en compresión idealizados en el plano de la pared. Los puntales de compresión son las franjas de concreto inclinadas entre las grietas como se indica en la figura 7.9. La norma del Comité Europeo del Concreto (CEB-FIP) se basa en el modelo de la armadura en el espacio. En esta norma, el espesor efectivo de la pared de la viga hueca se toma como
, donde
, es el diámetro del círculo inscrito en el rectángulo
que conecta, las varillas longitudinales de esquina, designando,
en la figura
7.9. En resumen, la ausencia del núcleo no afecta la resistencia de tales miembros en torsión; de aquí que se acepte la aproximación de la analogía de la armadura en el espacio basada en las secciones huecas.
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Si el flujo de cortante en las paredes de la sección en cajón es τ t , donde τ es el esfuerzo cortante y
F es la fuerza de tensión en cada varilla longitudinal de esquina,
la ecuación de equilibrio de fuerzas será
(7.14)
Y los momentos debidos a las fuerzas del flujo de cortante serán (7.15)
Si At es el área de la sección transversal del estribo y f y es la resistencia de fluencia del estribo separado a una distancia s, entonces
(7.16a)
Por otra parte, si Al es el área total de las cuatro varillas longitudinales en las esquinas.
(7.16b)
Resolviendo las ecuaciones (7.14), (7.15) y (7.16a) tenemos (7.17)
Para el caso de volúmenes iguales de acero longitudinal y de estribos transversales (por ejemplo
), en el momento resistente a la torsión T n en la falla será
(7.18)
Cabe hacer notar la similitud del formato con la ecuación 7,12, desarrollada con la teoría de la flexión asimétrica y la ecuación 7.18, que se dedujo por la teoría de la analogía de la armadura en el espacio.
7.4 COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO BAJO COMBINACIÓN DE TORSIÓN, CORTANTE Y FLEXIÓN 7.4.1 Torsión y cortante combinados Hasta aquí la discusión ha presentado el mecanismo interno resistente y las fuerzas, momentos y esfuerzos acompañantes en el concreto simple y en el refuerzo cuando un elemento estructural unidimensional está sujeto a momentos torsionantes.
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Figura 7.10 Diagrama de interacción para torsión y cortante combinados.
Cuando la torsión externa está acompañada por un cortante externo, la misma sección queda sujeta a esfuerzos cortantes, más elevados debido al efecto combinado de los dos tipos de carga mientras interactúan entre sí. La resistencia de una viga a torsión y cortante combinados es menor que su resistencia a cualquiera de estos dos parámetros cuando actúan en forma separada. Así que, es necesaria una relación de interacción de manera similar a la desarrollada para carga axial y flexión combinados, discutida en el capítulo 9. La figura 7.10 representa la siguiente expresión de interacción adimensional relacionando a la torsión con el cortante: 1. Miembro sin acero en el alma:
* * * *
y
(7.19a)
son la torsión y el cortante externo nominal cuando actúan
simultáneamente.
y
son los valores nominales para la torsión y el cortante
cuando cada una actúa en forma separada.
2. Miembros reforzados por torsión y cortante combinados:
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(7.19b)
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T n y V n representan las resistencias nominales a la torsión y al cortante para resistir T u y V u cuando actúan simultáneamente. T n0 = T c +T s representa la resistencia
nominal a la torsión del alma reforzada cuando actúa únicamente torsión pura en la sección; V n0 = V c + V s representa la resistencia nominal al cortante del alma reforzada cuando actúa únicamente cortante en la sección. La ecuación 7.19a se puede volver a escribir utilizando los valores aproximados de T c de la ecuación 7.11b y de V c de la ecuación 6.9 para el alma no reforzada:
∑
(7.20)
En el caso del alma reforzada sujeta a torsión y cortante combinados, se deberá considerar un límite superior para T n0 y V n0 a fin de garantizar la fluencia del
∑ ∑
refuerzo del alma en el estado límite de falla. Basado en resultados de pruebas,
y
De donde, la ecuación 7.19b viene a ser
(7.21)
Al comparar la ecuación 7.20 con la ecuación 7.21 se puede ver que
. El
ACI simplifica el procedimiento con la condición de que
(7.22)
De otra manera, se deberá aumentar la sección transversal de la viga.
7.4.2 Torsión y flexión combinados Cuando la flexión la flexión actúa simultáneamente con la torsión, la capacidad a la flexión de la sección se reduce en forma considerable. Debido a ello, se produce el agrietamiento por efecto de los esfuerzos cortantes de torsión a bajos niveles de carga. La figura 7.11c muestra el vector resultante Ru para momentos flexionantes y torsionantes combinados, los cuales causan el alabeo de la sección, como se indica en la figura 7.7b. De manera similar al caso de torsión y cortante combinados, se establece una relación de interacción relacionando a la torsión con la flexión y actuando en forma simultánea. Se debe suponer que la sección está reforzada con acero de tensión y de compresión.
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Figura 7.11
Representación esquemática del vector de torsión y flexión combinados: (a) flexión; (b) torsión; (c) flexión y torsión combinados.
Se pueden desarrollar dos casos para los cuales las siguientes expresiones de interacción sean aplicables:
1. Cuando el acero de tensión fluye en la zona de tensión,
* *
(7.23a)
2. Cuando el acero de tensión fluye en la zona de comprensión por flexión,
Figura
7.12 Diagrama de interacción para torsión y flexión combinados.
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*
(7.23b)
Donde T n = momento resistente nominal a la torsión equivalente a
⁄
T n0 = resistencia nominal a la torsión del alma reforzada cuando sólo
actúa la torsión pura. M n = momento flexionante resistente nominal
⁄
M n0 = resistencia flexionante nominal cuando sólo actúa la flexión
⁄
La figura 7.12 muestra el diagrama de interacción para torsión y flexión combinados para relaciones de fuerza
entre los valores de 1.0 y 3.0.
7.4.3 Flexión, cortante y torsión combinados Una combinación de estos tres parámetros en una superficie tridimensional de interacción. El alcance del libro limita la factibilidad de una discusión profunda. La expresión aplicable resulta de superponer el efecto de la torsión y el cortante combinados en el efecto de la flexión y la torsión combinados según los dos casos de interacción presentados en las secciones 7.4.1 y 7.4.2. El ACI requiere (1) cálculo del acero transversal del alma por cortante, adicionándolo al acero transversal del alma por torsión calculado separadamente, y (2) cálculo del acero longitudinal por torsión, adicionándolo al acero de tensión requerido por flexión, pero distribuyéndolo en forma simétrica en todas las caras de la sección transversal.
7.5 DISEÑO DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO SUJETAS A TORSIÓN, FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS 7.5.1 Comportamiento de estructuras bajo torsión El momento torsionante que actúa en un componente estructural en particular, tal como una viga de borde se puede calcular utilizando procedimientos normales de análisis estructural. El diseño de dicho elemento se deberá basar en el estado límite de falla. Por lo tanto, el comportamiento no lineal de un sistema estructural después deí agrietamiento por torsión se deberá identificar en una de las dos siguientes condiciones: (1) no existe una redistribución de los esfuerzos de torsión a otros miembros después del agrietamiento y (2) existe una redistribución de los esfuerzos y momentos de torsión después del agrietamiento para efecto de la compatibilidad de deformaciones entre los miembros que se intersectan.
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Figura 7.13
No existe redistribución de la torsión (equilibrio por torsión).
Los esfuerzos que resultan de la torsión en vigas estáticamente determinadas se pueden evaluar únicamente a partir de las condiciones de equilibrio. Tales condiciones requieren un diseño para el momento torsionante externo total factorizado, ya que no es posible la redistribución de los esfuerzos de torsión. A este estado frecuentemente se le denomina equilibrio por torsión. Un ejemplo de ello es el de una viga de orilla que soporta un voladizo como el que se muestra en la figura 7,13. La viga de orilla se debe diseñar para resistir el momento torsionante externo total factorizado debido a la losa en voladizo; de otro modo, la estructura fallará. La falla será causada porque no se satisfacen las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en la viga que resultan de la gran torsión externa. En sistemas estáticamente indeterminados, suposiciones de rigidez, compatibilidad de las deformaciones en las uniones y redistribución de los esfuerzos pueden afectar las resultantes de los esfuerzos, conduciendo a una reducción de los esfuerzos cortantes de torsión resultantes. Se permite una reducción en el valor del momento factorizado, utilizado en el diseño del miembro, si parte de este momento, se puede redistribuir a los miembros que se intersectan. El ACI permite un momento torsionante máximo
∑
factorizado en la sección crítica d a partir del paño de los apoyos:
(7.24)
La omisión del efecto de la torsión total externa realmente en este caso no conduce a la falla de la estructura pero puede resultar en un agrietamiento excesivo si
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∑ ⁄
es considerablemente menor que el momento torsionante real
factorizado. En la figura 7.14 se indica un ejemplo de la compatibilidad de la torsión.
Figura 7.14
Redistribución de la torsión (compatibilidad): (a) vista isométrica de un tablero de extremo; (b) planta de un sistema típico de piso en una dirección.
De la figura 7.14b se puede ver que las vigas B2 producen momentos torsionantes T u en las secciones 1 y 2 de la viga de borde AB. Las magnitudes de las rigideces relativas de la viga AB y de las vigas transversales B2 determinan las magnitudes de rotación en las uniones 1 y 2. Por continuidad y acción en dos direcciones, los momentos extremos de las vigas B2 en sus intersecciones con la viga de borde AB no se transferirán en su totalidad como momentos torsionantes a los apoyos de las columnas en A y B. Sin embargo, se reducirán de manera significativa como resultado de 1a. redistribución de momento en la transferencia de la mayor parte de los momentos flexionantes extremos
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de los puntos 1 y 2 a los puntos 3 y 4 así como
al centro del claro de las vigas B2 .T u se determina con la ecuación 7.24 en cada uno de los apoyos A y B de la viga de borde y en la sección crítica d a partir de estos apoyos.
∑
Si el momento torsionante real factorizado debido a las vigas B2 es menor que el obtenido con la ecuación 7.24, la viga se deberá diseñar para el valor menor de la torsión. Sin embargo, los momentos torsionantes pueden ser insignificantes si
∑ [⁄] ∑⁄
Cuando el momento torsionante factorizando T u excede
(7.25) el ACI
requiere que el alma de las secciones de concreto simple se diseñe para
(7.26a)
Y
(7.26b)
Las ecuaciones 7.26a y 7.26b se derivan de la ecuación 7.20 suponiendo que la relación del momento torsionante a la fuerza cortante permanece constante a través de la historia de la carga. Cuando se toma en cuenta la contribución del refuerzo por torsión, el ACI limita la fuerza de torsión T s resistida por el acero a un valor no mayor de 4 T c, véase la ecuación 7.22.
7.5.2 Refuerzo del alma por torsión Como se indicó en la sección 7.3.1, se puede lograr una resistencia adicional a la torsión muy significativa debido a la adición del refuerzo por torsión, únicamente si se utilizan estribos y varillas longitudinales. Idealmente, se deberán utilizar iguales volúmenes de acero tanto en los estribos cerrados como en las varillas longitudinales, de tal manera que ambos participen por igual al resistir los momentos torsionantes. Este principio es la base de las expresiones del ACI para el proporcionamiento del acero por torsión en el alma. Si s es la separación de los estribos, Al es el área total de la sección transversal de las varillas longitudinales y At es la sección transversal de una rama de estribo, donde las dimensiones del estribo son x1 en la dirección corta y y1 en la dirección larga, entonces
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De manera que
(7.27a)
(7.27b)
⁄ ⁄ ⁄ ⁄∑
Por eso el acero total del alma pro torsión, incluyendo tanto los estribos cerrados como las varillas longitudinales de las ecuaciones 7.27ª y 7.27b, viene a ser (7.28a)
Pero, de la ecuación 7.12,
(7.28b)
Donde y T s es el momento resistente a la torsión del acero del alma por torsión. Si T c es la resistencia nominal a la torsión del concreto simple en el alma,
(7.29)
De la ecuación 7.27b y utilizando la expresión del ACI para At para torsión y cortante combinados, donde
El refuerzo longitudinal por torsión se puede expresar como
Donde
(7.30)
. El término 2 At en la ecuación 7.30 no debe ser menor que
50bws/f y ya que este valor; 2 At es el mínimo, para que los estribos por torsión sean efectivos, En la referencia 7.12 se presenta una discusión completa, así como un desarrollo detallado de la ecuación 7.30. Una reducción en los estribos se puede compensar con un aumento en el acero longitudinal mientras que el volumen total del acero por torsión permanezca igual. la separación s de los estribos es pequeña de tal modo que 2 At , sea considerablemente mayor que el valor mínimo de 50bws/f y , no es raro que At de la ecuación 7.30 proporcione un valor negativo de manera que se recurra al mínimo At de la ecuación
7.27a para iguales volúmenes de estribos y varillas longitudinales; esto es,
(7.31)
El área total Avt de los estribos cerrados para torsión y cortante combinados viene a ser
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(7.32)
7.5.3 Procedimiento de diseño para torsión y cortante A continuación se presenta un resumen de la secuencia recomendada de los pasos de diseño. En la figura 7.15 se muestra un diagrama de flujo el cual describe en forma gráfica la secuencia de las operaciones. 1. Clasifique a la torsión aplicada ya sea como problema de equilibrio o compatibilidad por torsión. Determine la sección crítica y calcule el momento torsionante factorizado T u. La sección crítica se toma a una distancia d a partir del paño del apoyo.
Si T u es menor que
, se pueden omitir los efectos de torsión.
∑∑⁄ ∑
2. Calcule la resistencia nominal a la torsión T c del alma de concreto simple:
donde C t = bwd
(7.32)
, Los miembros sujetos a una tensión axial significativa se
pueden diseñar para un valor de T c la cual es multiplicada por (1 + N u /500 Ag), donde N u es negativa para tensión.
Verifique si T u excede a T c. Si no es así, no tome en cuenta el efecto de la torsión. En caso contrario, calcule el valor de T s de la parte del momento torsionante que será
resistida por el refuerzo. Por equilibrio de torsión
Por compatibilidad de torsión
O bien
el que sea menor. El valor de T s tiene que ser cuando menos equivalente a T u / . T s > 4T c , aumente la sección.
Si
Seleccione los estribos cerrados que va a utilizar como refuerzo transversal. Se puede utilizar un tamaño mínimo de varilla del núm. 3 (9.5 mm de diámetro).
Si
s = separación constante de los estribos, calcule el área del estribo por torsión para una
rama de estribo por unidad de separación:
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3. Calcule el refuerzo por cortante requerido sección transversal.
Av por unidad de separación en una
V u es la fuerza cortante externa factorizada en la sección
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Figura 7.15
Diagrama de flujo para el diseño de refuerzo por cortante y torsión combinados: (a) acero del alma por torsión; (b) acero del alma por cortante.
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Figura 7.15 (cont.) crítica, V c es la resistencia nominal por cortante del concreto en el alma y V s es la
fuerza cortante que deben resistir los estribos:
Donde V s =V nV c
y
[⁄]
El valor V n tiene que ser cuando menos igual a V u /
4. Obtenga el total de Avt , el área de los estribos cerrados por torsión y cortante y diseñe los estribos de manera que
5. Calcule el área del refuerzo longitudinal At requerido por torsión donde
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⁄
O bien
El que sea mayor. El valor calculado de At con la segunda expresión no debe exceder
⁄
6. Distribuya el refuerzo de acuerdo a lo siguiente:
a) La separación s de los estribos cerrados no deberá ser menor que ( x1 + y1)/4 ni que 12 in. b) Las varillas longitudinales deberán tener la misma separación con respecto al perímetro de los estribos cerrados. La distancia entre las varillas no deberá ser menor que 12 in y se colocará cuando menos una varilla longitudinal en cada esquina. c) La resistencia de fluencia de diseño del refuerzo por torsión no deberá exceder de 60,000 psi. d) Los estribos utilizados para el refuerzo por torsión se deberán anclar a lo largo de una distancia, d de las fibras extremas en compresión. Los estribos cerrados con ganchos en los extremos logran este efecto. e) El refuerzo por torsión se deberá proporcionar cuando menos a una distancia (d + b) más allá del punto donde teóricamente se requiera, a fin de cubrir
algunos esfuerzos cortantes excesivos potenciales.
7.5.4 Ejemplo 7.1: Diseño del refuerzo del alma por torsión y cortante combinados en una viga da sección T Una viga T tiene las dimensiones geométricas que se muestran en la figura 7.16. Una fuerza cortante externa factorizada actúa
en la sección crítica,
teniendo un valor V u=15,000lb/(67.5 kN). Está sujeta a las siguientes torsiones: (a) momento torsionante externo factorizado por equilibrio T u = 500,000 in-lb (57.15 kN-m), (b) momento externo factorizado por compatibilidad T u = 75,000 in-lb (8.47 kN-m) y (c) momento externo factorizado por compatibilidad T u = 300,000 in-lb. Considere: 2
2
Refuerzo por flexión = 3.4 in (2193 mm )
= 4,000 (27.58 MPa), concreto de peso normal
f y = 60,000 (413.7 MPa) Diseñe el refuerzo del alma requerido para esta sección.
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Figura
7.16 Componentes rectángulos de la viga T.
de
Solución (a) Equilibrio por torsión: Momento torsionante factorizado (paso 1)
Dado el momento torsionante por equilibrio = 500,000 in-lb (57.15 kN-m). El momento torsionante total se deberá proporcionar en el diseño. De la figura
∑ ∑ √ ∑⁄ ∑ √
7.16
2
2
2
= 14 x 25 + 4 x 3 x 4 + 4 x 3 x 4 = 5284 in = 0.85 x 0.5 x
3
x 5284 = 142,030 in-lb < T u
Por lo tanto, se requieren estribos.
Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2)
in-lb (66.47 kN-m)
Suponga un recubrimiento efectivo de 2.5 in y d = 25.0 2.5 = 22.5 in.
Suponga también que T c y V c son constantes en el centro del claro de la viga para todos los casos prácticos.
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T s = T n T c = 588,235 262,092 = 326,143 in-lb (36.85 kN-m)
Suponga un recubrimiento efectivo de 1 in y estribos cerrados del núm. 4. x1 = 14 2(1.5 4- 0.25) = 10.5 in
y1 = 25 ~ 2(1.5 + 0.25) = 21.5 in
0.66 + 0.33
Utilice
= 1.34 < 1.5
1.34.
2
in / in – de separación / una rama
Diseño de los estribos por cortante (paso 3)
[ ⁄] √
lb (35.39 kN)
de separación / dos ramas
Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4) 2
in / in / dos ramas
Pruebe estribos cerrados del núm. 3 (9.5 mm de diámetro). El área por dos 2
2
ramas = 0.22 in (142 mm ).
separación máxima permisible,
in > 5 in Bien
Utilice estribos, cerrados del núm. 3 a cada 5 in (127 mm) centro a centro. 2
estribos mínimos requeridos = A v + 2 At = 2
área proporcionada = 0.22 in > 0.0583 in
in
2
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Bien
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Diseño del acero longitudinal por torsión (paso 5)
También
(O sustituyendo 50
el que rija)
2
Utilice 2 At = 0.18 in . De donde
2
Por lo tanto, utilice Al = 1.41 in .
Distribución de las varillas longitudinales por torsión
2
Al por torsión = 1.41 in . Suponga que
se va a las esquinas superiores y
a las esquinas inferiores de los estribos, adicionándose a las varillas por
flexión. El restante
, se distribuirá en partes iguales en las caras verticales
de la sección transversal de la viga a una separación no mayor de 12 in centro a centro.
Figura 7.17 Detalles del refuerzo del alma, ejemplo 7.1 (a).
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Proporcione cinco varillas del núm. 8 (25.4 mm de diámetro) en la parte inferior. Dos varillas del núm. 4 (12.7 mm de diámetro) con un área de 0.40 in
:
2
en la parte superior. El área requerida de A /4 es 0.35 in . El área de acero l 2
requerido por cada cara vertical = 0.35 in . Proporcione dos varillas del núm. 4 (12.7 mm de diámetro) en cada cara. En la figura 7.17 se muestra la geometría de la sección transversal.
Solución (b) Compatibilidad por torsión:
Momento torsionante factorizado (paso 1)
Dado. T u = 75,000 in-lb (8.47 kN/m). Utilizando los resultados del caso (a), se tiene
*√
De donde se pueden omitir los efectos de torsión.
Solución Compatibilidad por torsión:
Momento torsionante factorizado (paso 1)
Dado que T u
= 300,000 in-lb (33.9 kN-m) es mayor que
( ∑ ) ( ∑) ∑ .
Se deberán proporcionar estribos. Debido a que esto es una
condición de compatibilidad por torsión, la sección se puede diseñar para un momento torsionante de
si la torsión externa excede este
valor.
T u dado = 300,000 in-lb
Por lo tanto, la sección se deberá diseñar para T u = 300,000 in-lb.
Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2)
Utilizando la ecuación 7.26b.
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T = T – T =
T c = 253,467 in-lb (28.64 kN-m)
s
n
-
c
(11.24 kN-m)
/ una rama
Diseño de los estribos por cortante (paso 3)
√ ⁄⁄ ⁄⁄
Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4)
2
Probando estribos del núm. 3 con un área = 2
0.11 = 0.22 in (9.5 mm de
2
diámetro, As= 142 mm ) se tiene
separación máxima permisible
De donde proporcione estribos cerrados del núm. 3 (9.5 mm de diámetro) a cada 8 in (203.2 mm centro a centro).
área mínima del estribo requerida = 2
área proporcionada = 0.22 in > 0.0933 in
2
Bien
Diseño del acero longitudinal por torsión (paso 5)
A, = 2A*1 + y% = 0.01(10.5 + 21.5) = 0.32 in2 s De donde, de manera alterna
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Figura 7.18 Detalles del refuerzo del alma, ejemplo 7.1 (c).
Figura 7.19 Planta y elevación de la sección, ejemplo 7.2: (a) planta; (b) sección A-A
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Por lo tanto
a proporcionar
Distribución de las varillas longitudinales por torsión
2
2
= 0.49 in . Aplicando la misma At por torsión = 1.96 in , de donde A /4 l
lógica del caso (a), proporcione cinco varillas del núm. 8 (25.4 mm de diámetro) en la cara inferior. El área requerida, As + A /4 l = 3.89 in ; el área pro2
2
porcionada = 3.95 in . El área requerida en las esquinas superiores y en cada
2
cara vertical = Al /4 = 0.49 in . Proporcione dos varillas del núm. 5 (15.9 mm de diámetro) en la parte superior y en cada una de las dos caras verticales, 2 dando 0.62 in en cada área. En la figura 7.18 se muestra la geometría del refuerzo de la sección.
7.5.5 Ejemplo 7.2: Diseño del acero del alma por equilibrio de torsión Una losa de concreto normal en voladizo apoyada sobre vigas continuas de 24 ft (7.32 m) de longitud, corno se muestra en la figura 7.19, soporta una carga viva uniforme de servicio de 30 psf (1.44 kPa). Diseñe la viga de borde A1- A2 del claro interior por tensión diagonal y torsión. No tome en cuenta los efectos de viento o sismos ni de contracción y flujo plástico. Considere: f c = 4000 psi (27.6 MPa)
f y = 60,000 psi (413.7 MPa)
Columnas exteriores = 12 in
20 in (304.8 2
508 mm) 2
As en el centro del claro = 1.50 in (967.74 mm )
2
2
As en el apoyo = 2.4 in (1548 mm ) 2
Solución
As
2
en el apoyo = 0.8 in (516.13 mm )
Momento torsionante factorizado (paso l) La viga A1- A2 es un caso de torsión sin redistribución debido a que se requiere la resistencia a la torsión de la viga para mantener el equilibrio. Por lo tanto, la sección se deberá diseñar para resistir el momento torsionante total externo factorizado. carga muerta de servicio de la losa en voladizo = (5.08 kPa)
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psf
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carga viva de servicio = 30 psf (1.44 kPa)
carga factorizada U = 1.4 100.0 + 1.7 30 = 191 psf (9.1 kPa) carga total sobre la loza en voladizo= 191 24 7= 32,088 lb (144.4 kN) Esta carga actúa en el centro de gravedad de carga que se muestra en la figura
7.19a con un brazo de momento = 4.0 ft (1.22 m). De donde el momento máximo factorizado en el eje central de apoyo =
(32,088
4) = 64,176 ft-lb.
Observe que la reacción en los apoyos es la mitad de la torsión total que actúa sobre la losa, corno se señala en la figura 7.20, esto es debido a que el centro de gravedad del momento torsionante se encuentra a la mitad de los apoyos. Como la carga está uniformemente distribuida, la variación del momento torsionante será lineal a lo largo del claro, La figura 7.21a muestra la envolvente de torsión para esta viga con el valor constante supuesto de T c a lo largo del claro. El momento torsionante factorizado en la sección crítica d (17.5 in) a partir del paño del apoyo es
Distribución de la fuerza cortante: Es necesario determinar la distribución de la
fuerza cortante a lo largo del claro, debido a que la viga se diseñará por cortante y torsión combinados. Utilizando la carga factorizada U, la fuerza cortante en el
eje central del apoyo debida a la carga de la losa = (191 La reacción debida al peso propio del alma es
8
24) = 18,336 lb.
Por lo tanto, el cortante total factorizado en el eje central del apoyo = 18,336 + 2520 = 20,856 lb. El cortante factorizado V u
V n en la sección crítica es
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Figura 7.21
Envolventes de resistencia de (a) torsión y (b) cortante para la viga A1- A2, ejemplo 7.2.
Observe que un factor de continuidad de 1.15 se hubiera utilizado en el cálculo de V u si se estuviera considerando la sección del primer apoyo interior. La figura 7.21b muestra la envolvente de cortante factorizado para la viga A 1- A2con el valor constante supuesto de V c a lo largo del claro. De la figura 7.22: 2
12
20 + 8
∑ ∑
2
24 = 4416 in
3
√
= 0.85
0.5
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4416 = 118,699 in-lb < T u
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Por lo tanto, los efectos de torsión se deberán considerar en el diseño. Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2)
∑ ⁄ ∑ √ En la sección crítica, = 732,988 in-lb = 61,082 ft-lb (82.82 kN-m)
T s = T n - T c = 732,988 217,863 = 515,125 in-lb = 42,927 ft-lb (58.21 kN-m) T s (515,125 in-lb) < 4T c (871,452 in-lb)
Bien
Suponga un recubrimiento efectivo de 1 in y estribos cerrados del núm. 4. x1 = 12 - 2(1.5 + 0.25) = 8.5 in y1 = 20 - 2(1.5 + 0.25) = 16.5 in
⁄ ⁄ = 0.66 + 0.33
Utilice
= 1.30 < 1.5 8.5
= 1.30
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Diseño de los estribos por cortante (paso 3)
+ √ ⁄ ⁄
Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4)
⁄ ⁄
Bien
Pruebe estribos cerrados del núm. 4, área = 2
2
0.2 = 0.4 in .
Separación máxima permisible
Bien
De donde proporcione estribos cerrados del núm. 4 (12.7 mm de diámetro) a cada 3.5 in (89 mm) centro a centro en la sección crítica hasta el paño del apoyo.
Aumento en la separación de los estribos: La separación de los estribos se
puede aumentar conforme nos desplacemos hacía el centro del claro, debido a que el momento torsionante y la fuerza cortante disminuyen en el centro de la viga. Si se proporcionan estribos cerrados del núm. 4 a la separación máxima permisible de 6.25 in centro a centro, la capacidad a la torsión T s de los estribos será
Para propósitos prácticos en el cálculo de T s los valores de V c y T c se suponen constantes a lo largo del claro. La resistencia nominal a la torsión T n1 debido a
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*
correspondiente a estribos del núm. 4 por torsión únicamente a
. La distancia x1 correspondiente a
del paño del apoyo al
plano 1 en la figura 7.21ª, es
Aumente la original s = 3.5 in en un plano x1 = 43.73 del paño del apoyo, por ejemplo a 45 in de la sección crítica de
⁄⁄ ⁄⁄
Diseño de los estribos:
Para estribos cerrados del No. 4.
Por eso, cambie la separación de los estribos del núm. 4 a 6.25 in centro a centro comenzando aproximadamente a 45 in de la sección crítica d hacia y hasta el centro del claro. Los estribos se deben utilizar hasta una distancia d + b = 17.5 + 12 .0 = 29.0 in , más allá del requerimiento teórico. De la figura 7.21b se puede ver que los estribos se deben utilizar hasta la sección en el centro del claro. La figura 7.23 muestra de manera esquemática la separación de los estribos cerrados.
Diseño del acero longitudinal por torsión (paso 5)
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También
*
Sustituyendo
si es mayor que 2A , se tiene t
2
Por lo tanto, utilice 2 At = 0.33 in . En forma alterna,
= 0.676 in 2
Esto no rige, ya que el volumen del acero longitudinal Al tiene que ser igual al volumen mínimo de los estribos cerrados transversales. Así que rige Al = 2.36 2
2
in (1523 mm ). Aunque un refinamiento en el diseño puede reducir el número de las varillas longitudinales por torsión conforme nos acerquemos al centro del claro debido a la disminución en el valor de T„, para propósitos prácticos utilice la misma A hasta el centro del claro. t
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Para distribuir Al en partes iguales en todas las caras de la viga, utilice cada cara vertical con
en las esquinas superiores y
en
en las esquinas infe2
riores adicionándose al refuerzo por flexión. Al /4 = 2.36/4 = 0.59 in (381 2
2
mm ). Utilice dos varillas del núm. 5 = 0.62 in (12.7 mm de diámetro) en cada cara vertical tanto para la sección en el apoyo como en el centro del claro.
Sección en el apoyo:
As =
2
= 0.59 + 2.4 = 2.99 in 2
Utilice cuatro varillas del núm. 8 = 3.16 in (25.4 mm de diámetro). in
2
2
Utilice dos varillas del núm. 8 = 1.58 in Sección en el centro del claro: As =
2
= 0.59 + 1.5 = 2.09 in 2
Utilice tres varillas del núm. 8 = 2.37 in .
Debido a que la torsión es menor conforme nos aproximamos al centro del claro, se pueden cortar dos varillas longitudinales superiores del núm. 8 antes de
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que se llegue a), centro del claro. En la figura 7.24a y b se indican los detalles del refuerzo de las secciones en el apoyo y en el centro del claro respectivamente.
7.5.6 Ejemplo 7.3: Diseño del acero del alma por compatibilidad de torsión En la figura 7.25 se muestra un sistema de piso de estacionamiento a base de losas en una dirección sobre vigas. Las dimensiones típicas de un tablero son 12
ft 6 in X 50 ft (3.81 m X 15.24 m) a centros. Diseñe la viga exterior de borde
por torsión y cortante combinados, suponiendo que las secciones están
adecuadamente diseñadas por flexión. Considere: Carga viva de servicio = 50 psf (2.4 kPa.) Espesor de losa = 5 in. (127 mm) f c = 4000 psi (27.58 MPa), concreto de peso normal f y = 60,000 psi (413.7 MPa)
Altura de piso a piso = 10 ft Columnas exteriores = 14 in x 24 in (356 mm x 610 mm) Columnas interiores = 24 in x 24 in (610 mm x 610 mm)
Todas las vigas = 14 in x 30 in (356 mm x 762 mm) Refuerzo por flexión requerido para la viga
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En el centro del claro=1.69 in En el apoyo A s = 2.16 in
2
2
En el apoyo As = 0.90 in
2
Solución Momento torsionante factorizado (pasos I, 2 y 5) 1. La viga A1-B1 es un caso de compatibilidad por torsión debido a que forma
parte de un sistema continuo de piso en donde se llevan a cabo redistribuciones de los momentos. El momento torsionante debido a C 1-C 2 en la intersección C 1 se redistribuye en las direcciones C 1-C 2 debido a la flexibilidad y rotación de la sección de la viga en C 1 comparada con su rigidez en A1 y B2 Por tanto, el valor máximo factorizado de la torsión
∑ √
aplicada a la sección en cada uno de los dos extremos (figura 7.26a) es
2. Momentos de empotramiento en la viga C 1 - C 2
+ 150 = 1146 lb/ft (16.7 kN/m) carga
muerta
de
servicio
=
carga viva deservicio = 50 x 12.5 = 625 lb/ft (9.1 kN/m)
carga factorizada U = 1.4 x 1146 + 1.7 x 625 = 2667 lb/ft (38.9 kNm) momento de empotramiento =
La torsión factorizada según la condición de la compatibilidad por torsión que
la viga C2-C1, aplica en la unión C1 es
= 2 x 37,362.3 = 74,725 ft-lb
2
Este valor es menor que el momento extremo factorizado wul / 12 en C1. Por lo tanto,
el momento torsionante a utilizar en el centro del claro de
T u = 74,725 ft-lb. Para determinar la reacción
y
A1-B1
es
desarrolle la distribu-
ción de momento que se muestra en la figura 7.26b.
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3. Reacción de la viga en C 1 , y cortante resultante en la viga A1-B1:
∑ ( ) o bien
*
Peso propio factorizado de A1- B1=
distancia de la sección crítica en A1- B1 a partir del eje central de la columna
La viga A1- B1 estará sujeta a las envolventes de torsión y cortante que se muestran en la figura 7.27.
∑ ∑ ⁄ √ ⁄ ⁄ Diseño de los estribos cerrados por torsión (paso 2)
a resistir por los estribos cerrados. Suponga un recubrimiento libre de
in y
estribos cerrados del núm. 4.
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Diseño de los estribos por cortante (paso 3)
[ ⁄] √ ⁄ ⁄ ⁄⁄
Estribos cerrados por torsión y cortante combinados (paso 4)
Pruebe estribos del núm. 3:
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⁄
√ ⁄
Separación máxima permisible
Verifique la separación de los estribos requerida en el centro del claro (paso 5)
en el centro del claro =
√ ⁄⁄ ⁄⁄⁄
en el centro del claro =
Utilice estribos cerrados del núm. 3 a cada estribos mínimos requeridos =
in (184 mm) centro a centro.
2
estribos mínimos requeridos = 0.0846 in 2
2
área proporcionada = 0.22 in > 0.0846 in . Bien
Diseño del acero longitudinal por torsión
También.
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⁄ ⁄
(O bien sustituyendo 50
, por
el que rija)
De donde
2
2
Utilice Al = 1.78 in (1148 mm ). Las varillas se deberán colocar en el contorno del perímetro del alma, a una separación no mayor que 12 in entre sí y con una varilla en cada esquina del estribo cerrado. Combine las varillas de esquina con el refuerzo longitudinal por flexión.
Distribución de las varillas longitudinales por torsión 2
Al por torsión = 1.78 in (utilice la misma tanto para la sección en el
centro del claro como para en el apoyo). Suponga que superiores y
se va a las esquinas
se distribuirá en partes iguales en las caras verticales de la
sección transversal de la viga a una separación no mayor que 12 in centro a centro.
∑
en el centro del claro =
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2
Proporcione cinco varillas del núm. 6 = 2.20 in (19.1 mm de diámetro), conti-
núe tres varillas hasta el apoyo:
2
Proporcione seis varillas del núm. 6 = 2.64 in (19.1 mm de diámetro):
A s en cada cara vertical = 2
in )
2
in (tres varillas del núm. 4 = 0.60
Utilice tres varillas del núm. 4 en cada cara (12.7 mm de diámetro). Algunas de las varillas longitudinales se cortarán antes de alcanzar el centro del claro, como se hizo en el ejemplo 7.2. La figura 7.28 muestra la geometría de la sección transversal de la viga de borde tanto en el centro del claro como en el apoyo.
BIBLIOGRAFÍA 7.1. Timoshenko, S., Strength of Materials, Part II: Advanced Theory, D. Van Nostrand, New York, 1952, 501 pp. 7.2. Nadai, A., Plasticity: A Mechantes of the Plastic State of Matter, McGraw- Hill, New York, 1931, 349 pp.
7.3. Cowan, H. J., "Design of Beams Subject to Torsion Related to the New Australian Code," Journal of the American Concrete Institute, Proc. Vol. 56, January 1960, pp. 591-618.
7.4. Gesund, H., Schnette, F. J., Buchanan, G. R., and Gray, G. A., "Ultimate Strength in Combined Bending and Torsion of Concrete Beams Containing Both Longitudinal and Transverse Reinforcement," Journal of the American Concrete Institute, Proc. Vol. 61, December 1964, pp. 1509-1521. 7.5. Lessig, N. N., "Determination of Carrying Capacity of Reinforced Concrete Elements with Rectangular Cross-section Subjected to Flexure with Torsion," Zhelezonbeton, 1959, pp. 5-28. 7.6. Zia, P., "Tension Theories for Concrete Members," Special Publication SP 18-4, American Concrete Institute, Detroit, 1968, pp. 103-132. 7.7. Hsu, T. T. C., "Ultimate Torque of Reinforced Concrete Members," Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 94, No. ST2, February 1968, pp. 485-510.
7.8. Rangan, B. V., and Hall, A. J., "Strength of Rectangular Prestressed Concrete Beams in Combined Torsion, Bending and Shear," Journal of the American Concrete Institute, Proc. Vol. 70, April 1973, 270-279. 7.9. Wang, C. K., and Salmon, C. G., Reinforced Concrete Design, 3rd ed. Harper & Row, New York, 1979, 918 pp.
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7.10. Thurliman, B., "Torsional Strength of Reinforced and Prestressed Concrete Beams — CEB Approach, U.S. and European Practices," Special Publication, American Concrete Institute, Detroit, 1979, pp. 117-143. 7.11. Collins, M. P., and Mitchell, D., "Shear and Torsion Design of Prestressed and Non-prestressed Concrete Beams," Journal of the Prestressed Concrete Institute, Proc. Vol. 25, No. 5, September-October 1980, pp. 32-100. 7.12.
Hsu, T. T. C., Torsion of Reinforced Concrete, Van Nostrand Reinhold, New
York, 1983, 510 pp.
PROBLEMAS PROPUESTOS 7.1 Calcule la capacidad a la torsión T c para las secciones que se muestran en la figura 7.29. Considere:
⁄
(27.6 MPa), concreto de peso normal
7.2 Una viga en voladizo está sujeta a una carga viva concentrada de servicio de 20,000 lb (90 kN) actuando a una distancia de 3 ft 6 in del apoyo del muro.
Además, la viga deberá resistir una torsión de equilibrio factorizada T u = 300,000 in-lb (33.89 kN/m). La sección transversal de la viga es de 12 in mm
24 in (304.8
609.6 mm) con un peralte efectivo de 22.5 in (571.5 mm). Diseñe los
estribos y el acero longitudinal adicional requerido. Considere: = 3,500 psi
f y = 60,000 psi 2
2
As = 4.0 in (2580.64 mm )
7.3 El primer claro interior de una viga continua de cuatro claros tiene un claro libre
= 18 ft (5.49 m). La viga está sujeta a una carga muerta externa uniforme de
servicio W D = 1700 plf (24 pkN/m) y a una. carga viva de servicio W L = 2200 plf (32.1 kN/m). Diseñe la sección por flexión, tensión diagonal y torsión. Seleccione el tamaño y la separación de los estribos cerrados y del acero longitudinal adicional que se pueda requerir por torsión. Suponga el ancho de la viga bw= 15 in (381.0 mm) y que es posible una redistribución de los esfuerzos torsionantes de tal manera que la torsión externa T u se pueda tomar como Considérese:
∑
.
fc = 5,000 psi (34.47 MPa). concreto de peso normal f y = 60,000 psi (413.7 MPa)
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(Cabe señalar que este problema es similar al problema 6.4 excepto que se ha adicionado el momento torsionante.)
7.4 Una viga continua tiene las envolventes de cortante y torsión que se muestran en la figura 7.30. Las dimensiones de la viga son bw = 14 in (355.6 mm) y d = 25 in (63.5 mm). La viga está sujeta a fuerzas cortantes factorizadas Vu1 = 75,000 lb (333.6 kN), Vu2 = 60,000 lb y Vu3 = 45,000 lb. Diseñe la viga por torsión y cortante y detalle el refuerzo del alma. Considere: f c = 4,000 psi (27.58 MPa), concreto ligero f y = 60,000 psi (413.7 MPa)
El refuerzo requerido es el siguiente:
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As en el centro del claro =3.0 in 2 2
2
As en el apoyo = 3.6 in , A' s = 0.7 in
7.5 Diseñe la viga rectangular que se muestra en la figura 7.31 por flexión, cortante y torsión. Suponga el ancho de la viga b = 12 in (305 mm). Considere: fc = 4,000 psi (27,58 MPa) f y = 60,000 psi (413.8 MPa)
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7.6 Una viga exterior de borde A1-B1 que forma parte del sistema de piso monolítico
que se muestra en la figura 7.32, tiene un claro de 36 ft centro a centro y un espesor de losa h f = 6 in (152.4 mm) la cual descansa sobre vigas de 15 in
36 in
de sección transversal. La viga está sujeta a una carga viva de servicio = 50 psf (2.4 kPa). Diseñe el refuerzo por cortante y por torsión que se requiere para resistir las cargas externas íactorizadas. Considere: f ' c = 4,000 psi (27.58 MPa), concreto de peso normal f y = 60,000 psi (413.7 MPa)
Suponga que el refuerzo por flexión requerido para la viga A 1-B1 es: As en el centro del claro = 2.09 in 2
2 2
As en el apoyo = 3 in , A' s = 1.6 in
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