TOPOGRAFÍA 1. ¿Qué estudia la topografía? ¿Qué tipos de problemas resuelve? Explicar mediante un ejemplo numérico sencillo Arte de medir las distancias horizo orizonta ntales les y verti vertica cales les entr entree punto puntoss y objet objet s sobre la superficie terrestre, medir ángulos entre rectas rectas terr terrest estres res y loca localiz lizar ar puntos puntos por por medio de distancias y ángulos que hayan sido determinados según su su co conveniencia pa para ca cada ca caso. Ut Utilizando la trigonometría se calculan distancias, ángulos, direcc direccion iones, es, coorden coordenada adas, s, elev elevaci aciones ones,, áre áre s o volúmenes, según lo requiera cada ocasión. Ej: … Ej: … 2. ¿Qué utilidad tienen los teor mas del seno y del coseno ? Enu Enunc ncie ie ca cadd teorema y explique cuáles son los da datos mínimos para poder utiliza utilizarlos. rlos. ¿Para ¿Para qué se se utiliza utiliza a dicho teoremas en Topografía? ¿En qué casos NO puede utiliza izarse rse c/u c/u?? Dé un un ejempl ejemploo que per permit mitaa aplic aplicar ambos teoremas para hallar el área de un terreno. Mediante la aplicación de la t igonometría igonometría se utilizan utilizan para hallar hallar distanc distancia ia entre puntos y ángulos que conforman 2 rectas por el mé método de triangu triangulació laciónn en el caso caso de triángulo triángulos NO rectángulos.
DATOS DATO S MÍN MÍNIM IMOS OSTR TRII NGU NGU O: Teorema del seno: 2 lados y 1 ángulo 2 ángulos y 1 lado Teorema del coseno: 3 lados 2 lados y 1 ángulo
No p pu ued utilizarse c/teorema si no se cumplen estos datos mínimos
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Dic Dichos hos teo teore rema mass se se ut utiliz ilizaan para el cálculo de superficies, medición de de di tancias horizontales y verticales, asoleamiento (so bra), etc. Ej: Dado el siguiente terreno se pide medir su área. Sabiendo: AB= 15m, = 30º y ^B= 25º Por ∑de áng ángul ulos os int inter erio iore res: ^C= 180º - 30º - 25º= 125º Por teorema del seno: 15m = b → b= 7.7 m sen 125º sen 25º Por teorema del coseno: a²=b²+c²-2bc.cos a²= 7.73² + 15² + 2 . 7,73 . 15 . cos30º a= 9.16m Por fórmula de Herón (15.94-9.16) →A=√¯ 15.94 . (15.94 p= 7.73+15+9.16 = 15.94 -9.16) . (15.94-7.73) . (15.94(15.94-15) 15)¯¯ = 29m² 2 • •
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•
3. Para un terreno plano con forma de CUADRILÁTERO enumerar los datos mínimos necesarios para calcular la superficie, y dar ej mplo numérico, si: •
sin ninguna particul ridad →Se necesitan mínimo 3 lados y 1 á gulo Datos conocidos: 1 120º y 3 lados: AB= 4m, CD= 8, AC= 5 Planteo un cu drilátero interno con 2 lados paralelos, dividiiendo el terreno de forma de obtener triáng los rectángulos Por ∑de ángulos interiores: α= 120º - 90º= 30º Resolviendo d ntro del triángulo ACE con: o
o o
cos30º= AE/5 AE= 4.33 sen30º= CE/5 CE= 2.50 Conociendo C : CD - AB - CE DF DF 1.5m Con los datos obtenidos calculo las áreas de las figuras: 2 y 1 ■ ▲rectángulo AEC será bxh/2 siendo b= 2.5m y = 4.33 A= 2.5 . 4.33= 5.4 ² o
o
2
▲rectángulo BDF será bxh/2 siendo b= 1.5m y = 4.33 A= 1.5 . 4.33= 3.2 ² 2
■ ABEF será bxh A= 4 . 4.33= 17.3 ²
→ ATOTAL= 5.4m² + 3. m² +17.3m² ATOTAL≈ 26m²
•
con forma de rombo se conoce su perímetro.
Si se tiene el perímetro (ej:10m) y si del rombo todos sus lados son iguales: cada lado= perímetro (10/4= 2.5m) 4 Conociendo todos los lados, a través de la fórmula de Herón, calc lar la superficie (ej: 14m²) •
•
de un romboide
si es no rectángulo en ninguno de sus lados/ ningún lado es rec o con teodolito y cinta m. →Se necesitan mínim o 3 lados y 1 ángulo Suponiendo un terren con forma de trapecio (un par de lados op estos paralelos) y simétrico, teniendo 2 lados →A y AC medido con la cinta métrica y 1 ángul →Â= 110º
o o o
Si Â= 110º → α= 110º - 90º → α= 20º Entonces por ∑de ángulos interiores: ^C= 180º - 90º - 20º= 70 Resolviendo con:
el triángulo AEC→ se 20º= OP/6m OP= 2.05m → co 20º= ADY/6m ADY= 5.64m o
Por lo tanto, el área del ▲rectángulo AEC será bxh 2 siendo b= 2.05m h= 5.64 A= 2.05 . 5.64= 6. 6m² 2
o
o
El área del rectán ulo será: bxh → A= 10m . 5.64m= 56.4m² Al ser un trapecio simétrico: ATOTAL= 2 . (6.06m²) + 56.4m² ATOTAL = 68.52m²
ninguno de sus lados es recto / trapezoide / irregular →Se ne esitan mínimo 3 lados y 2
•
ángulos ó 2 lados y 3 ángulos
Sean AD=15, BD=5, D=8, α=35º, β=10º o
o
o
▲ACD área:
o
p= 8+15+9.6 = 32.6 →A=√¯ 32.6 . (32.6-8) . (32.6-15) . (32.6-9.6)¯ = 569.7m² 2 ▲ABD área: p= 5+15+10.1 = 15.05 →A=√¯ 15.05 . (15.05-5) . (15.05-15) . (15.05-10.1)¯ = 6.1m² 2
o
•
▲ACD teorema del coseno AC²= 8² +15² -2.8.15.cos35º AC=9.6m ▲ABD teorema del coseno AB²= 5² +15² - .5.15.cos10º AB=10.1m
ATOTAL= ▲AC + ▲ABD ATOTAL = 569.7 6.1 ATOTAL = 575.8m²
tiene 2 lados consec tivos, no congruentes forman un ángulo recto →Si conozco la medida de 2 lados y 1 ángulo (ángulo recto) es suficiente si es un romboi e. Sinó es necesario 1 lado más. tiene 2 ángulos consecutivos congruentes menores a 90º →Si conozco la medida de 2 lados, se necesita al enos 1 ángulo ó 1 lado más
•
•
tiene 2 lados congru ntes forman 90º, SOLO con una cinta métr ica →Si conozco la medida de 2 lados y 1 ángulo (90º) es suficiente
•
se conocen 3 de sus lados →Se necesita al menos 1 ángulo ó 1 ado más
RESUMEN: Área de u cuadrilátero LADOS
ÁNGULOS
4y1 diagonal 1 2≠
UADRIL TERO
PROCEDIMIE TO DE CÁLCULO
cualesquiera
fórmula de Herón
cuadrado rectángulo
L² bxh se traza 1 diagonal, teor ma del coseno, la fórmula de Her n, áreax2 se traza 1 diagonal, teor ma del coseno, la fórmula de Herón en cada 1 /2 y sumar ambos ▲ cuadrilátero interno, calu lar los lados de los triángulos rectángulos generados, l ego sus áreas con b xh/2 y las sumo al del cuadrilátero interno. se traza 1 diagonal, teor ma del coseno, la fórmula de Herón en cada 1 /2 y sumar ambos ▲
1
1
rombo
2
1
romboide
3
1
trapecio
2 3
3 2
trapezoide
4. ¿Cómo se puede determinar la altura de un edificio con un teodolito y u a cinta métrica cuando no se acceder al edificio? Suponer ue el terreno es plano. Con el teodolito, el obser ador en la posición A, efectúa una visual al punto más alto el edifico y se determina el ángulo α= 60º Dado que es posible mediir, mediante la cinta métrica, la distancia desde A al edifici = 5m, se establece su altura mediante: o
o
tg α= h/d → h= d . tg α h= 5m . tg 60º h= 8.66m 5. Calcular la distancia entre do puntos sobre un río, estando el observado en la orilla y contando sólo con teodolito y cinta métrica
