Termodinamica Tercera Edicion Jose Angel Manrique Valadez

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Antonio Caso 142, San Rafael, Delegación Cuauhtémoc, C.P. 06470, México, D.F. Te!': 55924277, Fax : 57053738, e-mail: [email protected] Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford. Promueve el objetivo de la Universidad relativo a la excelencia en la investigación, erudición y educación mediante publicaciones en todo el mundo ero Oxford New York Auckland Cape Town Dar es Salaam Hong Kong Karachi Kuala Lumpur Madrid Melboume Mexico City Nairobi New Delhi Shanghai Taipei Toronto Con oficinas en Argentina Austria Brazil Chile Czech Republic France Greece Guatemala Hungary ltaly Japan Poland Portugal Singapore South Korea Switzerland Thailand Turkey Ukraine Vietnam Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y otros países. Publicado en México por Oxford University Press México, S.A. de C.v. División: Universitaria Área: Ingeniería Sponsor editor: Jorge Alberto Ruiz González Producción: Jorge A. Martínez Jiménez TERMODINÁMICA Todos los derechos reservados © 2001, respecto a la tercera edición por Oxford University Press México, S.A. de C.Y. Ninguna parte de esta publicación puede reproducirse, almacenarse en un sistema de recuperación o transmil.irse, en ninguna forma ni por ningún medio, sin la autorizac.ión previa y por escrito de Oxford University Press México, S.A. de C.V. Las consultas relativas a la reproducción deben enviarse al Departamento de Derechos de Autor de Oxford University Press México, S.A. de C.v, al domicilio que se señala en la parte superior de esta página. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, registro número 723 . ISBN 970-613-633-9 A/faomega Grupo Editor es distribuidor exclusivo para todos los países de habla hispana de esta coedición realizada entre Oxford University Press México, S.A. de C. V. y A/faomega Grupo Editor. S.A. de C. V. ISBN 970-15-1160-3 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.Y. Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100, México, D.F. Impreso en México Cuarta reimpresión : octubre de 2005 Esta obra se tenninó de imprimir en octubre de 2005 en Offset Visionary, S. A. de C. v., Martin de la Plata, lote JO, manzana 42, Col. Fuego Nue~o, México, D.F., sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g. El tiraje fue de 2 000 ejemplares.


índice de contenido

Prólogo . . . . .. .. . ..... .. .. . .......... .... .. . .... . .. .. ....... . .... .

1

2

xi

Dimensiones y unidades 1.1 Dimensiones .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 7 7

Conceptos y definiciones ..... . .......... . .. ... ........ .

9

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad ......... ........... ... .. .. . .. ... . . ... .... ..... . .... Estado, equilibrio, proceso y trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . .... . .. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas ..... ... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 12 13 14 16 20 21 24


vi Termodinámica

3

4

5

La primera ley de la termodinámica

25

3.1 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Trabaja en un sistema cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Trabajo en un sistema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 La primera ley de la termodinámica en un sistema cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Entalpía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 La primera ley de la termodinámica en un sistema abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 La primera ley de la termodinámica para cualquier sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Máquinas térmicas y eficiencia. Refrigeradores y coeficiente de funcionamiento . . . . 3.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 28 35 40 42 47 48 . 54 59 62 65 69

Equilibrio entre fases ........... .. ... . . .... .. ... . . . . .... . . . ..

7I

4.1 Equilibrio líquido-vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Diagrama presión-temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Diagrama presión-volumen . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Diagrama presión-entalpía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Diagrama temperatura-volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Diagrama de fases . . ... ... ..... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Tablas de propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Calores específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Coeficiente de Joule-Thomson . . ... .. ............... .. . ... ... ....... 4.6 Coeficiente de expansión volumétrica. Coeficiente de compresibilidad isotérmica ...................... ' .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Resumen... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

71 72 72 78 79 81 82 93 94

Ecuaciones de estado 5.1 5 .2 5.3 5.4 5.5 5.6

Gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor de compresibilidad z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ecuación de Redlich-Kwong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ecuación de Beattie-Bridgman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Otras eCl)aciones de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

95 97 98 104

99 106 125 130 136 138 139


Índice de contenido

6

7

8

9

vii

5.7 Resumen.. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 142 145

La segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias

147

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6 .6 6.7 6.8

148 149 154 161 165 171 178 181 183 187

La segunda ley de la termodinámica .. .. .... .. .. . ...... . . . .. . . .. . .. . . Procesos reversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Fricción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de Carnot ...... . ... . .. .. . ... . .... ... .. .. ......... . .. .. Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escala termodinámica de temperatura absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Otros ciclos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Entropía . . .......... . .. . ...... . . .... .. . ...... . .. . ... . .

189

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Desigualdad de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de incremento de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La entropía como función de otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diagrama temperatura-entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama entalpía-entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Balance general de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

189 193 200 204 210 219 224 237 239 244

Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad . . .. . . . . . .

245

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

246 253 257 265 270 276 280

Energía disponible ....... .. .... .. .. . ............ ... .. . . .. . . . . . .. Funciones de Helmholtz y de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Trabajo máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Disponibilidad .. . ........ . .. .. . . ... . ...... .. .. ...... ...... .. ... Balance de disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

Relaciones termodinámicas generales

289

9.1 Principios básicos de las derivadas parciales

289


viii

Termodinámica

9.2 9.3 9.4 9 .5 9.6 9.7 9 .8 9.9

Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Calores específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Energía interna, entalpía y entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Bridgeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ecuaciones de desviación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Cambio de fase ........ . .... . ... . .. . .... . . . . . .. .... . . .... . .. . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Ciclos termodinámicos 10.1 Ciclo Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ciclo Diesel estándar de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10.3 Ciclo dual estándar de aire . .. . ... .. .. .. .. .. . . .... . .. . . . . . ... .. . . 10.4 Comparación de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10.5 Ciclo Brayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10.6 Ciclo Brayton con regeneración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Ciclo Rankine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Ciclo Rankine con regeneración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10.9 Ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10.10Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

11 Mezclas no reactivas 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

11.7 11.8

293 297 305 310 312 317 322 324 325 330

33 1 331 342 348 351 353 368 375 384 390 392 393 40 1

Fracción de masa y fracción molar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Presión parcial y volumen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . 403 Energía interna y entalpía. Calores específicos. Entropía .. ... . . . ....... . . 406 Mezclas de gases ideales con un vapor condensable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Humedad relativa. Humedad específica .. . .... . .. . . . ... .. .... ... . .. . 414 Temperaturas empleadas en la determinación de las propiedades del aire ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11 .6.1 Temperatura de bulbo seco .. . .... . ........ . ..... . .... . . .. . 417 11 .6 .2 Temperatura del punto de rocío . . .. . . .. . . ..... . ..... ... . . . . . 417 11 .6 .3 Temperatura de saturación adiabática .. . ..... ... . . . . ... .. .. .. . 417 11.6.4 Temperatura de bulbo húmedo ... ....... . .... .. . .. . .. . . .. . . 420 Carta psicrométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Resumen . ...... .. ..... . . . . . ........ .. .. ... .. .. . . . .. .. .. .. . . 427 Problemas . ... ... .. . . . . .......... .. ..... . . ... . . . .... . . . .... . 429 Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431


Índice de contenido

433

12 Principios de combustión 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

ix

. . . . . . .

433 440 445 448 450 451 452

13 Equilibrio termodinámico ...... . .. . ... . . .. .. ... . . .. .. . . . . . . . .

453

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8

Ecuaciones de combustión . ..... . .. . .. . ............. . ........ . . Calor de combustión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entalpía de reacción. Entalpía de formación . . .. ..... .. . . ..... .. . . ... Temperatura teórica de flama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen .. .... .. . . . .. ... ... ... .... . . .. ... .. ...... ... ... .. . Problemas .. .... .. ..... . .... .... ... ....... . .... . ... .. . . . . .. Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Criterio de equilibrio .. . .... .. .. .. . .. . .. .... . . ... . . . ... .. .... . . . Relaciones entre propiedades para una mezcla con composición variable .. . . . Propiedad parcial molal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia de K con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatura de equilibrio de la flama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equilibrio entre fases de una sustancia pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Resumen ...... .... .. . .... . .. .. ......... . .. . . . . . . .... .. . .. . . Problemas . .... .... ... . . . . . . ...... .. .... . . . .... .......... . .. . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

Velocidad del sonido . . .... .. . .. .. Flujo isoentrópico . . . . . . . . . . . . . . . Línea Rayleigh '. . . . . . . . . . . . . . . . . Línea Fanno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condiciones de choque normal . . . . . Resumen ' .' . ..... .. ...... . . .. . Problemas . .. . ... ... . ..... . ... Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . ... . . . ........... ........... ........... ........... . .' .. . . . .... . ... .... ... ...........

. .. ........... .. . . .................. .................. .................. .................. . .... ........ ... . . . .. . .... . . .. .. .... ..................

. . . . . . . .

15 Transferencia de calor 15.1 15.2 15.3 15.4

Generalidades . .. .. ... .. .. .... . . ....... . . . . . ....... .. Conducción de calor unidimensional en estado estable . . . . . . . . . . Transferencia de calor por convección .... . .. .. ........ ... .. Transferencia de calor por radiación .......... .. . . . .. . . . . .. .

471 472 474

475

14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos . . ... . . . . .... 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5

453 455 458 459 463 468 469

475

479 488

491 495

497 498 499 50 1

. . . .

. . .. . . ...... .. .. .. . .. .. .

. . . .

501 505 514

516


X

Termodinámica

Resumen . Problemas . Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

520 521 522

.

523

Vapor de agua saturado . Vapor de agua saturado . Vapor de agua sobrecalentado . Propiedades del refrigerante 22(R-22) en condiciones de saturación . Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Diagrama de Mollier para el agua . 2 Diagrama de temperatura-entropía del agua . 3 Diagrama presión-entalpía del refrigerante 22 . 4 Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a . 5 Diagrama temperatura-entropía para diclorodifluorometano .

524 525 526 530

15.5

Apéndice Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla

Al A2 A3 A4 A5

Figura Figura Figura Figura Figura

B. B. B. B. B.

índice Analítico

.

533 536 537 538 539 540

541

Tal VE inqen' las dif forma O este ti acadé E tres s estud seme: pro/U lo COI pero

dad d prime do cu te pU de dií L Tecn


Prólogo

Tal vez la termodinámica es una de las disciplinas de mayor trascendencia en la educación del ingeniero. Esta materia trata acerca de la transformación de la energía y sus limitaciones, así como de las diferentes propiedades de las sustancias. Por esta razón, en esta obra se ha intentado cubrir en la forma más amplia posible los aspectos más importantes de la termodinámica clásica. Desde luego, el lector se preguntará por qué una nueva obra sobre esta disciplina; sin embargo , este texto trata de presentar la maJeria de la forma más clara y sencilla posible sin sacrificar el rigor académico, complementado con numerosos ejercicios resueltos . En general, la materia puede estudiarse en dos o tres cursos semestrales con una frecuencia de tres sesiones de una hora por semana. Los temas que abarca el texto pueden estar destinados a estudiantes de ingeniería que cursen la licenciatura y a estudiantes de posgrado en los primeros semestres que deseen reafirmar o ampliar sus conocimientos sobre la materia. Por supuesto, la profundidad con que se traten los diferentes temas queda a discreción del profesor de la materia. Por lo común, el capítulo sobre transferencia de calor se omite en todos los cursos de termodinámica , pero aquí se presenta solamente como un complemento para los estudiantes que no tienen oportunidad de hacer un curso formal. Inicialmente pueden cubrirse los temas más importantes de los siete primeros capítulos en el primer curso de nivel licenciatura, y dejar el material restante para un segundo curso de termodinámica. Cada capítulo termina con diferentes problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar los conocimientos adqUiridos. En general, estos problemas difieren en el grado de dificultad y por esta razón se incluyen algunas respuestas. Los autores han tenido la fortuna de impartir este curso a estudiantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores d~ Monterrey durante varios años. Su paciencia, sugerencias y


xii Termodinámica

comentarios han contribuido de manera significativa a la mejor presentación del material. Esperamos que esta obra refleje sus inquietudes y,estimule aún más su interés por la materia. Muchas personas han aportado valiosos comentarios y sugerencias. Los autores desean expresar especialmente su gratitud al Dr. Miguel Olarte, de la Universidad de América, en Colombia, quien revisó todo el manuscrito e hizo invaluables recomendaciones. Nuestro reconocimiento también a los ingenieros Antonio Pavón y Antonio Bazaldúa, de la Universidad Iberoamericana, y a José Castrezana Sánchez, del Instituto Politécnico Nacional por sus inapreciables comentarios. Asimismo, deseamos agradecer la inspiración recibida de nuestro querido maestro, el Ing. Juan A. González Aréchiga. Deseamos también dejar constancia de la importante cooperación y apoyo que nos proporcionaron los editores de Oxford University Press, y reconocer su profesionalismo en la producción de esta obra. Finalmente, los autores desean expresar su agradecimiento a la Sra. Juanita Yolanda Valdez de Salinas, por su valiosa ayuda en la preparación del manuscrito para esta segunda edición.

JOSÉ RAFAEL

A. S.

MANRIQUE CÁRDENAS


Termodinámica

/



1 Dimensiones yunidades Cuanto más altos estemos , más humildes debemos ser. CICERÓN

Antes de emprender el estudio de la Termodinámica, conviene recordar brevemente algunos conceptos básicos sobre dimensiones y unidades. Estos conceptos son de gran utilidad, ya que la solución de las ecuaciones que interesan a un ingeniero supone la comprensión de estos términos.

1.1 Dimensiones Dimensión es el nombre que se da a una cualidad o característica física. Las dimensiones o cualidades pueden ser fundamentales o básicas y secundarias o derivadas. Algunos ejemplos típicos de las primeras son la longitud (L), la masa (m), el tiempo (t) y la temperatura (T), entre otras. Estas dimensiones, al ser fundamentales, deben aceptarse como punto de partida para poder describir otras cualidades o características. Los ejemplos de las segundas son innumerables, como el área, cuya definición y medida es el cuadrado de una longitud (L2); el volumen, cuyas dimensiones son el cubo de una longitud (P), etc . Las dimensiones secundarias por lo general se. obtienen a partir de leyes o principios universales. Por ejemplo, si la fuerza (F) no se considera como dimensión fundamental puede definirse por las dimensiones básicas de masa, longitud y tiempo, mediante la segunda l~y de Newton:

_ mL F- 2 t Por otro lado, si se incluye también la fuerza (F) como dimensión fundamental, la expresión F = ma es incorrecta, puesto que no hay homogeneidad dimensional. En efecto, cualquier ecuación que relacione


2

Termodinámica

cantidades físicas debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, las dimensiones de los términos de un lado de la ecuación deben ser iguales a las del otro. Aquí puede anotarse que la homogeneidad dimensional no se afecta con operaciones matemáticas como la diferenciación o la integración, y sólo cuando las cantidades tengan las mismas dimensiones pueden sumarse algebraicamente. Así, en este caso en que la fuerza es dimensión fundamental, la segunda ley de Newton se escribe así:

1

F=-ma gc

donde gc es una constante dimensional y no sólo un factor de conversión, y sus dimensiones son mL/Ft2• Por consiguiente, la expresión

:ftJ (m)-

(F)=

t2

mL

=(F)

F~

es dimensionalmente homogénea.

1.2 Unidades La realización de cálculos numéricos con ecuaciones que relacionen cantidades físicas , requiere también el uso de unidades y, además, que las expresiones utilizadas sean homogéneas no sólo en sus dimensiones, sino también en sus unidades. Por unidad se entiende una magnitud arbitraria de una dimensión, empleada como estándar para propósitos de medición o cálculo. En la tabla 1.1 aparecen ejemplos típicos de unidades para algunas dimensiones. Tabla 1.1. Unidades típicas de algunas dimensiones. Dimensión

Unidades

Longitud

metro, centímetro, milímetro, pie, pulgada

Masa

kilogramo, gramo, tonelada, libra, slug

Tiempo

segundo, minuto, hora, día

Temperatura

grados Celsius, Kelvin, Fahrenheit, Rankine

1.3 Sistemas de unidades En la práctica se utilizan diversos sistemas de unidades que difieren básicamente en el número de dimensiones fundamentales y en las unidades adoptadas.


1 Dimensiones y unidades

3

El Sistema Internacional de unidades es un conjunto coherente que se utiliza para medir propiedades físicas, donde la unidad para cualquier propiedad está relacionada de manera directa con un número pequeño de unidades básicas a través de un coeficiente unitario. Este sistema, conocido también como el Systéme International d'Unités, a menudo llamado SI, fue promulgado en 1960 por la Undécima Conferencia General Sobre Pesos y Medidas; después fue perfeccionado en 1964 y 1967. Dicho sistema se adoptó en la escala internacional (ISO R 1000-1969) y contiene siete dimensiones y unidades fundamentales y dos dimensiones y unidades suplementarias, como se indica en las tablas 1.2 y 1.3. Tabla 1.2. Dimensiones y unidades fundamentalesen el SistemaInternacionalde unidades. Nombre

Unidad

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

kelvin

K

Corriente eléctrica

ampere

A

Intensidad luminosa

candela

cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

Temperatura

termodinámica

Tabla 1.3. Dimensiones y unidades suplementariasen el Sistema Internacionalde unidades. Nombre

Unidad

Símbolo

Ángulo plano

radián

rad

Ángulo sólido

estereorradián

sr

Pueden obtenerse centenares de dimensiones y unidades derivadas con base en las dimensiones y unidades fundamentales adoptadas. A continuación se describirán algunas de ellas: Fuerza. El newton, N, es la fuerza ejercida sobre una masa de un kilogramo para acelerarla exactamente un metro por segundo por segundo. Energía. La unidad de energía en el Sistema Internacional de unidades es el joule, J. Por definición, 1 joule = 1 newton metro, J = Nm Potencia. La unidad de potencia es el watt, W. Por definición, 1 watt

=

1 joule/segundo, W

=

J/s

Presión. Puesto que la presión se define como una fuerza por unidad de área, la unidad de presión en el Sistema Internacional de unidades es el newton/metro-. Es decir, 1 pascal = 1 newton/rnetro-,

Pa = N/m2


4

Termodinámica

Sin embargo, dada su pequeñez numérica, el Sistema Internacional recurre a otra unidad de presión llamada bar", esto es: 1 bar = 105 Pa En la tabla 1.4 se presentan otras de las dimensiones y unidades propias de la termodinámica. Tabla 1.4.

Algunas dimensiones

y unidades

derivadas

en el Sistema Internacional

de unidades.

Nombre

Unidad

Símbolo

Aceleración

metro por segundo por segundo

M/S2

Aceleración angular

radián por segundo por segundo

rad/s"

Area

metro cuadrado

m2

Calor especifico

joule por kilogramo kelvin

J/kg K

Carga eléctrica

coulomb

C

Densidad

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Energia, trabajo

joule

J

que

Entropia

joule por kelvin

J/K

factor

Entalpia

joule por kilogramo

J/kg

Frecuencia

hertz

Hz

Fuerza

newton

N

Potencia

watt

W

Presión

pascal

Pa

Resistencia eléctrica

ohm

Q

Temperatura

grado Celsius

°C

Velocidad

metro por segundo

mis

Voltaje

volt

V

Volumen

metro cúbico

m3

Volumen especifico

metro cúbico por kilogramo

m3/kg

E ingen SI

Algunas de las unidades de la tabla anterior resultan ser de poco interés práctico en algunas situaciones físicas. La tabla 1.5 es una lista de prefijos utilizados en la formación de múltiplos y submúltiplos. En la tabla 1.6 aparecen otras unidades utilizadas en el Sistema Internacional de unidades. * A través de todo el texto se usará el bar como unidad de presión. Esta unidad, muy común en este tipo de obras, tiene un factor de conversión prácticamente unitario con el de otros sistemas de unidades empleados en la práctica (1 atm = 1.0332 kg,lcm2 = 1.01325 bar). Esto último permite al estudiante familiarizarse sin dificultad con el orden de magnitud en este parámetro.

EJel1

Calc valor


1 Dimensiones y unidades

5

Tabla 1.5. Prefijosempleados en el Sistema Internacionalde unidades. Prefijo

Símbolo

teragigamegakilohectodecadecicentimilirnícronanopico-

T G M k h da d e m

Il n P

Múltiplo

1000000000000 = 1012 1 000000000 = 109 1 000000 = 106 1000 = 103 100 = 102 10 = 101 0.1=10-1 0.01 - 10-2 0.001 = 10-3 0.000 001 - 10-6 0.000 000 001 - 10-9 0.000000000001 - 10-12

Existen otros sistemas de unidades muy usados en la práctica, entre ellos, el Sistema Inglés ingenieril y el sistema métrico gravitacional. Sin embargo, el Sistema Internacional de unidades es el que se adopta en este texto debido a su amplia aceptación. En la tabla 1.7 aparecen algunos de los factores de conversión más usados. Tabla 1.6. Otras unidades empleadas en el Sistema Internacionalde unidades. Nombre

Símbolo

Valor

bar

bar

1 bar = 0.1 MPa = 105 Pa

día

d

1 d = 24 h 10

grado

=

86 400 s

= n/180 rad

hectárea

ha

1 ha = 1 hm" = 104 m2

hora

h

1 h = 60 min = 3600 s

litro

L

1 L = 1 drrr' = 10-3 m3

minuto minuto

min

1 min l' = 1/60

0

=

60 s

= n/lO 800 rad

segundo

1" = 1/60' = n/648 000 rad

tonelada

1 t = 103 kg

Ejemplo 1.1 Calcule la presión barométrica de la ciudad de Monterrey en unidades del Sistema Internacional, si el valor correspondiente es de 28.2 pulgadas de mercurio.


6 Termodinámica

Solucl Tabla 1. 7. Factores de conversión.

Utiliza

Dimensión

Factor de conversión

Aceleración

1 m/s?

Área

1 m2

Calor específico Densidad Energía. trabaja

Entalpía Fuerza Longitud

Masa Flujo másico Potencia

Presión

Temperatura Diferencia de temperatura Velocidad Volumen

Flujo volumétrico

= 4.2520 x 107 pie/h2 = 3.2808 píe/s" = 1550 plg2

= 10.764 pie2 1 J/kg K = 2.3886 X 10-4 Btu/lbmoF 1 g/cm3 = 62.428 Ibm/pié 1 kg/m3 = 0.0622428 Ibm/pié 1J = 0.7375 lb.pie = 9.4787 x 10-4 Btu = 2.3883 x 10-4 kcal = 4.2992 x 10-4 Btu/lb m 1 J/kg IN = 0.22481 Ibr 1m = 39.370 plg = 3.2808 pie = 1.0936 yd = 6.2137 x 10-4 mi 1g = 2.2046 X 10-3 lbm 1 kg = 2.2046 lbm 1 kg/s = 7936.6 Ibm/h 1W = 0.73756 lb, pie/s = 2.6552 x 103 lb.píc/h = 3.4144 Btu/h = 9.4845 x 10-4 Btu!s = 1.3410 x 10-3 hp = 1.4504 x 1O-4Ib/plg2 1 Pa = 0.020886 lb/pie2 = 4.015 x 10-3 plg HzÜ = 2.953 x 10-4 plg Hg = 101.3 kPa 1 atm 1 atm = 760 torr 1 bar = 105 Pa = (5/9)(OF + 459.67) 1K = °C + 273.15 1K = 1°C 1 mis = 3.2808 pie/s = 2.237 mi/h = 6.1024 x 104 plg3 1 m3 = 35.315 pie3 = 1.3080 yd3 =264.17 gal (EUA) = 1.2713 x 105 pié/h 1 m3/s = 2.1189 x 103 pié/min = 1.5859 x 104 gal/min

Ejem

Una sr Soluc

Utiliza

Prot 1.1

1

1.2

1.3

Ref4

LB


1 Diménsiones y unidades

7

Solución Utilizando la tabla 1.7,

p

=

28.2 4 2.953 x 10-

= 955 mbar

Ejemplo 1.2 Una superficie de 1 pie cuadrado de área disipa calor a razón de 2 Btu!h. Calcule esta disipación en W/ m2.

Solución Utilizando la tabla 1.7, 2 Btujh pie 2

= (2)(10.746) = 6.3 Wjm 2 3.4144

Problemas

1.1 Un cuerpo tiene una masa de 10 kg m • Calcule su peso en newtons en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9.8 m/ s2. Respuesta: 98 N.

1.2 Un cuerpo tiene una masa de 10 lbm . Calcule su peso en libras fuerza en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 32.174 pie/ 52. Respuesta: 10 lb f •

1.3 Un líqUido tiene una densidad de 0.7 kg/ dm 3 . Calcule el volumen específico. Respuesta: 1.428 dm 3 /kg .

Referencias

1. Black, William Z., James G. Hartley, Termodinámica , CECSA, México, 1989.



Conceptos ydefiniciones Dondequiera que haya un ser humano existe cierta

probabilidad de bondad. SÉNECA

La termodinámica es la ciencia que trata de la transformación de la energía y de las propiedades de las sustancias involucradas. La termodinámica interviene prácticamente en todos los campos de la ingeniería. En motores de combustión interna es de suma importancia: mediante un análisis termoqinámico se puede calcular, para una potencia dada, la cantidad de aire y combustible necesarios, la cantidad y composición de los productos de combustión, los requisitos de enfriamiento, con base en los cuales posteriormente se calcula el si~tema de refrigeración por aire o agua, etc. Dentro de los estudios de refrigeración y aire acondicionado, la termodinámica juega también un papel de suma importancia: mediante un análisis termodinámico se puede seleccionar el tipo de refrigerante más apropiado dadas las necesidades de refrigeración, la potencia necesaria que requiere el compresor para una capacidad de refrigeración específica, los requisitos de calor en el evaporador y en el condensador y el control de la humedad en el aire ambiente, entre otras cosas. En una planta generadora de vapor también destaca la importancia de los estudios termodinámicos: mediante cálculos apropiados se puede establecer la cantidad de combustible necesario, la potencia suministrada por la turbina de vapor, el cálor disipado en el condensador, etcéter~. La lista de ejemplos es prácticamente interminable, y sólo se han mencionado estas cuantas aplicaciones con el objeto de hacer resaltar la importancia de todos los estudios termodinámicos. La termodinámica se relaciona de manera directa con otras disciplinas de transporte, como son la transferencia de calor y la mecánica de fluidos: mediante un análisis termodinámico se pueden predecir los requisitos de calor en un intercambiador de calor; sin embargo, esta disciplina no reporta información con respecto al tamaño del intercambiador mismo, al número de tubos o al diámetro y material de los mismos. Esta información la suministran la transferencia de calor y la mecánica de


10

Termodinámica

fluidos. De manera análoga, la termodinámica predice composiciones de equilibrio para mezclas reactivas, y con ayuda de la cinética química determina las velocidades de reacción . Como en toda disciplina, es necesario establecer de antemano las "reglas del juego" con el objeto de sentar los cimientos en que van a descansar los estudios sucesivos.

2.1 Sistema

I

t

Un sistema termodinámico es una porción de espacio o cantidad de materia que se selecciona para propósitos de análisis. Todo lo ajeno al sistema se conoce como alrededores y el límite real o hipotético entre el sistema y los alrededores se denomina fronteras o límites del sistema. De lo anterior se desprende que prácticamente cualquier cosa es un sistema. Así, un motor de automóvil, una caldera, una bomba de agua, un motor de avión, una turbina, un compresor, una planta de vapor, etc., son sistemas . Empero, hay que destacar que la selección apropiada de un sistema es de suma importancia, puesto que en él se fija la atención cuando se hace el análisis; a consecuencia de una selección inapropiada pueden hacerse necesarios ciertos cálculos sumamente complejos o inútiles. Los sistemas termodinámicos generalmente se clasifican en dos grandes categorías: sistemas cerrados y sistemas abiertos. Se dice que un sistema es cerrado si no hay transferencia de masa entre él y sus alrededores. En la figura 2.1 aparece el esquema de un sistema cerrado. Por el contrario, en un sistema abierto hay realmente transferencia de masa entre el sistema y sus alrededores, como puede verse en la figura citada. Puede ser que en un sistema abierto el cambio neto de masa sea igual a cero , es decir, que el flujo de masa que entra en el sistema sea igual al flUjo de masa que sale de él; sin embargo, el sistema es abierto, puesto que existe transferencia de masa en algunas porciones de sus límites o fronteras . Algunos ejemplos típicos de sistemas cerrados son: el gas contenido en un cilindro, el aire que hay dentro de un globo, el de un neumático, etc. Como sistemas abiertos comunes se pueden mencionar: una bomba de agua, un motor de automóvil, una turbina o un compresor, entre otros . En algunas circunstancias, un sistema puede ser abierto y cerrado de forma simultánea a medida que el tiempo transcurre. Un ejemplo típico es el cilindro de un motor de combustión interna. Al observar su operación, adviértase que durante los primeros 1800 de giro del cigüeñal, la válvula de admisión permanece abierta y admite una mezcla de aire y gasolina en el cilindro . Durante esta carrera de admisión, considerando como sistema los gases contenidos en el cilindro, el sistema es abierto, ya que hay transferencia de masa entre los alrededores y el sistema a través de la válvula. Por otra parte, durante los siguientes 180 0 de giro del cigüeñal, ambas válvulas de admisión y escape permanecen cerradas . En consecuencia, la mezcla de aire y gasolina previamente admitida en el cilindro se comprime. Dado que no hay transferencia de masa durante esta carrera de compresión, el sistema es cerrado. Al llegar el pistón a su posición máxima, una chispa eléctrica enciende la mezcla combustible y el pistón es lanzado hacia afuera. Durante estos 180 0 de giro del cigüeñal ambas válvulas permanecen cerradas y a lo largo de esta carrera de expansión el sistema se comporta como un sistema cerrado, puesto que no hay transferencia de masa entre el sistema y los alrededores. Por último, la válvula de escape se abre y durante los siguientes y últimos 180'? de giro del cigüeñal, los productos de combustión son expulsados a la atmósfera. Aquí el sistema se comporta como un


2 Conceptos y definiciones

I

11

I

Peso Émbolo

I:":---~:':'~:-':"":'"'":'I l.·

··.·.·.·

•.

··1

l

Alrededores

'--

l.·.·.·.

Gas

l.·.·.·

Límites del sistema

·1 ·.·.·.·1

l.·.·.·.·.·.·.·.·.·.

·1

l.·.·.·.·.·.·.·.·.·.

·1

Sistema cerrado

rr----Límites

r----I

I

-------------

-

I

-

-

del sistema

1

1

I

1

1 1

I

Gasolina

1\: Flecha

I

••

Sistema abierto (Motor de automóvil)

.4-- I

Agua

1 1

1

1

1

T

I

1 I

V

Productos de combustión

•

1 L

4

Agua

Alrededores

Figura 2.1. Sistemas abierto y cerrado.

sistema abierto. En la figura 2.2 se presenta en forma esquemática la secuencia de operaciones de un motor de gasolina de cuatro tiempos y un solo cilindro, tal como el descrito aquí. En resumen, la única diferencia entre un sistema abierto y uno cerrado estriba en que en el primero hay transferencia de materia entre el sistema y sus alrededores, mientras que en el segundo no la hay. Existen algunos sistemas cerrados en los que si no se presenta transferencia de masa entre el sistema y sus alrededores, tampoco ocurre interacción alguna de tipo energético entre el sistema y sus alrededores. Este tipo de sistemas cerrados se conoce como sistemas aislados. Aun cuando la termodinámica se ocupa de toda clase de sistemas de distinta complejidad, en esta obra se tratará sólo de sistemas simples, entendiéndose por tales los que no están bajo la influencia de efectos eléctricos, magnéticos o gravitacionales, de capilaridad o anisotropía.


12 Termodinámica

ADMISiÓN

COMPRESiÓN

Múltiple de admisión

Escape

EXPANSiÓN

ESCAPE

Figura 2.2. Motor de gasolina de cuatro tiempos.

2.2 Propiedad Una propiedad termodinámica es una característica de un sistema que puede observarse de maner.a directa o indirecta, y no depende de la historia. Como características observables directas se pueden mencionar la presión, la temperatura, el peso, el volumen, etc. Algunas características observables de forma indirecta son el producto de la presión por la temperatura y de la presión por el volumen específico, entre otras. La edad de un sistema no es una propiedad termodinámica, ya que es necesario investigar la fecha de su creación y por tanto, hace falta recurrir a su historia. Por lo general, las propiedades termodinámicas se clasifican en dos grandes categorías: propiedades intensivas y propiedades extensivas.



13

Las propiedades intensivas no dependen de la masa del sistema; por ejemplo, la temperatura, la presión, la densidad, el volumen específico, por mencionar algunos. En el caso de un sistema homogéneo, una propiedad intensiva tiene igual valor en todo el sistema y en cualquier parte de él. Por otro lado, las propiedades extensivas sí dependen de la masa del sistema. Por ejemplo, el volumen y el peso. Es decir, el valor de una propiedad extensiva en todo el sistema es igual a la suma de valores de las diferentes partes que lo constituyen. Si el valor de una propiedad extensiva se divide entre la masa del sistema, la propiedad resultante se conoce como propiedad específica. Por ejemplo, el volumen específico (propiedad intensiva) resulta de dividir el volumen entre la masa.

2.3 Estado, equilibrio, proceso y trayectoria La descripción completa de la condición o estado de un sistema en un instante dado se hace a través de sus propiedades termodinámicas. Por consiguiente, el estado de un sistema queda identificado por el conjunto de valores que tienen las propiedades termodinámicas en ese instante. Por otra parte, el sistema se encuentra en estados idénticos si las propiedades son las mismas en dos estados de tiempo diferentes. Después se demostrará que dos propiedades intensivas independientes son suficientes para determinar el estado termodinámico de una-sustancia pura ~n un sistema simple. Generalmente la presión y la temperatura, la presión y el volumen específico o la temperatura y el volumen específico son propiedades que se utilizan para definir un estado. Por ejemplo, si se considera el calentamiento de agua a presión constante, la presión y la temperatura son dos propiedades intensivas independientes que fijan en cada instante el estado del agua. Además, en cuanto principia la ebullición del agua, la presión y la temperatura dejan de ser independientes, puesto que dependen una de la otra y ya no son suficientes para fijar el estado termodinámico. Así, veremos después que la presión y el volumen específico son dos propiedades independientes que fijan en este rango el estado termodinámico. Debe observarse que la densidad y el volumen específico no son propiedades independientes, ya que son recíprocos y nunca son suficientes para fijar el estado termodinámico de una sustancia pura. Se dice que un sistema se encuentra en estado de equilibrio termodinámico si es incapaz de experimentar de manera espontánea algún cambio de estado con las condiciones que le imponen los alrededores. En otras palabras, un sistema está en equilibrio termodinámico si, al ser aislado, no experimenta ningún cambio de estado, esto es, si las propiedades termodinámicas no varían con el tiempo. Esto implica que la temperatura debe ser la misma en todo el sistema (equilibrio térmico). De otra manera, se establecería un flujo de calor en el interior del mismo al ser aislado. De manera análoga, el equilibrio termodinámico presupone que los esfuerzos (equilibrio mecánico), potenciales eléctricos (eqUilibrio eléctrico) y potenciales químicos (equilibrio químico) son iguales en todo el sistema. Una condición necesaria, pero no suficiente, para que un sistema esté en equilibrio termodinámico, es que sea homogéneo o que esté constituido por varias partes homogéneas que se mantengan en contacto. Un proceso ocurre cuando el sistema pasa de un estado termodinámico a otro. Dado que las propiedades no dependen de la historia, el cambio de cualquier propiedad entre dos estados termodinámicos es independiente del proceso. Un ciclo es un proceso o conjunto de procesos que hacen regresar el sistema al estado que tenía a.ntes de que ocurriera el proceso. Por consiguiente, en un ciclo


14 Termodinámica

termodinámico todas las propiedades adquieren los mismos valores iniciales una vez concluido. En forma analítica, si x es cualquier propiedad termodinámica, ~dx =

O

La trayectoria es el conjunto de estados que atraviesa un sistema al realizarse un proceso.

2.4 Presión Este concepto es de suma importancia y conviene analizarlo de forma detallada. Aun cuando básicamente la presión se define como fuerza por unidad de área, es importante distinguir los distintos tipos de presiones utilizados comúnmente. Es un hecho conocido que la atmósfera ejerce una presión sobre la superficie terrestre. En general esta presión está determinada por la altura. Así, se dice que la presión atmosférica estándar en el nivel del mar es de 1013.25 mbar (760 mm Hg). Por otra parte, al ganar altura, disminuye la presión. A 500 m de altura la presión atmosférica es de 955 mbar, y a 9000 m de altura la presión es de sólo 307 mbar. Puesto que la presión atmosférica por lo regular se mide con un barómetro, recibe también el nombre de presión barométrica. En un sistema por lo regular la presión se mide con un manómetro, ya sea de tipo Bourdon como el que aparece en la figura 2.3 , o de columna de agua, u otro tipo, y puesto que la lectura que proporciona este instrumento depende generalmente de la presión atmosférica, es necesario definir una presión absoluta con respecto a un nivel de presión igual a cero. La presión que registra un manómetro se denomina presión manométrica. Por tanto, la presión absoluta en un sistema e.s igual a la suma de la presión manométrica más la presión barométrica o atmosférica del lugar. Esto es , presión absoluta

=

presión manométrica + presión barométrica

Como ejemplo, supóngase que la presión absoluta que existe en un sistema es de 10 bar. Si la presión barométrica del lugar es de 955 mbar, un manómetro registraría una presión manométrica de 9.045 bar.

Sección transversal del tubo

e

Tipo

e

Espiral

)J .

Tubo torcido

Helicoidal

Figura 2 .3 Manómetros tipo Bourdon.



15

En todos los análisis termodinámicos se emplea la presión absoluta, dado que ésta no depende de la altura o lugar en donde se haga la medición. Como consecuencia, la presión manométrica no proporciona por sí sola información completa respecto de la presión a que se encuentra sometido un sistema dado. En algunas circunstancias los sistemas operan en condiciones de vacío, es decir, a presiones inferiores a la presión atmosférica. Esto se ilustra en la figura 2.4. En estas condiciones la presión del sistema queda perfectamente determinada mediante el uso de la presión absoluta o la indicación de una presión de vacío (que casi siempre se da en mbar o cm de mercurio) y la presión barométrica. Esto es, presión absoluta = presión barométrica - presión de vacío

preLn manométrica Presión atmosférica

---~r~:n-- - -

I -1----

de vacfo

~

f

Presión absoluta

Presión atmosférica

Presión absoluta

--'1_____-'-_____

P =0 _ _

--1._

Figura 2.4 Relación entre presiones .

Ejemplo 2.1 Calcule la presión absoluta ejercida por el aire contenido en un neumático de automóvil si la presión manométrica es de 2 bar y la presión barométrica del lugar es de 950 mbar.

Solución p

=

2 + 0 .950

=

2.950 bar

Ejemplo 2.2 Si la presión manométrica del aire contenido en el neumático del ejemplo anterior es la misma, pero la medición se realiza en el nivel el mar, calcule la presión absoluta.


16 Termodinámica

Solución Puesto que la presión atmosférica estándar en el nivel del mar es de 1013.25 mbar, P = 2 + 1.013

= 3 bar

Ejemplo 2.3

La presión absoluta del vapor en el condensador de una planta de generación. es igual a 5 cm de mercurio. Si la presión barométrica es igual a 950 mbar, calcule la presión al vacío. Solución Puado = Pbarométrica -

Pabsoluta

= 950mbar-

5 cm Hg (

=

2.953X 10-4

plg Hg )[2.54 cm Pa plg

J(

105 Pa )(_ 1_3 bar ) bar 10 mbar

883.3 mbar

Ejemplo 2.4

La medición de presión con un manómetro de columna en una cámara indica un valor de 34 cm . s1 la densidad del fluido empleado en el manómetro es igual a 0.8 kg/dm 3 , calcule la presión en mbar. Solución Debido a que en un manómetro de columna la presión manométrica del sistema es igual al peso específica del fluido por la diferencia de niveles, P

=

pgf1z

=

(800 kg/m 3)(9.8 m/s2)(0 .34 m)

= 2665.6 N/m 2 =

26 .66 mbar

2.5 Temperatura La temperatura es una propiedad termodinámica muy utilizada, pero difícil de definir. Por lo regular se asocia con la actividad molecular del sistema o se define de forma indirecta. Imagine dos cuerpos, uno caliente y uno frío: ambos se ponen en contacto. Si además se aíslan del entorno, el cuerpo caliente se enfría, mientras que el frío se calienta. De esta manera, las propiedades



17

permanecen invariables con el tiempo al alcanzarse el equilibrio térmico. Por otro lado, si un tercer cuerpo se pone en contacto térmico con cualesquiera de ellos, y todas sus propiedades permanecen sin cambio, se dice que los tres cuerpos están en equilibrio térmico entre sí. Esta observación experimental constituye un axioma termodinámico conocido como Ley cero de la termodinámica, que se enuncia así: Si dos cuerpos están en.equilibrio térmico con un tercero, los tres están en equilibrio térmico entre sí. Es precisamente este axioma el que predice la existencia de una propiedad cuyo valor es el mismo para todos los sistemas que se hallan en equilibrio térmico. Considere ahora dos sistemas aislados cuyas masas son ma y m b , respectivamente, los cuales se encuentran cada uno en equilibrio termodinámico. Estos sistemas están constituidos por sustancias puras; suponga que ocupan volúmenes va Y vb' Ysus presiones son Pa Y Pb' respectivamente. Es obvio que el volumen específico Va por sí solo, no determina el estado termodinámico del sistema a, puesto que aun cuando se establezca Va' la presión Pa puede adquirir diferentes valores. De manera análoga, Pb no queda determinada por vb• Si ambos sistemas se ponen en contacto térmico, el sistema aislado compuesto por a y b alcanzará eventualmente un nuevo estado de equilibrio. Es decir, si los volúmenes va y vb son constantes, las presiones Pa y Pb se ajustarán a las nuevas condiciones de equilibrio, de tal manera que si se conoce una de ellas puede determinarse la otra. Puesto que los valores de equilibrio de Pa' Pb' va Y vb no pueden variarse de forma independiente, están relacionados de manera funcional. Es decir, (2 .1)

Considere ahora que un tercer sistema c también está en equilibrio térmico con a. Para el sistema compuesto por a y c, (2 .2)

Resolviendo para Pa'

(2 .3) (2.4)

Igualando estas dos últimas expresiones,

(2 .5)


18 Termodinámica

Puesto que los sistemas by c se encuentran en equilibrio térmico con a por separado, los sistemas b y c están también en equilibrio de acuerdo con la ley cero de la termodinámica. Esto es, (2.6) Al analizar las ecuaciones 2.5 y 2.6 se observa que la primera contiene a va mientras que la segunda no lo contiene. Si ambas expresiones son eqUivalentes, esto significa que lab y lae contiene a va de tal manera que éste se cancela en la ecuación 2.5. Es decir, las funciones l ab y lae deben ser de la forma

(2.7) (2 .8) En consecuencia, (2.9) Combinando las ecuaciones 2.4 y 2.8 , (2.10)

o bien, (2.11) Relacionando las ecuaciones 2 .9 y 2. 11, (2.12)

Esta ecuación establece que, para cualquier sustancia pura, es posible encontrar una función h(p, v) que tenga el mismo valor para todos los sistemas que se encuentran en equilibrio térmico entre sí. Es decir, (2.13)

Esta propiedad termodinámica T se denomina temperatura. La ley cero de la termodinámica postula la existencia de esta propiedad a través del equilibrio térmico e indica que el estado termodinámico de una sustancia pura queda determinado mediante dos propiedades intensivas independientes, dando origen a las ecuaciones de estado que se estudiarán más adelante de forma detallada.



19

Existen varios instrumentos de medición para determinar la temperatura de un sistema: termómetros de mercurio, de alcohol, termopares, termómetros de resistencia, termistores, termómetros bimetálicos, etc. En todos estos instrumentos se utiliza del cambio de una propiedad para registrar la temperatura. Así, los termómetros de mercurio o alcohol registran la temperatura como consecuencia de la dilatación que sufre el fluido. En todos estos instrumentos existe una relación funcional entre el cambio de una de sus propiedades y la temperatura. Generalmente se seleccionan dos puntos de referencia para establecer una escala de temperatura . Uno es el punto de congelación, es decir, la temperatura a que se encuentra en equilibrio una mezcla de hielo yagua saturada de aire, bajo una presión de 1013.25 mbar (1 atm). El otro punto de referencia es, por lo general, el punto de ebullición, es decir, la temperatura de equilibrio para el agua pura y su vapor, bajo una presión de 1013.25 mbar. Se seleccionan estos puntos de referencia por ser de fácil y exacta reproducción en el laboratorio. A los puntos de referencia se les pueden asignar valores de temperatura por completo arbitrarios. Por ejemplo, al punto de congelación se le puede asignar un valor de 20 y al de ebullición un valor de 200. Si se divide esta escala en 180 partes iguales, se habrá creado una escala X de temperatura . Sin embargo, hay dos escalas de temperatura de uso generalizado: la escala Celsius* o centígrada y la escala Fahrenheit. La escala Celsius asigna un valor de O oC al punto de congelación y de 100 oC al punto de ebullición, dividiendo estos dos estados de referencia en 100 partes iguales . De la misma forma , la escala Fahrenheit asigna un valor de 32°F al punto de congelación y de 212 °F al de ebullición, dividiendo estos dos estados de referencia en 180 partes iguales. Ambas escalas están relacionadas a través de la expresión. (2.14) Suponga ahora que se desea determinar la temperatura del agua en un recipiente y un termómetro de mercurio registra 52 oC, un termopar 53 oC y un termómetro de resistencia 52.8 oc. Si los tres instrumentos se han calibrado con anticipación en los puntos de referencia, ¿cuál es la verdadera temperatura del agua? No puede concluirse nada con la información anterior. Podría suponerse que uno o varios de los instrumentos mencionados no son lineales en el rango descrito. Sin embargo, lo que sí puede afirmarse es que todos ellos emplean el cambio en una de sus propiedades físicas para registrar la temperatura. Por lo anterior, conviene adoptar una escala de temperatura que sea independiente de las propiedades de una sustancia en particular. Aunque esta escala puede definirse sólo a través de la segunda ley de la termodinámica, tema que se tratará más adelante, por el momento basta decir que, a presiones relativamente bajas, todos los gases se comportan de tal forma que su temperatura es directamente proporcional a la presión, siempre y cuando el volumen permanezca constante. Esto constituye un termómetro de volumen constante. Si, además, el volumen específico molar de los gases utilizados en este tipo de termómetro es el mismo, se encuentra una relación lineal única entre * El grado Celsius es una unidad derivada en el Sistema Internacional de unidades.


20

Termodinámica

la presión y la temperatura, constituyéndose así lo que se conoce como escala del gas ideal. De lo anterior se desprende que un termómetro de volumen constante en estas circunstancias es independiente del tipo de gas empleado. Mediante mediciones experimentales puede determinarse la presión ejercida por el gas en cuestión, en el punto de congelación y en el punto de ebullición. Dado que la presión es proporcional a la temperatura, como aparece en la figura 2.5, en el límite, cuando la presión del gas tiende a cero, la temperatura adquiere un valor de -273.15 oC o -459.67 °E Con lo anterior se establecen las dos correspondientes escalas absolutas de temperatura, esto es, la escala Keluin y la escala Rankine de temperaturas absolutas . En consecuencia: TK

=

(2 .15)

Tc + 273.15

(2 .16)

T TIr-----------,~

Volumen específico molar = e T'!'----7f'

ph

pv

p

Figura 2.5 . Temperatura como función de presión para diferentes gases .

2.6 Resumen La termodinámica es la ciencia que se ocupa de la transformación de la energía y de las propiedades de las sustancias involucradas. Un sistema termodinámico es una porción de espacio o cantidad de materia que se selecciona con el propósito de analizarlo. Todo lo que es ajeno al sistema se denomina alrededores, yellímite real o hipotético entre el sistema y los alrededores se conoce como fronteras o límites del sistema. Los sistemas termodinámicos por lo general se clasifican en dos grandes categorías: sistemas cerrados y sistemas abiertos . Se dice que un sistema es cerrado si no hay transferencia de masa entre el sistema y sus alrededores. Por el contrario, en un sistema abierto se da la transferencia de masa entre el sistema y sus alrededores. Un sistema aislado es un sistema cerrado en el que no existen interacciones de tipo energético entre el sistema y sus alrededores.


2 Conceptos y definiciones 21

Una propiedad termodinámica es una característica de un sistema observable ya sea de forma directa o indirecta y no depende de la historia del mismo. Las propiedades termodinámicas se clasifican en dos grandes categorías: propiedades intensivas y propiedades extensivas. Las propiedades intensivas no dependen de la masa del sistema. Si el valor de una propiedad extensiva se divide entre la masa del sistema, la propiedad resultante tiene el nombre de propiedad específica. El estado de un sistema queda identificado por el conjunto de valores que tienen las propiedades termodinámicas en un instante dado. Un sistema está en equilibrio termodinámico si es incapaz de experimentar de manera espontánea algún cambio de estado en las condiciones que le imponen los alrededores. Un proceso ocurre cuando el sistema pasa de un estado termodinámico a otro . Un ciclo es un proceso o conjunto de procesos que dejan el sistema de nuevo en el estado original que tenía antes de que se realizara. La trayectoria es el conjunto de estados por los que pasa un sistema al realizarse un proceso. La presión absoluta en un sistema es igual a la suma de la presión manométrica más la presión barométrica o atmosférica del lugar. En algunas circunstancias los sistemas operan en condiciones de vacío, es decir, a presiones inferiores a la presión atmosférica. La Ley cero de la termodinámica establece que si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero, los tres están en equilibrio térmico entre sí. Esta ley postula la existencia de la propiedad llamada temperatura, que tiene el mismo valor para todos los sistemas que se encuentran en equilibrio térmico. Las cuatro escalas de temperatura de uso más extenso son la Celsius, Fahrenheit, Kelvin y Rankine. Problemas

2.1

Indique si los siguientes sistemas son abiertos o cerrados, especificando los límites del sistema: a) b) c) d)

2.2 2.3

2.4

Una pelota. Un automóvil. Un aire acondicionado de ventana. Un calefactor de gas.

¿Puede considerarse como sistema aislado el que se compone de un sistema abierto o cerrado y sus alrededores? Dos estados termodinámicos son idénticos si todas las posibles mediciones físicas de nivel macroscópico son iguales. ¿Implica esto que cada molécula que forma parte del sistema tiene la misma localización y velocidad en los dos estados? Especifique si las siguientes propiedades son extensivas o intensivas: a) Peso específico. b) Peso molecular. e) Concentración.


22 2.5

2.6

2.7

Termodinámica

Una condición necesaria para que un sistema esté en equilibrio termodinámico es que sea homogéneo o que esté constituido por varias partes homogéneas en contacto. A la luz de este enunciado, considere un sistema compuesto por un trozo de hierro, vapor de agua y aire a temperatura ambiente. Aun cuando al sistema lo conforman varias partes homogéneas que están en contacto, ¿se encuentra el sistema en equilibrio termodinámico? ¿Puede haber oxidación? Considere una mezcla de octano (CgHIg) y aire en un calorímetro. La mezcla se encuentra inicialmente a una presión de 1 bar y a una temperatura de 298 K. Después que la mezcla sufre combustión mediante la acción de una chispa eléctrica, los productos se dejan enfriar hasta que vuelven a las mismas condiciones de presión y temperatura originales. ¿El estado del sistema al finalizar el proceso es igual al que había cuando éste comenzó? ¿Se trata de un ciclo termodinámico? Considere un recipiente dividido en dos partes, como se ve en la figura P.2.7. El manómetro A indica una presión de 4 bar, mientras el B indica una lectura de 2 bar. Si la presión barométrica del lugar es igual a 1 bar, determine las presiones absolutas existentes en los dos compartimientos, así como la lectura del manómetro C. Respuestas:

PI = 5 bar P2 = 3 bar Pe = 2 bar

2 A

B

e

Figura P.2. 7 .

2.8

Considere el manómetro inclinado de la figura P.2.8. Derive una expresión para determinar la diferencia de presiones PI - P2 en términos de los diámetros dI y d 2 , del ángulo a, de la densidad del fluido P y del desplazamiento x del fluido. Verifique la respuesta en el caso en que sean iguales los diámetros dI y d 2 y el ángulo sea igual a 90° .

2.9

Determine la temperatura donde la escala Celsius coincide con la escala Fahrenheit. Respuesta:

-40°



23

e sea este P2

Figura P.2.8.

2.10 Si la presión barométrica es de 950 mbar, determine la presión absoluta, en bar, para cada uno de los casos siguientes: a) Presión b) Presión e) Presión d) Presión

de vacío igual a 12 cm de mercurio. manométrica igual a 10 bar. absoluta de 5 cm de mercurio. de vacío de 20 cm de agua.

2.11 Convierta las siguientes temperaturas a la escala Kelvin: a) -30

-c.

c) 200°C.

b) -60°F. d) 18000R.

2.12 En la escala de temperatura Reaumur se asigna un valor de O al punto de congelación y de 80 al punto de ebullición. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala? ar la sidad sean

Respuesta:

-218.52°

2.13 Tres metros cúbicos de aire a 25°C y 1 bar tienen una masa de 3.51 kg. Indique tres propie-

]x

dades intensivas y dos extensivas de este sistema. 2.14 Un vacuómetro registra una presión de vacío igual a 500 mbar. Si la presión barométrica del lugar es igual a 950 mbar, calcule la presión absoluta en mbar. 2.15 Un montañista porta un barómetro que indica 101.3 kPa al pie de una montaña, y el mismo aparato señala 85.0 kPa en la cima. La densidad promedio del aire es de 1.21 kg/m3. Determine la altura de la montaña. 2.16 Se busca tener una nueva escala de temperatura donde el punto de congelación del agua sea de O y el de ebullición, de 1000 ¿Cuál sería el cero absoluto en grados X?

ex,

ex.


24

Termodinámica

Referencias 411

I

1. Doebein,

E. O., Measurement

Systems. Application

and Design, McGraw-Hill,

Nueva York,

1966.

2. Obert, E. F., Concepts 01 Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960. 3. Burghardt, M. D., Ingeniería termodinámica, Harla, México, 1984. "! ·'1 I

,1 .u

ti.

I

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3 (

La primera ley de la termodinámica Miremos más que somos padres de nuestro porvenir que no hijos de nuestro pasado. MIGUEL DE UNAMUNO

Uno de los axiomas de mayor importancia en esta materia es la primera ley de la termodinámica o principio de conservación de energía. Dicha ley establece, de forma clásica, que la energía no se crea ni se destruye en los procesos, sino que sólo se transforma. Para que este axioma en extremo obvio le sea útil al ingeniero, es necesario identificar de antemano las diferentes formas de energía con el objeto de poder cuantificarlas y realizar balances energéticos, ya que para el hombre unas formas de energía son más valiosas que otras. Imagine, por ejemplo, un volante de inercia que gira. Mediante un freno puede convertirse la energía de movimiento del volante en un calentamiento de ést~ . Dado que la energía se conserva en todos los procesos, podría deducirse que el mero enfriamiento del freno conduciría a recuperar la energía de movimiento del volante y conseguir que éste girara. La intuición indica que este segundo proceso es imposible físicamente. En consecuencia, se observa que, aun cuando la energía se conserva en todos los procesos, unas formas de energía son más valiosas que otras, y existe cierta direccionalidad en los procesos. Por otra parte, si se da a escoger entre dos cilindros que tienen aire y el mismo contenido de energía, para arrancar un motor de combustión interna, pero en uno de ellos el aire se encuentra a 50 bar de presión y en el otro a 50 oC de temperatura, la intuición, de nuevo, indica que el primero es más valioso que el segundo puesto que estando el aire a presión, se podría hacer pasar a través de un dispositivo y conseguir el arranque del motor, mientras que con el segundo el arranque sería quizá imposible. De nuevo, se observa que unas formas de energía son más valiosas que otras. Aun cuando este valor o utilidad de la energía queda cuantificado solamente a través de la segunda ley de la termodinámica que se estudiará en capítulos posteriores, por el momento es conveniente identificar las diferentes formas de energía con el fin de cuantificarlas y realizar balances apropiados. Como será obvio más adelante, la primera y segunda leyes de la termodinámica constituyen las piedras angulares en el análisis de todos los procesos en que interviene la conversión de energía.


26

Termodinámica

3.1 Trabajo La definición de trabajo en su sentido termodinámico es de una naturaleza aún más extensa que la tradicionalmente empleada por la mecánica. Trabajo es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a través de aquellas porciones de los límites del sistema en que no hay transfe rencia de masa, como consecuencia de una diferencia en una propiedad intensiva diferen te de la temperatura entre el sistema y sus alrededores.

Nótese que, según esta definición, solamente puede existir trabajo a través de aquellas porciones de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa . Es posible tratar de determinar el trabajo de un sistema refiriéndose sólo a él; el trabajo es energía en tránsito a través de los límites del sistema y es una interacción entre éste y sus alrededores. Es decir, el trabajo es de naturaleza transitoria y no puede almacenarse en el sistema. Generalmente, la diferencia de presión entre un sistema que no es rígido y sus alrededores crea una fuerza que puede dar origen al trabajo mecánico cuando hay un desplazamiento. De manera análoga, una diferencia en una fuerza electromotriz da lugar al transporte de una carga eléctrica que origina el trabajo eléctrico; el par en una flecha de potencia origina un desplazamiento angular en ella, etcétera. Por convención, se dice que el trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores es positivo, mientras que el trabajo hecho por los alrededores sobre el sistema es negativo. La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de unidades es el joule. Considere a continuación algunos sistemas con el objeto de identificar el trabajo hecho por o sobre un sistema: a) Tobera . Es un dispositivo que sirve para aumentar la velocidad o energía cinética de un fluido mediante su expansión, desde una presión dada hasta otra menor,~como se ilustra en la figura 3.1. Comúnmente son del tipo convergente o convergente-divergente. En las toberas de tipo convergente-divergente el gas se acelera a velocidades supersónicas, esto es, a velocidades mayores que la velocidad del sonido, * alcanzándose esta última en la garganta o sección de área transversal mínima; en cambio, en las toberas convergentes, la máxima velocidad que puede alcanzar el gas en la descarga es la velocidad del sonido. Las toberas tienen aplicaciones muy diversas: se encuentran en turbinas de vapor, turbinas de gas, inyectores, turbojets, cohetes, etc. Dado que las paredes de una tobera son rígidas y constituyen los límites en los que no hay transferencia de masa, el trabajo en ellas es idénticamente igual a cero.

* Para un gas , la velocidad del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta . Véase sección 9.6.


3 La primera ley de la termodinámica

27

2

I

T-+

Vi

I

a) Convergente

2

b) Convergente-divergente

Fi9l!ta 3.1. Diagrama esquemátíco de una tobera .

b) Difusor. Es un dispositivo que sirve para disminuir la velocidad o energía cinética de un fluido con el correspondiente incremento en la presión. De esto se desprende que los difusores realizan el proceso inverso al que realizan las toberas. Encuentran aplicación en compresores centrífugos, turbojets, etc. Aquí también el trabajo es igual a cero. e) Turbina. En una turbina se hace pasar un fluido a presión y mediante una conversión apropiada de energía, se logra obtener un trabajo con la expansión de éste. El fluido es acelerado a través de toberas fijas; el momentum resultante se transfiere a los álabes del rotor, obteniéndose así el movimiento de la flecha motriz. Esta flecha puede estar conectada a un generador eléctrico, un compresor, u otra carga en general. En la figura 3.2 se presenta el esquema de una turbina. Aun cuando el tema de las turbinas es muy extenso, las referencias que aparecen al final de este capítulo lo cubren satisfactoriamente. Aquí baste decir que el trabajo desarrollado por una turbina sobre sus alrededores es positivo.


28 Termodinámica

Figura 3 .2. Diagrama esquemático de una tur-

bina.

d) Compresor. Un compresor centrífugo puede considerarse como el inverso de una turbina . En este caso, los álabes del rotor, impulsados por un dispositivo externo, aumentan la velocidad del fluido . Enseguida este fluido se hace pasar a través de difusores , disminuyendo su velocidad y aumentando, en consecuencia, su presión. En este caso, el trabajo es negativo, puesto que los alrededores hacen trabajo sobre el sistema. A continuación se desarrollarán algunas expresiones para determinar en forma cuantitativa el trabajo hecho sobre algunos sistemas o realizados por ellos . En otras circunstancias, el trabajo se determinará a través de los cambios de energía que origina en el sistema o en sus alrededores .

3.1.1 Trabajo en un sistema cerrado Considere un sistema cerrado simple, estacionario, como se muestra de forma esquemática en la figura 3.3 , en el cual no hay fricción y la presión es uniforme. Esto último no implica que la presión sea constante. Mediante principios básicos, dW= F ds donde W es el trabajo hecho por el sistema, F la fuerza normal que actúa sobre el área de sección transversal A del pistón, y s el desplazamiento. En términos de la presión p del sistema, dW= pAds o bien, dW= pdV


29


donde V es el volumen del sistema. Integrando la expresión anterior, el trabajo total hecho por el sistema sobre sus alrededores está dado por la expresión,

(3.1) o, por unidad de masa,

W

n el y

os

el se

ra te.

ón

=

La variable independiente en la ecuación 3.1 es el tiempo t, esto es, V(t) o u(t). Si el gas se expande, el volumen aumenta de tal manera que dVes una cantidad positiva. Por consiguiente, el trabajo W es positivo y el sistema hace trabajo sobre sus alrededores. Durante un proceso de compresión el volumen del gas disminuye, de tal manera que dVes una cantidad negativa. En consecuencia, los alrededores hacen trabajo sobre el sistema durante un proceso de compresión. Para calcular el trabajo total desarrollado por el sistema descrito, es necesario conocer de antemano su presión absoluta como función del volumen entre los estados 1 y 2. La evaluación de esta integral puede ser una tarea en extremo difícil si la presión absoluta del sistema no se conoce de forma explícita en términos del volumen, de forma especial en el caso de gases que se hallan a presiones relativamente altas. Sin embargo, de la ecuación 3.1 se desprende que, en un diagrama presión-volumen, el área que se halla debajo de la curva descrita por el proceso es igual al trabajo total, y la determinación de éste se reduce a la simple evaluación de esta área. Véase figura 3.3. Si el sistema realiza un proceso cíclico como se ve en la figura 3.4, el área encerrada por el

Ul

I

pdu

(3.10)

VI

Área A \

, , , , , , , ,, , , , , ,

,, ,, '---------:~ , , ,, p~ , ,, ,, ,, ,, ,, ,, :_-------_!

,,

¡,

Límites del sistema

a)

p

b)

v

Figura 3.3 Sistema cerrado y su correspondiente diagrama presión-volumen.


30 Termodinámica

ciclo en un diagrama presión-volumen es igual al trabajo neto desarrollado por el sistema. De forma analítica,

Wneto =

donde

f p dV

(3 .2)

pdenota la integral cíclica.

Si el sistema cerrado en cuestión experimenta cambios significativos en velocidad y altura, el trabajo total por unidad de masa hecho por el sistema se expresa así

(3.3)

donde v es el volumen específico, V es la velocidad del sistema, z su altura y los subíndices 1 y 2 se refieren, respectivamente, a los estados inicial y final. Los términos segundo y tercero se refieren a los cambios en energía cinética y potencial que experimenta el sistema respectivamente. Se deja al lector, como ejercicio, la demostración de la ecuación 3.3 a partir de principios básicos. Aun cuando la presión absoluta del sistema es la que se emplea en el cálculo del trabajo total hecho por un sistema cerrado, el uso de la presión manométrica en la ecuación 3 .1 da como resultado la diferencia del trabajo requerido para desplazar la atmósfera que lo rodea. Puesto que ordinariamente se requiere el trabajo total en los balances energéticos, se hace imprescindible el uso de la presión absoluta. La ecuación 3.1 puede emplearse en otras situap ciones. A manera de ejemplo, considere el'caso de un b sistema cerrado como el de la figura 3.3, en el que intervienen esfuerzos de corte dentro del sistema, esto es, donde se produce fricción. En este caso, el término fpdV representa físicamente el trabajo de expansión desarrollado por el sistema, y no el trabajo total. Si se considera ahora un sistema cerrado rígido a donde el medio de trabajo es perturbado desde los alrededores con un agitador, el término fpdVes igual a cero, puesto que el volumen se mantiene constanv te, pero el trabajo es diferente de cero. De hecho, en este caso en que interviene la fricción, el trabajo es Figura 3.4 Proceso cíclico . negativo y la ecuación 3.1 no es aplicable.



31

Ejemplo 3.1 Una masa de 0.59 g de aire se encuentra en el cilindro de un motor diesel de baja relación de compresión a una presión de 1 bar y una temperatura de 80 oc. El volumen inicial es de 600 cm 3 , reduciéndose durante el proceso de compresión hasta una décima parte de su valor inicial. Suponiendo que el proceso no tiene fricción y es de la forma pV1.3 = e, donde e es una constante, determine la presión que alcanza el aire y el trabajo requerido en la compresión.

Solución Puesto que pVl .3 =

e, V P2 = PI ( v~

J1.3 = (1)(10)13

P2 = 19.95 bar

Puesto que el proceso se desarrolla sin fricción, el trabajo requerido puede calcularse a través de la ecuación 3.1. Esto es,

= _

~ (V -0.3

0.3

Sustituyendo la constante

e=

PI V{·3

=

P2

vi· 3

_ V -0.3)

2

=

1

pV

13

en la expresión anterior y simplificando,

w=

PI VI [[VI)0.3 -

w=

_

w=

-199 .05 J

0.3

V2

1]

Sustituyendo valores, (1 x 10

5 )

(600 x (0.3)

10~ 10°.3 _ 1 (

)

El signo negativo indica que se hace trabajo sobre el sistema en este proceso de compresión.


32

Termodinámica

Ejemplo 3.2

Sustn

Un gas dentro de un cilindro está originalmente a una presión de 1 bar y ocupa un volumen de 0.1 m3. El gas se calienta a presión constante de tal manera que su volumen se duplica. Posteriormente el gas se expande de acuerdo con la relación p V = C, donde C es una constante, hasta que su volumen se duplica de nuevo. Determine el trabajo total hecho por y sobre el sistema, y dibuje un esquema del diagrama correspondiente presión-volumen. Suponga que los procesos se desarrollan sin fricción. Solución El esquema de los dos procesos aparece en la figura E.3.2. El proceso 1-2 representa fisicarnente el calentamiento a presión constante que sufre el gas y el proceso 2-3 está relacionado con la expansión que sufre el gas de acuerdo con la relación pV = C. Dado que el área que se halla debajo de la curva 1-2-3 es positiva, representa el trabajo total hecho por el sistema sobre sus alrededores. Este trabajo puede calcularse mediante la relación,

Ejen

Cons presi resor Supe es ig

Solu

Med

P. bar

1

2

1

La

(1

~3

done

0.1

0.2

Figura E.3.2.

0.4

V.m3



33

Sustituyendo valores,

W = (1 x 105){0.1){2 - 1) + (1 x 105){0 .2) In (2) = 0.24 x 105 J = 24 kJ Ejemplo 3.3 Considere el sistema de la figura E.3.3. En principio, el resorte está deformado 0.5 cm cuando la presión del gas en el cilindro es igual a 2 bar. Mediante calentamiento, el gas se expande hasta que el resorte se deforma 1 cm. Calcule el trabajo desarrollado por el sistema y la presión final del gas . Suponga que el proceso es sin fricción y la deformación del resorte es elástica. El diámetro del pistón es igual a 5 cm.

Figura E.3.3.

Solución Mediante principios básicos,

La constante k puede determinarse mediante la relación,

donde A es el área de sección transversal del pistón. Por consiguiente,

k

=

PIA 7td 2 Pl -X-l = - -4X -l-

k

=

78 539 .82 N/m

=

1t(5/ 100)2(2x1OS) --(4""")--:-:(0=-.=5/---'1~0;-;::0::-)-


34 Termodinámica

Por tanto,

w = (78 539 . 8~~~0.5/100)2 (22 _ 1) = 2.95 J Para calcular la presión final del gas,

Ejemplo 3.4 Un globo esférico tiene un diámetro de 0 .2 m y contiene aire a una presión de 1.2 bar. Debido al calentamiento, el diámetro del globo aumenta hasta un valor de 0.25 m. Durante este proceso, la presión del aire es proporcional al diámetro del globo. Calcule el trabajo de expansión que hace el aire.

Solución El trabajo desarrollado puede calcularse mediante la ecuación 3.1. Puesto que la presión es proporcional al diámetro, p= Cd

El volumen del globo puede escribirse así

1td 3 V=-

6

Por tanto, 2

dV = 1td dd 2 En consecuencia,

donde



35

Integrando la expresión anterior y simplificando,

105)7t(0.2)3[(0.25)4 _ 1] (8) 0.20

=

(1.2

=

543.4 J

x

L~---------1/

Ejemplo 3.5 Considere un recipiente rígido como el que aparece en la figura E.3.5. El gas se encuentra separado del espacio vacío mediante una membrana. Si ésta se rompe y el gas ocupa todo el recipiente, calcule el trabajo hecho por y sobre el sistema.

1 1 1 1 gas 1 1 1 11 __________________

membrana

-------

vacío

I I

1 1 1 1 1 11

Solución Al analizar los límites del sistema que se muestra en la figura E.3.5, se concluye de inmediato que el trabajo hecho por y sobre el sistema es igual a cero, puesto que no hay interacción energética a través de sus límites.

Figura E.3.5.

3.1.2 Trabajo en un sistema abierto Considere un sistema abierto que opera sin fricción, en estado estable, con una entrada y una salida de flujo, como se ve en el esquema de la figura 3.5. Por estado estable se entiende que todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen invariables con el tiempo. Con el objeto de calcular el trabajo total desarrollado por este sistema abierto, considere primero una masa unitaria (sistema cerrado) que viaja a través del sistema. Debido a la expansión que Figura 3.5. Sistema abierto con una entrada puede sufrir, así como a los posibles cambios en salida de flujo.

~

...J.--I

__

L y una


36

Termodinámica

energía cinética y potencial, la masa unitaria puede realizar un trabajo al desplazarse entre las coordenadas 1 y 2 . Es decir, de acuerdo con la ecuación 3.3, dw sc

=

pdv - d(ec) - d(ep)

Por otro lado, se requiere cierta cantidad de energía, suministrada por los alrededores , para introducir esta masa unitaria en el sistema a través de 1. De manera análoga, se requiere también que el sistema proporcione energía para expulsar la masa unitaria a través de 2. La energía requerida para introducir o e~pulsar la masa unitaria del sistema puede calcularse analizando las coordenadas 1 02. f A partir de principios básicos,

donde p es la presión del fluido en las coordenadas 1 o 2, A es el área de sección transversal por donde entra o sale éste, y Ves la velocidad del fluido. Puesto que el sistema opera en estado estable, el principio de conservación de materia requiere que el flujo de masa m que entra en el sistema sea igual al que sale de él. Por consiguiente,

donde AV m=pAV=-

v

Por tanto ,

o, por unidad de masa, w¡ = pv

Esta energía w¡ se conoce, a menudo, como energía de flujo . Sin embargo, debe anotarse que esta energía no puede considerarse como trabajo de acuerdo con su definición termodinámica. De hecho, se trata de una propiedad. Al analizar todo el sistema abierto de la figura 3.5 y teniendo en cuenta que el trabajo por unidad de masa w que desarrolla el sistema abierto es debido a la masa unitaria,


3 La primera ley de la termodinámica 37

o, de forma diferencial,

dw = dw sc - d(pv) = dw sc - pdv - vdp dw = pdv - d(ec) - d(ep) - pdv - vdp Por consiguiente, - 2

P2

W

= - fPI

-2

V2 - VI v dp 2

g(Z2 - Zl)

(3.4)

Mediante esta expresión se puede calcular el trabajo total por unidad de masa que desarrolla un sistema abierto. Para calcular la potencia, (3.5)

W=mw

Observe que en el caso de que w sea igual a cero, la ecuación 3 .4 corresponde a la ecuación de Bernoulli. Puesto que la misma ecuación 3.4 implica que el sistema opera sin fricción, la potencia calculada representa el valor máximo que puede desarrollar el sistema. En el caso de sistemas que requieren trabajo, la ecuación 3 .4 aporta el valor mínimo necesario. Ejemplo 3.6 Se desea comprimir 0 .685 kg/s de aire en un compresor centrífugo, desde una presión absoluta de 0 .8 bar y una temperatura de 298 K, hasta una presión de 3.2 bar. La densidad del aire en la succión del compresor es de 0.935 kg/ m 3 . Estime la potencia requerida para impulsar el compresor, suponiendo que el proceso no tiene fricción y puede expresarse de la forma pv1.4 = C, donde C es una constante. Los cambios en energía cinética y potencial del aire son insignificantes.

Solución Mediante la ecuación 3.4,

f

w = - v dp = _C 1 / 14

Al hacer la integración y notar que C =

PI vI 1.4,

f p-l/1.4 dp


38

Termodinámica

W

= _ 1. 4 PI O.4Pl

P2 PI

o.4/1.4

[( J

]

_1

Al sustituir valores, = _

w

(1.4)(0.8 x 105) (40286 _ 1) (0.4)(0.935)

w = - 1.46

x 105 J/kg

Por tanto,

w= mw =(0.685)(-1.46 x 105)

=

-100 kW

donde el signo negativo indica que se requiere trabajo de los alrededores (v. gr. un motor eléctrico, una turbina, etc.) para impulsar el compresor.

Ejemplo 3.7 Entra aire en una tobera a una presión de 10 bar y con un volumen específico de 0.096 m 3/kg. El aire se descarga por la tobera a una presión de 1 bar. Calcule la velocidad del aire a la descarga si el proceso no tiene fricción y es de forma pu l.4 = C, donde C es una constante. La velocidad del aire a la entrada de la tobera puede suponerse despreciable.

Solución Puesto que el trabajo en una tobera es igual a cero, de la ecuación 3.4 se desprende que , - 2

V2 0=- udp-2

f

Por consiguiente,

v,' =-2fudP=-2~>1 Ul[(~:

)"" -1]

= -(2)(1.4)(10x 105 )(0.096) (0.10386 -1) (0.4)

= 324 168.21 m2/s2 V2 = 569.36 mi s



39

Ejemplo 3.8 Se desea bombear 200 dm 3/ min de un aceite combustible que tiene una densidad relativa de 0.8, desde una presión de vacío de 120 mm Hg, hasta una presión manométrica de 2 bar. La descarga del aceite se encuentra a 5 m por encima de la succión. El diámetro del tubo de succión es de 0.25 m y el de descarga es de 0.15 m. La presión barométrica del lugar es de 716.3 mm Hg. Estime la potencia requerida para impulsar la bomba.

Solución Según los datos

ant~riores,

las presiones absolutas son,

PI = 716.3 - 120 = 596.3 mm Hg = 0.80 bar P2 = 2 + 0.95 = 2.95 bar

Para determinar la velocidad del aceite combustible en la entrada y la salida de la bomba, puede suponerse que el fluido es incompresible. Es decir,

v

= 4G = (4)( 200 x

I

1t d¡

10-3 /60)

=

0068 . mis

=

0.188 mis

1t(0.25)2 (4)(200 x 10-3 /60) 7t(0.15)2

El flujo de masa de aceite combustible que se quiere hacer circular es, rñ = P G = (0.8 x 1)(200/ 60) = 2.67 kg/ s

Sustituyendo los datos anterioresfin la ecuación 3.4,

w= -

= -

P2 - PI p

-2

-2

V

V

2 -

2

I

-g

A_

L1L.

(2.95 - 0.80)105 (35.3 - 4.6) 10-3 0.8 x 103 2 - (9.8)(5)

= - 269 - 0.015 - 49 = - 318

J/kg

Por tanto,

W= mw = (2.67)(-318) = -

849 W


40

Termodinámica

3.2 Calor Al analizar la definición termodinámica de trabajo se observa que la propiedad llamada temperatura se excluye de manera específica. A la luz de este razonamiento, tenemos que: Calor es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a través de las porciones de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa, como consecuencia de la diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores.

A semejanza del trabajo, el calor es energía en tránsito a través de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa y, por ende, no puede almacenarse. El calor se transfiere de mayor a menor temperatura; esta transferencia de energía se realiza como consecuencia única y exclusivamente de una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. Por convención, se dice que el calor suministrado a un sistema es positivo, mientras que el calor cedido o disipado por un sistema a sus alrededores es negativo. Un proceso es adiabático si su calor es igual a cero. Es decir, todo proceso adiabático implica que el sistema está aislado térmicamente de sus alrededores. El calor por lo regular se determina en cualquier sistema a través de los cambios de energía que origina dentro del sistema o en sus alrededores. La unidad de calor en el Sistema Internacional de unidades es el joule. Comúnmente el símbolo del calor es Q. Ejemplo 3.9 Considere una casa-habitación dotada de calefactores eléctricos, durante una noche de invierno. Indique si existe transferencia de calor en los siguientes sistemas: a) Un calentador eléctrico. b) Toda la casa-habitación.

Solución a) Si se analiza un calentador como sistema, la transferencia de calor es negativa. Puesto que los elementos térmicos que constituyen el calentador se encuentran a mayor temperatura que el aire ambiente y las paredes de la casa, el calor fluye de éste hacia sus alrededores. b) Tras analizar toda la casa-habitación como sistema, se determina que la transferencia de calor tal)1bién es negativa. Dado que el aire exterior está a menor temperatura que la casa habitación, el calor fluye desde el sistema hacia los alrededores. Ejemplo 3.10 Considere un intercambiador de calor de flujos encontrados como el que aparece en el esquema de la figura E. 3.10. El agua fluye por el interior de los tubos y se calienta desde 25 hasta 70 o C. Este



ra

41

calentamiento del agua se logra haciendo circular aire caliente por el exterior de los tubos. El aire entra en el intercambiador a 100 "C y sale de él a 40 "C. Indique si existe transferencia de calor en los siguientes sistemas: a) El agua que circula por el interior de los tubos. b) El sistema limitado por el interior de la carcaza del intercambiador y el exterior de los tubos. c) Todo el intercambiador de calor.

Solución o

a) El calor es positivo, ya que el aire caliente cede calor al agua (sistema). b) El calor es negativo, ya que el aire caliente (sistema) cede calor al agua. c) El sistema es en esencia adiabático, puesto que prácticamente todo el calor cedido por el

aire caliente es transferido al agua en los tubos.

o e

e

~

§l=l

AgU-;+~-----~

t

a

e

Figura E.3.tO.

Aire

~"P"f;d'

adiabática


42

Termodinámica

3.3 La primera ley de la termodinámica en un sistema cerrado De las definiciones anteriores se desprende que las únicas interacciones energéticas que pueden ocurrir a través de los límites o fronteras de un sistema cerrado son trabajo y calor. Por otro lado, ambas formas de energía son de tipo transitorio. Considere a continuación un sistema que opera de manera cíclica, como se ve en la figura 3.6. Mediante distintas mediciones experimentales a través del tiempo, se ha encontrado que la cantidad neta de calor suministrado al sistema en cualquier ciclo termodinámico es igual al trabajo neto desarrollado por éste. Es decir,

(3 .5)

donde

f denota la integral cíclica. p b

a

v Figura 3.6. Proceso cíclico.

La ecuación anterior constituye en esencia la primera ley de la termodinámica. Esto es , el calor neto agregado a un sistema que opera de manera cíclica es igual en magnitud al trabajo neto desarrollado por éste.

Este principio axiomático postula la existencia de una propiedad extensiva del sistema E, a saber, que un cambio en su valor entre dos estados cualesquiera es numéricamente igual a la diferencia entre el calor neto agregado a un sistema cerrado y el trabajo neto desarrollado por éste en el proceso. Esta propiedad se conoce como energía del sistema . Matemáticamente,



dQ - dW = dE

43

(3.6)

Al integrar entre dos estados 1 y 2,

Q-

donde

~E =

E2

-

W=~E

(3.60)

El representa el cambio en energía del sistema. Por unidad de masa,

q - w = ~e

(3.6b)

Acéptese el axioma de la expresión 3.5 y la validez de la ecuación 3.6 puede verificarse recurriendo a la contradicción. Con este fin, considere dos procesos arbitrarios cualesquiera A y B a través de los cuales el sistema cerrado cambia desde el estado 1 hasta el estado 2, como se ve en la figura 3 .7. Puesto que la expresión 3.6 es válida para cualquier proceso, supóngase por contradicción que,

fLA (dQ - dW) fLB (dQ ;#;

dW)

(37)

p

2

v Figura 3.7. Tres procesos cualesquiera.

donde f~-A denota la integración del estado 1 al estado 2 a lo largo de la trayectoria A y f~-B denota de forma similar la integración desde 1 hasta 2 a lo largo de B. Considere a continuación el proceso


44

Termodinámica

arbitrario e a través del cual el sistema retorna a su estado original 1. Si se analizan los ciclos termodinámicos 1 - A - 2 - e - 1 y 1 - B - 2 - e - 1,

f l-A-2-C-l (dQ -

+ f~-c (dQ - dW)

(3 .8)

f l-B-2-C-l (dQ - dW) = f:_B(dQ - dW) + f~_c(dQ - dW)

(39)

dW)

= fLA (dQ -

dW)

también

Restando la ecuación 3.9 de la 3.8 e introduciendo la 3 .7, ¡r l-A-2-C-l (dQ -dW) :;t 'J,( l-B-2-C-l (dQ - dW)

(3 .10)

Esta última expresión contradice la primera ley de la termodinámica, ya que ambas integrales deben ser iguales entre sí e iguales a cero, como lo establece la ecuación 3.5. Esto es, f(dQ-dW)=O

La ecuación 3.6 puede interpretarse físicamente de una manera sencilla. Puesto que las únicas interacciones energéticas que pueden ocurrir a través de los límites de un sistema cerrado son calor y trabajo, la transferencia neta de calor suministrado a un sistema en un proceso, menos la transferencia neta de energía desarrollada por éste como trabajo, debe ser igual al incremento neto en energía E del sistema. Por supuesto, dicho incremento puede ser negativo. Dado que el cambio en el valor de la energía del sistema entre dos estados no depende del tipo de proceso y adquiere el mismo valor al realizarse un ciclo termodinámico, la energía E del sistema es una propiedad. La ecuación 3.6 constituye un balance general de energía para cualquier sistema cerrado, y por tanto, es válida para cualquier tipo de proceso. De hecho, esta expresión es una forma alterna de expresar la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado. En el caso de un sistema aislado, su energía permanece invariable, puesto que Q = W = O y t:..E = O. Es decir, la energía no se crea ni se destruye en los procesos, sólo se transforma. Nótese que la primera ley de la termodinámica sólo proporciona información con respecto a diferencias en energía y no en relación con valores absolutos de ella. Si se desea asignar valores es necesario establecer un estado de referencia. El lector sin duda preguntará acerca de la naturaleza de la propiedad extensiva E. La energía del sistema incluye varios tipos de energía: energía de posición o potencial con respecto a un plano de referencia (EP); energía de movimiento o cinética del sistema (EC); energía debida al movimiento y configuración propia de las partículas que constituyen la materia del sistema (U). Esta última forma de energía, asociada con el estado termodinámico de la materia que constituye el sistema, es indepen-



45

diente de la atracción gravitacional o movimiento de éste, y se conoce como energía interna. * De lo anterior se desprende que,

E

=

U + EC + EP

=

m V2 U + - 2 - + mgz

(3 .11)

o, por unidad de masa,

\72

e=u+-+gz 2

(3.11a)

En ausencia de cambios significativos en la energía cinética y potencial, la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado se reduce así

Q- W=!::.U

(3.12)

q - w =!::.u

(3.12a)

y por unidad de masa

Ejemplo 3.11 Durante el proceso de carga de un acumulador eléctrico, la corriente es de 20 A y el voltaje de 12.3 V. El acumulador disipa 7 W de calor durante el proceso. Determine la razón de cambio con respecto al tiempo de la energía interna del acumulador.

Solución Puesto que los cambios de energía cinética y potencial son iguales a cero, la primera ley de la termodinámica establece que,

dU dt

Q-W=* En general, la energía interna u de una sustancia pura depende de la temperatura y volumen específico (o denSidad). esto es, u = u(T, v).


46 Termodinámica

donde

w= -

VI

= -

(12.3) (20)

= -

246 W

Por consiguiente.

dU . . = Q - W = (-7) - (- 246) dt

-

=

239 W

Ejemplo 3.12

El aire contenido en un cilindro se comprime por medio de un pistón de acuerdo con la relación pVn = e, donde e es una constante y n = 1.4. Originalmente el aire se encuentra a una presión de 1 bar y ocupa un volumen de 400 cm3 . El volumen del aire se reduce durante la compresión hasta 1/ 8 de su valor inicial. Si el proceso es adiabático y se desarrolla sin fricción, calcule el cambio en energía interna que experimenta el aire.

Solución Puesto que el proceso de compresión no tiene fricción,

w= fpdV= fev- n dV Realizando la integración y notando que

e=

w = PI VI

PI V~,

[( VI Jn-I -

1-n

V2

1]


w _ (1

x

-

lO!) (400 x 10-6) 0.4 (l - 1.4) (8 - 1)

W = -129.74 J Puesto que el proceso es adiabático, la primera ley de la termodinámica establece que tlU= -W Por tanto, tlU =

-

(-129 .74)

=

129.74 J


3 La primera ley de la termodinámica 47

Este resultado indica que la energía interna del estado 2 con respecto a la del estado 1 difiere por

129.74 J.

Ejemplo 3.13 Un recipiente rígido y aislado como el de la figura E.3 .13 contiene dos compartimientos. Inicialmente uno de ellos contiene aire a 2 bar y 80 oC, mientras que el otro está vacío. Al quitar la división que los separa, el aire ocupa todo el recipiente. Determine el cambio en energía interna del aire durante este proceso.

aire

vacío

Figura E.3.13.

Solución Utilizando la primera ley de la termodinámica se obtiene que L'lU es igual a cero, puesto que el calor Q y el trabajo W son también iguales a cero. Por consiguiente, la energía interna del aire permanece constante.

3.4 Entalpía La entalpía es una propiedad sumamente importante en los análisis termodinámicos. Esta propiedad termodinámica se define

H= U+ pV

(3.13)

h = u + pu

(3 .130)

o, por unidad de masa,

La unidad de entalpía corresponde a una unidad de energía, y en el Sistema Internacional de unidades es el joule. En entalpía, al igual que en energía interna, sólo pueden establecerse diferencias y


48

Termodinámica

no valores absolutos . Para asignar un valor de entalpía a un estado termodinámico es necesario establecer un valor arbitrario en un estado de referencia dado. Esta propiedad termodinámica no tiene ningún sentido o interpretación física, y constituye meramente una agrupación de propiedades que se presentan con frecuencia en los análisis termodinámicos.

3.5 La primera ley de la termodinámica en un sistema abierto Considere un sistema abierto que opera en estado estable y con una entrada y una salida de flujo como se observa en el esquema de la figura 3.8. Puesto que la energía se conserva en todos los procesos, (Flujo neto de calor agregado al sistema) - (Potencia neta desarrollada por el sistema) + (Flujo de ene.rgía asociada con el fluido que entra al sistema)

- (Flujo de energía asociada con el fluido que sale del sistema)

=0 El balance anterior implica que la energía E almacenada o contenida en el sistema permanece constante. Es decir, todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen invariables con el tiempo al operar en estado estable.

w

Q

0) I

Z2

_

..

~- - -

Figura 3.8. Sistema abierto con una entrada y una salida de flujo .



49

La energía asociada con el fluido que entra o sale del sistema puede ser: energía interna, energía cinética y energía potencial. Por otro lado, debe recordarse que se requiere una energía o trabajo de flujo para introducir o expulsar el flujo de masa del sistema. En consecuencia, la energía por unidad de masa e¡ asociada con el fluido que entra o sale del sistema es de la forma

y utilizando la definición de entalpía

\72

(3 .14)

e¡ =h+-+ gz 2

donde los valores de entalpía h, velocidad Vy altura z, se evalúan en las condiciones de entrada o salida del sistema. Introduciendo los conceptos anteriores se puede formular de manera analítica el balance de energía para este sistema abierto. Así,

Q - W+ É¡I -

É¡2

=

O

o bien,

Sustituyendo la ecuación 3.14 y teniendo en cuenta que el flujo de masa es constante, esto es , m= mi = m2

(315)

o , por unidad de masa,

(3 .150)


50

Termodinámica

La ecuación 3 .15 es una forma común de expresar la primera ley de la termodinámica para un sistema abierto que opera en estado estable y con una entrada y una salida de flujo . Mediante la determinación analítica o experimental de todos los términos de esta ecuación menos uno, se puede calcular el restante.

Ejemplo 3.14 Considere una turbina como la de la figura E.3.14, que recibe 25 000 kg/ h de vapor procedente de una caldera, a una presión de 10 bar ya una temperatura de 200 oc.

Figura E.3.14

La turbina descarga el vapor en un condensador con una presión absoluta de 0.05 bar. La entalpía del vapor a la entrada de la turbina tiene un valor de 2828 J/ g con respecto a cierta referencia; el valor correspondiente de entalpía a la descarga de la unidad es de 2040 J / g. Si el proceso de expansión es esencialmente adiabático y los cambios en energía cinética y potencial son despreciables, calcule la potencia desarrollada por la unidad.

Solución Mediante un balance de energía,

w= h,- h2 W =

2828 - 2040

=

788 J/ g

En consecuencia,

W=mw =(25 X 106/ 3600)(788) = 5472.2 kW



n a e

51

Ejemplo 3.15 Durante las pruebas de banco de un motor de combustión intema de automóvil se obtuvieron los siguientes datos:

e

1. Velocidaddel motor

3000 RPM

2. Potencia desarrollada

32 kW

3. Temperatura del agua de enfriamientoa la entrada del motor 4. Temperatura del agua de enfriamientoa la salida del motor

24°e 53°e

5. Flujode masa de agua de enfriamiento 6. Incremento en la entalpía del agua al circularpor el sistema de enfriamiento

8.4 kg/min

7. Presión barométrica

121.2 J/g 954 mbar

a) Utilizando los datos anteriores, calcule el flujo de calor disipado por el motor al sistema de enfriamiento. Suponga que todo el calor disipado por los cilindros se transfiere al agua de enfriamiento. b) Calcule el porcentaje de la potencia desarrollada por el motor que se disipa de forma calorifica. Solución a) Analizando sólo el circuito de refrigeración como sistema y despreciando energía potencial y cinética, tenemos

Ó =rn tlh

a

ne

=

(8.4 x 103/60)(121.2)

=

los cambios en

16.97 kW

Es decir, el motor disipa 16.97 kW en forma de calor.

ab)

%W

=

(16.97) 100 (32)

= 53.03%

Observe la enorme cantidad de calor que se pierde en un motor de automóvil. Esta energía no es prácticamente recuperable, a no ser que se utilice para servicio de calefacción. Ejemplo 3.16 El compresor de una turbina de gas aspira aire ambiente a una presión absoluta de 1 bar y a una temperatura de 25 "C. La presión del aire a la descarga del compresor es de 4 bar, y su temperatura es de 200 "C. La velocidad del aire en la succión del compresor es prácticamente despreciable,


52

Termodinámica

mientras la velocidad de éste a la descarga es de 900 mis. El flujo de masa de aire que se hace pasar a través del compresor es de 1000 kg/ min. La entalpía específica (J/ g) del aire es directamente proporcional a su temperatura (oC). Calcule la potencia requerida por el compresor.

Solución Mediante un balance de energía, - W

v2

= h2 -

hl + _2_

2

= (200 - w=

25)103 + (90)2 2 175 000 + 4050 = 179 050 J/ kg

Por tanto,

W=mw= (1000/ 60) (-179 050) =

-2984.17 kW

Nótese que la contribución de la energía cinética es prácticamente despreciable: del orden de 2.3% de la potencia.

Ejemplo 3.17 Se expande aire en una turbina desde una presión de 5 bar y una temperatura de 600 oC hasta una presión de 1 bar. El volumen específico del aire a la entrada de la turbina es de 501.1 cm 3/ g. Al pasar por la turbina el aire disminuye su entalpía en 342.9 J/ g. Suponiendo que el proceso de expansión se desarrolla sin fricción y es de la forma pv n = e, donde e es una constante y n = 1.45, calcule el calor por unidad de masa que disipa la turbina. Suponga además que los cambios en energía cinética y potencial son despreciables.

Solución Puesto que el proceso no tiene fricción y se produce en estado estable,

w=- fvdp=-C I / n fp-I / n dp Realizando la integración y notando que

w=

e=

PI ví',

-~ r(p2 Jn~1 -11 -1 n

PI



53

Sustituyendo valores = _

w =

(1.45)(5 x 105 )(501.1 x 10-3 ) (0.45)

(O 20.31 _ 1) x

.

317 .132 kJ/kg

Por tanto, q = w + fl,h = 317.312 + (-342.9) =

-25.77 J/ g

Ejemplo 3.18 Cuando un fluido se expande desde una región de alta presión hasta otra de baja presión, por lo general se hace trabajo o se producen cambios en energía potencial o cinética. Cuando no hay tales efectos se dice que el proceso es de estrangulamiento. Mediante una válvula se puede estrangular un fluido, pues, cuando adqUiere una velocidad alta, se disipa en turbulencia. En consecuencia, los cambios en velocidad son pequeños o pueden reducirse a cero mediante la selección apropiada del diámetro en los tubos. El trabajo desarrollado en una válvula es cero y el calor comúnmente es despreciable o igual a cero. A partir de la primera ley de la termodinámica, muestre que el proceso en una válvula es de tal forma que la entalpía del fluido recupera a la salida el valor inicial de la entrada.

Solución De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, q - w = fl,h + fl,(ec) + fl,(ep)

puesto que q = w = fl,(ec) = fl,(ep) = O, (a)

El resultado anterior no implica que la entalpía del fluido se mantenga constante en todo el proceso. Lo que indica es que la entalpía inicial y la final son iguales, por lo que no es posible establecer que el proceso sea isoentálpico. Al proceso de estrangulamiento que obedece la ecuación (a) se le denomina expansión de Joule-Thomson. De lo anterior se concluye que una expansión de este tipo es una forma de fricción, puesto que desaprovecha la capacidad del sistema para realizar trabajo.


54

Termodinámica

Ejemplo 3.19

Entra aire en una tobera convergente con una presión de 1.2 bar y a una temperatura de 100 oc. El aire se expande adi~báticamente de acuerdo con la relación pu l .4 = e, donde e es una constante, hasta una presión de 1 bar. La entalpía del aire disminuye 19.3 J/g durante el proceso. Determine la velocidad del aire a la descarga de la tobera suponiendo que (A 2u¡lAl u2) ~ O, donde Al y A2 se refieren respectivamente a las áreas de la sección transversal en la entrada y en la salida, y uI y U2 denotan de manera similar los volúmenes específicos del fluido a la entrada y a la salida.

Solución Usando la primera ley de la termodinámica,

Puesto que el flujo de masa es constante,

Por consiguiente,

V2

103)

=

(2)(19.3

=

196.47 mi s

Observe que la relación (A2uI/Al u2)

~

X

O implica que la velocidad VI es despreciable.

3.6 La primera ley de la termodinámica para cualquier sistema Considere ahora un sistema abierto en general con ~ entradas y esalidas de flujo como el que aparece en la figura 3.9. Un balance de energía en este sistema general indica que (Flujo neto de calor agregado al sistema) - (Potencia neta desarrollada por el sistema)



55

+ (Flujo de energía asociada con los eflujos de masa que salen del sistema) + (Flujo de energía asociada con los eflujos de masa que salen del sistema) =

Razón de cambio de la energía almacenada o contenida en el sistema

E'k ---+

E

E,¡

w

Figura 3.9. Sistema abierto en general.

Este balance de energía puede escribirse de forma analítica como sigue

o bien (3 .16)

Sustituyendo la ecuación 3.14,

(3.16a)


56

Termodinámica

La ecuación anterior constituye un balance general de energía válido para cualquier sistema. Generalmente, esta expresión va acoplada con el principio de conservación de la materia, que establece lo siguiente

(3.17)

donde m se refiere a la masa del sistema. Algunas de las ecuaciones presentadas antes constituyen casos particulares de la ecuación 3 .16 a) Para un sistema cerrado (Lé1, = Ltmt = O),

.

.

.

Q-W=E o, integrando con respecto al tiempo,

Q - W=!lE

(3.6a)

b) Para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una salida de flujo ,

(E = O,

mI = m2 = m),

Ó-

w= m(ef2 - e

.

jl )

.

.

Q - W = m h2 [

-

hl +

-2 V 2

-2 - VI

2

+ g (Z2

1

- ZI)

(315)

e) Para un sistema adiabático que opera en estado estable, en el que W sea igual a cero y los cambios en energía cinética y potencial sean despreciables,

Ejemplo 3 .20 Por una tubería circula vapor de agua a una presión de 10 bar y a una temperatura de 300 oc. La entalpía del vapor en estas condiciones, con respecto a una referencia, es igual a 3051.2 J / g. Un



57

recipiente vacío está conectado a la tubería a través de una válvula como se ve en la figura E.3.20. Al abrir la válvula, el vapor llena de inmediato el recipiente hasta que la presión alcanza un valor de 10 bar. El proceso de llenado se lleva a cabo de manera adiabática y las energías cinética y potencial del vapor son despreciables. Determine la energía interna por unidad de masa que tiene el vapor en el recipiente al finalizar el proceso. Solución Utilizando la ecuación 3.16a e integrando con respecto al tiempo,

pero

Por tanto, U2 =

Vapor a 10 bar y 300°C

ht

=

305l.2

J/g

--~

---+

:{] -----.....--

----,

-1

1 1

r+'

Sistema

1 1

Vacío

I

1 1 1 1 I

___________ J1

Figura E.3.20.

Ejemplo 3.21 En un sistema de refrigeración comercial entran en el condensador 60 kg/h de freón 12 como vapor con una temperatura de 60°C. Durante el proceso de condensación para transformarse en líquido, el


58

Termodinámica

admis volum de ad

refrigerante disminuye su entalpía en 113.52 J/g. El agua de enfriamiento empleada en el condensador entra a 25°C y se descarga a 40°C, aumentando así su entalpía en 62.8 J/g. Calcule el flujo de masa de agua requerido por el condensador.

SUPO!

Solución Soluc Con el diagrama de la figura E.3.21 y utilizando la ecuación 3.18,

Utílíz:

pero

.

.

mi = m2

.

Y

.

m3 = m4

p

Por tanto, .

.

mI = m3

h3 - h4 h _ h¡

=

(60)

113.52 62.8

=

108.46 kg/h

2 .~

Agua

! ._- .--.0-.

--0

.• ................... . . . -:-.. -: •....,....,-' . . . . . .• ":-•. ....,.-.:-:-.

r:". ""':".-,.:-:-.

Freón 12

.

0)

• ....,.--:--:-,...,

.

. .

.

.

-+ . .. - . . . ~-'-.;....:.-'-.;......;..-;

---

.

.

·-_·0_·

.

-

--0

..

¡ Figura E.3.21.

Ejemplo 3.22 Al finalizar la carrera de escape en un motor de combustión interna, su cámara de combustión queda ocupada por una masa mI de residuos, los cuales tienen una energía interna ul. Durante la carrera de

3.7 Una¡ terme come turbir disipé



59

admisión que le sigue, una mezcla de aire y gasolina se introduce al interior del cilindro mientras el volumen aumenta desde un valor VI hasta un valor V2 . Si m 2 es la masa final total al terminar el proceso de admisión y éste se realiza a una presión constante p , establezca el balance de energía apropiado. Suponga que el proceso es adiabático.

Solución Utilizando la ecuación 3.16a ,

donde

Por tanto, agrupando términos,

3.7 Máquinas térmicas y eficiencia. Refrigeradores y coeficiente de funcionamiento Una máquina térmica es un sistema que recibe calor y desarrolla trabajo mientras realiza un ciclo termodinámico. Un ejemplo típico de máquina térmica lo constituye la planta de generación de vapor como se ve en la figura 3.10. El vapor procedente de la caldera se expande adiabáticamente en la turbina (con lo que desarrolla trabaja), hasta una presión mucho menor. En el condensador el vapor disipa calor al transformarse en líquido.

W bomba

TURBINA

O caldera

BOMBA

~w,"' '".

Q co nde nsador

Figura 3 . 10. Planta de generación de vapor.


60

Termodinámica

Puesto que la presión en el condensador es mucho menor que la presión en la caldera, una bomba incrementa la presión del líquido para introducirlo en ella, requiriéndose un trabajo negativo. Al agregar calor en la caldera el líquido se transforma en vapor, completándose así el ciclo termodinámico. El análisis de toda la planta de generación de vapor como un sistema cerrado indica que

Puesto que no todo el calor suministrado al sistema se convierte en trabajo positivo, la eficiencia térmica se define como la fracción del calor suministrado al sistema en el ciclo termodinámico que se convierte en trabajo neto positivo. Es decir,

(3 .19)

donde Oent se refiere al calor neto suministrado al sistema, y Osal expresa el calor neto disipado por el sistema (una cantidad negativa). En el caso de la planta de generación de vapor descrita arriba, Oent corresponde al calor suministrado en la caldera, y Osal al calor disipado en el condensador. Por otra parte, f dW = W neto = Wturbina + Wbomba' El trabajo de la bomba, cantidad negativa, es generalmente muy pequeño comparado con el trabajo desarrollado por la turbina. Por consiguiente, W neto = Wturbina' Un refrigerador es un sistema que toma calor de una región de baja temperatura y cede calor a otra de mayor temperatura mientras se le suministra trabajo en un ciclo termodinámico. En la figura 3.11 aparece el diagrama de un refrigerador que funciona mediante la compresión de vapor. El refrigerante (freón 12, amoniaco, etc.) en forma de vapor se hace pasar por el compresor, aumentando así su presión y su temperatura. El compresor requiere un trabajo negativo para impulsarse. El refrigerante pasa a continuación por el condensador, transformándose en líquido y cediendo calor hacia los alrededores. Puesto que la presión es mayor en el condensador que en el evaporador. el refrigerante se expande de forma adiabática en la válvula de expansión hasta alcanzar la presión de este último. Para finalizar, el fluido o medio de trabajo se vaporiza en el evaporador, tomando calor de la región de baja temperatura, y el trabajo neto suministrado al ,sistema en el ciclo. Esto es,

(3.20)



61

El coeficiente de funcionamiento puede ser mayor o menor que la unidad. Así como la eficiencia térmica constituye un índice del funcionamiento de una máquina térmica, el coeficiente de funcionamiento es un índice del funcionamiento de un refrigerador. Estos índices sólo se emplean en ciclos.

Q

condensador

r Refrigerante CONDENSADOR

VÁLVULA DE

COMPRESOR

EXPANSiÓN

W

compresor

EVAPORADOR

Q evaporador

Figura 3 .11 . Refrigerador mediante compresión de vapor.

Ejemplo 3.23

Considere el siguiente ciclo termodinámico constituido por cuatro procesos : Proceso

Q

w

1 2 3 4

30 -10 -20 5

3 10 -8

Calcule la eficiencia térmica del ciclo.

O


62

Termodinámica

Solución 11 = Wneto = (3 + 10 - 8) = 0.1429 Qent

11

=

(30 + 5)

14.29%

Ejemplo 3.24 Un refrigerador comercial que emplea freón 12 tiene un coeficiente de funcionamiento igual a 4.5. a) Calcule la potencia que requiere el compresor si el flujo de calor que toma el evaporador es

igual al kW. b) Calcule la magnitud del flujo de calor que disipa el condensador.

Solución a)

Iv\!

1=

e

Qent

~

= 1000 = 222.2W 4.5

b) Mediante un balance de energía

I Qsal I =IV\!C I+ Qent =

1000 + 222.2

=

1222.2 W

3.8 Resumen Uno de los axiomas más importantes de esta materia es la primera ley de la termodinámica, que establece: la energía no se crea ni se destruye en los procesos, sólo se transforma. La definición de trabajo es más amplia en termodinámica que en mecánica. Trabajo es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a través de las porciones de los límites del sistema en que no hay transferencia de masa, como consecuencia de una diferencia en una propiedad intensiva diferente de la temperatura entre el sistema y sus alrededores.

Por convención, se dice que el trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores es positivo , mientras que el trabajo hecho por los alrededores sobre el sistema es negativo. La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de unidades es el joule.



63

En un sistema cerrado simple estacionario, donde no hay fricción y la presión es uniforme, el trabajo total hecho por o sobre el sistema se expresa así W=

f p dV,

f

w = p dv

Si el sistema (cerrado) ejecuta Un ciclo termodinámico, Wneto

= f p dV ,

wneto

= f p dv

Si el sistema cerrado en cuestión experimenta cambios significativos en energía potencial y cinética, el trabajo total por unidad de masa hecho por o sobre el sistema queda determinado mediante la siguiente expresión -

W=

f

2

-

2

V2 - VI p dv - g(Z2 - zl) 2

En el caso de un sistema abierto que opera sin fricción, en estado estable, y con una entrada y una salida de flujo,

Por estado estable se entiende que todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen invariables con el tiempo. Calor es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a través de las porciones de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa, como consecuencia de la diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores.

El calor se transfiere de mayor a menor temperatura. Por convención, se dice que el calor suministrado a un sistema es positivo, mientras que el calor cedido por un sistema a sus alrededores es negativo. Un proceso es adiabático si el calor en él es igual a cero. La unidad de calor en el Sistema Internacional de unidades es el joule. La primera ley de la termodinámica establece que el calor neto agregado a un sistema que opera cíclicamente es igual en magnitud al trabajo neto desarrollado por éste. De forma analítica,

f dQ= f

dW


64

Termodinámica

Este principio axiomático postula la existencia de una propiedad extensiva del sistema E, conocida como energía del sistema, esto es, -2

mV E=U+--+mgz, 2

\72

e=u+-+ gz 2

donde U es la energía interna. Esta forma de energía está asociada con el estado termodinámico de la materia que constituye el sistema. Generalmente, la energía interna u de una sustancia pura depende de la temperatura y de la densidad. Para un sistema cerrado, la primera ley de la termodinámica puede escribirse así

Q- W= L\E,

q - w = L\e

En ausencia de cambios significativos en energía cinética y potencial, la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado se simplifica

Q- W= L\U,

q - w = L\u

La propiedad termodinámica llamada entalpía se define

H= U+ pV,

h = u + pv

Para un sistema abierto que opera un estado estable, con una entrada y una salida de flujo , la primera ley de la termodinámica puede escribirse

1

-2 - . '. V VI2 Q - W = m h2 - hl + 2 2 + g(z2 - zl) [

o, por unidad de masa, -2

q- w

=

-2

h2 hI + V2 - VI + g (z2 2

ZI

)

De forma general, la primera ley de la termodinámica puede expresarse así

donde el subíndice ~ se refiere a las ~ entradas de flujo que tiene el sistema; el subíndice ese refiere a las t salidas de flujo, y la energía por unidad de masa e¡ asociada con el fluido es de la forma



65

\72

el =h+-+ gz

2

Una máquina térmica es un sistema que recibe calor y desarrolla trabajo mientras realiza un ciclo termodinámico. La eficiencia térmica está dada por la expresión

Un refrigerador es un sistema que toma calor de una región de baja temperatura y cede calor a otra de mayor temperatura mientras se le suministra trabajo en un ciclo termodinámico. El coeficiente de funcionamiento está dado por la expresión,

Problemas

3.1

Una batería eléctrica, aislada térmicamente, se descarga a presión atmosférica. Durante un periodo de prueba de una hora, el voltaje es de 2 V y la corriente de 50 A. Al mismo tiempo, la temperatura aumenta de 20 a 40 oc. Determine el cambio en la energía interna de la batería durante este periodo de prueba. Respuesta:

3.2

Un gas se comprime sin fricción en un cilindro, desde una presión de 1 bar y un volumen de 0.1 m3 hasta una presión de 10 bar. El proceso es de tal forma que pV = e, donde e es una constante. Determine el trabajo hecho por y sobre el sistema y dibuje mediante un esquema el proceso en un diagrama presión-volumen. Respuesta:

3.3

tJ.U = -360 kJ

W = -23.03 kJ

Una bomba succiona agua a una presión de 1 bar y la descarga a 8 bar. Despreciando los cambios de densidad, velocidad y altura del agua, estime el trabajo por unidad de masa requerido. Suponga que el proceso se desarrolla sin fricción y que la densidad del agua es de 1 kg/ dm 3 Respuesta :

w = -700 J / kg


66

3.4 ""'

•

1:-

",

Termodinámica

Elesquema de un medidor tipo venturi aparece en la figura P.3.4. Si Al Y A2 son las áreas de sección transversal en donde se registran las presiones Pl y P2, Y P es la densidad del fluido incompresible, demuestre que, en ausencia de fricción,

1" li

3.9 donde

m es el flujo de masa.

3.H

J01

11 P2

lW

3.1:

Figura P.3.4.

3.1: 3.5

i!l 3.6 3.7

1\

¿Es posible que un sistema realice 100 J de trabajo mientras se le suministran sólo 80 J de calor? ¿Es posible que un sistema disipe 100 J de calor sin disminuir su temperatura? En cada uno de los siguientes sistemas indique si el trabajo y el calor son positivos, negativos o iguales a cero. Defina claramente el sistema y sus alrededores.

3.1

a) Tobera

3.1

b) Difusor

e) Caldera d) Válvula

II! I

3.8

e) Compresor f) Condensador g) Bomba de agua h) Motor eléctrico

Un aire acondicionado tiene las siguientes características: Temperatura exterior Temperatura interior

3.1



67

Capacidad de enfriamiento 270 kJ/ min Potencia del compresor 1 kW Determine el coeficiente de funcionamiento y el calor disipado por el condensador.

Respuesta:

4 .5; 5 .5 kW

3.9

Una mezcla de aire y gasolina se encuentra en un recipiente rígido y aislado térmicamente. La mezcla se enciende por medio de una bujía. Como consecuencia de la combustión, la presión y la temperatura aumentan. Despreciando la pequeña cantidad de energía suministrada por la bujía, determine el trabajo total hecho por y sobre el sistema. 3.10 Un gas se expande sin fricción de acuerdo con la relación pv Q = C, donde a y C son constantes. Derive una expresión para calcular el trabajo hecho por el gas, si éste se expande desde un estado PI' Vl , hasta un estado P2' V2 , en a) un sistema cerrado b) un sistema abierto en donde los cambios en energía potencial y cinética son despreciables.

3.11 Un motor de inducción trifásico de 440 V y 56 kW toma una corriente de 89 A con un factor de potencia de 90%. El motor se enfría forzando aire a través de él. ¿Cuánto calor debe ser disipado al aire de enfriamiento y a los alrededores para que el motor opere con una temperatura constante?

Respuesta:

5 kW

3.12 Establezca de manera clara las condiciones para la validez de la ecuación 3.4 y discútalas en relación con el flujo de un fluido incompresible en un tubo de sección transversal constante, donde los cambios en energía cinética y potencial sean cero, pero Jvdp *- O. 3.13 Una mezcla de aire y vapor de agua con una entalpía de 125 J/ g entra en un deshumidificador a razón de 300 kg/ h. Por otra parte, se drena agua con una entalpía de 42 J / g a razón de 5 kg/ h. La mezcla de aire y vapor de agua sale del aparato con una entalpía de 46 J / g. Determine el flujo de calor que se disipa en ese proceso. 3.14 Resuelva el ejemplo 3.20 empleando en el análisis un sistema cerrado, esto es, todo el vapor que ocupará el recipiente al terminar el proceso de llenado. 3.15 La transferencia de calor de una persona hacia los alrededores es normalmente del orden de 120 W. Supóngase que en una sala en la que se encuentran 100 personas, el aire acondicionado falla. ¿Cuál es el incremento en energía interna que sufre el aire de la sala en un intervalo de 10 minutos? Si se considera como sistema toda la sala y se supone que no hay transferencia de calor, ¿cuál es el incremento en energía interna del sistema en el mismo intervalo?

Respuesta: 7200 kJ , O kJ


68 Termodinámica

3.16 El refrigerador en una cocina se deja accidentalmente abierto y en operación. Indique si la energía interna del aire que lo rodea aumenta, disminuye o permanece constante. 3.17 Un sistema cerrado realiza 30 J de trabajo mientras disipa 10 J de calor en un proceso . El sistema retorna a su estado original a través de un proceso en el que se hacen 4 J de trabajo sobre el sistema. Calcule el calor añadido o cedido durante este segundo proceso y la eficiencia térmica del ciclo. Respuesta:

36 J, 72 .2%

3.18 Establezca claramente las limitaciones de la ecuación dq - pdv = du ¿Es válida esta expresión para un sistema abierto? 3.19 La energía almacenada por un sistema aumenta 55 J durante un proceso, mientras que realiza 100 J de trabajo sobre los alrededores. Calcule la transferencia de calor en el proceso. ¿Es posible calcular la eficiencia térmica de este proceso? 3.20 ¿Es posible tener una eficiencia superior o igual a 100%? 3.21 Una licuadora aislada térmicamente contiene 20 g de hielo picado. Estime el tiempo en que el hielo se convertirá en líquido si la licuadora emplea para mover sus aspas un motor de 0.1 kW. Se requieren 335 J para fundir un gramo de hielo.

Respuesta : 67 s

3.22 Un recipiente rígido contiene 1 kg de aire a 20 oC y 1 bar. Agregando calor la presión del aire se duplica. Calcule el trabajo hecho por y sobre el sistema. 3.23 Repita el ejemplo 3.22 pero utilice un sistema cerrado en el análisis. 3.24 Un motor de combustión interna se coloca en un dinamómetro para determinar la potencia y el par como función de su velocidad. Se encuentra que el par varía con la velocidad de acuerdo con la relación, T

=400 sen (~ ~) 2 3000

donde el par T está en N-m y la velocidad N en revoluciones por minuto. Calcule la potencia del motor a 2000 rpm.

Respuesta:

67 .78 kW

3.25 Un gas con una presión absoluta constante de 35 bar actúa sobre un émbolo que tiene un diámetro de 10 cm. Calcule el trabaja realizado por el gas cuando el émbolo se mueve sin fricción a lo largo de un desplazamiento de 10 cm . Respuesta:

2748.89 J



69

3.26 Un sistema cerrado desarrolla un ciclo compuesto por cuatro procesos. Complete la siguiente tabla si el trabajo total neto desarrollado por el sistema durante este ciclo es igual a 200 kJ Y calcule la eficiencia térmica. Proceso

Q,kJ

W, kJ

1-2 2-3 3-4 4-1

180 90

70

L'lU, kJ

130 120

O

Respuesta:

74.07%

3.27 Se encuentra que en muchos procesos reales, los gases satisfacen la relación pu 13 = C, donde C es una constante. Determine el trabajo en joules que realiza el aire en un dispositivo pistóncilindro cuando se expande desde 0.01 m 3 y 3 bar hasta una presión final de 1 bar. 3.28 Un acumulador eléctrico de 12 volts suministra una corriente de 10 amperes a una resistencia durante 0 .20 h. a) Indique si el acumulador desarrolla un trabajo positivo, negativo o cero durante este proceso. b) Si el sistema incluye tanto el acumulador como la resistencia, indique si el trabajo es positivo, negativo o cero.

3 .29 Un globo esférico tiene un diámetro DI cuando la presión absoluta en su interior es PI y la presión atmosférica es Po. Al calentarse el gas, el diámetro del globo se incrementa hasta D2 . La presión absoluta del gas es proporcional al diámetro del globo. Calcule el trabajo desarrollado por el gas en términos de PI' DI Y el cociente de D 2/ DI ' 3.30 Cierta cantidad de aire en un cilindro se expande sin fricción desde 60 bar de presión absoluta y un cierto volumen hasta que éste se hace ocho veces más grande. La densidad del aire al iniciarse el proceso es de 10.45 kg/m 3 . Si durante la expansión se obedece la relación pul A = C, en donde C es una constante, calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por el sistema.

Referencias

1. Hesse, W. J., Jet Propulsion, Pitman Publishing Corp., 1958. 2. Sevems, W. H., Degler, H. E. y Miles, J. c., Steam , Air and Gas Power, John Wiley, 1960. 3. Steam, its Generation and Use, The Babcock & Wilcox Co., Nueva York, 1960. 4. Holman, J. P, Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1969.


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~

4.1 El agl ratur.

ampl


4 Equilibrio entre fases El deseo de conocimiento, com o la sed de riqueza, aumenta a medida que se va adquiriendo. L AU RENCE STER NE

Hasta ahora sólo hemos estudiado algunas propiedades termodinámicas . A continuación se hará un estudio básico acerca del comportamiento y propiedades de las sustancias. El análisis se limitará a sustancias puras, es decir, sustancias físicamente homogéneas y fijas en composición química; por ejemplo, agua, nitrógeno, dióxido de carbono, etcétera. Toda sustancia pura puede existir en equilibrio como sólido, líquido o vapor. ~n algunas circunstancias, también pueden coexistir varias fases en equilibrio, por ejemplo : líquido y vapor, líquido y sólido. Comprender todos estos fenómenos es básico para la determinación de las diferentes propiedades termodinámicas, así como para la selección apropiada de una sustancia como medio de trabajo en un proceso o aplicación dada. También es fundamental para la selección de propiedades que determinen, de una manera única, el estado de una sustancia dada . Como se anotó en la sección 2 .5 , dos propiedades intensivas independientes son suficientes para determinar con precisión el estado termodinámico de una sustancia pura. Dado que una de las sustancias puras más comunes es el agua, se hará referencia a ella con frecuencia. Empero, las deducciones que se obtengan serán completamente generales y válidas para cualquier sustancia pura.

4.1 Equilibrio líquido-vapor El agua, como cualquier sustancia pura, puede existir en la fase líqUida a distintas presiones y temperaturas. Así, a una presión absoluta de 1 bar dicha sustancia se encuentra en su fase líquida en un amplio rango de temperaturas. Sin embargo, a esta presión y a una temperatura de 99.63 oC, el agua


72 Termodinámica

puede encontrarse como líquido, como vapor o como una mezcla de líquido y vapor. Y a temperaturas mayores de 99.63 oc sólo puede existir como vapor si la presión se mantiene constante en 1 bar. De manera análoga, a una presión arbitraria de 10 bar, el agua también se encuentra en su fase líquida a distintas temperaturas. Sin embargo, a una temperatura de 179.91 oC la fase de líquido y la de vapor pueden coexistir en equilibrio, esto es, el agua puede encontrarse como líquido, como vapor o como líquido y vapor. A temperaturas mayores únicamente puede existir como vapor si la presión se mantiene constante. De lo anterior se desprende que hay una correlación entre la presión y la temperatura para la coexistencia de dos fases en equilibrio, esto es: a una presión dada corresponde una temperatura única, donde las fases de líquido y vapor pueden coexistir en equilibrio. En consecuencia, la presión y la temperatura no son propiedades independientes, puesto que una depende de otra, y existe ambigüedad en la determinación del estado termodinámico. Es decir, este par de propiedades no especifica si la sustancia se encuentra como líquido, como vapor o como una mezcla de líquido y vapor.

4.1.1 Diagrama presión-temperatura Las condiciones de presión y temperatura en que coexisten dos fases en equilibrio se llaman cond iciones de saturación, y la presión y temperatura correspondientes se denominan presión de saturación y temperatura de saturación, respectivamente. Cualquier fase que exista en estas condiciones se conoce como fase saturada. En la figura 4.1 se presenta la curva de saturación líquido-vapor para el agua. En todos los estados termodinámicos a lo largo de esta curva, también conocida como línea de vaporización, coexisten la fase de líquido y la de vapor. Los estados que se ubican a la izquierda de esta línea corresponden a los estados de líquido, y los que se sitúan a la derecha de la curva de saturación corresponden a la fase de vapor. En la figura citada se observa que el agua, en este caso, puede vaporizarse a lo largo de esta línea en un rango de presiones y temperaturas muy extenso. En la figura 4.2 se presentan diferentes curvas de saturación líquido-vapor para otras sustancias. Debe destacarse la importancia de estas curvas en la selección apropiada del medio de trabajo en determinado proceso o aplicación.

4.1.2 Diagrama presión-volumen En la figura 4.3 se muestra la curva de saturación líquido-vapor en coordenadas presión-volumen . El área que se halla debajo de la curva de saturación ACB se conoce como región húmeda , y la mezcla de líquido y vapor existente en esta región se conoce como vapor húmedo. Por otro lado, la línea AC corresponde a los estados de líquido saturado, y la línea CB a los estados de vapor saturado seco. El punto C, donde el volumen específico del líquido saturado es igual al del vapor saturado seco, se denomina punto crítico. Este punto corresponde a la presión máxima donde la fase líquida y la fase de vapor pueden coexistir en equilibrio. Para presiones superiores a la presión crítica (presiones supercríticas), sólo puede existir una fase , esto es, líquido o vapor. El punto crítico ha sido motivo de varias investigaciones relacionadas con fenómenos de combustión y transferencia de calor, ya que


4 Equilibrio entre fases

250

e 200

n;

150

.o

c· -o .¡¡; Q)

a:

100

50

o

I

1

I

O

50

100

--====-=r::::150 Temperatura,

I

•

I

I

I

200

250

300

350

400

°C

Figura 4.1. Curva de saturación líquido-vapor para el agua.

40

r

Freón 12

/

30

(¡j .o

20

c· 'o .¡¡; ID

a::

10

I

O -60

.»: - 20

20 Temperatura,

Agua

---60

100

140

°C

Figura 4.2. Curva de saturación líquido-vapor para varias sustancias.

73


74 Termodinámica

Tal 250

•.. '"

Su.

e

l' J;,~

200

150

..

.D '"

¿ 100

·0

.¡;;

'" Q: 50

T=C B

A

O O

25

50

75

100

Volumen específico, cm3/g. Fu

Figura 4.3. Diagrama presión-volumendel agua.

r

!I

pueden ocurrir distintas anomalías en este punto. En la tabla 4.1 aparecen los valores de presión, temperatura y volumen específica de diferentes sustancias en el punto crítico. Todo líquido cuyo estado termodinámico se localiza a la izquierda de la línea de saturación AC se llama líquido subenfriado o líquido comprimido. Esto implica que la temperatura del líquido es menor que la temperatura de saturación para la presión dada, o que la presión es mayor que el valor correspondiente de saturación para la temperatura dada. Por otra parte, se denomina uapor sobrecalentado al vapor cuyo estado termodinámico se ubica a la derecha de la curva de saturación CB. En virtud de que a presiones supercríticas sólo existe una fase, por lo general se conoce como líquido comprimido el fiuido cuya temperatura es subcrítica, y como uapor sobrecalentado el fluido cuya temperatura es crítica o supercrítica. Cabe agregar que las sustancias comúnmente conocidas como gases son vapores altamente sobrecalentados. La presión y la temperatura del líquido comprimido o vapor sobre calentado son propiedades independientes, puesto que la temperatura puede aumentar mientras la presión se mantiene constante y viceversa. Por consiguiente, estas propiedades determinan, de manera única, el estado termodinámico de la sustancia. Lo mismo puede decirse de la presión y el volumen específico, de la temperatura y el volumen específico, etcétera.

satur come estac

presi estac liquk o ter estar ficar a ea

don



75

Tabla 4.1. Constantes críticas de algunas sustancias. Sustancia Acetileno Aire Amoniaco Argón Butano Dióxido de carbono Etano Helio Heptano Hexano Hidrógeno Metano Neón Nitrógeno Octano Oxígeno Pentano Propano Fuente:

Peso molecular

Símbolo

26.038 28.967 17.032 39.944 58.124 44.011 30.070 4.003 100.205 86.178 2.016 16.043 20.183 28.016 114.232 32 72.151 44.097

C2H2 NH3 Ar C4HlO CO2 C2H6 He C7H16 C6H14 H2 CH4 Ne N2 CSH1S °2 CSH12 C3HS

Holman, J. P., Thermodynamics,

Te'

Pe, bar

K

309.5 132.41 405.4 150.72 425.17 304.2 305.43 5.19 540.17 507.9 33.24 190.7 44.39 126.2 569.4 154.78 469.78 370.01

62.4 37.74 112.8 48.63 37.97 73.87 48.84 2.29 27.36 30.34 12.97 46.41 27.22 33.98 24.97 50.80 33.75 42.66

ve'

cm3jgmol 113 93.25 75 74.56 255 94 148 58 426 368 65 99 41.7 90 486 74 311 200

McGraw-Hill, 1988.

En el mismo diagrama presión-volumen de la figura 4.3 se observa que, a determinada presión de saturación, la temperatura de saturación correspondiente permanece constante. En consecuencia, y como se dijo antes, la presión y la temperatura no son propiedades independientes en todos los estados en que dos fases coexisten en equilibrio. Así, los estados a, b y e tienen los mismos valores de presión y temperatura. Sin embargo, la presión y el volumen específicos definen en forma precisa el estado termodinámico de los mismos. El estado se determina al especificar la presión o temperatura de saturación y el volumen específico del líquido saturado VI' De manera análoga, el estado c también queda definido al especificar la presión o temperatura de saturación y el volumen específico del vapor saturado seco vg. Para poder definir el estado termodinámico de b, esto es, de cualquier estado comprendido entre a y e, se puede especificar la presión o temperatura de saturación y el volumen específico. Para fijar este último, considere a continuación la mezcla de líquido y vapor que constituye el vapor húmedo. Por definición,

V

=

Vlíq + Vvap mlíq

donde los subíndices

+ mvap

_ mlíq

vI + mvap v g

mlíq

líq y vap se refieren, respectivamente,

+ mvap al líquido y al vapor.


76 Termodinámica

Definiendo el título o calidad, x, como la cantidad de masa de vapor existente en la mezcla de líquido y vapor,

mvap

x = -----'---

(4 . 1)

En consecuencia, el volumen específico del vapor húmedo b queda expresado de la siguiente manera: u

=

(1 - x)uf + xUg = uf + x(ug - uf)

o bien , U =

uf

+ XUfg

(4. 2)

donde

(4. 3) De lo anterior se desprende que el estado b queda perfectamente definido al especificar la presión o temperatura de saturación y el título. Al asignar un valor numérico a este último, implícitamente se fija el volumen específico. El título puede considerarse como una propiedad intensiva y, expresado de modo decimal, varía entre cero y la unidad . Así, si la masa de vapor es de 0.9 kg y la masa de líquido es de 0.1 kg , el título del vapor húmedo es igual a 0.9 o 90%. También es común decir que el vapor húmedo en cuestión tiene 10% de humedad . Ejemplo 4.1 Un recipiente de 0.1 m 3 contiene 1.5 kg de una mezcla de líquido y vapor a una presión de 5 bar. El volumen específico del líquido saturado a esta presión es de 1.0926 cm 3/ g, y el valor correspondiente del vapor saturado seco es de 374.9 cm 3/ g. a) Calcule el título. b) Calcule la masa y el volumen del líquido. c) Calcule la masa y el volumen del vapor. Solución

a) Utilizando los datos anteriores,

U

= -V = -0.1 = 0.06667m m 1.5

3/kg =· 66.67cm3/g



77

En consecuencia, V-V

66.67 - 1.0926 374 .9-1.0926

x = - -fvg

-

vf

x = 0.175 x = 17.5% (humedad = 82.5%) b) A partir de la definición de título

l - x =

m liq m mezcla

Por tanto, mlíq =

(1 -

x)mmezcla =

(0.825)(1.5)

= 1.24 kg y así,

V1iq =

mUqv¡

= (1.24 x 103 ) (1.0926)

= 1351.4 cm 3 Es decir, el volumen del líquido representa 1.35% del volumen total del recipiente. e) De manera análoga,

x=

mvap m mezcla

Por tanto,

mvap = (0.175)(1.5) = 0.26 kg

y Vvap =

mvapvg

= (0 .26

x

103 )(374.9) = 98 648.6 cm3

El volumen del vapor representa 98.65% del volumen total del recipiente.

Ejemplo 4.2 Un recipiente de 0.1 m 3 de volumen contiene una mezcla de líquido y vapor a una presión de 10 bar. El vapor ocupa 70% del volumen y el líquido el 30% restante. El volumen específico del líquido


78

Termodinámica

saturado a 10 bar de presión es igual a 1.1273 cm 3 j g, y el del vapor saturado seco es igual a 194.44 cm 3j g. Calcule el título de la mezcla.

Solución V!íq = 0 .3V = 0.03 m 3 Vvap = O.7V = 0.07 m 3

Por tanto , 6

0.03 x 10 1.1273 = 26612 .26 g y

0.07 x 10 194.44

6

= 360.01 g

Con la definición de título , 360.01 x

= 26612.26 + 360.01 = 0.0133

x = 1.33% (humedad = 98.67%)

4.1.3 Diagrama presión-entalpía Dado que la presión y la entalpía son propiedades termodinámicas y, por tanto, se pueden emplear como coordenadas , en la figura 4.4 aparece la curva de saturación líquido-vapor en coordenadas presión-entalpía. La línea AC corresponde a los estados de líquido saturado , la línea CB a los de vapor saturado seco y C corresponde al punto crítico. El calor latente se define como la diferencia entre la entalpía (por unidad de masa) de una fase en condiciones de saturación y la entalpía (por unidad de masa) de la otra fase en condiciones de saturación, a la misma presión y temperatura. Así, el calor latente de vaporización, a una presión o temperatura de saturación, o a ambas cosas, queda determinado por la expresión (4.4)

Nótese que en el punto crítico C, el calor latente de vaporización h¡g es igual a cero. Analizando de nuevo los estados a, b y c se observa que el estado a también queda perfectamente definido al especificar la presión o temperatura de saturación y la entalpía del líquido saturado h¡- De manera análoga, el estado c queda determinado al especificar la presión o temp eratura de saturación y la



79

250

e 200

150

:o

.o

I

¿

--~'-I Ia

·0

.¡;; Q)

100

50

a:

b

A/

e

hfg

o~----~----~----~----~----~--~ o 500 1 000 1 500 2000 2 500 3000 Entalpla,

joules/g.

Figura 4.4. Diagrama presión-entalpía del agua.

entalpía del vapor saturado seco hg. El estado b queda definido de manera precisa al especificar la presión o temperatura de saturación y el título, puesto que h El diagrama presión-entalpía (sección 10.9).

=

h¡

+

xh¡g

es de gran importancia en los análisis de sistemas de refrigeración

4.1.4 Diagrama temperatura-volumen En la figura 4.5 aparece el diagrama temperatura-volumen que muestra la curva de saturación líquidovapor. La línea AC representa los estados de líquido saturado, mientras que la línea CB corresponde a los estados de vapor saturado seco. El punto C representa el punto crítico. Se observa también que tanto la presión como la temperatura permanecen constantes en la región húmeda. Ejemplo 4.3 Calcule la cantidad de calor necesaria para transformar de manera isobárica un gramo de agua, desde líquido saturado hasta vapor saturado seco, en un sistema cerrado, sin fricción, y a una presión de 1 bar. Las propiedades del líquido saturado y del vapor saturado seco son:


80

Termodinámica

Utilizar

e Sustítui 350

Es en las e u

o

300

~

4.2 D

Z

e a. 'E"

250

'"

1-

200

A 150

B

o

100 Volumen

200 especifico,

300

cm3/g

Aseme ma pre sólído-x na diaf, dé líqui Asimisr en el qi el noml objeto ( se pres

AL Figura 4.5. Diagrama temperatura-volumen Líquido saturado

Vapor saturado seco ug =

2506.1 J/g

"t = l.0432 cm3/g

vg

=

1694 cm3/g

h¡ = 417.46 J/g

hg

=

2675.5 J/g

u¡=

¡

del agua.

417.36 J/g

!!


el -

w = ~U =

Ug -

u¡

Puesto que el proceso de vaporización se realiza sin fricción,

Arreglando la expresión,

figura 4 al estac fusión 1 ra. Posl de vapc ción. DI la ternt presión a la del la susta mosféri do sólíc

El ( o temp:

da dete



81

Utilizando la definición de entalpía,


q = 2675.5 - 417.46 = 2258 J/ g Es decir, se requieren 2258 J de calor para vaporizar un gramo de agua a una presión de 1 bar en las condiciones descritas.

4.2 Diagrama de fases A semejanza de la curva de saturación líquido-vapor o línea de vaporización que aparece en el diagrama presión-temperatura de la figura 4-1, también se tienen líneas de saturación sólido-líquido y sólido-vapor para una sustancia pura, como puede observarse en la figura 4.6. Esta figura se denomina diagrama de fases . Así como a lo largo de la línea de vaporización coexisten en equilibrio las fases de líquido y vapor, a lo largo de la línea de fusión coexisten en equilibrio las fases sólida y líquida. Asimismo, las fases sólida y de vapor coexisten a lo largo de la línea de sublimación. El único punto en el que las tres fases de una sustancia pura pueden existir de forma simultánea en equilibrio recibe el nombre de punto triple. Es decir, en este punto coexisten las fases sólida, líquida y de vapor. Con el objeto de tener una idea sobre los valores de presión y temperatura en el punto triple, en la tabla 4.2 se presentan algunos valores propios de distintas sustancias puras. Al analizar el proceso isobárico 1-2 en la figura 4.6, la sustancia pasa del estado sólido al estado líquido a través de un proceso de fusión mientras se incrementa la temperatup ra. Posteriormente pasa del estado líquido al de vapor a través de un proceso de vaporización. Durante los procesos de cambio de fase Punto crrtico la temperatura permanece constante. Si la presión es menor que el valor correspondiente a la del punto triple, como en el proceso 3-4, __~--------~--__ 2 la sustancia (por ejemplo, CO 2 a presión atmosférica) se sublima directamente del estavapor do sólido al estado de vapor. El calor latente de fusión a una presión o temperatura de saturación, o a ambas, queda determinado mediante la expresión, T

(4.5) Figura

4.6. Diagrama de fases de una sustancia pura .


82 Termodinámica donde h¡ es la entalpía del líquido saturado y hi es la entalpía del sólido saturado. De manera análoga, el calor latente de sublimación a una presión o temperatura de saturación, o a ambas, queda definido mediante la relación,

(4.6) Debe agregarse que una sustancia pura puede existir en una variedad de fases sólidas (a, y, etc.) y exhibir varios puntos tríples, por ejemplo, dos fases sólidas y una fase líquida, dos fases sólidas y una fase de vapor, etc. Sin/embargo, existe sólo un punto triple único que involucra las fases sólida, líquida y de vapor. Tabla 4.2. Constantes en el punto triple de algunas sustancias. Sustancia Agua Díóxído de carbono Hidrógeno Nitrógeno Oxígeno Plata

T,K

273.16 216.5 14 63.4 54.8 1233

Fuente: Sonntag, R. E., Van Wylen, G. J., Introduction Clasical and Statistical, John Wiley, 1971.

p, bar

0.0061 5.173 0.072 0.125 0.0015 0.0001 to Thermodynamics:

E dinárr El proceso de transformación de una fase sólida a otra se denomina transformación alotrópica. El análisis de estas fases sólidas es de especial importancia en estudios metalúrgicos. En la figura 4.7 se presenta un diagrama presión-volumen-temperatura de una sustancia pura.

4.3 Tablas de propiedades

111

Con el objeto de obtener de manera cuantitativa los valores de diferentes propiedades termodinámicas, como presión, volumen específico, temperatura, energía interna, etc., se han elaborado tablas para diferentes sustancias puras. Keenan et al., * han desarrollado tablas de propiedades termodinámicas para el agua. Puesto que la primera ley de la termodinámica sólo establece diferencias en energía interna, los autores mencionados asignan a la energía interna del líquido saturado en el punto triple (273.16 K) un valor arbitrario de cero.

* Keenan, J. H., Keyes, F. G., Hill, P. G., Maore, J. G., Steam TabJes, John Wiley, 1969.

100 o

sature energ de 25 2257 nar ddiente espec A del as tura e sature espec de 46 sature vapor



83

Figura 4.7. Diagrama presión-volumen-temperatura de una sustancia pura que, como el agua, se expande al congelarse.

En la tabla A.1 (véase en el apéndice al final del libro) se presentan diferentes propiedades termodinámicas del agua a distintas temperaturas de saturación. Así, a una temperatura de saturación de 100 oC la presión de saturación correspondiente es de 1.0135 bar, el volumen específico del líquido saturado es de 1.0435 cm3/ g, el volumen específico del vapor saturado seco es de 1672.9 cm 3/ g, la energía interna del líquido saturado es de 418.94 J/ g, la energía interna del vapor saturado seco es de 2506.5 J/ g, la entalpía del líquido saturado es de 419.04 J/ g, el calor latente de vaporización es de 2257 J/ g, la entalpía del vapor saturado seco es de 2676.1 J/ g, etc. De manera análoga, al seleccionar de forma arbitraria una temperatura de saturación de 200 oC, la presión de saturacion correspondiente es de 15.538 bar, el volumen específico del líquido saturado es de 1.1565 cm 3/g, el volumen específico del vapor saturado seco es de 127 .36 cm 3/g, etcétera. A semejanza de la tabla Al, en la tabla A2 se muestran las mismas propiedades termodinámicas del agua a diferentes presiones de saturación. En la tabla A11a variable independiente es la temperatura de saturación, mientras que en la tabla A2 es la presión de saturación. Así, a una presión de saturación de 4 .0 bar, la temperatura de saturación correspondiente es de 143.63 oC, el volumen específico del líquido saturado es de 1.0836 cm 3/ g, el volumen específico del vapor saturado seco es de 462.5 cm 3/ g, la energía interna del líquido saturado es de 604.31 J/ g, la energía interna del vapor saturado seco es de 2553.6 J / g, la entalpía del líquido saturado es de 604.74 J /g, el calor latente de vaporización es de 2133.8 ,J / g, la entalpía del vapor saturado seco es de 2738.6 J / g, etcétera.


84 Termodinámica

En el punto crítico, los volúmenes específicos del líquido saturado y del vapor saturado seco son iguales, y el calor latente de vaporización es igual a cero. En la tabla A3 se presentan algunas propiedades termodinámicas del agua en la región de vapor sobrecalentado a diferentes presiones y temperaturas . En la columna de la izquierda se muestra la presión y, entre paréntesis, su correspondiente temperatura de saturación . El resto de las columnas indican los valores correspondientes de v, h y s para distintas temperaturas a una presión dada. Por ejemplo, la entalpía del vapor sobrecalentado a una presión de 70 bar y a una temperatura de 400 oC es de 3158.1 J/ g. Aunque las propiedades del líquido subenfriado o comprimido podrían tabularse de una manera similar a las del vapor sobrecalentado, las propiedades del líquido comprimido no difieren esencialmente de las del líquido saturado a la misma temperatura . Lo anterior se observa en las figuras 4.3 y 4.4. Por ejemplo, a una presión de 25 bar y a una temperatura de 100 oC, el volumen específico del líquido comprimido es de 1.0423 cm 3/ g y la entalpía es de 420.85 J/ g. Sin embargo , a 100 oC (1.0135 bar), el volumen específico del líquido saturado es de 1.0435 cm 3 / g y la entalpía correspondiente es de 419.04 J/ g. Nótese que una diferencia de presión de 24 bar, aproximadamente, causa una diferencia de volumen específico de 0.0012 cm 3 / g y una diferencia de entalpía de 1.81 J/ g. Keenan et al., dan tabulados los valores de las propiedades del líquido comprimido. En las tablas A4 y AS, y en las figuras B.3 y B.4 aparecen las propiedades termodinámicas de los refrigerantes 22 y 134a. Ejemplo 4.4

Una turbina toma 5000 kg/h de vapor a una presión de 40 bar y a una temperatura de 300 oc. El vapor entra en la turbina con una velocidad de 60 mi s y se descarga con una velocidad de 200 mi s, 3 m debajo de la entrada. La turbina desarrolla 650 kW y tiene pérdidas de calor estimadas en 30 kW. Una pequeña porción del vapor descargado por la turbina se hace pasar a través de una válvula de estrangulamiento, la cual descarga el vapor a la presión atmosférica de un bar, como se ve en la figura E.4.4.

I

a) ¿Cuál es la temperatura del vapor a la descarga de la válvula? b) Calcule el título del vapor a la descarga de la válvula si es que éste es húmedo. c) ¿Es posible determinar el estado termodinámico del vapor a la descarga de la turbina con la información suministrada?

t---~-+¡.G)

--0) Figura E.4.4.

Solución a) Mediante un balance de energía, q - w = !1h + !1(ec) + !1(ep)



n

85

donde

or la as or

q---

e

Q m

3

-

(30x 10 ) ---,------------,. = -21. 60 J/ g (5x106/3600)

W

(650x103)

m

(5x106/3600)

w=-=

ra n-

=468 J/g

(200)2 - (60? (2)(1000 )

n

ía n-

=

18.20 J/g

e

Según la tabla A.3, a una presión de 40 bar y a una temperatura de 300°C,

h1 = 2960.7 J/g

'0

a

Sustituyendo las cantidades anteriores en el balance de energía,

t.h

=

q - w - t.{ec}- t.{ep}

= =

21.60 - 468.0 - 18.20 - {-0.03}

-507.77 J/g

En consecuencia, h2

=

2960.7 - 507.77

=

2452.93 J/g

Mediante un balance de energía en la válvula, h3

=

h2

=

2452.93 J/g

Para determinar la temperatura del vapor a la descarga de la válvula, por medio de la tabla A.2, a una presión de 1 bar, se tiene


86

Termodinámica

T= 99.63 oc h¡=417.46J/g hg = 2675.5 J/ g h¡g = 2258 J/ g

Puesto que h3 < hg se concluye que el vapor a la descarga de la válvula es húmedo. Por consiguiente, la temperatura es igual a la de saturación, esto es, T3 = 99.63 oC

b) El título del vapor húmedo queda determinado mediante la expresión x3

=

x3 =

h3 -h¡3

2452.93-417.46

h¡g3

2258.0

0.90 (humedad igual a 10%)

c) La entalpía por sí sola no determina el estado termodinámico del vapor a la descarga de la turbina. Ejemplo 4 .5 El radiador de un sistema de calefacción por vapor de agua tiene un volumen de 56 dm 3 y emplea vapor saturado seco a una temperatura de 160 oc. Al cerrar perfectamente las válvulas de entrada y salida en el radiador, la temperatura del vapor atrapado disminuye hasta una temperatura ambiente de 20 oC como consecuencia de la transferencia de calor al ambiente. a) Determine la cantidad de vapor atrapado en el radiador. b) Determine el título del vapor cuando la temperatura es de 20 oc. e) Calcule la presión del vapor cuando la temperatura es de 20 oc. d) Determine el calor transferido al ambiente durante el proceso de enfriamiento. e) Dibuje un esquema que ilustre el proceso en un diagrama presión-volumen. Solución a) Según la tabla A.1 , a una temperatura de 160 oC,

p

=

vg

=

ug

=

6.178 bar 307.1 cm 3/ g 2568.4 J/ g

En consecuencia, m

V

(56 x 10 3 )

vg

307.1

=- =

= 182.35 g



b) Puesto que el proceso de enfriamiento se realiza a volumen constante, U2 = UI = 307 .1 cm 3/ g

Según la tabla A.1 , a una temperatura de 20 oC, p

=

uf =

ug = uf =

ug =

0.02339 bar 1.0018 cm3/ g 57 791 cm 3/ g 83.95 J/ g 2402.9 J/ g

Puesto que uf < u2 < ug a 20 oC, se concluye que el vapor es húmedo. Por tanto ,

x2

=

U2 - uf2

=

ug2 -u f2

x2 =

00053

x2 =

0.53%

307.1- 1.0018 57791-1.0018

e) Según los resultados anteriores,

P2 = 0.02339 bar d) Mediante un balance de energía en este sistema cerrado,

Du

q

=

=

u gI

=

u2 -

uI

donde , UI

= 2568.4 J/ g

También U2

= uf2 + X2 Ufg2 = 8395 + (0 .0053)(2402.9 - 83.95) = 96 .24 J/ g


q

=

96.24 - 2568.4

=

-2472 .16 J/ g

En consecuencia,

Q Q

= =

mq = (182.35)(-2472.16) -450.8 kJ

87


88

Termodinámica

e) En la figura E.4.5 puede observarse el esquema del proceso de enfriamiento a volumen constante.

p,

6.178

2

0.02339

307.1

Figura E.4.5.

Ejemplo 4.6 En un evaporador entra R-134a a una temperatura de 10 oc y con 66% de humedad . Si el refrigerante se transforma en vapor saturado seco y la capacidad de enfriamiento del evaporador es de 7 kW, a) Calcule el flujo de masa de refrigerante requerido en este proceso. b) Calcule el diámetro mínimo de la tubería para que la velocidad no exceda de 10 mi s.

Solución a) Mediante un balance de energía,

donde

Q

7kW



89

Por otra parte, y

En consecuencia, h 2 - h1

=

(1 - xl)h fg

Según la tabla A.5, a una temperatura de 10 oC,

0.793 cm 3/ g 49.48 cm 3/ g 190.87 J/ g

uf =

ug = hfg = Sustituyendo valores en el balance de energía,

.

m =

m

=

Q

-=---=-~-

(l -

Xl

(0.66)(190 .87)

)h fg

55.57 g/s

b) Puesto qu~ el sistema opera en estado estable,

.

AV

m=-u

Entonces, d2

.

4

V

A=~=~ y d2

= 4mu = (4)(55.57)(49.48) = 3.50 cm2 7tV

(7t)(1000)

d = 1.87 cm == 2 cm

Ejemplo 4.7 A través de una tubería de 5 cm de diámetro fluye vapor húmedo a una presión de 50 bar con un título de 0.96. El vapor es estrangulado de modo adiabático hasta una presión de 10 bar mediante una válvula, como se ve en la figu-

~--1----~~------~1~9

b

o

0 Figura E.4.7.


90

Termodinámica

ra E.4. 7. Calcule el diámetro que debe tener la tubería después de la válvula para que el vapor no experimente cambios en velocidad. Solución

Mediante un balance de materia,

Al VI A2 V2 --=-Puesto que se requiere que VI sea igual a V2 ,

Según la tabla A.2, a una presión de 50 bar, 263.99 oC 3 1.2859 cm /g 3 39.44 cm /g 1154.23 J/g 1640.1 J/g

T uf ug hf hfg

En consecuencia, Uf + XUfg = 1.2859 + (O 96)(39.44 - 1.2859) 37 .91 cm 3/g

UI UI

También hI hl

= =

hf + xhfg = 1154.23 + (0.96)(1640.1) 2728.73 J/g

Mediante un balance de energía en la válvula, h 2 = h l = 2728.73 J/g

Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar, T uf ug hf hg h fg

179.91 oC 1.1273 cm3 /g 194.44 cm 3/g 762.81 J/g 2778.1 J/g 2015.3 J/g



91

Puesto que h2 < hg, se concluye que el vapor a la descarga de la válvula es húmedo . Por tanto , X2

= h2 - hf = 2728.73 -762.81 = 0.98

hfg

2015.3

además, U2 =

uf + xUfg = 1.1273 + (0.98}(194.44 - 1.1273)

U2 =

190.57 cm 3/ g

Por último,

d~ = di ~ = (5l UI

190 .57 = 125.67 cm 2 37.91

Por tanto, d2

=

11.21 cm

Vapor -. a 10 bar y 300 oC ---11'---

Ejemplo 4.8

Por una tubería circula vapor de agua a una presión de 10 bar y a una temperatura de 300 oc. Un recipiente vacío está conectado a la tubería a través de una válvula, como se ve en la figura E.4 .8. Al abrir la válvula, el vapor llena de inmediato el recipiente hasta que la presión alcanza un valor de 10 bar. El proceso de llenado se lleva a cabo de forma adiabática, y las energías cinética y potencial del vapor son despreciables. Determine la temperatura que alcanza el vapor en el recipiente al finalizar el proceso de llenado. Solución

a)

.

I I

I I

500 460 I - - - -......----~ 400

300

200~-~~--~--~~--~---

2500

Mediante un balance de energía,

....

II Vacío I~ Sistema

2700

2900 b)

Figura E.4.8.

3100 u, J/g

3300


92 Termodinámica

donde el subíndice

t se refiere a las condiciones

Segúr

del vapor en la tubería,

Pero Dem Entonces,

U2

=

ht

Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y a una temperatura

de 3QO °C, En co

ht

=

3051.2

J/g

U2 =

3051.2

J/g

Por tanto, Sustit

Puesto que la presión y la energía interna determinan el estado final del vapor en el recipiente, temperatura final se obtiene por medio de la tabla A.3, Esto es, a la presión de 10 bar,

la

4.41 T

h

v

u

200 300 400 500

2827.9 3051.2 3263.9 3478.5

206 257.9 306.6 354.1

2621.9 2793.2 2957.3 3124.4

Dos ¡: intem y

cale

r

H~

De la figura E.4.8 se obtiene

un valor de T2

=

460°C.

Ejemplo 4.9 Calcule la potencia desarrollada por una turbina de vapor que recibe 5000 kg/h de vapor saturado seco a una presión absoluta de 10 bar. La presión absoluta a la descarga es de 40 mbar y el título del vapor es de 0.86. Suponga que el proceso es adiabático y que los cambios en energía cinética y potencial son despreciables.

Solución Mediante

un balance de energía,

w

e

la ten a pre: presk tura y que lé Por te men



93

Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar, h 1 = hg = 2778.1 J/g

De manera análoga, a una presión de 0.040 bar, h¡ h¡g

121.46 J/g 2432.9 J/g

En consecuencia, h2 h2

h¡ + xh¡g = 121.46 + (0.86)(2432.9) 2213.75 J/g

Sustituyendo valores en la expresión de la potencia, W

(5 x 10 6/3600)(2778.1 - 2213.75)

W

783.8 kW

4.4 Calores específicos Dos propiedades termodinámicas de gran importancia están relacionadas con la entalpía y la energía interna de una sustancia. Estas propiedades se conocen como calor específico a presión constante, cp ' y calor específico a volumen constante, c u ' y están definidas mediante las siguientes expresiones:

(4.7)

(4.8)

Cada uno de los calores específicos denota la razón de cambio de una propiedad con respecto a la temperatura, mientras otra se mantiene constante. Asimismo, la definición del calor específico a presión constante implica que la entalpía de una sustancia pura es función de la temperatura y de la presión. En consecuencia, el calor específico a presión constante depende en general de la temperatura y la presión. De manera análoga, la definición del calor específico a volumen constante implica que la energía interna de una sustancia pura es función de la temperatura y del volumen específico. Por tanto, el calor específico a volumen constante depende en general de la temperatura y del volumen específico. Sin embargo, cuando los gases están a presiones relativamente bajas, los calores .


94 Termodinámica

específicos sólo dependen de la temperatura. En el caso de líquidos y sólidos, los calores específicos a presión y a volumen constante son, en esencia, iguales en magnitud, y dependen fundamentalmente de la temperatura. En las ecuaciones 4.7 y 4.8 se observa que los calores específicos son infinitos cuando la sustancia pura exhibe un cambio de fase . Ejemplo 4.10

Determine el calor específico cp del agua a una presión de 30 bar ya una temperatura de 400

oc.

Solución Según la tabla A.3 del vapor, p, bar

T, °C

h, J/ g

30 30

410

3253.6 3208.0

390

Mediante la definición, C

:::: p

D.h D.T

J = 3253.6 - 3208.0 = 2.28 JI 410-390 p

K g

4.5 Coeficiente de Joule-Thomson El coeficiente de Jou/e-Thomson se define como sigue:

p -OTJ -

op

h

(4 .9)

Esta propiedad termodinámica da una indicación del cambio de temperatura que experimenta una sustancia al expandirse de forma isoentálpica entre dos límites de presión dados. A partir de las líneas de entalpía constante que aparecen en la figura 4.8, se observa que el coeficiente de JOl}leThomson puede ser positivo, negativo o cero. La línea que pasa por todos los puntos en que el coeficiente de Joule-Thomson es igual a cero y se denomina línea de inversión. El coeficiente J.1 es negativo en la región ubicada a la derecha de la línea de inversión y positivo en la región de la izquierda. Cualquier fluido que sufra una expansión a entalpía constante entre presiones localizadas a la izquierda de la línea de inversión disminuye su temperatura. Del mismo modo, el fluido aumenta su temperatura si la expansión se realiza entre presiones localizadas a la derecha de la línea de inversión .



95

T

h=C

p

Figura 4.8. Variación de la temperatura como función de la presión en procesos isoentálpicos .

Si durante la expansión el fluido cruza la línea de inversión, primero aumenta su temperatura y luego disminuye de forma progresiva. Sin embargo, existe una temperatura, la temperatura de inversión máxima, sobre la que no es posible enfriar un fluido con una expansión a entalpía constante.

4.6

Coeficiente de expansión volumétrica. Coeficiente de compresibilidad isotérmica

El coeficiente de expansión volumétrica, ~, es una indicación del cambio en volumen (o densidad) que sufre una sustancia, como consecuencia de un cambio en la temperatura mientras la presión se mantiene constante. Por definición,

~=1:~) =_~ ap ) vaT

p

P aT

p

(4 .10)

De manera análoga, el coeficiente de compresibilidad isotérmica , /(T' es una indicación del cambio en volumen (o densidad) que sufre una sustancia como consecuencia de un cambio en la presión mientras la temperatura se mantiene constante. Por definición,


96 Termodinámica

(4.11)

En las tablas 4.3 y 4.4 se presentan algunos valores de estas propiedades. Estos coeficientes generalmente dependen de la presión y de la temperatura. Tabla 4.3. Coeficiente de expansión volumétrica de varios sólidos. Sustancia Cobre Hielo Hierro Hule Plomo

pX

T, oC

10 7 , K-l

499.8 1125 355 4870 839.9

O a 100 -20 a-1 O a 100 20 O a 100

Fuente: Lange, N. A., Handbook 01 Chemistry, McGraw-HiII, Nueva York , 1967.

Tabla 4.4. Coeficiente de compresibilidad isotérmica de varios líquidos. Sustancia

T, °C

p, MPa

Aceite Alcohol etílico Alcohol metílico Mercurio Octano Petróleo

14.8 20 O 22.8 23 16.1

0.1 a 1 0.1 a 5 0.1 a 50 0.1 a 50 O a 0.1 0.1 a 1.5

~TX J011,

Pa- 1

46 .6 110 78 3.8 119 75.8

Fuente: Lange, N. A. , Handbook 01 Chemistry, McGraw-Hill , Nueva York, 1967.

Ejemplo 4.12

Un bloque de cobre de 1 kg se comprime desde una presión de 1 bar hasta una presión de 100 bar mientras la temperatura se mantiene constante en 20 oc. Determine el trabajo hecho sobre el cobre si el coeficiente de compresibilidad isotérmica es igual a 8.5 x 10- 12 Pa- 1 , y el volumen específico es igual a 1.13 x 10-4 m 3jkg.

Solución

Según la ecuación 4. 11,

du

I

T = C = - UKT

dp



97

Por tanto ,

w

= -

JvKTPdp 2

VKT PI

w= - - - -

2


w =

-0.05 J/kg

w= - 0.05 J 4.7 Resumen Toda sustancia pura puede existir en equilibrio como sólido, líquido o vapor. En algunas circunstancias, también pueden coexistir varias fases en equilibrio, como líquido y vapor, como líquido y sólido, etcétera. Las condiciones de presión y temperatura en que dos fases coexisten en equilibrio se denominan condiciones de saturación , y la presión y temperatura correspondientes reciben el nombre de presión de saturación y temperatura de saturación, respectivamente. Cualquier fase que exista bajo estas condiciones tiene la denominación de fase saturada. En todos los estados termodinámicos a lo largo de la línea de vaporización, coexisten la fase de líquido y la fase de vapor. Si la temperatura del líquido es menor que la temperatura de saturación para una presión dada, o la presión es mayor que el valor correspondiente de saturación para una temperatura dada , se dice que el líquido es subenfriado o comprimido. Si el vapor existe a una temperatura mayor que la de saturación correspondiente a una presión dada, se conoce como vapor sobrecalentado. El estado termodinámico en que el volumen específico del líquido saturado es igual al del vapor saturado seco se conoce como punto crítico. Las condiciones de presión y temp eratura en que tres fases pueden coexistir en equilibrio quedan determinadas por el punto triple. El calor latente se define como la diferencia entre la entalpía (por unidad de masa) de una fase en condiciones de saturación, y la entalpía (por unidad de masa) de la otra fase en las mismas condiciones de saturación. De acuerdo con esta definición, se tiene el calor latente de vaporización , el calor latente de fusión y el calor latente de sublimación.


98

Termodinámica

Los calores específicos a presión constante y a volumen constante se definen mediante las expresiones

e u -

au)

aT

u

El coeficiente de Joule-Thomson se define así

aapTJ

11- -

h

El coeficiente de expansión volumétrica se define como sigue

El coeficiente de compresibilidad isotérmica se define

Problemas 4.1

Indique si en los siguientes estados termodinámicos el agua se encuentra como líquido comprimido, como vapor húmedo o como vapor sobrecalentado: a) p b) p e) p

=

4 bar

=

d) T

=

e) p f) T

=

30 bar 15 bar 500 oC 15 bar 150 oC

=

=

T T T h v v

=

= = = = =

125 oc. 200 oc. 400 oc. 3450 J j g. 240 cm 3 j g. 100 cm 3 jg. Respuestas:

a) b) e) d) e)

Líquido comprimido líquido comprimido Vapor sobrecalentado Vapor sobrecalentado Vapor sobrecalentado f) Vapor húmedo



4.2

Considere una unidad de aire acondicionado de ventana que emplea R-22 y tiene 1.5 toneladas de capacidad de enfriamiento. El refrigerante sale del condensador como líquido saturado a una temperatura de 46 oC y es descargado por la válvula de expansión a 4 oc. El flujo de masa de refrigerante a través de la unidad es de 35.5 g/s. a} Calcule la presión a la entrada y a la descarga de la válvula. b} Calcule el título del vapor a la descarga de la válvula de expansión. c} Determine el flujo de calor que toma el evaporador si el refrigerante es descargado de éste como vapor saturado seco .

Respuestas:

~nt =

17.71 bar 5 .66 bar b} x = 0.263 e} Calor = 5272.82 W a}

~al

4.3

99

=

Un recipiente rígido de 8 dm 3 contiene vapor húmedo a una presión absoluta de 1 bar. Si la cantidad de vapor en el recipiente es de 7.85 g, a} Calcule el calor que debe suministrarse al sistema para transformarlo en vapor saturado seco. b} Calcule la presión final.

Respuestas:

a} 6701.1 J

b} 1.72 bar

4.4

En una tobera entra vapor de agua a una presión absoluta de 7 bar, una temperatura de 200 oC y una velocidad prácticamente despreciable. El vapor se descarga a una presión de 2 bar y a

una velocidad de 200 m/s. Si el proceso de expansión es adiabático, calcule el título del vapor a la descarga si éste es húmedo o la temperatura del vapor si es sobrecalentado .

Respuesta:

4.5

177.38 oC

Un calorímetro de estrangulamiento es un dispositivo utilizado para medir el título de un vapor húmedo. El calorímetro toma una muestra pequeña y continua del vapor húmedo que se quiere analizar, y lo expande de una manera adiabática hasta la presión atmosférica. Después de este estrangulamiento adiabático y a entalpía constante, se registra la temperatura y la presión del vapor sobrecalentado. Determine el título del vapor en una tubería si su presión es de 20 bar, y un calorímetro de estrangulamiento reporta los siguientes datos: Temperatura del vapor a la descarga = 150 oC Presión del vapor a la descarga = 1 bar

Respuesta:

0.99


100 Termodinámica

4.6 4.7

Indique la posibilidad o imposibilidad de emplear agua como medio de trabaja en un sistema de refrigeración. Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de la forma

T

v=Cp donde C es una constante. Determine el coeficiente de expansión volumétrica ~ para estos gases.

Respuesta: l i T 4.8

Determine la variación del calor específico a presión constante del agua como función de la temperatura si la presión es igual a 1 bar. A esta presión (véase la tabla)

T, °C

h, J/ g

140 160 190 210 240 260 290 310 380 420

2756.5 2796.2 2855.5 2895.1 2954.5 2994.3 3054.2 3094.5 3236.9 3319 .6

Nota: Los valores de la tabla pueden correlacionarse mediante mínimos cuadrados, esto es,

h = 2477.373 + 2.022T - 2.738 x 10- 4 T 2 + 5.596

4.9

X

10- 7 T 3

Un gramo de vapor de agua se enfría isobáricamente y sin fricción desde una temperatura de 400 oc hasta una temperatura de 150 oc. Si la presión es de 1 bar, a) Calcule el calor disipado . b) Determine el calor específico promedia en este intervalo de temperaturas.

Respuestas: a) -501.8 J b) 2.01 J/g oC



e

101

4.10 Calcule la energía interna del vapor de agua a una presión de 10 bar y con un título de 0.9. Respuesta.

2401.41 J/g

4.11 Determine la densidad del agua a 20°C y a 1 bar. Respuesta. 0.998 g/cm3

a

4.12 ¿Qué proporción en volumen de líquido y vapor de agua debe tenerse a una presión de 1 bar si, al calentarse la mezcla, ésta pasa por el punto crítico? 4.13 Con las tablas del vapor, construya un diagrama específico de energía interna-volumen. 4.14 Una caldera descarga 1000 kg/h de vapor saturado seco a una presión de 10 bar en un cabezal. Otra caldera suministra 10 000 kg/h de vapor a 400°C en el mismo cabezal. Determine las condiciones del vapor en el cabezal. Respuesta: p = 10 bar T= 379.2 °C 4.15 Una bomba suministra 10 000 kg/h de agua a una presión de 10 bar ya una temperatura de 30°C. Calcule el gasto o flujo volumétrico de agua. 4.16 Una turbina toma 50 000 kg/h de vapor a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400°C. El vapor se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0.05 bar y con 18.6% de humedad. Suponiendo que el proceso es adiabático y los cambios en energía potencial y cinética son despreciables, calcule la potencia desarrollada por la unidad. Respuesta. 15 558 kW 4.17 Una turbina de vapor con una extracción toma 35 000 kg/h de vapor de una caldera a una presión de 40 bar y a una temperatura de 400°C. De este flujo de masa de vapor se extraen 27 000 kg/h como vapor saturado seco a una presión absoluta de 1.5 bar. El resto del vapor se descarga en el condensador a una presión absoluta de 37.5 mm Hg y con un título de 89.5%. Calcule la potencia desarrollada por la turbina. 4.18 Determine el coeficiente de Joule-Thomson del vapor de agua a una presión de 10 bar y a una temperatura de 400°C. 4.19 Considere una turbina a la que se suministran 1.5 kg/s de vapor de agua. Se conocen los siguientes datos de operación:

Presión, bar Temperatura, °C Título Velocidad, mis Elevación con respecto a un plano de referencia, m

Entrada

Salida

30 400

1

50

0.95 100

6

3


102 Termodinámica

Se sabe también que la turbina disipa 8.5 kW de calor hacia los alrededores. a) Determine la potencia de la turbina en kW. b) Determine la temperatura del vapor a la descarga.

4.20 Una olla de presión de uso doméstico emplea un regulador de presión para limitar la presión interna, la cual está calibrada a 1 bar de presión manométrica. Se agrega a la olla una cantidad suficiente de agua para asegurar que las condiciones de saturación prevalezcan durante la cocción. Esta característica permite cocinar con agua a temperatura controlada, que es más alta que la normal en aproximadamente 100 oC, y en consecuencia, el tiempo de cocción se reduce. Suponga que la olla en cuestión contiene 0.25 kg de una mezcla de agua líquida y vapor de agua cuando se alcanza la presión de operación y que el volumen de la olla es 0.004 m 3 Suponga además que la presión barométrica del lugar es igual a 1 bar. a) Calcule la temperatura a la cual ocurre la cocción. b) Determine la masa de líquido y de vapor presentes a la presión de operación. Respuestas : a) T = 120.23 oC b) m líq = 0 .246 kg m vap = 0.00423 kg

4.21 Considere una turbina en la que entra vapor de agua a 160 bar y 500 oC y sale a 1 bar como vapor saturado seco . El área de flujo a la entrada de la turbina es 0.045 m 2 y a la salida es 0 .31 m 2 . El flujo de masa a través de la turbina es 30 kg/ s. Si el proceso de expansión es adiabático, a) Calcule la potencia desarrollada por la turbina. b) ¿Es justificable despreciar las variaciones en energía cinética cuando se trata con turbinas? e) Dibuje un esquema del proceso de expansión en coordenadas preSión-volumen. Respuestas: a) Potencia = 18.2 MW b) Sí, en este caso es 2.1 %

4.22 Considere un compresor centrífugo en el que entra vapor de agua saturado seco a 40 oC y se descarga a 0.5 bar y 200 oc. El flujo de vapor es de 140 g/s . Durante el proceso de compresión se disipan 2000 W de calor. a) Determine la presión del vapor a la entrada del compresor. b) Calcule la potencia que requiere el compresor. Respuestas: a) p = 0.0784 bar b) Potencia = 44.48 kW



103

4.23 Dentro de un sistema cilindro-émbolo hay un kilogramo de agua a 1 bar de presión absoluta. El volumen inicial del sistema es 0.5 m 3 . El sistema se expande de modo isotérmico y sin fricción hasta duplicar su volumen inicial al agregarle calor. a) Dibuje el proceso de expansión en coordenadas presión-volumen indicando con claridad dónde se encuentra la línea de saturación. b) Calcule la magnitud del calor transferido al sistema. Respuesta .

b) Q

=

666 .8 kJ

4.24 Un dispositivo cilindro-pistón sin fricción contiene 1.0 kg de agua líquida y 0.01 kg de vapor de agua en equilibrio a 7 bar. La presión se mantiene constante y se agrega calor hasta que la temperatura alcanza 300 oc. a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la mezcla? b) Determine el cambio en volumen durante el proceso , expresado en m 3 . e) Calcule el calor agregado durante el proceso, expresado en J . d) Dibuje el proceso en coordenadas presión-volumen; incluya la línea de saturación .

4.25 Una turbina recibe vapor de agua a 30 bar con un título igual a 1.0, y lo descarga a 0.075 bar. Si el proceso es adiabático reversible, calcule el trabajo que desarrolla la unidad.

4.26 Tres kilogramos de vapor de agua saturado seco se expanden a una presión constante de 3 bar hasta una temperatura final de 400 oc. Suponiendo que el proceso es sin fricción , evalúe a) El calor requerido. b) El trabajo requerido. e) El cambio de energía interna.

4.27 Un condensador recibe 100 kg/ s de vapor de agua con 8% de humedad a 0.075 bar de presión. El vapor de agua sale a 0 .075 bar y 35 oc. El agua de enfriamiento entra a 1 bar y 25 oC, y se descarga a 30 oc. Determine a) El calor transferido del vapor al agua de enfriamiento. b) El flujo de agua requerido.

4.28 Calcule la entalpía del agua a 1 bar y 25 oc. 4.29 Un recipiente de 0.5 m 3 contiene amoniaco a 2.5 bar y 30 oc. Si el volumen específiCO del amoniaco es de 0.578 m 3/ kg , calcule la masa almacenada. 4.30 Indique si el amoniaco a 2 bar y 150 oC se comporta o no como gas ideal. Justifique su respuesta. . 4.31 Calcule la densidad del agua a 3 bar y 80 oc. 4.32 Estime el volumen específico del propano a 150 oC y 70 bar.


104

Termodinámica

Referencias 1. Keenan, J. H., Keyes, F. G., Hill, P. G., Moore, J. G., Steam Tables, John Wiley, 1969. 2. Lange, N. A., Handbook of Chemistry, McGraw-Hill, Nueva York, 1967. 3. Manrique, José A., Theory of Droplet Vaporization in the Region of the Thermodynamic Critical Point, NASA CR-72558, 1969. 4. Sorensen, H. A., PrincipIes of Thermodynamics, Holt, Rinehart and Winston, 1961. 5. Holman, J. P, Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1988.

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s Ecuaciones de esfado La virtud, el estudio y la alegría son tres hermanos que no deben vivir separados. VOLTAIRE

La predicción de una propiedad termodinámica implica a menudo un conocimiento sobre el comportamiento presión-volumen específico-temperatura de la sustancia misma. En otras ocasiones, dadas dos propiedades intensivas independientes como la presión y el volumen específico, se desea conocer la temperatura. Una expresión de la forma ¡(p, v, T)

=

O

(5 .1)

se denomina ecuación de estado. Se llama también con frecuencia ecuación de estado incompleta por ser incapaz de predecir por sí sola otras propiedades termodinámicas diferentes de la presión. volumen específico y temperatura. Es decir, una ecuación de estado como la dada en la expresión 5.1 no proporciona información respecto de la energía interna, entalpía, etc. , de una sustancia en un estado termodinámico dado. Sin embargo, aparte de suministrar información con respecto al comportamiento pvT de una sustancia, puede servir como medio para determinar cualquier propiedad termodinámica. Puesto que las sustancias que se hallan en estado de gas encuentran múltiples aplicaciones prácticamente en todos los procesos de interés en la ingeniería, y ya se han estudiado de manera detallada, se dará preferencia a los gases en este capítulo. Existe una enorme variedad de ecuaciones de estado para predecir el comportamiento presión-volumen específico-temperatura de un gas o mezcla de gases, algunas de ellas son extremadamente complejas . Sin embargo, sólo se explicarán algunas de las más importantes. El lector interesado en profundizar más en estos temas podrá consultar otros trabajos que aparecen en las referencias al final del capítulo.


106 Termodinámica

5.1 Gas ideal Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de estado muy simple que da lugar a consecuencias sumamente importantes y sencillas. Todo gas que satisfaga la ecuación de estado

pv= RT

(5 .2)

se denomina gas ideal. En esta expresión, p es la presión absoluta en N/m 2 (Pa), v es el volumen específico en m 3/ kg, T es la temperatura absoluta en K y R la constante del gas en J / kg K. Es interesante resaltar que la ecuación de estado de los gases ideales puede derivarse de forma analítica mediante principios de mecánica estadística, si se presupone que las moléculas que constituyen el gas son esferas infinitesimalmente pequeñas que no ocupan volumen, que sufren colisiones completamente elásticas y que no sufren atracción o repulsión. En la tabla 5 .1 se muestran diferentes valores de la constante R para algunos gases . La ecuación de estado de los gases ipeales también puede escribirse como sigue:

pv* = RuT

(5 .20)

donde v* es el volumen específico molar en m 3/kgmol y Ru es la constante universal de los gases. Su valor en el Sistema Internacional de unidades es, para todos los gases,

Ru

=

8.3143 kJ/ kgmol K

La ecuación 5.20 constituye una expresión analítica de la escala termodinámica del gas ideal presentada en el capítulo 2. Al comparar las ecuaciones 5 .2 y 5.20 se observa que la constante R de cada gas y la constante universal Ru de los gases están relacionadas a través del peso molecular M del gas. Es decir,

Esta relación permite determinar la constante de cada gas al conocer su peso molecular. Expresiones por completo análogas a la ecuación de estado de los gases ideales (ecs.5.2 y 5.20) son: pV= mRT p= pRT pV= nRuT p

=

cRuT

(5 .2b)

donde Ves el volumen total que ocupa el gas, m la masa, n el número de moles y e la concentración (e = l / v*).


5 Ecuaciones de estado

107

Tabla 5.1. Valores de R para diferentes gases . Gas

Peso molecular

Fórmula

26 .038 18.016 28.967 17.032 39.944 58.124 44.011 30.070 28.054 120.925 4.003 100.205 2.016 16.043 28.011 28.016 114.232 32 44.097

C 2H 2 H 20

Acetileno Agua Aire Amoniaco Argón Butano Dióxido de carbono Etano Etileno Freón 12 Helio Heptano Hidrógeno Metano Monóxido de carbono Nitrógeno Octano Oxígeno Propano

R kJ/ kg K

NH 3 Ar C4 H lO CO 2 C 2H 6 C 2H 4 CCl 2F2 He C7 H 16 H2 CH 4 CO N2 CSH 1S °2

C3 HS

0 .319 0.461 0.287 0.488 0.208 0.143 0.189 0.276 0 .296 0.068 2.077 0.083 4.124 0.518 0.297 0.296 0.073 0.260 0188

Ejemplo 5.1

Determine la densidad del aire a una presión de 1 bar y a una temperatura de 25

oc.

Solución Según la tabla 5 .1, R

=

0.287 kJ/kg K

Según la ecuación de estado de los gases ideales 5.2b,

p

=~ = RT

5

1m

(l xl 0 ) =1.17k (0.287x 103 )(298) g

3

Ejemplo 5.2

En un cilindro se expande el aire de forma isotérmica hasta duplicar su volumen. Al principio el aire se encuentra a una presión de 5 bar y a una temperatura de 30 oc. Suponiendo que el proceso de expansión no tiene fricción, calcule el trabajo desarrollado por unidad de masa y la presión final.


108 Termodinámica

Solución Con la ecuación para el trabajo desarrollado por un sistema cerrado, w =

fpdv

Mediante la ecuación de estado de los gases ideales, RT v

p=-

Entonces, w

dv

= RT fv = RT In(vZ/vl) = (O.287xl03X303)ln(2)= 60.28kJ/kg

w = 60.28J/g La presión final del aire queda determinada por la expresión

Como consecuencia de la primera y segunda leyes de la termodinámica * puede demostrarse que la energía interna de un gas ideal, es decir, de un gas que obedece a la ecuación de estado 5.2, es función de la temperatura única y exclusivamente. Esto es, u = u(T)

(5.3)

Este resultado se conoce como ley de Joule debido a los trabajos experimentales de investigación que realizó originalmente J . P. Joule. Las ecuaciones 5.2 y 5.3, en conjunto, dan lugar a consecuencias sumamente importantes. Algunas de ellas se explican a continuación: i. Dado que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura, la entalpía de un gas ideal también depende única y exclusivamente de la temperatura. Esta consecuencia puede demostrarse con facilidad a partir de la definición de entalpía. Esto es,

h

=

u(T) + pv

p ero , para un gas ideal, pv= RT * Véa se capítulo 9 .



109

En consecuencia, h = u{T) + RT= h{T)

(5.4)

Puesto que la energía y la entalpía de un gas ideal sólo son funciones de la temperatura, los calores específicos a presión y a volumen constantes de un gas ideal son también únicamente funciones de la temperatura. Con las ecuaciones 4 .7 Y 4.8, ji.

dh

e = - = c (T) P

dT

P

(5 .5)

y, a su vez,

du

e = - = c (T) v

dT

v

(5.6)

La ecuación 5.5 implica que, para cualquier proceso, (5 .7)

Integrando entre los estados 1 y 2 de cualquier proceso,

(5.8)

En distintas circunstancias, el calor específico a presión constante no varía de forma significativa con la temperatura y puede suponerse constante. Esto es,

(5.9) En otras circunstancias, cuando esta variación es significativa, conviene usar un valor promedia para el calor específico. En estas condiciones, la diferencia en entalpía entr~ dos estados se determina mediante la expresión (5.10)

donde (5.11)


110 Termodinámica que sí d€

De manera análoga, la ecuación 5.6 implica que, para cualquier proceso, du

=

Cu

dT

(5.12)

Integrando entre los estados 1 y 2 de cualquier proceso, ~u =

J

Deri

2 1

cv(T)dT

(5.13)

Si el calor específico a volumen constante no varía de forma significativa con la temperatura,

o bí (5.14)

Por otro lado, si se usa un valor promedio para el calor específico,

En ( (5.15)

donde (5.16)

p

En la figura 5.1 se presentan varios procesos de un gas ideal en un diagrama presión-volumen. De lo anterior se desprende que el cambio en energía interna (o entalpía) es el mismo para cualquier proceso entre las dos isotermas que se observan en la figura. Es decir,

l

11'"

¡

¡,". 11¡1'

Esté ma; deci con

De deh

y, a

I y

Los

v Figura 5.1. Diferentes procesos de un gas ideal entre dos isotermas.

AUJ

Si se analizan las ecuaciones 5.7 Y 5.12 Y se usa la definición de entalpía, puede observarse

kd es¡:



111

que los calores específicos a presión y a volumen constante de un gas ideal están relacionados entre sí de una manera sencilla. Esto es,

dh

=

du + d(pu)

=

du + RdT

Derivando con respecto a la temperatura,

o bien, cp

=

cu + R

En consecuencia, para un gas ideal, cp - c u = R

(5 .17)

Esta expresión indica que el calor específico a presión constante de un gas ideal es siempre mayor en magnitud que el calor específico a volumen constante, diferenciándose entre sí por la constante R. Es decir, aun cuando los calores específicos cp y Cu dependen de la temperatura, su diferencia es una constante. Empleando valores molares, (5 .17a)

De lo anterior se desprende que sólo hace falta conocer uno de los dos calores específicos para poder determinar el otro. Si se designa como k el cociente de calores específicos cpl C u y se usa la ecuación 5.17, kP c =-p k-1

(5 .18)

y, a su vez,

R

c =-u k-1

(5 .19)

Los calores específicos de un gas ideal pueden determinarse de manera analítica o experimental. Aumentan en magnitud al aumentar la temperatura. Por otro lado, la relación de calores específicos k disminuye con la temperatura. En la figura 5 .2 se presenta la variación con la temperatura del calor específico a presión constante de algunos gases ideales. En la tabla 5.2 aparecen los valores de cp ' C u


112

Termodinámica

0.5

~ .!2> 1.0 ""')

g.

1.5L-----L-----~-----L----~------~----~----~----~----~-1000 200 400 600 800 Temperatura,

K

Figura 5.2. Calores específicosa presión constante de algunos gases.

y k para diferentes gases ideales. En la tabla 5.3 se indican las constantes para determinar de forma analítica el calor específico molar a presión constante de algunos gases. Puesto que la entalpía de un gas ideal depende de modo único y exclusivo de la temperatura, el coeficiente de Joule-Thomson de un gas ideal es igual a cero. Esto es, iii.

J1=0

(gas ideal)

(5.20)

Tabla 5.2. Calores específicosde algunos gases ideales.* tl~:'. , Gas

J1

[1 t

1

11",. (l.

It

1, "

1\ .1

Aire**

T K

cp

CV

kJ/kg K

kJ/kg K

k

273 298 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

l.004 1.009 l.009 l.028 l.047 l.065 l.082 l.099 l.115 1.130 1.198 l.251

0.717 0.722 0.722 0.741 0.760 0.778 0.795 0.812 0.828 0.843 0.911 0.964

l.400 1.398 1.398 l.387 l.378 l.369 l.361 l.354 l.347 l.340 l.315 l.298 (Continúa)



Tabla 5.2. (Continuación.)

--

T K

cp kJ/kgK

kJ/kg K

k

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

0.664 0.735 0.846 0.939 1.014 r 1.075 1.126 1.168 1.204 1.234 1.326 1.371

0.475 0.546 0.657 0.750 0.825 0.886 0.937 0.979 1.015 1.045 1.137 1.182

1.398 1.346 1.288 1.252 1.229 1.213 1.202 1.193 1.186 1.181 1.166 1.160

Hidrógeno

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

11.200 13.536 14.317 14.486 14.523 14.556 14.612 14.718 14.845 14.992 16.033 17.019

7.076 9.412 10.193 10.362 10.399 10.432 10.488 10.594 10.721 10.868 11.909 12.895

1.583 1.438 1.405 1.398 1.397 1.395 1.393 1.389 1.385 1.379 1.346 1.320

Metano

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

2.075 2.088 2.229 2.527 2.891 3.258 3.606 3.926 4.217 4.479 5.400 5.889

1.557 1.570 1.711 2.009 2.373 2.740 3.088 3.408 3.699 3.961 4.882 5.371

1.333 1.330 1.303 1.258 1.218 1.189 1.168 1.152 1.140 1.131 1.106 1.096

Gas

Díóxido

a

de carbono

cu

(Continúa)

11 3


114 Termodinámica

Tabla 5.2. (Continuación.)

_'~

~. ..: n'lll'"'

Gas Monóxido de carbono

Nitrógeno

pr

T K

cp kJ/kg K

kJ/kg K

k

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

l.040 l.040 l.041 l.048 l.064 1.088 l.114 l.140 l.164 l.185 l.258 l.295

0.743 0.743 0.744 0.751 0.767 0.791 0.817 0.849 0.867 0.888 0.961 0.998

l.400 1.400 l.399 l.395 l.387 l.376 l.364 l.352 l.342 1.343 l.309 1.298

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

1.040 l.040 l.040 l.045 l.061 l.076 l.099 l.123 l.146 l.168 l.245 l.286

0.744 0.744 0.744 0.749 0765 0.780 0.803 0.827 0.850 0.872 0.949 0.990

l.398 l.398 l.398 l.395 l.387 l.380 l.369 1.358 l.348 l.339 l.312 l.299

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000

0.910 0.911 0.919 0.942 0.972 l.004 l.031 1.055 l.074 l.091 1.143 l.181

0.650 0.651 0.659 0.682 0.712 0.744 0.771 0.795 0.814 0.831 0.883 0.921

1.400 1.400 l.395 l.382 l.365 l.350 l.337 l.327 l.319 l.313 l.294 1.282

Cu

rl~~ '.,. II~ ,1L .. ;;1. 1~

V;

".

1\

Oxígeno

* JANAF, Thermochemical Tables, U.S. Department 01 Commerce, Springlield, Virginia, 22151. ** Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960. Error máximo 1.64%.

su ve

A ni

Ti

G A A A

e

E

r rv rv

l' (

(

¡:


11 5


Es decir, una línea isoentálpica en un diagrama presión-temperatura es una isoterma a bajas presiones (o volúmenes específicos grandes). De lo anterior se desprende que un gas ideal no altera su temperatura al experimentar una expansión a entalpía constante. De la misma manera, y como puede deducirse de la ecuación 4.10, el coeficiente de expansión volumétrica ~ de un gas ideal es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Es decir,

R. -_ ~ 1-'

T

Asimismo, el coeficiente de compresibilidad isotérmica nal a la presión absoluta, esto es, 1

/(T

= -p

(5.21)

(gas ideal)

KT

de un gas ideal es inversamente proporcio-

(5.22)

(gas ideal)

Tabla 5.3. Calores específicos molares de algunos gases ideales. * -: = a + bT+ cT2 kJ/kg mol K (298-1500 K) Gas Agua Aire** Amoniaco Dióxido de carbono Etano Hidrógeno Metano Monóxido de carbono Nitrógeno Octano Oxígeno Propano

Fórmula H20 NH3 CO2 C2H6 H2 CH4 CO N2 CgHlg O2 C3Hg

Peso molecular

a

b x 103

18.016 28.967 17.032 44.011 30.070 2.016 16.043 28.011 28.016 114.232 32.00 44.097

30.366 27.453 25.470 26.005 9.404 29.073 14.149 26.868 27.303 34.162 25.729 10.086

9.617 6.184 38.878 43.507 159.871 - 0.837 75.514 6.955 5.231 586.808 12.891 239.361

C X

106

1.184 - 0.8993 - 6.303 - 14.836 - 46.240 2.013 - 17.995 - 0.820 - 0.0042 - 184.671 - 3.863 - 73.376

• Balzhiser, R. E., Samuels. M. R., Eliassen, J.D., Chemical Engineering Thermodynamics. Prentice-Hall, Nueva York. 1972 . •• Obert, E. F., Concepts 01 Thermodynamics, McGraw-Hill. Nueva York, 1960. Error máximo l.64%. 273-3800 K.

Ejemplo 5.3 Con datos de la tabla 5.3, calcule el cambio de entalpía por unidad de masa para el amoniaco (NH3)' entre 200 y 400°C. Estime, además, el calor específico a presión constante promedio en este intervalo de temperaturas.


116 Termodinámica

Solución Según la tabla 5.3,

=1473 (25.470 + 38.878x 10- 3 T 673

=

6.303x 10-6 T 2 )dT

9131.33 kJ/ kg mol

En consecuencia, h - h = 9131.33 = 536.13 kJ/k 2 1 17.032 g

El calor específico promedio queda determinado mediante la expresión 5.11. Esto es, _ e

P

tlh tlT

= -

=

536 .1 3 = 268 kJ/k K 200 . g

Ejemplo 5.4 Se comprimen 0.1 kg/ s de aire en un compresor centrífugo de manera adiabática. Los datos del aire a la entrada y a la salida del compresor son los siguientes Pl

=

0.8 bar

P2

=

3.2 bar

Tl

=

25 oC

T2

=

180 oC

Las variaciones en energía cinética y potencial son despreciables. a) Calcule la potencia requerida por el compresor, suponiendo que el calor específico a presión

constante del aire es igual a 1 J/ g K. b) Calcule la potencia requerida por el compresor, si el calor específico a presión constante se

considera variable. e) Determine la relación de diámetros d/ d2 que deben tener los duetos de entrada y salida para

que el cambio en energía cinética sea despreciable.

Solución a) Mediante un balance de energía, -w

=

h2

-

hl

=

cp (T2

-

Tl )

= (1)(180 - 25) = 155 J / g



11 7

En consecuencia, - W=

mw = (100)(155) = 15.5 kW

b) Si el calor específico se considera variable,

1 -w=M

=

1 28.967

fTzc*

dT

TI P

f453(27 .453 + 6.184x 10- 3 T _ 0.8993x 10- 6 T 2 )dT 298

= 158.64 J/ g

Por tanto, - W= 15.86 kW

Nótese que sólo se introduce un error de 2.27% al considerar el calor específico a presión constante como una constante. e) Puesto que el compresor opera en condiciones de estado estable,

Por tanto, Al

df _~

TI P2

(298)(3.2)

A2

di

T2

(453)(0.8)

V2

PI

Entonces,

~ = 1.62 d2

iv. Puesto que los calores específicos de un gas ideal pueden considerarse como constantes en cierto

rango de temperaturas, se desarrollarán a continuación expresiones analíticas para predecir el comportamiento presión-volumen , presión-temperatura y temperatura-volumen de un gas ideal que realiza un proceso adiabático y sin fricción . La primera ley de la termodinámica establece que para un sistema abierto o cerrado, que opera sin fricción ,

dq - pdv

=

du


118

Termodinámica

F

Si el proceso es adiabático,

tituir -pdv

=

du

Si el medio de trabajo es un gas ideal,

Para obtener una relación entre la presión y el volumen es necesario eliminar la temperatura T en la expresión anterior. Con la ecuación de estado de los gases ideales,

1

dT = - (pdv

R

V.

c.

+ vdp) se cc ecua

Por tanto, Cu

= R (pdv + vdp)

-pdv

Ordenando esta expresión, se tiene ~.'

lO

'

o

•

Puesto que cp

-

Cu =

Algu

R,

Dividiendo entre cupv,

" II~~ '.,,;

II~ 1j¡:' •.

Si los calores específicos

son constantes,

la ecuación anterior puede integrarse para dar,

I:l' [tI

pvk

=

constante

(5.23)

'"

o, entre. dos estados 1

y

2, (523a)

La ecuación 5.23 es, en consecuencia, válida para todo proceso adiabático medio de trabajo sea un gas ideal con calores específicos constantes.

sin fricción,

donde el



119

Para obtener el comportamiento presión-temperatura y temperatura-volumen , sólo se debe sustituir la ecuación de estado de los gases ideales en la ecuación 5.230. Es decir,

(5.24)

v. Cualquier proceso cuya relación funcional entre la presión y el volumen sea de la forma pu n

=

(5.25)

constante

se conoce como proceso politrópico, donde n es el exponente poli trópico. De forma análoga a las ecuaciones 5.230 y 5.24,

(5.26)

Algunos procesos politrópicos en coordenadas presión-volumen aparecen en la figura 5 .3.

p

--------------~~~------------ n = n

=1

n=ao v

Figura 5.3. Procesos politrópicos.

o


120

Termodinámica

a) Proceso isobárico. El proceso isobárico es un caso particular de proceso politrópico. En este

~' .1'.'.

caso el exponente politrópico n es igual a cero. Para este proceso,

,"

m de : al J/ ademé

,jllll ) ,Itl

~.,

a,

b, b) Proceso isotérmico. En el proceso isotérmico el exponente politrópico es igual a la unidad.

En consecuencia,

e, d e

La ecuación anterior se conoce como ley de Boyle.

SolUt

a

c) Proceso adiabático sin fricción y para un gas ideal con calores específicos constantes. Como se explicó antes, el exponente politrópico en este caso es igual al cociente de calores específicos k. d) Proceso isocórico o iso métrico. En un proceso a volumen constante el exponente politrópico n es infinito. En este caso, Para

Los procesos explicados arriba son sólo casos particulares de procesos politrópicos. Dado que la ecuación 5.25 es nada más una relación funcional entre propiedades termodinámicas, es válida para procesos que se desarrollan con fricción o sin ella (si es que es posible asignar valores a las propiedades en cada estado de un proceso que se desarrolla con fricción). Si en un proceso de expansión dado 1 < n < k, el sistema recibe calor; y el proceso no es ni adiabático ni isotérmico. La temperatura del gas disminuye durante la expansión como consecuencia de ser mayor el trabajo desarrollado por el gas que el calor suministrado a éste. Los procesos politrópicos tienen gran aplicación en el análisis de motores de combustión interna, compresores, etcétera. Ejemplo 5.5 Una turbina de gas estacionaria desarrolla 500 kW de potencia y aspira el aire a presión atmosférica. lo comprime en el compresor, lo calienta de manera isobárica en la cámara de combustión y lo expande finalmente en la turbina. El aire ambiente aspirado por el compresor se encuentra a una presión absoluta de 900 mbar y a una temperatura de 26°C. La velocidad del aire a la entrada de la unidad es de 90 mis y el área de sección transversal del dudo de entrada, donde está localizado a 2 m de altura sobre el nivel del piso, es de 0.1 m2. La presión de los gases a la descarga de la turbina es de 2 bar, y la temperatura de 175°C. El área del dudo en la descarga es de 0.07 m2 y se localiza a 0.5

Por!

Para

Por

Ade



121

m de altura sobre el nivel del piso. Suponga que el calor específico a presión constante del aire es igual al J/ g oC y las propiedades de los gases de combustión son en esencia iguales a las del aire. Suponga además que el flujo de masa de combustible es despreciable con respecto al del aire aspirado. a) Determine el flujo de calor que debe suministrarse a la turbina . b) Si la unidad quema gas natural y la energía liberada durante la combustión es de 39 000 kJ/ m 3 . determine el caudal de gas necesario en m3/ h para suministrar el calor requerido. c) Si el volumen específico del gas natural es de 0 .62 m 3/ kg , calcule el flujo de masa de combustible requerido. d) Calcule el consumo específico de gas natural en kg/ s kW. e) Determine la relación combustible/aire. Solución a) Con la primera ley de la termodinámica,

.

.

m[ h2 -

Q= W +

h1 +

V~ -2 V~ + g(Z2 -

Para determinar el flujo de masa de aire,

Por tanto,

m= Al VI = (0.1)(90) = 9 .47 kg/s 0 .95

UI

Para determinar la velocidad a la descarga,

_ RT2

U2 -

_ -

P2

3

(0.287x10 )(448) -064k / . g S 2x 105

Por tanto,

\12 = mU 2 = (9.47)(0.64) = 86.58 m/s A2

0.07

Además, h2

-

hl

=

cp(T2 - TI) =

149

X

=

(1 x 10 3)(175 - 26)

10 3 J/kg

Zl)

]


122 Termodinámica

Sustituyendo valores en el balance de energía, 2

2

Q = 500000 + (9 .47)(149 x 10 3 + 86.58 2 - 90 = (500 + 1411.03 - 2.86 - 0.14)

X

-

9 .8 x 1.5)

10 3

Q=1908.03 kW b) Para determinar el caudal de gas natural,

Q

G=

39000

= 1908.03 =0.049m 3 /s 39000

e) Para calcular el flujo de masa de gas natural, . mgas

G 0.049 = - = - - = 0.079kg/s v 0.62

d) El consumo específico de gas queda determinado mediante la relación,

CE =

m~as W

= 0.079 = 1.58x 10-4 kg/s kW 500

e) La relación combustible/ aire es rhgas 0.079 / - . - = - - = 0.0083kg gas kg aire maire 9.47

Note que la cantidad de combustible es insignificante en comparación con la de aire y puede despreciarse. Ejemplo 5.6 Se desean comprimir 2.5 m 3/ min de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de 4 bar. Suponiendo que el proceso de compresión es adiabático y no tiene fricción , determine a) La temperatura del aire en la descarga del compresor. b) La potencia necesaria para impulsar el compresor.



Solución a} Para un proceso adiabático que se desarrolla sin fricción , k-I

T2

=TI

[~: ) ' =(298)(4)

I:~I

= (298)(4)°286

T2 = 443 K = 170 oC b) Mediante un balance de energía,

- w = h2 - h l = cp (T2 - TI} - w = (1}(170 - 25) = 145 J/g Para calcular el flujo de masa de aire,

y, a su vez,

m= GI = (2.5/ 60) = 48.7 g/ s vI

0.855

En consecuencia, - W = (48 .7)(145) = 7061.5 W - W = 7.061 kW La potencia requerida por el compresor también puede calcularse mediante la expresión,

w= -

f vdp = -

[P2)k - 11 k-I

_ k_ RTI k -1

r

PI

= - ~~ (0. 287x 103)(298)(40286 -1) 1.4 -1

-1.45 x 105 J/ kg =-145J/g =

En consecuencia,

- W= (48.7)(145) = 7.061 kW

123


124 Termodinámica

Ejemplo 5.7

Dos recipientes térmicamente aislados, cuyo calor específica es despreciable, están conectados entre sí por medio de una válvula (uéase figura E.5.7). El recipiente A contiene 5 kg de nitrógeno a una presión de 3 bar y una temperatura de 50 oc. El recipiente B contiene 10 kg de nitrógeno a presión y temperatura de 6 bar y 100 oC, respectivamente. Si la válvula se abre y ambos recipientes quedan intercomunicados,

Figura E.5 . 7 .

a) Determine la temperatura final. b) Calcule la presión final.


Q-

w=~u=

O

Por tanto,

o bien,

Es decir,

Por ser un gas ideal,

Sustituyendo valores y notando que c uA

=

c uB '

5(T2 - 50) + 10(T2 - 100)

En consecuencia, T2

b) Para calcular la presión final,

=

83.33 oC

=

O



P2 =

125

(mA + mB) RT2 (VA

+ VB )

donde,

VA

=

(5)(0 .296 x 10 3 )(323) 3 x 10 5

mARTA¡

--PA¡

= 1.59 m

3

y, a su vez,

(10)(0.296 x 103 )(373) 6 x 10 5

Por tanto, P2 =

(5 + 10)(0.296 x 103 )(356 .33) (1.59 + 1.84)

4.61 x 105 Pa P2 = 4.61 bar

5.2 Factor de compresibilidad z Si se analizan los gases ideales desde el punto de vista microscópico, se nota que se caracterizan. como se dijo antes, por la ausencia de fuerzas de atracción o repulsión entre las moléculas y, aunque éstas tienen masa y son perfectamente elásticas, su tamaño es tan pequeño que puede despreciarse. De lo anterior se desprende que un gas real se comporta como gas ideal sólo cuando la presión y la densidad son relativamente bajas. Es decir, a altas presiones o densidades, el comportamiento puT de un gas real puede desviarse sustancialmente de la ecuación de estado de los gases ideales. Observe la figura 5.4 con objeto de analizar de manera cuantitativa la desviación en el comportamiento de un determinado gas real respecto a otro gas ideal. Advierta que, en el límite, cuando la presión tiende a cero , un gas real se aproxima al gas ideal a cualquier temperatura. Esto es ,

, pu 1 1lm-~

p~O

RT

(5 .27)


126 Termodinámica

T< Te

pv

RT > 1.0

1.2Te 2 .5Te

saturado .v~ap~o=r::====~~~~::~~~~~T~=~3~.5~Te::~~~~~~: l T=5Ti;

1.0

Te

5.0Te 3.5Te _ _ _ _ 20.0Te

pv

7fT < 1.0 pv

RT

sat o /'"

T=O.9

~\.-/

o

Te

pe

Presión

Figura 5.4. Desviación en el comportamiento de un gas real con respecto a l de uno ideal (no a escala)

Asimismo, para la isoterma crítica (T = Te)' el valor de pul RT disminuye de forma brusca a medida que la presión aumenta, alcanzando un valor mínimo aproximado de 0.3 en el punto crítico. Para presiones supercríticas, la isoterma crítica cambia de pendiente y el valor de pul RT adquiere valores mayores . Nótese también que la pendiente en el límite, cuando la presión tiende a cero. es cada vez menos negativa a medida que la temperatura supercrítica aumenta, adquiriendo un va lo r de cero para un valor aproximado de 2.5 Te (isoterma de Boyle) y se hace positiva para valores mayores de temperatura. Para un valor aproximado de 5 Te' la pendiente alcanza su valor máximo. La desviación que experimenta un gas real con respecto a uno ideal en su comportamiento presión-volumen-temperatura se denomina factor de compresibilidad z. Es decir.

pu RT

z=-

(5 .28)

pu = zRT

(5 .280)

o bien,



127

Para un gas ideal, z ~ 1 cuando p ~ O (o v ~ 00). La figura 5.4 puede generalizarse a todos los gases mediante el uso de propiedades reducidas, esto es, de los cocientes de las propiedades en tre los valores correspondientes en el punto crítico. Así, la presión reducida, la temperatura reducida y el volumen reducido ideal quedan definidos mediante las relaciones* p

,

Vr

Pr

= Pe

T

=-

(5.29)

T

r

(5 .30)

Te

v "f.. =_ RT_e =z -p,.

(5 .31)

Pe

donde Pe y Te son, respectivamente, la presión y la temperatura en el punto crítico. La relación RTJ pc se conoce como el volumen específico del gas ideal en el punto crítico. Debe decirse que el volumen reducido ideal es una función de la presión y temperatura reducidas. Al graficar el factor de compresibilidad de diferentes gases como función de la presión reducida para diferentes valores de temperatura reducida, todos exhiben en esencia el mismo comportamiento en el factor compresibilidad, excepto en el punto crítico en donde Zc adquiere un valor entre 0.2 y 0.4. En la figura 5.5 se observa el factor de compresibilidad generalizado como función de la presión y temperatura reducidas . La correlación que ahí aparece es una representación gráfica de la ecuación de estado f(z, P,., T,.)

=

O

(5 .32)

y puede emplearse con una exactitud satisfactoria, excepto en la vecindad del punto crítico en donde

predice un valor de ze único para todas las sustancias. Obsérvese que un gas real se comporta como gas ideal sólo en el rango de presiones subcríticas donde el factor de compresibilidad z tiende a la unidad. Por tanto, no es posible definir un límite máximo único de presión en el que un gas se comporte como gas ideal , pues todos los gases tienen diferentes presiones críticas. En la tabla 4.1 se observan valores de las constantes críticas para algunas sustancias puras.

* Gouq-Jen Su, Modified Law of Corresponding Sta tes , I&EC . 38, 803-806, 1946.

-t-

Q90

~

,~O~,il. ,O7~O

020

o

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

~1~O.80

o.e

rn en

mi

1.0

~

C en

~

I.~

~,

I

2.0

tJ::j:j:j:j;j ,.o~

E

O;

~O ,O· A~

~1'·

o~

Erml

O'

o~,o

~,,0C1

O

,rol •

r;

-

1.10

1.20

1.00

1.10

=.~ ~

1.20

en C

O)

1.10

O~~

2.~

'.<=

0.••. 0

115

3.~

I

O.2~

4.0

11

~~

M

4.~

..

;

s.o

1.50

6,0

11

~.~

Presión reducida

1)0·

1.4

"

~.

.....-.. ~~,

,

l' E1~'~

+.

,

.

.,

-

6.~

1.60

_.

.

,

T

4

..

:l

O

n

:l

rn

:l

'"'

01

:=:C' n LO

(fl0) (\) 'ü

en

01

O O) e,

'"e

g~

O

C

ñ

:3"

o J!! O) '"' ro

01

C)

o

(J'\

Figura 5.5. Factor de compresibilidad generalizado.

3.0

11m

I

O~O

11

I

_:

I

.T ,,'

,

,.

7.0

::l

:T ?

o

(\)

....,..,

Ht-':i

1.80

-:T

'"' <8

O)

C)

:3

7.~

(\)

,.

,.

¡

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rn

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(\)

'"

::l

01 '"' p-ro

en ;::' 'ü

(\)

o, e,

C en O P-

-O)

(\)

8

,

o

en

LO

8.~

reducida

,

"J,.J

~·T,.,.5~ -f

2;50.~,~~L

8.0

,.

-r-

, 5.001:j::j::j::!;W:

....

"""'5.0

10.0

·,.oo:±i±l±±!±l

o

ro

:l

en

ro

....•.

(\)

'"':3 ~ ::;' :l

(\)

e, o-

9.0

9.~

10.0

••

••

"

4

Presión reducida

.

2.00

~

Temoeratura

T

~,-

,

,




129

Aun cuando el factor de compresibilidad generalizado de la figura 5 .5 puede emplearse para determinar con precisión el comportamiento presión-volumen-temperatura de cualquier gas, a menudo es necesario calcular también el cambio en energía interna, entalpía u otra propiedad que sufre un gas . Como veremos después, en estos casos se requiere la evaluación de derivadas o integraciones , y el uso de ecuaciones de estado de forma analítica es más conveniente. De lo anterior también se desprende que una ecuación de estado debe predecir el comportamiento puT de manera precisa y sus derivadas deben ser, asimismo, precisas . En la actualidad existe una enorme variedad de ecuaciones de estado en forma analítica . Sin embargo, una ecuación dada puede satisfacer un objetivo requerido y no satisfacer otros. Hasta la fecha, no existe una ecuación perfecta en todos los aspectos.

Ejemplo 5.8 Calcule el volumen que debe tener un recipiente para almacenar 1000 kg de CO 2 a una presión de 60 bar y una temperatura de 100 oc.

Solución Dadas las condiciones de presión y temperatura es necesario verificar de antemano si z aplicar la ecuación de estado de los gases ideales. Según la tabla 4 .1, Pe

=

73.9 bar

Te = 304.2 K En consecuencia, en estas condiciones, p

r

p 60 =-= =0 81 Pe 73.9 .

y, a su vez,

T = 373 = 1.23 r 304.2 Al usar la figura 5.5 se obtiene que z = 0.82 Es decir, z difiere sustancialmente de 1.0. En consecuencia,

v = mzRT = (1000)(0.82)(0. 189 x 103 )(373) p

V= 9.63 m3

60 x 105

~

1 pa ra


130 Termodinámica

Ejemplo 5.9 Determine la presión que ejerce 1 kg de nitrógeno a 189.3 K si el recipiente que lo contiene es de 4.43 dm 3 .

Solución Según la tabla 4.1, Pe = 33.98 bar

Te = 126.2 K En consecuencia,

= 189.3 = 1.5

T r

126.2

y, a su vez,

v~

v 4.43 x 10-3 = RT = (296)(126.2) = 0.4 c

Pc

33.98x 105

Según la figura 5.5, z= 0.8

Por tanto, (0.8)(0.296 x 103 )(189.3) P = -v- = (4.43 x 10 3) zRT

=

P

=

1.01 x 10 7 Pa 101 bar

5.3 Ecuación de Van der Waals Con el fin de eliminar en parte las deficiencias de la ecuación de estado de los gases ideales Van der Waals propuso en su disertación dodoral de 1833 una ecuación de estado de la forma a

RuT

P=---v* -

b

v*2

(533)



131

donde a y b son constantes específicas para cada sustancia en particular. Cuando a = b = O, la ecuación de Van der Waals toma la forma de la ecuación de estado de los gases ideales. La ecuación 5.33, aunque de aplicación limitada, tiene gran interés histórico por ser la primera ecuación de estado que estableció una continuidad entre las fases de líquido y vapor. Obsérvese que la ecuación de estado es explícita en temperatura y volumen específico, así como en presión y volumen específico, pero es implícita en presión y temperatura por ser cúbica en volumen específico. En consecuencia, a una presión y temperatura de saturación dadas, el volumen específico puede tomar tres diferentes valores reales positivos, en donde el valor máximo corresponde al vapor saturado seco y el mínimo al líquido saturado. A medida que las condiciones de saturación se aproximan a las del punto crítico, los tres valores de volumen específico se aproximan a un mismo valor. Para temperaturas supercríticas se obtiene sólo un valor de volumen específico y las isotermas correspondientes a la región de baja presión se aproximan a la forma hiperbólica de un gas ideal. Aun cuando las constantes a y b se determinan de manera experimental ajustando la ecuación a datos experimentales en una región dada , las constantes específicas pueden determinarse en forma aproximada presentando en la isoterma crítica un punto de inflexión en el punto crítico. Esto es,

(5.34)

Con la ecuación de Van der Waals,

(5.35)

(5.36) Por tanto, resolviendo para a y b,

b= v~

3

(5.37)

La presión en el punto crítico puede obtenerse en términos de la temperatura y el volumen críticos, sustituyendo las constantes a y b de la ecuación 5 .37 en la ecuación de Van der Waals. Esto es ,


132 Termodinámica

Simplificando,

(5 .38)

El factor de compresibilidad en el punto crítico queda determinado mediante la expresión

(5 .39)

Observe que la ecuación de Van der Waals predice un valor único del factor de compresibilidad para todas las sustancias en el punto crítico. El volumen crítico puede expresarse en términos de la presión y la temperatura críticas a partir de la ecuación 5 .38. De la misma manera, la temperatura crítica puede expresarse en función de la presión y el volumen críticos utilizando la misma ecuación. Esto es, v * =3RJe --e 8P e

(5.40)

y, a su vez, T*

= 8Pev~

e

(5.41)

3Ru

Sustituyendo las ecuaciones 5.40 y 5.41 en la ecuación 5.37 se obtienen las siguientes constantes específicas:

*)

a ( Pe' Ve

= 3 Pe' Ve*2 '

b (V* ) __ v~ e

3

(5.42)



133

Mediante estas constantes específicas, la ecuación de Van der Waals adquiere las siguientes tres formas que ofrecen diferencias sorprendentes

v;

v* - 3

(5.43)

(5.44)

RJ v* -

v*

_c_

(5.45)

3 En la figura 5.6 se muestran las isotermas críticas que predicen las ecuaciones 5.43, 5.44 Y 5.45 para el argón. En la misma figura se ve la isoterma crítica real del argón obtenida de manera experimental. Vea que la ecuación 5.43 no predice el comportamiento pvT de manera correcta. Si se hace un ajuste vertical en presión, la ecuación predeciría presiones negativas a volúmenes específicos muy grandes. De manera similar, la ecuación 5 .45 tampoco predice de forma satisfactoria el comportamiento pvT debido a que la pendiente en el volumen crítico es incorrecta, y un ajuste en temperatura trae como consecuencia errores al considerar temperaturas altas y bajas. Por último, la ecuación 5.44 es la que predice el comportamiento pvT de una manera más satisfactoria, puesto que la primera y segunda derivadas de la presión con respecto al volumen se reducen a cero, si es que de antemano se hace un ajuste horizontal en volumen específico. Además, esta ecuación de Van der Waals no presenta problemas al considerar situaciones límites . Como se estudiará más adelante, la ecuación de Van der Waals predice que la energía interna de una sustancia pura es función de la temperatura y volumen específico . Sin embargo, predice de manera errónea que los calores específicos de un gas, incluso a altas densidades, son sólo funciones de la temperatura. De lo anterior se deduce que la ecuación de estado de Van der Waals es de aplicación limitada, pero de gran interés histórico por ser la primera en el desarrollo de una gran variedad de ' ecuaciones de estado.

Ejemplo 5.10 Determine el volumen específico del vapor de agua a una presión de 200 bar y a una temperatura de 400 oc.


134 Termodinámica

v Figura 5.6. Isotermas críticas de tres ecuaciones de Van der Waals .

a) Con la ecuación de estado de los gases ideales. b) Mediante el factor de compresibilidad. e) Con la ecuación de Van der Waals. d) Compare los resultados anteriores con el valor que se obtiene con las tablas del vapor.

Solución a) Según la ecuación de estado de los gases ideales,

RT

v==

P

(0.461

x

103 )(673)

= - -- - - - .5- - 200

x

10

15.51 x 10-3 m3 /kg

v= 15.51 cm 3 /g b) Según las tablas del vapor, Pe

220.9 bar

Te

647.34 K



Por tanto , p = 200 = 0.90 r 220.9

T. = ,

673 = 1.04 647.34

Según la figura 5.5 , a Pr = 0.9 y T r = 1.04, z

=

0.62

En consecuencia,

u=

zRT P

(0.62)(0.461 x 103 )(673) 200 x 105 9.62 x 10-3 m 3 /kg 3

u = 9.62 cm /g c) Sustituyendo valores en la ecuación de Van der Waals (ec. 5.44) y ordenando. U*3 - 0.31024u*2 + 0 .02766u* - 8.43

X

10- 4

=

O

Resolviendo mediante aproximaciones sucesivas, u*

=

0.1861 m 3/ kgmol

=

186.1 cm 3/gmol

o bien,

u=

~ = 186.10 = 10.33 cm 3 /g M

18.016

d) Según la tabla A.3, a una presión de 200 bar y una temperatura de 400 oC,

u = 9.942

~m3/g

Los resultados anteriores se comparan en la siguiente tabla :

135


136 Termodinámica

Ecuación de estado

Gas ideal Factor de compresibilidad Van der Waals Tablas del vapor

v, cm 3jg

Error, %

15.51 9.62 10.33 9.94

56 -3.2 3.9

5.4 Ecuación De Redlich-Kwong Ciertas consideraciones teóricas y algunas prácticas realizadas por O. Redlich y J. N. S. Kwong condujeron al desarrollo de una ecuación de estado de dos constantes de la forma

P

RuT = --v* - b

a Tl/ 2 v*(v* + b)

-..".-;c:-----

(5.46)

donde a y b son constantes específicas para cada sustancia. Esta ecuación predice un valor único para todas las sustancias de 0.333, para el factor de compresibilidad en el punto crítico. Se deja al lector como ejercicio esta demostración. Redlich y Kwong sugieren para la determinación del factor de compresibilidad z que la ecuación de estado se use en la forma Z3 - z2 +

(A - B - B2)z - AB

=

O

(5.46a)

donde A Y B son dos constantes adimensionales, A

=

0.475p

ap 2

Ru T

25

Tr25 Pe

B=~= 0.08664p

Ru T

Tr Pe

Una inspección de las ecuaciones 5 .46 revela que, para una presión y temperatura dadas , el cálculo del volumen específico o del factor de compresibilidad involucra la solución de una ecuación cúbica. Entre las ecuaciones de estado de dos constantes disponibles, la ecuación de Redlich-Kwong se considera como la mejor. En la tabla 5.4 se presentan las desviaciones máximas para el factor de compreSibilidad de algunas sustancias. Ejemplo 5.11

Estime la presión ejercida por el 1-butano a una temperatura de 522 K si el volumen específico molar es de 0.84 m 3/kgmol. Las constantes críticas del1-butano son Pe = 40.2 bar y Te = 419.6 K.



Tabla 5.4. Desviaciones máximas en el cálculo de Sustancia

T,°C

Dióxido de carbono

37.8 237.8 37.8 237.8 O 150 37.8 237.8 O 399.3 O 199.5 104.4 100 275

Etano Hidrógeno Metano Nitrógeno Oxígeno Propano

Z

mediante la ecuación de Redlich-Kwong. *

Rango de presión, bar 689 689 689 689 2576 3009 689 689 1013 1013 1013 912 207 183 307

• Fuente: Redlich, O., Kwong, J. N. S., On the Thermodynamies

of Solutions,

a y b quedan

determinadas

mediante

a ='

las relaciones

0.4275 R2 T25 u

e

Pe 103)2(419.6)25 105

(0.4275)(8.3143x 40.2 a

= 26.512x

X

106

N

4

K1/2

m 2 kg mol

y, a su vez,

b=

0.0866 Ru Te Pc x 103)(419.6)

(0.08664)(8.314

40.2 x 105 3

b=

7.52 x 1O-2~ kg mol

zcalc.

1.116 1.330 0.248 1.405 2.706 2.267 1.447 1.330 2.064 1.511 1.736 1.413 0.525 0.245 0.808

1.168 1.289 0.292 1.353 3.067 2.564 1.415 1.289 1.977 1.416 1.664 1.362 0.584 0.430 0.787

Chem. Rev.. 44. 233-244. 1949.

Solución Las constantes

zobs.

137


138 Termodinámica

Sustituyendo valores en la ecuación de Redlich-Kwong,

p=

=

(8.3143

x

103)(522)

0.84 - 7.52

X

26.512

10-2

(522

112

x

106

)(0.84)(0.84 + 7.52

x

10-2)

4 165521.34 N/m 2

p = 41.66 bar

5.5 Ecuación De Seattie-Sridgeman J. A. Beattie y o. C. Bridgeman propusieron una ecuación de estado para representar de manera precisa el comportamiento pvT de varios gases y vapores. Esta ecuación de estado de cinco constantes es de la forma

(5.47) donde

a A=A (1- - ) o v*

b

B=B (1- - ) o v* e E = -v*T 3

La ecuación de Beattie-Bridgeman es una de las ecuaciones de estado más conocidas y de mayor exactitud. Esta ecuación es muy precisa a altas presiones, excepto cuando la densidad crítica es excedida. En la tabla 5.5 se presentan los valores de las constantes para diferentes sustancias.

Ejemplo 5.12 Si el volumen específico del metano a una temperatura de 550 K es igual a 0.01 m 3/kg estime la presión

Solución Con la ecuación de Beattie-Bridgeman y los datos de la tabla 5.5J

A

=

897.96

(1-

1.15744 x 100.01

3

)



Tabla 5.5. Valores de las cinco constantes en la ecuación de Beattie-Bridgeman R J/kg K

Ao Nm4/kg2

a X 103 m3/kg

Ar C4HlQ

488.15 286.95 208.14 143.15

836.16 157.12 81.99 534.57

10.0012 0.66674 0.58290 2.09388

CO2

188.93

262.07

296.90 276.62 296.58 2078.18 83.01 4115.47 518.60 411.98 296.69 259.79 188.67

173.78 659.89 793.50 136.79 551.18 4904.92 897.96 52.89 173.54 147.56 622.24

Gas

Fórmula

Amoniaco Aire Argón n-Butano Dióxido de carbono Monóxido de carbono Etano Etileno Helio n-Heptano Hidrógeno Metano Neón Nitrógeno Oxígeno Propano

NH3

CO C2H6 C2H4 He C7H16 H2 CH4 Ne' N2 °2

C3HS

Fuente: Adrian Bejan, Aduanced

Engineering

Thermodynamics,

B = 3.4854 3.83

E=

Sustituyendo

X

p

para distintos gases. b X 103 m3/kg

e x 10-3 m3K3/kg

2.0052 1.5919 0.98451 4.2391

11.223 -0.03801 O 1.6225

280.03 1.498 1.499 60.267

1.62129

2.3811

1.6444

14.997

0.93457 1.95030 1.77112 1.49581 2.00398 -2.50530 1.15744 1.08815 0.93394 0.80097 1.66125

1.8023 3.1283 4.3370 3.5004 7.0733 10.376 3.4854 1.0207 1.8011 1.4452 4.1082

0.24660 0.63740 1.2835 O 1.9159 -21.582 -099013 O -0.24660 -0.13148 0.97452

1.498 29.95 8.092 9955 39.92 0.24942 8.003 50.10 1.498 1.498 27.19

John Wiley, Nueva York, 1988.

3 10-3 (1 + 0.99013 X 10- ) 0.01 10-3 m3jkg X

3 8.003 X 10(O. O 1)(550)3

valores en la ecuación

e, X 103 m3/kg

139

=

4.81

X

10-3

de estado 5.47, =

3.133

X

107 Pa

=

313.3 bar

5.6 Otras ecuaciones de estado Existe una extensa cantidad de ecuaciones de estado al alcance del ingeniero, desde muy sencillas. como la de los gases ideales, la de Van der Waals, la de Redlich-Kwong, la de Berthelot, la de Dieterici, etc., hasta ecuaciones de constantes múltiples como la de Benedict-Webb-Rubín, la de Martin y Hou. entre otras. Aun cuando la forma de éstas y otras ecuaciones de estado puede consultarse sin dificultad en la literatura, en la selección debe tenerse presente que una ecuación de estado debe ser precisa no sólo en la predicción del comportamiento puT, sino también en sus derivadas para la predicción como medio de otras propiedades termodinámicas.


140 Termodinámica

5.7 RESUMEN Una expresión de la forma

f(p , v, T)

=

O

se denomina ecuación de estado. A menudo también se le llama ecuación de estado incompleta por ser incapaz de predecir por sí sola otras propiedades termodinámicas diferentes de la presión, el volumen específico y la temperatura. Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de estado muy simple que da lugar a consecuencias de suma importancia y sencillas. Todo gas que satisfaga la ecuación de estado pv= RT

tiene la denominación de gas ideal. La ecuación anterior también puede escribirse como pv* = pV= p= pV= p =

RuT mRT pRT nRJ cRu T

Puesto que la energía interna de un gas ideal es función única y exclusiva de la temperatura, se obtienen las siguientes conclusiones

h = h(n cp = cp(n C v = cv(n cp - cv = R Por otra parte, dh

=

cpdT, para cualquier proceso

du

=

cvdT, para cualquier proceso

y, a su vez,

De la misma manera, para todo proceso adiabático sin fricción, donde el medio de trabajo es un gas ideal con calores específicos constantes,



141

Cualquier proceso cuya relación funcional entre la presión y el volumen sea de la forma pun = constante se denomina proceso politrópico, donde n es el exponente politrópico. La desviación que experimenta un gas real con respecto a otro ideal en su comportamiento pu T recibe el nombre de factor de compresibilidad z, es decir, pu

z=-

RT

El factor de compresibilidad puede generalizarse a todos los gases mediante propiedade s redu cida s. esto es, mediante los cocientes de las propiedades entre los valores correspondientes en el punto crítico. La ecuación de Van der Waals es una ecuación de estado de la forma

RJ

a

p=----u* - b U* 2

donde a y b son dos constantes específicas para cada sustancia en particular. La ecuación de Redlich-Kwong es una ecuación de estado de dos constantes de la form a

RuT

a

p= - - u* - b T 1/ 2 u* (u*

+ b)

La ecuación de Beattie-Bridgeman es una ecuación de estado de cinco constantes de la form a p= RJ(l-E} (u *

+ B)-~

u* 2

u* 2

donde

A=Ao

(l-~) u*

B= B(l- ~ ) o

.c

E= - U* T 3

u*


142 Termodinámica

Problemas 5.1

El proceso de compresión en un motor diesel puede tomarse como proceso politrópico de la forma pU1.3 = C. El aire se comprime hasta ocupar 1/ 15 del volumen inicial. Si la presión y la temperatura iniciales son 1 bar y 80 oC, respectivamente a) Calcule el volumen específico inicial. b) Calcule la presión final. e) Calcule la temperatura final. Respuestas : a) 1.01 m 3/ kg b) 33 .80 bar e) 795.43 K

5.2

En una turbina se expande aire a 850 oC de forma adiabát ica y sin fricción , desde una presión de 4 bar hasta una presión de 1 bar. Calcule la temperatura del aire a la descarga suponiendo que k = 1.4. Respuesta: 482.4 oC

5.3

Un globo contiene 6000 m3 de helio a 28 oC y 1 bar justo antes del lanzamiento. a) Calcule la masa de helio dentro del globo. b) ¿Cuál es el volumen del globo si éste alcanza una altura donde la presión es

15 kPa y la

temperatura es -15 OC? 5.4

Considere una tobera donde el aire se expande de modo adiabático y sin fricción desde una presión de 10 bar y una temperatura de 400 oC hasta una presión de 1 bar. Determine la velocidad del aire a la salida y el flujo de masa si el área a la descarga es igual a 0.2 cm 2 Suponga que la velocidad del aire a la entrada es despreciable y el calor específico a presión constante es igual a 1 J/g K. Suponga además que k = 1.4. Respuestas:

5.5

805.79 mis 16.1 g/s

Un oficial de fútbol infla un balón a la presión requerida de 0.9 bar antes de un juego. El balón tiene un volumen interno de 2650 cm 3 y el aire está a una temperatura de 25 oC cuando se infla el balón . Después el balón se lleva al campo y cuando comienza el juego la temperatura ambiente ha disminuido hasta O oc. Suponiendo que el volumen del balón no cambia de manera significativa,



143

a) Calcule la masa de aire en el balón. b) Calcule la presión del aire en el balón cuando comienza el juego. c) ¿A qué presión debe ser inflarse el balón para que el aire esté a 0.9 bar cuando la temperatura sea de O OC?

5.6

Considere un sistema cilindro-émbolo perfectamente aislado y sin fricción que contiene 0.1 kg de aire a 75 oC y 3 bar. Una resistencia eléctrica dentro del cilindro provoca que la temperatura del aire alcance 150 oC mientras la presión se mantiene constante. Calcule el trabajo para este proceso, así como la cantidad de trabajo eléctrico. Suponga que cp = 1 kJ/ kg oc. 5.7 Un abanico impulsa 50 m 3/min de aire a 0 .9 bar y 30 oC con una velocidad de 3 mi s hasta alcanzar una presión de 0.96 bar y una velocidad de 15 mi s. Estime la potencia requerida por el abanico suponiendo que el proceso es adiabático y no tiene fricción. 5.8 Calcule la cantidad de calor requerido para incrementar la temperatura de 1 kg de CO 2 desde 500 K hasta 1500 K, si la presión se mantiene constante en 1 bar. Calcule además el cambio en la energía interna. 5.9 Calcule la cantidad de calor requerido para incrementar la temperatura de 2 kg de metano desde 200 hasta 500 oC, mientras la presión se mantiene constante en 1.5 bar. 5.10 A una tobera entra aire a 3 bar y 80 oC con velocidad despreciable, y se expande de forma adiabática y sin fricción hasta una presión de 1.5 bar. a) Calcule la velocidad del aire a la descarga. b) Calcule la disminución en la energía interna.

5.11 Un gramo de aire se encuentra en un recipiente rígido y aislado a una presión de 1 bar y a una temperatura de 25 oc. Mediante un agitador impulsado desde el exterior, la temperatura del aire se incrementa hasta 50 oc. a) Calcule el trabajo necesario para lograr este incremento de temperatura. b) Calcule la presión final. Suponga que el calor específico a presión constante es igual a 1 J/g K.

Respuestas: a) 17.83 J b) 1.08 bar

5.12 Un gramo de aire se expande desde 50 oC y 2 bar hasta una temperatura de 75 oc. Calcule el cambio en energía interna que sufre el aire si el proceso es isobárico . Suponga que el calor específico a volumen constante es igual a 0.713 J/g K.

Respuesta: 17.83 J

5.13 Determine el coeficiente de expansión volumétrica del aire a 1 bar y 500 K. Respuesta: 0.002 K- l


144

Termodinámica

5.14 Con el factor de compresibilidad generalizado, calcule el trabajo requerido para comprimir

... •.~tl'~ . rh~

)1

" ¡. .' •

..i

de forma isotérmica y sin fricción en un sistema abierto 1 kg/s de CO2 desde una presión de 295.6 bar y una temperatura de 304.2 K, hasta una presión de 443.4 bar. Sugerencia: suponga que z = a + bp. 5.15 Mediante el factor de compresibilidad generalizado calcule el volumen específico del vapor de agua a 100 bar y 500°C. Las tablas del vapor indican un valor de 32.79 cm3/g. 5.16 Un recipiente de 1 m3 contiene N2 a 275 bar y 200°C. Si el nitrógeno se enfría hasta 20°C, calcule la presión final utilizando el factor de compresibilidad generalizado. 5.17 La ecuación de estado de Berthelot es de la forma p

(

Determine el valor de

+ _a_)(v*

-

b)

Tv*2

e

-

5.24 l \

= RJ

ZC'

Respuesta:

0.375

5.18 La ecuación de estado de Dieterici es de la forma pea/v*RJ(V*

Determine el valor de

5.23 l

- b)

=

5.25 5.26 5.27

Ru T

1

J

I

Zc

Respuesta:

0.270

5.19 Con la ecuación de estado de Beattie-Bridgeman, determine el volumen específico del metano a una presión de 300 bar y una temperatura de 300°C. Respuesta:

5.20 Dos kilogramos de nitrógeno a 27°C

0.01086 m3/kg

5.28

1 bar se comprimen de forma isotérmica hasta 3 bar. Determine el trabajo mínimo requerido en la compresión. 5.21 ¿Por qué todas las líneas de temperatura reducida en la gráfica del factor de compresibilidad generalizado se unen en z = 1 cuando p ~ O? 5.22 Mediante la ecuación de estado de Beattie-Bridgeman determine la presión del metano a una temperatura de 600 K Yvolúmenes específicos de 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 Y 1 m3/kg. Graíique los resultados en coordenadas presión-volumen. y

Respuestas:

v v v v v v

= = = = = =

0.01 m3/kg 0.02 m3/kg 0.03 m3/kg 0.04 m3/kg 0.05 m3/kg 1 m3/kg

p p p p p p

= = = = = =

349.35 bar 162,54 bar 106.43 bar 79.21 bar 63.10 bar 3.11 bar

Reter

1. B2 Pr

2. B(

Se



145

5.23 Un compresor ideal, sin fricción, comprime de modo isotérmico 12 kg/min de aire, desde 990 mbar y un volumen específico de 0 .81 m 3/ kg, hasta una presión final de 6 bar. Calcule a) La potencia requerida en kW. b) El calor disipado en kW.

5.24 Una caldera produce vapor saturado seco a 30 bar. Los gases de combustión para producir el vapor entran en el banco de tubos a 1100 oC, salen a 430 oC y tienen un calor específico cp = 1.05 J/gm K. Despreciando las pérdidas de calor en la caldera y suponiendo que el agua entra en ella a 30 bar y 25 oC a razón de 15 kg/ s, calcule a) El calor requerido por el agua. b) El flujo másico de gases de combustión.

5.25 Un cierto flujo de aire se expande de forma isotérmica y reversible desde 8 bar y 300 oC hasta 2 bar en un sistema abierto. Calcule el trabajo por unidad de masa que desarrolla el sistema . 5.26 Indique si el dióxido de carbono a 100 bar y 40 oC se comporta como gas ideal o no y por qué. 5.27 Un sistema rígido y perfectamente aislado contiene 0 .5 m3 de aire a 1 bar y 25 oc. Mediante un agitador se incrementa la temperatura del aire hasta 60 oc. a) Calcule la presión final. b) Calcule el trabajo realizado por el agitador. Suponga que cp

=

1 J/ gm oc.

5.28 Un tanque de buceo contiene 1.5 kg de aire. El aire en el depósito inicialmente se encuentra a 15 oc. El tanque se deja cerca del tubo de escape de un motor, de tal manera que se calienta y la pr~sión del aire se duplica. a) Calcule la temperatura final. b) Calcule el cambio en la energía interna. e) Determine el calor absorbido. Suponga que ep

=

1 J / gm oc.

Referencias

1. Balzhiser, R. E., Samuels, M. R., Eliassen, J. D., Chemieal Engineering Thermodynamies , Prentice-Hall, Nueva York, 1972. 2. Beattie, J . A, Bridgeman, O. c., A New Equation of State far Fluids, Proc. Am. Acad. Arts Sci., 63, 229-308, 1928.


146

Termodinámica

3. JANAF Thermochemical Tables, U. S. Department of Commerce, Springfield, Virginia 22151 . 4. Martin, J. J., Equations of State, I&EC, 59, 1967. 5. Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics , McGraw-Hill, Nueva York, 1960. 6. Redlich, O., Kwong, J. N. S., On the Thermodynamics of Solutions, Chem. Rev., 44,233-244, 1949. 7. Reid, Robert c., Prausnitz, John M., Poling, Bruce E., The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York, 1987. 8. Sorensen, H. A., Principies of Thermodynamics, Holt, Rinehart and Wilson, 1961. 9. Su, G-J. , Modified Law of Corresponding Sta tes, I&EC, 38, 1946. 10. Bejan, Adrian, Aduanced Engineering Thermodynamics, Wiley, Nueva York, 1988.


6 Segunda ley de la termodinámica • y sus consecuencias Nuestras vidas son los ríos que van a dar a la mar, que es el morir... JORGE MANRIQUE

La segunda ley de la termodinámica es uno de los axiomas más importantes que se conocen, e impone severas restricciones a la primera ley de la termodinámica. Como ya se explicó, la primera ley establece la conservación de la energía en todos los procesos. Sin embargo, la intuición indica que unas formas de energía son más valiosas que otras. Por otro lado, la primera leyes también incapaz de predecir la dirección o extensión de un proceso dado . Es precisamente la segunda ley la que puede resolver estas incógnitas. Con fines ilustrativos, considere una planta generadora de vapor en la que se suministra cierta cantidad de calor a la caldera mientras la turbina realiza trabajo. Al mismo tiempo, otra cantidad de calor se disipa en el condensador para transformar en condensado el vapor húmedo que descarga la turbina . Esta pérdida de calor en el condensador no es justificable en apariencia, pues, si se eliminara este último, tal vez se podría obtener un ahorro sustancial en la energía que se suministra a la caldera. Un balance de energía, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica, indica que la potencia neta desarrollada por la turbina sería igual al flujo de calor añadido en la caldera, y la eficiencia térmica de 100%. Todos los intentos realizados en esta dirección han resultado inútiles . Considere ahora el siguiente ejemplo. Se desea comprimir aire de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una temperatura de 20 oC, hasta una presión de 10 bar y una temperatura de 40 oc. ¿Es posible realizar este proceso usando solamente un compresor? La primera ley de la termodinámica es incapaz de resolver esta incógnita, y más aún , un mero balance de energía podría predecir de manera incorrecta la potencia necesaria para realizar el supuesto proceso . Por último, considere la reacción de un mol de H 2 y medio mol de 0 2' Si los productos de combustión se analizan a 3000 K se encuentra que contienen H 20 , H 2 Y 0 2' Ahora bien, mediante un análisis termodinámico, ¿cuál es la proporción de los componentes?, ¿cuál era la temperatura


148 Termodinámica

inicial de los reactivos si la combustión fue isobárica y adiabática? La segunda ley de la termodinámica proporciona las respuestas. Estos ejemplos sencillos muestran la amplia aplicación de este axioma prácticamente en todas las facetas de la ciencia.

6.1 Segunda ley de la termodinámica La segunda ley de la termodinámica es un axioma que indica que todo proceso es "degenerativo ", esto es, que si el resultado del proceso es una degradación de la energía en cuanto a su capacidad de hacer trabaja , el proceso ocurrirá. Así, por ejemplo, el trabajo puede convertirse fácilmente en calor, pero la experiencia indica que este último no puede convertirse total y de forma continua en trabajo . Es decir, el trabajo es una forma de energía más valiosa que el calor. La segunda ley de la termodinámica puede establecerse de diferentes formas y, aunque todas son equivalentes en sus consecuencias, sólo se enunciarán aquí las más conocidas .

Axioma de Clausius. Es imposible que el calor pase, por sí solo, desde una región de menor temperatura hasta otra de mayo r temperatura. De lo anterior se desprende que el calor siempre fluye de mayor a menor temperatura y que no puede existir ningún dispositivo o máquina cuyo único efecto sea la transferencia de calor de una región fría a otra caliente. Del mismo modo, el axioma de Clausius implica que la energía se degrada de manera gradual al realizarse un proceso de transferencia de calor, puesto que su capacidad de hacer trabajo disminuye. Al mismo tiempo, el axioma indica la dirección del proceso, esto es, de mayor a menor temperatura. Obsérvese que tanto un refrigerador como una bomba térmica no violan la segunda ley, ya que en ambos sistemas se requiere un trabajo para realizar la transferencia de calor de una región fría a otra caliente . Con esto se elimina también la posibilidad de alcanzar un coeficiente de funcionamiento infinito.

Axioma de Kelvin-Planck. Es imposible para cualquier dispositiuo operar de forma cíclica , producir trabajo e intercambiar ca lor sólo con una región de temperatura constante.

11

11

l'

1,

En consecuencia, toda máquina que opere de forma cíclica y que produzca trabajo no sólo debe tomar calor de una región de alta temperatura, sino que también debe disipar una fracción de él hacia una región de menor temperatura. Dado este axioma, se descarta la existencia de máquinas que, de modo permanente, puedan convertir en trabajo la totalidad del calor proveniente de cualquier fuente de energía . De otra manera, esto llevaría a la creación de máquinas con una eficiencia térmica de 100% (sueño que nunca se ha realizado). Estas máquinas imposibles han recibido el nombre de m áq uinas de mouimiento perpetuo de segunda clase.


6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias

149

A las máquinas que violan incluso la primera ley de la termodinámica se les ha dado el nombre de máquinas de movimiento perpetuo de primera clase, las cuales absurdamente convertirían el calor

neto que se les suministra en un equivalente mayor de trabajo . El axioma de Kelvin-Planck también destaca el hecho de que la energía se degrada en todos los procesos. Si se considera una planta generadora de vapor, se observa que sólo una fracción de la energía liberada por el combustible se aprovecha en trabajo. De la misma manera, si se analiza un motor de combustión interna, sólo una fracción del calor suministrado a través del combustible en el proceso de combustión se utiliza como trabajo; la mayor parte se proyecta a la atmósfera. Tanto el axioma de Clausius como el de Kelvin-Planck son solamente dos de las distintas formas en que puede expresarse la segunda ley. Más adelante se expondrán otras versiones. Por el momento, basta decir que ambos axiomas son equivalentes en sus consecuencias, y si se viola uno de ellos, implícitamente se viola el otro también. Para efectos de aclaración, considere una máquina 1 que, por sí sola, es capaz de transferir calor desde una región de baja temperatura TI' hasta otra región de alta temperatura Te' como se ve en la figura 6.1a. Esta máquina viola el axioma de Clausius. Asimismo, considere una máquina térmica 2, que opera entre las mismas regiones cuyas temperaturas son Te y T¡- Analizando la figura , se observa que la región a Te toma y cede la misma cantidad de calor O, por lo que de hecho puede eliminarse, y el calor descargado por la máquina 1 puede suministrarse de forma directa a la máquina 2 como se observa en la figura 6 . 1 b. Nótese que el sistema constituido por las máquinas 1 y 2 viola el axioma de Kelvin-Planck por ser en conjunto un dispositivo que opera de manera cíclica, produce un trabajo, W, y toma una cantidad de calor equivalente a W de la región que está a temperatura TI" Esto es, el sistema convierte de manera total y continua el calor en trabajo. Dado que la operación de la máquina 2 es posible, la máquina 1 constituye una violación a la segunda ley a través del axioma de Clausius. De la misma manera, considere una máquina 1 que opera de forma cíclica, la cual convierte todo el calor O que recibe en trabajo W como se ve en la figura 6.2a. Esta máquina viola el axioma de KelvinPlanck. De forma paralela, considere un refrigerador 2 que toma una cantidad de calor 0 1 de la región donde se localiza TI' y descarga otra cantidad de calor (01 + W) en la región que se encuentra a Te Si se analiza el sistema compuesto por los dispositivos 1 y 2 como se ve en la figura 6.2b, se observa que es un dispositivo que transfiere calor de la región de baja temperatura TI' a la región de alta temperatura Te' sin la ayuda de algún agente externo. Este sistema constituye una violación del axioma de Clausius. Con lo anterior se establece la equivalencia entre los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.

6.2 Procesos reversibles De la segunda ley de la termodinámica se desprende que el trabajo es una forma de energía más valiosa que el calor, puesto que sólo una fracción del calor suministrado en un ciclo termodinámico puede convertirse en trabajo. En otras palabras, el trabajo siempre puede sustituirse por el calor, pero no a la inversa. Esto indica que la perfección de un proceso estriba en que, para realizar un objetivo


150 Termodinámica

,

[

Te

I

Q

Q ,. I

(

W

[ (a)

.,., ..... , t--~W

t--~W

como, historié Al

(Q-W)

Q

(Q-W)

T,

T,

(b)

un pist recupe so es r Po que el] del aire suminí

Figura 6.1. Equivalenciade los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.

dado, el trabajo no debe emplearse para lograr tal objetivo, si es que éste puede lograrse de forma total o parcial mediante el empleo de calor. Verbi gratia, no sería sensato incrementar la temperatura del aire contenido en un recipiente mediante los efectos de fricción y turbulencia de un agitador impulsado por un motor eléctrico, pues con sólo agregar calor podría lograrse tal objetivo. En consecuencia, el proceso perfecto, el proceso reversible, es aquel que en un instante dado puede detenerse e invertir la secuencia de estados recorridos para hacer retornar tanto al sistema

origina unafOl Au consist

La Kelvini. Con:

6.3a. f consec



Q

151

(Qf+ W)

Qf

(a)

(b)

Figura 6 .2 . Equivalencia de los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.

como a sus alrededores a sus estados originales. En otras palabras, un proceso es reversible si no deja historia al ser invertido. A manera de ejemplo, considere la compresión adiabática de un gas en un cilindro por medio de un pistón. Si la compresión se realiza lentamente, el proceso puede invertirse en cualquier instante y recuperar, en la expansión, todo el trabajo requerido en la compresión. En consecuencia, este proceso es reversible. Por otro lado, si se considera de nuevo el calentamiento de aire mediante un agitador, se observa que el proceso es irreversible, pues si los efectos de fricción y turbulencia se detienen, el enfriamiento del aire (sistema) retorna a su estado original, pero no es motivo para que se recupere la energía que suministró previamente el motor eléctrico (alrededores) . Aun cuando el sistema regresó a su estado original, la historia del proceso revela algo importante: existió una transferencia de calor a cambio de una forma de energía más valiosa: el trabajo . Aun cuando prácticamente todos los procesos reales son irreversibles, la tarea del ingeniero consiste en identificar las causas de la irreversibilidad y tratar de evitarlas en lo posible. La identificación de un proceso irreversible puede hacerse a través de los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck, como se verá a continuación . i. Considere el proceso de frenado rápido de una rueda de automóvil como se observa en la figura

6.30 . Al frenar, la energía cinética existente antes del frenado se convierte en energía interna como consecuencia de la fricción . ¿Es el proceso reversible?


152 Termodinámica

~U= -~( EC )

(a) /

...

- ... ,

I

I

\

/

I

" /v . . . _'" /

\

/

I

W .. /

I I

W= -~(EC)

r-L-, L_..J

Q

~(EC)

= -~U

Q=~U

(b)

Figura 6.3. Proceso que involucra fricción .

La pregunta puede responderse mediante el axioma de Kelvin-Planck. Si se supone que el proceso es reversible, la rueda adquiere energía cinética al enfriarse de forma adiabática desde el punto 2 hasta el punto 1 como se indica en la figura 6.3b. Con el objeto de que el sistema (la rueda) tenga la misma temperatura que en 2, se puede añadir cierta cantidad de calor Q. Finalmente, la rueda puede regresarse a su estado estático 2 levantando un peso y realizando así una cantidad de trabajo W. Como puede observarse, ahora se tiene un dispositivo que opera de manera cíclica, hace trabaja e intercambia calor con una región de temperatura constante. Este dispositivo viola el axioma de Kelvin-Planck al convertir de modo total y continuo el calor Q en trabajo W. Al analizar la secuencia de procesos que constituyen el ciclo se observa que todos son posibles de realizar, con excepción del



153

proceso de frenado que involucra fricción, el cual se supuso reversible. En consecuencia, la fricción es causa de irreversibilidad y todos los procesos que la involucren son irreversibles. ii. Considere ahora el proceso de expansión libre de un gas como se ilustra en la figura 6 .4a . ¿Es reversible este proceso de expansión libre?

2

Gas

Gas

Vacío

Gas

Aislado

(a)

2

Gas

Gas .4---Gas

Vacío

W=-t'1U

Gas

Gas

(b)

Figura 6.4. Proceso que involucra una expansión libre.


154 Termodinámica

La respuesta a esta pregunta se encuentra en la aplicación del axioma de Kelvin-Planck. Si suponemos que el proceso es reversible y adiabático, el gas por sí solo puede pasar desde su estado final 2 en que ocupa todo el recipiente, hasta el estado inicial 1 en que se encontraba ocupando únicamente el compartimiento izquierdo. Durante este proceso el cambio de la energía interna es cero. A continuación y mediante una turbina, el gas puede relajarse de forma adiabática produciendo un trabajo W, con lo que disminuyen su energía interna. Al agregar calor Q, la energía interna del gas puede incrementarse hasta el valor que tenía en 1 (o en 2), como se muestra en la figura 6.4b. Ahora se tiene un dispositivo que opera de forma cíclica, toma calor sólo de una región que está a temperatura constante, y produce trabajo. El axioma de Kelvin-Planck indica que esto es imposible. Dado que todos los procesos que constituyen el ciclo son posibles, con excepción del proceso de expansión libre que se presupuso como reversible, se desprende de lo anterior que la expansión libre de un gas es irreversible. iii. Considere por último el proceso de transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas. De nuevo puede demostrarse que este proceso es irreversible si se recurre a la segunda ley de la termodinámica, pues la sola y mera suposición de que el proceso es reversible viola el axioma de Clausius al existir transferencia de calor desde una región de baja temperatura hasta otra de alta temperatura. En consecuencia, todo proceso que involucre transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas es irreversible. De lo anterior también se desprende que, debido a la formación de sarro o suciedad en los tubos de un intercambiador de calor, el proceso de transferencia de calor es cada vez más irreversible a medida que transcurre el tiempo. Mediante análisis similares a los presentados puede demostrarse que procesos que involucren deformación inelástica, mezclado, etc., también son irreversibles. Debe mencionarse además que, si en determinado proceso existe transferencia de calor entre el sistema y sus alrededores debido a una diferencia finita de temperaturas, el sistema , en este proceso irreversible, es incapaz de reconocer la diferencia que existiría si la misma transferencia de calor se realizara con una diferencia infinitesimal de temperaturas. En este caso, se dice que el proceso es internamente reversible, pero externamente irreversible. Por otra parte, si además hay fricción dentro de ese sistema, el proceso es tanto interna como externamente irreversible. En consecuencia, para que el proceso en un sistema dado sea reversible sólo se requiere que sea internamente reversible. Más aún, un sistema externamente reversible implicará, de aquí en adelante, reversibilidad interna y externa en todos los procesos. Debe agregarse que todo ciclo termodinámico compuesto por procesos reversibles es un ciclo reversible.

6.3 Fricción Si se comparan dos procesos que pasan a través de los mismos estados de equilibrio pero uno es reversible y el otro irreversible, el primero realiza la máxima cantidad de trabajo posible.



155

Considere como ejemplo la expansión adiabática de un gas en una turbina. Si el proceso es reversible, esto es, si se realiza sin fricción , la potencia desarrollada por la turbina es máxima. Por otro lado, si el proceso es irreversible, la fricción tiende a aumentar la temperatura del gas a la descarga de la turbina y, por tanto, su entalpía. En consecuencia, la potencia desarrollada por la unidad se verá disminuida. Ahora considérese la expansión adiabática de un gas dentro de un cilindro. Si el proceso es reversible, es decir, se desarrolla sin fricción, el trabajo total hecho por el sistema (gas) sobre sus alrededores está dado por la expresión. Wrev

=

fp dV

Si el proceso se realiza a través de los mismos estados de equilibrio mediante una expansión libre (proceso irreversible), el trabajo total hecho por el sistema sobre sus alrededores es igual a cero. Esto es,

W=o

En consecuencia, para procesos reversibles, el trabajo total hecho por un sistema cerrado es numéricamente igual al área que se halla debajo de la curva descrita por el proceso en coordenadas presiónvolumen. Esto es,

Wrev

=

fp dV

(6 .1)

Del mismo modo, para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una salida de flujo ,

-2 W rev

= -

J

u dp -

-2

V2 - VI 2

(62)*

y el área que se halla a la izqUierda de la curva descrita por el proceso es igual a

* Cuando el trabajo es igual a cero y el fluido es incompresible, la expresión 6.2 recibe el nombre de ecuación de Bernoulli.


1 S6 Termodinámica

Lo anterior se muestra en el esquema de la figura 6.5. p

p

Área =

J vdp

Área =

J vdp

v

v

f

Figura 6.5. Representación gráfica de p dv y

f v dp .

Por tanto, la fricción en un sistema puede evaluarse de manera cuantitativa en un proceso irreversible si éste pasa a través de los mismos estados de equilibrio que atraviesa otro proceso reversible. Analizando un sistema cerrado, (6.3)

dQ - dW = dUl - 2

(6.4)

d == dWrev - dW

(6. 5)

d == dQrev - dQ

(6 .50)

Según las ecuaciones 6.3 y 6.4,

Es decir, la fricción puede calcularse como la diferencia en trabajo, o la diferencia en calor, entre el proceso reversible y el proceso real o irreversible si ambos recorren los mismos estados de equilibrio.



157

Entonces, para un sistema cerrado ,

d

d

=

p dV - dW

(6.6)

p dV - dQ + dU

(6 .6a)

=

y por unidad de masa,

d = p dv - dq + du

(6.6b)

De la misma manera, para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una salida de flujo,

d

= -

v dp - VdV - g dz - dw

d = - v dp - dq + dh d = p dv - dq + du

(6 .7)

(6.7a)

Nótese que aun cuando las ecuaciones 6.6b y 6 .7 b son idénticas, las variables independientes son diferentes. Ejemplo 6.1 Calcule la potencia mínima que requiere un compresor si 2.5 m 3/ min de aire se comprimen de form a adiabática y sin fricción , desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de 5 bar. Calcule además la temperatura del aire a la descarga del compresor.

Solución Si se desprecian los cambios en energía potencial y cinética, la ecuación 6 .2 se reduce a

wrev =

-

f v dp

(a)

Puesto que el proceso es adiabático y reversible (sin fricción), pv k = C

(b)


158 Termodinámica

Sustituyendo (b) en (a) y realizando la integración,

= -Cl/k f p-l/kdp

W

rev

I/ k

kC = ---~2 (k-I)jk -

PI (k-I )/k )

k-1 _

kPI VI

r( / PI )(k-I )jk - 1]

----~P2

k-1

I r( / = ~ kkRT )(k-I)jk -1] _ 1 ~ P2 PI

W rev

Sustituyendo valores en (c), __ (1.4)(0.287)(298) [ 0.286 ] 1.4 _ 1 (5/1) -1

Wrev -

=

-174.98 J/g

Para determinar el flUjo de masa de aire que pasa por el compresor, VI

= RTI/PI = (0.287)(298)1(1

x

10

5

)

= 0.855 x 10-3 m3/g

y, a su vez, . m

= GI/VI =

(2 .5/60) (0.855 x 10-3)

48.73 g/s

Finalmente

W= rhwrev = (48.73)(-174.98) -W= 8526.78 W= 8.53 kW Para calcular la temperatura del aire a la descarga del compresor, T 2 = TI (P2/ PI)(k - I)!k = (298)(5/ 1)0286

= 472.20 K = 199.20 oC Ejemplo 6.2 En un sistema cerrado se comprime aire de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una temperatura de 16 oC, hasta una presión y una temperatura de 10 bar y 350 oC, respectivamente. a lo largo de una trayectoria en que el exponente politrópico n es constante.



a) Determine el trabajo requerido en la compresión. b) Calcule la fricción en el proceso. Solución

a) Haciendo un balance de energía, q- w

L1u

=

Puesto que el proceso es adiabático, w

= - ~u = ev(TI

- T 2) = (0 .713)(16 - 350)

=

238 .14 J/g

b) Dado que el exponente politrópico n es constante,

Sustituyendo valores ,

623/289 = 10/l{n- ll!n 2.16 = 10{n-l)/n n - 1

lag (2 .16) =

n

lag (10)

0.33 = (n - l)/n En consecuencia, n

=

1.49

Ahora bien , según la ecuación 6.1, W rev =

fp dv

RTI

1 _ n (T 2

/

TI -1)

;.

159


160 Termodinámica


W rev =

=

(0.287)(289) 1 _ 1.49 (2.16 - 1) -196.35 J/g

Por último, según la ecuación 6.5 , <1> = =

=

W rev - W

(-196 .35) - (- 238.14) 41.79 J/g

Según los resultados anteriores, se requieren 238.14 J/ g para comprimir el aire de forma adiabática. Si el proceso hubiera sido reversible, sólo se requerían 196.35 J/ g de trabajo en la compresión. En consecuencia, 41. 79 J / g se pierden por efectos de fricción y turbulencia. Ejemplo 6.3

A una tubería de 5 cm de diámetro entran cinco kilogramos de agua por segundo con una presión de 5 bar. El agua se descarga a 10m por encima de la entrada a una presión de 3 bar. Determine la fricción en la tubería y el incremento de temperatura experimentado por el agua, suponiendo que el sistema es adiabático y que la densidad del agua es igual a 1000 kg/ m 3 .

Solución Según la ecuación 6.7 ,

Sustituyendo valores, <1> =

(5 - 3)10 5 1000 - (9.8)(10)

= 102 Jlkg



161

El incremento de temperatura (como consecuencia de la fricción) puede determinarse a partir de la ecuación 6.7 b. Esto es,

De aquí que

Ll T = Cu

102 4.18 x 103 = 0.024 oC

Las pérdidas por fricción se manifiestan aquí como un aumento en la energía interna del agua, esto es. como un aumento en la temperatura. Nótese que el incremento en la temperatura es aquí insignificante.

6.4 Principio de Carnot El principio de Carnot, consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, puede enunciarse de la siguiente manera: j. Es imposible construir una máquina que opere entre dos regiones de temperatura distinta y que sea más eficiente que una máquina externamente reversible que opere entre las mismas regiones de temperatura. ji. Todas las máquinas térmicas externamente reversibles tienen la misma eficiencia si operan entre las mismas regiones de temperatura .

Para demostrar la primera proposición se puede recurrir al método de reducción al absurdo: suponga que sí es pOSible construir una máquina que opere entre los límites de temperatura Te y TI y que sea más eficiente que una máquina reversible 2 que opera entre los mismos límites como se ve en la figura 6.6a. De acuerdo con dicho método,

w1 > W2 7]1

Qf¡

> 7]2 < Qf2

Dado que la máquina 2 es reversible, puede invertirse y operar como refrigerador. En consecuencia. como se observa en la figura 6.6b, parte del trabajo desarrollado por la máquina 1 puede emplearse para impulsar el compresor del refrigerador, quedando un excedente de trabajo (W1 - W 2 ). Nótese que la región que está a temperatura Te puede eliminarse dado que el calor disipado por el refrigerador 2 puede tomarlo la máquina 1. Al analizar como sistema el conjunto formado por la máquina 1 y el refrigerador 2 , se tiene un dispositivo que opera en forma cíclica y convierte de manera continua en trabajo una cantidad eqUivalente de calor que proviene de la región que se encuentra a temperatura Tf . Este sistema constituye una violación del axioma de Kelvin-Planck. En consecuencia, queda establecida la validez de la primera proposición.


162 Termodinámica

o

o

(a)

o,

(0, -O,) 2

1

1

T,

T, (b)

Figura 6.6. Primera proposición del principio de Carnot

La segunda proposición se demuestra de manera análoga. Suponga que una máquina reversible 1 es más eficiente que otra máquina reversible 2 que opera entre las mismas regiones que se encuentran a temperaturas Te y Ti' como se ve en la figura 6.7a. Puesto que ambas máquinas son reversibles, la máquina 2 puede operarse de forma arbitraria como refrigerador. Esto aparece en la figura 6.7 b. Siendo la máquina 1 más eficiente, puede impulsar el compresor del refrigerador 2, quedando un excedente de trabajo (W1 - W 2). Puesto que el calor Q liberado por el refrigerador es el mismo que el requerido por la máquina térmica, puede eliminarse la región que se encuentra a Te" Si se analiza el sistema compuesto por la máquina reversible 1 y el refrigerador reversible 2, se observa que constituye una violación de la segunda ley de la termodinámica a través del axioma de Kelvin-Planck. De aquí que la máquina reversible 1 no pueda ser más eficiente que la máquina reversible 2. Dado que las máquinas 1 y 2 se designaron así de forma arbitraria, la máquina 1 puede reemplazar a la máquina 2, estableciéndose que esta última no puede



a

163

a

a,

1

(a)

a,

(a,2 - a,)1

2

(b)

Figura 6.7. Segunda proposición del principio de Carnot.

ser más eficiente que la primera. En consecuencia, las dos máquinas reversibles tienen la misma eficiencia y se establece la validez de la segunda proposición del principio de Carnot. De la misma forma , el principio de Carnot puede aplicarse a refrigeradores: i. Ningún refrigerador puede tener un coeficiente de funcionamiento mayor que otro externamente reversible si ambos operan entre los mismos límites de temperatura.

Todos los refrigeradores externamente reversibles que operan entre los mismos límites de temperatura tienen el mismo coeficiente de funcionamiento. ii.

La validez de estas dos proposiciones también puede establecerse a partir de la segunda ley de la termodinámica.


164 Termodinámica

Considere el refrigerador 1 que opera entre las regiones de temperatura T; Y TI' como se observa en la figura 6.8a; ese refrigerador tiene un coeficiente de funcionamiento mayor que el reversible 2 que opera también entre las mismas regiones. Si el absurdo anterior fuera cierto,

il

t

Ahora bien, dado que el refrigerador 2 es reversible, puede invertirse y hacerse operar como máquina térmica. Este esquema se muestra en la figura 6.8b. Puesto que el trabajo desarrollado por la máquina térmica, W2, es mayor que el necesario para impulsar el compresor del refrigerador 1, W1, puede emplear cierto excedente de trabajo (W2 - W1) en cualquier otra aplicación. Obsérvese también que la región que se halla a TI puede eliminarse porque el refrigerador puede absorber el calor disipado por la máquina térmica. Al analizar el sistema compuesto por la máquina térmica 2 y el refrigerador 1 se observa que constituye una violación del axioma de Kelvin-Planck por ser un dispositivo que opera de forma cíclica, y convierte el calor de manera total y continua en trabajo. En consecuencia, se confirma la validez de la primera proposición. La segunda proposición puede establecerse de manera completamente análoga. Ejemplo 6.4 Demuestre que el sistema de la figura 6.8b convierte de forma continua cierta cantidad de calor (Oc . 2 en una cantidad equivalente de trabajo (W2 - W1).

OcI )


Sustituyendo (b) en (a),

En consecuencia,

Oc¡ = 0+

W1

(a)

OC2

W2

(b)

=

0+

6.5

El pri refrig límite mism máqi ese lí exter todas

basta



165

a

o

e

O T, (a)

Te

Oe 1

Oc¿

w2-

W1

(b)

Figura 6.8. Primera proposición del principio de Carnot para refrigeradores.

6.5 Ciclo de Carnot El principio de Carnot básicamente determina el límite de perfección para las máquinas térmicas (y refrigeradores), ya que establece que la eficiencia térmica de cualquier máquina que opera entre dos límites fijos de temperatura es inferior, o a lo sumo igual a la de otra externamente reversible. Al mismo tiempo, la segunda ley de la termodinámica afirma que la eficiencia térmica de todas las máquinas es inferior a 100%. En consecuencia, conviene ahora determinar de manera cuantitativa ese límite de perfección, es decir, el valor máximo de eficiencia que puede obtenerse de una máquina externamente reversible que opera entre límites de temperatura Te y TI" Puesto que la eficiencia de todas las máquinas externamente reversibles es la misma, de acuerdo con el principio de Carnot, bastará analizar sólo una.


166 Termodinámica

Considere entonces una máquina externamente reversible, que ejecuta lo que se. conoce como el ciclo de CarnaL Este ciclo está constituido por cuatro procesos: dos procesos adiabáticos reversibles y dos procesos isotérmicos reversibles. En la figura 6.9 se presenta un ciclo de Carnot en el que la sustancia o medio de trabajo en la máquina es un gas ideal.

Proceso isotérmico (1-2) Una región que se halla a temperatura Tc + dTc suministra calor de forma reversible a la máquina, cuyo medio de trabajo se encuentra a una temperatura Te Para mantener esta diferencia infinitesimal de temperaturas durante el suministro de calor, el fluido o medio de trabajo en la máquina se expande de modo isotérmico desde el estado 1 hasta el estado 2, como se observa en la figura 6 .9 .

Proceso adiabático (2 -3) El fluido se expande de forma adiabática reversiblemente, desde el estado 2, que se encuentra a temperatura Tc' hasta el estado 3 que está a temperatura T¡- Durante esta expansión el sistema realiza trabajo .

Proceso isotérmico '3-4) La máquina térmica disipa calor hacia la región de baja temperatura que se encuentra a T¡ - dT¡, con el objeto de mantener la temperatura constante durante la compresión reversible. p

3 v

Figura 6.9. Ciclo de Carnot.



167

Proceso adiabático (4-1 J Por último, el medio de trabajo se comprime de forma adiabática y de una ma nera reversible desde el estado 4 hasta el estado 1. La apariencia de este ciclo cuya forma externa es reversible, no es necesariamente igual a la de la figura 6.9, pues pueden existir cambios de fase en el medio de trabajo durante la realización de éste, si se trata de una mezcla líquido-vapor. De manera análoga, el ciclo puede ejecutarse con sólidos, líquidos , etc. Sin embargo, en todos los casos el ciclo está constituido por dos procesos adiabáticos y dos procesos isotérmicos reversibles. Considere el caso específico en que el fluido o medio de trabajo es un gas ideal, como puede verse en la figura 6.9, y el ciclo se realiza en un sistema cerrado, por ejemplo, un arreglo pistóncilindro. Para determinar la eficiencia térmica,

El calor suministrado al ciclo puede determinarse mediante un balance de energía , esto es .

En consecuencia,

Del mismo modo, para determinar el calor disipado en el ciclo,

y, a su vez,

Sustituyendo

ql-4

Y 1q3 _ 4 1 en la expresión para la eficiencia térmica,

(68)

La ecuación anterior puede simplificarse observando que los procesos 2-3 y 4-1 son adiabáticos reversibles. Es decir,


168

Termodinámica

Te T¡

-

[~:)H [~:)"

T2 T3 TI T4

Según las ecuaciones anteriores,

v3 v4

-

v2

-

(6.9)

VI

Sustituyendo la ecuación 6.9 en la 6.8 se obtiene que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot está dada por la expresión

(6.10)

Debe hacerse hincapié en que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot (y de todas las máquinas externamente reversibles) es independiente de las propiedades del fluido o medio de trabajo; depende única y exclusivamente de las temperaturas absolutas Te y Tr Dado que una eficiencia térmica superior o igual a 100% queda prohibida por la primera y segunda leyes de la termodinámica, la ecuación 6.10 revela otra consecuencia importante: la imposibilidad no sólo de alcanzar temperaturas absolutas negativas, sino también de alcanzar el cero absoluto. Más aún, la misma expresión indica la conveniencia de realizar el suministro de calor en un ciclo a la mayor temperatura posible y hacer la disipación de calor a la temperatura más baja. Por lo general, el límite inferior está fijado por la temperatura ambiente. Por otro lado, dado que el ciclo de Carnot es reversible, la máquina de Carnot puede invertirse y hacerse operar como refrigerador. Esto se ilustra en la figura 6.10, donde el medio de trabajo es también un gas ideal. Para determinar el coeficiente de funcionamiento en este ciclo de refrigeración,

q2-3 I q4-I I - q2-3

Medie

y así,

Dado


6 Segunda ley de la termodinámica

p

3 v

Figura 6.10.

Refrigerador de Carnot.


y

así,

Dado que los procesos 1-2

y

3-4 son adiabáticos reversibles

Te TI

TI T2 T4 T3

[~:r [~:)

k-l

y sus consecuencias

169


170 Termodinámica

Es decir,

Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación del coeficiente de funcionamiento se obtiene

T¡

~ = =T:--_-oT=¡

(6.11)

e

Nótese que el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot (y de todos los refrigeradores externamente reversibles) es independiente de las propiedades del fluido o medio de trabajo; depende única y exclusivamente de las temperaturas absolutas Te y T¡- En la figura 6.11 se muestra un esquema de la variación del coeficiente de funcionamiento con respecto al cociente de temperaturas TjT¡-

\

Figura 6.11. Variación del coeficiente de funcionamiento contra la relación de temperaturas TelT/"



171

En ciertas condiciones, el refrigerador de Carnot también puede emplearse como una unidad de calefacción, esto es, como una bomba térmica. Suponga que se desea mantener el aire en una habitación a 25 oC cuando el aire ambiente en el exterior está a 5 oc. Para mantener constante la temperatura en el interior de la habitación, debe suministrarse cierta cantidad de calor Qc Esta cantidad equivale a las pérdidas de calor de la habitación hacia el exterior. Como se ilustra en la figura 6.10, el gas se comprime de forma isotérmica a 25 oC desde el estado 4 hasta el estado 1 descargando cierta cantidad de calor Qc en la habitación. A continuación, el gas se expande de manera adiabática hasta que la temperatura disminuye a 5 oC alcanzando con esto el estado 2. Después se expande de forma isotérmica desde 2 hasta 3 absorbiendo cierta cantidad de calor Q¡; y por último se comprime de modo adiabático hasta alcanzar la temperatura de 25 oC, por lo que el ciclo termina en 4. Esta secuencia de procesos constituye lo que se conoce como bomba térmica de Carnot. Para lograr la calefacción Qc de la habitación , se requiere una inversión de energía W = Qc - Q¡- Por otro lado, si esta misma calefacción Qc se obtuviera con un calentador eléctrico, se requeriría una cantidad de energía W = Qc Como puede observarse, la bomba térmica es atractiva en especial cuando la diferencia de temperaturas Tc - T¡ es pequeña, dado que el coeficiente de funcionamiento es grande. Nótese que aun cuando el refrigerador y la bomba térmica operan de manera idéntica, sus aplicaciones son muy diferentes. El refrigerador se emplea para mantener fría una región dada al absorber calor Q¡, y la bomba térmica se utiliza para mantener caliente otra región determinada al agregar calor Qc

6.6 Escala termodinámica de temperatura absoluta Dado que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot depende de manera única y exclusiva de las temperaturas absolutas Tc y T¡, la operación de cualquier máquina externamente reversible constituye un medio para establecer una escala de temperatura independiente de las propiedades fís icas de las sustancias. Tal escala se denomina escala termodinámica de tempera tu ra abso luta. De acuerdo con la ecuación 6.10 ,

II

=

Q¡

1 -Qc

donde O¡ es la magnitud del calor liberado por la máquina reversible y Qc la magnitud del calor absorbido por ella. En consecuencia,

(6. 12)

Es también obvio, según la ecuación a nterior, que cuando Ti se aproxima a cero el calor lib erado Q( se aproxima también a cero. Obsérvese que incluso cuando la segunda ley de la termodinámica establece la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto mediante un dispositivo que opere de manera


172 Termodinámica

cíclica, no excluye la posibilidad de que la temperatura de un sistema alcance el cero absoluto mediante otras técnicas. Esta imposibilidad queda rigurosamente confirmada por el axioma conocido como tercera ley de la termodinámica , que se estudiará más adelante. Con el fin de que la escala termodinámica de temperatura absoluta (también conocida como escala Kelvin) y la escala del gas ideal sean consistentes, se asigna un valor de 273.16 a la temperatura del punto triple del agua. Esto es,

T=273.16~ QPI

(6.13)

donde Q representa el calor proveniente de una región que se halla a temperatura desconocida T, y Qpt representa la magnitud del calor disipado hacia la región de baja temperatura que se encuentra a 273.16 K. En el punto de ebullición del agua a presión atmosférica de 1.01325 bar, la relación Q /Qpt vale 1.366. Es decir, en este punto la temperatura absoluta es igual a 373.15 K (100 OC). Mediante el uso de varias máquinas térmicas en serie se puede construir con facilidad una escala de temperatura con subdivisiones iguales, como se muestra en el esquema de la figura 6. 12. Ejemplo 6.5

Una máquina de Carnot opera entre temperaturas de 500 oC y 25 oc. Determin e su eficiencia térmica. Solución Te

=

500 + 273

=

773 K

TI = 25 + 273 = 298 K

Con la ecuación 6.10 , 11 = 1- TI = 1- 298 Te 773 =

0.61

o bien, 11=61% Ejemplo 6.6

Dos máquinas de Carnot 1 y 2 operan en serie. La máquina 1 recibe calor de una región a 500 oC y lo descarga hacia una región que se encuentra a temperatura T. La máquina 2 toma el calor liberado



373.15

o

373.16

OIOpt = 1366

497

• •

•

1 Figura 6 .12. Arreglo esquemático de varias máquinas externamente reversibles

173


174 Termodinámica

por la máquina 1 y disipa calor a una región que se encuentra a 30 eficiencia térmica de cada máquina si

oc. Calcule la temperatura T y la

a) El trabajo desarrollado por ambas es el mismo. b) La eficiencia térmica de ambas es igual.

Solución a) Según los datos anteriores

Te l = 500 + 273 = 773 K = 30 + 273 = 303 K

Tf2 Con la ecuación 6.12,

Q c1 =

Tc1

T

Q y, a su vez,

Q

T

Q1.2

Tj2

El trabajo desarrollado por las máquinas puede calcularse mediante balances de energía, es decir. q

W 1 = Qc! - Q = Q ( T

T -

1)

También Tf2) W2 = Q - Q/2 = Q ( 1 - T

Puesto que el trabajo desarrollado por cada máquina es el mismo,

De aquí que T = Tc1 + Tf2 = 773+ 303 = 538 K = 265 oC

2

2



175

De esta manera, las eficiencias pueden calcularse recurriendo a la ecuación 6.10

111

112

T

538

Tc1

773

= 1 - - =1 - - = 0.30 = 1- Tf2 = 1- 303 = 0.44 T

538

b) Como las eficiencias térmicas son iguales,

1- - T Te!

1- Tf2

T

Despejando T, T = (Tcl T¡2)1 / 2 = (773 X 303)1/2

= 483.96 K = 210.96 oC

También

_ - 1- 483.96 111 - 112 773 =

= 1-

303 483.96

0.37

Ejemplo 6.7

Para calentar un edificio durante el invierno se emplea una bomba térmica de Carnot. El aire exterior se encuentra a 10 oC y se desea mantener el interior del edificio a 25 oc. Mediante un análisis previo de transferencia de calor, se estima que las pérdidas de calor del edificio hacia el exterior son de aproximadamente 50 000 kcal/h. a) Determine el flujo de calor absorbido por la bomba. b) Determine la potencia requerida para lograr el calentamiento. e) Si la calefacción se hiciera mediante calentadores eléctricos, calcule la potencia que requerirían. Solución a) ?ara mantener el aire del edificio a 25 oC, la bomba térmica debe suministrar un flujo de calor Q de 50 000 kcal/h. Dadas las temperaturas interior y exterior,

25 + 273

=

298 K

T¡= 10 + 273

=

283 K

Te

=


176

Termodinámica

Según la ecuación 6 .11 ,

= -- -=


298-283 18.87

. . . Q + W=Qc

Además, por definición,

Así, Q¡ + W= Qc

(a)

~ =

(b)

Q¡lW


. Q¡

Ó

50000

1+ -

1+-18.87

= ----T = ~

G¡ =

1

47 483.64 kcal/h

b) Para determinar la potencia requerida por la bomba,

W=Oc -O¡ W=

50 000 - 47483.64

=

2516.36 kcal/h

= (2516.36)(1.163) = 2926 W =

2.926 kW

e) Si se empleara energía eléctrica de forma directa para lograr la calefacción , los calentadores eléctricos requerirían una potencia de

W= Oc = 50 000 =

kcal/h

58.15 kW

Nótese la ventaja de emplear una bomba térmica en estas circunstancias. Ejemplo 6.8 Si la eficiencia térmica de una máquina de Carnot es igual a 1/ 5, calcule el coeficiente de funcionamiento de esta máquina al operar como refrigerador.



177

Solución

En consecuencia,

TI 1 4 -=1--=Te 5 5

(a)

Además,

p=

TI Te - TI

TI/Te 1 - TI / Te

(b)

4/ 5 1 - 4/5

Nótese que el coeficiente de funcionamiento no es el recíproco de la eficiencia térmica. Ejemplo 6.9 En el análisis preliminar del costo de operación de una planta nuclear de 100 000 kW se requiere una estimación de la cantidad de agua de enfriamiento necesaria. Para estos estudios preliminares la planta puede aproximarse a una máquina de Carnot que opera entre temperaturas de 350 y 60 oc. Si el incremento de temperatura que sufre el agua de enfriamiento se limita a 25 oC, estime la cantidad de agua de enfriamiento necesaria.

Solución La potencia neta desarrollada por la planta es de 100000 kW. Esto es, W= 100000 kW. Según los datos anteriores,

TI 333 r¡ = 1 - - = 1 - - = 0.47 Te 623 y, a su vez,

Oe = W/ r¡ = 100000/ 0.47 = 212 765.96 kW En consecuencia, mediante un balance de energía,

.

.

.

0 1 = Oe - W = 212 765.96 - 100 000 =

112 765.96 kW


178' Termodinámica

Dado que esta cantidad de calor debe ser absorbida por el agua de enfriamiento ,

Óagua =

m(h sal -

henl)

=

mc p L'l T

También

112 765.96

m= (4.18)(25)

=

1079 kg/s

G = 1079 dm 3/ s Nótese que 1079 litros/segundo de agua, en este caso, experimentan continuamente un incremento de 25 oc. Este aumento de temperatura constituye la contaminación térmica, un serio problema para la ecología de la Tierra.

6.7 Otros ciclos reversibles El de Carnot, como se mencionó antes, no es el único ciclo externamente reversible.

Ciclo Stirling Un ciclo externamente reversible es el ciclo Stirling, el cual ha sido motivo de múltiples investigaciones. En la figura 6.13 se muestra el diagrama presión-volumen de un ciclo Stirling donde el medio de trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles. p 3

v

Figura 6.13. Ciclo Stirling.



179

trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles. Proceso isotérmico 11-2) El gas se comprime de forma isotérmica a una temperatura TI desde un volumen específico vl hasta un volumen específico V2' Durante este proceso la presión del gas aumenta y el sistema disipa una cantidad de calor qsal hacia la región que está a temperatura TI - dT¡Proceso isométrico 12-3) Durante este proceso a volumen constante el gas absorbe una cantidad de calor su temperatura hasta un valor T c'

qul

aumentando así

Proceso isotérmico 13-4) El gas se expande de forma isotérmica a una temperatura Tc hasta adquirir su volumen inicial vl ' recibiendo al mismo tiempo una cantidad de calor qent que proviene de la región que se halla a temperatura Tc + dTcProceso isométrico 14-1) El gas se enfría desde Tc hasta TI manteniendo su volumen constante y disipando una cantidad de calor qV2' Obsérvese que, mediante un balance de energía,

además,

En consecuencia, el calor disipado durante el proceso isométrico 4-1 puede aprovecharse de manera íntegra durante el proceso isocórico o isométrico 2-3 utilizando un regenerador, es decir, un dispositivo que puede almacenar la energía interna u4 - ul y retornarla después durante el proceso 2 a 3. O sea, el ciclo sólo intercambia calor con las regiones que se hallan a temperaturas Te + dTc Y TI - dTI, a través de los procesos isotérmicos 1-2 y 3-4. Dado que esta máquina es externamente reversible como la de Carnot, su eficiencia térmica también está dada por la expresión 6.10 , de acuerdo con el principio de Carnot. Mediante un mero balance de energía aplicado al ciclo Stirling puede verificarse lo anterior.


180 Termodinámica

En la figura 6.14 se presenta el esquema de una máquina Stirling de mecanismo impulsor tipo rómbico. Esta máquina tiene dos pistones, uno de desplazamiento y otro de fuerza. Al principio del ciclo termodinámico, el pistón de desplazamiento se localiza en la parte superior del cilindro (punto muerto superior), mientras que el pistón de fuerza se encuentra en la parte inferior (punto muerto inferior). En consecuencia, el gas ocupa el volumen máximo y tiene la temperatura mínima T¡. El proceso de compresión, el pistón de fuerza se desplaza hacia arriba, comprimiendo el gas que se localiza en la cámara de trabajo. Para realizar la compresión de forma isotérmica, se disipa cierta cantidad de calor a través del sistema de enfriamiento. A continuación, el pistón de desplazamiento se mueve hacia abajo, manteniéndose fijo el pistón de fuerza. En este proceso el gas se transfiere a volumen constante hacia la cámara superior, pasando en su trayectoria por el regenerador y el quemador. Durante la carrera de expansión ambos pistones se desplazan hacia abajo hasta alcanzar sus puntos muertos inferiores. En esta carrera, el gas se expande de modo isotérmico, puesto que todavía recibe calor a través del combustor. Finalmente, el gas se transfiere a volumen constante de la cámara superior a la . cámara de trabajo mediante el desplazamiento hacia arriba del pistón superior, manteniéndose el pistón inferior fijo . Durante este proceso el regenerador absorbe la energía del gas. Con el mecanismo rómbico balanceado a la perfección se logra un movimiento libre de vibraciones, incluso en máquinas de un solo cilindro. Los problemas de ingenieria más serios que se han tenido durante el desarrollo de estas máquinas son de sellado, dado que, por 10 general, operan con helio o hidrógeno a presiones que fluctúan entre 100 y 200 bar. Por otra parte, teniendo en cuenta la complejidad de sus

Figura 6.14. Máquina Stirling.



mecanismos, la máquina Stirling descrita es considerablemente costosa y de gran peso. Sin embargo, las emisiones de contaminantes atmosféricos son, por lo general, reducidos en comparación con las de los motores tradicionales de combustión interna.

181

p 3

2

Ciclo Ericsson En la figura 6.15 aparece el esquema del diagrama presión-volumen de un ciclo Ericsson donde el medio de trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente por dos procesos isotérmicos y dos procesos isobáricos reversibles. El ciclo Ericsson puede materializarse mediante el empleo de varios dispositivos, como puede observarse en el esquema de la figura 6.16.

v Figura 6.15. Ciclo Ericsson.

6.8 Resumen La segunda ley de la termodinámica establece que el trabajo es una forma de energía más valiosa que el calor, ya que sólo una fracción del calor suministrado en un ciclo termodinámico puede convertirse en trabajo. Aun cuando la segunda ley puede establecerse de diferentes maneras, dos axiomas equivalentes en sus consecuencias son los de Clausius y Kelvin-Planck.

Axioma de Clausius. Es imposible que el calor pase, por sí solo, desde una región de menor temperatura hasta otra de mayor temperatura.

Regenerador Qf

2

3

t-_-+ Wt

4

Figura 6.16. Máquina Ericsson.


182 Termodinámica

Axioma de Kelvin-Planck. Es imposible para cualquier dispositivo operar de forma cíclica, producir trabaja e intercambiar calor sólo con una región de temperatura constante. De acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, la perfección de un proceso estriba en que, para alcanzar un objetivo dado, el trabajo no debe emplearse para lograr tal objetivo, si es que éste puede lograrse de manera total o parcial mediante el empleo de calor. Un proceso reversible es aquel que en un instante dado puede detenerse e invertir la secuencia de estados recorridos para que tanto el sistema como sus alrededores retornen a sus estados originales. Todo proceso que involucre fricción, transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas, expansión libre, mezclado, deformación inelástica, etc., es un proceso irreversible. Para que el proceso en un sistema dado sea reversible, sólo se requiere que sea internamente reversible. Un sistema externamente reversible implica reversibilidad interna y externa. La fricción puede calcularse como la diferencia en trabajo o la diferencia en calor entre el proceso reversible y el proceso real o irreversible si ambos recorren los mismos estados de equilibrio. Esto es, d del>

=

=

dWrev - dW dQrev - dQ

El principio de Carnot, consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, puede enunciarse de la siguiente manera: i. Es imposible construir una máquina que opere entre dos regiones de temperatura distinta y que sea más eficiente que una máquina externamente reversible que opera entre las mismas regiones de temperatura. ii. Todas las máquinas térmicas externamente reversibles tienen la misma eficiencia térrnica si operan entre las mismas regiones de temperatura.

El principio de Carnot puede aplicarse de forma análoga para refrigeradores. El ciclo de Carnot está constituido por cuatro procesos externamente reversibles: dos procesos adiabáticos y dos isotérmicos. La eficiencia de una máquina de Carnot está dada por la expresión T¡

Tl=l--

Te

Del mismo modo, el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot puede determinarse mediante la ecuación

~

T¡ =

Te - T¡

La operación de cualquier máquina externamente reversible constituye un medio para establecer una escala termodinámica de temperatura absoluta, la cual es independiente de las propiedades físicas de las sustancias.


183


El ciclo Stirling está constituido por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles. El ciclo Ericsson lo forman dos procesos isotérmicos y dos procesos isobáricos reversibles . Problemas 6.1

Cierta cantidad de aire a una presión de 3 bar y a una temperatura de 70 oC se expande de forma adiabática en un cilindro hasta una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. Suponga que k = 1.4. a) Indique si el proceso es adiabático reversible. b) Si el proceso es irreversible, calcule la temperatura del aire al final del proceso de

expansión, en el caso de ser éste adiabático reversible. Respuestas:

6.2

En un motor diesel el aire se comprime desde una presión de 1 bar y una temperatura de 60 oC, hasta que el volumen inicial disminuye 20 veces su valor original. Si el proceso es adiabático reversible, calcule la presión y temperatura del aire al finalizar el proceso de compresión. Suponga que k = 1.4. Respuestas:

6.3

a} Irreversible b) -22.48 oC

p = 66.29 bar T= 1103.71 K = 830.71 oC

Una máquina de Carnot opera entre límites de temperatura de 285 oC y 60 oc. Determine la eficiencia térmica de la máquina.

17

Respuesta:

6.4

=

40%

Un refrigerador de Carnot opera entre límites de temperatura de -30 y 25 oc. Una máquina de Carnot, que opera entre límites de 500 oC y 25 oC, suministra la potencia requerida por el refrigerador. a) Calcule la eficiencia térmica de la máquina de Carnot. b) Calcule el coeficiente de funcionamiento del refrigerador de Carnot. e) Calcule el cociente del calor absorbido por el refrigerador al calor absorbido por la máquina térmica. Respuestas: a} 17 = 61 % b) ~

=

4.42

e) Q¡lQc

6.5

=

2.7

Una máquina térmica cuyo medio de trabajo es un gas ideal con calores específicos constantes realiza un ciclo termodinámico cuyos procesos reversibles son: calentamiento a volumen cons-


184 Termodinámica

tante desde el estado 1, expansión adiabática desde el estado 2 hasta el estado 3 y compresión isobárica' desde el estado 3 hasta el estado 1. a) Dibuje un diagrama presión-volumen del ciclo termodinámico. b) Calcule la eficiencia térmica del ciclo en función de k, PI' VI ' P 2 Y V3 ' e) ¿Por qué no coincide la respuesta del inciso (b) con la ecuación 6. lO?

Respuesta:

6.6 6.7

b) II

= 1 _ /(

(v 3 / v I -1) (P2/ PI - 1)

Demuestre que todos los refrigeradores externamente reversibles que operan entre los mismos límites de temperatura tienen el mismo coeficiente de funcionamiento. Una máquina de Carnot opera con vapor húmedo entre presiones de 50 y 1 bar. Si la máquina toma 1640.1 J / g de calor, determine a) Su eficiencia térmica. b) El trabaja desarrollado por gramo de agua. e) El calor que disipa.

Respuestas:

a) 31% b) 502.0 J / g e) 1138.1 J / g

6.8

Demuestre que dos líneas adiabáticas reversibles no pueden intersecarse por constituir una violación a la segúnda ley de la termodinámica. 6 .9 Caratheodory enunció la segunda ley en 1909 de la siguiente manera: en la vecindad de cualquier estado termodinámico existen otros estados que no pueden alcanzarse sólo mediante procesos adiabáticos. Demuestre la validez de este axioma. 6 .10 Con referencia al problema 6.1, a) Calcule el trabajo desarrollado durante el proceso de expansión real o irreversible. b) Calcule el trabajo que desarrollaría el sistema si la expansión entre presiones de 3 y 1

bar fuera adiabática reversible. e) Si los estados recorridos por el proceso adiabático real coincidieran con los estados de

un proceso reversible donde el exponente politrópico se mantiene constante, calcule la fricción en el proceso. d) Comente los resultados obtenidos. Respuestas:

a) 21.4 J / g b) 66.35 J / g e) 77 .05 J / g

6 .11 En una tobera convergente se expande aire de forma adiabática desde 1.92 bar y 95 OC hasta una presión de l bar. Si la velocidad del aire a la entrada de la tobera es despreciable,


185


a) Calcule la velocidad máxima que puede adquirir el aire a la descarga de la tobera. b) Calcule la temperatura mínima que puede alcanzar el aire en la tobera. e) Muestre, mediante la ecuación 6.7a, que la fricción en este proceso ideal es igual a cero .

6.12 Una máquina térmica externamente reversible como la que aparece en la figura 6.16 opera con el ciclo Ericsson y emplea un gas ideal como medio de trabajo. El gas se comprime de forma isotérmica a T¡ desde 1 hasta 2, toma calor de manera isobárica de 2 a 3, se expande de modo isotérmico a Te desde 3 hasta 4 y libera calor de 4 a 1. Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Respuesta:

11

=

1 - T¡lTe

6.1 3 Considere una máquina de Carnot que emplea un gas ideal con calores específicos constantes como medio de trabajo. ¿El trabajo desarrollado durante la expansión adiabática es igual en magnitud al trabaja requerido durante la compresión adiabática? Respuesta:

sí

6.14 Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones: a) El incremento de entalpía es igual a la integral de v dp en todo proceso adiabático reversible. b) El incremento de energía interna es igual a la integral de -p dv en todo proceso adiabático

reversible. e) El trabajo total hecho en un sistema cerrado es igual a la integral de p dv si el proceso

es reversible (no necesariamente adiabático) .

6.15 La eficiencia de una máquina térmica es igual a 25%. a) Calcule el calor tomado por la máquina por cada kW-h de trabajo desarrollado. b) Calcule el cociente del calor tomado al calor disipado.

c) Calcule el cociente del trabajo desarrollado al calor disipado. d) ¿Puede concluirse por los datos anteriores que esta máquina térmica es una máquina

externamente reversible? Respuestas:

a)

4 kW-h

b) 1.33 e) 0.33

d)No 6.16 Calcule la potencia mínima que requiere un compresor si se desean comprimir 50 g/s de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de 3 bar. Respuesta:

5.61 kW

6.17 Una máquina de Carnot está compuesta por un condensador, una turbina, un evaporador, y una bomba, y su medio de trabajo es vapor de agua. Los estados termodinámicos en el ciclo están determinados por las siguientes propiedades:


186

Termodinámica

a)

Calcule la eficiencia térmica de la máquina.

b) Calcule el calor suministrado al ciclo.

Estado p, bar X'

1 10 0.8

2 10 1

4 2

3 2 0.9

c) Calcule el trabajo neto desarrollado por la máquina. d) Calcule el calor disipado por la máquina. e) Dibuje el ciclo termodinámico en un diagrama presión-volumen. f) Calcule el título del vapor en el estado 4.

6.24

Respuestas:

a) 13% b) 403.05 J/g

6.25

c) 52.40 J/g d) 350.65 J/g f)

0.74

6.18 La eficiencia de una máquina de Carnot es igual a 30%. Si la máquina desarrolla 1 kW de potencia, calcule el flujo de calor que toma. Respuesta:

6.26 6.27

3.33 kW

6.19 Un sistema recibe 10 J de calor y realiza 20 J de trabajo en cierto proceso. ¿Puede regresar el sistema a su estado original mediante un proceso adiabático? 6.20 Un refrigerador de Carnot opera entre -5°C y 30°C. Calcule el coeficiente de funcionamiento.

Rete. Respuesta:

f3 = 7.66

6.21 Si el vapor en la turbina del problema 6.17 entra saturado seco en la unidad a una presión de 10 bar y se descarga con un títulode 0.9 a una presión de 2 bar, calculeel trabajo desarrollado por la unidad. Respuesta:

291.69 J/g

6.22 Una máquina motriz de Carnot funciona con 0.136 kg de aire como sustancia de trabajo. La presión y el volumen, al principio de la expansión isotérmica, son 2.1 MPa y 9.6 litros, respectivamente. El aire se comporta como un gas ideal, la temperatura del resumidero es de 50°C y el calor suministrado vale 32 kJ. Determine: a) La temperatura de la fuente. b) La eficiencia del ciclo. c) La presión al finalizar la expansión isotérmica. d) El calor cedido al resumidero en cada ciclo. 6.23 Dos máquinas reversible s (A y B) funcionan en serie entre un depósito de alta temperatura (Ta) y otro de baja temperatura (TJ. La máquina A cede calor a la máquina B, que a su vez cede

1. A~

U¡ 2. KE

Ye 3. Be



187

calor al depósito de baja temperatura. El depósito de alta temperatura suministra calor a la máquina A. Sean Ta = 1000 K, Tb = 400 K e iguales las eficiencias térmicas de las máquinas. El calor recibido por A es 500 kJ. Determine: a) La temperatura a la que se efectúa la cesión de calor por parte de la máquina A. b) Los trabajos efectuados por la máquinas A y B. e) El calor cedido por la máquina B.

6.24 Se utilizará una bomba térmica para calentar una casa durante los meses de invierno. Cuando la temperatura media exterior es de O oC y la interior de 23 oC, la pérdida total de calor en la casa es de 20 kW. Determine la potencia mínima requerida para hacer funcionar la bomba térmica. 6.25 Se piensa utilizar una bomba térmica de Carnot para la calefacción de una casa en un lugar donde la temperatura exterior puede llegar a -35 oc. El coeficiente de funcionamiento esperado para tal sistema térmico es de 1.50. ¿A qué temperatura podría suministrar calor esta unidad? 6.26 Una máquina de Carnot produce 25 kW de potencia al operar entre límites de temperatura de 1000 K Y 300 K. Calcule el calor suministrado a la máquina, así como el calor disipado. 6.27 En una turbina reversible se expanden de manera politrópica 4500 kg/ min de aire desde 4.25 bar y 1360 K hasta 1. O1 bar. El exponente politrópico vale 1.45 . Calcule la potencia desarrollada por la turbina y el calor disipado. Suponga que el calor específico a presión constante es igual a 1 J / gm oc.

Referencias

1. Ayres, R U., McKenna, R P, Alternatives to the Internal Combustion Engine , Johns Hopkins University Press, Nueva York, 1972. 2. Keenan, J. H., et al. Steam Tables (International Edition-Metric Units), John Wiley, Nueva York, 1969. 3. Bosch, R, Automotive Handbook, Nueva York, 3a. ed. , 1993.



7 Entropía Ningún hombre ha llegado nunca a ser sabio por casualidad SENECA

Así como se estableció el concepto de energía a través de la primera ley de la termodinámica, la segunda ley postula la existencia de otra propiedad termodinámica extensiva que se conoce como entropía (del griego EU'tpCOm¡, que significa evolución). Esta propiedad, motivo de múltiples discusiones de orden filosófico, juega un papel sumamente importante en todos los análisis termodinámicos. Desde el punto de vista de la ingeniería, la entropía debe tratarse como mera propiedad termodinámica, esto es, como la energía interna, el volumen, la masa, etc. Sin embargo, su importancia estriba en la variedad de aplicaciones que tiene y en las no menos numerosas consecuencias a que da lugar.

7.1 Desigualdad de Clausius Antes de definir la entropía es conveniente establecer lo que se conoce como desigualdad de Clausius. Considere una máquina térmica 1 externamente reversible como la del esquema de la figura 7 . 1. la cual opera entre límites de temperatura Te y T¡- Con la ecuación 6.12,

f -T dO I

:=

rev

Oe _ O¡¡ 'r

le

T¡

:=

O

(71)

Del mismo modo, considere ahora una máquina térmica 2 que opera entre los mismos límites de temperatura Te y T¡, como se ve en la figura 7.1. De acuerdo con el principio de Carnot, W 1 > W2


190 Termodinámica

Q,

2

T¡

Figura 7.1. Máquinas térmicas que operan entre límites de temperatura Te y Ti"

Entonces,

por consiguiente,

Qfl TI

Qf2

< -

TI

Por tanto, para la máquina 2,

(7.2) De las ecuaciones 7.1 y 7.2 se desprende que,

(7.3)

La ecuación anterior se conoce como desigualdad de Clausius. Puesto que cualquier ciclo reversible puede sustituirse por una serie de ciclos de Camot, la desigualdad de Clausius es válida para cualquier máquina térmica (o refrigerador) reversible o irreversible, en donde la igualdad se conserva en ciclos reversibles y la desigualdad en ciclos irreversibles. Observe que a medida que aumenta la irreversibilidad en una máquina, la integral cíclica de dQ/ T se vuelve cada vez más negativa.


191

7 Entropía

Ejemplo 7.1 Considere una planta generadora de vapor como la que aparece en el esquema de la figura E.7.1. A partir de los siguientes datos verifique la desigualdad de Clausius, Estado

1

2

3

4

p, bar

10 179.91 1

0.1 45.81 0.9

0.1 45.81

10 46

T, °C x

O

Solución Dado que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos,

pero

f dq4-I = fl c

p

T

T4

dT

+ hfg

T

TI

Según la tabla A.2, hfg = 2015.3 J/g a una presión de 10 bar. Sustituyendo valores,

fdq4-I T

=4.18In(452.91J 319 2015.3

+--= =

452.91 1.47 + 4.45 5.92 J/g K p

4

I-+---\.

I Bomba v

Figura E.7.1.


192 Termodinámica

y así, X2

hfg

T2 Según la tabla A.2, hfg

=

2392 .8 J/ g a una presión de 0 .1 bar. Sustituyendo valores,

fd q 2- 3 = _ (0.9)(2392.8) T

318.81

= -6.75 J/g K

En consecuencia,

.f. dq j

T

= 5.92 - 6.75 = -0 .83 J/g K < O

Ejemplo 7.2 Con el objeto de analizar un motor de combustión interna, considere un gas ideal con calores específicos constantes que realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible: compresión adiabática reversible desde VI hasta v2' adición de calor a volumen constante desde el estado 2 hasta el estado 3, expansión adiabática reversible desde v3 = v2 hasta v4 = VI Yenfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado original 1. Este ciclo, comúnmente conocido como ciclo Otto, aparece esquemáticamente en la figura E.7 .2. Verifique la desigualdad de Clausius.

Solución Puesto que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos reversibles ,

f ~ = fd~-3 + fd~-I =c"

In

[~!) + c" In [~:)

p 3

2

., pero ji

I

•

"':

v

esto es, Figura E.7.2.


7 Entropía

193

En consecuencia,

7.2 Definición de entropía Una vez establecida la desigualdad de Clausius, ecuación 7 .3, considere un ciclo reversible formado por los procesos A y B como aparece en la figura 7.2. De acuerdo con la desigualdad de Clausius,

I. dQ r T Irev --

J2 l-A

-dQ T Irev

+

J1 2-B

dQ -T

I

-O

rev -

(7.4)

De la misma manera, para el ciclo reversible constituido por los procesos A y e ,

f dQT I

rev

=

t

l-A

dQ T

I

+

rev

JI

2-C

dQ T

I

rev

=O

(7.5)

Comparando las ecuaciones 7 .4 y 7.5 ,

JI 2- C

dQ T

I

(7. 6)

rev

p 2

v Figura 7.2. Dos ciclos reversibles A-B y A-e.


194 Termodinámica

f

En la ecuación anterior se observa que (dQ/ 1)rev adquiere el mismo valor a lo largo de cualquier trayectoria reversible entre el estado 2 y el 1. En consecuencia, esta cantidad depende de manera única y exclusiva de los estados inicial y final del proceso y es, por tanto, una propiedad termodinámica. En efecto, la entropía S queda definida mediante la ecuación (7.7)

dS= dQ \ T rev

Es decir, el cambio de entropía entre dos estados termodinámicos cualesquiera puede evaluarse mediante la expresión (7 .8)

flS o , por unidad de masa, /)s -

-

f0l.\ T

(7 .8 a) rev

La ecuación anterior, válida para cualquier sistema cerrado o de masa constante, expresa con claridad que la integración debe realizarse a lo largo de una trayectoria reversible si es que se desea evaluar la diferencia de entropía entre dos estados; supone, además, un conocimiento de la relación dQ/ T a lo largo del proceso reversible. Sin embargo, dado que la entropía es una propiedad termodinámica, la diferencia flS entre dos estados es la misma independientemente de que el proceso sea reversible o irreversible. Por otro lado, si el proceso en cuestión es irreversible, la diferencia de entropía entre los estados 1 y 2 no pueden evaluarse de forma directa con la ecuación 7.8. De hecho, como se verá a continuación, f(dQ/T) < flS para procesos irreversibles. Considere entonces un ciclo reversible constituido por los procesos Ay B como se ve en la figura 7.3. Para este ciclo reversible,

f TdQ \

rev

=

f

2 l -A

dQ \

T

rev

+

f

1 2-8

dQ \

T

rev

=0 (7 .9)

Suponga a continuación un ciclo termodinámico formado por un proceso reversible A y un proceso irreversible C como se ve en la figura 7.3. Mediante la desigualdad de Clausius,

t dQT - f --

2 l-A

dQ \ + T rev

-

f

1 2-C

dQ -
(7.10)


195

7 Entropía

p 2

v

Figura 7.3. Dos procesos reversibles A y B, Y un

proceso irreversible C.

Restando la ecuación 7.10 de la 7.9,

f

1 2-8

dQ T

I rev -

f

1 2-C

dQ >0 T

o bien,

f

1 2-8

dQ I Trev

f

1

2-8

dS

f

1 2-C

dS >

f -dQ T 1

2-<:

En consecuencia,

f

1 2-<:

dS >

f -dQT 1

2-C

y, en general, para cualquier proceso,

(7 .11)

donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los irreversibles.

l'

"

:1


196 Termodinámica

De lo anterior se desprende que la integración de (dQ/}) a lo largo de una trayectoria irreversible en un proceso dado no da como resultado la diferencia de entropía entre el estado inicial y el final. De la misma forma, puede agregarse que todo proceso adiabático reversible es isoentrópico. Esto es, todo proceso isoentrópico es adiabático, pero no todo proceso adiabático es isoentrópico; sólo los procesos adiabáticos reversibles son isoentrópicos. Por otro lado, dado que la entropía es una propiedad, la diferencia ~5 entre dos estados termodinámicos pueden evaluarse con la ecuación 7 .8, siempre y cuando se seleccionen una o varias trayectorias reversibles que conecten los estados inicial y final del proceso (reversible o irreversible).

Ejemplo 7.3 Un recipiente rígido y aislado contiene 1 kg de nitrógeno en forma de gas a una presión de 1 bar y a una temperatura de 70 oc. Mediante un agitador impulsado por un motor eléctrico, se hacen 104 J de trabajo sobre el sistema. Calcule el cambio de entropía que experimenta el gas en este proceso.

Solución La temperatura final adquirida por el nitrógeno en este proceso irreversible puede calcularse mediante un balance de energía. Esto es, Q - W = ~U

=

mc u (T2

T 1)

-

Puesto que el proceso es adiabático, En consecuencia,

-10 4 =70--- -(1000)(0.74) =

83.51 oC

El cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación 7.8, siempre y cuando la integración se efectúe a lo largo de una trayectoria reversible. Considere entonces un proceso isométrico reversible que conecte los estados 1 y 2. Para este proceso reversible dQ = dU, y

52 - 51

= f dQI

T v=c

= f mcudT T

~mC"ln(~ ) = (1000)(0.74)ln(365.51) ~5 =

343 28.59 J/ K


7 Entropía

197

o, por unidad de masa, ~s

= 28.59 J/kg K

Ejemplo 7.4 En un intercambiador de calor se enfrían, por segundo, cincuenta gramos de monóxido de carbono (CO) desde 150 hasta 100 oC, mientras la presión se mantiene constante en 1 bar. Determine el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el gas al pasar por el intercambiador de calor.

Solución Dado que la diferencia de entropía depende sólo de las condiciones que haya a la entrada y a la salida del intercambiador, se considerará una trayectoria isobárica reversible para calcular ~s mediante la ecuación 7.8. Esto es,

Entonces,

~s = sdql T

=Cp

p=C

m(i, J

= (1)ln(373)= -0.1 3 J/g K 423 En este caso disminuye la entropía del monóxido de carbono, ya que el sistema cede calor hacia los alrededores. Si el enfriamiento se hubiera llevado a cabo en un sistema cerrado entre los mismos estados inicial y final, la diferencia ~s hubiera sido la misma, puesto que las propiedades se evalúan por medio de un observador que viaja con el fluido y cada masa unitaria es para éste un sistema cerrado. Ejemplo 7.5 Los productos de combustión en una turbina de gas se expanden de forma adiabática y de manera irreversible desde una presión de 4 bar y una temperatura de 880 oC hasta una presión de 1 bar y una temperatura de 550 oc. Suponiendo que las propiedades termodinámicas de los productos de combustión son iguales a las del aire a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta los gases al pasar por la turbina. b) Calcule f(dq/n para este proceso. c) Calcule la fricción


198 Termodinámica

Solución a) Dado que el proceso es irreversible, existen varias posibilidades para calcular el cambio de entropía. A continuación se explicarán sólo dos.

p

i. Considere la trayectoria reversible l-a-2 como

aparece en la figura E.7.5. Entonces, a~---+~--~~~2

& =

f dqI-a I T

v=C

+

b

f dqa-2 I T

p=C

v

Figura E. 7 .5.

Mediante la ecuación de estado de los gases ideales, TI - PI =PI -

También

T =T P2 1 PI

a


T=(1153{i )= 288.25 K a

y, a su vez,

& = (0.713) In =

(2~~5235) + (1) In (2~:.~5)

0.061 J/g K

ii. Considere ahora la trayectoria reversible l-b-2 . Dado que el proceso l -b es adiabático reversible,

& =

f dqb-2 I T

p=C


7 Entropía

pero

Sustituyendo valores, T b = 1153

1)°·286 = 775.60 K (¡

también 823 )

-

& = (1) In ( 775 .60 = 0 .061 J/g K

b) Dado que el proceso es adiabático, dql-2

f --:¡--

=

O < ~s

verificándose así la ecuación 7.11. e) La fricción qy puede calcularse con la ecuación 6 .7a , esto es, 9> = -

f v dp + ~h

en donde el exponente politrópico n puede calcularse mediante la expresión


n- l

0.71 = 0.25 n

=

1.32

n

199


200

Termodinámica

y, a su vez, '" __ (1.32)(0.287)(1153) 1.32-1

l" -

[(1) 4

0.24

]

- 1 + (1)(823 - 1153)

p = 386.33 + (-330) = 56.33 J/g 7.3 Principio de incremento de entropía Considere un sistema aislado, esto es, un sistema cerrado en el que no hay transferencia de energía con los alrededores. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, este sistema sólo puede adquirir aquellos estados donde la energía interna total del sistema permanece constante. Por otro lado, la segunda ley de la termodinámica establece, a partir de la ecuación 7.11, que el sistema aislado puede adquirir solamente aquellos estados en que su entropía se incrementa o permanece constante. Es decir, t,.Ssistema

¿ O

aislado

(7 .12)

donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los procesos irreversibles. La ecuación anterior se conoce como principio de incremento de entropía y es una forma cuantitativa de establecer la segunda ley de la termodinámica. En efecto, este axioma establece que La entropía de un sistema aislado aumenta en todos los procesos irreversibles y, en el límite, se mantiene constante en los procesos reversibles. A diferencia de la energía, la entropía no se conserva, excepto en los procesos reversibles. Con otras palabras, la primera ley establece que la energía no se crea ni se destruye, mientras que la segunda ley establece que la entropía no se destruye, sólo se crea . De la misma forma, la segunda ley establece que un proceso dado en un sistema aislado puede ocurrir hasta que este último adquiera su máximo valor de entropía, manteniendo al mismo tiempo constante su energía interna, esto es, hasta alcanzar un estado de equilibrio termodinámico. En consecuencia, la condición necesaria y suficiente para que un sistema aislado esté en equilibrio termodinámico es que su entropía sea un máximo o, que en todas las variaciones de estado posibles a partir del equilibrio, el cambio de entropía sea negativo. Analíticamente, para que un sistema aislado se encuentre en equilibrio termodinámico. (7. 13)


7 Entropía 201

Puesto que un sistema aislado siempre puede formarse con cualquier sistema (abierto o cerrado) y sus alrededores, la ecuación 7.12 indica también que, /',.5 sistema + /',.5 alrededores

;:::

O

(7.14)

Dado que los alrededores son todo lo que rodea a un sistema, a menudo se llama universo al conjunto formado por el sistema y sus alrededores. En consecuencia, /',.5 universo

;:::

(7.15)

O

El principio de incremento de entropía es de gran importancia termodinámica y filosófica, pues indica que un proceso real puede llevarse a cabo sólo si el cambio neto de entropía, tanto del sistema como de sus alrededores es positivo. El proceso inverso, donde el sistema y sus alrededores se hacen retornar a sus estados originales, es imposible de realizar, ya que esto involucraría un cambio negativo de entropía. Debe agregarse que tanto los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck como el axioma de incremento de entropía son equivalentes en sus consecuencias. Ejemplo 7.6

En un recipiente rígido y aislado que tiene 1 dm 3 de volumen hay cierta cantidad de aire a una presión de 3 bar y a una temperatura de 25 oc. Mediante una válvula que conecta este recipiente con otro de igual tamaño, también aislado, pero al vacío, se hace fluir el aire de tal manera que ambos recipientes queden llenos de él. Determine el cambio de entropía del aire. Solución Analizando el sistema compuesto por los dos recipientes, Q- W= /',.U = O

Es decir, U 2 = U¡

Además,

Dado que este proceso de expansión es irreversible, se seleccionará a continuación una trayectoria isotérmica reversible que conecte los estados inicial y final del proceso con el fin de calcular la diferencia de entropía mediante la ecuación 7.8. Esto es, dQ-dW

=

O


202 Termodinámica

y, a su vez,

dQ= p dV En consecuencia,

L15 =

f dQI _ = f p TdV = f mRdV T V T- C

= (3x 105 )(1 x 10-3 ) In (2) 298

= 0.698 J/ K Este resultado comprueba que el proceso de expansión es irreversible, pues al estar el sistema aislado L15 alrededores

=

O

y además, L15 sistema

=

0 .698 J/K

Ejemplo 7.7 ¿Es posible comprimir aire de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de 10 bar y una temperatura de 100 OC?

p

2

Solución

Puesto que el principio de incremento de entropía indica si un proceso dado puede realizarse, se calculará a continuación la diferencia de entropía entre los estados inicial y final mediante la ecuación 7.8 , y empleando la trayectoria reversible 1-a-2 , como se ve en la figura E.7. 7 . Esto es,

v

Figura E.7.7.


7 Entropía

fls =

=

- I T f-dqI-a

f

p=C

203

qa

- zl + d- T T=C

(pa]

c In -T Z] +Rln [ TI p PZ

~ e, In [~:] - R In (~:]

(a)

Sustituyendo valores, fls = (1) In

(~~~) - (0 .287) In (\0)

= 0.22 - 0.66 = - 0.44 J/g K

Puesto que el proceso es adiabático y el cambio de entropía de los alrededores es cero, se concluye que es imposible realizar la compresión adiabática entre los estados dados , por constituir una violación al principio de incremento de entropía. De hecho, la temperatura mínima TZm que podría adquirir el aire al comprimirse de forma adiabática desde 1 bar y 25 oC, hasta 10 bar se puede calcular con la ecuación (a). Si el proceso fuera adiabático reversible (isoentrópico).

(Pz]

zm

T ] - R In PI O = cp In ( ~ Si se reordena la ecuación anterior,

(Pz]

e In -T zm ] =Rln ( TI p PI

Nótese que esta ecuación se derivó previamente en el capítulo 4. Sustituyendo valores,

TZm = (298) (\0) =

302.73 OC

0.Z86

= 575.73 K


204

Termodinámica

De lo anterior se desprende que el proceso de compresión adiabático da como resultado que la temperatura del aire a la descarga del compresor sea mayor o igual, en el límite, a 302.73 oc. Esto indica que hay una posibilidad de comprimir el aire entre 1 bar, 25 oC y 10 bar, 100 oC, mediante un compresor y un intercambiador de calor en serie. Ejemplo 7.8 La válvula de escape en un motor de combustión interna se encuentra a una temperatura Tu, mientras su asiento se encuentra a una temperatura inferior Ta . ¿Está en equilibrio termodinámico el sistema válvula-asiento? Solución

Supóngase que la válvula experimenta una disminución dU en su energía interna mientras el asiento experimenta el mismo incremento dU en su energía interna. Entonces, para todo el sistema ,

dsl _ u- c

=_dU+dU=dU(~-~J T T T T u

a

a

u

dSlu= c >O De acuerdo con la ecuación 7.13, el sistema no está en equilibrio termodinámico .

7.4 La entropía como función de otras propiedades Como ya se ha dicho en repetidas ocasiones, el cambio de entropía entre dos estados termodinámicos es independiente del proceso, reversible o irreversible, y depende de manera única y exclusiva de los estados inicial y final del proceso por ser una propiedad termodinámica. Dado que la ecuación 7.8 es válida sólo para procesos reversibles, el cambio de entropía entre dos estados cualesquiera puede determinarse por medio de esta ecuación siempre y cuando se seleccionen una o más trayectorias reversibles convenientes para el cálculo, que conecten los estados inicial y final del proceso. Con el fin de generalizar la evaluación del cambio de entropía entre dos estados de un proceso cualquiera, a continuación se desarrollarán relaciones generales para una sustancia pura entre las propiedades p, u, T, u, h y s, combinando la primera y segunda leyes de la termodinámica. De acuerdo con la definición de entropía,

Tds=dq lrev y, para un sistema cerrado, en general,

dq

=

du

+

dw


7 Entropía

205

Por otro lado, para procesos reversibles,

Irev =

dw

P dv

En consecuencia, dq Irev

=

du + P dv

Sustituyendo esta última ecuación en la definición de entropía,

T ds = du + P du

(7.16)

Sumando y restando (v dp) al miembro derecho de la ecuación 7.16 y utilizando la definición de entalpía, T ds

=

(du + p dv + v dp) - v dp

T ds

=

dh - v dp

(717)

Las ecuaciones 7.16 y 7.17, generalmente conocidas como ecuaciones Tds o gibbsianas, son de gran importancia por combinar la primera y la segunda leyes de la termodinámica . Estas expresiones son válidas para cualquier proceso reversible o irreversible de una sustancia pura , puesto que una propiedad termodinámica queda determinada por el estado y no por el proceso, y las ecuaciones 7.16 y 7.17 involucran sólo propiedades termodinámicas, es decir, la ecuación 7.16 es una relación entre las propiedades p, v, T, u y s, mientras que la ecuación 7.17 es una relación entre las propiedades p, v, T, h y s. Estas expresiones son válidas también para un sistema abierto, puesto que las propiedades se evalúan por medio de un observador que viaja con el fluido y para éste cada masa unitaria es un sistema cerrado. El lector, sin duda, se preguntará: ¿cómo es pOSible que sean válidas las ecuaciones Tds para cualquier proceso de una sustancia pura si en la formulación se emplearon relaciones válidas sólo para procesos reversibles? Debe observarse que para cualquier proceso en general en un sistema cerrado, dq :f::. T ds y dw :f::. P dv, excepto en los procesos reversibles. De la misma manera, en un sistema abierto que opera en estado estable, dq:f::. T ds y dw:f::. -v dp, excepto en los procesos reversibles. De hecho, las ecuaciones T ds no expresan ni la primera ni la segunda leyes de la termodinámica; son sólo relaciones entre propiedades. Por ejemplo, si la sustancia pura es un gas ideal, pv du dh

En consecuencia, según la ecuación 7.16 ,

= = =

RT C dT v c p dT


206

Termodinámica

También 6s

=

cu .dT Vz f--+RlnT VI

Si el calor específico cu(T) es constante o se emplea un valor promedio,

(7 .18)

Del mismo modo, con la ecuación 7.17,

ds

= cpdT

T

-~

T

y, a su vez,

Si el calor específico cp (n es constante, o se emplea un valor promedio,

(7.19)

Esto es, dados los estados {TI, VI} y {Tz, vz}, el cambio de entropía LlS que experimenta un gas ide~l entre estos estados puede calcularse con facilidad mediante la ecuación 7.18. De la misma manera , dados los estados {PI' TI} Y {Pz, T z }, puede evaluarse el cambio de entropía Lls que experimenta un gas ideal entre estos estados con la ecuación 7.19. Ejemplo 7.9

En la figura E.7 .9 aparece el esquema de un motor diesel que usa un turbocargador. Los productos de combustión en el estado 3 se hacen pasar a través de una turbina, la cual, a su vez, impulsa el compresor por medio de una flecha. Suponiendo que las propiedades de los gases de combustión son las mismas que las del aire y que los procesos en el compresor y la turbina son adiabáticos reversibles, a) Calcule la potencia que desarrolla la turbina .

b) Determine la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbina. c) Determine la presión y la temperatura del aire a la descarga del compresor.


7 Entropía

Motor

2

.-------'

3

500 oC 2 bar

200 g/s de aire a 1 bar, 40 oC

Figura

E.7 .9.

Solución a) Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico ,

W mkRT [(P4] k~ 1] k-1 P3 = _

3

1 -

(200) (1.4)(0.287)(773) 1.4 - 1 = 27 926.37 W = 27.93 kW

= _

[(1)°·286 -1] 2

b) Para un proceso isoentrópico,

T

286

= (773{ \0

= 633.99 K = 360.99 oC

207


208

Termodinámica

c) Mediante un balance de energía,

En consecuencia ,

W -27926.37 T 2 = TI - mc = 40 - (200)(1) p

=

179.63 oC

Además,

p,

~ PI (~:)"I "(l{4~~;3)" =

3.64 bar

Ejemplo 7.10 Se comprime cierta cantidad de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC, hasta una presión de 2 bar y una temperatura de 30 oc. a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el aire. b) ¿Se trata de un proceso de compresión reversible?

So lución a) Con la ecuación 7.19,

=

(1) In

(~~~) - (0.287) In (f)

= 0.02 - 0.20 = - 0.16 J/g K b) Con la información dada no puede concluirse nada. El resultado sólo indica que la entropía del aire en el estado 2 es menor que la del estado 1. Evidentemente, el proceso de compresión realizado no puede ser adiabático de acuerdo con el principio de incremento de entropía. De haber sido el proceso adiabático, la temperatura mínima que adquiriría el aire al ser comprimido desde 1 bar y 25 oC hasta 2 bar sería 363.34 K (90.34 oC) . Además, dado que la entropía


7 Entropía

209

disminuye en el proceso, el aire pudo haberse comprimido de manera reversible a lo largo de una trayectoria cuyo exponente politrópico fuera de 1.025 con transferencia de calor hacia un sistema de enfriamiento. Lo anterior destaca el hecho de que la entropía es una propiedad termodinámica y su evaluación no requiere conocer el proceso. La ecuación 7.16 revela la existencia de una función de la forma f(u, s, v)

=

O

(7 .20)

la cual determina por completo el estado termodinámico de una sustancia pura y constituye lo que se conoce como ecuación de estado completa. Se dice completa porque el valor de todas las propiedades termodinámicas en un estado dado pueden obtenerse por medio de ella. Así, las ecuaciones u(s, v) s=s(u, v)

u =

y también v = v(s, u)

son ecuaciones de estado completas porque determinan a cabalidad el estado termodinámico de una sustancia pura. Como ejemplo, considere la ecuación u = u (s , v). Dado que la energía interna u es una propiedad,

du

ou] os

ou]

ds+-

=-

ov

u

dv s

Comparando esta expresión con la ecuación 7.16 en la forma du = T ds - p dv se obtiene

au]

p =- -

av

au]

T=-

os

h

= u

s

= p(s, v)

=

T(s, v)

u

+ pv

=

h (s, v)

Todas las demás propiedades termodinámicas pueden determinarse a partir de la ecuación de estado u = u (s, v). Obsérvese que una ecuación de la forma T = T (s, v) es incompleta, ya que es imposible determinar, por ejemplo, p = p (s, v) partiendo de esta relación funcional.


210 Termodinámica

De igual forma, de la ecuación 7.17 se desprende que las ecuaciones h p

=

=

h(p, s),

S =

s(h, p) y

p(h, s) son ecuaciones de estado completas.

A pesar de su nombre, una ecuación de estado de la forma f(p, u, T ) = O es incompleta, pues no proporciona la descripción completa del estado termodinámico de una sustancia pura. Ejemplo 7.11

Demuestre que la ecuación h

=

h(p, s) es una ecuación de estado completa.

Solución Dado que la entalpía es una propiedad,

ah1 ap

dh

=-

s

ah) as

dp+-

ds

(a)

p

Según las ecuaciones T ds,

dh = u dp + T ds

(b)

Comparando las ecuaciones (a) y (b) ,

ah)

u =-

T

8p

s

ah) as

p

=-

= u(p, s)

=

T(p, s)

u = h - pu = h(p, s) - pu(p, s) =

u (p, s)

7.5 Diagrama temperatura-entropía Dado que tanto la temperatura absoluta T como la entropía S son propiedades termodinámicas, pueden usarse como coordenadas. Como se ve en la figura 7.4, el área que está debajo de la curva descrita por un proceso reversible representa físicamente el calor suministrado al sistema, esto es,


7 Entropía

211

o, por unidad de masa, 2

q =

J

1

T d5

I

rev

Por otro lado, si se invierte la trayectoria desde el estado 2 hasta el estado 1, el área que queda debajo de la curva (negativa) representa físicamente el calor cedido por el sistema. Los diagramas temperatura-entropía tienen gran aplicación en el análisis de ciclos termodinámicos. Considere, por ejemplo, el ciclo de Camot previamente explicado, el cual se compone de dos procesos adiabáticos y dos procesos isotérmicos reversibles como se ve en la figura 7.5. Durante el proceso de expansión isotérmico a Te desde el estado 1 hasta el estado 2, la entropía del fluido aumenta desde un valor 51 hasta 52' y el calor absorbido por la máquina es igual a Te (s2 - sI). Es decir, el área que se halla debajo de la línea del proceso isotérmico de 1 hasta 2 representa físicamente el calor absorbido por la máquina. Durante el proceso de expansión adiabático reversible desde el estado 2 hasta el estado 3, la entropía permanece constante. De la misma manera, la entropía del fluido disminuye desde un valor s3 hasta un valor S4 durante el proceso de compresión isotérmico a T¡- El área que está debajo de la curva 3-4 representa el calor cedido (negativo) por la máquina de Carnot hacia la región que se halla a temperatura T¡ - dT¡, esto es, T¡ (s4 - s3). Por último, el fluido se comprime de forma isoentrópica desde el estado 4 hasta el estado 1. Partiendo de la figura 7.5 puede demostrarse con facilidad que también la eficiencia de cualquier máquina de Carnot, más allá del fluido o medio de trabajo, está dada por la ecuación 6.10 . Obsérvese

T

p 2

2

Tf

-

4

3

s s Figura 7.4. El área que se halla debajo de la curva descrita por un proceso reversible representa el calor suministrado ai sistema.

Figura 7.5. El ciclo de Camot en un diagrama temperatura-entropía.


212

Termodinámica

además que, sin importar el fluido o medio de trabajo, la forma del ciclo de Carnot en un diagrama temperatura-entropía es un rectángulo. Otra ilustración sencilla del uso del diagrama temperatura-entropía se encuentra en los ciclos Stirling y Ericsson ya estudiados . La figura 7.6a presenta el diagrama temperatura-entropía de un ciclo Stirling donde el medio de trabajo es un gas ideal. Como se explicó en el inciso 6.7, el área que se halla debajo de la curva del proceso isométrico 4-1 representa físicamente el calor disipado por el gas, el cual se almacena como energía interna en el regenerador, para hacerlo retornar después al gas durante el proceso isométrico 2-3. De igual forma , en la figura 7 .6b se ve un ciclo Ericsson en el que el medio de trabajo es un gas ideal. A semejanza del ciclo Stirling, el calor cedido por el gas durante el proceso isobárico 4-1 se almacena como energía interna en el regenerador, para hacerlo regresar posteriormente al gas durante el proceso isobárico 2-3. A semejanza del diagrama presión-volumen, el área que está debajO de la curva no tiene ninguna interpretación física en el caso de procesos irreversibles. De hecho, el área que queda debajo de la curva es siempre mayor que el calor suministrado al sistema en el caso de procesos irreversibles, como se desprende de la ecuación 7.11 . A manera de ejemplo, imagine el proceso reversible de expansión isotérmica de un gas ideal en un cilindro como se muestra en la figura 7.7. El área que se localiza debajo de la curva de este proceso reversible corresponde al calor absorbido por el sistema durante la expansión, esto es, Q = T (52 - 51). Considere ahora un proceso adiabático de expansión libre (irreversible) en el que los estados inicial y final son los mismos del proceso reversible. Para este proceso irreversible U2 = U l , y por lo tanto, T2 = TI. Sin embargo, en este caso Q = O y el área que

T

T ~

_ _ _ _ _.... 4

~

T¡

_ _ _ _ _ _-""JI4

T¡

(a)

s

(b)

s

Figura 7.6. (a) El ciclo Stirling en un diagrama temperatura-entropía. (b) El ciclo Ericsson en un diagrama temperatura-entropía.


7

Entropía 213

a

los

T

un

·1

,2

r

I

I

I I

I I I I

I I I

I

I

I

I

I I

es, de se ma

I

I

I

I

I

l

I I

S

ión

ste

Figura 7.7. Procesoreversiblede expansióna temperaturaconstante.

ue

4

s

queda bajo la curva no tiene ninguna interpretación física. De aquí que los procesos irreversibles, por lo general, se representen con una línea quebrada. La curva de saturación de una sustancia pura, a semejanza de los diagramas presión-volumen, presión-temperatura y presión-entalpía explicados con anterioridad, puede también representarse en un diagrama temperatura-entropía como aparece en la figura 7.8. La línea AC corresponde a los estados de líquido saturado, y la línea CB a los estados de vapor saturado seco. El punto C corresponde al punto crítico. En la misma figura se ven varios procesos reversibles típicos. La línea 1-2-3 corresponde a un proceso isoentrópico; la línea 4-5-6 a un proceso isotérmico; la línea 7-8-9-10 a un proceso isobárico; la línea 11-12-13 a un proceso isométrico, y la línea 14-15 es una línea de humedad constante. Obsérvese que tanto la presión como la temperatura permanecen constantes en la zona de vapor húmedo. Algunos valores de entropía por unidad de masa para líquido saturado, vapor saturado seco y vapor sobrecalentado pueden obtener se consultando las tablas de propiedades termodinámicas como las presentadas en el apéndice al final de este libro. En la región de saturación, la entropía puede calcularse mediante expresiones similares a las empleadas para calcular el volumen específico, la energía interna o la entalpía, esto es, s=s¡+s¡g

ma

La entropía del líquido comprimido depende fundamentalmente de la temperatura y no difiere de forma significativa del valor correspondiente al líquido saturado a la misma temperatura.


214

Termodinámica

T

7

6 B

A

s Figura 7.8. Diagrama temperatura-entropía para una sustancia pura.

Ejemplo 7.12 Muestre que en un diagrama temperatura-entropía, las líneas de presión constante tienen menor pendiente que las líneas de volumen constante en la región de vapor sobrecalentado.

Solución Con la ecuación 7.16, T ds

=

du + P dv

T ds

=

du

Para un proceso a volumen constante, = Cu

dT

En consecuencia,

aT] as

T u

De la misma manera, con la ecuación 7.17, T ds

=

dh

=

v dp


7 Entropía

21 5

Para un proceso a presión constante, T ds

=

dh

=

cp dT

En consecuencia,

aT] as

T p

Dado que cp > cv' se concluye que

Ejemplo 7.13 En un sistema cerrado, cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible: expansión isobárica a Pa desde una temperatura T a hasta una temperatura T b, enfriamiento a volumen constante desde una temperatura T b hasta una temperatura Ta y compresión isotérmica hasta una presión Pa' a} Dibuje el diagrama presión-volumen y temperatura-entropía de este ciclo . b} Muestre el área que representa el calor suministrado al sistema. c} Muestre el área que representa el calor cedido por el sistema.

Solución a} Los diagramas presión-volumen y temperatura- entropía aparecen en la figura E.7. 13. b} El área que está debajo de la curva a- b del diagrama temperatura-entropía representa físicamente el calor suministrado al sistema. c} El área que queda debajo de la curva b-c-a del diagrama temperatura-entropía representa físicamente el calor cedido por el sistema.

Ejemplo 7.14 En un sistema cerrado, cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo reversible 1. Proceso Proceso Proceso Proceso

a-b. b-c. c-d. d-a.

Compresión adiabática reversible desde Va hasta Vb' Adición de cierta cantidad de calor q mientras el volumen permanece constante . Expansión adiabática reversible desde v b hasta va ' Enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado inicial a .


216

1.¡"'J

Termodinámica

p

b

T

a

b

~

Calor absorbido

~

Calor cedido

a e

(a)

v

(b)

s

Figura E.7.13.

Considere la misma cantidad de aire, pera ahora en el siguiente ciclo reversible 2. Proceso a-b, Compresión adiabática reversible desde va hasta vb (= vb.). Proceso b' -c' . Adición a presión constante de la misma cantidad de calor que en el ciclo reversible 1. Proceso e -d'. Expansión adiabática reversible hasta va (= Vd.). Proceso d'
temperatura-entrapía. b) Tras analizar el diagrama temperatura-entrapía, eficiencia.

y en un diagrama

indique cuál ciclo termodinámico tiene mayor

EjemJ A una! 400 De adiabát Soluci.

Solución presión-volumen y temperatura-entrapía de ambos ciclos aparecen en los esquemas de la figura E.7.14. b) Dado que la misma cantidad de calor se suministra a ambos ciclos, el área que se localiza debajo de la curva b-e del diagrama temperatura-entrapía es igual al área que queda debajo de la curva b' -«;". De igual manera, el calor disipado por ambos ciclos es físicamente igual al área que está debajo de la curva d-a para el ciclo 1, y al área que se halla debajo de la curva d':a

Hacien

a) Los diagramas

Según


21 7

7 Entropía

p

e

T

e

b, b'

r----~"'"

e'

d'

b, b' d'

d

a , I I I

,

a

I

v

(a)

(b)

s

Figura E.7.14.

para el ciclo 2. Puesto que el calor disipado por el ciclo 1 es menor que el calor disipado por el ciclo 2, se concluye que la eficiencia térmica del primero es mayor que la eficiencia térmica del segundo. Esto es, 111> 112

Ejemplo 7.15

A una turbina entra vapor a razón de 50 000 kg/ h, a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400 oC, y se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0 .05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, calcule la potencia desarrollada por la turbina. Solución Haciendo un balance de energía,

Según la tabla A.3, hl

=

sI =

3230.9 J / g 6 .9212 J/g K


218 Termodinámica

Dado que el proceso es isoentrópico, S2 = sI = 6.9212 J/ g K. Por otra parte, puesto que S2 < Sg (a 0 .05 bar), el vapor a la descarga de la turbina es húmedo. El proceso de expansión ilustra Ten la figura E.7.15. Según la tabla A.2, a 0.05 bar,

T

h¡ = 137.82 J / g h¡g = 2423.7 J/ g

s¡ = 0.4764 J / g K s¡g = 7.9187 J/ g K En consecuencia, s S2 -

s¡

Xz =--

s¡g

=

6 .9212 - 0 .4764 7.9187 Figura

E.7 .15.

= 0.814 Además, h2

=

h¡ + xh¡g =137.82 + (0.814)(2423.7)

= 2110.71 J / g Por último,

w= (5 X 10 )(3230.9 - 2110.71) = 15 558 kW 7

3600

Ejemplo 7.16

Un recipiente rígido contiene vapor de agua sobrecalentado a una presión de 13.5 bar y una temperatura de 225 oc. Al agregarle calor, su temperatura aumenta hasta 500 oc. Mediante el diagrama temperatura-entropía del agua, determine la presión final del vapor y el cambio de entropía experimentado.

Solución El proceso isométrico aparece esquemáticamente en la figura E.7 .16. Utilizando el diagrama temp eratura-entropía del agua, se obtienen los siguientes datos:


21 9

7 Entrapía

Estado 2

Estado 1 Pi = 13.5 bar

P2 = 22 bar

TI = 225°C

T2 = 500°C

vI = 160 cm3/g

V2

SI

= 6.65 J/g K

T

500

= 160 cm3/g

s2 = 7.38 J/g K

225

y, a su vez, S2 - sI

= 7.38 - 6.65 = 0.73 J/g K s

En consecuencia, P2 = 22 bar

Figura E. 7 .16.

7.6 Diagrama entalpía-entropía El diagrama entalpia-entropía, que se conoce también como diagrama de Mollier, es muy útil en el análisis de plantas de generación de vapor. En la figura 7.9 se muestra el esquema del diagrama de Mollier para una sustancia pura. La curva de saturación está formada por la línea ACB, donde C es el punto crítico termodinámico. Líneas como la 1-2-3 son de presión constante; como la 4-5-6 son isotermas, y las líneas de humedad constante están representadas por la línea 7-8. Debe observarse que tanto la presión como la tempe-

h p

= cte

Vapor sobrecalentado

6

peyel

A

s peFigura 7.9. Diagrama de Mollier para una sustancia pura.


220 Termodinámica

ratura permanecen constantes en la región húmeda. Así, la temperatura en el punto 4 es igual a la temperatura de saturación del punto 5 . De esta manera, en la línea 4-5 no sólo permanece constante la presión sino también la temperatura. Dado que el proceso ideal seguido por una turbina de vapor es adiabático reversible, el uso del diagrama de Mollier es conveniente para determinar no sólo la potencia máxima que puede desarrollar la unidad, sino también la eficiencia con la cual se logra ese objetivo. Para este fin, se define la eficiencia de una turbina que opera entre límites de presión fijos, como el cociente del trabajo real desarrollado por la unidad entre el trabajo ideal que desarrollaría si el proceso fuera isoentrópico. Esto es , Wreal

llturbina

=Wideal

(7.21)

El diagrama de Mollier también es útil en el proceso de estrangulamiento utilizado para determinar el título de un vapor húmedo en una tubería. Si la presión de un vapor húmedo se disminuye lo suficiente mientras su entalpía se mantiene constante, el vapor se transforma en vapor sobrecalentado . En el esquema de la figura 7.10 aparece un calorímetro de estrangulamiento, donde una cantidad pequeña de vapor se hace pasar primero por una restricción para seguir después a una cámara, donde se hace una medición de presión y temperatura. Si el calorímetro está aislado térmicamente y los cambios en

Vapor húmedo

---'P1

~~___________ P1' T2 Calorímetro de '---,----' estrangulamiento

h

s Figura 7.10. Calorímetro de estrangulamiento para determinar la humedad en un vapor.


221

7 Entropía

energía cinética son despreciables , un balance de energía indica que h l = h2 . Esta igualdad no indica que el proceso sea isoentálpico sino nada más que la entalpía del vapor en la línea es igual a la entalpía del vapor en el calonmetro. Obsérvese que la presión en el calorímetro debe ser lo suficientemente baja para que el vapor se expanda hasta alcanzar sobrecalentamiento. La utilidad del diagrama de Mollier se pone de manifiesto en los siguientes ejemplos. Ejemplo 7.17 Una turbina toma 50 000 kg/ h de vapor a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC y lo descarga en un condensador cuya presión es de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, calcule la potencia desarrollada por la turbina utilizando el diagrama de Mollier.


Según el diagrama de Mollier, a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400 oC,

hl $1=

=

3230 J/ g

6.92 J/ g K

Puesto que el proceso es isoentrópico, se puede trazar una línea vertical hasta intersecar la línea de presión correspondiente a 0.05 bar, como se ve en el esquema de la figura E. 7 .17. En este punto , h2 $2 = $1 =

=

2110 J/g

6 .92 J/g K

En consecuencia,

w = (5 x 10 7 )(3230 -

h

2110

= 15 556

kW

3600 Si se compara el método de solución empleado aquí con el del ejemplo 7.15, se observa la simplicidad del cálculo al usar el diagrama de Mollier. Ejemplo 7.18 s

Se transportan por una tubería 30 000 kg/ h de vapor húmedo a una presión absoluta de 30 bar. Con el objeto de determinar el título del vapor,

Figura E.7 .1 7 .


222 Termodinámica

se utiliza un calorímetro de estrangulamiento que registra los siguientes datos experimentales: •.,.f!.I".

y, a su v h

Temperatura del vapor en el calorímetro = 150 DC Presión del vapor en el calorímetro = 1 bar

Sustituy.

Con los datos anteriores, determine el título del vapor en la tubería. Solución s

Según el diagrama de Mollier, para una presión de 1 bar a una temperatura de 150 DC,h2 = 2776 J/g. A partir de este punto se puede trazar una línea horizontal como se ve en la figura E.7.18 hasta intersecar la línea de presión igual a 30 bar en la región húmeda. En este último punto se obtiene:

Figura E. 7 .18.

Ejemp

Un sobr convect Si e a una tE calor su

x = 0.985 Ejemplo 7.19 Una turbina de vapor con una extracción toma 35 000 kg/h de vapor de una caldera a una presión de 40 bar y una temperatura de 400 De. De esta cantidad de vapor, se extraen 27 000 kg/h como vapor saturado seco a una presión de 1.5 bar. El resto del vapor se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0.05 bar, con un título de 0.895. Calcule la potencia desarrollada por la unidad .

" '\

m, --.

W

SOlucié m3

Medianl

h

Del día,

.1

.

",' " .••• }.

4

\ •..• e.

Solución Mediante balances de masa y energía, como se ve en la figura E.7.19,

w=

mI(hI - h2) + (mI - m2)(h2

-

Siguien 400 De

h3)

Con el diagrama de Mollier, J)

hI =3214 J/g

1:

h2 = 2694 J/g

,"r

,r .I

~~'!

s

En con: Figura E.7.19.


7 Entropía

223

y, a su vez,

h3 = 2307 J/ g Sustituyendo valores,

w= (35 x 10 )(3214 - 2694) 6

3600 (8 x 10 )(2694- 2307) 6

+--------3600

5916 kW

=

Ejemplo 7.20

Un sobrecalentador es un intercambiador de calor, el cual, mediante cierta adición de calor en forma convectiva o radiante, transforma, en una caldera, el vapor saturado en vapor sobrecalentado. Si en un sobrecalentador entra vapor con una presión de 20 bar, un título de 0.99 y se descarga a una temperatura de 400 oC con una presión esencialmente igual a 20 bar, calcule la cantidad de calor suministrado por unidad de masa, así como el cambio de entropía que experimenta. Solución Mediante un balance de energía,

Del diagrama de Mollier, a una presión de 20 bar y con un título de 99%, hl

=

sI

=

2781 J/ g 6.3 J/ g K

Siguiendo la línea de presión constante hasta intersecar la línea correspondiente a la temperatura de 400 oC,

h2 = s2 =

3248 J/g 7.13 J/g K

En consecuencia,

q

=

3248 - 2781

=

467 J/ g


224

Termodinámica

También ~s

= 7.13 - 6.3 = 0.83 J/g K

Ejemplo 7.21

Una turbina cuya eficiencia es de 90% toma 30 000 kg/ h de vapor a una presión de 35 bar y una temperatura de 400 oC; lo descarga en un condensador con una presión de 37.5 mm Hg (0.05 bar). Calcule la potencia desarrollada por la unidad.

Solución Según el diagrama de Mollier, a una presión de 35 bar ya una temperatura de 400 oC, h1 = s1 =

3222 J/ g 6.84 J/g K

De este punto se puede trazar una línea vertical (entropía constante) hasta intersecar la línea de presión igual a 0.05 bar. En este último punto se obtiene,

h2id

=

2086 J/ g

Al aplicar la definición de eficiencia para una turbina,

.

.

Wreal = 11 Wideal =

11

m(h 1 -

h2id )


w real

~eal

=

(0.9)(30 x 10 6 )(3222 - 2086) 3600

= 8520 kW

7.7 Balance general de entropía Con el fin de evaluar de forma cuantitativa la perfección o imperfección de un proceso, se desarrollarán a continuación expresiones generales para realizar balances de entropía, tal como se hizo con la energía según la primera ley de la termodinámica. De acuerdo con la segunda ley, la entropía sólo se conserva en los procesos reversibles, y se crea o produce en los procesos reales o irreversibles. Para calcular la producción de entropía Sp, considere primero un sistema cerrado. Analizando la ecuación 7.11 , puede escribirse de la siguiente manera:


7 Entropía 225

llS =

I dQ T + llS

P

(7 .22)

En el caso de procesos reversibles, la producción de entropía llSp = O y la expresión anterior se convierte en la ecuación 7.8. Dado que el calor suministrado al sistema, así como la temperatura de sus límites pueden variar a 10 largo de toda el área que limita el sistema, la ecuación 7 .22 puede escribirse de la siguiente forma alterna (7 .23) donde el subíndice j se refiere a las distintas áreas que se encuentran a temperatura T¡, por donde hay una transferencia de calor Q¡ con los alrededores. Dividiendo entre LH y haciendo que LH ~ O, (7 .24) Imagine ahora un sistema abierto en general con k entradas y l salidas de flujo como el que aparece en la figura 7.11. Puesto que la entropía es una propiedad extensiva, (7 .25) La ecuación 7.25 constituye un balance general de entropía. Varios casos particulares son de interés.

Figura 7.11 Sistema abierto con ~ entradas y esalidas .


226 Termodinámica

a) Para un sistema abierto con una entrada y una salida de flujo , que opera en estado estable, la ecuación 7 .25 se reduce a

m(sI -S2) + 5p = o

¿(Q .J J·IT) J +

(7.26)

b) Para un sistema abierto con una entrada y una salida de flujo, que opera en estado estable, y realiza un proceso adiabático, la ecuación 7.25 se reduce a

o bien, (7 .27) c) Para un sistema cerrado en general, (7 .24) d) Para un sistema cerrado que realiza un proceso adiabático, .

.

(7.28)

5 p =5 :?: O

Ejemplo 7.22

Considere una barra de cobre aislada, que toma por uno de sus extremos un flujo de calor igual a 100 W de una región que está a 500 oC, y descarga la misma cantidad de calor por el otro extremo a una región de 30 oc. Calcule la producción de entropía 5 p '

Solución Según la ecuación 7.24,

o bien, Ql 01 +-+5 =0 TI T2 P

. (1 1) .

01--TI T 2

+ 5 =0 p


7 Entropía

227

donde vapor

•

h


Ejemplo 7.23

Una turbina de vapor puede operar en condiciones de carga parcial disminuyendo el flujo de masa a su entrada mediante el empleo de una válvula de estrangulamiento, como se ve en la figura E.7.23. Si el vapor a la salida de la caldera está a 20 bar y 300 oC y la presión en el condensador es de 0 .05 bar

s

Figura E. 7 .23.

a) Determine el trabajo máximo por unidad de masa que puede desarrollar la turbina operando a plena carga. b) Si la presión a la entrada de la turbina se disminuye por medio de la válvula hasta un valor de 5 bar, calcule el trabajo máximo por unidad de masa que puede desarrollar la turbina en estas condiciones y el título del vapor a su descarga. e) Calcule la producción de entropía del sistema como consecuencia del uso de la válvula.


Según la tabla A.3, a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC,

hl

=

sI =

3023.5 J/ g 6.7664 J / g K


228

Termodinámica

Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar, hf = 137.82 J/ g hfg = 2423.7 J/ g sf = 0.4764 J/ g K Sfg= 7.9187 J/ g K

Puesto que el trabajo por unidad de masa es máximo cuando el proceso de expansión es isoentrópico , S3 = sI

= 6.7664 J/ g K

En consecuencia, = X3

6.7664 - 0.4764 7.9187

=

O 794 .

Además, h3

=

hf + X3 hfg

=

137.82 + (0.794)(2423.7) 2062.24 J/ g

=

Entonces, w = 3023.5 - 2062.24 = 961.26 J/ g

Observe que en este caso la producción de entropía

sp

en el sistema es igual a cero .

b) Una vez que la válvula de estrangulamiento empieza a operar, h 2 = h l = 3023.5 J/ g P2 = 5 bar

Según la tabla A.3, mediante interpolación, T2 s2

280.29 oC = 7.3876 J/g K

=

Dado que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico,

También x = 7.3876- 0.4764 = 0.873 3 7.9187


7

Entropía 229

En consecuencia, h3 = h¡ + x3h¡g = 137.82 + (0.873){2423.7) =

2253.71 J / g

Entonces, w = hz - h3 = 3023.5 - 2253.71 = 769.79 J / g

c) Según la ecuación 7.27, Sp = Sz - sI = =

7.3876 - 6.7664 0.6212 J/g K

Como puede observarse, el uso de una válvula de estrangulamiento como medio de control no sólo disminuye el flujo de masa de vapor a la turbina, disminuye también su capacidad para hacer trabajo, de 961.26 J/g a 769.79 J/g, al haber una producción de entropía de 0.6212 J/g K en el sistema . Ejemplo 7.24

Una botella de 0.25 dm 3 está llena de aire a una presión de 1.5 bar y a una temperatura de 25 oC. Al destaparla en el aire ambiente que se encuentra a una presión de 1 bar y a una temperatura de 25 oC, escapa parte del aire. Suponiendo que el calor específico de la botella es despreciable a) Calcule la temperatura del aire que queda en la botella. b) Calcule la masa de aire que se escapó. c) Calcule la producción de entropía !1S p '


donde el subíndice 1 se refiere al estado inicial del aire en la botella, el subíndice 2 al estado final y el subíndice a a las condiciones del aire ambiente. (mz - m1){u a + Pava)

=

mz Uz - mI UI

UI)

=

(mz - ml)RTa

mz cv{Tz - T a) + mI cv{Ta - TI)

=

{m z - ml)RTa

mz{uz - Ua ) + ml{u a

-


230

Termodinámica

Sustituyendo la ecuación de estado de los gases ideales en

ml

y

m2

y notando que Vl = V2 ,

(1 x 105)(1)(298) 5 (1 x 10 )(0.713) + (1.5 x 105)(0.287)

=----~------------~-----

= 260.60 K =

-12.40 oC

b) Para calcular la masa que escapó,

=

(0 .25 x 10-3 ) (1.5 x 10 5 0 .287 298

= 0.104 g

e) Con la ecuación 7.25,

Integrando, -~m

Esto es,

en donde,

sa + ~Sp

= ~S

1 x 105) 260.60


7 Entropía

231

Utilizando la ecuación 7 .19 y simplificando,

[T

2 ] = P2 vC p In RT2 To

-

!?.!....!: In TI

[po] PI

_ (1 x 10 5)(0 .25 x 10-3)(1) (260.60 ) (0.287)(260 .60) In 298

I

(1.5 x 10 5)(0.25 x 10-3) (1 (298) In 1.5) ~Sp = =

-0.0448 + 0.0510 0.0062 JIK

Ejemplo 7.25

En un intercambiador de calor se desean calentar 30 000 kg/h de agua desde una temperatura de 30 oc hasta una temperatura de 80 oC, usando 100 000 kg/h de gases de combustión a 300 oc. Calcule la producción de entropía Sp suponiendo que el calor específico de los gases es igual a 1 J/ g K.

LGases ~

Agua

I 1'------------.1

2

~

T

300

Solución Un balance de energía en el intercambiador de calor de la figura E.7 .25 indica que

o 300

o bien, ml(h 2 - h l ) = m3(h 3 - h4 ) mIc po (T 2 - TI) = m3 cp g (T3

Área -

T4) Figura E. 7 .25.


232

Termodinámica

y, a su vez,

= =

300 _ (30 000)(4.18)(80 - 30) (1)(100 000) 237 .3 oC

Según la ecuación 7.25,

de donde,

.

= mI

=

Cpa

(T

2

In TI ]+ .m3 6

(30 x 10 )(4.18) In + (100

x

Cpg

[T

In T

4

]

3

(~~~j

6

10 )(1) In

(5¿~33j

6

= 7.564 x 10 J/h K = 2.101 kWIK

Ejemplo 7.26 La turbina de gas de un turbojet está diseñada para que éste opere a 10 000 m de altura y con una velocidad de 800 km/h. Como se ve en la figura E.7.26, un flujo de aire de 40 kg/s entra en el difusor con una velocidad relativa de 800 km/h y se descarga en el compresor con una velocidad prácticamente despreciable. Después el aire se comprime de modo adiabático en el compresor, cuya eficiencia es de 0 .9, con relación de presiones de 4:1. Al pasar por el quemador, el aire y el combustible añadido experimentan una combustión isobárica y la temperatura aumenta hasta 800 oc para sufrir luego una expansión adiabática en la turbina. La eficiencia de esta última también es igual a 0.9. Finalmente, los gases de combustión pasan a través de la tobera para expandirse hasta la presión atmosférica. Suponiendo que los procesos en el difusor y la tobera son isoentrópicos, las propiedades termodinámicas de los gases de combustión son iguales a las propiedades del aire, los calores específicos

http://carlos2524.jimdo.com/ 7 Entropía

Quemador

233

~ 5

6

Figura E. 7 .26.

son constantes, el flujo de combustible es despreciable con respecto al del aire y las condiciones atmosféricas de operación son de 0.29 bar y -44 oc. Calcule, a) La presión y la temperatura del aire a la descarga del difusor. b) La presión y la temperatura del aire a la descarga del compresor. e) La producción de entropía en el compresor. d) La presión y la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbina. e) La producción de entropía en la turbina. f) La temperatura y la velocidad de los gases a la salida de la tobera. g) El empuje. h) Dibuje todos los procesos en un diagrama temperatura-entropía.


o bien,


234

Termodinámica

En consecuencia,

Tz

=

v~ (222 .22l TI +-=-44+-----;02cp (2)(1)(10 3)

= -44 + 24 .7 T z = - 19.3 oC = 253.7 K Puesto que el proceso es isoentrópico,

TZ] k:1 [

p z = PI TI

pz

=

253.7) 0.29 ( 229

3.5

=

0.42 bar

b) Dada la relación de presiones de 4: 1, P3 = 4pz = (4)(0 .42) = 1.68 bar

Si el proceso de compresión fuera isoentrópico,

= 253.7 (4)OZ86 = 377 .15 K Para un compresor, W¡deal

TIc = - -o Wreal

En consecuencia,


T 3 = 253 .7 + 377 . 1~ .; 253 .7 =

390.87 K


7 Entropía

c) Para calcular la producción de entropía en el compresor,

= (40) [ (1) In ( 390.87) 253 .7 - (0.28 7 In (4) ] = 1.37 kWIK

(1)(377.15 - 253.7) 0.9 = 137 .17 J/g

pero W real, e

=

W real, t

= 137.17 J/g

En consecuencia, T = T _ 4

s

Wreal,t

C

P

= 1073- 137.17 = 935.83 K 1 Para calcular Ps, Wreal, t

W¡deal t

,

= - - = cp (T4 77t

-

TSid )

En consecuencia, T Sid

- T _ -

4

Wreal, t

77 t C p

= 1073- 137.17 = 920.59 K

(0.9 XI)

235


236

Termodinámica

Además,

TSidl Ps

k:1

=

P4 ( T ) 4

=

920.59) 3.S (1.68) ( 1073

=

0.98 bar

e) Para calcular la producción de entropía en la turbina,

.

Sp

..[

[T

(PS]l

S

In T 4] - R In P4

= m cp

[(1) In (9;g7~~ -(0.287) In (~:~~)]

=

(40)

=

0 .72 kW/K

fJ Dado que el proceso en la tobera es isoentrópico, k-I

T6 = Ts [ ::]

k

0 .29)°·286

= (935 .83)( 0 .98

= 660.62 K

La velocidad terminal puede determinarse mediante un balance de energía, esto es , V6

2c p (Ts - T 6) )1/2 = [ (2)(1)(935 .83) - (660.62)(1000) )1/2 = 741.90 mis

= [

g) Para calcular el empuje, F

=

m(V6

-

VI)

= (40)(741.90 - 222.22) =

20 787 N


7 Entropía

237

h) En la tabla E.7.26 se encuentran las diferentes presiones y temperaturas que hay dentro de la

máquina. El diagrama temperatura-entropía es un esquema de los diferentes procesos realizados. '---'«tu

roCO

'\.

T

/" '?>co

().

II~

f).'l-

().

1:

'l-'?>

().

I1 111111"1

s

E. 7 .26 Inciso (h) del problema Tabla E.7 .26 Estado

1

2

3

4

5

6

p, bar

0.29

0.42

1.68

1.68

0.98

0.29

935.83

660.62

T,K

229.0

253.7

1073.0

390.87

7.8 Resumen Así como el concepto de energía queda establecido a partir de la primera ley de la termodinámica, la segunda ley postula la existencia de una propiedad termodinámica extensiva que se conoce como entropía (del griego €V'rp7tffi7tTl), la cual se define mediante la expresión, ¿\,s=

fdQ I T rev

Por otra parte, la desigualdad de Clausius establece que para todo ciclo termodinámico, I. dQ

fT

~O


238

Termodinámica

donde la igualdad se conserva en los ciclos reversibles (puesto que la entropía es una propiedad) y la desigualdad en los irreversibles. De la misma manera, para cualquier proceso ~s~

JTdQ

donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los irreversibles. De esta última expresión se desprende que, para todo sistema aislado, ~Ssistema ~

O

aislado

Esta expresión, que se conoce como principio de incremento de entropía, establece que La entropía de un sistema aislado aumenta en todos los procesos irreversibles y, en el límite, permanece constante en los procesos reversibles. La segunda ley establece, a través de este principio , que un proceso dado en un sistema aislado puede ocurrir hasta que éste adquiera su máximo valor de entropía, manteniendo al mismo tiempo constante su energía interna, esto es, hasta alcanzar un estado de equilibrio termodinámico. De aquí que la condición necesaria y suficiente para que un sistema aislado esté en equilibrio termodinámico es que su entropía sea un máximo, o que en todas las variaciones de estado posibles a partir del equilibrio, el cambio de entropía sea negativo. La entropía está relacionada con otras propiedades termodinámicas a través de las ecuaciones T ds o gibbsianas, es decir: T ds

=

du + P dv

T ds

=

dh - v dp

también,

Estas expresiones son válidas para cualquier proceso de una sustancia pura. Si se trata de un gas ideal con calores específicos constantes, las ecuaciones T ds pueden integrarse de forma directa entre dos estados cualesquiera, dando como resultado


7 Entropía

yla

esta

239

Las ecuaciones T ds, al combinar la primera y segunda leyes de la termodinámica, dan origen a ecuaciones de estado completas; por ejemplo, u = u(s, v), s = s(u, v)... Al ser la entropía una propiedad termodinámica, puede usarse como coordenada con otras propiedades. Dos diagramas ampliamente conocidos son el de temperatura absoluta-entropía y el de entalpía-entropía; este último se conoce también como diagrama de Mollier. Del mismo modo, por ser la entropía una propiedad termodinámica extensiva, la perfección o imperfección de determinado proceso puede evaluarse de forma cuantitativa por medio de la producción Sp en un balance general de entropía. De forma analítica,

Problemas

7.1

¿Es posible comprimir vapor de agua de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una temperatura de 200°C hasta una presión de 5 bar y una temperatura de 300 °C?

lado

Respuesta:

mpo aquí mico r del

7.2 7.3

no

Demuestre que en el diagrama de Mollier las líneas de presión constante en la región húmeda son líneas rectas no paralelas. En un compresor se comprime de manera adiabática cierto flujo de masa de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25°C hasta una presión de 5 bar.

ones

a) Calcule la temperatura mínima que puede adquirir el aire a la descarga del compresor. b) Calcule el trabajo mínimo por unidad de masa que requiere el compresor. Respuestas:

a) 199.2 °C b) 174.20 J/g

ideal dos

7.4

En una turbina se expande el aire de forma adiabática a una presión de 5 bar y a una temperatura de 1000 °C hasta una presión de 1 bar y una temperatura de 575°C. a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el aire. b) ¿Es el proceso adiabático reversible? e) Calcule la eficiencia de la turbina. Respuestas:

a) 0.056 J/g K

No e) 0.90 b)


240

Termodinámica

7.5

En el cilindro de un motor diesel se comprime de modo adiabático cierta cantidad de aire a 1 bar y 70 oC hasta que su volumen inicial se reduce 20 veces. Si la temperatura adquirida por el aire durante la compresión es de 900 oC, calcule el cambio de entropía que experimenta el aire.

Respuesta : 0.02 J / g K 7.6

Una masa m de cierta sustancia cuyo calor específico cp es constante se encuentra a una temperatura TI . Si se mezcla de forma adiabática y a presión constante con otra cantidad igual de la misma sustancia, pero a una temperatura T2 , demuestre que el cambio de entropía de todo el sistema está dado por la expresión

7.7

La carrera de expansión en un motor de combustión interna puede razonablemente simularse mediante un proceso de expansión politrópico. Si el volumen de la cámara de combustión de un motor es de 46.4 cm 3 , la presión y la temperatura de los gases en ella son iguales a 60 bar y 1500 oC, y se expanden con una relación de volúmenes de 8: 1 a lo largo de una trayectoria reversible cuyo exponente politrópico es igual a 1.3 , calcule a) El trabajo por unidad de masa desarrollado. b) El calor disipado por unidad de masa. e) El cambio de entropía por unidad de masa. d) Dibuje el proceso de expansión en un diagrama temperatura-entropía. Suponga que las propiedades de los gases son iguales a las del aire.

Respuestas: a) 787 .22 J/ g b) 200 .51 J / g el 0.16 J/ g K 7.8

7.9

Considere el siguiente ciclo termodinámico reversible: compresión isoentrópica desde a hasta b; adición de calor a volumen constante desde b hasta C; adición de calor a presión constante desde e hasta d; expansión adiabática desde d hasta e, y enfriamiento a volumen constante desde e hasta a. Dibuje el ciclo en un diagrama presión-volumen y en un diagrama temperatura-entropía, e indique en este último las áreas que representan el calor absorbido o cedido. Calcule la cantidad de calor que se requiere para evaporar de forma reversible y a temperatura constante 1 gramo de agua a una presión de 1 bar.

Respuesta: 2258.0 J


7 Entropía

241

7.10 Vapor de agua es estrangulado desde una presión de 10 bar y un título de 0.8 hasta una presión de 1 bar. Calcule el cambio de entropía que experimenta el vapor. Respuesta:

0.85 J/g K

7.11 Un calentador eléctrico de 1.5 kW se coloca en una habitación aislada de 50 m3. Si la temperatura del aire ambiente es de 10°C y la presión atmosférica de 1 bar, calcule el cambio de entropía que sufre el aire después de 10 minutos de operación del calentador. e Respuesta:

3070.28 J/K

7.12 Demuestre que las funciones v = v(s, u) y s = s(h, p) son ecuaciones de estado completas. 7.13 Demuestre que la desigualdad de Clausius es válida para todo ciclo de refrigeración reversible o irreversible.

7.14 Imagine dos gases ideales diferentes que se encuentran en un recipiente aislado a la misma presión y temperatura, pero separados en volúmenes iguales por medio de una pared. Cuando ésta se quita, los gases se mezclan permaneciendo constantes la presión y la temperatura. Mediante el principio de incremento de entropía puede demostrarse que este proceso de mezclado es irreversible. Si n es el número total de moles en el recipiente aislado y R la constante universal de los gases, calcule el cambio total de entropía de este sistema aislado en función de n y R.

e e

ar ia

Respuesta:

nRln (2)

7.15 Demuestre que cualquier proceso reversible puede sustituirse por una serie de procesos ue

/g /g K b·, esee ía,

adiabáticos e isotérmicos reversibles. (Nota: utilice un diagrama presión-volumen y un balance de energía.) 7.16 Muestre que cualquier ciclo reversible puede ser sustituido por una serie de ciclos de Carnot. (Nota: véase el problema 7.15.) 7.17 Un recipiente rígido y aislado cuyo calor específico es despreciable contiene 1 kg de vapor saturado seco a una presión de 3 bar y se conecta a través de una válvula con otro recipiente de volumen aún mayor que contiene vapor saturado seco a una presión de 30 bar. Al abrir la válvula, cierta cantidad de vapor pasa del recipiente mayor al menor. a) Especifique el estado termodinámico del vapor al finalizar el proceso de llenado. b) Calcule la cantidad de vapor que contiene el recipiente pequeño al finalizar el proceso. e) Calcule la producción de entropía ~Sp'

ra

Respuestas: J

a) p = 30 bar, T b) 7.29 Kg e) 2078.9 J/K

=

310°C


242

Termodinámica

7.18 Derive una expresión para calcular L1s en un gas ideal entre dos estados cualesquiera dados por {PI' VI) Y {P2' V2}·

7.19 En un sistema cerrado cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible: 1. compresión adiabática desde a hasta b, adición de calor a volumen constante desde b hasta e, expansión adiabática desde e hasta d y enfriamiento a volumen constante desde d hasta a. Considere ahora la misma cantidad de aire, pero en el ciclo reversible 2. Compresión adiabática desde a hasta b', donde b' tiene la misma presión que el estado b del ciclo 1, adición de calor a presión constante desde b' hasta e ' , donde e' tiene la misma temperatura que el estado e del ciclo 1, expansión adiabática desde e ' hasta d' y enfriamiento a volumen constante desde d' hasta a . a) Dibuje ambos ciclos en un diagrama temperatura-entropía. b) Tras analizar el diagrama temperatura-entropía, indique cuál ciclo tiene mayor eficien-

cia térmica.

Respuesta : 112 > 111

7.20 En un sistema cerrado se expande de forma adiabática y reversible un gramo de vapor saturado seco a una presión de 10 bar hasta una presión de 1 bar. Calcule a) El título del vapor al finalizar el proceso. b) El trabajo desarrollado por el sistema.

Respuestas:

a) 0.872

b) 344.89 J 7 .21 En un sistema cerrado se expanden cien gramos de nitrógeno, inicialmente a una presión de 2 bar y una temperatura de 300 oC hasta una presión de 1 bar. El cambio de entropía de los alrededores durante el proceso es de 35.48 J/K. Calcule la temperatura mínima que el nitrógeno puede alcanzar durante esta expansión y dibuje el proceso en un diagrama temperaturaentropía.

Respuesta : 61.4 oC

7.22 Con el objeto de aprovechar la energía solar se desea construir un colector de energía sobre el que pueden incidir aproximadamente 950 W/ m 2 . La temperatura de equilibrio del colector es


7 Entropía

243

de 40 oC cuando la temperatura ambiente es de 20 oc. La energía que incida sobre el colector puede pasarse a través de una máquina térmica, producir trabajo y descargar una parte del calor a la atmósfera. Calcule la superficie mínima que debe tener el colector para poder desarrollar una potencia útil de 1 kW. Respuesta:

16.5 m 2

7.23 Una llanta de 10 dm 3 de volumen contiene aire a una presión absoluta de 1 bar y una temp eratura de 25 oc. La llanta se conecta con un recipiente que contiene aire presurizado a una presión de 5 bar y una temperatura de 25 oc. Si el proceso de llenado se termina cuando la presión en la llanta es de 3 bar, calcule a) La temperatura del aire en la llanta. b) Calcule la masa de aire que contiene la llanta . e) Calcule la producción de entropía ~Sp"

Suponga que las pérdidas de calor son despreciables y la llanta es rígida. Respuestas:

a) 92.49 oc b) 28.7 g

c) 4.65 J/ K

7.24 ¿Puede disminuir la entropía de un sistema en un proceso irreversible? Respuesta:

Sí

Con base en lo aprendido en el capítulo , resuelva los siguientes problemas. 7.25 Una válvula recibe vapor a 60 bar y 500 oC y lo descarga a 20 bar. Estime el cambio de entropía que experimenta el vapor. 7.26 En un sistema cerrado se comprime aire de forma adiabática desde 1 bar y 25 oC hasta que su volumen se reduce a 1/ 8 de su valor inicial. Calcule la temperatura final del aire suponiendo que el proceso es sin fricción. 7.27 Se comprime 1 kg/s de aire en un compresor adiabático desde 1 bar y 25 oC, hasta 5 bar y 220 oc.

a) Indique si el proceso es adiabático reversible. b) Calcule la potencia que requiere el compresor. Suponga que cp

=

1 J / gm oc.


244

Termodinámica

7.28 Un ciclo termodinámico se compone de los procesos reversibles siguientes: expansión isotérmica 1-2, compresión isoentrópica 2-3 y enfriamiento a presión constante 3-1 . El estado 1 es vapor saturado seco a 200 oC, el estado 2 tiene una presión absoluta de 1 bar. a) Dibuje el ciclo en coordenadas de T-s. b) Calcule el calor agregado por unidad de masa en el proceso 1-2.

7.29 Se enfría vapor de agua a volumen constante desde 40 bar y 300 oC hasta que alcanza una presión de 10 bar. Calcule el cambio de entropía que experimenta el vapor. 7.30 Considere un compresor adiabático reversible que toma un flujo de aire a 17 oC y 1 bar para comprimirlo hasta 6 bar. Suponiendo que el calor específico del aire a presión constante es igual a 1 J / gm oC, determine a) El trabajo por unidad de masa que requiere el compresor. b) El cambio de entropía que experimenta el aire.

1.31 Se estrangula aire en una válvula desde 5 bar y 200 oC hasta 1 bar. Calcule a) La temperatura del aire a la descarga de la válvula (oC). b) El cambio de entropía que experimenta el aire (J/ gm K).

Referencias

1. Moran, M. J., Shapiro, H. N., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, John Wiley, Nueva York, 1997. 2. Saad, M. A., Thermodynamics, Prentice Hall, 1997.


8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad La muerte es el último límite de todas las cosas. HORACIO

La imposibilidad de convertir el calor en trabajo de forma total y continua quedó plenamente establecida en capítulos anteriores ton la segunda ley de la termodinámica. Asimismo, se estableció el límite de perfección para toda máquina térmica que opera entre límites de temperatura constantes. Aunque por lo general la región de alta temperatura puede modificarse hasta donde las propiedades físicas de los materiales lo permitan, la región de baja temperatura, esto es, la atmósfera, el océano o el agua de un lago o río no puede modificarse de forma voluntaria y es aproximadamente constante. Así pues, es común que la atmósfera constituya el límite más bajo de temperatura natural. Es claro que pueden construirse máquinas térmicas que descarguen calor a regiones más frías que la atmósfera; sin embargo, estas bajas temperaturas se logran mediante una inversión de trabajo. Puesto que todo proceso es "degenerativo" en cuanto a su capacidad de hacer trabajo, surgen las incógnitas: ¿qué cantidad del calor suministrado o disipado por un sistema puede convertirse como máximo en trabajo?, ¿cúál es la cantidad de trabajo máxima que puede obtenerse de la combinación sistema-atmósfera en determinado estado? Estas incógnitas quedarán ampliamente despejadas en el curso del presente capítulo. A propósito, considere un motor de combustión interna. Por cada 100 J de energía que se le suministra, aproximadamente 20 se disipan como calor en el agua de enfriamiento, 35 de energía los acarrean los gases de combustión y 15 se disgregan en fricción y calor al ambiente. El resto , es decir 30 J, se convierten en trabajo. Desde el punto de vista energético , las pérdidas por el escape son sin duda mayores que las del sistema de enfriamiento. Por otra parte, dada la alta temperatura de los gases de combustión, una fracción significativa de la energía acarreada por ellos puede aún convertirse en trabajo mediante máquinas externamente reversibles, mientras la energía disipada en el agua de enfriamiento prácticamente no puede recuperarse como trabajo. En consecuencia, es importante


246 Termodinámica

conocer no sólo las pérdidas en un sistema mediante un balance de energía, sino también la parte que aún puede convertirse en trabajo .

8.1 Energía disponible La posibilidad o imposibilidad de que el calor se convierta en trabajo queda resuelta con la segunda ley de la termodinámica mediante el criterio de energía disponible que se estudiará a continuación. La energía disponible se define como la fracción del calor suministrado o cedido por un sistema, que puede convertirse en trabajo mediante máquinas térmicas externamente reversibles. Asimismo, la energía no disponible se define como la fracción del calor suministrado o cedido por un sistema que ya no puede convertirse en trabajo ni siquiera por medio de máquinas externamente reversibles. Si se considera una máquina térmica externamente reversible, por ejemplo, una máquina de Carnot que opera entre límites de temperatura constantes T y To, siendo este último el valor correspondiente a la temperatura ambiente, se observa que la energía disponible del calor Q suministrado a la máquina es igual al trabajo W desarrollado por ésta, y la energía no disponible es igual al calor Qo disipado a la atmósfera puesto que este calor ya no puede convertirse en trabajo. Suponga a continuación un proceso como el del diagrama temperatura-entropía de la figura 8 .1a. Si el calor suministrado a este sistema más bien se agregara a una serie de máquinas de Carnot, ¿cuál sería el trabajo máximo que podrían desarrollar? Esto es, ¿qué fracción de este calor podría convertirse en trabajo? La energía disponible en este proceso puede evaluarse utilizando una serie de máquinas externamente reversibles que operan en paralelo, entre límites de temperatura T y To como

T

T

2

2

To

(a)

s

QU-"--_ _ _ _ _...L.Jb

(b)

Figura 8 . 1 . Determinación de las energías disponible y no disponible.

s


8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad

247

se ve en la figura 8.1b, donde la temperatura To es igual a la temperatura ambiente. En este caso, cada máquina externamente reversible toma una cantidad de calor dO, realiza un trabajo dW = (1 To/ 7) dO y disipa una cantidad de calor en la atmósfera dOo = (To / T) dO. Designando Od y Ond a la energía disponible y no disponible, respectivamente,

(8.1)

donde

Ond = T o

ITdO

(8.2)

(8.3)

En el caso de procesos reversibles, dO = T dS. Por tanto ,

(8.2a) También

(8.3a) Obsérvese que en el caso de un proceso reversible, el área que está debajo de la curva 1-2 representa el calor total suministrado al sistema, el área que se halla debajo de la línea a-b es la energía no disponible y el área limitada por 1-2-b-a-1 muestra físicamente la energía disponible. Debe reiterarse que el área que queda debajo de la curva descrita por un proceso irreversible en un diagrama temperatura-entropía no tiene interpretación física. A pesar de ello, el área que está debajo de la línea a-b-de temperatura ambiente siempre representa la porción de energía no disponible. A modo de ejemplo, considere el proceso irreversible 1-2 que se muestra en la figura 8.2 . Para calcular la energía disponible en este proceso, es decir, la fracción del calor que puede convertirse como máximo en trabajo, basta con calcular la porción mínima que no es convertible en trabajO . Para cerciorarse de que el trabajo máximo que puede desarrollarse proviene del calor suministrado al sistema y no de cambios en la energía almacenada por él, suponga el ciclo termodinámico 1-2- O-a-1 de la misma


248

Termodinámica

T

2

a

1--------1

b

s Figura 8.2.

figura, donde los procesos 2-b, b-a y a-1 son reversibles. Dado que los procesos 2-b y a-1 son isoentrópicos, el ciclo disipa calor sólo a través del proceso isotérmico /:ra a temperatura ambiente. Puesto que este calor disipado es la fracción mínima que ya no puede convertirse en trabajo, dicha fracción constituye la porción de energía no disponible del calor total suministrado, esto es, Qnd = To (52 - 51) Y Qd = Q - Qnd' Ejemplo 8.1 1

En un intercambiador de calor se calienta cierta cantidad de aire desde una temperatura ambiente de 15 oC hasta 40 oc. Si el fluido empleado para este calentamiento es vapor húmedo a 100 oC, determine la a) Energía disponible del vapor a 100 oC, b) Energía disponible del aire, c) Pérdida de energía disponible durante el proceso.

Solución a) Mediante un balance de energía, el calor cedido por el vapor y tomado por el aire es q = cp (T2

-

TI) = (1)(40 - 15) = 25 J/g aire

http://carlos2524.jimdo.com/ 8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad

Dado que la temperatura del vapor permanece constante, como se ve en la figura E.8.1, éste podría haber cedido el calor directamente a una máquina de Camot que opera entre temperaturas de 100°C y 15 "C. Así pues, To

qnd

288

.

T vapor

100

f-

40 -

= q T = 25 373 = 19.3 J/g aire u

asimismo, qd

=

15

q - qnd

= 25 - 19.3 = 5.7 J/g aire

249

-

7' I

s

b)

El cambio de entropía sufrido por el aire durante el calentamiento desde 15°C hasta 40 °C es S;

= cp In

T

2

TI

= (1) In

Figura E.B.l

(313) 288

= 0.083 J/g aire K

Como resultado de este cambio de entropía, tróeste ela

qnd

= To.ó.s = (288)(0.83) = 23.90 J/g aire

qd

=

También

Qnd'

ede

°e,

q - qnd

= 25 - 23.9 = 1.10 J/g aire

Si el calor tomado por el aire durante el proceso de calentamiento se cediera a una serie de máquinas de Camot, la fracción del calor que podría convertirse en trabajo sería igual a 1.10 J/g. e) Debido al proceso de transferencia de calor, la pérdida de energía disponible es igual a 5.7 - 1.1 = 4.6 J/g. Es decir, 80.7% de la energía disponible se pierde en este proceso de transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas. Ejemplo 8.2 Considere una caldera que emplea gas natural como combustible. Los gases de combustión se hacen pasar por el exterior de los tubos que transportan el agua, disminuyendo su temperatura de 1040 a 705 "C. Al mismo tiempo, el agua presurizada a 10 bar se transforma de líquido saturado en vapor

"

11111"1


250

Termodinámica

saturado seco, como se aprecia en la figura E.8.2. Suponiendo que la temperatura ambiente es igual a 25 oC, calcule el a) Cambio de entropía que sufren los gases, por unidad de masa de agua evaporada. b) Cambio de entropía por unidad de masa que sufre el agua. c) Incremento de energía no disponible durante el proceso.

T, oc

1040

r

705

r

Vapor de agua

Solución a) El incremento de entropía que sufren

S,

los gases puede calcularse mediante la expresión

Figura E.8.2

pero, mediante un balance de energía, mgC pg (TI - T2) = mQh fg

Así pues, por unidad de masa de agua,

Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar,

2015.3 J/g 4.4478 J/g T= 179.91 OC

hfg

=

Sfg =


Lls ~ 9

2015.3 In ( 978 ) 1040-705 1313

=-1 .77 J/ g K b) El cambio de entropía que sufre el agua puede determinarse a través de la expresión LlSQ

= Sfg =

4.4478 J/ g K



251

c) Si el calor cedido por los gases de combustión se suministrara de forma directa a una serie de máquinas de Carnot, la magnitud del calor no disponible sería qnd

= To fJ.s g = (298)(1.77) = 527.46 J/ g

Por otra parte, si el calor absorbido por el agua se hubiera suministrado a una máquina de Carnot, qnd

= To fJ.s = (298)(4.4478) = 1325.44 J / g Q

Por tanto, el incremento de energía no disponible durante este proceso es igual a 1325.44 - 527.46 = 797.98 J / g. Ejemplo 8.3

Un recipiente rígido y aislado de 0.1 m 3 de volumen contiene aire a una presión de 2 bar y una temperatura de 35 oc. Mediante un agitador impulsado por un motor eléctrico se hace trabajo sobre el sistema, incrementándose la temperatura del aire hasta 60 oc. Una vez terminado el proceso, determine la fracción máxima de la energía invertida que puede recuperarse como trabajo. Suponga que la temperatura ambiente es de 35 oc. Solución

Todo el incremento de energía interna que experimenta el aire durante el calentamiento puede recuperarse como calor enfriando el sistema de 60 oC a 35 oc. Durante este proceso isométrico de enfriamiento q=

CU

(TI - T2 ) = (0 .713) (35 - 60) = 17.83 J/ g

De manera semejante, el cambio de entropía que sufre el aire durante el enfriamiento está dado por la expresión

~s =

Cu

= -

In [ TI] T 2

=

(308)

(0.713) In 333

0.056 J/g K

Así pues , la magnitud de la energía no disponible es igual a qnd

= To ~ = (308)(0 .056) =

17.25 J/g


252

Termodinár.1ica

Asimismo , qd

= Iql - qnd = 17.83 - 17.25 = 0 .58 J/g

Por consiguiente, de los 17.83 J/ g de trabajo invertido, sólo puede recuperarse como máximo 0.58 J/ g a través de una serie de máquinas térmicas externamente reversibles. Ejemplo 8.4

A una presión de 1 bar y una temperatura de 400 oC se enfría vapor de agua de modo reversible a presión constante en un sistema cerrado hasta alcanzar un equilibrio térmico con la atmósfera, la cual se encuentra a 25 oc. Calcule las pérdidas de energía disponible en este proceso de enfriamiento . Solución



hl

=

sI =

3278.2 J/g 8.5435 J/g K

Por otra parte, de acuerdo con la tabla A.1, a una temperatura de 25 oC, h 2 :::. h¡ = 104.89 J/g S2 :::. s¡ = 0.3764 J/g K

Sustituyendo valores, qnd

= To ~ = (298)(8.5435 - 0.3674) =

2436.48 J/g

Esto es, de la magnitud total del calor disipado por el sistema (3173.31 J/g), una fracción igual a 2436.48 J / g no puede ya recuperarse como trabajo. Ejemplo 8.5

En un condensador se transforma R-22 a una temperatura de 50 oC, de vapor saturado seco a líquido saturado. Suponiendo que la temperatura ambiente es igual a 35 oC, calcule la energía disponible.



253

Solución Según la tabla A.4, a una temperatura de 50 oC,

hfg = 153.76 J / g Sfg = 0.4759 J/ g K Por consiguiente, la magnitud del calor disponible es igual a qd

=

=

153.76 - (308)(0.4759) 12.73 J / g

Esto es, si el calor cedido por el R-22 durante el proceso de condensación se suministrara de forma directa a una máquina de Carnot, sólo podrían obtenerse 12.73 J/g de trabajo como máximo en este proceso.

8.2 Funciones de Helmholtz y de Gibbs Como se dijo en la sección 7.4, la primera y segunda leyes de la termodinámica dan origen a ecuaciones de estado completas, como u = u(s, v), h = h(p, s), etc. Estos mismos axiomas dan lugar a otras ecuaciones de estado completas relacionadas con dos propiedades termodinámicas sumamente importantes: las funciones de Helmholtz y de Gibbs. Estas propiedades están definidas operacionalmente mediante las expresiones

a

=

u - Ts

(8.4)

G = H - TS; g

=

h - Ts

(8 .5)

A

=

U - TS;

donde A es la función de Helmholtz y G la de Gibbs. Al comparar las ecuaciones 8.4 y 8.5, se observa que las funciones de Helmholtz y de Gibbs están relacionadas, esto es, G = A + pV;

g

=

a + pv

(8.6)

A la luz de estas dos nuevas propiedades termodinámicas, se desarrollarán a continuación dos expresiones adicionales de gran importancia. Diferenciando la ecuación 8 .4, da

=

du - T ds - s dT


254

Termodinámica

y con la ecuación 7.16, da

=

-s dT - p dv

(8.7)

Del mismo modo, diferenciando la ecuación 8.5, dg

=

dh - T ds - s dT

y sustituyendo la ecuación 7.17 , dg

=

v dp - s dT

(8 .8)

Por lo anterior, se advierte que las ecuaciones a = a(T, v} y g = g (p, T) constituyen también ecuaciones de estado completas. De manera similar, las funciones v = v(a, T}, T = T(a, v}, p = p(g, T} y T = T(g, p}. Analizando la ecuación 8.7, se observa que el incremento negativo en la función de Helmholtz entre dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema cerrado, sin cambios en energía potencial y cinética. Esto es,

(8 .9)

De la misma manera y mediante la ecuación 8.8, el incremento negativo en la función de Gibbs entre dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema abierto que opera en estado estable donde los cambios de energía cinética y potencial del fluido son iguales a cero. Es decir,

(8 .10)

Las funciones de Helmholtz y de Gibbs reciben también el nombre de energías libres de Helmholtz y de Gibbs. Ejemplo 8.6

Partiendo de la ecuación de estado completa a = a(T, v}, determine p = p(T, v}, s = s(T, v}, u = u(T, v}, h = h(T, v} y g = g(T, v}.



255

Solución Puesto que la función de Helmholtz es una propiedad termodinámica (función puntal, su diferencial exacta es

da

da] dT+da] dv dT u dv T

= -

= - s dT - p du

En consecuencia, p = - -da] = p(T, v)

dv

T

da] u=s(T,u) s=- dT

u

= a + Ts = a

-

da] u= u(T, u) T dT

h = u + pu = a - Tda] - - vda] -

dT

IJ

dv

T

= h(T, v) g = a + pv = a - u -da] = g(T, v) dv T

Ejemplo 8.7 Seleccionando un estado de referencia, determine una expresión general para la función de Helmholtz a = a(T, v) , si la sustancia es un gas ideal cuyos calores específicos son constantes.

Solución Para un gas ideal cuyos calores específicos son constantes,

Asimismo,


256

Termodinámica

. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 8.4, a=

Uo -

Ts o + cu{T - To) -

Cu

T In

(JJ -

RT In

(~J

Ejemplo 8.8 Mediante las expresiones desarrolladas en los ejemplos 8 .6 y 8.7, determine la presión p y la entalpía h. Solución

De acuerdo con las relaciones obtenidas en los ejemplos 8.6 y 8 .7 , p

=-~] dV

RT T

v

También,

h

=

a-

T~] -v da] dT

u

dV

T

cuTo + cuT + RT cuTo + cpT + cpTo - cpTo = Uo + RTo + cp{T - T o) = ha + cp{T - T o) =

Uo -

= Uo -

Ejemplo 8.9 Demuestre que el incremento en la función de Gibbs que experimenta un gas ideal durante una expansión isotérmica está dado por la expresión

Solución

Según la ecuación 8.8,

dg = v dp = (~T) dp Integrando,



257

8.3 Trabajo máximo Tanto la función de Helmholtz como la de Gibbs tienen aplicaciones inmediatas en la determinación del trabajo máximo posible que un sistema dado puede realizar al experimentar un cambio de estado . Si el sistema experimenta un proceso entre dos estados mientras intercambia calor sólo con la atmósfera, el trabajo que desarrolla es máximo solamente si el proceso entre los dos estados es reversible. La validez de lo anterior puede demostrarse con facilidad recurriendo a la segunda ley de la termodinámica. Si algún proceso irreversible entre los dos estados dados pudiera dar como resultado que el sistema desarrollara una cantidad mayor de trabajo que el proceso reversible, se podría completar un ciclo termodinámico utilizando el proceso reversible invertido, y el resultado neto sería la conversión total y continua del calor de la atmósfera en trabajo, violándose así el axioma de Kelvin-Planck. A continuación se analizará un sistema cerrado que intercambia calor con la atmósfera, la cual se encuentra a una temperatura To y a una presión po. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, el trabajo realizado por el sistema puede provenir de la combinación del posible calor absorbido por el sistema y la posible disminución en la energía almacenada por él. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, el sistema sólo puede pasar por los estados en que se incrementa su entropía más la de sus alrededores, o, en el límite, permanece constante. Como ya se demostró, el trabajo máximo es exclusivo de los procesos reversibles, esto es, cuando la entropía del universo permanece constante. Por otro lado, el calor no puede transferirse reversiblemente de una manera directa entre la atmósfera y el sistema, puesto que, en general, existe una diferencia finita de temperaturas entre ellos. No obstante, esta transferencia de calor puede llevarse a cabo de una manera reversible mediante una máquina externamente reversible interpuesta entre la atmósfera y el sistema, como se aprecia en el esquema de la figura 8 .3. El trabajo hecho por la combinación del sistema y la máquina térmica es igual a dW= dQo - dE

Atmósfera a To

dW

Figura 8.3. Determinación del trabajo máximo en un sistema cerrado.


258 Termodinámica

donde dQo es la magnitud del calor tomado por la máquina térmica y dE es el cambio de energía del sistema. Analizando la máquina externamente reversible,

dQo = dQ

To

T

donde dQ es la magnitud del calor tomado por el sistema y, al mismo tiempo, cedido por la máquina térmica. Por otra parte, el cambio de entropía del sistema en este proceso reversible está dado por la expresión

dS= dQ T y, puesto que el cambio de entropía del universo debe ser cero para que el trabajo sea máximo , dS + dS o = O En consecuencia,

Sustituyendo esta última expresión en el balance de energía para la combinación sistema-máquina, dWmáx = - dE + T o dS = -d(E - ToS) Esto es, (8.11)

En ausencia de cambios en la energía potencial y cinética, la ecuación anterior se reduce a (8 .12)

En caso de que las temperaturas inicial y final del sistema sean iguales a la temperatura ambiente To, W máx = (U l

-

T1S l )

= Al - A 2 ,

-

(U 2 - T 1S 2)

Ti = T 2 = T o

(8 .13)



259

La ecuación 8 .13 indica que el trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema cerrado (más una o varias máquinas externamente reversibles) que intercambian calor con la atmósfera y realiza un proceso reversible entre dos estados termodinámicos (To, VI) y (To, V2 ) , está dado por la disminución en la función de Helmholtz Al - A2 del sistema. Si éste produce o requiere trabajo entre los dos estados, el trabajo real producido o requerido será menor o mayor, respectivamente, que el calculado por la ecuación 8.13, estableciéndose de nuevo un grado de perfección. Debe quedar muy claro que la ecuación 8 .13 no implica, de ninguna manera, que todos los estados visitados por el sistema durante el proceso reversible estén a la temperatura ambiente To, pues sólo basta que la temperatura inicial y final sean iguales al valor de la atmósfera, es decir, el sistema puede comprimirse o expandirse de manera adiabática, cambiando así su temperatura e intercambiando después calor con la atmósfera. Además, parte del trabajo desarrollado por el sistema puede emplearse para desplazar la atmósfera durante una expansión. Esta fracción de trabajo es por lo menos igual a Po ~ V. En otras palabras, el .trabajo máximo útil que puede utilizarse para otros fines diferentes del desplazamiento de la atmósfera queda expresado por dWmáx

=

dWmáx

-

PodV

útil

= -d(E - ToS + PoV)

Es decir,

Wmáx = (El + POVI

TOS I )

-

útil

(8 .14)

En ausencia de cambios en la energía potencial y cinética, la ecuación anterior se reduce a,

Wmáx = (U I + POVI

-

TOS I )

útil

(8 .15)

Si tanto la temperatura como la presión inicial y final del sistema son iguales a los valores correspondientes To y Po de la atmósfera, respectivamente, Wmáx = G I útil

-

G2

(8.16)


260 Termodinámica

Ahora se analizará un sistema abierto que opera en estado estable, en donde el sistema intercambia calor únicamente con la atmósfera. Combinando la primera y segunda leyes de la termodinámica,

dw máx = Tods - dh - d(ec) - d(ep) o bien,

Wmáx = (el - (e2

+ PlVl

+ P2V2

-

-

ToSI)

(8.17)

TOs 2 )

donde e = u + \12/2 + gz. Si los cambios en la energía potencial y cinética del fluido son iguales a cero y la temperatura con que éste entra y sale del sistema es igual al valor correspondiente de la atmósfera,

(8 .18) La ecuación anterior establece que el trabajo máximo por unidad de masa que un sistema abierto puede desarrollar, conforme a los postulados descritos, está dado por la disminución en la función de Gibbs que experimenta el fluido. Si el sistema en cuestión requiere trabajo durante el proceso, la ecuación 8.18 reportará el trabajo mínimo requerido. Ejemplo 8.10 En un cilindro se expande de forma reversible e isotérmica cierta cantidad de vapor saturado seco a una temperatura de 200 oC hasta que la presión disminuye a 1 bar, como se aprecia en el esquema de la figura E.8.10. Calcule el trabajo desarrollado por el sistema.

T

200

Solución Mediante la ecuación 8 .9,

s W

Figura E.8.10

f

= P dv = al

- a2


261


Según la tabla A.1 , a una temperatura de 200 oC, 15.538 bar

PI

=

U1

= u g = 2595.3 J/g = 5 g = 6.4323 J/g K

51

En consecuencia, al

= U1 = -

- T151 = 2595.3 - (473)(6 .4323) 447.18 J/g

De manera similar, según la tabla A.3, a una presión de 1 bar y una temperatura de 200 oC, 2172 cm3/g h2 = 2875.3 J/g 52 = 7.8343 J/g K U2 =

Por tanto, a2 = (h 2 - P2U2) - T252 a2 = 2875.3 - (0.1)(2172) - (473)(7 .8343) =

-1047 .52 J/g

Sustituyendo valores, w =a1-a2=-447.18-(-1047.52)= =

600.34 J/g

Obsérvese la simplicidad del cálculo. De no haber usado la función de Helmholtz, el cálculo hubiera requerido la integración de pdv entre los dos estados y, por lo tanto, el uso de una ecuación de estado apropiada o el cálculo de u y Ts. Ejemplo 8.11

En un sistema cerrado hay cierta cantidad de vapor saturado seco a la temperatura ambiente de 30 oc. El vapor se comprime de forma adiabática hasta alcanzar una presión de 2 bar, se enfría a presión constante hasta su saturación y después se expande de modo adiabático hasta volver a alcanzar la temperatura ambiente. Puede apreciarse el proceso en el diagrama temperatura-entropía de la figura E.8.1I.

T

30

s Figura E.S.II


262

Termodinámica

Calcule el trabajo mínimo requerido para realizar este proceso si el sistema intercambia calor sólo con la atmósfera. Solución

Con la ecuación 8.13, Wmáx

= al

- a2 '

Según la tabla A.1, a una temperatura de 30 oC, 0.04246 bar = Ug = 2416 .6 J/g uf = 125.78 J/g SI = Sg = 8.4533 J/g K sf = 0.4369 J/g K Sfg = 8.0164 J/g K PI

=

U1

Entonces, al

= 2416.6 - (303)(8.4533) = - 144.75 J/g

Según la tabla A.2, a una presión de 2 bar,

Por tanto,

= 7.1271 - 0.4369 = O 835 8.0164

X2

.

entonces, U2

= uf+ X2Ufg = 125.78 + (0 .835)(2416.6 - 125.78) = 2038.61 J/g

Así pues, a2

= 2038.61 - (303)(7 .1271 ) -120 .90 J/g

=

En consecuencia, Wmáx

= al

- a2 = -144.75 + 120.90 = -23.85 J/g


263


o bien, Wmín

= 23 .85 J/g

Observe que al ser la función de Helmholtz una propiedad termodinámica, el trabajo requerido en este proceso es equivalente al requerido en la compresión isotérmica a 30 oC directamente desde el estado 1 hasta el 2.

Ejemplo 8.12

En un sistema cerrado se comprime cierta cantidad de aire de forma adiabática y reversible a presión y temperatura ambiente hasta reducir su volumen a la mitad. Después se expande de modo isobárico hasta alcanzar su volumen inicial y, por último, se enfría a volumen constante hasta recuperar su estado inicial. a) Calcule el trabajo desarrollado por el sistema en ese ciclo reversible.

b) Si el sistema intercambia calor solamente con la atmósfera, calcule el trabajo máximo desarrollado. Suponga que Po = 1 bar y To = 25 oc. Solución

a) El ciclo termodinámico aparece en el esquema de la figura E.8.12. Para el proceso adiabát ico reversible 1-2,

LUl -2

=

fp du = RT 1-~ [[uu~ )k-l -

1

1

p

= (0 .287)(298) [ 0.4 ] 1-1.4 (2) - 1

2

3

~

= -68 J/g

v Figura E.8.12


264 Termodinámica

Para el proceso isobárico 2-3, W2-3

J

= p du = P2(U3

=

W2-3 =

RTl

- U2}

UlJk ( 1- ~ u2 ( U2

J

(O.287}(298}(2}1.4(1 - O.5)

= 113 J/g

Por último, para el proceso a volumen constante 3-1,

En consecuencia, Wneto =

113 - 68

=

45 J /g

b} De acuerdo con la ecuación 8.13,

El resultado no es sorprendente, pues si el sistema intercambia calor únicamente con la atmósfera, no puede operar de forma cíclica y producir trabajo. De lo contrario, esto constituiría una violación de la segunda ley de la termodinámica. A continuación se analizará con detalle el ciclo en el caso de que el sistema intercambie calor sólo con la atmósfera. Wmáx = (Ul - U2) - TO(Sl - S2}

1-2

=

Ul - U2

.

= -68 J/g Wmáx

2- 3

= (U2 - U3) - T O(S2 - S3}

= (O.713}(298}(2)04(1 - 2) - (298}(1}ln(O .5) = -74 J/g


=

(0.713)(298) [(2)1.4 - 1J - (298)(0. 713)ln(2)1.4

=

142 J/g

265

También, Wmáx = neto

-68 -74 + 142

=

O

Observe que durante el proceso 2-3 el sistema toma calor de la atmósfera a través de varias bombas térmicas, y durante el proceso 3-1 realiza trabajo a través de varias máquinas térmicas.

8.4 Disponibilidad Hemos analizado el trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema (más una o varias máquinas térmicas) al experimentar un cambio de estado mientras intercambia calor sólo con la atmósfera. Por otro lado , dado un estado termodinámico, el trabajo que puede desarrollar la combinación sistema-atmósfera es máximo cuando el sistema se relaja hasta alcanzar un equilibrio termodinámico con la atmósfera. Lo anterior puede verificarse fácilmente mediante el siguiente razonamiento: si el sistema se encuentra al inicio a una temperatura T diferente de To, puede obtenerse siempre cierta cantidad de trabajo positivo a través de una máquina térmica que opera entre el sistema y la atmósfera, sea mayor o menor la temperatura del sistema que la temperatura ambiente. En el caso de aproxi. mar se la temperatura del sistema a la temperatura de la atmósfera, el trabajo desarrollado por la máquina térmica se aproxima a cero. De igual forma, si la presión del sistema difiere del valor correspondiente a la atmósfera, aun cuando las temperaturas de ambos sean iguales, puede obtenerse cierta cantidad de trabajo permitiendo que el sistema cambie de volumen hasta que las presiones sean iguales. Cuando tanto el sistema como la atmósfera de referencia están en equilibrio termodinámico, se dice que el sistema ha alcanzado su estado muerto. Se dice muerto porque ya no puede obtenerse más trabajo de la combinación sistema-atmósfera. Lo anterior tiene distintas interpretaciones filosóficas e implicaciones que se manifiestan en todas las actividades de la vida humana. De lo anterior se desprende que todo sistema cuyo estado termodinámico difiera del estado muerto tiene capacidad de realizar trabajo, esto es, disponibilidad; este trabajo es máximo si el sistema se relaja a través de un proceso ideal que lo lleve al estado muerto. Así pues, la disponibilidad por unidad de masa asociada con un sistema cerrado en determinado estado se define como el trabajo máximo posible que la combinación sistema-atmósfera puede realizar, menos el trabajo hecho por el sistema para desplazar la atmósfera. Esto es, (8.19)

http://carlos2524.jimdo.com/ 266 Termodinámica

o, multiplicando por la masa del sistema,

'1' = (E

+ PoV - ToS) - (Ea + paVo - ToSo)

(8 .20)

donde el subíndice O se refiere a las propiedades del sistema en el estado muerto. De lo anterior se concluye que \1' ~ O en todos los estados termodinámicos, ya que siempre puede obtenerse trabajo útil de un sistema que se encuentra en un estado diferente del estado muerto. Observe que, como se indicó con anterioridad, el trabajo máximo útil que puede obtenerse de un sistema cerrado al intercambiar calor con la atmósfera y experimentar un proceso entre dos estados es

Wmáx

=

-/),'1'= '1'1 - '1'2

útil

= (El + POV l - TOS l ) - (E 2 + POV2 - T oS2)

(8.14)

En consecuencia, Wútil

~

-Ll\l'

La disponibilidad \1' es una propiedad compuesta, ya que depende no sólo del estado del sistema, sino también del de la atmósfera de referencia. Por otra parte, la disponibilidad solamente puede incrementarse haciendo trabajo sobre el sistema o suministrándole calor por medio de otro sistema que está a temperatura diferente de la de la atmósfera. El trabajo máximo desarrollado por un sistema cerrado que intercambia calor sólo con la atmósfera y realiza un proceso entre dos estados está relacionado con la disponibilidad a través de la expresión

=

Wmáx = -/).'1' + Po /).V (El - TOS l ) - (E 2 - T oS 2 )

(8 .11)

De manera similar, la disponibilidad por unidad de masa de un fluido en una corriente corresponde al trabajo máximo que puede obtenerse de él, al relajarse la masa unitaria desde el estado inicial hasta su estado muerto, es decir, en estado estable, mientras intercambia calor solamente con la atmósfera. Si denotamos con la disponibilidad por unidad de masa,

q¡

q¡ = =

(e +

pv - Tos) - (eo + Povo - Toso)

e + pv - Tos - go

(8 .21)


donde e

=

267

u + \/2/ 2 + gz.

Introduciendo la función de Darrieus, esto es,

b = h - Tos ,

V2

\}JI = b + 2

+ gz - bo

(8.2 1a)

"'1

Así pues, la disponibilidad representa la capacidad de realizar trabajo que tiene un fluid o en cualquier estado, antes de ser relajado hasta su estado muerto en un sistema que opera en estado estable. Debe advertirse que en el estado muerto el fluido se encuentra en equilibrio térmico y mecánico con la atmósfera de referencia, esto es, en igualdad de temperatura y presión y, además, en equilibrio químico, lo que implica ausencia de reacciones y difusión . Asimismo , en el estado muerto el fluido tiene una velocidad igual a cero y energía potencial mínima. El trabajo máximo entre dos estados que un sistema abierto puede desarrollar operando en estado estable e intercambiando calor sólo con la atmósfera se expresa así (8.22)

"'1

La disponibilidad sólo puede incrementarse al hacer trabajo sobre el fluido o suministrándole calor por medio de otro sistema que se encuentre a una temperatura diferente de la de la atmósfera . Ejemplo 8.13 Una chimenea descarga 200 000 kg/h de gases de combustión a una temperatura de 225 oC y una presión de 1 bar, con una velocidad de 6 mi s. Si el calor específico de los gases a presión constante es igual a 1.3 J/ g K, la altura de la chimenea es de 25 m y las condiciones atmosféricas son de 1 bar y 25 oC, calcule la potencia máxima que podría extraerse de los gases de combustión liberados por la chimenea.

Solución Con la ecuación 8 .21 ,

Wmáx

= \}JI = h + =

2v

2

+ gz - go

(h - ho) - T o (s - So) +

2V

2

+ gz


268 Termodinámica


Wmáx

= (1.3) (225 - 25) - (298) (1.3) In ( 498) 298 (6)2 (9 .8)(25) + (2)(1000) + _. 1000-

= 26000 - 198 .93 + 0 .018 + 0.245 =

61 33 J / g

Por tanto, (61.33)(2 x 108) 3600 = 3407 .22 x 103 W = 3407.22 kW

Wmáx =

Ejemplo 8. 14

Una turbina toma vapor a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC, y lo descarga en el condensador a una presión de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, calcule el trabajo máximo por unidad de masa que desarrolla la turbina. Suponga que la temperatura ambiente es de 15 oc. Solución Puesto que el sistema no intercambia calor ni con la atmósfera ni con ningún otro sistema,

Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y a una temperatura de 200 oC, hl SI

= 2827.9 J/g

= 6.6940 J/g K

Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar, hf = 137 .82 J/g h fg = 2423 .7 J/g s¡ = 0.4764 J/ g K Sfg =

7.9187 J/ g K



269

Para determinar la entalpía del vapor a la descarga de la turbina, = X2

6.6940 - 0.4764 = 0785 7.9187 .

y así, h2

137.82 + (0.785)(2423.7) = 2040.42 J/g

=

Por tanto, Wmáx

= 2827.9 - 2040.42 = 787.48 J/g

Ejemplo 8.1 S

Estime el trabajo máximo posible por unidad de masa que puede obtenerse del vapor húmedo descargado por la turbina del ejemplo anterior, suponiendo que la velocidad y energía potencial del vapor a la descarga de la turbina son despreciables.

Solución Según la ecuación 8.21a, Wmáx

= b - bo = (h - ho) - To(s - so)

Según los resultados del ejemplo 8.14, h = 2040.42 J/g s = 6.6940 J/g K De la misma manera, según la tabla Al, a una temperatura de 15 oC, ho'= h¡

=

62.99 J/g

So .= s¡ = 0.2245

J/g K

Sustituyendo valores, (2040.42 - 62.99) - (288){6.6940 - 0.2245) = 114.21 J/g

Wmáx =

Ejemplo 8.16

Mediante un compresor que disipa calor hacia la atmósfera, la cual se encuentra a 25 oC, se comprime cierto flujo de masa de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oC, hasta una


270 Termodinámica

oc. Calcule el trabajo mínimo por unidad de masa que se

presión de 4 bar y una temperatura de 60 requiere para lograr esta compresión.

Solución Mediante la ecuación 8.22 ,

= (1)(40 - 69) - (298) =

[(1) In (~;~) - 0 .287 In (i) ]

-120.13 J/g

Es decir, W min =

120.13 J/g

8.5 Balance de disponibilidad Por ser la disponibilidad una propiedad, su balance es muy importante en el análisis de procesos termodinámicos. Debe recordarse que la disponibilidad es un índice cuantitativo de la capacidad para realizar trabajo que tiene un sistema; en consecuencia, debe conservarse al máximo en el diseño de procesos . Así, el aire, el océano o el agua de un lago son fuentes de energía infinitamente grandes, pero de disponibilidad hasta cierto punto pequeña. A continuación se desarrollarán expresiones generales para realizar balances de disponibilidad . Considere primero un sistema cerrado. Mediante la ecuación 8.20 , \!'

= E + Po V - T o S

Si se suministra al sisten:a cerrado un flujo neto de calor Ó desde otro sistema y éste realiza una cantidad neta de trabajo W, la ecuación anterior puede modificarse con la primera y segunda leyes de la termodinámica; esto es,

Asimismo , .

.

.

S = ¿j (Q/ 1j) + Sp



271

En consecuencia, . tp

= ~j (1 -

..

To/ ~)Qj -

..

(W - Po V) - ToS p

(8.23)

La ecuación 8.23 constituye un balance general de disponibilidad para un sistema cerrado . En esta expresión se observa que la disponibilidad tp sólo puede incrementarse al suministrar calor al sistema desde otro sistema que esté d temperatura diferente de la atmósfera, o al hacer trabajo sobre el sistema. El último término del mie'nbro derecho de la ecuación 8.23 representa físicamente la pérdida de disponibilidad. Esto es, la disponibilidad siempre se destruye en todos los procesos reales. Si denotamos con 'l'p la producción de disponibilidad, la ecuación 8 .23 se transforma en

.

...

tp = ~j (1 - To/~)Qj - (W - Po V) +

.

'l'p

(8 .24)

Puesto que la entropía de un sistema aislado siempre se incrementa en todos los procesos rea!es o irreversibles y se mantiene constante en los procesos reversibles, la producción de disponibilidad ~ es siempre negativa en todos los procesos reales y se mantiene constante en los procesos reversibles. Así, el trabajo máximo que un sistema cerrado puede desarrollar al realizar un proceso entre dos estados e intercambiar calor con otro sistema y la atmósfera, queda determinado mediante la siguiente expresión

(8 .25)

Considere a continuación un sistema abierto en general, con k entradas y l salidas de flujo . Para este sistema . . . tp = ~j (1 - To / ~)Qj - (W - Po V)

.

-2

.

- ~c me{b - bo + V /2 + gz)c + 'l'p La ecuación anterior constituye un balance general de disponibilidad ..

(8 .26)


272

Termodinámica

Ejemplo 8.17

Una turbina recibe vapor a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC, y lo descarga en el condensador a una presión de 0.05 bar. Si el trabajo desarrollado por la turbina es de 629 J/g y la temperatura ambiente es de 15 oC, a} Determine la eficiencia de la turbina.

b} Calcule las pérdidas de disponibilidad en el proceso.

Solución a} Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC,

h l = 2827.9 J/g 6.6940 J/g K

SI =

Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar, hf = 137.82 J/g

h fg = 2423.7 J/g sf = Sfg=

T

=

0.4764 J/g K 7.9187 J/g K 32.88 oC

Si el proceso de expansión hasta la presión del condensador fuera isoentrópico ,

- 6 .6940 - 0.4764 _

I

Xz s ~c -

7.9187

-0.79

También

hzls ~ e = 137.82 + (0.79)(2423.7) = 2040 .9 J/g

En consecuencia,

wl

s

~e =

2827.9 - 2040.9

Además , 1]

= 629/787 = 0.8

=

787 J/g



273

b) La pérdida de disponibilidad puede evaluarse mediante un balance de disponibilidad o un balance de entropía. Por ambos métodos,

La entropía s2 del vapor a la descarga de la turbina puede determinarse mediante un balance de energía. Esto es, h2

=

h1 -

W =

2827.9 - 629

=

2198.9 J/g

Asimismo,

X2 =

2198.9 - 137.82 = 0.85 2423 .7

Por tanto, 0.4764 + (0.85)(7.9187) = 7.21 J/g K

S2 =

En consecuencia, (288)(6.6940 -7.21) = -149 J/g

L1\}'p' =

Es decir, la pérdida de disponibilidad en el proceso es igual a 149 J/g. Los resultados anteriores requieren una interpretación física a la luz de las cuestiones antes presentadas. Si la turbina intercambia calor con la atmósfera, mediante la ecuación 8.26 se tendrá Wmáx

= b1 - b2 = (h 1 - h2 ) - To(Sl = 629 - (-149) = 778 J/g

- S2)

Esto es, el trabajo máximo que la turbina podría desarrollar al expandirse el vapor entre los estados 1 y 2 es igual a 778 J/g. De esta cantidad, sólo se obtienen 629 J/g. De manera alterna, se logra esta cantidad máxima de trabajo, como se observa en la figura E.8.17, mediante una expansión adiabática reversible desde el estado inicial hasta la presión del condensador, calentando después el vapor húmedo a presión y temperatura constante hasta alcanzar el estado final, mediante una bomba térmica reversible que opera entre el sistema y la atmósfera. Durante

h

s Figura E.S.I 7


274

Termodinámica

la expansión adiabática reversible la turbina puede realizar 787 J / g. El trabajo mínimo requerido para el calentamiento entre el estado a y el estado 2 es Wm1n = = =

sal

(T2 - TO)(S2 -

(305.88 - 288)(7.21 - 6.6940) 9 J/ g

En consecuencia, para el proceso de expansión entre los estados 1 y 2, se tiene Wmáx =

787 - 9 = 778 J/g

Ejemplo 8.18

Se hace pasar vapor a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC a través de una válvula de estrangulamiento. Si la presión en la descarga de la válvula es de 5 bar, estime las pérdidas de diSponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es igual a 15 oc. Solución

Con la ecuación 8.26, L1\fp = b2

-

bl = - TO(S2

- SI)

Según la tabla A.3 , a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC, hl

=

SI =

3023.5 J/g 6 .7664 J/g K

Según la misma tabla A.3, a una presión de 5 bar y una entalpía de 3023.5 J/g, S2 =

a

h /

7.3876 J/g K

T 2 = 280.29 oC

/'

/

//

//

A /1

1 1

1 1 1

Sustituyendo valores se obtiene, L1~ = =

(288)(7.3876 - 6.7664) -178 .91 J/g

Nótese que el proceso de estrangulamiento es altamente reversible, pues en este caso se destruyen 178.91 J/ g de disponibilidad. Esta misma pérdida podría obtenerse como trabajo si el proceso en cuestión fuera reversible. Para mayor claridad, considere la figura E.8 .18 y suponga que el vapor se

s Figura E.8.18



275

calienta de forma isobárica de 1 a a utilizando una serie de bombas térmicas externamente reversibles, y luego se expande de forma adiabática y reversible hasta el estado 2 mediante una turbina. El lector puede verificar que el trabajo requerido por las bombas térmicas es igual a 231.31 J / g, mientras que el trabajo desarrollado por la turbina es igual a 410.22 J/g. Es decir, el trabajo máximo neto que se obtendría sería igual a 410.22 - 231.31 = 178.91 J/g, que es el mismo valor obtenido en el proceso de estrangulamiento entre los estados 1 y 2.

Ejemplo 8.19 Un recipiente rígido y aislado, de calor específico despreciable, contiene 10 g de aire a una presión de 10 bar y una temperatura de 100 oc. Si el aire escapa a través de una válvula hasta alcanzar la presión atmosférica de 1 bar, calcule las pérdidas de disponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es de 25 oc.

Solución Mediante un balance de energía, - (mI - m2)h o = m2u2 - mIuI y para un gas ideal, mIcu(TI - T o) + m2cu(To - T 2) = (mI - m2)RTo

Puesto que el volumen del recipiente es constante,

m2

=

Po TI mI PI T

2

Entonces,


0.713 (373 - 298)

+ 0.713 ( / 0) (3+ 3) (298 - T 2) = (0. 287)(298)- ( 11 ) (3+ 3) (0.287)(298) 2

0

2


276 Termodinámica

Al resolver se obtiene T 2 = 189.55 K = - 83.45 oC

y así, m2 =

Mediante un

balanc~

1.97 g

de disponibilidad tenemos

Sustituyendo valores se obtiene

ll\}lp = (1.97)(298)(1) In

Ci:.~5) + (10)(298) [(1) In ( ~~~) - (0.287) In

(\0)]

= -1032.23 J

Adviértase que se obtiene el mismo resultado mediante un balance de entropía.

8.6 Resumen La posibilidad o imposibilidad de convertir el calor en trabajo queda resuelta a través de la segunda ley de la termodinámica, mediante el criterio de energía disponible y energía no disponible. La energía disponible se define como la fracción del calor que suministra o cede un sistema, y puede convertirse en trabajo mediante máquinas térmicas externamente reversibles. De manera análoga, la energía no disponible se define como la fracción del calor que suministra o cede un sistema, y ya no puede convertirse en trabajo ni por medio de máquinas externamente reversibles. En general, la atmósfera constituye el límite más bajo de temperatura a que puede descargar calor una máquina térmica. Así pues,

donde



277

Las funciones de Helmholtz y de Gibbs se definen de manera operacional mediante las siguientes expresiones

A = U - TS; a '=

u - Ts

G = H - TS; g = h - Ts Donde A es la función de Helmholtz y G la de Gibbs. Estas propiedades se relacionan entre sí a través de la expresión G = A + pV; g = a - pv Dos expre siones de gran importancia son da

~

-s dT - p dv

=

v dp - s dT

y

dg

De estas ecuaciones se desprende que las funciones a = a(T, v) y g = g(p, 7) son ecuaciones de estado completas. De manera similar, el incremento negativo en la función de Helmholtz entre dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema cerrado, sin cambios en la energía potencial y cinética. Es decir, Wrev/T =C= fpdv/ T = c=al-a2

De forma análoga, el incremento negativo en la función de Gibbs entre dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema abierto que opera en estado estable, donde los cambios en la energía cinética y potencial del fluido son iguales a cero. Esto es,

Las funciones de Helmholtz y de Gibbs son también muy conocidas por el nombre de energías libres de Helmholtz y de Gibbs. El trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema cerrado que intercambia calor sólo con la atmósfera y realiza un proceso reversible entre dos estados termodinámicos se calcula mediante la expresión

y, en ausencia de cambios en la energía potencial y cinética,


278 Termodinámica

En caso de ser iguales las temperaturas inicial y final del sistema a la temperatura ambiente To,

De igual manera, el trabajo máximo útil que puede obtenerse de un sistema cerrado que intercambia calor sólo con la atmósfera y realiza un proceso reversible entre dos estados termodinámicos puede hallarse mediante la expresión

Wmáx = (El + POVI

-

TOS I ) - (E 2 + POV 2 - T oS 2)

útil

y, en ausencia de cambios en la energía potencial y cinética,

Wmáx útil

=

(U I + POVI

-

TOS I ) - (U2 + POV2 - ToS 2)

En caso de ser iguales la temperatura y presión iniciales y finales del sistema a los valores correspondientes To y Po de la atmósfera, respectivamente,

Wmáx = G I - G2; útil

TI = T 2 = To, PI = P2 = Po

En el caso de un sistema abierto que opera en estado estable, en donde el sistema sólo intercambia calor con la atmósfera,

En caso de que los cambios en la energía potencial y cinética del fluido sean iguales a cero y la temperatura con que ese fluido entra y sale del sistema sea igual al valor correspondiente de la atmósfera, W má x

= gl - g2;

TI = T 2 = To

Dado un estado termodinámico, el trabajo que puede desarrollar la combinación sistema-atmósfera es máximo cuando el sistema se relaja de forma reversible hasta alcanzar equilibrio termodinámico con la atmósfera. Cuando tanto el sistema como la atmósfera de referencia están en equilibrio termodinámico, se dice que el sistema ha alcanzado su estado muerto. Se dice muerto porque ya no puede obtenerse más trabajo de la combinación sistema-atmósfera. Por consiguiente, todo sistema cuyo estado termodinámico difiera del estado muerto tiene capacidad de realizar trabajo, esto es, disponibilidad, y este trabajo es máximo si el sistema se relaja a través de un proceso ideal que lo lleve al estado muerto. La disponibilidad por unidad de masa asociada con un sistema cerrado en un estado dado se define como el trabajo máximo útil que puede obtenerse al relajar el sistema hasta su estado muerto. Esto es,

q¡ = (e + pov - Tos) - (eo + povo + Toso) o, multiplicando por la masa del sistema,

\}' = (E + PoV - ToS) - (Eo + PoVo - ToSo)



279

donde el subíndice O se refiere a las propiedades del sistema en el estado muerto. En términos de disponibilidad, el trabajo máximo útil en un sistema cerrado es

Wmáx

=

-L1'Y

útil

y el trabajo máximo entre dos estados

Wmáx

=

-L1 'Y + Po L1V

Si el sistema toma calor proveniente de otro sistema, además de intercambiar calor con la atmósfera, Wmáx = útil

-L1~

+ Lj (1 - T o/1j}Qj

Asimismo, W máx

= - ~'Y + Po~V + ~)1- To/Tj}Qj

útil

La disponibilidad por unidad de masa de un fluido en una corriente corresponde al trabajo máximo que puede obtenerse de él, al relajarse la masa unitaria desde el estado inicial hasta su estado muerto , en estado estable, mientras intercambia calor sólo con la atmósfera. Es decir,

V2 'Y f = b + 2 + gz - bo donde b es la función de Darrieus, esto es, b = h - Tos. El trabajo máximo entre dos estados que puede desarrollar un sistema abierto que opera en estado estable e intercambia calor sólo con la atmósfera está dado por la expresión

Un balance general de disponibilidad puede realizarse mediante la expresión


280

Termodinámica

8.6

Problemas 8.1

Se evapora el refrigerante 134a desde líquido saturado hasta vapor saturado seco, a una temperatura de 60°C, al recibir el calor de un flujo de aire que se encuentra a presión atmosférica y que disminuye su temperatura desde 100 hasta 80 "C. Suponiendo que la temperatura ambiente es de 25°C, a) Determine la energía disponible que tiene el calor cedido por el aire. b) Si el calor tomado por el refrigerante 134a fuera absorbido por una máquina térmica, ¿qué fracción podría convertirse en trabajo?

8.7

¿ E

Respuestas:

II1

8.2

a) 24.95 J/g de 134a b) 14.65 J/g de 134a

La temperatura de los gases de combustión en una caldera es aproximadamente de 1000 "C. Si el vapor húmedo está a 200°C en los tubos de la caldera, determine el porcentaje del calor cedido por los gases que puede convertirse en trabajo. Suponga que la temperatura ambiente es igual a 25°C. Respuesta:

8.3

y

8.8

[ 1

76.59%

Considere un intercambiador de calor con flujos en paralelo. El fluido caliente entra a una temperatura Tel Ysale a una temperatura T C2' De manera análoga, el fluido frío entra a una temperatura y sale a una temperatura T¡2' Si el flujo de masa y el calor específico cp de ambos fluidos es el mismo, determine la pérdida de disponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura de la atmósfera es igual aTo.

m

Th

8.9 S

Respuesta:

8.4

Demuestre que g

=

8.10 L

g] aT a

1

h + T-

p

8.5

~¡

En un sistema cerrado cierta cantidad de aire que está originalmente a una presión de 1 bar y temperatura de 25°C, se comprime hasta una presión de 5 bar y una temperatura de 60 0C. Determine el trabajo mínimo por unidad de masa requerido para lograr esta compresión, si el sistema intercambia calor sólo con la atmósfera. Suponga que la temperatura ambiente es igual a 25°C. Respuesta:

129.5 J/g

8.11 O

c¡

8.12 E

a c¡

ig



8.6

281

En un recipiente rígido hay diez gramos de aire a una presión de 10 bar y una temperatura de 150°C. Si el recipiente se enfría en la atmósfera hasta la temperatura ambiente de 25°C,

na s-

a) Calcule el cambio de entropía que experimenta el aire. b) Determine la magnitud de la energía no disponible.

ra

Respuestas:

a) -2.50 J/K b) 744.25 J

III~I 1111/1 ,11

IUI.I

a, 8.7 4a 4a

¿Cuál es el trabajo máximo que puede obtenerse de los gases de combustión de un motor si se encuentran a 250°C y 1 bar? Suponga que su calor específico es igual a 1 J/g K, y la presión y temperatura ambiente son de 1 bar y 25°C, respectivamente. Respuesta:

C. lor

8.8

nte

na m-

de que

/1 /2

Demuestre que la función g

= g(p, T) es una ecuación de estado completa, determinando T), s(p, T), h(p, T), u(p, T) y a(p, T).

Respuesta:

9%

8.9

57.38 J/g

u = dg/dp)T s =-dg/dT)p h=g-Tdg/dT)p u = g - T dg/dT)p a = g - p dg/dp)y

u(p,

- p dg/dp)T

Seleccione un estado de referencia y demuestre que para un gas ideal con calores específicos constantes, la función de Gibbs es igual a

9 ="0+ RTo - cplT - Tol -cp Tln(;' )+ RTln( :0)-

t-¿

8.10 Una máquina de Carnot absorbe 1000 J de calor al operar entre límites de temperatura de 1000 K Y 300 K. Si la temperatura ambiente es de 300 K, calcule la energía disponible. Respuesta:

700 J

ar y

0e.

si el gual

J/g

8.11 Demuestre que todos los procesos reversibles entre dos estados dados producen la misma cantidad de trabajo si el sistema en cuestión intercambia calor sólo con la atmósfera. 8.12 En un precalentador se calienta agua a 10 bar y 40°C mezclándola con vapor saturado seco a 10 bar. Si a la descarga del precalentador salen 10 000 kg/h de agua a 10 bar y 120°C, calcule la pérdida de disponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es igual a 25°C y el proceso es adiabático.

¡,,~'''I


282

Termodinámica

8.13 Una cierta masa de aire se expande de forma isotérmica y reversible de 5 bar y 500 K a 1 bar y 500 K intercambiando calor sólo con la atmósfera. Si la temperatura del ambiente ~s de 300 K, calcule el trabajo máximo por unidad de masa que puede obtenerse. 8.14 Un cilindro contiene aire comprimido a 10 bar y 300 K. Calcule la disponibilidad por unidad de masa que tiene el aire suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 27 oC, respectivamente. 8.15 Se estrangula vapor de agua desde una presión de 10 bar y un título de 0 .8 hasta una presión de 1 bar. Si la temperatura ambiente es igual a 25 oC, calcule la pérdida de disponibilidad por unidad de masa en el proceso. 8.16 Una turbina adiabática recibe un gas (cp = 1.09 kJ/kg K, R = 252 J/kg K) a 7 bar y 1000 oC y 10 descarga a 1.5 bar y 665 oc. La temperatura de los alrededores es de 25 oc.

a) Calcule el trabajo real. b) Determine el trabajo máximo que podría obtenerse si el proceso hubiera sido adiabático reversible entre las mismas presiones. e) Dibuje para los incisos (a) y (b) el proceso correspondiente en coordenadas temperatura-entropía. 8.17 Una máquina de Camot absorbe 100 J de calor al operar entre límites de temperatura igual a 800 y 298 K. Si la temperatura ambiente es de 298 K, calcule la fracción del calor tomado por la máquina que puede convertirse en trabajo.

Respuesta:

62.75 J

8.18 Imagine un intercambiador de calor en donde entran 7.5 kg/ s de gases de combustión (e p = 1.25 kJ/ kg K) a 1350 oC y 1 bar, y salen a 790 oC y 1 bar. En dirección opuesta, entran 7 kg/s de aire (e p = 1 kJ/ kg K) a 205 oC y 1 bar, y se descargan a una temperatura mayor e igual presión. Si la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, calcule

a) La energía disponible de los gases de combustión. b) La disminución en la disponibilidad que tienen los gases de combustión en el intercambiador de calor. e) La disponibilidad de los gases de combustión a la descarga del intercambiador de calor. 8.19 Una caldera produce vapor saturado seco a 3.5 bar. Los gases de combustión entra·n en el banco de tubos a 1100 oC y salen a 430 oc. Su calor específico a presión constante es igual a 1.05 kJ/ kg K. El agua entra en la caldera como líquido subenfriado a 3.5 bar y 40 oC, a razón de 12 kg/ s. Si la temperatura ambiente es de 25 oC, determine

a) El calor transferido por los gases. b) La energía disponible que tienen los gases.



y

K,

8.20 En una válvula entra vapor de agua a una presión de 10 bar con 20% de humedad. El vapor se estrangula de forma adiabática hasta la presión atmosférica de 1 bar. La temperatura ambiente es de 25 "C. Calcule el trabajo máximo que podría obtenerse en el proceso.

ad bar ión por

°e

tieo

Respuesta:

254.37 J/g

8.21 Un gramo de aire se expande desde 825 kPa y 500 K hasta 140 kPa y 500 K. Calcule el trabajo máximo que podría obtenerse si la presión y la temperatura ambientes son de 1 bar y 25 -c, respectivamente. Suponga que cp es igual a 1 J/g K. 8.22 ¿Cuál es el trabajo mínimo requerido para pasar 1 kg de oxígeno desde 1 bar, 300 K hasta líquido saturado a 90 K? Dibuje los estados inicial y final en un diagrama Ts. Suponga las siguientes propiedades para el O2 A 1 bar, 300 K: v = 0.799036 m3/kg,

atu-

283

s

=

h = 272.720 kJ/kg,

6.4140 kJ/kg K

A 90 K: al a por

5J

p = Vfg

= 0.22649 m3/kg,

n el lor. n el ·gual e, a

Vf =

0.000876 m3/kg,

vg = 0.22736 m3/kg,

hf

=

-133.758 kJ/kg,

hg

=

79.312 kJ/kg,

sf =

2.366 kJ/kg K,

Sg

Sfg =

tión tran or e

0.9943 bar,

hfg = 213.07 kJ/kg, 2.936 kJ/kg K,

= 5.302 kJ/kg

K.

8.23 En una empresa se consumen para distintos procesos 28 340 m3/día de aire comprimido a 4.5 bar y 50 "C. Calcule la disponibilidad de este flujo de aire, suponiendo que la presión y la temperatura ambientes son 1 bar y 25 ec. 8.24 Determine la disponibilidad de 1 kg de vapor de agua a 30 bar encuentra a 1 bar y 25 -c.

y

400 "C si el ambiente se

8.25 Considere un compresor adiabático que toma aire a 1.4 bar y 17 "C y lo descarga a 4.2 bar y 147 "C. Calcule el trabajo real requerido por unidad de masa. Suponga que cp = 1 J/g K. 8.26 Un sistema cerrado que contiene vapor de agua se enfría reversiblemente a presión constante desde 2 bar y 200 "C hasta alcanzar equilibrio térmico con la atmósfera. a) Calcule la energía disponible por unidad de masa. Suponga que la temperatura de la atmósfera es de 25 "C. b) Dibuje el proceso en coordenadas T-s, incluida la línea de saturación. 8.27 Dos kilogramos de agua se encuentran como vapor saturado seco a 120 ec, con una velocidad de 30 mis y a una altura de 6 m con respecto a un nivel de referencia. Posteriormente


284

Termodinámica

estos 2 kg de agua se encuentran como líquido saturado a 10 oC, a una velocidad de 25 mi s y a una altura de 3 m. Si la presión y la temperatura de la atmósfera son de 1 bar y 25 oC, calcule el trabajo máximo que podría obtenerse del agua. 8.28 En una tobera adiabática entra vapor a 15 bar y 300 oC con velocidad despreciable, y sale a una presión de l.5 bar y 2% de humedad . Si la presión y la temperatura de la atmósfera son 1 bar y 25 oC, calcule la disponibilidad por unidad de masa que tiene el vapor a la descarga de la tobera . 8.29 Se desea comprimir 0.1 kg/ s de aire desde 1 bar y 25 oC hasta 4 bar en un compresor adiabático. a} Calcule la potencia mínima requerida. b} Dibuje el proceso en coordenadas T-s. Suponga que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente, y que el calor específica a presión constante del aire es igual a 1 J / g oc. 8.30 Un gramo de aire se enfría desde 4 bar y 100 oC hasta la temperatura ambiente en un recipiente rígido. a} Calcule el trabajo máximo que podría obtenerse si el sistema intercambia calor sólo con la atmósfera. Suponga que la presión y temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente, y que el calor específico a presión constante del aire es igual a 1 J/ g oc. 8.31 Calcule la función de Helmholtz del agua a 10 bar y 500 oc. 8.32 Se dispone de 1 kg/s de vapor a 30 bar y 750 oC en un lugar de una planta industrial. En otra parte de la misma planta se requiere 1 kg/ s de vapor a 20 bar y 400 oc. Uno de los ingenieros de la empresa propone que al vapor que se encuentra a alta presión se le puede bajar dicha pre sión mediante una válvula y que después se le ajuste la temperatura disipando calor hacia el aire ambiente, que se encuentra a 20 oC y 1 bar. Si esta sugerencia se lleva al cabo, determine la disminución en la disponibilidad que tiene el vapor. 8.33 Un kilogramo de agua a 100 oC se encuentra como vapor saturado seco en un sistema cerrado. A través de un proceso, el agua pasa a líquido saturado a 100 oc. ¿Cuánto disminuye o aumenta la disponibilidad del agua en kJ/ kg durante este proceso? 8.34 Si dos kilogramos de aire a 1 bar y 25 oC se calientan reversiblemente a presión constante hasta que se duplica su temperatura absoluta, calcule para este proceso a} b} e} d}

El calor requerido. El cambio de entropía. La energía no disponible. La energía disponible si Po = 1 bar y T o = 25 oc. Suponga que para el aire R = 287 J/ kg K y cp = 1 kJ/ kg oc.

8.35 Considere un cilindro con émbolo que contiene vapor de agua a 5 bar y 300 oc. El volumen del vapor en el cilindro es de 1568 cm 3 . El vapor experimenta un proceso isotérmico reversi-



/5

e, a n

del ión

ien-

285

ble hasta que alcanza un título igual a 0.7. Durante el.proceso hay transferencia de calor entre el vapor y el ambiente, que se encuentra a 27°C y 1 bar. a) Calcule el trabajo mínimo, en joules, que se requiere durante el proceso. b) Muestre el proceso en coordenadas p-u. 8.36 Determine la diferencia de la función de Helmholtz del vapor de agua entre los estados final e inicial para el problema 8.35, esto es, a2 - al' Considere un sistema cerrado que contiene 0.2 kg de agua inicialmente a 9 bar y con título de 8.37 40%. El agua experimenta una expansión reversible a presión y temperatura constantes hasta alcanzar el estado de vapor saturado seco. a) Calcule la energía disponible del calor añadido al sistema, suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C. b) Dibuje el proceso en coordenadas presión-volumen y temperatura-entropía para el proceso.

otra eras icha ia el ine

8.38 Un compresor toma 0.1 kg/s de vapor de agua a 200°C y 1 bar y lo descarga a 4 bar. Si el proceso de compresión es isotérmico reversible, calcule la potencia mínima que requiere el compresor. 8.39 Calcule el trabajo máximo que puede obtenerse de 1 kg de agua cuando pasa de 1 bar y 200°C hasta 1 bar y 25°C. Suponga que la presión y la temperatura del ambiente son de 1 bar y 25°C. 8.40 El cilindro de un motor de combustión interna contiene 2450 cm ' de gases producidos en la combustión a una presión de 7 bar y una temperatura de 867°C justo antes de que se abra la válvula de escape. Puede considerarse que las propiedades de los gases de combustión son iguales a las del aire, es decir, cp=l J/gm K. La presión y la temperatura del ambiente son iguales a 1 bar y 27°C, respectivamente. Calcule la disponibilidad por unidad de masa de los gases, en kJ/kg.

ema uye

8.41 Un flujo de vapor a 30 bar y 300°C entra en una válvula y sale a 5 bar tras sufrir un proceso de estrangulación.

nla e-

ante

men ersi-

a) Determine el trabajo máximo por unidad de masa que puede obtenerse del sistema si intercambiara calor con la atmósfera. La presión y la temperatura del ambiente son iguales a 1 bar y 27°C, respectivamente. b) Calcule la disminución en la disponibilidad por unidad de masa que experimenta el vapor. 8.42 Se dispone de vapor a 3 MPa y 750°C en un punto de una planta industrial. En otro punto se requiere vapor a 2 MPa y 400°C. Un ingeniero de proyecto sugiere estrangular el primero hasta 2 MPa y luego enfriarlo hasta 400°C por transferencia de calor a los alrededores, que se encuentran a 20°C.


286

Termodinámica

a) Evalúe esta sugerencia mediante un análisis de disponibilidad. b) Si el costo de la energía eléctrica es de 0.33 $/ kW-h , valore esta alternativa para un flujo másico de 1 kg/ s. 8.43 Un sistema contiene 10 kg de agua a 5 oC y 1 bar. Determine la disponibilidad en kJ que tiene el agua, suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oc. 8.44 Considere una turbina adiabática en la cual entra el aire a 4 bar, 1000 K Y 100 mi s. A la descarga de la turbina el aire sale a 1 bar, 750 K Y 70 mi s. Determine a) El trabajo por unidad de masa real en kJ/ kg. b) El trabajo máximo por unidad de masa que se puede obtener si la turbina fuera adiabática reversible y operara entre los mismos límites de presión, esto es, entre 4 bar y 1 bar. c) El trabajo máximo útil por unidad de masa que se puede obtener si la turbina fuera adiabática reversible y operara entre los mismos límites de presión, esto es, entre 4 bar y 1 bar. Suponga que el calor específico cp del aire es igual a 1 kJ/ kg oc.

8.45 Se usa agua líquida para condensar vapor en un intercambiador de calor. El agua entra a 1.5 bar y 25 oC y sale a 35 oc. El vapor entra a 0.075 bar, con un título de 0.96 y un flujo másico de 6.5 kg/ s, y sale como líquido saturado. Suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, a) Calcule el flujo de calor en watts que transfiere el vapor al agua líquida. b) Calcule la energía disponible en watts del calor disipado por el vapor. 8.46 Considere el flujo de un gas ideal a 1 bar de presión. Indique si el gas tiene mayor o menor disponibilidad cuando se encuentra a 20 oC o a -20 oc. Suponga que las condiciones de la atmósfera son 1 bar y O oC, y que la energía cinética o potencial del flujo es despreciable. 8.47 Un flujo másico de 6 kg/s de aire entra en un compresor a condiciones atmosféricas de 1 bar y 5 oc. El aire se comprime hasta 2 bar y 75 oc. Suponga que el calor específico a presión constante es igual a 1 J/g K. Calcule a) La potencia mínima requerida por el compresor si intercambia calor sólo con la atmósfera. b) La disponibilidad del aire a la entrada del compresor. 8.48 Dentro de un recipiente rígido hay vapor de agua a 80 bar y 400 oc. El vapor se enfría en el recipiente hasta que la presión disminuye a 40 bar. La presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oc. a) Calcule el trabajo real durante el proceso de enfriamiento. b) Determine la energía disponible por unidad de masa del calor disipado durante el proceso .



e) Dibuje el proceso de enfriamiento en coordenadas presión-volumen, mostrando con claridad la línea de saturación.

un

8.49 En una turbina adiabática entra vapor de agua a 40 bar y 400°C y se descarga como vapor saturado seco a 100°C. Si la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C, determine,

Itiene

a) El trabajo real desarrollado por el vapor en kJ/kg. b) El trabajo máximo por unidad de masa que podría obtenerse si el vapor intercambiara calor con la atmósfera sin alterar las condiciones del vapor a la entrada y a la salida de la turbina.

Ala

'tica bar. fuera 4 bar

8.50 Considere un compresor adiabático que toma aire a 1 bar y 17°C, y lo descarga a 4 bar y 177°C. Calcule el trabajo real requerido por unidad de masa. Suponga que cp = 1 J/g K. 8.51 Considere un sistema cerrado en donde hay 0.2 kg de agua inicialmente a 9 bar y con un título de 0.4. El agua realiza una expansión reversible a presión y temperatura constantes hasta alcanzar el estado de vapor saturado seco. Suponiendo que la temperatura y la presión del ambiente son 25°C y 1 bar, respectivamente

5 bar ode ,1

a) Dibuje el proceso en coordenadas T-s. b) Calcule la energía disponible del calor agregado al sistema. e) Determine el trabajo realizado durante la expansión.

am-

enor de la le. 1 bar esión

síera.

en el iente

ceso.

287

I

8.52 Un compresor toma 1 kg/s de aire a 1 bar y 25°C comprimiéndolo hasta 8 bar y 160°C. La transferencia de calor hacia los alrededores es de 100 kW. Suponga que el calor específico del aire a presión constante es igual a 1 J/g K y que la temperatura del ambiente es de 25°C. ,. ••• 1'1

a) Calcule, en kW, la potencia consumida. b) Determine, en kW, la energía disponible del calor disipado. e) Dibuje el proceso en coordenadas T-s. 8.53 Suponga que el compresor del problema 8.52 descarga el aire a 8 bar y 25°C, y que el proceso es isotérmico reversible. Calcule la potencia consumida en kW. 8.54 Un gramo de aire se expande de forma adiabática y reversible de 8.25 bar y 800°C a 1.4 bar. La presión y la temperatura ambientes son 1 bar y 25°C, respectivamente. Calcule el trabajo máximo desarrollado por el sistema. Suponga que cp es igual a 1 J/g K. 8.55 Considere un motor de combustión interna que descarga 0.1 kg/s de gases de combustión a 700°C y 1.1 bar. Estos gases pasan a través del tubo de escape y disminuyen su temperatura hasta 70°C. El proceso de enfriamiento es esencialmente a presión constante. Si la presión y la temperatura ambiente son 1 bar y 25°C, calcule, en watts, la energía disponible de estos gases. 8.56 Determine el coeficiente de expansión volumétrica del aire a 1 bar y 400 K.


288

.'

.'

.'

Termodinámica

8.57 Dos kilogramos de vapor se expanden de manera adiabática y reversible en un sistema cerrado de 20 bar y 300°C a una temperatura final de 90°C. Calcule el trabajo máximo que puede obtener se, suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C. 8.58 Calcule el consumo mínimo de potencia que se requiere para comprimir 2.3 kg/s de aire desde 1 bar y 20°C hasta 2.4 bar y 20°C, si sólo ocurre transferencia de calor con el ambiente. Suponga que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 20°C, y que el calor específico a presión constante del aire es igual a 1 J/g K. 8.59 Un recipiente contiene vapor de agua a 1 bar y a una temperatura de 150°C. Al vapor se le agrega calor reversible a presión constante hasta que la temperatura alcanza 300 0C. Si la presión y la temperatura de la atmósfera son 1 bar y 25°C, calcule la porción disponible del calor agregado, por unidad de masa.

La prime preciso d pueden o pedo a te difícil y cc nes terme Aun e termodin,

demostró y la enen parte, un, to de los ( como se' En es importanl entre dos antemanc

9.1 Pr¡

Una relac des puedo


9 ~.

Relaciones termodinámicas

~~===========ge=n=er=a=le=s==========~ Todo el mundo desea saber, pero nadie quiere pagar el precio. JUVENAL

La primera y segunda leyes de la termodinámica requieren, para su aplicación, un conocimiento preciso de la propiedades físicas de las sustancias. Aunque en algunas circunstancias sus valores pueden obtenerse mediante tablas, no siempre es posible disponer de la información necesaria respecto a todas las propiedades de una sustancia, y antes de intentar una medición experimental tal vez difícil y costosa, es necesario que el ingeniero esté totalmente familiarizado con las diferentes relaciones termodinámicas generales que existen para evaluar una propiedad. Aun cuando una relación funcional de la forma u = u(s, v) determina de forma completa el estado termodinámico de una sustancia pura y constituye una ecuación de estado completa, como ya se demostró, la correlación inicial de estas propiedades no resulta ser una tarea sencilla, pues la entropía y la energía interna no pueden determinarse mediante experimentos de manera directa. Por otra parte, una correlación entre la presión, el volumen específica y la temperatura, aunada al conocimiento de los calores específicos en el estado de gas ideal, resulta también ser una información completa, como se verá más adelante. En este capítulo se establecerán las diferentes relaciones termodinámicas entre las propiedades más importantes, así como la información mínima y necesaria para evaluar las diferencias de propiedades entre dos estados. Puesto que todas las propiedades están relacionadas, es conveniente recordar de antemano algunas de las reglas más importantes que intervienen en el uso de las derivadas parciales.

9.1 Principios básicos de las derivadas parciales Una relación funcional entre la presión, el volumen y la temperatura implica que dos de las propiedades pueden seleccionarse como variables independientes de forma arbitraria. Teniendo esto en cuen-


290

Termodinámica

ta, si se consideran en general las variables x, y y z, la relación funcional que existe entre ellas puede expresarse así

f(x, y, z)

=

O

o, de forma alterna, si se seleccionan arbitrariamente las variables x y y como variables independientes, z

z(x, y)

=

donde z es la variable dependiente. Si se mantiene x constante, por ejemplo x = Xl' entonces z = z (xI' y) depende solamente de y. Si la derivada de z(XI' y) con respecto a y existe para un valor dado de y = YI, el valor de esta derivada es la derivada parcial de z(x, y) con respecto a y en el punto (xl ' YI)' Por lo común se representa así: dZ/dy)X. De la misma manera, la diferencial total de la variable dependiente Z se expresa así

dZ) dx+dZ)

dz=-

dX

dy

y

dy x

(9 .1)

Si se denota el coeficiente de dx con M y el coeficiente de dy con N, la ecuación anterior puede escribirse así dz

=

M(x, y) dx + N(x, y) dy

Si, además,

(9 .2)

se dice que dz es una diferencial exacta . Esta última relación constituye una condición necesaria y suficiente para que una diferencial total sea exacta. De hecho, puesto que todas las propiedades termodinámicas de una sustancia quedan determinadas por el estado en cuestión, todas las propiedades tienen una diferencial total exacta. Esta cualidad es muy importante para relacionar unas propiedades con otras. En algunas circunstancias, conviene relacionar varias propiedades termodinámicas; por ejemplo p = p(T, v) y T = T(s , v). Con esto en mente, considere en general las funciones w = w(x, y) y y = y(x, z). La diferencial total de w es

dW) dx+dW)

dw= -

dX

y

dy

dy x

(a)


9 Relaciones termodinámicas generales

291

y la de yes dy = dy ) dx + dY ) dz

dX

dZ

z

(b)

x


dw = [dW) + dW) dY ) ]dX + dW) dy'\ dz dX y dy x dX z ay x az

J

En esta última expresión

W

=

W

(e)

(x, z) y, por consiguiente,

dW) dx+dW) dz dw=dX z dZ x

(d)

Comparando los coeficientes de dx y dz en las ecuaciones (e) y (d) se obtiene

aw)

ax

z

dW)

= dX

y

+

aw) ay) ay ax z

(9.3)

x

También

dW) dY) dZ) -1 dY x dZ x aw x

Del mismo modo, diferenciando (a) con respecto a y, y manteniendo

°_aw) dX) dW) dX dy yay

w

x

(9.4)

W

constante, esto es, dw

=

0,


292

Termodinámica

o bien,

(9 .5)

Las ecuaciones 9 .4 y 9.5 son de gran utilidad para expresar ciertas derivadas difíciles de evaluar, en términos de otras más accesibles. Otro concepto importante relacionado con las derivadas parciales es el jacobiano, cuya función es relacionar también diferentes variables. Si x, y, a y f3 son las variables del problema, el jacobiano comúnmente se representa así

J (x, y ) =

d(x, y) ( ) ( ) = dx y d\a, f3

(9 .6)

y está definido mediante el siguiente determinante

dX) dX) da ~d~ a

J(x, y)= dY ) dY )

da ~ d~

a

Evaluando el determinante,

J(x,y)= dX) dYl- dX) da

f3

df3

df3

a

~) da

f3

(9 .7)

Las siguientes propiedades son de importancia

J(x , y)= -J(y, x)

(9 .8)

J(x,x)::::O

(9.9)


9 Relaciones termodinámicas

generales

293

Asimismo,

dY)

_

dX

z -

J(y, z) _ J(z, y) _ J(y, z) J(x, z) - J(z, y) - J(z, x)

(9.5)

r, en ción iano

z)

d(y, J(z, y) d(a, = - J(x, z) = d(x, d(a,

(3)

z)

(9.10)

(3)

La importancia de todas estas expresiones se hará evidente en el transcurso del presente capítulo.

9.2 Ecuaciones de Maxwell (9.6)

Cuatro expresiones de suma importancia que dan origen a ecuaciones de estado completas y que se desarrollaron con anterioridad como consecuencias de la primera y segunda leyes de la termodinámica son las que relacionan las propiedades u, h, a y g. Dichas expresiones son

= u (s, v)

(7.16)

dh = Tds+ udp, h = h(s, p)

(7.17)

du

da

= Tds - pdv,

u

= -pdv - sdT,

a

= a (v, T)

(8.7)

y también, dg = vdp - sdT, g = g(p, T)

(8.8)

Puesto que u, h, a y g son propiedades termodinámicas, sus diferenciales totales son exactas. Por tanto, con la ecuación 9.2 (9.7)

(9.8)

(9.9)

~:1 1 =- ~~

(9.11)

dT) dp

dV)

s

= dS

(9.12)

dP) dT

u

= dU

p

=- dp

dS)

dO)

dT

p

(9.13)

T

dS ) T

(9. 14)


294 Termodinámica

De la expresión 9.11 a la 9.14 se les conoce como ecuaciones de Maxwell. Aun cuando la importancia de estas relaciones no se manifiesta a primera vista, las ecuaciones de Maxwell relacionan la entropía con otras propiedades fáciles de determinar, como la presión, el volumen y la temperatura. Considere, por ejemplo, el cambio de entropía que sufre una sustancia pura al realizar una expansión isotérmica entre dos estados dados por (T, vI) y (T, v2). De acuerdo con la ecuación de Maxwe1l9.13,

~SIT=C

=

f

V

2

VI

op) -oT

dv v

Observe que esta determinación de ~s puede realizarse con facilidad mediante una ecuación apropiada de estado de la forma f(p , v, = O. Debe hacerse hincapié en que partiendo de las ecuaciones Tds (Ec. 7.16), el resultado anterior no podría haberse obtenido de forma directa excepto si la sustancia fuera tal que su energía interna dependiera sólo de la temperatura, como en un gas ideal , por ejemplo. Puesto que en general u = u(T, v) para una sustancia pura,

n

2

[ou)

1 fV ~SIT=C=T VI OV

1

+ P dv T

Hasta el momento no se cuenta con una forma de calcular el término duj dv)T con sólo datos de presión, volumen y temperatura. Otras relaciones importantes pueden también derivarse de las ecuaciones 7.16, 7.17 , 8 .7 Y 8.8 . Estas ecuaciones son

T=

T=

ou) os

Oh) os

p= _

p

(9.15)

v

(9.16)

p

ou) ov

s

= _ oa)

OV T

op J

v = oh

s

(9.17)

(9 .18)

(9.19)



v-

Og) Op

T

295

(9.20)

(9 .21)

(9 .22)

En las ecuaciones 9 .17 y 9.19, por ejemplo, se observa que, puesto que la presión y el volumen son cantidades positivas, la energía interna y la entalpía de una sustancia disminuyen durante toda expansión isoentrópica. Por otro lado, las ecuaciones 9 .15 a 9 .22 relacionan las propiedades p, v, T, u, h, s, a y g. De éstas, sólo la presión, el volumen y la temperatura son fáciles de determinar de una manera experimental. Igualando las expresiones 9 .15 y 9 .16, 9.17 y 9.18, etc., se obtienen cuatro relaciones adicionales, a saber

(9 .23)

(9.24)

(9 .25)

(9.26)

Ejemplo 9.1

Determine el cambio de entropía con respecto a la presión, a temperatura constante, para el vapor de agua a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC, únicamente con los datos de presión, volumen y temperatura. Los siguientes datos se extraen de las tablas de vapor de Keenan y otros (ref. 2) .


296

Termodinámica

390°C

400 °C

410°C

29.5 bar

v s

99.35 6.8958

10l.12 6.9299

102.86 6.9634

30.0 bar

v s

97.62 6.8870

99.36 6.9212

10l.08 6.9548

30.5 bar

v s

95.92 6.8784

97.66 6.9127

99.36 6.9463

Ejemplo

Con los si~ vapor en lé

Solución Solución

Mediante"

Con la ecuación de Maxwell 9.14,

dS)

dp

=-

T

dV)

dT

p

A una presión de 30 bar, cuando la temperatura aumenta de 390 a 410°C, 97.62 cm3/g a 101.08 cm3/g. En consecuencia,

as) ap

T

= _ 10l.08 - 97.62 410 - 390

= -0.17

el volumen aumenta de

3.46 20

cm3/g K

El resultado anterior puede verificarse con facilidad mediante los valores de entropía hallados en las mismas tablas del vapor. A una temperatura de 400°C, la entropía disminuye de 6.9299 J/g K a 6.9127 J/g K, mientras que la presión se incrementa de 29.5 bar a 30.5 bar. Por consiguiente,

as) ap

= _~_s = 6.9127 - 6.9299 T

= -0.17

Puesto qUE sola todas 1 tes relacior por estos e para deterr dos mediar

0.017

---

30.5 - 29.5

~p

9.3 Calc

l.O

y así,

J/g K bar

= -0.17 cm3/g K Si el vapor de agua en estas condiciones de presión y temperatura se comportara como gas ideal,

dS)

dp

= T

R p

0.461

=---

30

= -0.015 J/g K bar = -0.15 cm3/g K

Puesto qu. volumen cc esto es, qu ecuación d



generales

297

Ejemplo 9.2 Con los siguientes datos de entalpía y entropía a la misma presión, estime la temperatura

de este

vapor en la región dada. Entalpía, J/g

Entropía, J/g K

3110.0 3166.0

6.3211 6.4042

Solución Mediante la ecuación 9.16, T

=

ah) as

= 3166.0 p

- 3110.0 6.4042 - 6.3211

= 673.88

K

de

9.3 Calores específicos •••••

las Ka

Puesto que una ecuación de estado de la forma f(p, u, T) = O es insuficiente para determinar por sí sola todas las propiedades termodinámicas en un estado dado, a continuación se explorarán diferentes relaciones para los calores específicos cp y cv. Después será obvio que la información suministrada por estos calores, aunada a una ecuación de estado de la forma f(p, v, T) = 0, es más que suficiente para determinar todas las propiedades termodinámicas. Los calores específicos cp y Cv están definidos mediante las expresiones

y así,

al,

Puesto que, en general, es más sencillo determinar de forma experimental el calor específico a volumen constante, a continuación se demostrará que ambos calores específicos están relacionados, esto es, que si se conoce uno de ellos, el otro puede determinarse con facilidad por medio de una ecuación de estado. Mediante las ecuaciones T ds,

Tds=du+

pdv

(7.16)

1


298

Termodinámica

Si, por otra parte, u = u(T, v)

dU) dv du= -dU) dT+dT u dV T du =

Cu dT

+ -dU) dv dV T

Sustituyendo esta última expresión de du en la ecuación 7 .16,

1[

c dT+- p+ -dullJdv ds= 2.. dV T T

Puesto que esta expresión implica que s

=

(e)

s(T, v),

dS) dT+ -dS) dv ds=dT u dV T

(f)

Comparando los coeficientes de dT y dv en las ecuaciones (e) y (f), y utilizando la ecuación de Maxwell 9 .13, se obtiene

cu

=T ~) dT

(9.27)

u

Por ta nto ,

1[ dU)] T P + dV T

dS )

= dv

dp )

T

= dT

u

(g)

Sustituyendo (g) en (e) ,

ds = 5!.. dT + dP ) dv T dT u

(9.28)



299

Observe que el cambio de entropía de una sustancia pura entre dos estados puede determinarse mediante el conocimiento de una ecuación de estado y la información sobre el calor específico cu{T, v) . De manera análoga, con las ecuaciones T ds,

T ds Por otra parte, si h

=

=

dh - v dp

h{T, p),

dh=~) aT

dT+ ah) dp

ap

p

T

= cpdT + -ah) dp

ap

T

Sustituyendo esta última expresión de dh en la ecuación 7. 17,

l[ahJ 1dp ap

p ds=-dT+C T T

-v

(h)

T

Puesto que esta expresión implica que s = s{T, p) ,

as )

ds=aT

p

as) dp ap T

dT+-

(i)

Comparando los coeficientes de dT y dp en las ecuaciones (h) e (i) , y utilizando la ecuación de Maxwe1l9 .14,

C

=T~) aT

p

(9.29) p

También

1 ap JT -

T [ah

1= apas J + - av )

V

T

aT

p

(j)


300 Termodinámica

Sustituyendo (j) en (h),

av) dp

ds= -c p dT- T aT

(9 .30)

p

En la ecuación 9.30 se observa que la diferencia de entropía entre dos estados puede determinarse mediante un conocimiento del calor específico cp(T, p) y la información adicional suministrada por una ecuación de estado. La diferencia de calores específicos cp - C u puede obtenerse igualando las expresiones 9.28 y 9 .30 , esto es, cp

- C

u

dT

T

=~) dp + ap ) dv aT p aT u

La diferencial dT puede eliminarse de esta expresión si se nota que T

dT= -oT op

=

T(p, v) y

1

dp+ -OT) dv OV p

Por tanto, Cp -

aT) dp+

Cu

ap

T

u

Cp -

Cu

T

aT) dv

OV

p

= -ov) dp+ -op) dv

oT

p

oT

u

De esta última ecuación se desprende que

c -c p

o, puesto que

u

=T ~) oT

p

op) oT u

(9 .31)



301

se obtiene también que

e -e u

P

=_T~)2 dP) dT

p

dv

(9 .32)

T

Puesto que el término ov/ (7)~ es siempre positivo o igual a cero por estar al cuadrado, y el término op/ov)y es siempre negativo debido a que en toda expansión isotérmica la pre sión disminuye, el calor específico cp siempre es mayor o igual que el calor específico cu. La igualdad de cp y C u ocurre cuando ov/(7) p es igual a cero, es decir, cuando la sustancia tiene su densidad máxima. Cuando la temperatura se aproxima al cero absoluto, los calores específicos cp y C u tienden a ser iguales . Por otra parte, el valor de 0u/(7)p por lo regular es pequeño en el caso de líquidos y sólidos y, en consecuencia , la diferencia entre los calores específicos a presión y volumen constantes comúnmente es pequeña en estas fases. De aquí que sea usual mencionar sólo el calor específico c para estas fases. Con las ecuaciones 9.31 y 9.32 se establece que los calores específicos a presión y volumen constantes se relacionan de forma íntima a través de una ecuación de estado, por lo que sólo es necesario conocer uno de ellos para determinar el otro. Además, debe tenerse presente que la sola determinación de ellos como función de la temperatura no constituye en sí un conocimiento completo de los mismos, pues , en general, C u = cu(T, v) y cp = cp(T, p) . Por ello , conviene analizar ahora la dependencia o variación de los calores específicos con respecto al volumen y a la presión ; a partir de la ecuación 9.27 y la ecuación de Maxwell 9.13,

dCdv

U

-~T ~ )

)

T

dv

dT

u

-T ~~) -T ~~) dv dT

u

dT dv

T

-T ~ op) oT oT u En consecuencia,

(933)


302

Termodinámica

Del mismo modo, a partir de la ecuación 9 .29 y con la ecuación de Maxwell 9.14, tenemos

OC 1- o T os) - T o os) op T OP oT op oT p

p

-T~~l oT op

p

T

De esta manera,

OCPl op T =-T~J oT 2

(9 .34) p

Las ecuaciones 9.33 y 9 .34 permiten calcular la variación con respecto a la presión o volumen de los calores específicos . Puesto que en el límite, cuando la presión tiende a cero (o el volumen específico tiende a infinito), todos los fluidos se comportan como gases ideales, la información mínima requerida para determinar por completo los calores específicos de una sustancia pura supone sólo el conocimiento de una ecuación de estado y la variación con respecto a la temperatura de uno de los calores específicos en su estado de gas ideal, es decir, Cpid(T) o cuid(T) . Partiendo de los resultados anteriores también puede calcularse el cociente de calores específicos k. Por definición,

1

os op) op T oT s k = os) ov) OV T oT

s

1

OV) op) oT oT s op) Ov) oT u oT s p

ov op) op) _ OP OV s ov op) oT OV T p

s

-ap-)

u



303

Finalmente,

k-

Op) ~J oV

s

op T

(9.35)

Debe decirse que no es posible obtener una expresión para la relación de calores específicos k en términos de una ecuación de estado solamente, ya que la entropía siempre aparece por lo menos en un término. Debe advertirse también que no sólo una ecuación de estado debe suministrar la información correcta con respecto a la presión, volumen y temperatura de una sustancia en un estado específico , sino también que sus primeras y segundas derivadas deben ser exactas , dada la trascendencia que tienen en la evaluación correcta de otras propiedades .

Ejemplo 9.3 Determine el calor específico a volumen constante C v = C v (T, v) para un gas que obedece a la ecuación de estado de Beattie-Bridgeman. Dicha ecuación es de la forma

donde, E = c/ vT3 A = Ao{1 - a/v) B = Bo{1 - b/v) Solución

Partiendo de la ecuación 9 .33,

Diferenciando la ecuación de estado,

Por consiguiente,


304

Termodinámica

Integrando esta última expresión entre

vI ~

00

y V2

=

v,

Ejemplo 9.4

Demuestre que el calor específico C u para un gas que obedece la ecuación de estado de Van der Waals sólo depende de la temperatura. Dicha ecuación de estado es de la forma

RT a - - 2 v- b v

P= -

Solución

Mediante la ecuación 9.33 y diferenciando la ecuación de Van der Waals,

En consecuencia,

Ejemplo 9.5

Con las tablas del refrigerante, estime el calor específico cp del refrigerante 12 a una temperatura de 50 oC y una presión de 2 bar.

Solución

Según las propiedades del refrigerante (Ref. 5), a 2 bar y 40 oC, 2 bar y 60 oC

h= s = h= s =

214.97 0.8184 227.90 0 .8585

J/ g J/ g K J/ g J/ g K



305

Mediante la ecuación 9 .29 , = T

C

~) = (323) 0.8585 - 0.8184 aT

p

=

60 - 40

p

0.65 J/ g K

Por supuesto, el calor específico cp también puede determinarse mediante su definición. Esto es,

ah ) =

c p = aT

p

227 .90-214.97 =0 .65J/ K 60 - 40 9

9.4 Energía interna, entalpía y entropía A continuación se desarrollarán expresiones generales para determinar las diferencias en energía interna, entalpía o entropía para una sustancia pura. Energía interna. Si se usa la ecuación 7.16 y se nota que u = u{T, v) , du

= T ds -

p dv

= T[~) dT + aT u av

as)

du

dV] - pdv T

~ c. dT + [ T ~: )T -+V

Mediante la ecuación de Maxwell 9.13,

du =

Cu

dT + [ T

~~

1- 1 p

du

(9.36)

La diferencia de energía interna entre dos estados (TI' vI) Y (T2, v2) puede calcularse integrando la ecuación 9.36. Dicha expresión requiere que se conozca el calor específico Cu{T, VI) o cu{T, v2)' y una ecuación de estado. Como alternativa, la misma ecuación requiere el conocimiento del calor específico ideal Cpid{T) o cUid{T) Y una ecuación de estado. Entalpía. Con la ecuación 7.17 Y con h

=

h{T, p),

dh = T ds + v dp


306

Termodinámica

Mediante la ecuación de Maxwell 9.14,

(9 .37)

La diferencia de entalpía entre dos estados.dados (T1, Pl) Y(T2• P2) puede calcularse mediante integración de la ecuación 9.37. Dicha expresión requiere conocer el calor específico cp (T, Pl) o cp (T, P2) Y una ecuación de estado, o que se conozca el calor específico ideal Cpid(T) o cuid(T) y la ecuación de estado. Entropía. Las diferencias en entropía pueden calcularse a partir de las ecuaciones desarrolladas en la sección 9.3. Si s = s(T, v) ,

ds = Cu dT + dP ) dv

T

dT

u

(9 .28)

De manera análoga, si s = s(T, p) ,

dV)

Cp ds=-dT-T dT

p

dp

(9.30)

Puesto que la energía interna, la entalpía, la entropía, etc. , son propiedades termodinámicas, cualquier diferencia que ocurra en ellas depende única y exclusivamente de los estados inicial y final del proceso. En consecuencia, la evaluación de la diferencia de una propiedad entre dos estados puede realizarse a través de la trayectoria o trayectorias que sean más convenientes para el cálculo y que conecten ambos estados. Considere, a propósito, el cálculo de la diferencia en entalpía que existe entre el estado 1 y 2 como aparece en el esquema de la figura 9.1. Puesto que en el límite, cuando la presión tiende a cero, c p ~ cpid Y Cu ~ cuid, es conveniente seleccionar la trayectoria 1-a-b -2 para calcular la diferencia en entalpía. En estas condiciones,



generales

307

Para evaluar el primer término del miembro derecho de esta ecuación, se puede utilizar la expresión 9.37 manteniendo la temperatura constante con un valor igual a TI' Es decir,

!1hI_a =

fP*[v p¡

]dP

TI~)

aT

P

donde p* es un valor de presión lo suficientemente pequeño para que el fluido se comporte como un gas ideal, es decir p" ~ O. De manera semejante, a fin de evaluar el segundo término basta conocer cp¡).T), puesto que la presión del proceso a-b permanece constante. Es decir, 9.37)

11 1I1111

tegraI

P2) Y ación

Por último, para el proceso isotérmico b-2, la diferencia en entalpía puede calcularse mecuante esta expresión

as en

Llhb-2

= fP2 [v p*

T2~)

aT

p

1

dp

(9.28) T

e

b

(9.30)

lquier ceso. arse a ecten tre el resión Icular

a r------

(T2, P2)

I

T

I I

I I

I

I

I I I

I I

I I I

I 1

1

..•.... -------------.J (T"Pl)

I

I

I

d

P

Figura 9.1. Cálculo de la diferencia en entalpía.


308

Termodinámica

Sumando los tres términos anteriores se obtiene que

llh l_2= fP' [v - TI ~J ]d P aT PI

P

Observe, pues, que la información mínima y suficiente para evaluar la diferencia en entalpía o cualquier otra propiedad de una sustancia pura (sin experimentar cambios de fase) consiste en una ecuación de estado y un calor específico ideal. Este último puede localizarse en la bibliografía, o determinarse (de forma analítica o experimental) con relativa sencillez (Ref. 3). Siguiendo el mismo razonamiento, se puede evaluar la diferencia en energía interna u otra propiedad si las variables independientes que fijan el estado están dadas por la temperatura y el volumen específico. En este caso, como puede apreciarse en el diagrama de la figura 9.2, una de las trayectorias posibles para realizar este cálculo sería la trayectoria 1-a-b-2, donde la trayectoria isométrica a-b se realiza a un volumen específico lo suficientemente grande para que el gas ideal sea obedecido. Es decir,

L1u =

fU' UI

[TI op) - p] dv + oT

u

donde v* ~ oo. Por supuesto, estas trayectorias no son las únicas que pueden emplearse. Al considerar el cambio de entalpía entre los estados 1 y 2 de la figura 9 .1, se pueden también utilizar las trayectorias 1-c-2 o 1-d-2. La primera requiere, aparte de conocer la ecuación de estado, información referente al calor específico cp (T, PI)' Y la segunda trayectoria requiere el calor específico cp (T, P2). De la misma manera, la integración de la ecuación 9.36 para determinar la diferencia de energía interna entre los estados 1 y 2 de la figura 9 .2 requiere, además de conocer una ecuación de estado, información concerniente al calor específico Cu (T, VI) si se selecciona la trayectoria 1-c- 2 o Cu (T, V2) si se selecciona la trayectoria 1-d-2. Sin embargo, dado que los calores específicos ideales pueden obtenerse con facilidad, se selecciona, por lo común, la trayectoria 1-a-b-2 en ambos casos.



309

T

e

(T2,V2)

r- - - - - - - -

I I

b

A

~---------1I''rr--1

¡ I

I

I

I I I I

I

I I I I

I

Id

I

a

(Tl, Vl)

O()

v

Figura 9.2. Cálculo de la diferencia en energía interna.

Ejemplo 9.6

Determine la forma general que debe tener una ecuación de estado para que la energía interna de una sustancia pura sea función únicamente de la temperatura. Solución

A partir de la ecuación 9.36,

ou) ov

T

=T OP ) -p=O oT u

o sea,

1. OP) PoT

u

1 T

Integrando esta expresión con respecto a la temperatura T In p

o también

=

In T + f(v)


310 Termodinámica

Es decir, para que la energía interna de una sustancia sea función únicamente de la temperatura se requiere que la relación p!T sea una función sólo del volumen. De lo anterior también se desprende que la energía interna de toda sustancia que obedece a la ecuación de estado de los gases ideales (pv = depende nada más de la temperatura.

Rn

Ejemplo 9.7 Demuestre que la energía interna de un gas que obedece a la ecuación de Van der Waals depende de la temperatura y el volumen específico. Dicha ecuación de estado es de la forma

RT v- b

a v

p=---2

Solución Mediante la ecuación 9.36,

dU) =T dP ) _ p=~2 dv

dT

T

v

v

Integrando esta expresión con respecto al volumen específico, u

= -~v + f(T)

pero, según el ejemplo 9.4,

En consecuencia,

9.5 Cambio de variable Dado que la mayor parte de las ecuaciones de estado son explícitas en presión y temperatura pero implícitas en volumen, es frecuente realizar cambios de variable para evaluar diferencias en las propiedades, pues la sola determinación del volumen en forma explícita (como en la ecuación 9.37) puede resultar en extremo difícil o imposible. Por otro lado, algunas de las expresiones desarrolladas con anterioridad permiten la evaluación directa del cambio de una propiedad entre dos estados fijados por la temperatura y el volumen, pero no por la temperatura y la presión.



311

Como una mera ilustración de los posibles cambios de variable y la técnica que debe seguirse, suponga que se desea evaluar la diferencia de energía interna entre dos estados dados por (PI ' TI) Y (P2' T2). Este cálculo requiere un cambio en la variable independiente de la ecuación 9.36. Puesto que v = v(p, T),

dV) dp+dV) dT dv=dp T dT p Sustituyendo esta relación en la ecuación 9.36,

P ) -dV) - PdV) du= cu +d- ] dT [ dT udT p dT p

+ [T d P ) dT u

p] dpdV)

dp T

Reemplazando la ecuación 9.31,

(9 .38) en donde u = u(T, p). La ecuación anterior también pudo obtenerse mediante la definición de entalpía. Esto es ,

du

=

dh - d(pv)

=

dV)

dV)

=dh-p -

dp

dh - pdv - vdp

dp-p T

dT

dT-vdp p

Sustituyendo la ecuación 9 .37 y arreglando,

(9.38)


312 Termodinámica

La ecuación 9 .38 implica, para su integración entre los estados (PI , TI) Y (P2, T2), un proceso isobárico y uno isotérmico, y requiere que se conozca una ecuación de estado, además de Cp(PI , T), cp (P2' T) o cp id(T). Debe advertirse que la ecuación 9.38, aunque explícita en los límites de integración (PI' TI) Y(P2, T2), puede resultar de difícil manipulación al contener términos de la forma ov/oT)p y ov/ OP)T. En estas circunstancias, puede ser más apropiado el empleo de la ecuación 9.36.

9.6 Ecuaciones de Bridgeman El método empleado para obtener las relaciones presentadas con anterioridad no es de ninguna manera el único que puede seguirse. Si se consideran las ocho propiedades independientes p, v, T, u, h, s, a y g, es posible desarrollar 168 derivadas parciales independientes, a saber, op/ oT) v, op/ ou)v' op/ oh)v' op/ os)v' op/ oa)v' op/ og)v' OP/ OV)T' OP/ OU)T' OP/ Oh)T'···' op/ ov)u' op/ oT)v' ... ' op/ oa)g' ov/ oT)p, ov/ ou)p' ov/ oh)p' ... ' ov/ og)p' ...' ov/ os)a. La tabla 9 .1, desarrollada por Bridgeman (Ref. 4), permite la evaluación directa de cualquier relación que involucre p, v, T, u, h, s, a y g, en términos de p, v, T, oV/OP)T' ov/oT)p, cp y s. Los jacobianos pueden obtenerse con facilidad en función de las variables independientes T y p . A manera de ejemplo, considere las siguientes relaciones (dv)p = J(v, p) = -J(p, v) = -(dp)v

Mediante la ecuación 9.7,

J(VP)=~) , oT

p

opJ

op T

- ~J op) =~) op T oT oT p

p

Por tanto, (dv)p

=

-(dp\

=~) oT

p

Esta relación concuerda con la primera expresión presentada en la tabla 9.1. Considere en seguida la relación (dg)p = J(g, p) = -J(p, g) = -(dp)g

Con la ecuación 9 .7,

opJ -

J(g p)= Og) , oT p op T

=

~~l

OgJ op) op T oT p



313

De acuerdo con la ecuación 9.22,

~~

1

=-$

Por consiguiente,

(dg) p

=

-(dp)g =-5

El uso de las ecuaciones de Bridgeman simplifica mucho la obtención de cualquier relación entre propiedades termodinámicas. Considere, a manera de ejemplo, que se desea calcular la velocidad del sonido c en ciertas condiciones de presión y temperatura. Dicha velocidad puede evaluarse mediante la expresión

2

(dp)5 (dV)5

=-v - -

Al sustituir las expresiones 5 y 10 de la tabla 9.1 se obtiene que,

-v2

2

C= dV J dp

T

T

dV (J2

+ Cp dT

p

En el caso de un gas ideal, la velocidad del sonido queda determinada mediante la expresión C2 =

Ejemplo 9.8 Con la tabla 9 .1, determine du/dv)T.

kRT


314 Termodinámica

Solución 1, ••

111

Según las expresiones 13 y 14 de la tabla 9.1,

av) + p_Jv

T_

av) = (dU)T = aV T (dv)T

=

-T~) aT

aT

p

av

ap ap) p

J

ap

J

T

T

-p

av T

pero

Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman.

(du)p

3

= -(dp)u =

cp

(dh)p

5

(ds)p=-(dp)s= (da)p

6

8

9

,

-

p ~~

p

e

;

= -(dp)o = -[s

+P

= -(dp)g

=-s

(dg)p

(du)u =-(dv)u =cp ~)

ap

(dht=-(dv\=cp

1

= - (dp)h = c

4

7

p

(dT) p = -(dp) T = 1

2

-",

=~)aT

(dv)p =-(dp)u

1

av] ap

~~

+T~ T

+T~J T

aT

1] aT

J

p

-v~) p

aT

p

(Continúa)



generales

315

Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman. (Continuación)

10

(ds). = -(du)s = -1 [ T

C au) + T- au ap T aT p-

J] p

(da)u = - (du)o= -s ~~ Jr

11

11 11I1

1.11

12

(d9).=-(dU)g=-[u~)

15

(duh

aT

= -(dT)h = -u

16

(dsh

17

(da)T

19

= -(dT)o

=

)

aT

p

-(du)o =

{dg)u = -(du)g

p

JT

au ap

=

-u

T

+T~J] aT

p[Cp~)ap

T

p

+ T~

aT

= -u[ cp -

p

J] p

ap T

+~l+p~ll aT

1]

= -u[ cp - p :;

+S[T~)+P~)] aT p

21

ap T

+T~

=p

-(dT)g

=

(dht = -(dU)h

(da)u

J

+ p~ p

aT

-p[cp~) ap 20

J

= -(dT)s = ~ )

(dg h-

18

P T

= -(dT)u = T ~

(dh)T

Itll

+s~)] ap T

p

= - ~u J

(dU)T = -(dT)u

13

14

aT

ap

p :;

1]

T (Continúa)


316

Termodinámica

Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman.

(Continuación)

1]

.,1 (da)h = -(dh).

22

= -[s

+ p :;

paCJuP J

[v - T :;

1]

+pC

T

pero,

23

(dg)h = -(dh)g = -u(cp

24

(du), =-(ds)u

+

=~[cp ~~

(dh), = -(ds)h =

25

s) + Ts~

) CJT p

l 1] +

T :;

--fvc

Il

"1 1

(da), = -(d,). . = T +,00CJp T +T CJp do .

26

(dg) =-(ds)

27

s

(da), = -(dg). =

28

9

=![VC T

P

-ST~)

CJT

-+ ll+ p dO CJp

T

,T ~)

p

P

CJT

]

po~ ) CJT

p

)

Por ce

p

9.7 I Come miento

Por tanto,

dU) dv

T

_ydP) dY

_ P v

inforn dos. 1 COS pl

camb

A Ejemplo 9.9 Demuestre que dh)s

mente =

-vcp.

Enta

Solución

obten a cer


exclu



317

ah] dS) dP

T

dT

p

pero,

ah]

dp

T

- V-T~) aT

~) dT

-

P

p

C

TP

Por consiguiente,

9.7 Ecuaciones de desviación Como ya se demostró, la información aportada por una ecuación de estado, aunada a un conocimiento de uno de los calores específicos, ya sea a presión o a volumen constante, constituye una información completa para determinar la diferencia que experimenta una propiedad entre dos estados. También se demostró que mediante la selección de trayectorias apropiadas, los calores específicos pueden reemplazarse por sus valores ideales. Esta información mínima presupone la ausencia de cambios de fase en la sustancia analizada. A continuación se desarrollarán expresiones generales para calcular la desviación que experimenta una propiedad, entre un estado determinado y su estado como gas ideal.

Entalpía. La entalpía de un fluido con respecto al valor correspondiente como gas ideal puede obtenerse con facilidad integrando la ecuación 9.37. Puesto que en el límite, cuando la presión tiende a cero, todos los fluidos se comportan como gases ideales, la entalpía depende de forma única y exclusiva de la temperatura en estas condiciones. Entonces, si se integra la ecuación 9 .37 , tenemos


318 Termodinámica

(9 .39)

La ecuación anterior permite evaluar la desviación en entalpía de un gas real entre un estado determinado y su estado correspondiente como gas ideal. Entropía. De la misma manera, la entropía de un fluido con respecto al valor correspondiente como gas ideal puede obtenerse mediante la ecuación 9.30. Sin embargo, antes debe mencionarse que, a diferencia de la entalpía, la entropía de un gas ideal no sólo depende de la temperatura sino también de la presión . A una temperatura dada,

s(p, T)- s(O, T)= -

l ov) p

-

o oT

dp p

Esta ecuación evalúa la entropía de un fluido con respecto al valor correspondiente cuando la presión es igual a cero y su valor es infinito. Así, para un gas ideal, se tiene

De estas ecuaciones se desprende que

s(p, T)-

El estado representado por

$¡d

S¡d

(p, T)=

fP[R -~) Jo P oT

P

]dP

(9.40)

(p, T) es ficticio, aunque se le pueden asignar valores.

Energía interna. La desviación entre la energía interna de un fluido y su estado correspondiente como gas ideal puede calcularse integrando la ecuación 9.36, teniendo en cuenta que la energía interna de un gas ideal sólo depende de la temperatura cuando el volumen específico tiende a infinito. Es decir,

(9.41)



319

Mediante el mismo razonamiento se pueden obtener ecuaciones de desviación para otras propiedades. De la relación 9.39 a la 9.41 pueden expresarse también en términos del factor de compresibilidad generalizado z mediante el empleo de presión y temperatura reducidas. Para ilustrar este punto, considere la desviación de entalpía. Introduciendo la ecuación de estado pu = zRT en la ecuación 9 .39,

~) =Rz +RT~) aT

p

P aT

p

p

Por consiguiente,

(9. 390)

Con el mismo razonamiento pueden obtenerse las siguientes expresiones para la entropía y la energía interna

S(p, T)- Sid(P, T)= Rf:'(l- z) d (in Pr) h-hd + __ 1-

(9.400)

TrTc

(9.410)

Las figuras 9.3 y9.4 presentan de manera gráfica las desviaciones de entalpía y entropía, respectivamente, como funciones de la presión reducida para diferentes valores de temperatura reducida . Ejemplo 9.10 Derive una expresión para calcular la desviación cp(p, T) - Cp Solución Mediante la integración de la ecuación 9.34,

id (T).


320 Termodinámica

-

5.0

..... r--

4.0

~

"

V

3.0 I

2.0

- t---.

Curva. de saturació'( :

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'1

V (

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0 .80

I

"

0:" 0.60

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i

I

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7

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0.10 , 0.08

V1~ ~

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V

0.06 , 0 .0 5 0 .1

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I 0.2

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0.4

0.6

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1/ VV 1/ 0 .30 c(-; ~/ V 1/ // 1I 11/ V l/ I / ~"" ¡¡ I /' V I / 1; / /' V l' V V ~ 0.20 ~ ~y /V V I I) 1/ VA'.I l/ ~/ / V ./ / V · V . / ' / /' V I~ f 11 , ..... V 1I: / /' ) / ~ Vil iI 7 V

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/

T

l'

V

/

, 0.8 1.0

i 2

¡ 3

4

6

8

10

Presión reducida, P r ( 1)

Figura 9.3. Desviación de entalpía.

Ejemplo 9.11

Calcule el cambio de entalpía que sufre el dióxido de carbono cuando se comprime de forma isotérmica de una presión de 147 .74 bar y una temperatura de 365 K a una presión de 738.7 bar. Las constantes críticas del CO 2 son: Te = 304.2 K, Pe = 73.87 bar.



4.0

! I

r"

3.0

I

2.0

./

1/

./

1/

1/ "

..

~_.

Curva de saturación

1.0

r:-'J 1 1

// /

l1'

0.60

// /V

~"

~/V/

(;) 0.40

.-::;Vl' O· \:> 'O~ -"'\~ / ~ )~illf"/

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0 . 10 0.08

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V ,/

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/

V

/

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V

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V

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1

/ / / V 0.6

'l'V ~

/

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I

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/

I

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V

/ I

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I"'~

0.8 1 .0

2

(1)

Figura 9.4. Desviación de entropía.

Solución Para calcular la presión y la temperatura reducidas, _~_147.74_2

Prl - Pe -

i......

/

Presión reducida, P,

73.87 -

_~_ 738.7 -10 Pe - 73.87 -

-

L

/

~

V/

~

~

../

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1/

11' L

'1'

V

......

V

/

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P r2

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,/

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0.4

/

/

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V '1'/ "/ I 0.3

11

Á,c ~o " I~~ I~\:>V"., ~ y; ~. ~~~ I

V

/ V /

/

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~

11 V / /lI ~ V 11

/

~

l'

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0.04 0.1

/

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V ,/

~

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I

/

./

/

If

V

0 .80

0.20

1

I

,

~

3

4

6

8 10

321


322

Termodinámica

T 365 TrI = Tr2 = Te = 304.2 = 1.2 Según la figura 9.3, P r = 2 Y T r = 1.2,

De manera similar, a P r = 10 y T r = 1.2,

Por consiguiente, h2

-

hl

=

(304.2)(8.3143)(3 .3 - 2) = 3288 J/ gmol

=

74.7 J/g

Es importante destacar que las ecuaciones del gas ideal predicen un cambio en entalpía igual a cero en estas mismas condiciones.

9.8 Cambio de fase Considere ahora un cambio de fase de líquido saturado a vapor saturado seco mientras la temperatura se mantiene constante. Dado que la presión también permanece constante durante un cambio de fase isotérmico, la ecuación 7.17 se reduce a

dh

=

Tds

(9 .42)

Integrando esta expresión se obtiene que s - s g

¡

h - h¡ = -,g,,-----,T

(9 .43)

Esto es, el cambio en la entropía durante un cambio de fase a una temperatura T puede evaluarse si se conoce la diferencia en las entalpías hg y h¡De forma similar, el cambio en la energía interna durante un cambio de fase puede evaluarse con la expresión (9.44) Es decir, el cambio en la energía interna durante un cambio de fase a una temperatura T puede evaluarse conociendo la diferencia en las entalpías y en los volúmenes específicos.


9 Relaciones termodinámitas-~generales

323

La diferencia en entalpías requerida en las expresiones 9.43 y 9.44 puede evaluarse a partirxte conocer la línea de saturación. Considere ahora la relación de Maxwell

.

I .

",

Puesto que la presión de s¿f8i¿;2i6g;':dutáRté:;~~ ¿bh1~ld¡(d~:ifa~~f'~) tdril¡;~fa.t¿i'a ' 28;r~táh{~Tdeberid~ única y exclusivamente de la temperatura, ~

El miembro derecho de la ecuación de saturación. En consecuencia,

,;

"

anterid~ ~~eda .d it;~~inado cuando se especifica la temperatura

,A;: " ' "

,,1 \,

(9.46) {',(

Sustituyendo la ecuación 9.43 en la 9.46 se ,opfiene :

(9.47) "..

~~\~~:. ,~):::-T.

:',' i

Esta relación se conoce como ecuación de Clapeyron. Desde luego, las expresiones ant~riqrespueden emplearse durante la fusión y sublimación a .' "','; temperatura y presión constantes. La ecuación 9.47 puede simplificars~:co~ lo~,'siguie~tesdos postulados: i. 'i Si se supone que uf es despreciable con respecto a ug • ii. , Si la presión es lo suficientemente baji)l pa~aque ug se pueda evaluar mediante la ecuación de estado de los gases ideales, es decir, ug ~, f?T/R' En estas condiciones, ..

.:

t

0_."

,(9.49)


324 Termodinámica

o bien,

(9.50)

Esta última relación se conoce como ecuación de Clausius-Clapeyron.

9.9 Resumen Las ecuaciones de Maxwell relacionan la entropía con otras propiedades fácilmente determinables, como la presión, el volumen y la temperatura. Estas propiedades son

Los calores específicos cp y

C

u

se relacionan entre sí a través de las expresiones

c -c

u

p

c -c p

u

=T~) dT

P)

p

=-T~J2 dT

p

d dT

u

P)

d dU

T

de donde se desprende que el calor específico cp siempre es superior o igual al calor específico CU. La dependencia o variación de los calores específicos con respecto al volumen y la presión queda establecida a través de las relaciones


325


y así,

~;

1

= -T :;~),

El cociente de calores específicos k puede determinarse a través de la ecuación

k = dP ) dU dU s dp

1 Jr

Las diferencias en energía interna, entalpía y entropía pueden evaluarse a través de las siguientes relaciones generales

du = cvdT + [T ~~ dh

= cpdT -[T

p

:a-+p

dS=~dT-~) T

1- ]dU

dT

dp

p

En la tabla 9.1 se presentan las ecuaciones de Bridgeman y permite la evaluación directa de cualquier relación que involucre las propiedades p, u, T, u, h, s, a y g. En el apartado 9.7 se presentan expresiones generales para calcular la desviación que experimenta una propiedad, entre un estado determinado y su estado como gas ideal. La ecuación de Clapeyron permite correlacionar la línea de saturación con el calor latente de vaporización y la diferencia de volúmenes específicos ufg . Esto es, dP )

dT

_ sal

hg - hf

T(u g

-

Uf)

Problemas 9.1

El cobre a 227 oC tiene las siguientes propiedades:

8930 kg/m 3 f3 = 54.2 X 10-6 K-l lCT = 0.837 X 10- 11 m 2 j N p

=

Determine el porcentaje de error que se haría en

C

v

si se supone que para el cobre cp

=

ev'


326 TerlT!pdjnál11j\A ~ _', '." 9.2

<.

Demuestre que el coeficiente de Joule-Thomson p\.lede expresarse en términos de una ecuación de estado y el calor específico cp mediante la .relación

tI

=~ [T ~) cp aT

- v]

p

9.3

9.4

Un cierto flujo c!.e air~ s~ encuentra en un proceso a una temperatura c!.e 210 K, a lIna presión de 0.3 bar y éon u'n número de Mach igual a 2. Calcule la velocidad del aire suponiendo que k = 1.4. Demuestre que para un gas ideal cp - c u = R cp = cp (T) CU ~ C U (T) u

=

u (T)

h = h (T)

9.5

Demuestre que los coeficientes de expansión volumétrica f3 y compresibilidad isotérmica están relacionados con los calores específicos cp y C u a través de la expresión

C p

9.6

/(T

vTf32 -c = - u

/(T

Derive la relación

ah) _T ap ) + v ap ) av T aT u av T y determine

ah/ avh para un gas ideaL Respuesta : ah/ OV)T = O

9.7

Demuestre que para un gas que obedece a la ecuación de estado de Van der Waals,

v - b

L1slT=C = Rln - 2 -b VI -

9.8

Estime la desviación de entropía del dióxido de carbono a una presión reducida igual a 3 y a una temperatura reducida igual a la unidad. "

' .... '

-

.(,:-,

,'~'.

.~

.

'

..

http://carlos2524.jimdo.com/ 9 Relaciones termodinárfíidísg~?íer¿le~

327

9.9 ' El comportamiento pvT de' uh ga:~ ! en' algunos éifado~: 'terri1odinárrúcós : f-iukde- desc~ibirse a . tra,Jés 'd e úha ecuaci'ári' deesúid6d'e'fa forma z == 1::: ";:' apJT4 ;,';dorid~' z'. ~~ el fáCfbf'\:le 'compresibilidad y a"es ú'n~ c~l1stahte : Obt~~ga una expresi6ri par~)ta1c6láda"affer~ndacp~' e u' 9.10 Demuestre, con ·las e¿uacionesd~Maxwen, que :. " : . .-'~ :" ,,,,,,,' . t.

:~.

..

L

(

9 .12 D"eriv~ la rel~dón

_"

.

,

9.11 Demuestre

!

i.

,

~

:..."

-.

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\.

.

9.13 Describa una técnica para calcular latemper.atura final Tii:t¡ueákán~a :Urf gasi tea:!' ál:comprimirse de manera isoentrópiea; de una.:pmsión P1 : yiuna 'ternperaturél.~Ti 'a t úla¡p're'sionfinal P2' 9.14 Considere la siguiente ecuación de estado virial pv

=

RT+ bp

,<;lqQde, pflra el:-' pitr.ó~eI).
",! •

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a

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<)~ 3-;f"~:_~it~.i ..

9.~,!i D~mu~s.tr~ F!';le}a,funfi,ón. g ) S?(p" J) ~onsti~ye un~ .~c.l-l~cjqº ,9~ ~.st9d9' ,cr9IBpl~t? d; ~, r:<.>. l' 9.16 El agua líquida a la presión atmosférica tiene un estado de máx.i:f9~A~~sidarraL.l)°S:.!~qJ?!pxima-

."" ,d?fPE\~(te,:: ?Q,l.;l,é ¿;e:l~~~~~ E8T),d,lfi;.. ~pp;~~~ Ó;~!9!?}rs;:>" '1

nÓi::;'h'iS:' !"r;

;"i)J'O',\·i(;C).

í';:.'.~" ':l.
a) 3 OC?

b) 4 OC? e) 5 OC?

Orf:(U

. .:.,:)!(1.·;J.?~"

-"("

.......:.

9.17 Se desea calcular la díferencial eri)énergí~ihtérna pa~a\'¡~ gas n3áP'én(~e dos estados dados por TI' PI Y T2, P2' Desarrdle una expresión para calcular du a partir de las ecuaciones de ::~'l

·~Bt-idgemarn c: r>(.~;-'t.:~:" ..-C~f-'" ~= 9.·:vr.~·.~~~ -;;~.: ..~- :~, :':;.J)\~:::~'!"':"'-'. ~ ;~~ nc~i:.'~:u1 ~.,«)~.{. ;~):'~'~~I"::~i~.~~~t


328

Termodinámica

9.18 Calcule el cambio de entalpía y entropía de un gas real a lo largo de un proceso isotérmico entre las presiones PI y P2' Suponga que en este intervalo de presiones el comportamiento puT del gas se representa con bastante precisión por la relación u= RT/ p + b- a/ RT, donde a y b son constantes. 9.19 Con base en el problema 9.18, obtenga el cambio isotérmico con la presión de ep ' Respuesta:

2a(P2-PI)/RT2

9.20 La siguiente información corresponde a la línea de saturación líquido-vapor del agua: Psat ' kPa

467.7 468.8 469.9

1378 1413 1448

Determine el calor latente de vaporización del agua a 1413 kPa. La diferencia de volúmenes Ufg a esta presión es 0.1383 m 3/kg.

9.21 Mediante la ecuación de Clausius-Clapeyron determine la presión de saturación del agua a 40 oC, si a 35 oC vale 0.5628 bar y el calor latente de vaporización es 2418.6 J/ g. Suponga que hfg es esencialmente constante en este intervalo de temperatura. Compare su respuesta con el valor que indican las tablas del vapor de agua. 9.22 Con la ecuación de Clapeyron, determine el calor latente de vaporización

20 bar; b) del refrigerante 134 a O oc.

a) del agua a

9.23 Con la ecuación de Redlich-Kwong, desarrolle una expresión para calcular el cambio de energía '¡nterna entre dos estados que tienen la misma temperatura, TI = T2 , pero distintos volúmenes específicos UI Y u2' 9.24 Los volúmenes específicos del agua como sólido saturado (hielo) y como líquido saturado a O oC son ui = 1.0911 cm 3/ g y Uf = 1.0002 cm 3/g, respectivamente, mientras que el calor latente de fusión es hif = 333.4 kJ/ kg. Estime el punto de fusión del hielo a 100 bar. 9.25 Gas metano entra a un compresor a 14 oC y 9.3 bar y se comprime isotérmica y reversiblemente hasta 46.4 bar. Calcule el trabajo por unidad de masa requerido, así como el calor por unidad de masa disipado. 9 .26 La presión de satura~ión como función de la temperatura para el tetracloruro de carbono se establece a continuación:

p, mbar

25

35

45

55

151.7

232.5

345.1

498

Grafique In p como función de l/Ty calcule el calor latente de vaporización promedio en kJ/ kg.



tre las

generales

329

9.27 Cuando llega el gas natural procedente de los pozos, es común que contenga cantidades moderadas de valiosos hidrocarburos pesados (CZH4 a ClOHzz)' los cuales se eliminan antes de que se venda el gas como combustible. Ya limpio el gas -prácticamente metano, CH4-, se comprime hasta altas presiones para transportarse de forma económica por tubería hasta los centros de distribución. Si el gas se encuentra ya limpio a 10°C y 70 bar, y se comprime hasta 350 bar para transporte, determine el trabajo por unidad de masa que requiere un compresor con las siguientes suposiciones

... 1I 1.1

111 1I1

a) La compresión es isotérmica y reversible y el gas obedece la ecuación de estado:

donde z

=

pu/R'T.

b) La compresión es adiabática y reversible y el gas obedece la misma ecuación de estado.

enes

Las constantes críticas del metano se encuentran en el texto. Suponga que el calor específico a presión constante del metano como gas ideal es constante e igual a 2.7 kJ/kg K. ua a onga esta

9.28 Considere un gas en donde su comportamiento z = pu/RT=

p-v- T queda descrito por la expresión:

1 + B/u

en donde B es una constante. Con esta ecuación de estado, determine el cambio de entropía entre dos estados termodinámicos dados por los estados (TI' uI) Y (TI' uz). nerúmedo a calor iblepor o se

9.29 9.30 9.31 9.32

Determine el volumen ocupado por 3 kg de dióxido de carbono a 110 bar y 158°C. Determine el coeficiente de expansión volumétrica del agua a 0.1 bar y 227°C. Estime el calor específico a presión constante del agua a 80 bar y 400°C. Se sabe que el agua a 100 bar y 80°C tiene una densidad de 976.09 kg/m3, un coeficiente de expansión volumétrica de 6.3 X 10-4 K-I y un coeficiente de compresiblilidad isotérmica de 4.49 X 10-4 MPa-l. a) Calcule la diferencia de calores específicos cp-cv' y b) ¿En qué estado -sólido, líquido o vapor- se encuentra el agua en las condiciones de

presión y temperatura señaladas? 9.33 Considere la ecuación de estado p(u-b) = RT ¿Podría emplearse esta ecuación para predecir de forma correcta el calor específico Cv de un gas real? Justifique su respuesta. 9.34 Se tiene metano, CH4, en un tanque a 23 MPa y -25°C. El volumen del recipiente es de 2.20 m3.

¡kg.

a) Determine la masa de metano en el tanque. b) Indique si el metano se encuentra como líquido o como gas.


9.35,( Un recipiente~cilíndrko que mide(Q,2 m de diámetroy l ,om dealtura :co_htien~4 :kg de mo nóxido ~' o,;. :de lcarbo)ifoa,,-,5Q0C. Calc1;Ije 'la pré$lónoo:a bsoluto'a ola 'q tle "éstá el gas '~v :;¡ '.' . f.\~·1 . ) ();i:j,;:JUf ~~J jll~J,~'-·.G · .!I·'~-: , :

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a) .Utilizando::e:lrfactbf 'de 'G:dnipréSibilidadrgeneralizado;';s\!lpbA'gá qtiéT~· = :;m3 ' K(p¿ ='85 bar. b) Suponiendo que'sé 'c orhportá 'G0rTIoc:uii:gas iideaL·é,o;¡: ',' :é.: .·,.:..Í:> .:Ji! oo.i} o" ,.. ,,' :,,'~

. n ::}-- Recurriendo1a ' la~ 'écUácí6ni l dé Van! del' Wa~ls ,·~·suponga qüe'a :=<'1:47 4 bar (m 3/ kgmol)2 y b = 0.0395 m 3/kgmoL 2:' I(¡;.:~, ·;.. ,/S·;';:: . . ; " . d) Co~ la .ecuación de , R~dlich-Kwong" . suponga que p = 17.22 bar m 6 K1!2/ kgmoI 2 y . 2l) J, ;0~d273 ¡r'rtí3/kgM6 C ;'.0:, i." '. ' ',;':'J.'. ""'JS', '/ t.:..;,rn~~j.:··" :<) -.0 . . ..... : .. I . o

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Referencias ":.-;cr~··~~;,:.j':.

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esquema de la figura 10.1 b, desp\la~áHd6sk\t~1 ~istón?BesClé:~su)púr¡t6iihtiettó '¡fWiHúr ' h'áM~ l~Ü)¡:JciritB fu'ueft8 Csu-PeH

332 Termodinámica

.. .. '

..' .... 'r'..':: .. .

(a)

' . ':

"

'

(b)

.

(e)

(d)

Figura 10.1. Motor de combustión interna de cuatro tiempos e ignición por chispa.

acción de una bujía, incrementándose por ende la presión y la temperatura de la mezcla, mientras el volumen permanece esencialmente constante en su valor mínimo. Como consecuencia de esta combustión, el pistón es lanzado desde su punto muerto superior hasta su punto muerto inferior, como se observa en la figura 10.lc. Durante esta carrera de expansión las válvulas de admisión y de escape permanecen cerradas. Al llegar el pistón a su punto muerto inferior la válvula de escape se abre, iniciándose así el proceso o carrera de escape en que los productos de combustión se descargan del cilindro a la atmósfera. El proceso de escape se ilustra en la figura 10. Id. De esta manera, el cigüeñal gira 720 grados o dos revoluciones para completar los cuatro procesos descritos: admisión, compresión, expansión y escape. ii. Motor de dos tiempos. A diferencia del motor de cuatro tiempos descrito, el motor de dos tiempos concebido por Dugald Clerk en 1878 realiza la misma secuencia de procesos en sólo una vuelta del cigüeñal, esto es, en 360 grados de rotación. La figura 10.2a es un diseño del proceso de expansión. Antes de que el pistón alcance su punto muerto inferior, las lumbreras o puertos de escape en el cilindro son descubiertos por éste, iniciándose así el proceso de escape, como se observa en la figura 10.2b. Al proseguir el pistón en su carrera descendente, las lumbreras o puertos de admisión son también descubiertos y se introduce en el cilindro un flujo de mezcla aire-combustible. Durante el intervalo en que ambas lumbreras permanecen abiertas se lleva a cabo el proceso de barrido,' en el que los residuos de gases de combustión son expulsados a la atmósfera. Este proceso se aprecia en el esquema de la figura 10.2c. Finalmente, el pistón regresa a su punto muerto superior y se completa así la carrera de compresión, como puede verse en la figura 10.2d. Debe mencionarse que la secuencia de procesos en los motores de cuatro y de dos tiempos no constituye de manera estricta un ciclo termodinámico, pues el medio de trabajo cambia de composición

http://carlos2524.jimdo.com/ 10 Ciclos termodinámicos

(a)

(e)

(b)

333

(d)

Figura 10.2. Motor de combustión interna de dos tiempos e ignición por chispa.

química y se renueva de manera constante, aun cuando mecánicamente el motor opera en forma cíclica. Por tanto, es común designar el conjunto de procesos con el nombre de ciclo abierto con fines de estudio. Con el objeto de realizar un análisis termodinámico sencillo, el ciclo Qtto estándar de aire implica varias simplificaciones y suposiciones; el medio de trabajo no cambia de composición química y permanece dentro del sistema, la adición de calor a volumen constante se realiza de forma equivalente a la combustión de la mezcla aire-combustible, los procesos de compresión y expansión son isoentrópicos y los calores específicos ideales son constantes. Los diagramas preSión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Qtto estándar de aire se muestran en la figura 10.3. Uno de los parámetros más importantes en el análisis de ciclos es la eficiencia térmica. De acuerdo con los postulados anteriores,

y así,

En consecuencia, TI = 1 _

1q4-I 1

. q2-3

TI = 1 _ T4 - TI T3 -T2 =

4 /=T:;-I_-....,,1:7') 1 _ -:T:-I_{=T_

T 2 (T3 /T 2

-

1)


334

Terrriodin¡:¡inka

p

T

4

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figur~

1 (}.:3; Diagramas

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p[esi6n~\lolumen · y .temjJeratllr-a-entroj'lí'a de'Un 'CidoOH6,·

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"!-:..

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t!

. '-.':';'" Puesto que-los procesófnde cOmpresión' yexpan~ióh-: gon: adiabáticos ' teverslbles,

! ..

I

-"-'-," ! ".

Por tanto,

.3

/::'

. "

(10,1)

1...~ I

Al definir la relación de compresión r como

.

y notar que

.iJ

'-l-

:; 1 ..- F ;.


335

10 Ciclos termodinámicos ' .~.

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, ,j

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j)

60 . \,

el

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ro 40

'ü ,c ' 'ü

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,, 1 .. , . '

20

Ir' -

.

Á

UJ

,',

,

.'

Relaci'ó ri ,de compresión ;' r .

Figura

10.4. Efkiencia de un ciclo Ottb CO~b fu~ció~ ' .. , de' la relación d'e compre~ión. ',.

la expresión 10.1 puede escribirse de forma alterna como

,

. r¡ =

i '

1¡ -r k-1

(10.2)

La ecuación 10.2 indica que la eficiencia térmica aumenta de manera monotóniea al crecer la relación de compresión r, como se aprecia en la figura 10.4. De ahí la tendencia hacia la construcción de motores de combustión interna con altas relaciones de compresión. Sin embargo, estas altas relaciones de compresión hacen impresCindil?le el empleo,de-2ómbustible's muy refinados que soporten la autoignición, y pueden también dar origen a dificultades en el arranque. De manera análoga, los efectos de la fricción SOn considerables ,3 altas reiacio,nes de compresión: Al mismo tiempo, la ecuación 10.2 indica que la eficiencia ¡t~rmicii\, d~lciclo ,Ott<¡> E1stá~d~r ,de aire d~pende de la relación de calores O', ' específicos k, y es independiente de 'la cargá del mot~r. ' Aunque el motor convencional .de ,Ígnición por chispa no obedece exactamente al ciclo Otto , excepto para relaciones aire/ combustible.9Itas, se obtienen de. éstos análisis conclusiones fundamentales de interés práctico. Pue~to' que la ecuación :1.0".2 es?<:ie forma muy simple, esta expresión por lo regular se ve modificada al darle a: k uri ~a¡or c¿nvenie~te que haga coincidir los resultados experimentales. Otro parámetro importante es la presión media efectiva que se define como una presión constante ejercida durante todo el ciclo, la GUal proporciona Una cantidad de tr~bajo equivalente a él. La presión media efectiva es Un parámetro valioso para efectos de comparación porque indica el buen uso que hace la máquina de su tamaño o desplazamiento, El objetivo en todo diseño es la construcción de máquinas que tengan altos valores de presión media efectiva, Si Pm representa la presión media efectiva, A el área


336 Termodinámica

de sección transversal del pistón y L la carrera o distancia recorrida por él desde su punto muerto superior hasta su punto muerto inferior, entonces (10 .3) donde Wes el trabajo desarrollado por un ciclo termodinámico en un cilindro . La presión media efectiva puede determinarse de modo experimental si se utiliza un diagrama indicador de presión. En la figura 10.5 se observa un diagrama de presión contra tiempo, esto es, la variación de la presión con respecto al tiempo en un motor de combustión interna. Este diagrama presión-tiempo puede modificarse para obtener el diagrama presión-volumen correspondiente mediante las dimensiones de la máquina. Con una determinación del área resultante de este último diagrama y su longitud correspondiente puede obtenerse la presión media efectiva. Si se hace además una gráfica de lag p contra lag V, algunas porciones de los proceso de compresión y de expansión son líneas rectas y puede determinarse el exponente politrópico n real. Ejemplo 10. 1

Considere un ciclo Otto estándar de aire con una relación de compresión de 8. Si las condiciones del aire al iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 oC, y el calor suministrado al ciclo es de 1300 J/ g, a) Determine las presiones y temperaturas en los estados 2, 3 y 4 del ciclo. b) Calcule la disponibilidad del aire en el punto 4 . e) Determine la eficiencia térmica del ciclo.

Figura 10.5. Diagrama presión-tiempo de un motor de

combustión interna.


10 Ciclos termodinámicos

d) Calcule el trabajo neto desarrollado por unidad de masa.

e) Calcule la presión media efectiva. f) Determine el calor disipado en el ciclo.

Solución a) Estado 1 = 1 bar TI = 313 K

PI

(0.287)(313)(10 6 )

RT I

VI = -

= - -- - - - Pl (1 x 105) =

898 .31 cm3/g

Estado 2

P2

=

PI rk = (1)(8)1.4

T2

=

TI

(P2 lPI)~k

=

18.38 bar

= (313)

(18 .38) 0.286 1

= 719.1 K o bien, P2

T2

V2

(18 .38 x 10 5)(112 .29) = (0.287)(10 6 )

=

---¡:r-

=

719.1 K

=

v2

Estado 3 V3

= 112.29 cm3/ kg

Para calcular T 3 ,

y así,

q

T3 = T 2 + -

Cu

1300 - = 2524.7 K 0.72

= 719 .1 + -

337


338

Termodinámica ._

Por último, •

T3

• '

.,1

~:;

2524.7

P3 = P2 T = (18.38) 719.1~' 64.53'1:)ar 2

Estado 4

• ~., i', " .

64.53 ' '-, P4 = -P3r =- = 3.51 bar (8)1.4 . e

k

:

,.

''',::

T = T 3 = 2524.7 = 1098.9 K 4 rk-l (8)0.4 ~ =

P4J Po

- T o e In -T4 - R In -

[

To

p

1098.9 - 313)

= (0.72) (1098.9 - 313) + 0.287 ( 3.51

'1'4

=

284.28 J/g

e) 11 = 1 - _1_

,k-l

11

=

= 1 - _1_ = 0.56 (8)0.4

56%

d) w = 11q2-3 = (0.56)(1300) =

728.0 J/g


10 (iclos termodinámicos

(728)(10) 898.31 - 112.29

w e)Pm=--VI - V2

9.3 bar

=

f)

339

qdisipado =

c o(T4

-

TI)

= (0 .72)(1098.9 - 313) = 572 J/g (=q2-3 - w)

Ejemplo 10.2

Considere un ciclo Otto estándar de aire con una relación de compresión igual a 9. Al iniciarse el proceso de compresión, el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. Durante la adición de calor, la presión del aire se duplica. a) Calcule la eficiencia térmica del ciclo. b) Determine la eficiencia térmica de un ciclo de Carnot entre los mismos límites máximo y mínimo de temperatura.

Solución a) 110

=

1 1 - -k--I

110

=

58%

b) 11c

=

1-T3

r

1 1 - - - = 0.58 (9)°·4

TI

Para calcular T3 , T2

=

TI(r)k-1= (313)(9)°.4

=

753.77 K

también

T3 = T 2 -P3 = (753.77)(2) = 1507.5 4 K P2

Por tanto,

313

TIc = 1 - 1507.54 = 0.79 11c = 79%

http://carlos2524.jimdo.com/ 340

Termodinámica

Ejemplo 10.3

dOI

El diagrama indicador de presión en un motor de gasolina que gira a 1500 RPM dio los siguientes resultados durante la carrera de compresión: El DATO

V,cm3

1 2 3 4 5

430 330 215 105 60

bar

q

0.8 1.13 1.97

q

p,

En la posíbl el pro ciclo ( sumin

5 10.35

Dicho motor tiene una relación de compresión igual a 8 y la temperatura del medio de trabaja al iniciarse la compresión es igual a 40°C.

...

a) Determine el exponente politrópico n durante este proceso. b) Calcule el trabajo por unidad de masa durante la compresión. Suponga que el proceso se desarrolla sin fricción y que las propiedades del medio de trabajo son iguales a las del aire. c) Determine las pérdidas del calor.

,.

prime Ejem

Deterr Soluc Segúr

SolucIón a) Puesto que el exponente polítrópíco n es igual a la magnitud de la pendiente de la línea recta en el diagrama lag p contra lag V de la figura E.10.3, la determinación de esta pendiente da como resultado que n = 1.3.

b) w

=

J

p

dv

=

RTl [(Vl]n - 1- 11 v2

1_n

(0.287)(313) 1 - 1.3 =

-259.3

5 (¡¡ 4

.o ¿3 'o

.¡jj

~ 2 a.. 2

_ (80.3 _ 1)

J/g

60

100

200

300 400 500

Volumen, cme) Mediante un balance de energía, Figura E.lO.3. Resultados experimentales el proceso de compresión.

durante Fig


341


donde Tz = TI r n -

I

= (313)(8)0.3 = 584.1 K

En consecuencia, q

=

q

=

(0.72)(584.1 - 313) - 259.3 -64.11 J/ g

En la figura E.10.3 se observa que el proceso de expansión 3-4 no termina a la presión mínima posible, es decir, a la presión atmosférica. En el ciclo Qtto de expansión completa de la figura 10.6, el proceso de expansión se continúa hasta que la presión atmosférica termina en el estado 5 . Este ciclo de expansión completa disipa calor a través del proceso isobárico 5-1. Puesto que el calor suministrado al ciclo de expansión completa es igual al ciclo Qtto y el trabajo desarrollado por el primero es mayor, por tanto, es mayor la eficiencia térmica del ciclo de expansión completa. Ejemplo 10.4

Determine la eficiencia térmica de un ciclo Otto de expansión completa, en donde r= vl/vZ Y re = vS / v4' Solución

Según la figura 10.6,

11

p

=

1 _ I q5-I I qZ-3

3

T

3 2 4

2---

5

----....L...;;:::-5 v

s

Figura 10.6. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Otto de expansión completa.

"1

,

1,

"


342 Termodinámica

donde

además,

Por tanto, 1 _ k TI (Ts / T I - 1) T 2 (T3 / T 2 - 1)

_ 1 _ ~ Ts/T I - 1 r ik-1 T / T - 1 3 2

r¡ -

Al analizar el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.6 se observa que el cambio de entropía que sufre el medio de trabajo durante la adición de calor a volumen constante es igual en magnitud al cambio de entropía experimentado durante el proceso de cedencia de calor a presión constante. Esto es,

Por consiguiente,

Finalmente,

En la expresión anterior se observa que en el límite, cuando re tiende a la unidad, la eficiencia térmica del ciclo Otto de expansión completa se aproxima a la del ciclo Otto estándar.

10.2 Ciclo Diesel estándar de aire El motor Diesel, concebido por Rudolph Diesel en 1892 es similar al motor de ignición por chispa, excepto que requiere una relación de compresión mayor y sólo acepta aire durante el proceso de admisión . Debido a esta alta relación de compresión, el aire admitido durante la admisión alcanza presión.y temperatura altas durante la compresión, a tal punto que el combustible, al ser inyectado en el cilindro, espontáneamente sufre combustión sin necesidad de la chispa suministrada por la bujía . Al principio, Diesel propuso controlar la inyección de combustible de tal manera que la combustión se



343

realizara a temperatura constante. Después se tuvo más éxito con un proceso de combustión a presión constante. El ciclo puede realizarse en motores de cuatro y dos tiempos. Al-analizar el primero, se observa que sólo recibe aire el cilindro durante el proceso de admisión, mientras el pistón se desplaza desde su punto muerto superior hasta su punto muerto inferior para luego comprimirse mientras el pistón se desplaza hacia arriba. Cuando el pistón se encuentra próximo a alcanzar su punto muerto superior, se inyecta combustible al cilindro en forma de pequeñas partículas de aceite finamente atomizado, lográndose así una combustión en esencia isobárica. Los productos de combustión resultantes se expanden mientras el pistón se desplaza hacia su punto muerto inferior, para terminar el ciclo con el proceso de escape en que el pistón se mueve hasta su punto muerto superior. Debe decirse que el proceso de barrido en el motor de dos tiempos se realiza sólo con aire. Los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Diesel estándar de aire aparecen en la figura 10.7. Si se supone que el medio de trabajo no cambia su composición química y se comporta como un gas ideal con calores específicos constantes, entonces

también,

Por consiguiente, r¡ = 1 _ I q4 - 11 q2 - 3

= 1_

Cu(T4

- TI)

cp(T3

-

'"

T2)

= 1 _ TI (T4/TI - 1) kT2 (T3/T2 - 1)

' '1'1 T I 11"

3

"111

." I

'"

4

r"

2

4

1 v

Figura 10.7 Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía

s

de un ciclo Diese!.


344 Termodinámica

Al analizar el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.7 se observa que el cambio de entropía que sufre el medio de trabajo durante la adición de calor a presión constante es igual en magnitud al cambio de entropía experimentado durante el proceso de cedencia de calor a volumen constante. Por tanto ,

Con las ecuaciones T ds,

En consecuencia,

Designando el cociente de temperatura T3 / T 2 como la relación isoentrópica r; y teniendo en cuenta que T2 / T 1 = r k- 1 , la eficiencia térmica del ciclo Diesel puede escribirse así

n

-

" -

1-

1 rk-l

r. L

1

--'.'- -

k(r; -1)

(10.4)

Observe que la ecuación 10.4 para el ciclo Diesel difiere de la ecuación 10.2 del ciclo Otto sólo por la fracción (r;k - l)!k(r; - 1), la cual es siempre mayor que la unidad. En consecuencia, en igualdad de relaciones de compresión y medio de trabajo, la eficiencia del ciclo Otto es mayor que la del ciclo Diesel. De manera análoga, la ecuación 10.4 indica que la eficiencia del ciclo Diesel depende de la carga a través de la relación iso entró pica r; y, en el límite, cuando la carga tiende a cero, esto es, cuando r; tiende a la unidad, la eficiencia térmica del ciclo Diesel se aproxima a la del ciclo Otto . Cabe mencionar que el ciclo Diesel es obedecido de forma aproximada por los motores de ignición por compresión de baja velocidad. Ej emplo 10.5

Considere un ciclo Diesel donde las condiciones, al iniciarse el proceso de compresión, son de 1 bar y 40 oc. Si la presión y temperatura máximas en el ciclo se limitan a 40 bar y 2500 K, calcule a) La relación de compresión. b) El calor suministrado al ciclo. c) La eficiencia térmica del ciclo.


345

d) El trabajo realizado por el ciclo.

e) El calor disipado. f) La fracción del calor disipado que es energía disponible.

Solución a) Puesto que r

r =

Pp21J (

i

k

P2 PI

=-

0

o

=

(40)° 714

T

=

13.93

b) Para calcular la temperatura al finalizar el proceso de compresión,

T2 = T 1 rk- 1 = (313)(13 .93)0.4 = 897.69 K Por consiguiente, q

=

c p (T3

=

1602.31 J/ g

-

T2 )

=

(1)(2500 - 897 .69)

c) La eficiencia térmica puede calcularse mediante la ecuación 10.4, donde r¡ = 2500/ 897.69 = 2.78,

11

=1=

d)

1

55%

w = Tlq = (0.55)(1602.31) =

881.27 J/g

e) Mediante un balance de energía, qdisipado = q -

w

= 1602.31 - 881.27 =

f)

qd = qdisipado -

= qdisipado

721.04 J/g

T o ~s

T3

-Tocp In T

2

=

2500 72 1. 04 - (313)(1) In 897 .69

=

400.46 J/g

4.20 - 1 = O 55 .

(13 .93)OA (1.4)(1. 78)


346 Termodinámica

Ejemplo 10.6

Considere un motor Diesel de cuatro tiempos y cuatro cilindros, de 1500 cm 3 de desplazamiento, que tiene una relación de compresión de 16 y gira a 1500 RPM. El combustible empleado disipa 44 427 J/ g durante la combustión. Al iniciarse la compresión, el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. La relación aire/combustible (masa de aire/masa de combustible) es igual a 20. Suponiendo un ciclo Diesel donde las propiedades del medio de trabajo son iguales a las del aire, calcule a) Las presiones y temperaturas a lo largo de todo el ciclo. b) La eficiencia térmica del ciclo Diesel.

e) El flujo de calor equivalente suministrado al ciclo durante el proceso de combustión isobárica. d) La potencia desarrollada por la máquina.

Solución a) Con el objeto de determinar los volúmenes VI y V2 de un solo cilindro se pueden usar las

siguientes relaciones

v:1 - v:2 = 1500 = 375 cm 4

3

Por tanto, 375 375 V2 = - - = - - = 25.0 cm3 r -1 15 Asimismo, VI = rV2 = (16)(25) = 400 cm 3

Estado 1 VI

= 400 cm 3

PI

= 1 bar

TI

= 313 K

m

p¡V¡ (1 x 10 )(400) =- = --------'--:-6

5

a

RT¡

(0.287)(313)(10

= 0.445 gramos de aire

)



Estado 2 P2 = PI rk = (1)(16)14 = 48.5 bar T 2 = TI rk- 1 = (313)(16)°4 = 948.84 K

V2

=

25 cm 3

Estado 3 P3 = P2 = 48.5 bar Para calcular la temperatura en el estado 3, Q - 44 427 m, - (44 427) [::) (m,) = (44 427) (;0) (0.445) = 988.5 J

pero mm = ma + me = 0.445 + 0.022 = 0.467 gramos

Mediante un balance de energía, 988.5 (0.467)(1) + 948.84 =

3065 K

En consecuencia, _ T3 V3 - V2 T

_ -

2

3065 _ 3 (25) 948.84 - 80.76 cm

Estado 4 V4 = VI = 400 cm 3 P4

3)k

V

=

P3 ( V = (48.5) 4

(80.76)14 400

= 5.16 bar

T4 = T 3 =

V)k-l [V~

=

1616.15 K

(3065)

()O 4 8~Ó~6 .

347


348 Termodinámica

b) Sustituyendo valores en la ecuación 10.4, donde r¡ =

3065/948.84

=

3.23,

1 (3. 23)1.4 - 1 11 = 1 - (16)04 (1.4)(3.23 _ 1) = 0.56 =

e)

Ó = (988.5 Joule/ciclo cilindro) (4 cilindros) (1/2 cicl~s/revolución) (1500 revoluciones/minuto)(l/60 minuto/segundo) = 49 425 W Q

d)

56%

=

49.425 kW

w= 71Q = (0.56)(49.425) = 27.68 kW

10.3 Ciclo dual estándar de aire De hecho, el motor de ignición por chispa y el de ignición por compresión moderno no realizan la combustión de la mezcla aire-combustible ni a volumen constante ni a presión constante exactamente. Sin embargo, se puede suponer que una gran parte del proceso de combustión es isométrico y el resto se realiza de forma isobárica. La proporción de estos procesos a volumen y presión constantes es tal que el proceso de combustión real puede simularse. De aquí que el ciclo dual o dúplex ideal ilustrado a través de los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de la figura 10.8, puede usarse como una mejor aproximación para describir la serie de procesos que se llevan a cabo en un motor real.

p

T

4

v

Figura 10.8. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo dual.

s


349

Este ciclo ideal consta básicamente de cinco procesos reversibles: 1-2 compresión isoentrópica,

2-2' adición de calor a volumen constante, 2'-3 adición de calor a presión constante, 3-4 expansión isoentrópica, 4-1 disipación de calor a volumen constante. Para calcular la eficiencia térmica de un ciclo dual ideal, considere que el medio de trabajo es un gas ideal con calores específicos constantes. Mediante un balance de energía,

también

Por consiguiente, 1]

=1 _

CU (T4 -

cu {T2,

= 1-

-

TI) T2 ) + cp {T3

-

T2,)

TI {T4 / TI -1) T2 {T2, -1) + kT2 {T3 / T2

-

T2, / T2 )

Al notar que el cambio de entropía que sufre el medio de trabajo durante los procesos de adición de calor a volumen y presión constantes es igual en magnitud al cambio de entropía experimentado durante el proceso para ceder calor a volumen constante, C u

T3 T4 T2, In-+c In-=c In-

T2

P

T2'

u

T1

Es decir,

Con esta última expresión y al definir las relaciones ciclo dual ideal queda dada por la ecuación

_ 1 __ 1_ 11 r k-I

Eu

= T2 , / T2 y

Eu E; kEu (E p -

1) +

Ep

= T3 / T 2 " la eficiencia térmica del

1 Eu -

1

(10.5)

Debe observarse en la ecuación 10.5 que, en el límite, cuando E p tiende a la unidad, esto es, cuando T3 se aproxima a T2 " se obtiene que la eficiencia térmica del ciclo dual se aproxima a la del ciclo Otto (ecuación 10.2). Del mismo modo, en el límite, cuando Eu tiende a la unidad, es decir, cuando T2, se aproxima a T2 , la eficiencia térmica del ciclo dual se aproxima a la del ciclo Diesel (ecuación 10.4).


350

Termodinámica

Ejemplo 10.7 Considere un ciclo dual estándar de aire con una relación de compresión igual a 8, donde se suministran 1200 J/g de calor durante los procesos de adición de calor. De esta cantidad, 90% se suministra durante el proceso a volumen constante y el resto durante el proceso a presión constante. Si se supone que el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 OC al iniciarse el proceso de compresión, calcule la eficiencia térmica del ciclo. Solución

Para calcular la eficiencia térmica es necesario conocer las relaciones

T2 =

T1rk- 1

Eu yEp-

= (313)(8)°4 = 719.1 K

P2 = Plrk = (1)(8)14 = 18 .38 bar

Haciendo un balance de energía,

donde qu = (1200)(0 .9) = 1080 J/g y así

qu

T2, = -

Cu

1080 + T2 = - - + 719.1 = 2219.1 K 0.72

De manera análoga,

donde qp = (1200)(0 .1) = 120 J/g También T3

qp

120

cp

1

= - + T2, = -

+ 2219.1 = 2339.1 K

Por consiguiente, = T2, = 2219.1 = 3 09

E u

T2

719.1

.

= T = 2339.1 = 1 05

E

3

P

Tz

2219.1

.

Para esto ,



351

Sustituyendo valores en. la ecuación 10.5

1 (3.09) 1.0514 - 1 ----'--~-----8° 4 (1.4)(3.09)(1.05 - 1) + 3.09 - 1

11 = 1- =

0.57

11 = 57%

10.4 Comparación de ciclos Una vez explicados los ciclos Otto, Diesel y dual, es importante compararlos entre sí. Esta comparación puede hacerse con facilidad de manera gráfica mediante los diagramas presión-volumen y temperaturaentropía antes analizados. El análisis implica que dos restricciones o condiciones sean comunes a los diferentes ciclos. Como ilustración del método de comparación se examinarán los dos ejemplos siguientes: i. Igual relación de compresión e igual cantidad de calor suministrado a los ciclos. En la figura

10.9 se muestran los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de los ciclos Otto, Diesel y dual, bajo estas dos restricciones comunes. Los tres ciclos se inician en el estado 1. Puesto que la relación de compresión es la misma en todos los ciclos, el estado 2 resultante en la compresión isoentrópica es el mismo. Dado que el calor suministrado es también igual en todos ellos, el área que queda debajo de las curvas 2-3 del diagrama temperatura-entropía debe ser la misma para satisfacer esta última restricción.

p

T

3

3

3' 4'

2

4' 4" 4 1

v

s

Figura 10.9. Comparación de los ciclos Otto, Diesel y dual con igual relación de compresión y la misma cantidad de calor suministrado.


352 Termodinámica

Según la misma figura 10.9, la magnitud del calor disipado por el ciclo Diesel (área debajo de la línea 1-4' del diagrama temperatura-entropía) es mayor que la de los ciclos dual y Otto, y la de este último es la menor de todas. Puesto que la magnitud del calor suministrado a todos los ciclos es la misma, de lo anterior se desprende que 1Jotto

> 1Jdual > 1JDiesel Ir, q

Debe decirse, sin embargo, que la relación de compresión en los motores de ignición por compresión es mayor que la de los motores de ignición por chispa; el desarrollo anterior se ha presentado con el solo propósito de ilustrar la metodología que debe seguirse en la comparación de ciclos termodinámicos. ii. Igual presión y máxima temperatura. En la figura 10.10 se ilustran los diagramas presiónvolumen y temperatura-entropía de los ciclos Otto, Diesel y dual con estas dos restricciones comunes . . En este caso, los ciclos se inician también en el estado 1; en el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.10 se observa que la magnitud de calor disipado por todos ellos es la misma. También se nota que la magnitud del calor suministrado al ciclo Diesel es mayor que la de los ciclos dual y Otto , con la de este último menor que todas. Por tanto, 1JDiesel

> 1Jdual > 1JOtto IPmáx, Tmáx

p

T

2'

3

3

4

4

v

s

Figura 10.10. Comparación de los ciclos Otto, Diesel y dual con la misma presión y máxima temperatura.



353

Quemador

~ombustible Turbina

Carga

Aire Salida de gases

Figura 10.11. Turbina de gas.

10.5 Ciclo Brayton El ciclo Brayton o ciclo Joule es una aproximación a la secuencia de procesos que se realizan en una turbina de gas, como la del esquema de la figura 10.11. Un flujo de masa de aire se hace pasar por el compresor, con lo que se eleva su presión y temperatura. El aire descargado por éste se hace pasar a continuación a través del quemador, donde, por medio de la adición de combustible, se realiza el proceso de combustión a presión constante. Los productos de combustión a .alta temperatura son finalmente descargados a través de la turbina, desarrollándose una potencia suficiente para impulsar el compresor y suministrar un excedente a los alrededores. Los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Brayton ideal se ilustran en la figura 10.12. A semejanza con los ciclos

p

T

2

3

v

s

Figura 10.12 . Diagrama presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Brayton ideal.


354

Termodinámica

antes analizados, se presupone en el ciclo Brayton estándar de aire que el medio de trabajo se comporta como un gas ideal de composición uniforme, con calores específicos constantes y la adición de calor a presión constante es equivalente al proceso de combustión. Dado que las turbinas de gas operan con relaciones aire/ combustible elevadas, los productos de combustión pueden tratarse como aire nada más, sin pérdida de exactitud en el análisis. Antes de analizar el ciclo Brayton, conviene definir lo que se conoce como condiciones totales o de estancamiento. La utilidad de estos conceptos estriba en la simplificación a que dan lugar en los balances de energía. La entalpía total o de estancamiento se define como la suma de la entalpía estática, o determinada por un observador que viaja con el fluido, más la energía cinética de este último, es decir, ht = h + \/2/ 2. Así, la temperatura total o de estancamiento corresponde al valor que adquiere el fluido al ser desacelerado, con o sin fricción, hasta condiciones de velocidad cero. Por otro lado, si el proceso de desaceleración es isoentrópico, la presión que alcanza el fluido se conoce como presión total o de estancamiento. La temperatura total en un gas ideal puede relacionarse con la temperatura estática a través de la definición de la entalpía total. Esto es,

ht = h + \/2/2 y así,

En consecuencia,

(10.6)

De la misma manera, si el proceso de desaceleración es adiabático reversible, es decir, isoentrópico, la presión total se relaciona con la presión estática a través de la expresión

(10 .7)

Definidas estas condiciones totales, se determinar? ahora, de forma general, la eficiencia térmica del ciclo Brayton ideal. Mediante un balance de energía en la turbina,

w,

+, ~:J+, ~}h" -h" +

=cp (Tt3 -

+

T t4 )


355

De forma similar, para el compresor,

Asimismo, (10.8) Además, el calor suministrado al ciclo está dado por la expresión

Por tanto,

TI = wneto

= 1_lq4-11

q2-3

q2-3

= 1 _ -r:4 - -r:l = 1- -r:l (-r:4/-r:l - 1)

-r:3 - -r:z

-r:z (-r:3/ TtZ - 1)

Puesto que los procesos 1-2 y 3-4 son isoentrópicos en este ciclo ideal, el cambio de entropía que sufre el medio de trabajo durante la adición de calor, es igual en magnitud al cambio de entropía durante la cedencia de calor. Es decir,

Por consiguiente,

(10.9)

Vea que la ecuación 10.9 es muy similar a la ecuación 10.1. De hecho, cuando los efectos de la energía cinética son despreciables, ambas ecuaciones son idénticas. La ecuación 10.9 puede modificarse en términos de la relación de presiones rp = Pt2/Ptl. Puesto que la compresión del estado 1 al estado 2 es isoentrópica T k-l -ª-=r k

-r:l P


356 Termodinámica

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación 10.9

(10.10)

Definiendo la función de presión X como k-l

X=rp k -1 la eficiencia térmica del ciclo Brayton puede escribirse así

X 17=l+X

(10 . 11)

En la tabla 10.1 se incluyen valores de la función de presión X para diferentes valores de la relación de presiones r p ' usando un valor de k = 1.4. En general, las temperaturas y presiones totales encontradas en turbinas de gas estacionarias no difieren de manera sensible de los correspondientes valores estáticos. Estas cantidades son diferentes sólo en el caso de fluidos que T 3' 3 tienen velocidades superiores o iguales a la del sonido. En consecuencia, todos los análisis posteriores que siguen se realizarán empleando condiciones estáticas, excepto donde expresamente se indique lo contrario. Es importante determinar ahora una relación 2' óptima de presiones para que la turbina de 2 gas suministre su potencia máxima. Puesto que la eficiencia térmica de la unidad depende de la relación de presiones rp como lo indica la ecuación 10.10, la máxima relación de presiones s posible es aquella en la que Tz se aproxima a T3 , si es que la temperatura de los gases a la entrada de la turbina se mantiene fija. Esto se Figura 10.13. Ciclo Brayton ideal con diferentes relailustra la figura 10 .13. En estas condiciones, ciones de presión y temperatura máxima constante .



357

TABLA 10.1. Valores de la función de presión X para diferentes valores de r .

O

r

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.1

000 276 535 778 004

028 303 560 802 031

057 329 585 826 054

085 355 609 849 077

113 381 634 872 098

140 407 658 895 120

168 433 683 918 142

195 459 706 941 164

222 484 731 964 185

249 510 755 987 207

0.2

228 437 637 829 013

250 458 657 847 031

271 478 676 866 049

292 498 695 855 067

313 518 715 903 084

334 538 734 921 102

355 558 753 940 120

376 578 772 958 138

396 598 791 976 155

417 617 810 995 173

190 361 527 687 842

208 378 543 703 857

225 395 559 718 872

242 411 575 734 888

260 428 591 750 903

276 445 607 765 918

294 461 623 781 933

310 478 639 796 948

327 494 655 811 963

344 510 671 827 978

993 139 282 420 555

007· 153 296 434 566

022· 168 309 448 582

037· 182 324 461 595

052· 197 337 475 609

066· 211 351 488 622

081· 225 365 502 635

096· 239 379 515 648

110· 253 392 529 662

125· 268 406 542 674

688 816 942 065 186

700 829 955 078 198

714 841 967 080 210

726 854 980 102 221

739 867 992 114 233

752 878 004· 126 248

765 892 016· 138 257

775 791 905 917 029- . 041· 150 162 269 280

804 930 052174 292

304 419 533 644 753

315 431 544 655 764

323 442 555 666 775

338 453 566 677 785

350 465 577 688 796

362 476 588 698 807

373 487 600 710 817

385 499 611 720 828

408 522 633 742 849

0.0

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

(k-lA} p

0.3

0.4

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

396 510 622 731 839

I

'

, tI'

::1

If'l'

,

,.I

4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

0.5

860 965 069 170 270

871 976 079 180' 280

881 986 089 190 290

892 997 099 200 300

902 007· 110 210 310

913 017· 120 221 320

924 027· 130 230 329

369 465 561 655 747

378 475 570 664 756

388 485 579 673 766

398 494 589 682 775

407 504 599 692 784

417 513 608 701 793

427 523 617 710 802

934 038· 140 240 339

I

944 048· 150 250 349

\

I

436 532 626 719 811

446 542 636 729 820

955 058· 160 260 359

I

456 551 645 738 829 (Continúa)

I

111


358

Termodinámica

TABLA 10.1. (Continuación) r

1

2

3

4

5

6

7

8

9

838 928 017 104 190

847 937 026 113 199

856 946 035 121 208

865 955 043 130 216

874 964 052 139 225

883 973 060 147 233

892 981 069 156 242

901 990 078 165 250

910 999 087 173 259

919 008· 095 182 267

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

275 360 442 524 605

284 369 450 533 613

292 376 459 540 621

301 384 467 549 629

309 393 475 557 637

317 401 484 565 645

326 409 492 573 654

334 418 500 581 662

343 426 508 589 669

351 434 516 597 677

6.0 6.1 6.2 6.3 6.4

685 764 842 919 996

693 772 850 927 003·

701 780 858 935 011·

709 788 865 942 018·

717 795 873 950 026·

725 803 881 957 034·

733 811 889 965 041·

740 819 896 973 049·

748 827 904 980 056·

756 835 912 988 064·

071 146 219 293 365

079 153 227 300 372

086 160 234 307 379

094 168 242 314 387

101 176 249 322 394

108 183 256 329 401

116 190 264 336 408

124 198 271 343 415

131 205 278 350 422

138 212 285 358 429

7.0 7.1 7.2 7.3 7.4

436 507 577 647 715

443 514 584 653 722

450 522 591 660 729

458 528 598 668 736

465 535 605 674 743

472 542 612 681 750

479 549 619 688 756

486 557 626 695 763

493 564 633 702 770

500 570 640 708 777

7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

784 851 917 984 050

790 858 924 990 056

797 865 931 997 062

804 871 938 004· 069

811 878 945 010· 075

817 884 951 017· 082

824 891 958 023· 088

831 898 964 030· 095

837 904 971 036· 101

884 911 977 942· 108

8.0 8.1 8.2 8.3 8.4

115 179 243 306 369

121 185 249 312 375

127 192 255 318 381

134 198 262 325 387

140 205 268 331 394

147 211 274 338 400

153 217 280 344 406

160 223 287 350 412

166 230 293 356 419

172 237 300 362 425

8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

431 493 554 , 614 , 675

437 499 560 620 680

443 505 566 627 687

450 511 572 633 693

456 517 578 638 699

462 523 584 644 705

468 529 590 650 711

474 536 597 657 717

480 542 603 663 723

486 548 608 669 728

5.0 5.1 5.2 5.3 5.4

,.. ",

O

6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

0.5 0.6

0.7

0.8

(Continúa)

el trz

de

e



TABLA 10.1. r

(Continuación)

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

734 793 853 911 969

740 800 858 917 974

747 805 864 923 980

752 811 870 928 986

758 817 876 934 992

764 823 882 940 998

770 829 887 946 003

776 835 893 952 009'

782 841 899 957 015'

787 847 905 963 020'

026 083 140 196 252

032 089 145 201 257

037 095 151 207 263

043 100 157 213 268

049 106 162 218 274

055 112 168 224 279

060 117 173 230 285

066 123 179 235 290

072 129 185 240 296

077 134 190 246 301

10.0 10.1 10.2 10.3 10.4

307 362 416 470 525

313 367 422 476 530

318 373 427 482 535

324 379 433 487 541

329 384 438 492 546

334 389 444 498 551

340 395 449 503 556

345 400 455 508 562

351 406 460 514 567

357 411 465 519 573

10.5 10.6 10.7 10.8 10.9

578 631 684 736 788

584 636 689 741 793

589 642 695 746 799

594 647 700 752 804

600 652 705 757 809

605 658 710 762 815

610 663 715 767 820

615 668 720 773 825

620 673 725 778 830

625 678 731 783 835

11.0 11.1 11.2 11.3 11.4

840 891 943 993 043

845 897 947 998 049

850 902 953 003' 054

855 907 958 008' 059

860 912 963 013' 064

865 917 968 019' 069

871 922 973 024' 073

876 927 978 029' 079

881 932 983 033' 084

886 937 988 038' 089

11.5 11.6 11.7 11.8 11.9

094 143 193 242 291

098 148 198 247 295

103 153 203 251 300

109 158 207 257 305

114 163 212 261 310

118 168 218 267 315

123 173 222 271 320

129 178 227 276 325

134 183 232 281 330

138 188 237 286 334

12.0

340

344

349

354

359

363

369

373

278

382

9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

0.9

1.0

359

el trabajo neto hecho por el ciclo se aproxima a cero y la eficiencia térmica se aproxima a la del ciclo de Carnot para los límites de temperatura de TI y T3' De acuerdo con la ecuación 10.8, tenemos

inúa)

"

" ti

" If


360

Termodinámica

wneto

= eplT T(T3

-

T T T T + 1J 4

I

=c T p

I

=c T p

I

I

-

2 I

T T -ª---ª--r kk-I +1 T p ( TI 2

J

TI - -T3- r k-I -T3 - k + p ( TI T2 TI

1J

=c p TI -TT3 - -1k-I - - -TT3- rP k-k I +1 ( I r k I P

W

~o

(10.12)

k-IJ( 1-rk .

T =c P TI 2-r k P ( TI

Al dife renciar esta expre sión con respecto a

J

rp

k-I)

P

e igualar a cero,

(10 .13)

En la figura 10.1 4 se m ue stra la variación del trabajo neto y la eficiencia térmica como función de la relación de presiones r p para un ciclo Brayton . Según esta figura , el trabajo neto desarrollado por una turbina de gas aumenta al incrementarse la temperatura T 3 . La posibilidad de operar las turbinas con gases a altas temperaturas es atractivo si se considera que los valores actuales son del orden de 800 o e, y este valor es considerablemente infe rior a la temperatura que los gases pueden adquirir durante la combust ión adiabát ica de cualquier h idrocarburo. De hecho, esta temperatura puede, en principio, aumentarse hasta más del doble ; sin embargo, sin la complejidad que involucra el enfriamiento de los álabes, el límite de tem p eratura máximo de operación queda impuesto por consideraciones metalúrgicas. Según la misma figura 10 .14 el trabajo neto desarrollado por la unidad disminuye al aumentar la temperatura del aire aspirado p or el compresor. Este fenómeno se explica d e manera fácil si se t iene en cuenta que el trabajo requerido para comprimir el aire aumenta con la temperatura de éste.



1.60

0.80

1.20

0.60

361

ro

¡...:-

'ü e 0.40 .~

t:J"'-

2 0.80 " ~c:.

~

0.40

0.20

o 2

3

5 8 12 17 23 30 50 70 Relación de presiones

Figura 10.14. Variación del trabajo neto y la eficiencia térmica como función de la relación de presión en un ciclo Brayton ideal.

Ejemplo 10.8

Considere un ciclo Brayton ideal de aire donde la relación de presiones a través del compresor es igual a 5 y la temperatura del aire a la entrada de la turbina es de 900 oc. Si la presión y la temperatura del aire ambiente son iguales a 1 bar y 40 oC, respectivamente a) b) e) d) e)

Determine ia presión, temperatura y volumen específico en los diferentes estados del ciclo. Calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por la turbina. Determine el trabajo por unidad de masa requerido por el compresor. Calcule el trabajo neto por unidad de masa que desarrolla la turbina de gas. Determine la eficiencia térmica del ciclo.

Solución a) Estad o 1

PI = 1 bar TI = 313 K

(0 .287)(313)(10 6 ) (1 =

898 .31 cm 3/g

x

105 )


362

Termodinámica

Estado 2 P2 = rpPI = (5)(1) = 5 bar

v 2

= RT2 = (0.287)(495.96)(106) =284.68 cm 3! (5x10 5 )

P2

9

Estado 3 P3 = Pz = 5 bar

T3 = 900 oC = 1173 K v

3

=V

Z

T3 Tz

=(284.68) 1173.0 = 673.3 cm3/g 495.96

Estado 4 P4 = PI = 1 bar k-l

3 -_1173 (P4Jk -- Tk-l - 402 T4 -T - 3 P3 50.286 - 7 . 7 K rp k v

T 740.27 = v -.i. = (898.31) = = 2124.57 cm3 /g 4 1 T 313 3

b) W t = e p(T3 - T4 ) = (1)(1173 - 740 .27) = 432.73 J/ g e) W c = ep(Tz - TI) = (1)(495.96 - 313) = 182.96 J/ g d) wneto = wt - W c = 432.73 - 182.96 = 249.77 J/g

e) Para una relación de presiones igual a 5, se obtiene, mediante la tabla 10.1, que X= 0.5838. Por tanto,

11 11

=~ = l+X

= 37%

0.5838

1+0.5838

= 0.37



363

El análisis anterior presupone que los procesos de compresión y expansión en la turbina de gas son isoentrópicos. Empero, la realidad es que la eficiencia del compresor y de la turbina son inferiores a 100%. En la figura 10.15 aparece el diagrama temperatura-entropía de una turbina de gas, donde las eficiencias del compresor y de la turbina son inferiores a 100%. Si se analiza la turbina de gas real donde existen pérdidas, se encuentra que la eficiencia térmica depende no sólo de la relación de presiones rp' sino también de otros factores. Si se supone que la caída de presión en el quemador es despreciable, la eficiencia térmica puede determinarse como sigue: Con la definición de eficiencia para un compresor y una turbina, 17= cpl7t(T3 - T4,) - cp(Tz' - TI)/l7c

cp(T3

-

Tz)

Dividiendo entre TI' '\

1 T3 _ T3 T4' l7t l7c TI TI T3 17= T3 _ Tz TI TI

Tz' -1 TI

l.

3 T

1-

4

I ItI

::11

111 I

I.t

111

8. s Figura 10.15. Diagrama temperatura-entropía de una turbina de gas en donde las eficienciasdel compresor y la turbina son diferentes de 100%.

I


364

Termodinámica

la rel; neto

pero T2

= 1+ T .jT¡

T¡

llc

2

k-1 =l+--"P--r

~~al'

eíicie

mae

17e

"'1" '11,1

dada temp de pr

k-I

111

,I'fll

1>,

máxi

- 1

comt

Asimismo, T

11-

, ~H

T,

k-¡

=-2-=rk

_3

T4'

T¡

P

Entonces, para

,llf¡ 17 •.•,., 1\.

T3 r:17t ---X + 1

-17 -

17e

1

¡

T X ----ª---l-TI n:

(10.14)

para

donde

X

1]¡

= 1+ X

De esta expresión se deduce que la eficiencia térmica no sólo depende de la relación de presiones rP' sino también de las eficiencias del compresor y la turbina, de la temperatura de los gases de combustión a la entrada de la turbina y de la temperatura ambiente. De manera similar, puede demostrarse que el trabajo neto desarrollado por la unidad en estas condiciones queda determinado por la expresión

(10. 15)

En la figura 10.16 se observa la variación de la eficiencia térmica y el trabajo neto como función de la relación de presiones rp para diferentes valores de la temperatura T3' Las líneas punteadas indican


J

o Ciclos termodinámicos 365

la relación óptima de presiones para que la turbina de gas tenga máxima eficiencia o desarrolle el trabajo neto máximo. Desafortunadamente, la relación óptima de presiones no produce al mismo tiempo la máxima eficiencia y el trabajo máximo, es decir, para obtener máxima eficiencia se requiere una relación dada de presiones, mientras que para obtener máxima potencia se requiere otra. Por ejemplo, para una temperatura T3 alrededor de 870 oC (11 t = 0 .85 , 11e = 0 .84 , k = 1.395, TI = 294 K), se obtiene una relación de presiones igual a 6 para máxima potencia y una relación de presiones igual a 11 para obtener máxima eficiencia. Puesto que la relación óptima de presiones es diferente para obtener máxima potencia o máxima eficiencia térmica, la turbina de gas se diseña en general para máxima potencia, máxima economía o un compromiso entre estos dos objetivos. De acuerdo con las ecuaciones 10.14 y 10.15 se obtiene k

r

T3

_ ( P.

6pt -

11c11t TI

]2(k-I)

J

(10.16)

para potencia máxima, y

T3

11

-11

1 + [(T3 /11

'le

+ 1 -11'le

- l)(11 eT3/TI + 1 -11e -11 e11t T3 /11 ]Yz 11t T3/11

(10.17)

para máxima eficiencia.

T3

<1l

()

.~

= 870 oC o

ID

2

e o

.~ ()

'(0

e

.o

ID

<1l

t=

()

Ifj

(a)

11

Relación de presiones, rp

(b)

6

Relación de presiones, rp

Figura 10.16. Variación de la eficiencia térmica y el trabajo neto como función de la relación de presiones r p' para diferentes valores de la temperatura T3 .


366

Termodinámica

Ejemplo 10.9 Considere una turbina de gas que desarrolla 5000 kW de potencia. Las eficiencias en el compresor y la turbina son iguales a 0.80 y 0.85, respectivamente. Si la temperatura de los gases calientes es de 900 oC y la turbina opera con una relación óptima de presiones para obtener máxima potencia, calcule la eficiencia térmica del ciclo. Suponga que las condiciones del aire a la entrada del compresor son de 1 bar y 40 oc.

Solución Con la ecuación 10.16, 1.4

r

=

1173JO.8 0.85xO.80x-. 313 (

=

5.14

p , 6pt

Según la tabla 10.1, para una relación de presiones igual a 5.14, se obtiene X cuencia,

0 .5964

l] ¡

0.37

= 1.5964

y sustituyendo valores en la ecuación 10.14, l] =

0 .37 (3 .75)(0.85) - (1.5964/ 0.8) 3 .75 - 1 - 0.5964/ 0.8

=

022 .

= 22%

Ejemplo 10.10 En una turbina de gas se obtuvieron los siguientes datos experimentales:

Estados

Presión, bar Temperatura, oC

1

2

3

4

1 45

5 270

5 875

1 527

=

0 .5964. En conse-


J

o Ciclos termodinámicos

367

Calcule para esta unidad a) La eficiencia del compresor. b) La eficiencia de la turbina. e) El calor por unidad de masa suministrado al ciclo. d) La eficiencia térmica del ciclo. e) El trabajo por unidad de masa desarrollado por la unidad. Solución a)

Tz'

= T¡

rp

k-¡ k

0286

= (318)(5) ' = 503.89 K

Por tanto,

11c = 83% T4 ,

b)

_ T3

-

_

1148 _

=

1148- 800 = 0.82 1148-724.5

-

T2) = (1)(1148 - 543)

----¡;::¡ - ----o:z86 - 724.50 K rk (5) p

Entonces,

11t

= T3 -

T4

T3 - T4, 11t = 82% e) Mediante un balance de energía, q = c p(T3 =

605 J/g

d) Según la tabla 10.1, para un valor de rp = 5, se obtiene X = 0.5838. Por consiguiente,

. = ~ = 0.5838 = 0.37

11,

1+ X

= 37%

l.5838


368

Termodinámica

Al sustituir valores en la ecuación 10 .14, _ 037 (3.61)(0 .82) - (1.5338 / 0.83) 11 - (. ) 3.61 - 1 - 0.5838 / 0.83

0.203

11 = 20.3% e)

w = q11

=

(605)(0.203)

=

123.06 J / g

10.6 Ciclo Brayton con regeneración Puesto que la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbin~, es generalmente mayor que la del aire a la descarga del compresor cuando la relación de presiones rp es baja, la energía asociada con los gases calientes que salen de la turbina puede aprovecharse para calentar el aire que entra en el quemador, mediante un regenerador, como se observa en el esquema de la figura 10 .17 . El diagrama temperatura-entropía de un ciclo estándar de aire con regeneración se ilustra en la figura 10.18. Mediante un balance de energía en el regenerador,

h4 - hy = hx - h2 o bien,

Esta ecuación implica que todo el calor cedido por los gases calientes es absorbido por el aire que descarga el compresor. En el caso ideal de que el proceso de transferencia de calor sea reversible, el área que queda debajo de la trayectoria 2-x del diagrama temperatura-entropía es igual en magnitud al área que se halla debajo de la trayectoria 4-y. Si esta transferencia de calor se realiza a través de una diferencia finita de temperaturas, esto es, de forma irreversible,

Regenerador

y------------~

r-------.-------~

4 Compresor

2

Quemador

Carga

Figura 10.17. Esquema de una turbina de gas con regenerador.


En la figura 10.19 se aprecia la variación de la temperatura de los gases calientes y el aire como función de área de transferencia de calor en este intercambiador. Debe observarse que la máxima temperatura Tx que el aire puede alcanzar antes de entrar en el quemador es igual a la temperatura de descarga T4 en la turbina. A la luz de este razonamiento, la eficiencia o efectividad del regeneradorll r puede definirse como

1]r

Calor real transferido = Calor máxio que puede transferirse _ hx - h2 h4 - h2

_

369

T

3

2

h4 - hy h4 - h2

s Figura 10.18. Diagrama temperatura-entropía de un ciclo Brayton ideal con regeneración.

i

T2

----+-

Ty

11 '---------------,1 Tx

---+-

1

1I

i

T4

Distancia

Figura 10 .19. Variación de la temperatura de los gases y el aire como función del área de transferencia de calor en un regenerador de flujos opuestos.


370

"''''

..

Termodinámica

El uso de regeneración disminuye el consumo de combustible, puesto que los productos de combustión descargados por la turbina calientan el aire desde T2 hasta Tx· La eficiencia térmica de este ciclo regenerativo puede obtenerse mediante balances de energía. Esto es 1_

presio dada ~ descai

cp(Ty - TI)

tura s{ la turl:

cp(T3 - Tx)

posibl ocurre

Mediante manipulación algebraica,

T T

k-j TI

i-i

r k - --1.. r

'.r P

la figU tempe sedes de pre

-

k

(TI

-

'.r

P

1)- 1

reqem

(10.18)

••••••

Ir.

Observe que cuando la eficiencia del regenerador tiende a cero, es decir, cuando se elimina el regenerador, la eficiencia térmica tiende a la del ciclo Brayton estándar (ecuación 10.10). En la figura 10.20 se muestra la variación de la eficiencia térmica como función de la relación de presiones rp para distintos valores de eficiencia en el regenerador y un valor de T3/TI = 3. Debe observarse que todas las líneas se intersecan en el punto PC, llamado a menudo punto de cruce. Al incrementar la relación de

cienci;

rp me de en, El bién ¡: por ej

R

de

aui

E pasos 80 Ejem ":!!. o

60

nr=1.0

~ __ ---O.O

ti o

.§

:::;~¡;¡;...~~;;;;;;;~~== --:::

~ 40 <1l

·0 e Q)

·0

m

20

o

0.2 0.4 0.6

0.6 0.4 0.2 0.0

nr= 1.0

2

4

6

8

10

12

14

Relación de presiones rp Figura 10.20. Variaciónde la eficienciatérmicade un cicloBraytonidealcon regeneración.

Consi esta u


presiones para una temperatura de combustión dada se incrementa la temperatura del aire a la descarga del compresor y, cuando esa temperatura se iguala a la de los gases a la descarga de la turbina, la regeneración de calor deja de ser posible, como se aprecia en la figura 10.13. Esto ocurre físicamente en el punto de cruce PC de la figura 10.20. Puede decirse que al aumentar la temperatura de combustión T3 , el punto de cruce se desplaza hacia valores mayores de la relación de presiones rp' Por consiguiente, el empleo de regeneración es atractivo para aumentar la eficiencia térmica de la unidad sólo para valores de rp menores al valor correspondiente al punto de cruce. El funcionamiento de la turbina de gas también puede mejorarse mediante otras técnicas; por ejemplo:

371

Quemador No. 2

5 y -~;-"::;

Compresor

Turbina No. 1

T

3, 5

800 oC

cY

14'S 4'

2' 2 I I

20 oC

1

Y

s

Figura E.IO.II Recalentamiento adicional con quemadores entre los diferentes pasos de la turbina con el fin de aumentar la potencia desarrollada por la unidad. Enfriamiento del aire mediante el empleo de intercambiadores de calor entre los diferentes pasos del compresor, disminuyendo la potencia requerida por éste.

Ejemplo 10.11

Considere una turbina de gas como la del esquema de la figura E.I0 .11. Los datos de operación para esta unidad son los siguientes: Presión del aire a la entrada del compresor, bar Temperatura del aire a la entrada del compresor, oC Relación de presiones en el compresor Presión de los gases en los estados 6 y y, bar Temperatura de los gases en los estados 3 y 5 oC Eficiencia del regenerador Eficiencia del compresor Eficiencia de ambas turbinas Potencia desarrollada por la turbina No. 2, kW

1 20 5 1 800 0 .8 0.85 0.9 5000


372

Termodinámica

Suponiendo que el medio de trabajo tiene las propiedades termodinámicas del aire, calcule a) b) e) d) e) f) g) h) i) j)

Las presiones y temperaturas en los diferentes estados. El flujo de masa que requiere la turbina No. 2. El flujo de calor suministrado en el quemador No. 2 . El flujo de masa aspirado por el compresor y el requerido por la turbina No. 1. El flujo de calor suministrado en el quemador No. 1. La potencia requerida por el compresor. El flujo de calor que se intercambia en el regenerador. La eficiencia térmica de la unidad. La producción de entropía en el regenerador. Las pérdidas de disponibilidad en el regenerador.

Solución a) Estado 1

PI

=

1 bar

TI

=

20 oC

=

293 K

Estado 2 P2 = rpPI

=

(5)(1)

=

5 bar

k-I

T2, = TI rpk = (293)(5)0286 = 464.27 K T2 ,

= TI + T2' -TI 11c

= 293 + 464.27 -

293

0.85 T2

=

494.49 K

Estado x Px

=

5 bar '

T4

=

T3

-

Dr (T3 - T4· )

= 1073 - (0 .9)(1073 - 677 .16)

T4

=

716.74 K



Además, Tx

=

T 2 + 71 r (T4

=

494.49 + (0.8)(716.74 - 494.94)

=

672.29 K

Tx

-

T2 )

Estado 3 P3

=

5 bar

T3

=

1073 K

P4

=

1 bar

Estado 4

T4 = 716.74 K

Estado y

Py = 1 bar T y = T4

-

71 r (T4

-

T2 )

= 716 .74 - (0 .8)(716.74 - 494.49)

Ty

=

538.94 K

Ps

=

1 bar

Estado 5

Ts = 1073 K

Estado 6 P6

=

1 bar

T6

=

716.74 K

b) wt2 = cp(Ts - T 6 ) = (1)(1073 - 716.74) =

356.26 J/ g

Por tanto ,

W

5x 106

W '2

356.26

m'2= _ '2 =

= 14.03 kg/s

373


374 Termodinámica

e)

O2 = mép(Ts =

T2)

(14.03)(1)(1073 - 494.49)

O2 = 8116.5 kW d) Mediante un balance de materia,

Puesto que la potencia requerida por el compresor debe ser suministrada por la turbina No. 1,


mt1 (1)(1073 - 716.74) =

donde

mt

2 =

(m n +

mt2 )(1)(494.49 -

293)

14.03 kg/ s. En consecuencia,

mn

=

18.27 kg/ s

Además,

me

=

e)

01 =

mtl ep(T3 -

14.03 + 18.27

T)

= (18.27)(1)(1 073 - 672 .29) = 7320.97 kW f) We = Wt = =

mt1 e (T3 p

T4 )

(18 .27)(1)(1073 - 716.74)

= 6508.87 kW g)

Or =

mtl

ep(Tx

-

T2)

=

(18.27)(1)(672 .29 - 494.49)

=

3248.41 kW

=

32.30 kg/ s



375

h) De los resultados anteriores,

11 =

5000 7320.97 + 8116.5

= 0.324

11 = 32.4% i) Mediante un balance de entropía en el regenerador,

'.

Sp

= mt1cp

TXTy

In --

TzT4

= (18.27)(1) In (1.02) =

j)

'Yp = To Sp = -(293)(0.36) = -106.01

0.36 kW/K

kW

10.7 Ciclo Rankine

I

I

La planta ideal generadora de vapor que aparece en el esquema de la figura 10.21 se puede analizar mediante el ciclo Rankine, cuyos diagramas presión-volumen y temperatura-entropía aparecen en la figura 10.22. El vapor saturado seco descargado por la caldera a una presión Pl se suministra a la turbina, en donde se expande de forma isoentrópica hasta la presión P2' En el condensador se transforma el vapor húmedo de forma isobárica e isotérmica en líquido saturado mediante la remoción de calor. Puesto que la presión en el condensador P: = P3 es mucho menor que la presión del

'1

Caldera

tlij "ni

~I ,

4

11 Bomba

Figura 10.21. Planta elemental generadora de vapor.


376 Termodinámica

T

p

s

v

Figura 10.22. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un cieJo Rankine ideal.

vapor en la caldera P4 = PI ' el líquido saturado se bombea de manera isoentrópica hasta alcanzar la presión P4. El líquido comprimido es suministrado a la caldera, en donde se calienta primero hasta la temperatura de saturación correspondiente a la presión PI' para luego evaporarse hasta transformarse en vapor saturado seco para terminar el ciclo termodinámico. La eficiencia térmica de este ciclo Rankine ideal puede obtenerse recurriendo a la primera ley de la termodinámica. Esto es

wb

=

h l - h2 h4 - h3

wneto

=

w t - wb

Wt =

También

En consecuencia, (h l

-

h 2)

-

(h l

-

(h 4 - h3) h4)

(10 .19)



377

La diferencia de entalpía en el proceso isoentrópico 3-4 puede calcularse a través de la expresión

El trabajo requerido por la bomba es, en general, muy pequeño comparado con el trabajo desarrollado por la turbina. De aquí que la expresión 10.19 normalmente se simplifique así:

11

=

(10 .20)

La eficiencia térmica del ciclo puede incrementarse aumentando la entalpía del vapor suministrado a la turbina; basta con elevar la temperatura del vapor en la caldera. Este calentamiento puede lograrse mediante el empleo de un sobrecalentador, el cual permite aumentar de modo isobárico la entalpía del vapor, transformándolo en vapor sobrecalentado. En la figura 10.23 se ilustra un ciclo Rankine con sobrecalentamiento. El trabajo desarrollado por el ciclo se incrementa por el área x-1-2-a-x, y el calor transferido a la caldera por el área x-1-2'-a'-x, aumentándose así la eficiencia térmica del ciclo. Observe que el título del vapor descargado por la turbina también se incrementa, o en otras palabras, la humedad disminuye. La eficiencia térmica del ciclo Rankine también puede incrementarse disminuyendo la entalpía del vapor a la descarga de la turbina. Esta disminución generalmente se logra al disminuir la presión de

T

Sobrecalen tador

4 3~--------------~~

(a)

Figura 10.23. Ciclo Rankine ideal con sobrecalentamiento.

(b)

a' 2'

s


378 Termodinámica

operación del condensador. Sin embargo, una disminución de la presión de descarga trae como consecuencia un aumento en la humedad del vapor descargado por la turbina. Esta consecuencia es significativa si se considera que una humedad excesiva en los últimos pasos de la turbina origina una disminución en su rendimiento, y puede dar origen a la erosión de los álabes. La eficiencia del ciclo Rankine también puede incrementarse aumentando la presión de operación en la caldera, como aparece en el diagrama de la figura 10.24. No obstante, un aumento en la presión de operación de la caldera origina un mayor grado de humedad en los últimos pasos de la turbina. Este problema puede solucionarse recurriendo al recalentamiento, en donde el vapor a alta presión procedente de la caldera se expande sólo de manera parcial en una parte de la turbina para volver a ser recalentado en la caldera. Después, el vapor retorna a la turbina, en donde se expande hasta la presión del condensador. Un ciclo ideal con recalentamiento y su correspondiente diagrama temperatura-entropía se muestra en la figura 10.25. Observe en esta figura que el ciclo Rankine con sobrecalentamiento sólo sería más eficiente que el ciclo con recalentamiento si en el primero fuera posible calentar el vapor hasta el estado l' sin incurrir en problemas de materiales. Ejemplo 10.12

Considere un ciclo Rankine en el que el vapor saturado seco suministrado a la turbina se encuentra a una presión de 30 bar. La presión en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.

T

3~----------

______~

s

Figura 10.24. Efecto de la presión de operación de la caldera en un ciclo Rankine ideal.



T

,1

,'1 I

,

/

1 1

, :/ 1

I

3

(a)

(b)

Figura 10.25. Ciclo Rankine ideal con recalentamiento.

Solución

Según la tabla A.2, a una presión de 30 bar, h1 = hg

2804.2 J/ g

=

sI = Sg =

6 .1869 J/ g K

Puesto que el proceso de expansión 1-2 es isoentrópico, S2

= SI = 6.1869 J/ g K

Según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar, Uf =

1.0079 cm 3 /g

SI = 0 .5764 J/ g K

hf

=

168.79 J/ g K

Sfg =

7.6750 J/ g K

hfg

2406 J/ g

=

s

379


380 Termodinámica

En consecuencia, 6.1869 - 0.5764 7.6750

0.73

Asimismo , h 2 = 168.79 + (0 .73)(2406) =

1925 .17 J / g

A la descarga del condensador, 168.79 J/ g

h3 = h f 2

=

=

h3 +

(P4 - P3)

=

168.79 + 1.0079 (~~ - 0 .075)

A la descarga de la bomba, h4

V f2

= 171.81 J/g

Sustituyendo valores en la ecuación 10 .19,

11 =

(2804.2 -1925.17) - (171.81-168.79) (2804.2 -171.81)

= 879.93 -

3.02 2632.39

=

= 0.33

33%

Observe que el trabajo por unidad de masa requerido por la bomba e:¡ despreciable comparado con el de la turbina. Ejemplo 10.13

Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.12, excepto que el vapor suministrado a la turbina se encuentra sobrecalentado a 30 bar y 400 oc. Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Solución Según la tabla A.3, a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC, hl

=

sI =

3230.9 J / g 6 .9212 J/ g K



381

Según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar, h¡ = 168.79 J/ g h¡g = 2406 J / g

s¡

=

s¡g

=

0.5764 J/ g K 7.6750 J/g K

Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico, sI = S2 = 6.9212 J/ g K. Por tanto , = 6.9212 - 0.5764 = O 83

7.6750

X2

.

También h 2 = h¡ + X2h¡g =

=

168.79 + (0.83)(2406)

2165.77 J/g

Sustituyendo valores en la ecuación 10.20,

3230 .9 - 2165.77 3230.9 - 168.79

11 =

0.35

35%

Vea que el sobrecalentamiento causa un aumento en el título del vapor a la descarga de la turbina y un aumento en la eficiencia . Ejemplo 10.14

Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.13, excepto que el vapor suministrado a la turbina se encuentra sobrecalentado a una presión de 50 bar y una temperatura de 400 oc. Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Solución


hl

=

3195 .7 J/ g

sI = 6.6459 J/ g K


382

Termodinámica

En este caso, S2 = S1 =

6.6459 J/g K

Además, X2

= 6.6459 - 0.5764 = O 79 7 .6750 .

Por tanto, h2 = 168.79 + (0.79)(2406) = 2069.53 J/ g Sustituyendo valores en la ecuación 10.20, = 3195.7 - 2069.53 = 0.37 11 3195.7 -168.79

= 37% Observe que un aumento en la presión de operación de la caldera causa un mayor grado de humedad en el vapor descargado por la turbina y un aumento en la eficiencia térmica del ciclo. Ejemplo 10.15

Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.14, excepto que el vapor se extrae de la turbina a una presión de 8 bar y se recalienta hasta una temperatura de 400 oC antes de retomar de nuevo a ella. Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Solución Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico, Sx

= s1 = 6.6459 J / g K

Según la tabla A.2, a una presión de 8 bar, s¡ = 2.0462 J / g K s¡g

=

4.6166 J / g K

h¡ = 721.11 J/ g h¡g

=

2048 J/g



383

Entonces, = 6 .6459 - 2.0462 = O 996

4.6166

Xx

.

Asimismo, hx = 721.11 + (0.996){2048) =

2760.92 J/ g K

Según la tabla A.3, a una presión de 8 bar y una temperatura de 400 oC , hy = 3267.1 J/ g Sy = 7.5716 J/g

Para calcular el título del vapor en el extremo de baja presión de la turbina S2 = Sy =

7.5716 J/g K

También = 7 .5716 - 0 .5764 = O 91

7 .6750

X2

.

Entonces, h2

=

168.79

=

2358.25 J/ g

+

(0.91)(2406)

Finalmente, (h¡ - hJ + (hy - h2 ) 11 = - - - - - ' - - (h¡ - h3 ) + {h y - hJ

= (3195.7 -

2760.92) + (3267.1- 2358.25) (3195.7 -168.79) + (3267.1 - 2760.92)

=

= 0.38

38%

Observe que el recalentamiento causa una disminución en la humedad del vapor a la descarga de la turbina.


384

Termodinámica

10.8 Ciclo Rankine con regeneración En la figura 10.26 aparece el diagrama de un ciclo Rankine ideal con regeneración. En este ciclo ideal , el líquido descargado por la bomba circula por el exterior de la turbina a contracorriente, lográndose así una transferencia de calor del vapor que circula en el interior de la turbina, al líquido subenfriado que circula por el exterior de la unidad. Si la transferencia de calor fuera reversible, la disminución en la entropía del vapor en la turbina debe ser igual al incremento de entropía sufrido por el líquido. En consecuencia, este ciclo ideal tiene una eficiencia térmica igual a la de un ciclo de Carnot con las mismas temperaturas de operación. Dado que no es posible lograr la transferencia de calor necesaria del vapor hacia el líquido y la humedad en el extremo de baja presión en la turbina es considerablemente alta, el ciclo ideal regenerativo de la figura 10.26 no es práctico. Empero, este ciclo regenerativo se hace práctico mediante el empleo de intercambiadores de calor que usan vapor extraído de la turbina para calentar el agua de alimentación de la calde"ra. Estos calentadores para el agua de alimentación pueden ser de tipo abierto (o contacto directo) o de tipo cerrado. En la figura 10.27 aparece el esquema de un ciclo regenerativo con un calentador de tipo abierto, donde el vapor de extracción y el condensado descargado por la bomba 1 se mezclan para lograr un líquido saturado a la descarga del intercambiador de calor. Las presiones del vapor de extracción, líquido descargado por la bomba 1 y del líquido saturado deben ser iguales en este tipo de calentadores. De aquí que sea necesaria la instalación de otra bomba, la 2, para introducir el agua de alimentación en la caldera. El flujo de masa de vapor en la extracción puede determinarse fácilmente mediante balances de energía y masa. Esto es,

T

(a)

Figura 10.26. Ciclo Rankine ideal con regeneración .

(b)

s



385

pero

.

mb

.

= me-

ma ; me

= mI

Relacionando las expresiones anteriores,

m a =m 1

he -hb ha -hb

La ecuación anterior permite calcular el flujo de masa de vapor en la extracción si se conocen los estados a, b y e del fluido. Debe anotarse que la masa en el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.27 no es la misma en todos los estados mostrados. Por otra parte, el vapor de extracción y el agua de alimentación de la caldera pueden estar a diferentes presiones en los intercambiadores de tipo cerrado, como se observa en la figura 10.28. El condensado del vapor que rodea los tubos de agua de alimentación en el intercambiador puede regresarse hacia la línea del agua de alimentación mediante una bomba, o puede extraerse del intercambiador mediante una trampa, esto es, un dispositivo que permite solamente el paso de líquido y no el de vapor. Debe agregarse que un incremento en el número de extracciones y calentadores hace que la eficiencia del ciclo tienda a la del ideal regenerativo, en donde el agua de alimentación entra en la caldera como

T

b

4

b NO.l

s

(b)

Figura 10.27. Ciclo regenerativo con un calentador de tipo abierto.


386 Termodinámica

Figura 10.28. Ciclo regenerativo con un calentador de tipo

cerrado. líquido saturado a la presión máxima. Sin embargo, el número de estos ciclos queda determinado por consideraciones de costo. Ejemplo 10.16

Considere una planta generadora de vapor como la de la figura 10.27, en donde la presión y la temperatura del vapor a la entrada de la turbina son, respectivamente, 30 bar y 400 oc. La presión del vapor en la extracción es de 3 bar y la presión en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Solución Según la tabla A.3, a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC ,

hl

=

SI =

3230.9 J/g 6.9212 J/g K

Dado que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico, sa Según la tabla A.2, a una presión de 3 bar, h¡ = 561.47 J/g h¡g = 2163.8 J/ g sf = 1.6718 J / g K Sfg = 5 .3201 J / g K

=

sI

=

6.9212 J/g K.


387

Por tanto,

= 6.9212-1.6718 = 0.987

x

5.3201

a

Asimismo, ha

=

561.47 + (0.987)(2163.8)

=

2697.14 J/g

De manera análoga, s2 = sa = sI = 6.9212 J/ g K y, según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar, h¡

=

168.79 J/ g

h¡g = 2406 J/ g

s¡

=

0.5764 J/ g K

s¡g

=

7.6750 J/ g K

Por tanto, = 6.9212 - 0 .5764 = 0827

7.6750

X2

.

Asimismo, h2 = 168.79 + (0 .827)(2406) = 2158 .55 J/ g

Mediante balances de energía y masa, _rila mI

= he -

h3

ha -h3

=

561.47 -168.79 = 0.155 2697.14-168.79

La eficiencia térmica está dada por la expresión


1] =

(323Q9 - 2697.14) (323Q9 - 561.47)

+ (1- 0.155)(2697.1- 2158.55) = 0.37 (3230.9 - 561.47) =

0.37%


388 Termodinámica Ejemplo 10.17

Considere una planta generadora de vapor como la del diagrama de la figura E.10 .17 , en donde la presión y temperatura del vapor a la entrada de la turbina son 30 bar y 400 oC, respectivamente. La presión del vapor en cada una de las extracciones es de 3 bar y 1.5 bar, y la presión en el condensador es de 0 .075 bar. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.

2 \

\

\

T \

x e

4

/ T--

(a)

-----....j

(b)

Figura E.IO.17

Solución Con los resultados del ejemplo anterior, tenemos hl

=

3230.9 J/ g

SI =

6.9212 J/g K

ha

2697.14 J/ g

=

h2 = 2158.55 J/ g h3 = hf2 = 168.79 J/ g

h4 = h¡a = 561.47 J/ g

s



Puesto que

Sb = S1 =

6.9212 J/ g K, según la tabla A.2, a una presión de 1.5 bar, h¡

=

467.11 J/ g

h¡g = 2226.5 J/ g K

s¡ = 1.4336 J/ g K s¡g = 5.7897 J/ g K

Por tanto, x = 6.9212-1.4336 = 0.948 b 5.7897

También hb = 467.11 + (0.948) (2226.5) = 2577.8 J/ g

Los flujos de extracción

pu~den

determinarse mediante las siguientes expresiones

mb(h b - h¡b) = (m1 - ma - mb)(h¡b - h3 ) ma(ha - h¡a) = (m 1

-

ma)(h¡a - h¡b)

de donde ma = h¡a - h¡b = 561.47 - 467.11 = 0.042 m1 ha - h¡b 2697.14 - 467.11

Asimismo,

=(1-0.042) 467.11-168.79 =0.119 2577.83 -168.79 La eficiencia térmica puede calcularse mediante la expresión 1]

= (h1 -

ha) + (1- ma/ m1)(ha - hb)

(h 1 - h4 ) (1- ma/m1 - mb/m1)(hb - h2 ) (h 1 - h4 )

+---"-'-~--=----'!'----'''------''-

389


390 Termodinámica

Sustituyendo valores _ 533.76 + 114.30 + 351.78 _ O 5 2669 .43 - .37 = 37.5%

11 -

10.9 Ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor El ciclo ideal de refrigeración por medio de la compresión de vapor se ilustra en la figura 10.29, así como sus correspondientes diagramas temperatura-entropía y presión-entalpía. El fluido se comprime de forma adiabática y reversible en el compresor de 1 a 2 . El ciclo disipa calor a través del proceso isobárico 2-3 en el condensador, hasta alcanzar la condición de líquido saturado. Puesto que la presión a la descarga del compresor Pz = P3 es mayor que la presión en el evaporador P4 = PI' el fluido se hace pasar por un proceso de estrangulación adiabático mediante una válvula de expansión conectada entre el condensador y el evaporador. Al final , el vapor húmedo es vaporizado a presión constante de 4 a 1 en el evaporador para terminar el ciclo . El coeficiente de funcionamiento para este ciclo de refrigeración puede determinarse mediante un balance de energía, esto es,

(10 .21) Los valores de entalpía pueden obtenerse de las tablas correspondientes del refrigerante usado como medio de trabajo en el ciclo. La selección del refrigerante por emplearse en una aplicación debe hacerse tomando en cuenta varias consideraciones, como sus propiedades termodinámicas, estabilidad química, toxicidad, costo, etcétera. Los refrigerantes más empleados son el 22 y el 134a, y sus propiedades termodinámicas se encuentran en las tablas A4 y A5. La unidad de capacidad de enfriamiento generalmente empleada en un sistema de refrigración es la tonelada de refrigeración, la cual se define como 12000 BTU/ h (3.517 kW). Ejemplo 10.18

Considere un refrigerador con capacidad de enfriamiento de 2 toneladas. La temperatura del refrigerante 134a en el evaporador es de 4 oC y en el condensador es de 50 oC. Calcule el flujo de masa de refrigerante en el sistema.

Solución a) Según la tabla A5, a una temperatura de 4 oC,

hl

=

SI =

401 J / g 1.7252 J/ g K


391


Ambiente exterior

3~-----f

Condensador

sí

1---....,2

Válvula de expansión

Compresor

41-----1

Evaporador

1)

Ambiente acondicionado

(a)

o e ¡li-

p

T

"'\

se 2

es Tcond

2

e-

r-: s

(b)

h

(e)

Figura 10.29. Ciclo ideal de refrigeración mediante la compresión de vapor.


392

Termodinámica

Según la misma tabla, a una temperatura de 50 oC, h3

h4

=

=

271.59 J/ g

Mediante un balance de energía

.

(2)(3.517)(1000)

m=":""":''':'''''':'_'':'''''':'- -

401 - 271.59 54.35 g/ s

=

1 0.10 Resumen El ciclo Gtto estándar de aire está constituido por cuatro procesos reversibles: compresión adiabática, adición de calor a volumen constante, expansión adiabática y cedencia de calor a volumen constante. La eficiencia térmica de este ciclo puede determinarse con la expresión siguiente

.

1

1] = 1- - k-l r

donde r es la relación de compresión. El ciclo Diesel estándar de aire está constituido por cuatro procesos reversibles: compresión adiabática, adición de calor a presión constante, expansión adiabática y cedencia de calor a volumen constante. La eficiencia térmica del ciclo puede calcularse mediante la expresión , _ 1 __ 1_

17 -

r7 - 1

rk- 1 k (r¡ - 1)

donde r¡ es la relación isoentrópica. El ciclo dual o dúplex puede usarse como una mejor aproximación para describir la serie de procesos que se llevan a cabo en un motor de combustión interna. El ciclo consta básicamente de cinco procesos reversibles: compresión adiabática, adición de calor a volumen y presión constantes, expansión adiabática y disipación de calor a volumen constante. La eficiencia térmica del ciclo dual se encuentra entre las del ciclo Qtto y ciclo Diesel. Los ciclos termodinámicos descritos con anterioridad pueden compararse entre sí mediante un análisis gráfico, utilizando los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía. El ciclo Brayton o Jo ule es una aproximación a la serie de procesos que se realizan en una turbina de gas. El ciclo está constituido básicamente por cuatro procesos: compresión adiabática, adición de calor a presión constante, expansión adiabática y cedencia de calor a presión constante. La eficiencia térmica de este ciclo queda determinada mediante la expresión



393

1

'11=1--" k-l rp k

ática,

ante.

sión men

La eficiencia térmica del ciclo Brayton puede incrementarse mediante regeneración. Eso se logra sólo cuando la relación de presiones rp es menor que el valor correspondiente al punto de cruce. La planta generadora de vapor puede analizarse mediante el ciclo Rankine. El vapor saturado seco descargado por la caldera se suministra a la turbina, en donde se expande de forma isoentrópica. En el condensador se transforma el vapor húmedo en líquido saturado de manera isobárica e isoentrópica. Puesto que la presión en el condensador es mucho menor que la presión del vapor en la caldera, el líquido saturado se bombea de modo isoentrópico hasta alcanzar la presión de la caldera. El líquido comprimido se suministra a esta última, en donde se transforma al final en vapor saturado seco. La eficiencia térmica de este ciclo puede incrementarse mediante un sobrecalentamiento, una disminución en la presión de operación del condensador, un aumento en la presión de operación de la caldera o por el procedimiento de regeneración. Para disminuir el grado de humedad en los últimos pasos de la turbina, a menudo se utiliza recalentamiento. El ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor está constituido básicamente por cuatro procesos: compresión adiabática, disipación de calor a presión constante, estrangulación adiabática a entalpía constante y absorción de calor a presión constante. La unidad de capacidad de enfriamiento empleado es generalmente la tonelada de refrigeración, que se define como 12 000 BTU/h (3.517 kW).

Problemas 10.1

esos prosión entra e un una tica, ante.

Considere un ciclo atto estándar de aire con una relación de compresión de 8. Si la temperatura máxima se limita a 2000 K Ylas condiciones del aire al iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 "C a) Determine la eficiencia térmica del ciclo. b) Calcule el calor suministrado. c) Determine la presión máxima de operación. d) Calcule el trabajo desarrollado por el ciclo.

10.2 10.3

Con los datos del problema 10.1, calcule la presión media efectiva del ciclo. Considere un ciclo Diesel estándar de aire con una relación de compresión de 15. Si las condiciones del aire al iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 cC, y la temperatura máxima se limita a 2000 K, calcule a) La eficiencia térmica del ciclo. b) El calor suministrado. e) El trabajo desarrollado por el ciclo.

lO

.,


394 Termodinámica

10.4 10.5

Con los datos del problema anterior, calcule la presión media efectiva . Indique si el ciclo Brayton es más o menos eficiente que el ciclo Qtto cuando la relación de compresión y el calor suministrado en ambos ciclos son iguales. Respuesta:

10.6

1JBrayton =

1Jo tto

El aire suministrado al compresor de un ciclo Brayton ideal se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. Si la relación de presiones es de 5 y el aire a la entrada de la turbina se encuentra a 800 oC, determine a) El trabajo desarrollado por la turbina. b) El trabajo requerido por el compresor. e) La eficiencia térmica de la unidad.

10.7

Con los datos del problema anterior, calcule la relación óptima de presiones para que el . trabajo neto desarrollado por el ciclo Brayton ideal sea máximo . Respuesta : 8 .64

10.8

Una turbina de gas aspira aire a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. La temperatura máxima a la descarga del quemador es de 900 oc. Si las eficiencias del compresor y la turbina son 0 .83 y 0 .87, respectivamente, calcule a) La relación óptima de presiones para obtener máxima potencia. b) La eficiencia térmica del ciclo. e) El trabajo neto desarrollado por la unidad. d) El calor suministrado al ciclo.

10.9

Una máquina que obedece al ciclo Diesel tiene una relación de compresión de 16 y el proceso de combustión se realiza durante 10% de la carrera. La presión y temperatura del aire suministrado al cilindro son de 1 bar y 30 oC, respectivamente. Determine a) La temperatura al finalizar el proceso de adición de calor. b) El calor suministrado. e) La eficiencia térmica del ciclo.

10.10 Calcule la eficiencia térmica de un ciclo Rankine ideal donde el vapor saturado seco descargado por la caldera se encuentra a 20 bar y la presión de operación del condensador es de 0 .075 bar. Respuesta : 31.3%



de

Otto

bar ela

10.11 Considere un ciclo Rankine ideal en el que el vapor, a una presión de 20 bar, se sobrecalienta en la caldera hasta una temperatura de 400 "C. Si la presión en el condensador es de 0.075 bar, calcule la eficiencia térmica y el trabajo desarrollado por la turbina. 10.12 Una turbina de vapor cuya eficiencia es de 90% toma vapor de la caldera a una presión de 35 bar y una temperatura de 400 "C. Si la presión de operación del condensador es de 0.05 bar, calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por la unidad y la temperatura del vapor a su descarga. Respuestas:

e el

.64 .La pre-

1030.97 J/g 32.88 -c

10.13 Se desea determinar el efecto de la presión de operación del condensador en un ciclo Rankine ideal en el que el vapor suministrado a la turbina se encuentra a 30 bar y 400 "C. Determine la eficiencia térmica y el porcentaje de humedad en el vapor a la descarga de la turbina para presiones en el condensador de 0.05, 0.10, 0.5 y 1 bar. Grafique los resultados como función de la presión en el condensador. 10.14 Derive la ecuación 10.16. 10.15 Derive la ecuación 10.17. 10.16 Escriba un programa para computadora que determine el efecto de la temperatura de combustión T3 sobre el punto de cruce y grafique sus resultados como en la figura 10.20. Suponga que las eficiencias en el compresor y en la turbina son diferentes de 100%. 10.17 Indique si el ciclo Otto es más o menos eficiente que el ciclo Diesel en el evento en que ambos ciclos tengan la misma presión máxima y desarrollen el mismo trabajo. 10.18 Compare los ciclos Otto y Diesel si ambos tienen la misma temperatura máxima e igual calor suministrado. Respuesta:

oceaire

395

170iesel > 17otto

10.19 Derive una expresión para determinar la eficiencia térmica en un ciclo Diesel estándar de aire con expansión completa. 10.20 Determine el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot que opera entre temperaturas de 4 °C y 50 "C. Compare su resultado con el del ejemplo 10.18. Respuesta:

6.02

10.21 El vapor descargado por la caldera en una planta generadora se encuentra a 50 bar y 400 "C. Si el vapor en la turbina se extrae a una presión de 6 bar y es recalentado hasta 400 "C, calcule la eficiencia térmica del ciclo. Suponga que la presión en el condensador es igual a 0.075 bar. .3%

Respuesta:

38%

"1

"

ID

!ti 1111


396 Termodinámica

10.22 Considere un motor Diesel con una relación de compresión de 18 y una relación isoentrópica de 2 . Si la temperatura y la presión del aire al iniciarse la compresión son iguales a 27 oC y 1 bar, respectivamente, calcule a) La temperatura máxima. b) La presión máxima. e) La eficiencia del ciclo. Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es de 1 kJ/ kg K Y el cociente de calores específicos es igual a 1.4. Respuestas:

a) 1906.6 K b) 57.2 bar c) 63.18%

10.23 Un ciclo atto opera con una relación de compresión de 8.55 . Al iniciar la compresión, el aire se encuentra a 0.98 bar y 32 oC, y durante la adición de calor la presión se triplica. Suponga que k es igual a 1.4 y las condiciones atmosféricas son 1 bar y 25 oc. Calcule a) El trabajo por unidad de masa desarrollado en el ciclo. b) El calor por unidad de masa que se suministra durante la adición de calor. e) La disponibilidad que tiene el medio de trabajo en el instante en que está por finalizar el proceso de expansión cuando ambas válvulas de admisión y de escape se encuentran todavía cerradas. d) La eficiencia térmica del ciclo.

10.24 La temperatura al finalizar la compresión en un ciclo Diesel se registra como 832 .3 oc. Si la presión y la temperatura al cerrarse la válvula de admisión son 1 bar y 32 oC, calcule la relación de compresión del motor. 10.25 Calcule la eficiencia de un ciclo Rankine ideal donde el vapor saturado seco sale de la cald era a 30 bar y es condensado a 0.10 bar. Respuesta : 31.4%

10.26 En un ciclo Rankine con recalentamiento, el vapor entra en la turbina a 30 bar y 500 oc. Después de que el vapor experimenta una expansión hasta 5 bar es recalentado hasta 500 oC de nuevo. La presión en el condensador es igual a 0 .1 bar. Calcule la eficiencia del ciclo y el estado del vapor a la descarga de la turbina. Respuesta:

TJ

=

37 .6% (p

=

0 .1 bar, x

=

0.992)



397

10.27 En un ciclo Rankine con regeneración el vapor entra en la turbina a 30 bar y 500 oC y se descarga a 0.1 bar. En el ciclo se emplea un calentador abierto para el agua de alimentación que opera a 5 bar. Calcule la eficiencia del ciclo. Respuesta:

37.2%

10.28 Considere una turbina de gas con regenerador en donde el compresor y la turbina tienen dos etapas. La relación de presiones en cada etapa de la compresión es 2 y la eficiencia de cada etapa del compresor es 81 %. La temperatura y presión del aire a la entrada del compresor son 22 oC y 1 bar, respectivamente, pero el enfriamiento intermedio sólo reduce la temperatura hasta 37 oC antes de que el aire entre en la segunda etapa. Además, la temperatura de entrada en cada etapa de expansión es de 827 oC, pero una caída de presión entre el compresor y la turbina reduce la relación de presiones en la expansión a 1.9 en cada etapa de la turbina. Estas etapas tienen una eficiencia de 86% cada una. La eficiencia del regenerador en esta instalación tiene una eficiencia de 75%. Determine El trabajo del compresor. El trabajo de la turbina. El calor extraído en el enfriador intermedio. La eficiencia térmica de toda la turbina de gas. e) La temperatura del flujo de aire que sale del regenerador y entra en el compresor. f) La disponibilidad del flujo de aire que sale del regenerador hacia la atmósfera.

a) b) e) d)

Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es igual a 1 kJ/ kg K Y el cociente de calores específicos es igual a 1.4.

Respuestas:

a) 163.76 J/ g

b) 317 .30 J / g e) 64.85 J/ g d) 33.81 % e) 531.49 oC f) 62.50 J / g

10.29 Un ciclo propuesto con aire comienza a 1.1 bar y 37 oc. El proceso 1-2 es una compresión isoentrópica hasta 3.2 bar; el proceso 2-3 es un calentamiento a presión constante hasta 1050 K; el proceso 3-4 es un enfriamiento a volumen constante hasta 1.1 bar y el proceso 4-1 es un enfriamiento a presión constante hasta el estado inicial. a) Dibuje el ciclo en coordenadas p-v y T-s. b) Calcule la eficiencia térmica.


398 Termodinámica

10.30 La relación de compresión en un motor de un cilindro que opera con el ciclo dual es 7, el diámetro del cilindro es 10 cm y la carrera es de 12 cm. Al iniciarse la carrera de compresión la temperatura y la presión son de 27 oC y 1 bar, respectivamente. Al finalizar la adición de calor a volumen constante se tiene una presión de 60 bar. Se agrega calor a presión constante durante 3% de la carrera. Calcule el trabajo desarrollado por el ciclo. Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es igual a 1 kJ/kg K Y el cociente de calores específicos es igual a 1.4. 10.31 Demuestre que el trabajo máximo en un ciclo Brayton ideal con temperaturas constantes a la entrada del compresor ya la entrada de la turbina ocurre cuando T2 = (T1T3p / 2 si los calores específicos son constantes. 10.32 Considere un ciclo Qtto con una relación de compresión igual a 9.5. Al iniciarse el proceso de compresión el aire se encuentra a 1 bar, 27 oC, y ocupa un volumen de 600 cm3 . Por otra parte, al finalizar la expansión isoentrópica la temperatura del medio de trabajo es igual a 700 oc. Calcule

a) La temperatura y presión máximas en el ciclo. b} El calor suministrado al ciclo, en J. c} La eficiencia térmica del ciclo. Suponga las siguientes propiedades para el medio de trabajo: cp = 1 J/ g oC, R = 0 .287 J/ g K. 10.33 Considere un ciclo Diesel con una relación de compresión igual a 10. Al iniciarse el proceso de compresión la temperatura y presión del aire son 27 oC y 1 bar.

a} Calcule la eficiencia térmica del ciclo. Suponga las siguientes propiedades para el medio de trabajo: cp = 1 J/ g oC, R = 0.287 J/ g K. 10.34 Indique brevemente por qué la relación aire-combustible en una turbina de gas es muy alta, esto es, el flujo de masa de aire/ flujo de masa de combustible es muy alto. 10.35 El flujo de gases de escape en un motor de combustión interna en el instante en que se abre la válvula de escape se estima en 0.077 kg/s. Las condiciones de presión y temperatura en ese instante son 3 bar y 700 oC, respectivamente. Calcule la potencia máxima que podría obtenerse de este flujo de gases de escape. Suponga que el calor específico a presión constante de los gases es igual a 1 kJ/ kg K, la constante R es igual a 0.287 kJ/ kg K, y la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente. 10.36 Considere un motor de gasolina de 55 kW, 4 cilindros y 4 tiempos, el cual gira a 4200 RPM . La relación de compresión en el motor es igual a 9.5 y la temperatura máxima en el ciclo termodinámico es igual a 2146 K. Las condiciones del medio de trabajo al iniciarse el proceso de compresión son 1 bar y 60 oc. Calcule la eficiencia térmica, el calor suministrado por unidad de masa y la presión máxima en el ciclo. Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es igual al kJ/ kg K y la constante R es igual a 0 .287 kJ/ kg K.



7, el resión

ión de nstan-

IkgK s a la alares

399

10.37 El cilindro de un motor de combustión interna contiene 650 cm-' de gases producidos en la combustión a una presión de 7 bar y una temperatura de 876°C justo antes de que se abra la válvula de escape. Calcule la disponibilidad de kJ/kg en estas condiciones. Puede considerarse que los productos de combustión tienen las mismas propiedades del aire, o sea, cp = 1 J/g K Y R = 0.287 J/g K. La temperatura y la presión del aire ambiente son 27°C y 1 bar, respectivamente. 10.38 Considere un motor de gasolina de 2 litros de desplazamiento total, cuatro tiempos y cuatro cilindros, el cual gira a 3800 RPM. El motor tiene una relación de compresión igual a 9. Las condiciones en el cilindro al iniciarse el proceso de compresión son 1 bar y 60°C. La temperatura máxima en el ciclo es igual a 2300 K. Suponga que las propiedades termodinámicas del medio de trabajo son cp = 1 J/g °C, R = 287 J/kg K Y k = 1.4.

parte,

O°c.

/g K.

a) Calcule la presión máxima en el ciclo. b) Determine la eficiencia del ciclo. 10.39 Considere un motor diesel de 6 cilindros y 3 litros de desplazamiento total. La relación de compresión en el motor es igual a 19. Las condiciones en el cilindro al iniciarse el proceso de compresión son 1 bar y 60°C. Se sabe que la temperatura máxima al terminar la combustión es igual a 2400 K. Suponga que las propiedades termodinámicas del medio de trabajo son: cp = 1 J/g °C, R = 287 J/kg K Y k = 1.4. Determine

aceso

a) El volumen de la cámara de combustión en cada cilindro. b) El volumen del cilindro al terminar el proceso de combustión. /g K.

10.40 Determine la relación isoentrópica para el motor del problema 10.39. 10.41 Una turbina de gas ideal toma el aire a 1 bar y 27°C y el compresor lo descarga a una presión Pz- La temperatura máxima en la turbina está limitada a 1027 °C y el calor disipado por toda la unidad es igual a 500 kJ/kg. a) Calcule la presión a la descarga del compresor. b) Evalúe la eficiencia de la turbina de gas.

consesión

RPM. 1ciclo roceo por esión

kgK.

10.42 La caldera en un ciclo Rankine ideal descarga vapor saturado seco a una presión de 30 bar. La presión de operación en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia del ciclo. 10.43 Evalúe la función de Helmholtz para el vapor de agua a la entrada de la turbina en el ciclo del problema anterior. 10.44 Un ciclo atto tiene una relación de compresión de 8.1 y al principio de la compresión la mezcla de trabajo se encuentra a 0.95 bar y 17°C. Durante el proceso de suministro de calor la presión se triplica. Calcule la presión y temperatura máximas del ciclo. Suponga las siguientes propiedades del fluido de trabajo: R = 287 J/kg K Y cp = 1 J/g K.


400

Termodinámica

10.45 Considere un motor de gasolina, de 4 tiempos y 4 cilindros en línea. Si el orden de encendido es 1-3-4-2, muestre en un diagrama el arreglo de los muñones en el cigüeñal. 10.46 Un motor de un cilindro que obedece el ciclo Qtto tiene un desplazamiento igual a 2 .8 litros. La cámara de combustión tiene un volumen igual a 15% del desplazamiento y el motor gira a 3000 RPM. El calor agregado es de 1150 kJ/ kg. Las condiciones del fluido de trabajo al iniciarse la compresión son 1 bar y 27 oc. Suponiendo que las propiedades del fluido de trabajo son iguales a las del aire, calcule la presión y la temperatura máximas en el ciclo. 10.47 Un ciclo Diesel tiene las siguientes características: temperatura al finalizar la compresión, ]00 oC; trabajo neto del ciclo, 751 kJ/ kg; calor agregado al ciclo, 1200 kJ/ kg. Determine a) La relación de compresión. b) La temperatura máxima en el ciclo . e) La relación isoentrópica. Suponga que k = 1.4, ep = 1 kJ/ kg oC y e v = 0 .713 kJ/ kg oc.


11

ido os. ira al

de

Mezclas no reactivas

n,

ne

No hay legado más valioso que la honradez. SHAKESPEARE

Hasta ahora se han considerado sólo sustancias constituidas por una especie química. Las mezclas homogéneas de gases inertes son sustancias puras y, como tales, sus propiedades termodinámicas pueden analizarse con las técnicas previamente presentadas. Empero, conviene establecer las propiedades termodinámicas de una mezcla de gases no reactivos a partir de las propiedades de los diferentes constituyentes de la mezcla. El aire seco, compuesto básicamente por nitrógeno y oxígeno, constituye una mezcla de las más comunes. Por otro lado, el estudio de mezclas aire-vapor de agua es de fundamental importancia en procesos de aire acondicionado. El estudio se limitará aquí a mezclas de gases ideales. El lector interesado en el análisis de mezclas de gases reales podrá consultar las referencias citadas al final de este capítulo.

11.1 Fracción de masa y fracción molar Considere una mezcla de gases a, b, C, ... Dado que la masa de la mezcla es igual a la suma de las masas de los diferentes constituyentes individuales que forman la mezcla, (11.1)

La fracción de masa

(Oí

de cualquier componente i en la mezcla se define mediante la relación,

(Oí

m·l·

= m; 1 = a, b, e,...

(11.2)

'.'\


402

Termodinámica

Comparando las ecuaciones 11.1 y 11.2 se desprende que la suma total de fracciones de masa en la mezcla es igual a la unidad. Esto es, (00

+

(Ob

+

(Oc

+ .. . = 1

L(O¡= 1; i= a, b,

C, . ..

(11 .3)

La fracción de masa de la especie i constituye el porcentaje gravimétrico del gas i (expresado decimalmente) en la mezcla; el análisis basado en las fracciones de masa de los diferentes componentes se conoce como análisis gravimétrico. Por otro lado, el número total de moles en la mezcla se define como la suma del número de moles de los diferentes componentes individuales que forman la mezcla. Es decir, (11.4)

La fracción molar X¡ de cualquier componente i en la mezcla se define mediante la relación,

(11 .5)

Comparando las ecuaciones 11.4 y 11.5 se observa que la suma total de fracciones molares en la mezcla es igual a la unidad. O sea,

Xo + Xb + Xc + ... = 1 LX¡ = 1; i = a, b, e, ...

(11.6)

Dado que la masa, el número de moles y el peso molecular están relacionados a través de la expresión m = nM, de la ecuación 11.1 se obtiene que

o bien,

M = XoMo + XbMb + XcMc + .. . M= LX¡M¡; i = a, b, e, ...

(11.7)

Es decir, el peso molecular M de la mezcla queda determinado mediante el conocimiento de la composición y los pesos moleculares de los diferentes componentes que forman la mezcla.


11 Mezclas

no reactivas 403

11.2 Presión parcial y volumen parcial Considere una mezcla de gases ideales a, b, e, ... , los cuales se hallan a la misma temperatura T y ocupan el mismo volumen V. Introduciendo la ecuación de estado de los gases ideales p V = nRu Ten la expresión 11 .4 se obtiene que

o también (11.8) donde Po' Pb' Pc" " denotan las presiones parciales que ejercen los diferentes componentes en la mezcla a temperatura Ty volumen total V. La ecuación 11 .8 se conoce como la ley de Dalton, que afirma: la presión en una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones parciales que cada componente ejercería si ocupara el volumen total de la mezcla a la temperatura de la mezcla. Como consecuencia de la ley de Dalton de presiones parciales, la constante R de una mezcla de gases ideales puede determinarse fácilmente. Esto es, de la ecuación 11 .8 , p

=

Po + Pb + Pe + .. . I T,v

Es decir,

Por consiguiente,

R = maRa + mbRb + meRc + .. . m

R = Lm¡R¡ ~ .:..m ¡

= LooR. · i = a, b, e, ... I

l '

Por otro lado, con la ecuación 11 .5 se obtiene además que

py X¡

n¡

=n =

Ru T PV

Ru T

p¡

=Ti

IT,v

(11.9)


404 Termodinámica

o bien, p.I =

x·PI TV I

'

(11 .10)

De la misma manera, considere una mezcla de gases ideales a, b, C, ... , a una temperatura Ty a una presión p. Al introducir la ecuación de estado de los gases ideales en la ecuación 11.4 se obtiene que

o bien,

V=V+Vb+V+1 a c p ,T

(11 .11)

donde Va' V b , Vc'''' denotan los volúmenes parciales que ocupan los componentes a, b, C, .. . en la mezcla a temperatura T y presión p . La ecuación 11 .11 se conoce como la ley de Amagat o ley de Leduc, que establece: el volumen de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de los volúmenes de los diferentes componentes, si cada uno existiera a la presión y temperatura de la mezcla. Recurriendo a la ecuación 1l.5,

o también,

V= XV Ip' I I

T

(11.12)

La expresión anterior indica que la fracción molar de la especie i constituye el porcentaje volumé trico (expresado de forma decimal) o fracción volumétrica del gas i en la mezcla. Esto es , la fracción molar constituye el porcentaje del volumen total que cada componente ocuparía si los diferente s gases que constituyen la mezcla se colocaran en compartimientos separados a la presión p y a la temperatura T de la mezcla. A este tipo de análisis de una mezcla se le conoce como análisis volumé trico. Los análisis gravimétrico y volumétrico están relacionados a través de las expresiones

O)

¡

x· ' . i = a, b, e, .. . = -'-M I.X¡M¡ '

(l1.l3)


11 Mezclas no reactivas

405

Asimismo, 10)

i=a, b, e, ...

(11.14)

una que

La demostración de estas expresiones se deja al lector como ejercicio. Ejemplo 11.1 El análisis volumétrico de una mezcla de gases a 1 bar y 500 K es el siguiente:

.11) n

Porcentaje 9.51

Constituyente CO2 H20

19.01 71.48

N2

la

100.00

de me-

cia.

a) Determine el análisis gravimétrico de la mezcla. b)

Calcule la presión parcial de cada componente en la mezcla.

Solución a) El análisis gravimétrico puede determinarse partiendo de la ecuación 11.13: Constituyente

Análisis

Peso

volumétrico CO2

H20 N2

.12)

rico

b)

x¡m¡

9.51 19.01 71.48 --100.00

418.44 342.18 2001.44

44 18 28

2762.06

15.15 12.39 72.46 --100.00

Las presiones parciales quedan determinadas mediante las siguientes relaciones

ses

9.51 100

P.co

= --(1)

PH

= --(1)

2

= 0.0951

bar

iea. O 2

.13)

Análisis gravimétrico

alar era-

x 100

molecular

p. N2

19.01 100

= 0.1901 bar

= 71.48 (1) = 0.7148 bar

100

1

bar


406

Termodinámica

Ejemplo 11.2 A continuación aparece el análisis gavimétrico de una mezcla de gases: CO2 CO CH4

Porcentaje 10.0 25.4 1.2

H2 N2 O2

0.7 59.1 3.6

Constituyente

Por ur

o bien

Delrni

100.0 a) Determine el análisis volumétrico. b) Calcule la constante R de la mezcla.

Por ur

Solución a) El análisis volumétrico puede determinarse partiendo de la ecuación 11.14: Constituyente CO2 CO CH4 H2 N2 °2


Peso Molecular

10 25.4 1.2 0.7 59.1 3.6 -100.0

44 28 16 2 28 32

w·

x 100

-1..

m;

Análisis volumétrico

0.23 0.91 0.08 0.35 2.11 0.11 -3.79

6.07 24.01 2.11 9.23 55.67 2.91 -100.00

o tarnl

Elcalo te dífei

b) La constante R puede determinarse mediante la ecuación 11.9, sustituyendo los valores de la tabla 5.1. Es decir,

R

=

(0.10)(0.189) + (0.254)(0.297)

De me detem

+ (0.012)(0.518) + (0.007)(4.124) + (0.591)(0.296) + (0.036)(0.260)

R

=

0.314 KJ/kg K

11.3 Energía interna y entalpía. Calores específicos.

Entropía

La energía interna de un gas ideal depende única y exclusivamente de la temperatura. En consecuencia, la energía interna de una mezcla de gases ideales queda determinada mediante la relación



407

u = Ua(T) +Ub(T) + UJT) + .. . mu

=

maua + mbub + mcu c + .. .

Por unidad de masa,

o bien, i = a, b, e, ...

u = :.ECO¡U¡;

(11 .15)

Del mismo modo, la entalpía de una mezcla de gases ideales queda determinada por la relación H = Ha(T) + Hb(D + Hc(D + ... mh = maha + mbhb + mchc + .. . Por unidad de masa, h = maha + mbhb + mchc + ... m

o también, h = :.Eco¡h¡;

i

= a, b, e, .. .

(11 .16)

El calor específico a volumen constante de una mezcla de gases ideales puede determinarse fácilmente diferenciando la ecuación 11.15. Esto es,

= du

e u

dT

_~ du¡ -.L..CO·I dT e u = :.Eco¡e¡; i = a, b, e, ...

(11 .17)

De manera análoga, el calor específico a presión constante de una mezcla de gases ideales puede determinarse diferenciando la ecuación 11.16. Es decir,

= du

e u

dT

dh¡ =:.Eco. I dT ep = :.Eco¡p¡; i = a, b, e, .. .

(11 .18)


408 Termodinámica La entropía de una mezcla de gases ideales puede determinarse mediante la ley de Dalton. Es decir,

s = Sa(T, ms

=

+,Sb(T, V) + Se(T, V) + ... masa + mbsb + mese + ... V)

Por unidad de masa,

o bien, s = LCO¡S¡; i = a, b, c, ...

(11.19)

donde las entropías de cada componente se evalúan a la temperatura y volumen de la mezcla (o a la temperatura de la mezcla y presión parcial de cada componente). Recurriendo al principio de incremento de entropía, puede demostrarse que la entropía de cualquier componente a la temperatura y volumen total de la mezcla (o a su presión parcial) es mayor que su entropía cuando existe a la temperatura y presión de la mezcla. Es decir,

Ejemplo 1 1.3

El análisis volumétrico de una mezcla de gases ideales es el siguiente: Constituyente

Porcentaje

30

COz CO Nz

15 55 100.0

La mezcla se comprime de manera adiabática y reversible desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC, hasta una presión de 5 bar. Suponga las siguientes propiedades constantes COz cp = 0.846 J / g K,

CV

= 0.657 J/g K y R = 0.189 J/g K

CO cp = 1.041 J / g K,

CV

= 0.744 J / g K y R = 0.297 J/ g K

Nzcp = 1.040 J/ g K,

CV

= 0 .744 J / g K y R = 0 .296 J / g K

http://carlos2524.jimdo.com/ 11 Mezclas

ir,

no reactivas

409

a) Calcule la temperatura final de la mezcla. b) Determine el cambio en energía interna que experimenta la mezcla. e) Calcule el trabajo requerido en la compresión de la mezcla. d) Determine el cambio de entropía que experimenta cada uno de los constituyentes en la mezcla. Solución a) Es necesario determinar de antemano el análisis gravimétrico para calcular las diferentes propiedades de la mezcla. Constituyente

9)

CO2

CO

N2 la

Análisis volumétrico 30 15 55 100

Peso molecular

x¡m¡

44 28 28

x 100

1320 420 1540 -3280

ey


la cp = OOcÜz CpC02 + OOco cpCo + OON2 CpN2

= (0.4024)(0.846) + (0.1281)(1.041) + (0.4695)(1.040) = 0.96 J/g K

De manera similar, de la ecuación 11.17,

=(0.4024)(0.657)

+ (0.1281)(0.744)

+ (0.4695)(0.744) = 0.71 J/g K En consecuencia, k =.s?. = 0.96 = 1.36 cu 0.71 a Para un proceso adiabático reversible,

r-~ k-l

T2

~

TI (~:

(298)(5)°26

T2 = 455.08 K = 182.08 °C

Análisis gravimétrico 40.24 12.81 46.95 --100.00


410 Termodinámica

b) El cambio de energía interna por unidad de masa lo determina la expresión u2 - ul

= c v = (T2 - TI) = (0.71)(182.08 - 25) 111.53J/g

=

e) Mediante un balance de energía, -w =

~u =

111.53 J/g .

d) Con las ecuaciones T ds,

~s. =e .ln(TT2 )-Rln(P¡2) p. I

PI

I

1

11

Sin embargo,

P¡2 = X¡P2 = P2 Pi!

X¡Pl

PI

Sustituyendo valores, ~SC02 = =

(0.846) In ( 455.08) 298 - (0.189) In (5) 0.0538 J/9C02 K

L\sco = (1 .041) In ( 455.08) 298 - (0.297) In (5) = -

0.0373 J/gco K 455.08) - (0.296) In (5)

L\sN2 = (1.040) In ( 298 = -

0.0361 J/gN2 K

Dado que el proceso de compresión es isoentrópico, L\Sco

-m-2 = roco =

2

~co

2

= (0.4024)(0.0538)

0.0216 J/g K



411

~Sco ------;:n= (Oco~sco = (0.1281)(-0.0373)

=-

0.0048 J/g K

~s

~ m = (ON ~sN = (0.4695)(-0.0361) 2

=~s

2

0.0048 J/g K

= 0.0000

Ejemplo 11.4 Un flujo de masa de 1 g/s de CO2 a 100°C y 1 bar se mezcla con otro de N2 a 200°C y 1 bar en un sistema adiabático abierto, como se observa en la figura E.11.4. La mezcla resultante tiene un análisis volumétrico de 40% de CO2 y 60% de N2. Las propiedades de los gases son: CO2: cp = 0.94 J/g K Y R = 0.189 J/g K; N2: cp = 1.04 J/g K Y R = 0.296 J/g K. Si los cambios en energía cinética y potencial son despreciables a) Calcule la temperatura de la mezcla resultante. b) Determine la pérdida de disponibilidad en el proceso de mezclado.

Sistema 1 kg/s de

eo

a 100

-c

2

y 1 bar

L-_._-_._-_- .: -.-_-.. .: .: :::-::::::::-::

.. :::::~ t-z:trz:»: __:::::: __::::: :::: :-.-::_:.~._

• -.-::::::::::::_-:::.-:::.::-

N,. 200·C y 1 b., •

adiabático

••:_-_-:::::::_:-:

••_._.:::::'-

_

~::~:~~~mw{I{'J}lj{$ifff.~~-..:~~:: ~~2

Figura E.ll.4

,.

Solución a) La mezcla resultante tiene el siguiente análisis gravimétrico: Constituyente CO2 N2


40 60 100

Peso molecular

44 28

x¡m¡

11

I'~ x 100

1760 1680 -3440


5l.16 48.84 -100.00


412 Termodinámica

Un balance de materia indica que . mN

1680 1760

= --(1) = 0.95 g/s,

2

mC02 =

1 g/s


donde

Por tanto,

Asimismo, T _ mco 2 cp co 2 TI + mN2 cp N2 T z 3 -

.

mC0 2 Cp C0 2

.

+ mN2 Cp N2

(1)(0.94)(373) + (0.95)(1.04)(473) (1)(0.94) + (0 .95)(1.04) T 3 = 424.24 K = 151.24 oC

b) Para calcular la pérdida de disponibilidad, un balance de entropía indica que

° bien,



413

Por tanto,

Con las ecuaciones T ds,

Sustituyendo valores ,

=

0.2942 + 0.0362

Sp = 0.3304 W/K

Finalmente, 'I'p

= -

T o Sp = - (298)(0.3304) = - 98.46 W

11.4 Mezclas de gases ideales con un vapor condensable Muchas de las mezclas encontradas en aplicaciones de ingeniería involucran un componente en forma de vapor, es decir, un gas que existe a una temperatura inferior a su temperatura crítica y que puede condensarse cuando experimenta un incremento en presión a temperatura constante o un enfriamiento a presión constante. De estas mezclas, una de las más estudiadas y a la que se prestará toda la atención por su pertinencia en procesos de aire acondicionado es el aire ambiente. Estas mezclas no son sustancias puras en el estricto sentido termodinámico de la palabra, puesto que su composición varía en los procesos y se requieren más de dos propiedades para fijar el estado. Dado que la presión del vapor de agua en una mezcla aire-vapor es su presión parcial y esta última suele ser muy pequeña, el vapor de agua puede tratarse como un gas ideal. Esto es, el vapor obedece la ecuación de estado de los gases ideales, su energía interna y entalpía son sólo funciones de la temperatura, su presión parcial en la mezcla es igual a la presión que ejercería si existiera a la temperatura y volumen total de la mezcla, etc. Sin embargo, si la temperatura de la mezcla disminuye, parte del vapor puede condensarse o incluso solidificarse durante el enfriamiento. Por otro lado, si la temperatura de la mezcla se incrementa, parte del líquido puede vaporizarse o el sólido sublimarse. De lo anterior se desprende que la composición de la mezcla varía cuando el componente en forma de vapor se condensa o se solidifica.


414 Termodinámica

El aire seco es una mezcla de gases que tiene un análisis volumétrico típico de 20.99% de 02, 78.03% de N2 , 0.94% de A, 0.03% de CO 2 y 0.01% de H2 . Para propósitos ingenieriles , es suficientemente exacto considerar que el aire seco está constituido por 21% de 02 y 79% de gases inertes tomados como N2 . La humedad en el aire ambiente varía de acuerdo con el contenido de vapor de agua en la mezcla aire seco-vapor.

11.5 Humedad relativa. Humedad específica La humedad relativa

(11 .21)

T

pg pv p=c p=c

s

Figura 11.1. Presión de vapor y de saturación para determinar la humedad relativa .



41 5

Esta expresión indica que el volumen específico o densidad del vapor de agua en el aire ambiente puede determinarse conociendo la humedad relativa y la temperatura del aire ambiente (dado que ug puede determinarse por la temperatura ambiente mediante las tablas del vapor de agua). El aire ambiente donde el vapor de agua se encuentra saturado se conoce como aire saturado, y su humedad relativa es, en consecuencia, igual a 1 o 100%. La humedad específica 00, conocida también como razón de humedad o humedad absoluta , se define como el cociente de la masa de vapor de agua en el aire ambiente, entre la masa de aire seco. Es decir,

(11.22)

donde mu se refiere a la masa del vapor de agua en la mezcla aire-vapor y mo a la masa de aire seco. De acuerdo con la ley de Dalton, el volumen y temperatura son los mismos para ambos constituyentes (aire seco y vapor de agua) en la mezcla. Por consiguiente,

(11 .23)

Sustituyendo los valores de Ro y Ru para el aire seco y vapor de agua, respectivamente,

00=0.622~ p- Pu

(11.23a)

En las ecuaciones 11.21 y 11.23 se observa que las humedades relativa y específica están relacionadas. Esto es, (11.24)

Ejemplo 11.5

El aire ambiente, en ciertas condiciones meteorológicas, tiene una humedad relativa de 70% cuando la presión absoluta es igual a 1 bar y la temperatura a 35 oc. a) Calcule la humedad específica. b) Calcule la masa de aire seco y de vapor de agua en 1 m 3 de mezcla.


416 Termodinámica

e} Detennine la cantidad de vapor de agua por kilogramo de aire seco que se condensa si la mezcla aire-vapor se procesa en un acondicionador de aire hasta las condiciones de 25 oC y 60% de humedad relativa.

Solución a} Para detenninar la humedad específica es necesario determinar primero la presión parcial del vapor de agua en la mezcla. Según las tablas del vapor (tabla A.1), a 35 oC, Pg1

= 0.05628 bar

Por consiguiente, según la ecuación 11.20, Pul = ep1 Pgl= (0.7)(0.05628) = 0.039 bar

Según la ecuación 11.23a, COl

= 0.622 =

Pul P - Pul

= 0.622

0.039 1- 0.039

0.025 kg/ kg a

b} Mediante la ecuación de estado de los gases ideales,

V1 (0.961 x 105)(1) = Ra T 1 = (0.287 x 103)(308) Pa1

mal

= 1.087 kg V1 (0.039 x 105)(1) = Ru T 1 = (0.461 x 103)(308) Pul

mu1

= 0.027 kg o bien, m u1

= COl m al =

(0.025)(1.087)

=

0.027 kg

Por consiguiente, m1

=

mal

+

mu1

= 1.114 kg

= 1.087 + 0.027



417

c) Al salir del aparato de acondicionamiento de aire, = 0.03169 bar Pu2 = j1S2 P g 2 = (0 .6)(0.03169) = 0.019 bar Pg2

Por tanto, (02

= 0.622

Pu2

= 0.622

P - Pu2 =

0.019 1- 0.019

0.012 kg/ kg a

,<.:.

En consecuencia, la cantidad de vapor de agua que se condensa es 001 - 002 =

0.013 kg de agua/kg de aire seco.

11.6 Temperaturas empleadas en la determinación de las propiedades del aire ambiente A continuación se definirán las diferentes temperaturas empleadas en la determinación de las propiedades del aire ambiente.

11 .6.1 Temperatura de bulbo seco La temperatura de bulbo seco en una mezcla aire-vapor es simplemente la temperatura que indicaría un termómetro al ser colocado en una mezcla.

11.6.2 Temperatura de punto de rocío En una mezcla aire-vapor, la temperatura de punto de rocío se define como la temperatura de saturación del vapor correspondiente a la presión parcial de éste en la mezcla. En el caso de aire saturado (l/> = 1), la temperatura de punto de rocío es igual a la temperatura de bulbo seco, como se observa en el diagrama Ts de la figura 11.2.

11 .6.3 Temperatura de saturación adiabática En el proceso de saturación adiabática, una mezcla de aire-vapor se pone en contacto con agua líquida a menor temperatura, en un sistema aislado térmicamente, como se ve en el esquema de la figura 11 .3. La mezcla entra en el sistema a una temperatura 1), con una humedad relativa menor a 100%. Al pasar la mezcla aire-vapor a través del sistema, parte del agua líquida a temperatura T2 se evapora, incrementándose así la humedad específica de la mezcla hasta condiciones de saturación. Al mismo tiempo, la temperatura de la mezcla disminuye ya que el calor latente de vaporización del agua


418 Termodinámica

T

s

Figura 11.2. Temperaturas de bulbo seco y de punto de rocío .

líquida proviene de la mezcla. Como resultado, ésta sale saturada del sistema a una temperatura T2 . Esta temperatura se conoce como temperatura de saturación adiabática. En la figura 11 .4 se observa el proceso de saturación en un diagrama temperatura-entropía. Como puede verse, la presión del vapor se incrementa durante el proceso. Dado que los cambios en energía cinética y potencial son despreciables en este sistema, conocido como saturador adiabático, un balance de energía indica que, (mal hal

+ mul huI) + (m u2

- (mal ha2

-

mUI )h f2

+ mu2 hu2 ) = O

Sistema aislado térmicamente ~

2 Aire húmedo aT1

ma1

Aire saturado

----.

mv1

mv2

-

mv1

~12Jj Agua líquida

aT2

Figura 11.3. Saturador adiabático.

aT2



419

Por unidad de masa de aire seco, hal + COI huI = ha2

+ (C02

-

col )h¡2 (11 .25)

+ C0 2 hu2

donde ha l es la entalpía del aire seco que entra en el saturador, COI es la humedad específica en las condiciones 1 , huI es la entalpía del vapor a la entrada del saturador, h¡2 es la entalpía del agua líquida que se suministra al sistema, h a2 es la entalpía del aire seco a la descarga del saturador, co 2 es la humedad específica de la mezcla al salir del saturador y hu2 es la entalpía del vapor en las condiciones de saturación adiabática. Debe señalarse que la entalpía del vapor de agua en el aire ambiente es igual, en forma mu y aproximada a la entalpía del vapor saturado seco a la misma temperatura. Así, en las condiciones de entrada del saturador, huI = h gl . Por otro lado, dado que el valor a la descarga es saturado, h u2 = h g2 exactamente. La humedad específica COI del aire ambiente puede determinarse conociendo la temperatura de saturación adiabática T 2, de la temperatura TI y la presión p . Según la ecuación 11.25,

COI

(h a2 - hall + C0 2 (h-0:-_-"-_ g2 - h¡2) = _______ h gl - h¡2

COI

c (T2 - TI) + C02 h¡g2

= -'--pa

-------'-'=--

(11. 26)

h gl - h¡2

T

Tsa t. ad

s Figura 11.4. Proceso de saturación adiabático .


420

Termodinámica

Puesto que

4J2 = 1, de la ecuación 11.24

(11. 27)

11 .6.4 Temperatura de bulbo húmedo Una mezcla de aire-vapor con una humedad relativa menor a 100% se hace pasar a través de un termómetro cubierto con una gasa impregnada de agua. En condiciones de equilibrio, la transferencia de calor del aire ambiente al agua en la gasa es precisamente igual al calor latente de vaporización requerido por el agua qu~ s.e evapora y difunde en la mezcla. La temperatura resultante en estas condiciones de equilibrio se conoce como temperatura de bulbo húmedo. Para obtener una lectura correcta, la velocidad del aire ambiente debe ser entre 30 y 60 m/ min . En el caso del aire ambiente, la temperatura de bulbo húmedo es, para todos los propósitos prácticos, igual a la temperatura de saturación adiabática.

Ejemplo 11.6 Una mezcla de aire-vapor a una presión de 1 bar tiene una temperatura de bulbo seco de 30 oC y una temperatura de bulbo húmedo de 25 oc. Calcule las siguientes propiedades a) Humedad específica. b) Humedad relativa.

e) Temperatura del punto de rocío.

Solución a) Se supondrá que la temperatura de bul-

bo húmedo es igual a la temperatura de saturación adiabática. Según la ecuación 11.27, para condiciones de saturación,

=-

O)

s

RaTbh

T

30

--'='--"'''---

(p -

Pgs)v gS

25 23 .2

Según la tabla Al , a una temperatura de 25 oC,

PgS = 0.03169 bar vgs = 43 360 cm3/ g hfs = 104.89 J/ g hgs = 2442.3 J/g

s

Figura E.ll .6 .

http://carlos2524.jimdo.com/ 11 Mezclas no reactivas

Por tanto, ros =

(0.287 x 103)(298) (1 - 0.03169) 10 5 (43 .36)

Con la ecuación 11.26,

Según la tabla A.1, a una temperatura de 30 oC, hg = 2556 .3

Sustituyendo valores, (1)(25 - 30) + (0.0204)(2442.3) 2556.3 -104.89

ffi=~----~------~----

b) Según la ecuación 11.23a, wp Pu = 0.622 + w

(0 .0183)(1 ) 0.622 + 0.0183 =

0.0286 bar

Por tanto,

= ~ = 0.0286 = 0.6736 Pg

0.04246

= 67 .36% e) Mediante interpolación de la tabla A.2 , a una presión de 0 .0286 bar se obtiene que

T pr = 23.24 oC

421


422

Termodinámica

11.7 Carta psicrométrica Dada la importancia del aire ambiente en todos los procesos de acondicionamiento de aire, sus diferentes propiedades pueden graficarse en lo que constituye una carta psicrométrica . En la figura 11 .5 se ilustra la carta psicrométrica del aire ambiente a una presión absoluta de 760 mm Hg. Como puede observarse el eje horizontal representa la temperatura del bulbo seco, mientras que el eje vertical representa la humedad específica. En la misma carta aparecen las líneas de humedad relativa constante, que terminan en la línea de saturación donde la humedad relativa es igual a 100%. A lo largo de esta línea de saturación se localiza la temperatura de bulbo húmedo . Dado que existe una relación única entre la humedad específica y la presión de vapor, cuando la presión de la mezcla es constante las líneas horizontales de la carta psicrométrica indican también líneas de presión de vapor constante. De manera análoga, las líneas horizontales denotan asimismo temperatura de punto de rocío constante, puesto que esta temperatura depende única y exclusivamente de la presión de vapor en el aire ambiente. La carta psicrométrica presenta al igual líneas de volumen específico constante. Debe mencionarse que las líneas de temperatura de bulbo húmedo constante son también, de forma aproximada, líneas de entalpía constante. Lo anterior puede verificarse con facilidad recurriendo a la ecuación 11 .25 para el proceso de saturación adiabático. Si se define hm = ha + ooh u' la ecuación citada queda así

Puesto que el subíndice 1 se refiere a cualquier sección del saturador adiabático donde el aire se encuentra sin saturar, hm

= =

h m2 + (00 - 00 2) h f2 hm2 + desviación de entalpía

La desviación de entalpía generalmente es muy pequeña. Por consiguiente, para el proceso de saturación adiabático.

hm = hm2 donde el subíndice 2 corresponde al estado de saturación adiabático . La carta psicrométrica facilita enormemente el cálculo de procesos de acondicionamiento de aire . A continuación se ilustrará su uso. Enfriamiento evaporativo. La saturacióI), a:diabática del aire puede emplearse para reducir la temperatura de bulbo seco en tiempo cálido;,;e(¡ando las condiciones son favorables . Al agregar humedad al aire ambiente en el enfriamiento eváporativo, la temperatura de bulbo seco mínima que el aire puede alcanzar es igual a la temp ~ratura de bulbo húmedo que tiene el aire al entrar en el enfriador. Por consiguiente, la reducción d]'temperatura es mayor cuanto menor sea el contenido de humedad que hay en el ambiente. En la f,;gura 11.6 se ilustra el proceso de enfriamiento evaporativo.

.,

Entalpía

lO

Tempe ratura de bulbo seco

Figura 11.5. Carta psicrorn étrica .

barométrica de 1 O ~ 3.25 mbar

Basada en una presión

kJl lg

oc

'"

'0

otts

"

!-'-JcH.:'+'-!-t-?'ki 71 0

011

.I

"C

1

'-'-l"-f;t;+'-Hi~ o 01 1 ~

"O



424

Termodinámica

I/J = 100% (O

.....- - - - - - - - - 1 (02

Figura 11.6. Proceso de enfriamiento evaporativo.

Dado que no siempre es factible realizar la saturación de forma completa en equipos comerciales, la eficiencia de humidificación se define como el porcentaje de la reducción en la temperatura de bulbo seco obtenida en la realidad con respecto a la reducción máxima posible en el proceso de saturación adiabático. De forma analítica, flh

T

-

T

Tbs1

-

Tbh1

bs1 bs2 = -==---=-=-

donde T bs1 se refiere a la temperatura de bulbo seco del aire que entra en el sistema, T bs2 a la temperatura de bulbo seco del aire parcialmente saturado que sale del enfriador y T bh1 a la temperatura de bulbo húmedo del aire que entra en el sistema. El enfriamiento evaporativo, como método de acondicionamiento de aire, es de aplicación muy limitada en climas cálidos húmedos. Ejemplo 11.7

Determine la temperatura de bulbo seco y la humedad relativa que alcanza el aire al pasar por un enfriador evaporativo que tiene una eficiencia de humidificación de 90%, si las condiciones del aire ambiente son : Temperatura de bulbo seco Humedad relativa

35 oC 50%


I I Mezclas no reactivas

425

Solución

En la figura E.11.7 se muestra el proceso de enfriamiento en la carta psicrométrica. La reducción en temperatura máxima es de 35 - 26.4 = 8 .6 oc. Por consiguiente, la reducción en temperatura real es de 8.6 x 0 .9 = 7.7 oc. Lo anterior indica que la temperatura de bulbo seco final es de 35 - 7.7 = 27.3 oc. De la carta psicrométrica se obtiene una humedad relativa final de 91 %, aproximadamente. Precalentamiento, humidificación por saturación adiabática y recalentamiento. Este proceso aparece en el diagrama de la figura 11.7. Un flujo de aire saturado en el estado 1 se calienta hasta el estado A mientras el contenido de Figura E.11. 7. Proceso de enfriamiento evaporativo. humedad se mantiene constante. El calor suministrado durante este proceso de calentamiento es proporcional a la diferencia hA - h¡. A continuación el aire se humidifica y enfría haciéndolo pasar por una cortina de agua (o inyectándole agua atomizada) durante el proceso de saturación adiabático A-B. El agua de alimentación que debe suministrarse es proporcional a la diferencia (¡)B - (¡)A- Por último, el aire saturado se recalienta hasta el estado 2 mediante la adición de calor, la cual es proporcional a la diferencia h 2 - h B.

Figura 11. 7. Precalentamiento, humidificación por saturación adiabática y recalentamiento.


426 Termodinámica Ejemplo 11.8 Se desea acondicionar aire saturado a 14 oC hasta que su temperatura de bulbo seco sea de 25 oC y su humedad relativa sea igual a 60%. Empleando precalentamiento, humidificación por saturación adiabática con 100% de eficiencia y recalentamiento, calcule a) La cantidad de agua que debe suministrarse por unidad de masa de aire seco . b) El calor suministrado por unidad de masa de aire seco en el precalentador. e) El calor proporcionado por unidad de masa de aire seco en el recalentador.

100%

úl

>:'o:::::-+-~----=~--~ 0.012

;1"--#-+-_-::::''''' ---+-----1 0 .010

14°

17°

19.6°

22°

25 °

Figura E.II.S.

Solución a) Los procesos aparecen en el diagrama de la figura E.11 .8 . El agua que debe suministrarse es igual a (02 -

(01 =

=

0 .012 - 0 .010 0.0020 kgagua/ kgaire seco

b) El calor suministrado en el precalentador es igual a ql-A

= hA-h 1 = 46 - 39.5

= 6.5 J / g aire seco



427

e) El calor suministrado en el recalentador es igual a qB-2

= h2

-

h B = 53 - 46 = 7 J / g aire seco

Deshumidificación y recalentamiento. Este proceso aparece en el diagrama de la figura 11 .8. El aire, con una humedad relativa menor a 100%, se enfría hasta una temperatura menor que su temperatura de punto de rocío inicial, condensándose una porción del vapor de agua. Después , el aire se recalienta mientras su humedad específica se mantiene constante. Durante la deshumidificación el aire se enfría hasta el punto A, donde su temperatura es igual a la de punto de rocío de la condición final.

-

(1)2

Tpr 2

I

Figura 11 .8 . Deshumidificación y recalentamiento.

1.8 Resumen La fracción de masa

(Di

de cualquier componente i en una mezcla se define mediante la relación

(Di

=

m 111, ; 1. = a, b,e, .. .

La fracción de masa de la especie i constituye el porcentaje gravimétrico del gas i en la mezcla y el análisis basado en las fracciones de masa de los diferentes componentes se denomina análisis gravimétrico. La fracción molar Xi de cualquier componente i en una mezcla se define mediante la relación

Xi -!l. - n ' i =a, b, e, ...


428

Termodinámica

El peso molecular M de una mezcla queda determinado mediante la relación

La ley de Dalton establece que la presión en una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones parciales que cada componente ejercería si éste ocupara el volumen total de la mezcla a la temperatura de la mezcla. Es decir, p

=

Pa + Pb + Pe +

1

T,V

La constante R de una mezcla de gases ideales queda determinada por la expresión,

La ley de Amagat o ley de Leduc establece que el volumen de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de los volúmenes de los diferentes constituyentes si cada uno existiera a la presión y temperatura de la mezcla. Esto es,

El análisis de una mezcla basado en las fracciones molares se denomina análisis volumétrico . La energía interna de una mezcla de gases ideales queda determinada por la relación ,

Otras propiedades quedan determinadas por las expresiones: + O)bhb + O)che + .. . O)ac va + O)bcvb + O)ecve + ... O)acpa + O)bcpb + O)ecpe + .. . O)asa + O)bsb + O)ese + ...

h = O)aha Cv =

cp = s

=

El aire seco es una mezcla de gases que tiene un análisis volumétrico típico de 20 .99% de O 2 ,78 .03% de N 2 , 0.94% de A, 0 .03% de CO 2 y 0 .01% de H 2 . Para propósitos ingenieriles, es suficientemente exacto considerar que el aire seco está constituido por 21 % de 02 y 79% de N2 . La humedad en el aire ambiente varía de acuerdo con el contenido de vapor de agua en la mezcla de aire seco-vapor. La humedad relativa se define como el cociente de la presión parcial del vapor en la mezcla entre la presión de saturación del vapor a la temperatura de la mezcla. Es decir,



429

El aire ambiente en el cual el vapor de agua se encuentra saturado se denomina aire saturado y su humedad relativa es, en consecuencia, igual a 1 o 100%. La humedad específica se define como el cociente de la masa de vapor de agua en el aire ambiente entre la masa de aire seco. Esto es,

La temperatura de bulbo seco en una mezcla aire-vapor es la temperatura que indicaría un termómetro al ser colocado en la mezcla. La temperatura de punto de rocío se define como la temperatura de saturación del vapor correspondiente a la presión parcial de éste en la mezcla. La temperatura de saturación adiabática es esencialmente igual a la temperatura de bulbo húmedo del aire ambiente.

Problemas 11.1 Una mezcla compuesta de 2 kg de CO 2 , 5 kg de N2 y 5 kg de CH 4 tiene una presión de 1.5 bar y una temperatura de 40 oc. Calcule el peso molecular de la mezcla, así como las presiones y volúmenes parciales de cada uno de los componentes. Respuestas:

m

=

22.37;

PN 2

=

0.499 bar,

PC02 =

127 bar

PCH = 4

0.874 bar

VC02 = 0.79 m 3 , VN2 = 3.10 m 3 VCH4

=

5.42 m 3

11.2 Una mezcla con un análisis volumétrico de 30% de nitrógeno y 70% de dióxido de carbono tiene una temperatura de 100 oC y una presión de 2 bar. Calcule a) El análisis gravimétrico de la mezcla. b) La constante R de la mezcla. e) La entalpía de la mezcla tomando como referencia un valor de O oc.

11.3 Un recipiente que contiene 5 kg de oxígeno a una presión de 5 bar y una temperatura de 100 oC se encuentra conectado por medio de una válvula a un segundo recipiente que contiene 10 kg de monóxido de carbono a una presión de 3 bar y una temperatura de 50 oc. La válvula se abre, realizándose así la mezcla adiabática de los dos gases. Determine a) La presión y temperaturas finales. b) El análisis volumétrico finaL Respuestas:

a) p = 3.47 bar, T = 65.4 oC b) Oz: 30%, CO: 70%

•


430

Termodinámica

11.4 Determinada mezcla de aire con un análisis volumétrico de 76% de nitrógeno y 24% de oxígeno se encuentra a una presión de 3 bar y una temperatura de 90 oc. Si se suponen calores específicos constantes, calcule la entropía del aire en estas condiciones. Supóngase también que la entropía del oxígeno y la del nitrógeno son iguales a cero a una presión de 1 bar y una temperatura de O K. 11.5 Demuestre que la densidad de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las densidades de sus componentes. 11.6 Demuestre que en el mezclado adiabático de gases ideales en un recipiente rígido , en principio a la misma presión y temperatura, el cambio de entropía depende exclusivamente del número de moles de los constituyentes. 11.7 Calcule el volumen específico de una mezcla formada por 30% de CO 2 , 20% de CO y 50% de N 2 en base de masa si la presión es de 1 bar y la temperatura es de 50 oc. 11.8 La fracción de masa de cada constituyente en una mezcla de N 2 y CO 2 es de 50%. Si la mezcla se comprime de 1 bar y 20 oC a 5 bar y 180 oC, determine el cambio de entropía que experimenta el CO 2 . 11.9 A una temperatura de 30 oC y una presión total de 1 bar el aire ambiente tiene una humedad relativa de 50%. a) Determine las presiones parciales del aire seco y del vapor de agua. b) Calcule la temperatura de punto de rocío.

11.10 Determine la humedad específica del aire ambiente a 1 bar y 40 oC si la humedad relativa es de 60%. 11.11 El aire ambiente a una temperatura de 15 oC y con una humedad relativa de 100% se calienta sin variar su humedad específica hasta una temperatura de bulbo seco igual a 30 oc. a) Calcule la temperatura de punto de rocío final. b) Determine la humedad específica del aire. e) Calcule la humedad relativa final. d) Determine el calor suministrado en el proceso. e) Calcule la temperatura de bulbo húmedo final.

11.12 Cinco mil kilogramos de aire seco a 5 oC se mezclan de forma adiabática con 10 000 de aire seco a 40 oc. Calcule la temperatura de la mezcla. 11.13 Se desea acondicionar cierta cantidad de aire ambiente desde una temperatura de bulbo seco igual a 40 oC y una humedad relativa de 50% hasta una temperatura de 25 oC y una humedad relativa de 50%. Utilizando la carta psicrométrica , es decir, indicando los estados termodinámicos a) Calcule la cantidad de agua por unidad de aire seco que debe quitarse al aire ambiente. b) Determine la temperatura de rocío que tiene el aire ambiente ya acondicionado. c) Determine la temperatura de bulbo húmedo que tiene el aire ambiente ya acondicionado.


J J Mezclas no reactivas

431

11.14 Una mezcla de gases de combustión a 1 bar y 300 oC tiene el siguiente análisis volumétrico en porcentajes

CO 2 H 20 N2

12.50 14.06 73.44

Calcule el análisis gravimétrico de la mezcla y la temperatura a la que el agua se condensa, esto es, la temperatura de punto de rocío de los gases de combustión. 11.15 Los gases que salen de una caldera que quema gas natural se encuentran a 300 oC y 1 bar, y tienen la siguiente composición en volumen:

CO 2 H 20 N2 02

8.7 16 72.1 3.2

a) Calcule la densidad de la mezcla. b) ¿A qué temperatura tiene lugar la condensación de agua en la chimenea? 11.16 Se tiene aire ambiente a 30 oC y 60% de humedad relativa. Calcule la temperatura de bulbo húmedo y la temperatura de punto de rocío. 11.17 Una mezcla de gases ideales tiene el siguiente análisis volumétrico: 02' 30%; CO 2 , 40%; N2 , 30%. Determine

a) El análisis gravimétrico. b) La presión parcial de cada componente si la presión total de la mezcla es de 1 bar y la temperatura es de 32 oc. e) El peso molecular de la mezcla. 11.18 Una habitación de 4 X 4 X 2.4 m tiene aire ambiente a una temperatura de bulbo seco de 30 oC y con una humedad relativa de 70%. Determine la temperatura de bulbo húmedo y la de punto de rocío.

Referencias 1. Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960. 2. Redlich, O. , Kwong, J. N. S., On the Thermodynamics of Solutions, Chem. Rev. , 44,233-244, 1949. 3. Reid, R. c. , Sherwood , T. K. , The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York. 1958.



12 Principios de combustión El hombre que no comete errores. generalmente no hace nada . E. J. HELPS

El término combustión comúnmente se refiere a una reacción química en la que interviene un combustible y oxígeno o aire; por lo general va acompañada de una flama. Los procesos de combustión tienen gran aplicación en motores de combustión interna, plantas generadoras de vapor, hornos y celdas de combustible, por mencionar algunos. En el análisis de procesos de combustión surgen varias incógnitas: ¿cuánta energía se libera en el proceso de combustión?, ¿cuánta masa de aire se requiere suministrar a una masa dada de combustible?, ¿cuál es la composición de los productos de combustión? , etcétera. La mayor parte de los combustibles (carbón, combustóleo, gasolina, gas natural, etc .), están básicamente constituidos por carbono, hidrógeno y pequeñas porciones de azufre como elementos combustibles.

12.1 Ecuaciones de combustión Una reacción química se basa en el principio de conservación de la materia, en términos de la conservación de átomos. Para ilustrar este punto, considere la combustión de metano (CH4 ) con oxígeno (02)' La combustión completa implica que el carbono se convierte totalmente en dióxido de carbono (C0 2), el hidrógeno se transforrma en agua (H 20) y el azufre, si hay, se convierte en dióxido de azufre (S02)' Así, la combustión de metano con oxígeno, si se consideran sólo los compuestos que intervienen, puede analizarse como sigue


434

Termodinámica

Para determinar el número de moles en cada componente de un modo que satisfaga los requisitos impuestos por la conservación de la materia, es necesario realizar balances de carbono , hidrógeno y oxígeno. Esto es,

Balance de carbono (Creactivos = Cproductos ):

Balance de hidrógeno (Hreactivos

Balance de oxígeno (Oreactivos 20z

~

=

=

HproductoJ

0 productosl:

COz + 2H zO

En consecuencia, la ecuación de combustión completa del metano con oxígeno queda así (1 2.1) Es decir, un mol de metano reacciona con dos moles de oxígeno para formar un mol de dióxido de carbono y dos moles de agua. Por otra parte, la misma ecuación 12.1 establece que 16 kg de metano reaccionan con 64 kg de oxígeno para formar 44 kg de dióxido de carbono y 36 kg de agua. Esta última puede encontrarse como vapor, como líquido o como sólido, según las condiciones de presión y temperatura de los productos de combustión. Puesto que un mol de cualquier gas ideal ocupa un volumen definido en condiciones fijas de presión y temperatura, la ecuación 12.1 establece también que un volumen de metano reacciona con un volumen de oxígeno para formar un volumen de dióxido de carbono y un volumen de vapor de agua. Debe destacarse que el número de moles o volúmenes de reactivos y productos no son necesariamente iguales en magnitud. Sin embargo, la masa de los reactivos debe ser siempre igual a la de los productos. En la ecuación 12.1 resulta fortuito que el número de moles de reactivos y productos sea el mismo. En la mayor parte de los procesos de combustión, el oxígeno se suministra a través del aire ambiente. Como se expuso en el capítulo anterior, el aire seco está constituido básicamente por 21 % de oxígeno y 79% de nitrógeno, en volumen. Es decir, por cada mol de oxígeno hay 79/ 21 = 3.76 moles de nitrógeno presentes. Aun cuando el contenido de humedad en el aire ambiente es variable, su presencia sólo implica una cantidad adicional de materia esencialmente inerte. En consecuencia, la ecuación de combustión 12.1 queda expresada así CH 4 + 20z + 2(3.76)N z ~ COz + 2H zO + 7.52 Nz

(12.2)


12 Principios de combustión

435

La ecuación anterior no garantiza por supuesto que la reacción se lleve a cabo o no. La posibilidad o imposibilidad de que la reacción suceda es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, como se explicará más adelante. Por el momento, se supondrá que este tipo de reacciones ocurre de forma espontánea al suministrar al combustible la cantidad apropiada de aire. La cantidad mínima de este último, requerida para oxidar por completo todos los elementos combustibles, se conoce como cantidad de aire teórico, cantidad químicamente correcta de aire o cantidad estequiométrica de aire. La relación aire-combustible se define como el cociente de la masa de aire a la masa de combustible. Para la combustión del metano con la cantidad teórica de aire, la relación aire-combustible puede determinarse mediante la ecuación 12.2 teniendo en cuenta que el peso molecular del aire es aproximadamente 29 y el del metano es 16. Esto es: ma raje

= me =

(2 + 7.52)29 (1)16

Dado que a bajas temperaturas el agua en los productos de combustión está por lo general en estado líquido , el análisis volumétrico en base seca implica que el agua en los productos se encuentra condensada. En estas circunstancias, el líquido ocupa un volumen insignificante. El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión del metano con la cantidad teórica de aire es el siguiente

cO 2 = _1_(100)~ 11.74% 8.52 N = 7.52 (100)= 88.26% 2

8.52

10
Cuando el aire no alcanza a tener la cantidad químicamente correcta, parte del carbono se un'e con el oxígeno para formar monóxido de carbono (CO). Por otra parte, al suministrar exceso de aire respecto de la cantidad químicamente correcta, aparece oxígeno (02) en los productos de combustión. El exceso de aire sólo disminuye la temperatura de los productos de combustión y, por tanto, la transferencia de calor. Así, cabe mencionar que las turbinas de gas operan con un gran exceso de aire para disminuir la temperatura en los álabes de la turbina. El exceso o deficiencia de aire pueden detectarse a través de un análisis de los productos de combustión . i. Combustión con exceso de aire

Considere la combustión del metano con 20% de exceso de aire. En estas circunstancias, la ecuación 12.2 se modifica así


436

Termodinámica

CH 4 + 1.2(2)02 + 1.2(7.52)N2 ......., CO 2 + 2H 20 + 9 .02 N2 + 0.402 Con 20% de exceso de aire la relación aire-combustible es

raje =

(2.4 + 9.02)29 (1)16

El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión, con 20% de exceso de aire, es el siguiente CO 2 = _ 1 _ (100)= 9.60% 10.42

° = ~(100)= 3.84% 10.42 2

N = 9.02 (100)= 86.56% 10CJl!o 2 10.42 ii. Combustión con deficiencia de aire Considere ahora la combustión del metano con 20% de deficiencia de aire, es decir, con 80% del aire teórico. En estas condiciones,

CH 4 + 0 .8(2)02 + 0 .8 (7 .52) N2 ......., xC0 2 + yCO + 2H 20 + 6.02N 2 Mediante un

balanc~

de carbono y oxígeno, respectivamente, se obtiene x+y=l

Además, 2x + y + 2

=

3.2

Resolviendo las incógnitas x y y, x

=

y

=

0 .2 0.8

Por tanto, la ecuación de combustión con 20% de deficiencia de aire es

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437

En este caso

role =

(1.6 + 6.02)29 (1)16

El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión con 20% de deficiencia de aire es el siguiente

2.85% 11.40% 85.75% 100.00%

COz CO

Nz

Se deja al lector como ejercicio la verificación de estos porcentajes. Como puede observarse en la figura 12.1, el porcentaje de COz en los productos de combustión es máximo cuando la relación aire-combustible es químicamente correcta. Este porcentaje disminuye al haber exceso o deficiencia de aire. Por otra parte, el CO aparece en mezclas ricas (mezclas con exceso de combustible o deficiencia de aire). De manera similar, el 0z aparece con mezclas pobres (mezclas con deficiencia de combustible o exceso de aire). El Orsat constituye uno de los métodos tradicionalmente más empleados para analizar de forma experimental la composición volumétrica (en base seca) de los productos de combustión, mediante

%

\

\ / /'

,,/ \

~

L - -_ _ _

~ /

/

\

(AClteórica

%0, AC

12.1. Variación esquemática de COz. CO y 0 z en los productos de combustión.

Figura


438

Termodinámica

absorción de éstos. Aparte de contar con una bureta de medición, rodeada de agua para mantener la temperatura constante durante la prueba, el aparato tiene además tres pipetas para la absorción de CO 2, 02 y CO. En los productos de combustión el nitrógeno se obtiene por diferencia con el 100%. El lector interesado en la construcción y funcionamiento del Orsat puede consultar la obra de Messersmith y otros que se incluye en la bibliografía al final de este capítulo .

Ejemplo 12.1 Considere la combustión del octano (CSH 18) con la cantidad químicamente correcta de aire, a una presión constante de 1 bar. Calcule a) La relación aire-combustible. b) El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión.

e) La temperatura de punto de rocío en que el agua se condensa. d) La densidad de los productos de combustión a una temperatura de 100

oc.

Solución a) La ecuación de combustión puede determinarse mediante un balance de materia. Esto es,

CSH 18 + 12.502 + 47N 2 ~ 8C0 2 + 9H 20 + 47N 2 Según esta ecuación, ral e

(12.5 + 47)29 = (1)114

b) El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión es el siguiente

COz =

~(100)= 14.55% 55

N = 47 (100)= 85.45% z 55 100.00% e) La presión parcial del vapor de agua en los productos de combustión es

9

PH 0= -(1)= 0.14 bar

z

64



439

Por tanto, según la tabla A.2, T pr = 52.55 oC d) Según la ecuación de estado de los gases ideales

donde, R = RuIM, y

8 64

9 64

47 64

M = -(44)+ -(18)+ - (28)= 28.59 Por consiguiente,

R = 8.3143 = 0.291 JI K 28.59 g Además,

p=

5

(1 X 10 ) = 0.92 Kg/m3 (0.291x 103 )(373)

Ejemplo 12.2

El análisis volumétrico de cierto gas combustible es el siguiente:

CH4

84.5

C2H 6 CO2

11 .5

02 N2

0.1 1.0 2.9 100.0

Determine los metros cúbicos de aire requerido por metro cúbico de combustible y el análisis volumétrico de los productos de combustión. El gas se quema con la cantidad teórica de aire.

Solución Mediante un balance de materia en general

(84.5CH 4 + 11.5C2H6 + 0.lC02 + 0 2 + 2.9N 2) + w0 2 + 3.76wN 2 ~ xC0 2 + yH 2 0 + zN 2


440 Termodinámica

Mediante balances de carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno pueden determinarse las incógnitas w, x, y y z. Esto es,

C:

84.5 + (2) (11.5) + 0.1 x = 107.6

=

H:

(4) (84.5) + (6) (11 .5) y = 203.5

2y

o:

(2) (0.1) + 2 + 2w W = 208 .25

N:

(2) (2.9) + (2) (3 .76w) z = 785 .92

=

=

x

2x + y

=

2z

De lo anterior se obtiene 208.25 + 785.92

- - - - - - = 994.17 moles de aire/ lOO moles de gas 100

Cuando el combustible y el aire se determinan en las mismas condiciones de presión y temperatura, la relación aire-combustible de forma volumétrica puede expresarse así 9.94 m 3 de aire/ m 3 de combustible. Los productos de combustión pueden analizarse partiendo de los resultados anteriores, esto es Constituyente

No . de moles


107.6 203.5 785.92 1097.02

9.81 18.55 71.64 100.00%

12.2 Calor de combustión El calor de combustión o poder calorífico de un combustible se define como la cantidad de calor disipada por él cuando se quema por completo y se enfrían los productos hasta la temperatura inicial. El calor de combustión es una medida cuantitativa de la energía química liberada por un combustible. Según el tipo de proceso, tenemos el calor de combustión a volumen constante y el calor de com bustión a presión constante.


441

El calor de combustión a volumen constante por lo regular se determina de forma experimental en un calorímetro de volumen constante o bomba calorimétrica. Una pequeña cantidad de combustible se introduce en la bomba. Ésta se carga con una gran cantidad de oxígeno presurizado para asegurar la conversión completa de combustible en productos y se coloca en un baño de agua , logrando así que la temperatura, después de la ignición y combustión, sea esencialmente igual a la inicial. Mediante un balance de energía en este sistema cerrado, tenemos Qu = !'iU == Uproductos - UreactivoS I T, v

(12.3)

donde Qu es el calor de combustión a volumen constante. Aun cuando la energía interna de los productos se evalúa a la misma temperatura que la de los reactivos, la diferencia conforma la energía química liberada durante el proceso de combustión. El calor de combustión de los gases combustibles a presión constante se determina de manera experimental en un calorímetro de presión constante o de flujo . En este instrumento el aire y el combustible sufren combustión y los productos se enfrían esencialmente hasta la temperatura inicial mediante la circulación de agua de enfriamiento. Mediante un balance de energía en este sistema abierto tenemos

o

p

= !'iH = Hproductos - Hreactivos I p, T

(12.4)

donde Op es el calor de combustión a presión constante. El calor de combustión a volumen constante difiere del calor de combustión a presión constante si se experimenta una variación en el volumen que ocupan los productos de combustión resp ecto al de los reactivos. Comparando las ecuaciones 12.3 y 12.4 , tenemos

Op - Ou= !'iH - !'iU = !'ipV Op - Ou = (!'in)R uT

(12.5)

donde !'in denota la diferencia entre el número de moles de productos y reactivos de forma gaseosa . Analizando la ecuación 12.1 de combustión del metano con oxígeno y suponiendo que el agua está en su fase de vapor, !'in es igual a cero y Qp = Qu. Por otra parte, si el agua se encuentra en estado líquido, !'in es igual a -2 y el valor absoluto de Op es mayor que el de Qu debido al trabajo que realizan los alrededores en el sistema al existir una disminución en el volumen. Según se encuentre el agua en los productos de combustión, ya sea en su fase líquida o en su fase de vapor, tenemos el poder calorífico superior o el poder calorífico inferior, respectivamente, sea a presión o a volumen constante. Ambos valores, superior o inferior, difieren a una temperatura dada sólo por el calor latente de vaporización del agua. En la tabla 12.1 se presentan los calores de combustión a presión y a volumen constante de algunos combustibles a una temperatura de 25 oc. En la figura 12.2 se observa la relación existente entre la energía interna de los productos y los reactivos a una temperatura dada. El calor de combus-


442 Termodinámica

Productos

T

Reactivos

°v

u Figura 12.2. Relación entre la energía interna de los productos y los reactivos con la temperatura.

tión puede determinarse de forma analítica a cualquier temperatura mediante las ecuaciones 12 .3 y 12.4. Para el calor de combustión a volumen constante, tenemos Qu, TI

= Uproductos,

TI -

Ureactivos'

TI

Qu' T2

= Uproductos,

T2

Ureactivos'

T2

-

Comparando las expresiones anteriores, T2

Ou,T2

= Ou,T¡ + ~Uproductos IT¡ T2

- ~ U reactivos IT¡

(12.6)

De manera similar, para el calor de combustión a presión constante a una temperatura T2 , tenemos T2

Op, T2 = Op, TI + ~H productos ¡T¡ -

~H reactivos I~~

(12 .7)



443

De las expresiones anteriores se desprende que los calores de combustión permanecen invariables con la temperatura si el calor específico (a presión o a volumen constante) de los productos es igual al de los reactivos. En la tabla 12.2 se presentan los valores de entalpía de algunos gases ideales. Tabla 12.1. Calores de combustión. Combustible

Y

Alcohol etílico Alcohol metílico Butano Carbono (grafito) Decano Etano Heptano Hidrógeno Metano Monóxído de carbono Octano Pentano 2-2-4 trimetil pentano

Fórmula

C2HsOH CHpH C4HlO C ClOH22 C2H6 C7H16 H2 CH4

Calor latente de vaporización a 25°C J/gmol 42463 37514 24409

Poder caloríficosuperior a 25°C, J/gmol

-t.H

-si)

Poder caloríficoinferior a 25°C, J/gmol

-si«

-su

50865

1413 164 766124 2876557 393517 6830967 1558967 4853583 285844 889676

1408205 762405 2867879 393517 6814850 1552768 4841185 282125 884717

1281231 678169 2656471 393517 6346777 1426915 4501445 241830 801642

1283696 679399 2660190 393517 6357935 1428155 4508884 240590 801642

CO CSH1S CSH12

41366

282995 5512211 3534950

281 755 5498690 3525032

282995 5116149 3270847

281 755 5124827 3275806

CSH1S

35074

5496561

5100 il.13

5109092

Fuente: Obert, E. F., Internal Combustion

Engines, Intemational

Texbook Co., EUA, 1968.

Ejemplo 12.3 Determine el poder calorífico inferior del metano (CH4) a una temperatura de 1000 K. I

Solución

11

La ecuación de combustión es

Según la tabla 12.1, el poder calorífico inferior a volumen constante del metano es Qu

298 =

-801 642 J/gmol


Mediante

la ecuación

12.6,

Sust Qu,1000

= Qu,298 + (u*C02, 1000 + 2(u * H20, 1000 + (U*CH4' 298 + 2(u* 02,1000

u*C02,298) -

U* H20, 298)

-

U*CH4,298)

-

U* 02,298)

Tabla 12.2. Valores de entalpía de algunos gases ideales (J/gmol). T,K

"

., I~"

I¡~rl

,.i u , '"" ,I~JI

O 100 200 298 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 Fuente: JANAF

°z O 2985 5832 8688 8742 11 719 14779 17940 21198 24539 27947 31409 34922 38473 42061 45678 49325 52997 56689 60411 64159 67927 71 716 75534 79369 83229 87115 91017 94944 98892 102861 106851 Thermochemica/

Nz O 2868 5811 8675 8729 11648 14591 17572 20620 23731 26909 30149 33448 36802 40197 43635 47106 50606 54135 57690 61261 64854 68463 72 088 75727 79373 83037 86709 90389 94077 97770 101475

COz O 3211 5991 9370 9437 13 381 17689 22295 27143 32201 37430 42797 48291 53884 59561 65314 71125 76995 82911 88865 94856 100881 106935 113014 119114 125236 131378 137541 143716 149908 156113 162335

Tables, Springfield, Va. 22151.

HzO

CO

CH4

O 3291 6628 9910 9973 13364 16835 20415 24103 27913 31849 35906 40097 44409 48839 53386 58037 62789 67634 72 561 77 569 82647 87793 93001 98264 103577 108941 114350 119797 125282 130804 136356

O 2847 5811 8679 8734 11656 14612 17626 20708 23865 27089 30379 33729 37124 40566 44041 47554 51092 54650 58234 61839 65456 69095 72 741 76401 80073 83753 87446 91142 94852 98566 102284

O 3329 6661 10032 10099 13896 18238 23170 28680 34721 41257 48236 55613 63338 71377 79687 88237 97000 105951 115062 124323 133710 143209 152814 162506 172 178 182134 192049 202026 212057 222135 232263

RuT

0.00 832.00 1664.00 2480.68 2496.00 3328.00 4160.00 4992.01 5824.01 6656.01 7488.01 8320.01 9152.01 9984.01 10816.01 11 648.01 12480.01 13 312.01 14144.02 14976.02 15808.02 16640.02 17472.02 18304.02 19136.02 19968.02 20800.02 21632.02 22464.02 23296.03 24128.03 24960.03

Deb

12, En

1

inte sele este

tod. refe pur. los,

exp cua vale rea

der

En

díf

tl



445

Sustituyendo valores de la tabla 12.2 y teniendo en cuenta que u* = h* - Ru T, tenemos:

Qu, 1000 = -801 642 + (42797 - 8320.01) - (9370 - 2480.68) + 2(35 906 - 8320 .01) - 2(9910 - 2480.68) - (48236 - 8320.01) + (10 032 - 2480.68) - 2(31 409 - 8320.01) + 2(8688 - 2480.68)

Qu, 1000 = -799 869 J / mol Debe mencionarse que los calores de combustión a 1000 K ya 298 K difieren sólo en 0.22%.

12.3 Entalpía de reacción. Entalpía de formación En los análisis termodinámicos en los que el medio de trabajo es de composición química constante intervienen diferencias en propiedades, esto es, diferencias en entalpía, en entropía, etc. Aun cuando se seleccione un estado de referencia arbitrario para evaluar de forma cuantitativa estas propiedades, este estado no tiene ningún efecto en los resultados termodinámicos, puesto que su valor es el mismo para todos los estados que atraviesa el medio de trabajo en el proceso. En consecuencia, el estado de referencia se elimina en todos los cálculos. Para mostrar esto, el trabajo desarrollado por una sustancia pura durante la expansión adiabática en un sistema abierto es proporcional a la diferencia de entalpía si los cambios en energía potencial y cinética son despreciables. Si el medio de trabajo que interviene en la expansión es vapor de agua, la diferencia de entalpía puede calcularse mediante las tablas de vapor. Aun cuando éstas se construyen asignando un valor de cero energía interna al líquido saturado a 0.01 oC, el valor de referencia se elimina en los cálculos. Éste no es el caso en sistemas en los que interviene una-reacción química, donde la composición varía durante el proceso al formarse nuevos productos.Considere como ilustración la reacción del CO con 02 para formar CO2 ,

Si los reactivos se unen a una presión y a una temperatura de 1 atm t o

~Ho

o

1

o

= he02 - hco - '2 h02 =

-282 995 J / gmol

En consecuencia, la entalpía de 1 mol de CO 2 en condiciones estándar de presión y temperatura difiere por -282 995 J respecto de la de 1 mol de CO y 112 mol de 02'

t I atm

=

1.01325 bar


446

Termodinámica

Dado que una propiedad queda determinada por el estado termodinámico y no por el proceso, la entalpía de reacción !:J.¡--¡O para una reacción dada, puede determinarse mediante otras reacciones. Considere la reacción de C con 02 para formar ca,

1

C + -02 ---? CO 2 La entalpía de reacción puede determinarse con la tabla 12.1 y las siguientes reacciones: C+

02 ---?

CO 2 , !:J.H 0

=

-393 776 J/gmol

(a)

1

CO + - O 2 ---? CO 2 2 !:J.H o = -282 995 J/ gmol

(b)

Restando (b) de (a),

1 2

C + -02

---?

ca, !:J.H o = -110 552 J/gmol

Debe agregarse que la entalpía de reacción puede evaluarse en condiciones diferentes de las condiciones estándar mediante las técnicas presentadas en la sección 12.2. Un estado de referencia común puede obtenerse asignando un valor de cero a la entalpía de los elementos puros en un estado de referencia seleccionado de manera arbitraria. De esta manera, la entalpía del producto resultante a partir de la combinación de elementos puros se conoce como entalpía de formación. Para ilustrar esto, considere la reacción del carbono con el oxígeno para formar dióxido de carbono. C + 02

---?

CO 2 , !:J.¡--¡O

=

-393 776 J/gmol

Si la entalpía del carbono y la del oxígeno se igualan a cero de modo arbitrario por tratarse de elementos puros, la entalpía de formación del CO 2 en condiciones estándar es o

hC02 = - 393 776 kJ/kgmol Por la definición anterior es evidente que la entalpía de formación de un elemento en su estado estándar es igual a cero por convención. En la tabla 12.3 se presentan diferentes valores de la entalpía, entropía y función de Gibbs de formación. Aun cuando el valor de la entalpía puede igualarse a cero en un estado de referencia arbitrario, la entropía de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es igual a cero en el cero absoluto de temperatura . Este axioma constituye en esencia la tercera ley de la termodinámica. De forma analítica

Iím s =

°

T---?OK

(12 .8)


447

Tabla 12.3. Entalpía, entropía y funciól"!de Gíbbsde formación a 25°C y 1 atm. Sustancia

Fórmula

Estado

Acetileno Agua

C2H2 H20

Amoniaco Argón Butano Carbono

NH3 Ar C4HlQ C

Dióxído de carbono Etano Helio Heptano Hexano Hidrógeno Metano Monóxido de carbono Nitrógeno Octano Oxígeno

CO2 C2H6 He C7H16 C6H14 H2 CH4 CO N2 C8H18

Fuente: Obert, E. F., Concepts

of Thermodynamics,

°2

Gas Gas Liquido Gas Gas Gas Sólido Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas Gas

h~ kJ/kgmol 226899 -241988 -286031 -46222 O -126232 O 718865 -393776 -84724 O -187945 -167305 O -74898 -110597 O -208586 O

s~ kJ/kgmol K

kJ/kgmol

200.95 188.85 69.99 192.63 154.84 310.33 5.70 158.10 213.78 229.65 126.13 428.06 388.66 130.67 186.31 198.04 191.62 467.04 205.17

209340 -228746 -237349 -16647 O -17166 O 673426 -394647 -32908 O 8122 -293 O -50828 -137359 O -16538 O

g~

McGraw-HiIl, Nueva York 1960.

La entropía de una mezcla no puede ser igual a cero en el cero absoluto de temperatura, puesto que la

entropía se incrementa en los procesos irreversibles de mezclado. Ejemplo 12.4 Determine la entalpía de formación del alcohol etílico en condiciones estándar. Solución Según la tabla 12. 1, C2HsOH + 302 ~ 2C02 + 3H20 ~¡...¡o = -1 281 231 J/gmol

(a)

C + 02 ~ CO2, ~¡...¡o = -393 517 J/gmol

(b)


448

Termodinámica

1

H 2 + 202 ~ H 20 , ~fíD =

-241 830 J / gmol

Haciendo (2b) + (3c) - (a) 1 2C + -02 + 3H 2 2 ~fíD =

~

C 2 H s OH,

-231 293 J / gmol

En consecuencia o

hC2HsOH =

-231 293 J / gmol

De lo anterior se desprende que la entalpía de formación puede obtenerse partiendo de datos sobre entalpía de reacción.

12.4 Temperatura teórica de flama Considere la combustión adiabática a volumen constante de una mezcla de reactivos a una temperatura TI' Debido al proceso de combustión y a la ausencia de transferencia de calor, la temperatura de los productos de combustión se eleva hasta un valor T 2 . Esta temperatura se conoce como temperatura teórica de flama en el proceso de combustión adiabático a volumen constante. Puede controlarse con la cantidad de exceso de aire (u oxígeno) introducido, lográndose un valor máximo con mezclas químicamente correctas. Mediante un balance de energía, al haber ausencia de transferencia de calor y no existir trabajo se obtiene (12.9)

Combinando esta expresión con la ecuación 12.3,

(12 .10) Este proceso adiabático de combustión puede observarse en la figura 12.3. De la misma manera, considere la combustión adiabática a presión constante de una mezcla de reactivos a una temperatura TI ' La temperatura de los productos de combustión se eleva hasta una temperatura T 2 como consecuencia de la ausencia de transferencia de calor. A esta temperatura se le conoce como temperatura teórica de flama en el proceso de combustión a presión constante. Mediante un balance de energía. H productos, T2 = Hreactivos, TI

(12.11)



449

T

Productos 2

-r; I-----------,~

T, 1---+-----:;";-:

u Figura 12.3. Procesos de combustión adiabática a volumen constante.

Combinando esta expresión con la ecuación 12.4, tenemos Qp, T¡

= Hproductos , T¡ = H productos, T2

(12 .12)

Ejemplo 12.5

Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática del metano (CH 4 ), a presión constante, con 200% de aire teórico . Al iniciarse el proceso la temperatura es de 298 K. Solución

Con 200% de aire teórico, la reacción química es CH 4 + 402 + 15.04N 2 ---7 CO 2 + 2H 20 + 15.04N 2 + 202 Según la tabla 12.1, Qp, 298

=

-801 642 J/ gmol

Según la tabla 12.2, Hproductos,

298

=

9370 + 2(9910) + 15.04 (8675) + 2(8688) = 177 038 J

Según la ecuación 12.12, Qp, T¡ = 177 038 + 801642 = 978 680 J

H productos, T2 = H productos, T¡ -


450 Termodinámica

Puesto que la entalpía de los productos es igual a 978 680 J en las condiciones de temperatura teórica de flama, suponga inicialmente un valor de Tz = 1500 K. En estas condiciones, según la tabla 12.2, tenemos Hproductos, 1500 =

71 125 + 2(58 037) + 15.04 (47 106) + 2(49 325) = 994 323 J

El valor correcto de temperatura puede ajustarse mediante aproximaciones sucesivas. Finalmente,

Tz = 1480 K

12.5 Resumen La mayor parte de los combustibles están constituidos básicamente por carbono, hidrógeno y pequeñas porciones de azufre como elementos combustibles. En la mayoría de los procesos de combustión , el oxígeno se suministra a través del aire ambiente. El volumen del aire seco está constituido básicamente por 21% de oxígeno y 79% de nitrógeno. Es decir, por cada mol de oxígeno hay 3.76 moles de nitrógeno presentes. La cantidad mínima de aire que se requiere para oxidar por completo todos los elementos combustibles se conoce como cantidad teórica de aire, cantidad químicamente correcta de aire o cantidad estequeométrica de aire. La relación aire-combustible se define como el cociente que resulta de la relación entre la masa de aire y la masa de combustible en el proceso de combustión. Dado que a bajas temperaturas el agua en los productos de combustión se encuentra en estado líquido, el análisis volumétrico en base seca implica que el agua en los productos se encuentra condensada. Cuando la cantidad de aire suministrado es menor que la químicamente correcta, parte del carbono se une con el oxígeno para formar monóxido de carbono. Por otra parte, al suministrar un exceso de aire respecto de la cantidad químicamente correcta, aparece oxígeno en los productos de combustión. El Orsat es uno de los métodos tradicionales que se utilizan para analizar de forma experimental la composición volumétrica en base seca de los productos de combustión. El ca'lor de combustión o poder calorífico de un combustible se define como la cantidad de calor disipada por éste cuando se quema por completo y los productos se enfrían a la temperatura inicial. Según el tipo de proceso, se tienen el calor de combustión a volumen constante y el calor de combustión a presión constante, esto es,

Ov =

Uproductos - Ureactivos

I T,V

Op =

Hproductos - Hreactivos

I p,T

También


451

Según se encuentre el agua en los productos de combustión en fase líquida o de vapor se tienen el poder calorífico superior o el poder calorífico inferior, respectivamente. La entalpía de reacción a una presión y a una temperatura dadas se define como la entalpía de los productos menos la entalpía de los reactivos en las mismas condiciones de presión y temperatura . Puede obtenerse un estado de referencia común asignando un valor de cero a la entalpía de los elementos puros en su estado natural en un estado de referencia seleccionado de forma arbitraria. La entalpía del producto resultante como consecuencia de la reacción de elementos puros se conoce como entalpía de formación. La entropía de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es igual a cero en el cero absoluto de temperatura. Este axioma constituye, en esencia, la tercera ley de la termodinámica. La temperatura máxima que alcanzan los productos durante un proceso de combustión adiabático a presión o a volumen constante se conoce como temperatura teórica de flama.

Problemas 12.1

Determine la relación aire- combustible para la combustión de CH 30H con la cantidad químicamente correcta de aire. Respuesta: 6.47 kga/ kg c

12.2

Determine el análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión del heptano (C 7 H 16) con la cantidad teórica de aire. Determine el análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión del octano (CgHlg) con 80, 100 y 120% de la cantidad teórica de aire. Grafique el porcentaje de CO 2 en los productos como función de la relación aire-combustible. La composición de un gas combustible es la siguiente:

12.3

12.4

CO2 °2

CO CH 4 H2 N2

2% 1.2% 6% 29.8% 56.2% 4.8%

Partiendo de este análisis volumétrico, determine los metros cúbicos de aire por metro cúbico de combustible, así como el análisis volumétrico de los productos de combustión . Suponga 10% de exceso de aire. Respuestas:

4 .26 m~ /m ~ CO 2 7% H 20 21.5% N2 69 .8%

02

1.7%


452

12.5 12.6

Termodinámica

Cierta cantidad de dodecano (C 12 H 26) se quema por completo con 20% de' exceso de aire, Determine la temperatura de punto de rocío si la presión total de los productos es de 1 bar. Calcule la energía interna de reacción en condiciones estándar, para la siguiente reacción : Utilice la tabla 12.3.

Respuesta: ¡;"[J' = -281 939 J/ gmol

12.7 12.8

12.9

Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a presión constante del metano (CH,¡) con la cantidad teórica de aire. El aire y el combustible reaccionan a 25 oC y 1 bar. Se suministra cierto flujo de aire y metano a una máquina de 25 oc. La temperatura de los gases en el escape es de 700 oc. La transferencia de calor del sistema es de 233 000 J / gmol de combustible. La combustión se realiza con 10% de exceso de aire. Determine el trabajo realizado en J / gmol de combustible. Determine la relación aire-combustible para la combustión de H 2 con la cantidad químicamente correcta de aire. Respuesta : 34.51 kga/ kg c

12.10 Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a volumen constante del hidrógeno con oxígeno. Suponga la cantidad estequiométrica de oxígeno y la iniciación de la reacción a 25 oC y 1 bar. 12.11 Calcule la presión final del agua en el problema anterior. 12.12 Considere la combustión de octano (CSH 1S) con la cantidad químicamente correcta de aire, Si la presión de los gases de combustión es igual a 101 kPa, determine su temperatura de punto de rocío. 12.13 Repita el problema anterior si la combustión del metano se lleva a cabo con 20% de exceso de aire. 12.14 Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a presión constante del octano (CSH 1S ) como gas, con 20% de exceso de aire, Suponga que los reactivos se encuentran a una temperatura de 700 K.

Referencias 1. Klotz, 1. M., Introduction to Chemical Thermodynamics, W. A. Benjamin, Inc., EUA, 1964. 2. Obert, E. F., Internal Combustion Engines, International Textbook Co., EUA, 1968, 3. Sonntag, R. E., Van Wylwn, G. J ., Introduction to Thermodynamics: Classical and Statistical, John Wiley, Nueva York, 1971. 4. Messersmith, C. w., Warner, c.F. , Olsen, R. A., Mechanical Engineering Laboratory, John Wiley, Nueva York, 1960.


13 Equilibrio termodinámico Experiencia es el nombre que le da todo el mundo a sus errores. OseAR WILDE

En el capítulo anterior no se explicó la posibilidad de que una reacción química pueda llevarse a cabo o no. Sólo se supuso que la reacción podía ocurrir de forma espontánea al suministrar al combustible la cantidad apropiada de aire u oxígeno. Sin embargo, aparte de los diferentes puntos analizados en el capítulo anterior, también es importante poder determinar la posibilidad o imposibilidad ·de llevar a cabo una reacción y, dado el caso, conocer la medida de la posibilidad. Puesto que la experiencia indica que las reacciones de combustión no se llevan a cabo en forma completa, en este capítulo se calculará la temperatura de flama en condiciones de equilibrio. Asimismo, se analizará el equilibrio entre fases.

13.1 Criterio de equilibrio Como se explicó en el capítulo 7, la segunda ley de la termodinámica establece que un proceso dado en un sistema aislado puede ocurrir hasta que adquiera este último su valor máximo de entropía y mantenga al mismo tiempo, constante su energía. En consecuencia, la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio estable (equilibrio termodinámico) es que su entropía sea un máximo o que en todas las variaciones de estado posibles a partir del equilibrio el cambio de entropía sea negativo. Por otra parte, en equilibrio termodinámico el sistema es estable frente a todas las perturbaciones posibles, grandes o pequeñas, físicas o químicas. Considere ahora un sistema cerrado que se encuentra en equilibrio térmico y mecánico con los alrededores, es decir, en igualdad de presión y temperatura. En estas circunstancias,

dWmáx = -dG útil


454

Termodinámica

Puesto que en equilibrio termodinámico el sistema es incapaz de realizar trabajo útil, la función de Gibbs debe alcanzar un mínimo; esto es, (13. 1)

Por otro lado, en equilibrio termodinámico todas las variaciones de estado posibles deben tener una función de Gibbs mayor, es decir, (13 .2)

Las ecuaciones anteriores establecen un criterio de equilibrio. Por el contrario, si existen estados que posean una función de Gibbs menor, el sistema tiene capacidad de realizar trabajo y puede en consecuencia experimentar un cambio de estado. En estas circunstancias, (13.3)

Un criterio análogo puede derivarse utilizando A, que es ·la función de Helmholtz. Así, una reacción química a temperatura y volumen constantes, sólo es posible si la función de Helmholtz de los productos es menor que la de los reactivos. Del mismo modo, una reacción química isotérmica a presión constante sólo es pOSible si la función de Gibbs de reacción es menor que cero. De esta manera se establece la posibilidad o imposibilidad de que una reacción pueda llevarse a cabo. En consecuencia, las funciones de potencial A y G únicamente pueden disminuir, alcanzándose un mínimo cuando se logre un estado de equilibrio termodinámico. Aun cuando el conocimiento en llG o ·llA permite establecer con claridad si una reacción dada puede llevarse a cabo, este criterio no provee información con respecto a la velocidad de la reacción. Un valor negativo grande enllG, por ejemplo, indica la existencia de una gran tendencia para que una reacción pueda llevarse a cabo. Considere para ilustrar este punto la reacción del CO y el O 2 1 CO+"202 ~C02

En este caso, según los valores de la tabla 12.3, llG O

_

*0

- gco2

_

*0

gco2

_!2 gco *0

2

= -394 647 - (-137 359) llGo = 257 288 J/gmol

O


13 Equilibrio termodinámico

455

Aun cuando ~G < 0 , el CO y el 02 pueden unirse a presión y temperatura ambiente y permanecer en este estado de mezcla muchísimo tiempo sin que la reacción se lleve a cabo de una manera significativa. Sin embargo, con un catalizador apropiado, la reacción procede justo en la dirección establecida. Debe decirse de nuevo que los principios termodinámicos no proporcionan ninguna información respecto de la velocidad de reacción. Éste es un tema cubierto por la cinética química.

13.2 Relaciones entre propiedades para una mezcla con composición variable A continuación se desarrollarán algunas relaciones entre propiedades, las cuales pertenecen al estudio del eqUilibrio termodinámico. La primera y segunda leyes de la termodinámica establecen que. para una mezcla cuya composición química es constante, (13.4)

Además , (13.4a)

De manera similar, para H, A y G, (13 .5)

También , (13.5a)

(13.6)

Asimismo, (13 .6a)

(137)


456 Termodinámica

Del mismo modo, (13 .70)

Mediante la diferencial exacta, las ecuaciones 13.4 y 13.40 indican que

(13 .8)

De manera análoga, para las ecuaciones restantes,

(13.9)

(1 3 . 10)

(1 3 . 11)


'3 Equilibrio termodinámico

457

De forma general, para una mezcla cuya composición puede ser variable,

También

dU= aU)dS

as

au)

-

ano

+

V, no,n b , ...

dn

o

.

+

S,V,nb' ...

Sustituyendo la ecuación 13.8,

dU

= TdS -

au)

pdV + "L -

an¡

dn¡ S, V, nj*¡

(13.12)

De la misma manera, para las propiedades H, A y G,

de este modo,

aH) an¡

dH=TdS+Vdp+"L- dn¡

dA

También

=- SdT. -

s, p , nj *¡

aA) dn¡

pdV + "L -

an,.

T , V , n 1* · 1.

(13 13)

(13 . 14)


458 Termodinámica

Además ,

aG)dn¡

dG = - SdT + Vdp + I. -

an,.

p , T , n )·:;t¡.

(13.15)

Dado que el conjunto de ecuaciones que abarca de la 13.12 a la 13.15 debe ser consistente con las definiciones de U, H , A Y G,

au)s, V,

J1 . = ,

an¡

njet¡

aH) s,

=an¡

p,

njet¡

(13.16)

donde la propiedad intensiva m¡ se conoce como potencial químico del constituyente i.

13.3 Propiedad parcial molal Cualquier propiedad extensiva X de una mezcla es, en general, una función de la presión y la temp eratura y del número de moles de cada componente. Para una mezcla cuyos componentes sean las especies a, b, e, . .. ,

Así,

Puesto que una propiedad extensiva a una presión y temperatura dadas depende directamente de la masa, la ecuación anterior puede integrarse para dar



459

donde

(13 .l7)

se define como la propiedad parcial molal X del constituyente ¡en la mezcla. Al comparar las ecuaciones 13.16 y 13.17 se desprende que

(13 .18)

es decir, el potencial químico es igual a la función de Gibbs parcial mola!' Aunque el potencial químico queda también definido en términos de otras propiedades a través de la ecuación 13.16, dicho potencial no es igual a la energía interna parcial molal, a la entalpía parcial molal o a la función de Helmholtz parcial molal, debido a que la presión y la temperatura no se mantienen constantes en esas derivadas. Ordenando la ecuación 13.15,

dG

= -

SdT + Vdp + L G¡ dn¡

(13 .150)

A continuación se describirán algunas aplicaciones de estas relaciones.

13.4 Reacciones químicas Considere un sistema cerrado en el que hay cuatro distintos componentes na' n b , nc y nd que forman una mezcla de gases ideales. Para esta mezcla,

(13.19)


460

Termodinámica

Estos componentes pueden reaccionar entre sí de acuerdo con la siguiente reacción (13.20) donde V¡ son los diferentes coeficientes estequiométricos. Supóngase que los diferentes componentes se encuentran en equilibrio; después, en la reacción ocurre una cantidad infinitesimal df. hacia la derecha, mientras la presión y la temperatura se mantienen constantes. Como consecuencia de ello, el número de moles de e y d se incrementa, mientras que el de a y b disminuye. El cambio en el número de moles puede expresarse a través de la extensión o grado de reacción f. como dn a = -vadf. dn b = -Vbdf. dn c = vedf. dnd = vddf.

Por tanto, la ecuación 13.19 queda así

(13.21)

La función de Gibbs parcial molal -G¡ de cada componente a la temperatura T y presión parcial Pi puede evaluarse usando una presión de referencia pO igual a 1 atmósfera. Esto es,

Sustituyendo esta expresión para cada constituyente en la ecuación 13.21, tenemos



461

donde ~G (T, 1) es la función de Gibbs de reacción e implica que los reactivos a y b, inicialmente separados a temperatura Ty a una atmósfera de presión, se unen para formar los productos e y d , los cuales se separan, quedando al final a temperatura T y a una atmósfera de presión. En equilibrio termodinámico dG p , T= O, esto es, la función de Gibbs es un mínimo. Por tanto , en estas condiciones,

Si definimos la constante de equilibrio K como

(13 .22)

se obtiene -~G= .

R u Tln K

(13 .23)

El conocimiento de la constante de equilibrio K = K(T) para una reacción en la que intervengan gases ideales permite determinar la relación que guardan las diferentes presiones parCiales de los constituyentes en la mezcla que se halla en equilibrio. En la tabla 13.1 se muestra la constante de equilibrio como función de la temperatura para algunas reacciones.

Ejemplo 13.1 Calcule la disociación del CO 2 en CO y 02 a una temperatura de 500 K y a una presión de 1 atm.

Solución La ecuación de reacción es

En términos de la extensión de reacción e, la mezcla en equilibrio es 1

CO 2 ~ ECO +"2 E02 + (1 - E)C0 2


Termodinámica

y el número total de moles en equilibrio es

Según

n=l+-

E

2 En con

Tabla 13.1. Logaritmos en base 10 de la constante de equilibrio K. Temp. (K)

298 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3500 4000 4500 5000

Hz~2H -71.210 -51.742 -32.667 -23.074 -17.288 -13.410 -10.627 -8.530 -6.893 -5.579 -4.500 -3.598 -2.833 -2.176 -1.604 -1.104 -0.458 +0.406 +1.078 +1.619

°z~20 -80.620 -58.513 -36.859 -25.985 -19.440 -15.062 -11.932 -9.575 -7.740 -6.269 -5.064 -4.055 -3.206 -2.475 -1.840 -1.285 -0.571 +0.328 +1.125 +1.719

Fuente: National Bureau 01 Standards.

Mediante

la ecuación

HzO(g)~

HzO(g)~

COz ~ CO COz + Hz ~

1

Hz + 2"0z OH + }Hz -40.047 -29.241 -18.633 -13.288 -10.060 -7.896 -6.344 -5.175 -4.263 -3.531 -2.931 -2.429 -2.003 -1.638 -1.322 -1.046 -0.693 -0.221 +0.153 +0.450 Se/ected

+ }Oz -45.043 -32.41 -20.07 -13.90 -10.199 -8.922 -5.992 -4.684 -3.672 -2.863 -2.206 -1.662 -1.203 -0.807 -0.469 -0.175 +0.201 +0.699 +1.081 +1.387

-46.593 -33.910 -21.470 -15.214 -11.444 -7.742 -7.116 -4.648 -4.700 -3.852 -3.158 -2.578 -2.087 -1.670 -1.302 -0.983 -0.577 -0.035 +0.392 +0.799

Va/ues o] Chemica/

Thermodynamic

CO + H2 O(g) -4.996 -3.169 -1.432 -0.617 -0.139 +0.154 +0.352 +0.490 +0.591 +0.668 +0.725 +0.767 +0.800 +0.831 +0.853 +0.871 +0.894 +0.920 +0.928 +0.937 Properties.

~Oz +

N2 ~2N

}Nz ~ NO

-119.434 -87.473 -56.206 -40.521 -31.084 -24.619 -20.262 -16.869 -14.225 -12.106 -10.370 -8.922 -7.694 -6.640 -5.726 -4.925 -3.893 -2.514 -1.437 -0.570 Series 111.Washington.

-15.187 -11.156 -7.219 -5.250 -4.068 -3.279 -2.717 -2.294 -1.966 -1.703 -1.488 -1.309 -1.157 -1.028 -0.915 -0.817 -0.692 -0.526 -0.345 -0.298

Por tal

Ejem[ Verifiq

usandc Solucl Según

De aCL

D.C. EUA.

13.22,

Este

Vé

1/2

K=

PCO

P2

13.5

PC02

f.3;2

K=

1:2

Lacor básica

P (1 - E)(2 + E(2

* Si la r


J3 Equilibrio termodinámico

463

Según la tabla 13.1, a 500 K log10 K = -26, K = 10- 26

(*)

En consecuencia 10-26

10 3 /2

=- - - - - - (1 - 10)(2 + 10)1/2

10 3 / 2 21/2

Por tanto, 10==6.1

X

10- 18

Ejemplo 13.2 Verifique el valor de la constante de equilibrio K a 298 K de la tabla 13.1 para la reacción 1 C02~CO+202

usando la ecuación 13.23,

Solución Según la tabla 12.3,

~G = g~~ + ~ g~: 2

-(-394647)

=

-

g~~2 = -137359 + O

257 288 J/gmol

De acuerdo con la ecuación 13.23,

In K

= - ~G =

-257288

RuT

(8.3143)(298)

= -104

-104 - = -45 2.3

10glQK = -

Este valor concuerda con los datos de la tabla 13.1.

13.5 Dependencia de K con la temperatura La constante de equilibrio K puede calcularse como función de la temperatura mediante información básica fácilmente disponible, como la entalpía y función de reacción de Gibbs en condiciones estándar, * Si la reacción fuera CO +

1/2

°

2 :::;

CO 2 , K = 10 26 y loglo K = 26.


Termodinámica

y los calores específicos de los productos y reactivos como función de la temperatura. Esta variación de K puede calcularse partiendo de la ecuación

~ ~G) = _ aT T

p

RaaT

In K ) p

u

Recurriendo a la función de reacción de Gibbs, ~G=~H- T~S

Además,

G]

a 6. aT

= p

Greactiuos]

a GproductoS] _ a aT p aT

= - Sproductos

p

+ Sreactivos = -6.S

Entonces,

~G = ~H + T a~G ) aT

p

o bien,

a~G) aT

~G-~H

(13 .24)

T

p

Esta expresión se conoce como la ecuación de Gibbs-Helmholtz. Por otro lado, mediante las reglas para la diferenciación de un cociente, -

a -~G)

aT T

1 a~G)

- --

p

T aT

p

Sustituyendo la ecuación de Gibbs-Helmholtz,

a

~G)

aT T

(13.25)

p

Para una reacción química en general de la forma vaa + vbb

~

vcc + vdd,

http://carlos2524.jimdo.com/ 13 Equilibrio termodinámico

465

Si los. calores específicos de los productos y los reactivos pueden expresarse como,

(13.26) entonces D.H = D.Ho + ve f(A e + BJ + CJ2)dT + vd f(A d + BdT + C dT 2 )dT D.H = D.Ho + (Ve Ae + Vd Ad - Va Aa - Vb Ab)T

T2 + (ve Be + Vd Bd - Va Ba - Vb Bb)2

(13 .27)

+ ...

Integrando la ecuación 13.25 con la 13.27 y multiplicando por T, D.G

= D.Ho -

(ve Ae + Vd Ad - Va Aa - Vb Ab)T In T

T2

- (v e Be + Vd Bd - Va Ba - Vb B b )2

Por último,

(13.28)

donde k es una constante de integración. La ecuación anterior permite evaluar con facilidad la constante de equilibrio K a cualquier temperatura. Desde luego, esta expresión puede modificarse


466

Termodinámica

si la relación funcional de los calores específicos es diferente de la dada en la ecuación 13.26 . En general,

Ejemplo 13.3

.Determine K = K (T) para la reacción . 1 . COz ~ CO +20z

en el intervalo de 298 - 1000 K. Compare el resultado que se obtenga a través de la correlación con el valor indicado por la tabla 13.1, a una temperatura de 800 K.

Solución Según la tabla 5.3, C*p

C* p

C*p

=

26 .868 + 6.955

=

25 .729 + 12.891 x 1O-3T - 3 .863 x 10-6T2, J/gmol K

co

°z

COz

x

1O-3T - 0.820

x

10-6TZ, J/gmol K

= 26 .005 + 43.507 x 1O-3T -14.836 x 10-6 TZ , J/gmol K

De acuerdo con la tabla 12.3, o

tl.Ho

=

1

o

o

h~o + 2 h~2 - h~02

= -

110 597 + O + 393 776

= 283 179 J/gmol

De manera similar, según la misma tabla, ~G O =

257 288 J/ gmol

Sustituyendo valores en la ecuación 13.28, InK

=_

283179 + (26.868 + 25.729 _ (8 .3143)T

.

2

In T k - 26.005) -: + (6.955+ . 8 .3143 8.3143 + 12.891 -43.507)10- 3 T + 2 (2)(8.3143)

http://carlos2524.jimdo.com/ 13 Equilibrio termodinámico

+ (-0.820 -

In K

= -

3.863 14 836)10-{j T2 2 +. (6) (8.3143)

34059 .27 k T + 1.65 In T - 8.3143

Partiendo de la ecuación 13.23, a 298 K,

In K = _ ~G = _ 257288 = -104 RJ (8.3143)(298) A una temperatura de 298 K se puede evaluar la constante de integración k, es decir, -104

=

k -114.29 + 9.40 - 8.3143 - 0.54 + 0.02

Por tanto,

k

=

-11.72

La correlación K = K(T) es, entonces,

In K = - 34 0;9.27 + 1.65 In T + 1.41

A una temperatura de 800 K, In K log10 K

=

=

-31.43 31.43

-~ =

-13.7

A esta temperatura, la tabla 13.1 indica un valor de -13.9.

467


468 Termodinámica

13.6 Temperatura de equilibrio de la flama Puesto que en equilibrio una reacción no es completa, la temperatura teórica de la flama en un proceso de combustión adiabático nunca se logra. La determinación analítica de la temperatura de equilibrio de los productos de combustión en un proceso adiabático involucra varias incógnitas según el tipo de reacción. Para explicar lo anterior, considere la reacción isobárica y adiabática del CO y O2 inicialmente a una temperatura TI' En términos de la extensión de reacción E la mezcla en equilibrio es

CO +

1

"2 O 2 ~ EC0 2 +

1-

E

(1 - E) CO + -2- O 2

es decir, el número total de moles en la mezcla que está en equilibrio es igual a

3-E n=-2 a la presión p y a la temperatura de equilibriO T2 . De lo anterior se desprende que la extensión de reacción E y la temperatura de equilibrio T2 son incógnitas en este proceso de combustión isobárico y adiabático. La constante de equilibrio K queda determinada mediante la relación

(3 - E) 1I2 E

Peo

2 K=---=--

(1 _ E)3!2

112

Peo P0 2

(13 .29)

p 1!2

Por otra parte, mediante un balance de energía, ~H=O

o bien, Hproductos, T2 = Hreactivos, TI

Es decir, • Eh co 2.

•

T2

1-

E

•

+ (l - E)h co , T 2 + -2- h o 2.

T2



469

Por conveniencia,

h·1,

T

= h 1,· T 1+ t.HI

2

I TTI

2

Sustituyendo esta relación,

E

• t.h co

IT 2,

2

TI

• + (1 - E)t.h co

IT 2,

2

TI

+

1 - E h. -2 t . o2

(13 .30)

Las ecuaciones 13.29 y 13.30 pueden resolverse de forma simultánea para determinar las incógnitas T2 y E. Esta solución puede obtenerse asignando distintos valores a E en la ecuación 13.29, determinándose así los correspondientes valores de T. De la misma manera, pueden asignarse diferentes valores a T en la ecuación 13.30 y obtener los correspondientes valores de E. Si los resultados obtenidos se grafican en coordenadas T y E, el punto de intersección de las ecuaciones 13.29 y 13.30 determina de manera única los valores de la temperatura de equilibrio de la flama y de la extensión de la reacción. La temperatura de equilibrio de la flama en un proceso de combustión isométrico y adiabático puede determinarse mediante un razonamiento similar. Se deja al lector como ejercicio esta determinación.

13.7 Equilibrio entre fases de una sustancia pura Considere un sistema constituido por las fases 1 y 2 de una sustancia pura en equilibrio. De acuerdo con la ecuación 13.15a, en condiciones de presión y temperatura constantes,

donde

nI

y

n2

denotan el número de moles de la sustancia pura en cada fase . Puesto que dn l

En equilibrio termodinámico dGp, T

=

=

-dn 2 ,

O. En consecuencia,

o bien, (1 3.3 1)


470 Termodinámica

La ecuación anterior establece que la función de Gibbs de cada fase de la sustancia pura es la misma en equilibrio termodinámico. Si las fases en equilibrio son líquido y vapor,

Considere ahora el caso en que el sistema de fases líquido-vapor experimenta un cambio infinitesimal en presión dpy su correspondiente cambio en temperatura dT Puesto que en equilibrio la función de Gibbs en las fases tiene el mismo valor,

o , en equivalencia, Vip - sgdT (vg - vfJdp

=

vf dp - sf dT

= (Sg -

sf)dT

Por tanto,

dp _ Sfg _ hfg dT

Vfg

TVfg

(9.47)

Como se explicó en el capítulo 9 , la ecuación anterior se conoce como ecuación de Clapeyron . Observe que un aumento en presión siempre incrementa la temperatura de ebullición, dado que el miembro derecho de la ecuación 13.32 es siempre positivo . Puesto que vg > vf a bajas presiones y vg = RT/p, la ecuación 13.32 se simplifica así dp _ phfg dT - RT 2 o bien,

d(ln p) dT

(950)

Como se dijo también en el capítulo 9, esta expresión se conoce como ecuació n de Clausiu sClapeyron. Para cambios pequeños en temperatura, hfg puede considerarse constante. En estas condiciones,



In p

h

= - ~ + constante

471

(13.32)

RT

Esta expresión permite correlacionar la presión de saturación como función de la temperatura mediante un conocimiento del calor latente de vaporización y de una presión y temperatura de referencia. Ejemplo 13.4

Verifique la ecuación 13:31 para el agua a 100 oc. Solución

Según la tabla A.1 , a una temperatura de 100 oC, gg

=

hg -

TS g

=

2676.1 - (373'.15) (7.3549)

=

-68 J/g

Además, g¡= h¡- Ts¡= 419.04 - (373.15) (1.3069)

= -

68 J/ g

13.8 Resumen Cuando un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico, su función de Gibbs se halla en un mínimo respecto de todos los estados que tengan la misma presión y temperatura. Un criterio análogo puede establecerse para la función de Helmholtz en condiciones de temperatura y volumen constantes . . La propiedad X parcial molal del constituyente i en una mezcla se define así

-x=ax ) an I

I

p, T ,n¡",

El potencial químico del constituyente i en una mezcla se define así

au) ano

I,.l.= I

I

aH) an

= .5. V, ni'"~

I

aA) . =G-

=-

an I

I

T . V . n¡",

5. p. ni'"~


472

Termodinámica

En una mezcla de gases ideales a, b, c y d, los cuales pueden reaccionar entre sí de acuerdo con la reacción

tienen una composición en equilibrio dictada por

(13 .22)

donde la constante d3 equilibrio K se relaciona con la función de Gibbs de reacción y la temperatura a través de la relación L'lG InK=- -

RJ

o con la entalpía de reacción y la temperatura a través de la expresión d(ln K)

L'lH

dT

Ru T 2

La función de Gibbs de cada fase de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es la misma. Por otro lado, en el equilibrio líquido-vapor, dp dT

hfg TVfg

Esta expresión se conoce como ecuación de Clapeyron. d(ln p) _ hfg dT RT 2 Esta expresión se llama ecuación de Clausius-Clapeyron.

Problemas 13.1

Demuestre que la constante de equilibrio K puede expresarse así



473

donde Xi es la fracción molar de cada constituyente i en la mezcla de gases ideales y p e s la presión total.

13.2

Determine la constante de equilibrio a 298 K para la reacción

Utilizando la tabla 12.3.

Respuesta:

13 .3

10glOK

=

-40.1

Calcule el trabajo máximo útil que puede obtenerse a una temperatura de 298 K y una presión de 1.01325 bar de la reacción

Respuesta : 228 746 J / gmol

13.4

Determine la composición de una mezcla de CO 2 , CO y 02 ' a una temperatura de 3000 K y a una presión de 1.O1325 bar, si el dióxido de carbono se disocia de acuerdo con la reacción CO 2

13.5 13.6

4

CO +

1

2"° 2

Repita el problema anterior para una temperatura de 5000 K y compare los resultados. El helio se vaporiza a una temperatura de 4 K cuando la presión es de 1 bar y el calor latente de vaporización es de 83 J/ gmol. Estime la presión necesaria para tener una temperatura de 1 K.

Respuesta : 5.6 x 10-4 bar

13.7

13.8

Demuestre, partiendo de principios básicos, la ecuación de Van 't Ha!! d(ln K)

-f,.H

d(ljT)

Ru

Suponga que se conocen las constantes de equilibrio Kl y K2 para las reacciones


474 Termodinámica

¿Cuál es la constante de equilibrio para la hidrogenación catalítica del acetileno a etileno (C 2H 2 + H 2 ¡: C2H4)? Respuesta : 13.9

K

=

K 2/ K}

Demuestre que para un sistema de F fases y C componentes en equilibrio termodinámico

1

P2

}

=P22 = P23 =... = P2F 2

Pe = Pe

=Pe3 =... =PeF

13.10 ¿Cuál es el efecto de un incremento en presión sobre la temperatura de fusión del hielo? 13.11 Calcule la disociación del CO 2 en CO y 02 a una temperatura de 3000 K Yuna presión de 10 atmósferas. 13.12 Si los calores específicos de los productos y reactivos en una reacción son de la forma C*. =AI + BT+ CT-2 PI I I

donde A¡, B¡ Y C¡ son constantes, calcule D.G como función de la temperatura. 13.13 Partiendo de principios básicos, demuestre que D.A v. T < O implica condiciones para un cambio espontáneo en un sistema a temperatura y volumen constantes.

Referencias

1. Klotz, Irving, Introduction to Chemica/ Thermodynamics, W. A. Benjamin, Inc. , 1964. 2. National Bureau of Standards, Se/ected Va/ues of Chemica/ Thermodynamic Prope rties , Series I1I, Washington, D. C. 3. Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamics , McGraw-Hill, Kogakusha , Inc ., 1968.


14 Aspectos termodinámicos del Rujo de Ruidos Dejemos de discutir lo que debe ser un hombre bueno ... y procuremos serlo. MARCO AURELlO

En este capítulo se describirán algunas de las relaciones más importantes entre los principios termodinámicos y los del flujo de fluidos compresibles. Estas relaciones son de gran importancia en el estudio de toberas, difusores, turbinas, compresores, combustores, dudas, etc. Sólo se describirán aquí sistemas de gases ideales de flujo estable unidimensional. Como se verá, el análisis de estos sistemas implica a menudo el establecimiento diredo o indiredo de cuatro principios básicos: la primera y la segunda leyes de la termodinámica, la ley de la conservación de la materia y la segunda ley del movimiento de Newton.

14.1 Velocidad del sonido Para determinar la velocidad del sonido en un medio, considere un dudo de sección transversal constante, como se observa en la figura 14.1, en el que viaja una onda de presión infinitesimal que pudo haberse originado en el movimiento ligero deun pistón que se halla al lado izquierdo del dudo. El frente de esta onda de sonido se propaga hacia la derecha con una velocidad c. Al mismo tiempo, el fluido por donde la onda ya ha pasado se encuentra a ~na presión p + dp, tiene una densidad p + dp y se desplaza hacia la derecha a una velocidad dV. Por otra parte, el fluido a la derecha de la onda se encuentra a una presión p, tiene una densidad p y está en reposo. Para un observador que viaja con la onda a una velocidad e, como se ilustra en la figura 14.2, el fluido se desplaza de derecha a izquierda con una velocidad e, reduciéndose ésta hasta un valor e - dI) después de la onda. De la misma manera, el fluido cambia su densidad y presión de p a p + dp y de p a p + dp , respectivamente.


476

Termodinámica

••••dV : •••: •.••.••••••••••••

Je••.•••••••••::.• •.• • :': • •.:

p p+dp

I

p

VI~dV Figura 14.1. Onda de presión .

Seleccionando como sistema la onda de presión, la ecuación de continuidad indica que , en condiciones de estado estable,

peA = (p + dp)(e - dV)A o bien,

dp

dV

p.

e

(14 .1)

Mediante un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control de la figura 14.2 y teniendo en cuenta que las fuerzas de corte son muy pequeñas en comparación con las de presión , la segunda ley de Newíon establece lo siguiente

pA- (p + dp)A + peA [e - (e - dV)] = O Asimismo,

dp= pedV

(14 .2)

Dado que las variaciones en presión y temperatura son demasiado pequeñas y el proceso de propagación de la onda de sonido es esencialmente adiabático y reversible a la vez, en el límite el proceso


14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos

puede considerarse isoentrópico; es decir, dpl dp 14.2 se obtiene

=

477

ap/ ap)s' Combinando las ecuaciones 14.1 y

(14. 3)

Utilizando esta expresión, y como se demostró en la sección 9.6, en un gas ideal la velocidad del sonido es c = .JkRT

(14.4)

A temperatura ambiente la velocidad del sonido en el aire es del orden de 350 mi s. Esta velocidad se utiliza, por ejemplo, en el análisis de turbomáquinas, pues uno de los factores limitantes en el diseño implica que la velocidad de giro no debe exceder valores en que la velocidad del flujo, relativa a la de los álabes, se aproxime a la velocidad del sonido. En esas condiciones de giro, las pérdidas en rendimiento aumentan de forma considerable por efectos de compresibilidad. En el caso de un fluido incompresible, la velocidad del sonido es infinita al no experimentarse cambios en la densidad. Aun cuando ningún fluido es completamente incompresible, la velocidad del sonido en un líquido, por ejemplo, es enorme en comparación con la de un gas .

.•. • •. '. :~d~' •.•. '. • iIi'.:: '• •. ,•. .• • • •:• .•: p p+dp

I

Vjr--

_c -d_ V

p

~_c_

Figura 14.2. Onda de presión .


478 Termodinámica

De lo anterior se desprende que la compresibilidad de un fluido no puede despreciarse cuando su velocidad es comparable con la del sonido. A. la luz de este razonamiento se define el número de Mach como el cociente de la velocidad de un fluido u objeto a la velocidad local del sonido. Esto es ,

M=V c

(14 .5)

El número de Mach permite establecer diferentes regímenes de flujo: Flujo subsónico

M< 1

Flujo supersónico

M> 1

Flujo hipersónico

M»l

Flujo transónico

M=l

Ejemplo 14.1

Demuestre que el cambio fraccional en presión a través de una onda de sonido en un gas ideal está dado por dp =k dV p c y el cambio fraccional en temperatura es dT =(k_1)dV T c

Solución Según la ecuación 14.2, dp c2 dV -=p-p p c

pero p

=

p RT, por tanto,

P

RT e

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479

También dp =k V p c

(a)

Por otra parte, con la ecuación de estado de los gases ideales, dp

= pRdT +RTdp

Sustituyendo esta expresión en (a) . pRdT + RTdp =k dV p p c

dT _ k dV - -

T

c

dp

--

P

Mediante la ecuación de continuidad 14.1 dT

T

= (k -1) dV c

14.2 Flujo isoentrópico El flujo en toberas y difusores es, en general, adiabático, y puede considerarse isoentrópico como primera aproximación o como estándar para propósitos de diseño y comparación. Con objeto de obtener una correlación entre la variación del área de sección transversal y el cambio en velocidad y presión en este tipo de flujo, considere un sistema abierto que opera en estado estable y en el que el flujo es isoentrópico. Se supondrá que los cambios en energía potencial son despreciables y que el trabajo es igual a cero. La primera ley de la termodinámica establece para este sistema que dh+ VdV=O

(14 .6)

Por otra parte, si el proceso es isoentrópico, la primera y segunda leyes de la termodinámica, partiendo de las ecuaciones Tds , establecen que


Termodinámica

(14.7)

Esta ilust dísn más resu

Combinando las ecuaciones 14.6 y 14.7,

vari,

dp=-

(14.8)

pVdV

Puesto que el sistema opera en estado estable, la ecuación de continuidad (rh = pAV), establece de forma diferencial

des¡ em~ tran que

con' (14.9) Relacionando las expresiones 14.8 y 14.9 y teniendo en cuenta que dp/dp

=

CJp/CJp)s'

(14.10)

u, otra vez mediante la ecuación 14.8, tI!

(14.11) Las ecuaciones 14.10 y 14.11 permiten obtener conclusiones muy importantes.

!

dl

I

SiM<1:

dA >0 dp ,

Si M>1:

dA 0 dp , dV

SiM=1:

dA =0 dp ,

d~
d~ =0 dV

(14.12)

un e

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481

Estas relaciones establecen variaciones de área sumamente importantes en el flujo isoentrópico, y se ilustran en la figura 14.3. Así, un fluido en régimen subsónico se acelera en una tobera convergente, disminuyendo así su presión . Por otro lado, si el fluido tiene una velocidad supersónica, se acelera aún más en una tobera divergente, con lo que disminuye su presión. Incluso cuando esta conclusión no resulta evidente a primera vista, debe observarse que la densidad disminuye al aumentar la velocidad , variando la primera de forma más drástica con respecto al área, que la segunda. De lo anterior se desprende que para acelerar un fluido de un régimen subsónico a uno supersónico es necesario emplear una tobera convergente-divergente; la velocidad del sonido se alcanza en el área de sección transversal mínima, es decir, en la garganta. Del mismo modo, un fluido en régimen subsónico se desacelera en un difusor divergente, con lo que aumenta su presión. Por otra parte, un fluido en régimen supersónico se desacelera en un difusor convergente. Así, para desacelerar un fluido de una velocidad supersónica a una subsónica se requiere un difusor convergente-divergente.

.............. ;. ..

~ ... :.-: ....

• ••• :

v <

"~"::":'::

~ . .......; ..

o', ·.

:- .... .

....:...

--

v

e

< e

~ ....

~

Tobera convergente

Difusor divergente

:~ ~ ....

V> e

V > e

•

..~ . : ........ .... :- .... .: ...

. .. ~ ..~•. >....... . 0;-:.

Tobera divergente

Difusor convergente

Figura 14 .3. Perfil de toberas y difusores en forma esquemática.


482 Termodinámica

Dado que la entalpía total o de estancamiento es constante en el flujo isoentrópico (o en el adiabático en general), se . desarrollarán a continuación algunas expresiones que correlacionan la temperatura y.la presión totales en cualquier punto del flujo isoentrópico de un gas ideal con la temperatura y la presión correspondientes a la sección en que la velocidad del flujo es igual a la velocidad del sonido. Las propiedades en el estado en que M = 1 se denotarán con el superíndice +. Así,

Puesto que \7+

= c = .JkRr, y dh = cpdT, c (r, - T+)= kRT+ p\t 2

Además, para un gas ideal cp

=

kR/(k - 1). Entonces: T+

2

T¡

k+ 1

(1413)

A este cociente se le conoce como relación crítica de temperaturas. Dicha expresión indiCa que en la aceleración de un gas ideal desde el reposo donde T= Tt hasta la velocidad del ~)Onido , en una expansión adiabática (no necesariamente isoentrópica), la temperatura disminuye hasta un valor P establecido por la relación crítica de temperaturas. En el caso de un gas ideal donde k ~1.4 , P / T t = 0.8333 . Asimismo, si la expansión es además isoentrópica , la presión en la sección donde el número de Mach es unitario puede calcularse a través de la relación

(14.14)

Este cociente se conoce como relación crítica de presiones. En el caso de un gas ideal donde k = 1.4, P+/Pt = 0.5283. Observe que la temperatura P es alrededor de 17% menor que la temperatura total, mientras que la presión p+ es casi la mitad de la presión total en el flujo isoentrópico. La trascendencia de estas relaciones críticas puede evaluarse de forma conveniente considerando una tobera convergente donde el flujo es isoentrópico y las condiciones del fluido son constantes en la sección de entrada, como se aprecia en la figura 14.4. Si el fluido se acelera prácticamente desde el reposo, PI = Pt y T I = T t en la entrada. La tobera descarga el flujo en una región donde la presión Pr puede controlarse mediante una válvula.



483

Si Pr = Pl> no existe flujo en la tobera, es decir, el medio está estático. En este caso (i) la presión P2 en la sección de descarga de la tobera es también igual. Esto es, Pl = P2 = ProSi la presión Pr se hace ligeramente mellar que Pl,el flujo se establece hacia la derecha, de tal manera que la velocidad del fluido en la descarga es subsónico. En este caso, (ii)la presión P2 es igual a la presión Pro Si esta presión Pr se disminuye aún más hasta la condición (iv)(condición de diseño) en que P, = p+, el fluido se acelera hasta alcanzar un valor de M = 1 en la descarga de la tobera. Una reducción posterior en Pr, como en el caso (v), no causa ya ningún cambio en las condiciones de operación en el interior de la tobera. En estas condiciones, el valor de la relación crítica de presiones, así como el flujo de masa, que es máximo, son idénticos a los de la condición (iv). La expansión que ocurre fuera de la tobera se lleva a cabo en forma de ondas de expansión. El flujo de masa a través de latobera en cualquier condición puede evaluarse mediante la ecuación de continuidad

v

.--. --.

= O

I

p, =p¡

P2

Válvula

I

p,

m

E.,

v

iv

p¡ ii iii p+ p,

------

..

iv V

p+ /p, (a)

Distancia

(b)

Figura 14.4. Operación de una tobera convergente.

p/p,


484 Termodinámica

donde el subíndice x se refiere a cualquier posición x en la tobera. Mediante un balance de energía,

Puesto que el flujo es isoentrópico,

\Ix

=

2kR4[1_( PxJk:I] k-1 P t

(14.15)

Por tanto, sustituyendo estas expresiones de velocidad y volumen específico en la ecuación de continuidad, tenemos

(14.16)

Al insertar la relación crítica de presiones, tenemos

(14 .17)

El análisis de una tobera convergente-divergente es análogo al de la tobera convergente descrita previamente. Como se observa en la figura 14.5, si la presión P r es ligeramente menor que la presión PI' el flujo es similar al de un tubo venturi y puede suponerse incompresible. Cuando la presión PI" disminuye a un valor tal que se alcanza la relación crítica de presiones P+/ Pt en la garganta, como en la condición (iii), el fluido alcanza un valor de M = 1 en la garganta de la tobera y vuelve a desacelerarse. Por último, el flujo es completamente supersónico e isoentrópico en la sección divergente en condiciones de diseño (iv). En circunstancias intermedias entre (iii) y (iv), existen discontinuidades irreversibles en el interior de la tobera, que no satisfacen las condiciones de flujo isoentrópico . En estas discontinuidades, conocidas como ondas de choque normal, la presión y la temperatura aumentan de forma considerable, mientras que la velocidad disminuye. De hecho, estos cambios ocurren en una distancia tan pequeña (del orden de 10-5 cm) que pueden considerarse como meras discontinuidades. En la figura 14.6 se observa la variación con respecto a la longitud de la presión, entalpía y volumen específico en una tobera que opera con flujo isoentrópico.



2 I

I I I I

P2

f4

Válvula

I~

I I I

I I I I I I

: Pr

I

~1~1~:t::~~~==~ PI r' ii iii p+

PI

~--+---

iv

Distancia

Figura 14.5. Operación de una tobera convergente-divergente.

-4::---h

- .......- - - p

Distancia

Figura 14.6. Tobera convergente-divergente con flujo isoentrópico.

485


486 Termodinámica

Ejemplo 14.2

Una tobera de turbojet tiene las siguientes características en su entrada: T t = 800 K, Pt el área a la descarga de la tobera es de 0 .1 m 2 y la presión es de 1 bar, calcule

=

1.5 bar. Si

a) La velocidad isoentrópica a la descarga. b) El flujo de masa.

Solución a) Sustituyendo valores de la ecuación 14.15, 3

V = (2)(1.4)(0.287 x 10 )(800) (1- 0.666°286) 2 1.4 -1 =

419.5 mi s

b) Sustituyendo valores en la ecuación 14.16, m

= (0.1)(1.5 X 105) = =

(2)(1.4) (0.6661.429 _ 0.6661.714) (0.4)(0.287 X 103 ) (800)

20.46 kg/s

Ejemplo 14.3

Si la presión de descarga en la tobera del ejemplo anterior se reduce hasta el valor crítico, determine a) La presión a la descarga. b) La velocidad a la descarga. e) El flujo de masa en estas condiciones.

Solución a) Según las ecuaciones 14.13 y 14.14,

=

P2 P2

=

p+ = pt(_2_)k:l = (1.5)(~)3. 5 k+1 2.4 0.79 bar

También

T T+ T(_2_)= (800)(~) k+ 1 2.4 2

=

=

t

T2 = 666.7 K



487

b) La velocidad a la descarga es igual a la velocidad local del sonido. Esto es V2

= e2 = ;j kRT + = ;j (l.4) (0.287 x 103 ) (666.7)

= 517.6 mis e) Según la ecuación 14.17,

mmáx =

(0 .1) (1.5

x

105)

16

1.4 ( 2 (0.287 x 1 (3)(800) 2.4)

= 21.44 kg/s Ejemplo 14.4

Si la presión de descarga en la tobera anterior se reduce hasta 0.3 bar es necesario agregar una sección divergente para mantener el flujo isoentrópico. Calcule a) la velocidad de descarga en estas condiciones, así como el número de Mach. b) La presión, temperatura y número de Mach en la garganta de la tobera convergente-divergente. Solución

a) Sustituyendo valores en la ecuación 14.15, (2) (1.4) (0.287 x 10 3 ) (800) 1.4 - 1

= 770 mis La temperatura en la descarga es ahora de

3)°·286 = 504.88 K

O T 2 = (800) ( 1:5 Por consiguiente, e2

= ..,)(1.4) (0 .287

Asimismo',

770

M 2 = 450.4 = 1.71

x

103) (504.88) = 450.4 mis


488

Termodinámica

b) En la garganta de la tobera, con los resultados del ejemplo anterior tenemos p+

=

0.79 bar

y+ =

666.7 K

También

14.3 Línea Rayleigh Muchos procesos se caracterizan porque el área de flujo se mantiene constante o, en caso de variación, ésta es tan leve comparada con los cambios en otras propiedades que para fines prácticos puede suponerse constante. Considere para fines de análisis un ducto de sección transversal constante como el que se observa en la figura 14.7, en el cual el flujo es estable, hay transferencia de calor de o hacia el fluido, la fricción es insignificante y el trabajo es igual a cero. Un balance de la cantidad de movimiento del sistema anterior indica que

Q

1¡ ¡ ¡ ¡ + ¡ ¡ ¡ Fluj o

l' ~

I

--------.

I

Iftfftff! Figura 14.7. Dueto de sección transversal constante con transferencia de calor.

Con la ecuación de continuidad V = mvl A y teniendo en cuenta que la razón (mi A) es constante. tenemos

o bien, p

+(: J V

= constante

(14 .18)



489

Ya que la presión y el volumen específico determinan perfectamente el estado termodinámico de una sustancia pura, la ecuación anterior puede graficarse de forma conveniente; la curva resultante se denomina línea Rayleigh. En la figura 14.8 se observan las condiciones de la línea Rayleigh según coordenadas temperatura-entropía para un gas ideal y con un valor dado de (mi A). Para complementar las expresiones de trabajo en el desarrollo de la línea Rayleigh, se recomienda al lector la obra de Shapiro, The Dynamics and Thermodynamics oi Compressible Fluid Flow. Aun cuando estas expresiones pueden obtenerse con facilidad a partir de principios básicos (problema 14.3), sólo aquí se exponen las consecuencias físicas más importantes para no distraer la atención con el desarrollo matemático. En la figura 14.8 se observa que la entropía adquiere un valor máximo en el punto a, donde M = 1, Y la temperatura en el punto b, donde M = 1/ $ . La parte superior de la curva corresponde a un régimen subsónico, mientras que la parte inferior corresponde a uno supersónico . En consecuencia, cuando se calienta un flujo supersónico el número de Mach disminuye hasta un valor límite de 1 y de forma inversa, al enfriarse, aumenta. Por otra parte, cuando se calienta un flujo subsónico aumenta el número de Mach hasta un valor límite de 1 y, a la inversa, cuando se enfría, el número de Mach disminuye. Empero, aun cuando el número aumenta de forma progresiva con el calentamiento subsónico, la temperatura estática disminuye cuando el fluido pasa del estado b al a, independientemente de que la temperatura total siga aumentando hasta alcanzar su valor límite máximo en el estado a. En estas condiciones se dice que el flujo está estrangulado. Cabe agregar que un flujo subsónico no puede pasar a supersónico mediante mero calentamiento. Sin embargo, el lector se preguntará sin duda qué sucede en el flujo subsónico cuando se alcanzan las condiciones del punto a. Dadas las circunstancias de estrangulamiento del flujo , cualquier adición de calor al sistema altera sus condiciones a la entrada del ducto, de tal manera que se reduce el flujo de masa, estableciéndose una nueva línea Rayleigh de operación, como se indica en la figura 14.8. En la nueva condición de flujo a' , el número de Mach es aún igual a la unidad, pero es menor el flujo de masa en el sistema y la temperatura estática es mayor. Esto implica una limitación en la capaCidad de flujo de un combustor. En la tabla 14.1 se observan diferentes condiciones de operación de la línea Rayleigh para un gas ideal con k = 1.4.

Ejemplo 14.5

La temperatura del aire a la entrada de un combustor de sección transversal constante es de 400 K. Si la temperatura a la descarga es de 1000 K y la fricción es despreciable, calcule el máximo de Mach que puede tolerarse a la entrada del combustor sin tener condiciones de estrangulamiento.

Solución En las condiciones de entrada,

Ji = T+

400 =0.4 1000


490

Termodinámica

T

--

M= 1

s

Figura 14.8. Línea Rayleigh.

Según la tabla 14.1, para esta temperatura adimensional, MI

=

0.3

Tabla 14.1. Condiciones de la línea Rayleigh (k

~.

., "

1.4).

T¡/T¡+

rrr

O

O

2.4000

1.2679

O

0.10

0.04678

0.05602

2.3669

1.2591

0.02367

0.20

0.17355

0.20661

2.2727

1.2346

0.09091

0.30

0.34686

0.40887

2.1314

1.1985

0.19183

0.40

0.52903

0.61515

1.9608

1.1566

0.31372

0.50

0.69136

0.79012

1.7778

1.1140

0.44445

14.

0.60

0.81892

0.91670

1.5957

1.07525

0.57447

Con

0.70

0.90850

0.99289

1.4235

1.04310

0.69751

M

,

=

O

v/»:

p¡/pt

V/V+

EIrE temj

(Continúa)

100

term

en E



491

Tabla 14.1. (Continuación).

vi'i+

M

T,ITt

T/T'"

p/p+

0.80

0.96394

1.02548

1.2658

1.01934

0.81012

0.90

0.99207

1.02451

1.1246

1.04485

0.91097

1.10

0.99392

0.96031

0.89086

1.00486

1.07795

1.20

0.97872

0.91185

0.79576

1.01941

1.1459

1.30

0.95798

0.85917

0.71301

1.04365

1.2050

1.40

0.93425

0.80540

0.64102

1.07765

1.2564

1.50

0.90928

0.75250

0.57831

1.1215

1.3012

1.60

0.88419

0.70173

0.52356

1.1756

1.3403

1.70

0.85970

0.65377

0.47563

1.2402

1.3745

1.80

0.83628

0.60894

0.43353

1.3159

1.4046

1.90

0.81414

0.56734

0.39643

1.4033

1.4311

2.00

0.79339

0.52893

0.36364

1.5031

1.4545

3.00

0.65398

0.28028

0.17647

3.4244

1.5882

4.00

0.58909

0.16831

0.10256

8.2268

1.6410

5.00

0.55555

0.11111

0.06667

10.00

0.50702

0.02897

0.01702

co

0.48980

O

O

Pl/Pl+

1.00

18.634 381.62 'X)

1.6667 1.7021 1.7143

Fuente: Keenan,J. H., Kaye,J., Gas Tables. John Wiley, NuevaYork. 1961.

El resultado anterior indica que si el número de Mach se incrementa por encima de 0.3 sin alterar la temperatura a la entrada, el flujo se estrangula y la temperatura a la descarga quedará por debajo de 1000 K. Por otra parte, si el número de Mach a la entrada es inferior a 0.3 no habiendo alterado la temperatura a la entrada, la temperatura a la descarga puede aumentarse y sobrepasar los 1000 K.

14.4 Línea Fanno Considere ahora un ducto adiabático de sección transversal constante similar al de la figura 14.9. en el que el flujo es estable y existe fricción entre el fluido y la pared del dueto. A diferencia de las'


492 Termodinámica

condiciones de la línea Rayleigh, aquí, la entalpía total se mantiene constante a lo largo del dueto , como se deduce de un balance de energía. En la figura 14.10 se ilustra en un diagrama temperaturaentropía el comportamiento de este flujo ; la curva resultante se denomina línea Fanno ; Shapiro detalla las diferentes expresiones de trabajo para el desarrollo de la línea Fanno; ésta es la razón por la que remitimos al leetor a su obra (véase la sección de referencias) . Aquí sólo se explicarán las consecuencias físicas más importantes. En la figura 14.10 se observa que la porción de la curva que está por encima del punto c corresponde a un régimen subsónico, mientras que la porción que está por debajo de c corresponde a un régimen supersónico. Esto significa que el número de Mach es igual a la unidad en el punto c. A semejanza con la línea Rayleigh , la fricción en el régimen subsónico acelera el fluido hasta un valor límite máximo de M = 1. De forma similar, la fricción desacelera el fluido si éste se encuentra en un régimen supersónico. Cabe señalar que un flujo subsónico nunca pasa a ser supersónico en el dueto , pues violaría la segunda ley de la termodinámica por el principio de incremento de entropía . Este fenómeno impone una restricción a la longitud máxima que puede tener un dueto; en el diseñ o de gasoduetos, debe tenerse en cuenta el límite de la distancia entre las estaciones de bombeo. La longitud máxima puede correlacionarse de forma conveniente a través del factor de fricción f definido así

f

=

'tpared

(14.19)

2

pV / 2

donde

1:

representa el esfuerzo de corte.

1

2

I

~

////¡ I

: / / / / / /f / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

D

+- x

.

:77 77 ) 7 7777777/77 7 7777777

Figura

¡-

7777~

14.9 . Dueto aislado.



T

493

b

a

Línea Rayleigh

Linea Fanno

L--_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ __

s

Figura 14.10. Línea Fanno.

En la figura 14.11 se observa la variación de la velocidad y la presión con respeeto a la distancia adimensional 4fx/ D, donde la línea límite corresponde a la condición M = los = smáx ' Suponga que la entrada del dueto M < 1 y la longitud del mismo es tal que se presentan condiciones críticas en la descarga (e). Si se aumenta la longitud del dueto no se altera el número de Mach en la descarga, pero en ella la condición se desplaza hacia un nuevo punto c', donde las condiciones de entrada se ven afeetadas con la reducción en el número de Mach, la presión y el flujo de masa y, asimismo, con una velocidad mayor de descarga . Es decir, el sistema opera en diferente línea Fanno. En la tabla 14.2 se presenta un resumen de varios parámetros de la línea Fanno para un gas ideal con k = 1.4. Ejemplo 14.6

Un compresor descarga aire en un dueto de 0.25 m de diámetro a una presión de 4 bar y una temperatura de 500 K. El número de Mach a la entrada del dueto es igual a 0 .3 . Si el faetor de fricción promedio es de 0 .003 y la transferencia de calor es insignificante, calcule a) La longitud máxima del tubo sin que haya condiciones de estrangulamiento . b) La presión y la temperatura del aire en la descarga.


494

Termodinámica

e'

P2

P,

M< 1

Línea límite

M< 1

o

~----------

_______________ (a)

Figura

(b)

14.11. Variación de velocidad y presión en la línea Fanno.

Solución

Según la tabla 14.2, para un valor de M = 0.3, 4fL .

_

_ "m",a:....;. x

= 5 .2992

D

-.E... = 3.6190 p+

~ =1.1788 T+

Por consiguiente, L .

= (5. 292~

max

(0.25) = 110.40 m (4)(0.003)

Según los datos anteriores, p+

4

- - - = 1.11 bar 3.6190



495

Asimismo, T+

=

500 1.1788

= 424.16 K

14.5 Condiciones de choque normal Como se dijo antes, las propiedades de un fluido varían de forma continua y ordenada durante el recorrido de un flujo isoentrópico. Sin embargo, también se especificó que en el régimen supersónico pueden ocurrir discontinuidades en donde las propiedades varían de forma repentina, abrupta. Tabla 14.2. Condiciones de la línea Fanno (k = 1.4). 4JLmáx V;V+

T/T+

pf p"

O

1.2000

00

0.10

1.1976

10.9435

5.8218

0.10943

66.922

0.20

1.1905

5.4555

2.9635

0.21822

14.533

0.30

1.1788

3.6190

2.0351

0.32572

5.2992

0.40

1.1628

2.6958

1.5901

0.43133

2.3085

0.50

1.1429

2.1381

1.3399

0.53453

1.06908

0.60

1.1194

1.7634

1.1882

0.63481

0.49081

0.70

1.09290

1.4934

1.09436

0.73179

0.20814

0.80

1.06383

1.2892

1.03823

0.82514

0.07229

0.90

1.03270

1.12913

1.00887

0.91459

0.014513

1.00

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

O

1.10

0.96618

0.89359

1.00793

1.08124

0.009933

1.20

0.93168

0.80436

1.03044

1.1583

0.03364

1.30

0.89686

0.72848

1.06630

1.2311

0.06483

1.40

0.86207

0.66320

1.1149

1.2999

0.09974

1.50

0.82759

0.60648

1.1762

1.3646

0.13605

1.60

0.79365

0.55679

1.2502

1.4254

0.17236

1.70

0.76046

0.51297

1.3376

1.4825

0.20780

1.80

0.72816

0.47407

1.4390

1.5360

0.24189

M

. Pt/pt 00

D

O

00

(Continúa)

11


496 Termodinámica

Tabla 14.2. (Continuación). M

T/T+

p/p+

Pt/pt

V/V+

4JLmax D

1.90

0.69680

0.43936

1.5552

1.5861

0.27433

2.00

0.66667

0.40825

1.6875

1.6330

0.30499

3.00

0.42857

0.21822

4.2346

1.9640

0.52216

4.00

0.28571

0.13363

10.719

2.1381

0.63306

5.00

0.20000

0.08944

25.000

2.2361

0.69381

10.00

0.05714

0.02390

535.94

O

O

00

2.3905 2.4495

0.78683 0.82153

00

Fuente: J. H., Kaye, J., Gas Tables, John Wiley, Nueva York, 1961.

Considere a continuación una onda de choque normal como se ilustra en la figura 14.12. El fluido pasa bruscamente de un régimen supersónico (x) a uno subsónico (y), mientras el flujo de masa, el área y la temperatura total se mantienen constantes. Sin desarrollar las expresiones para la onda de choque normal, en la figura 14.10 se muestra que la línea punteada x-y entre las intersecciones de las líneas Rayleigh y Fanno, para el mismo valor de (mi A), satisface las condiciones anteriores de una onda de choque. En la tabla 14.3 se presentan algunos parámetros para la onda de choque normal con k = 1.4.

x

I M>

I

1

I

~

I

i I

y I

!

14.j La

VE

Para M

<

1

I

¡

Elnú local

I

Figura 14.12. Onda de choque normal.

Las v ciona

Ejemplo 14.7 El aire que se aproxima a un difusor se encuentra a una presión de 0.8 bar, una temperatura de 270 K Y tiene un número de Mach igual a 2.5. Si se forma una onda de choque normal a la entrada del

difusor, calcule después de la onda los valores de presión, temperatura y número de Mach. Solución 1,

, fl¡ I

Según la tabla 14.3, para Mx

=

2.5,



My

=

Py

= (7.1250)px = (7.1250) (0.8) = 5.70 bar

Ty

= (2.1375)Tx = (2.1375) (270) = 577.13 K

497

0.51299

Tabla 14.3. Onda de choque normal (k M.< 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 4.00 5.00 10.00 00

My 1.00000 0.70109 0.57735 0.51299 0.47519 0.43496 0.41523 0.38757 0.37796

=

1.4)* TylT<

pylPx 1.00000 2.4583

1.00000 1.3202 1.6875 2.1375 2.6790 4.0469 5.8000 20.388

4.5000 7.1250 10.333 18.500 29.000 116.50 00

00

PtulPL< 1.00000 0.92978 0.72088 0.49902 0.32834 0.13876 0.06172 0.00304

O

Fuente: Keenan,J. H., Kaye, J., Gas Tables, Wiley, NuevaYork, 1961.

14.6 Resumen La velocidad del sonido e se relaciona con otras propiedades termodinámicas a través de la expresión C2 ~ ;:

).

Para el caso de un gas ideal, la velocidad del sonido queda determinada mediante la expresión c = .JkRT El número de Maeh se define como el cociente de la velocidad de un fluido u objeto por la velocidad local del sonido. Esto es M=V

e

Las variaciones de área con respecto a la presión o la velocidad en el flujo isoentrópico están condicionadas a través de las desigualdades SiM
dA >0 dp ,

d~
SiM>l:

dA
d~ >0 dV

SiM=l:

dA =0 dp ,

d~ =0 dV


498

Termodinámica

La línea Rayleigh describe las condiciones de operación de un dueto de sección transversal constante, donde el flujo es estable, hay transferencia de calor del fluido o hacia él y la fricción es despreciable. La línea Fanno describe las condiciones de operación de un dueto adiabático de sección transversal constante, donde el flujo es estable yhay fricción entre el fluido y la' pared del dueto. Las condiciones de una onda de choque normal quedan determinadas a través de la intersección de las líneas Rayleigh y Fanno.

Problemas

14.1

Cierto flujo de masa de aire entra en una tobera a una temperatura de 900 K y a una presión de 2 bar. La tobera tiene un área de sección transversal en la garganta de 0.1 m 2 y se desea que el aire alcance un valor de M = 1.5 en la descarga. Calcule la temperatura y la presión del aire en la descarga, así como el área de sección transversal que debe tener la tobera en la descarga.

14.2

Considere un dueto de sección transversal constante en el que entra aire a una temperatura de 800 K, a una presión de 2 bar y con un liúmero de Mach igual a 0.3. El aire se calienta hasta una temperatura de 2000 K. Si el área del dueto es de 0.1 m 2 , calcule la presión, temperatura y número de Mach finales, así como el flujo de masa en el dueto.

Respuesta:

P2 T2 M2

= = =

m=

14.3

0.94 bar 2000 K 1 14.68 kg/s

Partiendo de principios básicos, demuestre que en la línea Rayleigh dT

T 1-kM 2

Demuestre además que la temperatura es máxima cuando M = 1/ Jk .

14.4

Determine la velocidad del sonido en el aire, en el hidrógeno y en el metano a una temperatura de 300 K.

Respuestas:

caire cHz

=

=

ceH = 4

346.94 mis 1318.43 mis 449.98 mis

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sal

14.5

es

del flujo de fluidos

499

Calcule el factor de fricción I para un dueto circular en términos del número de Reynolds (Re = DV p/f1) si el régimen es laminar, esto es, Re < 2000. Grafique el resultado en papel log-Iog.

5-

Respuesta: ón

14.6

ión ea

e)

14.7

Presión estática. Velocidad. Entropía. Número de Mach. Temperatura estática.

El número de Mach antes de formarse una onda de choque normal es 3. Calcule dicho número después de la onda. Respuesta:

ra nta ón,

Re

Indique si las siguientes propiedades aumentan o disminuyen en una onda de choque normal a) b) e) d)

del la

I=~

M = 0.47519

14.8 14.9

¿Por qué una onda de choque no puede seguir la trayectoria y-x en la figura 14.10? Cierto flujo de masa entra en un difusor a una temperatura de 298 K y una presión de 1 bar. Si se desea desacelerar el fluido hasta alcanzar una presión de 2 bar, calcule la temperatura a la descarga. Suponga que el proceso es isoentrópico y dibújelo en un diagrama temperatura-entropía. 14.10 Establezca claramente las condiciones de la línea Rayleigh y la línea Fanno. 14.11 A presión de 1 bar, temperatura de 25 C, y con un número de Mach igual a 2 el aire experimenta un choque normal. Calcule la pérdida de disponibilidad. 14.12 Derive la siguiente expresión para la presión total en un gas ideal o

g/s

Pt

1 = p (k1+TM2

)

k

k-l

Referencias 1. Hesse, W. J., Jet Propulsion, Pitman Publishing Corp., Nueva York, 1958. 2. Keenan, J. H., Kaye, J., Gas Tables, John Wiley, Nueva York, 1961. 3. Olson, R. M., Essentials 01 Engineering Fluid Mechanics, Intext Educational Publishers, 1973. 4. Rotty, R. M., Introducción a la dinámica de los gases, Herrero, México, 1966. 5. Shapiro, A. H., The Dynamics and Thermodynamics 01 Compressible Fluid Flow, Volume 1, The Ronald Press Company, Nueva York, 1953:



15 Transferencia de calor No se engañe nadie, no, pensando que ha de durar lo que espera más que duró lo que vio , porque todo ha de pasar por tal manera. JORGE MANRI QUE

La importancia de la transferencia de calor en la tecnología moderna es cada vez mayor. Los problemas de transferencia de calor que competen al ingeniero son múltiples y de carácter muy diverso. Cabe mencionar, como ejemplos, el diseño de intercambiadores de calor, hornos, equipo de refrigeración , enfriamiento de motores de combustión interna y eléctricos, transformadores, transistores, etc . En los casos anteriores se ve que en casi cada rama de la ingeniería los problemas de transmisión de calor requieren un análisis especializado para su solución. Aun cuando la termodinámica permite evaluar la transferencia de calor en un sistema al cambiar de un estado a otro, no predice el mecanismo por medio del cual esta transferencia de energía se lleva a cabo, ni el tiempo o área requeridos en el proceso. Dada la afinidad que tiene las disciplinas de transferencia de calor y la termodinámica, aquí se describirán en forma sucinta algunas aplicaciones de los tres modos principales de transf?rencia de calor: conducción, convección y radiación.

15.1 Generalidades El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propagación de energía en un medio sólido, líquido o gaseoso mediante comunicación molecular directa. Al existir un gradiente de temperatura en el medio, la segunda ley de la termodinámica establece que la transferencia de calor se lleva a cabo desde la región de mayor temperatura hacia otra menor, como se observa en la figura 15.1 . En tales circunstancias, el flujo de calor por unidad de área es proporcional al gradiente de temperatura. Es decir,


502 Termodinámica

Perfil de temperatura

q"

x

Figura 15.1. Dirección del flujo de calor.

(15.1)

donde q" denota el flujo de calor por unidad de área y k es la conductividad térmica del material. Sus unidades son W/mK en el Sistema Internacional de unidades. El signo negativo en la ecuación 15.1 se introduce para que se satisfaga la segunda ley de la termodinámica, es decir, el calor deber fluir de una temperatura mayor a otra menor. Esta ecuación se conoce como ley de Fourier de conducción de calor. Debe mencionarse que esta expresión define la conductividad térmica k. Aun cuando ésta varía con la temperatura, en muchas aplicaciones puede suponerse constante. t Los materiales que tienen alta conductividad térmica se denominan conducto res; los de baja conductividad, aislantes. En la tabla 15.1 se indica el orden de magnitud de la conductividad térmica para distintos materiales. Por otra parte, el fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transporte de energía que tiene lugar por virtud del movimiento de un fluido (líquido o gas) , con el que está íntimamente relacionado. Para ilustrar este punto, considere un sistema a una temperatura Ts como el de la figura 15 .2, el cual intercambia calor por convección con un fluido a una temperatura menor que Too. La experiencia indica que el sistema disipa más calor cuando se le hace pasar aire provenient

Algunas sustancias, como el CO 2 exhiben un comportamiento anómalo en la vecindad del punto crítico termodinámico. en donde la conduct ividad tér mica k varía de fo rma brusca hasta alcanzar valores esencialmente infinitos.

http://carlos2524.jimdo.com/ 15 Transferencia de calor

503

te de un abanico que cuando sólo se encuentra expuesto al aire ambiente, deduciéndose así que la velocidad del fluido tiene un efecto importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. Del mismo modo, la experiencia indica que el flujo de calor es diferente si el cuerpo se enfría en agua o aceite, no en el aire. De aquí que el tipo de fluido deba tener también un efecto importante sobre la transferencia de calor. Tabla 15.1. Orden de magnitud de la conductividad térmica k.

Material

k, W/mK

Gases a presión atmosférica Materiales aislantes Líquidos no metálicos Sólidos no metálicos Metales líquidos Aleaciones Metales puros

0.0069 0.034 0.086 0.034 8.6 14 52

0.17 0.21 0.69 2.6 76 120 410

Fuente: Kreith, Frank, Principies of Heat Transfer. Intext Educational Publishers. 1973.

Dado que en cualquier circunstancia la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase sólidofluido (y = O), el calor se transfiere por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo, aun cuando el calor disipado por el sistema puede calcularse mediante la expresión 15.1, el gradiente de temperatura en el fluido depende de las características, a menudo complejas, del flujo. Por tanto, es más conveniente calcular el flujo de calor disipado por el sistema en términos de la diferencia total de temperaturas entre su pared y el fluido. Así, q" = h{Ts -

T,,)

(15.2)

donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de película. Sus unidades en el Sistema Internacional de unidades son W/m 2K. La ecuación 15.2 se conoce como ley de Newton de enfriamiento. Debe decirse que esta expresión, más que una ley fenomenológica, define el coefi-

Fluido a Tx

------.-•

~

V///////ff////ff//~/////#////#///#/Jm q"

Figura 15 .2. Transferencia de calor por convección.


504 Termodinámica

ciente de transferencia de calor h. Aun cuando la apariencia de la ecuación 15 .2 es muy sencilla, el proceso de transferencia de calor por convección es muy complejo, pues el coeficiente h está condicionado por distintos factores. Depende, en general, de la forma y dimensiones del sistema, de las condiciones del flujo, de las propiedades del fluido, etcétera. De lo antes dicho se deduce también que

aT

h=

q" Iy=

o

- k-

ay

ly=O

(15.3)

donde la conductividad térmica y el gradiente de temperatura corresponden al fluido en la interfase. El coeficiente promedio de transferencia de calor en distintos sistemas puede determinarse integrando esta expresión, aunque se hace necesaria la experimentación en situaciones complejas. El mecanismo de convección normalmente se clasifica en convección forzada y libre o natural, según sea el movimiento del fluido , el resultado de algún agente ajeno al proceso (abanico, bomba, viento), o de los gradientes en densidad que experimenta el fluido en la vecindad del sistema. La convección libre puede aparecer en un líquido o en un gas, pero sólo cuando éste está situado en un campo de fuerzas, como el gravitacional, por ejemplo . Aun cuando la convección forzada va acompañada de la libre, el efecto relativo de esta última puede ser insignificante cuando la velocidad del fluid o es relativamente alta. Por otra parte, el efecto relativo de la convección libre es tanto mayor cuanto más grande sea la diferencia de temperaturas entre la superficie del sistema y el fluido , o menor la velocidad del movimiento forzado . En la tabla 15.2 se indican algunos valores del coeficiente promedio de transferencia de calor h. Tabla 15.2. Orden de magnitud del coeficiente promedio de transferencia de calor h. h, W/m 2 K

Situación

Convección libre, en aire Convección forzada, en aire Convección forzada, en agua Agua en ebullición Condensación de vapor de agua

5 10 100 2500 5000

30 500 20000 50000 - 100000

Fuente: Thomas, L.e., Heat Tran sfe r, Prentice Hall , EUA, 1993.

A diferencia de los mecanismos de conducción y convección donde interviene un medio para que la transferencia de calor se lleve a cabo, ésta también puede realizarse aun en el vacío perfecto mediante radiación. Este mecanismo de transferencia de calor por radiación electromagnética se lleva


15 Transferencia de calor

a cabo cuando existe una diferencia de temperaturas entre dos sistemas cualesquiera, como se observa en la figura 15.3. Por el momento, baste decir que la transferencia neta de calor por radiación entre dos sistemas a temperaturas absolutas TI y T2 (TI> T2 ) puede evaluarse mediante esta relación 4

4

505

o

(15 .4)

q" = crf (TI - T 2 )

donde cr es la constante de Stefan-Boltzmann y adquiere un valor de 5 .67 x 10-8 W/ m 2K4 en el Sistema Internacional de unidades, y r es una función que depende de las características superficiales de emisión de energía y del arreglo geométrico que guardan los cuerpos entre sí.

Figura 15.3.

Transferencia de calor por radia-

ción.

15.2 Conducción de calor unidimensional en estado estable -+II~D.X

A continuación se describirán algunas aplicaciones de la ley de Fourier de conducción de calor en una dimensión para sistemas sencillos que operan en estado estable. El análisis de estos sistemas requiere básicamente el planteamiento de un balance de energía que incorpore la ley de Fourier para determinar el perfil de temperatura en el sistema. Conocido este perfil, el flujo de calor de cualquier sección puede obtenerse con facilidad mediante la ley de Fourier de conducción del calor. Placa plana

q"--+-..

Considere una placa o pared como la de la figura 15.4, la cual está expuesta a temp
-

q" A I x + ~x

=

O

Dividiendo esta expresión entre ~x y teniendo en cuenta que el área A perpendicular al flujo de calor es constante,

1.- L-./

Lx

O

Conducción de calor en una pared.

Figura 15.4.


En el límite, cuando

/),.X ~

O, se obtiene, a través del teorema del valor medio, que dq" dx = O

Integrando esta expresión tenemos (a)

que indica que el flujo de calor por unidad de área es constante a través de la pared, siendo Cl una constante de integración. Introduciendo la ley de Fourier tenemos

dT -k-=C dx .l Integrando de nuevo esta relación y suponiendo que la conductividad térmica k es constante,

(b) donde C2 es otra constante de integración. Las constantes Cl y C2 pueden evaluarse mediante dos condiciones de frontera que correspondan a la situación física del problema. En este caso T = TI en x = O

También T

=

T2 en x

=

L

(e)

Sustituyendo las condiCiones de frontera (c) en la ecuación (b) se obtiene

Asimismo,

Por consiguiente, el perfil de temperatura en la pared queda determinado de manera única al sustituir estas constantes en la expresión (b). Es decir:

o, de forma adimensional,

(15 .5)



507

La ecuaclOn anterior establece que el perfil de temperatura en una pared es lineal cuando la conductividad térmica es constante. En la figura 15.5 se observa el perfil adimensional de temperatura para cualquier placa plana.

x L

o Figura

15.5. Perfil adimensional de temperatura

en una pared.

El flujo de calor por conducción puede determinarse en cualquier sección x, puesto que es constante. Esta determinación puede hacerse diferenciando la ecuación 15.5 e introduciendo el gradiente de temperatura resultante en la ley de Fourier (ecuación 15.1) o directamente a través de la expresión (a). Esto es, q" =

"

q =

o bien,

el

k TI - T 2 L

(15.6) Esta ecuación indica con toda claridad que el flujo de calor a través de una pared es directamente proporcional a la conductividad térmica del material, al área de sección transversal perpendicular al flujo de calor, a la diferencia de temperatura, e inversamente proporcional al espesor de la pared. La misma expresión puede interpretarse de manera alternativa recurriendo a la ley de Ohm de circuitos eléctricos, que relaciona la corriente con la resistencia y la diferencia de potencial eléctrico. Si se visualiza el flujo de calor como una corriente y la diferencia de temperaturas como una diferencia de voltajes, la "resistencia térmica" queda relacionada así

R

_ L t, cond -

kA

(1 5 .7)


508 Termodinámica

Esta analogía se ilustra de forma esquemática en la figura 15.6. El análisis de una pared compuesta por n - 1 placas de distintos materiales en contacto íntimo, como se ve en la figura 15.7 , puede hacerse con facilidad recurriendo al concepto de resistencia térmica. Puesto que el calor por conducción es el mismo en cada placa, Figura 15.6. Resistencia térmica

en una pared.

(15 .8)

Hasta el momento se ha supuesto que se conocen las temperaturas en las superficies de las placas. Sin embargo, usualmente las placas están localizadas entre dos fluidos , uno a una temperatura T 1 e y el otro a una temperatura T n .e . Un análisis de la ley de Newton de enfriamiento permite también establecer una analogía eléctrica en donde la resistencia térmica es

R t, conv =~ hA

:-::- .. . .. T,

Figura 15.7. Pared compuesta por n - 1 placas.

(15 .9)


J 5 Transferencia de calor

509

Así, si la placa de la figura 15.7 intercambia calor con dos medios distintos, como se observa en la figura 15.8, el flujo de calor está dado por la expresión

TI ,e - Tn,e

Q=------~--~--~

1 - 1-+ ~x-xI L...' ,- + - -

hI A

i=2

(15.10)

hn A

ki- I A

T, . •

Figura 15.8. Pared compuesta que intercambia calor con dos medios.

Para conservar la apariencia de la ley de Newton de enfriamiento, la expresión anterior se escribe a menudo así

Q = UA (TI , e

Tn ,e)

-

(15.11)

donde U es el coeficiente total de transferencia de calor, definido así U

= _______1_______ ~ Xi -1 + L...

-

h1

ki- 1

X i- 1

- ' -- - ' - --=-

i=2

+ -1 hn

(15.12)


Cilindro

Inte

Considere ahora un tubo de radio interior RI y radio exterior R2 como se observa en la figura 15.9, el cual está expuesto a temperaturas TI y T2 en sus superficies interior y exterior, respectivamente. Suponga que la longitud L del tubo es muy grande con respecto a su diámetro, de tal manera que la transferencia de calor es unidimensional. Un balance de energía en el sistema mostrado indica que 21trL q"

I r - Znrl. q" I r + llr

=

Las

O Asir

~

'R2

e:::t:::::2

Sus

I 1

Tan

L

(a)

o~------------~-----

Enl

1

(e)

(b)

con

R

Figura 15.9. Conducción de calor en un cilindro.

El ~ de I

Dividiendo entre 2nLL'lr y haciendo que L'lr ~ O,

.!L (rq")

=

O

dr

Integrando esta expresión con respecto al radio, tenemos q " =-C r

ob

I

(d)

Rec

Introduciendo la ley de Fourier

en

dT

CI

dr -

kr


J5

511

Transferencia de calor

Integrando de nuevo (e)

Las constantes de integración

el y e2pueden evaluarse mediante las condidones de frontera T = TI en r = RI

Asimismo, (f)

Sustituyendo estas condiciones en la ecuación (e) se obtiene

También

En consecuencia, el perfil de temperatura dentro del material del tubo es, ordenando la expresión (e) con las constantes '(15 .13)

El perfil adimensional de temperatura aparece en la figura 15.9. El flujo de calor transferido a través de las paredes del tubo puede calcularse directamente con la ecuación (d). Es decir,

" el

k (TI - T 2)

q = -r- = _r-;-ln-(=Ro--:/ R=-:-¡) 2

o bien,

Q = 2nrLq" = 2 .1I kL (T¡- T 2) In (R 2 /R¡)

(1514)

Recurriendo a la analogía eléctrica descrita antes, se obtiene que la resistencia térmica al flujo de calor en un cilindro hueco está dada por la relación

(15 .15)


512 Termodinámica

El análisis de un cilindro compuesto por varios materiales puede ser análogo al descrito para una pared plana compuesta. Ejemplo 15.1

Por una tubería de cobre (k = 386 W/mK) cuyos diámetros interior y exterior son de 4.09 y 4.83 cm, respectivamente, fluye freón 12 a -40 oc. Se desea aislar la tubería con espuma de poliestireno (k = 0.035 W/ mK) para disminuir la transferencia de calor procedente del aire ambiente que se encuentra a 25 oc. Los coeficientes interior y exterior de transferencia de calor pueden suponerse de 500 W/ mzK y 5 W/ mzK, respectivamente. Calcule el espesor de aislante necesario para reducir la transferencia de calor en 50%, con respecto al valor que se tendría si el tubo estuviera desnudo.

Solución Si el tubo estuviera desnudo

Q L

1

- -

h1 nd 1

+

In (dz / d 1 ) 2nkl_Z

1

+ --hz nd z

65 0.016 + 0.0000686 + 1.318 =

48.74 W/ m

Observe que la máxima resistencia al flujo de calor se encuentra en el exterior de la tubería. Al reducir la transferencia de calor en 50%,

Qn L

= 24.37 W/m

En estas circunstancias,

Qn L

T1. e - T3 . e _ 1_ + In (dz/d 1 ) + In (d 3 / d z ) + 1 h1 nd 1 2nkl_Z 2nkz_3 h3 nd3

Sustituyendo valores, 2437 = 25 - (-40) . 0.016 + 0.0000686 + In (d 3 / 4.83) + 1 (2)(n)(0.035) (5)(n)(d 3/100) Resolviendo por tanteos se obtiene

d3 = 6.7 cm


15 Transferencia de ca lor

513

Por tanto, el espesor del aislante requerido es x = d 3 -d 2

2

= 6.7 -4.83 = 0.94 cm 2

Ejemplo 15.2 Considere un alambre conductor de radio R y longitud L, como se observa en la figura E.15 .2. El alambre transporta una corriente eléctrica 1. Si la temperatura en la superficie del conductor e s T R' calcule la temperatura máxima en su interior. Suponga que la resistividad eléctrica es Pe.

Solución Si se denota con q'" el calor generado por unidad de tiempo y de volumen (W/ m 3) 2

2

"'_ 1 Re_~ q - AL - 7[2 R 4 Mediante un balance de energía en el elemento mostrado q"2 7[ r L I

r

- q "2 7[ r L I

r + tlr

+ q'"

Dividiendo entre 27[ L ~r y haciendo que

2 7[ r L M = ~r ~

°

0,

d

- (rq") = q '''r dr

Integrando

I

I I ,

rq"

=

q'" r 2 - - + Cl 2

o bien,

I

q'" r q"= - -

I

2

puesto que C l = O para que el flujo de calor sea finito. Introduciendo la ley de Fourier,

dT dr

R

I

q'" r

2 Figura E.15.2.


514 Termodinámica

Integrando de nuevo, q'" r

2

T=----+C 2 4k

Puesto que T= TR en r = R, q'" R 2

C2 = T R +

4k

Ordenando el perfil de temperatura en términos de la corriente y resistividad eléctricas,

T- T

[2 PekR

=

R

4¡r2

2

[1- (!:.-)2] R

También, _

Tmáx

-

TR +

[2

Pe

2

4¡r kR

2

Observe que la temperatura máxima depende de la corriente eléctrica al cuadrado.

15.3 Transferencia de calor por convección Como se dijo antes, en el fenómeno de transferencia de calor por convección el transporte de energía se lleva a cabo por conducción sólo en la interfase sólido-fluido. La energía así transmitida es luego transportada por el movimiento del fluido. Es decir, tanto la conducción como el transporte de masa juegan un papel importante en la transferencia de calor por convección. Cuando la velocidad del fluido es relativamente alta y el movimiento de las partículas que lo constituyen es grande, la conducción de calor en la dirección del fluido es relativamente insignificante dentro de éste. Puesto que el mecanismo de transferencia de calor está íntimamente relacionado con el movimiento del fluido, es necesario distinguir dos tipos generales de flujo: laminar y turbulento. Como su nombre lo indica, en el régimen laminar el fluido se desplaza a lo largo de capas submicroscópicas en donde cada partícula sigue una línea de corriente bien definida, ordenada y continua. En contraste con este movimiento ordenado, las partículas de fluido siguen un movimiento completamente irregular y fortuito en el régimen turbulento. En consecuencia, la transferencia de calor es mayor por razón de este mezclado. Sin abundar en el tema, el coeficiente de transferencia de calor puede correlacionarse en términos de varios grupos adimensionales, de forma analítica o experimental, según sea el régimen, laminar o turbulento. La combinación del coeficiente promedio de transfer~cia de calor /1, una longitud característica L y la conductividad térmica del fluido k en la forma hL/k se conoce como número de



515

Nusselt Nu. En la práctica, el número de Nusselt es una medida conveniente del coeficiente de transferencia de calor, pues si se conoce este número, el coeficiente ¡:¡ puede calcularse con facilidad a través de la relación ¡:¡ = Nuk/L. En convección forzada, el número de Nusselt depende, en general, de dos grupos adimensionales: el número de Reynolds, definido como Re == LV p/ Ji y el número de Prandtl, definido como Pr == cpJi/ k. Es decir,

Nu = Nu (Re, Pr) En estos grupos adimensionales, Ji es la viscosidad del fluido . Sus unidades en el Sistema Internacional de unidades son Ns/ m2. Por otra parte, en convección libre, el número de Nusselt depende básicamente del número de Prandtl y del número de Grashof, definido como Gr == p2g f3 !1 TL3/Ji2 . En general, !1 T denota la diferencia de temperaturas entre la superficie del sistema y el fluido. Por tanto, Nu = Nu (Pr, Gr) En la tabla 15.3 se presentan algunas relaciones para estimar el coeficiente de transferencia de calor en diferentes geometrías.

Ejemplo 15.3

Sobre una placa de 0.1 x 0.1 m a 175 oC, fluye aire a 25 oC, 1 bar ya una velocidad de 1 mi s. Calcule el flujo de calor disipado por la placa, suponiendo las siguientes propiedades del aire a una temperatura de (175 + 25}/2 = 100 oc:

k = 0.031 W/mK ~ = 2.13 x 10-5 Ns/m 2 Cp = 1 J/g K Pr = 0.69

Solución Mediante la ecuación de estado de los gases ideales, tenemos

_L _ 1 x 10 5 _ 3 P - RT - (0 .287 x 103)(373) - 0.93 kg/m


Termodinámica

Tabla 15.3. Algunas relaciones para estimar el coeficiente de transferencia de calor h en régimen laminar. Geometría

Nu

Flujo paralelo a una placa plana de longitud L

NU L= 0.664 Re 1/2 L Pr 1/3 (Re L < 5 ' 105)

Flujo dentro de un tubo circular de diámetro D y flujo de calor por unidad de área en la pared constante

Nuo = 48/11 = 4.364 (Reo < 2100)

Placa vertical con convección libre

NUL = 0.59 (GrLPr)1/4 (10 4 < GrLPr < 109 )

Flujo a través de una esfera de diámetro D.

Nuo = 2 + 0.37

R~~ PrO 33 (Reo < 1.5 x 105)

Fuente: Edwards, D. K., Denny, V.E., Milis. A. F., Tran sfer Processes, Holl , Rineharl and Winslon, Ine ., 1973.

Por otra parte,

R

=

e

LVoo p = (0.1)(1)(0.93) = 43662 J..l

2. 13 x 10- 5

.

Según la tabla 15.3 Nu

=

0.664 Re1/2 Pr 1/3

= 0 .664 (4366.2)1/2 (0.69)1/3 = 38.82 En consecuencia,

También, Q= hA (Ts

-

TJ

= (12 .03) (0 .01) (175 - 25) = 0 .12 W

15.4 Transferencia de calor por radiación Hay muchos tipos de radiación electromagnética, pero la radiación térmica se localiza en el rango de longitudes de onda de alrededor de 0.1 a 100 Jim. Cuando la radiación térmica incide sobre la superficie de un material, parte de ella se refleja, parte es absorbida y parte se transmite, como se observa en la figura 15.10. Se define la rejlectancia como la fracción de energía que se refleja, la absortancia como la fracción que se absorbe y la transmitancia como la fracción que se transmite. Es decir,

p+a+r=l

(15 .16)


J 5 Transferencia de calor

517

Radiación incidente

Reflectancia p

Figura 15.10. Radiación en una superficie.

La mayor parte de los sólidos no transmiten la radiación térmica, por lo que la transmitancia puede suponerse igual a cero en muchas aplicaciones. Algunos gases son transparentes a la radiación, por lo que su transmitancia es igual a la unidad. Por otra parte, la reflexión de energía puede ser especular o difusa . Se dice que es especular si el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. En la reflexión difusa el haz incidente de energía se distribuye de manera uniforme en todas direcciones después de reflejarse. Normalmente, en una superficie rugosa la reflexión es más difusa que en una superficie altamente pulida. Se define como cuerpo negro un radiador o absorbedor perfecto, es decir, un cuerpo que absorbe toda la energía que incide sobre él, sin transmitir o reflejar absolutamente nada, y emite la máxima energía posible para una temperatura dada. Para un cuerpo negro la absortancia es igual a la unidad. El flujo de calor por unidad de área que emite un cuerpo negro es proporcional a su temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia. Esto es, (q" en) =

(J

T4

(15.17)

esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. Para establecer una relación entre el flujo de calor emitido por un cuerpo cualquiera a una temperatura dada y las propiedades de los materiales antes descritas, considere una cavidad absolutamente negra que absorbe toda la radiación que incide en su superficie, la cual se encuentra a una temperatura absoluta T. Suponga que se coloca un cuerpo cualquiera en el interior de la cavidad y en equilibrio térmico con ella, es decir, a la misma temperatura T. En estas condiciones, la energía absorbida por el cuerpo debe ser igual a la energía emitida, de lo contrario, existiría un fluj o de energía de entrada o de salida que alteraría la energía interna del cuerpo y, por tanto, su temperatura .


518 Termodinámica

En equilibrio térmico (g)

Si ahora se reemplaza el cuerpo en la cavidad por un cuerpo negro del mismo tamaño y forma q "A en

(h)

= q"A -e

Dividiendo la ecuación (g) entre la (h),

(i) Es decir, el calor emifido por cualquier cuerpo con respecto al de un cuerpo negro que esté a la misma temperatura es igual a la absortancia. Esta razón también se define como emitancia del cuerpo, esto es, 1:=

(15.18)

Por tanto , en equilibrio térmico, I:=a

(15.19)

Esta última expresión se conoce como ley de Kirchhoff. Los cuerpos que emiten calor de acuerdo con la relación q"

= 1: (J T 4

(15.20) Cuerpo negro 2

se conocen como cuerpos grises. La emitancia puede determinarse experimentalmente de una manera sencilla. El lector puede dirigirse a la referencia 3 para mayor información sobre este tema . Para calcular el intercambio neto de calor por radiación entre dos cuerpos es necesario determinar de antemano la fracción de la radiación total emitida por un cuerpo que es interceptada por otro y viceversa. Considere dos superficies negras cuyas áreas son Al y A 2 , como se ve en la figura 15.11. La radiación que sale de 1 y llega a 2 es

G Cuerpo negro 1

Figura 15 .11. Radiación entre dos cuerpos negros .



519

y la que sale de 2 y llega al , es:

donde F12 denota la fracción de la radiación que sale de la superficie 1 y llega a la 2. De la misma manera, F2l denota la fracción de la radiación que sale de la superficie 2 y llega a la 1. En general, la fracción Fjj se conoce como factor de forma para radiación . Por tanto, el intercambio neto de calor está dado por la relación

Si ambas superficies están a la misma temperatura

Por tanto, (15.21)

Esta expresión se conoce como teorema de reciprocidad. Si toda la radiación de uno de los cuerpos incide sobre el otro y viceversa, F12 = F2l el caso de dos placas paralelas muy grandes de área A). En estas condiciones ,

=

1 (como en

En general, el flujo neto de calor por radiación entre dos cuerpos negros es .

4

Q = aAl F12 TI .

erA2

4

4

F2l T 2 4

Q = erAl F12 (T e T 2)

(15.22)

En este ejercicio se ha supuesto que el gas entre los cuerpos negros que intercambian calor por radiación es transparente. Ejem plo 15.4

La potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro varía con la longitud de onda. La longitud de onda donde la potencia emisiva monocromática es máxima está dada por la ley de desplazamien to de Wien "' máx

T = 2897.8 ,umK


520 Termodinámica a} Si la temperatura efectiva del Sol como cuerpo negro es de 5762 K, estime la longitud de onda en que la potencia emisiva monocromática es máxima. b} Calcule el calor total emitido por el Sol si su diámetro es de 1.39 X 106 km.

Solución a} Según la ley de desplazamiento de Wien, se obtiene Amáx =

2897.8/5762

=

0.50 11m

b} A la temperatura efectiva del Sol se obtiene OSOI = = =

15.5 Resumen El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propagación de energía en un medio sólido, líquido o gaseoso mediante comunicación molecular directa. El flujo de calor por unidad de área es proporcional al gradiente de temperatura. Es decir, q" = -k oT

ox

donde k es la conductividad térmica del material. Esta ecuación se conoce como ley de Fouri er de conducción de calor. El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transporte de energía que tiene lugar por virtud del movimiento de un fluido, con el que está íntimamente relacionado. El flujo de calor puede establecerse en términos de la diferencia total de temperaturas entre el sistema y el fluido mediante la expresión

donde h es el coeficiente de transferencia de calor. Esta expresión se conoce como ley de Newton de enfriamiento. A diferencia de los mecanismos de conducción y convección en los que interviene un medio para la transferencia de calor, ésta también puede realizarse en el vacío perfecto mediante radiación. La transferencia neta de calor por radiación entre dos cuerpos a distintas temperaturas absolutas puede evaluarse mediante la relación q" = crr(Ti - T~ )



521

donde O' es la constante de Stefan-Boltzmann y adquiere un valor de 5.67 X 10-8 W/ m 2K4 en el Sistema Internacional de unidades, y r es una función que depende de las características superficiales de emisión de energía y del arreglo geométrico que guardan los cuerpos entre sí.

Problemas 15.1 Un cono truncado de 0.5 m de altura construido en cobre (k = 386 W/ mK) tiene un diámetro en la parte superior de 0.1 m yen la base de 0.2 m. La superficie superior se encuentra a 500 oC, en tanto que la inferior está a 100 oc. La superficie lateral está aislada. Calcule el flujo de calor suponiendo que éste es unidimensional.

15.2 Determine el perfil de temperatura y el flujo de calor en una esfera hueca de radio interior R I y radio exterior R2 sujeta a temperaturas TI y T 2 en sus superficies.

15.3 Determine el flujo de calor en una pared de espesor L cuyas superficies están sujetas a temperaturas TI y T 2 Y cuya conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con la relación k = ko (1 + aT). Respuesta :

Q = kmA (TI - T2 }/L

donde , km

= ko

(1 +

a TI : T2

)

15.4 Dos superficies perfectamente negras se construyen de tal manera que toda la energía radiada por una de ellas sea interceptada por la otra. La temperatura de una de las superficies es de 1000 K, mientras que la de la otra es de 500 K. Calcule la transferencia de calor por radiación . 15.5 Sobre una placa de 0.1 por 0.2 m fluye aire a 30 oC, de tal manera que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 10 W/ m 2K. Si la placa sé encuentra a 400 K, calcule el flujo de calor disipado. 15.6 Determine el coeficiente total de transferencia de calor en el ejemplo 15.1. 15.7 Demuestre que la ecuación de energía para transferencia de calor bidimensional en estado estable es

a

a

2 2 T T -+-=0

ax2 al

15.8 Considere la pared de una casa-habitación formada por 20 cm de ladrillo común (k = 0.72 W/ mK) y 5 cm de poliuretano (k = 0.023 W/ mK) por la parte exterior. La temperatura ambiente en el exterior es de 35 oC (h = 22 W/ m 2 K) y en el interior es igual a 25 oC (h = 6 W/ m 2K). La


522

Termodinámica

superficie exterior de la pared recibe un flujo neto de radiacion igual a 400 W/ m 2 . Dibuje un esquema del perfil de temperatura y calcule a) La temperatura en la superficie exterior de la pared. b) El flujo de calor por unidad de área que penetra hacia el interior de la casa . e) La temperatura en la superficie de la pared que da hacia el interior de la casa.

15.9 ¿Cuánto aislante de fibra de vidrio (k = 0 .04 W/ mK) se requiere poner en el horno de una estufa para garantizar que la superficie exterior no alcance 50 OC? La temperatura máxima en el horno es de 300 oC, y la temperatura ambiente en la cocina fluctúa entre 15 oC y 35 oc. Suponga que los coeficientes de película son iguales a 10 W/m2 oC por ambos lados y que el aislante está cubierto por dos láminas de acero porcelanizado de 1.25 mm de espesor (k = 54 W/ m oC) .

Referencias 1. Arpaci, V. S. , Conduetion Heat Transler, Addison-Wesley, EUA, 1966. 2. Adams, J. A , Rogers D. E , Computer Aided Heat Transler Analysis, McGraw-Hill, EUA. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10.

1973. Cárdenas, R. S., Manrique, J . A , Determining Emissivities 01 Materia/s in the Student Laboratory, EUA, Engineering Education, 60, 9, mayo de 1970. Carslaw, H. S., Jaeger, J. c., Conduetion 01 Heat in So/ids, Oxford University Press, Inglaterra, 1959. Holman, J. P , Heat Transler, McGraw-Hill, EUA, 1972. Hottel, H. c., Sarofim, A E, Radiaetive Trans/er, McGraw-Hill, EUA, 1967. Kays, W. M., Conveetive Heat and Mass Trans/er, McGraw-Hill, EUA, 1966. Kreith, E , PrincipIes 01 Hea t Transle r, Intext, EUA, 1973. McAdams, W. H., Heat Transmission , McGraw-Hill, EUA, 1954. Schneider, P. J ., Conduetion Heat Trans/er, Addison-Wesley, EUA, 1957 .


Apéndice ~==================================================~.)

Tabla Al

Vapor de agua saturado

Tabla A2

Vapor de agua saturado

Tabla A3

Vapor de agua sobrecalentado

Tabla A4

Propiedades del refrigerante 22(R-22) en condiciones de saturación

Tabla AS

Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor

Figura B.1

Diagrama de Mollier para el agua

Figura B.2

Diagrama de temperatura-entropía del agua

Figura B.3

Diagrama presión-entalpía del refrigerante 22

Figura B.4

Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a

Figura B.5

Diagrama temperatura-entropía para diclorodifluorometano

1672.9 891.9

1.0435

1.0603

.8455 1.0135

2361 1981.9

95 100

2828

1.0325

1.0360

220.9

374.136

Volumen

Tabla A.2. Vapor de agua saturado.

J. H. Keanan et al., Steam tables, Wiley, 1969

3.155

1725.2

6.945

3.155

1505.3

12.996

1.5607 1.8925'

186.51

330

2375.3

vg

2029.6

2498.9 2351.5

2563.0

2586.1

2604.0 2599.0

2595.3 2602.4

2583.7

2550.0 2568.4

2529.3

2500.6 2506.5

2494.5

2475.9 2482.2 2488.4

2469.6

2463.1

2456.6

2450.1

2443.5

2436.8

2430.1

2416.6 2423.4

2409.8

2402.9

2396.1

2389.2

2382.3

Energía

2029.6

1332.0

360

1128.39 1227.46

30.17 21.67

1.2755

46.88

1033.21

1.3321

59.76 42.21

1.2291

240 260

940.87

850.65

1.4036

86.19

64.12

127.36

1.1565

1.1565

15.538

23.18 33.44

200

220

674.87 762.09

85.81 128.45

194.05

503.50 588.74

397.88 418.94

376.85

355.84

313.90 334.86

292.95

272.02

230.21 251.11

209.32

146.67 167.56 188.44

125.78

104.88

83.95

62.99

42.00

300

307.1

1.1020 l.l274

6.178

10.021

160 180

.00 20.97

v¡

Energía interna

280

508.9

1.0797

1.9853

3.613

120

140

1.0397

1.0291

.5783 .7014

4131 3407

1.0259

85

90

80

.3858 .4739

5042

75

6197

1.0228

70

1.0199

.2503

.3119

65

9568 7671

1.0146 1.0172

.15758 .19940

12032

55 60

15258

1.0099

1.0121

.12349

50

.09593

45

25216 19523

1.0060 1.0078

.05628 .07384

32894

35 40

43360

30

1.0043

25

1.0029

.02339

.04246

.017051

15

20

.03169

106379

1.0004

.012276

10

77 926 57791

147 120

1.0009 1.0018

206 136

1.0002

1.0001

.006113

vg

.008721

v¡

5

p

0.01

T

Volumen específico


-;---.=

.01

2283.2

2296.0

2308.8

2333.8 2321.4

2346.2

2370.7 2358.5

2382.7

2394.8

2418.6 2406.7

2430.5

2442.3

2465.9 2454.1

2477.7

2489.6

2501.3

h¡g

O

720.5

1140.6

1404.9

1543.6

1662.5

1766.5

1858.5

1940.7

2082.6 2015.0

2144.7

2202.6

2270.2 2257.0

Entalpía

2099.3

1760.5

1525.3

1344.0

1235.99

1134.37

1037.32

943.62

675.55 763.22 852.45

589.13

503.71

397.96 419.04

376.92

355.90

313.93 334.91

292.98

272.06

230.23 25l.l3

209.33

146.68 167.57 188.45

125.79

104.89

62.99 83.96

42.01

20.98

h¡

Entalpía

2099.3

2665.9 2481.0

2749.0

2779.6

2796.9

2803.8

2802.1

2793.2

2778.2

2758.1

2733.9

2706.3

2668.1 2676.1

2660.1

2635.3 2643.7 2651.9

2626.8

2618.3

2600.9 2609.6

2592.1

2583.2

2565.3 2574.3

2556.3

2547.2

2528.9 2538.1

2519.8

2510.6

2501.4

hg

O

4.4298

8.7814 8.6672

8.9008

9.0257

9.1562

Sg

4.4298

5.0526

5.7045 5.4417

5.8571

6.0019

6.1437

6.2861

6.5857 6.4323

6.7502

6.9299

7.1296

7.3549

7.4159

7.5445 7.4791

7.6824 7.6122

7.7553

7.8310

7.9913 7.9096

8.0763

8.1648

8.3531 8.2570

8.5580 8.4533

Entropía

1.8909 1.1379

2.7903 2.4511

3.1181

3.7683 3.4422

4.1014

4.4461

4.8075

5.1908

5.6020

6.1659 6.0480

6.2866

6.6669 6.5369 6.4102

6.8004

6.9375

7.2234 7.0784

7.3725

7.5261

7.8478 7.6845

8.0164

8.1905

8.3706

8.5569

8.7498

8.9496

9.1562

s¡g

3.5507 3.9147

3.2534

3.0668

2.8838

2.7015

2.5178

2.3309

2.1396

1.9427

1.7391

1.5276

1.3069

1.1925 1. 250()

1.1343

1.0155 1.0753

.8935 .4549

.7679 .8312

.7038

.6387

.5030 .5725

.3674 .4369

.2966

.2245

.1510

.0761

.00

s¡

Entropía

!\J

¡::;.

3

!\J-

5'

3 o Q.

(])

.,

-i

••

VI N


220.9

3.155

3.155

.006113 .010 .015 .020 .025 .030 .040 .050 .075 .10 .15 .20 .25 .30 .40 .50 .75 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.0 90.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0 200.0 220.9

p

vf

1.0002 1.0001 1.0007 1.0013 1.0020 1.0027 1.0040 1.0053 1.0079 1.0102 1.0141 1.0172 1.0199 1.0223 1.0265 1.0300 1.0373 1.0432 1.0528 1.0605 1.0672 1.0732 1.0786 1.0836 1.0926 1.1006 1.1080 1.1148 1.1212 1.1273 1.1539 1.1767 1.1973 1.2165 1.2347 1.2522 1.2859 1.3187 1.3513 1.3842 1.4178 1.4524 1.5267 1.6107 1.7107 1.8397 2.036 3.155

T

.01 6.98 13.03 17.50 21.08 24.08 28.96 32.88 40.29 45.81 53.97 60.06 64.97 69.10 75.87 81.33 91.78 99.63 111.37 120.23 127.44 133.55 138.88 143.63 151.86 158.85 164.97 170.43 175.38 179.91 198.32 212.42 223.99 233.90 242.60 250.40 263.99 275.64 285.88 295.06 303.40 311.06 324.75 336.75 347.44 357.06 365.81 374.14

vg

206136 129208 87980 67004 54254 45665 34800 28192 19238 14674 10022 7649 6204 5229 3993 3240 2217 1694.0 1159.3 885.7 718.7 605.8 524.3 462.5 374.9 315.7 272.9 240.4 215.0 194.44 131.77 99.63 79.98 66.68 57.07 49.78 39.44 32.44 27.37 23.52 20.48 18.026 14.263 11.485 9.306 7.489 5.834 3.155

Volumen específico


J. H. Keanan et al., Steam tables, Wiley, 1969

374.136 2029.6

sf .00 .1059 .1957 .2607 .3120 .3545 .4226 .4764 .5764 .6493 .7549 .8320 .8931 .9439 1.0259 1.0910 1.2130 1.3026 1.4336 1.5301 1.6072 1.6?18 1.7275 1.7666 1.8607 1.9312 1.9922 2.0462 2.0946 2.1387 2.3150 2.4474 2.5547 2.6457 2.7253 2.7964 2.9202 3.0267 3.1211 3.2068 3.2858 3.3596 3.4962 3.6232 3.7461 3.8715 4.0139 4.4298

2501.4 2514.2 2525.3 2533.5 2540.0 2545.5 2554.4 2561.5 2574.8 2584.7 2599.1 2609.7 2618.2 2625.3 2636.8 2645.9 2663.0 2675.5 2693.6 2706.7 2716.9 2725.3 2732.4 2738.6 2748.7 2756.8 2763.5 2769.1 2773.9 2778.1 2792.2 2799.5 2803.1 2804.2 2803.4 2801.4 2794.3 2784.3 2772.1 2758.0 2742.1 2724.7 2684.9 2637.6 2580.6 2509.1 2409.7 2099.3 2501.3 2484.9 2470.6 2460.0 2451.6 2444.5 2432.9 2432.7 2406.0 2392.8 2373.1 2358.3 2346.3 2336.1 2319.2 2305.4 2278.6 2258.0 2226.5 2201.9 2181.5 2163.8 2148.1 2133.8 2108.5 2086.3 2066.3 2048.0 2031.1 2015.3 1947.3 1890.7 1841.0 1795.7 1753.7 1714.1 1640.1 1571.0 1505.1 1441.3 1378.9 1317.1 1193.6 1066.5 930.6 777.1 583.4 0.0 01 29.30 54.71 73.48 88.49 101.05 121.46 137.82 168.79 191.83 225.94 251.40 271.90 289.23 317.58 340.49 384.39 417.46 467.11 504.70 535.37 561.47 584.33 604.74 640.23 670.56 697.22 721.11 742.83 762.81 844.89 908.79 962.11 1008.42 1049.75 1087.31 1154.23 1213.35 1267.00 1316.64 1363.26 1407.56 1491.3 1571.1 1650.1 1732.0 1826.3 2099.3

2375.3 2385.0 2393.3 2399.5 2404.4 2408.5 2415.2 2420.5 2430.5 2437.9 2448.7 2456.7 2463.1 2468.4 2477.0 2483.9 2496.7 2506.1 2519.7 2529.5 2537.2 2543.6 2548.9 2553.6 2561.2 2567.4 2572.5 2576.8 2580.5 2583.6 2594.5 2600.3 2603.1 2604.1 2603.7 2602.3 2597.1 2589.7 2580.5 2569.8 2557.8 2544.4 2513.7 2476.8 2431.7 2374.3 2293.0 2029.6

4.4298

hg

2099.3

hfg

o

hf

Entalpía

2099.3

vg

Energía interna

.00 29.30 54.71 73.48 88.48 101.04 121.45 137.81 168.78 191.82 225.92 251.38 271.90 289.20 317.53 340.44 384.31 417.36 466.94 504.49 535.10 561.15 583.95 604.31 639.68 669.90 696.44 720.22 741.83 761.68 843.16 906.44 959.11 1004.78 1045.43 1082.31 1147.81 1205.44 1257.55 1305.57 1350.51 1393.ü4 1473.0 1548.6 1622.7 1698.9 1785.6 2029.6

vf

2029.6 4.

9.1562 8.8697 8.6322 8.4629 8.3311 8.2231 8.0520 7.9187 7.6750 7.5009 7.2536 7.0766 6.9383 6.8247 6.6441 6.5029 6.2434 6.0568 5.7897 5.5970 5.4455 5.3201 5.2130 5.1193 4.9606 4.8288 4.7158 4.6166 4.5280 4.4478 4.1298 3.8935 3.7028 3.5412 3.4000 3.2737 3.0532 2.8625 2.6922 2.5364 2.3915 2.2544 1.9962 1.7485 1.4994 1.2329 .9130 0000

Sfg Sg

9.1562 8.9756 8.8279 8.7237 8.6432 8.5776 8.4746 8.3951 8.2515 8.1502 8.0085 7.9085 7.8314 7.7686 7.6700 7.5939 7.4564 7.3594 7.2233 7.1271 7.0527 6.9919 6.9405 6.8959 6.8213 4.7600 6.7080 6.6628 6.6226 6.5865 6.4448 6.3609 6.2575 6.1869 6.1253 6.0701 5.9734 5.8892 5.8133 5.7432 5.6772 5.6141 5.4924 5.3717 5.2455 5.1044 4.9269 4.4298

Entropía

(5

»

I~

(]l

:::l a. ñ·

(]l-

"O


h

v

h

u

h

u

h

v

h

v

h

u

h

u

h

v

h

v

h

u

Presión

3108 2876.7 8.0012

2773 2778.6 7.7821 2425 2777.9 7.7191

2434 2680.0 7.5341

2127 2678.8 7.4698

(Continuación)

3628 2877.2 8.0731

3238 2779.4 7.8546

2844 26813 7.6079

2718 2876.2 7.9388

4356 2877.7 8.1580

3889 2780.1 7.9401

3418 2682.5 7.6947

3300 3074.8 8.3194

3772 3075.0 8.3813

4402 3075.3 8.4528

5284 3075.5 8.5373

6606 3075.8 8.6406

5448 2878.1 8.2617

4866 2780.8 8.0444

4279 2683.8 7.8003

26445 3076.5 9.2813

8811 3076.0 8.7736

5715 2685.0 7.9357

5243 2627.0 7.7737

9748 2782.3 8.3669

21825 2879.5 8.9038

66122 3076.7 9.7044

7267 2878.6 8.3952

8585 2686.2 8.1255

7883 2628.8 7.9649

19512 2783.0 8.6882

54580 2879.8 9.3271

264508 3076.8 10.3443

300

6493 2781.5 8.1785

17196 2687.5 8.4479

15801 2630.5 8.2887

48806 2783.4 9.1118

218352 2880.0 9.9671

200

13219 3076.3 8.9611

43028 2688.2 8.8724

39557 2631.5 8.7140

36660 2584.5 8.5716

195272 2783.6 9.7520

150

10907 2879.1 8.5831

172 187 2688.6 9.5129

158332 2632.0 9.3550

149782 2585.1 9.2131

135228 2538.5 9.0603

100

70

45

20

Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado.

.8 (9350)

.7 (8995)

.6 (85.94)

.5 (8133)

(75.87)

.4

.3 (69.10)

.2 (60.06)

.1 (45.81)

.04 (28.96)

.01 (6.98)

Presión


8.6468

3879 3278.5

4434 3278.6 8.7086

5174 3278.8 8.7799

6209 3278.9 8.8642

7763 3279.1 8.9674

10351 3279.2 9.1003

15529 3279.4 9.2876

31063 3279.6 9.6077

77 662 3279.6 10.0307

310661 3279.7 10.6705

400

4458 3488.3 8.9374

5095 3488.5 8.9991

5944 3488.6 9.0704

7134 3488.7 9.1546

8918 3488.8 9.2577

11 891 3488.9 9.3906

5901 4042.6 9.5574

6744 4042.7 9.6191

7869 4042.7 9.6903

9443 4042.8 9.7744

11804 4042.8 9.8775

15739 4042.9 10.0103

23609 4043.0 10.1975

17838 3489.0 9.5778

(Continúa)

10.0794

7344 4640.4

8393 4052.9 10.1411

9792 4640.4 10.2122

11 751 4640.5 10.2964

14689 4640.5 10.3994

19585 4640.5 10.5322

29378 4640.6 10.7193

58757 4640.6 11.0393

47218 4043.0 10.5174

89201 3489.2 10.3207 35679 3489.1 9.8978

587571 4640.6 12.1019

1000

146892 4640.6 11.4621

472 193 4043.0 11.5800

750

11 8047 4043.0 10.9402

359814 3489.2 10.9605

500

.., 3

I Q'

3

:r ~.

O a.

(J)

-i

e-

VI N


h

h

h

h

h

h

1.5 (111.37)

2.0 (120.23)

3.0 (133.55)

4.0 (143.63)

5.0 (151.86)

6.0 (158.85)

9.0 (175.38)

8.0 (170.43)

u h

h

l.0 (99.63)

7.0 (164.97)

h

.9 (96.71)

Presión

20

45

70

2067 3277.4 8.3555

617.3 3271.9 7.7938 513.7 3270.3 7.7079 439.7 3268.7 7.6350 384.3 3267.1 7.5716 341.1 3265.5 7.5155

2639 3074.3 8.2158 1757.0 3073.1 8.0270 1316.2 307l.8 7.8926

654.8 3066.8 7.5662 522.6 3064.2 7.4599 434.4 306l.6 7.3724 371.4 3059.1 7.2979 324.1 3056.5 7.2328 287.4 3053.8 7.1750

1444.3 2872.9 7.6433 1080.3 2870.5 7.5066 716.3 2865.6 7.3115 534.2 2860.5 7.1706 424.9 2855.4 7.0592 352.0 2850.1 6.9665 299.9 2844.8 6.8865 260.8 2839.3 6.8158 230.3 2833.6 6.7522

1285.3 2772.6 7.4193 959.6 2768.8 7.2795 633.9 2761.0 7.0778 470.8 2752.8 6.9299

875.3 3069.3 7.7022 772.6 3273.4 7.8985

393.8 3479.6 7.8119

443.3 3480.6 7.8673

507.0 3481.7 7.9299

592.0 3482.8 8.0021

710.9 3483.9 8.0873

889.3 3484.9 8.1913

523.5 4038.7 8.4374

589.1 4039.1 8.4921

673.4 4039.6 8.5541

785.9 4040.1 8.6256

(Continúa)

652.4 4637.9 8.9608

734.0 4638.2 9.0153

838.9 4638.5 9.0771

978.8 4889.6 9.1485

1174.7 4639.1 9.2328

1486.5 4639.4 9.3360

1179.4 4041.0 8.8134 943.3 4040.5 8.7101

1958.1 4639.7 9.4690

1186.7 3486.0 8.3251

1031.5 3275.0 8.0330

2937 4640.0 9.6563

1572.9 404l.6 8.9467

2360 4042.0 9.1341

178l.4 3487.1 8.5133

5875 4640.3 9.9764

4721 4042.5 9.4544

1549.3 3276.6 8.2218

6528 4640.3 10.0251

5245 4042.6 9.5030

3917 4890.8 9.7892

1000

750

3147 4042.3 9.2670

3565 3488.1 8.8342

3962 3488.2 8.8829

500

2376 3487.6 8.6466

3103 3278.2 8.5435

3448 3278.3 8.5923

2172 2875.3 7.8343

2933 3074.6 8.2647

1936.4 2776.4 7.6134

2415 2875.8 7.8837

1695.8 2676.2 7.3614

400

2153 2777.1 7.6634

300

1887.3 2677.5 7.4128

200

150

100

Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado. (Continuación)

>

"

U'I N

/1)

n'

::J o,

/1),

'D


99.18 3450.9 7.1572 86.43 3445.3 7.0901

48.14 3410.3 6.7975 41.75 3398.3 6.7240

151.2 3247.6 7.1271 120.10 3239.3 7.0148 99.36 3230.9 6.9212 84.53 3222.3 6.8405 73.41 3213.6 6.7690 57.81 3195.7 6.6459 47.39 3177.2 6.5408 39.93 3158.1 6.4478 34.32 3138.3 6.3634

125.47 3023.5 6.7664 98.90 3008.8 6.6438 81.14 2993.5 6.5390 68.42 2977.5 6.4461 58.84 2960.7 6.3615 45.32 2924.5 6.2084 36.16 2884.2 6.0674 29.47 2838.4 5.9305 24.26 2810.3 5.7906

v

v

v

h

v

h

v

h

v

h

v

h

v

h

h

h

h

v

h

v

h

Presión

306.6 3263.9 7.4651 203.0 3255.8 7.2690

500

56.65 3422.2 6.8803

68.57 3433.8 6.9759

116.19 3456.5 7.2338

139.98 3462.1 7.3234

175.68 3467.6 7.4317

235.2 3473.1 7.5698

354.1 3478.5 7.7622

169.66 3037.6 6.9179

400

132.48 2796.8 6.4546

150 257.9 3051.2 7.1229

v

100

300

70

200

45 206.0 2827.9 6.6940

20


80.0 (29506)

70.0 (285.88)

60.0 (27564)

50.0 (263.99)

40.0 (250.40)

35.0 (242.60)

30.0 (233.90)

25.0 (223.99)

20.0 (212.42)

15.0 (198.32)

10.0 (179.91)

Presión


57.91 4002.8 7.4017

(Continúa)

73.01 4616.9 7.9384

83.50 4619.8 8.0020

97.49 4622.7 8.0751 77.58 4013'1 7.5423 66.34 4007.9 7.4672

117.07 4625.7 8.1612

146.45 4628.7 8.2662

167.43 4630.1 8.3288

195.41 4631.6 8.4009

234.6 4633.1 8.4861

293.3 4634.6 8.5901

93.32 4018.1 7.6303

116.93 4023.2 7.7371

133.79 4025.6 7.8006

155.85 4028.2 7.8737

187.76 4030.7 7.9597

234.95 4033.1 8.0646

391.3 4636.1 8.7238

587.1 4637.6 8.9119

313.7 4035.6 8.1993

1000

750 471.1 4038.1 8.3883

..,

I Q'

3

t\),

3'

O Q.

3

(1)

-1

VI N 00


h

h

h

h

h

h

h

120.0 (324.75)

140.0 (336.75)

160.0 (347.44)

180.0 (357.06)

200.0 (365.81)

250.0

300.0

500.0

J¡

v

h

100.0 (311.06)

400.0

h

90.0 (303.40)

Presión

20

45

70


100

(Continuación) 150 200

300

23.10 4568.5 7.3802 19.196 4554.7 7.2867

22.51 3940.2 6.9306 17.800 3913.6 6.8069 14.664 3886.8 6.7019

26.80 3348.2 6.4871 22.52 3322.0 6.3897 19.296 3294.9 6.3007 16.784 3267.0 6.2181 14.768 3238.2 6.1401 11.123 3162.4 5.9592 10.168 3081.1 5.7905 5.622 2903.3 5.4700 3.892 2720.1 5.1726

17.216 3001.9 5.9448 14.262 2947.6 5.8175 11.901 2887.0 5.6887 9.942 2818.1 5.5540 6.004 2580.2 5.1418 2.790 2151.1 4.4728 1.9077 1930.9 4.1135 1.7309 1874.6 4.0031

14.324 4527.6 7.1356 11.411 4501.1 7.0146

8.424 3779.4 6.3816

28.97 4582.5 7.4925

32.23 4588.1 7.5449

10.755 3833.0 6.5269

25.13 3950.8 6.9874

36.30 4599.5 7.6031

41.54 4599.5 7.6685

32.62 3971.8 7.1196 28.41 3961.3 7.0499

48.53 4605.3 7.7435

38.24 3982.2 7.1988

58.32 4611.0 7.8315

21.08 3051.3 6.0747

46.11 3992.6 7.2909

32.79 3373.7 6.5966

26.41 3096.5 6.2120

64.85 4614.0 7.8821

36.77 3386.1 6.6576

29.93 3117.8 6.2854

1000

750 51.35 3997.7 7.3434

500

400

):>

..o

VI N

<1l

o. ;:;.

:J

<1l,

-O


229.29 63.648 21.311

8.2980 3.6548 1.7816 0.94476 0.53734

1571.7 1545.1 1518.3 1491.1 1463.6

1435.5 1429.8 1424.1 1418.4 1412.6 1409.1

1406.8 1401.0 1395.1 1389.2 1383.3

1377.3 1371.3 1365.2 1359.1 1352.9

1346.8 1340.5 1334.2 1327.9 1321.5

0.00006 0.00023 0.00074

0.00200 0.00480 0.01035 0.02044 0.03747

0.06449 0.07140 0.07890 0.08700 0.09575 0.10132

0.10518 0.11533 0.12623 0.13793 0.15045

0.16384 0.17815 0.19340 0.20965 0.22693

0.24529 0.26477 0.28542 0.30728 0.33040

-100.00 - 90.00 - 80.00 - 70.00 - 60.00

50.00 48.00 46.00 44.00 42.00 40.80b

40.00 38.00 36.00 34.00 32.00

-

_

- 30.00 - 28.00 - 26.00 .- 24.00 - 22.00

-

0.09262 0.08615 0.08023 0.07479 0.06979

0.13551 0.12525 0.11593 0.10744 0.09970

0.20526 0.18832 0.17306 0.15927 0.14680

0.32405 0.29469 0.26849 0.24507 0.22410 0.21256

177.00 179.26 181.53 183.81 186.09

165.82 168.04 170.27 172.51 174.75

154.80 156.99 159.19 161.40 163.61

143.91 146.08 148.25 150.43 152.61 153.93

90.24 100.95 111.66 122.36 133.11

26.01 43.84 57.00 68.51 79.47

hJ kJ/kg

396.97 397.81 398.64 399.46 400.27

392.63 393.52 394.39 395.26 396.12

388.09 389.01 389.93 390.84 391.74

383.39 384.35 385.29 386.23 387.17 387.72

358.93 363.82 368.75 373.68 378.58

335.85 340.24 344.75 349.38 354.11

hg

0.9133 0.9222 0.9309 0.9397 0.9484

0.8685 0.8776 0.8866 0.8955 0.9044

0.8224 0.8317 0.8410 0.8502 0.8594

0.7748 0.7844 0.7940 0.8035 0.8130 0.8186

0.5027 0.5629 0.6197 0.6738 0.7253

0.0566 0.1961 0.2916 0.3694 0.4386

sJ

-

1.8230 1.8184 1.8140 1.8096 1.8054 1.8013 1.7973 1.7934 1.7896 1.7859

20.00 18.00 16.00 14.00 12.00

30.00 28.00 26.00 24.00 22.00

40.00 38.00 36.00 34.00 32.00

(Continúa)

-

-

1.8440 1.8427 1.8376 1.8326 1.8277 1.8249 50.00 48.00 46.00 44.00 42.00 40.80

-100.00 - 90.00 - 80.00 - 70.00 - 60.00

-150.00 -140.00 -130.00 -120.00 -110.00

T.OC

2.0545 1.9982 1.9508 1.9109 1.8770

2.5752 2.4222 2.3017 2.2033 2.1220

s9

1.7822 1.7787 1.7752 1.7719 1.7686

kJ/kgK

Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación liquído-vapor. (Continuación)

20.00 18.00 16.00 14.00 12.00

-

1701.5 1675.3 1649.7 1624.0 1598.0

-

-150.00 -140.00 -130.00 -120.00 -110.00

-

Pr

vg

m3/kg

kgim3

P MPa

T.OC

Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor.

..,

[Ij

¡:¡.

3

[Ij,

5'

3 oQ.

(1)

-l

VI W O


0.06520 0.06096 0.05706 0.05345 0.05012

0.04703 0.04417 0.04152 0.03906 0.03676

0.03463 0.03265 0.03079 0.02906 0.02744

0.02593 0.02451 0.02319 0.02194 0.02077

kgim3

1315.0 1308.5 1301.9 1295.3 1288.6

1281.8 1275.0 1268.1 1261.1 1254.0

1246.9 1239.7 1232.4 1225.0 1217.6

1210.0 1202.4 1194.6 1186.8 1178.8

1170.7 1162.5 1154.2 1145.7 1137.1

1128.4 1119.5 1110.4 1101.2 1091.8

0.35482 0.38059 0.40775 0.43636 0.46646

0.49811 0.53134 0.56622 0.60279 0.64109

0.68119 0.72314 0.76698 0.81277 0.86056

0.91041 0.96236 1.0165 1.0728 1.1314

1.1924 1.2557 1.3215 1.3898 1.4606

1.5341 1.6103 1.6892 1.7709 1.8555

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

10.00 1200 14.00 16.00 18.00

2000 22.00 2400 26.00 28.00

30.00 32.00 34.00 36.00 38.00

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00

0.01507 0.01430 0.01357 0.01288 0.01223

0.01968 0.01864 0.01767 0.01675 0.01589

m3ikg

Pr

P MPa

T. DC

vg

20.00 22.00 24.00 26.00 28.00 30.00 32.00 34.00 36.00 38.00 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00

1.7228 1.7202 1.7177 1.7151 1.7126 1.7101 1.7075 1.7050 1.7024 1.6999 1.6973 1.6947 1.6921 1.6894 1.6867

1.0840 1.0923 1.1006 1.1088 1.1171 1.1254 1.1336 1.1419 1.1501 1.1584 1.1667 1.1749 1.1832 1.1915 1.1998

411.38 411.93 412.46 412.98 413.46 413.93 414.37 414.79 415.18 415.54 415.87 416.17 416.44 416.68 416.87

224.10 226.59 229.09 231.60 234.14 236.69 239.25 241.84 244.44 247.06 249.71 252.37 255.06 257.77 260.51

(Continúa)

10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

1.7360 1.7333 1.7306 1.7280 1.7254

1.0422 1.0506 1.0590 1.0673 1.0756

408.33 408.97 409.60 410.21 410.80

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

1.7500 1.7471 1.7443 1.7415 1.7387

1.0000 1.0085 1.0170 1.0254 1.0338

T. DC

-10.00 - 8.00 - 6.00 - 4.00 - 2.00

Sg

1.7653 1.7621 1.7590 1.7560 1.7530

kJ/kg K 0.9571 0.9657 0.9743 0.9829 0.9915

sr

211.89 214.31 216.74 219.18 221.63

401.07 401.85 402.63 403.39 404.14

hg

404.87 405.59 406.30 406.99 407.67

kJ/kg

200.00 202.35 204.72 207.10 209.49

188.38 190.69 193.00 195.32 197.66

hr

Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)

•• "'"

VI

n>

Q, n

):-

-o n>, :::J


Punto de ebullición

Punto crítico

3.3168 3.6627 4.0368 4.4416 4.8820 4.9900

75.00 80.00 85.00 90.00 95.00 96.14C

b

1082.1 1057.1 1030.5 1001.8 970.4

1.9431 2.1753 2.4274 2.7008 2.9967

50.00 55.00 60.00 65.00 70.00

e

PJ

935.3 894.8 845.1 777.5 665.4 523.8

kg/m3

De

p MPa

T,

414.09 411.60 407.72 401.33 387.46 366.59

301.18 310.10 320.05 331.98 348.86 366.59

0.00594 0.00513 0.00433 0.00355 0.00264 0.00191

hg

417.03 417.24 417.14 416.65 415.69

kJ/kg 263.27 270.31 277.56 285.06 292.90

hJ

0.01161 0.01020 0.00895 0.00784 0.00684

v9 m3/kg kJ/kg K

1.3169 1.3413 1.3680 1.3998 1.4442 1.4918

1.2081 1.2291 1.2503 1.2718 1.2940

SJ

75.00 80.00 85.00 90.00 95.00 96.14

De

1.6413 1.6287 1.6128 1.5907 1.5491 1.4918

T,

50.00 55.00 60.00 65.00 70.00

59

1.6840 1.6768 1.6692 1.6610 1.6518

Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)

tu

3 ¡::;.

tu,

S'

o o.

3

-i fb

VI W N


P

1443.1 1414.8

1385.9 1380.0 1374.3 1374.1 1368.2 1362.2

0.00801 0.01594 0.02948 0.05122

0.08436 0.09268 0.10132 0.10164 0.11127 0.12160

0.13268 0.14454 0.15721 0.17074 0.18516

0.20052 0.21684 0.23418 0.25257 0.27206

70.00 60.00 50.00 40.00

30.00 28.00 26.07b 26.00 24.00 22.00

-

-20.00 -18.00 - 16.00 - 14.00 -12.00

- 10.00 -8.00 -6.00 -4.00 - 2.00

1325.6 1319.3 1313.0 1306.6 1300.2

1356.2 1350.2 1344.1 1338.0 1331.8

1498.6 1471.0

1526.2 1553.9

-

1591.2 1581.9

PJ

kg/m3

- 90.00 - 80.00

MPa

0.00039 0.00056 0.00369 0.00153

-103.30 -100.00

T.oC

0.09963 0.09246 0.08591 0.07991 0.07440

0.14744 0.13597 0.12556 0.11610 0.10749

0.22596 0.20682 0.19016 0.18961 0.17410 0.16010

2.0528 1.0770 0.60560 0.36095

35.263 25.039 4.2504 9.7191

v9 m3/kg

186.78 189.40 192.03 194.68 197.33

184.16

173.82 176.39 178.97 181.56

163.62 166.07 166.16 168.70 171.26

161.10

111.78 123.96 136.21 148.57

75.71 99.65 87.59

71.89

hJ

kj/kg

392.75 393.95 395.15 396.33 397.51

386.66 387.89 389.11 390.33 391.55

382.90 382.94 384.19 385.43

0.9509 0.9608 0.9707 0.9805 0.9903

0.9009 0.9110 0.9211 0.9311 0.9410

0.8498 0.8601 0.8701 0.8704 0.8806 0.8908

380.45 381.70

367.83 374.16

0.6286 0.6871 0.7432 0.7973

1.7285

1.7337 1.7323 1.7310 1.7297

1.7417 1.7399 1.7383 1.7367 1.7351

1.7519 1.7497 1.7476 1.7476 1.7455 1.7436

1.7649

1.8269 1.8016 1.7812

1.8975

0.5032

59

1.9638 1.9456 1.8585

kJ/kg K

0.4143 0.4366 0.~j674

SJ

335.23 361.51

335.07 337.00 349.03 342.94

hg

Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor.

-

-

-

-

(Continúa)

10.00 8.00 6.00 4.00 2.00

20.00 18.00 16.00 14.00 12.00

30.00 28.00 26.07 26.00 24.00 22.00

70.00 60.00 50.00 40.00

-103.30 -100.00 - 90.00 - 80.00

T.oC

»

~ ~

U'I

(])

a. ñO

:J

(]),

'D


1.7115 1.7108 1.7101 1.7094 1.7086

Tabla A.S. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)

419.58 420.44 421.28 422.09 422.88

1.1903 1.1997 1.2091 1.2185 1.2279

256.35 259.35 262.38 265.42 268.49

0.01999 0.01890 0.01786 0.01689 0.01598

1146.5 1137.9 1129.2 1120.3 1111.3

1.0165 1.0721 1.1300 1.1901 1.2527

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00

1.7149 1.7142 1.7135 1.7129 1.7122

1.1432 1.1527 1.1621 1.1715 1.1809

414.94 415.90 416.85 417.78 418.69

241.65 24455 247.47 250.41 253.37

0.02667 0.02516 0.02374 0.02241 0.02116

1187.2 1179.3 1171.3 1163.2 1154.9

0.77008 0.81530 0.86259 0.91172 0.96301

30.00 32.00 34.00 36.00 38.00

1.7183 1.7176 1.7169 1.7162 1.7155

1.0960 1.1055 1.1149 1.1244 1.1338

409.84 410.89 411.93 412.95 413.95

227.40 230.21 233.05 235.90 238.77

0.03603 0.03388 0.03189 0.03003 0.02829

1224.9 1217.5 1210.1 1202.6 1194.9

0.57159 0.60777 0.64566 0.68531 0.72676

20.00 22.00 24.00 26.00 28.00

1.7224 1.7215 1.7207 1.7199 1.7191

1.0483 1.0579 1.0674 1.0770 1.0865

404.40 405.51 406.61 407.70 408.78

213.53 216.27 219.03 221.80 224.59

0.0:4948 0.04636 0.04348 0.04081 0.03833

1260.2 1253.3 1246.3 1239.3 1232.1

0.41449 0.44289 0.47276 0.50413 0.53706

10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

s9

1.7274 1.7263 1.7252 1.7242 1.7233

kJ/kgK 1.00 1.0097 1.0194 1.0291 1.0387

sJ

(Continuación)

398.68 399.84 401.00 402.14 403.27

200.00 202.68 205.37 208.08 210.80

0.06935 0.06470 0.06042 0.05648 0.05284

1293.7 1287.1 1280.5 1273.8 1267.0

0.29269 0.31450 0.33755 0.36186 0.38749

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

hg

MPa

kJ/kg

v9 m3/kg

P

PJ kg/m3

T.OC hJ

Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor.

(Continúa)

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00

30.00 32.00 34.00 36.00 38.00

20.00 22.00 24.00 26.00 28.00

10.00 12.00 14.00 16.00 18.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

T. °C

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995.6 983.1 970.0 956.5 942.3

927.4 886.2 836.9 771.6

2.1165 2.2130 2.3127 2.4159

2.5227

2.6331 2.9259 3.2445 3.9516 3.9721 4.0560

70.00 72.00 74.00 76.00 78.00

80.00 85.00 90.00 95.00 100.00 101.03C

Punto de ebullición

Punto critico

b

e

-

1007.7

2.0234

646.7 513.3

1052.4 1041. 7 1041. 7 1019.4

1.5280 1.6033

1.6815

60.00 62.00 64.00 66.00 68.00

50.00 52.00 54.00 56.00 58.00

1.7625 1.7625 1.9334

Pr

kg/m3

1102.0 1092.6 1082.9 1073.0 1062.8

P MPa

1.3177 1.3852 1.4553

T,OC

314.96 318.65 322.41 332.27 343,01 355.43 374.02 389.79

0.00646 0.00550 0.00461 0.00374 0.00265 0.00195

304.29 307.79 311.34

300.84

287.49 290.77 290.77 297.44

284.25

274.71 277.86 281.04

271.59

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0.00867 0.00818 0.00772 0.00728 0.00686

0.01146 0.01085 0.01085 0.00970 0.00917

0.01511 0.01430 0.01353 0.01280 0.01212

vq m3ikg kJ/kg

420.60 407.08 389.79

429.02 427.91 425.48

1.3332 1.3430

428.89 429.10 429.23 429.27 429.20 1.3837 1.4105 1.4392 1.4720 1.5207 1.5593

1.3530 1.3631 1.3733

1.2847 1.2943 1.2943 1.3136 1.3234

1.2373 1.2468 1.2562 1.2657 1.2752

sr

426.86 427.37 427.37 428.25 428.61

423.63 424.35 425.03 425.68 426.29

h9

70.00 72.00 74.00 76.00 78.00 80.00 85,00 90.00 95.00 100.00 101.03

1.6963 1.6945 1.6926 1.6905 1.6881 1.6855 1.6775 1.6663 1.6490 1.6093 1.5593

50.00 52.00 54.00 56.00 58.00

T,oC

60.00 62.00 64.00 66.00 68.00

1.7078 1.7070 1.7061 1.7051 1.7041

s9

1.7031 1.7019 1.7019 1.6993 1.6979

kJ/kg K

Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)

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536 Termodinámica

3300 3200 3100

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Entropía , kJ /kg K

Figura B.1.

Diagrama de Mollier para el agua.


Apéndice

537

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Entropía, J/g K

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Diagrama

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(kJ/kg)

350 Entalpía,

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Society 01 Heating,

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450

Entalpía, (kJ/kg)

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1

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550

600

Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a.

and Air Conditioning

250

Figura 8.4.

Religerating

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índice analítico

adiabático, 63, 116 aire ambiente, 413, 414 saturado, 415 seco, 414, 428 teórico, 435 alotrópica, 82 análisis gravimétrico, 402 volumétrico, 404, 428 en base seca, 435 axioma de Clausius, 148, 149, 150 de Kelvin-Planck, 148, 149

bar, 4 Beattie-Bridgeman, ecuación de, 138 Bernoulli, ecuación de, 37 bomba térmica, 171 Boyle, isoterma de, 126 Bridgeman , ecuaciones de, 312, 313, 314

bulbo húmedo, temperatura de, 420 , 429 seco, temperatura de, 417 , 429 calidad,76 calor, 40 de combustión, 433 específico, a presión constante, 93 a volumen constante, 93 calor latente, 78 de fusión , 81 de sublimación, 82 de vaporización, 78 calores cociente de, 111 específicos, 297 relación entre, 111 Caratheodory, 184 Carnot ciclo de, 165, 166 principio de, aplicado a refrigeradore s, 161, 163


542

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Termodinámica

carta psicrométrica, 422 choque, onda de, 484 ciclo, 13 abierto, 333 Brayton, 353, 392, 393 de Carnot, 165 Diesel,342 estándar de aire, 342 dual estándar de aire, 348 Ericsson, 181 Otto,331 estándar de aire, 333 Rankine, 375, 376 Stirling, 178 Clapeyron, ecuación de, 323, 470 Clausius axioma de, 181 desigualdad de, 189, 190 Clausius-Clapeyron, ecuación de, 324, 470 cociente de calores específicos, 111 coeficiente de compresibilidad isotérmica, 95, 96 de expansión volumétrica, 95 de Joule-Thomson, 94 total de transferencia de calor, 503 combustión calor de, 433 ecuación de, 433 compresibilidad generalizado, factor de, 127 isotérmica, coeficiente de, 95, 96 factor de, 125 compresor, 28 concentración, 121 conducción, 501, 505 conductividad térmica, 502 constante de equilibrio, 461 de los gases, 106 dimensional, 2 universal de los gases, 106 constantes críticas, 75

convección, 504, 514 cuerpo negro, 517, 518 cuerpos grises, 518 Dalton, ley de, 403 Darrieus, función de, 267 desigualdad de Clausius, 189 diagrama de fases, 81 de Molier, 219 entalpía-entropía, 219 presión-entalpía, 78 presión-temperatura, 72 presión-volumen, 72 temperatura-entropía, 210 temperatura-volumen, 79 difusor, 27 dimensión fundamental, 1, 2 secundaria, 1 disponibilidad, 265 balance de, 270 ecuación, de Beattie-Bridgeman, 138 Bernoulli, 37 Clapeyron, 323, 470 Clausius-Clapeyron, 323, 470 combustión, 433 estado, 105 estado completa, 209, 210 Gibbs-Helmholtz, 464 Redlich-Kwong, 136 Van der Waals, 130 ecuaciones, de Bridgeman, 312, 313, 314 desviación, 317 Maxwell, 293, 294 T ds, 205 eficiencia de humidificación, 424 térmica, 65

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emitancia, 518 energía, 4 del sistema, 42, 64 cinética, 44 de flujo, 36 del sistema disponible, 246, 247 interna, 64 no disponible, 246, 247 potencial, 44 enfriamiento evaporativo, 390 entalpía, 64, 111 , 112 de formación, 446, 447 de reacción, 446, 447 total, 354 entropía, 189, 193 balance general de, 224, 225 principio de incremento de, 200 equilibrio de la flama/ temperatura de, 448-449, 468 constante de, 461 eléctrico, 13 entre fases , 67 , 469 estable, 453 líquido-vapor, 67 mecánico, 13 químico, 13 térmico, 13 termodinámico, 13, 205 escala Celsius, 19 del gas ideal, 20 Fahrenheit, 19 Kelvin, 20, 160 Rankine,20 Reaumur,23 termodinámica de temperatura absoluta, 171 estado, 13 ecuación de, 18, 105 completa, 212, 213 estable, 35 muerto, 265 estrangulamiento, proceso de, 53

expansión de Joule-Thomson, 53 volumétrica, coeficiente de, 95 factor de compresibilidad, 125 generalizado, 127 de fricción, 455 fase saturada, 72 fases , equilibrio entre, 71 , 469 flujo estrangulado, 489 isoentrópico, 479 energía de, 36 Fourier, ley de, 502 fracción de masa, 401, 402 molar, 402, 427 volumétria, 404 fricción , 154 fuerza , 3 función de Darrieus, 267 Gibbs, 253 Helmholtz, 253 presión, 356 funcionamiento coeficiente de, 59 fusión calor latente de, 81 línea de, 81 gas ideal, 106 escala del, 19 real, 127, 128 gases, 71 constante de los, 106 constante universal de los, 106 Gibbs, función de, 253 Gibbs-Helmholtz, ecuación de, 464 Grashof, número de, 515

543


544 Termodinámica

Helmholtz, función de, 253 hielo , punto del, 18 humedad específica, 415, 429 relativa, 414, 428 humidificación/ eficiencia de, 424 inversión máxima, temperatura de, 95 línea de, 94 isoterma de Boyle, 126 jacobiano, 292 Joule, ley de, 108 Joule-Thomson coeficiente de, 94 expansión de, 53 Kelvin-Planck, axioma de, 148, 149 Kirchhoff, ley de, 518 ley cero de la termodinámica, 17 de desplazamiento; de Wien, 519 de Amagat, 404 de Dalton, 403 de Fourier, 464 de Joule, 108 de Kirchhoff, 518 de Newton, 503 límites del sistema, 10 línea de fusión , 81 de inversión, 94 de saturación, 76 de sublimación, 81 de vaporización, 72 Fanno,492 Rayleigh, 489 líquido saturado, 72 subenfriado, 74

Mach, número de, 478 máquina térmica, 59 masa, fracción de, 401 Maxwell, ecuación 1 de, 293, 294 mezcla, 401 con composición variable, 455 moles, número de, 112 motor de cuatro tiempos, 331 dos tiempos, 331, 332 Newton, ley de, 503 número de Grashof, 515 Mach, 478 Prandtl, 515 Reynolds, 515 onda de choque, 484 Orsat, 437 Pascal, 3 potencia, 3 potencial químico, 453 Prandtl, número de, 515 presión, 4 , 13, 14 absoluta, 14, 15 barométrica, 14, 15 de saturación, 72 de vacío, 15 función de, 356 manométrica, 14, 15 media efectiva, 335 parcial, 403 reducida, 127 total, 335 primera ley de la termodinámica, 25 en un sistema abierto, 48 cerrado, 42 para cualquier sistema, 54

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principio de Carnot, 161 incremento de entropía, 200 proceso, 13 adiabático, 111, 118 de estrangulamiento, 53 isobárico, 120 isocórico, 120 isotérmico, 120 politrópico, 119 reversible, 149, 150 propiedades específicas, 13 extensivas, 12 intensivas, 12 punto de rocío, temperatura de, 417 crítico, 72 de cruce, 393 del hielo, 18, 19 del vapor, 19 triple, 76 radiación, 516 reacción química, 424 Redlich-Kwong, ecuación de, 136 refrigerador, 65 de Carnot, 168 aire-combustible, 399 de compresión, 308 Reynolds, número de, 515 saturación adiabática, temperatura de, 418 condiciones de, 72 línea de, 76 presión de, 72 temperatura de, 72 segunda ley de la termodinámica, 148 sistema Internacional de unidades, 3

abierto, 10 aislado, 11 cerrado, 10 límites del, 10 simple, 11 sonido, velocidad del, 475 sublimación calor latente de, 82 línea de, 81 sustancia pura, 71

temperatura, 16, 18 absoluta, escala termodinámica de, 171 de bulbo húmedo,420 seco, 417 de equilibrio, ecuación, 454, 455 de inversión máxima, 95 de punto de rocío, 417 de saturación adiabática, 418 reducida, 120 teórica de flama, 448 total,326 tercera ley de la termodinámica, 446 termodinámica ley cero de la, 17 primera ley de la, 25 segunda ley de la, 148 tercera ley de la, 446 título, 76 tobera, 26 tonelada de refrigeración, 390 trabajo, 26 en un sistema abierto, 35 en un sistema cerrado, 28 máximo,240 transferencia de calor, coeficiente de, 503 transformación alotrópica, 82 trayectoria, 14 turbina, 27 unidades, 2, 3, 4

545


vacío, presión de, 15 Van der Waals, ecuación de, 130 vapor húmedo, 72 punto del, 19 saturado seco, 72 sobrecalentado, 75 vaporización calor latente de, 78

línea de, 72 velocidad del sonido, 475 Venturi, 63 volumen parcial, 403, 404 reducido, 127

Wien, ley de desplazamiento de, 520


Termodinamica Tercera Edicion Jose Angel Manrique Valadez

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