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25/5/2018
Teorema de Cayley-Hamilton | Fernando Revilla
Fernando Revilla Tiempo, aritmética y conjetura de Goldbach & Docencia matemática
Teorema de Cayley-Hamilton Publicado el junio 14, 2014 por Fernando Revilla
Proporcionamos ejercicios de aplicación del teorema de Cayley-Hamilton. RESUMEN TEÓRICO
Definición.
Sean
una matriz cuadrada con elementos en un cuerpo y el polinomio Se define como la matriz:
en donde representa la matriz identidad de orden una matriz cuadrada con elementos en un cuerpo Teorema (de Cayley-Hamilton). Sea polinomio característico de . Entonces, . Es decir, toda matriz cuadrada es un cero o raíz de su polinomio característico.
y
el
Enunciado
1. Verificar la validez del teorema de Cayley-Hamilton para la matriz
2. Se considera la matriz
Usando el teorema de Cayley-Hamilton, expresar
como
combinación lineal de y de . 3. Se considera la matriz
Hallar su potencia enésima
Por diagonalización. Usando el teorema de Cayley-Hamilton. 4. Dada la matriz real
calcular (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).
Solución
1. Polinomio característico de
Sustituyendo por http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/14/teorema-de-cayley-hamilton/
1/3
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Teorema de Cayley-Hamilton | Fernando Revilla
2. El polinomio característico de
es
Por el teorema de Cayley-Hamilton se verifica
Por definición de matriz inversa se concluye que 3.
, entonces
[
Valores propios de
Los valores propios son reales y simples, en consecuencia
Unas bases respectivas son con es por tanto:
Entonces,
y
es diagonalizable en . Subespacios propios:
. Una matriz
invertible tal que
es
Consideremos el polinomio . Efectuando la división euclídea de entre el polinomio característico de obtenemos un cociente y un resto, que será de grado a lo sumo y por tanto de la forma . Queda por tanto:
Sustituyendo por queda:
en
y teniendo en cuenta que
(teorema de Cayley-Hamilton)
Para hallar los valores de y , sustituimos por cada valor propio en la igualdad
El único valor propio de la matriz es por tanto (doble). Fácilmente se comprueba que no es diagonalizable. Usaremos el teorema de Cayley-Hamilton. Efectuando la división euclídea de entre obtenemos:
Sustituyendo por
en
y usando el teorema de Cayley-Hamilton
Sustituyendo el valor propio obtenemos
, con lo cual
en (1) obtenemos Derivando la igualdad (1): Sustituyendo en esta ultima expresión de nuevo Como consecuencia de (2):
Por tanto
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