CALCULO DE COMPENSACION I
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1.- TIPOS DE MEDICIONES Y ERRORES DE MEDICION El concepto de mediciones y/o observaciones. Tipos de mediciones: directas, indirectas, estacionarias y no estacionarias. Factores que afectan las mediciones. Errores en las mediciones: errores groseros, errores sistemáticos y errores accidentales. Los conceptos de exactitud y precisión. 1.1.- El concepto de mediciones u observaciones.
Las mediciones son inherentes a las funciones del Ing. Geodesta. Entre las principales tareas del Ing. Geodesta están el diseño de las mediciones, la planificación de las operaciones de campo, la selección de la cantidad, tipo y técnicas de adquisición de las mediciones, así como el ajuste y análisis de las mismas para obtener los resultados requeridos. Es importante entonces que los estudiantes de Ingeniería Geodésica entiendan el concepto básico de mediciones u observaciones. La medición de cualquier magnitud física es la determinación experimental de la relación entre la magnitud dada y otra semejante admitida como unidad. Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido. Para medir tenemos que usar instrumentos de medición y un método de medición. Asimismo es necesario definir unidades de medición., por lo que el resultado de una medición siempre tiene asociada unidades o dimensiones.
1.2.- Tipos de mediciones 1.2.1.- Mediciones directas: son aquellas en que la magnitud desconocida se mide directamente, sin la intervención de otras magnitudes intermedias, por la comparación con una magnitud patrón. Ejemplos: la medición de una distancia con una cinta métrica, la temperatura en un termómetro, las coordenadas de un punto en un navegador GPS (?), etc.
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1.2.2.- Mediciones indirectas: Son aquellas en que la magnitud desconocida a medir, solo se obtiene mediante la medición directa de otras magnitudes que están ligadas a la magnitud deseada por medio de una relación matemática conocida. Ejemplos: el área de un terreno, el acimut de una línea por observaciones solares, la diferencia de altura entre dos puntos por nivelación geométrica o trigonométrica, etc. 1.2.3.- Mediciones estacionarias: son aquellas donde se asume que el resultado de la muestra de la medición y su exactitud son independientes del tiempo, es decir, que la variación existente entre los resultados de diferentes muestras de la misma población son producto del azar y no del tiempo, razón por la cual se pueden aplicar conceptos de probabilidad a estas mediciones estacionarias. En las mediciones estacionarias se considera a la Tierra como un cuerpo rígido, lo cual no es cierto, ya que existen evidencias geológicas y geofísicas que demuestran que la Tierra está sujeta a una redistribución de masas con las respectivas variaciones del campo de la gravedad. Es mas, las placas continentales tienen movimientos relativos unas con respecto a otras con velocidades que varían de 0 a 10 cms por año, en consecuencia, las coordenadas geodésicas no pueden ser consideradas como cantidades fijas durante largos períodos de tiempo. 1.2.4.- Mediciones no estacionarias: son aquellas mediciones que siendo aleatorias dependen del tiempo. Este carácter aleatorio de las mediciones no estacionarias ha permitido el desarrollo de nuevas técnicas dentro del Cálculo de Compensación para los sistemas lineales dinámicos en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia, tales como el filtro KALMAN, el filtro WIENER-HOPF, etc.
1.3.- Factores que afectan las mediciones Existen numerosos factores que afectan a las mediciones y que se constituyen en fuentes de errores que deterioran la calidad de la medición. Una clasificación que permita agrupar los diversos factores que afectan las mediciones podría ser la siguiente: -
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El instrumento o equipo utilizado. Las condiciones ambientales. El método mismo de medición. El modelo de referencia usado.
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El observador u operador. Esta clasificación nos evidencia que la calidad de una medición no depende solamente de las características metrológicas y funcionales del instrumento o equipo a usarse para efectuar la medición.
1.3.1- El instrumento o equipo utilizado Entre los principales factores relativos al instrumento o equipo utilizado están los metrológicos y funcionales, tales como: - La capacidad máxima y mínima del instrumento para la realización de la medición que no es más que el rango de valores entre los que se puede obtener una medición. - La sensibilidad del instrumento, dada por la relación entre el desplazamiento del índice de medición y su correspondiente variación de magnitud en la escala de lectura. - La precisión del instrumento, que es su capacidad para registrar medidas con el mínimo de error, los cuales estarán influidos por variaciones al azar o casuales, pero no por errores de diseño o construcción del instrumento, por ser sus tolerancias de construcción muy pequeñas. Esto significa que las diferencias halladas en cada valor registrado para la medición de una magnitud están afectadas solo por los errores casuales o aleatorios. - La rapidez en lograr su estabilidad, es decir el tiempo requerido para que el instrumento tenga su posición de equilibrio, partiendo de su posición de reposo, como consecuencia de su manejo. - La manera de realizarse la medición con relación a que si es manual, semiautomática o totalmente automática. - La conservación de su estado funcional óptimo, que no exija continuas calibraciones para cada medición a realizarse. - La calidad de su sistema óptico, que tenga distorsiones radiales y tangenciales mínimas, con ejes ópticos bien centrados. - Rendimientos altos en su funcionamiento, garantizando eficiencia, efectividad y precisión en los resultados de la medición. - Todo instrumento, además de tener excelentes características técnicas, debe ser de fácil y rápida operación, para que permita hacer las mediciones con la mayor prontitud y exactitud. - Que el instrumento no dependa significativamente del operador para ofrecer excelentes resultados, puesto que se asume la experiencia,
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responsabilidad y capacidad del operador del instrumento. - Finalmente, que el instrumento sea lo más compacto, liviano y resistente, para facilitar su transportación de un sitio a otro en el campo. Incluso, es de suma importancia, la garantía de su mantenimiento y reparación, sobre todo la obtención de repuestos.
1.3.2.- Condiciones ambientales Entre estos factores están la presión atmosférica, temperatura, humedad, refracción atmosférica, curvatura terrestre, luminosidad y características de cobertura de la superficie terrestre sobre la cual pasará la visual de la medición (agua, roca, arena, etc.). Algunos de estos factores influyen mas significativamente en un tipo de medición directa que en otro. Así, por ejemplo, en la medición electromagnética de distancias la humedad, presión y temperatura atmosférica influyen notablemente, mientras que en la medición angular son menos severas sus influencias.
1.3.3.- Método de medición Existen diversos métodos de medición para medir algunos tipos de magnitudes (para ángulos y distancias, por ejemplo), presentando algunos de ellos ventajas y desventajas al compararlos entre sí, no solo desde el punto de vista operacional sino de exactitud en el método mismo. Técnicas adecuadas de medición permiten eliminar ciertos tipos de errores, fundamentalmente los llamados errores sistemáticos (que veremos mas adelante). Así, por ejemplo, la lectura de un ángulo, en las dos posiciones del anteojo del teodolito, permite eliminar ciertos errores de perpendicularidad y colinearidad de ejes, al adoptarse la media aritmética de esas dos posiciones. En el caso de la nivelación geométrica, por ejemplo, al colocar el nivel a distancias cortas e iguales entre las miras, se eliminan los errores de curvatura terrestre y refracción atmosférica. Pero así como determinados métodos contribuyen a eliminar algunos errores en la medición, existen otros métodos que no permiten tales correcciones.
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1.3.4.- Modelo de referencia usado Para efectuar las mediciones se establece un modelo de referencia, ya sea un modelo de mediciones estáticas o dinámicas, es decir se adopta un estado de comportamiento de la magnitud a medir con respecto al parámetro tiempo, sea independiente (modelo estático), o dependiente (modelo dinámico) del tiempo. Así mismo se podría establecer un modelo discreto o continuo. Por ejemplo, en las mediciones geodésicas clásicas de redes se asumen modelos estáticos discretos, en el cual la medición suministra una medida del mismo estado de la magnitud a medir. En los trabajos geodésicos modernos de redes se opera en un modelo dinámico, en la que cada medición suministra un nuevo estado de la magnitud a medir, por estar ligada al parámetro tiempo. También en el caso de levantamientos de grandes extensiones donde se ignora la influencia de la curvatura y el campo gravitatorio terrestre, se pueden producir errores significativos que no pueden achacárseles a la medición en si.
1.3.5.- El operador Es obvio que un observador u operador bien entrenado en el uso del instrumento o equipo, con experiencia en el método de medición a utilizarse y reconocida responsabilidad en el trabajo que realiza, son requisitos fundamentales para alcanzar una buena calidad en la medición, en lo que respecta a la parte del operador. Un observador u operador con experiencia, capacidad, responsabilidad y bien entrenado en la actividad de medición a realizar, permite al menos minimizar las influencias del factor humano en la calidad de la medición.
1.4.- Errores en las mediciones Consideremos la medición de la longitud de un lindero de una hacienda. Asumamos que disponemos de una cinta métrica. Para realizar la medición de la longitud del lindero debemos alinear la marca cero de la cinta con un extremo del lindero y tomar la lectura de la cinta en el otro extremo de la línea. Dado que la medición es realizada por seres
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humanos y utilizando una cinta diseñada y construida por seres humanos, no existe certeza de que la determinación de la longitud es el mejor valor que puede ser obtenido. Quizás si repetimos la medición por una segunda vez, estaremos más seguros de la calidad de nuestra medición y probablemente obtendremos dos valores distintos de la misma. Ahora, cual de los dos valores es el mejor?. Si ambos parecen valores razonables de la longitud del lindero, no existen razones para aceptar o rechazar una u otra medición. Ahora, que tal si la cinta es mas corta por una cierta cantidad y esto es desconocido por quienes hacen la medición? En este caso todas las distancias medidas serán más largas de lo que en realidad son, aun cuando todas las mediciones que se hagan de una misma distancia serán muy similares entre si. Los errores en las mediciones son producto de perturbaciones ocurridas exclusivamente en el proceso de medición y representan las discrepancias entre el valor obtenido por el proceso de medición y el valor que se debería haber obtenido por un procedimiento y condiciones ideales de medición, el cual llamaremos el valor verdadero de la medición. Los errores en las mediciones siempre existirán, pues las mediciones repetidas son variables por naturaleza, mientras que el valor verdadero permanece constante (aunque nunca se conocerá el valor verdadero de una medición). Cuando se realiza una medición, básicamente tres tipos de errores pueden estar presentes: errores groseros. errores sistemáticos. errores accidentales. Es imperioso destacar que las equivocaciones o errores administrativos se excluyen en la consideración de los errores en las mediciones, por no ser inherentes a la medición en sí.
1.4.1. Errores groseros Se refiere a los errores de mediciones que exceden el límite de una tolerancia preestablecida, la cual es función del tipo de distribución y nivel de probabilidad adoptado.
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TOLERANCIA = T ≤ K.σ donde σ es la desviación standard de la media aritmética de las mediciones y K es una constante que depende del tipo de distribución adoptada y del nivel de probabilidad asumido. Por ejemplo, para una distribución normal el valor de K=1 corresponde a una probabilidad del 68%, mientras que K=2 o K=2.5, que son los valores mas usados en la práctica, corresponden a probabilidades del 95% y 98.8% respectivamente.
xxxxxxx
a x
b x T1
c x T2
d x T3
De acuerdo a la figura es evidente que “d” es una equivocación por su notable separación del resto de mediciones; pero las observaciones “a”, “b” y “c” probablemente no sean groseras, puesto que depende del límite de tolerancia que se haya establecido para las mediciones. Si la tolerancia es fijada en T1, entonces “b” y “c” son mediciones groseras; pero si es fijada en T2 entonces "c” es grosera pero no “a” y “b”. Finalmente si es fijada en T3 no serán groseras , “a”, “b” y "c". Desde el punto de vista estadístico, los errores groseros en las mediciones no pueden ser considerados como provenientes de la misma muestra que sigue una determinada distribución de probabilidades, por lo tanto ellas no deben ser consideradas o usadas junto con las mediciones que no son groseras. Estos errores groseros pueden ser originados por lecturas erradas, olvidarse de chequear que los niveles del teodolito estén calados, fallas del equipo, tal como caída de voltaje, luminosidad, etc., selección errada de la imagen fotográfica del punto de control sobre fotografía aérea, leer la escala en el lado incorrecto, etc.
por por por una
Los errores groseros deben ser DETECTADOS y LOCALIZADOS para su RECHAZO. Por ejemplo, si en un triángulo plano se miden los tres ángulos internos y su suma es muy superior a los 180° , es decir que
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supera la Tolerancia establecida para el cierre del triángulo, es obvio que hemos detectado la presencia de error grosero, pero no lo hemos localizado, puesto que no sabemos cuál de los tres ángulos es, o si son dos o si son los tres ángulos malos. Para evitar la presencia de errores groseros en las mediciones se deben implementar medidas de control, tales como lecturas múltiples y chequeo para la consistencia, cuidados en la lectura, anotación, visual, bisección del punto, estado del equipo o instrumento a utilizar, aumentar la redundancia en las mediciones, discriminar las desviaciones máximas de la magnitud a medir y utilizar el sentido común.
1.4.2.- Errores sistemáticos Se refiere a aquellos errores que ocurren durante el proceso de mediciones y que tiene un efecto constante, ya sea para magnitudes idénticas medidas bajo las mismas condiciones, o bien puede variar de acuerdo a la magnitud y sus condiciones de temperatura, humedad, presión, tiempo o cualquier otro parámetro, pero siempre son positivos o negativos. Desde el punto de vista estadístico es esencial observar que los errores sistemáticos afectarán las mediciones repetidas del mismo modo que afecta a una medición de ellas en particular. LOS ERRORES SISTEMATICOS NO PUEDEN SER DETECTADOS POR MEDIO DE LA REPETICION DE LAS MEDICIONES BAJO IDENTICAS CONDICIONES. En la practica de mediciones siempre se está alerta para evitar la presencia de errores sistemáticos o minimizarlos mediante la calibración del instrumento o equipo, uso de procedimientos adecuados de medición y pre-procesamiento de las mediciones (con la aplicación de las reducciones y correcciones apropiadas. Cuando el error sistemático este presente en la medición no significa que la medición está mala o errada, solo es que el modelo considerado no es el adecuado. Por ejemplo, cuando medimos los tres ángulos de un triángulo sobre la superficie de la tierra, podemos tratarlo por medio de tres modelos funcionales como un triángulo plano, como uno sobre la
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esfera o como uno sobre el elipsoide, la elección de uno sobre los otros puede resultar en errores sistemáticos. Los errores sistemáticos se pueden eliminar usando métodos de medición adecuado o bien mediante modelos funcionales de corrección bien establecidos. El error sistemático puede ser constante en magnitud y signo durante todo el proceso de medición (por ejemplo, un error de escala); puede ser constante en magnitud y signo bajo ciertas condiciones y grupo de mediciones, pero cambiar para otro grupo de mediciones en otras condiciones (por ejemplo en la medición electromagnética de distancias). Los errores sistemáticos indican una inconsistencia entre las mediciones y su modelo funcional. El PRE-PROCESAMIENTO de mediciones se refiere principalmente a la reducción y corrección de los errores sistemáticos conocidos mediante el uso de modelos matemáticos funcionales; pero también se refiere al análisis de mediciones para la detección y localización de errores administrativos, groseros y sistemáticos. EL PRE-PROCESAMIENTO DE MEDICIONES es la validación o convalidación de las mediciones realizadas.
1.4.3.- Errores accidentales Se refiere a aquellos errores casuales o aleatorios tanto en su magnitud como ocurrencia y que permanecen presentes en las mediciones después de que se han eliminado en éstas todos los errores administrativos o equivocaciones, errores groseros y sistemáticos, puesto que ellos no pueden ser eliminados por el cuidado que se tenga en las mediciones, o por métodos de medición o por modelos matemáticos de corrección, razones estas que hace que se les denominen errores fortuitos. Mientras los errores sistemáticos son tratados por modelos funcionales, los errores accidentales son tratados por modelos estocásticos o probabilísticos, ya que ellos son aleatorios. Cuando hablamos del error accidental de una medición, nos referimos al RESIDUAL de esa medición, y no es más que la discrepancia entre la
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medición y su mejor estimado para la muestra medida. Los errores accidentales son el objetivo principal de LA TEORIA DE ERRORES DE OBSERVACIONES O MEDICIONES y el cálculo de compensación se encarga de la minimización de estos errores. Los errores accidentales son considerados variables aleatorias, y, en el caso de las mediciones geodésicas, existen evidencias suficientes que indican que dichos errores siguen una distribución normal con media “0” 2 y varianza σ . Las principales características de los errores accidentales son: Los errores accidentales positivos y negativos tienen la misma probabilidad o frecuencia de ocurrencia. Los errores accidentales pequeños son mas frecuentes que los errores grandes. La suma algebraica de todos los errores accidentales de una misma magnitud medida varias veces debe tender a cero.
Si los errores de medición de una muestra no satisfacen estas características, entonces esos errores no son puramente accidentales sino que hay la presencia de otros tipos de errores. Es imperioso adelantar acá, que a pesar de que los errores sistemáticos se pueden corregir mediante modelos matemáticos de corrección, generalmente estos modelos estandarizados o generales corrigen la mayor cuantía del error, pero aun queda un remanente muy pequeño de ese error sistemático que tiende a confundirse con el error accidental.
1.5.- Los conceptos de exactitud y precisión Estos conceptos son a menudo utilizados como equivalentes por algunos profesionales, mientras otros reservan el concepto de exactitud para calificar la bondad de las mediciones y el de precisión para calificar la 10
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bondad de los instrumentos. Dada esta situación se hace necesario aclarar estos conceptos y dejar sentado el significado que ambos tienen realmente.
1.5.1.- Exactitud Significa la cercanía con la cual un valor medido representa al valor verdadero, es decir, es el grado de cercanía de una medición al valor verdadero. Como el valor verdadero no es conocido, se considera como su valor más aproximado un estimador de tendencia central, como por ejemplo, la media aritmética, la mediana, etc. La exactitud incluye no solamente los errores accidentales sino también aquellos errores sistemáticos remanentes no eliminados totalmente.
1.5.2.- Precisión Se refiere al grado de cercanía de mediciones repetidas de una misma variable aleatoria, unas con respecto a otras. Es decir, que la cercanía de las mediciones individuales unas con respecto a otras representa la precisión. La precisión está afectada solamente por los errores accidentales que entran en juego durante la medición y está relacionada directamente con la distribución de frecuencia de las mediciones, por lo que la dispersión de la distribución de probabilidad es una indicación de la precisión, siendo la desviación estándar la medida numérica de la precisión.
a) b) c) d)
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Alta precision y alta exactitud Baja precision y alta exactitud Alta precision y baja exactitud Baja precision y baja exactitud
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La medida de precisión es la desviación estándar σ, y de la exactitud es el error medio cuadrático M, definido como: M =
σ 2 + β 2
Donde: σ = desviación estándar (efecto de los errores accidentales) β = efecto de los errores sistemáticos no corregidos. El efecto β existe porque, generalmente, existen influencias sistemáticas para quienes la ley que gobierna su comportamiento es desconocida, y por tanto no pueden ser corregidas. Se puede observar que si σ es pequeño y β es grande, entonces la medición es de una gran precisión y una baja exactitud; por lo tanto, alta precisión no implica necesariamente alta exactitud. Si β = 0, significa que la medida de la precisión es igual a la de la exactitud, por lo tanto se debe reducir el efecto de los errores sistemáticos a niveles despreciables para que la medida de la precisión pueda ser usada como medida de la exactitud.
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