Techniques de calcul de la somme d’une série entière Essaidi Ali 30 décembre 2014 Résumé Le but de ce travail et de proposer quelques techniques de calcul de la somme d’une série entière K = R ou C.
1
an z n à coefficient dans
Utilise Utiliserr un un chang changeme ement nt de variabl variables es :
Soient an z n une série entière de rayon de convergence R et de somme f . Pour déterminer f on peut utiliser un changement de variables u = ϕ (z ) et on obtient une série entière est façile à calculer. On obtient alors z < R, R, f (z ) = g (ϕ−1 (u)). Cas classiques :
∀| |
3.
ω n an z n avec ω
∈ C on utilise le changement de variables u = ωz . ω a z avec p ∈ N∗ on utilise le changement de variables u = ωz . Pour la la série série entière entière a sin(nα)x et a cos(nα)x avec α ∈ R on calcule la somme Pour les séries entières entières réelles réelles à valeurs valeurs réelles
1. Pour la la série série entière entière 2.
bn un dont la somme
de la série entière
n
pn
n
p
n
n
inα
e
an x avec le changement de variables u = e n
n
n
n
iα
x et on passe aux parties réelle et imaginaire.
4. Pour les séries entières entières complexes complexes an sin(nα)z et an cos(nα)z n de rayon de convergence R > 0 avec α inα n e an z et e−inαan z n à l’aide, respectivement, des changements R, on calcule les sommes des séries entières
∞ +
de variables u = eiα x et u = e−iα x. On a alors +
∞
+
∞ 1 =
n
an cos(nα)z
2
n=0
inα
e
∈
∀|z | < R,
1 2i
n
an sin(nα)z =
n=0
+
∞
− e−
∀ ∈] −2, 2[,
∞
e
inα
n=0
inα
n
an z et
+ e−inα an z n .
n=0
Exemples d’application : 1. Calcul Calcul de la somme de la série série entière entière Le rayon de converg convergence ence de +
∞
+
n
nu = u
n=0
∞
nu
n
(1
n=1
2
− u)
2. Calcul Calcul de la somme de la série série entière entière
=
≥1
n
+
∞
n=1
n
y = n
1, 1[,
e
x 2
2
)
=
(2
x3n : n
2
− x)
donc x 2
nxn
n=0
2n
=
.
x est 1. On consid considère ère le change changemen mentt de variab variables les y = x 3 donc x n
∀ ∈]−1, 1[,
+
∞
n=1
x3n = n
3
inα x
n=0
On déduit que
2
−
2
x
− ln(1 − y) = − ln(1 − x ).
Le rayon de convergence de
∞
2(1
≥1
3n
3. Calcul Calcul de la somme de la série série entière entière +
+
x
n
Le rayon rayon de conver convergen gence ce de
:
2n
considère le changement de variablesu = nxn est 2. On considère
u
−1 =
nx n
+
n
n!
=
∞
n
u n
n
u
e = e
+
∀|z | <
,
n=0
nα)
eiα x
xn = n!
xn avec α R : n! . On considère le changement de variables u = eiα x donc z
nα)
inα x est + einα x n!
= ! ∞ sin( 1
n=0
sin(
∞
∈
∀ ∈] −
.
m(e
eiα x
) = e x cos α sin(x sin α).
Pense Pe nserr à dériv dériver er et intég intégre rerr : Soit
an xn une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Donc f est C ∞ sur ]
− R, R[ et ses n(n − 1) · · · (n − k + = +
(k)
∀ ∈ N∗, ∀x ∈] − R, R[, f
dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme : k
1
∞
n=k
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1)an xn−k . On calcule alors l’une dés dérivées de f , si c’est faisable, on on pass à f par intégration terme à terme . xn Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière entière : n(n 1)
−
≥2
n
x n(n
Le rayon de convergence de la série entière
x −1
+
∞ ( ) =
n
≥2
et f x
+
x
−2
n
∞ =
1
n
x =
∞ sur ] − 1, 1[ et on a ∀|x| < 1 , f (x) =
− 1) est 1 donc sa somme f est C
n
+
∞
n
− x. dt On a f (0) = 0 donc ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) = f (x) − f (0) = f (t)dt = 1 − t = − ln(1 − x). f (t)dt = − ln(1 − t)dt = x + (1 − x) ln(1 ln(1 − x). De même, on a f (0) = 0 donc ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) = f (x) − f (0) = n=2
n
−1
n=2
n=0
1
x
x
0
0
x
x
0
3
0
Utilisa Utilisation tion des équation équationss diffé différen rentiel tielles les :
Soit an xn une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Pour déterminer f on peut chercher une équation différentielle, façile à résoudre, vérifiée par f . ( 1)n (2n)! n Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière x : (n!)2
∀ ∈ N, a
On pose n
n
n
− ∀ ∈ =
n (2n)! = (−1) . On a n (n!)2
1 . 4
an x est R = Soit f la somme de la série entière
N,
an+1 an
(2n+2)! (n!)2 (n+1!)2 (2n)! 1 1 , 4 4
an xn donc f est C ∞ sur
=
2(2n+1) (n+1)
→ 4 donc le rayon de convergence de
− ∀ ∈ ( + 1) + 2(2 2(2 + 1) = 0 ∞ ∞ ( +1) +4 +2 ∞ = ∀ ∈ − ( +1) ∀ ∈ − 14 14 +2(2 +1) =0 0 ∀ ∈ − ( ) + 4 ( ) + 2 ( ) = 0 ∀ ∈ − √ 4 + 1 ( ) = √ 4 + 1 ( ) + √ ( ) = √ ((4 + 1) ( ) + 2 ( )) = 0 ∃ ∈ ∀ ∈ − ( ) = √ ∀ ∈ − ( ) = √ (0) = = 1 1 1 , 4 4
x
an+1 xn
, n
. On déduit que x 2 1 f x 4x+1 4x+1 Donc λ
4
R,
x
an xn
n
d’où x
N,
. On a n
n
an+1
+
,
,
n
an+1 x
, f x f x
x
1 1 , 4 4
xf x f x λ
, f x
4x+1
f x .
. Or f
Somme Somme de la série série entiè entière re
nan x
,
1 1 , 4 4
donc x
x
, f x
donc
n
n
an x
n=0
1 1 , 4 4
donc x
a 0
an +
n
n=0
1 1 , 4 4
n
+
n=0
f x
x
f x
1 . 4x+1
P (n)z n lorsque P est un polynôme :
Soit la série entière P (n)z n avec P un polynôme non nul de degré m. Le rayon de convergence de P (n)z n est R = 1 donc sa somme est bien définie pour tout z < 1 . La famille (1 , (X + + 1), (X + + 1)(X + + 2), . . . , (X + + 1) (X + + m)) forme une base de Km [X ] donc λ0 , . . . , λm K tels que P = λ 0 + λ1 (X + + 1) + + λm (X + + 1)(X + + 2) (X + + m) d’où z < 1 :
||
··· ···
···
+
∞
∃
∀| |
∈
+
n
P (n)z
=
n=0
∞ (
n
n
λ0 z + λ1 (n + 1) z +
n=0
+
=
λ0
∞
λ0
1
m
(n + 1)
+
n
z + λ1
n=0
=
· · · + λ
∞( + 1) n
n=0
λ1
− z + (1 − z )
2
+
n
· · · (n + m)) z
+
n
z +
· · · + λ
m
∞( + 1) · · · ( + n
n
n
m)z
n=0
· · · + (1 −m!z λ)
m m+1
Remarques : – Pour déterminer déterminer les coefficients coefficients λ0 , . . . , λm , on calcule P (k) pour k = 1, . . . , m, 0 dans cet ordre et on trouve, respectivement, λ0 , . . . , λm . P (n)z n et en remplaçant – Cette méthode permet, aussi, de calculer la somme de ( 1)n P (n)z n en caclulant celle de x par x. 2 n Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière n z :
−
−
−
On a (1, (X + + 1), (X + + 1)( 1)(X + + 2)) 2)) est une base de R2 [X ] donc a0 , a1 , a2 – Pour Pour n = 1 : a 0 = P ( 1) = 1 . – Pour Pour n = 2 : a 0 a1 = P ( 2) = 4 donc a 1 = 3. – Pour Pour n = 0 : a0 + a1 + 2 a2 = P (0) donc a 2 = 1.
− −
−
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−
−
−
∃
2
∈ R, X
= a 0 + a1 (X + + 1 ) + a2 (X + + 1)( 1)(X + + 2).
−
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On déduit que X 2 = 1 On a z < 1 :
∀| |
2
− 3(X + + 1) + ( X + + 1)( X + + 2) et par suite ∀n ∈ N, n +
∞
n z
=
∞(1 − 3( + 1) + ( + 1)( + 2)) n
n
=
+
∞
n
z
n=0
= = +
On a aussi
5
2 n
n z =
n=0
+
n
n
z
n
n=0
n
n
z
n=0
1
3 − 1 − z (1 − z )
2
+
2 (1
z + z (1 z )3
3
− z )
−
z 2 + z . (1 z )3
−
+
∀|z | < 1,
n
z
∞ ∞ − 3 ( + 1) + ( + 1)( + 2)
2
∞
n
n=0
+
∀|z | < 1 ,
− 3(n + 1) + ( n + 1)(n + 2).
+
2 n
n=0
Donc
=1
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∞(−1)
n
2 n
n z =
n=0
z 2 + z . (1 + z )3
Somme Somme de la série série entiè entière re
F (n)z n lorsque F est une fraction :
Soit la série entière F (n)z n avec F une fraction à plôes entiers. Le rayon de convergence de F (n)z n est R = 1 donc sa somme est bien définie pour tout z < 1 . Dans ce cas, on décompose F en éléments simples, si F ne l’est pas déjà, dans C (attention, dans C) et on utilise la formule
+
∀|z | < 1, ∀n ∈ N, 0
∞
n=n0
z n = n
||
2
n0
−1
− ln(1 − x) − x − x2 − · · · − nx − 1 . 0
Remarques : – Cette méthode méthode ne marche marche pas si les pôles pôles de F ne sont pas des entiers. – Cette méthode permet, aussi, de calculer la somme de ( 1)n F (n)z n en caclulant celle de x par x. xn Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière : n3 + 3n2 + 2 n
−
−
F (n)z n et en remplaçant
≥1
n
On a
1 X 3 +3X 2 +2X
=
1 donc X (X +1)(X +2)
1
∃a,b,c ∈ R tels que
X 3 +3X 2 +2X
=
a X
+
b X +1
+
c . X +2
1 donc pour x = 0 on obtient a = 21 . = a + XbX + XcX (X +1)(X +2) +1 +2 a(X +1) +1) + b + c(XX+2 – On a X (X1+2) = donc pour x = 1 on obtient b = 1. X b(X +2) c(X +2) 1 – On a X (X +1) = + X +1 + c donc pour x = 2 on obtient c = 21 . X 1 1 1 1 Donc X3 +3X + 2(X1+2) d’où n N , n3 +3n1 2 +2n = 21n + 2(n1+2) . 2 +2X = 2X X +1 n+1
– On a
−
∀ ∈] − 1, 1[ non nul :
On déduit que x
+
∞
n=1
xn n3 + 3n2 + 2 n
∗
∀ ∈
+
=
∞
xn 1 2 n=1 n
+
−
+
=
∞
xn 1 2 n=1 n +
=
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∞
xn 1 2 n=1 n
1 ln(1 2
=
−
=
−x
=
−(x − 1)
2
− −
−
−
∞
xn 1 + n + 1 2
+
xn−1 1 + n 2
n=1
∞
n=2
− x1
+
∞
n=2
− x) +
ln(1
−
+
∞
xn n + 2
∞
+
xn−2 n
+
xn n
n=1
n=3
xn 1 + 2 n 2x
ln(1
∞
n=3
− x) + x − ln(1 − x) + x +
x2
2
2x2
x
2
− x) + 2 x ln(1 − x) + 2 x − ln(1 − x) − x −
x2
2
2x 2
2
ln(1 x) + 23 x2 2x 2
−
3/6
−x
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− ∀| | 1 = 0 +3 +2 − ∞ (−1) ∀| | 1 = +3 +2 0 +
∞
x < ,
On déduit que
n=1
x n2
n3
+
On a aussi
x < ,
n3
−
−
−x
si x = 0
n
si x = 0 2
(x+1)
n
n=1
6
(x 1)2 ln(1 x)+ 3 x2 2 2 2x
n
n2
n
x
n
ln(1+x)+ 3 x2 +x 2 2 2x
si x = 0
si x = 0
P (n)
Somme Somme de la série série entiè entière re
Essaidi Ali
z n lorsque P est un polynôme :
n!
P (n)
P (n)
Soit la série entière z n avec P un polynôme de degré m. Le rayon de convergence de z n est R = + donc n! n! sa somme est bien définie sur C. La famille (1 , X , X ( X 1), . . . , X ( X 1) (X m + 1)) forme une base de C m [X ] donc λ0 , . . . , λm K tels que P = λ 0 + λ1 X + + + λm X (X 1) (X m + 1) d’où z C :
···
+
∞
n=0
− −
− − · · · − − − − · · · − − ∀ ∈ ∈ ∞ λ + λ n + · · · + λ n(n − 1) · · · (n − m + 1) z
∞
∃
∈
+
P (n) n z n
0
=
1
m
n=0
+
=
λ0
∞ 1
n=0
n!
+
n
z + λ1
λ0
∞ 1
n=0
n!
∞
n=0
+
=
λ0
∞ 1
n=0
n!
n n z + n!
+
n
z + λ1
∞
+
· · · + λ
m
∞
n(n
n
− 1)!
∞ 1
n=0
z
z
=
λ0 e + λ1 ze +
=
(λ0 + λ1 z + +
n!
· · · + λ
· · · + λ
n
n!
n=0
z +
· · · + λ
m
+
n
z + λ1 z
− 1) · · · (n − m + 1) z
+
1
(n n=1
+
=
n
n!
∞
1
(n
n=m
n
− m)! z
+
n
z +
· · · + λ
m m z
∞ 1
n=0
n
z
n!
m z m z e
m m z
)ez
Remarques : – Pour déterminer déterminer les coeffic coefficients ients λ0 , . . . , λm , on calcule P (k ) pour k = 0, . . . , m dans cet ordre et on trouve, respectivement, λ 0 , . . . , λm . P (n) – Cette Cette perme de calcul calculer er la somme somme de la série entière entière ( 1)n n! z n en remplaçant z par z dans la somme de
−
P (n) n z . n!
−
n 3 n z : n! 2)) est une base de R3 [X ] donc a0 , a1 , a2 , a3
Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière entière
3 + a 2 X (X On a (1 , X , X ( X 1), X (X 1)(X R , X = a 0 + a1 X + 1) + a3 X (X 1)(X 2). – Pour Pour x = 0 : a 0 = P (0) = 0 . – Pour Pour x = 1 : a 0 + a1 = 13 = 1 donc a1 = 1. – Pour Pour x = 2 : a 0 + 2 a1 + 2 a2 = 23 = 8 donc a 2 = 3. – Pour Pour x = 3 : a 0 + 3 a1 + 6 a2 + 6 a3 = 33 = 27 donc a 3 = 1. On déduit que X 3 = X + 3 X (X 1) + X (X 1)(X 2) et par suite n N, n3 = n + 3 n(n 1) + n (n 1)(n 2). Donc z C : +∞ 3 +∞ n n n + 3 n(n 1) + n(n 1)(n 2) n z z = n! n!
− −
− −
− −
− −
− −
− −
∀ ∈ ∈
− −
− −
=
∞
n=1
+
+
∀ ∈ ∈ C,
On a aussi z
∞
n=0
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−
−
−
+
z n
(n
− 1)!
∞ + 3
n=2
2 z
z
z n
(n
− 2)!
+
∞ +
n=3
z n
(n
− 3)!
3 z
=
ze + 3z e + z e
=
(z + + 3 z 2 + z 3 )ez
n3 n z = ( z + + 3 z 2 + z 3 )ez . n!
∞(−1)
n=0
− −
n=0
+
∀ ∈ ∈ C,
∈
∀ ∈ − −
−
n=0
On deduit que z
∃
3
nn
n!
n
2
z = ( z + + 3 z
−
3
z
− z )e− . 4/6
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Somme Somme de la série série entiè entière re
Soit la série entière +
∀
On a x x
∞ ∈]0 1[
− b
,
,
xn avec a, an+b
+
an+b
x
−1 = x b−1
n=0
t −1
b
∞
0
x
−
+
an+b
n
1
b
+
1
n=0
+
Soit x
n
an
x
b
an + b
+
∞
xan+b = an + b
n=0
1 a
n
+
∈] − 1, 0[ alors
– Si x
∞
n=0
∞(−1)
n
xb−1 = donc, donc, en intégr intégrant ant,, 1 + xa
an
x
n=0
∈] − 1, 1[ non nul : ∞ x x = Si x ∈]0, 1[ alors an + b an + b n
x = an + b
an
1
xa
somme de
ta
0
x
+
xn . an+b
+
∀x ∈]0, 1[,
∞
n=0
n
an + b
x
an+b
x
=
0
tb−1 dt 1 + t a
dt. 1
1 ( 1)n = ( x) a an + b
−
− −
1 1
−
an
b = (−x)− a
( 1)n n x an+b
( x) a
− 0
en remplaçant x par
xn : 2n + 1
+
donc, en intégrant, x2
∞
n=0
x2n+1 = 2n + 1
x
+
dt 1
0
tb−1 dt. 1 + ta
2
−t
= argt argth( h(x) d’où
∞
n=0
−x dans la x2n = 2n + 1
. +
∀x ∈]0, 1[,
∞
=
n=0
De même, +
2n
x
+
∞ (−1)
n
a
1 a
an + b
n=0
Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière entière
x
n=0
xan = an + b
1
tb
− 1− ∞ − (− ) b = x − a
Remarque : Cette méthode permet aussi de calculer la somme de la série entière
argth(x)
−
0
+
∞
1
b
n=0
On a
tb−1 dt d’où 1 ta
x
1 + t a
0
+
–
:
a
1
n=0
n
xb−1 donc, donc, en intégr intégrant ant,, = 1 xa
an
n=0
b
x avec a, b ∈ R∗ an+b
∈ R∗ . Son rayon de convergence est R = 1.
− t dt. ∞(−1) x − = x − De même, même, ∀x ∈]0, 1[, t − ∞ (−1) − d’où x = x dt. x
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(−1)
∞(−1)
n
x
2n
=
n=0
1 donc, en intégrant, 1 + x2
+
∞ (−1)
n
2n + 1 n=0
x
2n+1
x
=
0
dt = arctan( arctan(x) d’où 1 + t2
n
arctan(x) 2n x = . 2 n + 1 x n=0 Soit x ] 1, 1[ non nul :
∈− √ ∞ ∞ √ x ( x) argth( x) √ Si x ∈]0, 1[ alors . = = 2n + 1 2n + 1 x ∞ x = ∞ (−(√ −x) ) = (−1) (√ −x) Si x ∈] − 1, 0[ alors 2n + 1 2n + 1 2n + 1 +
–
+
n
n=0
n=0
+
–
2n
+
n
n=0
On déduit que :
2 n
n
argth( x) x
+
xn n
n=0
arctan(
x)
x
argth(
si x
+
n
n=0
x
n
si x
x)
n
arctan( x)
√ x
Somme Somme de la série série entiè entière re Soit la série entière
On pose ω = e
2iπ p
xn
∈] − 1, 0[
si x
∈] − 1, 0[
si x = 0 si x
∈]0, 1[
x ∗ ( pn)! avec p ∈ N n
:
avec p
n
p
1
p
ω
k=0
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∈]0, 1[
∈ N∗ . Son rayon de convergence est R = +∞. = 1. On a ∀n ∈ N, ω = 1 ⇐⇒ p|n donc : p si p |n − −
(pn)!
donc ω p
√ √ −x−x) .
arctan(
si x = 0
x
8
=
n=0
√ √ ∞ = 1 √ 2 + 1 √ − − √ √ − − ∞ (−1) = 1 √ 2 + 1
On a encore :
2n
nk
=
1
(ω n )k =
k=0
5/6
1 ωnp 1 ωn
− −
= 0 sinon
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∀ ∈R:
On dédui que x
+
∞
n=0
xn ( pn)!
=
=
=
=
1 p
1 p
+
∞(1 +
n
ω +
n=0
+
∞
xn 1 + n! p
+
xn n
n=0
· · · + ω
+
∞
n=0
+
p
n=0
x
p
e
p
e
n=0
On pose j = e
2iπ 3
=
−
√
ωx
donc j = ¯ j et n 2
∀ ∈ N, 1 + j
n
1
· · · + p
e
=
+
∞ (
n=0
ω p−1 x)n n!
( 1)n n x (pn)!
+ j
ω n(p−1) xn n!
n=0
· · · + p
− 2n
+
∞
1
ωp−1 x
1 + i 23 2
∀ ∈R:
n!
ωx)n + n!
Remarque : Cette méthode permet, aussi, de calculer la somme de x par x. xn Exemple : Calcul : Calcul de la somme de la série entière : (3n)!
−
n
−1) ) x
ω n xn + n!
∞ + 1 ∞ ( ! 1 + + ···+ 1
n(p
en caclulant celle de
3
xn
(pn)! et
en remplaçant
si 3 n . 0 sinon
|
On dédui que x
+
∞
n=0
+
xn (3n)!
∞
=
xn 1 (1 + j n + j 2n ) n! 3 n=0
=
xn 1 j n xn 1 1 + + j 3 n=0 n! 3 n=0 n!
+
=
= =
=
= +
On déduit que :
∞
n=0
+
On a aussi :
xn 1 = (3n)! 3
∞ (−1)
n=0
n
(3n)!
n
x =
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− +2 − 1 3
x
e
e
e
x
x 2
x
+
∞
∞
+
+
j 2n xn n!
+
j 2 x n
n=0
∞ ∞ ∞ ( ) ! 1 + + ···+ 3 − − − 1 + + 3 − 1 − xn 1 1 ( jx )n 1 + + 3 n=0 n! 3 n=0 n! 3 e
x
e
x
e
e
jx
1 +i 23 2
x 2
x
e + e
3
1 3
e
√
i
e
√
−x e + 2 e 2 cos x
√ 3 cos √ 23
+ 2 e 2 cos
+
∞
2
x
.
x
.
6/6
j2 x
x
3 x 2
n=0
n
1 2
e
+ e
i
i
√
3 2
x
√
3 x 2
√ 3 2
x
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