BINOMIAL NEWTON BINOMIAL NEWTON
BINOMIAL NEWTON Oleh : Saptana Surahmat
Salah satu penerapan konsep kombinasi diperagakan oleh seorang ilmuwan Inggris, Sir Isaac Newton, melalui teorinya yang terkenal dengan sebutan Binomial Newton. Disebut binomial sebab permasalahannya menyangkut bentuk binom ( a + b), yaitu menguraikan bentuk (a + b) n dengan n berupa bilangan bulat positif. Dalam hal ini, untuk menguraikan bentuk (a + b)n dapat digunakan rumus n
n
∑
( a + b) =
C(n, k ) an − k bk
k = 0 n
= C ( n, 0)a + C( n, 1)a
n −1
b + C( n, 2)an−2 b2 + ... + C( n, n) bn
Contoh 1.
Uraikanlah bentuk (a + b)3 ! Jawab : 3
3
∑ 3 Ck a
( a + b) =
3 − k k
b
k = 0 3
2
2
= C (3, 0)a + C(3, 1)a b + C (3, 2)ab + C(3, 3)b =
3! (3 − 0 ) ! 0 !
a3 +
3! (3 − 1 ) ! 1 !
a2b +
3! (3 − 2 ) ! 2 !
3
ab2 +
3! (3 − 3) ! 3 !
b3
= a3 +3a2b + 3ab2 + b3 Contoh 2.
Uraikan bentuk (2 x – – y )4 ! Penyelesaian : 4
4
(2 x − y ) =
4 −k
∑ C( 4, k )(2x )
k
(− y )
k =0 4 = C( 4 , 0)(2 x )4 + C( 4 , 1)(2 x )3 ( − y )1 + C( 4 , 2)(2 x )2 ( − y ) 2 + C( 4 , 3)(2 x )1( − y ) 3 + C( 4 , 4) 4)( − y )
=
4! ( 4 − 0) ! 0 !
4
4
⋅ 2 x −
4! ( 4 − 1) ! 1 !
3
3
⋅2 x y +
4! ( 4 − 2) ! 2 !
2
2
2
⋅2 x y −
4! ( 4 − 3) ! 3 !
3
⋅ 2x y +
4! ( 4 − 4) ! 4 !
4
⋅ y
= 16 x 4 − 4 ⋅ 8 x 3 y + 6 ⋅ 4 x 2 y 2 − 4 ⋅ 2 x y 3 + y 4 = 16 x 4 − 32 x 3 y + 24 x 2 y 2 − 8 x y 3 + y 4 Contoh 3.
Uraian bentuk (a + 2)5 !
SUPLEMEN MATEMATIKA SMA
1
BINOMIAL NEWTON
Penyelesaian : 5
5
(a + 2) =
5 −k
∑ C(5, k )a
k
2
k =0
= C(5, 0)a5 + C(5,1)a 4 21 + C(5, 2)a3 22 + C(5,3)a2 23 + C(5, 4) a1 2 4 + C(5,5)2 5 =
5! (5 − 0)!0!
a5 +
5!
5!
4
(5 − 1)!1!
2a +
3
(5 − 2)!2!
⋅ 4a +
5!
5!
2
(5 − 3)!3!
8a +
(5 − 4)! 4!
16a +
5! (5 − 5)!5!
32
= a5 + 5 ⋅ 2a 4 + 10 ⋅ 4a3 + 10 ⋅ 8a2 + 5 ⋅ 16a + 32 = a5 + 10a 4 + 40a3 + 80 a2 + 80 a + 32 Contoh 5.
Tentukan koefisien suku ke-4 dari uraian (2 x – 3)6 ! Penyelesaian :
Penentuan koefisien suku ke-4 dari uraian (2 x – 3)6 dapat dilakukan dengan cara menguraian secara lengkap bentuk (2 x – 3)6. Namun cara tersebut cukup memakan waktu. Agar lebih mudah, dengan menggunakan rumus Binomial Newton, kita bisa langsung menghitung suku yang diminta. Untuk keperluan tersebut, langkah awal perlu menentukan terlebih dahulu nilai k yang sesuai. Karena suku ke-1 diperoleh dari nilai k = 0, maka untuk suku ke-4 akan diperoleh dari nilai k = 3. 6
(2 x − 3) =
6
6− k
∑ C(6, k )(2 x )
( −3)
k
k =0
Nilai suku ke-4 (k = 3) = C(6, 4 )(2 x )6− 4 ( − 3) 4 =
=
6!
2
(6 − 4)! 4 !
6 × 5 × 4! 2! 4 !
( 2 x ) ( −3 )
4
2
⋅ 4 x ⋅ 81
= 15 ⋅ 324 x 2 = 4860 x 2 Berdasarkan hasil di atas, maka nilai koefisien suku ke-4 adalah 4860 Contoh 6.
Hitunglah nilai dari 3,144 ! Penyelesaian : 4
3,14 4 = (3 + 0,14)4 = ∑ C (4, k )36 −k (0,14)k k =0
= C( 4, 0) ⋅ 34 + C( 4,1) ⋅ 33 (0,14)1 + C( 4, 2) ⋅ 32 (0,14)2 + C( 4, 3) ⋅ 31 (0,14)3 + C( 4, 4 )(0,14) 4 =
4! (4 − 0)!0!
81 +
4! (4 − 1)!1!
SUPLEMEN MATEMATIKA SMA
27(0,14) +
4! (4 − 2)!2!
9(0,196) +
4! (4 − 3)!3!
3(0,002744) +
4! (4 − 4)! 4!
(0,00038416)
2
BINOMIAL NEWTON
= 81 + 4 ⋅ 27(0,14) + 6 ⋅ 9(0,0196) + 4 ⋅ 3(0,002744) + 0,00038416 = 81 + 108(0,14) + 54(0,0196) + 12(0,002744) + 0,00038416 = 81 + 15,12 + 1,0584 + 0,032928 + 0,00038416 = 97,21171216
Soal Latihan
1.
Uraikan bentuk binom berikut. a. (x – y)5
d. (2x – 3)4
b. (x – 2y)4
e. (-2x – 3y)3
c. (-3x + 5)3 2.
Tentukan koefisien suku ke-3 dari uraian binom berikut. 1
6
a. ( x + y )6
d. ( x −
b. ( p – 2q)5
1 e. ( − 2 x )7 2
)
y
c. (3a + b)8 3.
Tentukan koefisien suku yang mengandung x 3 dari uraian binom berikut. a. (2 x + 1)4
d. ( x + 2 p)5
b. (x – 2y)6
e.
(5p – 2x)4
a. 1,254
d.
1,0064
b. 2,65
e.
1,0110
c. (2x – 3y)5 4.
Hitunglah.
c. 2,156
SUPLEMEN MATEMATIKA SMA
3
