STUDENT REVIEW & BANK SOAL LOGIKA MATEMATIKA

STUDENT REVIEW & BANK SOAL LOGIKA MATEMATIKA

Dosen Pengampu: Maxrizal, S.Pd.Si., M.Sc.

Disusun Oleh: Mahasiswa Kelas E,F,Z Logika Matematika

TEKNIK INFORMATIKA STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015

CATATAN DOSEN PENGAMPU Assalamulaikum wr. wb Salam semangat!!!

Saya ucapkan selamat kepada mahasiswa-mahasiswi yang telah berhasil mereview kembali perkuliahan logika matematika selama 1 semester. Student review dan bank soal ini adalah kumpulan materi-materi dari modul kuliah, bahan dari internet dan diskusi materi di kelas selama pembelajaran.

Saya berharap karya para mahasiswa ini akan memotivasi para mahasiswa untuk menulis dan belajar, serta bisa digunakan untuk menunjang pembelajaran logika matematika di kampus STMIK Atma Luhur.

Memang masih banyak kekurangan dalam penyusunan materi seperti format naskah, ataupun kebiasan copas (copi-paste) sehingga hasilnya kurang maksimal.

Wassalam

DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA DAN PROPOSISINYA

Written by: 1.VIYENDRA VIRASTA 1411500134 2.DIKI ASTONI 1411500217 3.RESTU ANANDA 1411500152 4.DWI TIA MEILISA 1411500153 5.ZALIKA 1422500037 6.YUYUN MUTRIANI 1422500038 7.YUNITA 1411500169 8.NIRWAN EFFENDY 1422500142


LESSON DASAR-DASAR LOGIKA MATEMATIKA DAN PROPOSISI

MATEMATIKA DAN LOGIKA Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran. Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA Menurut RUDOLF CARNAP (1931) Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasanbatasan yang jelas. Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni. Menurut BETRAND RUSSEL Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.

Program komputer berjalan di atas struktur penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.1

1.1.1

LOGIKA DAN PERNYATAAN

LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah. Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar. Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy Logic). Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif. Logika Predikat menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll. Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya. Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

1.1.2

PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi. Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Contoh : 1. Yogyakarta adalah kota pelajar

(Benar).

2. 2+2=4

(Benar).

3. Semua manusia adalah fana

(Benar).

4. 4 adalah bilangan prima

(Salah).

5. 5x12=90

(Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi Contoh : 1. Dimanakah letak pulau bali?. 2. Pandaikah dia?.

3. Andi lebih tinggi daripada Tina. 4. 3x-2y=5x+4. 5. x+y=2.

1.1.3

PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik. Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol

Arti

Bentuk

¬

Tidak/Not/Negasi

Tidak………….



Dan/And/Konjungsi

……..dan……..



Atau/Or/Disjungsi

………atau…….



Implikasi

Jika…….maka…….



Bi-Implikasi

……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 : Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga” Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah” Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “ Dinyatakan dengan simbol p  q

Contoh 1.2 : Misalkan p: hari ini hari minggu q: hari ini libur nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika : a. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur b. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p  q b. ¬p ¬q c. ¬(p  q)

NEGASI (INGKARAN) Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “”

Contoh 1.3: p: Fahmi makan nasi Q:Fahmi minum kopi

Maka pq : Fahmi makan nasi dan minum kopi Pada konjungsi pq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pq bernilai salah.

DISJUNGSI Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “”. Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu : a. INKLUSIF OR Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true” Contoh : p : 7 adalah bilangan prima q : 7 adalah bilangan ganjil p  q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil. b. EKSLUSIF OR Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”. Contoh : p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV. q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan. p  q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan. Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “”. Notasi pq dapat dibaca : 1. Jika p maka q 2. q jika p 3. p adalah syarat cukup untuk q 4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4: 1. p : Pak Ali adalah seorang haji. q : Pak Ali adalah seorang muslim. p  q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim. 2. p : Hari hujan. q : Adi membawa payung. Benar atau salahkah pernyataan berikut? a. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung. b. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung. c. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung. d. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p  q” yang bernilai sama dengan (p q)  (q  p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2

pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar. Contoh 1.5 : p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus. q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat. p  q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

Tabel Kebenaran Pernyataan, Negasi, Konjungsi,Disjungsi,Inplikasi dan Biimplikasi p

q p q pq pq pq pq

T T

F

F

T

T

T

T

T F

F

T

T

F

F

F

F T

T

F

T

F

T

F

F F

T

T

F

F

T

T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.

QUESTION

Soal 1 Contoh Soal Proposisi Bernilai Benar 1. Jakarta Adalah Ibukota Negara Indonesia Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasannya..? JAWABAN:Kalimat diatas Merupakan proposisi bernilai benar karena Ibukota Indonesia adalah Jakarta.

Soal 2 Contoh Soal Proposisi Bernilai Benar 2. STMIK adalah satu-satunya Sekolah Tinggi Ilmu Komputer dan Manajemen di Bangka Belitung. Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasannya..? Jawaban : Kalimat diatas merupakan proposisi bernilai benar karena STMIK adalah satu-satunya Sekolah Tinggi Ilmu Komputer dan Manajemen di Bangka Belitung.

Soal 3 Contoh Soal Proposisi Bernilai Benar 3. Universitas Gajah Mada adalah Universitas Negeri yang berada di Kota Yogyakarta. Apakah Pertanyaan diatas termasuk Proposisi,kalau proposisi berikan alasanya..?

Jawaban : Kalimat diatas Merupakan proposisi bernilai benar karena Universitas Gajah Mada adalah Universitas Negeri yang berada di Yogyakarta

Soal 4 Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah 4. Tokyo adalah Ibukota Negara Indonesia Apakah Pertanyaan diatas merupakan kalimat Proposisi yang bernilai salah, jika iya berikan kalimat proposisi yang bernilai benar..?

Jawaban : Kalimat diatas merupakan proposisi bernilai salah karena tidak benar Tokyo adalah Ibukota Negara Indonesia dan kalimat Proposisi Bernilai Benar adalah Tokyo adalah Ibukota Negara Jepang.

Soal Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah 5. Rupiah adalah mata uang negara Arab Saudi Apakah Pertanyaan diatas merupakan kalimat Proposisi yang bernilai salah, jika iya berikan kalimat proposisi yang bernilai benar..?

Jawaban : Kalimat di atas merupakan kalimat proposisi bernilai salah, Karena tidak benar rupiah adalah mata uang negara Arab Saudi dan kalimat proposisi bernilai benar adalah Rupiah adalah mata uang negara Indonesia.

Soal 6 Contoh Soal Proposisi Bernilai Salah 6. Menara Eifell terletak di German Apakah Pertanyaan diatas merupakan kalimat Proposisi yang bernilai salah, jika iya berikan kalimat proposisi yang bernilai benar..?

Jawaban : Kalimat di atas merupakan kalimat proposisi bernilai salah, Karena tidak benar Menara Eifell terletak di German dan kalimat proposisi bernilai benar adalah Menara Eifell terletak di Perancis.

Soal 7 Contoh Soal Yang Bukan Proposisi : 7. Andi lebih tinggi dari pada Rio Apakah kalimat diatas merupakan kalimat proposisi?

Jawaban : Kalimat diatas merupakan kalimat bukan proposisi, karena belum jelas kepastiannya.

Soal 8 Contoh Soal Yang Bukan Proposisi : 8. Bejo Lebih Pintar Dari pada Zalika Apakah kalimat diatas merupakan kalimat proposisi?


Soal 9 Contoh Soal Yang Bukan Proposisi : 9. Anggara Lebih Ganteng dari pada Ningol Apakah kalimat diatas merupakan kalimat proposisi?


Soal 10 Contoh Soal Yang Bukan Proposisi : 10. Juminten Lebih cantik dari pada Tukiem Apakah kalimat diatas merupakan kalimat proposisi?


DAFTAR PUSTAKA webhp?sourceid=chrome-instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-8#q=dasardasar%20logika%20matematika

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA

OPERATOR LOGIKA DASAR & TABEL KEBENARAN

Written by: 1.Dian Rahayu Utami(1411500121) 2.Nindya Pinka(1411500099) 3.Putri Saprini(1411500116) 4.Riana Jannati(1411500120) 5.Sinta(1411500117) 6.Suci Amalia Arfah(1411500032) 6.Sulastri(1411500057)



OPERATOR LOGIKA DASAR

A. Pengertian Operator Logika Pada preposisi majemuk kita akan menjumpai kata penghubung antar kalimat yang dinamakan operator logika. Perhatikan contoh preposisi majemuk 5 ada majemuk 5 adalah bilangan prima dan genap, jelas bahwa operator logika yang digunakan adalah operator logika. Selanjutnya kita bisa menyimbolkan p: 5 adalah bilangan prima dan q: 5 adalah bilangan genap, sehingga contoh diatas dapat di simbolkan dengan p dan q. Simbol huruf p,q disebut denga variable logika. Berikut beberapa operator logika yang sering digunakan, yaitu: Simbol

Arti

Bentuk

~

Tidak/Bukan/Negasi/Not

Tidak p

ᴧ

Dan/Konjungsi/And

p dan q

V

Atau/Disjungsi/Or

p atau q

→

Implikasi/Implies

Jika p maka q

↔

Bi-Implikasi/If and Only If

p jika dan hanya jika q

B. Jenis-Jenis Operator Logika 

NEGASI “Misalkan p adalah suatu preposisi. Negasi p adalah bentuk pengingkaran dari p dan disimbolkan dengan ~p.” Berikut contohnya: a. p ~p

: Hari ini cerah. : Tidak benar bahwa hari ini cerah.

Bisa juga dinyatakan dengan: ~p b. q ~q

: Hari ini tidak cerah : 5 adalah bilangan prima. : Tidak benar bahwa 5 adalah bilangan prima.

Bisa juga dinyatakan dengan: q

: 5 bukan bilangan prima.




KONJUNGSI a. p

: 6 adalah bilangan genap.

q

: 7 adalah bilangan ganjil.

Jadi, p ᴧ q : 6 adalah bilangan genap dan 7 adalah bilangan ganjil. b. p

: x adalah bilangan prima.

q

: y adalah bilangan prima.

Jadi, p ᴧ q : x adalah bilangan prima dan y adalah bilangan prima. 

DISJUNGSI “Misalkan p adalah suatu preposisi. Disjungsi p,q adalah penggabungan preposisi p,q dengan operator logika atau, disimblkan dengan p v q.” Berikut contohnya: a. p q

: Hari ini saya membuat tugas logika : Hari ini saya menonton TV.

Jadi, p v q : Hari ini saya membuat tugas Logika atau menonton TV. b. p q

: Saya memilih jurusan Teknik computer : Saya memilih jurusan Teknik computer atau Management

Informatika. 

IMPLIKASI “Misalkan p adalah suatu preposisi. Implikasi p,q adalah penggabungan preposisi p,q dengan operator logika jika….maka…., disimbolkan dengan p→q, dengan p disebut p disebut antesenden dan q disebut konsekuen.” Berikut contohnya: a. p q

: Mahasiswa rajin belajar. : Dosen akan memberikan nilai A.

Jadi, p→q : Jika mahasiswa rajin belajar maka dosen akan membeikan nilai A. b. p q

: Perut saya kelaparan. : Sakit maag saya kumat.

Jadi, p→q : Jika perut saya kelaparan maka sakit maag saya kumat.




BIIMPLIKASI Konsep dari biimplikasi sebenarnya adalah pengembangan dari konsep implikasi. Biimplikasi dikenal dengan implikasi dua arah yaitu p↔q dapat diartikan p→q dan q→p. Berikut contohnya: a. p : Sebuah bangun disebut persegi panjang q : Keempat sudutnya berukuran 90® Jadi, p↔q : Sebuah bangun disebut persegi panjang, jika dan hanya jika keempat sudutnya berukuran 90®. b. p : Setiap penduduk negara Indonesia memiliki KTP. q : Setiap penduduk negara Indonesia telah berusia 17 tahun. Jadi, p↔q : Setiap penduduk negara Indonesia memiliki KTP, jika dan hanya jika telah berusia 17 tahun.


TABEL KEBENARAN A. Nilai Kebenaran Nilai kebenaran dari suatu proposisi hanya ada 2 yaitu benar atau salah saja, biasanya disimbolkan B dan S. Benar(B) bisa dinyatakan True(T) atau 1, sedangkan Salah(S) bisa dinyatakan False(F) atau 0.

B. Tabel Kebenaran Operator Logika Diberikan pernyataan p: Hari ini cerah , sehingga ~p: Hari ini tidak cerah. Jika p bernilai benar maka ~p pasti bernilai salah. Begitu juga sebaliknya. Berikut ini tabel kebenaran negasi:

P

~P

B

S

S

B

Tabel Kebenaran konjungsi :

P

q

P^q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

S

“Operator logika konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar” Tabel kebenaran disjungsi : P

q

pvq

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S


“Operator logika disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah” Berikut ini disajikan tabel kebenaran implikasi : p

q

P=>q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

“Operator logika implikasi akan bernilai salah jika pernyataan yang pertama bernilai benar dan pernyataan yang kedua bernilai salah”

Berikut ini disajikan tabel kebenaran biimplikasi :

p

q

P<=>q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

“Operator logika biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama” Contoh-contoh yang berkaitan dengan tabel kebenaran operator logika : a. Akan ditentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~pvq : Perhatikan bahwa kita membutuhkan kolom tambahan untuk mempermudah proses penyelidikan yaitu kolom untuk ~p. P

~p

q

~pvq

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

B

B

S

B

S

B


b. Akan ditemukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~p  ~q. Perhatikan bahwa kita membutuhkan dua kolom tambahan untuk ~p dan ~q. p

~p

q

~q

~p  ~q

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

c. Akan ditentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika (pᴧq) => ~p. Perhatikan bahwa tanda kurung berperan sebagai tanda agar ekspresi didalamnya harus dikerjakan terlebih dahulu.

p

~p

q

pᴧq

(pᴧq) => ~p

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

B


QUESTION Soal 1 Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Hari ini saya berangkat ke Jakarta Q : Hari ini saya ke Bandung Nyatakan kalimat dibawah ini dengan symbol logika. a. Hari ini saya tidak berangkat ke Jakarta atau tidak ke Bandung b. Tidak benar hari ini saya berangkat ke Jakarta dan ke Bandung Penyelesaian : a. ~pv~q b. ~(pᴧq)

Soal 2 Tentukan negasi dari kalimat berikut! a. Jokowi adalah Presiden Indonesia sekarang b. Saya pasti akan lulus tes wawancara Penyelesaian : a. Jokowi adalah bukan Presiden Indonesia sekarang b. Saya tidak akan lulus tes wawancara

Soal 3 Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Kami pintar membuat animasi Q : Kami akan mengikuti kontes animasi Nyatakan simbol logika di bawah ini ke dalam proposisi a. ~qᴧ~p b. ~q  p Penyelesaian : a. Kami tidak akan mengikuti kontes animasi dan kami tidak pintar membuat animasi b. Kami tidak akan mengikuti kontes animasi jika dan hanya jika kami pintar membuat animasi


Soal 4 : Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Anda seorang pilot Q : Anda seorang pramugara Nyatakan kalimat di bawah ini dengan simbol logika a. Jika anda seorang pilot maka anda bukan seorang pramugara b. Anda adalah seorang pilot dan anda bukan seorang pramugara Penyelesaian : a. P => ~q b. pᴧ~q

Soal 5 : Diberikan beberapa proposisi berikut. P : Anak-anak senang Q : Guru memberi hadiah Penyelesaian : Nyatakan kalimat di bawah ini dengan simbol logika. a. Anak-anak senang jika dan hanya jika guru memberi hadiah b. Jika guru tidak memberi hadiah maka anak-anak tidak senang, dan jika anak-anak tidak senang maka guru tidak memberi hadiah Penyelesaian : a. P  q b. (~q =>p) ᴧ (~p => ~q)

Soal 6 (p => ( q v p ) )ᴧ r Penyelesaian: P

q

R

q vp

P => ( q v p )

P => ( q v p ) ᴧ r

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B


S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

S

B

S

Soal 7 (q ᴧ ~r) v (pr) Penyelesaian: P

q

r

~r

qᴧ~r

Pr

(q ᴧ ~r) v (p r)

B

B

B

S

S

B

S

B

B

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

B

B

S

S

B

S

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

S

S

S

S

S

S

S

B

S

B

B

Soal 8 {(p ᴧ q)=> r){(pᴧ ~r)=> ~ q)} Penyelesaian: p

q

r

~q

~r

(pᴧq)

(pᴧq) => r

(pᴧ~r)

(pᴧ~r)=>~q

{(p ᴧ q)=> r){(pᴧ ~r)=> ~ q)}

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B


Soal 9 (~pvr)ᴧq Penyelesaian: p

q

r

~p

(~pvr)

(~pvr)ᴧq

B

B

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

S

B

S

S

Soal 10 (pᴧq) => (rv(~q => ~ r) Penyelesaian: p

q

r

~q

~r

(pᴧq)

(~q => ~r)

(rv(~q => ~r)

(pᴧq) => (rv(~q => ~ r)

B

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

B

B

S

S

S

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

B

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

B

B


DAFTAR PUSTAKA Modul Kuliah Logika Matematika



Nama-Nama Anggota Kelompok : Aperlinus Nazara (1411500200) Eyo Prasisto (1422500154) Cici Novia Putri (1422500130) Enung Rismawati (1422500161) Ferawati (1411500062)



DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL MATERI DAFTAR ISI II.2.

: TABEL KEBENARAN

2.1.

: Perangkai Logika atau Operator Pengertian Logika

2.1.1

: Negasi (¬)

1.2.

: Kojungsi (^)

1.3.

: Disjungsi (v)

1.4.

: Implikasi (→)

1.5.

: Ekuivalensi (↔)



II.2. TABEL KEBENARAN Logika adalah ilmu tentang penalaran.Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argument,mencari kosistensi dari pernyataan-pernyataan, dan membahas tentang kebenaran dan ketidakbenaran.

Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk logika dari argumen-argumen,serta penarikan kesimpulan terhadap

validitas dari argument tersebut.Logika juga tidak

mempermasalahkan atau isi yang sebenarnya dari pernyataan tersebut.Penekanan hanya silakukan pada premis-premis yang benar untuk menghasilkan kesimpulan yang benar.Penekanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas argument dilakukan untuk mendapatkan kesimpulan yang abstrak,yang dibangun dengan memakai kaidahkaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran yang menggunakan perangkai logika.

Contoh 1 : Jika hari hujan maka Aris basah kuyup

Proposisi kedua dari konsekuen masih bisa deperdebatkan kebenarannya.karena bisa jadi baju Aris basah disiram oleh temannya atau sebab lainnya.Logika yang dimaksud menekankan pada kemungkinan-kemungkinan tersebut.

Contoh 2 : (1). Aris menangkap bola dan menendangnya (2). Aris menendang bola dan menangkapnya

Logika tidak mempermasalahkan pengertian sesuai bahasa sehari-hari.karena logika mementingkan bentuk dari pernyataan-pernyataan.perangkai “dan” hanya perangkai yang bersifat komutatif sehingga kedua kalimat diatas sama.


Untuk menentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi (proposisi majemuk dari proposes atomiknya),dan cara mereka berhubungan oleh operator logika digunakan sebuah alat yang dipakai untuk memberikan nilai yang dinamakan Tabel Kebenaran.

Sebelumnya perlu untuk mengetahui Tabel Kebenaran dari perangkai logika yang dasar pembuktian argument.

II.2.1. Perangkai Logika atau Operator Setiap perangkai memiliki nilai kebenaran masing-masing sesuai dengan jenis perangkai logika yang digunakan. No

Perangkai

Arity

Simbol

1.

Dan (And)

Unary

˄

2.

Atau (Or)

Binary

˅

3.

Tidak/Bukan (Not)

Binary

¬

4.

Jika… maka… (If…Then…Implies)

Binary

→

5.

Jika dan hanya Jika (if and only if)

Binary

↔

II.2.1.1. Negasi (¬) Negasi dipergunakan untuk menggantikan perangkai “tidak(not)” dan berikut adalah tabel kebenarannya.

A

¬A

¬¬A

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

Perangkai ¬ disebut perangkai unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu variabel proposional. Ada 2 contoh berikut ini :


1.

Komputer mahal atau computer murah

2.

Sepeda lama atau sepeda baru

Contoh di atas diubah menjadi varibel proposional. Penyelesaian : 1.

A : komputer mahal A : komputer mahal B : komputer murah ¬A : komputer murah

2.

A : sepeda lama A : sepeda lama B : sepeda baru ¬A : sepeada baru

Bentuk logikanya adalah (A ˅ B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti dengan variabel proposional disebelah kanannya sehingga bentuk logikanya menjadi (A ˅¬A).Perangkai kojungsi,dijungsi,dan negasi merupakan perangkai alamiah atau dasar karena semua perangkai dapat dijelaskan dengan ke tiga perangkai tersebut.

II.2.1.2. Kojungsi (^) Kojungsi (conjuntion) adalah kata lain dari perangkai “dan (And)”.Menggabungkan 2 proposisi untuk membentuk logika konjungsinya sehingga merupakan perangkaian binary dan memiliki tabel kebenaran sebagai berikut : A

B

A˅B

F

F

F

F

T

T

T

F

T

T

T

T

Contoh 1: A : Fera naik sepeda B : Enung naik sepeda A^B : Fera dan Enung naik sepeda


Contoh 2: A : Eyo kuliah sore B : Cici kuliah sore A˄B : Eto dan Cici kuliah sore

II.2.1.3. Disjungsi(˅) Disjungsi merupakan perangkai binary yang merangkai dua proposisi dan memiliki symbol “v”.perangka logika ini memiliki tabel seperti di bawah ini :

A

B

AvB

F

F

F

F

T

T

T

F

T

T

T

T

Contoh 1: A : Mesin mobil saya rusak B : Karburator mobil saya rusak A ˅ B : Mesin mobil dan karburator mobil saya rusak

Contoh 2: A : Eyo kuliah di AMIK B : Cici kuliah di AMIK A˅B : Eyo dan Cici kuliah di AMIK

II.2.1.4. Implikasi(→) Implikasi A→B menyatakan A mengimplikasikan B.Jika A benar maka Q benar,tetapi jika A salah maka B bisa benar dan bisa pula salah.


Contoh 1: A : Nilai ujian akhir anda adalah 80 atau <80 B : Anda mendapat nilai A A→B Jika nilai akhir anda 80 atau lebih maka anda mendapat nilai A

Contoh 2: A : Nilai Uas saya 50 atau >50 B : saya merana A→B : Jika nilai Uas saya 50 atau lebih kecil maka saya merana.

A

B

A→B

F

F

T

F

T

T

T

F

F

T

T

T

(a) Jika A,maka B (if A, then B) (b) Jika A, B (if A, B) (c) A mengakibatkan B (A implies B) (d) B jika A (B if A) (e) A hanya jika B (A only if B) (f) A syarat cukup agar B (B is sufficient for B) (g) B syarat perlu bagi A (B is necessary for A) (h) B bilamana A (B whenever A)

Latihan : “Jika saya rajin kuliah hari ini,mata hari akan bersinar esok hari.” true/false? “Jika hari selasa, maka saya adalah hantu.” True/false? “Jika 1+1 = 6,maka Eyo adalah pemimpin.” True/false? “Jika bulan dibuat dari keju,maka saya lebih kaya dari pohon bamboo.” True or false?


II.2.1.5. Ekiuvalensi(↔) Operator biimplikasi A↔B menyatakan bahwa A benar jika dan hanya jika B benar

Conto 1: A : SBY menang pada pemilu 2004 B : SBY akan mulai menjadi Presiden tahun 2004 A↔B : Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka SBY akan menjadi presiden pada tahun 2004

Contoh 2: A : Aris masuk kuliah tahun 2014 B : Aris jadi mahasiswa tahun 2014 A↔B : jika dan hanya jika Aris masuk kuliah 2014 maka aris jadi mahasiswa tahun 2015

A

B

A↔B

F

F

T

F

T

F

T

F

F

T

T

T

(a) A jika dan hanya jika B (A if and only if B) (b) A adalah syarat perlu dan cukup untuk B. (A is necessary and sufficient for B) (c) Jika A maka B,dan sebaliknya (if A then B,and conversely) (d) A jika B (A iff B)

Soal-soal latihan serta cara penyelesaiannya : 1.Buat tabel kebenaran dari pernyataan di bawah ini: (p˄q) ˄ (¬p˄q) Penyelesaian: Tabel kebenarannya

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA p T T T T F F F F

Q T T F F T T F F

R T F T F T F T F

p˄q T T F F F F F F

¬q F F T F F F T F

¬q˄r F F T F F F T F

(p˄q)˄(¬p˄q) T T T F F F T F

2.Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ¬(p˅q) ˅ (¬q˄¬q) Penyelesaian: Tabel kebenarannya p

q

¬p

¬q

p˅q

¬(p˅q)

(¬p˄¬q)

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

B

B

3.Buatlah tabel kebenaran dari pernyataaan dibawah ini: ((p→q)˄p)→q nilainya selalu benar. Penyelesaian : p

q

p→q

((p→q)˄p)

((p→q)˄p)→p

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

4.Buktikan pernyataan (p˄q) q adalah tautology Penyelesaian: (p˄q) q ˜(p˄q) ˅q ˷p ˅ 5.Buktikan Ekuivalensi dari pernyataan di bawah ini:


¬(p˅q) ˅ (¬p˄¬q) Penyelesaian: ¬(p˅q) ˅ (¬p˄¬q) ¬p˄ (q˅¬q) ¬p˄T ¬p

6.Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan (p˄q)→¬p Jika p bernilai B q bernilai S Penyelesaian: (p˄q) => ¬p B S

B

S

S B

7. Buktikan pernyataan majemuk (q→p)↔(¬p→¬p) merupakan Tautologi Penyelesaian: (¬p→¬q) ↔ ¬(¬p)˅¬q)

(transformasi dari → ke v)

↔ p˅¬q

(h.negasi ganda)

↔ ¬q˅p

(h.komunikatif)

q→p

(transformasi dari v ke →)

Jadi terbukti tautologi

8.Buktikan pernyataan majemuk (p→(p→r)) ((p˄q)→r) Penyelesaian: (p→(q→r)) (¬p˅(p→r)) ¬p˅ (¬q˅r) (¬p˅¬q)˅r ¬(p˄q)˅r (pq˄)→r

Terbukti sama dengan ruas kanan.


Jadi hasilnya merupakan tautology

9.Buktikan pernyataan q (p˅q) merupakan tautologi Penyelesaian: q (p˅q) ~q˅ (p˅q) ~q˅ (p˅q) T˅p T………(merupakan tautologi)

10.Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p˅~q) ˅ (~p˄~q) ~p Penyelesaian: ~ (p˅~q) ˅ (~p ˄ ~q) (~p˄q) ˅ (~p ˄ ~q) ~ p ˄ (q ˄ ~q) P˄T ~ P……(terbukti)


DAFTAR PUSTAKA II.2.

: TABEL KEBENARAN

2.1.

: Perangkai Logika atau Operator

2.1.1

: Negasi (¬)

1.2.

: Kojungsi (^)

1.3.

: Disjungsi (v)

1.4.

: Implikasi (→)

1.5.

: Ekuivalensi (↔)

Oleh Frits Alfonsus Wantania

TUGAS LOGIKA MATEMATIKA TENTANG 2.) OPERATOR LOGIKA DASAR DAN TABEL KEBENARANNYA

1. 2. 3. 4. 5. 6.

EKO TEGUH BACHTIAR SEPTIANA PUTRI HARUM BAMA CICI ANGGREINI DIO ANDIKA PRATAMA HENDA ARDIAN NATA ALLAN DENY SAPUTRA

( 1422300026) ( 1422500211 ) ( 1422500213 ) ( 1422300044 ) ( 1422500157 ) ( 1411500178)

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga kami dapat menyelesaikan tugas logika matematika ini. Dalam penyusunannya, kami mengucapkan terimakasih kepada Guru logika matematika kami yaitu Bapak Maxrizal yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah semua kesuksesan ini berawal, semoga semua ini bisa memberikan sedikit kebahagiaan dan menuntun pada langkah yang lebih baik lagi. Meskipun kami berharap isi dari laporan tugas kami ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar tugas logika matematika ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata kami mengucapkan terimakasih, semoga hasil laporan tugas logika matematika kami ini bermanfaat. Wassallammuallaikum WR.WB

Pangkalpinang, 30 mei 2015

OPERATOR LOGIKA MATEMATIKA PENDAHULUAN · · · · · · · ·

Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubumgan dengan pembuktian validitas suatu argumen. Argument yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk dapat dibuktikan validitasnya. Cara membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf. Setiap variabel preposisi ditentukan nilainyadan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk mendapatkan nilaikebenarannya. Contoh-contoh argument yang valid dan yang bisa dipakai adalah. Disjunctive Sillogism, Hypothecal Sillogism, Modus ponen, dan Modus Tollens. Argument : permis & kesimpulan, preposisi / pernyataan semua berbentuk kal. Preposisi dinotasikan dengan huruf abjad dan diberi nilai benar dan salah. Eksprersi terdiri dari notasi dan perangkai ini juga disebut logika

PREPOSISI ·

·

·

Kalimat yang benar atau salah, ttp tidak keduanya Preposisi atau kalimat dalam logika, preposisi bisa berupa + atom / kalimat sederhana + kalimat kompleks, komposisi kalimat menggunakan operator logika. Kalimat sederhana bisa berupa + symbol konstanta : true dan false + symbol variabel proposisi : p,q,r,p1,q1 Literial adalah atom atau negasinya. OPERATOR LOGIKA (disusun berdasarkan hirarki) Symbol Arti (dibaca) ¬ Negasi / not / tidak Λ Konjungsi / and / dan v Disjungsi / or / atau → Implikasi ↔ Ekuivalensi / biimplikasi Kalau keduanya barsamaan pakai ( ..... ) p  q 1. Jika p maka q atau q apabila p 2. P hanya apabila q 3. P adalah syarat cukup untuk q 4. Q adalah syarat perlu untuk p p  q 1. p => q dan q => p 2. P jika dan hanya jika q 3. P adalah syarat cukup dan perlu untuk q 4. Q adalah syarat cukup dan perlu untuk p

Bentuk Tidak … …. Dan …. …. Atau … Jika ….. maka …. …. Jika hanya jika …

Contoh soal : 1. Diberikan data: Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar

Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a) p ∧ q b) p ∧ ~q c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q

Pembahasan Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi : p

q

p∧q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel: p

q

~p

~q

p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q

S

B

B

S

S

S

B

Dari tabel di atas a) p ∧ q bernilai salah b) p ∧ ~q bernilai salah c) ~p ∧ q bernilai benar d) ~p ∧ ~q bernilai salah Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p

q

B

S

S

2. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a) p ∨ q b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q

Pembahasan Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut: .

p

q

p∨q

1

B

B

B

2

B

S

B

3

S

B

B

4

S

S

S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B p

q

~p

~q

B

S

S

B

a) p ∨ q p bernilai B, q bernilai S Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2) b) p ∨ ~q p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q) Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1) c) ~p ∨ q ~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

QUESTION : 1. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan berikut : (P  Q) => ~ P P Q ~P PQ B B S B B S S S S B B S S S B B

(P  Q)  ~ P S B B B

Penjelasan : pertama di cari dulu negasi p lalu Bi-implikasi lalu dapatlah dicari semua Biimplikasi dan Implikasinya. 2. Tentukan tabel kebenaran dari pernyataan (P ∧ Q) => ~P : P Q P ( P ∧ Q) B B S B B S S S S B B S S S B S

(P ∧ Q) => S B S S

P

Cara penyelesaianya : tentukan dulu negasi p lalu p dan q menggunakan ∧ (dan) sehingga p dan q di implikasikan ke negasi p sehingga hasil lebih mudah dicari. 3. Tentukan nilai dari pernyataan berikut beserta tabel kebenaranya (~p ∧ r) ∨ (~r ⇒ q)

Cara penyelesainya : Pertama menggunakan tabel kebenaran tentukan dulu p dan q dan lalu p dan r di ditentukan negasi (~) lalu baru mencari ~p ∧ r lalu selanjutnya cari ~r => q lalu baru mencari hasil akhir .

4. Tentukan nilai dari pernyataan berikut : {(p => q) ∧ ~q} => ~p

Cara penyelesaian :autologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifatsifat logika. 5. Diketahui premis-premis : 1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang 2. Jika semua temannya datang maka ia mendapatkan kado 3. Budi tidak mendapatkan kado Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah ... A. Budi ulang tahun B. Semua temannya datang C. Budi tidak ulang tahun D. Semua teman tidak datang E. Budi mendapatkan kado Pembahasan : misal : Budi ulang tahun = p Semua teman datang = q Budi mendapatkan kado = r Budi tidak mendapatkan kado = ~r Kesimpulan dari premis 1 dan 2 berdasarkan silogisme adalah : p→q q→r ———— ∴ p → r ---> jika Budi ulang tahun, maka ia mendapatkan kado. Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 berdasarkan modus Tollens adalah : p→r ~r ———— ∴ ~p ---> Budi tidak ulang tahun ---> opsi C

6. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p q B S

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a) p ∨ q b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q Pembahasan Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut: .

p q p∨q

1 B B

B

2 B S

B

3 S B

B

4 S S

S

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B p q ~p ~q B S S

B

a) p ∨ q p bernilai B, q bernilai S Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2) b) p ∨ ~q p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q) Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1) c) ~p ∨ q ~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)

7. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah ... A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi. Pembahasan : Ingat kembali aturan kesetaraan : ~q∨r≡q→r Misal : Hari panas = p Ani memakai topi = q Ani memakai payung = r Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi : 1. p → q 2. ~ q ∨ r 3. ~ r Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh : p→q q→r ———— ∴p→r Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh : p→r ~r ———— ∴ ~p Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. ---> opsi B. Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens : p→r ~r ———— ∴~p 8. Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a) p ∧ q b) p ∧ ~q c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q

Pembahasan : Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi : p q p∧q BBB BS S S BS SSS Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel : Dari tabel di atas a) p ∧ q bernilai salah b) p ∧ ~q bernilai salah c) ~p ∧ q bernilai benar d) ~p ∧ ~q bernilai salah p q ~p ~q p∧q p∧~q ~p∧q ~p∧~q SBB S S S B S 9. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p q BS Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut : a) p ∨ q b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q Pembahasan Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut : p q p∨q BBB BS B S BB SSS Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B p q ~p ~q B S S B a) p ∨ q p bernilai B, q bernilai S Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2) b) p ∨ ~q p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q) Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1) c) ~p ∨ q ~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S Pasangan S S menghasilkan nilai S. 10. Diberikan data: Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a) p ∧ q b) p ∧ ~q

c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q Pembahasan Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi : p∧q

p q B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel: p q ~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q S B B

S

S

Dari tabel di atas a) p ∧ q bernilai salah b) p ∧ ~q bernilai salah c) ~p ∧ q bernilai benar d) ~p ∧ ~q bernilai salah

S

B

S

http://id.wikipedia.org/wiki/Kontradiksi http://id.wikipedia.org/wiki/Tautologi http://apiqquantum.com/2009/10/23/negasi-ingkaran-logika-matematika-implikasi/ http://www.bimbingan.org/implikasi-logika-matematika.htm

SELAMAT MENIKMATI

LOGIKA MATEMATIKA “ SISTEM INFORMASI “

Written by: 1.

Muhammad Doddy Setiawan

1422500120

2.

Zainah

1422500050

3.

Septia Desiandi

1422500041

4.

Mulia

1422500061

5.

Yuni Ade Issusanti

1422500129

OPERATOR LOGIKA TAMBAHAN & TABEL KEBENARAN

STIMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG


LESSON

A. Pengertian Operator Logika Tambahan Operator logika tambahan adalah proposisi-proposisi yang ada dan dapat dibentuk menjadi proposisi baru dengan menggunakan penghubung atau operator logika. Yangdikenal ada 6 jenis operator logika, yaitu negasi ┐, konjungsi ⋀, disjungsi ⋁, exclusive or ⨁, implikasi →,dan bi-implikasi(biconditional)↔

Contoh 1 Tentukan table kebenaran untuk ekspresi logika berikut ini: a. (p ∩ ┐q) ∙ ⇒ ┐p b. (p ⟺ ┐q) ∩ p a. p B B S S

q B S B S

┐p ┐q (p∩┐q) S S S S B B B S S B B S

(p┐∩┐q)⇒ ┐p B S B B

b. p B B S S

q B S B S

┐p ┐q (p∩┐p) S S S S B B B S B B S S

(p⟺┐q)∩p S B S S

Contoh 2

Diketahui p bernilai benar (B), q bernilai salah (S), dan r bernilai benar (B) Tentukan nilai dari pernyataan berikut : a. (p ∩ q) ⇒ (┐p ν ┐r) b. (┐p ν q) ⨁ (q ∩ ┐r) a. ( p ∩ q ) ⇒ ( ┐p ν ┐r ) B ↓ S ↓ S S

B

↓ S S

b. (┐p ν q ) S ↓ S S

⨁

(q ∩ ┐r )

↓

S ↓ B

S

S

2


QUESTION

Soal 1 p : Saya lapar q : Saya akan makan r : Saya akan kenyang “Jika saya lapar maka saya akan makan dan kenyang” Tentukan symbol dari ekspresi logika dan buatlah table kebenarannya

Jawab: P⇒(q⟺r) p

q

r

(q ∩ r)

P ⇒ (q ∩ r)

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

B

B

Soal 2 Diketahui p bernilai benar (B), q bernilai salah (S), dan r bernilai salah (S) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ini p ⇒ ( q ∩ ┐r ) ⨁ ( ┐p ν q ) ↓ r

jawab: p ⇒ ( q ∩ ┐r ) ⨁ ( ┐p ν q ) ↓ r ↓ ↓ B ↓ S

S ↓ B S B

↓

S ↓

S ↓ ↓

↓

S

↓ S B

3


Soal 3 Sebutkan Jenis-jenis operator logika tambahan

Jawab: 

Konjungsi

∧

dan / and



Disjungsi

∨

atau / or



Negasi

┐

bukan / not



Implikasi

⇒

jika … maka …



BI-Implikasi ⇔

jika … dan hanya jika …



Not and

l

tidak akan



Not or

?

tidak atau



Ex or

⨁

exlusive or

Soal 4 Diketahui a bernilai benar (B), d bernilai salah (S), dan f bernilai salah (S) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ini a ⟺ (┐a ∩ f ) ↓ (┐d ⇒ f ) ν a

jawab: a ⟺ (┐a ∩ f ) ↓ (┐d ⇒ f ) ν a ↓

↓

↓

S

B

S ↓ S ↓ B ↓S ↓ ↓ S

↓ S

S

↓ B B

Soal 5 Apa yang dimaksud dengan table kebenaran :

Jawab: Tabel kebenaran adalah table matematika yang digunakan dalam logika untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu ekspresi logika yang masing-masing nilai kombinasinya diambil dari variable logika. Tabel kebenaran dapat digunakan untuk mencari tahu apakah ekspresi proposisi tersebut bernilai benar untuk semua nilai input yang valid secara logis.

4


Soal 6 Tentukan table kebenaran untuk ekspresi logika dibawah ini: (p ∩ ┐p)⟺ ┐q

Jawab: p B B S S

q B S B S

┐p ┐q (p∩┐p) (p∩┐p)⟺ ┐q S S S B S B S S B S S B B B S S

Soal 7 Diketahui x bernilai benar (B), y bernilai salah (S), dan z bernilai benar (B) Tentukan nilai dari pernyataan dibawah ini : (x ν z) ↓ (┐y ν y)

Jawab: (x ν z) ↓ (┐y ν y) B ↓ B ↓ B

S

B ↓ S S

5


Soal 8 Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari p ∧ q

Jawab: Tabel niali kebenaran untuk konjungsi p

q

p∧q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar p∧q

p q ┐p ┐q S B

B

S

S

Dari tabel diatas p ∧ q bernilai salah

Soal 9 Pernyataan x bernilai salah Pernyataan z bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari x ∧ ┐z

Jawab: Tabel niali kebenaran untuk konjungsi x

z

x∧z

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

6


Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar x

z

┐x

┐z

x∧z

x ∧ ┐z

S

B

B

S

S

S

Dari tabel diatas x ∧ ┐z bernilai salah

Soal 10 Pernyataan r bernilai salah Pernyataan s bernilai benar Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi dari ┐r ∧ ┐s

Jawab: Tabel niali kebenaran untuk konjungsi r

s

r∧s

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Terlihat konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan benar r

s

┐r

┐s

r∧s

r ∧ ┐s

┐r ∧ s

┐r ∧ ┐s

S

B

B

S

S

S

B

S

Dari tabel diatas ┐r ∧ ┐s bernilai salah

7


DAFTAR PUSTAKA

1. http://arydipa.blogspot.com/2011/03/operator-logika.html 2. http://sciencebooth.com/2013/05/page/7/ 3. http://abduh.ee9.blog.unsoed.ac.id/2010/09/26/tabel-kebenaran/

8


Operator Logika Tambahan & Tabel Kebenaran

Written by: 1.Azizah Az-zahro 1422500056 2.Azizah Az-zuhro 1422500057 3.Umami 1422500074 4.Suciana 1422500039 5.Andi Setiawan 1411500008 6.Muhammad khomaini 1422500169 7.Ilham 1422500186

STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015


Operator Logika Tambahan & Tabel Kebenaran

LESSON FUNGSI LOGIKA LAINNYA (TAMBAHAN) No. Perangkai Logika

Istilah

1. 2. 3.

N-and N-or X-or

Not And Not Or Exlusive Or



Simbol | ϴ (↓)

Not And ( | ) = tidak dan

Yaitu kebalikan konjungsi, proposisi yang bernilai FALSE (salah) jika proposisi A dan B keduanya TRUE (benar), dan proposisi yang lainnya pasti benar. Tabel Kebenaran : A

B

A|B

T

T

F

T

F

T

F

T

T

F

F

T



Not Or ( ϴ)

= tidak atau

Yaitu kebalikan disjungsi, proposisi yang bernilai TRUE (benar) jika proposisi A dan B keduanya FALSE (salah), dan proposisi yang lainnya pasti FALSE (salah). Tabel Kebenaran : A

B

AϴB

T

T

F

T

F

F

F

T

F

F

F

T


Exslusive Or ( (↓) )



= exlusive or

Yaitu kebalikan biimplikasi, proposisi yang bernilai FALSE (salah) jika proposisi A dan B bernilai sama. Tabel Kebenaran : A

B

A (↓) B

T T

T F

F T

F

T

T

F

F

F

Contoh 1 p ˅ (q ↓ p ) Penyelesaian: p

q

r

q↓p

p ˅ (q ↓ p)

B

B

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

S

S

Contoh 2 pϴ(q˄p) Penyelesaian: p

q

q˄p

¬p ϴ ( q ˄ p )

B

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

B

S

S

S

B


QUESTION

Soal 1 p ˄ q|r Penyelesaian: p

q

r

p˄q

p˄q|r

B

B

B

B

S

B

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

Soal 2 (¬p ˅ r) ˄|q Penyelesaian: p

q

r

¬p

¬p˅ r

(¬p ˅ r) | q

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B


Soal 3 ( p ˅ r ) | ( ¬q ϴ ¬p) Penyelesaian: p

q

R

¬p

¬q

p˅r

¬q ϴ ¬p

( p ˅ r ) | ( ¬q ϴ ¬p)

B

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

B

S

S

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

Soal 4 ( p ˅ (q ↓ p ) ˄ r Penyelesaian: p

Q

r

q↓p

p ˅ (q ↓ p)

( p ˅ (q ↓ p ) ˄ r

B

B

B

S

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S


Soal 5 ( q | ¬r ) ˅ ( p ˄ r ) Penyelesaian: p

q

r

¬r

q | ¬r

p˄r

( q | ¬r ) ˅ ( p ˄ r )

B

B

B

S

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

Soal 6 ¬( ¬p |¬q) Penyelesaian: p

q

¬p

¬q

¬p ˄ ¬q

¬( ¬p |¬q)

B

B

S

S

S

S

B

S

S

B

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

B

B

B


Soal 7 p ↓ (p ˅ q) Penyelesaian: p

q

p˅q

p ↓ (p ˅ q)

B

B

B

S

B

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B

Soal 8 q˄r |¬q Penyelesaian: p

q

r

¬q

r ˄¬q

B

B

B

S

S

B

B

B

S

S

S

B

B

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

S

S

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

q˄r |¬q


Soal 9 ¬p ϴ ( q ˄ p ) Penyelesaian: p

q

¬p

q˄p

¬p ϴ ( q ˄ p )

B

B

S

B

B

B

S

S

S

S

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

p

q

p˅q

B

B

B

S

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

B

S

Soal 10 ¬( p ˅ q ) | p Penyelesaian: (p˅q)|p

¬( p ˅ q ) | p


DAFTAR PUSTAKA (http://arydipa.blogspot.com/2011/03/operator-logika.html https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/ http://hyperpost.blogspot.com/2014/09/logika-informatika-mengenal-konjungsi.html)

IMPLIKASI DAN APLIKASI

Written by: 1. Triana Wulandari

1422400045

2. Nurul Fajrin

1422500044

3. Ismailiwati

1422500202

4. Amudia Kalpa Taruna

1411500129

5. Olivia Fahrelyanti

1422500040

6. Ardiansyah

1422500220

7. Prima Wiriandana

1422500055



IMPLIKASI DAN APLIKASI

LESSON A. Pengertian Implikasi Implikasi adalah pengertian majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan dengan “⟹” , misal “p⟹q” dibaca “jika p maka q.

Contoh 1 Tentukan konvers,invers,dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : a) Jika harga rak,maka permintaan turun b) Jika x = 9,maka x2 = 81

Penyelesaian: a) Jika harga naik,maka permintaan turun Konversnya

: jika permintaan turun,maka harga naik q ⟹ p

Inversnya

: jika harga tidak naik,maka permintaan tidak turun ⌐p ⟹ ⌐q

Kontraposisi : jika permintaan tidak turun,maka harga tidak naik ⌐q ⟹ ⌐p Tabel Kebenaran: P

q

⌐p

⌐q

p⟹q

q⟹p

⌐p⟹⌐q

⌐q⟹⌐p

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

B

B

b) Jika x = 9,maka x2 = 81 Konvers : Jika x2 = 81, maka x = 9 (q ⟹ p) Invers : Jika x ≠ 9, maka x2 ≠ 81 (⌐p ⟹ ⌐q) Kontraposisi : x2 ≠ 81, maka x ≠ 9 (⌐q ⟹ ⌐p) Contoh 2 Misalkan dalam sebuah Program computer diberikan pernyataan berikut:

1


If ( x ≤ 20 ) ∧ ( 3 + x =15 ) then x : = x + 5 Bila diberikan nilai x = 8, 12, 16, 18 sebagai x input maka akan di tentukan x output Lengkapi table di bawah ini : x input

8

12

16 18

x output

8

17

16 18

Penyelesaian: 1.

If (x ≤ 20) (8 ≤ 20) B

2.

If (x ≤ 20) (12 ≤ 20) B

∧ (3 + x = 15) ∧ (3 + 8 = 15) S ∧ S ∧ ∧ ∧ B

3.

If (x ≤ 20) (16 ≤ 20) B

∧ ∧ ∧ S

4.

If (x ≤ 20) (18 ≤ 20) B

∧ ∧ ∧ S

( 3 + x = 15) ( 3 + 12 = 15) B

( 3 + x = 15) ( 3 + 16 = 15) S

( 3 + x = 15) ( 3 + 18 = 15) S

then x : = x + 5

then x : = x + 5 x : = 12 + 5 = 17

then x : = x + 5

then x : = x + 5

QUESTION

Soal 1 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : a.) Jika Yuri Rajin belajar, Maka Yuri pintar b.) Jika x = 3, Maka x + 4 = 7 Penyelesaian: a.) Jika Yuri rajin Belajar, maka Yuri pintar (p ⟹ q) Konvers

= Jika Yuri pintar, maka Yuri rajin Belajar (q ⟹ p)

2


Invers

= Jika Yuri tidak rajin belajar, maka Yuri tidak pintar (¬p ⟹ ¬q)

Kontraposisi

= Jika Yuri tidak pintar, maka Yuri tidak Rajin Belajar (¬q ⟹ ¬p)

b.) Implikasi

= Jika x = 3, maka x + 4 = 7 (p ⟹ q)

Konvers

= Jika x + 4 = 7, maka x = 3 (q ⟹ p)

Invers

= Jika x ≠ 3, maka x + 4 ≠ 7 (¬p ⟹ ¬q)

Kontraposisi

= Jika x + 4 ≠ 7, maka x ≠ 3 (¬q ⟹ ¬p)

Soal 2 Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari pernyataan Implikasi : a. Jika x = 4, maka x2 = 16 b. Jika Dia haus, maka dia minum Penyelesaian: a. Implikasi

: Jika x = 4, maka x2 = 16

Invers

: jika x2 = 16, maka x = 4

Konvers

: Jika x ≠ 4, maka x2 ≠ 16

Kontraposisi

: Jika x2 ≠ 16, maka x ≠ 4

b. Implikasi

: jika Dia haus, maka dia minum

Invers

: jika Dia minum, maka Dia haus

Konvers

: jika Dia tidak haus, maka dia tidak minum

Kontraposisi

: jika dia tidak minum, maka dia tidak haus

Soal 3 Jika diketahui : X :

01 1101 10

y

:

11 0101 00

Z :

10 1011 10

tentukan : a. ( x ⨁ y ) ∧ z b. ( x ∧ y ) → z

3


c. ( x ∨ y ) ⨁ z Penyelesaian: Diketahui : X :

01 1101 10

y

:

11 0101 00

Z :

10 1011 10

jawab : a. ( x ⨁ y ) ∧ z

b. ( x ∧ y ) → z

x : 01 1101 10

x : 01 1101 10

y : 11 0101 00+

y : 11 0101 00+

( x ⨁ y) : 1 0 1 0 0 0 1 0

(x∧y) : 01 0101 00

z : 10 1011 10+ (x⨁y)∧z : 10 1000 10

z : 10 1011 10+ (x∧y)→z : 10 1011 11

c. ( x ∨ y ) ⨁ z x : 01 1101 10 y : 11 0101 00+ (x∨y) : 11 1101 10 z : 10 1011 10+ (x∨y)⨁z : 01 0110 00

Soal 4 Misalkan didalam sistem computer diberikan pernyataan berikut : If ( x2 + 2 ≤ 8 ) ⨁ ( x + x2 ≥ 15 ) then x : x2 + 3 Bila diberikan nilai X input

2

3

5

6

X output Penyelesaian: If ( x2 + 2 ≤ 8 ) ⨁ ( x + x2 ≥ 15 ) then x : x2 + 3

4


X input

2

3

5

X output

7

3

28 39

1.

If ( 22 + 2 ≤ 8 )

6

⨁ ( 2 + 22 ≥ 15)

B

then x : 22 + 3 = 7

S B

2.

If ( 32 + 2 ≤ 8 )

⨁ ( 3 + 32 ≥ 15)

S

then x : x2 + 3

S S

3.

If ( 52 + 2 ≤ 8 )

⨁ ( 5 + 52 ≥ 15)

S

then x : 52 + 3 = 28

B B

4.

If ( 62 + 2 ≤ 8 )

⨁ ( 6 + 62 ≥ 15 )

S

then x : 62 + 3 = 39

B B

Soal 5 Misalkan didalam sebuah program computer diberikan pernyataan berikut; If ( 2 + X ≤ 10 ) ∨ ( X ≤ 7 ) then x : = x + 6 X input

6

7

8

10

X output

12

13

14

10

Penyelesaian: 1.

If ( 2 + 6 ≤ 10)

∨

B

( 6 ≤ 7 ) then x : = 6 + 6 = 12 B

B

5


2.

∨

If ( 2 + 7 ≤ 10 )

( 7 ≤ 7 ) then x : = 7 + 6 = 13

B

B B

3.

∨

If ( 2 + 8 ≤ 10 )

( 8 ≤ 7 ) then x : = 8 + 6 = 14

B

S B

4.

If ( 2 + 10 ≤ 10 )

∨

( 10 ≤ 7 )

S

then x : = x + 6

S S

Soal 6 X input

13

10

9

8

X output

13

17

16

15

Tentukan if ( 5 + 8 – X ≤ 16 ) ⨁ ( x + 10 – 2 ≥ 20 ) then x : = x + 7

Penyelesaian: 1.

If ( 5 + 8 – 13 ≤ 16 )

⨁ ( 13 + 10 – 2 ≥ 20 )

B

then x : =x + 7

B S

2.

If ( 5 + 8 – 10 ≤ 16 )

⨁ ( 10 + 10 – 2 ≥ 20 )

B

then x : = 10 + 7 = 17

S B

3.

If ( 5 + 8 – 9 ≤ 16 )

⨁

B

( 9 + 10 – 2 ≥ 20 )

then x : = 9 + 7 = 16

S B

6


4.

If ( 5 + 8 – 8 ≤ 16 )

⨁

( 8 + 10 – 2 ≥ 20 )

B

then x : = 8 + 7 = 15

S B

Soal 7 Diketahui didalam sistem komputer diberikan pernyataan berikut; If ( 10 : 5 x 2 + X – 6 ≤ 3 ) ↓ ( 8 x 2 : 4 + 10 – X ≤ 9 ) then x : = x + 7 X input

3

4

5

X output

3

4

5

6 6

Penyelesaian: 1.

If ( 10 : 5 x 2 + 3 – 6 ≤ 3 )

↓

( 8 x 2 : 4 + 10 – 3 ≤ 9 )

B

then x : = x + 7

S S

2.

If ( 10 : 5 x 2 + 4 – 6 ≤ 3 )

↓

( 8 x 2 : 4 + 10 – 4 ≤ 9 ) then x : = x + 7

B

S S

3.

If ( 10 : 5 x 2 + 5 – 6 ≤ 3 )

↓

( 8 x 2 : 4 + 10 – 5 ≤ 9 ) then x : = x + 7

S

B S

4.

If ( 10 : 5 x 2 + 6 – 6 ≤ 3 )

↓

( 8 x 2 : 4 + 10 – 6 ≤ 9 ) then x : = x + 7

B

B S

Soal 8 Diketahui didalam sistem komputer diberikan pernyataan berikut; If ( x ≤ 10 ) ⨁ ( 1 + x = 10 ) then x : = x + 2 X input

3

5

7

10

7


X output

Penyelesaian: 1.

If ( 3 ≤ 10 )

⨁

B

( 1 + x = 10 ) then x : = 3 + 2 = 5 S

B

2.

If ( 5 ≤ 10 ) ⨁ ( 1 + x = 10 ) then x : = 5 + 2 = 7 B

S B

3.

If ( 7 ≤ 10 )

⨁

B

( 1 + x = 10 ) then x : = 7 + 2 = 9 S

B

4.

If ( 10 ≤ 10 )

⨁ ( 1 + x = 10 ) then x : = 10 + 2 = 12

B

S B

Soal 9 Jika diketahui : X = 01 1101 10 Y = 11 0110 11 Z = 10 0101 01 Tentukan hasil berikut a. ( x ∧ y ) → z b. ( x ⨁ y ) ∧ z c. ( x ∨ y ) → z

8


Penyelesaian: a. ( x ∧ y ) → z

(x∧y) :

b. ( x ⨁ y ) ∧ z 01 1101 10

01 1101 10

11 0110 11+

11 0110 11+ (x⨁y) :

01 0100 10 10 0101 01+

(x∧y)→z :

10 1111 01

10 1011 01 10 0101 01+

(x⨁y)∧z :

10 0001 01

c. ( x ∨ y ) → z 01 1101 10 11 0110 11+ (x∨y) :

11 1111 11 10 0101 01+

(x∨y)→z :

10 0101 01

Soal 10 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : a.) Jika Dia malas , Maka Dia tidur b.) Jika x = 7, Maka x2 + 4 = 53 Penyelesaian: a. Implikasi

: Jika dia lulus, maka dia ikut wisuda

Invers

: jika dia ikut wisuda, maka dia lulus

Konvers

: Jika dia tidak lulus, maka dia tidak ikut wisuda

Kontraposisi

: Jika dia tidak ikut wisuda, maka dia tidak lulus

b. Implikasi

: Jika x = 7, Maka x2 + 4 = 53

Invers

: jika x2 + 4 = 53, jika x = 7

Konvers

: jika x ≠ 7, maka x2 + 4 ≠ 53

Kontraposisi

: jika x2 + 4 ≠ 53, maka x ≠ 7

9


Soal 11 Diberikan tiga string x, y dan z; X :

10 1001 0110

y

:

01 0001 1101

Z :

11 0101 1000

Tentukan hasil dari ekspresi berikut a. ( x ∨ y ) → z b. ( x ↓ y ) ∨ z

Penyelesaian : a. ( x ∨ y ) → z

b. (x↓y)∨z 10 1001 0110

10 1001 0110

(x∨y) : 01 0001 1101+

(x↓y) : 01 0001 1101+ 00 0110 0000

11 1001 1111 (x∨y)→z : 11 0101 1000+

(x↓y)∨z : 11 0101 1000+

11 0111 1000

11 0111 1000

Soal 12 Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : a. Jika amir mempunyai mobil,maka amir orang kaya b. Jika x = 11, maka x + 4 = 15 Penyelesaiaan: a. Implikasi

= Jika Amir mempunyai mobil, maka Amir orang kaya

Konvers

= Jika Amir orang kaya, maka Amir mempunyai mobil

Invers

= Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka Amir bukan orang kaya

Kontraposisi = Jika Amir bukan orang kaya, maka Amir tidak mempunyai mobil b. Implikasi

= Jika x = 11, maka x + 4 = 15

Konvers

= Jika x + 4 = 15, maka x = 11

Invers

= Jika x ≠ 11, maka x + 4 ≠ 15

Kontraposisi = Jika x + 4 ≠ 15, maka x ≠ 11

10


DAFTAR PUSTAKA https://bahanbelajarsekolah.blogspot.com/2014/11/rumus-logika-matematika.html?m=1

11


IMPLIKASI & APLIKASI LOGIKA

Written by: 1.Muhammad Qodrian 1411500036 2.Eko Satrio Pamuji 1411500030 3.Sandra Hartama 1411500084 4.Boby Maranda 1411500045 5.Ria Dwi Septi 1322300051



IMPLIKASI & APLIKASI LOGIKA

LESSON Implikasi Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( → ) dengan makna “jika p… Maka q…”. Pernyataan bersyarat p → q juga dapat dibaca “p… hanya jika q…” atau “p… adalah syarat cukup bagi q…” atau “q… adalah syarat perlu bagi p…” Dalam pernyataan p → q p disebut hipotesa / anteseden / sebab q disebut koklusi / konequen / akibat Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

p

q

p→q

Logika Matematika

B

B

B

Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR

B

S

S

Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH

S

B

B

Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR

S

S

B

Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Implikasinya

: p → q

Inversnya

: ¬p → ¬q

Konversnya

: q → p

Kontraposisinya

: ¬q → ¬p

Negasi dari : p → q ≡ ¬(p → q) ≡ ¬ (¬p v q) ≡ p ∧ ¬q


Aplikasi Logika

Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang merupakan kegiatan akal manusia dengan mana pengetahuan yang kita terima melalui panca indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran. Dengan berpikir kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan manfaat belajar logika adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan, merenungkan, menganalisis, menunjukkan alasan - alasan, membuktikan sesuatu, menggolong - golongkan, membanding - bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, mencari kualitasnya, membahas secara relitas dan lain - lain. Manfaat mempelajari logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau konsisten, dan benar.

Contoh 1 Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang Penyelesaian: P1 : Manusia bersayapP2 : Kita bisa terbang P1 : Manusia Bersayap Kenyataannya kita tidak bersayap (S), berarti (¬p) P2 : Kita bisa terbang Kenyataannya kita tidak bisa terbang (S), berarti (¬q) P1 = ¬p (S) P2 = ¬q (S) ¬p → ¬q ↓

↓

S→ S =B


Atau menggunakan tabel kebenaran p

q

¬p

¬q

¬p → ¬q

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

Contoh 2 “Jika hari hujan, maka Ali membawa payung”. Untuk kasus ini, misalkan: p: Hari hujan. q: Ali membawa payung. Sekarang kita tinjau kasus-kasus berikut: (1) Hari benar-benar hujan dan Ali benar-benar membawa payung. (p → q) (2) Hari benar-benar hujan namun Ali tidak membawa paying. (p → ¬q) (3) Hari tidak hujan namun Ali membawa payung. (¬p → q) (4) Hari tidak hujan dan Ali tidak membawa payung. (¬p → ¬q) Penyelesaian: Pada kasus (1) hari benar-benar hujan dan Ali benar-benar membawa payung seperti yang ia nyatakan. Apakah ia dinyatakan berbohong dalam kasus ini? Tentu tidak, Dengan demikian jelas bahwa kedua komponen yang sama-sama bernilai benar akan memiliki nilai implikasi yang bernilai benar. bila dibuktikan dengan rumus: p →q ↓

↓

B→B=B


Pada kasus (2) hari ini benar-benar hujan akan tetapi Ali tidak membawa payung sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang dinyatakannya. Jadi, bagaimana mungkin pernyataan Ali semula di atas akan bernilai benar? Dengan kata lain, pernyataan p yang bernilai benar tetapi tidak diikuti oleh pernyataan q yang seharusnya benar, akan menyebabkan pernyataan implikasi nya bernilai salah. bila dibuktikan dengan rumus: p → ¬q ↓

↓

B→ S=S Untuk kasus (3) dan (4), dimana hari tidak hujan, pastinya Anda tidak akan mengatakan pernyataan implikasi Ali di awal itu sebuah pernyataan yang salah bukan? Karena ALi di awal menyatakan bahwa ia akan membawa payung jikalau hari hujan. Jadi, Ali mau bawa payung ataupun tidak ketika hari tidak hujan tidak bisa dikatakan bahwa Ali berbohong terhadap pernyataannya di awal. Jadi pernyataan (3) dan (4) bernilai benar. bila dibuktikan dengan rumus: (3) ¬p → q ↓

(4) ¬p → ¬q

↓

↓

S→B=B

↓

S → S=B

penyelesaian menggunakan tabel kebenaran : p = (B), q = (B)

(1)

(2)

(3)

(4)

p

q

¬p

¬q

p→q

p → ¬q

¬p → q

¬p → ¬q

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

S

B

◄


QUESTION Soal 1 Tentukan invers dari implikasi: “Jika bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”

Penyelesaian: Implikasi

:p→q

Invers

: ¬p → ¬q

p = Bendera RI. q = Berwarna merah dan putih. Maka : ¬p = Bukan bendera RI. ¬q = Tidak berwarna merah dan putih. Maka invers dari implikasi : Jika bukan bendera RI, maka bendera tersebut tidak berwarna hitam dan putih

Soal 2 Tentukan konvers dari implikasi: “Jika bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”


:p→q

Jika bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.

Konvers

:q→p

Jika bendera tersebut berwarna merah dan putih, maka bendera tersebut adalah bendera RI.

Soal 3 Tentukan kontraposisi dari implikasi : “Jika bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”



:p→q

Kontraposisi : ¬p → ¬q

Implikasi

:p→q

Jika bendera RI, maka bendera tersebut berwarna merah dan putih. Kontraposisi : ¬q → ¬p Jika bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih, maka bendera tersebut bukan bendera RI.

Soal 4 p : Tahun ini kemarau panjang. q : Tahun ini hasil padi meningkat. Nyatakan dengan kata-kata: a.) q → p b.) ¬p → ¬q c.) p → ¬q Penyelesaian: Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga: Implikasinya : p → q Jika tahun ini kemarau panjang, maka tahun ini hasil padi meningkat.

a.) q → p : Jika hasil padi meningkat maka tahun ini kemarau panjang. b.) ¬p → ¬q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat. c.) p → ¬q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

Soal 5 Invers dari “ jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0 ” adalah

Penyelesaian:


misalnya diberikan suatu impikasi (p → q) maka invers dari pernyataan tersebut berbentuk (¬p → ¬q)

p:x>0 q : x² + x – 2 ≥ 0

Jadi, invers dari pernyataan :

Implikasinya : p → q jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0

inversnya : ¬p → ¬q jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 < 0

note : Lawan dari < adalah ≥ , dan sebaliknya. Lawan dari > adalah ≤, dan sebaliknya.

Soal 6 p = 01 0011 1100 10 q = 00 1111 0000 11 tentukan p → q ! Penyelesaian: 0 = (S) / (F) 1 = (B) / (T) 1→1=1 1→0=0 0→1=1 0→0=1 Maka :


p

= 01 0011 1100 10

q

= 00 1111 0000 11

p → q = 10 1111 0011 11

Soal 7 Tentukan negasi dari pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi: “Jika hari hujan maka Adi membawa payung.” Penyelesaian: Implikasi : p → q Jika hari hujan maka Adi membawa payung Negasi dari p → q ≡ ¬(p → q) ¬(p → q) ≡ ¬(¬p v q) ≡ p ∧ ¬q Negasi dari pernyataan tersebut : p ∧ ¬q “Hari hujan akan tetapi Andi tidak membawa payung.” Soal 8 Jika diketahui : p = saya hadir. q = anda pergi. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ! Penyelesaian: Implikasinya : p → q Jika saya hadir, maka anda pergi p → q ≡ p v ¬q Negasi nya : ¬(¬p v q) ≡ p ∧ ¬q Saya hadir dan anda tidak pergi.

Soal 9 Invers dari pernyataan (p ∧ ¬q) → q adalah Penyelesaian:


Invers dari p → q = ¬p → ¬q Invers dari (p ∧ ¬q) → q = ¬(p ∧ ¬q) → ¬q

Soal 10 Kontraposisi dari (¬p→q) → (¬p v q) !

Penyelesaian: Kontraposisi dari implikasi : p → q = ¬q → ¬p p = (¬p→q) q = (¬p v q)

p ↓

→

q

=

¬q

↓

(¬p→q) → (¬p v q)

→

↓

¬p ↓

= ¬(¬p v q) → ¬(¬p→q) ↓ =

(p∧¬q) ↓

=

(p∧¬q)

↓ →

¬(p v q) ↓

→ (¬p ∧ ¬q)


DAFTAR PUSTAKA

Copyright (c) 2015 Rumus Matematika SD, SMP, SMA. www.anisaarum.over-blog.com www.matematikamenyenangkan.com, Mar 26, 2009 www.smartblogmathematic.wordpress.com www.matematikastudycenter.com www.academia.edu www.math.stackexchange.com sensze.blogspot.com/2012/10/logika-matematika.html https://books.google.co.id

TUGAS KELOMPOK Z LOGIKA MATEMATIKA

IMPLIKASI DAN APLIKASI LOGIKA

Disusun Oleh: 1. Muhammad Hafaz 2. Zomy D.R 3. Agung Prasetyo 4.Fauzi Ramadhan 5. Ari Ramadhan Iqbal 6. Jatmiko 7. Tito Zuladha



IMPLIKASI DAN APLIKASI LOGIKA A. IMPLIKASI Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Pada implikasi p => q, p disebut anteseden (hipotesis) dan q disebut konsekuen. “ p => q” akan salah jika “B => S (p = B, q =S) selainnya benar. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut: p

q

B

B

B

S

S

B

S

S

P v Logika matematika q B Jika awalnya BENAR BENAR S Jika awalnya BENAR SALAH B Jika awalnya SALAH BENAR B Jika awalnya SALAH BENAR

lalu akhirnya BENAR maka dianggap lalu akhirnya SALAH maka dianggap lalu akhirnya BENAR maka dianggap lalu akhirnya SALAH maka dianggap

Contoh :

Perhatikan contoh berikut. a.

p

:3+5=8 (benar)

q

:8 adalah bilangan genap (benar)

p=>q :jika 3+5=8, maka 8 adalah bilangan genap (benar) b.

p

:5>3 (benar)

q

:5 adalah bilangan genap (salah)

p=>q :jika 5>3, maka 5 adalah bilangan genap (salah)

pernyataan majemuk dalam logika matematika tidak ada hubungannya dengan keterkaitan pernyataan-pernyataan yang digabungkan. Pada penerapannya dalam suatu disiplin ilmu atau kehidupan sehari-hari, konteks dan keterkaitan pernyataan-pernyataan yang digabungkan harus jelas, sehingga berbentuk kalimat yang bermakna.


Bentuk implikasi dari p(x)=>q, p=>q (x), atau p(x)=>q(x) bukan pernyataan, karena p(x) dan q(x) masih berupa kalimat terbuka. Biasanya implikasi tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya jika kita mengganti variable x dengan konstanta dalam semesta pembicaraan.

B. APLIKASI LOGIKA Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang merupakan kegiatan akal manusia dengan mana pengetahuan yang kita terima melalui panca indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran. Dengan berpikir kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan manfaat belajar logika adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan, merenungkan, menganalisis, menunjukkan alas an - alasan, membuktikan sesuatu, menggolong - golongkan, membanding - bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, mencari kausalitasnya, membahas secara relitas dan lain-lain.

Manfaat mempelajari logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau konsisten, dan benar. 17 LogikaMatematika Ada beberapa alasan yang dapat dikemukakan E. Sumaryono (dari buku Dasar - dasar logika): 1. Studi Logika mendidik kita berpikir jernih dan kritis 2. Logika memungkinkan kita melaksanakan disiplin intelektual yang diperlukan dalam menyimpulkan atau menarik kesimpulan. 3. Logika membantu kita menginterpretasikan fakta dan pendapat orang lain secara memadai. 4. Logika melatih kita tentang teknik - teknik menetapkan asumsi dan implikasi. 5. Logika membantu kita mendeteksi penalara - penalaran yang keliru dan tidak jelas.


6. Logika memancing pemikiran - pemikiran ilmiah dan reflektif. 7. Logika Matematika erat kaitanya dalam kehidupan sehari - hari. Seperti contoh berikut : Disebuah sekolah menengah atas ada peraturan yang menyebutkan bahwa siswa putra tidak boleh berambut panjang dan mewarnai rambut. Jika dilihat sekilas tidak ada yang salah dengan peraturan tersebut. Tapi jika dilihat dari segi Logika Matematika maka peraturan tersebut perlu ditinjau lebih lanjut. Kata hubung dan akan bernilai benar jika perntaan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua juga bernilai benar. Jika kita lihat peraturan tadi maka siswa laki - laki boleh memanjangkan rambutnya asalkan tidak mewarnai rambutnya atau mewarnai rambutnya tapi tidak memanjangkan rambutnya.

QUESTION

Soal 1 Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut ! Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat. Jawab :

Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat. Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.

Soal 2 Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair. Jawab :

Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair. Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.

Soal 3 Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil. Jawab :


Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil. Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

Soal 4 p => q dapat dibaca dengan beberapa cara, di antaranya: - Jika p maka q. - q jika p. - p adalah syarat yang cukup untuk q. - q adalah syarat yang diperlukan untuk p. premis

1(p):

premis

Anita 2(q):

kuliah Anita

di

Universitas adalah

Binadarma. mahasiswa.

(BENAR) (BENAR)

implikasi(p=>q): Jika Anita kuliah di Universitas Binadarma maka Anita adalah mahasiswa. (BENAR)

Soal 5 p => q dapat dibaca dengan beberapa cara, di antaranya: - Jika p maka q. - q jika p. - p adalah syarat yang cukup untuk q. - q adalah syarat yang diperlukan untuk p.

premis

1(p):

2+2=7.

(SALAH)

premis

2(q):

6x2=12.

(BENAR)

implikasi(p=>q): Jika 2+2=7 maka 6x2=12. (BENAR)

Soal 6 p => q dapat dibaca dengan beberapa cara, di antaranya: - Jika p maka q. - q jika p. - p adalah syarat yang cukup untuk q. - q adalah syarat yang diperlukan untuk p.


premis 1(p): Bumi itu bulat. (BENAR) premis 2(q): Bulan berbentuk prisma. (SALAH) implikasi(p=>q): Jika bumi itu bulat maka bulan berbentuk prisma. (SALAH) Tabel kebenaran implikasi:

Soal 7, Soal 8 , Soal 9, Soal 10 Buktikan ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen menggunakan Tabel Kebenaran: a. ¬A ↔ B ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A) b. A → (¬A → B) ≡ 1 c. (A ∨ ¬B) → C ≡ (¬A ∧ B) ∨ C d. ¬(¬(A ∧ B) ∨ B) ≡ 0 Penyelesaian :



DAFTAR PUSTAKA -

http://dantikpuspita.com/soal-dan-pembahasan-logika-matematika-ekuivalensilogis-teknik-informatika-uii/

-

http://hyperpost.blogspot.com/2014/09/logika-informatika-mengenal-konjungsi.html

-

http://inayahrii.blogspot.com/2012/12/implikasi-dan-biimplikasi.html

-

https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/


Written by: 1. Michael Leonardo _ 1411500128 2. Marlian Amri Setiawan _ 1422500136 3. Keke Audia Setiawan _ 1422500132 4. Dita Meliansari _ 1422500150

SEMESTER II



Tautologi, Kontradiksi, Dan Kontingensi LESSON

A. TAUTOLOGI Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai Benar (T) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika

Contoh: Lihat pada argumen berikut: Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah. Diubah ke variabel proposional: A. Tono pergi kuliah B. Tini pergi kuliah C. Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. (1) A  B

(Premis)

(2) C  B

(Premis)

(3) (A  C)  B

(kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A  B)  (C  B))  ((A  C)  B)

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA A

B

C A B

B

B

B

B

B

B

((A  B)  (C  B))

C B

(A  B)  (C  B)

AC

(A  C)  B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

B

 ((A  C)  B)

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A  B)  (C  B))  ((A  C)  B) adalah Semua Benar (Tautologi). Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran. 1.

( p  q)  p

Pembahasan:

p

q

q

p  q

( p  q)  p

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk ( p  q)  p selalu benar.

2. [( p  q)  p]  ( p  q) Pembahasan:

p

q

pq

( p  q)  p

[( p  q)  p]  ( p  q)

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [( p  q)  p]  ( p  q) selalu benar. (Sumber : http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-danekuivalensi_4667.html)

B. KONTRADIKSI Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi: 1.

( A  A)

Pembahasan:

A

 A

( A   A)

B

S

S

S

B

S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk

( A   A ) selalu salah.

2.

p  (p  q)

Pembahasan:

p

q

p

(p  q)

p  (p  q)

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

(Sumber : http://dedekyohana93.blogspot.com/2012/11/tautologi-kontradiksi-danekuivalensi_4667.html)

C. KONTINGENSI Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah. Contoh dari Kontingensi : 1. ( p  q)  r Pembahasan :

p

q

r

pq

( p  q)  r

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

(Sumber : http://www.academia.edu/8478386/DAFTAR_ISI) 2. (q  ( p  q))  p Pembahasan :

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA p

q

pq

q  ( p  q)

(q  ( p  q))  p

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

S

B

(Sumber : http://dantikpuspita.com/soal-dan-pembahasan-logika-matematikatautologi-teknik-informatika-uii-2013/)

QUESTION Soal 1 Tautologi *Tunjukkan bahwa pernyataan p  (q  p) merupakan Tautologi: (dengan tabel kebenaran)

Penyelesaian:

p

q

(q  p )

p  (q  p )

B

B

B

B

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

B

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa p  (q  p) selalu bernilai BENAR untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan p  (q  p) adalah suatu Tautologi.

(Sumber:http://dantikpuspita.com/soal-dan-pembahasan-logika-matematikatautologi-teknik-informatika-uii-2013/)

Soal 2 Tautologi *Tunjukkan bahwa pernyataan (p  q)  (q  p) merupakan Tautologi: (dengan tabel kebenaran)

Penyelesaian:

p

q

p

p  q

q p

(p  q)  (q  p)

B

B

S

S

B

B

B

S

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

B

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa (p  q)  (q  p) selalu bernilai BENAR untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan (p  q)  (q  p) adalah suatu Tautologi.

(Sumber

:

http://princesza-vietha.blogspot.com/2011/10/tautologi-kontradiksi-dan-

kontingensi.html)

Soal 3 Tautologi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q)  ( p  q) merupakan Tautologi: (dengan tabel kebenaran)

Penyelesaian:

p

q

q

( p  q)

( p  q)

( p  q)

( p  q)  ( p  q)

B

B

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

B

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q)  ( p  q) selalu bernilai BENAR untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q)  ( p  q) adalah suatu Tautologi.

(Sumber : http://blajar-pintar.blogspot.com/2013/02/tautologi-dan-kontradiksi.html) Soal 4 Kontradiksi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q )  ( p  q ) merupakan kontradiksi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian: p

q

q

pq

p  q

( p  q )  ( p  q )

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

S

S

B

S

B

S

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q )  ( p  q ) selalu bernilai SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q )  ( p  q ) adalah suatu Kontradiksi.

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Soal 5 Kontradiksi *Tunjukkan bahwa pernyataan  ( p  q )  p merupakan kontradiksi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian: p

q

pq

( p  q )

( p  q)  p

B

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

S

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa  ( p  q )  p selalu bernilai SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan  ( p  q )  p adalah suatu Kontradiksi.

Soal 6 Kontradiksi *Tunjukkan bahwa pernyataan p  (p  q ) merupakan kontradiksi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian: p

q

p

p  q

p  ( p  q )

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa p  (p  q ) selalu bernilai SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan p  (p  q ) adalah suatu Kontradiksi.

Soal 7 Kontingensi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q )  p merupakan Kontingensi : (dengan tabel kebenaran)

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Penyelesaian: p

q

pq

( p  q)  p

B

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S

S

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q )  p Selalu bernilai BENAR dan SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q )  p adalah suatu Kontingensi. Soal 8 Kontingensi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q)  r merupakan Kontingensi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian:

p

q

r

pq

( p  q)  r

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S

B

S

S

S

S

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q)  r Selalu bernilai BENAR dan SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q)  r adalah suatu Kontingensi.

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Soal 9 Kontingensi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q )  (p  q ) merupakan Kontingensi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian:

p

q

p

q

p  q

p  q

( p   q )  (p  q )

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

B

B

S

B

B

S

S

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q )  (p  q ) Selalu bernilai BENAR dan SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q )  (p  q ) adalah suatu Kontingensi. Soal 10 Kontingensi *Tunjukkan bahwa pernyataan ( p  q )  (p  q ) merupakan Kontingensi : (dengan tabel kebenaran) Penyelesaian:

p

q

p

q

p  q

p   q

( p   q )  ( p  q )

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

S

B

B

Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa ( p  q )  (p  q ) Selalu bernilai BENAR dan SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan ( p  q )  (p  q ) adalah suatu Kontingensi. Soal 11 Bonus *Tunjukkan bahwa pernyataan p  (p  q ) Apakah Merupakan Tautologi, Kontradiksi, atau Kontingensi ?? (Dengan Tabel Kebenaran) Penyelesaian:

p

q

p

q

p   q

p  ( p   q )

B

B

S

S

S

S

B

S

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Pada kolom paling kanan dari tabel, tampak bahwa p  (p  q ) bernilai BENAR dan SALAH untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Jadi, pernyataan p  (p  q ) adalah suatu Kontingensi.


DAFTAR PUSTAKA 1.

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.

2.

Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga.

3.

Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.

4.

Soesianto, F dan Djoni Dwijono.2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi.

5.

Upschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2008. Matematika Diskrit. Jakarta: Erlangga.

6.

Marwanta,dkk.2009.MTK.JKT:Yudhistira.


Tautologi, Kontradiksi & Kontingensi

Written by: 1. Afriani 1422500023 2. Lyona maretta 1411500133 3. Defrian Saputra Pratama 1422500088 4. Yordi. A 1422500113 5. Riyan Rinaldi 1422500234 6. Chici Hardianti Fauzie 1422500117 7. Reni

SISTEM INFORMASI STMIK ATMA LUHUR PANGKALPINANG 2015


Tautologi, Kontradiksi & Kontingensi

LESSON Tautologi adalah suatu expresi logika yang selalu bernilai benar didalam table kebenarannya tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi- proposisi yang berada didalamnya. Kontradiksi adalah kebalikan dari taulogi, dimana expresi logika selalu bernilai salah didalam table kebanarannya,tanpa memperdulikan kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya. Kontingensi adalah suatu expresi logika yang bernilai benar dan salah didalam table kebenarannya,tanpa memperdulikan kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Contoh 1 Jika tono pergi kuliah maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Penyelesaian: Ubah ke variable proposional A. Tono pergi kuliah B. Tini pergi kuliah C. Siska Tidur Ubah ke premis 1. A →B

premis 1

2. C→B

permis 2

3. (A v C )→B

kesimpulan

Maka : ((A→B)^(C→B))→(AvC)→B A

B

C

A →B

C→B

(A →B)^ (C→B)

A v C (A v C)→B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B


S

S

B

S

S

S

Contoh 2

Penyelesaian:

QUESTION (Berisi 10 contoh soal, lengkap dengan cara penyelesaiannya)

Soal 1 q(pvq) Penyelesaian: q (p v q) ~q v (p v q) ~q v (q v p) Tvp T…………… (tautologi) p B

q B

(p ^ q) B

( p ^ q) q B

B

S

B


B S S

S B S

S S S

B B B

Soal 2  Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur  Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur

Penyelesaian:  ~A v ~B  ~(A  B) A

B

AB

~A v ~B

~(A  B)

F

F

F

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

F

Soal 3  Tentukan apakah ekspresi logika ini adalah tautologis, kontradiksi atau contingent  Penyelesaian:  KONTRADIKSI

Soal 4  Tentukan apakah ekspresi logika ini adalah tautologis, kontradiksi atau contingent

Penyelesaian:


Soal 5 Tunjukan bahwa ~(pvq) ^(~p^~q) Bagaimana table kebenarannya? Penyelesaian: p

q

~p

~q

pvq

~(pvq)

(~p^~q)

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S

S

S

B

B

S

B

B

Soal 6 Diberikan ekspresi logika ~(p^q)vq . buatkan table kebenarannya? Penyelesaian: P

Q

P^q

~(p^q)

~(p^q)vq

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

Soal 7 Diberikan ekspresi logika dengan menggunakan table kebenarannya (p^~q)p Penyelesaian: P

Q

~q

(p^~q)

(p^~q)p

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B


S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

Soal 8 Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. 1. P => q

premis

2. R=> q

premis

3. (pvr)=>q

kesimpulan

((p=>q)^(r=>q))=>((pVr)=>q) Penyelesaian: p

q

r

P=>q

R=>q

(p=>q)^(r=>q) pVr

(pvr)=>q

S

S

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

B

S

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

Soal 9 ~(p v q) ^ p Penyelesaian: p

q

p vq

~( p v q )

~( p v q ) ^p

B

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

B

S

Soal 10 Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut ((P^Q)=>R)=>P Penyelesaian:


Tabel kebenarannya: p

q

r

P^q

(p^q)=>r

S

S

S

S

B

S

S

S

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B


DAFTAR PUSTAKA

1. A. Limbong dan A. Prijono, ,Matematika Disknit ( Bandung: CV Utomo, 2006), h. 13.

2. F.soesianto dan Djoni Dwijono,Logika Proposisional ( Yogyakarta: andi 2003), h, 50- 51,

3. A. Limbong dan A. Prijono. Op.cit. 13.

4. Rinaldi Munir,Matematika Diskrit (Bandung: Informatika, 2015),h. 7.

5. A. limbong dan A. Prijono. Op.cit 9-10. 6. F.Soesianto, Djoni Dwijono,2006. Logika Matematika Untuk Ilmu Komputer, Andi Offset, Yogyakarta.

7. Setia Rachmat, 2004. Pengantar Logika Matematika, Informatika, Bandung. 8. Setiadji,2007. Logika informatika, Graha Ilmu, Yogyakarta.


TAUTOLOGI,KONTRADIKSI, dan KONTINGENSI

DisusunOleh: 1.AlisiaDwiKartini (1411500119) 2.AdiIsmail(1411500086) 3.AlfilHidayah(1411500027) 4.HadiSusilo(1411500179) 5. HarviIrawan(1411500 6.M.AbdulAziz(1411500063) 7. Muhammad Syarifto(1411500073)



TAUTOLOGI,KONTRADIKSI, dan KONTINGENSI A.TAUTOLOGI Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekui valensi Logika. Contoh: Lihat pada argumen berikut: Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah.Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atauSiska tidur, maka Tini pergi ku lah. Di ubah kevariabel proposional: A Tono pergi kuliah B Tini pergi kuliah C Siska tidur Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan.Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. (1) A → B

(Premis)

(2) C → B

(premis)

(3) (A V C) → B

(kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B A

B

C

A→B

C→B

(A → B) ʌ (C → B)

A V C (A V C) →B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B


S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi) Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran: 1.

(p ʌ ~q) p

Pembahasan: P

q

~q

(p ʌ ~q)

(p ʌ ~q) p

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T).maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar. 2.

[(p q) ʌ p] p q

Pembahasan: p

Q

(p q)

(p q) ʌ p

[(p q) ʌ p] p q

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB.Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar


Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika. Contoh: a.

(p ʌ q) q

Penyelesaian: (p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q ~p v ~q v q ~p v T T .............(Tautologi) Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu: P

q

(p ʌ q)

(p ʌ q) q

B

B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi. b.

q (p v q)

penyelesaian: q (p v q)

~q v (p v q)

~q v (q v p) Tvp T ............(Tautologi)


B. KONTRADIKSI Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada duacara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4][4]

Contoh dari Kontradiksi: 1.

(A ʌ ~A)

Pembahasan: A

~A

(A ʌ ~A)

B

S

S

S

B

S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah. 2.

P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan: P

Q

~p

(~p ʌ q)

P ʌ (~p ʌ q)

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

S

B

S

S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F). C.KONTINGENSI Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi.


Contohpada table kebenaran P B

q B

p q B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

QUESTION

Soal 1 {(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) } Penyelesaian:dengan table kebenaran q

R

pvq

(pvq)⇒r

p⇒r

q⇒r

(p⇒r)∧(q⇒r)

{(pvq)⇒r } ⇔{ (p⇒r)∧(q⇒r) }

B B

B

B

B

B

B

B

B

B B

S

B

S

S

S

S

B

B S

B

B

B

B

B

B

B

B S

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

B

B

B

p

Terbuktibahwaproposisitersebutadalah TAUTOLOGI

Soal 2 {p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) } Penyelesaian: p

q

R

p⇒(q∧r) (q∧r) (p⇒q) (p⇒r)

(p⇒q)∧(p⇒r)

{p⇒(q∧r) }⇔{(p⇒q)∧(p⇒r) }


B B

B

B

B

B

B

B

B

B B

S

S

S

B

S

S

B

B S

B

S

S

S

B

S

B

B S

S

S

S

S

S

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B


Soal 3 {(p∧q)⇒r}⇔{(p∧∼r)⇒∼ q)} Penyelesaian: p

q

R

q

r (p ∧ q

(p ∧ q ) ⇒ r (p

)

(p ∧ ∼ r) ⇒∼ q

∧ ∼ r)

)

{(p∧ q)⇒ r}⇔ {(p∧ ∼ r)⇒∼ q)}

B B

B

S

S

B

B

S

B

B

B B

S

S

B

B

S

B

S

B

B S

B

B

S

S

B

S

B

B

B S

S

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B



Soal 4

(A  ~B) v (A  B C)

(A  ~B) v (A  (B C))

TambahKurung

A  (~B v (B C))

Distributif

A  ((~B v B)  (~B v C))

Distributif

A  (1  (~B v C))

Tautologi

A  (~B v C))

Identity of 

Soal 5 ((A B)⇒ C)⇒ A Penyelesaian: A

B

C

AB

A  B⇒ C

((A B)⇒ C)⇒ A

T

T

T

T

T

T

T

T

F

T

F

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

T

T

F

T

T

F

T

F

F

T

F

F

T

F

F

F

T

F

T

F

F

F

F

F

T

F

Terbuktibahwaproposisitersebutadalah KONTINGENSI


Soal 6 {(A⇒ B)∧ ( B⇒ C)}⇒ ( C ⇒ A) Penyelesaian: A B C

B

C (A⇒ B) (∼ B⇒ C) {(A⇒ B)∧ (∼ B⇒ C)} (∼ C⇒ A) {(A⇒ B)∧ (∼ B⇒ C)}⇒ (∼ C⇒ A)

T

T T F

F

T

T

T

T

T

T

T F

F

T

T

T

T

T

T

T

F

T T

F

F

T

F

T

T

T

F

F

T

T

F

F

F

T

T

F

T T F

F

T

T

T

T

T

F

T F

F

T

T

T

T

F

F

F

F

T T

F

T

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

F

T

T

Terbuktibahwaproposisitersebutadalah KONTINGENSI Soal 7 (B( A⇒ B))⇒ A Penyelesaian: A

B

(B( A⇒ B))

( A⇒ B)

(B( A⇒ B))⇒ A

T

T

T

T

T

T

F

F

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

T

Terbuktibahwaproposisitersebutadalah KONTINGENSI

Soal 8 (pq)( (p v q)) Penyelesaian: p

q

(pq)

(p v q)

B

B

B

B

(p v q) S

(pq)( (p v q)) S


B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

S

S

S

B

S

Terbuktibahwaproposisitersebutadalah KONTRADIKSI

Soal 9 Buktikan pernyataan berikut merupakan kontradiksi : ~q ˄ q Tabel kebenaran q B S

~q S B

~q ˄ q S S

Soal 10 Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk q ˄ (p ˄ ~q) merupakan suatu kontradiksi. Jawab : Tabel kebenaran dari q ˄ (p ˄ ~q) adalah sebagai berikut : p B B S S

q B S B S

~q S B S B

p ˄ ~q S B S S

q ˄ (p ˄ ~q) S S S S


DAFTAR PUSTAKA https://smukarromah20.wordpress.com/2014/06/20/pernyataan-negasi-implikasi-tautologi-dankontradiksi/ http://dantikpuspita.com/soal-dan-pembahasan-logika-matematika-tautologi-teknik-informatikauii-2013/ http://blajar-pintar.blogspot.com/2013/02/tautologi-dan-kontradiksi.html http://obajanainggolan.blogspot.com/2014/06/negasi-implikasi-tautologi-kontradiksi.html


EKUIVLENSI LOGIS

Written by: 1. RANI dan 1422500212 2. WAHYUNI SAHARA dan 1422500239



EKUIVALENSI LOGIS

LESSON (Berisi pembahasan konsep materi dan 2 contoh soal, lengkap dengan cara penyelesaian. Minimal 300 kata, boleh ditambahkan gambar pendukung jika ada)

Contoh 1 Apa yang dimaksud dengan ekuivalensi Logis ? Penyelesaian: Ekuivalensi Logis :Ilmu matematika sederhana yang sering menemukan kesamaan nilai persamaan dengan menyatakan nilai dari ruas kiri akan sama dengan nilai diruas kanan. Contoh 2 Sebutkan Hukum-hukum Ekuivalensi Logis ! Penyelesaian: 1. Hukum Negasi Ganda 2. Hukum Komutatif 3. Hukum Asosiatif 4. Hukum Distributif 5. Hukum Indenpoten 6. Hukum Identitas 7. Hukum Negasi 8. Hukum De Morgan 9. Hukum Kontrapositif 10. Hukum Implikasi 11. Hukum Biimplikasi 12. Hukum Absorsi

QUESTION Soal 1 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran p  ~(p  q) dan p  ~q


Penyelesaian: p  ~(p  q )  p  (~p  ~q)

(Hukum De ogran)

 (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum distributif)  T  (p  ~q)

(Hukum negasi)

 p  ~q

(Hukum identitas)

B

(Hukum Negasi)

Jadi, Terbukti p  ~(p  q) dan p  ~q

Soal 2 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran p  (p  q)  (p  F)  (p  q) Penyelesaian: p  (p  q)  (p  F)  (p  q)

(Hukum Identitas)

 p  (F  q)

(Hukum distributif)

 pF

(Hukum Null)

 p

(Hukum Identitas)

Terbukti Ekuivalensi

Soal 3 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran p  (p  q)  (p  F)  (p  q) Penyelesaian: p  (p  q)  (p  F)  (p  q)

(Hukum Identitas)

 p  (F  q)

(Hukum distributif)

 pF

(Hukum Null)

 p

(Hukum Identitas)

Terbukti Ekuivalensi


Soal 4 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran ¬ (p→q) ^ p ^ ¬ q Penyelesaian: ¬ (p → q ) ≡ ¬ (p v q)

(Hukum Implikasi)

≡ ¬ (¬ p ) ^ ¬ q

(Hukum De Morgan)

≡p^¬q

(Hukum Negasi Ganda )

S

(Hukum Negasi)

Tidak Terbukti

Soal 5 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p Penyelesaian: (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p ^ ( q v ¬ q)

(Hukum Distributitif)

≡p^B

(Hukum Negasi)

≡p≡p

(Hukum Identitas)

Jadi, Terbukti (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p

Soal 6 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran P ^ ( ¬ p v q) ≡ p ^ q Penyelesaian: P ^ ( ¬ p v q) ≡ (p ^ ¬ p) v (p ^ q)

(Hukum Distributif)

≡ S v (p ^ q)

(Hukum Negasi)

≡p^q

(Hukum Identitas)

Jadi, Terbukti P ^ ( ¬ p v q) ≡ p ^ q


Soal 7 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran (pv s) ^ ( p v ¬ p) ≡ p Penyelesaian: (pv s) ^ ( p v ¬ p) ≡ p v (S ^ ¬ p)

(Hukum Distributif)

≡pvS

(Hukum Identitas)

≡p

(Hukum Identitas)

Jadi, Terbukti (pv s) ^ ( p v ¬ p) ≡ p

Soal 8 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran P v (p ^ q) ≡ p Penyelesaian: P v (p ^ q) ≡ (p ^ B) v (p ^ q)

(Hukum Identitas)

≡ p ^ (B v q)

(Hukum Distributif)

≡p^B

(Hukum Identitas)

≡p

(Hukum Identitas)

Jadi, Terbukti P v (p ^ q) ≡ p

Soal 9 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran P  q ≡ (p ^ q) v (¬q ^ ¬ p) Penyelesaian: P  q ≡ (p  q) ^ (q  p)

(Hukum Biimplikasi)

≡ (¬ p v q) ^ ( ¬ q v p)

(Hukum Implikasi)

≡ [(¬p v q) ^ ¬ q] v [(¬ p vq)^ p]

(Hukum Distributif)

≡ [(¬ p ^ ¬ q) v (q ^ ¬ q)] v [(¬ p ^ p) v (q ^ p)]

(Hukum Distributif)

≡ [(¬ p ^ ¬ q) v (q ^ p)

(Hukum Identitas)

≡ (¬ p ^ ¬ q) v (p ^ q)

(Hukum Komutatif)

≡ (p ^ q) v (¬ p ^ ¬ q)

(Hukum Komutatif)


Jadi,Terbukti P  q ≡ (p ^ q) v (¬q ^ ¬ p)

Soal 10 Buktikan ekuivalensi berikut dengan menggunkan hukum logika, tanpa menggunakan tabel kebenaran (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p Penyelesaian: (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p ^ ( q v ¬ q)

(Hukum Distributitif)

≡p^B

(Hukum Negasi)

≡p≡p

(Hukum Identitas)

Jadi, Terbukti (p ^ q) v (p ^ ¬ q) ≡ p


DAFTAR PUSTAKA

Sumber = Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika. Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga. Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.

LOGIKA MATEMATIKA EKUIVALENSI LOGIS

KELOMPOK 6 DEBY INGGRID YULANDA

1422500079

NISA ANNASH NURAHMAN

1422500151

ARFAN

1411500072

TRIWANTO

1411500112

NURDYAH

1422500062

RETNO NINGSIH

1422500137

CHANDRA

1422500173

PENDAHULUAN Logika adalah ilmu yang mempelajari tentang penalaran yang berhubungan dengan pembuktian validitas suatu argumen. Argument yang berisi pernyataan-pernyataan harus dirubah menjadi bentuk logika untuk dapat dibuktikan validitasnya. Cara membuat ke bentuk logika, argument harus dirubah menjadi preposisi-preposisi selanjutnya preposisi dirubah menjadi variabel preposisi dengan huruf. Setiap variabel preposisi ditentukan nilainya dan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk mendapatkan nilai kebenarannya.

EKUIVALEN (p q) atau p q Ekuivalen adalah ruas kiri dan ruas kanan memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari masing-masing kalimat penyusunnya (kalimat pada ruas kiri dan kalimat pada ruas kanan ) Tabel Logika HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA 1). Hukum komunitatif

:pΛq≡qΛp :pVq≡qVp

2). Hukum asosiatif

: (pΛq)Λr ≡ pΛ(qΛr) : (pΛq)Λr ≡ pΛ(qΛr)

3). Hukum distributif;

: pΛ(q Vr) ≡ (pΛq)V(pΛr) : pV(qΛr) ≡ (pΛq)V(pΛr);

4). Hukum identitas

: pΛT ≡ p : pVF ≡ p

5). Hukum. Ikatan

: pΛF ≡ p : pVT ≡ p

6). Hukum. Negasi

: (pΛ¬p) ≡ F :; (pV ¬p) ≡ T

7). Hukum Negasi ganda

: ¬ ( ¬p) ≡ p

8). Hukum Idempoten

: (pΛp) ≡ p : (pVp ≡ p

9). Hukum. Demogran

: ¬ ( pΛq) ≡ pV ¬q : ¬(pVq) ≡ ¬pΛ¬q

10). Hukum absorbsi

: pV (pΛq) ≡p :pΛ(pVq) ≡ p

11). Hukum Negasi T dan F

: ¬T≡ F : ¬F ≡ T

Catatan : Manfaat hukum-hukum diatas adalah dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimatkalimat yang komplek Contoh : Sederhanakan bentuk , ¬(¬p Λ q) Λ (p V q) Jawab : (¬ ¬ p V ¬q)Λ( p V q )

: berubah jadi ini karena hukum demorgan

(p V ¬q) Λ (p V q)

: berubah jadi ini karena hukum negasi ganda

P V (¬qΛq)

: berubah jadi ini karena hukum distributive

pVs

: berubah jadi ini karena hukum negasi

p

: berubah jadi ini karena hukum identitas

Untuk membuktikan ekuivalensi dengan cara : biasanya bentuk yang lebih komplek diturunkan ke yang lebih sederhana , jika sama – sama komplek sama – sama diturunkan dg hk yang berbeda jika terdapat penghubung , dan , penghubung tersebut harus dirubah dulu dalam bentuk penghubung , V, Λ, dan ¬

contoh buktikan ekuivalensi berikut tanpa tabel kebenaran a)

( q→p ) ↔ ( ¬ p→¬q)

Jawab : Ruas kanan tampaknya lebih komlpek, untuk itu yang disederhanakan ruas kanan (¬p→¬q

↔ ¬ (¬p) V ¬q

(transformasi dari → ke V )

↔ p V ¬q

(negasi ganda )

↔ ¬q V p

(komunikatif)

↔ q→p

(transformasi dari V ke → )

Terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan yaitu (q→p) ↔ ( ¬p→¬q) b)

(p→(q→r)) ≡ ((pΛq)→r)

Jawab : Ruas kiri ; (p→(q→r)) ≡ ( ¬p V (q→r)) ¬p V (¬q V r) (¬ p V ¬q) V r ¬( p Λ q) V r (p Λ q)→r

terbukti sama dengan ruas kanan

CONTOH SOAL EKUIVALENSI LOGIS 1.

2.

( p v ¬q ) → r

≡

( ¬p ʌ q ) v r

( p v ¬q ) → r

≡

¬( p v ¬q ) v r

Hukum implikasi

≡

( ¬p ʌ q ) v r

Hukum De morgan

¬( p v ¬q ) v ( ¬p ʌ ¬q )

≡

¬p

¬( p v ¬q ) v ( ¬p ʌ ¬q )

≡

( ¬p ʌ q ) v ( ¬p ʌ ¬q )

Hukum De Morgan

≡

¬p ʌ ( q v ¬q )

Hukum Distributif

≡

¬p ʌ B

Hukum Negasi

≡

¬p

Hukum Identitas

3.

4.

( p → ( q → r ))

≡

(pʌq)→r

( p → ( q → r ))

≡

¬p v ( ¬q v r )

Hukum implikasi

≡

( ¬p v ¬q ) v r

Hukum Asosiatif

≡

¬( p ʌ q ) v r

Hukum De Morgan

≡

(pʌq)→r

Hukum implikasi

≡

¬p v ¬q

≡

( p v ( q ʌ ¬q ) → ( p ʌ ¬q )

Hukum Distributif

≡

( p v S ) → ( p ʌ ¬q )

Hukum Negasi

≡

p → ( p ʌ ¬q )

Hukum Idenditas

≡

¬p v ( p ʌ ¬q )

Hukum implikasi

≡

( ¬p v p ) ʌ ( ¬p v ¬q )

Hukum Distributif

≡

B ʌ ( ¬p v ¬q )

Hukum Negasi

≡

¬p v ¬q

Hukum Identitas

≡

¬( p ʌ q )

≡

p → ( ¬p ʌ q ) v ¬q

Hukum Absorsi

≡

p → ( ¬p v ¬q ) ʌ ( q v ¬q )

Hukum Distributif

≡

p → ( ¬p v ¬q ) ʌ B

Hukum Negasi

≡

P → ( ¬p v ¬q )

Hukum Identitas

≡

¬p v ( ¬p v ¬q )

Hukum implikasi

≡

(¬p v ¬p ) v ¬q

Hukum Asosiatif

≡

(¬p v ¬q )

Hukum idempoten

≡

¬( p ʌ q )

Hukum De Morgan

≡

P

(( p v q ) ʌ ( p v ¬q )) → (pʌq) (( p v q ) ʌ ( p v ¬q )) → (pʌq)

5.

Pʌ(pvq)→(pʌq) v ¬q Pʌ(pvq)→(pʌq) v ¬q

6.

pv(pʌq)

pv(pʌq)

7.

≡

(pʌB)v(pʌq)

Hukum Identitas

≡

pʌ(Bvq)

Hukum Distributif

≡

PʌB

Hukum Identitas

≡

P

Hukum Identitas

p↔q

≡

( p ʌ q ) v ( ¬p ʌ ¬q )

p↔q

≡

(p→q)ʌ(q→p)

Hukum Biimplikasi

≡

( ¬p v q ) ʌ ( ¬q v p )

Hukum implikasi

≡

(( ¬p v q ) ʌ ¬q) v (( ¬p v q ) ʌ

Hukum Distributif

p) ≡

(( ¬q ʌ ¬p ) v ( ¬q ʌ q )) v (( p ʌ

Hukum Distributif

¬p ) v ( p ʌ q )) ≡

(( ¬q ʌ ¬p ) v ( S )) v (( S) v ( p

Hukum Negasi

ʌ q )) ≡

( ¬q ʌ ¬p) v ( p ʌ q )

Hukum Identitas

≡

( p ʌ q ) v ( ¬p ʌ ¬q )

Hukum Komutatif

≡

(pʌq)v(pʌs)v(qʌr)v ( rʌs)

8.

(pvr)ʌ(qvs) (pvr)ʌ(qvs)

≡

(( p v r ) ʌ q ) v ( p v r ) ʌ s ))

Hukum Distributif

≡

(pʌq)v(rʌq)v(pʌs)v(

Hukum Distributif

rʌs) ≡

(pʌq)v(qʌr)v(pʌs)v(

Hukum Komutatif

rʌs) ≡

(pʌq)v(pʌs)v(qʌr)v(

Hukum Komutatif

rʌs)

9.

(p→r)v(q→r)

≡

(pʌq)→r

(p→r)v(q→r)

≡

(¬p v r ) v ( ¬q v r )

Hukum implikasi

10.

≡

¬p v ¬q v r v r

Hukum Komutatif

≡

¬p v ¬q v r

Hukum Idempoten

≡

¬( p ʌ q ) v r

Hukum De Morgan

≡

(pʌq)→r

Hukum implikasi

p v ¬( p v q )

≡

p v ¬q

p v ¬( p v q )

≡

p v ( ¬p ʌ ¬q )

Hukum De Morgan

≡

( p v ¬p ) ʌ ( p v ¬q )

Hukum Distributif

≡

B ʌ ( p v ¬q )

Hukum Negasi

≡

p v ¬q

Hukum Identitas


VALIDITAS ARGUMEN ATURAN INFERENSI

Written by: 1. Rezky Ichwan (1411500006) 2. Yudha Syailendra (1411500007) 3. Puput Marlin (1411500013) 4. Setia Ariska (1411500018) 5. S Novita Dewi (1411500091) 6. Triwanto (1411500112) 7. Cici Fitriyanti (1422500003)



VALIDITAS ARGUMEN ATURAN INFERENSI

LESSON Suatu argumen disebut valid jika dan hanya jika argumen tersebut suatu tautologi. Suatu argumen disebut inkonsisten jika dan hanya jika argumen tersebut suatu kontradiksi. Untuk menentukan valid atau inkonsisten suatu argumen, berikut beberapa metode pembuktian yang akan kita gunakan : a. Pembuktian secara langsung (direct proof) Misalkan ada premis-premis, 1, 2, . . . ,

dan suatu kesimpulan C, maka antar premis

dihubungkan dengan operator logika konjungsi (˄ ) dan pada kesimpulan dihubungkan dengan operator logika implikasi ( ⇒ ) sehingga berbentuk 1 ˄ 2 ˄ . . . . ˄

⇒

.

b. Pembuktian tak langsung (indirect proof) Pembuktian tak langsung terbagi menjadi dua, yaitu : 1. Pembuktian dengan kontaposisif Misalkan ada premis-premis,

1, 2, . . . ,

dan suatu kesimpulan C. Pembuktian

dengan kontrapositif adalah kebalikan dari metode langsung (direct proof). Ingat bahwa

⇒

akan ekuivalen dengan

kontrapositif berbentuk ¬

¬

⇒ ¬ , sehingga pembuktian dengan

⇒ ¬( 1 ˄ 2 ˄ . . . . ˄

).

2. Pembuktian dengan kontradiksi Metode ini dilakukan dengan cara menegasikan kesimpulan yang diberikan dan dijadikan suatu premis baru. Bentuknya hampir sama dengan pembuktian secara langsung (direct proof), hanya saja hasilnya bernilai salah (S). Bentuk pembuktian ini adalah 1 ˄ 2 ˄ . . . . ˄

˄¬

⇒

.

Untuk menyelidiki validitas argumen dengan dua metode di atas, kita membutuhkan teknik pembuktian. Salah satu dari teknik pembuktian tersebut adalah dengan ATURAN INFERENSI. A. Aturan Inferensi Teknik ini dilakukan dengan cara mengumpulkan premis-premis yang diketahui, untuk selanjutnya disimpulkan menjadi sebuah kesimpulan. Untuk menerapkan aturan inferensi, kita membutuhkan beberapa alat utama seperti :


1. Modus Ponens Modus ponens sangat sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari dalam bentuk aturan atau janji. ⇒

_____ ∴ Contoh : Jika saya seorang mahasiswa maka saya wajib membayar uang semester. Ternyata pada kenyataannya saya seorang mahasiswa, jadi saya wajib membayar uang semester. 2. Modus Tollens ⇒ ¬ _____ ∴ ¬ Contoh : Jika dia mencuri maka dia akan masuk penjara. Ternyata dia tidak mencuri, berarti dia tidak akan masuk penjara. 3. Silogisme Hipotetikal ⇒ ⇒ _____ ∴

⇒

Tiga alat utama diatas wajib diingat untuk setiap pembuktian validitas argumen. Selain itu, juda ada alat bantu tambahan yang juga diperlukan untuk pembuktian validitas argumen. a.

Adisi Misalkan diberikan pernyataan saya pintar. Maka pernyataan itu boleh ditambahkan menjadi saya pintar atau bodoh.

_____ ∴ b.

Simplikatif

˅


Misalkan diberikan pernyataan saya mahasiswa dan karyawan. Maka pernyataan tetap benar jika kita memilih salah satunya, saya mahasiswa atau kita memilih saya karyawan. ˄

˄

_ _ _ _ _ atau _ _ _ _ _ ∴ c.

∴

Konjungsi Misalkan diberikan pernyataan saya pintar. Diberikan juga pernyataan saya baik. Maka pernyataan itu bisa digabungkan menjadi saya pintar dan baik.

_____ ∴

˄

Selanjutnya, akan kita bahas dua contoh argumen yang diselidiki validitasnya dengan aturan inferensi. Contoh 1 P1 : Saya hebat bermain voly atau bermainbasket P2 : Saya tidak hebat bermain basket atau bermain football C : Saya hebat bermain voly atau bermain football Kesimpulan di atas kita ubah ke dalam simbol, sehingga diperoleh : 1∶

˅

2∶ ¬ ˅ ∶

˅

Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

˅

Premis 1

2

¬ ˅

Premis 2

3

¬

Langkah 1; Hukum Implikasi

⇒

4 5 6

⇒

¬

⇒ ˅

Langkah 2; Hukum Implikasi Langkah 3,4; Silogisme Hipotetikal Langkah 5; Hukum Implikasi


Contoh 2 P1 : Jika saya rajin belajar maka saya naik kelas P2 : Jika saya naik kelas maka saya bahagia P3 : Saya tidak bahagia C : Saya tidak rajin belajar Kesimpulan di atas kita ubah ke dalam simbol, sehingga diperoleh : 1∶

⇒

2∶

⇒

3∶ ¬ ∶ ¬ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

⇒

Premis 1

2

⇒

Premis 2

3

¬

Premis 3

4

¬

Langkah 2,3; Modus Tollens

5

¬


QUESTION

Soal 1 Jika Ratu mengadakan konser, maka harga tiket tidak mahal. Jika harga tiket tidak mahal, maka penggemarnya datang. Jadi, Jika Ratu mengadakan konser, maka penggemarnya datang. Penyelesaian: 1∶

⇒

2∶

⇒

∶

⇒


Ekspresi

Alasan

1

⇒

Premis 1

2

⇒

Premis 2

3

⇒

Langkah 1,2; Silogisme Hipotetikal


Soal 2 Jika air mengalir, maka sungai penuh. Hujan tidak turun atau air mengalir. Sungai tidak penuh dan banjir tidak terjadi Jadi, hujan tidak turun. Penyelesaian: 1∶

⇒

2∶ ¬ ˅ 3∶ ¬ ˄ ∶ ¬ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

⇒

Premis 1

2

¬ ˅

Premis 2

3

¬ ˄

Premis 3

4

⇒

Langkah 2; Hukum Implikasi

5

⇒

Langkah 4,1; Silogisme Hipotetikal

6

¬

Langkah 3; Simplikatif

7

¬


Soal 3 Jika matahari bersinar, maka hari terasa panas atau jemuran akan kering. Hari tidak terasa panas dan langit tidak cerah. Jika langit terlihat cerah maka matahari bersinar. Jadi, jemuran akan kering. Penyelesaian: 1∶

⇒( ˅ )

2∶ ¬ ˄ 3∶ ∶

⇒



Ekspresi ⇒( ˅ )

1

Alasan Premis 1

2

¬ ˄

Premis 2

3

⇒

Premis 3

4


5

Langkah 3,4; Modus Ponens ˅

6 7

¬

8

¬

Langkah 5,1; Modus Ponens ⇒

Langkah 6; Hukum Implikasi Langkah 2; Simplikatif Langkah 7,8; Modus Ponens

9

Soal 4 Petani menanam padi atau sedang musim kemarau. Jika petani menanam padi maka sedang musim hujan. Sedang tidak musim hujan. Jadi, sedang musim kemarau. Penyelesaian: 1∶

˅

2∶

⇒

3∶ ¬ ∶


Ekspresi

Alasan

1

˅

Premis 1

2

⇒

Premis 2

3

¬

Premis 3

4

¬


5

¬

6

⇒

Langkah 1; Hukum Implikasi Langkah 4,5; Modus Ponens


Soal 5 Jika pintu kereta api ditutup, maka lalu lintas akan berhenti. Jika lalu lintas berhenti, maka akan terjadi kemacetan lalu lintas. Pintu kereta api ditutup. Jadi, terjadi kecametan lalu lintas. Penyelesaian: 1∶

⇒

2∶

⇒

3∶ ∶ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

⇒

Premis 1

2

⇒

Premis 2

3 4

Premis 3 ⇒

Langkah 1,2; Silogisme Hipotetikal Langkah 3,4; Modus Ponens

5

Soal 6 Jika Ibu pergi ke pasar, maka Bapak pergi ke kantor. Ibu dan Kakak ke pasar. Jadi, Bapak pergi ke kantor. Penyelesaian: 1∶

⇒

2∶

˄

∶ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

⇒

Premis 1

2

˄

Premis 2

3


4

Langkah 1,3; Modus Ponens


Soal 7 Pak Ali adalah pedagang atau petani. Jika Pak Ali adalah pedagang maka Pak Ali kaya. Pak Ali tidak kaya. Jadi, Pak Ali adalah petani. Penyelesaian: 1∶

˅

2∶

⇒

3∶ ¬ ∶ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke-

Ekspresi

Alasan

1

˅

Premis 1

2

⇒

Premis 2

3

¬

Premis 3

4

¬


5

¬

⇒

Langkah 1; Hukum Implikasi Langkah 5,4; Modus Ponens

6

Soal 8 Jika DPR menolak mengesahkan UU baru maka demo tidak akan berakhir kecuali demo sudah berjalan lebih dari satu tahun dan presiden mengundurkan diri. DPR menolak mengesahkan UU baru dan demo baru saja dimulai. Jadi,demo tidak akan berakhir. Penyelesaian: 1∶

⇒ [¬( ˄ ) ⇒ ]

2∶

˄¬

∶

Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke1

Ekspresi ⇒ [¬( ˄ ) ⇒ ]

Alasan Premis 1


˄¬

2

Premis 2 Langkah 2; Simplikatif

3 4

[¬( ˄ ) ⇒ ]


5

(¬ ˅ ¬ ) ⇒

Langkah 4; Hukum De Morgan

6

¬


7

¬ ˅¬

Langkah 6; Adisi Langkah 5,7; Modus Ponens

8

Soal 9 Jika air laut surut setelah gempa di laut maka terjadi tsunami. Air laut surut setelah gempa di laut. Jadi, terjadi tsunami. Penyelesaian: 1∶

⇒

2∶ ∶ Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke1

Ekspresi ⇒

Alasan Premis 1

2

Premis 2

3


Soal 10 Jika presentasi Pak Adi sukses dan Pak Adi naik pangkat maka Pak Adi akan membeli mobil baru. Presentasi Pak Adi sukses dan Pak Adi mendapat JobGraduate. Pak Adi naik pangkat dan mendapatkan uang banyak. Jadi, Pak Adi akan membeli mobil baru. Penyelesaian: 1∶( ˄ )⇒ 2∶

⇒

3∶

˄

∶


Berikut langkah-langkah pembuktiannya : Langkah ke1

Ekspresi ( ˄ )⇒

Alasan Premis 1

2

⇒

Premis 2

3

˄

Premis 3

4


5


6 7

( ˄ )

Langkah 4,5; Konjungsi Langkah 1,6; Modus Ponens


DAFTAR PUSTAKA

F.Soesianto, Djoni Dwijono, 2006. Logika Matematika Untuk Ilmu Komputer, Andi Offset, Yogyakarta. Setiadi Rachmat, 2004. Pengantar Logika Matematika, Informatika, Bandung. Setiadji, 2007. Logika Informatika, Graha Ilmu, Yogyakarta.


Written by: 1. SITI ZUBAIDAH dan 1422500126 2. SURYATI dan 1422500094 3. RIANTY DWI PEKERTI dan 1422500115 4. WIDIA ASNITHA dan 1422500112 5. NUR SAFITRI dan 1422500053 6. MELTA dan 1422500081

STMIK ATMALUHUR PANGKALPINANG


VALIDITAS ARGUMEN ATURAN IFERENSI

LESSON Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan (inferensi). Argumen terdiri dari pernyataanpernyataan yang terdiri atas dua kelompok, yaitu kelompok pernyataan sebelum kata ‘jadi’ yang disebut premis (hipotesa) dan pernyataan setelah kata ‘jadi’ yang disebut konklusi (kesimpulan). Dibawah ini diberikan beberapa contoh argumen.

Contoh 1 Ani ada di Bandung atau Tasikmalaya Ani tidak ada di Bandung. Jadi, ani ada di Tasikmalaya. Penyelesaian: Misal: p : Ani ada di Bandung q : Ani ada di Tasikmalaya maka argument diatas mempunyai symbol sebagai berikut: p∨q ~p ∴q

Contoh 2 Saya kengen, saya melihat fotomu, Jika saya kangen, maka saya melihat fotomu, Saya tidak melihat fotomu, Saya tidak kangen Penyelesaiannya: p: Saya kangen, q: Saya akan melihat fotomu Jika saya kangen, maka saya akan melihat fotomu. (p→q) Saya tidak melihat fotomu. (¬q) STMIK ATMALUHUR PANGKALPINANG

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Disimpulkan: Saya tidak kangen. (¬p) p →q ¬q --------¬p

QUESTION Soal 1 Buktikan bahwa argument berikut valid.. Jika pintu kereta api ditutup, lalu lintas akan berhenti. Jika lalu lintas berhenti, akan terjadi kemacetan lalu lintas. Pintu kereta api ditutup. Jadi, terdapat kemacetan lalu lintas. Penyelesaian: Misal: p : pintu kereta api ditutup q : lalu lintas akan berhenti r : terjadi kemacetan lalu lintas Simbol untuk argument diatas adalah: p⇒q q⇒r p ∴r Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. p ⇒ q Pr 2. q ⇒ r Pr 3. p Pr / ∴r 4. q 1,3 MP 5. r 2,4 MP

Soal 2 Jika Ibu pergi ke pasar, maka bapak pergi ke kantor. Ibu dan kakak pergi ke pasar.


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Jadi, bapak pergi ke kantor. Penyelesaian: Misal: p : Ibu pergi ke pasar q : Bapak pergi ke kantor r : Kakak pergi ke pasar Simbol argument diatas adalah sebagai berikut: p⇒q p∧r ∴q Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. p ⇒ q Pr 2. p ∧ r Pr / ∴q 3. p 2, Simp 4. q 1,3 MP

Soal 3 Susunlah bukti formal validitas argument berikut: (p ∧ q) ⇒ r p∧s q∧t ∴r Penyelesaian: Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. (p ∧ q) ⇒ r Pr 2. p ∧ s Pr 3. q ∧ t Pr / ∴r 4. p 2, Simp 5. q 3, Simp 6. p ∧ q 2,3 Konj 7. r 1,6 MP


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA Soal 4 Susunlah bukti formal validitas argument berikut: Pak Ali adalah seorang pedagang atau petani. Jika pak Ali seorang pedagang, maka ia kaya. Ternyata Pak Ali tidak kaya. Jadi, Pak Ali seorang petani.

Penyelesaian: Misal: p : Pak Ali adalah seorang pedagang q : Pak Ali adalah seorang petani r : Pak Ali kaya Simbol untuk argument diatas adalah: p∨q p⇒r ~r ∴q Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. p ∨ q Pr 2. p ⇒ r Pr 3. ~ r Pr / ∴q 4. ~ p 2,3 MT 5. q 1,4 DS

Soal 5 Susunlah bukti formal validitas argument berikut ( p ∨ q) ⇒ ( r ∧ s) ~r ∴~ q Penyelesaian: Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. ( p ∨ q) ⇒ ( r ∧ s)

Pr

2. ~ r

Pr / ∴~ q


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA 3. ~ r ∨ ~ s

2, Add

4. ~ (r ∧ s)

3, de M

5. ~ (p ∨ q)

1,4 MT

6. ~ p ∧ ~ q

5, de M

7. ~ q ∧ ~ p

6, Kom

8. ~ q

7, Simp

Soal 6 Buktikan vaiditas argument berikut: A ⇒ (B ⇒ C) C ⇒ (D ∧ E) ∴A ⇒(B ⇒D) Penerapan aturan pembuktian kondisional, akan diperoleh argument A ⇒ (B ⇒ C) C ⇒ (D ∧ E) A B / ∴D Penyelesaian: Proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. A ⇒ (B ⇒ C)

Pr

2. C ⇒ (D ∧ E)

Pr / ∴A ⇒(B ⇒D)

3. A

Pr / ∴ B ⇒D

4. B

Pr / ∴ D

5. B ⇒ C

1,3 MP

6. C

4,5 MP

7. D ∧ E

2,6 MP

8. D

7, Simp

(CP)

(CP)

Soal 7 A⇒B C⇒D ~B∨~D


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA ~A∨~B

/ ∴A ⇒ ~ C

Penyelesaian: proses pembuktian validitas argument diatas adalah sebagai berikut: 1. A ⇒ B

Pr

2. C ⇒ D

Pr

3. ~ B ∨ ~ D

Pr

4. ~ A ∨ ~ B

Pr / ∴A ⇒ ~ C

5. A

Pr / ∴A

6. B

1,3 MP

7. ~ (~B)

6, DN

8. ~ D

3,7 DS

9. ~ C

2,8 MT

(CP)

Soal 8 Susunan pembuktian tidak langsung untuk memperlihatkan validitas argument berikut P⇒Q Q⇒R P ∴R Penyelesaian: Jawab: 1. P ⇒ Q

Pr

2. Q ⇒ R

Pr

3. P

Pr / ∴R

4. ~ R

IP

5. ~ Q

2,4 MT

6. ~P

1,5 MT

7. P ∧ ~P

3,6 Konj

Baris (7) adalah suatu kontradiksi

Soal 9 Perhatikan premis-premis ini. Jika Anita mendapat A pada ujian akhir maka Anita mendapat A untuk mata kuliah itu.


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA (1) Jika Anita mendapat A untuk mata kuliah itu maka ia dinominasikan menerima beasiswa. (2) Anita tidak dinominasikan menerima beasiswa. Tariklah suatu kesimpulan dari tiga premis tersebut. Penyelesaian Misal p: Anita mendapat nilai A pada ujian akhir q: Anita mendapat nilai A untuk mata kuliah itu r: Anita dinominasikan mendapat beasiswa Peryataan-pernyataan di atas dapat diterjemahkan secara simbolik sebagai: (1) p ⇒ q (2) q ⇒ r (3) ~ r Dari premis (1) dan (2), dengan silogisme, akan diperoleh p ⇒ r. Jika dilanjutkan denga premis (3) akan terjadi modus tolen seperti terlihat di bawah ini. p⇒r p~ r~ ∴ Kesimpulannya, Anita tidak mendapat nilai A pada ujian akhir.

Soal 10 Seorang pecinta hewan memperhatikan tingkah laku hewan-hewan peliharaannya mendapatkan data berikut: 1) Tidak ada anak kucing yang suka ikan, yang tidak dapat diajari. Sebagai catatan, yang tidak dapat diajari adalah kucingnya dan bukan ikannya. 2) Tidak ada anak kucing tanpa ekor akan bermain dengan gorila. 3) Anak kucing yang mempunyai kumis selalu menyukai ikan. 4) Anak kucing yang tidak dapat diajari memiliki mata hijau. 5) Anak kucing yang memiliki ekor mempunyai kumis. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh dari pernyataan-pernyataan di atas? Penyelesaian: Misal i: anak kucing suka ikan


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA j: anak kucing dapat diajari e: anak kucing memiliki ekor g: anak kucing bermain dengan gorila k: anak kucing punya kumis m: anak kucing punya mata hijau Secara simbolik pernyataan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. Jika ia anak kucing yang suka ikan maka ia dapat diajari (i ⇒ j) 2. Jika anak kucing tidak punya ekor maka ia tidak akan bermain dengan gorila (~e ⇒ ~ g) 3. Jika anak kucing mempunyai kumis maka ia akan menyukai ikan (k ⇒ i). 4. Jika anak kucing dapat diajari, maka ia tidak mempunyai mata hijau (j ⇒ ~m) 5. Jika anak kucing mempunyai ekor, maka ia mempunyai kumis (e ⇒ k).

Pernyataan g dan e disebutkan sekali. Kita bisa memilih salah satu dari mereka. Jika dimulai dari g, susunan premis-premis adalah: g ⇒ e e ⇒ k k ⇒ i i ⇒ j j ⇒ ~m Kesimpulan, g ⇒ ~ m, atau: Jika anak kucing bermain dengan gorila maka ia tidak mempunyai mata hijau.


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MATEMATIKA DAFTAR PUSTAKA http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOV IANIGSIH/ARGUMEN.pdf

https://mgmpmatsatapmalang.files.wordpress.com/2011/11/smalanjut-logika-fadjar.pdf


TUGAS KELOMPOK LOGIKA MTK

Written by: 1. Dian Bunnarwan _ 1422500118 2. Johnson Valentino _ 1411500211 3. Hutama Wibawa _ 1411500210 4. Muhammad Safrudin _ 1422500052 5. Sutrisno _ 1422500016

SEMESTER II



ALJABAR BOOLEAN LESSON

*Dalam matematika dan ilmu komputer, *Aljabar Boolean Adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen. Penamaan Aljabar Boolean Sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris,bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19. Boolean Adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benaratau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0. Simbol yang digunakan pada aljabar Boolean itu sendiri adalah (.) untuk AND,(+) untuk OR dan ( ) untuk NOR. (Sumber : http://id.scribd.com/doc/98289793/Aljabar-Boolean-Gerbang-Logika-DanPenyederhanaannya#scribd)

Dalam aljabar boolean digunakan 2 konstanta yaitu logika 0 dan logika 1. ketika logika tersebut diimplementasikan kedalam rangkaian logika maka logika tersebut akan bertaraf sebuah tegangan. kalau logika 0 bertaraf tegangan rendah (aktive low) sedangkan kalau logika 1 bertaraf tegangan tinggi (aktive high). pada teori – teori aljabar boolean ini berdasarkan aturan – aturan dasar hubungan antara variabel – variabel boolean.(Sumber : http://jayanti-titis.blogspot.com/2012/06/teori-aljabarboolean.html)

*APAKAH ALJABAR BOOLEAN ITU????  Aljabar Boolean adalah suatu bentuk aljabar dimana variabel-variabel dan fungsi-fungsinya memiliki nilai 0 dan 1.  Keluaran (output) dari satu atau beberapa buah kombinasi gerbang dapat dinyatakan dalam suatu teorema Aljabar Boole.  Aljabar Boolean dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika. * TEOREMA ALJABAR BOOLEAN : 1) T1: Rumus komutatif a. A + B

=B+A

b. A.B

= B.A

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MTK 2) T2: Rumus asosiatif a. (A + B) + C

= A + (B +C)

b. (A.B).C

= A. (B.C)

3) T3: Rumus distributif a. A.(B +C)

= AB + AC

b. A+(B . C)

= (A+B) . (A+C)

4) T4: Rumus identif a. A + A

=A

b. A.A

=A

5) T5: Rumus negatif a. (A’)

= A’

b. (A)”

=A

6) T6: Rumus redundant a. A + A.B

=A

b. A.(A + B)

=A

7) T7: Rumus eliminasi a.

A + A’.B

b. A.(A’ + B)

= A+B = A.B

8) T8: Rumus Van De Morgan a. A + B

=A.B

b. A.B

=A+B

9) T9: Rumus Komplemen a.

A+A’

b. A.A’

=1 =0

CONTOH : 1. X + X’ .Y

= (X + X’).(X +Y) = X+Y

2. X .(X’+Y)

= X.X’ + X.Y = X.Y

3. X.Y+ X’.Z+Y.Z

= X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’ = X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z = X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y) = X.Y + X’.Z


Question 1.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN f(x, y)

= x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1  (x + y ) =x+y

2.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN f(x, y, z)

= x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’

3.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN f(x, y, z)

= xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

4.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN A.(A.B + B)

= A.AB + A.B = A.B + A.B = A.B

5.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN AC + ABC

= AC(1 + B) = AC

6.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN ABC + AB’C + ABC’

= AC(B + B’) + ABC’ = AC + ABC’ = A(C + BC’)

TUGAS KELOMPOK LOGIKA MTK = A(C + B) = A(B + C)

7.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN (A + BC)

= A (B + C) = A.B + A.C

8.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN ABCD + ABCD'

= ABC (D+D')

{Hukum Distributif T3 dan T8}

= ABC (1)

{Hukum T7}

= ABC (Sumber: http://www.linksukses.com/2012/11/penyederhanaan-fungsi-boolean.html)

9.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN X (XY+Z)

= X.XY + XZ = XY + XZ = X (Y+Z)

{Hukum T3} {Hukum T4} {Hukum T3}

(Sumber: http://www.linksukses.com/2012/11/penyederhanaan-fungsi-boolean.html)

10.

Sederhanakan Soal Berikut Dengan Menggunakan ALJABAR BOOLEAN X'Y' + XY' + XY

= X'Y' + X (Y'+Y) = X'Y + X (1) = X'Y + X atau X + X'Y =X+Y

{Hukum T3} {Hukum T7} {Hukum T9}

(Sumber: http://www.linksukses.com/2012/11/penyederhanaan-fungsi-boolean.html)


DAFTAR PUSTAKA 1) Perangin-aingin, Bisman, 2010, SYSTEM DIGITAL : Medan 2) Munir, Rinaldi, 2005, MATEMATIKA DISKRIT, Informatika: Bandung 3) Nasir, Saleh, 2009, BUKU PRAKTIKUM SISTEM DIGITAL, usupress: Medan

STUDENT REVIEW & BANK SOAL LOGIKA MATEMATIKA

Recommend Documents