UNIVERSITATEA BABEŞ BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA CLUJ-NAPOCA Centrul de Formare Continuă Continu ă şi Învăţă Învăţământ mânt la Distanţă Distanţă Facultatea de Ştiinţ tiinţe Economice şi Gestiunea Afacerilor Specializarea: Specializarea: Trunchi comun Disciplina: Statistică Statistică Descriptivă Descriptivă
SUPORT DE CURS ANUL II Semestrul 3
Cluj – Napoca
2009
I. Informaţ Informaţii generale 1.1.Date de identificare a cursului Date de contact ale titularului de curs:
Date de identificare curs şi contact tutori:
Nume: Prof.univ.dr. Ilie PARPUCEA Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 346, et.III Telefon: 0264-418652/3/4, int. 5870 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] Consultaţii: Mar ţi 16-17, Miercuri, 10-11
Numele cursului – Statistică Descriptivă Codul cursului – EBExxxx Anul, Semestrul – anul 2, sem. 1 Tipul cursului - Obligatoriu Tutori – Adrian BUZ E-mail:
[email protected] Consultaţii: Mar ţi 13-14, Joi 13-14
Nume: Conf.univ.dr. Anu ţa BUIGA Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 346, et.III Telefon: 0264-418652/3/4, int. 5870 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Mar ţi 16-17, Miercuri, 10-11 Nume: Conf.univ.dr. Dorina LAZ ĂR Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 526, et. V Telefon: 0264-41.86.52/3/4/5, int. 5859 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Mar ţi: 11-12 şi Joi: 14-15 Nume: Conf.univ.dr. Cristian DRAGO Ş Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 231, et. II Telefon: 0264-418654, int. 5857 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Marti 16-17, Miercuri, 10-11
2
I. Informaţ Informaţii generale 1.1.Date de identificare a cursului Date de contact ale titularului de curs:
Date de identificare curs şi contact tutori:
Nume: Prof.univ.dr. Ilie PARPUCEA Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 346, et.III Telefon: 0264-418652/3/4, int. 5870 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] Consultaţii: Mar ţi 16-17, Miercuri, 10-11
Numele cursului – Statistică Descriptivă Codul cursului – EBExxxx Anul, Semestrul – anul 2, sem. 1 Tipul cursului - Obligatoriu Tutori – Adrian BUZ E-mail:
[email protected] Consultaţii: Mar ţi 13-14, Joi 13-14
Nume: Conf.univ.dr. Anu ţa BUIGA Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 346, et.III Telefon: 0264-418652/3/4, int. 5870 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Mar ţi 16-17, Miercuri, 10-11 Nume: Conf.univ.dr. Dorina LAZ ĂR Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 526, et. V Telefon: 0264-41.86.52/3/4/5, int. 5859 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Mar ţi: 11-12 şi Joi: 14-15 Nume: Conf.univ.dr. Cristian DRAGO Ş Birou: FSEGA, str. Teodor Mihali 58-60, birou 231, et. II Telefon: 0264-418654, int. 5857 Fax: 0264-41.25.70 E-mail:
[email protected] [email protected] Consultaţii: Marti 16-17, Miercuri, 10-11
2
1.2. Condiţ Condiţionă ionări şi cunoş cunoştinţ tinţe prerechizite Înscrierea la acest curs este nu este condiţionată de parcurgerea şi promovarea altor discipline.
1.3. Descrierea cursului Cursul de Statistică Descriptivă face parte din pachetul de discipline fundamentale ale trunchiului comun, nivel licenţă, din cadrul Facultăţii de Ştiinţe Economice şi Gestiunea Afacerilor a Universităţii „Babeş-Bolyai” din Cluj-Napoca. Disciplina este un demers incipient în familiarizarea studenţilor cu metodele cantitative utilizate în economie, plasânduse pe aceeaşi tematică cu cursurile de Statistică Inferenţială, Analiza Datelor şi Econometrie. Tematica acestor discipline se succede sau se completează reciproc. Cursul vizează descrierea principalelor probleme legate de statistica descriptivă. Scopul acestui curs este de a familiariza studenţii din trunchiul comun cu conceptele de statistică, cu modul de analiză şi interpretare a datelor. Modulele 1 este consacrat conceptelor de bază, prelucr ării, sistematizării şi prezentării seriilor statistice. Sunt cuprinse noţiunile de bază, care dincolo de aspectul lor matematic, permit însuşirea unor intuiţii necesare unei bune înţelegeri a statisicii în ansamblu. În modulul 2 vor fi prezentaţi parametrii repartiţiilor empirice unidimensionale. Sunt reprezentaţi în această parte parametrii tendinţei centrale, de structur ă, variaţiei, concentraţiei, respectiv ai formei. Modulul 3 va conţine elemente tehnice şi practice care ţin de legătura dintre variabilele unei repartiţii multidimensionale. Sunt avute în vedere corelaţia dintre variabile, metoda celor mai mici pătrate, modelul liniar simplu, respectiv modelul liniar multiplu. În ultimul model se va detalia analiza seriilor cronologice, finalizându-se prin previzionarea unei astfel de serii de timp.
1.4. Organizarea temelor în cadrul cursului Cursul este structurat pe patru module de învăţare, corespunzând celor mai utilizate capitole din statistica descriptivă: concepte de bază, parametrii repartiţiei unidimensionale, analiza legăturilor dintre variabilele unei repartiţii multidimensionale, respectiv analiza şi previziunea seriilor de timp. Nivelul de înţelegere şi, implicit, utilitatea informaţiilor pe care le regăsiţi în fiecare modul vor fi sensibil optimizate dacă, în timpul parcurgerii suportului de curs, veţi consulta
3
sursele bibliografice recomandate. În situaţia în care nu veţi reuşi să accesaţi anumite materialele bibliografice, sunteti invitaţi să contactaţi tutorii disciplinei.
1.5. Formatul şi tipul activităţ activităţilor ilor implicate de curs Parcurgerea disciplinei presupune atât întâlniri faţă în faţă (program de pregătire şi consultaţii), cât şi muncă individuală. Consultaţiile, pentru care prezenţa este facultativă, reprezintă un sprijin direct acordat dumneavoastr ă din partea titularului şi a tutorilor. Pe durata acestora vom recurge la explicaţii alternative, r ăspunsuri directe la întrebările pe care ni le veţi adresa. În ceea ce priveşte activitatea individuală, aceasta o veţi gestiona dumneavoastr ă şi se va concretiza în parcurgera tuturor materilelor bibliografice obligatorii, rezolvarea lucr ărilor de verificare propuse în diversele materiale bibliogarfice.
1.6. Materiale bibliografice obligatorii În suportul de curs sunt precizate atât referinţele biblografice obligatorii, cât şi cele facultative. Sursele bibliografice au fost astfel stabilte încât să ofere posibilitatea adâncirii nivelului de analiză şi, implicit, înţelegerea fiecărei noţiuni. 1. Buiga, A., Metodologie de sondaj şi analiza datelor în studiile de pia ţă , Ed. Presa Universitar ă Clujeană, Cluj-Napoca, 2001; 2. Buiga, A., Dragoş C., Lazăr D., Parpucea I., Statistică descriptivă - curs universitar, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2009; 3. Florea I., Parpucea I., Buiga A., Statistică descriptivă , Ed. Continental, Cluj-Napoca,
1998.
Lucr ările menţionate la bibliografia obligatorie se regăsesc şi pot fi împrumutate de la Biblioteca Facultăţii Ştiinţe Economice şi Gestiunea Afacerilor sau de la sediul Bibliotecii Centrale „Lucian Blaga”.
1.7. Materiale şi instrumente necesare pentru curs Optimizarea secvenţelor de formare reclamă accesul studenţilor la următoarele resurse: - calculator conectat la internet (pentru a putea accesa bazele de date şi resursele electronice suplimentare, dar şi pentru a putea participa la secvenţele de formare interactivă on line) - acces la resursele bibliografice (ex: abonament la Biblioteca Centrală „Lucian Blaga”) 4
1.8. Calendar al cursului Pe parcursul în care se studiază disciplina de faţă, este programată o întâlnire faţă în faţă (consultaţii) cu toţi studenţii; ele sunt destinate soluţionării, nemediate, a oricăror nelămuriri de conţinut sau a celor privind sarcinile individuale. Studenţii au posibilitatea de a solicita titularului şi/sau tutorilor sprijin pentru rezolvarea anumitor lucr ări, în cazul în care nu au reuşit singuri. Pentru a valorifica la maxim timpul alocat celor două întâlniri studenţii sunt atenţionaţi asupra necesităţii suplimentării lecturii din suportul de curs cu parcurgerea obligatorie a cel puţin a uneia dintre sursele bibliografice de referinţă.
1.9. Politica de evaluare şi notare Evaluarea finală se va realiza pe baza unui examen scris desf ăşurat în sesiunea de la finele semestrului, conform instrucţiunilor suplimentzare care se vor primi din partea profesorului examinator. Evaluarea şi afişarea notelor acordate se va realiza la cel mult 1 să ptămână de la data depunerii/primirii lucr ării. Daca studentul considera ca activitatea sa a fost subapreciată de catre evaluatori atunci poate solicita feedback suplimentar prin contactarea titularului sau a tutorilor.
1.10. Elemente de deontologie academică Se vor avea în vedere următoarele detalii de natur ă organizatorică: - Orice tentativă de fraudă sau fraudă depistată va fi sancţionată prin acordrea notei minime sau, în anumite condiţii, prin exmatriculare. - Rezultatele finale vor fi puse la dispoziţia studenţilor prin afişaj electronic. - Contestaţiile pot fi adresate în maxim 24 de ore de la afi şarea rezultatelor, iar soluţionarea lor nu va depăşi 48 de ore de la momentul depunerii.
1.11. Studenţi cu dizabilităţi: Titularul cursului şi echipa de tutori îşi exprima disponibilitatea, în limita constrângerilor tehnice şi de timp, de a adapta conţinutul şi metodelor de transmitere a informaţiilor precum şi modalităţile de evaluare (examen oral, examen on line etc) în funcţie de tipul dizabilităţii cursantului. Altfel spus, avem în vedere, ca o prioritate, facilitarea accesului egal al tuturor cursanţilor la activităţile didactice şi de evaluare.
5
1.12. Strategii de studiu recomandate: Date fiind caracteristicile învăţământului la distanţă, se recomandă studenţilor o planificare foarte riguroasă a secvenţelor de studiu individual, coroborată cu secvenţe de dialog cu tutorii şi respectiv titularul de disciplină. Lectura fiecărui modul şi rezolvarea la timp a lucr ărilor de evaluare garantează nivele înalte de înţelegere a conţinutului tematic şi totodată sporesc şansele promovării cu succes a acestei discipline.
6
MODULUL 1 Concepte de bază. Obiectul statisticii. Observarea, sistematizarea şi prezentarea seriilor statistice. Obiective • • • • • •
definirea unei populaţii statistice, a variabilelor statistice; obţinerea de informaţii cu privire la fenomenul supus cercetarii; organizarea datelor şi prezentarea acestora sub formă de serii statistice; evidenţierea structurii populaţiei în raport cu variabilele observate; evidenţierea evoluţiei unui fenomen în timp sau spaţiu; reprezentarea grafică a datelor.
Concepte de bază • populaţie statistică, unitate statistică, volum, eşantion, variabilă statistică, observare statistică, indicator statistic, serie statistică; • observare statistică, serii statistice unidimensionale şi bidimensionale; • reprezentarea grafică a datelor relativ la o variabilă cantitativă, la o variabilă calitativă şi la două variabile.
Rezultate aşteptate Cunoaşterea şi stă pânirea noţiunilor statistice de bază, cunoaşterea tehnicilor de culegere, grupare şi prezentare a datelor. Utilizarea indicatorilor statistici cu scopul evidenţierii variaţiei unei mărimi sau a structurii populaţiei supuse studiului.
Sinteza 1. Concepte de bază 1.1. Populaţia statistică reprezintă mulţimea elementelor simple sau complexe, de aceeaşi natur ă, care au una sau mai multe însuşiri esenţiale comune, proprii elementelor cât şi populaţiei privită ca un tot unitar. [ Florea I.,1998 ] O populaţie este finită dacă include un număr determinat de elemente, dar ea poate fi considerată drept reprezentativă pentru o populaţie teoretică infinită. Ca urmare apare necesitatea de a delimita o populaţie în: conţinut, spaţiu şi timp. Se mai denumeşte şi populaţia univers. Exemple de populaţii statistice: mulţimea persoanelor dintr-o anumită ţar ă (localitate, zonă etc.) în anul t, mulţimea gospodăriilor din România, la momentul t, mulţimea consumatorilor unui produs, mulţimea societăţilor producătoare sau concurente ale unui produs, mul ţimea societăţilor distribuitoare, angajaţii unei societăţi, etc. Se notează cu majusculele de la începutul alfabetului: A, B, C etc. Unitatea statistică constituie elementul component, al populaţiei statistice, asupra căruia se va efectua nemijlocit observarea. Unitatea statistică este purtătorul originar de informaţie sau subiectul logic al informaţiei statistice. Datorită varietăţii aspectelor sub care se poate prezenta în fapt, unitatea Popula ţ ia statistică
7
statistică comportă o definiţie precisă, care să excludă prin posibilitate de interpretare diferită de către observatori şi astfel orice eroare ce poate prejudicia valoarea investigaţiei. În exemplele citate mai sus, unităţile statistice sunt: persoana, gospodăria, consumatorul, societatea producătoare sau concurentă, societatea distribuitoare, angajatul etc. Se notează cu minusculele corespunzătoare majusculei ce simbolizează populaţia statistică, respectiv ai, bi etc.. Volumul popula ţ iei reprezintă numărul unităţilor statistice care alcătuiesc populaţia statistică, Acesta poate fi finit sau infinit, în funcţie de tipul populaţiei care poate fi la fel finită sau infinită. Se notează cu N, iar pentru o populaţie A, avem: A : {a1, a2, ..., a N} E şantion reprezintă o submulţime a unei populaţii statistice, constituită după criterii bine stabilite. În raport cu procedeul de formare a eşantionului avem eşantioane aleatoare şi eşantioane dirijate. Eşantionul aleator este format din unităţile statistice care rezultă printr-un procedeu aleator: procedeul tragerii la sor ţi, tabelul cu numere întâmplătoare, procedeul extragerilor sistematice. Eşantionul dirijat este constituit pe baza unor informaţii auxiliare existente la nivelul populaţiei studiate sau lăsând liber pe anchetator să aleagă unităţile respectând doar realizarea structurii eşantionului în funcţie de criteriile stabilite. Se notează cu n. Majoritatea studiilor au ca suport datele provenite de la nivel de eşantion, de aici importanţa constituirii acestuia şi implicit, apelarea la inferenţa statistică, pentru a estima parametrii la nivelul populaţiei univers.
1.2. Variabila statistică Variabila statistică reprezintă o însuşire sau o tr ăsătur ă comună tuturor unităţilor unei populaţii. Nivelul înregistrat de o variabilă statistică la o unitate oarecare al populaţiei se numeşte realizare sau starea variabile. [ Florea I., 1998 ]. În general se notează cu majusculele de la sfâr şitul alfabetului, X, Y, Z etc. Dacă se notează cu X o variabilă statistică oarecare, atunci cu x1, x2, ..., x N se vor nota stările variabilei respective. Variabilele statistice se clasifică în raport cu natura, modul de exprimare şi modul de variaţie. a) După natura lor variabilele statistice pot fi atributive, de timp şi de spaţiu. • Variabila atributivă exprimă un atribut sau însuşire esenţială (alta, decât timpul sau spaţiul) unităţilor populaţiei; • Variabila de timp ne arată timpul în care au luat fiinţă unităţile populaţiei sau perioada de timp în care au existat (exista); • Variabila de spa ţ iu ne arată spaţiul în care există sau au luat naştere unităţile populaţiei. b) După modul de exprimare a stărilor deosebim: • Variabil ă cantitativă este variabila ale cărei stări se exprimă prin valori numerice. Se mai numeşte şi variabilă metrică. • Variabil ă calitativă este variabila ale cărei stări se exprimă prin cuvinte sau coduri. Se mai numeşte variabilă nominală (stările se exprimă prin cuvinte) sau variabilă ordinală (stările se exprimă prin coduri).
8
c) După modul de variaţie variabila cantitativă poate fi: • Variabil ă discret ă este acea variabilă care, în intervalul său de definiţie înregistrează cel mult valori raţionale, variaţia are loc în salturi. • Variabil ă continuă este acea variabilă care poate lua orice valoare reală din intervalul său de variaţie. Exemple de variabile statistice relativ la populaţia formată din mulţimea consumatorilor unui produs: - vârsta: variabilă atributivă, cantitativă, continuă X = { x1 = [15-20) [20-30) ... } - frecvenţa de cumpărare: variabilă atributivă calitativă Y = { y1 - foarte rar; y2 – rar, ... } - număr de sortimente cumpărate relativ la produsul analizat: variabilă atributivă, cantitativă, discretă: Z = { z1 = 1; z2 = 2, ... } - localizarea magazinelor de unde cumpăr ă: variabilă de spaţiu, calitativă S = { s1 – cartierul M sau s2 – strada P1, ... } - data ultimei cumpăr ări a produsului analizat: variabilă de timp, cantitativă T = { t1 = 27.01.2002; t2 = 24.02.2002, ... } Variabila aleatoare
Variabila aleatoare este variabila care poate lua orice valoare din valorile unei mulţimi finite sau infinite, cu o anumită probabilitate, rezultată dintr-o funcţie asociată variabilei, numită lege de probabilitate. Ca şi variabila statistică, variabila aleatoare în raport cu valorile sale poate fi discretă sau continuă. În timp ce o variabilă aleatoare înregistrează valori la întâmplare, variabila statistică constituie o însuşire certă a unităţilor statistice din populaţie. Valorile unei variabile aleatoare sunt probabile şi în strânsă legătur ă cu un anumit experiment. Stările unei variabile statistice nu sunt probabile, ele cuantifică o tr ăsătur ă proprie fiecărei unităţi din populaţie.
1.3. Observarea statistică Observarea statistică constă în identificarea unităţilor populaţiei şi înregistrarea stărilor variabilelor în raport cu care este studiată. Ansamblul stărilor variabilelor rezultate prin observare se numesc statistici. După gradul de cuprindere a populaţiei statistice, observarea statistică este de două feluri: total ă şi par ţ ial ă . Observarea total ă este acel tip de observare statistică în care are loc înregistrarea tuturor unităţilor care fac parte din populaţie statistică supusă studiului. Recensământul populaţiei României este un exemplu de observare totală. Observarea par ţ ial ă presupune observarea şi înregistrarea unui anumit număr de unităţi din populaţie, alese după criterii bine definite. În cercetarea statistică a unei populaţii punctul de pornire îl poate constitui fie statistice exhaustive rezultate prin observarea populaţiei univers , fie statisticile rezultate din observarea par ţială a unui eşantion  ⊆ A, în ambele cazuri scopul final fiind acelaşi, respectiv obţinerea de informaţii la nivelul populaţiei univers A. 1.4. Seria statistică
Seria statistică este o construcţie care redă fie distribuţia unei populaţii în raport cu una sau mai multe variabile, fie variaţia unei mărimi în timp, în spaţiu sau de la o categorie la alta. 9
Seriile statistice se clasifică în raport cu mai multe criterii, astfel: 1. În raport cu numărul variabilelor • Serii statistice unidimensionale, au la bază o singur ă variabilă; • Serii statistice multidimensionale, care au la bază două sau mai multe variabile. 2. După natura variabilelor deosebim: • Serii atributive, care au la bază variabile atributive; • Serii cronologice (de timp sau istorice), care au la bază variabile de timp; • Serii de spa ţ iu sau teritoriale, care au la bază o variabilă de spaţiu. 3. După modul de exprimare a stărilor variabilei deosebim: • Serii calitative, care au la bază variabile calitative; • Serii cantitative, care au la bază variabile cantitative şi care după modul de variaţie a variabilei pot fi: discrete (când variabila este discretă) şi continue (când variabila este continuă). 4. În raport cu natura indicatorului din care este alcătuită seria, avem: • Serii de frecven ţă sau serii de distribu ţ ie (reparti ţ ie); • Serii de varia ţ ie. Seria statistică redând distribuţia populaţiei în raport cu una sau mai multe variabile constituie o descompunere a acesteia într-un număr R de clase. O astfel de serie este formată în exclusivitate din frecvenţe (absolute cumulate sau necumulate, relative cumulate sau necumulate) şi de aceea se numesc serie de frecven ţă , de distribu ţ ie sau de reparti ţ ie. Prescurtat se mai foloseşte şi denumirea de reparti ţ ie statistică sau distribu ţ ie statistică . Seria statistică ce redă variaţia unei mărimi în timp, în spaţiu sau de la o categorie la alta se numeşte serie de varia ţ ie.
1.4.1. Seria statistică de repartiţie Conform definiţiei de mai sus, prin această serie se distribuie unităţile unei populaţii statistice în raport cu una sau mai multe variabile. Fie o serie statistică unidimensional ă având la bază variabila X, respectiv: ⎛ x x2 ... xi ... x R ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 N N N N ... ... 2 ⎝ 1 i R ⎠
(1.1)
Ni este frecven ţ a absolut ă a clasei i, i = 1, R şi reprezintă numărul de unităţi ale populaţiei din clasa pentru care variabila X a înregistrat valoarea Xi N1 + N2 + ... + NR = N. (grupa) de unităţi în raport cu o variabilă reuneşte acele unităţi din cadrul populaţiei care înregistrează aceeaşi stare a variabilei sau stările variabilei apar ţinând unui anumit interval de variaţie . Ca urmare, în raport cu o variabilă statistică populaţia poate fi structurată într-un anumit număr de clase. De asemenea, relativ la seria statistică unidimensională având la bază variabila X, poate fi formată cu frecvenţe relative, frecvenţe cumulate absolute sau relative. Fie seria X formată cu frecven ţ e relative: ⎛ x x ... xi ... x R ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 2 (1.2.) f f f f ... ... ⎝ 1 2 i R ⎠ Clasa
10
-
f i - ne arată ponderea unităţilor din populaţie care au înregistrat pentru variabila X starea xi: N f i = i i = 1, R N
Pornind de la seria (1.1) se poate deduce seria format ă cu frecven ţ e absolute cumulate, respectiv: x 2 ... xi ... x R ⎞ ⎛ x ⎟⎟ X:⎜⎜ 1 (1.3) N(x ) N(x ) ... N(x ) ... N(x ) ⎝ 1 i R ⎠ 2 unde: N(xi) reprezintă numărul de unităţi din populaţia studiată pentru care variabila înregistrează valori ce nu depăşesc valoarea xi. Pornind de la seria (1.1) sau (1.2) se poate deduce seria format ă cu frecven ţ e relative cumulate, respectiv: ... xi ... x R ⎞ x 2 ⎛ x ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 (1.4) ⎝ F N ( x1 ) F N ( x2 ) ... F N ( xi ) ... F N ( x R ) ⎠ unde: F N(xi) - exprimă ponderea unităţii populaţiei studiate pentru care variabila a înregistrat valori ce nu depăşesc valoarea xi. F N(xi) = f 1 + f 2 + ... + f i N ( xi ) (.100) i = 1, R F N ( xi ) = Sau N Seria statistică de reparti ţ ie bidimensional ă
este o construcţie ce redă distribuţia unei
populaţii în raport cu două variabile. Astfel, fie populaţia statistică A studiată în raport cu variabilele X şi Y, rezultatele observării se pot grupa într-un tabel de forma următoare: X
x1
x2
...
x j
...
xJ
Total
y1 y2 . . yi . . yI
N11 N21 -
N12 N22 -
... ... -
N1j N2j -
... ... -
N1J N2J -
N1. N2. -
Ni1 -
Ni2 -
... -
Nij -
... -
NiJ -
Ni. -
NI1
NI2
...
NIj
...
NIJ
NI.
Total
N.1
N.2
...
N.j
...
N.J
N
Y
(1.5)
unde: - Nij - reprezintă numărul de unităţi pentru care, variabila X înregistrează starea x j şi variabila Y înregistrează starea yi ; - Ni. - numărul de unităţi pentru care Y = yi, indiferent de nivelul înregistrat de variabila X; - N.j - numărul de unităţi pentru care X = x j, indiferent de nivelul înregistrat de variabila Y; - N - numărul total de unităţi analizate.
11
Din seria bidimensională se pot extrage serii unidimensionale de forma următoare: ⎛ x x2 ... x j ... x J ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 N N N N ... ... .2 . j . J ⎠ ⎝ .1 ⎛ y y 2 ... yi ... y I ⎞ ⎟⎟ Y : ⎜⎜ 1 ⎝ N 1. N 2. ... N i. ... N I . ⎠
denumite şi serii de reparti ţ ie marginale, în raport cu X şi Y
y 2 ... y i ... y I ⎞ ⎛ y ⎟ Y / X = x j : ⎜⎜ 1 ⎟ ... ... N N N N 2 j ij Ij ⎠ ⎝ 1 j
∀ j = 1, J
ţ ie unidimensional ă în raport cu Y condi ţ ionat ă de denumită serie de reparti X = x j, numărul acestora fiind egal cu numărul de stări a variabilei X.
x2 ... x j ... x J ⎞ ⎛ x ⎟⎟ X / Y = yi : ⎜⎜ 1 ... ... N N N N i .2 ij iJ ⎠ ⎝ i1
∀i = 1, I
denumită serie de reparti ţ ie unidimensional ă în raport cu X condi ţ ionat ă de ă Y = y i, num rul acestora fiind egal cu numărul de stări a variabilei Y. De asemenea se poate elabora sau deduce seria de repartiţie bidimensională formată cu frecvenţe relative, unde: N N N f ij = ij f i. = i. f . j = . j i = 1, I j = 1, J N N N
1.4.2. Seria statistică de variaţie Conform definiţiei seria de variaţie redă variaţia unei mărimi, în timp, în spaţiu sau de la o categorie la alta. Ca urmare, în continuare vom vorbi de serii cronologice (au la bază o variabilă de timp), serii de spaţiu (au la bază o variabilă de spaţiu) şi serii categoriale (au la bază variabile atributive). Cele mai des întâlnite sunt seriile cronologice şi seriile de spaţiu. Seriile de variaţie au la bază mărimi absolute şi relative. După unii autori din cadrul mărimilor absolute fac parte indicatorul de nivel şi diferenţa absolută a unei mărimi, iar din cadrul mărimilor relative fac parte: indicatorul relativ de intensitate, indicele statistic şi diferenţa relativă a unei mărimi. Indicatorul de nivel (Y) este o mărime ce reflectă nivelul unui fenomen analizat. De exemplu: producţia diferitelor produse, veniturile populaţiei, suprafaţa cultivată cu principalele culturi, transportul, exportul, importul etc. Diferen ţ a absolut ă a unei mărimi ( ∆ Y ) exprimă diferenţa dintre nivelul cercetat şi nivelul bază de comparaţie al mărimii analizate. Se exprimă în aceeaşi unitate de măsur ă în care este cuantificat fenomenul analizat şi ne arată cu cât s-a modificat acesta de la un nivel la altul.
12
al unei mărimi ( I Y ) exprimă raportul dintre nivelul cercetat şi nivelul bază de comparaţie al mărimii analizate. Ne arată de câte ori se modifică acea mărime, de la un nivel la altul. Diferen ţ a relativă a unei mărimi ( RY ) exprimă raportul dintre diferenţa absolută a mărimii respective şi nivelul bază de comparaţie al acesteia. Ne arată cu cât la sută se modifică mărimea de la un nivel la altul. Indicatorul relativ de intensitate (d) se defineşte ca raport între doi indicatori de nivel de natur ă diferită şi arată gradul de r ăspândire a fenomenului cuantificat de indicatorul de la număr ător în raport cu fenomenul cuantificat de indicatorul de la numitor. De exemplu: producţia diferitelor culturi/ha, densitatea populaţiei, producţia principalelor produse/locuitor, rata şomajului etc. Greutatea specifică (g) reflectă structura fenomenului analizat în raport cu stările variabile X, de la baza seriei. Indicele statistic
Seriile cronologice Seria cronologică reflectă evoluţia în timp a unei mărimi. Valorile variabilei ca funcţie de timp pot fi fixate la un anumit moment de timp sau să se refere la un interval de timp. Seria cronologică de momente este o serie de observaţii ordonate în timp, exprimând stocuri [Trebici V., 1985 ]. De exemplu, volumul populaţiei, număr de universităţi, bănci, instituţii, fonduri fixe, numărul salariaţilor, întreprinderile mici şi mijlocii din diferite domenii de activitate, unităţile de cazare turistică etc. Într-o astfel de serie însumarea mărimii analizate nu are sens din punct de vedere al conţinutului, aceasta fiind permisă din considerente de calcul, ajustări etc. Seria cronologică de intervale este o serie de observaţii ordonate în timp exprimând fluxuri. De exemplu: născuţii vii, divor ţurile, decesele, producţia diferitelor culturi sau produse, venituri, cheltuieli, producţia industrială, agricolă, exportul, importul etc.Într-o astfel de serie are sens însumarea mărimii analizate. Fie o serie cronologică de momente sau de intervale ce reflectă evoluţia în timp a nivelului unei mărimi Y, ⎛ 0 1 2 ... t ... T ⎞ ⎟⎟ Y : ⎜⎜ ⎝ y0 y1 y 2 ... yt ... yT ⎠
(1.6)
Pornind de la această serie se pot deduce seriile formate cu diferenţe absolute, indici şi diferenţe relative. În funcţie de modul de raportare a stărilor variabilei timp t, mărimile de mai sus se pot calcula cu bază fixă (t/t0) (baza de comparaţie r ămâne aceeaşi) sau cu bază în lanţ (t/t-1) (baza de comparaţie se schimbă, fiind considerată cea precedentă nivelului comparat). Fie seriile cronologice formate cu: - diferenţe absolute cu bază fixă: 2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ ∆t y/ t 0 : ⎜⎜ t / 0 T / 0 ⎟ 1/ 0 2/0 ∆ ∆ ∆ ∆ 0 ... ... y y y y ⎝ ⎠ ∆t y/ 0 = y(t ) − y (0)
13
(1.7)
- diferenţe absolute cu bază în lanţ 2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ ∆t y/ t −1 : ⎜⎜ 1/ 0 2 /1 t / t −1 T / T −1 ⎟ − ∆ ∆ ∆ ∆ ... ... y y y y ⎝ ⎠
(1.8)
∆t y/ t −1 = y (t ) − y(t − 1)
Între cele două tipuri de diferenţe absolute cu baza fixă şi cu bază în lanţ, există relaţii de legătur ă ce ne permit exprimarea unora în funcţie de celelalte. În acest context, însumând diferenţele absolute cu baza în lanţ se obţin diferenţele absolute cu baza fixă. ∆t y/ 0 = ∆1 y/ 0 + ∆2 y/ 1 + ∆3 y/ 2 + ... + ∆t y/ t −1
Scăzând diferenţele succesive cu bază fixă se obţin diferenţele cu bază în lanţ. ∆t y/ 0 − ∆t y−1 / 0 = y(t ) − y(0) − y(t − 1) + y (0) = y(t ) − y(t − 1) = ∆t y/ t −1
Diferenţa absolută ne arată cu cât se modifică mărimea analizată de la un moment la altul. Se exprimă în aceeaşi unitate de măsur ă în care este cuantificat fenomenul studiat. Dacă fenomenul analizat se exprimă valoric, atunci diferenţa absolută nu reflectă prea bine modificările ce intervin, impunându-se utilizarea mărimilor relative respective, indicele statistic şi diferenţa relativă. Fie seriile cronologice formate cu: - indici statistici cu bază fixă 2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ I yt / t 0 : ⎜⎜ 1/ 0 2/0 t / 0 T / 0 ⎟ I I I I 1 ... ... y y y y ⎠ ⎝ I yt / 0 =
(1.9)
y (t ) ( x100) y (0)
- indici statistici cu bază în lanţ 2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ I yt / t −1 : ⎜⎜ 1/ 0 2 /1 t / t −1 T / T −1 ⎟ − I I I I ... ... y y y y ⎝ ⎠ I yt / t −1 =
(1.10)
y (t ) ( x100) y (t − 1)
Între cele dou ă tipuri de indici exist ă următoarele relaţii de leg ătur ă: • Făcând produsul indicilor cu baz ă în lanţ până la o anumită stare a variabilei t, se obţine indicele cu baz ă fixă al clasei respective. . y2 / 1 . ... I . yt / t −1 = I y1 / 0 I
y (1) y (2) y (t ) y (t ) . . ... . = = I yt / 0 y (0) y (1) y (t − 1) y (0)
14
• Împăr ţind doi indici succesivi cu baz ă fixă se obţine un indice cu baz ă în lanţ: y (t ) y (t − 1) y (t ) : = = I yt / t −1 I yt / 0 : I yt −1 / 0 = y (0) y (0) y (t − 1) Indicele statistic ne arat ă de câte ori se modific ă fenomenul analizat. Este m ărimea cel mai des folosit ă în caracterizarea evolu ţiei fenomenelor din economie. Având ca baz ă de referin ţă o serie cronologic ă de forma (1.7) se pot elabora serii formate cu: - diferenţe relative cu baz ă fixă
2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ R yt / t 0 : ⎜⎜ 1/ 0 2/0 t / 0 T / 0 ⎟ 0 ... ... R R R R y y y y ⎠ ⎝ t / 0 y
R
(1.11)
∆t y/ 0 y(t ) − y(0) y(t ) = = = − 1 = I yt / 0 − 1 y (0) y(0) y(0)
- diferenţe relative cu baz ă în lanţ
2 ... t ... T ⎞ ⎛ 0 1 ⎟ R yt / t −1 : ⎜⎜ 1/ 0 2 /1 t / t −1 T / T −1 ⎟ − ... ... R R R R y y y y ⎝ ⎠ t / t −1 y
R
∆t y/ t −1 = = I yt / t −1 − 1 y (t − 1)
sau
(1.12)
I yt / t −1 .100 − 100
Această mărime la fel ca şi indicele statistice, se folose şte frecvent în caracterizarea fenomenelor din economie. Dacă seria cronologic ă analizată este de intervale, se poate deduce seria format ă cu greutatea specific ă: ⎛ 0 1 2 ... t ... T ⎞ ⎟⎟ g y : ⎜⎜ ⎝ g 0 g 1 g 2 ... g t ... g T ⎠ y (t ) g (t ) = T ∑ y(t )
(1.13)
t =1
Seria statistică de spaţiu (teritorială) Seria statistică de spaţiu este o construcţie statistică ce reflectă variaţia în spaţiu a unei mărimi. Seria de spaţiu prezintă o importanţă din ce în ce mai mare, datorită dezvoltării sistemului informaţional, a necesităţii comparaţiilor internaţionale şi a comparaţiilor între regiunile unei ţări. În cadrul Anuarului Statistic al României există capitole distincte de „Statistică teritorială” şi „Statistică internaţională”. În capitolul de „Statistică teritorială” sunt cuprinse 15
informaţii privind: populaţia, for ţa de muncă, condiţii de muncă, veniturile populaţiei, cheltuielile şi consumul populaţiei, locuinţe, asistenţă socială, sănătate, învăţământ, cultur ă, sport, conturi naţionale, rezultate şi performanţe ale întreprinderilor, agricultur ă, silvicultur ă, industrie, transporturi, poştă, telecomunicaţii, turism, finanţe, justiţie şi starea infracţională, pe cele 7 regiuni şi Bucureşti. La baza seriei de spaţiu se găsesc atât mărimi absolute (indicator de nivel, diferenţa absolută), cât şi mărimi relative (indicator relativ de intensitate, indicele statistic, diferenţa relativă). Fie seria statistică Z, de forma următoare: s1 s 2 ... s i ... s R ⎞ ⎛ s ⎟⎟ Z : ⎜⎜ 0 Z Z Z Z i Z R ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( ) ... ( ) ⎝ ⎠
(1.14)
unde: si – este o stare a variabilei ce exprimă spaţiul, i = 1, R ; Z(i) – exprimă o mărime (indicator de nivel sau relativ de intensitate). Plecând de la seria de forma (1.15) se pot deduce seriile formate cu: - diferenţe absolute cu bază fixă: ... si ... s R ⎞ s s ⎛ s ⎟ ∆ s Z / s0 : ⎜⎜ 0 s11/ s0 s22/ s0 (1.15) si / s0 s R / s0 ⎟ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 ... ... ⎝ Z Z Z Z ⎠ si / s0 ∆ Z = Z (i ) − Z (0) - indicii statistici cu bază fixă s s ... si ... s R ⎞ ⎛ s ⎟ I Z s / s0 : ⎜⎜ 0 s1 1/ s0 s2 2/ s0 (1.16) si / s0 s R / s0 ⎟ 0 ... ... I I I I ⎠ ⎝ Z Z Z Z Z (i ) I Z si / s0 = .(100) Z (0) - diferenţe relative cu bază fixă s s 2 ... si ... s R ⎞ ⎛ s R Z s / s0 : ⎜⎜ 0 s11/ s0 (1.17) s2 / s0 si / s0 s R / s0 ⎟ ⎟ 0 ... ... R R R R ⎝ ⎠ Z Z Z Z si / s0 Z
I
∆ s Z i / s0 si / s0 = = I Z − 100 Z (0)
2. Observarea, sistematizarea şi prezentarea seriilor statistice 2.1. Observarea statistică Observarea statistică constituie prima etapă în cadrul studierii fenomenelor sociale, economice sau de altă natur ă, etapă în care se culeg datele statistice despre fenomenul supus cercetării. Cercetarea fenomenelor respective presupune cunoaşterea populaţiei statistice în vederea surprinderii acţiunii legilor care acţionează la nivelul acesteia. De calitatea acestei etape, într-un proces de cercetare statistică, depinde şi calitatea rezultatelor obţinute în celelalte faze. Observarea statistică presupune identificarea, urmărirea şi înregistrarea, după reguli unitare şi precise, a nivelului atins de variabilele statistice studiate la unităţile din care este formată populaţia luat în studiu[ Florea I., 1998].
16
Pentru asigurarea unor date, rezultate din observare, valide şi pertinente se impun câteva precizări. În primul rând, observarea statistică presupune urmărirea şi înregistrarea unui număr mare de unităţi statistice, ceea ce implică un volum mare de muncă. În al doilea rând, pentru ca cercetarea populaţiei să-şi atingă scopul, trebuie precizate care sunt variabilele în raport cu care este studiată populaţia. Variabilele statistice ce urmează să fie urmărite şi înregistrate la nivelul fiecărei unităţi din populaţie, trebuie să fie esenţiale şi să prezinte interes din punct de vedere al studiului întreprins. În al treilea rând, trebuie stabilite criterii exacte pentru delimitarea corectă a unităţilor statistice care alcătuiesc populaţia. Şi nu în ultimul rând, dacă observarea şi înregistrarea datelor este f ăcut de mai multe persoane este necesar ca acestea să se alinieze unei metodologii unitare pentru a asigura corectitudinea necesar ă datelor rezultate. Observarea statistică, ca primă etapă într-un studiu de cercetare presupune: specificarea unităţilor statistice care trebuie să fie urmărite şi înregistrate, alegerea variabilelor statistice care caracterizează cel mai bine populaţia şi care r ăspund obiectivului urmărit, înregistrarea stărilor variabilelor statistice considerate. Atingerea scopului cercetării statistice presupune rezolvarea următoarelor probleme care să asigure o pregătire ştiinţifică a observării statistice: - delimitarea populaţiei supuse observării; - definirea unităţilor statistice de observat; - timpul şi locul unde va avea loc observarea; - programul observ ării; - alegerea purtătorilor de informaţie; - pregătirea persoanelor ce urmează să facă observarea. Fiecăreia din aceste probleme trebuie să i se acorde importanţa cuvenită, fiindcă fiecare dintre ele conduce la o pregătire cât mai completă a observării, de rezultatele căreia depinde corectitudinea celorlalte etape a cercetării statistice. Delimitarea populaţiei supuse observării faţă de alte populaţii statistice cu care aceasta se află în legătur ă se realizează prin evidenţierea însuşirilor şi tr ăsăturilor comune ce caracterizează populaţia supusă studiului. Definirea unităţilor statistice de observat presupune claritate şi precizie pentru a nu da loc confuziilor. În momentul observării trebuie cunoscut exact care sunt unităţile statistice ce trebuie înregistrate în raport cu variabilele de studiat. Stabilirea timpului şi a locului unde va avea loc observarea are importanţă din punct de vedere a comparabilităţii datelor rezultate din observare. Noţiunea de timp a observării are în statistică două accepţiuni: - momentul sau perioada la care se refer ă datele înregistrate (timpul de referinţă); - durata observării. Locul observării reprezintă punctul din spaţiu în care se derulează procesul supus cercetării (incinta unei întreprinderi, a unui magazin, o localitate în cazul în care populaţia o reprezintă familiile etc.). În cadrul programului observării statistice trebuie stabilite variabilele statistice care urmează să fie studiate în populaţia de cercetat. Alegerea şi definirea variabilelor statistice trebuie să fie în consens cu natura populaţiei şi obiectivul cercetării statistice întreprinse. Variabilele statistice care fac parte din programul cercetării trebuie să surprindă aspectele esenţiale, să expliciteze fenomenul sau procesul studiat, să permită prelucrarea şi generalizarea acestora la nivelul întregii populaţii. Alegerea purtătorilor de informaţie se face în funcţie de volumul datelor ce urmează a fi înregistrate. Purtătorii de informaţie reprezintă supor ţii materiali pe care se înregistrează datele din observarea unităţilor statistice.
17
Observarea statistică se poate desf ăşura în diverse forme în raport cu: natura proceselor social-economice de studiat, obiectivul cercetării, formele de organizare cât şi posibilităţile practice de urmărire şi înregistrare a unităţilor statistice din populaţie. După cum se ştie, în raport cu gradul de cuprindere a populaţiei considerate avem: observarea totală şi observarea par ţială. Observarea totală permite înregistrarea, în raport cu variabilele statistice a tuturor unităţilor statistice din populaţie, implicând un volum mare de muncă, antrenează, de obicei, un număr de persoane şi durează mult timp. Ca urmare se crează condiţii pentru apariţia de erori de observare, ceea ce va conduce la micşorarea eficienţei observării. Forma cea mai frecventă de observare totală o constituie recensământul populaţiei. Observarea totală se practică şi în domeniul controlului tehnice de calitate, în cazul produselor de înaltă tehnicitate , aşa cum ar fi: televizoare, maşini de spălat, frigidere, automobile etc. Este necesar ă o observare totală în acest caz, deoarece constatarea defecţiunilor de către cumpăr ători ar implica cheltuieli mult mai mari cu remedierea acestora în comparaţie cu organizarea unei observări totale a loturilor de produse ce urmează a fi scoase pe piaţă. În cazul altor produse, unde cheltuielile legate de remedierea defectelor sunt nesemnificative, este suficientă realizarea unor observări par ţiale prin care să se asigure că rebuturile nu depăşesc un anumit procent admis. O astfel de observare, care include doar o parte din unităţile populaţiei supuse studiului corespunde observării parţiale. Observarea par ţială constituie o alternativă la observarea totală în cazul populaţiilor infinite sau chiar dacă sunt finite prin observare are loc distrugerea acestora. Având la baz ă procedeul observării par ţiale se pot evalua rezervele de ţiţei, cărbune sau alte minerale, se poate evalua masa de material lemnos din fondul silvic a unei zone sau la nivelul întregii ţări. În general, observarea par ţială se recomandă în toate cazurile în care se consider ă mai avantajoasă decât observarea totală. Eşantionul, ca rezultat al observării par ţiale, presupune respectarea cu stricteţe a principiului reprezentativităţii, în conformitate cu care fiecare unitate statistică din populaţie generală să aibă aceeaşi şansă de a face parte din eşantion. Asigurarea respectării principiului reprezentativităţii în formarea eşantionului de observat permite acestora o structur ă foarte apropiată cu cea a populaţiilor din care sunt formate. Aceasta ne asigur ă, cu o anumită probabilitate dinainte fixată, că rezultatele obţinute la nivelul eşantionului pot fi extinse la nivelul întregii populaţii. În raport cu legea de probabilitate urmată de variabilele urmărite în populaţia generală sunt două tipuri de eşantioane: e şantioane de volum mare şi e şantioane de volum redus. Observarea statistică în raport cu procedeul folosit este de două feluri: - observarea directă; - observarea indirectă. Observarea direct ă presupune o observare nemijlocită a unităţilor din populaţie, care sunt prevăzute pentru cercetare. Acest mod de observare se realizează printr-un contact direct cu unităţile statistice, fie prin măsurare, fie prin interogare, dacă unităţile sunt persoane. Acest procedeu permite observatorului perceperea nemijlocită a fenomenelor luate în studiu în vederea măsur ării nivelelor înregistrate de variabilele considerate. Observarea indirect ă presupune un intermediar între unităţile care urmează să fie supuse observării şi observator. Intermediarul poate fi un document special conceput în vederea observării şi atunci observarea este pe bază de document sau intermediarul poate fi o altă persoană decât observatorul, caz în care avem observare prin interogare. Suportul pentru culegerea datelor îl reprezintă chestionarul.
18
2.2. Sistematizarea şi prezentarea datelor statistice Sistematizarea constituie o etapă în cadrul prelucr ării datelor statistice în vederea prezentării acestora sub formă de serie statistică (tabele statistice). Datele obţinute ca urmare a procesului de observare statistică, în forma lor brută, permit o caracterizare amănunţită a fiecărei unităţi din populaţia considerată. Deoarece, datele rezultate din observare se prezintă sub formă dezorganizată nu permit o caracterizare a populaţiei în ansamblu. În vederea atingerii scopului cercetării statistice întreprinse şi anume acela de a da o caracterizare de ansamblu a populaţiei considerate este necesar ca datele rezultate din observare să fie supuse unor operaţii de sistematizare şi prezentare în vederea deducerii a ceea ce este esenţial, tipic şi general în legătur ă cu populaţia. Deoarece în prelucrarea statistică primul pas îl constituie prezentarea datelor observate sub forma de serie (tabel), pentru construirea seriilor statistice se aleg variabilele care trebuie să fie în strânsă dependenţă cu scopul cercetării şi cu natura fenomenului cercetat. Odată precizate variabilele de la baza seriei, se ştie care va fi conţinutul primului şir de date şi ca urmare este elucidat criteriul în raport cu care informaţiile rezultate din observare vor fi ordonate, necunoscându-se însă cum se face propriu-zis ordonarea şi cum se completează primul şir al seriei. Operaţia de stabilire a claselor presupune împăr ţirea unităţilor unei populaţii în clase distincte în raport cu una sau mai multe variabile şi aranjarea claselor rezultate într-o anumită ordine. În urma unei asemenea operaţii, fiecare unitate trebuie să se g ăsească în una şi numai una din clasele rezultate. Această operaţie nu trebuie să conducă la pierderi de unităţi, regăsindu-se însă într-o altă ordine decât cea după care s-a realizat observarea. Omogenitatea constituie o proprietate de bază pe care trebuie să o aibă clasele. Se spune că o clasă este omogenă dacă, pentru unităţile care fac parte din ea, variabila de grupare înregistrează variaţii nesemnificative. În cele ce urmează se va prezenta operaţia de stabilire a claselor în cazul unei serii unidimensionale. Dacă la baza seriei avem o variabil ă calitativă , atunci clasele se stabilesc în raport cu stările acesteia. Pentru fiecare stare a variabilei se va construi o clasă. Ca urmare, în acest caz, într-o clasă vor intra toate unităţile care au înregistrat aceeaşi stare în timpul observării în raport cu variabila considerată. În cazul unei serii care are la bază o variabil ă cantitativă discret ă (numărul stărilor nu este prea mare), clasele se stabilesc în mod asemănător ca şi la variabilele calitative, respectiv: ⎛ x x2 ... x R ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 ... N N N ⎝ 1 2 R ⎠ În condiţiile în care cercetarea populaţiei presupune elaborarea unei serii care are la bază o variabil ă cantitativă continuă sau o variabilă cantitativă discretă, dar care în populaţia considerată înregistrează un număr prea mare de stări, clasele nu se mai pot stabili cu ajutorul stărilor variabilei. Pentru asemenea cazuri, gruparea unităţilor populaţiei în clase se face cu ajutorul intervalelor de grupare (variaţie), fiecare interval cuprinzând un număr oarecare de valori ale variabilei. Ca urmare, pentru o serie continuă, clasele se definesc cu ajutorul intervalelor de grupare. Două probleme se pun în cazul elabor ării unei serii care are la bază o variabilă cantitativă continuă: • determinarea lungimii intervalelor de variaţie; • stabilirea formei de scriere a intervalelor de variaţie. 19
Determinarea lungimii intervalelor de variaţie conduce la două situaţii: • serii construire cu intervale de lungime egală; • serii construite cu intervale de lungime diferite. Stabilirea numărului de intervale de variaţie trebuie să asigure satisfacerea următoarelor condiţii: - informaţia care se pierde în urma operaţiei de grupare să nu fie prea mare, iar populaţia să nu fie prea f ărâmiţată în raport cu variabilele de grupare; - media aritmetică a fiecărei grupe (în raport cu valorile înregistrate) să fie cât mai aproape de centrul intervalului de variaţie respectiv; - să nu existe grupe vide; - reprezentarea grafică a seriei rezultate să permită conturarea unei regularităţi a fenomenului de studiat din cadrul populaţiei. Trebuie remarcat că acest lucru nu este posibil nici în cazul unui număr mic de intervale deoarece se pierd prea multe date, nici în cazul unui număr prea mare de intervale, populaţia f ărâmiţându-se prea tare. Statisticianul american H.A. Struges a stabilit pentru cazul în care populaţia în raport cu variabila X este normală, următoarea expresie: l x =
xmax − xmin 1 + 3,322 lg N
(2.1)
(1+3,322 LgN, având semnificaţia de „număr de intervale”), pentru celelalte cazuri rezultatul fiind orientativ, servind la determinarea cu aproximaţie a lungimii intervalelor de variaţie în cazul în care acestea vor fi de lungime egală. În expresia de calcul a lungimii intervalelor intervine valoarea maximă şi cea minimă a variabilei, cât şi volumul populaţiei. În urma stabilirii lungimii intervalelor. Se elaborează seria de intervale de lungime egală după cum urmează: ⎛ [ x ; ( x + l )) ... [ xmin + (k −1)l x ;( xmin + kl x )) ... [ xmin + ( R −1)l x ; ( xmin + R l x )) ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ min min x N N N 1 ⎝ ⎠ k R
dacă se presupune că au rezultat R intervale, unde Nk , k = 1, R reprezintă volumele claselor în care s-a structurat populaţia. Numeroase sunt cazurile practice în care studiul unei populaţii în raport cu o variabilă sau mai multe presupune împăr ţirea domeniilor de variaţie ale acestora în intervale de lungime neegală. În asemenea cazuri nu există o relaţie de calcul în acest sens. Stabilirea intervalelor de variaţie se face în directă legătur ă cu variaţia variabilelor şi distribuirea unităţilor în raport cu acestea. Dacă la baza seriei în cauză stau două sau mai multe variabile calitative sau cantitative atunci clasele se stabilesc în raport cu fiecare din variabilele considerate prin stările acestora (vezi seria 1.5), avem serii bidimensionale sau multidimensionale. Nu este recomandat ca numărul variabilelor în raport cu care se studiază populaţia s ă fie prea mare, deoarece aceasta duce la o divizare exagerată a populaţiei pierzându-se din vedere aspectele principale. După ce clasele au fost definite, are loc repartizarea unităţilor populaţiei în clasele respective, folosind în acest scop un algoritm adecvat. Pentru elaborarea şi prezentarea seriilor statistice se apelează la pachete de programe statistice cum ar fi: S.P.S.S. (Statistical Package for the Social Sciences), STATISTICA, S.A.S. (Statistical Analysis System), STATGRAPHICS, etc. 20
2.3. Reprezentări grafice Reprezentarea grafică a unei serii ne dă o imagine geometrică (în plan sau spaţiu) cu privire la forma statică sau evoluţia dinamică a fenomenului cuantificat de seria respectivă. Graficul asociat unei serii constituie o imagine spaţială a fenomenului de cercetat, ţ permi ând evidenţierea rapidă a structurii, dinamicii şi tendinţei de dezvoltare a acestuia. Reprezentările grafice sunt folosite atât în scopul cunoaşterii populaţiei în cauză, cât şi pentru popularizarea unor rezultate din diverse domenii de activitate. Elaborarea completă şi corectă în acelaşi timp a unui grafic presupune elucidarea următoarelor elemente: titlul graficului, scara de reprezentare, reţeaua graficului, semnele convenţionale şi notele. Titlul graficului trebuie să fie scurt, clar şi semnificativ pentru conţinutul fenomenului reliefat prin seria considerată. Scara de reprezentare reuneşte mulţimea tuturor punctelor cotate. În cazul în care variabila înregistrează valori mici, gradarea scării începe în principiu de la zero, dacă variabila înregistrează valori mari se consider ă o altă origine stabilită cu aproximaţie. Pentru a nu încărca prea mult desenul, se recomandă reprezentarea pe scar ă doar a valorilor dispuse la un anumit interval convenabil ales. Distanţele dintre două puncte cotate consecutive se numeşte intervalul graficului. Când intervalele sunt egale atunci avem scări uniforme, în caz contrar avem scări neuniforme. Re ţ eaua graficului permite identificarea cu uşurinţă în plan sau în spaţiu a punctelor corespunzătoare valorilor înregistrate de variabilele în cauză. Sistemul axelor rectangulare (în plan sau spaţiu) constituie cele mai uzuale reţele în reprezentarea grafică a seriilor statistice. Semnele conven ţ ionale se pot materializa într-o reprezentare grafică prin inscripţii, fie printr-o legendă. Inscripţia trebuie să fie scurtă şi semnificativă şi plasată cât mai bine în raport cu elementul din grafic pe care îl explicitează. Legenda se foloseşte pentru a explicita folosirea semnelor, culorilor sau diverselor haşuri folosite în graficul în cauză. Legenda se plasează înafara graficului, în colţul din stânga sau dreapta jos. În cazul graficelor complexe, pentru o înţelegere mai bună, sunt necesare unele explicaţii, care se dau sub formă de note. Notele generale privesc în ansamblu graficul şi se plasează chiar sub titlul graficului. Notele speciale privesc por ţiuni din grafic şi sunt legate de acestea prin diverse semne de trimitere. Notele se plasează în partea de jos a diagramei, în colţul din stânga sub reţea. În continuare se vor prezenta principalele tehnici de construire a graficelor utilizate în reprezentarea seriilor statistice ce descriu fenomenele social-economice.
Histograma Graficul specific seriilor care au la bază o variabilă continuă (de intervale) este histograma. Aceasta se construieşte într-un sistem de axe rectangulare după cum urmează: pe abscisă se trec intervalele de variaţie, iar pe ordonată se trasează scara frecvenţelor. Scara frecvenţelor se construieşte în conformitate cu respectarea principiului propor ţionalităţii între frecvenţe şi segmentele delimitate pe scara ordonatelor. Pentru fiecare interval de variaţie a seriei ( xi-1 – xi) se construieşte un dreptunghi a cărui bază este chiar lungimea intervalului, iar cealaltă latur ă se determină din condiţia propor ţionalităţii ariei dreptunghiului cu mărimea indicatorului în clasa respectivă. Latura necunoscută a dreptunghiului, notată cu Li se determină din următoarea relaţie: Li . l i = k . N i (2.2) unde: 21
l i = latura cunoscută a dreptunghiului corespunzător intervalului ( xi-1 - xi ); Li = latura necunoscută a dreptunghiului corespunzător intervalului ( xi-1 - xi ); Ni = frecvenţa absolută a clasei „i”; k = un coeficient de propor ţionalitate care se alege în raport cu scara de reprezentare. Din relaţia (2.2) se deduce Li: N i 1, R L i k i , li unde: l i = xi - xi-1, adică diferenţa dintre limita superioar ă şi cea inferioar ă a intervalului de variaţie. Mulţimea tuturor dreptunghiurilor astfel determinate, formează histograma ataşată seriei.
Poligonul frecvenţelor Este o reprezentare grafică a seriilor statistice având la bază o variabilă atributivă cantitativă continuă şi formată cu frecvenţe absolute sau relative, simple sau cumulate. Trasarea acesteia presupune realizarea în prealabil a histogramei. Poligonul frecvenţelor se obţine unind prin segmente de dreaptă mijloacele laturilor superioare ale dreptunghiurilor, din care este alcătuită histograma. Poligonul frecvenţelor este un grafic important pentru aproximarea formei distribuţiei populaţiei studiate, cât şi pentru compararea a două distribuţii pe aceeaşi diagramă. Exemplu Din Anuarul Statistic al României din anul 2000, am extras o serie de repartiţie reprezentând populaţia României sub 40 de ani pe grupe de vârstă . Grupa de vârstă (ani) 0–4 5–9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39
Populaţia 1147065 1330733 1737153 1701881 1978835 1792822 1698268 1335039
Distributia populatiei Romaniei sub 40 ani pe grupe de varsta
a i t a l
u p o p
0–4
5–9
10 – 14
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
grupa de varsta (ani)
Figura 2.1 Histograma si poligonul frecventelor 22
Diagramele de structură Punerea în evidenţă sub formă grafică a structurii unei populaţii statistice este posibilă apelând la diagramele de structur ă. În acest sens se prezint ă: dreptunghiul, pătratul, cercul şi semicercul de structur ă. Aceste tipuri de grafice permit reprezentarea grafică a seriilor unidimensionale construite cu mărimi de structur ă( frecvenţe relative, greutate specifică). Cel mai des folosit este cercul de structur ă denumit şi diagrama sectorială (piechart).
Cercul de structură Se construieşte un cerc de rază oarecare a cărei suprafaţă se consider ă că reprezintă volumul întregii populaţii în cauză (exprimat în frecvenţe absolute sau relative). Fiecare clasă în care este divizată populaţia supusă studiului este reprezentată printr-un sector de cerc de arie direct propor ţională cu volumul clasei. Trasarea sectorului de cerc presupune determinarea măsurii în grade a unghiurilor la centru a fiec ărui sector. Unghiul la centru de 360o corespunde volumului întregii populaţii. Unghiurile sectoarelor de cerc care reprezintă clase din populaţie trebuie să fie propor ţionale cu volumul acestora (exprimat în frecvenţe absolute sau relative). Unui procent îi corespunde 3,6o cu procentul corespunzător clasei respective. 360o µ i = f i (%). (2.3) 100 Exemplu
Din Anuarul Statistic al României din anul 2000 am extras seria care urmează, redând distribuţia voturilor electoratului pentru Senat (după redistribuire) la alegerile din 3 noiembrie 1996: Formaţiunea Politică Voturi Obţinute (%)
CDR
PDSR
USD
UDMR
PRM
PUNR
37,0
28,7
16,1
7,7
5,6
4,9
Chart Title
PUNR PRM
UDMR
CDR
USD
PDSR
Figura 2.2 Cercul de structura
23
Diagramele prin benzi (barchart) Acest tip de grafic utilizează benzile (barele), pentru a reprezenta distribuţia unei populaţii în raport cu o variabilă cantitativă discretă sau calitativă. Benzile au aceeaşi lăţime (bază), iar lungimea (înălţimea) lor este direct propor ţională cu frecvenţa clasei reprezentate. Numărul benzilor este egal cu numărul claselor în care este împăr ţită populaţia studiată. De asemenea se pot lua în considerare o variabilă sau două. În reprezentări se utilizează benzi simple sau benzi grupate. Poziţia benzilor poate fi orizontală sau verticală. Exemplu
Din Anuarul Statistic al României din anul 2000 am extras seria care urmează, redând nivelul PNB/loc în $ calculat pe baza puterii de cump ărare în România şi alte ţări esteuropene, în 1998 Ţara PNB/loc ($)
Bulgaria 4683
Cehia 12197
Polonia 7543
România 6153
Slovacia 9624
Ungaria 9832
PNB/loc ($) in 1998 14000 12197 12000
10000
9624
9832
Slovacia
Ungaria
7543
8000
6153 6000 4683 4000
2000
0
Bulgaria
Cehia
Polonia
România
Figura 2.3 Diagramă prin benzi simple
Cronograma (historiograma) O categorie foarte importantă de serii o constituie seriile cronologice, a căror reprezentare grafică se realizează prin cronograme. Trasarea unei cronograme se realizează într-un sistem de axe rectangulare. Se consider ă seria cronologică de forma (1.7): ⎛ 0 1 2 ... t ... T ⎞ ⎟⎟ Y : ⎜⎜ ... ... y y y y y ⎝ 0 1 2 t T ⎠ unde: t = 0, T , reprezintă momentele (sau perioadele) de timp care se reprezintă pe axa absciselor, iar mărimile yt se reprezintă pe axa ordonatelor. Fiecărei perechi de valori (t, yt),
24
t = 0, T îi corespunde un punct în planul axelor rectangulare. Unind prin segmente de dreaptă punctele consecutive, astfel determinate, se obţine ceea ce se numeşte cronogramă . În acelaşi sistem de axe pot fi reprezentate una sau mai multe serii cronologice, care pot fi exprimate în aceeaşi unitate de măsur ă sau în unităţi de măsur ă diferite. Cronogramele asociate unor serii cronologice ne permit compararea fenomenelor surprinse de asemenea serii şi sesizarea perioadelor critice în evoluţia acestora. Exemplu.
Din Anuarul Statistic al României din anul 2000 am extras seria care urmează, redând numărul total ta autoturisme înscrise în circulaţie la sfâr şitul anului în România în perioada 1994-1999. Anul Autoturisme înmatriculate
1994 2020017
1995 2197477
1996 2391869
1997 2605465
1998 2822254
1999 2980014
Evolutia numarului de autoturisme inscrise in circulatie in perioada 1994-1999
3500000
e i t a l u c r i c n i e m s i r u t o t u a r a m u n
3000000
2500000
2000000
1500000
1000000
500000
0 1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
anul
Figura 2.4 Cronograma
Norul statistic Norul statistic constituie o modalitate de reprezentare grafică a seriilor atributive de repartiţie bidimensionale. Se consider ă o serie bidimensională de repartiţie în raport cu variabilele discrete X şi Y . În sistemul de axe rectangulare xOy se marchează toate punctele de coordonate ( x j , yi ); i = 1, I; j = 1, J pentru care frecvenţele N ij ≠ 0. Mărimea acestor frecvenţe se poate marca pe grafic în două moduri: - dacă frecvenţele sunt mici, atunci pentru fiecare punct de pe grafic ( x j , yi ); i = 1, I; j = 1, J pentru care N ij ≠ 0, se marchează atâtea puncte de câte ori se repetă perechea respectivă.
25
-
dacă însă frecvenţele sunt prea mari, pentru marcarea lor pe grafic se pot utiliza diagrame areale prin cercuri ale căror arii trebuie să fie propor ţionale cu r ădăcina pătrată a frecvenţelor pe care le reprezintă. În cazul în care cele două variabile X şi Y sunt continue, întrucât la intersecţia a două intervale se formează o rubrică (căsuţă), frecvenţele diferite de zero se reprezintă în interiorul acestei rubrici, fie prin puncte, fie prin diagrame areale cu respectarea unuia din cele două moduri de elaborare mai sus amintite. Exemplu Un produs a fost lansat simultan pe 13 pieţe. Pe aceste pieţe, produsul a fost propus la preţuri diferite (P), veniturile consumatorilor (V) fiind şi ele diferite. Pentru fiecare piată s-a înregistrat un anumit nivel al cererii (C), rezultatele fiind sintetizate în tabelul următor: Nr. Crt.
1
2
3
4
5
6
Cerere (C)
15,4
3,2
4,9
10,5
8,0
5,1
1,4
5,1
2,5
1,7
1,8
3,4
Preţ (P)
7
8
9
10
11
7,6
11,3
14,0
6,4
2,1
1,6
3,6
3,5
12
13
13,2
8,8
12,1
1,9
1,8
1,9
18 16 14 12 e r10 e r e 8 c
6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
pret
Figura 2.5 Norul de puncte în raport cu Pret şi Cerere Cartograma şi cartodiagrama Aceste tipuri de grafice se folosesc frecvent pentru reprezentarea grafică a seriilor statistice de spaţiu. Realizarea unei cartograme sau a unei cartodiagrame presupune conturarea spaţiului (sub formă de hartă) în interiorul căruia se manifestă fenomenul care este cuantificat de seria de reprezentat. În interiorul hăr ţii astfel realizată, prin diverse culori sau nuanţe ale aceleiaşi culori, prin haşuri sau prin diferite diagrame, este evidenţiată intensitatea dezvoltării fenomenului cercetat precum şi mărimea indicatorilor seriei. Cartodiagrama constituie o modalitate de reprezentare grafică a seriilor de spaţiu, realizându-se ca o îmbinare între cartogramă şi diferite alte tipuri de diagrame, ca de exemplu diagrame prin benzi, cerc, pătrat, dreptunghi etc. De exemplu, pentru a reprezenta o serie de spaţiu ce exprimă volumul investiţiilor str ăine pe judeţe, la noi în ţar ă, se procedează astfel: în primul rând se desenează harta României, delimitându-se judeţele; în cadrul fiecărui judeţ se desenează o figur ă geometrică oarecare convenabil aleasă, a cărei arie sau mărime să fie direct propor ţională cu volumul investiţiilor str ăine din judeţul respectiv. 26
Probleme propuse P1. Daţi 5 exemple de populaţii statistice a căror cercetare ar prezenta interes şi pentru fiecare populaţie selectată precizaţi: - denumirea populaţiei, a unităţii statistice şi volumul acesteia; - scopul cercetării statistice; - variabilele statistice în raport cu care s-ar face observarea statistică a populaţiei. P2. Să se extragă din Anuarul Statistic sau alte surse informaţionale o serie statistică bidimensională ce redă distribuţia unei populaţii în raport cu două variabile atributive, relativ la care se cere: 1. denumirea populaţiei ce a fost supusă observării şi volumul acesteia; 2. unitatea statistică; 3. caracterizarea variabilelor statistice în raport cu care a fost studiată populaţia; 4. caracterizarea seriei statistice în raport cu toate criteriile cunoscute; 5. elaborarea seriei bidimensionale formată cu frecvenţe relative, interpretare; 6. extragerea repartiţiilor unidimensionale marginale şi a celor condiţionate; 7. pornind de la o repartiţie marginală deduceţi celelalte serii statistice posibile, interpretare. P3. Din Anuarul Statistic sau alte surse informaţionale extrageţi o serie statistică de repartiţie, având la bază o variabilă de spaţiu, relativ la care se cere: 1. denumirea populaţiei statistice şi volumului ei; 2. unitatea statistică; 3. caracterizarea seriei după toate criteriile cunoscute; 4. deducerea seriei formată cu frecvenţe relative; 5. interpretare. P4. Din Anuarul Statistic sau alte surse informa ţionale extrageţi două serii cronologice având la bază indicatorul de nivel, una de momente, alta de intervale şi deduceţi seriile formate cu diferenţe absolute, indici statistici, diferenţe relative, cu bază fixă şi cu bază în lanţ (interpretări). P5. Daţi 5 exemple de serii cronologice având la bază indicatorul relativ de intensitate. P6. Din Anuarul Statistic sau alte surse informaţionale extrageţi o serie de spaţiu formată cu indicator de nivel sau indicator relativ de intensitate şi deduceţi seriile formate cu diferenţe absolute, indici şi diferenţe relative, calculate cu bază fixă. Interpretare. P7. Extrageţi 5 exemple de serii de spaţiu ce conţin informaţii importante pentru domeniul economic. P8. Luând ca exemplu o populaţie statistică studiată în raport cu un anumit număr de variabile (stabilite în raport cu obiectivul studiului), se cere: 1. elaborarea tuturor seriilor statistice de repartiţie unidimensionale 2. elaborarea a trei serii statistice de repartiţie bidimensionale ( una are la baza două variabile calitative, una are la bază o variabila calitativă şi o variabilă cantitativă, una are la bază două variabile cantitative) 3. reprezentarea grafică a: histogramei, poligonului frecvenţei, cercului de structur ă, diagramei prin benzi sau coloane, norul statistic, cronograma şi cartograma.
Bibliografie: 2. Buiga, A., Metodologie de sondaj şi analiza datelor în studiile de pia ţă , Ed. Presa Universitar ă Clujeană, Cluj-Napoca, 2001; 3. Buiga, A., Dragoş C., Lazăr D., Parpucea I., Todea A., Statistică I, Ed. Presa Universitar ă Clujeană, Cluj-Napoca, 2003; 4. Florea I., Parpucea I., Buiga A., Statistică descriptivă , Ed. Continental, Cluj-Napoca,
1998. 27
MODULUL 2 PARAMETRII REPARTIŢIILOR EMPIRICE UNIDIMENSIONALE Obiective • cunoaşterea şi înţelegerea modului de calcul precum şi a semnificaţiei parametrilor statistici. • ilustrarea tr ăsăturilor esenţiale care caracterizează fenomenele social - economice • cunoaşterea şi măsurarea variaţiei unei mărimi în raport cu nivelul mediu al acesteia
Concepte de bază • • • • •
valoare medie, mediană, modală parametrii de structur ă variaţie, abatere medie, dispersie parametrii concentr ării asimetrie şi boltire
Rezultate aşteptate Cunoaşterea modului de calcul şi a semnificaţiei parametrilor tendinţei centrale, a gradului de reprezentativitate a mediei, respectiv a medianei, analiza structurii unei populaţii şi formularea unei concluzii privind forma distribuţiei unei populaţii.
Sinteza 2.1. Parametrii tendinţei centrale Parametrii din această grupă au menirea de a evidenţia poziţia în jurul căreia se grupează ansamblul valorilor unei variabile de la baza unei serii. Această poziţie exprimată printr-un număr se numeşte pozi ţ ie central ă. Ea poate fi evidenţiată prin: - valoarea medie ( X ) ; - valoarea mediană (M e ( X )) ; - valoarea modală (M o ( X )) . A. Valoarea medie Valoarea medie reprezintă principalul parametru care caracterizează tendinţa centrală a unei repartiţii statistice. În vederea definirii parametrului valoarea medie se consider ă o populaţie statistică studiată în raport cu variabila cantitativă X şi o funcţie G(x1,x2,…,xR ) unde xi, i = 1, R , reprezintă stările variabilei X . Funcţia G exprimă o anumită însuşire esenţială, un atribut al populaţiei în raport cu variabila X . Această funcţie se numeşte func ţ ie determinant ă . Prin definiţie, valoarea medie X a variabilei X este parametrul care lasă invariantă funcţia determinantă, adică:
28
G ( x1 , x 2 ,..., x R ) = G ( X , X ,..., X ) .
(2.0)
Această egalitate se întâlneşte sub denumirea de relaţia lui BOIARSKI-KISINI. În funcţie de forma analitică a funcţiei G, din relaţia (2.0) se deduce expresia analitică (indicatorul) de calcul a valorii medii X . Determinarea, pe această cale, a valorii medii X , este destul de anevoioasă. Utilizarea acesteia presupune stabilirea conţinutului (semnificaţiei) şi a formei analitice a funcţiei determinante G, pentru fiecare caz în parte. Dar, valoarea medie X poate fi definită ca un raport a două mărimi din care se deduce aceeaşi expresie pentru X ca şi din (2.0). Există, aşadar, două modalităţi echivalente de definire a valorii medii, criteriul rela ţ iei determinante a lui Boiarski-Kisini şi criteriul raportului, ultima fiind mai accesibilă. Criteriul raportului presupune raportarea volumului fenomenului cercetat la volumul populaţiei. Acesta presupune cuantificarea volumului fenomenului în funcţie de natura lui. Pentru a exemplifica cele prezentate mai sus, se consider ă populaţia familiilor dintr-o localitate, cercetată în raport cu numărul de copii. Datele rezultate din observare se prezintă ca o serie de repartiţie de forma: ⎛ x ⎞ X : ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎝ N i ⎠ i =.1, R În acest caz, funcţia determinantă are următoarea formă: R
G ( x1 , x 2 ,..., x R ) = ∑ xi N i i =1
semnificând numărul total de copii din localitatea respectivă. Pentru a găsi numărul mediu de copii pe familie se particularizează relaţia (2.0) după cum urmează R
R
i =1
i =1
∑ xi ⋅ N i = ∑ X ⋅ N i de unde rezultă: R
X =
xi ⋅ N i ∑ i 1 =
R
N i ∑ i 1 =
La acelaşi rezultat se putea ajunge pornind de la faptul că numărul mediu de copii pe familie se poate exprima ca un raport între numărul total de copii şi numărul de familii din localitatea respectivă, adică:
X =
Nr . ⋅ total ⋅ de ⋅ copii Nr . ⋅ de ⋅ familii
(2.1)
În acest exemplu, fenomenul fiind de natur ă demografică, volumul acestuia se cuantifică prin numărul total de copii la nivelul populaţiei statistice considerate. Aceasta este în directă concordanţă cu natura şi semnificaţia variabilei în raport cu care se face cercetarea statistică. Cunoaşterea “naturii” parametrului valoare medie, conduce la o definiţie mai completă şi plină de semnificaţie.
29
Pentru a înţelege semnificaţia valorii medii X , trebuie subliniat faptul că, în general, variaţia unui fenomen, de orice natur ă, şi în particular variaţia unei variabile X în raport cu care este cercetată o populaţie, este determinată de acţiunea simultană a două categorii de factori: factori esenţiali şi factori neesenţiali. În categoria factorilor esenţiali intr ă acei factori care acţionează asupra tuturor unităţilor populaţiei în mod continuu şi în acelaşi sens, determinând, în principal, nivelul de dezvoltare a variabilei pentru fiecare unitate componentă din populaţie. Factorii esenţiali se conjugă în acţiunea lor cu factorii neesenţiali, care, în general, au un caracter aleator, sunt numeroşi şi neuniform r ăspândiţi printre unităţile populaţiei. Fiecare din factorii consideraţi neesenţiali acţionează numai asupra unui anumit număr de unităţi din populaţie. Ca urmare, aceştia pot contribiu fie la creşterea nivelului variabilei (pentru unele unităţi din populaţie), fie la scăderea nivelului variabilei (pentru alte unităţi din populaţie). La rândul lor factorii esenţiali nu acţionează cu aceeaşi intensitate asupra tuturor unităţilor din cadrul populaţie considerate, determinând, în acest fel, variaţia neuniformă a variabilei respective în cadrul populaţiei. În consens cu cele subliniate mai sus, se poate afirma că parametrul valoarea medie a unei serii statistice care are la bază variabila X , constituie acel nivel pe care l-ar putea înregistra variabila în cadrul populaţiei cercetate în condiţiile în care factorii neesenţiali nu sar fi manifestat, iar factorii esenţiali ar fi acţionat asupra unităţilor din populaţie cu aceeaşi intensitate. Parametrul valoarea medie, calculat pentru o serie statistică, pune în evidenţă ceea ce este comun, general şi esenţial sub aspectul nivelului de dezvoltare al variabilei, în raport cu care este studiată o populaţie. În raport cu natura variabilei ce stă la baza seriei, cât şi a formei de prezentare a indicatorilor cu care aceasta este construită, există mai multe posibilităţi de calcul a valorii medii. Funcţia determinată G, sub forma sa cea mai generală, are următoarea expresie analitică: 1
⎛ R K ⎞ K ( ) G x1 , x 2 ,..., x R = ⎜ ∑ xi ⋅ f i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
(2.2)
Pentru diverse valori ale lui k , în strictă concordanţă cu conţinutul şi semnificaţia funcţiei G, se întâlnesc mai multe tipuri de medii: - media armonică (k = -1); - media aritmetică (k = 1); - media pătratică (k = 2); - media cubică (k = 3); - media de ordinul k în general. În caz concret, valoarea medie reală X este aceea care se obţine prin indicatorul (mediu) rezultat fie prin aplicarea criteriului relaţiei determinante, fie criteriului raportului.
Modalităţi de calcul a valorii medii 1. Media aritmetică
30
Acesta este indicatorul cel mai utilizat în calculul parametrului valoarea medie a unei serii statistice, aşa cum rezultă din practica statistică. Se consider ă acum două serii statistice de repartiţie, una formată din frecvenţe absolute, iar cealaltă din frecvenţe relative: ⎛ x ⎞ X : ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎝ N i ⎠ i =.1, R
(2.3)
⎛ x ⎞ X : ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎝ f i ⎠ i =.1, R
(2.4)
Media aritmetică pt cele două serii se calculează astfel: ∑ xi N i ; X = ∑ xi f i ∑ N j Dacă seria este de intevale, construită cu frecvenţe absolute avem: . i ∑ x' i N X = ∑ N j Fie o serie de repartiţie, care are la bază o variabilă continuă X , respectiv, X =
⎛ x − x ⎞ X : ⎜⎜ i −1 i ⎟⎟ ⎝ f i ⎠i =.1, R
xi + xi −1 = xi' 2 ' unde x i reprezintă mijlocul intervalului “i”, obţinem relaţia:
Folosind notaţiile:
R
X = ∑ xi' ⋅ f i i =1
Relaţia ne arată că media aritmetică a unei serii de intervale se reduce la media aritmetică a unei serii discrete în care clasele sunt reprezentate prin mijloacele intervalelor de variaţie.
2. Media armonică Se consider ă o serie de forma: ⎛ x ⎞ X : ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎝ N i ⎠ i =1, R
(2.5)
În cazul unei serii discrete de forma (2.5), media armonică notată cu X −1 se defineşte prin:
31
R
X −1 =
N i ∑ i 1 =
(2.6)
R
1 ⋅ N i ∑ i =1 x i
numită şi formula mediei armonice ponderate. Dacă ponderile sunt egale între ele, adică N1=N2=…=NR =N*, atunci relaţia (2.6) devine: R
X −1 =
N * ∑ i 1 =
=
R
1 ⋅ N * ∑ i =1 x i
R
(2.7)
R
1 ∑ i =1 x i
care reprezintă formula mediei armonice simple. În cazul unei serii care are la bază o variabilă continuă X, respectiv, ⎛ x − x ⎞ X : ⎜⎜ i −1 i ⎟⎟ ⎝ N i ⎠i =1, R
procedând ca la media aritmetică, pentru media armonică rezultă: R
X −1 =
N i ∑ i 1 =
(2.8)
R
1 ⋅ N i ∑ ' i =1 x i
unde xi’ reprezintă mijlocul intervalului “i”, i = 1, R . Şi în acest caz, dacă ponderile sunt egale, se obţine relaţia de calcul a mediei armonice simple, de forma:
X −1 =
R R
1
=
i
∑ ' i 1 x
3. Media geometrică Pentru o serie care are la bază variabila discretă X , formată cu frecvenţe absolute, media geometrică notată cu X g (sau X o ) este definită prin expresia: N 2 N R 1 X g = N x N 1 ⋅ x2 ... x R
(2.9)
Din (2.9), pentru media geometrică ponderată exprimată cu frecvenţe relative se deduce: 1 / N
X g =
N 1 1
x
N
N 2 2
N R R
⋅ x ... x
⎛ R N ⎞ = ⎜⎜ ∏ xi i ⎟⎟ ⎝ i =1 ⎠
R
= ∏ xi i =1
32
N i / N
R
= ∏ xi i i =1
f
(2.10)
Dacă variabila X , de la baza seriei este de variaţie continuă, atunci relaţiile de calcul pentru diversele variante de medie geometrică, r ămân variabile cu singura modificare că valorile xi, i = 1, R , se înlocuiesc cu mijloacele intervalelor de variaţie, calculate conform formulei: xi' =
xi −1 + xi , 2
i = 1, R
(2.11)
B. Valoarea median ă
Valoarea mediană, notată cu M e este acea valoare a variabilei cantitative X care împarte repartiţia în două păr ţi egale, respectiv: N (2.12) F N (M e ) = 1 / 2 sau N ( M e ) = 2 Calculul valorii mediane se face diferenţiat, după cum seria are la bază o variabilă discretă sau continuă. Pentru o reparti ţ ie discret ă, calculul medianei nu implică probleme deosebite şi nici un volum mare de calcule. Se consider ă o repartiţie cu frecvenţe absolute: ⎛ x x ... xi ... x R ⎞ ⎟⎟. X : ⎜⎜ 1 2 N N N N ... ... ⎝ 1 2 i R ⎠
(2.13)
În calculul valorii mediane a unei serii discrete, pot apărea două situaţii: a) volumul N al populaţiei este un număr impar; b) volumul N al populaţiei este un număr par. În ambele cazuri, calculul medianei presupune, în prima fază, determinarea rangului medianei, notat cu r M e , conform următoarei relaţii: 1 R r M e = ⋅ ∑ N i = N ( M e ) 2 i =1
(2.14)
a) Dacă volumul populaţiei N este un număr impar, rangul medianei este un număr zecimal a N cărui parte întreagă ⎡⎢ ⎤⎥ indică numărul de unităţi din populaţie pentru care variabila X a ⎣2⎦ înregistrat valori mai mici ca mediana. Ca urmare, M e trebuie să fie valoarea imediat ⎡ N ⎤ următoare celei de rang ⎢ ⎥ adică: ⎣2⎦ M e = x⎛ ⎡ N ⎤
⎞ ⎜⎜ ⎢ ⎥ +1 ⎟⎟ 2 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
(2.15)
b) Dacă volumul populaţiei este un număr par, rangul medianei este un număr întreg şi ca urmare la mijlocul seriei nu se mai află o valoare a variabilei X cu care să coincidă mediana ci se găsesc două valori, mediana calculându-se în acest caz ca media aritmetică a acestora. Relaţia de calcul a medianei, în acest caz, este: 33
x⎡ N ⎤ + x⎛ ⎡ N ⎤ M e =
⎢2⎥ ⎣ ⎦
⎞ ⎜⎜ ⎢ ⎥ +1⎟⎟ ⎝ ⎣ 2 ⎦ ⎠
(2.16) 2 Pentru o reparti ţ ie continuă , calculul valorii mediane presupune verificarea egalităţii (2.12) şi ca urmare, trebuie cunoscută densitatea de repartiţie f(x). Determinarea funcţiei f(x) implică un volum mare de calcule şi deci, din acest motiv, în activitatea practică f(x) este aproximat. Acest lucru va conduce la o expresie aproximativă de calcul a valorii mediane, care necesită un volum redus de calcule. Pentru acesta se consider ă o repartiţie continuă în raport cu variabila X , şi anume: ⎛ x − x x − x ... x i −1 − x i ... x R −1 − x R ⎞ ⎟. X : ⎜⎜ 0 1 1 2 N 2 ... N i ... N R ⎠⎟ ⎝ N 1
(2.17)
unde intervalele xi-1-xi, i = 1, R pot fi de lungime egală sau neegală. Calcularea rangului medianei va permite stabilirea intervalului în care se află valoarea mediană, interval numit şi interval median. Se cumulează frecvenţele absolute din aproape în aproape până ce este îndeplinită inegalitatea: 1 N 1 + N 2 + ... + N i ≥ N 2 Ultima frecvenţă N i cumulată, ne permite să indicăm intervalul median [ x i −1 − x i ) . Formula aproximativă de calcul a medianei: M e = xi −1 +
N ( M e ) − N ( xi −1 ) ⋅ ( xi − xi −1 ) N i
xi −1 = xM e
- limita inferioar ă a intervalului median;
N i = N M e
- frecvenţa absolută a intervalului median;
(2.18)
xi − xi −1 = l M e - lungimea intervalului median, C. Valoare modal ă
Valoarea modală M o(X) a unei repartiţii reprezintă aceea valoare a variabilei X căreia îi corespunde frecvenţa cea mai mare. Acest parametru se mai numeşte modul, valoare dominant ă , sau mod ă se notează cu M o. Mod de calcul : a) Pentru o serie de repartiţie discretă, dată sub forma ⎛ x x ... x i ... x R ⎞ ⎟⎟. X : ⎜⎜ 1 2 f f f f ... ... ⎝ 1 2 i R ⎠
34
(2.19)
valoarea modală se citeşte direct din serie, nefiind nevoie de nici o tehnică sau formulă de calcul. În cazul acestui tip de serie, valoarea modală va fi acea valoare a variabilei X pentru care frecvenţa este cea mai mare. b) Pentru serii de reparti ţie continue, respectiv: ⎛ x − x x − x ... x i − 2 − x i −1 x i −1 − x i x i − x i +1 ... x R −1 − x R ⎞ ⎟⎟ X : ⎜⎜ 0 1 1 2 f f f f f f ... ... i −1 i i +1 ⎝ 1 2 R ⎠
(2.20)
Modala nu poate fi determinată direct. Intervalul căruia îi corespunde frecvenţa cea mai mare, se numeşte intervalul modal şi va conţine modala. Să presupunem că intervalul modal este xi-1-xi. Formula de calcul a modalei:
M o ( x ) = x M o +
∆ −1 ⋅ l ∆ −1 + ∆ 1 M o
(2.21)
unde: M o - reprezintă valoarea modală; xMo - reprezintă limita inferioar ă a intervalului modal; ∆ −1 - reprezintă diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului precedent; ∆1 - reprezintă diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor;
l Mo
- reprezintă lungimea intervalului modal.
O serie poate avea o singur ă valoare modală, caz în care seria se numeşte unimodal ă . Dacă o serie are mai multe valori modale, atunci se numeşte plurimodal ă. O serie plurimodală evidenţiază faptul că populaţia în cauză este neomogenă. Calculul valorii modale, în asemenea cazuri, presupune o delimitare mai riguroasă a obiectului observării cât şi a populaţiei care urmează să fie studiată. O altă cale, care poate duce la eliminarea unui asemenea neajuns, o constituie comasarea a două câte două sau trei câte trei intervale etc., până se ajunge la o serie unimodală. În cazul unei serii simetrice valoarea modală coincide cu valoarea medie şi cu mediana. Pentru serii uşor asimetrice, K. Pearson a stabilit următoarea relaţie între cei trei parametri:
M o = X − 3( X − M e ) unde X este media aritmetică a variabilei X . Calculul valorii modale reprezintă un deosebit interes pentru activitatea practică. Având în vedere că semnificaţia acestui parametru – indică acea valoare a variabilei înregistrată de cele mai multe unităţi din populaţie – se poate afla: ora la care sunt solicitate cele mai multe
35
convorbiri telefonice, ora de vârf privind transportul în comun, mărimea cea mai solicitată la încălţăminte etc. Dacă valoarea modală este identică cu valoarea medie, atunci se poate afirma că valoarea medie se bucur ă de o mai mare reprezentativitate. Dacă, în plus, avem M e = M o = X , ţinând seama că valoarea mediană nu este influenţată de valorile extreme ale variabilei, se poate afirma că mediana reprezintă un grad de reprezentativitate mai mare decât valoarea medie.
2.2. Parametrii de structură Frecvente sunt cazurile când este necesar ă studierea structurii unei populaţii în raport cu o variabilă sau alta. Parametrii statistici, în forma cea mai generală, folosiţi în caracterizarea structurii unei populaţii poartă denumirea de valori quantile. Valorile quantile ale unei serii de repartiţie unidimensionale sunt acele mărimi înregistrate de variabila X , care împart seria în n păr ţi egale (mai precis împarte populaţia în n păr ţi egale). În acest caz se vor calcula p quantile ( p = n-1). Pentru o serie continuă, a cărei densitate de probabilitate f(x) este cunoscută, următoarea egalitate este satisf ăcută de cele p quantile: q1
q2
x R
1
∫ x f ( x)dx = q∫ f ( x)dx = ... = q∫ f ( x)dx = n 1
(2.22)
n −1
1
unde cele n-1 quantile s-au notat cu q1 , q2 , …, qn-1. Relaţia (2.22) se particularizează pentru cazul seriilor discrete, când seria este construită cu frecvenţe relative: q1
q2
1
1
x R
1
f i = ∑ f i = ... = ∑ f i = ∑ n x q q
(2.23)
n −1
Pentru o serie oarecare, quantila de ordinul p poate fi definită astfel: 1 N F N (q p ) = p ⋅ sau N (q p ) = p ⋅ , ∀ p = 1, n - 1 n n Modul de calcul a valorilor quantile difer ă în raport cu tipul seriei. Fie o serie de reparti ţ ie, care are la bază o variabil ă X discret ă , de următoarea formă: ⎛ x x ... xi ... x R ⎞ ⎟⎟. X : ⎜⎜ 1 2 N N N N ... ... i R ⎠ ⎝ 1 2
(2.24)
Pentru calculul valorii quantile de ordinul p ( p = 1, n − 1) , în prima etapă trebuie determinat rangul acesteia: N r q p = N (q p ) = p ⋅ (2.25) n Se disting două cazuri:
36
a) dacă p·N se divide cu n atunci quantila de ordin p se calculeaz ă ca o medie aritmetică simplă a valorilor variabilei X, de ordinul rangului şi al rangului majorat cu o unitate, după cum urmează: q p =
x r q p + x ( r q p +1)
(2.26) 2 b) dacă p·N nu se divide cu n atunci quantila de ordin p este egal ă cu acea valoare a variabilei X corespunzătoare par ţi întregi a rangului majorat cu 1: q p = x[ r q p +1]
(2.27)
În cazul seriilor care au la bază o variabil ă continuă , conform definiţiei, cele n-1 quantile trebuie să satisfacă relaţia (2.22). Determinarea quantilelor din asemenea egalităţi ar presupune cunoaşterea densităţii de probabilitate f(x). Ori în activitatea practică f(x) se aproximează prin diverse procedee, implicând un volum exagerat de calcule. În vederea găsirii unor formule aproximative de calcul a quantilei de ordin p( p = 1, n − 1) se consider ă o serie de variaţie continuă, ale cărei intervale de variaţie nu trebuie să fie neapărat egale ca lungime: ⎛ x − x x − x ... x i −1 − x i ... x R −1 − x R ⎞ ⎟⎟. X : ⎜⎜ 0 1 1 2 N N N N ... ... i R 2 ⎝ 1 ⎠
(2.28)
În prima etapă se determină rangul quantilei de ordinul p ( p = 1, n − 1) conform următoarei relaţii: 1 R r q p = N (q p ) = p ⋅ ⋅ ∑ N i n i =1
(2.29)
Cunoscând rangul, se poate identifica intervalul în care se află quantila de ordinul p, numit şi intervalul quantilei de ordinul p( p = 1, n − 1) . Cumulând frecvenţele pe clase până la egalarea s-au depăşirea rangului, conform inegalităţii: 1 R N 1 + N 2 + ... + N i ≥ p ⋅ ⋅ ∑ N i n i =1
(2.29’)
ultima frecvenţă adunată va corespunde intervalului quantilei de ordinul p ( p = 1, n − 1) . Prin urmare, quantila de ordinul p, q p, se calculează conform relaţiei: N (q p ) − N ( x i −1 ) ⋅ ( x i − x i −1 ) q p = x i −1 + (2.30) N i
x q p = xi −1 - reprezentând limita inferioar ă a intervalului quantilei de ordinul p; l q p = xi − x i −1 - reprezintă lungimea intervalului quantilei de ordinul p; N q p = N i - reprezintă frecvenţa absolută a intervalului quantilei q p, 37
Procedeul de determinare a quantilei de ordinul p = 1, n − 1 este acelaşi şi în cazul în care seria (2.28) este formată din frecvenţe relative. Caracterizarea structurii unei serii se poate face utilizând diverse cazuri particulare de valori quantile. Valoarea mediană (Me) este şi un parametru de structur ă obţinându-se ca un caz particular de quantilă, când n=2. Dacă pentru o serie se cunoaşte M e (quantila de ordinul 2), atunci structura populaţiei poate fi redată astfel: ⎛ X − M e M e − xmax ⎞ ⎟ X : ⎜⎜ min (2.31) 50% ⎠⎟ ⎝ 50% semnificând faptul că jumătate din populaţia supusă studiului a înregistrat pentru variabila X valori cuprinse între valoarea minimă a lui X şi mediană, iar cealaltă jumătate din populaţie a înregistrat pentru X valori cuprinse între mediană şi valoarea maximă a lui X . Valorile quartile reprezintă acel caz particular al valorilor quantile pentru care n=4. Cele trei quartile, care se obţin, notate: Q1 , Q2 şi Q3 sunt acei parametri de structur ă care împart populaţia în patru păr ţi egale. quartila În raport cu mediana, quartila întâi Q1, se numeşte quartila mică (inferioar ă ), a doua Q2 coincide cu mediana şi se numeşte quartila mijlocie, iar quartila a treia Q3 se numeşte quartila mare (superioar ă ). Cunoscându-se cele trei quartile, rezultă următoarea structur ă a populaţiei în raport cu variabila X : ⎛ x − Q Q − Q Q2 − Q3 Q3 − X max ⎞ ⎟ X : ⎜⎜ min 1 1 2 (2.32) 25% 25% 25% ⎠⎟ ⎝ 25% ceea ce semnifică o structurare a populaţiei supusă studiului în patru par ţi egale. Aceasta înseamnă că 25% din unităţile popupaţiei înregistrează valori pentru variabila X mai mici decât quartila mică, 25% din unităţile populaţiei înregistrează valori, în raport cu aceeaşi variabilă X , cuprinse între quartila mică şi cea mijlocie, 25% vor avea valori cuprinse între quartila mijlocie şi quartila mare, iar restul 25% din unităţile populaţiei vor avea valorile pentru variabila X cuprinse între quartila mare şi valoarea maximă a lui X .
2.3. Parametrii variaţiei Studiul unor populaţii statistice prezintă importanţă numai din punct de vedere al unor mărimi care variază de la o unitatea la alta sau de la un grup de unităţi la altul. Valorile înregistrate de o variabilă cantitativă, în raport cu care este studiată o populaţie, se datoresc acţiunii diferiţilor factori esenţiali şi neesenţiali. Intensitatea diferită cu care se pot manifesta factorii esenţiali cât şi sensul contrar cu care pot acţiona factorii neesenţiali în raport cu fiecare unitate, provoacă nivele diferite înregistrate de variabile în raport cu care este studiată populaţia. Problema măsur ării variaţiei unei variabile cantitative este importantă pentru a vedea în ce măsur ă valoarea medie a acesteia poate reprezenta întrega populaţie. 38
Dacă abaterile de la valoarea medie sunt neesenţiale atunci se poate afirma că populaţia este omogenă şi c ă acest parametru poate reprezenta tendinţa centrală, iar dacă aceste abateri sunt mari atunci populaţia este eterogenă şi valoarea medie nu are capacitatea de a reprezenta populaţia. Pentru unele serii, valoarea medie nu se poate calcula. În asemenea cazuri, parametrul valoarea mediană poate să-i ia locul. Aceeaşi problemă se pune şi în acest caz, de a vedea în ce măsur ă valoarea mediană este sau nu reprezentativă pentru populaţia în cauză. O altă problemă care nu se poate rezolva f ăr ă a studia şi măsura variaţia înregistrată de o variabilă în raport cu care este studiată o populaţie, o constituie verificarea de ipoteze. În activitatea practică, de multe ori pornind de la valorile unor parametrii calculaţi pe baza datelor culese relativ la un număr mic de unităţi, este necesar a fi extinşi la nivelul întregii populaţii sau de a se verifica anumite ipoteze statistice. Parametrii variaţiei se pot calcula atât sub formă absolută cât şi relativă, şi măsoar ă împr ăştierea valorilor unei variabile cantitative faţă de valoarea medie sau valoarea mediană. Ca urmare, în funcţie de elementul de referinţă folosit în măsurarea variaţiei, deosebim: parametrii variaţiei în raport cu valoarea medie; parametrii variaţiei în raport cu valoarea mediană.
2.3.1. Parametrii variaţiei în raport cu valoarea medie Abaterea medie liniară Abaterea medie liniar ă, notată cu d x , reprezintă media aritmetică a abaterilor variabilei X de la valoarea medie a acesteia, luate în valoare absolută: d x = M X − X
(2.33)
Relaţia (2.33) se particularizează în : R
d x =
x i − X ⋅ N i ∑ i 1 =
(2.34)
R
N i ∑ i 1 =
Dacă seria are la bază o variabilă continuă şi se cunoaşte f(x), atunci abaterea medie liniar ă se calculează astfel: x R
d x = ∫ x − X ⋅ f ( x)dx
(2.35)
x1
Densitatea de probabilitate f(x) se poate aproxima cu densitatea empirică şi atunci pentru abaterea medie liniar ă se pot obţine relaţii de calcul aproximativ, frecvent utilizate în activitatea practică, de forma:
39
R
d x =
x ' − X ⋅ N i ∑ i 1 =
i
R
N i ∑ i 1
R
sau d x = ∑ x 'i − X ⋅ f i
(2.36)
i =1
=
după cum seria în cauză este formată cu frecvenţe absolute sau relative, unde:
x i −1 + x i , i = 1, R 2 este mijlocul intervalului “i”. Acest parametru serveşte caracterizării sintetice a gradului de reprezentativitate a valorii medii, ar ătând cu cât se abate în medie orice valoare a variabilei X de la valoarea medie X , într-un sens sau altul. Sub forma relativă, acest indicator poartă denumirea de coeficient simplu de variaţie şi se calculează conform relaţiei: x i' =
d x ⋅100 (2.37) X Coeficientul simplu de variaţie (Vx) arată cu cât se abate în medie orice valoare a variabilei X de la valoarea medie echivalentă cu 1 sau 100%. Calculat pentru dou ă serii diferite, se poate aprecia gradul de reprezentativitate a celor două medii. Se apreciază mai reprezentativă acea valoare medie pentru care coeficientul simplu de variaţie este mai mic. Parametrul abaterea medie liniar ă, în forma absolută sau relativă, prezintă unele deficienţe deoarece nu este suficient de sensibil la abaterile mici, adăugându-se şi unele inconveniente de natur ă teoretică, generate de exprimarea abaterilor în valoarea absolută. Înlăturarea acestor deficienţe se poate realiza apelând la un nou parametru privind măsurarea variaţiei, numit abatarea medie pă tratică . V x =
Abaterea medie pătratică Acest indicator este utilizat atât pentru caracterizarea gradului de reprezentativitate a valorii medii cât şi în scopul estimării unor parametri necunoscuţi. Abaterea medie pătratică, notată cu σx , se defineşte ca fiind media pătratică a abaterilor valorilor variabilei X , de la valoarea medie X , adică: σ x =
M ( X − X ) 2
(2.38)
Un calcul intermediar în aflarea acestui parametru, îl constituie calcularea pătratului abaterii medii pătratice, care se numeşte dispersie sau varian ţă şi are următoarea expresie de calcul: 2
2
σ x = M ( X − X ) = D
2
( X )
(2.39)
V(x) reprezintă o altă notaţie pentru varianţă, pe lângă σ2x . Varianţa fiind un calcul intermediar în aflarea abaterii medii pătratice, în cele ce urmează se va prezenta modul de calcul al acesteia.
40
Relaţia de calcul a varianţei se particularizează în raport cu tipul seriei. În cazul unei serii care are la bază o variabilă X discretă, conform definiţiei, varianţa are expresia: R
2 σ x =
( x i − X ) 2 ⋅ N i ∑ i 1 =
R
N i ∑ i 1
(2.40)
=
În cazul unei serii care are la bază o variabilă X continuă, varianţa se calculează conform următoarei relaţii: σ x2
x R
2
= ∫ ( x − X ) ⋅ f ( x) ⋅ dx
(2.41)
x1
a cărei aplicare presupune cunoaşterea densităţii de repartiţie f(x). Pentru o serie dată, varianţa calculată nu are interpretare, dar dacă se extrage r ădăcina pătrată din acesta se obţine un număr care se exprimă în aceleaşi unităţi de măsur ă ca şi variabila de la baza seriei. Acest număr (valoare) reprezintă abaterea medie pătratică, simbolizând cu cât se abate în medie în plus sau minus orice valoare xi a variabilei X de la valoarea medie X . Parametrul abaterea medie pătratică se poate exprima şi sub formă relativă, caz în care se numeşte coeficientul de varia ţ ie a lui Pearson, şi se notează cu V x. Expresia de calcul este: V x =
σ x
⋅100 (2.42) X şi reprezintă abaterea medie a orcărei valori a variabilei X de la valoarea medie, considerată egală cu 1 sau 100. Coeficientul de variaţie a lui Pearson calculat pentru două sau mai multe serii, poate fi folosit în aprecieri comparative privind gradul de reprezentativitate a valorii medii calculate. Deoarece gradul de reprezentativitate a valorii medii este în raport invers cu mărimea coeficientului de variaţie a lui Pearson, se poate afirma, în cazul mai multor serii, că este mai reprezentativă valoarea medie a acelei serii pentru care V x este mai mic. În concluzie, trebuie reţinut că parametrul abaterea medie pătratică sub formă absolută σ x şi sub formă relativă V x sunt indicatori fundamentali utilizaţi în măsurarea variaţiei unei variabile. Atât abaterea medie liniar ă, cât şi abaterea medie pătratică constituie o măsur ă a variaţiei medii, primul o medie de ordinul unu, iar al doilea o medie de ordinul doi (d x ≤ σ x ).
2.3.2. Parametrii variaţiei în raport cu valoarea mediană Abaterea interquartilă Abaterea interquartil ă, prin definiţie, este media aritmetică simplă a segmentelor M e – Q1 şi Q3 – M e, respectiv: M − Q + Q − M e Q3 − Q1 Q= e 1 3 (2.43) = 2 2 41
şi arată cu cât se abat în medie, în plus sau în minus, de la mediană, cele 50% din valorile variabilei cuprinse între Q1 şi Q3. Forma relativă a acestui indicator notat cu Qr :
Qr =
Q Q −Q ⋅100 = 3 1 ⋅100 2 ⋅ M e M e
(2.44)
se numeşte coeficient de varia ţ ie interquartilic şi arată cu cât se abat în medie de la mediană (considerată egală cu 100), valorile variabilei înregistrate pentru cele 50% din unităţile populaţiei cuprinse între Q1 şi Q3. Ca atare, se apreciază că împr ăştierea unităţilor în cadrul populaţiei studiate este cu atât mai mare, în raport cu variabila de studiat, cu cât abaterea interquartilă în valoarea absolută (2.43) sau relativă (2.44) este mai mare.
Abaterea interquantilă Pentru acest parametru, sub formă absolută, avem: q − M e + M e − q1 qn −1 − q1 q = n −1 = (2.45) 2 2 iar sub formă relativă denumită şi coeficient de variaţie interquantilic este: q q −q qr = ⋅100 = n −1 1 ⋅ 100 (2.46) M e 2 ⋅ M e Cu cât abaterea interquantilică (relativă sau absolută) este mai mică, cu atât valoarea mediană este mai reprezentativă.
2.4. Parametrii concentrării Energia informaţională Acest parametru a fost introdus de Acad. Octav Onicescu. Prin definiţie: R
E = ∑ f i 2 i =1
unde s-a notat cu E energia informaţională. Este un parametru utilizat în cazul în care seria are la bază o variantă nenumerică. În cazul unei populaţii caracterizată de un grad de concentrare maxim, va exista o clasă care va avea frecvenţa relativă egală cu 1, iar celelalte vor avea frecvenţele relative 0 şi ca urmare: E max = 1. Dacă populaţia este caracterizată de o concentrare minimă, atunci: x2 ... x R ⎞ ⎛ x ⎟⎟ X : ⎜⎜ 1 R R R 1 / 1 / ... 1 / ⎝ ⎠
42
iar E min = R ⋅
1 1 = R 2 R
Se observă că: 1 ≤ E ≤ 1 R Forma relativă a acestui parametru, notată cu Er , se deduce astfel:
1 E − R = E r = 1 1− R
1
R
f i 2 − ∑ R i 1 =
1−
1 R
de unde:
0 ≤ E r ≤ 1 Referitor la populaţia dată, studiată în raport cu o variabilă X , se calculează E r , iar dacă: - E r se apropie de 1, atunci populaţia respectivă este caracterizată de un grad înalt de concentrare; - E r se apropie de 0, populaţia în cauză se caracterizează printr-o concentrare minimă.
2.5. Parametrii formei Din aplicaţiile practice, precum şi din alte surse, s-au constatat că graficele pot avea diverse forme, dintre care: formă de coplot, formă de U, J, L sau alte forme. Ceea ce prezintă importanţă, nefiind surprins de nici un parametru prezentat, îl constituie modul de repartizare a valorilor variabilei de o parte şi de alta a valorii medii, considerată şi centrul de greutate a seriei. Acest lucru nu înseamnă altceva decât evidenţierea acelei curbe care aproximează cel mai bine conturul poligonal al seriei respective şi în acelaşi timp o imagine mai clar ă asupra gradului de reprezentativitate a valorii medii. În marea majoritate a cazurilor, distribuţia unităţilor unei populaţii se face după un clopot (după legea normală a lui Gauss). Dar unit ătile nu se distribuie uniform în jurul valorii medii, ceea ce poate conduce la înclinaţii într-o direcţie sau alta a valorii medii. Această distribuire neuniformă poate conduce la cazul când diferite serii (diferit distribuite în jurul valorii medii) să aibă aceeaşi medie, acelaşi σ şi totuşi o curbă să fie mai aplatizată decât cealaltă, simetrică sau mai puţin simetrică. Evidenţierea acestor diferenţe poate fi realizată cu ajutorul parametrilor formei. Parametrii formei unei serii de repartiţie, după conţinut, se clasifică în două grupe: parametrii asimetriei; parametrii boltirii.
43
2.5.1. Parametrii asimetriei Asimetria unei serii se defineşte în raport cu dispunerea unităţilor într-o parte sau alta a valorii medii. În acest sens, o serie de repartiţie este simetrică în raport cu media sa dacă frecvenţele valorilor variabilei X egal depărtate de valoarea medie sunt egale între ele, adică: f (X − δ = f (X + δ
oricare ar fi δ astfel încât X − δ şi X + δ să se afle printre valorile lui X .
Coeficientul de asimetrie al lui Fisher Acest parametru se notează cu α3, iar expresia sa de calcul este: 3
α 3 =
M ( X − X ) 3 σ X
(2.47)
sau într-o formă echivalentă: 3
α 3 =
M ( X − X )
2 ⎛ ⎜ M ( X − X ) ⎞⎟ ⎝ ⎠
3
Calculând valoarea acestui parametru, în funcţie de semnul ei, avem următoarele cazuri: 3
1. α 3 = 0, ceea ce înseamnă că M ( X − X ) = 0, adică suma tuturor abaterilor cu semnul minus este egală cu suma tuturor abaterilor cu semnul plus, ridicate la puterea a treia. Ca urmare în acest caz se poate spune că seria este simetrică. 3
2. α 3 > 0, ceea ce înseamnă că M ( X − X ) > 0. Aceasta este echivalent cu faptul că pe total suma abaterilor cu semnul plus de la valoarea medie este mai mare decât suma abaterilor cu semnul minus şi ca urmare seria prezintă o asimetrie pozitivă. 3
3. α 3 < 0, deci M ( X − X ) < 0. Aceasta înseamnă că pe total, suma abaterilor cu semnul minus este mai mare decât suma abaterilor cu semnul plus de la valoarea medie. O astfel de serie se spune că reprezintă o asimetrie negativă.
2.5.2. Parametrii boltirii Aprecierea boltirii unei serii este utilă în caracterizarea gradului de reprezentativitate a valorii medii cât şi pentru compararea reprezentativităţii a două sau mai multe valori medii ce reprezintă serii diferite.
44
Parametrul M ( X − X ) dă o caracterizare numerică sub formă absolută a gradului de boltire a unei serii. Sub formă relativă, gradul de boltire se măsoar ă cu parametrul: 4
4
B4 =
M ( X − X )
(2.48)
4 σ X
Pentru a înţelege semnificaţia boltirii unei serii, se consider ă două serii statistice care au la bază variabilele X şi Y , iar X = Y ; σ X = σ Y
Mai presupunem, în plus, că cele două distribuţii au formă de clopot pentru care α 3X = α 3Y , adică ambele sunt simetrice. Deşi s-ar părea că cele două serii nu au nimic care să le deosebească, totuşi reprezentându-le grafic rezultă două curbe de forma:
X
Y
X = Y σ X = σ Y
unde graficul lui X este mai înalt, iar al celeilalte mai plat. Ca urmate, se observă că cele două serii nu sunt caracterizate de aceeaşi boltire. Boltirea unei serii este utilă pentru a da o caracetrizare mai exactă reprezentativităţii valorii medii. În cazul exemplului prezentat mai sus, atât mediile cât şi abaterile medii pătratice sunt egale şi ca urmare, coeficientul de variaţie al lui Pearson este acelaşi pentru cele două serii. Deci rezultă că ambele valori medii prezintă acelaşi grad de reprezentativitate. Cu toate acestea, graficele celor două serii contrazic concluzia dedusă în urma compar ării celor doi coeficienţi de variaţie. Valoarea medie cea mai reprezentativă în seria în care cele mai multe unităţi ale populaţiei cercetate au înregistrat valori, mai apropiate de valoarea medie. Pentru o astfel de serie, împr ăştierea faţă de valoarea medie fiind mică, graficul are o formă mai ascuţită în cazul seriei X şi mai plată în cazul seriei Y . Nivelul boltirii pentru o serie oarecare dată se măsoar ă cu ajutorul parametrului B4, a cărui expresie de calcul este dată de relaţia (2.48). Valoarea lui B4 pentru o distribuţie normală este egală cu 3. Pentru orice altă curbă corespunzătoare unei serii date şi aproximată cu un clopot, raportul între momentul centrat de ordinul patru şi pătratul momentului centrat de ordinul al
45
doilea, este un număr diferit de 3, curba respectivă fiind mai ascuţită sau mai plată decât curba normală a lui Gauss. Comparând gradul de boltire al unei serii oarecare şi gradul de boltire al clopotului lui Gauss, Fisher a stabilit următoarea expresie de calcul al coeficientului boltirii, notat cu B4’ : 4
' 4
B =
M ( X − X ) 4 σ X
−3
sau:
B4’ = B4-3
expresie cunoscută în literatura de specialitate sub denumirea de exces al seriei. Următoarele cazuri sunt semnificative cu privire la aprecierea boltirii unei serii: - dacă B4’ =0 (adică B4 = 3) atunci seria în cauză prezintă aceeaşi boltire cu a curbei normale (excesul este nul); - dacă B4’ > 0 (adică B4 > 3) atunci boltirea corespunzătoare curbei respective este mai înaltă şi mai ascuţită decât curba normală (serie leptokurtică); - dacă B4’ < 0 (adică B4 < 3) atunci boltirea corespunzătoare curbei respective este mai plată (mai joasă şi mai largă) decât curba normală (serie platikurtică). Asimetria şi boltirea joacă un rol însemnat în caracterizarea formei unei serii atributive de repartiţie. Cu ajutorul parametrilor prezentaţi poate fi formată o imagine mai clar ă asupra unei serii deja construite, asupra măsurii în care seria respectivă poate fi reprezentată de valoarea sa medie.
Bibliografie: 1. Buiga, A., Metodologie de sondaj şi analiza datelor în studiile de pia ţă , Ed. Presa Universitar ă Clujeană, Cluj-Napoca, 2001; 2. Buiga, A., Dragoş C., Lazăr D., Parpucea I., Todea A., Statistică I, Ed. Presa Universitar ă Clujeană, Cluj-Napoca, 2003; 3. Florea I., Parpucea I., Buiga A., Statistică descriptivă , Ed. Continental, Cluj-Napoca,
1998.
46
MODULUL 3 ANALIZA LEGĂTURILOR DINTRE VARIABILELE UNEI REPARTIŢII MULTIDIMENSIONALE Obiective • Însuşirea conceptelor de corelaţie si regresie si utilizarea lor în economie; • Cunoaşterea posibilităţilor de cuantificare a intensităţii legăturii dintre diversele mărimi economice; • Însuşirea metodelor de stabilire a unei legături funcţionale între variabile.
Concepte de bază • • • •
Corelaţia dintre variabile, coeficienţi de asociere, coeficient de corelaţie; Corelaţia rangurilor, coeficienţii lui Kendall si Spearman; Metoda celor mai mici pătrate, regresia liniar ă simplă; Regresia liniar ă multiplă, regresii neliniare: hiperbolică, parabolică, exponenţială.
Rezultate aşteptate După parcurgerea acestui modul se cere studentului să stă pânească noţiunile de corelaţie şi regresie, să poată identifica existenţa unei eventuale legături între două mărimi. De asemenea să ştie măsura intensitatea legăturii dintre variabile, fie ele cantitative sau calitative. Se urmăreşte şi cunoaşterea metodelor de modelare funcţională a legăturilor.
Sinteza Ne propunem abordarea unor metode statistice caracteristice studiului seriilor multidimensionale. Scopul acestora este de a identifica şi utiliza eventualele legături care se pot manifesta între două sau mai multe variabile. Prezinta interes: existenţa legăturii, intensitatea acesteia, forma funcţională a legăturii, parametrii şi reprezentativitatea ei privind fenomenul cercetat. Problematica legăturilor dintre variabile este foarte curent întâlnită în economie. Spunem că salariul unui angajat este în func ţ ie de productivitatea muncii sale, vechimea în muncă, responsabilitatea activităţii sale, etc ; sau cererea dintr-un produs este în func ţ ie de preţul produsului, venitul consumatorilor, etc. De fiecare dată, atât în teoria economică, cât şi în aplicaţii se întâlneşte expresia “fie funcţia cererii…”. În realitatea economică însă, această funcţie nu se dă, nu se cunoaşte, ci trebuie estimată pornind de la o bază de date. Această problemă de estimare a unei funcţii şi alte probleme colaterale ei fac obiectul acestui capitol. Pentru a putea aborda studiul legăturilor dintre variabile trebuie să ştim în primul rând dacă există sau nu o legătur ă între variabilele studiate (sau între fenomenele pe care acestea le reprezintă) şi care este natura acestora. Putem clasifica legăturile dinte variabile astfel : 1. Legătura nulă. Semnifică lipsa oricărei legături între două sau mai multe fenomene sau variabile care cuantifică fenomenele. De exemplu, o legătur ă nulă se manifestă între înălţimea unui angajat şi salariul acestuia sau între produsul intern brut al unei ţări şi vârsta primului ministru. Din punct de vedere statistic, spunem că între două variabile X şi Y există o legătur ă nulă, sau nu există legătur ă, dacă cov( x, y ) = 0 .
47
2. Legătura deterministă. Spunem că între variabilele X şi Y există o legătur ă deterministă dacă unei valori a lui X îi corespunde o singur ă valoare a lui Y . Astfel de legături se întâlnesc în special în fizică, unde de exemplu viteza este egală cu distanţa împăr ţită la timp: v = d / t , sau for ţa este egală cu masa înmulţită cu acceleraţia: F = m ⋅ a . Astfel de exemple există şi în economie, unde rata profitului este egală cu profitul împăr ţit la cifra de afaceri: r π = π / C . A. ⋅ 100% . Legătura este deterministă pentru că variabila r π este perfect determinată de celelalte două: π şi C . A. Adică pentru o anumită valoare a profitului şi o anumită valoare a cifrei de afaceri nu putem avea decât o singur ă valoare a ratei profitului. 3. Legătura statistică. Se mai numeşte şi stocastică sau probabilistă. Este tipul de legătur ă cel mai des întâlnită în ştiinţele sociale, deci şi în economie. Fiecărei valori xi a variabilei X îi corespunde o distribuţie de valori ale variabilei Y . Matematic, o astfel de legătur ă se exprimă sub forma y = f ( x) + ε , unde am notat prin ε componenta aleatoare reziduală, datorată acţiunii asupra lui Y a celorlalţi factori decât X . Deşi s-ar putea spune că prin luarea în considerare a tuturor factorilor care influenţează variabila Y , legătura este intrinsec deterministă, în ştiinţele economice vom întâlni aproape întotdeauna un număr foarte mare de factori, care nu pot fi identificaţi şi cuantificaţi în totalitatea lor. Asfel, funcţia care îl explicitează pe Y are două componente: una determnistă, f ( x1, x2 ,..., xn ) , cuprinzând variabilele cuantificabile de care depinde Y , şi una aleatoare, ε , cuprinzând variabilele ce nu au putut fi cuantificate. Studiul legăturilor dintre variabile s-a dezvoltat într-o disciplină aparte, numită econometrie. În capitolul de faţă nu ne propunem deci decât o introducere în aceast ă problematică, f ăr ă a aborda elemente de inferenţă statistică specifice acestor legături. În cele ce urmează vom prezenta câteva aspecte legate de variabile şi fenomenele reprezentate de acestea, probleme atât de natura aparatului statistic utilizat, cât şi de aplicabilitatea lui în contextul economic. Analiza legăturii dintre variabilele unei repartiţii multidimensionale presupune abordarea următoarelor probleme, care se pot constitui şi în etape ce trebuie parcurse în demersul statistic necesar: 1. Organizarea rezultatelor observării populaţiei sau eşantionului în raport cu variabilele cercetate; 2. Analiza statistică a existenţei legăturii; 3. Analiza statistică a intensităţii legăturii sau a gradului de asociere dintre variabilele observate; 4. Formularea unor ipoteze cu privire la forma matematică a legăturii; 5. Estimarea parametrilor funcţiei de regresie; 6. Analiza reprezentativităţii funcţiei de regresie. Aceste etape pot fi parcurse integral sau par ţial, în funcţie de natura variabilelor. Pentru variabilele calitative nu vor fi parcurse (în statistica descriptivă) decât primele trei, deoarece posibilităţile de prelucrare sunt mai reduse. În schimb, toate cele şase etape pot fi parcurse în cazul variabilelor cantitative.
3.1. Organizarea rezultatelor observării populaţiei sau eşantionului în raport cu variabilele cercetate În scopul utilizării facile a informaţiei culese la nivelul populaţiei sau eşantionului, rezultatele observării vor fi sistematizate într-o formă convenabilă prelucr ării lor. Se prefer ă
48
de obicei o formă tabelar ă a prezentării, care poate sugera unele idei de lucru pentru etapele următoare, prin unele remarci cu privire la valorile pe care le-au înregistrat variabilele.
3.2. Analiza statistică a existenţei legăturii În studiul analizei existenţei legăturii vom folosi atât elemente de statistică deja abordate în capitolele anterioare, cum ar fi tabelele şi graficele, cât şi parametri (coeficienţi) specifici acestui capitol. Deoarece prezintă particularităţi distincte, vom aborda separat problematica subcapitolului în funcţie de tipul variabilelor.
3.2.1. Analiza statistică a existenţei legăturii pentru variabile calitative Un prim instrument ce ne stă la îndemână este tabelul de corela ţ ie, un tabel cu două intr ări, reprezentând o repartiţie bidimensională. Modul de construcţie al unui astfel de tabel se cunoaşte de la seriile statistice. I J ( N − N ∗ ) 2 ij ij 2 χ = ∑∑ ∗ N ij i =1 j =1 Ca o concluzie, distingem cele două cazuri: 1) Dacă χ 2 = 0 nu există legătur ă între variabile; 2) Dacă χ 2 >> 0 există legătur ă între variabile. Procedeul prezentat anterior ne permite identificarea existenţei legăturii dintre două variabile, dar nu şi a intensităţii acesteia. Totuşi, pornind de la el se pot construi coeficienţi care să ne permită şi aprecierea intensităţii legăturii, aşa cum se va vedea în secţiunile următoare.
3.2.2. Analiza statistică a existenţei legăturii pentru variabile cantitative Aşa cum s-a văzut în capitolul anterior, dacă dispunem de o repartiţie bidimensională, putem descompune varianţa totală a variabilei de explicat Y ca sumă a varianţelor datorate variabilei explicative X şi respectiv celorlalţi factori, adică: σ Y 2 = σ Y 2 / X + σ Y 2 / X Dacă nu există legătur ă, adică X nu are nici o influenţă asupra lui Y , mediile condiţionate Y / X vor fi identice, iar dispersia lor va fi nulă: σ Y 2 / X = 0 . Putem reţine deci ca regulă de decizie în statistica descriptivă: 1) Dacă σ Y 2 / X = 0 nu există legătur ă între variabile; 2) Dacă σ Y 2 / X >> 0 există legătur ă între variabile. 49
3.3.Analiza statistică a intensităţii legăturii sau a gradului de asociere dintre variabilele observate Ca şi în cazul existenţei legăturii, o primă apreciere a intensităţii se poate face pe baza tabelului de corelaţie şi a norului de puncte. Cu cât frecvenţele mai mari sunt mai grupate în jurul uneia din diagonalele tabelului de exemplu sau punctele norului sunt mai grupate în jurul unei linii, cu atât legătura este mai intensă. În ceea ce priveşte metodele cantitative de apreciere, ele sunt mult mai precise şi ne pot oferi valori numerice ale intensităţii sau gradului de asociere. Aceste metode sunt însă diferite în funcţie de tipul variabilelor şi de aceea le vom aborda separat.
3.3.1. Gradul de asociere sau intensitatea legăturii dintre variabilele calitative Coeficientul de asociere (contingenţă) al lui Pearson Relaţia de calcul a coeficientului este: C =
2
χ
N + χ 2
unde N este volumul populaţiei. -
dacă χ 2 = 0 legătura este nulă (lipsa legăturii) dacă χ 2 ∈ ( 0 ; 0,3 ) legătura este de intensitate slabă dacă χ 2 ∈ [ 0,3 ; 0,7 ) legătura este de intensitate medie dacă χ 2 ∈ [ 0,7 ; 1 ) legătura este de intensitate puternică
3.3.2. Gradul de asociere sau intensitatea legăturii dintre variabilele ordinale Coeficientul de corelaţie a rangurilor al lui Kendall Pentru a putea utiliza acest indicator toate unităţile populaţiei trebuie să poată fi ordonate în raport cu variabilele pentru care cercetăm intensitatea legăturii. Presupunem o populaţie de volum n observată în raport cu m variabile. Pentru a putea construi coeficientul, vom defini mai întâi indicatorul de concordan ţă (P) şi respectiv indicatorul de discordan ţă (Q). Pe baza indicatorilor de concordanţă şi discordanţă construim coeficientul de corela ţ ie simpl ă a rangurilor al lui Kendall, definit astfel: P − Q P − Q τ = = P + Q n(n − 1) 2
50
În cazul unei legături directe de intensitate maximă, P va lua valoare sa maximă, iar Q pe n(n − 1) cea minimă, adică: P = iar Q = 0 , deci τ = 1 . 2 În cazul unei legături inverse de intensitate maximă, P va lua valoare sa minimă, iar Q pe cea n(n − 1) maximă, adică: P = 0 iar, Q = deci τ = −1 . 2 În cazul lipsei legăturii, P = Q , iar τ = 0 . Putem determina astfel intervalul în care va fi cuprins τ , respectiv τ ∈ [-1 ; 1] . Interpretarea intensităţii legăturii pe baza acestui coeficient se va face astfel: - dacă τ > 0 legătura este directă - dacă τ = 0 legătura este nulă - dacă τ < 0 legătura este inversă - dacă τ ∈ [0 ; 0,3) legătura este de intensitate slabă -
dacă τ ∈ [0,3 ; 0,7) legătura este de intensitate medie
-
dacă τ ∈ [0,7 ; 1] legătura este de intensitate puternică
Coeficientul de corelaţie a rangurilor al lui Spearman Ca şi coeficientul similar propus de Kendall, şi acesta se calculează pornind de la tabelul de concordanţă a rangurilor. Ne vom folosi de diferenţele d i dintre ranguri pentru aceeaşi unitate a populaţiei relativ la cele două variabile. Coeficientul are următoarea expresie: n
η = 1 −
6∑ d i2 i =1 2
n(n − 1)
Limitele celor doi coeficienţi sunt aceleaşi, la fel şi interpretările valorilor numerice.
3.3.3. Intensitatea legăturii dintre variabilele cantitative Raportul de corelaţie Folosind regula de adunare a varianţelor descompunem varianţa totală a variabilei de explicat Y ca sumă a varianţelor datorate variabilei explicative X şi respectiv celorlalţi factori, adică: σ Y 2 = σ Y 2 / X + σ Y 2 / X
Varianţa explicită σ Y 2 / X este cu atât mai mare cu cât mediile condiţionate Y / X sunt mai diferite între ele. Ceea ce le face să difere este numai influenţa lui X , deoarece am împăr ţit populaţia în grupe având ca unic criteriu valorile lui X . Este firesc deci să folosim varianţa
51
explicită ca o mărime absolută a intensităţii legăturii dintre X şi Y şi ponderea varianţei explicite în varianţa totală ca o mărime relativă. Raportul de corelaţie are expresia: RYX =
V exp V = 1 − rez V tot V tot
sau sub forma ei matematică:
RYX =
σ Y 2 / X σ Y 2
= 1−
σ Y 2 / X σ Y 2
Pentru a-i găsi limitele ne raportăm la cele două situaţii extreme: dacă nu există legătur ă între X şi Y , mediile condiţionate Y / X sunt egale între ele, deci σ Y 2 / X = 0 şi RYX = 0 - dacă legătura este de intensitate maximă, nu există influenţe ale altor factori decât X asupra lui Y , nu există variaţie în cadrul grupelor, deci σ Y 2 / X = 0 şi RYX = 1 . În consecinţă, raportul de corelaţie apar ţine intervalului RYX ∈[0 ; 1] . Interpretarea intensităţii legăturii pe baza acestui coeficient se va face astfel: -
-
dacă RYX = 0 legătura este nulă dacă RYX ∈ [0 ; 0,3) legătura este de intensitate slabă dacă RYX ∈[0,3 ; 0,7) legătura este de intensitate medie dacă RYX ∈ [0,7 ; 1] legătura este de intensitate puternică.
3.4. Formularea unor ipoteze cu privire la forma matematică a legăturii Dacă între două variabile (ambele cantitative !) se constată existenţa unei legături de o anumită intensitate, ne punem problema posibilităţii modelării legăturii printr-un model matematic. O primă etapă în acest demers este formularea unei ipoteze cât mai verosimile cu privire la forma legăturii. În acest scop, pe baza tabelului de corelaţie construim norul statistic şi linia poligonală a mediilor condiţionate ale variabilei dependente. Y Y / x 4
Y / x3
Y / x 2 Y / x1
x1
x3
x2 52
x4
X
În funcţie de forma liniei frânte obţinute şi a poziţiei punctelor norului faţă de ea se formulează o ipoteză cu privire la forma funcţiei de regresie. Dacă dorim să studiem o legătur ă multiplă, respectiv dependenţa lui Y faţă de variabilele factoriale X 1 , X 2 ,..., X n atunci pentru fiecare pereche (Y , X 1 ) , (Y , X 2 ) , (Y , X n ) desenăm câte un nor statistic. Forma generală a variabilei Y în funcţie de variabilele factoriale X 1 , X 2 ,..., X n se scrie: Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) + ε unde f ( X 1 , X 2 ,..., X n ) reprezintă funcţia de regresie care aproximează cel mai bine forma legăturii, iar ε o variabilă aleatoare numită reziduală, care însumează efectul altor factori decât cei luaţi în calcul.
3.5. Estimarea parametrilor funcţiei de regresie Este o etapă care se succede firesc alegerii formei funcţiei. În estimarea parametrilor va trebui să ţinem cont de abaterea punctelor norului faţă de modelul matematic ales Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , datorat altor factori decât X 1 , X 2 ,..., X n , consideraţi neesenţiali, cuantificaţi prin variabila reziduală ε . Principiul de la care se porneşte în estimarea parametrilor este cel al patratelor minime. Minimizăm suma patratelor abaterilor valorilor observate ale lui Y de la nivelul calculat prin Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) . Condiţia de minim a sumei este echivalentă cu condiţia de minim a mediei: 2
M [Y − Y ( X 1 , X 2 ,..., X n )] = M (ε 2 ) minimă Ecuaţia Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) care descrie legătura dintre Y şi factorii de influenţă X 1 , X 2 ,..., X n se numeşte ecua ţ ia de regresie. Metoda regresiei constă în modelarea legăturilor statistice prin ecuaţia de regresie. Deoarece problema de minim se poate rezolva doar cunoscând forma particular ă a funcţiei, vom aborda estimarea parametrilor seprat, pe tipuri de funcţii.
Regresia liniară În ipoteza în care legătura dintre Y şi factorii săi de influenţă X 1 , X 2 ,..., X n este liniar ă, ecuaţia de regresie va fi de forma: Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = a0 + a1 X 1 + a2 X 2 + an X n
Coeficienţii a0 , a1 , a2 ,..., an se numesc parametrii modelului şi vor rezulta din minimizarea următoarei funcţii cu (n+1) necunoscute:
G (a0 , a1 ,..., an ) = M [Y − (a0 + a1 X 1 + ... + an X n )]2 Condiţiile de minim constau în anularea celor (n+1) derivate par ţiale ale funcţiei G (a0 , a1 ,.., an ) în raport cu necunoscutele a0 , a1 ,..., an , ceea ce conduce la următorul sistem de ecuaţii: 53
⎧ ∂G (a0 , a1 ,..., an ) = −2 M [Y − (a0 + a1 X 1 + ... + an X n )] = 0 ⎪ ∂ a ⎪ 0 ⎨ ∂G (a , a ,..., a ) n 0 1 ⎪ = −2 M [Y − (a0 + a1 X 1 + ... + an X n )] ⋅ X j = 0 ⎪⎩ ∂a j
∀ j = 1, n
sau într-o formă echivalentă: ⎧M (a0 + a1 X 1 + ... + an X n ) = M (Y ) ⎨M (a + a X + + a X ) ⋅ X = M Y ⋅ X ( ) j n n n 0 1 1 ... ⎩
∀ j = 1, n
de unde rezultă: ⎧a0 + a1M ( X 1 ) + ... + an M ( X n ) = M (Y ) ⎨a + a M X X + + a M X X = M YX ( j ) ⎩ 0 1 ( 1 j ) ... n ( n j )
∀ j = 1, n
Prin rezolvarea acestui sistem liniar de ecuaţii în raport cu necunoscutele a0 , a1 ,..., an , se obţin valorile parametrilor ecuaţiei de regresie. Astfel, legătura statistică dintre Y şi X 1 , X 2 ,..., X n este modelată prin aproximare cu o legătur ă funcţională. Pentru cazul cu doi factori X 1 şi X 2 , ecuaţia de regresie se scrie: Y ( X 1 , X 2 ) = a0 + a1 X 1 + a2 X 2
iar sistemul de ecuaţii devine: ⎧a0 + a1M ( X 1 ) + a2 M ( X 2 ) = M (Y ) ⎪ 2 ⎨a0 M ( X 1 ) + a1 M ( X 1 ) + a2 M ( X 1 X 2 ) = M (YX 1 ) ⎪a M ( X ) + a M ( X X ) + a M ( X 2 ) = M (YX ) 2 1 1 2 2 2 2 ⎩ 0
Prin substituţia lui a0 din prima ecuaţie şi înlocuirea lui în celelalte, obţinem: ⎧⎪a1[M ( X 12 ) −[M ( X 1 )]2 ] + a2 [M ( X 1 X 2 ) − M ( X 1)M ( X 2 )] = M (YX 1 ) − M (Y )M ( X 1 ) ⎨ ⎪⎩a1[M ( X 1 X 2 ) − M ( X 1 )M ( X 2 )] + a2 [M ( X 22 ) −[M ( X 2 )]2 ] = M (YX 2 ) − M (Y )M ( X 2 )
Dacă pentru a aduce la o formă mai simplă notăm cu:
mij = M [ X i − M ( X i )]⋅[ X j − M ( X j )] = M ( X i X j ) − M ( X i )M ( X j ) care reprezintă covariaţia dintre variabilele X i şi X j , obţinem: ⎧a1m11 + a2 m12 = m01 ⎨ ⎩a1m12 + a2 m22 = m02
de unde putem obţine valorile parametrilor: 54
m01m22 − m12 m02 m11m22 − m122 m m − m12 m01 a2 = 11 02 m11m22 − m122 a1 =
De aici îl vom deduce şi pe a0 , care a fost substituit în prima ecuaţie. Astfel, a0 , a1 , a2 sunt valorile parametrilor modelului liniar cu trei variabile. Înlocuind valorile parametrilor în ecuaţia de regresie se obţine: m11 m12 m m12 ⋅ (Y ( X 1 , X 2 ) − M (Y ) ) − 10 ⋅ ( X 1 − M ( X 1 ) ) + m20 m22 m21 m22 +
m10 m11 ⋅ ( X 2 − M ( X 2 ) ) = 0 m20 m21
Pentru a face relaţia mai accesibilă, introducem matricea de variaţie şi covariaţie: ⎛ m00 m01 m02 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ m10 m11 m12 ⎟ ⎜m ⎟ ⎝ 20 m21 m22 ⎠ (3)
şi notând complementul algebric al elementului m0 j cu M oj(3) , j = 0,1,2 ecuaţia de regresie devine: M 00( 3) (Y ( X 1 , X 2 ) − M (Y ) ) − M 01(3) ( X 1 − M ( X 1 ) ) + M 02(3) ( X 2 − M ( X 2 ) ) = 0
Pentru cazul mai general al legăturii liniare dintre Y şi X 1 , X 2 ,..., X n , matricea de variaţie şi covariaţie este:
M ( n+1)
⎛ m00 m01 ⎜ m11 ⎜m = ⎜ 10 ... ... ⎜ ⎜m ⎝ n 0 mn1
... m0n ⎞ ⎟ ... m1n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... mnn ⎠⎟
iar ecuaţia de regresie se poate scrie:
M 00(n+1) (Y ( X 1, X 2 ) − M (Y )) − M 01(n+1) ( X 1 − M ( X 1)) + ... + M 0(nn+1) ( X n − M ( X n )) = 0 Matricea de variaţie şi covariaţie M ( n+1) este simetrică în raport cu prima diagonală. Elementele mii de pe diagonala principală sunt varianţele variabilelor Y , X 1 , X 2 ,..., X n , iar elementele mij , i ≠ j reprezintă covarianţele dintre variabilele corespunzătoare.
55
Regresia liniară simplă În cazul regresiei liniare simple, cu variabila endogenă Y şi factorul X 1 , matricea de variaţie şi covariaţie este:
m01 ⎞ ⎛ m ⎟⎟ M ( 2) = ⎜⎜ 00 ⎝ m10 m11 ⎠ iar ecuaţia de regresie devine: m11 (Y ( X ) − M (Y ) ) − m10 ( X 1 − M ( X 1 ) ) = 0
de unde îl putem exprima pe Y ( X ) ca: Y ( X ) =
m10 m X 1 + M (Y ) − 10 M ( X 1 ) m11 m11
de unde rezultă coeficienţii: a0 = M (Y ) − a1 =
m10 M ( X 1 ) m11
m10 X m11 1
Regresia parabolică În economie sunt numeroase exemplele în care legătura dintre fenomene şi deci variabilele care le cuantifică nu este liniar ă. Dacă Y reprezintă recolta la hectar dintr-un produs agricol, iar X cantitatea de îngr ăşăminte, ne vom da seama chiar şi intuitiv că o anumită creştere a lui X nu provoacă aceeaşi creştere a lui Y pe tot intervalul de variaţie al celor două variabile. La valori mari ale cantităţii de îngr ăşăminte, acestea provoacă saturaţie sau chiar nocivitate, ducând la o stagnare, respectiv diminuare a producţiei. Alte exemple pot fi: legătura dintre vechimea în muncă şi mărimea salariului, dintre cheltuielile cu publicitatea şi volumul vânzărilor, etc. Determinarea parametrilor funcţiei parabolice de regresie se poate face fie aplicând direct funcţiei metoda patratelor minime, fie prin reducerea la cazul liniar prezentat anterior. În ambele cazuri vom exemplifica pentru parabola de ordinul doi.
56
a) Estimarea parametrilor prin aplicarea directă a metodei patratelor minime Ecuaţia de regresie a modelului se scrie: Y ( X ) = a0 + a1 X + a2 X 2
Din condiţia de minimizare a expresiei: G(a0 , a1 , a2 ) = M [Y − Y ( X )]
2
avem următoarele egalităţi: ∂G (a0 , a1 , a2 ) =0 ∂a0 ∂G( a0 , a1 , a2 ) =0 ∂a1 ∂G( a0 , a1 , a2 ) =0 ∂a2
din care rezultă sistemul de ecuaţii: ⎧− 2M [Y − ( a0 + a1 X + a2 X 2 )] = 0 ⎪ 2 ⎨− 2M [(Y − (a0 + a1 X + a2 X )) X ] = 0 ⎪− 2M [(Y − (a + a X + a X 2 )) X 2 ] = 0 0 1 2 ⎩
care este echivalent cu: ⎧a0 + a1M ( X ) + a2 M ( X 2 ) = M (Y ) ⎪ 2 3 ⎨a0 M ( X ) + a1M ( X ) + a2 M ( X ) = M (YX ) ⎪a M ( X 2 ) + a M ( X 3 ) + a M ( X 4 ) = M (YX 2 ) 1 2 ⎩ 0
Rezolvând acest sistem în necunoscutele a0 , a1 , a2 , rezultă parametrii ecuaţiei de regresie parabolice. În mod asemănător se poate proceda pentru orice regresie neliniar ă.
57
b) Estimarea parametrilor prin reducerea la cazul liniar Având modelul parabolic de ecuaţie: Y ( X ) = a0 + a1 X + a2 X 2
facem substituţiile:
X = X 1 X 2 = X 2 după care ecuaţia devine: Y ( X 1 , X 2 ) = a0 + a1 X 1 + a2 X 2
care reprezintă un model liniar cu doi factori. Elementele matricei de variaţie şi covariaţie vor ar ăta astfel: m00 = M (Y 2 ) − ( M (Y )) 2 = σ Y 2
m01 = m10 = M (YX ) − M (Y ) M ( X ) = cov(Y , X ) m02 = m20 = M (YX 2 ) − M (Y ) M ( X 2 ) = cov(Y , X 2 )
m11 = M ( X 2 ) − ( M ( X )) 2 = σ X 2 m12 = M ( X 3 ) − M ( X ) M ( X 2 ) = cov( X , X 2 )
m22 = M ( X 4 ) − (M ( X 2 ))2 = σ X 2 2 Problema regresiei neliniare pentru cazul unei parabole de gradul doi se reduce astfel la o problemă de regresie liniar ă, care se rezolvă conform cazului liniar. În cazul mai general, dacă ecuaţia de regresie este un polinom de gradul n: Y ( X ) = a0 + a1 X + a2 X 2 + ... + an X n
efectuând substituţiile:
58
X = X 1 ; X 2 = X 2 ; ... ; X n = X n
obţinem cazul liniar în raport cu (n+1) variabile.
Regresia exponenţială Dacă ecuaţia de regresie are formă exponenţială: Y ( X ) = a ⋅ b X se încearcă aducerea la forma liniar ă. Mai întâi se logaritmează ecuaţia: lg Y ( X ) = lg a + X ⋅ lg b iar apoi se fac substitiţiile: Z ( X ) = lg Y ( X ) a0 = lg a a1 = lg b Rezultă astfel modelul liniar simplu: Z ( X ) = a0 + a1 X
Regresia hiperbolică Dacă ecuaţia de regresie are formă hiperbolică: Y ( X ) = a + b ⋅
1 X
se face substituţia: X 1 =
1 X
59
de unde rezultă modelul liniar: Y ( X 1 ) = a + bX 1 În matricea de variaţie şi covariaţie elementele vor fi: m00 = M (Y 2 ) − ( M (Y )) 2 = σ Y 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ m01 = m10 = M ⎛ ⎜ Y ⋅ ⎟ − M (Y ) M ⎜ ⎟ = cov⎜ Y , ⎟ ⎝ X ⎠ ⎝ X ⎠ ⎝ X ⎠ 2
1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ m11 = M ⎛ ⎜ 2 ⎟ − ⎜⎜ M ⎜ ⎟ ⎟⎟ = σ 12/ X ⎝ X ⎠ ⎝ ⎝ X ⎠ ⎠
Alte tipuri de regresie În practica economică se întâlnesc frecvent şi alte tipuri de funcţii (unele chiar funcţii compuse). Principiul de lucru pentru estimarea parametrilor va r ămâne însă întotdeauna acelaşi: încercarea de a aduce funcţia la o formă liniar ă. Foarte des întâlnite sunt funcţiile de producţie. Forma generală a acestora este: Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = a ⋅ X 1m1 ⋅ X 2m2 ⋅ ... ⋅ X nmn
Printr-o astfel de funcţie se defineşte o legătur ă între nivelul producţiei Y şi factorii de care aceasta depinde: productivitatea muncii, calificarea for ţei de muncă, gradul de înzestrare cu capital fix, etc. Determinarea parametrilor se face prin reducere la cazul liniar prin logaritmare: lg Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = lg a + m1 ⋅ lg X 1 + ... + mn ⋅ lg X n
Dacă în această nouă ecuaţie facem substituţiile:
Z ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = lg Y ( X 1 , X 2 ,..., X n ) X i ' = lg X i , i = 1, n reducem ecuaţia la una liniar ă multiplă.
60
4.6. Analiza reprezentativităţii funcţiei de regresie Coeficientul de corelaţie Construcţia lui este similar ă cu a raportului de corelaţie, cu deosebirea că varianţa în fiecare grupă este calculată folosind suma patratelor abaterilor faţă de valorile ajustate prin funcţia de regresie şi nu faţă de media grupei. Ca urmare, coeficientul de corelaţie va fi specific fiecărei funcţii în parte. Expresia lui de calcul (admisă aici f ăr ă demonstraţie) este: det M r YX = 1 − m00 M 00 r YX ∈ [0 ; 1] Interpretarea acestui coeficient în funcţie de valorile pe care le poate lua este următoarea: - dacă r YX ∈ [0 ; 0,3] funcţia nu este reprezentativă pentru modelarea legăturii dintre variabile - dacă r YX ∈ (0,3 ; 0,7] funcţia are o reprezentativitate medie pentru modelarea legăturii dintre variabile - dacă r YX ∈ (0,7 ; 1] funcţia este foarte reprezentativă pentru modelarea legăturii dintre variabile. Aceste limite nu trebuie interpretate foarte rigid. Valorile coeficienţilor este bine să fie comparate cu ale altor coeficienţi, ai altor funcţii. Pentru aceeaşi repartiţie de exemplu, pentru funcţiile de regresie alese ca fiind posibilecalculăm coeficienţii de corelaţie şi îl reţinem pe cel mai mare, considerând acea funcţie ca fiind cea mai reprezentativă. În cazul regresiei liniare simple, formula coeficientului poate fi adusă la o formă echivalentă mai simplă:
m01 ⎞ ⎛ m ⎟⎟ M ( 2) = ⎜⎜ 00 m m 11 ⎠ ⎝ 10 m m − m01 m10 m01 m10 det M = 1 − 00 11 = = m00 M 00 m00 m11 m00 m11 m01 M ( XY ) − M ( X ) M (Y ) = = σ Y ⋅ σ X m00 ⋅ m11
r YX = 1 −
4.7. Corelaţia parţială Prin corelaţie simplă am studiat legătura liniar ă dintre doi factori neglijând influenţa celorlalţi factori, care acţionează în acelaşi timp asupra variabilei endogene. În corelaţia multiplă am măsurat influenţa simultană a două sau mai multe variabile exogene asupra celei endogene. Ne punem însă problema de a măsura influenţa unei variabile independente asupra celei dependente, presupunând celelalte variabile la un nivel constant. Făr ă a recurge la demonstraţii, vom da modul de calcul al coeficienţilor de corelaţie par ţială pentru dou ă cazuri: a) Cazul unei variabile dependente Y şi două variabile independente X1 şi X2: 61
- corelaţia dintre Y şi X1, neglijând influenţa lui X2: r − r ⋅ r r YX 1⋅ X 2 = YX 1 2 YX 2 X 1 X 22 (1 − r YX 2 )⋅ (1 − r X 1 X 2 ) - corelaţia dintre Y şi X2, neglijând influenţa lui X1: r YX 2 ⋅ X 1 =
r YX 2 − r YX 1 ⋅ r X 1 X 2
(1 − r YX 2 )⋅ (1 − r X 2 X ) 1
1
2
b) Cazul unei variabile dependente Y şi trei variabile independente X1, X2 şi X3: - corelaţia dintre Y şi X1, neglijând influenţa lui X2 şi X3: r − r ⋅ r r YX 1⋅ X 2 X 3 = YX 1⋅ X 2 YX 3 ⋅ X 2 X 1 X 3 ⋅ X 2 (1 − r YX 2 3 ⋅ X 2 )⋅ (1 − r X 21 X 3⋅ X 2 ) - corelaţia dintre Y şi X2, neglijând influenţa lui X1 şi X3: r YX 2 ⋅ X 1 X 3 =
r YX 2 ⋅ X 1 − r YX 3 ⋅ X 1 ⋅ r X 1 X 3 ⋅ X 2
(1 − r YX 2 ⋅ X )⋅ (1 − r X 2 X ⋅ X ) 3
1
2
3
1
- corelaţia dintre Y şi X3, neglijând influenţa lui X1 şi X2: r YX 3 ⋅ X 1 X 2 =
r YX 3 ⋅ X 1 − r YX 2 ⋅ X 1 ⋅ r X 2 X 3 ⋅ X 1
(1 − r YX 2 ⋅ X )⋅ (1 − r X 2 X ⋅ X ) 2
1
2
3
1
Aceste formule ale coeficienţilor de corelaţie par ţială se pot generaliza şi pentru cazul a k variabile independente.
Probleme propuse Problema 1 Cunoaştem următoarea distribuţie a 52 de societăţi comerciale cu acelaşi profil de activitate, în raport cu variabilele X – cheltuielile cu publicitatea (mil. lei) şi Y - volumul vânzărilor (mil. lei). X Y ( 600 ; 800 ] ( 400 ; 600 ] [ 200 ; 400 ] Total
[ 30 ; 50 ]
( 50 ; 70 ]
( 70 ; 90 ]
Total
2 3 14 19
7 10 2 19
8 5 1 14
17 18 17 52
Se cere: 1) Pe baza unui grafic adecvat să se emită ipoteze privind forma posibilă a funcţiei de regresie.
62
2) 3) 4) 5)
În ipoteza unei forme liniare a dependenţei dintre Y şi X , să se calculeze parametrii funcţiei de regresie. Să se studieze reprezentativitatea funcţiei de regresie pentru modelarea legăturii dintre cele două variabile. Care este valoarea medie a volumului vânzărilor pentru un nivel al cheltuielilor cu publicitatea de 55 milioane lei ? Aceleaşi cerinţe de la punctele 2, 3 şi 4 pentru o formă parabolică a dependenţei dintre Y şi X .
Problema 2 Un produs a fost lansat simultan pe 13 pieţe. Pe aceste pieţe, produsul a fost propus la preţuri diferite (P), veniturile consumatorilor (V) fiind şi ele diferite. Pentru fiecare piată s-a înregistrat un anumit nivel al cererii (C), rezultatele fiind sintetizate în tabelul următor: Nr. crt.
Cerere (C)
Preţ (P)
Venit (V)
1
15,4
1,4
620
2
3,2
5,1
530
3
4,9
2,5
490
4
10,5
1,7
800
5
8,0
1,8
630
6
5,1
3,4
410
7 8 9 10 11 12 13
7,6 11,3 14,0 6,4 13,2 8,8 12,1
2,1 1,6 3,6 3,5 1,9 1,8 1,9
670 920 990 320 520 700 730
Se cere: 1) Să se formuleze ipoteze cu privire la forma legăturii dintre cerere (C) şi preţ (P). Pentru formele funcţiilor de regresie reţinute ca fiind posibile, să se calculeze parametrii funcţiilor şi reprezentativitatea acestora. 2) Similar pentru legătura dintre cerere şi venit. 3) Să se calculeze parametrii funcţiei care modelează legătura liniar ă multiplă dintre cerere şi factorii săi e influenţă. Analizaţi reprezentativitatea acestei funcţii în raport cu reprezentativitatea funcţiilor de regresie simple. Care va fi valoarea estimată a cererii pe o piaţă unde preţul de vânzare va fi 3,2 iar venitul mediu al consumatorilor de 550 ?
63
Bibliografie: 1. DROSBEKE J. J., “Éléments de statistiques” , Ed. Ellipses , Bruxelles , 1988 2. BUIGA A., DRAGOS C., LAZAR D., PARPUCEA I., TODEA A., "Statistica I" , Ed. PUC, 2003 3. GOLDFARB B. , PARDOUX C. , “Introduction à la méthode statistique” , Ed. Dunod , Paris , 1995 4. PY B. , “Statistique descriptive” , Ed. Economica , 1990 5. ROGER P. , “Statistique pour la gestion” , Ed. Management et société , Caen , 2000 6. TASSI P. , “Méthodes Statistiques” , Ed. Economica , Paris , 1991 7. WONNACOTT T.H. , WONNACOTT R.J. , “Statistique. Économie-GestionSciences-Médecine” , Ed. Economica , Paris , 1991
64
MODULUL 4 ANALIZA ŞI PREVIZIUNEA SERIILOR DE TIMP Obiective • Intelegerea si aplicarea metodelor de calcul a indicilor factoriali in analiza dinamicii indicatorilor economici; • Cuantificarea dinamicii medii a unui indicator; • Cunoasterea si utilizarea metodelor cantitative de previziune. Metoda clasica de descompunere a unei serii de timp.
Concepte de bază • • • •
Indice al variatiei integrale, indice factorial, indice al pretului; Nivel mediu al unei serii de timp, indice mediu, ritm mediu, diferenta medie absoluta; Serie de timp, model dinamic, functii de tendinta, coeficientii sezonalitatii, ciclicitate Medii mobile, previziune, erori de previziune, netezire exponentiala.
Rezultate asteptate Studentul intelege notiunile de indice factorial, nivel mediu, indice mediu, ritm mediu si stapaneste modalitatile de calcul a acestora. Utilizeaza metode cantitative in previziune; in acest sens, identifica componentele prezente intr-o serie de timp, modeleaza si extrapoleaza tendinta, utilizeaza adecvat o medie mobila, modeleaza componenta sezoniera si ciclica, utilizeaza metoda netezirii exponentiale in netezire si previziune.
Sinteza 4.1. INDICII STATISTICI 4.1.1. Indicii statistici: definiţii şi tipologii Studiul fenomenelor economice şi sociale presupune în marea majoritate a cazurilor şi măsurarea variaţiei unor mărimi. Această variaţie poate fi urmărită în timp, spaţiu sau relativ la nişte categorii. Se va folosi termenul generic de stare, notându-se cu j starea luată ca bază de comparaţie şi cu k cea cercetată în raport cu aceasta. Se va nota cu Z mărimea care constituie obiectul de studiu, variaţia acesteia putând fi exprimată atât sub formă absolută, cât şi relativă. Dintre exprimările sub formă relativă un loc deosebit de important îl ocupă indicele statistic. În practică variaţia totală a variabilei Z este datorată variaţiei unor alte variabile a căror evoluţie între două stări j şi k influenţează evoluţia lui Z. Avem de a face, aşadar, cu Z de forma Z = f ( X 1 , X 2 , , X m ) . Un astfel de model este un model de tip determinist în care cei m factori determină în totalitate nivelul lui Z . In cazul unui astfel de model se pot distinge trei categorii de indici: 1) indicele variaţiei totale (integrale) a mărimii Z : K
Z (k ) f ( X 1 (k ), X 2 (k ), , X m (k )) = Z ( j ) f ( X 1 ( j ), X 2 ( j ), , X m ( j )) 2) indici ai factorilor X i (individuali sau elementari): K
I Z k / j =
K
65
X i (k ) X i ( j ) j 3) indici ai variaţiei partiale ale lui Z sau indici factoriali: I Z k // X - ne arată de câte ori s-a i modificat Z în starea k faţă de starea j sub influenţa exclusivă a factorului X i . I X k i/ j =
4.1.2. Indicii factoriali Indicii factoriali de tip Laspeyres. Acest indice este cel mai cunoscut şi utilizat în practica economică. Mai poartă şi denumirea de indicele preţurilor. Dacă se consider ă un coş de r r
produse sau bunuri, volumul valoric al acestora ( Z ) se va calcula după relaţia: Z = ∑ p i qi . i =1
Indicele factorial al preţurilor calculat prin metoda Laspeyres va avea expresia: r r pi (k ) ⋅ pi ( j ) ⋅ qi ( j ) p ( k ) q ( j ) ∑ ∑ i i p ( j ) 1 i = i = I Z k // p j (⋅ L) = i =r 1 r ∑ pi ( j )qi ( j) ∑ pi ( j)qi ( j) i =1
i =1
iar indicele factorial al cantităţilor (volumului fizic), expresia: r
k / j Z / q
I ( L⋅) =
pi ( j )qi (k ) ∑ i 1 = r
pi ( j )qi ( j ) ∑ i 1 =
unde pi ( j ) şi pi (k ) sunt preţurile din perioada de bază şi perioada curentă, qi ( j ) sunt cantităţile din perioada de bază, iar k i măsoar ă importanţa1 produsului sau bunului i în coşul indicelui la momentul bază de comparaţie. Pentru cazul general, când Z depinde de m factori de influenţă, iar forma funcţiei f este oarecare, Florea (1986) deduce o regulă pentru elaborarea indicilor factoriali de tip „Laspeyres”. Indicii factoriali de tip Paasche. Acest indice a apărut tot ca un indice al preţurilor, indicele factorial de preţ de tip Paasche avand expresia: r
k / j Z / p
I
(⋅ P ) =
pi (k )qi (k ) ∑ i 1 = r
pi ( j )qi (k ) ∑ i 1
,
=
iar cel factorial al cantităţilor (volumului fizic), expresia: r
k / j Z / q
I ( P ⋅) =
pi (k )qi (k ) ∑ i 1 = r
pi (k )qi ( j ) ∑ i 1 =
Pentru o funcţie oarecare f , în care mărimea Z depinde de m factori, in Florea(1986) este prezentata o generalizare.
66
Indicii factoriali de tip Fisher . In 1922, I. Fisher propune o nouă expresie de calcul a indicelui preţurilor. Acesta se va obţine ca o medie geometrică a indicilor de preţ de tip Laspeyres şi Paasche, astfel: I Z k // p j ( F ) = I Z k // p j (⋅ L) ⋅ I Z k // p j (⋅ P ) De aceeaşi manier ă se obţine şi indicele de volum: I Z k // jq ( F ) = I Z k // jq ( L⋅) ⋅ I Z k // jq ( P ⋅) Indicii factoriali genera ţ i prin Metoda Drumului Factorilor (MDF) . Indicele factorial al unei variabile Z = f ( X 1 , , X m ) , în raport cu factorul X i , obţinut prin MDF este dat de relaţia (Florea, 1989): f ' X i ( X 1 , , X m ) j = I Z k // X exp dX i ∫ i ( ) f X , , X 1 m ( P j , P k ) K
K
K
unde ( P , j P k ) reprezintă por ţiunea arcului din drumul factorilor cuprins între punctele P j ( X 1 ( j ), , X m ( j ) ) şi P j ( X 1 (k ), , X m (k ) ) , acest drum fiind descris de ecuaţiile X 1 = X 1 (λ ), , X parametrice ) legat de timp. m = X m (λ , λ fiind în general un parametru K
K
K
Exemple. Indicii factoriali calculati prin metoda Laspeyres.
1. O societate hotelier ă dispune de 3 tipuri de locuri de cazare: camere cu un singur pat(single), camere cu două paturi(double) şi apartamente. Numărul de camere închiriate (X) şi tariful practicat (Y) în două luni consecutive sunt date în tabelul următor: Luna Luna k X Y(€) X Y(€) Tipul camerei Single Double Apartament
80 50 20
30 40 50
110 60 25
35 40 45
Volumul valoric al încasărilor din închirierea camerelor (Z) se va calcula după relaţia: 3
Z = ∑ X iY i . Indicii factoriali de tip Laspeyres vor fi: i =1
3
k / j Z / X
I
(⋅ L) =
X i (k )Y i ( j ) ∑ i 1 = 3
X i ( j )Y i ( j ) ∑ i 1
=
110 ⋅ 30 + 60 ⋅ 40 + 25 ⋅ 50 = 1,287 → volumul valoric al 80 ⋅ 30 + 50 ⋅ 40 + 20 ⋅ 50
=
încasărilor a crescut în luna k faţă de luna j de 1,287 ori sub influenţa modificării numărului 3
k / j Z / X
de camere închiriate. I
( L⋅) =
X i ( j )Y i (k ) ∑ i 1 = 3
=
X i ( j )Y i ( j ) ∑ i 1
80 ⋅ 35 + 50 ⋅ 40 + 20 ⋅ 45 = 1,055 → volumul 80 ⋅ 30 + 50 ⋅ 40 + 20 ⋅ 50
=
valoric al încasărilor a crescut în luna k faţă de luna j de 1,055 ori sub influenţa modificării tarifului practicat.
2. Se consider ă mărimea Z ca fiind profitul brut al unei societăţi şi factorii X - veniturile totale respectiv Y - cheltuielile totale ale aceleaşi societăţi. Modelul care leagă cele trei mărimi va fi de forma: Z = X − Y . In doi ani consecutivi variabilele X şi Y au înregistrat valorile:
67
Anul
Variabila X (mld lei) Y (mld.
t − 1
t
10 8
12 9
Lei)
Expresiile şi valorile indicilor factoriali de tip Laspeyres sunt: X (t ) − Y (t − 1) 12 − 8 = = 2 → profitul brut a crescut în anul t faţă de - I Z t //t X −1 (⋅ L) = X (t − 1) − Y (t − 1) 10 − 8 anul t − 1 de 2 ori sub influenţa modificării veniturilor totale; X (t − 1) − Y (t ) 10 − 9 = = 0,5 → profitul brut a scăzut în anul t faţă - I Z t //t Y −1 ( L⋅) = X (t − 1) − Y (t − 1) 10 − 8 de anul t − 1 de 0,5 ori sub influenţa modificării cheltuielilor totale.
4.1.3. Indicii factoriali de tip Laspeyres, Paasche şi Fisher prin prisma abordării axiomatice Abordarea axiomatică se bazează pe stabilirea unor seturi de proprietăţi pe care un indice statistic trebuie să le verifice (Buiga & all, 2003). 4.1.4. Principalii indici utilizaţi în economie ţ urilor de consum este un indice de tip Laspeyres cu baz ăfixa: Indicele pre n
t / 0 Z / p
I
(⋅ L) =
pi (t )qi (0) ∑ i 1 =
n
∑ pi (0)qi (0) i =1
n
=∑ i =1
pi (0)qi (0) n
pi (0)qi (0) ∑ i 1
⋅
pi (t ) n = ∑ k i (0) ⋅ I pt /i 0 pi (0) i =1
=
unde: n - reprezintă numărul de mărfuri şi servicii din coşul indicelui; k i (0) - reprezintă structura de consum, fiind ponderea mărfii sau serviciului i în consumul populaţiei; pi (0) şi pi (t ) sunt preţurile înregistrate de marfa sau produsul i în perioada de bază şi perioada curentă; Ponderile k i (0) sunt obţinute prin Ancheta Integrată în Gospodării şi rezultă din structura cheltuielilor medii lunare efectuate de o gospodărie pentru cumpărarea mărfurilor şi plata serviciilor necesare satisfacerii nevoilor de trai; aceste ponderi se actualizează la intervale de câţiva ani. Preţurile corespunzătoare celor n mărfuri şi servicii din coşul indicelui se culeg lunar, în urma unei cercetări selective organizate de Institutul National de Statistică. Indicele produc ţ iei industriale măsoar ă evoluţia de ansamblu a preţurilor produselor şi serviciilor industriale fabricate şi livrate de producătorii interni în perioada curentă faţă de perioada de bază, în primul stadiu de comercializare a produselor sau serviciilor. ndicele utlizat este tot un indice de tip Laspeyres. Indicele salariilor măsoar ă evoluţia salariilor în perioada curentă faţă de perioada de bază. Alături de indicele preţurilor de consum este folosit în evaluarea nivelului de trai. Se utilizează, de asemenea, un indice de tip Laspeyres, care măsoar ă variaţia fondului de salarii total ( Z ) sub influenţa modificării salariilor medii S i corespunzătoare ramurii i .
68
Indicii bursieri. Principalii indici bursieri se diferenţiază prin mai multe elemente: e şantionarea, respectiv alegerea titlurilor din coşul indicelui, reprezentativitate, modul de calcul utilizat şi natura variabilelor luate în calcul. Cei mai cunoscuţi şi urmăriţi indici bursieri, cu excepţia familiei de indici Dow Jones se calculeaza ca si indici Laspeyres.
4.2. PREVIZIUNEA SERIILOR DE TIMP În derularea activităţii lor, frecvent agenţii economici sunt puşi în situaţia de a anticipa viitorul, iar apoi de a lua decizii în consecinţă. Oamenii de afaceri sunt nevoiţi să previzioneze anual cifra de afaceri şi alte elemente necesare întocmirii unui plan de afaceri, investitorii sunt interesaţi de profitul viitor degajat de investiţie, respectiv guvernele de previziunea consumului sau a cheltuielilor guvernamentale etc.. Obţinerea rapidă de previziuni utilizând modele cantitative de previziune este la îndemâna analiştilor, urmare şi a softurile de statistică accesibile şi uşor de exploatat. Anticiparea, previziunea evoluţiei viitoare a fenomenelor economice presupune în primul rând cunoaşterea istoriei acestora, punerea în evidenţă a unor legităţi privind comportamentul lor trecut. Baza de date pe care se fundamentează analiza evoluţiei fenomenelor în timp este constituită din serii cronologice. 4.2.1. Indicatori medii specifici seriilor cronologice a) Nivelul mediu (valoarea medie). Nivelul mediu
reprezintă nivelul teoretic atins de indicator în condiţiile în care evoluţia sa ar fi constantă în timp, factorii ce-i determină evoluţia ar acţiona cu aceeaşi intensitate pe întreaga perioadă de timp analizată. Modul de determinare a volumului fenomenului difer ă după cum seria este de intervale respectiv de momente. Pentru serii cronologice de intervale nivelul mediu este: y + y + ... + y n Y = 1 2 n Pentru serii cronologice de momente nivelul mediu este definit de următoarea relaţie: t n y (t )dt ∫ t 1 Y = t n . ∫ dt t 1
Daca se aproximează evoluţia indicatorului y (t ) ca fiind liniar ă între două momente consecutive de timp, rezulta: T 1 T + T T + T T + y 2 1 2 + ... + y n −1 n − 2 n −1 + y n n −1 2 2 2 Y = 2 T 1 + T 2 + ... + T n−1 relaţie numită medie cronologică ponderată. Daca nivelul indicatorului se înregistrează la momente echidistante ( T 1 = T 2 = .... = T n−1 ), atunci relaţia anterioar ă devine: y y1 + y 2 + .... + y n −1 + n 2 Y = 2 n −1 şi reprezintă media cronologică simpl ă . y1
b) Indicele mediu. Ritmul mediu Pentru calculul acestui indicator se întâlnesc în literatur ă mai multe abordări. Indicele mediu este parametrul modelului autoregresiv: 69
yt = I y ⋅ yt −1 + ε t , t = 2, 3,..., n Utilizând metoda celor mai mici pătrate pentru estimarea parametrului I y , următoarea expresie de calcul a indicelui mediu:
se obţine
n
y t 1 ⋅ y t ∑ t 2 −
I y =
=
n
y t 2 1 ∑ t 2 −
=
Metoda este întâlnită în practică sub denumirea de metoda autoregresivă . O alta expresie de calcul, adecvată pentru indicatori ce evoluează aproximativ exponenţial este urmatoarea:
I y = n−1
y n y1
Ritmul mediu R y se determină pornind de la indicele mediu: R y = I y − 1 sau R y (%) = I y ⋅ 100 − 100 . c) Diferen ţ a medie absolut ă Expresia de calcul a diferenţei medii absolute: n
∆ y =
sau echivalent:
∑ ( yt − yt −1 ) t = 2
n −1 ∆ y =
n
=
∆t y/ t 1 ∑ t 2 −
=
n −1
y n − y1 . n −1
4.2.2. Componentele unei serii cronologice. Modelul clasic de descompunere O serie cronologic ă este o secven ţă de observa ţ ii asupra unei variabile , ordonate dup ă parametrul timp. Frecvent, măsur ătorile asupra variabilei sunt efectuate la intervale egale de timp, seria cronologică fiind prezentată sub forma: ⎛ 1 2 ... t ... n ⎞ ⎟⎟ Y : ⎜⎜ ... ... y y y y t n ⎠ ⎝ 1 2 În abordarea tradiţională, fluctuaţiile din seriile cronologice sunt privite ca o rezultantă a suprapunerii următoarelor componente: tendinţa T , componenta ciclică C , sezonier ă S respectiv reziduală E . Primele trei componente sunt considerate deterministe, sistematice, determinate de factori cu acţiune continuă asupra fenomenului, în timp ce componenta reziduală are caracter aleator fiind efectul acţiunii unor factori imprevizibili, accidentali. Modelul clasic de descompunere a seriilor cronologice este de regulă: • aditiv: Y = T + C + S + E sau • multiplicativ: Y = T ⋅ C ⋅ S ⋅ E respectiv • o combinaţie mixtă a componentelor seriei. Tehnicile de analiză, in acest context, au ca obiective: 70
- separarea fiecărei componente şi modelarea comportamentului său, respectiv - previziunea evoluţiei fiecărei componente, iar apoi compunerea acestora în scopul obţinerii de previziuni privind evoluţia fenomenului Y . Principiul de la baza acestei tehnici este “descompune pentru a modela iar apoi recompune”. 4.2.3. Estimarea componentei de tendin ţă Func ţ ii elementare utilizate în modelarea tendin ţ ei
Cele mai uzuale funcţii utilizate pentru modelarea tendinţei indicatorilor din economie sunt redate în tabelul 1.. Tabelul 1. Funcţii elementare utilizate în modelarea tendinţei Tendinţă Forma liniarizată Diferenţe aprox. Constante liniar ă ∆t y/ t −1 = yt − yt −1 T t = a + bt (2) parabolă T = a + bt + cX ∆ y t / t −1 = ∆t y/ t −1 − ∆t y−1 / t − 2 T t = a + bt + ct 2 unde X = t ² hiperbolă 1 t exponenţială T t = a ⋅ b t T t = a + b
putere T t = a ⋅ t b
logaritmică T t = a + b ln t curba logistică a , T t = 1 + e b−ct a, c > 0
T = a + bX 1 unde X = t Z = A + Bt unde Z t = ln T t ; A = ln a; B = ln b Z = A + bX unde Z t = ln T t ; A = ln a; X = ln t T = a + bX unde X = ln t
∆t ty/ t −1 = tyt − (t − 1) yt −1
∆t ln/ t y−1 = ln yt − ln yt −1
Stabilirea func ţ iei adecvate pentru modelarea tendin ţ ei
În acest scop sunt utile următoarele precizări: • cronograma seriei iniţiale sau a valorilor netezite sugerează func ţ iile candidate, numite şi linii posibile de tendinţa; • cea mai adecvată funcţie pentru modelarea tendinţei poate fi considerată aceea pentru 2 care se realizează minimul sumei pă tratelor reziduurilor min ∑ ( yt − T t ) ; t
• este adecvată tendinţa liniar ă atunci când diferen ţ ele absolute cu baza în lan ţ ∆t y/ t −1 = yt − yt −1 sunt aproximativ constante. De asemenea, precizări specifice în acest sens pentru parabolă, exponenţială respectiv hiperbolă găsim în tabelul 1.
71
ei liniare Estimarea parametrilor tendin ţ ei ei . Pentru estimarea parametrilor tendin parametrilor tendin ţ ei T t = a + bt se utilizează metoda celor mai mici pătrate, expresiile de calcul a parametrilor a, parametrilor a, b sunt deci următoarele: n
b=
(t − t )( y t − Y ) ∑ t 1 =
n
(t − t ) ∑ t 1
,
2
=
a = Y − bt , sau echivalent M (tY ) − M (t ) M (Y ) , M (t 2 ) − [ M (t )]2 a = Y − bt . 0. Seria prezintă o tendinţă de creştere atunci când b > 0 respectiv de descreştere dacă b < 0. Cu excepţia curbei logistice, celelalte funcţii neliniare din tabelul1 pot fi aduse la o formă ii, respectiv prin aplicarea operaţiei de logaritmare în cazul liniarizată prin anumite substitu anumite substitu ţ ii, funcţiei exponenţiale şi a funcţiei putere. b=
Exemplu. Estimarea tendin ţ ei ei liniare
Indicele lunar al preţului producţiei industriale pentru piaţa internă, în perioada ianuarie 1999 – iunie 2000 baza de comparaţie 1996, a avut o tendinţă crescătoare: Luna (t) Indice (y )t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
3.7
3.8
4.1
4.3
4.5
4.8
4.9
5.1
5.3
5.5
5.6
5.8
6.0
6.2
6.3
6.5
6.6
7.0
Cronograma seriei sugerează prezenţa unei tendinţe liniare, peste care se suprapune o componentă aleatoare de amplitudine redusă: y t = a + bt + ε t , t = 1, 2,...,18. Parametrii tendinţei se determină din relaţiile: M (tY ) − M (t ) M (Y ) b= M (t 2 ) − [M (t )]2 a = M (Y ) − bM (t ).
Figura 1. -- ο --- Indice pre ţ productie industrial ă ă; ------ Tendin ţ a 72
Exemplificăm din calculele intermediare: 1 + 2 + + 18 M (t ) = = 9.5 18 3.7 + 3.8 + + 7.0 M (Y ) = = 5.33 18 (1 × 3.7) + (2 × 3.8) + + (18 × 7.0) M (tY ) = = 55.72 18 12 + 2 2 + + 18 2 2 M (t ) = = 117,2 18 rezultând 55.72 − 9.5 × 5.33 = 0.19, b= 117.2 − (9.5) 2 a = 5.33 − 0.19 × 9.5 = 3.55. Tendinţa seriei se estimează prin funcţia de gradul întâi: T t = 3.55 + 0.19t , al cărei grafic este redat în figura 1. L
L
L
L
4.2.4. Estimarea componentelor deterministe în cazul seriilor sezoniere tendinţă,, sezonalitate şi o Presupunem în acest paragraf că seria cronologică prezintă tendinţă componentă componentă aleatoare. Vom prezenta modul de estimare a tendinţei respectiv a componentei sezoniere. 4.2.4.1. Modelul de descompunere. Perioada componentei sezoniere Pentru alegerea modelului de descompunere este indicat a se analiza cronograma seriei. iilor este În general, este adecvat un model aditiv atunci când amplitudinea oscila ţ iilor aproximativ constant ă ă respectiv multiplicativ dacă amplitudinea cre şte sau scade în timp. timp. Frecvent în practică este mai adecvat modelul multiplicativ. Perioada componentei sezoniere, sezoniere, notată cu p, p, reprezintă numărul unităţilor de timp din cadrul unui ciclu sezonier. Majoritatea seriilor sezoniere din domeniul economic au durata unui ciclu de un an, p fiind egal cu 4 în cazul datelor trimestriale respectiv 12 în cazul datelor lunare. Prin extensie pot fi studiate şi fenomene cu durata unui ciclu mai mică de un an. 4.2.4.2. Mediile mobile Pentru eliminarea componentei sezoniere (desezonalizarea seriei) se aplică datelor o medie mobil ă de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere. Mediile mobile de ordin p, notate în continuare MM(p), MM(p), sunt definite de următoare relaţii: • daca p este impar p = 2k + 1 , mediile mobile de ordin p ordin p sunt + ... + y t + ... + y t + k y + y ; t = k + 1, k + 2,..., n − k ; y t = t −k t −k −1 p • daca p daca p este par p = 2k se definesc analog + y + ... + y t −0,5 + y t + 0,5 + .... + y t + k + 0,5 y y t = t − k + 0,5 t −k +1,5 , p t = k + 0,5; k + 1,5; ... ; n − k + 0,5. In cazul p par p par , se introduc mediile mobile centrate de ordin p definite prin: definite prin: y + y t + 0,5 0,5 y t − k + y t −k +1 + ... + y t + ... + y t + k −1 + 0,5 y t + k y t = t −0, 5 . = 2 p 73
4.2.4.3. Estimarea tendinţei în cazul seriilor cu componentă sezonier ă În cazul seriilor sezoniere sezoniere se întâlnesc preponderent preponderent în literatur ă doua modalit ăţ ăţ i de estimare a tendinţei: • desezonalizarea seriei iar apoi estimarea tendinţei pornind de la valorile desezonalizate (vezi 4.2.3.); • modelarea tendinţei pornind de la mediile anuale. 4.2.4.4. Estimarea componentei sezoniere Notaţii: t indice t indice pentru an (în general pentru pentru un ciclu sezonier), sezonier), variind variind de la 1 la n; s indice pentru sezon, variind de la 1 la p la p.. Modelul de descompunere a seriei are forma: y ij = TC ij + S j + ε ij respectiv y ij = TC ij ⋅ S j ⋅ ε ij Metoda compar ă ării r ii cu mediile mobile În cazul modelului multiplicativ y ij = TC ij ⋅ S j ⋅ ε ij ării r ii la mediile mobile şi metoda se întâlneşte în literatur ă şi sub denumire de metoda raport ă constă în următoarele: • calculul mediilor mobile y ij de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere; • calculul rapoartelor S ij = yij / y ij ce cuantifică abaterea datelor observate de la tendinţă - ciclu. Dacă fixăm indicele j (ne situăm în sezonul j), aceste diferenţe constituie estimaţii pentru S j ; • determinarea unui indice mediu pentru fiecare sezon ca o medie a estimaţiilor precedente: 1 n−1 I j = ∑ S ; j = 1, 2,..., p , n − 1 i =1 ij aceasta justificându-se prin necesitatea eliminării efectului aleator din S ij . Pentru a nu fi afectaţi de valorile extreme, uneori înainte de calculul mediei, aceste valori se elimină, sau în loc de medie se ia valoarea mediană a estimaţiilor S ij ; • determinarea componentei sezoniere S j , etapă ce constă într-o corecţie adusă indicilor 1: medii I j astfel încât media lor să fie 1: ⎛ 1 p ⎞ S j = I j /⎜⎜ ∑ I i ⎟⎟ j = 1, 2,..., p . ⎝ p i =1 ⎠ În cazul modelului aditiv y ij = TC ij + S ij + ε ij determinarea componentei sezoniere decurge analog. Exemplu. Estimarea componentelor deterministe în cazul
seriilor sezoniere. Datele privind evoluţia trimestrială a producţiei de bere din ţara noastr ă (zeci mii hl) în perioada 1996-2001 sunt indicate mai jos An/Trim. 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000
I 124. 124.11 130. 130.11 157. 157.55 169. 169.77 177. 177.55
II 263. 263.22 280. 280.22 301. 301.22 340. 340.00 407. 407.66
74
III 252. 252.44 260. 260.66 353. 353.33 350. 350.99 417. 417.22
IV 124. 124.55 151. 151.11 185. 185.00 168. 168.77 224. 224.11
Figura 2. --ο --- Produc ţ ia ia de bere; -- -- MM(4); MM(4); ---- Tendin Tendin ţ a a) Calculul mediilor mobile de ordin p=4 Graficul seriei indică prezenţa unei componente sezoniere predominante, de perioadă p = 4. 4. Mediile mobile de ordin p ordin p = 4 sunt calculate conform relaţiei de definiţie a mediilor mobile centrate. Astfel, spre exemplu: 0.5 × y1 + y2 + y3 + y4 + 0.5 × y5 y3 = = 4 0.5 × 124.1 + 263.2 + 252.4 + 124.5 + 0.5 × 130.1 = = 191.8 4 0.5 × y2 + y3 + y4 + y5 + 0.5 × y6 y4 = = 4 0.5 × 263.2 + 252.4 + 124.5 + 130.1 + 0.5 × 280.2 = = 194.7 4 L
0.5 × y20 + y21 + y22 + y23 + 0.5 × y24 = 4 0.5 × 224.1 + 202.9 + 385.3 + 425.6 + 0.5 × 196.6 = = 306.0. 4 Datele observate au fost numerotate aici în ordine cronologică y1 , y2 , ..., y24.
y22 =
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mediile mobile de ordinul 4 MM(4) t 191.8 194.7 197.8 202.2 208.9 214.9 229.2 245.0 250.8 257.1
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
75
MM(4) 261.7 259.4 258.3 267.7 284.5 299.7 309.8 310.2 308.4 306.0 -
b) Estimarea tendin ţ ei pornind de la valorile desezonalizate Seria mediilor mobile prezentată grafic relevă o uşoar ă tendinţă de creştere a producţiei de bere. Vom considera tendinţa liniar ă: T t = a + bt + ε t , originea de măsurare a timpului trimestrul II al anului 1996, unitatea de măsur ă un trimestru. Astfel, pentru trimestrul III 1996 avem t = 1 ş.a.m.d: t Valori desezonalizate (Z)
1 2 3 191.8 194.7 197.8 M (tZ ) − M (t ) M ( Z ) , b= M (t 2 ) − [M (t )]2 a = M ( Z ) − bM (t ).
... ...
19 308.4
20 306.0
Calcule intermediare: M (t ) = 10.5, M ( Z ) = 252.9, M (t 2 ) = 143.5, M (tZ ) = 2884.9, b = 6.9, a = 180.44. Tendinţa producţiei de bere în perioada ianuarie 1996 – iunie 2000 este estimată prin: T t = 180.44 + 6.9 × t . c) Estimarea componentei sezoniere prin metoda raport ă rii la mediile mobile Cum amplitudinea oscilaţiilor creşte uşor în timp, cronograma seriei sugerează luarea în considerare a unui model multiplicativ: yij = T ij ⋅ S j ⋅ ε ij ; i = 1, 2,..., 6 iar j = 1, 2, 3, 4 . Datele sunt disponibile pentru 6 ani şi sunt prezente aici 4 sezoane. Ţinând seama de notaţiile specifice, yij reprezintă nivelul producţiei de bere în anul i trimestrul j. Astfel, spre exemplu y13 = y1996; III = 252.4 sau y34 = y1998; IV = 185.0 . Mediile mobile din tabelul anterior vor fi transpuse într-un tabel analog cu cel de prezentare a datelor observate:
Rapoartele S ij =
I 202.2 245.0 259.4 299.7 306.0
II 191.8 208.9 250.8 258.3 309.8 -
III 194.7 214.9 257.1 267.7 310.2 -
IV
y ij ⋅ 100 , respectiv mediile acestora pentru fiecare sezon sunt indicate în y ij
tabelul urmator
An/Trim. 1996 1997 197.8 1998 229.2 1999 261.7 2000 284.5 2001 308.4
Calculul indicilor sezonalit ăţ ii An/Trim. 65.8 68.7 64.8 62.4 65.8 65.5 I j 65.6 S j
1996 1997 1998 1999 2000 2001
I 138.6 122.9 131.1 136.0 125.9 130.9
II 131.6 124.7 140.9 135.8 134.7 133.5
III 63.9 70.3 71.9 63.0 72.7 68.4
131.4
134.0
68.8
76
IV
Media
99.6
Media
100
Explicaţii privind calculele: y y 252.4 124.5 S 13 = 13 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 131.6 , S 14 = 14 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 63.9 , 191.8 194.7 y13 y14 y 130.1 S 21 = 21 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 65.8 , ş.a.m.d. 197.8 y 21 Cum era de aşteptat, aceste rapoarte între datele observate şi mediile mobile sunt mai mici decât 1 pentru trimestrele I şi IV, când nivelul producţiei a fost sistematic mai mic (sub tendinţă). S + S + S + S I 1 = 21 31 41 51 = 65.5, I 2 = 130.9, 4 S + S + S + S I 3 = 13 23 33 43 = 133.5, I 4 = 68.4. 4 Valoarea medie a acestor indici este 99.6, astfel că este necesar ă o corecţie astfel încât media să fie 100: I 65.5 ⋅ 100 = 65.6, S 2 = 131.4, S 3= 134.0, S 4 = 68.8 . S 1 = 1 ⋅ 100 = 99.6 99.6 Urmare a caracterului sezonier specific producţiei de bere, în trimestrul I producţia a fost mai mică în medie cu 34.4% decât valorile corespunzătoare de pe tendinţă. În trimestrul II producţia a fost în medie mai mare de 1.314 ori decât valorile de pe tendinţă. Analog se interpretează S 3 şi S 4. Componenta sezonier ă este dată de vectorul format cu indicii sezonalităţii: S=(S 1, S 2 , S 3 , S 4 ) = (0.656; 1.314; 1.340; 0.688). 4.2.5. Componenta ciclică . Componenta aleatoare a) Componenta ciclică
Pentru separarea componentei ciclice se poate utiliza metoda compar ării cu tendinţa. Spre exemplu în cazul modelului multiplicativ: Y = T ⋅ S ⋅ C ⋅ E , metoda constă în calculul indicilor de ciclicitate. Astfel: • se estimează tendinţa printr-o funcţie elementar ă. Dacă seria prezintă sezonalitate se porneşte de la datele desezonalizate sau de la mediile anuale; • se elimină componenta sezonier ă din datele observate, iar apoi se utilizează medii mobile în scopul eliminării şi a componentei aleatoare rezultând valorile netezite y t (astfel y t = T ⋅ C ); • se calculează indicii de ciclicitate C t prin raportare la tendinţă: y C t = t T t b) Componenta aleatoare: y ij în cazul modelului multiplicativ, respectiv ε ij = T ij ⋅ C ij ⋅ S j ε ij = y ij − (T ij + C ij + S j ) în caz aditiv.
4.2.6. Previziuni utilizând modelul de descompunere. Măsurarea acurateţii previziunilor a) Previziuni utilizând modelul de descompunere se obţin prin compunerea previziunilor realizate pentru fiecare componentă prezentă în serie, ţinând seama de forma modelului: ˆ + S ˆ respectiv Y ˆ = T ˆ ⋅ C ˆ ⋅ S ˆ. Y ˆ = T ˆ + C 77
b) Măsurarea acurateţii previziunilor . Dacă modelul elaborat conduce la previziunile yˆ1 , yˆ 2 ,..., yˆ p corespunzătoare datelor y1 , y 2 ,..., y p , pentru a măsura calitatea acestuia de a genera previziuni adecvate se utilizează o serie de indicatori sintetici ai erorilor de previziune , cei mai frecvent întâlniţi fiind: 1 p MSE = ∑ ( y h − yˆ h )2 - eroarea medie pătratică: p h=1 1 p MAE = ∑ y h − yˆ h - eroarea medie absolută: p h=1 - eroarea medie absolută exprimată procentual:
MAPE =
1 p y h − yˆ h p ∑ yˆ h h =1
Exemplu (continuare). Previziunea produc ţ iei de bere
Tabelul următor conţine previziunile, datele reale respectiv erorile de previziune privind nivelul producţiei de bere. An
Trim.
Tendinţă
Sezonalitate
Previziune ŷ
Producţie
Eroare
III IV I
325.34 332.24 339.14
1.34 0.688 0.656
435.95 228.58 217.9
425.6 196.6 203.2
-10.35 -31.98 -14.7
2001 2002
Prezentăm modul de obţinere a rezultatelor anterioare pentru trim. III an 2001. Valorile tendinţei respectiv a componentei sezoniere sunt: )
)
T (21) = 180.44 + 6.9 × 21 = 325.34 respectiv S 3 = 1.34. Modelul de descompunere considerat a fost cel multiplicativ, astfel că valoarea previzionată este: y = 325.34 × 1.34 = 435.95 )
iar eroarea de previziune aferentă:
e = 425.6 − 435.95 = −10.35
)
Exemplu (continuare). Previziunea indicelui lunar al pre ţ ului produc ţ iei industriale.
Având în vedere tendinţa estimată privind evoluţia acestui indicator: T t = 3.55 + 0.19t previziunile respectiv erorile de previziune pentru perioada Iulie - Decembrie 2000 sunt indicate mai jos: Luna Indice y Previziune y Eroare e )
)
I 7.40 7.16
A 7.66 7.35
S 7.96 7.54
O 8.26 7.73
N 8.47 7.92
D 8.65 8.11
0.24
0.31
0.42
0.53
0.55
0.54
78
Pentru luna Iulie 2000 avem t = 19, extrapolarea tendinţei conduce la: )
y19 = T 19 =3.55 + 0.19 × 19 = 7.16 e19 = y19 - y19 = 0.24. )
)
)
4.2.7. Alte metode de previziune
a) Previziuni utilizând modele de regresie. Odată estimat şi validat, un model de regresie poate fi utilizat pentru previziunea variabilei dependente. b) Netezirea seriei respectiv previziuni utilizând modele de netezire exponen ţ ial ă Varianta simplă a acestei tehnici, în care previziunile sunt obţinute ca o medie ponderată a datelor reprezentând trecutul: n −1
yˆ n (h) = c ⋅ ∑ (1 − c) j y n − j , c ∈ [0,1] j =0
este adecvată previziunii seriilor staţionare. Metoda generalizat ă în varianta Holt-Winters este adecvată pentru serii cu tendinţă şi sezonalitate, model multiplicativ. Previziunile sunt date de o funcţie de previziune local liniar ă, valorile de pe tendinţa liniar ă fiind corectate cu un indice sezonier aferent sezonului pentru care se realizează previziunea. Atunci când cronograma seriei nu ofer ă indicii foarte clare privind prezenţa respectiv forma tendinţei, este indicat a se utiliza în prealabil o tehnică de netezire ce atenuează amplitudinea fluctuaţiilor aleatoare din serie, scopul fiind eviden ţ ierea tendinţei. Tehnicile de netezire general utilizate sunt mediile mobile sau tehnicii netezirii exponenţiale.
Teme de control. Probleme propuse Problema 1. Estimarea si extrapolarea tendintei 1.1. Indicele lunar al preţului producţiei industriale pentru piaţa internă, în perioada ianuarie 1999 – iunie 2000 baza de comparaţie 1996, a avut o tendinţă crescătoare: Luna (t) Indice (yt)
1 3.7
2 3.8
3 4.1
4 4.3
5 4.5
6 4.8
7 4.9
8 5.1
9 5.3
Luna (t) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Indice (yt) 5.5 5.6 5.8 6.0 6.2 6.3 6.5 6.6 7.0 Se cere: a) estimarea parametrilor tendintei liniare b) previziunea indicelui lunar al preţului producţiei industriale pentru urmatoarele doua luni. 1.2. Datele de mai jos redau evoluţia vânzărilor dintr-un produs pe o perioadă de 10 luni consecutive: Luna F M A M I I A S O N Vânzări 20 32 40 47 52 60 62 63 65 67 Se cere: estimarea parametrilor parabolei de tendinta. 1.3. Populaţia României a crescut în perioada 1980-1988 într-un ritm destul de accelerat, după cum arată şi datele de mai jos: An 1980 Nr. pop. 22.20 (mil. Loc.)
1981 22.35
1982 22.48
1983 22.55
1984 22.62
1985 22.72
1986 22.82
1987 22.94
1988 23.15
Se cere: a) datele confirmă ipoteza modelării tendinţei printr-o funcţie exponenţială? b) estimarea parametrilor tendintei exponentiale; c) previziunea populaţiei României pentru urmatorii cinci ani. Comparatii cu valorile reale. 79
Problema 2. Descompunerea si previziunea seriilor sezoniere Datele privind evoluţia trimestrială a producţiei de bere din ţara noastr ă (zeci mii hl) în perioada 1996-2001 sunt indicate in tabelul următor: An/Trim. I II III IV 1996 124.1 263.2 252.4 124.5 1997 130.1 280.2 260.6 151.1 1998 157.5 301.2 353.3 185.0 1999 169.7 340.0 350.9 168.7 2000 177.5 407.6 417.2 224.1 2001 202.9 385.3 425.6 196.6 Se cere: a) Estimarea tendinţei pornind de la valorile desezonalizate; b) estimarea componentei sezoniere; c)determinarea componentei ciclice respectiv aleatoare. Descompunerea seriei pe componente; d) previziunea producţiei de bere pentru urmatoarele patru trimestre. Problema 3. Determinarea nivelului mediu 3.1. Populaţia judeţului Cluj la principalele recensăminte a fost: An 1930 1948 1956 1966 1977 1992 Nr. pop. (mii loc.) 475.5 520 580.3 629.7 715.7 736.3 Se cere: calculul populaţiei medii anuale, pe perioada 1930 – 1992. 3.2. Numărul navelor utilizate în transportul mărfurilor în perioada 1991-2000 a înregistrat următoarea evoluţie: An 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Nr. nave 269 267 256 250 255 289 283 231 203 192
Se cere: calculul numărului mediu anual de nave utilizate in transportul marfurilor, in perioada considerata.
Problema 4. Determinarea indicelui mediu, ritmului mediu respectiv a diferentei medii 4.1. Se cunoaşte populaţia judeţului Cluj la ultimele două recensăminte: Recens. 5 ian 1977 Nr. pop. (mii loc.) 715.7
7 ian 1992 736.3
Se cere: indicele mediu anual. Interpretare 4.2. Producţia de biciclete în România a scăzut după 1989: An Prod. (mii buc.)
1990 136
1991 107
1992 67
1993 42
1994 28
1995 22
Se cere: a) calculul indicelui mediu prin metoda autoregresivă b) ritmul mediu anual. Interpretare. 4.3. Fondul de locuinţe din ţara noastr ă a înregistrat o creştere lentă după 1990:
80
